автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Расчет температурных полей при течении флюида в скважинах на основе асимптотических разложений

кандидата физико-математических наук
Ахметова, Оксана Валентиновна
город
Стерлитамак
год
2005
специальность ВАК РФ
05.13.18
Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Расчет температурных полей при течении флюида в скважинах на основе асимптотических разложений»

Автореферат диссертации по теме "Расчет температурных полей при течении флюида в скважинах на основе асимптотических разложений"

На правах рукописи

Ахметова Оксана Валентиновна

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ ФЛЮИДА В СКВАЖИНАХ НА ОСНОВЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Стерлитамакской государственной педагогической академии и в лаборатории физики и астрофизики Стерлитамакского филиала АН РБ

Научные руководители: доктор технических наук, профессор

Филиппов Александр Иванович, кандидат физ.-мат. наук, доцент Михайлов Павел Никонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.О. Иванов

кандидат физико-математических наук, доцент Е.М. Девяткин

Ведущая организация: Башкирский Государственный

Университет

Защита состоится «29» декабря 2005 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан «28» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

В.Н. Кризский

гоов-4

2146484

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача о температурных полях при движении жидкости по трубам возникает в многочисленных технических приложениях. Это важно для расчета температурных режимов теплопроводов в ядерных реакторах, трубопроводов, по которым осуществляется перекачка парафинистой нефти или газа. Оптимизация температурного режима нефтепровода - основная задача трубопроводного транспорта, поскольку выпадение парафина или образование газовых гидратов приводит к уменьшению производительности нефтегазопровода. Эта проблема возникает при движении жидкости и газа в скважине; применительно к скважинам эта задача называется основной в теории термокаротажа, поскольку широко используется в геофизике.

К настоящему времени удовлетворительно разработана теория позволяющая, рассчитывать средние по сечению трубы значения температуры. Первым эту задачу решал А.Ю. Намиот, в последующем теория температурных полей в скважинах развита Э.Б.Чекалкжом. Следует отметить большое количество работ, выполненных в Казанском университете в этом направлении под руководством профессора М-А.Пудовкина, где подготовлено значительное количество кандидатских (Э.Х.Галин, В.Д.Чугунов и др.) и докторская (А.Н.Саламатин) диссертации.

Однако для большинства практических приложений информации о средней по сечению температуре недостаточно. Таким образом, возникает задача о детальном распределении температуры по скважине при течении в ней жидкости или газа, которая до настоящего времени не решена. Основная трудность при этом заключается в необходимости учета реального профиля скорости, который существенно различается для ламинарного и турбулентного течений. Решение такой задачи имело бы как научное, так и практическое значение.

Научной предпосылкой настоящей работы явилась эффективная модификация асимптотического метода, ориентированная на задачи сква-жинной термодинамики (А.И. Филиппов). Она использована ГЛ. Хусаи-новой, Е.М. Девяткиным, О.И. Коркешко, М.Р. Минлибаевым, Г.Ф. Ефимовой, Н.П. Миколайчуком П.Н. Михайловым, для создания теории температурных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты, фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости, термического воздействия на пласт на основе фильтрационно-волновых процессов.

Все вышесказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы исследования.

Целью диссертационной работы является создание методов расчетов температурных полей в скважине, обеспечивающих построение радиальных зависимостей, и окружающей среде при ламинарном и турбулентном течении флюида на основе асимптотических разложений. Основные задачи исследования:

- развитие теории теплообмена потока в скважинах с учетом ламинарного и турбулентного профиля скорости;

- представление исходной задачи сопряжения в виде последовательности краевых задач для коэффициентов асимптотического разложения;

- аналитическое решение задачи в нулевом и первом приближениях;

- сопоставление полученных решений с результатами других исследователей;

- проведение расчетов пространственно-временных распределений температуры и изучение вклада различных физических процессов.

Научная новизна. Впервые с помощью асимптотических методов получено решение задачи о температурном поле в скважине, по которой движется жидкость, и окружающем массиве в нулевом и первом приближениях. Применение асимптотического метода к этой задаче потребовало развития самого асимптотического метода. В частности, построено дополнительное интегральное условие для первого приближения. Учет первого коэффициента разложения позволил построить новые аналитические зависимости температуры от расстояния до оси скважины для произвольного профиля скорости флюидов.

Практическая значимость. Построенные решения позволили усовершенствовать методику расчетов тепловых полей при движении жидкости в скважине, обеспечить расчет радиальных распределений температуры для ламинарного, турбулентного потоков и произвольного распределения скорости потока по радиусу. Это открывает перспективы создания новых способов исследования скважин и оптимизации условий теплоотдачи в реальных трубопроводах. Решение основной задачи термокаротажа представляет научную основу для интерпретации данных промысловой геофизики.

Достоверность основных результатов диссертационной работы обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических законов. Из общих решений, полученных в диссертационной работе, следуют частные,

которые сопоставлены с результатами других исследователей. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительное согласие.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель температурного поля в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом среды с учетом реального профиля скорости потока флюида, построенная с использованием модификации асимптотического метода. Процедура «расцепления» соответствующей цепочки уравнений, на основе которой осуществлена постановка задач в нулевом и первом приближениях. Физическое обоснование дополнительного интегрального условия для первого и более высоких приближений, заключающееся в том, что среднее значение температуры в интервале 0 < г < 1 равно нулю. Решения задач для нулевого и первого коэффициента разложения в асимптотическом представлении, приведенных к смешанной краевой задаче для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.

2. Расчетные формулы для температурного поля в скважине, учитывающие произвольное радиальное распределение скорости в потоке жидкости в стволе скважины, которые в нулевом приближении обеспечивают получение средних по сечению значений температуры, а в первом приближении - зависимости температуры в скважине от расстояния до ее оси, как для случая постоянных градиентов, так и для более общего случая, в котором градиенты определяются на основе решения соответствующих краевых задач.

3. Результаты расчетов пространствненно-временных распределений температуры осуществленных для случаев ламинарного, турбулентного потоков и выровненного профиля скорости, на основе которых осуществлена оценка величин температурных аномалий, обусловленных радиальными отклонениями термометров при движении вдоль ствола скважины. На основе анализа расчетных кривых установлено, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции по математическому моделированию (г. Херсон 2003 г.); Международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак 2003 г.); Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак 2004 г.); IV

Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике; научном семинаре кафедры математического анализа СГПИ (научный руководители - д. ф.- м. н., проф. К.Б. Сабитов, и д. ф,- м. н., проф. И.А. Калиев); объединенном научном семинаре кафедр геофизики и прикладной физики БашГУ (научные руководители - д. т. н., проф. P.A. Валиуллин, д. т. н., проф. JI.A. Ковалева); научном семинаре кафедры математической физики "УрГУ им. A.M. Горького (научный руководитель - д. ф.-м. н., проф. А.О. Иванов); научном семинаре кафедры теоретической физики СГПИ (научный руководитель -д. т. н., проф. А.И. Филиппов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах, список которых приведен в конце автореферата. В работах [1] - [10] постановка задачи принадлежит профессору Филиппову А.И. В остальном вклад авторов равнозначный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 93 наименования, и приложения. Работа содержит 24 рисунков и изложена на 125 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи, обоснованы научная новизна и практическая ценность, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава начинается с описания условий и геометрии задачи. Представлен обзор основных физических эффектов, имеющих место при движении флюида в скважине. Задача о температурном поле в стволе скважины осложнена разнообразием практических условий. На практике распространены случаи, когда из скважины одновременно поступают нефть, газ и вода, распределения скорости по радиусу в этом случае весьма сложны. В восходящем потоке наблюдается процесс выделения газа из нефти, который является фазовым переходом первого рода и сопровождается поглощением тепла, наряду с этим происходят диссипа-тивные процессы превращения механической энергии в тепло за счет внутреннего трения, а также адиабатический эффект. Если жидкость (вода, нефть) и можно считать практически несжимаемой, то пренебречь расширением восходящего потока газа нельзя.

Поток флюида в стволе скважины приводит к нагреву (или охлаждению, в зависимости от знака разности температур) окружающих пород, поэтому необходим учет вклада температурных полей в окружающих породах на температуру в скважине. В отсутствие потока в стволе скважины распределение температуры в ней стремится к геотермическому. Геотермическое распределение температуры - кусочно-линейная функция, претерпевающая изломы на границах соприкосновения пластов. Указанное распределение остается неизменным в удаленных от скважины участках пласта га—поскольку радиус теплового влияния скважины, как в процессе бурения, так и эксплуатации ограничен. Учет реального геотермического распределения в задачах теории теплообмена потока жидкостей сильно усложняет решение задачи. Поэтому все известные модели построены с учетом среднего градиента, когда температура удаленных участков заменяется эффективным линейным распределением с наклоном к оси глубин, соответствующих среднему градиенту

где гл - размерная цилиндрическая координата вдоль вертикальной оси скважины.

Задача о температурном поле в трубе имеет осевую симметрию, поэтому выбрана цилиндрическая система координат. В задаче предполагается, что окружающая среда однородная и анизотропная, температура 61 отдаленных участков пород изменяется по линейному закону с глубиной; рассматривается область глубин, куда не проникают сезонные колебания температуры на поверхности и т.д.

На искомое решение накладыва-

нат ориентирована таким образом, что ось 2й направлена по оси трубы. Труба окружена анизотропным массивом с теплопроводностями Хг1 и "к~\ в соответствии с направлениями осей. Поле скоростей жидкости в трубе

^¡/¿-»•ю -е.»-IX,,

0)

Рис. 1. Геометрия задачи

ется также условие симметрии, заключающееся в том, что производная по радиальной координате на оси цилиндрической системы координат, направленной вверх, в центре скважины обращается в нуль. На рис. 1. представлена геометрия задачи о температурном поле жидкости, текущей в трубе радиуса г<у

Цилиндрическая система коорди-

задано вектором V = (ОД у). Жидкость, вследствие своего движения также приобретаетфиктивные анизотропные свойства, связанные с проявлением турбулентности (Хг и \ - соответствующие осям теплопроводности жидкости). Обозначим 6) - температурное поле массива, 9 - жидкости в трубе соответственно.

Выражение для плотности источников

Ял = < го)у(0 < <И6) (2)

включает слагаемое х\ср2£у, определяющее адиабатический эффект в

восходящем потоке и слагаемое 8ср5(т)у(д'<1 < го)у(0 < Ил), которое описывает температурное поле, обусловленное искусственно создаваемой температурной меткой.

Постановка задачи в предположении осевой симметрии включает уравнение теплопроводности в окружающем трубу массиве

»«1 д ( ае,

дт дг1л ГЛ дгл у дгл уравнение конвективной теплопроводности флюида с источниками в трубе

- сру0Л(/-)-— + , гл < г0 , т > 0 . (4) дгл

ии\ . и VI . 1 и с\>, „

= + — ка^11- ^ > 'Ъ' X >0, (3)

эе . д2в . 1 5 ( ае ^

с р-= А,-+ --Л-

На фанице труб и окружающего массива заданы условия равенства температур

еи„=0.ио (5)

и тепловых потоков

(6)

Начальные условия соответствуют естественной невозмущенной температуре Земли, возрастающей по линейному закону с глубиной

г=о =е11 т=о = ео 1 - . (7)

которая совпадает с температурой в удаленных от трубы точках окружающего массива

е^-ко^-г*«,. (8)

В точке гл= 0 температура потока изменяется по заданному закону

ек«о=М')- (9)

На основе соотношений

r=rjrü,z = zjD, t = V(<Vo )> v = r0 /D ' X = cP/ciPi >

e0 = TD, 71 = (e, - e01 + rzd )/0o, T = (e - e0) + rzd )/e0,

задача (3) - (9) приведена к безразмерному виду

(Ю)

дГ, 2 527] 1 д ( 37] I ^ = -ГТ+--ГК-Г" • (")

(12)

г' &2 'г Эг V дг

— = v2xAh —у + ———f г- Pev/?(r)i— -1 + н! + Q(r,t, z), dt 1 dz2 еЛгдг{ дг) y\dz J v '

. (13)

fl'-^fl'- <14> 4-o=7lU = °. <15)

7i|r ^»=0, (16)

rU = 8lo(0-9o,+rzd=7b(/)i (i?)

öo

где Pe= v0r0/alf - параметр Пекле, Q{z,t,r) = rlqfcp%aXr, H = ^pgro/V0o •

Отдельно рассмотрены также частные случаи задачи (11) - (17): случай постоянных градиентов 3775z = -Г и выровненного профиля скорости R(r)=\, случай постоянных градиентов dTldz = -Г и произвольного профиля скорости R(r) и основная задача термокаротажа, в которой в отличие от рассматриваемой задачи профиль скорости предполагается выровненным R(r) = 1. Необходимость рассмотрения указанных частных случаев обусловлена особенностями применяемого асимптотического метода, котрый отличается в каждой из представленных задач.

В задаче (11)-(17) введен формально параметр асимптотического разложения е. При е =1 задача совпадает с исходной. Задача (11) - (17) содержит также малый параметр v = r0 D ~ 10"4, так как радиус скважины г0~ 0,1 м много меньше ее длины D ~ 103 м. Это позволяет пренебречь слагаемыми, содержащими множитель порядка v2, что существенно упрощает рассматриваемую задачу.

Решения задач отыскиваются в виде асимптотических рядов по параметру е. Процедуру отыскания коэффициентов асимптотического раз-

ложения можно повторять до получения требуемого количества слагаемых. Однако чаще всего приходится ограничиваться нулевым и первым слагаемым в асимптотическом разложении. При этом точное решение можно представить в виде

Т" = Т{й)и +еГ(,)и +0", Т" = Т{0)и +©" . (18)

Формально полагая е = 0 в уравнении, получающемся после подстановки (18) в (12), имеем д\)-дТ^ дг^дг = 0, откуда следует выражение для радиального градиента температуры в нулевом приближении дТ'дг -С г . В силу требования ограниченности решения при

г = 0 следует С = 0, то есть в нулевом приближении температура не зависит от радиальной координаты г и является функцией только координаты г и времени V. 7-«» = 7% г). Коэффициент при е в первой степени в том

же уравнении, где для простоты дополнительно пренебрегается источниками £)(г,1,г)= 0, содержит нулевой и первый коэффициент разложения

- --+ РеуЯ(г1--1 + Н =

дг ) д! к \ дг ) (19)

= Ах(1,г)+ Я{г)Аг{1, г), где А и А2(Ц) не зависят от г.

Воспользовавшись условием сопряжения (14), получим зависимость, позволяющую после интегрирования (19) перейти от коэффициента разложения первого порядка к коэффициенту нулевого порядка

аг0)и, = л4нг=, (20)

К г дг

дг 4 ) дг

Восстановив и Л2(&) из (19), найдем уравнение для нулевого коэффициента разложения, содержащее коэффициенты разложения только нулевого порядка

аг(о) дт(0)

= 2% г |г=1 ~2

ы дг

аг(0) ^

Реу—--1 + Н

дг

Л,(1), г<\, ?>0, 2>0. (21)

Итак, реализованная выше последовательность преобразований позволила «расцепить» исходное уравнение (19), содержащее коэффициенты нулевого и первого порядка 7<0) и Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также следующие уравнения, граничные условия и условия сопряжения:

дТ,

(о)

dt

]_д_ г дг

дТ

(о)\

дг

ЗТ<0) ( дТ{0) л

—— + 2 Pev —--1 + Н

dt

oz - J 9r

7J(0>|

= 0, r>\ ,t>0, z>0,

r<l, i>0, г > 0,

(22)

(23)

(24)

(25)

(26) (27)

I Г-»СО ^ 5

T^U^oi')-

Решение этой задачи в пространстве изображений Лапласа - Карсо-на построено в разделе 1 главы III диссертации.

Для первого коэффициента разложения путем двойного интегрирования (19) получено следующее выражение:

r0) = А irl А] (2J)+ Ai (Zi t)R2 (r )) + (z, r). (28)

Д4 )

Коэффициенты A ¡(t, z) и A2(t,z) определяются с помощью нулевого приближения а ¡¡¡(t, z) из решения некоторой более общей задачи. Однако радиальные зависимости температуры в скважине не зависят от этого коэффициента, поскольку чаще всего важна разница температуры между стенкой скважины и точкой расположения термометра. Задача для определения первого коэффициента разложения 7*1' получается с помощью некоторой более сложной, нежели для нулевого приближения, процедуры расцепления

■ +2PevÄ2(l)— +---;--— +-ММОУ^МЬгг +

dt

X 8 dt1

+ А [щ(\)+ 2 Л, (г)- Pevfe(l)-,2Ä,(l))} _

2 x ot dz

а дг(0} „ дт}1) ----= 2x-

(29)

дг

r=1 ■

г < 1, 1 > 0, 2 > 0. Математическая постановка задачи для первых коэффициентов разложения включает также уравнение для окружающей среды ятОП

дТ, (30)

этЯ

dt

1_д_ г дг

dr

= 0, г >1, / >0, z>0,

условие на границе

7-(,)и=Л=>> (31)

условия в начальный момент времени можно определить либо для средних значений температуры, либо для ее значений в заданных точках

(^и^и =0, =0, (32)

условие на бесконечности

(33)

граничное условие

=0,^1^.^=0. (34)

Выше введены обозначения

(35)

Ä23(r)=J(r')3/?(r'Vr', R,{r)=\r'R1{r')dr'. о 0

Решение задачи (29) - (34) представлено в главе III в разделе 2.

В основной задаче термокаротажа дополнительное интегральное условие определено путем сопоставления осредненной исходной задачи и задачи для первого коэффициента разложения. Соответствующие задачи совпадают с точностью до обозначений. Из единственности решения соответствующих задач следует, что нулевой коэффициент разложения определяет средние значения температуры по сечению скважины {Т) = т'^, а средние от более высоких коэффициентов разложения должны обращаться в ноль (т^)|2=0 = 0, / =1,2,.... Это условие должно выполняться при любом г, однако это возможно только за счет построения соответствующих погранслойных рядов Поскольку задача построения погранслойных рядов не рассматривалась в диссертации, то это условие ослаблено и требуется его выполнение только в точке z = 0. Все изложенное выше составляет содержание главы I, которая завершается выводами.

Во второй главе построены асимптотические решения задач для случая постоянных градиентов 5773z = -Г как для выровненного так и для произвольного профилей скорости, решения соответствующих задач получены на основе интегрального преобразования Лапласа - Карсона. В пространстве изображений решения задачи для нулевого коэффициента разложения имеет вид

,(0)а = 2Реу(1-Н)/?1(1)+А"0^)

' (О)"

г< 1,

РеуО-НКО+е.Ч!./')

г > 1

(36)

(37)

" коШ)[ р+2%к4р

Заметим, что для выровненного профиля скорости /?1(1)= 1/2. Для первых же коэффициентов выражения для выровненного и произвольного профилей скорости существенно различаются. Ниже приведены формулы для первого коэффициента разложения в случае выровненного профиля скорости

-0)а ¡2г2-1 X*

2(7^ + 2x41'

ку^Т{0)и, г < 1,

(38)

•0)"

К,

Щ

К,

ш

2гг -1

X*

2{у[^ + 2Хк)

г> 1.

(39)

Из анализа полученных выражений следует, что для определения радиальной зависимости температуры в скважине необходимо определение первого коэффициента разложения. Из (38) легко найти выражение для стационарного распределения температуры в скважине г(0=Ре4-Н)(1_^г<1

(40)

Найдено решение задачи для остаточного члена для частного случая выровненной скорости в предположении постоянных вертикальных градиентов температуры. Анализ решения позволяет заключить, что как остаточный член, так и его отношение к предыдущему слагаемому стремятся к нулю при стремлении параметра преобразования р к нулю, что соответствует бесконечному увеличению времени. Показано, что модуль

.3/2.

имеет

порядок

остаточного члена ряда |©| = |Г - (Г(0)" + еГ(1)" )| = р)Тти.

Разработанная модификация асимптотического метода позволяет успешно строить приближенные и точные решения задач математической физики, содержащих условия сопряжения. Она открывает перспективы построения решений новых задач для нелинейных уравнений и уравнений содержащих переменные коэффициенты.

На основании полученных выражений построены и другие расчетные формулы в пространстве оригиналов для температурного поля в скважине и окружающих породах, с помощью которых осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей. На рис. 2 приведено сопоставление графических зависимостей температуры от времени в нулевом приближении для больших времен (сплошные кривые) и для малых (пунктирные кривые). Из рисунка можно сделать вывод, что приближение малых времен справедливо для безразмерных времен меньших единицы (К 1). И наоборот, приближение больших времен справедливо для г > 1.

0.10 -

0.05 -

Рис. 2. Зависимость безразмерной температуры от безразмерного времени. Пунктирные кривые соответствуют приближению малых времен, сплошные - больших времен. Для случая малых времен: / - вода (%= 0.6); 2 -нефть (1.3); 3 — метан (10). Для больших времен: 4 - вода (х= 0.6); 5 - нефть (1.3); б - метан (Ю)

0 12/

На рис. 3 сопоставлены радиальные зависимости температуры в скважине для случая выровненного профиля скорости при движении по ней воды (кривая /), нефти (кривая 2) и метана (кривая 3) для безразмерного времени 1. Сопоставление теоретических и экспериментальных радиальных распределений температуры в скважине (рис.4) показывает их хорошее согласие.

Г10' I—--Т.К

0.4

0.2

чС-2

\\

«> 1 Л

0 0.5

Рис. 3. Радиальные профили безразмерной температуры при / = 1: 1 -Х = 0.6; 2 -1.3; 3-10

0 0.044 г, м

Рис. 4. Сопоставление теоретических кривых с экспериментом: 1 - экспериментальная кривая, 2, 3 - расчетные зависимости в потоке нефти и воды соответственно

В третьей главе построены решения задач, учитывающих изменения теплообмена восходящего потока с глубиной, в которых не постулируется постоянство вертикальных градиентов температуры в зоне течения жидкости. Найдены выражения для нулевого и первого регулярных асимптотических коэффициентов разложения для основной задачи термокаротажа, в которой профиль скоростей предполагается выровненным, и наиболее общей задачи с произвольным радиальным аксиально -симметричным распределением поля скорости. Методом преобразования Лапласа - Карсона построены аналитические решения задач. Решение наиболее общей задачи для нулевого коэффициента разложения при отсутствии источников в пространстве изображений имеет вид

№ 1-е-«*), г< 1, г>0,

1 Цй

адО г

О-ни

2а,/г,(1 )У

Г> 1, 2 > 0 ,

(41)

(42)

где

а, = (р + 2Хл/м)/(2Я1(г)Реу).

(43)

Как следует из (41), (42) полученные решения описывают зависимости температуры от вертикальной координаты. Это создает возможность исследования температурных полей вдоль ствола скважины.

Для первых коэффициентов разложения ввиду громоздкости приведем решения только для случая основной задачи термокаротажа

о

-а(гЧ)

ХМ2 т(оV Реу(1-Н

(44)

+ }е о

= 4Г0(рН+

КоЦр) I 4

\рк2 т(0)и Реу(1 - Н)+-/ркО" {р,^)

(45)

Найдены приближенные выражения полученных решений в пространстве оригиналов, которые позволили построить как радиальные, так и вертикальные распределения температуры в зависимости от времени.

Наиболее интересным с практической точки зрения представляется исследование динамики температурных меток вдоль ствола скважины. При построении графиков использовано значение координаты переднего фронта нагретой жидкости Я/= /г + Рег0/- На рис. 5, 6 изображены графики расчета динамики температурной метки. По оси ординат отложены относительные значения температуры, т.е отношение значения температуры в точке измерения к величине метки в начальный момент времени, по оси абсцисс - значения безразмерной координаты вдоль оси трубопровода г!^, где Н/ - расстояние до фронта восходящего потока жидкости. На рис. 5 расчет осуществлен для воды при следующих значениях параметров: гй-0Л м, Н= 1 м. Ре= 1000. Кривые, приведенные на рисунке, соответствуют следующим значениям переднего фронта разогретой жидкости Н/. 1 - 1.3 м;2 -2 м; 3 -4 м; 4- 10 м; 5-21 м; 6-61 м.

Из расчетов, проведенных на рис. 5, следует, что с помощью метки толщиной 1 м в указанных условиях может быть обследован прямой участок обсадной колонны с радиусом 0.1 м и длиной 61 м. Сопоставление рис. 5, 6 позволяет оценить вклад параметра Пекле, который соответствует скорости движения жидкости в трубе. С увеличением параметра Пекле наблюдается смещение метки к переднему фронту и уменьшается ее амплитуда.

Рис. 5. Зависимость относительной температуры метки от безразмерного расстояния при различных временах: 1 -/=0.003; 2-0.01; 3- 0.03; 4 - 0.09; 5 - 0.2; 6 - 0.6; другие расчетные параметры /-0=0.1 м,#=1 м, Ре=1000

0 Т

0.5

2/Н,

0.5

Рис. 6. Зависимость относительной температуры метки от безразмерного расстояния при различных временах: 1 -Ю.003; 2 - 0.01; 3 - 0.03; 4 - 0 09; 5 - 0.2; 6 - 0.6; другие расчетные параметры го=0.1 м, №= 1 м, Ре=3000

0

0.5

Щ

Итак, полученные результаты свидетельствуют о возможности использования температурных меток для исследования обсадных колонн, что представляет особую ценность для нефтяных скважин.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В работе осуществлена постановка задачи о температурном поле в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом среды с учетом реального профиля скорости потока флюида. С использованием параметра асимптотического разложения искомая задача представлена в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Для основной задачи термокаротажа найдено и физически обосновано дополнительное интегральное условие для первого и более высоких приближений, заключающееся в том, что среднее значение температуры в интервале 0 < г < 1 равно нулю. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка задач в нулевом и первом приближениях. Осуществлена постановка задачи в частном случае постоянных градиентов температуры. Показано, что первоначальная краевая задача, содержащая уравнения параболического типа приводит в асимптотическом представлении к смешанной краевой задаче для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.

Решена задача о температурном поле в стволе действующей скважины для случая постоянного градиента в нулевом и первом асимптотическом приближении. Рассмотрены случаи выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты. Показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости. Установлено, что нулевое приближение описывает зависимость средней температуры от времени, в то время как первое приближение описывает радиальные зависимости температуры. Это означает, что нулевое и первое приближения позволяют осуществлять детальные расчеты температуры в скважинах. Поскольку нулевое приближение описывает средние значения температуры, то оно применимо и для больших, и для малых времен. Заметим, что построенные решения для произвольного профиля скорости при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Отсюда следует, что в

этом случае возникает задача построения решений с использованием по-гранслойных рядов.

Получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена восходящего потока с глубиной для случая выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотических приближениях. Как и в случае постоянных градиентов, показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости при любых значениях вертикальной координаты.

На основе полученных решений построены формулы для расчетов температурных полей для случая, когда мгновенный источник тепла на некотором заданном интервале глубин создает температурную метку прямоугольной формы в движущемся потоке. С помощью полученных зависимостей осуществлены расчеты и построены графики пространственно-временных зависимостей температурных полей, возникающих при движении меток такого вида. Это позволило оценить возможности использования температурных меток для исследования технического состояния скважин. В частности показано, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Температурное поле в действующей скважине // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VII, №1(17). С. 135 - 144.

2. Ахметова О. В. , Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Исследование радиальных распределений температуры в скважине // Современные физико-математические проблемы в педагогических вузах: Материалы IV Уральской региональной научно-практической конференции. - Уфа: Изд-во БГПУ, 2003. С. 106-108.

3. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Основная задача теории термокаротажа // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2003 г., г.Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б.Сабитов. - Уфа: Гилем, 2003. Т.З. С. 193 - 206.

4. Ахметова О. В., Михайлов П. Н, Филиппов А. И. Моделирование температурного поля в потоке жидкости в скважине и прилегающих пластах // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб.науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. С.149-152.

5. Ахметова О.В., Филиппов А.К, Михайлов П.К, Филиппов КА. Асимптотическое решение задачи о температурном поле в скважине // Интеграция вузовской науки и производства как важнейшее условие повышения качества подготовки специалистов: Материалы Российской научно-практической конференции - Уфа: Гилем, 2004. С. 67 - 77.

6. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Филиппов КА. Поля температуры в скважине с учетом радиального профиля скорости // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник. Часть 2. Уфа: РИО Баш ГУ, 2004. С. 101 - 119.

7. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н Математическое моделирование температурного поля в скважине с учетом радиального профиля скорости // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-17: Сб. трудов XVII Междун. Научн. Конф.: В 10 т. Т. 1. Секция 1 / Под ред. B.C. Балакирева. - Кострома: Изд-во Костромского гос. тех-нол. ун-та, 2004. С. 84 - 94.

8. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Приближенное аналитическое решение задачи о температурном поле в скважине // Матем. вестник Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвуз. Сб. научно-методич. работ. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. С. 100-109.

9. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Использование температурных меток для контроля технического состояния трубопроводов // Матем. вестник Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвуз. сб. научно-методич. работ. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. С. 82 — 88.

10. Ахметова О.В. Исследование теплообмена в установках химической технологии // IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Тезисы докладов. Уфа: РИО БашГУ, 2004. С. 28-29.

11. Ахметова О.В,.Филиппов А.К, Михайлов П.Н. Температурное поле, инициированное потоком жидкости в действующей скважине // Математические методы в теории и технологиях. ММТТ-18. Сборник трудов XVIII Международ, научн. конф. В 10 т. Т. 1. / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Казань: Изд-во Казанского гос. технол. ун-та, 2005. С. 160-165.

»24632

РНБ Русский фонд

2006-4 26592

Подписано в печать.....

Гарнитура «Тайме». Бумага ксероксная. Формат бОхвОу^. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1,3 Заказ №. ./О^ГТираж 100 экз

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Ахметова, Оксана Валентиновна

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ В ЖИДКОСТИ, ТЕКУЩЕЙ ПО ТРУБЕ, ОКРУЖЕННОЙ СПЛОШНЫМ МАССИВОМ СРЕДЫ И РАЗЛОЖЕНИЕ ПО АСИМПТОТИЧЕСКОМУ ПАРАМЕТРУ.

1.1 .Постановка проблемы и математическая постановка задачи.

1.1.1. Описание задачи.

1.1.2. Математическая постановка задачи

1.2.Асимптотическое разложение задачи.

1.2.1. Постановка задачи в нулевом приближении.

1.2.2. Краевая задача для первых коэффициентов разложения.

1.3.Основная задача теории термокаротажа.

1.3.1. Постановка задачи для частного случая выровненной скорости в нулевом приближении.

1.3.2. Первый коэффициент разложения для выровненного профиля скоростей.

1.3.3. Вывод дополнительного интегрального условия для первого приближения.

1.4.Постановка задачи в нулевом приближении для частного случая постоянных градиентов.

1.4.1. Постановка задачи в нулевом приближении.

1.4.2. Краевая задача для первых коэффициентов разложения.

1.4.3. Нулевое приближение для частного случая постоянных градиентов и выровненного профиля скоростей.

1.4.4. Постановка задачи в нулевом приближении.

1.4.5. Математическая постановка задачи для первых коэффициентов разложения.

1.5.Выводы.

ГЛАВА II. ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В АСИМТОТИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ДЛЯ МАЛОДЕБИТНЫХ СКВАЖИН.

3.1.Решение задачи для выровненного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры.

2.1.1. Построение решения в нулевом приближении.

2.1.2. Построение решения для первого коэффициента разложения.

2.1.3. Задача для остаточного члена.

2.1.4. Переход к оригиналам.

2.2.Решение задачи для произвольного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры.

2.2.1. Решение задачи для произвольного реального аксиально -симметричного профиля скорости в нулевом приближении.

2.2.2. Построение решения для первого коэффициента разложения.

2.2.3. Переход к оригиналам.

2.3.Анализ результатов расчетов.

2.4.Вывод ы.

ГЛАВА III. ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В АСИМТОТИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ

3.1 .Аналитическое решение основной задачи термокаротажа.

3.1.1. Решение задачи в нулевом приближении.

3.1.2. Построение решения для первого коэффициента разложения.

3.1.3. Получение решений в пространстве оригиналов.

3.1.4. Применение полученных решений для расчетов динамики температурных меток в стволе скважины.

3.2. Решение общей задачи.

3.2.1. Аналитическое решение общей задачи в нулевом приближении.

3.2.2 Решение задачи в первом приближении.

3.3. Решение задачи в пространстве оригиналов.

3.4. Анализ результатов расчетов.

3.5. Выводы.

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Ахметова, Оксана Валентиновна

Актуальность проблемы. Задача о температурных полях при движении жидкости по трубам возникает в многочисленных технических приложениях. Это важно для расчета температурных режимов теплопроводов в ядерных реакторах, трубопроводов, по которым осуществляется перекачка парафинистой нефти или газа. Оптимизация температурного режима нефтепровода - основная задача трубопроводного транспорта, поскольку выпадение парафина или образование газовых гидратов приводит к уменьшению производительности нефтегазопровода. Эта проблема возникает при движении жидкости и газа в скважине; применительно к скважинам эта задача называется основной в теории термокаротажа, поскольку широко используется в геофизике.

Число примеров можно значительно увеличить, и все они свидетельствуют об актуальности темы исследования.

К настоящему времени удовлетворительно разработана теория позволяющая, рассчитывать средние по сечению трубы значения температуры [46, 48, 53, 55, 80, 81]. Первым эту задачу решал А.Ю.Намиот [46], в последующем она развита Э.Б.Чекалюком [77]. Следует отметить большое количество работ, выполненных в Казанском университете в этом направлении под руководством профессора М.А.Пудовкина, где подготовлены кандидатские (Э.Х.Галин, В.Д.Чугунов и др.) и докторские (А.Н.Саламатин) диссертации [55].

Однако для большинства практических приложений информация о средней по сечению температуры недостаточна. Таким образом, возникает задача о детальном распределении температуры по скважине при течении в ней жидкости или газа, которая до настоящего времени не решена. Основная трудность при этом заключается в необходимости учета реального профиля скорости, который существенно различается для ламинарного и турбулентного течений. Решение такой задачи имело бы как научное, так и практическое значение.

Научной предпосылкой настоящей работы явилась эффективная модификация асимптотического метода, ориентированная на задачи скважинной термодинамики (А.И. Филиппов). Она использована О.И. Коркешко, Е.М. Девяткиным, М.Р. Минлибаевым, Г.Я. Хусаиновой, П.Н. Михайловым, Г.Ф. Ефимовой, Н.П. Миколайчуком для создания теории температурных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты, фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости, движении жидкости по скважине, термического воздействия на пласт на основе фильтрационно - волновых процессов. Эти исследования обеспечивают перспективы развития теории баротермического эффекта в газовых пластах. Изучение температурных полей при фильтрации газа сквозь пористые пласты сопряжено со значительными трудностями, основными из которых являются нелинейность задач, связанная с необходимостью учета зависимости плотности газа от давления на основе уравнений состояния реального газа, возможность фазовых переходов в пласте, многофазность и теплообмен пласта с окружающей средой.

Все вышесказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы исследования.

Целью диссертационной работы является создание методов расчетов температурных полей в скважине, обеспечивающих построение радиальных зависимостей, и окружающей среде при ламинарном и турбулентном течении флюида на основе асимптотических разложений. Основные задачи исследования

- развитие теории теплообмена потока в скважинах с учетом ламинарного и турбулентного профиля скорости;

- представление исходной задачи сопряжения в виде последовательности краевых задач для коэффициентов асимптотического разложения;

- аналитическое решение задачи в нулевом и первом приближениях;

- сопоставление полученных решений с результатами других исследователей;

- проведение расчетов пространственно-временных распределений температуры и изучение вклада различных физических процессов. Научная новизна. Впервые с помощью асимптотических методов получено решение задачи о температурном поле в скважине, по которой движется жидкость, и окружающем массиве в нулевом и первом приближениях. Применение асимптотического метода к этой задаче потребовало развития самого асимптотического метода. В частности, построено дополнительное интегральное условие для первого приближения. Учет первого коэффициента разложения позволил построить новые аналитические зависимости температуры от расстояния до оси скважины для произвольного профиля скорости флюидов.

Достоверность основных результатов диссертационной работы обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических законов. Из более общих решений, полученных в диссертационной работе, следуют частные, которые сопоставлены с результатами других исследователей. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительное согласие.

Практическая значимость. Построенные новые решения позволили усовершенствовать методику расчетов тепловых полей при движении жидкости в скважине, обеспечить расчет радиальных распределений температуры для ламинарного, турбулентного потоков и произвольного распределения скорости потока по радиусу, что обеспечивает возможность создания новых способов исследования скважин и оптимизацию условий теплоотдачи в реальных трубопроводах. Решение основной задачи термокаротажа представляет научную основу для интерпретации данных промысловой геофизики.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Математическая модель температурного поля в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом среды с учетом реального профиля скорости потока флюида, построенная с использованием модификации асимптотического метода. Процедура «расцепления» соответствующей цепочки уравнений, на основе которой осуществлена постановка задач в нулевом и первом приближениях. Физическое обоснование дополнительного интегрального условия для первого и более высоких приближений, заключающееся в том, что среднее значение температуры в интервале 0 < г < 1 равно нулю. Решения задач для нулевого и первого коэффициента разложения в асимптотическом представлении, приведенных к смешанной краевой задаче для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.

2. Расчетные формулы для температурного поля в скважине, учитывающие произвольное распределение скорости в потоке жидкости в стволе скважины, которые в нулевом приближении обеспечивают получение средних по сечению значений температуры, а в первом приближении - реальные зависимости температуры в скважине от расстояния до ее оси как для случая постоянных вертикальных градиентов температуры так и для более общего случая, в котором вертикальные градиенты определяются на основе решения соответствующих краевых задач. Заметим, что полученные решения для произвольного профиля скорости при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Отсюда следует, что в этом случае возникает задача построения решений с использованием погранслой-ных рядов.

3. Результаты расчетов пространствненно-временных распределений температуры осуществленных для случаев ламинарного, турбулентного потоков и выровненного профиля скорости, на основе которых осуществлена оценка величин температурных аномалий, обусловленных радиальными отклонениями термометров при движении вдоль ствола скважины. На основе анализа расчетных кривых установлено, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.

Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Во введении обоснована актуальность работы, поставлены задачи исследования и приводятся краткие сведения по работе.

В первой главе приведен краткий обзор литературы, сформулирована физическая и математическая постановка задачи о температурном поле в жидкости, текущей в трубе, окруженной сплошным массивом. Осуществлено «расцепление» системы уравнений для нулевого и первого коэффициентов асимптотического разложения, найдено дополнительное интегральное условие для первого и более высоких коэффициентов асимптотического разложения основной задачи термокаротажа. Рассмотрены случаи выровненного и произвольного профиля скорости и постоянных градиентов, основная задача термокаротажа и аналогичная задача с произвольным профилем скорости потока жидкости в скважине. Во всех этих случаях для нулевых и первых коэффициентов разложения сформулированы в асимптотическом представлении смешанные краевые задачи для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.

Во второй главе получены аналитические решения задачи в асимптотическом приближении и найдены приближенные решения задачи о температурном поле жидкости в малодебитных скважинах, осуществлены расчеты для пространственно-временных распределений температуры для случаев ламинарного и турбулентного потоков, а также выровненного профиля скорости; приведен анализ результатов.

В третьей главе получены аналитические решения задачи для нулевого и первого асимптотических коэффициентов разложения в пространстве изображений и найдены приближенные решения задачи о температурном поле жидкости в скважинах, осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей температуры и приведен анализ результатов. В отличие от предыдущей главы здесь не постулируется постоянство вертикальных температурных градиентов.

В заключении подводятся итоги проведенного исследования.

В процессе выполнения работы широко использованы асимптотические методы, методы интегральных преобразований Лапласа - Карсона. Численные расчеты тепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD. Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на

- Международной научной конференции по математическому моделированию (г. Херсон 2003 г.);

- Международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак 2003 г.);

- Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак 2004 г.);

- IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике;

- научном семинаре кафедры математического анализа СГПИ (научный руководители - д. ф.- м. н., проф. К.Б. Сабитов, и д. ф.- м. н., проф. И.А. Калиев);

- объединенном научном семинаре кафедр геофизики и прикладной физики БашГУ (научные руководители - д. т. н., проф. Р.А. Валиуллин, д. т. н., проф. Л.А. Ковалева);

- научном семинаре кафедры математической физики УрГУ им. A.M. Горького (научный руководитель - д. ф.-м. н., проф. А.О. Иванов);

- научном семинаре кафедры теоретической физики СГПИ (научный руководитель - д. т. н., проф. А.И. Филиппов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах:

1. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Температурное поле в действующей скважине // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VII, №1(17). с. 135-144.

2. Ахметова О.В. , Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Исследование радиальных распределений температуры в скважине // Современные физико-математические проблемы в педагогических вузах: Материалы IV Уральской региональной научно-практической конференции. - Уфа: Изд-во БГПУ, 2003. С. 106- 108.

3. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Основная задача теории термокаротажа // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2003 г., г.Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б.Сабитов. - Уфа: Гилем, 2003. Т.З. С. 193-206.

4. Ахметова О.В., Михайлов П.Н., Филиппов А.И. Моделирование температурного поля в потоке жидкости в скважине и прилегающих пластах // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб.науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. С. 149152.

5. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Филиппов К.А. Асимптотическое решение задачи о температурном поле в скважине // Интеграция вузовской науки и производства как важнейшее условие повышения качества подготовки специалистов: Материалы Российской научно-практической конференции - Уфа: Гилем, 2004. С. 67 - 77.

6. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Филиппов К.А. Поля температуры в скважине с учетом радиального профиля скорости // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник. Часть 2. Уфа: РИО Баш ГУ, 2004. С. 101-119.

7. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Математическое моделирование температурного поля в скважине с учетом радиального профиля скорости // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-17: Сб. трудов XVII Междун. Научн. Конф.: В 10 т. Т. 1. Секция 1 / Под ред. B.C. Балакирева. - Кострома: Изд-во Костромского гос. технол. ун-та, 2004. С. 84-94.

8. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Приближенное аналитическое решение задачи о температурном поле в скважине // Матем. вестник Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвуз. Сб. научно-методич. работ. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. С. 100 -109.

9. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Использование температурных меток для контроля технического состояния трубопроводов // Матем. вестник Волго-Вятского региона. Выпуск 6: Периодический межвуз. сб. на-учно-методич. работ. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. С. 82 - 88.

10.Ахметова О.В. Исследование теплообмена в установках химической технологии // IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Тезисы докладов. Уфа: РИО БашГУ, 2004. С. 28- 29.

11.Ахметова О.В,.Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Температурное поле, инициированное потоком жидкости в действующей скважине // Математические методы в теории и технологиях. ММТТ-18. Сборник трудов XVIII Международ. научн. конф. В 10 т. Т. 1. / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Казань: Изд-во Казанского гос. технол. ун-та, 2005. С. 160-165.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ а\ - коэффициент температуропроводности окружающей среды, м2/с; с, С] - удельная теплоемкость флюида и окружающей среды соответственно, Дж/(К-кг);

D - длина трубопровода, м;

Hf- координата переднего фронта разогретой жидкости, м; hd, h - размерная и безразмерная толщина температурной метки, м;

L - теплота фазового перехода, Дж/кг;

Р - давление на заданной глубине, Па;

Ре - параметр Пекле;

Q(z, t) - безразмерная функция источников; qA — плотность источников тепла, Вт/м ; rd, zdj и г, z - размерные и безразмерные цилиндрические координаты соответственно, м; г о - радиус трубы, м; Т- безразмерная температура флюида; Тх - безразмерная температура среды;

Т - относительная величина температур в зоне теплового действия метки; Ts - стационарное распределение радиальных профилей температуры; v0 - средняя скорость жидкости в трубе, м/с; V/ - скорость жидкой фазы, м/с; а - коэффициент растворимости;

Г - геотермический градиент, К/м; е - параметр асимптотического разложения; Н - относительный вклад адиабатического эффекта; г| - адиабатический коэффициент К/Па; © - остаточный член;

0, 0i -температура флюида и окружающей среды соответственно, К; 001 - естественная невозмущенная температура, К; Ою - константа, используемая для обезразмеривания, К; 9 - величина температурной метки, К;

X, >ч - коэффициент теплопроводности потока и окружающей среды, Вт/(м-К); v - безразмерная величина, характеризующая размеры трубопровода; р, pi - плотность флюида и окружающей среды, кг/м3;

Р/ - плотность несущей жидкой фазы, кг/м ; ps - плотность растворенного газа, кг/м ; т, t — размерное и безразмерное время, с; - безразмерная величина, характеризующая свойства флюида. Индексы: d - размерный (dimension); г, z - направления. Функции: 5(т) - дельта-функция Дирака, j - дельта-символ Кронекера, Ф - единичная функция Хевисайда,

Заключение диссертация на тему "Расчет температурных полей при течении флюида в скважинах на основе асимптотических разложений"

3.5. Выводы

В данной главе получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена восходящего потока с глубиной, для случая, выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотическом приближении. Как и в случае постоянных градиентов, показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости при любых значениях вертикальной координаты.

Для основной задачи термокаротажа найдено дополнительное интегральное условие, позволившее однозначно определить первое и более высокие приближения. Оно заключается в равенстве нулю средних значений температуры по сечению скважины.

Как и в случае постоянных градиентов, нулевое приближение описывает зависимость средней температуры от времени, в то время как первое приближение описывает радиальные профили температуры. Это означает, что нулевое и первое приближения позволяют осуществлять детальные расчеты температуры в скважинах. Поскольку нулевое приближение описывает средние значения температуры, то оно применимо и для больших, и для малых времен при любых значениях вертикальной координаты.

Аналогично предыдущей главе установлено, что построенные решения для произвольного профиля скорости при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Отсюда следует, что и в этом случае возникает задача построения решений с использованием погранслойных рядов.

На основе полученных решений построены формулы для расчетов температурных полей для случая, когда мгновенный источник тепла на некотором заданном интервале глубин создает температурную метку прямоугольной формы в движущемся потоке. С помощью полученных зависимостей осуществлены расчеты и построены графики пространственно-временных зависимостей температурных полей, возникающих при движении меток такого вида. Это позволило оценить возможности использования температурных меток для исследования технического состояния скважин. В частности показано, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе осуществлена постановка задачи о температурном поле в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом среды с учетом реального профиля скорости потока флюида. С использованием параметра асимптотического разложения искомая задача представлена в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Для основной задачи термокаротажа найдено и физически обосновано дополнительное интегральное условие для первого и более высоких приближений, заключающееся в том, что среднее значение температуры в интервале О < г < 1 равно нулю. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка задач в нулевом и первом приближениях. Осуществлена постановка задачи в частном случае постоянных градиентов температуры. Показано, что первоначальная краевая задача, содержащая уравнения параболического типа приводит в асимптотическом представлении к смешанной краевой задаче для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей и параболического типа.

В диссертационной работе получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины для случая постоянного градиента в нулевом и первом асимптотическом приближении. Рассмотрены случаи выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты. Показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости. Установлено, что нулевое приближение описывает зависимость средней температуры от времени, в то время как первое приближение описывает радиальные профили температуры. Оценка остаточного члена показывает, что нулевое и первое приближения достаточны для детального расчета температуры в скважинах. Поскольку нулевое приближение описывает средние значения температуры, то оно применимо и для больших и для малых времен.

Заметим, что построенные решения для произвольного профиля скорости при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Отсюда следует, что в этом случае возникает задача построения решений с использованием погранслойных рядов.

Получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена восходящего потока с глубиной для случая выровненного и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотических приближениях. Как и в случае постоянных градиентов, показано, что в нулевом приближении решение для случая произвольного профиля скорости в частном случае совпадает с решением для выровненного профиля скорости при любых значениях вертикальной координаты.

На основе полученных решений построены формулы для расчетов температурных полей для случая, когда мгновенный источник тепла на некотором заданном интервале глубин создает температурную метку прямоугольной формы в движущемся потоке. С помощью полученных зависимостей осуществлены расчеты и построены графики пространственно-временных зависимостей температурных полей, возникающих при движении меток такого вида. Это позволило оценить возможности использования температурных меток для исследования технического состояния скважин. В частности показано, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.

Библиография Ахметова, Оксана Валентиновна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. А.с. 1160013 СССР, МКИ4 Е 21 В 47/00. Способ исследования технического состояния скважин / Р.А. Валиуллин, А.Ш. Рамазанов, А.С. Буевич, И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов и др. (СССР). №3507233/22-03. Заявл. 03.11.82; Опубл. 07.06.85. Бюл. № 21.6 е.: ил.

2. А.с. 121411 СССР, МКИЗ Е 21 В 47/00. Способ исследования работающих интервалов в скважине / А.И. Филиппов, А.Ф. Шакиров, А.И. Парфенов, Р.Р. Ягафаров (СССР). № 3586938/22-03. Заявлено 27.04.83; Опубл. 15.02.86. Бюл. № 6.3 е.: ил.

3. А.с. 1328502 СССР. МКИ4 Е 21 В 47/10. Способ выявления интервалов заколонного движения жидкости в скважине / А.И. Филиппов, В.Ю. Сорокань, В.Я. Федотов (СССР). № 3993020/22-03. Заявл. 20.12.85; Опубл. 07.08.87. Бюл. № 29.4 с.

4. А.с. 1359435 (СССР). Способ исследования нагнетательных скважин / В.Ф. Назаров, А.И. Филиппов и др. (СССР). №3898622/22-03. Заявл. 22.05.85; Опубл. 15.12.87. Бюл. № 46.5 с.

5. А.с. 1364706 (СССР) Способ термометрических исследований скважин / Р.А. Валиуллин, А.Ш. Рамазанов, А.И. Филиппов, Р.Т. Булгаков и А.М. Ершов (СССР). № 4045171/22-03; Заявл. 28.03.86; Опубл. 07.01.88. Бюл. № 1,4 с.

6. А.с. 1364706 СССР, МКИ4 Е 21 В 47/10. Способ термометрических исследований скважин / Р.А. Валиуллин, А.И. Филиппов и др. (СССР) №4045171/22-03. Заявл. 28.03.86; Опубл. 23.07.88. Бюл. № 1.4 с.

7. А.с. 1408061 СССР. МКИ4 Е 21 В 47/06. Способ термическою зондирования проницаемых пластов / И.М. Довгополкж, И.А. Фахретдинов, А.И.Филиппов (СССР). № 4111501/22-03. Заявл. 01.09.86; Опубл. 02.07.88. Бюл. № 25.4 с.

8. А.с. 1411446 СССР. МКИ4 Е 21 В 47/06. Способ термометрии переходных процессов в скважинах / А.И. Филиппов, В.М. Сапельников, В .Я. Федотов, Ю.И. Маслов (СССР). № 4125652/22-03.Заявл. 26.09.86; Опубл. 23.07.88. Бюл. № 27.3 с.

9. А.с. 643630 СССР. МКИ2 Е 21 В 47/06. Способ определения распределения давление в работающем пласте / А.И. Филиппов и А.С. Буевич (СССР). № 2358129/22-03. Заявл. 28.04.76; Опубликовано 25.01.79. Бюл. № 21.2 с.

10. А.с. 665082 СССР, МКИ2 Е 21 В 47/10. Способ определения затрубнош движения жидкости / А.И. Филиппов, А.Ш. Рамазанов (СССР). № 2564990/22-03. Заявл. 05.01.78. Опубл. 30.05.79. Бюл. №. 2 с.

11. А.с. 777557 СССР. МКИ4 01 15/07. Способ определения коэффициента Джоуля-Томсона флюидов / А.Ш. Рамазанов и А.И. Филиппов (СССР). № 2699181/13-25. Заявл. 11.12.78; Опубл. 07.11.80. Бюл. № 41.2 с.

12. А.с. 781330 СССР, МКИ4 Е 21 В 47/06. Способ определения поля давленая вблизи эксплуатационной скважины / А.И. Филиппов (СССР) №2788187/22-03. Заявл. 24.10.78; Опубл. 23.11.80. Бюл. № 43.3 с.

13. А.с. 796399 СССР. МКИЗ Е 21 В 47/10. Способ оценки характера насыщенности пласта / И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов, А.С. Буевич, А.Ш. Рамазанов, Л.Л. Панков (СССР). № 273871/22-03. Заявл. 11.03.79; Опубл. 15.01.81. Бюл. № 2.4 с.

14. А.с. 953196 СССР. МКИЗ Е 21 В 47/06. Способ исследования нефтяных скважин / А.С. Буевич, А.И. Филиппов, Р.А. Валиуллин (СССР). № 2853730/22-03. Заявл. 17.12.79; Опубл. 23.08.82. Бюл. №21.6 с.

15. А.с. 987082 СССР, МКИЗ Е 21 В 47/00. Способ выявления работающих интервалов пласта / А.И. Филиппов и Р.Ф. Шарафутдинов (СССР). №3227885/22-03. Заявл. 29.12.80; Опубл. 07.01.83. Бюл. № 1.3 с.

16. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.211с.

17. Баскаков А. П., Гуревич М. И., Решетин Н. И. и др. Общая теплотехника. М.-Л.: Государственное энергетическое издательство, 1963. - 392 с.

18. Буевич А.С., Филиппов А.И. К явлениям переноса при колебаниях в двухкомпонентной среде // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. XLVIII № 2. с. 224 230 с.

19. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974.232 с.

20. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей// М., Наука. 1972.

21. Вахитов Г.Г., Гатенберг Ю.П., Лутков В.А. Геотермические методы контроля за разработкой нефтяных месторождений. М., 1984.240 с.

22. Вахитов Г.Г., Кузнецов О.Л., Симкин Э.М. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта. М.: Недра, 1978.216 с.

23. Волков И.К. О некоторых формулах для расчета температурных полей в нефтяных пластах // Труды МВТУ. М.: 1977. Т. 256. С. 56 57.

24. Гаврина Т.Е., Поляченко А.Л. Теоретическое решение задачи восстановления температурного поля в скважине / Всесоюзн. научно-исслед. ин-т ядерной геофизики и геохимии. Москва, 1984.10 с.

25. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. М.: Наука, 1978.128 с.

26. Гусейн-Заде М.А., Колосовская А.К. Особенности дроссельной температуры в пористой среде // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1967 № 2. С. 73 78.

27. Дворкин И.Л., Филиппов А.И., Коханчиков В.М., Труфанов В.В. Особенности термометрии при исследовании обводнения перфорированных •интервалов в процессе эксплуатации // Нефтяное хозяйство. 1976. № 8. С. 42 44.

28. Дворкин И.Л., Филиппов А.И., Ладыжинский Б.Я. О влиянии среды, заполняющей скважину, на результаты измерений теплового поля Земли // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1979. № 8. С. 100 -104.

29. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965.466 с.

30. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1966.406 с.

31. Дьяконов Д.М., Яковлев Б. А. Определение и использование тепловых свойств горных пород и пластовых жидкостей нефтяных месторождений. М.: Недра, 1969. 116 с.

32. Зайцев В.М. Дроссельное температурное поле трещиноватого пласта при движении несжимаемой жидкости // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1973. С. 59 64.

33. Зельдович Я. Б. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973.351 с.

34. Зельдович Я.Б. Точное решение задачи диффузии в периодическом поле скорости и турбулентная диффузия // ДАН ССОР.19822. Т. 266, № 4. С. 821 826.

35. Золотарев П.П., Николаевский В.Н. Термодинамический анализ нестационарных процессов в насыщенных жидкостью и газом деформируемых пористых средах // Теория и практика добычи нефти: Сб. науч. тр. / ВНИИ. 1966. Т. I. № 10. С. 102 — 104.

36. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел// М: Наука. 1964.487с.

37. Кейс В. М. Конвективный тепло- и массообмен. М.: Энергия, 1972.

38. Краснов M.JI. Интегральные уравнения: Учебное пособие доя студентов втузов. М.: Наука, 1975.304 с.

39. Кузнецов Д.С. Специальные функции М.: Высшая школа, 1965.420 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 5. Статическая физика: Учебное пособие для студентов университетов. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1964. 568 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика: Учебное пособие для студентов университетов. 3-е изд., перераб. М.: Наука, 1986.736 с.

42. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений М.: Наука, 1981. 400 с.

43. Мехтиев Ш.Ф., Мирзаджанзаде А.Х., Алиев С.А. Геотермические исследования нефтяных и газовых месторождений. М.: Недра, 1971.216 е.: ил.

44. Намиот А. Ю. Изменение температуры по стволу эксплуатирующихся скважин // Нефтяное хозяйство. 1955. № 5. С. 45 48.

45. Непримеров Н.Н., Пудовкин М.А., Марков А.И. Особенности теплового поля нефтяного месторождения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1968.164 с.

46. Николаевский В. Н. Капиллярная модель диффузии в пористых средах. Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш., вып. 4,1959.

47. Николаевский В. Н. Конвективная диффузия в пористых средах // ПММ. 1959. Т. 23, №6. С. 1042-1050.

48. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.336 с.

49. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

50. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: 1960. 320 е.: ил.

51. Просежов Ю.М. Теплопередача в скважинах. М.: Недра, 1975.224 с.

52. Пудовкин М.А., Волков И. К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978.188 с.

53. Пудовкин М.А., Саламатин А.Н., Чугунов В.А. Температурные процессы в действующих скважинах. Казань, 1977.166 с.

54. Рамазанов А.Ш., Филиппов А.И. Температурные поля при нестационарной фильтрации жидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. № 4. С. 175 -178.

55. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. М.: Недра, 1971.276 с.

56. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах // Вычислительные методы и программирование: Сб.научн. тр. / МГУ. М.: Изд-во МГУ. 1967. Т. 8. С. 22 36.

57. Требин Г.Ф., Чарыгин Н.В., Обухова Т.М. Нефти месторождений Советского Союза. М.: Недра, 1980.583 с.

58. Ферми Э. Термодинамика / Под ред. М.И. Каганова. Харьков: Харьковский госуниверситет, 1969.139 с.

59. Филиппов А. И. Скважинная термометрия переходных процессов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989.116с.

60. Филиппов А. И., Фридман А. А., Девяткин Е. М. Баротермический эффект при фильтрации газированной жидкости: Монография. Стерлитамак: Стерлитамак. гос.пед. ин-т; Стерлитамакский филиал Академии наук Республики Башкортостан, 2000. 175с.

61. Филиппов А.И. Изв. ВУЗов. Сер. Нефть и газ. 1986. № 12. С. 60 65.

62. Филиппов А.И. К теории теплообмена потока жидкости в скважине при компрессорном испытании, освоении и опробовании // Изв. ВУЗов Сер. Нефть и газ. 1986. №12. С. 60 65.

63. Филиппов А.И., Валиуллин Р.А., Бровин Б.З. Некоторые особенности температурных полей при опробовании скважины компрессором // Геофизические исследования Нефтяных скважин Западной Сибири. Уфа. 1983. Вып. 13. С. 129137.

64. Филиппов А.И., Закусило Г.А., Осипов А.М. Применение термометрии для определения интервалов заколонной циркуляции в условиях опробования скважин // Нефтяное хозяйство. 1984. №З.С.17-21.

65. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Использование температурных меток для контроля технического состояния трубопроводов. Там же. С. 82 - 88.

66. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Температурное поле в действующей скважине // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VTI, №1(17), С. 135-144.

67. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В., Филиппов К.А. Поля температуры в скважине с учетом радиального профиля скорости // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник. Часть 2. Уфа: РИО Баш ГУ, 2004, - С. 101-119.

68. Хизбуллин Ф.Ф., Буевич А.С., Валиуллин Р.А., Гарипов А.Н. Экспериментальные исследования некоторых термодинамических процессов для жидкостей // Физико-химическая гидродинамика. 1980. С. 168 -174.

69. Цирфас X., Ван дер Влит Г. Лабораторные исследования теплопроводности осадочных пород // Промысловая геофизика. М.: Недра, 1960. № 2. С. 78 95.

70. Чарный И. А. Метод последовательной смены стационарных состояний и его приложение к задачам нестационарной фильтрации жидкостей и газов // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. № 3. С. 323 342.

71. Чарный И. А. Подземная гидродинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963.396 с.

72. Чекалюк Э.Б. Основы пьезометрии залежей нефти и газа. Киев: ГИТЛ УССР, 1965. 286 е.: ил.

73. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра. 1965,238 с.

74. Череменский Г. А. Геотермия. Л.: Недра, 1972.271 с.

75. Череменский Г.А. Прикладная геотермия. Л.: Недра, 1977.224 с.

76. Шарафутдинов Р.Ф., Филиппов А.И. Тепловое поле эффекта Джоуля Томсона в условиях охлаждения пластов // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1983. № 6. С. 59 -64.

77. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Недра, 1959.457 с.

78. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М.: Наука, 1971.940с.

79. Grosswig S., Hurtig Е., Kuhn К. and Rudolph F. Distributed Fiber-optic Temperature Sensing Technique (DTS) for Surveying Underground Gas Storage Facilities // Oil Gas European Magazine. 2001.4. P. 1-4.

80. Hugh D. Murphy. J. Petrol. Technol. 1982. V.34. № 6.1313 -1326 Pp.

81. Lauwerier H.A. The transport of heat in an oil layer cansed by injection of hot fluid. // Appl. Sci. Res., Martinus Nijhol Publisher, The Hague (1955). V. 5. Section A. Nu. 2,3. p. 145 -150.

82. Sage B.H., Lacey W.N. Thermodinamic properties of mixtures of crude oil and natural gas. Ind a Eng.Giiern. 1976, Feb.

83. Shimamura H. Precision quarts themometers for borehole observations // Journal Phys. of the Earth, 1980. T. 28. Nu. 3. p. 243 260.

84. Smith RC., Steffensen RJ. Interpretation of temperature profiles in water-injection wells // Journal of Petroleum Technology. -1975. June. - p.777 - 784. - Ref.: p.784.

85. Steffensen RJ., Smith RG. The importance of Joule Thomson Heating (or Cooling) in temperature log interpretation. Paper SPE 4636 presented at the SPE 48-th Annual Meeting. Las Vegas. Sept. Oct. 1973.