автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов магнитной левитации с использованием реляционных баз данных и клиент-серверной архитектуры

На правах рукописи

005006289

РОКОТОВ ЮРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАГНИТНОЙ ЛЕВИТАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ И КЛИЕНТ-СЕРВЕРНОЙ АРХИТЕКТУРЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 5 ДЕК 2011

Ставрополь - 2011

005006289

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» на кафедре «Информационные системы и технологии»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Шатрова Галина Вячеславовна Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Червяков Николай Иванович доктор физико-математических наук, профессор Симоновский Александр Яковлевич Ведущая организация: ОАО «НИИ Программных средств»,

г. Санкт-Петербург

Защита состоится 23 декабря 2011 года в 16°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.245.09 в Северо-Кавказском государственном техническом университете по адресу: 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова 2, ауд. 305.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу: г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2; с авторефератом — на сайте www.ncstu.ru

Автореферат разослан « 22 » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Мезенцева О.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы и направление исследований. Актуальность моделирования и исследования процесса магнитной левитации тел связана с широким применением этого эффекта в высокоточных магнитожидко-стных датчиках угла наклона, магнитоуправляемых демпферах, магнитных сепараторах и других технических устройствах. Наличие краевых условий сопряжения на границах магнитно-неоднородных сред осложняет решение задачи левитации для тел произвольной формы, что определяет актуальность как теоретических, так и экспериментальных исследований этого процесса. При этом проведение экспериментальных исследований затруднено разнообразием физических и геометрических характеристик исследуемых систем, высокой стоимостью материалов, необходимых для физического моделирования.

В аналитической форме решения задачи магнитной левитации получены для систем в простой геометрической постановке. Решение задачи в более сложных постановках, применимых для разработки устройств, используемых в технике, требует развития вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения компьютерных экспериментов.

Известен алгоритм решения задачи магнитной левитации с применением метода конечных разностей на основе реляционных баз данных [2]. По сравнению с методом конечных разностей (МКР) использование метода конечных элементов позволяет расширить класс решаемых задач магнитной левитации, так как можно исследовать процесс левитации тел более сложной топологии.

Использование клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных позволяет развивать сеточные методы и создавать новые алгоритмы, повышающие быстродействие вычислений.

Объект исследования - моделирование процесса левитации тел.

Предмет исследования - методы математического и численного моделирования левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме.

Целью работы является разработка эффективных методов математического моделирования и алгоритмов решения задачи магнитной левитации с использованием реляционных баз данных и клиент- серверной архитектуры.

Научная задача — разработка и исследование методов математического моделирования процесса магнитной левитации тел для создания на их основе модели, алгоритмов и программного комплекса для решения задачи левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме, позволяющих повысить производительность вычислений.

Реализацию поставленной цели осуществляли путем решения следующих частных задач:

- разработки метода моделирования левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме с использованием клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных;

- алгоритмизации численного решения задачи магнитной левитации методом конечных элементов;

- разработки вычислительного метода и алгоритмов решения задачи магнитной левитации на основе разделения операций между клиентом и сервером;

- проведение вычислительного эксперимента и комплексного анализа процесса магнитной левитации на основе численного и натурного экспериментов;

- разработки предметно-ориентированного комплекса программ для решения задачи магнитной левитации.

Методы исследований. В работе использован математический аппарат теории дифференциальных уравнений, теории алгоритмов, численных мето-

дов, численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Численное моделирование производилось с использованием вычислительной техники и программных средств с клиент-серверной архитектурой и реляционной базы данных.

Научная новизна

1. Разработан метод математического моделирования процесса магнитной левитации, основанный на использовании клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных, и математическая модель левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме, представляющая собой систему дифференциально-интегральных, конечно-разностных уравнений и запросов.

2. Разработан специальный вариант метода конечных элементов (МКЭ), который позволяет решать задачу левитации тел в два этапа: дифференциальные уравнения решают на клиентской стороне путем сведения их к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); интегральные характеристики исследуемой системы рассчитывают на сервере баз данных путем анализа выбранных конечных элементов, определяемых сущностью исследуемого явления, что уменьшает размерность решаемой задачи за счет сокращения числа узлов, необходимых для проведения вычислений. Разработанный метод повышает производительность вычислений на 14% по сравнению с известным [2].

3. Разработан алгоритм расчета силы магнитной левитации, реализующий оптимальное разделение операций между клиентом и сервером и отличающийся от известных тем, что на сервере баз данных вычисляются значения тех величин, которые соответствуют представленным в модели операциям реляционной алгебры.

4. Проведено комплексное исследование процесса левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме при различных значениях напряженности и направления внешнего магнитного поля, размеров тел и параметров жидкости. С помощью натурного и вычислительного

экспериментов установлена высокая чувствительность взвешенного в магнитной жидкости постоянного магнита к воздействиям магнитного поля. Соответствие численных и экспериментальных результатов подтверждает адекватность предложенного вычислительного метода и возможность применения разработанного программного комплекса для оптимизации эксплуатационных параметров датчиков и измерительных устройств.

5. Разработан программный комплекс, позволяющий моделировать магнитную левитацию тел, отличающийся от известных реализацией МКЭ на основе клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных и позволяющий сократить объем вычислений за счет организации части вычислений относительно граничных узлов и соседних к ним без использования всей сетки.

Научно-практическая значимость работы:

1. Использование клиент-серверной архитектуры и технологии реляционных баз данных позволило разработать специальный вариант метода конечных элементов, повышающий производительность вычислений и расширяющий круг решаемых задач.

2. Разработанные алгоритмы и специальный вариант МКЭ можно применять для решения широкого круга задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями, в частности уравнением Лапласа в ограниченной области с условиями сопряжения на границах физически неоднородных сред (многофазные задачи).

3. Разработанный программный комплекс позволяет прогнозировать значения силовых характеристик различных технологических устройств, принцип действия которых основан на явлении магнитной левитации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод математического моделирования процесса магнитной левитации тел и построенная на его основе математическая модель левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме.

2. Специальный вариант МКЭ на основе клиент-серверной архитектуры и реляционных базах данных, который повышает производительность вычислений за счет решения задачи в два этапа. Решение дифференциальных уравнений осуществляется на клиентской стороне, а расчет интегральных характеристик производится на сервере баз данных.

3. Алгоритм расчета силы магнитной левитации, реализующий оптимальное разделение операций между клиентом и сервером.

4. Программный комплекс для моделирования физических процессов, основанный на методе конечных элементов и технологии реляционных баз данных, позволяющий рассчитать дискретное распределение векторного магнитного потенциала и численные значения пондеромоторной силы для задачи магнитной левитации.

5. Результаты комплексного исследования явления магнитной левитации с помощью данных натурного и вычислительного экспериментов, показавшие адекватность разработанной модели.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, корректностью математических постановок задач, согласованием результатов численного и натурного экспериментов.

Авторский вклад в разработку заключается в разработке методов и алгоритмов для решения задачи магнитной левитации, проведении теоретических и экспериментальных исследований, обработке данных.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях: XIV Всероссийская школа-коллсквиум по стохастическим методам и X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2009 г.), X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2010 г.), международная научная конференция «Актуальные проблемы и инновации в экономике, технике, образовании, праве, информационных технологиях

2011» (2011 г.), международная научная конференция «Актуальные проблемы и инновации в экономике, управлении, образовании, информационных технологиях» (2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ в журналах и трудах конференций, из них: 3 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования научных положений диссертационных работ; 1 - свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Внедрение. В данной диссертационной работе изложены результаты исследований, выполненных в 2007 - 2011-годах. Работа выполнялась в соответствии с планами НИР СевКавГТУ, а также по гранту Министерства образования и науки РФ при выполнении НИР: «Исследование межфазных явлений на границах раздела магнитно-неоднородных сред в дисперсных нано-системах». Номер государственной регистрации 01201066014. Результаты работы внедрены в ОАО «Электроавтоматика», г. Ставрополь, акт о внедрении от 01 ноября 2011 г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемых источников, содержащего 140 наименований. Общий объем диссертации - 121 страница. Работа содержит 49 рисунков и 7 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту. Дана краткая аннотация всех разделов диссертации.

В первой главе представлен обзор научно-технической и патентной литературы, посвященной методам моделирования и численного решения задач, описывающих процесс магнитной левитации тел. Сформулированы основные задачи диссертационной работы.

Во второй главе представлены: метод математического моделирования магнитной левитации тел с использованием клиент-серверной архитектуры; разработанная на основе этого метода математическая модель левита-

ции постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме; расчетная схема для решения задачи левитации тел методом конечных элементов; вычислительный метод, реализующий решение задачи в два этапа путем разделения операций между клиентом и сервером; система запросов к базе данных; приведены разработанные алгоритмы численного решения задачи левитации.

Разработанный метод математического моделирования процесса магнитной левитации тел заключается в следующем: на основе закономерностей, связывающих фундаментальные свойства и физические характеристики исследуемого объекта, получают дифференциальные и интегральные уравнения, описывающие магнитную левитацию тела произвольной формы в жидкой дисперсной магнитной наносистеме; строят расчетную схему для нахождения распределения скалярных величин на клиентской стороне методом конечных элементов; составляют систему запросов к реляционной базе данных, позволяющую рассчитать характеристики системы; записывают модель в виде системы дифференциально-интегральных, конечно-элементных уравнений и запросов.

На основе предложенного метода разработана математическая модель левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме (магнитной жидкости).

При математическом описании левитационных процессов в магнитной жидкости (МЖ) для вычисления магнитной выталкивающей силы р,„, действующей на постоянный магнит, помещенный в сосуд с магнитной жидкостью, необходимо вычислить поток векторного поля через поверхность постоянного магнита 5„, [3]:

где В - индукция магнитного поля в МЖ, Р„, - пондеромоторная сила, действующая на постоянный магнит, п - вектор внешней нормали к поверхно-

/"о л"

2

(1)

сти постоянного магнита, В„ - компонента вектора в в направлении й.

Распределение в можно найти через векторный магнитный потенциал путем решения дифференциального уравнения[1]:

div (v - grad А) + ju0J + ца rot. М = 0, (2)

где v= —, ft - магнитная проницаемость в данной среде (в общем случае является функцией); А - векторный магнитный потенциал; J - плотность тока; М - вектор намагниченности.

Граничные условия запишем в виде:

дп дп W

Рассматриваемые границы (рисунок 1):

- «магнит - МЖ» v(l) = 1; v(2) = const; M'u = const; М\г) = 0;

- «МЖ - внешняя среда» v(1) = const; v<2) = 1; A/r(l) = 0; M™ = 0;

Рисунок 1 - Границы областей

Распределение вектора магнитной индукции находят в соответствии суравнением:

В = гоМ (4)

Таким образом, расчет пондеромоторной силы требует вычисления векторного магнитного потенциала, который можно найти, решая систему (2) - (3).

Решение уравнений исходной задами (1) - (4) производится с помощью разработанной расчетной схемы на основе метода конечных элементов. Для дискретизации области используется нерегулярная треугольная сетка. При построении сетки используется рекурсивный алгоритм с разрезанием по диаметру.

Для построенной сетки конечных элементов введем следующие обозначения: Л'/( - количество конечных элементов (КЭ) в области Б; М- -количество узлов сетки в области Б; Ыг - количество линейных элементов границы Б; - треугольный конечный элемент в области Б, / = 1,А/Л. Г® -линейный участок границы, на которые граница разбивается узлами сетки КЭ, к = 1,Л7

Уравнение (2) перепишем в операторной форме:

Ы = 0 (5)

Для нахождения решения будем минимизировать невязку численного решения:

е = О - Ь4 тт, где ЪА - приближенный оператор.

Потребуем ортогональности невязки ко всем базисным функциям:

= О, ] = Щ,

где N - количество базисных функций.

(6)

(7)

Уравнение (2) с учетом (5) - (7) перепишем в виде:

Т-1 ,п = т -

Базисная функция в узле и равна срп(<2т) = 5п =■< « = 1, А',.,

[О, п Ф т

где - узел сетки конечных элементов.

Введем обобщенную систему индексов (рисунок 2) для нумерации узлов в пределах отдельного треугольного КЭ, позволяющую циклически переставлять индексы в формулах. Так как в большинстве формул применяется циклическая перестановка индексов, то вместо явной нумерации (г, ], к) бу-

дем использовать обобщенную систему нумерации (1у-/,и',и'+/) (или 1,г+2)), просто указывая порядок узлов и предполагая, что в каждом конечном элементе узлы нумеруются против часовой стрелки.

1И-+1

Рисунок 2 - Обобщенная система нумерации узлов Базисная функция в каждом узле получается объединением базисных функций конечных элементов, которым принадлежит данный узел:

<Р, = 'б(*>У)е 5<° >' = № IУ = Щ (9)

Верхний индекс = в (9) и далее указывает, что переменные имеют смысл в отдельном конечном элементе 5,<1)./ = 1, Л'/(.

В отдельном конечном элементе функция формы запишется в виде:

¿'\х,у) = а«)х + Ь?у + с);\д(х,у)е81,\1 = Щ; (10)

С учетом базисных функций и преобразований в соответствии с методом Галеркина представим (8) в виде, удобном для численной реализации:

Ц+Ь2-13=РХ+Рг, (И)

где

"г чя г т

(12)

./=1 (=1

2

•Ж,

(13)

¿3 - МоХ \\vTJds = • £ ¡¡^ (|4)

м .V" '=1 Л'"1

Я, -1. • АГ«1 • (й»> • д,.+г «1 • + е ■ л )]

(15)

Окончательно получим:

+ ^ • ■ • • Л, + № ■ А.....+ №. ■ л„.г)]~ (17)

Представим (17) в виде системы линейных алгебраических уравнений (уравнение (17) должно быть записано для каждой функции (pJ):

/=1

ы

•э ,,-1 1 к-л

2

Полученная СЛАУ решается методом Гаусса.

Интеграл в уравнении (1) вычисляется по поверхности постоянного магнита, следственно, достаточно найти численные значения компонент силы Столько для участков сетки, принадлежащих граням магнита.

После построения сетки внешняя граница постоянного магнита разбита на N, линейных участков. Учитывая дискретное распределение векторного магнитного потенциала, найденные значения компонент вектора магнитной индукции, суммарный ноток векторного поля ^ можно представить в виде:

1 »г

Но ,=1 1 Нг

' Но м

Лвгх-В]\гх+ВхВупу

х-(в;-в1\у + ВхВупх

М-

м-

где Л/ - длина линейного участка.

Аппроксимацию составляющих вектора магнитной индукции в каждом конкретном узле будем искать относительно соседних узлов. Обозначим построенную сетку конечных элементов Е с рассчитанным потенциалом в узлах сетки N через систему реляционных отношений:

М(щ,х,у,А.др), (20)

где /!, - глобальные номера узлов, др - признак границы, V, у- координаты узла, Л - значения векторного магнитного потенциала в узлах сетки.

Я(е,,пг,мг,п3), (21)

где е.- глобальные номера элементов, К, ,и;,?13- глобальные номера узлов.

Узлы Л'г, находящиеся на границе сред магнит - магнитная жидкость, определяются виде:

Л'г(»о.%.Уо^о) « (22)

где Ч0 - глобальные номера соседних узловрг, ^координаты узла; А - значения векторного магнитного потенциала в узлах сетки.

Параметры соседних узлов определяются через операции реляционной алгебры (проекция, селекция, декартово произведение, объединение):

£ат(«?. "г! - п0'х0-Уо .Ас)"

т X ЕУ) и

и (Л'г X £)) и (М- х £)))

п. V, V., .А„

(23)

и X )) и С^г^г.п, =л-г.ис (¿лт х 'Ш

Отношение О г представляет собой набор множеств, где каждому гра

ничному узлу пс соответствует к окрестных узлов с соответствующими зна

чениями векторного магнитного потенциала и координатами.

Таким образом, компоненты вектора магнитной индукции в каждом граничном узле можно определить как: к,А-Ап

В, =

V „СЛ. Л, - >'<:

к А - Л

Л=1 хь ~хо

, при х,л *х0,у„, Фу0

к ' ' к Таким образом, полученная математическая модель имеет вид:

■ °1ХиЩ 4- /У + ДЛ^.М = О

В = го1А

1

Г, =

ЗВ'-В'й " 2.

N.

1-1

3

Яр

■ М

л

(24)

(25)

+1 • ¿[^ -ЛГ<!:) • • Л + • + С -аЛ 2

Ъ(.п0,х0,уа,Л0) = пща,уА Еыг(ег,пт1,пе2,птг,п0,х0,у0,Аа} = = (^Г Х Е)) и

С^г X £■)) и (сг„г.По=в.Па №г X £■)))

и гпДДмГ Х N,0)

В третьей главе описана разработка программного комплекса для моделирования процессов магнитной левитации. Представлен специальный вариант МКЭ, позволяющий решать задачу левитации тел в два этапа: диффе-

ренциальные уравнения решают на клиентской стороне путем сведения их к СЛАУ; интегральные характеристики исследуемой системы рассчитывают на сервере баз данных пугем анализа выбранных конечных элементов, определяемых сущностью исследуемого явления, что уменьшает размерность решаемой задачи за счет сокращения числа узлов, необходимых для проведения вычислений. Разработан алгоритм расчета силы магнитной левитации, реализующий оптимальное разделение операций между клиентом и сервером.

Архитектура разработанного программного комплекса представлена на рисунке 3. Клиентское приложение контролирует работу сервера посредством SQL запросов.

Клиентское приложение

Файлы с параметрам» модели

Структуры данных в оперативной памяти

Центральный мо-даль управления

DLL визуализации. анализа

DLL ipy-доемких процессов

Данные для вычислений, запуск процедур

Результаты вычислений

Сервер БД

СУБД

Таблицы данных —*

Хранимые процедуры

Скалярные функции

Функции, возвращающие табличное значение

Рисунок 3 - Архитектура программного комплекса Минимизация трафика между серверной и клиентской частью и организация вычислений на стороне сервера тесно связаны между собой. После вычисления векторного магнитного потенциала клиентское приложение передает на сервер баз данных рассчитанное распределение, структуру рассчитанной конечно-элементной сетки, а также иные параметры. Обобщенный алгоритм вычислений представлен на рисунке 4.

Клиентское приложение

Ссрпер ИД

Рисунок 4 - Обобщенный алгоритм решения задачи магнитной левитации

Основными задачами, которые выполняет клиентское приложение, являются: 1) создание проекта решения; 2) дискретизация модели решения; 3) выбор функции формы; 4) генерация СЛАУ; 5) решение СЛАУ; 6) передача рассчитанного распределения векторного магнитного потенциала на сервер для вычисления пондеромоторной силы; 7) запуск процедуры расчета на сервере баз данных; 8) получение результатов от сервера; 9) анализ полученных результатов путем построения диаграмм, графиков.

Для дискретизации области созданы специальные структуры данных, основанные на работе с указателями. После построения сетки конечных элементов клиентское приложение генерирует СЛАУ (18) для нахождения значений векторного магнитного потенциала в узлах расчетной сетки. В данной работе для решения СЛАУ применяется хранение разреженной матрицы в формате CSIR (Compressed Sparse lower triangle Row).

Серверная часть программного комплекса предназначена для вычисления пондеромоторной силы по рассчитанному распределению векторного магнитного потенциала. Перед началом вычислений необходимые данные для расчета хранятся в таблицах.

Реализация вычислений осуществляется в несколько этапов. 1) выбор узлов на границе двух сред: постоянного магнита и магнитной жидкости;

2) вычисление компонент вектора магнитной индукции в исследуемом узле;

3) вычисление нормали к поверхности и длины линейного участка границы;

4) расчет компонент пондеромоторной силы.

В четвертой главе проведен комплексный анализ процесса левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме при варьировании физических характеристик магнитной наносистемы, значений напряженности внешнего магнитного поля, размеров тел и направления вектора намагниченности магнита с помощью натурного и вычислительного экспериментов. Приведено численное решение задачи магнитной левитации с использованием программного комплекса и приведены результаты натурного эксперимента.

Для проверки корректности модели проведена серия численных экспериментов. На рисунке Б представлена визуальная картина распределения потенциала.

Рисунок 5 - Картина распределения векторного магнитного потенциала: 1 внешняя среда; 2-магнитная жидкость; 3- постоянный магнит

На рисунке 6 показана зависимость силы магнитной левитации, полученной в ходе численного моделирования, а также данные физического эксперимента.

К„,-1р'2,Н ...........

- - й,2

,4 а',6 ( ,8 1: 1;2

4 1:6 1

» —' •

8 2:

Г

2 2,4

Но, кА/м

Рисунок 6 - Зависимость Г-',,, от II „ при физическом эксперименте (2) и численном моделировании МКЭ (кривая I); МКР (кривая 3)

На рисунке 6 видно, что график зависимости, полученный в ходе физического эксперимента (кривая 2), данные моделирования методом конечных разностей [2] (кривая 3), а также графическая зависимость, построенная по значениям, полученным в ходе численного моделирования при аналогичных входных параметрах (кривая 1), близки на всем промежутке изменения Н0.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Предложенный метод моделирования, основанный на использовании клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных,позволил разработать модель процесса магнитной левитации в жидкой дисперсной на-носистеме.

2. Разработанный специальный вариант метода конечных элементов, позволяющий решать задачу магнитной левитации тел, повышает производительность вычислений на 14% по сравнению с методом конечных разностей.

3. Разработанный алгоритм расчета силы магнитной левитации реализует оптимальное разделение операций между клиентом и сервером.

4. Разработанный программный комплекс позволяет получать прогнозные значения пондеромоторной силы, что может быть использовано при проектировании устройств, принцип действия которого основан на явлении магнитной левитации.

5. Исследован процесс левитации при варьировании физических характеристик магнитной наносистемы, значений напряженности внешнего магнитного поля, размеров тел и направления сектора намагниченности магнита с помощью натурного и вычислительного экспериментов, а также проведен комплексный анализ процесса левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме. Установлено, что среднее отклонение значений пондеромоторной силы, полученных в ходе численного и натурного эксперимента не превышало 10%, что подтверждает адекватность модели и разработанных методик решения задачи.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Рокотов Ю.В. Использование реляционных баз данных для построения сетки конечных элементов / «Обозрение прикладной и промышленной математики», Москва 2009, т.16, №5, научные доклады часть Ш, с. 920 - 921.

2. Рокотов Ю.В. Расчет векторного магнитного потенциала для задач магнитной левитации /«Обозрение прикладной и промышленной математики», Москва 2010,т.17,№1, научные доклады часть Ш, с. 134- 135.

3. Дроздова В.И., Рокотов Ю.В., Николаев Е.И., Моделирование постоянного магнита в магнитной жидкости с использованием метода конечных элементов н технологий баз данных/ Вестник СевКавГ'ГУ, Ставрополь 2010, №3 (24), с. 81 -86.

Статьи, опубликованные в сборниках трудов международных и всероссийских, научных, научно-практических конференций:

4. Рокотов Ю.В., Разработка алгоритма построения конечно-элементной сетки для решения нелинейных задач математической физики / Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы и инновации в экономике, управлении, образовании, информационных технологиях». Выпуск 5, том IV - Ставрополь: Изд-во СевКавГТИ, 2009 г. -с. 95-96.

5. Рокотов Ю. В., Дроздова В.И. Программный комплекс для численного решения задачи магнитной левитации / Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы и инновации в экономике, технике, образовании, праве, информационных технологиях», Выпуск 6, том I - Ставрополь: Изд-во СевКавГТИ, 2011 г. - с. 153-156.

Свидетельствоо регистрации программы:

6. Рокотов Ю. В., Шагрова Г. В. Программный комплекс для численного моделирования задачи магнитной левитации / Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование», 2011 г , Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 17598.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау, Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ. для ВУЗов в 10 т. Т VIII. Электродинамика сплошных сред / 4-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -656 с.

2. Николаев, Е. И. Математическое моделирование левитационных процессов постоянного магнита и тела из магнитомягкого материала в ограниченном объеме магнитной жидкости / Дис. к-та тех. наук: 30.06.06. - Ставрополь., 2006.

3. Розенцвейг, P.E. Феррогидродинамика: Пер. с англ. / Под ред. В.В. Гогосова - М.: Мир, 1989. - 344 с.

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 21.11.2011 Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. - 1,5. Уч.- изд. л. - I. Бумага офсетная. Печать офсетная. Закат Л» 418. Тираж 100 экз. ФГПОУ НПО « Северо-Кавказский государственный технический университет» 35502«, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

цздательство фгбоУВПО «Северо-Кавказский государственны«

технический университет» Отпечатано в типографии СевКавП'У

Введение.

Глава 1. Применение численных методов для решения задач математической физики.Ю

1.1. Постановка задачи о моделировании левитационных процессов в магнитных коллоидах.

1.2 Численные методы решения-нелинейных задач математической физики

1.2.1 Методы частиц.

1.2.2 Сеточные численные методы.

1.2.2.1 Метод конечных разностей.,

1.2.2.2 Метод конечных элементов.

1.3 Возможности пакетов прикладных программ, реализующих численные методы решения нелинейных задач математической физики.

1.4 Использование реляционных баз данных и клиент-серверной архитектуры для реализации, сеточных методов.

1.5 Применение явления.магнитной левитации тел в технологических процессах и технических устройствах.

1.6 Выводы.

Глава 2. Математическое моделирование процесса магнитной левитации с использованием метода конечных элементов, реляционных баз данных и клиент-серверной архитектуры.

2.1 Метод моделирования процесса магнитной левитации тел.

2.2 Выбор функционала для.построения модели.

2.3 Дискретизация! задачи о вычислении векторного магнитного потенциала всосуде с магнитнойлкидкостью.

2.3.1 Построение сетки.

2.3.2. Дискретизация уравнений модели.

2.3.3 Решение СЛАУ.

2.4 Вычисление пондеромоторной силы.

2.5 Выводы.

Глава 3. Разработка программного комплекса для моделирования процессов магнитной левитации.

3.1 Архитектура программного комплекса для-автоматизации моделирования процессов магнитной левитации.

3.2.1. Структуры данных, используемые клиентским приложением.

Программные реализации алгоритмов.

3.2.1.1 Структура файлов проекта.

3.2.1.2 Программная реализация построения сетки.

3.2.1.3 Автоматическая генерация и решение СЛАУ.

3.3 Серверная часть программного комплекса.

3.4 Выводы.

Глава 4. Численное решение задачи магнитной левитации с использованием программного комплекса и натурный эксперимент.

4.1 Использование программного комплекса для моделирования процессов левитации.

4.2 Сравнение результатов моделирования методом конечных элементов и методом конечных разностей.

4.2.1 Сравнение производительности.

4.3 Сравнение результатов моделирования методом конечных элементов и результатов натурного эксперимента.

4.4 Выводы.Ю

Актуальность проблемы и направление исследований:. Актуальность моделирования и исследования процесса магнитной левитации тел связана с: широким применением этого эффекта в. высокоточных магнитожидкостных. . датчиках угла наклона, : магнитоуправляемых демпферах, магнитньк сепараторах .и других технических устройствах. Наличие краевых условий сопряжения на границах магнитно-неоднородных . сред осложняет решение задачи левитации для тел произвольной формы, что определяет актуальность как теоретических, так; и экспериментальных исследований; этого процесса., При этом проведение экспериментальных исследований? затруднено разнообразием физических и> геометрических характеристик исследуемых систем, высокой стоимостью материалов, необходимых для физического моделирования^.

В . аналитической форме решения задачи магнитной левитации получены для систем в простой геометрической постановке. Решение задачи в более сложных постановках,, применимых для разработки устройств, используемых в технике, требует развития, вычислительных средств, разработки специальных численных методов и программного обеспечения для проведения'компьютерных экспериментов.

Известен алгоритм решения задачи магнитной левитации с применением метода конечных разностей на основе реляционных баз данных [71]. По сравнению с методом: конечных разностей^ (МКР) использование метода конечных элементов^ позволяет расширить класс решаемых задач магнитной- левитации, так как, можно исследовать процесс левитации тел более сложной топологии.

Использование клиент-серверной' архитектуры^ и реляционных баз данных позволяет развивать сеточные методы и создавать новые алгоритмы, повышающие быстродействие вычислений.

Объект исследования — моделирование процесса левитации тел. Предмет/ исследования: — - методы .математического.;, и .численного: моделирования , левитации постоянного магнита в жидкой; дисперсной; магнитной наносистеме.

Целью .работы? является, разработка . эффективных методов математического? моделирования й алгоритмов решения- задачи, магнитной левитации с использованием- реляционных баз данных; и клиент- серверной архитектуры.

Научная задача - разработка и исследование методов математического моделирования процесса- магнитной: левитации тел для. создания на их основе модели, алгоритмов и программного комплекса для. решения задачи левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной; наносистеме, позволяющих повысить производительность вычислений.

Реализацию прставленной цели осуществляли путем решения следующих частных задач:

- разработки метода моделирования, левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме с использованием, клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных;

- алгоритмизации численного решения задачи магнитной левитации, методом конечных элементов;

- разработки вычислительного метода и алгоритмов решения задачи магнитной левитации на основе разделения операций между клиентом и сервером;

- проведение вычислительного эксперимента и комплексного анализа процесса магнитной левитации на основе численного и натурного экспериментов;

- разработки предметно-ориентированного: комплекса программ^ для решения задачи магнитной левитации.

Методы исследований. В работе использован математический аппарат теории дифференциальных уравнений, теории алгоритмов, численных методов, численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Численное моделирование производилось^ с использованием вычислительной техники и программных средств с клиент-серверной архитектурой и реляционной базыданных.

Научнаяновизна:

1. Разработан метод математического моделирования процесса магнитной левитации, основанный на использовании клиент-серверной архитектуры и реляционных баз, данных, и математическая модель левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме, представляющая собой систему дифференциально-интегральных, конечно-разностных уравнений"и запросов.

2. Разработан специальный вариант метода конечных элементов (МКЭ), который позволяет решать задачу левитации тел в два этапа: дифференциальные уравнения решают на клиентской- стороне путем сведения их к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); интегральные характеристики исследуемой системы рассчитывают на сервере баз данных путем анализа выбранных конечных элементов, определяемых сущностью исследуемого явления, что уменьшает размерность решаемой задачи за счет сокращения числа узлов, необходимых для проведения вычислений. Разработанный метод повышает производительность вычислений на 14% по сравнению с известным [71].

3. Разработан алгоритм расчета силы магнитной левитации, реализующий оптимальное разделение операций между клиентом и сервером и отличающийся от известных тем, что на сервере баз данных вычисляются значения тех величин, которые соответствуют представленным в модели операциям реляционной алгебры.

4. Проведено комплексное исследование процесса левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме при различных значениях напряженности и направления; внешнего магнитного поля,, размеров тел и параметров жидкости. С помощью натурного и вычислительного экспериментов; установлена высокая чувствительность взвешенного в магнитной жидкости постоянного магнита к воздействиям магнитного поля. Соответствие численных ^экспериментальных результатов подтверждает адекватность предложенного вычислительного метода и возможность применения разработанного? программного комплекса; для оптимизации эксплуатационных параметров; датчиков и измерительных устройств. 5. Разработан программный комплекс, позволяющий? Моделировать, магнитную левитацию тел, отличающийся от известных реализацией МКЭ на основе клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных и позволяющий!« сократить* объем- вычислений за счет организации части вычислений относительно граничных узлов и соседних к ним без использования всей сетки.

Научно-практическая значимость работы:

1. Использование клиент-серверной архитектуры и технологии реляционных баз данных позволило разработать специальный вариант метода; конечных; элементов,, повышающий; производительность вычислений и расширяющий круг решаемых задач. 21. . Разработанные алгоритмы и: специальный вариант МКЭ можно применять для решения широкого круга задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями, в частности уравнением Лапласа; в« ограниченнош области с условиями сопряжения на границах физически неоднородных сред (многофазные.задачи).

3. Разработанный программный комплекс позволяет . прогнозировать значения силовых характеристик различных технологических устройств, принцип действия которых основан на явлении магнитной левитации.

Достоверность иг обоснованность полученных результатов обеспечивается применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, корректностью математических постановок задач, согласованием результатов численного и натурного экспериментов.

Реализация результатов диссертационной работы. В данной диссертационной работе изложены результаты исследований, выполненных в 2007 - 2011-годах. Работа выполнялась в соответствии* с планами НИР СевКавГТУ, а также по гранту Министерства образования и науки РФ при выполнении НИР: «Исследование межфазных явлений на границах раздела магнитно-неоднородных сред в дисперсных наносистемах». Номер государственной регистрации 01201066014. Результаты, работы внедрены в ОАО «Электроавтоматика», г. Ставрополь, акт о внедрении- от 01 ноября 2011 г.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих 'научно-технических конференциях: XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам и X Всероссийский симпозиум по прикладной- и промышленной математике (2009 г.), X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2010 г.), международная научная конференция^ «Актуальные проблемы и инновации ^ в экономике, технике; образовании, праве, информационных технологиях 2011» (2011 г.), международная научная конференция «Актуальные проблемы и инновации в экономике, управлении, образовании; информационных технологиях» (2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ в журналах и трудах конференций, из них: 3 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования научных положений диссертационных работ; 1 -свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемых источников, содержащего

4.4 Выводы

1. Метод моделирования левитационных процессов и программный комплекс для его реализации позволяют получать адекватные численные результаты. Верификация- метода, проведенная на основе сравнения численных результатов с натурными, показала, что максимальная погрешность расчетов не превышает 10% (рисунок 4.27).

2. Применение клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных позволяет .сохранять- результаты промежуточных вычислений в таблицах баз данных. Предложенный метод моделирования может быть использован' при1 разработке новых электромеханических устройств, построенных на явлении магнитной левитации, при оптимизации различных физических и конструктивных параметров.

3. В связи с тем, что важной задачей разработки новых электромеханических устройств является снижение массогабаритов, при исследованиях использована простейшая магнитная система, не содержащая сердечников. Установлена высокая чувствительность взвешенного в магнитной жидкости постоянного магнита к, воздействиям магнитного поля, что может быть основанием для применения магнитной левитации в датчиках и измерительных устройствах. Однако для использования магнитной левитации в приводных механизмах электроаппаратов механическую силу необходимо существенно увеличить. Для этого целесообразно увеличить магнитную проницаемость МЖ и величину HVH, возможно, за счет усложнения конструкции магнитной системы и добавления сердечников.

Заключение

1. Предложенный метод моделирования, основанный на использовании клиент-серверной архитектуры и реляционных баз данных, позволил разработать модель процесса магнитной левитации в жидкой дисперсной наносистеме.

2. Разработанный специальный вариант метода конечных элементов, позволяющий решать задачу магнитной левитации тел, повышает производительность вычислений на 14% по сравнению с методом конечных разностей.

3. Разработан алгоритм расчета силы магнитной левитации, который реализует оптимальное разделение операций между клиентом и сервером.

4. Разработан программный комплекс, позволяющий получать прогнозные значения пондеромоторной силы, что может быть использовано при проектировании устройств, принцип действия которого основан на явлении магнитной левитации.

5. Исследован процесс левитации при варьировании физических характеристик магнитной наносистемы, значений напряженности внешнего магнитного поля, размеров тел и направления вектора намагниченности магнита с помощью натурного и вычислительного экспериментов, а также проведен комплексный анализ процесса левитации постоянного магнита в жидкой дисперсной магнитной наносистеме. При проведении анализа сравнивались значения пондеромоторной силы, полученные в ходе численного и натурного эксперимента. Среднее отклонение значений было в пределах 10%, что подтверждает адекватность модели и разработанных методик решения задачи.

1. Аврамчук, Л.З. Герметичный ввод вращательного движения текст. / А.З. Аврамчук, А.К. Калинкин, Ю.О. Михалев, Д.В. Орлов. Приборыи техника эксперимента, 1975, №3, с. 191-192.

2. Аврамчук, А.З. Магнитогидродинамйческий подшипник текст. /

3. A.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, A.M. Земляков Авт. свид. СССР № 1178156, Б.И., 1985, №35.

4. Аврамчук, А.З; Подшипниковый узел текст. / А.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, Д.В.Орлов, А.Б.Потапов, М.И. Трофименко,

5. B.В. Гогосов Авт. свид. СССР № 817352, Б.И., 1981, № 12.

6. Аврамчук, А.З. Свойства и перспективы применения феррожидкостей в электромашиностроении текст. / А.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, Д.В.Орлов. Электротехническая пром-ть, сер. Электрические машины, 1981, № 2, с. 1-3.

7. Аврамчук, А.З. Уплотнительно-опорный узел вала текст. /

8. A.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, А.Б. Потапов. Авт. свид. СССР №655858, Б.И., 1979, №13.

9. Алексеев, Е.Р. Mathcad 12 текст. / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. -М.: НТПресс, 2005. 345 с.

10. Альшина, Е.А. Численное решение краевых задач в неограниченной области текст. / Е.А. Альшина, H.H. Калиткин, С.Л. Панченко. -Математическое моделирование, 2002, т. 14, № 11, с. 10-22.

11. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: Пер. с англ. В 2 т. текст. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М.: Мир, 1990, 728 с.

12. Антипов, A.A. Подшипник качения текст. / A.A. Антипов,

13. B.Ю. Егоров, Ю.О. Михалев, М.С. Сайкин // Авт. свид. СССР1661501, Б.И., 1991, №25.

14. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности текст. / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000, 70 с.

15. Бахвалов, Н. С. Численные методы текст. / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1975, 600 с.

16. Бахвалов, Ю.А. Решение внешних краевых задач при расчете электромагнитных полей методом конечных элементов текст. / Ю.А. Бахвалов, А.И. Бондаренко, Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1983, №10, с. 5-10.

17. Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред текст. / О.М. Белоцерковский — М.: Наука, 1984, 520 с.

18. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках текст. / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984, 494 с.

19. Березин, И.С. Методы вычислений. Том первый текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962, 464 с.

20. Берковский, Б.М. Магнитные жидкости текст. / Б.М. Берковский, В.Ф. Медведев, М.С. Краков. М.: Химия, 1989, 240 с.

21. Блум, Э.Я. Магнитные жидкости текст. / Э.Я. Блум, М.М. Майоров, А.О. Цеберс. Рига: Зинатне, 1989, 386 с.

22. Болотов, А.Н. Подвесы с использованием магнитной жидкости текст. / А.Н. Болотов, В.Л. Хренов, Ю.О. Михалев. — Трение и износ, 1990, т.11, №1, с. 116-123.

23. Болотов, А.Н. Трение в подшипниках с тиксотропной магнитной жидкостью текст. / А.Н. Болотов, Г.С. Елисеева, Ю.О. Михалев -Трение и износ, 1988, т.9, №1, с. 90-96.

24. Бреббия, К. Методы граничных элементов: Пер. с англ. текст. / К. Бреббия, Ж. Телес, Л. Вроубелл М.: Мир, 1987, 524 с.

25. Бреббия, К. Применение метода граничных элементов в технике текст. /-К. Бреббия, С. Уокер М.: Мир, 1982, 248 с.

26. Вислович, А.Н. К расчету сил, действующих на магнит, взвешенный в магнитной жидкости текст. / А.Н. Вислович, М.С. Краков — Тезисы докладов. XI Рижского совещания по магнитной гидродинамике. Саласпилс, 1984. Т. 3. с. 187-190.'.

27. Власова, Е.А. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов текст. / Е.А. Власова, B.C. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, под ред. Зарубина B.C., Крищенко А.П. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001, 700 с.

28. Волчков, ЮМ. Конечные элементы с условиями сопряжения на их гранях текст. / Ю.М. Волчков. Динамика сплошной среды, 2000, Вып. 116, с. 175-180.

29. Гогосов, В.В. Магнитогидростатический сепаратор текст. / В.В. Гогосов, Р.Д. Смолкин, Ю.М. Гарин, В.Н. Губаревич Авт. свид. СССР №782870, Б. И. 1980, №44.

30. Гогосов, В.В. Магнитогидростатический сепаратор текст. / В.В. Гогосов, Р.Д. Смолкин, Ю.М. Гарин, В.Н. Губаревич, М.В. Заскевич-Авт. свид. СССР №908404, Б. И. 1982, №8.

31. Гогосов, В.В. Феррогидростатический сепаратор текст. / В.В. Гогосов, Р.Д. Смолкин, Ю.М. Гарин, В.Н. Губаревич, B.C. Крохмаль Авт. свид. СССР №1136840, Б. И. 1985, №4.

32. Григорьев, Ю.Н. Численное моделирование методами частиц в ячейках текст. / Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков, М.П. Федорук. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004, 360 с.

33. Громадка, Т. Комплексный метод граничных элементов текст. / Т. Громадка, Ч. Лей. М.: Мир, 1990. - 304 с;

34. Гулин, A.B. Границы устойчивости двумерных разностных схем текст. / A.B. Гулин, Л.Ф. Юхно. Математическое моделирование,т. 10, № 1, 1998, с. 44-50.

35. Джордж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. текст. / А. Джордж, Дж. Лю. — М.: Мир, 1984, 333 с.

36. Дроздова, В .И; Моделирование левитации тел произвольной формы с использованием реляционных баз данных текст. / В.И. Дроздова, Е.И. Николаев, Г.В. Шатрова. М.: Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, №1, часть 1, с. 151-152.

37. Дроздова, В.И. Моделирование постоянного магнита в магнитной жидкости с использованием метода конечных элементов и технологий баз данных текст. / В.И. Дроздова, Ю.В. Рокотов, Е.И. Николаев. -Вестник СевКавГТУ, Ставрополь 2010, №3 (24), с. 81-86.

38. Друскин, В Л. Об определении первой границы в двумерной обратной задаче электроразведки текст. / B.JI. Друскин, Л.А. Книжнерман -Наука, «Матем. методы идентификации моделей в геологии», 1983, с. 126-134.

39. Дьяконов, В.П. Matlab 5.3.1 с пакетами расширений. Под ред. проф. В.П. Дьяконова*' текст. / В.П. Дьяконов, Н.В. Абраменкова, В.В. Круглов. М.: Номидж, 2001, 800 с.

40. Земляков, А.М! Способ смазывания трибосопряжений текст. / A.M. Земляков, Ю.О. Михалев. Авт. свид. СССР №1742576, Б.И., 1992, №23.

41. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация /О.' Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986, 317 с.

42. Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений текст. / В.П. Ильин. — Новосибирск: изд. инст. мат-ки, 2000, 345 с.

43. Калиткин, H.H. Вычисления на квазиравномерных сетках текст. / H.H. Калиткин, А.Б. Алыпин, Е.А. Алыпина, Б.В. Рогов. -М.: Физико-математическая литература, 2005.

44. Калиткин, H.H. Об экстраполяции на сгущающихся сетках текст. / Н:Н. Калиткин. — Математическое моделирование,. 1994, Т.6, №1, с. 86-98.

45. Калиткин, H.H. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области/ текст. / H.H. Калиткин, Н.О. Кузнецов, С.Л. Панченко. — ДАН; 2000, т.374, №5, с. 598-601.

46. Квитанцев, A.C. Левитация магнитов и тел из магнитомяпсих материалов в сосудах, заполненных магнитной жидкостью текст. /

47. A.C. Квитанцев, В.А. Налетова, В.А. Турков. Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3. с. 12-20.

48. Книжнерман, Л.А. Численный метод решения уравнения Пуассона с повышенным порядком точности текст. / Л.А. Книжнерман,

49. B.А. Кронрод, В.З. Соколинский — изд-во МГПИ, «Вычислит, матем. и прогр.», 1978, вып. 7, с. 12-14.

50. Книжнерман, Л.А. Теоретико-числовой метод решения некоторых задач для уравнений в частных производных текст. / Л.А. Книжнерман. МГПИ, ВИНИТИ, 1990, № 712-80, 24 с.

51. Коннор, Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости текст. / Дж. Коннор, К. Бреббия, Л.: Судостроение, 1979, 264 с.

52. Косиченко, М.Ю. Математическое моделирование плоскомеридианного квазистационарного магнитного поля модифицированным методом конечных и граничных элементов текст. / М.Ю. Косиченко, Ю.В. Юфанова. Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2002, с. 38-42.

53. Кронрод, В.А. Некоторые численные эксперименты по решению уравнения Пуассона быстро сходящимся экономичным методом текст. / В.А. Кронрод МГПИ, «Вычислит, матем. и прогр.», 1978, вып. 6, с. 130-135.

54. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ. для ВУЗов в 10 т. Т VIII. Электродинамика сплошных сред текст. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц 4-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 656 с.

55. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ. для ВУЗов 5-е изд. стереот текст.: в 10 т. т.6. Гидродинамика. / Л.Д. Ландау, Е.М Лившиц. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 736 с.

56. Лисейкин, В.Д. Об интерактивном комплексе программ построениядвумерных структурных сеток текст. / В. Д. Лисейкин, Ю.И. Молородов, Г.С. Хакимзянов // Вычислительные технологии, 2000. — Т.5, №1, с. 70-84.

57. Лисейкин, В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток текст. / В.Д. Лисейкин. ЖВМиМФ, 1996, т.36, №1, с. 3-41.

58. Лисейкин, В.Д. Технология конструирования трехмерных сеток для задач аэрогазодинамики текст. / В.Д. Лисейкин. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделир. физ. процессов, 1991, вып.З, с. 31-45.

59. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е изд. текст. / Л.Г. Лойцянский-М.: Дрофа, 2003, 840 с.

60. Мажукин, В.Н. Метод динамической адаптации нестационарных задач с большими градиентами текст. / В.Н. Мажукин, A.A. Самарский, О. Кастельянос, A.B. Шапранов. Математическое моделирование, 1993, т.5, №4, с. 32-56.

61. Марсден, Дж. Е. Математические основы механики жидкости текст. /V

62. Дж.Е. Марсден, А. Чорин, — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004, 204 с.

63. Мартыненко, С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках текст. / С.И. Мартыненко. — Вычислительные методы и программирование, 2000, т.1, с.83-102.

64. Марчук, Г.И. Повышение точности решений разностных схем текст./ Г.И. Марчук, В.В Шайдуров М.: Наука, 1979.

65. Мейз, Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с англ. текст. / Дж. Мейз М.: Мир, 1974. - 320 с.

66. Михалев, Ю.О. Исследование и разработка магнитожидкостных датчиков текст. / Ю.О. Михалев, И.Е. Сабуров Вестник машиностроения, 2002, №4.

67. Михалев, Ю.О. Классификация и анализ магнитожидкостных уплотнений текст. / Ю.О. Михалев — Механизация и автоматизация производства, 1990, №4, с. 21-25.

68. Михалев, Ю.О. Магнитожидкостные смазочные материалы в подшипниках качения текст. / Ю.О. Михалев, В.Ю. Егоров, А.М.Земляков, А.Б.Потапов — Механизация и автоматизация производства, 1990, №4, с. 35-36.

69. Михалев, Ю.О. Методы исследований и испытаний магнитожидкостных электромеханических устройств текст. / Ю.О. Михалев Иваново: ИГЭУ, 2001, 124 с.

70. Михалев, Ю.О. Некоторые свойства магнитных жидкостей и применение их для герметизации подвижных сопряжений машин текст. / Ю.О. Михалев, А.П. Сизов, Н.И. Дюповкин Трение и износ, 1987, т.8, №4, с. 697-703.

71. Михалев, Ю.О. Торцевое магнитожидкостное уплотнение текст. / Ю.О. Михалев, М.С. Сайкин, С.Г. Лысенков Авт. свид. СССР №1780377, Б.И., 1992, №45.

72. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов текст. / С.Г. Михлин М.: Наука, 1977, 432 с.

73. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ текст. / Д. Норри, Ж. де Фриз М.: Мир, 1981, 304 с.

74. Орлов, Д.В. К расчету магнитной системы феррожидкостного уплотнения текст. / Д.В. Орлов, А.К. Калинкин, Ю.О. МихалевI

75. Электромеханика, 1981, №9, с. 1020-1023.

76. Орлов, Д.В. Магнитные жидкости в машиностроении текст. / Д.В. Орлов, Ю.О. Михалёв, А.П. Сизов М.: Машиностроение, 1993, с. 166-242.

77. Орлов, Д.В. Магнитные жидкости в машиностроении текст. / Д.В.Орлов, Ю.О.Михалев, Н.К.Мышкин М.: Машиностроение, 1993, 272 с.

78. Орлов, Д.В. Расчёт поля и статического удерживаемого давления магнитной опоры текст. / Д.В. Орлов, Ю.И. Страдомский — Иваново: ИЭИ, Вопросы теории и расчёта электрических аппаратов, 1975, с. 35-45.

79. Патанкар, С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости текст. / С.В. Патанкар. — М.: Энергоатомиздат, 1984, 152 с.

80. Подгорков, В.В. Исследование смазочных свойств ферромагнитных жидкостей текст. / В.В. Подгорков, Д.В. Орлов, A.A. Кутин -Иваново: Физико-химическая механика процесса трения.ИГУ, 1979, с. 75-78.

81. Потапенко, А.Н. Элементы доказательства метода инверсии внешней бесконечной области текст. / А.Н. Потапенко, М.И. Дыльков, А.И. Штифанов Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2003, №6, с. 186-189.

82. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: введение текст. / Ф. Препарата, М. Шеймос, М.: Мир, 1989, 450 с.

83. Радионов, В.А. Амортизатор текст. / В. А. Радионов, А.Н. Виноградов, В.Ф. Белый, A.B. Казакуца, В.И. Гавриш Авт. свид. СССР №112738, Откр. Изобрет. Пром. образцы. Товар, знаки. -1984, № 44, с. 42.

84. Розенцвейг, P.E. Феррогидродинамика: Пер. с англ. текст. / Под ред.

85. В.В. Гогосова М.: Мир, 1989, 344 с.

86. Розенцвейг, Р. Феррогидродинамика: пер. с англ. текст. / Р. Розенцвейг. М.: Мир, 1989, 324 с.

87. Рокотов, Ю.В. Использование реляционных баз данных для построения сетки конечных элементов текст. / Ю.В. Рокотов, «Обозрение прикладной и промышленной математики» Москва 2009, т. 16, №5, научные доклады часть III, с. 920-921.

88. Рокотов, Ю.В. Расчет векторного магнитного потенциала для задач магнитной левитации текст. /Ю.В. Рокотов, «Обозрение прикладной и промышленной математики», Москва, 2010, т. 17, №1, научные доклады часть III, с. 134-135.

89. Рокотов, Ю.В. Программный комплекс для численного решения задачи магнитной левитации текст. / Ю.В. Рокотов,

90. B.И. Дроздова, Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы и инновации в экономике, технике, образовании, праве, информационных технологиях», Выпуск 6, том I — Ставрополь: Изд-во СевКавГТИ, 2011, с. 153-156.

91. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с. англ. текст. / П. Роуч-М.: Мир, 1980, 616 с.

92. Румянцев, A.B. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности: Учебное пособие /Калинигр, ун-т. Калиниград, 1995, 170 с.

93. Рябенький, B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред текст. / B.C. Рябенький М.: Наука, 1987, 320 с.

94. Рязанов, М.А. Разностные схемы для двумерных задач МГД текст. /

95. C.Ф. Крылов, В.Ф. Тишкин, К.В. Вязников. Математическое моделирование, 1992, т.4, № 10, с. 47-61.

96. Самарский, A.A. Некторые современные методы решения сеточныхуравнений текст. / A.A. Самарский, И.Е. Капорин, А.Б. Кучеров, Е.С. Николаев Изв. ВУЗов, 1983, № 7(254), с. 3-12.

97. Самарский, A.A. Разностные методы для решения эллиптических уравнений текст. / A.A. Самарский, В.Б. Андреев М.: Наука, 1976.

98. Самарский, A.A. Уравнения математической физики текст. / A.A. Самарский, А.Н. Тихонов 4-е изд. - М.: Наука, 1972, 736 с.

99. Сафронов, И.Л. Нелокальные искусственные граничные условия для задач трехмерного стационарного обтекания текст. / И.Л. Сафронов. — Математическое моделирование, т. 10, № 9, 1998, с. 64-86.

100. Седов, Л.И. Механика сплошной среды текст. / Л. И. Седов, М.: Наука, 1973, Т.1, 528 с.

101. Скворцов, A.B. Триангуляция Делоне и ее применение текст. / A.B. Скворцов. Томск: ТГУ, 2002, 128 с.

102. Соколинский, В.З. О численном решении трёхмерного нелинейного уравнения Пуассона текст. / В.З. Соколинский. Сиб. энерг. ин-т, «Численные методы анализа», 1980, с. 89-93.

103. Соловейчик, Ю.Г. Решение краевых задач в составных областях: Учеб. пособие текст. / Ю.Г. Соловейчик, Э.П. Шурина -Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1986.

104. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ текст. / Г. Стренг, Дж. Фикс -М.: Мир, 1977, 352 с.

105. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ текст. / Р. Темам. -М.: Мир, 1981, 408 с.

106. Томпсон, Дж.Ф. Методы расчета сеток в вычислительной аэродинамике текст. / Дж.Ф. Томпсон. — Аэрокосмическая техника, 1985, т.З, №8, с. 141-171.

107. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры текст. / Д.К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева, -М.: Физматгиз, 1963.

108. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей текст. /

109. К. Флетчер M.: Мир, т.2, 1991,552 с.

110. Чжен, П. Отрывные течения. Том 2. текст. /П. Чжен, -М.: Мир, 1973, 280 с.

111. Avramchu, A.Z. Hermetic in let of rotary movement with magnetic liquid tightening текст. / A.Z. Avramchuk, A.K. Kalinkin, Y.O. Mikhalev, D.V. Orlov Instrum. exper. techniq, 1975, vol.18, № 3, p. 900-901.

112. Berg, M. Computational Geometry. Algorithms and Applications. Second, Revised Edition текст. / M. Berg, M. Van Kreveld. Berlin: SpringerVerlag, 2000, 367 p. :

113. Bossavit, A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementary, Edge Elements, текст. / A. Bossavit—Academic Press, 1997.

114. Dendy, Jr. J. E. Black box multigrid for systems текст. / Jr. J. E. Dendy. -Application Mathimatical Computation, 1986, № 19, p. 57-74.

115. Eisemann, P.R. A multi-surface method of coordinate generation текст. / P.R. Eisemann J. Of Сотр. Phys., vol.33, N1, 1979, p. 118-150.

116. Eisemann, P.R. Coordinate generation with precise controls over mesh properties текст. / P.R. Eisemann, J. of Сотр. Phys., vol.47, N3, 1982, p. 331-351.

117. Eriksson, L.E. Generation of boundary-conforming grids around wing-body configurations using transfinite interpolation текст. / L.E. Eriksson, AIAAJ., vol.20, N10, p. 1313-1320.

118. Ferm, L. Open boundary condition for external flow problems текст. / L. Ferm. J. Сотр. Phys., 1990, v.91, p. 55-70.

119. Itzik, Ben-Gan. Inside Microsoft SQL Server 2008: T-SQL Querying текст. / Itzik Ben-Gan, Lubor Kollar, Dejan Sarka, Steve Kass, -Microsoft Press, 2009, 832 p.

120. Ivanenko, N.N. On the development in Russia of the research in the field grid generation and its applications. In Numerical Grid Generation in Computational Fluid Simulations, текст. / N.N. Ivanenko, A.F. Sidorov. -Mississippi, 1996, p. 1111-1120.

121. Kaiser, R. Study of ferromagnetic liquid / R. Kaiser, R.E. Rosenszveig -SFSTJ. Rep. NASA CR- 1407, Washington, D.C., 1969, p. 91.f

122. Khawaja, A. Hybrid grids for viscous flows around complex 3-D geometries including multiply bodies текст. / A. Khawaja, H. McMorris, Y. Kallinderis 12th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, San-Diego, 1995, p.424-441.

123. Koshizuka, S. A particle method for incompressible viscous flow with fluid fragmentation текст. / S. Koshizuka, H. Tamako, Y. Oka // Computational Fluid Dynamics Journal. 1995, vol. 4, №1, p. 29-46.

124. Lasserre, B. An analytical expression and an algorithm for the volume of a convex polyhedron текст. / В. Lasserre // Journal of Optimization Theory and Applications. 1983, vol. 39, № 3. - p. 363-377.

125. Liu, G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method текст. / G.R. Liu, -London: CRC Press, 2003 693 p.

126. Manteuffel, T. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems текст. / Т. Manteuffel // Mathematics of Computation. — 1980, vol. 34, p. 473-497.

127. Mavriphis, DJ. Algebraic turbulence modeling for unstructured and adaptive meshes, текст. / D.J. Mavriphis. AIAA J., 1991, v.29, № 12, p. 2086-2093.

128. Miyata, H. Int. J. Numeric Meth. Fluids текст. / H. Miyata, Y. Yamada, 1992, v.14, № 11, p.1261-1287.

129. Nakamura, S. Marching grid generation using parabolic partial differential equations текст. / S. Nakamura Numerical Grid Generation in Computational Fluid Dynamics, by J.F.Thompson. New York, North-Holland, 1982, p.775-786.

130. Noak, R.W. A three-dimensional hybrid grid generation technique текст. / R.W. Noak, J.P. Steinbrenner 12th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, San-Diego, 1995, p.413-423.

131. Rosenszveig, R. E. Fluidization / Science, 1979, V. 204,6 April, p. 57-60.

132. Rosenszveig, R.E. Material separation using ferromagnetic liquid techniques текст. / Patent USA №3700595, 1969.

133. Rosenszveig, R.E. Magnetized drive fluids / R.E. Rosenszveig, M. Zahn -Patent USA № 4579173, Int. kl.F21 В43/ 22, 1975.

134. Rubbert, P.E. Patched coordinate systems текст. / P.E. Rubbert, K.D. Lee Numerical Grid Generation ed. by J.F.Thompson. New York, North-Holland, 1982, p. 235-252.

135. Ryskin, G. Orthogonal mapping текст. / G. Ryskin, L.G. Leal. J. of Comp. Phys., vol.50, N1, 1983, p. 71-100.

136. Shwarz, W. Elliptic grid generation system for three-dimensional configurations using Poisson's equation текст. / W. Shwarz Numerical Grid Generation in Computational Fluid Dynamics, ed. by J. Hauser and C. Taylor, Swansea, 1986, p. 341-352.

137. Smith, R.E. Algebraic Grid Generation. Numerical Grid Generation текст. / R.E. Smith ed. by J.F.Thompson. New York, North-Holland, 1982, p.137-170.1. JvW

138. Sorenson, R.E. Elliptic generation of composite three-dimensional grids about realistic aircraft текст. / R.E. Sorenson Numerical Grid Generation in Computational Fluid Dynamics, ed. by J. Hauser and C. Taylor, Swansea, 1986, p. 353-371.

139. Steger, J.L. On application of body conforming curvilinear grids for finite difference solution of external flows текст. / J.L. Steger в сб. Numerical Grid Generation, ed. by J.F.Thompson New York, North-Holland, 1982, p. 295-316.

140. Thompson, J.F. Elliptic grid generation Numerical Grid Generation текст. / J.F. Thompson. - New York, North-Holland, 1982, p.79-106.

141. Tsynkov, S.V. Numerical solutionof problems on unbounded domains, текст. / S.V. Tsynkov Application Numeric Mathematics, 1997.

142. Venkatakrishnan, V. Agglomeration multigrid for 3D Euler equations, текст. / V. Venkatakrishnan, D.J. Mavriplis. AIAA J., 1995, v. 33, № 4, p. 633-640.'

143. Webb, J.P. Edge Elements and What They can do for You текст. / J.P. Webb In: IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 29, № 2, March 1993, p. 1460-1465.