автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Прогнозирование по эмпирическим зависимостям в классе элементарных функций методами регрессии и авторегрессии

На правах рукописи 003053Т0Т

Кравцова Анна Геннадьевна

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПО ЭМПИРИЧЕСКИМ ЗАВИСИМОСТЯМ В КЛАССЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ РЕГРЕССИИ И АВТОРЕГРЕССИИ (НА ПРИМЕРЕ МИКРОПРОЦЕССОРОВ)

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2007 г.

003053707

Работа выполнена в Смоленском государственном университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор технических наук, профессор

Дьяконов Владимир Павлович

Доктор технических наук, профессор Холоднов Владислав Алексеевич

Кандидат технических наук, доцент Неклюдов Сергей Юрьевич

Научно-исследовательский центр Военной академии противовоздушной обороны Вооруженных сил РФ

МЗ 2007г. на заседании диссертационного совета Д212.230.03 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)» по адресу: 190013, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д.26.

Ведущая организация:

Защита состоится

Отзывы на автореферат (в одном экземпляре, заверенные печатью) просим направлять по адресу: 190013, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д.26, Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Ученый совет.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института.

Автореферат разослан « | ^ »

2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., доцент / В.И. Халимон

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Выявление приближенных эмпирических зависимостей в технических системах и устройствах, отражающих изменение их технологических параметров, с целью подготовки прогнозов их развития, приобретает в настоящее время важную роль в связи с необходимостью своевременного инвестирования в них средств и планирования обеспечения производства материальными и иными ресурсами. Прогноз характеристик компьютеров и их компонентов имеет огромное значение. В свое время отсутствие или неточности такого прогноза в СССР привели к тому, что направление разработки персональных компьютеров не получило своевременного развития. Ныне прогноз важен для оценки времени перехода от однопроцессорных компьютеров к многопроцессорным и от последовательных вычислений к параллельным.

Такой прогноз может использоваться для принятия решений о сроках начала приоритетных направлений развития вычислительной техники, оценки сложности и стоимости персональных компьютеров и, наконец, при принятии решения о приобретения компьютера с теми или иными характеристиками.

Данные о технологических параметрах ряда устройств, например микропроцессоров, чипсетов, микросхем памяти и др. зачастую отличаются неполнотой, большим разбросом значений данных, неравномерностью распределения по времени и, порою, чрезмерно большими значениями. Например, число транзисторов на кристалле микропроцессоров достигло миллиарда. Это сильно затрудняет применение классических методов обработки эмпирических зависимостей, реализованных в электронных таблицах, статистических программах и программных модулях на обычных языках программирования.

В связи с этим возрастает роль обработки эмпирических зависимостей современными методами нелинейной регрессии и авторегресии, в частности новейшими и мало изученными методами Берга, Юле-Уокера и др. Важное значение приобретает также предварительная обработка данных, в частности сглаживание данных эмпирических зависимостей и применение вычислительных средств для работы с данными с большим динамическим диапазоном их численных значений.

Решение упомянутой выше задачи является актуальным для построения и обработки эмпирических зависимостей, л частности, для прогнозирования процессоров ЭВМ.

Работа выполнялась в Смоленском государственном университете на кафедре «Информатика и электрорадиотехника» в рамках приоритетных направлений фундаментальных исследований, утвержденных Правительственной комиссией Российской Федерации по научно-технической политике 21.07.96г. и по плану госбюджетных научных работ СмолГУ.

Цель и задачи работы

Целью диссертации является разработка математических моделей, алгоритмов и программных модулей в области математического моделирования и

прогнозирования эмпирических зависимостей и их применение для прогнозирования характеристик процессоров ЭВМ.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Выполнение сравнительного анализа возможностей существующих инструментальных средств, позволяющих вести автоматизированную обработку эмпирических зависимостей (сглаживание, регрессию и прогноз)

2. Разработка эффективного комплекса средств математического моделирования и обработки эмпирических зависимостей путем:

• сглаживания зашумленных эмпирических зависимостей,

• выделения и подавления тренда и сезонных компонент,

• построения линейных моделей временных рядов.

3.Выявление возможности авторегрессионного метода Берга в осуществлении прогнозов эмпирических зависимостей и проведения математического моделирования прогноза на достаточном числе тестовых примеров с целью оценки эффективности прогноза.

4. Получение научно обоснованных прогнозов параметров микропроцессоров:

• роста числа транзисторов на кристалле,

• роста рабочих частот,

• уменьшения технологического разрешения микросхем и их площади и др.

Методы исследования. В ходе выполнения диссертационной работы были использованы разделы следующих дисциплин: вычислительная математика, численные методы, математический анализ и статистика, математическое моделирование, теория алгоритмов и программирование, современные системы компьютерной математики.

Обоснованность научных результатов обеспечивается применением строгих математических и статистических методов решения задач прогнозирования технологических параметров и тестированием программ на контрольных примерах.

Достоверность теоретических разработок подтверждена совпадением результатов вычислительного эксперимента на ЭВМ с данными литературы, что позволяет сделать вывод об эффективности разработанных методов моделирования и обработки эмпирических зависимостей.

Научная новизна

1. Результаты исследования ряда компьютерных математических систем (МаШсаё 200Ш11/12, Мар1е 7/8/9, МаЛетаИса 4.1/4.2/5 и МАТЬАВ 6.0/6.1/6.5/7) показали возможность их использования в проведении регрессии и прогноза эмпирических зависимостей.

2. Разработаны алгоритмы и программные модули сглаживания (в том числе комбинированного и с применением вейвлет-преобразований) зашумленных эмпирических зависимостей.

3. Установлено, что сочетание вейвлет-преобразований с медианным сглаживанием дает наименьшую сумму квадратов ошибок исходных и результирующих данных.

4. Предложено совместное применение методов сглаживания эмпирических зависимостей с авторегрессионным методом Берга для предсказания значений обширного ряда типовых эмпирических зависимостей в классе элементарных функций, имеющих высокий уровень шумовой компоненты и отличающихся большими значениями данных.

5. Разработаны алгоритмы и реализующие их программные модули, позволяющие путем математического моделирования прогноза методом Берга вычислять время предсказания с заданной погрешностью.

6. Получены уточненные параметры показательной зависимости для роста числа транзисторов на кристалле микропроцессоров, роста их рабочей частоты, снижения минимальных размеров элементов микросхем и уменьшения площади кристаллов микросхем памяти, позволяющие судить о характеристиках микросхем в будущем.

Теоретическая значимость заключается в следующем:

Разработанные в диссертации математические модели и программы могут быть использованы для развития средств обработки и прогнозирования эмпирических зависимостей и представляющих их данных.

Практическая ценность:

• разработанные алгоритмы и программы обработки данных с широким динамическим диапазоном и высоким уровнем их разброса могут быть использованы в практической деятельности при построении моделей эмпирических зависимостей;

• применение прогнозов методом Берга, по регрессионным и сплайновым зависимостям, обеспечивающее проведение прогнозов с заданной погрешностью для ряда важных для практики характеристик изделий микроэлектроники;

• эмпирические формулы и осуществленные на их основе прогнозы, которые позволяют судить об уровне развития микроэлектронных изделий в ближайшие годы и оценивать тенденции их развития.

Основные положения, выносимые на защиту:

¡.Результаты исследования возможностей ряда компьютерных математических систем в выполнении операций регрессии эмпирических зависимостей и осуществлении прогноза.

2. Алгоритмы и программные утилиты сглаживания (в том числе комбинированного и с применением вейвле1-иреобразований) зашумленных эмпирических зависимостей;

3. Области применения авторегрессионного метода Берга для предсказания значений обширного класса эмпирических зависимостей.

4. Алгоритмы и программные модули, позволяющие вычислять время предсказания методом Берга по заданной погрешности в ходе моделирования процесса предсказания.

5.Параметры аппроксимирующих и прогнозирующих показательных зависимостей для различных характеристик интегральных микросхем.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ряде международных научных конференций: Международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения», проходивших на базе физико-математического факультета Смоленского государственного университета (СмолГУ) в 2001 - 2005 гг., VII Кирилло-Мефодиевских чтениях, проходивших в Смоленском гуманитарном университете, 2001г. и др.

Результаты прогноза используются в научно-производственном закрытом акционерном обществе «Валко Электронике» для оценки перспектив перехода на новые (в частности многоядерные) процессоры и заказа наиболее перспективных типов персональных компьютеров для их реализации в Смоленской области, о чем имеется справка о внедрении. Результаты работы приняты к рассмотрению и дальнейшему внедрению на ЗАО ПО «Искра».

Работа отмечена дипломом Смоленского областного конкурса молодых ученых в 2005г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ, среди которых 8 статей и тезисы 3-х докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений. Объем диссертации составляет 151 страницу основного текста, содержит 124 рисунка, 8 таблиц, 4 приложения. Библиография включает 126 наименований отечественной и зарубежной литературы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, приводятся цели и задачи исследования, определяются научная новизна, практическая и теоретическая значимость работы. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации результатов работы.

Первая глава освещает вопросы, связанные с развитием методов и средств проведения регрессионного анализа и их реализации в компьютерных математических системах (KMC). Выбор именно этого инструментария обусловлен повышенной точностью вычислений (до миллиона верных знаков у некоторых систем) и практическим отсутствием ограничений разрядной сетки. Этими возможностями не обладают электронные таблицы, статистические программы и языки программирования высокого уровня. Между тем именно они необходимы для решения задач регрессии и авторегрессии с данными, имеющими большие числовые значения.

Приведен обзор средств предварительной обработки данных, а также проведения различных видов регрессии в компьютерных математических системах. Было исследовано проведение нелинейной регрессии в современных KMC. Дается сравнительный систематизированный анализ средств проведения множественной регрессии в современных KMC Mathcad 2001У11/12, Maple 7/8/9, Mathe-matica 4.1/4.2/5 и Matlab 6.0/6.1/6.5/7.

Проведенное исследование показало, что ни в одной из рассмотренных KMC нет полного набора функций для проведения хотя бы наиболее распростра-

ненных видов регрессии. Особенно слабо представлены средства выполнения прогноза в ядрах KMC. Так, была обнаружена и изучена единственная функция predict, реализованная в ядре системы Mathcad. Это говорит о необходимости реализации таких средств пользователями KMC, которая и выполнена в последующих главах.

Во второй главе показана эффективность, разработанного автором алгоритма сглаживания зашумленных данных с использованием комбинированного вейвлет-преобразования, для которого построены программные модули.

Новым и перспективным видом сглаживания данных является сглаживание с помощью дискретных вейвлет-преобразований ограничением числа их коэффициентов. Вейвлеты характеризуются своим временным и частотным образами. Временной образ определяется некоторой psi-функцией \|/(t) времени. А частотный образ определяется ее Фурье-образом у/(й)) — F(fij), который задает огибающую спектра вейвлета. Фурье-образ определяется выражением:

оо

F{co) = \ip(t)e~imdt (1)

-00

В результате проведенного исследования для вейвлет-сглаживания были выбраны вейвлеты Койфлета и дискретные вейвлет-преобразования по пирамидальному алгоритму Мала со снижением уровня преобразований с максимального уровня 9 до 6 (рис. 1).

В таблице 1 показано улучшение вейвлет-медианного сглаживания по сравнению с обычными и комбинированными методами.

Таблица 1 - Данные по э( (фективности вейвлет-медианного сглаживания

№ испытания Улучшение вейв-лет-сглаживания по сравнению с обычными методами, % Улучшение вейвлет-медианного сглаживания по сравнению с обычными методами, % Улучшение комбинированных методов по сравнению с обычными методами, %

1 6.7 10.5 8.9

2 19.5 24.1 5.4

3 15.2 18.9 7.7

4 12.4 17.2 7.8

5 12.8 16.6 6.9

6 14.7 18.6 6.2

7 16.2 20.8 5.3

8 21.2 25.8 6.5

9 7.4 10.8 8.4

10 11.2 15.2 7.8

Среднее 13,7 17,9 7,1

Семейство фильтров типа Койфлета

N •= 1024 1 -0 К -1 л = 1 Щ = —— +1 Исходная зависимость х ■= м* м м 10 + 1

^ - Х[+ ай(1) - 03 Наложение шума на исходную зависимость IV 1= ¿5й(У,4,сиЯе1(12)) 4-х уровиевое вейвлет-преобразование вектора У

МЛ* 9 кю 1,2.1

М'Л'ЛУЛ ЬМгММ ш■

• 1

ь=б тми

«л ДУЛ'«

т -о

Г™-'

,4,см£И(1ЭД Обратное 4-х уровневое вейвлет-преобразование вектора М

Е-= иримгайф! ,01) Вейвлет- экспоненциальное сглаживание

График исходной зашумленной зависимости и сглаженной с помощью одномерного дискретного вейвлет-преобразования с использованием 12-коэф-го вейвлет-фильтра Койфлвта

=87019

У|Е.-ЗС.3-43П

Сумма квадратов ошибок между сглаженной и зашумленной зависимостями сигнала

Рис. 1 - Программа вейвлет-сглаживания с использованием 12-коэффициентного фильтра Койфлета, а также вейвлет-экспоненциапьного сглаживания

В третьей главе описываются результаты работы, касающиеся экстраполяции и предсказания изменения технических параметров по эмпирическим зависимостям, представленным выражениями в виде элементарных функций.

Прогноз по формуле детерминированной зависимости в чистом виде не представляет большого научного интереса, поскольку сводится к тривиальному расчету значения известного детерминированного выражения в заданной точке. Главной особенностью такого прогноза является анализ поведения прогнозирующей функции «в будущем». Классическим примером эффективного применения такого метода является реализация итерационного метода решения дифференциальных уравнений с прогнозом очередного значения решения.

Прогноз по универсальным методам экстраполяции эмпирических зависимостей (в том числе) дискретных означает, что речь идет о применении единообразных методов, пригодных для прогнозирования определенных классов детерминированных зависимостей, в условиях, когда конкретная зависимость нам неизвестна или мы можем высказать о ее характере лишь определенные предположения. К таким методам можно отнести авторегрессионный метод и его варианты в виде методов Берга или Юле-Уолкера.

Здесь особо важно отметить, что исходные зависимости представлены в дискретном виде или в виде временных рядов. Таким образом, никаких явных указаний на то, к какому классу детерминированных зависимостей относится исходная совокупность данных нет. Это делает решение задачи прогноза интересной как в научном, так и прикладном плане.

Следующий подход предполагает, что эмпирические зависимости содержат ошибки и зашумлены. Иными словами в них появляется элемент случайности, что может резко ухудшить прогноз и даже сделать его теоретически (но не практически) невозможным. Более или менее корректные теоретические оценки погрешности в данном случае можно получить только в том случае, когда шум распределен по нормальному закону. Для этого случая существует множество готовых методик предсказания, например введенных в статистические компьютерные математические системы (KMC), такие как Statistica.

В ряде случаев нам заведомо известно, что шумовая компонента исходных данных не несет никакой полезной информации и может быть по возможности отсеяна или существенно ослаблена. Это реализует метод предсказания с очисткой от шума тем или иным способом. Основная трудность применения этого метода связана с тем, что очистка от шума сопровождается искажением исходной зависимости. К данному методу можно отнести и прогноз по полученному уравнению регрессии.

В этой главе:

• Выполнено обобщение и обзор функций экстраполяции и предсказания эмпирических зависимостей в современных компьютерных математических системах;

• На примерах 8 типовых чистых зависимостей, а также зависимостях с наложением на них различных шумов и очищенных различными методами выпол-

нено исследование функции predict системы Mathcad, реализующей авторегрессионный метод Берга;

• Разработана методика оценки погрешности прогноза путем моделирования эмпирических зависимостей, как чистых, так и зашумленных;

• Установлено значительное ухудшение качества прогноза для зашумленных эмпирических зависимостей и разработана методика оценки этого ухудшения для периодов различного вида;

• Представлены различные реализации прогноза на основе регрессии, обеспечивающей минимизацию и оценку среднеквадратической погрешности с применением компьютерных математических систем.

Как явно недостаточными были оценены возможности предсказания по простым уравнениям регрессии, например линейной, квадратичной, полиномиальной и сплайновой.

Было показано, что для прогноза широкого класса эмпирических зависимостей, в том числе имеющих сложный тренд с колебательными компонентами, представляет интерес новый авторегрессионный метод Берга. Первоначально он был предложен для решения задач спектрального оценивания.

В алгоритме Берга используется оценка коэффициента отражения при спектральном оценивании, определяемая по методу наименьших квадратов. При каждом значении порядка р в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (выборочная дисперсия ошибки предсказания)

п-рй ' п=р+1

где полагается, что ошибки предсказания определяются рекурсивными выражениями:

efp[n] = efi[n] + kpefp_][n-ll

(3)

Из ряда известных преобразований можно получить следующее выражение для оценки коэффициента отражения по методу наименьших квадратов:

N

Р 1

Рр =

2

(2)

кр = —-^----(4)

п=р+\ и=р+1

Это оценка представляет собой гармоническое среднее коэффициентов частной корреляции ошибок предсказания вперед и назад. Было показано, что ее модуль не превышает единицы, а это гарантирует получение устойчивого прогнозирующего фильтра, имеющего только полюсы. Такой фильтр может исполь-

зоваться для предсказания значений сигнала по окончании его действия, причем как вперед, так и назад.

На основании оценок (4) Андерсоном было установлено, что реализация метода Берга при прогнозе требует выполнения З^-р2 комплексных сложений и умножений, а также р действительных делений. Кроме того, от требует памяти для хранения ЗК+р комплексных чисел.

Гармонический метод дает несколько смещенные оценки частоты синусоид. Для уменьшения этого смещения было предложено несколько модификаций этого метода. Их основное отличие - взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания

где 0)р_х [/?] определяет весовую функцию. Нетрудно видеть, что пока <з[п]>0,

модуль оценки |кр|<1. В алгоритме Берга используется равномерная весовая функция Op.i[n]=l/N.

Было выявлено, что реализация прогноза методом Берга есть только в системе Mathcad в виде функции predict. Однако из приведенной в справке по системе Mathcad пары простых примеров невозможно судить о классах предсказываемых зависимостей и достоверности предсказаний. В связи с этим было осуществлено исследование возможностей метода Бурга и функции predict для проведения прогнозов множества типовых детерминированных зависимостей, как идеальных, так и зашумленных. Исследования проводились применительно к наиболее распространенным эмпирическим зависимостям в классе элементарных функций.

Для наглядной визуализации прогноза был использован графический метод, а для отбора требуемых периодов прогноза с дискретностью в 1 год был разработан программный модуль, включающий инструкцию while. В качестве одного из примеров на рис. 2 представлен прогноз по полиномиальной функции со степенью полинома 4, с наложением на данную функцию случайного шума. Это один из множества примеров, представленных в диссертации.

Рр Л ^i^pm\efp[n]\2+\ebp[n]\2} ,

(5)

что приводит к следующей оценке коэффициента отражения:

N

(6)

п= р+1

2 3 4

у(х) = 1 + х + х + х + х На данную функцию накладываем шум у2(х) .= у(х) + тс)(2) - 1

р1 .= ргеАс<у2(2) ,30,30) к = 0.. 32

Наложение случайного шума на данную зависимость и построение прогноза по зашумленным данным

к,х,8+31

Рис. 2 - Пример программы прогноза на 30 временных единиц по полиномиальной функции (степень полинома равна 4) с наложением шума, период упреждения равен 30 временных единиц. На рис. 3 представлен график относительной погрешности такого прогноза.

График относительной погрешности прогноза по зашумленным данным от исходной зависимости, %

Рис.3 - График относительной погрешности прогноза д.= 1. 60

|у1 (д + 31) - рд|-100

^^ 1*1 (9 + 31)1

т(д) := тд Функция т(д) есть функция относительной погрешности прогноза для периода д, на который произведен прогноз

l(g)-=if(m(g)<J,g,0) n(g) := if(m(g) < lO.g.O)

Период, на который можно дать хороший прогноз Верхняя граница относительной погрешности прогноза 5%

Период, на который можно дать умеренный прогноз Верхняя граница относительной погрешности прогноза 10%

Ь(д)|Г(т(д) <20,д,0)

Период, на который можно дать удовлетворительный прогноз. Верхняя граница относительной погрешности прогноза 20%

9*-1

while 1(g) > 0

g*-g + i j

= 27

g 1 =30

while n(g) > 0

j<-g

g<-g + l i

g<-l =33

while h(g) > 0

g*-g+i j

Рис. 4 - Программные модули определения времени приемлемого прогноза На рис 4. представлены разработанные программные модули системы Ма&сас!, позволяющие оценивать время прогноза при заданной погрешности в ходе математического компьютерного моделирования процесса прогнозирования (см. данные таблицы 2).

Таблица 2 - Время приемлемого прогноза по линейной зашумленной зависимости очищенной от шума 3 методами при различных периодах упреждения,

№ п/п Вид зависимости Верхняя граница относительной погрешности прогноза, при периоде упреждения

30 временных единиц 15 временных единиц 7 временных единиц

20% 10% 5% 20% 10% 5% 20% 10% 5%

1. Линейная без шума 33 30 27 38 33 29 30 25 22

2. Линейная с наложением случайного шума 28 25 22 39 34 31 29 24 20

3. Линейная за-шумленная с очисткой по методу усреднения 10 6 1 16 11 0 14 10 7

4. Линейная за-шумленная с очисткой с использованием экспоненциальной фильтрации 13 10 7 19 14 12 17 13 9

5. Линейная за-шумленная с очисткой по методу скользящей медианы 29 27 24 41 36 33 33 28 24

В четвертой главе результаты проведенных исследований были применены для построения эмпирической показательной зависимости для удвоения количества транзисторов на микросхемах процессоров и удвоении тактовой частоты, а также уменьшения технологического разрешения микросхем и их площади.

По данным корпорации Intel впервые была составлена база данных по 163 типам микропроцессоров от 4004 до Pentium 4 и моделей с его архитектурой, содержащая данные о сроках выпуска процессоров и числе транзисторов на кристалле. Эти данные глобально характеризуют технологические достижения этой корпорации.

В 1965 г. Гордон Мур (один из основателей корпорации Intel) сделал примечательное наблюдение, согласно которому число транзисторов N на кристалле микросхем возрастает вдвое за каждый год или полтора года. В 1975 году он уточнил свой прогноз, оценив время удвоения уу в два года. Корпорация Intel сделала эту эмпирическую зависимость своим флагом и на протяжении более 30

лет поддерживала ее справедливость всей своей промышленной и финансовой мощью.

Зависимость, описывающая «закон Мура», относится к классу показательных зависимостей и может быть представлена одной из следующих формул:

Л

N(y) = N-2№ (7)

- для непрерывно нарастающей показательной зависимости;

zl

N(y) = N-2yy +а (8)

- для спадающей до бесконечного уровня а показательной зависимости.

В случае спадающей временной зависимости обычно приходится использовать дополнительный параметр а - значение N(y) приу—>оо.

Итак, зависимость, лежащая в основе «Закона Мура», является достаточно простой двухпараметрической (или трехпараметрической) монотонной функцией одной переменной у (время в годах, относительно первого года, который мы считаем нулевым). Рассмотрим метод наименьших квадратов для нахождения параметров N и уу приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с двумя параметрами F(y,N,yy). Тогда для п исходных точек имеем:

F(y„N,yy) = f„ / = 1,2,..., п (9)

Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций/ и F будет иметь вид:

Ъи1-Р{у,^,уу)\2=ф{Ы,уу). (Ю)

i=i

Сумма (10) является функцией ф(Ы,уу) двух переменных - начального значения искомой зависимости N, и времени удвоения уу. Задача сводится к отысканию параметров N и уу, обеспечивающих ее минимальное значение, Для этого используем необходимое условие экстремума, которое представлено в символьном виде в программе рис. 5.

Описанная методика определения параметров N я уу является вариантом нелинейной регрессии общего вида. Она позволяет отыскивать нужные параметры при произвольном (не обязательно равноотстоящем) расположении узловых точек исходных данных. К недостаткам метода относится необходимость решения системы нелинейных уравнений итерационными методами, возникновение при расчетах очень больших чисел, что может привести к переполнению разрядной сетки применяемой KMC.

В диссертации впервые было выполнено построение эмпирической зависимости на обширном числе микропроцессоров. Этот факт иллюстрирует рис. 5, где представлен документ системы Mathcad с математической иллюстрацией построения зависимости и реализацией нелинейной регрессии в соответствии с формулой (7). Документ является программой, написанной на визуально-ориентированном языке программирования KMC Mathcad.

Оценка параметра удвоения Т методом нелинейной регрессии

F(t,N,T) N 2

Формула удвоения

FI(t,k) =

t

2k>

ы ы2

ta(2>

—F(t,N,T) dN

—F(t,N,T) VS = I 2 dN V 2

—F(t,N,T) -> — F(t, N,T) dT dT

Ы •=-уЗ

1000

<2)

k •= genfrt (с,Ы ,VS,F1) 5 '

k =

1.263 x 10

0.506 G(t) = Fl(t,k) i ■= 1 . 163

Вектор к возвращает значения М=к 1 и Т =к 2 Для наилучшего среднеквадратического приближения Р(1,М,Т) с коэффициентом

корреляции согг

coir(G(c),bl) = 0 977

t = 0 14

7 := vi

(l)

,<2>

Новые процессоры

vi .=

( 12 406 291

12.498 410

13 013 850

12 557 376

1.13 013 1700

"Yonah Core Dual"

"Madison" "1/2 Intel Itanium 2" "Pentium 965 EE" "Intel Itanium 2"

График сглаженных данных после удаления резко выделяющихся наблюдений и значений по уравнению регрессии

2000

ы, • • •

G(t)l000 I

Pentium 9Б5 ЕЕ

G(12 557 ) = 376.373

c„t,z

Процессор Pentium 065 EE

Относительная погрешность прогноза, %

1376373 - 376000 1-100

--1-= 0 099

376000

G( 12 406) = 306 014 Процессор Yonah Core Dual

Относительная погрешность прогноза, %

¡306014 - 291000 I-100 291000

5 15 9

Рис. 5 - Нелинейная регрессия для данных о количестве транзисторов процессоров корпорации Intel

В этой главе были также предложены новые более точные зависимости, отражающие параметры «закона Мура» и зависимости, характеризующие рост по годам рабочей частоты микропроцессоров, снижения минимальных размеров элементов микросхем и уменьшения площади кристаллов микросхем памяти, позволяющие судить о характеристиках микросхем в будущем.

Выводы

1. Проведенное комплексное исследование задачи прогнозирования технологических параметров микропроцессоров с применением методов математического моделирования и вычислительного эксперимента показало отсутствие в ядре большинства универсальных компьютерных математических систем (Mathcad, Maple, Mathematica и Matlab) полного набора функций для решения задач нелинейной регрессии и предсказания технологических параметров.

2. Предложенные эффективные алгоритмы и программные модули сглаживания (в том числе комбинированного и с применением вейвлет-преобразований) зашумленных эмпирических зависимостей позволили в результате сочетания вейвлет-преобразований с медианным сглаживанием уменьшить наименьшую сумму квадратов ошибок исходных и результирующих данных.

3. Исследование функции предсказания predict, реализующей метод Берга в СКМ Mathcad обеспечивает возможность предсказания по эмпирическим зависимостям в широком классе элементарных функций.

4. Разработанные алгоритмы и программные модули позволяют вычислять время предсказания по заданной погрешности в ходе моделирования процесса предсказания по эмпирическим зависимостям.

5. Тригонометрическая регрессия рядами Фурье в классическом варианте плохо пригодна для решения задач предсказания зашумленных данных вследствие сильного расхождения рядов в краевых точках и влияния эффекта Гиббса. Разработанная реализация регрессии с приведением значений эмпирической зависимости к нулю на концах интервала приближения с ее последующим восстановлением после регрессии обеспечивает ускоренную сходимость рядов Фурье, подавление эффекта Гиббса и пригодность тригонометрической регрессии для предсказания.

6. Новые и уточненные показательные зависимости, полученные автором, для роста числа транзисторов на кристалле микропроцессоров, роста их рабочей частоты, снижения минимальных размеров элементов микросхем и уменьшения площади кристаллов микросхем памяти позволяют судить о характеристиках микросхем в будущем.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Дьяконов В.П., Кравцова А.Г. Предсказание детерминированных и зашумлен-ных зависимостей в системе Mathcad // Математические методы в технике и технологиях: Сб. трудов XVII международной научной конференции (научное издание). - Кострома: КГТУ, 2004. Т. 10. - С. 59-61.

2. Кравцова А.Г. Значение нормального распределения в регрессионном анализе / Смол. гос. пед. ун-т. — Смоленск: СГПУ, 2004. — 14с. — Библиогр.: 14 назв. — Рус. - Деп. в ВИНИТИ 12.02.2004 № 247-В2004.

3.Кравцова А.Г. Предсказание детерминированных дискретных зависимостей в системе Mathcad / Смол. гос. пед. ун-т. - Смоленск: СГПУ, 2004. - 48с. - Библи-огр.: 13 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 10.06.2004 № 997-В2004.

4. Дьяконов В.П., Кравцова А.Г. Оценка геометрических параметров интегральных микросхем по «Закону Мура» с помощью нелинейной регрессии // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. - Смоленск: СГПУ, 2005. - С. 26-30.

5. Дьяконов В.П., Кравцова А.Г. Уточнение «Закона Мура» для частот микропроцессоров корпорации Intel // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. - Смоленск: СГПУ, 2005.-С. 30-33.

6. Кравцова А.Г. Основные возможности системы Mathematica 4 для автоматизации статистических расчетов // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. - Смоленск: СГПУ, 2001. -С. 48-49.

7. Кравцова А.Г. Некоторые приемы проведения сглаживания данных // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. - Смоленск: СГПУ, 2002. - С. 26-29.

8. Кравцова А.Г. Средства проведения регрессии в современных системах компьютерной математики // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. - Смоленск: СГПУ, 2003. - С. 3234.

9. Кравцова А.Г. Предсказание по линейной и полиномиальной регрессии в системе Mathcad // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. - Смоленск: СГПУ, 2004. - С. 21-24.

10. Кравцова А.Г. Проведение линейного предсказания в системе компьютерной математики Ма01сас1//Университетский вестник. - Смоленск: Издат-во «Универсум». - 2004. - №5. - С.88-92.

11. Кравцова А.Г. Повышение качества регрессионных моделей в оценке стоимости машин и оборудования//Вестник Костромского государственного университета им. Некрасова. - 2005. - №12. - С.214 - 215.

Зак. «Синтез» Московский пр., 26

18.01.07 г. Зак. 10-70 РТП Ж «Синтез» Московский пр., 26

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Методы и средства проведения регрессионного анализа.

1.1. Значение регрессионного анализа для построения эмпирических зависимостей.

1.2. Реализация методов обработки эмпирических зависимостей в компьютерных математических системах.

1.3. Статистические методы оценки парных зависимостей по экспериментальным данным.

1.4. Сравнительный анализ средств проведения регрессии в современных компьютерных математических системах.

1.5. Исследование функций проведения нелинейной регрессии по параметрам в современных KMC.

1.6. Статистические методы построения многофакторных эмпирических зависимостей в современных KMC.

1.7 Выводы.

Глава 2. Статистическая обработка данных в KMC.

2.1 Моделирование тестовых сигналов с шумом.

2.2. Очистка данных с использованием методов скользящих средних.

2.3. Очистка зашумленных данных на основе вейвлет-преобразований.

2.4. Выделение трендовой составляющей временного ряда.

2.5. Удаление тренда с использованием простых разностных операторов.

2.6. Выделение сезонных эффектов на фоне тренда в системе Mathcad.

2.7. Удаление сезонных компонент из ряда с использованием сезонных разностных операторов.

2.8. Корреляционный анализ в системе Mathcad.

2.9. Построение линейных моделей временных рядов в системе Mathcad.

2.10. Выводы.

Глава 3. Экстраполяция и предсказание эмпирических зависимостей.

3.1. Предсказание эмпирических зависимостей.

3.2. Осуществление предсказаний в системах Mathcad 2001/

3.3. Проведение прогноза по сглаженным данным.

3.4. Оценка предсказания по формулам регрессии.

3.5. Предсказание сплайнами.

3.6. Использование преобразований Фурье для осуществления предсказаний.

3.7. Предсказание методом Юле-Уолкера.

3.8. Предсказания в многомерном случае.

3.9. Выводы.

Глава 4. Построение эмпирических формул в практических примерах.

4.1 Проверка выполнения «закона Мура» на рост числа транзисторов в системе Mathcad.

4.2 Применение линейной регрессии для проверки действия «закона Мура» на рост числа транзисторов.

4.3 Исследование увеличения тактовой частоты процессоров фирмы Intel

4.4. Прогноз геометрических параметров интегральных микросхем по «закону Мура» с помощью нелинейной регрессии.

4.5. Выводы.

ВЫВОДЫ.

Проблема обработки и прогнозирования эмпирических зависимостей занимает важное место в современных научных исследованиях и практической деятельности, в частности для прогноза развития процессоров ЭВМ. Область применения методов обработки эмпирических данных довольно обширна. К ней относятся техника, производство, экономика, бизнес, медицина, социология, психология и многие другие сферы человеческой деятельности.

Широкому внедрению методов анализа эмпирических зависимостей в 60-х и 70-х годах XX века немало способствовало появление компьютеров, а начиная с 80-х годов - персональных компьютеров. Статистические программные пакеты сделали методы анализа эмпирических зависимостей более наглядными и доступными: теперь уже не требовалось вручную выполнять трудоемкие расчеты по сложным формулам, строить таблицы и графики - всю эту черновую работу взял на себя компьютер, а человеку осталась главным образом творческая работа: постановка задач, выбор методов их решения и интерпретация результатов.

При обработке эмпирических зависимостей важное значение имеет регрессионный анализ, используемый для создания удобных для дальнейшего исследования моделей, сглаживания данных и предсказания поведения сложных систем и устройств. Во всех случаях первостепенный интерес имеет гарантированная (с заданным уровнем надежности) оценка погрешности модели и прогноза. Проблема эта достаточно хорошо исследована в так называемом «классическом случае» - в предположении приближенной нормальности и независимости ошибок наблюдений и отсутствии систематической погрешности. Но на практике нормальность закона распределения, как правило, не гарантируется. Поэтому теоретическая оценка погрешности модели и прогноза не может быть получена. Однако это не мешает дать ее практическую оценку, используя моделирование предсказания на основе определенных тестовых примеров.

В настоящее время средствами для обработки данных, включая эмпирические зависимости, обладают статистические пакеты, такие как STA-TISTICA, STATGRAPHICS, SPSS и др. В универсальных компьютерных математических системах также имеется достаточно обширный набор средств в области обработки данных, но возможности и области применения их, в частности, в обработке эмпирических зависимостей, мало изучены.

В связи с этим одной из главных задач данной диссертации является рассмотрение возможностей применения средств обработки эмпирических зависимостей с приемлемой для практики точностью с применением компьютерных математических систем, имеющих преимущества в области математической наглядности и визуализации результатов вычислений.

Кроме того, задачи обработки эмпирических зависимостей занимают определенное место в учебных программах курсов по математике, информатике, статистике, в частности при подготовке специалистов технических и гуманитарных специальностей. Однако, в настоящее время в этом вопросе имеются пробелы, что не позволяет рассмотреть ряд актуальных задач обработки данных. К числу таких задач относится, например, сглаживание данных с использованием вейвлет-преобразований и решение задач предсказания. Это также определяет необходимость дальнейших исследований в этой области.

Целью диссертации является разработка математических моделей, алгоритмов и программных модулей в области математического моделирования и прогнозирования эмпирических зависимостей и их применение для прогнозирования характеристик процессоров ЭВМ.

Для достижения данной цели необходимо решение следующих задач:

1. Выполнить сравнительный анализ возможностей существующих инструментальных средств, позволяющих вести автоматизированную обработку эмпирических зависимостей (сглаживание, регрессию и прогноз)

2. Разработать эффективный комплекс средств математического моделирования и обработки эмпирических зависимостей:

• сглаживания зашумленных эмпирических зависимостей,

• выделения и подавления тренда и сезонных компонент,

• построения линейных моделей временных рядов.

3. Выявить возможности авторегрессионного метода Берга в осуществлении прогнозов эмпирических зависимостей и провести математическое моделирование прогноза на достаточном числе тестовых примеров с целью оценки эффективности прогноза.

4. Дать научно обоснованные прогнозы следующих технологических параметров:

• роста числа транзисторов на кристалле микропроцессоров,

• роста рабочих частот микропроцессоров,

• уменьшения технологического разрешения микросхем и их площади.

В ходе выполнения диссертационной работы были использованы разделы следующих дисциплин: вычислительная математика, численные методы, математический анализ и статистика, математическое моделирование, теория алгоритмов и программирование, современные системы компьютерной математики.

Разработанные в диссертации математические модели и программы могут быть использованы для развития средств обработки и прогнозирования технологических параметров и представляющих их данных.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

• разработанные алгоритмы и программы обработки данных с широким динамическим диапазоном и высоким уровнем их разброса могут быть использованы в практической деятельности при построении моделей эмпирических зависимостей;

• применение прогнозов методом Берга, по регрессионным и сплайно-вым зависимостям, обеспечивающее проведение прогнозов с заданной погрешностью для ряда важных для практики характеристик изделий микроэлектроники;

• эмпирические формулы и осуществленные на их основе прогнозы, которые позволяют судить об уровне развития микроэлектронных изделий в ближайшие годы и оценивать тенденции их развития.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

1. Результаты исследования возможностей ряда компьютерных математических систем в выполнении операций регрессии эмпирических зависимостей и осуществлении прогноза.

2. Алгоритмы и программные утилиты сглаживания (в том числе комбинированного и с применением вейвлет-преобразований) зашумленных эмпирических зависимостей;

3. Области применения авторегрессионного метода Берга для предсказания значений обширного класса эмпирических зависимостей.

4. Алгоритмы и программные модули, позволяющие вычислять время предсказания методом Берга по заданной погрешности в ходе моделирования процесса предсказания.

5. Параметры аппроксимирующих и прогнозирующих показательных зависимостей для различных характеристик интегральных микросхем.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ряде международных научных конференций: XVII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», проходившей в 2004г. в г. Костроме, Международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения», проходивших на базе физико-математического факультета Смоленского государственного университета (СмолГУ) в 2001 - 2005 гг., VII Кирилло-Мефодиевских чтениях, проходивших в Смоленском гуманитарном университете, 2001г. и др.

Работа выполнялась в Смоленском государственном университете на кафедре «Информатика и электрорадиотехника» в рамках приоритетных направлений фундаментальных исследований, утвержденных Правительственной комиссией Российской Федерации по научно-технической политике 21.07.96г. и по плану госбюджетных научных работ СмолГУ.

Результаты прогноза используются в научно-производственном закрытом акционерном обществе «Валко Электронике» для оценки перспектив перехода на новые (в частности многоядерные) процессоры и заказа наиболее перспективных типов персональных компьютеров для их реализации в Смоленской области, о чем имеется справка о внедрении. Результаты работы приняты к рассмотрению и дальнейшему внедрению на ЗАО ПО «Искра».

Работа отмечена дипломом Смоленского областного конкурса молодых ученых в 2005г.

По теме диссертации опубликовано 11 работ, 3 из которых в соавторстве.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений. Объем диссертации составляет 151 страницу основного текста, содержит 124 рисунка, 8 таблиц, 4 приложения. Библиография включает 126 наименований отечественной и зарубежной литературы.

выводы

Как показывает проведенное исследование, одним из направлений применения регрессионного анализа является прогнозирование характеристик процессоров.

В целом результатами исследований, представленных в рамках выполненной диссертации, оговорены следующие выводы:

1. Проведенное комплексное исследование задачи прогнозирования технологических параметров микропроцессоров с применением методов математического моделирования и вычислительного эксперимента показало отсутствие в ядре большинства универсальных компьютерных математических систем (Mathcad, Maple, Mathematica и Matlab) полного набора функций для решения задач нелинейной регрессии и предсказания технологических параметров.

2. Предложенные эффективные алгоритмы и программные модули сглаживания (в том числе комбинированного и с применением вейвлет-преобразований) зашумленных эмпирических зависимостей позволили в результате сочетания вейвлет-преобразований с медианным сглаживанием уменьшить наименьшую сумму квадратов ошибок исходных и результирующих данных.

3. Исследование функции предсказания predict, реализующей метод Берга в СКМ Mathcad обеспечивает возможность предсказания по эмпирическим зависимостям в широком классе элементарных функций.

4. Разработанные алгоритмы и программные модули позволяют вычислять время предсказания по заданной погрешности в ходе моделирования процесса предсказания по эмпирическим зависимостям.

5. Тригонометрическая регрессия рядами Фурье в классическом варианте плохо пригодна для решения задач предсказания зашумленных данных вследствие сильного расхождения рядов в краевых точках и влияния эффекта Гиббса. Разработанная реализация регрессии с приведением значений эмпирической зависимости к нулю на концах интервала приближения с ее последующим восстановлением после регрессии обеспечивает ускоренную сходимость рядов Фурье, подавление эффекта Гиббса и пригодность тригонометрической регрессии для предсказания. 6. Новые и уточненные показательные зависимости, полученные автором, для роста числа транзисторов на кристалле микропроцессоров, роста их рабочей частоты, снижения минимальных размеров элементов микросхем и уменьшения площади кристаллов микросхем памяти позволяют судить о характеристиках микросхем в будущем.

1. Абраменкова И.В., Круглов В.В., Дли М.И. Мультимодельный метод прогнозирования процессов с переменной структурой. М.: Физмат-лит, 2003.-231 с.

2. Адлер Ю.П., Грановский Ю.В., Маркова Е.В. Теория эксперимента: прошлое, настоящее, будущее. М.: Знание, 1982. - 64 с.

3. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968 - 227 с.

4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: в 2 т., 2-е изд., испр. Т.1 Теория вероятностей и прикладная статистика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 - 656 с.

5. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: в 2 т., 2-е изд., испр. Т.2 Основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 - 432 с.

6. Айду Э.А.И. Сближение и наведение. Алгоритм среднеквадратичного приближения линии// Алгоритмы обработки экспериментальных данных/АН СССР. Институт проблем передачи информации. М.: Наука, 1986.-С.23 -30.

7. Алгоритмы обработки экспериментальных данных/АН СССР. Институт проблем передачи информации. Отв. ред. д-р техн. наук И.А. Ов-сеевич. -М.: Наука, 1986. 185 с.

8. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и реккурентное оценивание / Пер. с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука. 1977. - 223 с.

9. Анализ авторегрессий. Сборник статей. М.: Статистика, 1978. -232с.

10. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963 - 500 с.

11. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.-755 с.

12. Ашмарин И.П. и др. Быстрые методы статистической обработки и планирование экспериментов. JL: Изд-во Ленинград, ун-та, 1971. - 77 с.

13. Балакришнан А. Теория фильтрации Калмана. М.: Мир, 1988. -168с.

14. Бард И. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979 -349с.

15. Бендат Дж., Пирсол А.Д. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989.- 540 с.

16. Бендат Дж., Пирсол А.Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Пер. с англ. А.И. Кочубинского; под ред. И.Н. Коваленко.-М.: Мир, 1983.-312 с.

17. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. - 197 с.

18. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. -М.: Вычислительный центр АН СССР, 1983. 416 с.

19. Боровиков В.П. Statistica. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов. СПб.: Питер, 2001. - 650 е.: ил.

20. Боровиков В.П., Боровиков И.П. Statistica. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. М.: Изд. дом Филинъ, 1998. - 608 с.

21. Боровков А.А. Математическая статистика: Учебник. М.: Наука, 1984.-472 с.

22. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений / Под ред. В.Ф. Писаренко. -М.: Мир, 1975. 312 с.

23. Бриллинджер Д.Р. Временные ряды: обработка данных и теория. -М.: Мир, 1980.-536 с.

24. Бутусов П.Н., Половко A.M. Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 320 е.: ил.

25. Вайну Я.Я.-Ф. Корреляция рядов динамики. М.: Статистика, 1977. -120 с.

26. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. М.: Наука, 1991.-270 с.

27. Венсель В.В. Интегральная регрессия и корреляция: статистическое моделирование рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1983. - 223с.

28. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. - 573 с.

29. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применения. -М.: Наука, 1989.-440 с.

30. Вучков И.Н., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. - 238 с.

31. Гнеденко Б.В. Математическая статистика и контроль качества. М.: Знание, 1976.-64 с.

32. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. СПб.: Питер, 2001. - 619 с.

33. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990.- 256 е.: ил.

34. Гришин В.К. Статистические методы анализа и планирования экспериментов: учеб. пособие для физ. спец. вузов. М.: Изд-во Московского унив-та, 1975. - 128 с.

35. Гуляев А.И. Временные ряды в динамических базах данных. М.: Радио и связь, 1989.- 127 с.

36. Гусак А.А. Приближение функций. Минск: Университетское, 1989. -174 с.

37. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Наука, 1970. - 432 с.

38. Демиденко Е.Д. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика. - 1981.-302 с.

39. Демидович Б.П., Марон И.А., Э.З.Шувалова. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967. - 368 с.

40. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1971.-288 с.

41. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Т.1. Методы обработки данных / Пер. с англ. Под ред. Э.К. Лецкого. М.: Мир, 1980. - 610 с.

42. Дрейпер Н, Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973.-210 с.

43. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. - 688 с.

44. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. СПб.: Питер, 2002.-832 е.: ил.

45. Дьяконов В.П. «Закон Мура» и компьютерная математика//Ехропеп1а Pro, -2003. -№1. -С.82 86.

46. Дьяконов В.П. MALAB: Учебный курс. СПб: Питер, 2001. - 560 с.

47. Дьяконов В.П. Maple 6: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 608 е.:ил.

48. Дьяконов В.П. Mathcad 2001: Ученый курс. Спб.: Питер. 2001, 624с.: ил.

49. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: Нолидж, 2000.-608 е.: ил.

50. Дьяконов В.П. Mathematica 4: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. -656 е.: ил.

51. Дьяконов В.П. MATLAB 6. Учебный курс. СПб.: Питер, 2002. -92с.

52. Дьяконов В.П. Simulink 4: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002.-528 е.: ил.

53. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: COJIOH-P, -2002. 448 с.

54. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001. - 1296 е., ил.

55. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: СОЛОН, 1998.-400 е., ил.

56. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС, 1998.-352 с.

57. Дьяконов В.П. Справочник по математической системе Mathematica 2 и 3. М.: СК-ПРЕСС, 1998. - 320 с.

58. Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. 224 с.

59. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001 i и Mathcad 11. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 832 е.: ил.

60. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС, 1998.-352 с.

61. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. М.: Нолидж, 1998. -352 с.

62. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. -608 с.:ил.

63. Дьяконов В.П., Кравцова А.Г. Уточнение «Закона Мура» для частот микропроцессоров корпорации Intel // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2005. - С. 30-33.

64. Дьяконов В.П., Круглов В. Математические пакеты расширений MATLAB: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. - 480с.: ил.

65. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. -448с.

66. Дьяконов В.П. Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. - 640 е., ил.

67. Дэвид Г. Метод парных сравнений. М.: Статистика, 1978. -144 с.

68. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика. М.: Наука, 1972. -383с.

69. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах СПб: Питер, 1997. -240 е.: ил.

70. Ефимов В.М., Галактионов Ю.К., Шушпанова Н.Ф. Анализ и прогноз временных рядов методом главных компонент- Новосибирск: Наука, сиб отд-ние, 1988. 68 с.

71. Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации: учеб. пособие. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. -188с.

72. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике. М.: Наука. Физматлит, 1992. - 176 с.

73. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. М.: Изд-во МГУ, 1982.-168 с.

74. Заке Лотар Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. -598с.

75. Залманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и др. областях. М.: Наука, 1989. - 496с.

76. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. - 528с.

77. Ивановский Р.И. Аппроксимации данных наблюдений в среде Mathcad Pro//Exponenta Pro. -2003. -№1. -С.66 72.

78. Ивахненко А.Г., Лапа В.Г. Предсказание случайных процессов. -Киев.: Наукова думка, 1971.-415с.

79. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений.-М.: Наука, 1970,- 104с.

80. Кендал М. Дж., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973-899с.

81. Кильдишев Г.С., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. -М.: Статистика, 1973. 103с.

82. Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия. М.: Наука, 1964. - 184с.

83. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. -558с.

84. Кравцова А.Г. Значение нормального распределения в регрессионном анализе / Смол. гос. пед. ун-т. Смоленск: СГПУ, 2004. - 14с. - Биб-лиогр.: 14 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 12.02.2004 № 247-В2004.

85. Кравцова А.Г. Повышение качества регрессионных моделей в оценке стоимости машин и оборудования//Вестник Костромского государственного университета им. Некрасова. 2005. - №12. - С.214 - 215.

86. Кравцова А.Г. Некоторые приемы проведения сглаживания данных // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2002. - С. 26-29.

87. Кравцова А.Г. Основные возможности системы Mathematica 4 для автоматизации статистических расчетов // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. -Смоленск: СГПУ, 2001. С. 47-49.

88. Кравцова А.Г. Предсказание детерминированных дискретных зависимостей в системе Mathcad / Смол. гос. пед. ун-т. Смоленск: СГПУ, 2004. - 48с. - Библиогр.: 13 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 10.06.2004 № 997-В2004.

89. Кравцова А.Г. Предсказание по линейной и полиномиальной регрессии в системе Mathcad // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2004.-С. 21-25.

90. Кравцова А.Г. Проведение линейного предсказания в системе компьютерной математики Mathcad//yниверситетский вестник. Смоленск: Издат-во «Универсум». - 2004. - №5. - С.88-92.

91. Кравцова А.Г. Средства проведения регрессии в современных системах компьютерной математики // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2003. - С. 32-34.

92. Кремер М.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для Вузов. М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2001. - 543с.

93. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физ-матлит, 1961. - 524с.

94. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1962. -417с.

95. Львовский Е.Н. Пассивный и активный эксперимент при изучении механических характеристик бетона. Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1970.-238 с.

96. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1988.-239с.: ил.

97. Мазмишвили A.M. Способ наименьших квадратов. М.: Недра, 1968.-237 с.

98. Мануйлова Е.Н., Мануйлов Н.Ф. Основы теории вероятностей и математической статистики. Алгоритмы решения задач в системе Statistica.- С.: Универсум, 2002. 316 с.

99. Михок Г., Урсяну В. Выборочный метод и статистическое оценивание. М.: Финансы и статистика, 1982. - 248 с.

100. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия: В 2-х вып.- М.: Финансы и статистика, 1982. 317 с.

101. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988. - 254 с.

102. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. - 428 с.

103. Петрова Е.В. Решение задач аппроксимации функций в системах компьютерной математики: Диссертация на соиск. уч. степ, канд-та тех. наук.-С.:, 2002.- 134 с.

104. Пирс Дж. Символы, сигналы, шумы. Закономерности и процессы передачи информации. М.: Мир, 1967. - 336 с.

105. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 е.: ил.

106. Политическая энциклопедия: в 2 т./Нац. общ. науч. фонд; рук. науч. проекта Г.Ю. Семигин. Т. 2 М.: Мысль, 1999 - 702 с.

107. Поляков В.Г., Нагорнов B.C. К выбору параметрического представления кривых при цифровом описании и обработке плоских фи-гур//Цифровая обработка сигналов и ее применение. М.: Наука, 1981. С. 71-77.

108. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. М.: Наука, 1968. - 288 с.

109. Ракчеева Т.А., Раевский П.М. Алгоритмическая классификация нарушений ритма сердца по статистическим критериям// Алгоритмы обработки экспериментальных данных/АН СССР. Институт проблем передачи информации. М.: Наука, 1986. - С. 91 - 97.

110. Ричард В. Дрейган. Еще о законе Мура//РС Magazine/RE, 2001. -№8.-С. 7-9

111. Российский статистический ежегодник 2003: Статистический сборник / Госкомстат России. М., 2004. - 720 с.

112. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Пер. с англ. под ред. М.Б. Малютова. М.: Мир, 1980. - 456 с.

113. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии: Для психол., социологов, пед. / Отв. ред. А.Б. Алексеев. СПб: Речь, 2001.-349с.: ил.

114. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

115. Статистический словарь / Гл. ред. Ю.А. Юрков. М.: Финстатин-форм, 1996.-479 с.

116. Толстов Т.П. Ряды Фурье. М.: Наука. Физматлит, 1980. - 381 е.:ил.

117. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. М.: Инфра-М, 1998. -326 с.

118. Успенский А.Б., Федоров В.В. Вычислительные аспекты метода наименьших квадратов при анализе и планировании регрессионных экспериментов. -М.: Изд-во МГУ, 1975. 167 с.

119. Mathematica 4: Standard Add-on Packages. Wolfram - Media, 1999. -535 c.

120. Wolfram S. The Mathematica book Mathematica Version 4 - Fourth Edition - Wolfram - Media, 1999. - 1470 c.