автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Программный комплекс, методы моделирования и прогнозирования многокомпонентных моделей динамических рядов с использованием функции Рамсея

рукописи

00347Г4^О

ПАВЛОВ ВЛАДИМИР ДМИТРИЕВИЧ

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС, МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ РАМСЕЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

? 4 СЕН 2009

Самара 2009

003477425

Работа выполнена на кафедре математических методов в экономике государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева»

Научный руководитель: доктор технических наук,

доктор экономических наук, профессор, Семенычев Валерий Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Жданов Александр Иванович

кандидат технических наук, доцент Бахарева Надежда Федоровна

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Самарский государственный технический университет" (г.Самара)

Защита состоится «16» октября 2009 года в 12-00 на заседании диссертационного совета Д 212.215.05 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева.

Автореферат разослан « I сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного ^л __

совета д.т.н., профессор А. А. Калентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В исследованиях технических, биологических, социальных и экономических процессов широкое распространение получили процессы с логистическим характером динамики тренда анализируемых показателей: тренд сначала растет медленно, затем ускоряется, а затем снова замедляет свой рост, стремясь к некоторому

уровню насыщения (рис. 1, У„). Известны также случаи спадающего логистического тренда (рис. 1, Yn).

Уникальным свойством

логистического тренда1 является его способность моделировать качественные изменения в развитии динамики процессов, характеризующиеся сменой знака второй производной при сохранении знака первой производной.

Речь идет о динамике чаще во времени, хотя аргументом процесса могут быть и пространственные переменные: технические, физические, экономические и другие параметры.

Известные модели логистической динамики являются нелинейными по параметрам, а в анализируемой траектории кроме тренда присутствует и стохастическая компонента.

Актуальность темы исследования обусловлена недостаточной точностью известных методов и программных комплексов моделирования и прогнозирования логистического тренда.

Кроме того, в реальной практике в динамической траектории наряду с логистическим трендом обычно отмечается присутствие и других детерминированных компонент (полиномиальных, гармонических), что существенно усложняет задачу моделирования и прогнозирования, тем более, что компоненты модели также могут быть нелинейными по параметрам. В известной научной литературе не описаны методы и программные средства моделирования многокомпонентных временных рядов с логистическим трендом.

Теоретическую базу диссертации составили труды отечественных ученых: Айвазяна С.А., Афанасьева В.Н., Блинова А.О. Елисеевой И.И., Клейнера Г.Б., Мхитаряна B.C., Пахомовой Е.А., Прохорова С.А., Семёнычева В.К., Стерника Г.М., Тихомирова Н.П., Хачатряна С.Р., Черняка A.B., Четыркина Е.М. и др., а также зарубежных учёных - Берндта Э., Бокса Дж., Доугерти К., Дженкинса Г., Джонстона Дж., Рамсея Дж., Твисса и др.

1 В международной практике принято название «logistic curves», в то время как в Российской практике большее распространение получило название «S-тренд» и «S-образные кривые»

Рис. 1. Графики логистических функций

На данный момент известно тринадцать аналитических выражений, для моделирования логистического тренда, наиболее распространенными из которых, и чаще всего применяемыми на практике, являются модели Верхулста и Гомперца.

Общая трудность идентификации логистических моделей заключается в том, что все известные модели являются нелинейными по независимым переменным, а порой и по параметрам.

Для отражения циклического характера процессов обычно к модели основного тренда добавляют циклические компоненты, а добавление линейной компоненты позволяет отразить и линейное изменение показателей во времени, хотя бы как приближении к нелинейности общего вида.

Обычно ряды динамики, в которых присутствуют циклические компоненты, моделируют в непараметрической форме и в несколько этапов. При этом требуемый для удовлетворительного по точности моделирования объем выборки составляет от 4 до 10 периодов колебательной компоненты, что соответствует объему выборки от 48 до 120 ежемесячных наблюдений.

Необходимость использования больших объемов выборок существенно ограничивает область применения известных способов моделирования: во-первых, не всегда есть возможность вести наблюдения за объектом в течении такого длительного промежутка времени - ретроспективные данные на несколько десятков лет назад, как правило, просто отсутствуют; а во-вторых, за такой длительный промежуток времени зачастую происходит эволюция компонент модели, как по виду, так и по параметрам, что может привести к малой точности моделирования и, особенно, прогнозирования неслучайных компонент ряда динамики. При пространственной переменной возможна ее неоднородность.

В силу этого, актуальна разработка новых моделей, способов и программ их параметризации, призванная увеличить точность моделирования реальных рядов динамики, в которых наряду с логистическим трендом присутствуют другие детерминированные компоненты, причем на коротких выборках, когда модели компонент можно считать стационарными по видам моделей и по параметрам.

Целью исследования является разработка математических методов и инструментальных средств, обеспечивающих повышение точности моделирования и прогнозирования технических и экономических процессов, в классе многокомпонентных моделей рядов динамики с логистическим трендом.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Предложить виды моделей, которые отвечали бы многообразию технических и экономических процессов с логистическим трендом.

2. Для предложенных моделей разработать и реализовать методы, допускающие идентификацию на коротких выборках.

3. Разработать расширяемый программный комплекс, осуществляющий моделирование и прогнозирование временных рядов предложенными методами, обладающий интуитивно понятным интерфейсом, что

сделает возможным его использование не только профессионалами, но и людьми, обладающими начальными навыками работы с компьютером.

4. Разработанным программным комплексом провести исследование точности и области применения предложенных моделей и методов их параметризации.

5. Провести апробирование программного комплекса на реальных статистических данных.

Методологической основой исследования послужили методы и модели теории вероятностей и математической статистики, численные методы математики, известные результаты в теории авторегрессии, положения теории функций комплексного переменного, дифференциального исчисления, теории рядов, эконометрики и теории управления.

В процессе исследования проанализированы работы отечественных и зарубежных авторов, специалистов в области математического моделирования, информационных технологий а также обработаны данные по реальным техническим и экономическим процессам.

Использовался пакет Microsoft Office Excel 2003 и программный комплекс «Logistic», разработанный при участии автора в среде Borland Delphi 7.0.

Научная новизна. К числу основных результатов, полученных лично соискателем и определяющих научную новизну диссертаций, можно отнести следующее:

1. Предложено использовать модель Рамсея как основу для моделирования и прогнозирования девяти моделей временных многокомпонентных рядов, включающих в себя основной логистический тренд и дополнительные колебательную и линейную компоненты, которые адекватны многим реальным техническим и экономическим процессам.

2. Для рассматриваемых моделей сконструированы параметрические модели авторегрессии - скользящего среднего (ARMA-модели), в которых основой параметризации моделей является решение линейных уравнений из корреляционных моментов и параметров модели.

3. Проведено исследование точности предложенных моделей и методов их параметризации на тестовых выборках, с использованием разработанного программного комплекса, при различных соотношениях сигнал/шум и в широком диапазоне изменения параметров моделей.

4. Испытание разработанного программного комплекса на реальных данных подтвердило возможность использования предложенных моделей и методов идентификации для моделирования и прогнозирования различных технических и экономических процессов, на примере двенадцати применений в реальной практике.

На защиту выносятся следующие основные результаты в области разработки и развития математических методов и моделей, методологии, расширения области применения моделирования и прогнозирования

многокомпонентных рядов динамики с логистическим трендом и их инструментальная (программная) поддержка:

1. Применение модели Рамсея и аддитивных компонент во временной области в виде многокомпонентных моделей.

2. Расширения области их реального применения.

3. «Перепараметризация» нелинейных моделей рядов динамики с линейными и колебательными компонентами, с использованием Ъ -преобразования.

4. Разработанные, испытанные на тестовых и реальных выборках программные средства моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов динамики.

Практическая ценность проведенных в диссертационной работе исследований, заключается в возможности использования полученных результатов и разработанного программного комплекса для моделирования и прогнозирования широкого класса реальных технических, экономических, социальных и биологических процессов с высокой точностью и на малых выборках, в широком динамическом диапазоне значений параметров, при многокомпонентное™ детерминированной составляющей. Важно, что для определения параметров логистического тренда не нужны априорные данные о уровне насыщения логистического тренда.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Полученные теоретические, методологические и практические результаты работы обсуждались на 8-ми семинарах и конференциях: V Всероссийской научно-практической конференции «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы» (г. Воронеж, ВГУ, 23-24 ноября 2006г.); Научно-практической конференции СГАУ (г. Самара, 15-16 декабря 2006г.); Научно-практической конференции ПГУ (г. Пенза, ПГУ, 2007г.); II Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, (г. Самара, СМИУ, 1 марта 2007г.); IV Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, ВГУ, 2008г.); III Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, (г. Самара, СМИУ, 26-27 апреля 2008г.); V Международной заочной научно-практической конференции «Интеллектуальные технологии в образовании, экономике и управлении» (ИТОЭУ-2008) (г.Воронеж, 2008г.); XIV Международной открытой научной конференции "Современные проблемы информатизации" (г.Воронеж, 2008г.).

Результаты проведенных исследований и разработанный программный комплекс использованы в лекционных курсах и при проведении лабораторных работ по курсам «Математическое моделирование в экономике» и «Эконометрика» в Самарском муниципальном институте управления и при обучении по специальности «Математические методы в экономике» в Самарском государственном аэрокосмическом университете, что подтверждено актами внедрения.

Публикации. По теме диссертационного исследования было опубликовано 11 научных работ, в том числе в ведущем рецензируемом

научном журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией - одна, издано одно методическое пособие, получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура диссертации. Диссертационное исследование изложено на 173 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, раскрыта научная новизна, изложена практическая значимость полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Обзор существующих методов идентификации моделей временных рядов с логистическим характером динамики тренда» рассмотрены:

• теоретические аспекты моделирования и прогнозирования;

• модели рядов и существующие методы их идентификации;

• модели, используемые для идентификации логистической динамики.

Тем самым в данной главе заложена теоретическая база работы, показана

актуальность темы исследования.

В п. 1.1 принято определение математической модели, как образа реальной системы (процесса) в форме математических соотношений, отражающих существенные свойства моделируемой системы и замещающих её в ходе исследования и управления.

В настоящее время при моделировании и прогнозировании чаще используют непараметрические методы в силу сложности аналитической параметризации нелинейных по параметрам рядов. В непараметрических методах не высока точность прогнозирования, не строится теоретическая модель явления или процесса.

К достоинствам параметрических методов можно отнести следующее:

• результаты представимы в виде удобных аналитических выражений;

• параметрические методы демонстрируют «общую картину» развития процесса, дают, как правило, большую точность прогноза.

В п. 1.2 рассмотрена структура ряда динамики, а также осуществлен выбор критериев точности прогноза и моделирования.

Временным рядом называется ряд наблюдений У1,У2,...,УЫ анализируемой случайной величины ¿¡к, произведенных в последовательные моменты времени где 1к = (кд) , Ук=У(1к) = У(кА), Д- шаг

дискретизации, Ы- объем выборки.

В общем виде модель временного ряда может быть представлена в виде суммы двух компонент:

П = 0)

где Пк - детерминированная (систематическая) компонента ряда; £ к -случайная (стохастическая) компонента ряда.

Детерминированная компонента может быть разложена на отдельные, детерминированные компоненты (составляющие):

1. Долговременная (вековая) составляющая, формирующая общую в длительной перспективе тенденцию в изменении анализируемого признака Lk.

2. Сезонная составляющая - sk, формирующаяся под влиянием сезонных колебаний технического или экономического показателя в течение заданного периода времени менее года.

3. Циклическая (конъюнктурная) оставляющая - Ct, формирующая изменения анализируемого признака в связи с действием долговременных циклов - технической, астрофизической, экономической или демографической природы, например, волны Кондратьева, демографические «ямы» и пики, циклы солнечной активности и т.п.

Показана целесообразность при идентификации ориентироваться на ARMA- модель.

Приведен обзор основных показателей, характеризующих точность модели и прогноза. В качестве критерия оценки точности моделирования выбран коэффициента детерминации:

В п. 1.3 приведено двадцать пять различных технических, экономических, биологических и социальных процессов, изменяющихся по логистическим законам.

Жизнь технических систем (как, впрочем, и других систем, например биологических) можно изобразить в виде логистической (Б-образной) кривой (рисунки 2,3), показывающей, как меняются во времени главные характеристики системы (мощность, производительность, скорость, число выпускаемых систем, популяции животных, социальная активность и т.д.). Видим, что на рисунке 3 помимо логистического тренда в исходных данных присутствует и колебательная компонента.

Проведенный анализ многочисленных данных по рынку недвижимости Самарской области показал, что по логистическим законам происходит и изменение стоимости однокомнатных, двухкомнатных, трехкомнатных квартир как на первичном так и на вторичном рынках недвижимости.

(2)

где М{..) - оператор математического ожидания. Для оценки погрешности прогноза использовалась МАРЕ-оценка:

(3)

Рис. 2. Увеличение эффективности двух различных источников света. Моделирование функцией

Верхулста (Перла-Рида).

ШнгорегШа скншшса в 10-граммовой

порции пшеничных зерен, пополняемых каждую неделю.

Приведены тринадцать моделей, используемых для моделирования логистической динамики. Наиболее популярными из них являются функкция

Верхулста (Перла-Рида): Ок =-Ц-г, (4)

А0 + ехр^-а^АД]

и функция Гомперца: А-ВскА. (5)

Обзор известных методов моделирования и прогнозирования логистической динамики показал, что все они ориентированы исключительно на идентификацию логистического тренда. Но и при этом они обладают невысокой точностью и обычно требуют для идентификации дополнительных априорных знаний о параметре тренда (об уровне насыщения).

Методы идентификации при предположении других компонент в выборке в известной научной литературе не описаны.

Проведенный в первой главе диссертации анализ существующих моделей логистической динамики и методов их параметризации позволяет сделать следующие выводы:

- анализ существующего состояния методов моделирования и прогнозирования указывает на актуальность разработки новых математических методов и инструментария для научной и практической деятельности широкого круга специалистов. Методы, предлагаемые для идентификации моделей логистической динамики, сложны, требуют большого объема статистических данных и обладают низкой точностью прогнозирования, что сдерживает их широкое практическое применение;

актуальна разработка методов, позволяющих осуществлять моделирование и прогнозирование на коротких выборках, когда протекающие

процессы можно считать стационарными по видам моделей и их параметрам. Данная задача особенно актуальна для описания эволюционирующей динамики, когда применение больших выборок непригодно, т.к. за время сбора информации сильно изменяются внешние условия, а также для процессов, по которым отсутствуют статистические данные за длительный период времени.

для реальной практики целесообразнее использовать многокомпонентные модели, в состав которых помимо основного тренда входят линейные и колебательные компоненты.

Далее результаты первой главы используются при построении и параметризации многокомпонентных логистических рядов.

Во второй главе «Инструментарий построения моделей для рядов логистической динамики» описан метод параметризации, позволяющий выполнять идентификацию моделей на коротких выборках и осуществлять их параметризацию, с использованием функции Рамсея:

А = с(1 - (1 + а(к&)) ■ ехр (-се(кА))) (6)

Предложено ее применение в качестве логистического тренда при построении многокомпонентных моделей. На основе функции Рамсея предложено девять моделей, а также проведена их параметризация.

В п. 2.1 описан предложенный В.К. Семенычевым метод параметризации на основе г-преобразования. К недостаткам метода для наиболее часто используемой функции Верхулста отнесены гетероскедастический характер стохастической компоненты ек и нелинейное преобразование исходной

выборки Ук (переход к обратным значениям), ведущее к параметризации не по

значениям выборки У^, а по Показана невозможность применения

модели Верхулста для построения и последующей параметризации многокомпонентных моделей логистической динамики.

Для моделирования логистического тренда предложено принять относительно мало известную функцию Рамсея, которая, во-первых, использовалась лишь для однокомпонентной модели пространственной динамики, а во-вторых, известный метод ее параметризации не обеспечивает высокую точность на малых выборках.

В п. 2.2 проведено исследование функции Рамсея и многокомпонентных динамических моделей, построенных на ее основе.

На рисунке 4 приведены графики функций Верхулста и Рамсея. Ряд 1 отображает данные функции Верхулста со следующими параметрами: ^ =од, Л, =0,25, а = 0,1. В ряде 3 представлены данные функции Рамсея с параметрами С = 7, а = 0,11. Видим, что ряд 3 практически полностью совпадает с первым рядом.

Справедливо и более общее утверждение: для различных моделей Верхулста можно подобрать модель Рамсея, что позволяет рассчитывать на ее широкое применение на практике. Проведенные исследования функции Верхулста и Рамсея при различных сочетаниях параметров показали близость графиков этих двух функций, что свидетельствует о возможности использования функции Рамсея при моделировании логистической динамики, в том числе и в случаях, когда для этих целей традиционно использовалась функция Верхулста На основе логистической функции Рамсея было построено девять

многокомпонентных моделей:

Y{ = С (А-[В+ а(к A))- ехр (~а(кА) ))+£■» ( 7 )

У/ = С( 1 - (1 + акА) ехр (-акА))+et ( 8 )

У/ = С(1 - (1+акА) ехр(-а£Д)) + AikA + е„ ( 9 )

У/ = С(1 - (1 + акА) ехр(-акА)) + A, sin(акА + <р) + е„ (10)

У5* = С( 1 - (1 + акА) ехр(-аЬД)) + Д sin(iuA:A + щ ) + АгкА + et (11)

У/ = С(1 - (1 + акА) ехр(-а^Д)) + A, sin(iq£A + ) + А2 sin(ûJгкА + ç2) + et (12)

У/ = С(1 -(1 + акА)е\р(-акА)) + A, sin(aijkA + р,) + А2 sin(£U,кА + <рг) + А3кА + £lt (13)

У/ = С( 1 - (1 + акА) ехр(-акА)) + А,кА sinC^itA + (р, ) + А2кА + ек (14)

У,' = С(1 - (1 + акА) exp(-afc Д)) + Де"'4 sin(eJ[/c Д + + A1kA + si (15)

Модели, содержащие две гармонических компоненты (модели 12-13), позволяют одновременно описывать как сезонные, так и циклические колебания, характерные для реальных процессов.

Особый интерес представляет возможность моделирования эволюционирующих рядов. Использование в моделях (14)-(15) гармоник с эволюционирующими амплитудами позволяет расширить область применения предложенных моделей.

Многочисленные графики построенных моделей с различными параметрами, их представлено в данной главе двадцать, показали широкие и, зачастую, неожиданные по формам кривых возможности моделирования рядов динамики логистами в сочетании с линейными и гармоническими компонентами.

Можно сделать следующие выводы: 1. Функция Рамсея по своему виду очень близка к функции Верхулста, что делает возможным ее применение в случаях, когда для моделирования традиционно использовалась функция Верхулста.

Рис. 4. Сравнение графиков функций Верхулста и Рамсея

2. Аддитивно добавленные к функции Рамсея линейные и синусоидальные компоненты позволили существенно расширить область применения моделей логистической динамики.

3. Приведенные графики по своему виду совпадают с графиками реальных статистических данных (например, рисунок 5), иллюстрируя возможности применения предложенных моделей для их аппроксимации.

Приведенный «атлас моделей» позволит исследователю легче ориентироваться при выборе того или иного типа модели, лучше понять возможности применения каждой из предложенных моделей.

диапазоне; б) график многокомпонентной модели (11)

В п. 2.3 предложены методы параметризации девяти моделей (формулы 715), построенных на основе логисты Рамсея.

Покажем процесс параметризации модели (11), в состав которой помимо основного, логистического тренда входят также линейная и гармоническая компоненты. Для данной модели получена следующая АЯМА-модель шестого порядка:

Ук =Ч-Г^к-2+2Ук-3-¥к~4 + т^2Ук-\ +45*-3 ~4Ук-4

+т3(¥к-\ ~2Ук-2 + Ук-Ъ}-т4<21*-2 ~Ук-3+2Ук-4)+ ([6)

+т5(Ук-3 ~2Ук-4+Ук-5^ + £к'

2 2 где: Ш| = , гп2= , Щ = > Щ= , \ = ехр(-оД),

¿2 = 2соз(йй), новая стохастическая компонента, по своей структуре

аналогичная Ук.

ек = 2ек-Х-2ек-2+2ек-3 ~£к-4 +т1(2£к-1 ~Аек- 2 +4ек-3 ~4£к-4 +2ек_5)-,г,2(ек_2-2ек_3+2ек^-2ек_5+ек_6)+

+т3(£к-\ ~2£к-2 +£к-1)-т4{2ек-2-£к-1+2£к-^ + +™5(ек_3-2ек_4 + ек_5),

Далее в два этапа определим коэффициенты модели (16). На первом этапе, применяя тот или иной метод сглаживания, например, МНК, находим оценки параметров т^т^т^т® и m¡ из условия:

N

т°,т°,т°,т°,т° = argmin £ (Yk ~\2Yk_\ + ^'к-3 ~ ^к-4 +

m¡,т2,тг,m4,m¡ к=5

+ml(.2Yk_l-4Yk_2 + 4Yk_i-4Yk_4+2Yk_5)-m2(Yk_2-2Yk_2+2Yk_4 - (п) -Щ-5 + 15t-6) + »'3(^-1 - Щ-2 + Ук-3) - Щ(Щ-2 - Ук-3 + Щ-4) + + m5(Yk_3-2Yk_4 + Yk_5)})2.

Решая соответствующую нормальную СЛАУ 5-го порядка, найдем оценки параметров wj,/тз2,,m4 и т5. Учитывая, что m¡=Á¡, m3 = Л2, получим следующие формулы для оценок параметров а и а):

О ta"1? о arccos(m?/2)

а =--—, со =---.

Д Д

На втором этапе, для определения С0, А\ , А2 и воспользуемся условием:

С°,А2,Аз,А4= argmin I (Yk - (C(l - (1 + Лд)ехр(-Лд)) + C,A2,AJ,A4k=Q

+Л3 sin аРкА + A4 cos ар к А + А2кА))^, (18)

где A-¡ = A¡ cos <р, A4 = А\ sin <р.

Данное условие приводит к СЛАУ 4-го порядка, решая которую, находим оценки параметров С0, Л2 и рассчитываем <р° = arctg(A°IА°) и А\ = /cos(<p").

Как показали исследования, рассмотренный метод параметризации оказывается работоспособен и на коротких выборках, в два-три раза больших порядка ARMA-модели, что значительно расширяет область применения предложенных моделей. Аналогичные ARMA-модели получены и для моделей (8)-(15).

В третьей главе «Программный комплекс моделирования и прогнозирования динамических рядов с использованием функции Рамсея» приведено описание программного комплекса «Logistic», позволяющего осуществлять моделирование и прогнозирование временных рядов, с помощью девяти моделей, предложенных во второй главе. С помощью разработанного программного комплекса проведено исследование точности моделирования и прогнозирования предложенными моделями, а также определена область их применения. Также проведено аппробирование программного комплекса на реальных статистических данных.

В п. 3.1 дано описание разработанного программного комплекса «Logistic», с помощью которого можно осуществлять моделирование и прогнозирование временных рядов с логистическом трендом. Программа разработана в среде Borland Delphi 7.0. Структурная схема программного комплекса представлена на рисунке 6.

Условно программный комплекс можно разделить на два модуля: модуль тестирования предложенных моделей для оценки их метрологических характеристик и модуль моделирования и прогнозирования временных трендов, на основе реальных статистических данных.

Первый модуль

используется при оценке работоспособности и точности программного комплекса на тестовых выборках, с назначаемыми параметрами модели и шума. По результатам тестирования автоматически создается отчет в виде файла формата «Excel», в который заносятся все необходимые для анализа данные, а также результаты автоматической обработки полученных данных.

Второй модуль

осуществляет моделирование и прогнозирование реальных временных рядов. Исходные данные заносятся в таблицы Excel, после чего они загружаются в программу, для дальнейшей обработки.

Результаты моделирования также могут быть экспортированы в файл Excel.

Также в программном комплексе заложена

возможность предварительной обработки данных: 1) существует возможность обработки не самих исходных данных, а их относительных значений, что позволяет снизить вычислительные погрешности округления в случае обработки очень больших значений, или значений, близких к нулю; 2) существует возможность прореживания исходных данных, т.е. на основе исходного ряда строится ряд, состоящий только из k-ых отсчетов, где к задается пользователем. Как показали исследования, точность моделирования повышается при назначении к, равном порядку авторегрессии, т.к. в этом случае мы получаем выборку, состоящую из некоррелированных величин.

Помимо этого существует возможность задания значения периода гармонической компоненты вручную. На практике встречаются случаи, когда значение периода колебательной компоненты нам известно, исходя из некоторых априорных данных. Ручное задание значения периода позволяет

Блок моделей (блок поиска коэффициен ;тов)

Блок представления 8 ^результатов^ 9

(Excel (стандартный N способ) J

Блок генерирована' модели по выбранным : условиям : J

Блок формирования н - наложения детерминированной

Блок формирования массива данных по выбранной модели

7.

Блок . тестирования (исследования) моделей

Рис. 6. Структурная схема программного комплекса «Logistic»

повысить точность вычислении за счет сокращения количества неизвестных параметров модели, и как следствие, уменьшения размерности СЛАУ при ее параметризации.

В п. 3.2 с помощью разработанного программного комплекса проведены метрологические исследования точности девяти предложенных многокомпонентных моделей логистической динамики и способов их параметризации.

При этом использовалась следующая методика:

-осуществлялась генерация уровней Тк детерминированных компонент моделей (7)-(15), с которыми суммировалась генерируемая стохастическая компонента с нормальным законом распределения и регулируемой (назначаемой) мощностью. Для уменьшения зависимости исследования точности от конкретных выборок £ использовалось усреднение по десяти тестовым выборкам;

-в качестве критерия точности моделирования использовался коэффициент детерминации, а точность прогноза характеризовалась МАРЕ -оценкой прогноза.

-точность исследовалась в функции коэффициента «шум/сигнал» при различных объемах выборки:

«9)

где D(4) - дисперсия стохастической компоненты с назначаемой (путем центрирования, нормирования и умножения на соответствующий коэффициент) дисперсией, D(Dt) - дисперсия детерминированной компоненты модели (сумма логисты Рамсея, линейного тренда и гармоники).

При тех же выборках Yk и соответствующих параметрах

моделирования определялась зависимость МАРЕ- оценки от длины исходной выборки (глубина прогноза, как это обычно максимально допускают, составляла 1/3 от длины выборки).

Эксперименты проводились в широком диапазоне изменения параметров моделей - например, данные по диапазонам изменения параметров приведены в таблице № 1.

Результаты исследования точностных характеристик моделей, полученные при имитационном моделировании, свидетельствуют о возможности широкого использования предложенных моделей для моделирования и прогнозирования на реальных статистических данных.

Проведен сравнительный анализ точности моделирования тестовых данных различными моделями: 1) функцией Верхулста, с применением

Таблица 1 - Диапазон изменения параметров моделей

Параметр MIN МАХ

С 10 140

а 0,05 0,5

А, 0,3 30

0,01 15

0,01 2

а\ 0,175 1,047

0,175 1,047

известных методов идентификации; 2) функцией Рамсея, с применением предложенного метода идентификации; 3) многокомпонентными рядами, построенными на основе функции Рамсея, с применением предложенных методов их идентификации.

В качестве моделируемой выборки использовался ряд данных, смоделированный на основе функции Верхулста, с добавлением 5% шума. Результаты моделирования данного ряда функцией Верхулста приведены в книге Е.М.Четыркина «Статистические методы прогнозирования», при этом диапазон изменения коэффициента детерминации для различных методов идентификации (их приведено шесть) составляет от 0,520 до 0,997.

Таблица 2 содержит результаты моделирования тестовых данных тремя моделями, построенными на основе логисты Рамсея (модели 7, 8 и 9) а также результаты моделирования функцией Верхулста. При этом приведены данные моделирования как выборки без шума, так и выборки с шумом.

Таблица 2 - сравнение различных Таблица 3 - сравнение различных

методов моделирования на тестовой методов моделирования на

выборке без шума и с 5 % шумом. короткой выборке (выборка 8-мь

Объем выборки - 14-ть отсчетов отсчетов с 5% шумом)

Модель Д2 (без шума) Я2 (с шумом)

Верхулста (метод Родса) 1 0,9970

Логиста Рамсея (модель 7) 0,9945 0,9304

Логиста Рамсея + лин. комп-та. (модель 8) 0,9914 0,9897

Логиста Рамсея + лин. комп-та. +синус. комп-та. (модель 10) 0,9999 0,9982

Модель Л2

Верхулста (метод Родса) 0,8892

Логиста Рамсея (модель 7) 0,9014

Многокомпонентная логиста Рамсея (модель 8) 0,9932

Многокомпонентная логиста Рамсея (модель 10) 0,9936

Моделирование функцией Рамсея является заведомо менее точным: исходная выборка строилась на основе логисты Верхулста, поэтому даже при моделировании данных без шума коэффициент детерминации заведомо меньше единицы, что нашло отражение в таблице 3. Однако даже при таких, заведомо неравных в ущерб функции Рамсея условиях сравнения, применение функции Рамсея дает результаты, по своей точности уступающие результатам моделирования логистой Верхулста только в случае использования методов Родса и Нейра. Применение модели (7) позволило достичь точности, превышающей аналогичные показатели модели Верхулста.

Также проведено исследование точности моделирования различными методами для более коротких выборок, результаты которого, для N=8, приведены в таблице 3. Из таблицы видно, что в случае короткой выборки

предложенные модели и методы их идентификации обладают более высокой точностью, по сравнению с известными методами моделирования функцией Верху лета.

В п. 3.3 проведено исследование программного комплекса на реальных статистических данных. Результаты одного из таких исследований приведены на рисунке 7

Рис.7. Результаты моделирования динамики роста цен на дизельное топливо: а) логистой с линейным трендом (модель 6) Я2 = 0,7861; б) логистой с линейным и двумя синусоидальными трендами (модель 10) =0,9400.

Кол-во отсчетов N=19. МАРЕ оценка = 2% (модель 10) при глубине прогноза к=3.

На практике также востребованы и более простые модели (7)-(8) в случаях, когда в исходных данных отсутствуют колебательные или линейно изменяющиеся процессы, например, для пространственных рядов динамики.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы:

1. Предложенная для моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов логистической динамики функция Рамсея позволила на коротких выборках и с большей точностью осуществлять моделирование и прогнозирование.

2. Как показали исследования, предложенные типы многокомпонентных рядов логистической динамики, адекватны реальным экономическим процессам.

3. Для всех рассматриваемых типов многокомпонентных рядов логистической динамики, сконструированы параметрические АКМА-модели.

4. Высокая точность моделирования и прогнозирования рядов логистической динамики обеспечена за счет снижения ряда методических погрешностей и малых вычислительных погрешностей, а также уменьшения необходимых априорных сведений о характеристиках компонент, например, об уровне насыщения.

5. С использованием разработанного программного комплекса проведено исследование построенных моделей и предложенного метода их параметризации на тестовых выборках. Исследование на тестовых выборках показали высокую точность моделирования и прогнозирования в широком диапазоне значений параметров модели, соотношения «шум/сигнал».

6. Проведенное тестирование разработанного программного комплекса на реальных данных, подтвердило высокую точность предложенных методов и средств и возможность их использования для моделирования и прогнозирования экономических процессов различного содержания.

7. Разработанный программный комплекс, может быть использован для моделирования и прогнозирования динамических рядов, изменяющихся по логистическим законам, при малой квалификации пользователя программы.

Перечень публикаций, по теме диссертации в журналах, рекомендованных ВАК

1. Павлов В.Д. Моделирование и прогнозирование временного ряда суммой логистической, линейной и гармонической компонент на основе АЛМА-модели. [Текст] /Семенычев В.К., Павлов В.Д., Семенычев В.В.// Известия Уральского государственного экономического университета. - Екатеринбург, 2009 - № 1(23). - С. 128 -139.

в других изданиях

2. Павлов В.Д. Эконометрическое моделирование многокомпонентных рядов динамики с использованием логисты Рамсея. [Текст] /Павлов В.Д., Семенычев В.К. // Материалы пятой всероссийской научно-практической конференции «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы». - Воронеж, 2006,- С. 125-131.

3. Павлов В.Д. Инструментарий моделирования многокомпонентных рядов динамики с использованием функции Рамсея. [Текст] / Павлов В.Д. // Материалы научно-практической конференции СГАУ,. -Самара: СГАУ, 2006. - С. 81-84.

4. Павлов В.Д. Программный комплекс для моделирования логистической динамики временных рядов. [Текст] / Семенычев В.К., Павлов В.Д..// Материалы научно-практической конференции.- Пенза, 2007.- С. 46-51.

5. Павлов В.Д. Использование математических методов и комплекса программ для моделирования и прогнозирования стоимостных характеристик строительства.. [Текст] / Семенычев В.К., Павлов В.Д. // Сборник статей II Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых 1 марта 2007г. - Самара: СМИУ, 2007. - С. 132-143.

6. Павлов В.Д. Компьютерный анализ моделей нелинейной динамики. . [Текст]/Павлов В.Д., Семенычев В.К. // Материалы четвертой Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы». - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 255260.

7. Павлов В.Д. Моделирование и прогнозирование логистических трендов. [Текст] / Павлов В.Д. // Сборник статей III Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых 26-27 апреля 2008г. - Самара: СМИУ, 2008,- С. 98-104.

8. Павлов В.Д. Моделирование экономических процессов, изменяющихся по логистическим законам. [Текст] /Павлов В.Д., Семенычев В.В. // Сборник материалов V Международной заочной научно-практической конференции «Интеллектуальные технологии в образовании, экономике и управлении» (ИТОЭУ-2008).- Воронеж, 2008,- С. 39-44.

9. Павлов В.Д. Программный комплекс моделирования и прогнозирования экономических процессов логистической динамики. [Текст] / Павлов В.Д. // Современные проблемы информатизации в экономике и обеспечении безопасности. Сборник трудов. Выпуск 14 (по итогам XIV Международной открытой научной конференции).- Воронеж, 2008. - С. 64-70.

Методические указания

10. Павлов В.Д. Моделирование и прогнозирование нелинейной экономической динамики с логистическим трендом. [Текст] / Семенычев В.К., Павлов В.Д. Семенычев В.В. // Методические указания к выполнению лабораторных работ.- Самара: СМИУ, 2008. -20 С.

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ

11. Свидетельство № 2009611129 о государственной регистрации программы для ЭВМ. Моделирование и прогнозирование многокомпонентных динамических рядов «Logistic». / Павлов В.Д., Семенычев В.К., Семенычев В.В. - № 2009611129 от 20 февраля 2009.

Подписано в печать 09.09.2009г. Формат 60x84 1/6 Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ЛОГИСТИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРОМ ДИНАМИКИ ТРЕНДА

1.1 Теоретические аспекты моделирования и прогнозирования.

1.2 Модели временных рядов и методы их идентификации.

1.3 Обзор моделей, используемых для описания логистической динамики.

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВА 2 ИНСТРУМЕНТАРИЙ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РЯДОВ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ.

2.1 Методика построения параметрических ARMA-моделей с помощью Z — преобразования.

2.2 Исследование функции Рам сея.

2.3 Параметризация многокомпонентных рядов динамики, построенных на основе логистической функции Рамсея.

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВА 3 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ РАМСЕЯ.

3.1 Описание программного комплекса.

3.2 Тестирование обобщенных параметрических ARM А — моделей с помощью разработанного комплекса и исследование построенных моделей на тестовых выборках

3.3 Тестирование программного комплекса на реальных статистических данных.

ВЫВОДЫ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ.

В исследованиях технических, биологических, социальных и экономических процессов широкое распространение получили процессы с логистическим характером динамики тренда анализируемых показателей: тренд сначала растет медленно, затем ускоряется, а затем снова замедляет свой рост, стремясь к некоторому уровню насыщения (рис. 1.1, Ykx).

Известны также случаи спадающего логистического тренда (рис. 1.1, Ykl).

Уникальным свойством логистического тренда1 является его способность моделировать качественные изменения в развитии динамики процессов, характеризующиеся сменой знака второй производной при сохранении знака первой производной.

Речь идет о динамике чаще во времени, хотя аргументом процесса могут быть и пространственные переменные: технические, физические, экономические и другие параметры.

Известные модели логистической динамики являются нелинейными по параметрам, а в анализируемой траектории кроме тренда присутствует и стохастическая компонента.

Актуальность темы исследования обусловлена недостаточной точностью известных методов и программных комплексов моделирования и прогнозирования логистического тренда.

Кроме того, в реальной практике в динамической траектории наряду с логистическим трендом обычно отмечается присутствие и других

1 В международной практике принято название «logistic curves», в то время как в Российской практике большее распространение получило название «S-тренд» и «S-образные кривые» м уровень насыщения

J-1I-1-1-1III1!L>.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k Рис. 1.1. Графики логистических функций детерминированных компонент (полиномиальных, гармонических), что существенно усложняет задачу моделирования и прогнозирования, тем более, что компоненты модели также могут быть нелинейными по параметрам. В известной научной литературе не описаны методы и программные средства моделирования многокомпонентных временных рядов с логистическим трендом.

На данный момент известно тринадцать аналитических выражений, для моделирования логистического тренда [65], наиболее распространенными из которых, и чаще всего применяемыми на практике, являются модели Верхулста и Гомперца.

Модель Рамсея [107], которая также отражает логистическую динамику, впервые была использована Конюховским П.В. [35, 36], для моделирования пространственных рядов: с помощью однокомпонентной логистической функции Конюховский П.В. описывает аналитическую зависимость объема денежных средств, привлекаемых банком от усредненной нормы затрат на привлечение единицы этих средств. Временные приложения модели Рамсея в известной научной литературе не применялись.

Общая трудность идентификации логистических моделей заключается в том, что все известные модели являются нелинейными по независимым переменным, а порой и по параметрам.

Чтобы избавиться от нелинейности, при параметризации модели вначале перейти к обратным уровням ряда динамики D^, после чего осуществлять логарифмирование полученных обратных величин 1/-£>£. После данных преобразований задача сводится к идентификации модели, линейной по параметрам, к которой применяют метод наименьших квадратов (МНК). Описанный способ параметризации имеет существенные недостатки.

Верхулста D, = в [15, 16, 42, 63, 89, 91] предлагается

Во-первых, стохастическая компонента в нем не рассматривается аддитивной или мультипликативной с логистическим трендом, как того требует теория, а делаются «искусственные» предположения о том, что стохастическая компонента с нормальным законом распределения является аргументом экспоненциальной функции. Такие предположения являются скорее удобными для вычисления, чем соответствующими реальной практике.

Во-вторых, предполагается априорное знание уровня насыщения логистической функции из некоторых физических или каких-либо общих экономических соображений, в зависимости от предметной области моделирования, хотя именно этот параметр зачастую представляет интерес для идентификации.

Аналогичные методы применяются и для параметризации модели Гомперца, с той лишь разницей, что операция логарифмирования применяется к прямым, а не обратным величинам исследуемого ряда. При этом также считается, что уровень насыщения нам заранее известен [91].

Для оценки параметров кривой Верхулста и кривой Гомперца на практике зачастую прибегают к различным упрощенным методам оценивания [86]. В частности, в целом ряде статистических руководств рекомендуется применять метод трех сумм и метод трех точек, дающие приближенные оценки коэффициентов соответствующих кривых.

Метод трех сумм «работоспособен» в сравнительно узких пределах колебаний исходных данных. При этом результаты весьма чувствительны к случайным возмущениям [86]. В расчетах по методу трех точек используется малая доля информации — только три уровня ряда, что делает данный метод также весьма чувствительным к случайным возмущениям.

Как показывает практика, для моделирования и прогнозирования реальных процессов во многих случаях требуется усложнение логистической модели. Для отражения циклического характера процессов обычно к модели основного тренда добавляют циклические компоненты, а добавление линейной компоненты позволяет отразить и линейное изменение показателей во времени, хотя бы как приближении к нелинейности общего вида. Многокомпонентность рядов будем учитывать путем суммирования к логистическому тренду линейной и гармонической компонент.

В практике моделирования рядов динамики используют метод «сезонной декомпозиции» в непараметрической форме и в несколько этапов. На первом этапе выравнивают тренд (методом скользящей средней, медианного, экспоненциального сглаживания, и другими) на выборке длительностью от 4 до 10 периодов колебательной компоненты (что соответствует объему выборки от 48 до 120 ежемесячных наблюдений, при периоде компоненты равном одному году).

На втором этапе моделирования на той же выборке рассчитывают абсолютные или относительные отклонения уровней от тренда и присваивают их наблюдениям, расположенным внутри одного периода. Таким образом, осуществляется моделирование некоторой «средней» непараметрической сезонной компоненты в виде индексов или фиктивных переменных.

На третьем этапе устраняют устойчивую сезонную компоненту из ряда динамики и по остатку осуществляют аналитическое параметрическое выравнивание тренда (как правило, используя метод наименьших квадратов -МНК).

Необходимость использования больших объемов выборок существенно ограничивает область применения известных способов моделирования: во-первых, не всегда есть возможность вести наблюдения за объектом в течение такого длительного промежутка времени — ретроспективные данные на несколько десятков лет назад, как правило, просто отсутствуют; а во-вторых, за такой длительный промежуток времени зачастую происходит эволюция компонент модели, как по виду, так и по параметрам, что может привести к малой точности моделирования и, особенно, прогнозирования неслучайных компонент ряда динамики. При пространственной переменной возможна ее неоднородность.

Оправдан также и поиск других моделей тренда — об этом свидетельствует большое количество используемых моделей, описывающих логистические тренды.

В силу этого, актуальна разработка новых моделей, способов и программ их параметризации, призванная увеличить точность моделирования реальных рядов динамики, в которых наряду с логистическим трендом присутствуют другие детерминированные компоненты, причем на коротких выборках, когда модели компонент можно считать стационарными по видам моделей и по параметрам.

Целью исследования является разработка математических методов и инструментальных средств,- обеспечивающих повышение точности моделирования и прогнозирования технических и экономических параметров, в классе многокомпонентных моделей рядов динамики с логистическим трендом.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Предложить виды моделей, которые отвечали бы многообразию технических и экономических процессов с логистическим трендом.

2. Для предложенных моделей разработать и реализовать методы, допускающие идентификацию на коротких выборках.

3. Разработать расширяемый программный комплекс, осуществляющий моделирование и прогнозирование временных рядов предложенными методами, обладающий интуитивно понятным интерфейсом, что сделает возможным его использование не только профессионалами, но и людьми, обладающими начальными навыками работы с компьютером.

4. Разработанным программным комплексом провести исследование точности и области применения предложенных моделей и методов их параметризации.

5. Провести апробирование программного комплекса на реальных статистических данных.

Методологической основой исследования послужили методы и модели теории вероятностей и математической статистики, численные методы математики, известные результаты в теории авторегрессии, положения теории функций комплексного переменного, дифференциального исчисления, теории рядов, эконометрики и теории управления.

В процессе исследования проанализированы работы отечественных и зарубежных авторов, специалистов в области математического моделирования, информационных технологий, а также обработаны данные по реальным техническим и экономическим процессам.

Использовался пакет Microsoft Office Excel 2003 и программный комплекс «Logistic», разработанный при участии автора в среде Borland Delphi 7.0.

Теоретическую базу диссертации составили труды отечественных ученых: Айвазяна С.А., Афанасьева В.Н., Блинова А.О. Елисеевой И.И., Клейнера Г.Б., Мхитаряна B.C., Пахом овой Е.А., Прохорова С. А., Семёнычева В.К., Стерника Г.М., Тихомирова Н.П., Хачатряна С.Р., Черняка А.В., Четыркина Е.М. и др., а также зарубежных учёных - Берндта Э., Бокса Дж., Доугерти К., Дженкинса Г., Джонстона Дж., Рамсея Дж., Твисса и др.

Объектом исследования является динамика технических и социально-экономических систем и явлений.

Предметом исследования являются математические и инструментальные методы моделирования и прогнозирования динамических рядов.

Научная новизна. К числу основных результатов, полученных лично соискателем и определяющих научную новизну диссертаций, можно отнести следующее:

1. Предложено использовать модель Рамсея как основу для моделирования и прогнозирования девяти моделей временных многокомпонентных рядов, включающих в себя основной логистический тренд и дополнительные колебательную и линейную компоненты, которые адекватны многим реальным техническим и экономическим процессам.

2. Для рассматриваемых моделей сконструированы параметрические модели авторегрессии - скользящего среднего (ARMA-модели), в которых основой параметризации моделей является решение линейных уравнений из корреляционных моментов и параметров модели.

3. Проведено исследование точности предложенных моделей и методов их параметризации на тестовых выборках, с использованием разработанного программного комплекса, при различных соотношениях сигнал/шум и в широком диапазоне изменения параметров моделей.

4. Испытание разработанного программного комплекса на реальных данных подтвердило возможность использования предложенных моделей и методов идентификации для моделирования и прогнозирования различных технических и экономических процессов, на примере двенадцати применений в реальной практике.

На защиту выносятся следующие основные результаты в области разработки и развития математических методов и моделей, методологии, расширения области применения моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов динамики с логистическим трендом и их инструментальная (программная) поддержка:

1. Применение модели Рамсея и аддитивных компонент во временной области в виде многокомпонентных моделей.

2. Расширение области их реального применения.

3. «Перепараметризация» нелинейных моделей рядов динамики с линейными и колебательными компонентами, с использованием Z — преобразования.

4. Разработанные, испытанные на тестовых и реальных выборках программные средства моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов динамики.

Практическая ценность проведенных в диссертационной работе исследований, заключается в возможности использования полученных результатов и разработанного программного комплекса для моделирования и прогнозирования широкого класса реальных технических, экономических, социальных и биологических процессов с высокой точностью и на малых выборках, в широком динамическом диапазоне значений параметров, при многокомпонентности детерминированной составляющей. Важно, что для определения параметров логистического тренда не нужны априорные данные об уровне насыщения логистического тренда.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Полученные теоретические, методологические и практические результаты работы обсуждались на 8-ми семинарах и конференциях: V Всероссийской научно-практической конференции «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы» (г. Воронеж, ВГУ, 23-24 ноября 2006г.); Научно-практической конференции СГАУ (г. Самара, 15-16 декабря 2006г.); Научно-практической конференции ПГУ (г. Пенза, ПГУ, 2007г.); II Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, (г. Самара, СМИУ, 1 марта 2007г.); IV Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, ВГУ, 2008г.); III Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, (г. Самара, СМИУ, 26-27 апреля 2008г.); V Международной заочной научно-практической конференции

Интеллектуальные технологии в образовании, экономике и управлении» (ИТОЭУ-2008) (г. Воронеж, 2008г.); XIV Международной открытой научной конференции "Современные проблемы информатизации" (г. Воронеж, 2008г.).

Результаты проведенных исследований и разработанный программный комплекс использованы в лекционных курсах и при проведении лабораторных работ по курсам «Математическое моделирование в экономике» и «Эконометрика» в Самарском муниципальном институте управления и при обучении по специальности «Математические методы в экономике» в Самарском государственном аэрокосмическом университете, что подтверждено актами внедрения.

Публикации. По теме диссертационного исследования было опубликовано 11 научных работ, в том числе 1 статья опубликована в ведущем рецензируемом научном журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией, издано одно методическое пособие, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура диссертации. Диссертационное исследование изложено на 172 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений.

ВЫВОДЫ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

1. На основе построенных во второй главе моделей, разработан универсальный, расширяемый программный комплекс, осуществляющий моделирование и прогнозирование временных рядов, изменяющихся по логистическим законам.

2. С использованием разработанного программного комплекса проведено исследование построенных моделей и предложенного метода их параметризации на тестовых выборках с различным соотношением «сигнал/шум». Исследование показало, что предложенный метод позволяет осуществлять с высокой точностью моделирование и прогнозирование многокомпонентных моделей в широком динамическом диапазоне значений параметров моделей и на более коротких выборках, чем известный метод сезонной декомпозиции. Также результаты исследования говорят о высокой степени помехозащищенности предложенных моделей, что делает возможным их практическое применение.

3. Проведено тестирование разработанных моделей и средств на реальных статистических данных. Тестирование подтвердило высокую точность построенных моделей и метода их параметризации, возможность использования для процессов различного содержания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы:

1. Предложенная для моделирования и прогнозирования многокомпонентных рядов логистической динамики функция Рамсея позволила на коротких выборках и с большей точностью осуществлять моделирование и прогнозирование.

2. Как показали исследования, предложенные типы многокомпонентных рядов логистической динамики, адекватны реальным экономическим процессам.

3. Для всех рассматриваемых типов многокомпонентных рядов логистической динамики, сконструированы параметрические ARMA-модели.

4. Высокая точность моделирования и прогнозирования рядов логистической динамики обеспечена за счет снижения ряда методических погрешностей и малых вычислительных погрешностей, а также уменьшения необходимых априорных сведений о характеристиках компонент, например, об уровне насыщения.

5. С использованием разработанного программного комплекса проведено исследование построенных моделей и предложенного метода их параметризации на тестовых выборках. Исследование на тестовых выборках показали высокую точность моделирования и прогнозирования в широком диапазоне значений параметров модели, соотношения «шум/сигнал».

6. Проведенное тестирование разработанного программного комплекса на реальных данных, подтвердило высокую точность предложенных методов и средств и возможность их использования для моделирования и прогнозирования экономических процессов различного содержания.

7. Разработанный программный комплекс, может быть использован для моделирования и прогнозирования динамических рядов, изменяющихся по логистическим законам, при малой квалификации пользователя программы.

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики Текст.: учеб. пособие / Айвазян С.А. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 432 с.

2. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Теория вероятностей и прикладная статистика. Текст.: учеб. пособие /Айвазян С.А., Мхитарян B.C. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

3. Альтшуллер Г.С. Творчество как точная наука. Текст. / Альтшуллер Г.С. М.: Сов. радио, 1979. - 116 с.

4. Афанасьев В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование. Текст. /Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. М.: Финансы и статистика, 2001. -227 с.

5. Богданов В.А. Состояние и некоторые возможные пути развития реактивной техники Текст. / Богданов В.А. // Двигатель М., 2005 - № 6. - С 26-29.

6. Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов. Текст. / Бендат Дж., Пирсол А. М.: Мир, 1971. - 408 с.

7. Бессонов В.Н. О проблемах измерений в условиях кризисного развития российской экономики. Текст. / Бессонов В.Н. // Вопросы статистики. 1996.-№ 7.-С. 18-32.

8. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Текст.: учеб. пособие / Бокс Дж., Дженкинс Г. М.: Мир, 1974. - 197 с.

9. Болдин М.Б. Знаковый статистический анализ линейных моделей. Текст.: учеб. пособие / Болдин М.Б., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. М.: 1997.-246 с.

10. Бородин С.А. Эконометрика. Текст.: учебник / Бородин С.А. Минск: Новое знание, 2001,- 408 с.

11. Брандт 3. Анализ данных. Статистические и вычислительные методы для научных работников;и инженеров.; Текст.: учеб: пособие /Брандт 3. М.: Мир: ООО «Изд-во ACT», 2003: - 686 с.

12. Бушуев Л.И. Методы прогнозирования объема- продаж. Текст.? / Бушуев Л.И. //Маркетинг в России и за рубежом. 2002. - № 1 (27).1. С. 15 30. .

13. Быковская И.В. К вопросу о формировании маркетингового бюджета. Текст. / Быковская И.В., Плотников- С.В:, Подчернин В.М. //Маркетинг вРоссини за рубежом.-200 Г. № 6. - С.46 - 52.

14. Винн Р. Введение в прикладной эконометрический анализ. Текст. / Винн Р:, Холден К. -М:: Финансы и статистика, 1981.- 294 е.

15. Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике. Текст. / Гришин А.Ф!, Котов-Дарти С.Ф., Ягунов В.Н. Статистические модели в эконохмике. Ростов н/Д: Феникс, 2005.- 344 с.

16. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Текст. / Гоноровский И^С. М;: Радио и,связь, 1986. - 512 с.

17. Горчаков А.А. Компьютерные экономико-математические модели. Текст. / Горчаков А.А., Орлова И.В. М.: ЮНИТИ, 1995. - 215 с.

18. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. Текст. I Гранберг А.Г. М.: Экономика, 1985. - 259 с.

19. Губанов В.А. Выделение сезонных колебаний на основе вариационных принципов.: Текст.7 Губанов В.А., Ковальджи А.К. //Экономика и математические методы. 2001. - Т. 37, № Т. - С.91 - 102.

20. Губанов В.А. Выделение тренда из временных рядов макроэкономических показателей Текст. / Губанов В.А.//Тр. Институтанароднохозяйственного прогнозирования РАН М.: МАКС-Пресс, 2005. -С.58-65.

21. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. Текст. / Демиденко Е.З М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

22. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования.Текст. учеб. пособие / Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. -М.: Наука, 1971.-288 с.

23. Доугерти К. Введение в эконометрику. Текст. учебник / Доугерти К. -М.: ИНФА, 2001.-402с.

24. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования. Текст. учебник / Дуброва Т.А. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 206 с.

25. Дятлов А.Н. Оптимизация маркетингового бюджета фирмы с использованием моделей S-образных кривых функций спроса Текст. / Дятлов А.Н., Артамонов С.Ю. //Экономический журнал ВШЭ. 1999. -№ 4. - С. 32 - 40.

26. Зарова Е.В. Эконометрическое моделирование и прогнозирование развития региона в краткосрочном периоде. Текст. / Зарова Е.В., Хасаев Г.Р. М.: Экономика, 2004. - 149 с.

27. Кашьяп Р.А. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. Текст. / Кашьяп Р.А., Рао А.Р. М.: Наука, 1983.-384 с.

28. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. Текст. / Кейн Э. М.: Статистика, 1977. - 435 с.

29. Кендэл М. Временные ряды. Текст. / Кендэл М. М.: Финансы и статистика, 1981. - 320 с.

30. Клейнер Г.Б. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения. Текст. / Клейнер Г.Б., Смоляк С.А. М., 2000. - 104 с.

31. Кобринский Н.Е. Информационные фильтры в экономике (Анализ одномерных временных рядов). Текст. / Кобринский Н.Е. М.: Статистика, 1978. - 287 с.

32. Кобринский Н.Е. Точность экономико-математических моделей. Текст. / Кобринский Н.Е., Кузьмин В.И. М.: Финансы и статистика, 1981. -324 с.

33. Конюховский П.В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. Текст. / Конюховский П.В. СПб: изд. дом. Питер 2001 -224 с.

34. Кошечкин С.А. Алгоритм прогнозирования объёма продаж в MS EXCEL. Текст. / Кошечкин С.А. //Маркетинг в России и за рубежом. -2001.-№ 5(25).-С.35 -42.

35. Кремер Н.Ш. Эконометрика. Текст.: учебник / Кремер Н.Ш., Путко Б.А. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.

36. Лобанова Е. И. Прогнозирование с учетом цикличности экономического роста Текст. / Лобанова Е. И. //Экономические науки. 1991. - № 1. — С. 25-30.

37. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной математической науки. Текст. / Лопатников Л.И. М.: Дело, 2003. - 520 с.

38. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. Текст. / Лукашин Ю.П. М.: Финансы и статистика, 2003.-416 с.

39. Лыоис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. Текст. / Льюис К.Д. М.: Финансы и статистика, 1986. - 326 с.

40. Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс. Текст.: учеб. пособие / Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. М.: Дело, 2004. - 576 с.

41. Маленво Э. Статистические методы эконометрики. Текст. / Маленво Э. М.: Статистика, 1975. - 424 с.

42. Мартино Дж. Технологическое прогнозирование. Текст. / Мартино Дж. М., 1977.-592с.

43. Моделирование экономических процессов Текст. /Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. -351 с.

44. Моторин В.И. Критерии и методы декомпозиции макроэкономических показателей. Текст. / Моторин В.И. М.: ГУ ВШЭ, 2005. - 60 с.

45. Нижегородцев Р.М. Среднесрочное прогнозирование динамики макроэкономических параметров при помощи гармонических трендов. Текст. / Нижегородцев P.M. //Теория активных систем: Тр. междунар. науч.-практич. конф. -М.: ИПУ РАН. 2003. Т.1. - С.120 - 126.

46. Нижегородцев P.M. Информационная экономика. Кн. 1. Информационная вселенная: Информационные основы экономического роста. Текст. / Нижегородцев P.M. М.-Кострома, 2002. - 163 с.

47. Орехов Н.А. Математические методы и модели в экономике. Текст. / Орехов Н.А., Лёвин А.Г., Горбунов Е.А. М.: ЮНИТИ, 2004. - 303 с.

48. Павлов В.Д. Инструментарий моделирования многокомпонентных рядов динамики с использованием функции Рамсея. Текст./

49. Павлов В.Д. // Материалы научно-практической конференции СГАУ,. -Самара: СГАУ. 2006. - С. 81-84.

50. Павлов В.Д. Компьютерный анализ моделей нелинейной динамики. Текст. / Павлов В.Д. Семенычев В.К. // Материалы четвертой Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы».- Воронеж: ВГУ, 2008. С. 255260.

51. Павлов В.Д. Моделирование и прогнозирование логистических трендов. Текст. / Павлов В.Д. // Сборник статей III Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых 26-27 апреля 2008г. Самара: СМИУ, 2008.- С. 98-104.

52. Петров А.А. Опыт математического моделирования экономики. Текст. / Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 554 с.

53. Писарева О.М. Методы социально -экономичесого прогнозирования. Текст. / Писарева О.М. М 2003. 397с.

54. Половников В.А. Модели и методы экономического прогнозирования. Текст. / Половников В.А., Горчаков А.А. М.: МЭСИ, 1980. - 116 с.

55. Постан М.Я. Обобщенная логистическая кривая: её свойства и оценка параметров Текст. / Постан М.Я.//Экономика и математические методы. 1993. - Т. 29. Вып.2. - С. 305 - 310.

56. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. Текст. / Плотинский Ю.М. М.: Логос, 1998. - 279 с.

57. Садовникова Н.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. Текст. / Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. М.: МЭСИ, 2004. - 200 с.

58. Светуньков С.Г. Модели спроса1 и предложения вг- пространстве цена-объем-доход. Текст. / Светуньков С.Г. М., 2003 - 102с.

59. Семёнычев В.К. Идентификация экономической динамики на основе моделей авторегрессии. Текст. / Семёнычев В.К. Самара: АНО Изд-во СНЦ РАН, 2004. - 243 с.

60. Семенычев В.К., Семенычев Е.В. Информационные системы в экономике. Эконометрическое моделирование инноваций. Текст. / Семенычев В.К. Самара: Изд-во СГАУ. 2006. - 217 с.

61. Семёнычев В.К. Эконометрическое моделирование и прогнозирование рядов динамики на основе параметрических моделей авторегрессий. Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора экономических наук. М:. РЭА имени Г.В.Плеханова, 2005. — 37 с.

62. Семёнычев В.К. Использование Z-преобразования для идентификации моделей временных, «невременных» и пространственно-временных рядов. Текст. / Семёнычев В.К. //Вест. СамГТУ. Сер. Технические науки. Самара, 2005. - № 33. - С.353 - 357.

63. Семенычев В.К. Программный комплекс для моделирования логистической динамики временных рядов. Текст. / Семенычев В.К.,

64. Павлов В.Д. // Материалы научно-практической конференции Пенза-2007. С. 46-51.

65. Семенычев В.К. Моделирование и прогнозирование нелинейной экономической динамики с логистическим трендом. Текст. / Семенычев В.К., Павлов В.Д. Семенычев В.В. // Методические указания к выполнению лабораторных работ // Самара: СМИУ, 2008. - 20с.

66. Семенычев В.К. Моделирование логистической тенденции с учетом типовых помех. Текст. / Семёнычев В.К., Семенычев Е.В. //Вест. СамГТУ. Сер. Технические науки. Самара, 2005. - № 31. - С. 112 - 117.

67. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. Текст. / Сергиенко А.Б.-СПб.: Питер, 2006. 751 с.

68. Скопина И.В. Оценка тенденций развития, колеблемости и цикличности конкурентного потребительского рынка. Текст. / Скопина И.В. // Маркетинг в России и за рубежом. 2003. - № 6 (38). - С.49 - 57.

69. Слуцкий Е.Е. Избранные труды. Текст. / Слуцкий Е.Е. М.: Изд-во АН СССР, 1960.-325 с.

70. Степанов Н.П. Использование моделирования как метода исследования процесса нововведения (по материалам зарубежной экономической литературы). Текст. / Степанов Н.П. //Инновационные процессы: сб. тр. М.: ВНИИСИ, 1992. - С. 146 - 173.

71. Стерник Г.М. Статистический подход к прогнозированию цен на жилье//Экономика и математические методы. Текст. / Стерник Г.М. -1998. Т. 34. Вып. 1. - С.85 - 90.

72. Твисс Б. Прогнозирование для технологов и .инженеров. Практическое руководство для принятия лучших решений. Текст. / Твисс Б. Н.Новгород: Парсек НН, 2001. - 256 с.

73. Тихомиров Н.П. Эконометрика. Текст. / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. М.: Экзамен, 2003. - 512 с.

74. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. Текст. / Федосеев В.В., Эриашвили Н.Д. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.-159 с.

75. Френкель А.А. Моделирование сезонных колебаний в экономических процессах. Текст. /Френкель А.А., Горелик Н.А. //Экономика и математические методы. 1977. - Т. 13. Вып. 2. - С. 372 - 377.

76. Чернышев C.JI. Моделирование экономических систем и прогнозирование их развития. Текст. / Чернышев C.JI. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 232 с.

77. Четвериков Н.С. Методика вычисления сезонной волны в кратковременных рядах. Текст. / Четвериков Н.С. //Статистические исследования. М.: Наука, 1975. - С. 146 - 151.

78. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. Текст. / Четыркин Е.М. М.: Статистика, 1977. - 192 с.

79. Шатаев И.М. Сезонные колебания в бытовом обслуживании. Текст. / Шатаев И.М. М.: Легкая индустрия, 1977.- 49 с.

80. Швырков В.В. Моделирование внутригодичных колебаний спроса. Текст. / Швырков В.В., Швыркова Т.С. М.: Статистика, 1973. — 174 с.

81. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Текст. / Шелобаев С.И. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 367 с.

82. Щелобаева И.С. Моделирование интервальных оценок при прогнозировании тренд-сезонных экономических процессов: автореф. диссертации кандидата экономических наук. Текст. /ВЗФЭИ. М., 2003. -18 с.

83. Эконометрика. Текст. /Под ред. И.И.Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2005. - 575 с.

84. Экономико-математические методы и прикладные модели Текст./Под ред. В.В.Федосеева. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 304 с.

85. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. Текст./ Янч Э. М.: Прогресс, 1974. - 380 с.

86. Andrews D.F. A robust method for multiple linear regression. TeKCT.//Technometrics. 1974. - V. 16. № 4.

87. Bridges E. New technology adoption in innovative marketplace. Текст. //Jnter Journal of Forecasting. 1991. - vol.7, № 2. - P. 257 - 270.

88. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance. Текст.- Cambridge University Press, 2002. 340 p.

89. Diebold F. and Lopez J. Modeling Volatility Dynamics, in K. Hoover (ed.), Macro econometrics: Developments, Tensions, and Prospects. Текст.-Boston: Kluwer Academic Press, 1995. -P.427 472.

90. Durbin J., Murphy MJ. Seasonal adjustment based an a mixed-additive-multiplicative model TeKCT.//Statist. Sos., ser. A. vol. 138, n.3. - P. 385

91. Gali J., Gertler V. Inflation dynamics: A structural econometric analysis Текст. //Journal of Monetary Economics. 1999. - № 44.1. P. 195 -222.

92. Goldfield S.U., Quandt R.E. Nonlinear methods in econometrics. Текст. -Amsterdam: Nort Holland, 1977.

93. Jonston J. and Di Nargo J. Econometric Methods. Текст.- Mc. Graw Hill, 1997.-328 p.

94. Koenker G. and Bassett, Jr. Regression Quantiles//Econometrica. Текст.-1978. Vol.46, Nol (January).

95. ЮЗ.Наппап E.J. The estimation of season variation. Текст. Ark. Mat. 1. 1951.- 257 p.

96. Life Cycles and Long WavesTeKCT. //T.Vasko, R.Aytes. Springer. 1990. -328 p.

97. Muller W. Quantile Regression/Institute fur Angewandte Mathematic: Universitat Heidelberg: Preprints. Текст.- Germany, 1991, April. N. 624. -P. 551 -571.

98. Hendry D. Dynamic Econometrics. Текст. Oxford University Press, 1995.- 304 p.

99. Ramsay J.O. A comparative study of several robust estimates of slope, intercept a scale in linear regressionTeKCT. //JASA.-1977.- v.72, № 3.

100. Ramu Ramanathan. Introductory Econometrics with Applications. Текст.-4th ed. Harcourt Inc, 1998. - 363 p.

101. Theil P., Wage S. Some observations on adaptive forecastingTeKCT.// Management Science. 1964. - Vol.10. - P. 21 - 62.

102. Winters P.R. Forecasting sales by exponentially weighted moving averages TeKCT.//Management Science. 1960. - Vol. 6, № 3. - P.68 - 79.410.