автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Проекционные методы с использованием функций Лагерра в обработке и анализе изображений

005002618

Сорокин Дмитрий Васильевич

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА В ОБРАБОТКЕ И АНАЛИЗЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 7 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

005002618

Диссертационная работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Крылов Андрей Ссрджевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Защита состоится 30 ноября 2011 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " 26 " октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кумсков Михаил Иванович

кандидат физико-математических наук Переберин Антон Валерьевич

Ведущая организация: Филиал ФГУП государственного научно-

производственного ракетно- космического

центра „ ЦСКБ-ПРОГРЕСС"- научно-производственное предприятие „Оптико-электронные комплексы и системы".

профессор

Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время одной из наиболее важных областей применения методов математического моделирования и компьютерных технологий является обработка и анализ изображений.

Одним из наиболее распространенных методов обработки и анализа изображений является использование частотного анализа с последующей обработкой полученных коэффициентов. В ряде случаев задача классического частотного Фурье-анализа может быть упрощена путем уменьшения ее размерности. Примером такого случая является обработка радиально-симметричных данных. В этом случае преобразование Фурье и его обращение, являющиеся основными операциями частотного анализа изображений, могут быть сведены к преобразованию Ганкеля и его обращению. Это делает особенно актуальным создание вычислительно эффективных методов обращения преобразования Ганкеля, основанных на проектировании данных на систему его собственных функций — функций Лагерра,

Кроме того, использование круглых окрестностей для локального анализа изображений является более естественным с точки зрения зрительного восприятия человека. Это приводит к необходимости обобщения аппарата анализа круглых областей изображения, основанного на использовании функций Лагерра, в случае отсутствия радиальной симметрии. Наиболее актуальной областью применения полученного обобщения является задача поиска и параметризации ключевых точек. При построении локальных дескрипторов изображения использование круглых окрестностей является дополнительным преимуществом, позволяющим получать стабильный при повороте изображения дескриптор.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка и программная реализация проекционных методов с использованием функций Лагерра для задач обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка, обработки и локального анализа изображений.

Научная новизна работы

• разработаны проекционные методы с использованием функций Лагерра обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка.

• предложен проекционный метод с использованием функций Гаусса-Лагерра для поиска ключевых точек изображения и построения локальных дескрипторов.

• создан метод сравнения изображений, основанный на анализе проекционных коэффициентов Гаусса-Лагерра.

Теоретическая и практическая значимость работы

• Создан комплекс программ на базе проекционного метода с использованием функций Лагерра для задач обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка, поиска и параметризации ключевых точек на изображениях и сравнения изображений

• Разработанные в работе методы могут быть применены как составная часть комплексных алгоритмов обработки и анализа изображений.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. Международной конференции "СгарЫсоп 2010" (Санкт-Петербург, 2010).

2. Международной конференции "Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies 2010" (Санкт-Петербург, 2010).

3. Международной конференции "Digital Signal Processing and its Applications (DSPA 2011)" (Москва, 2011).

4. Международной конференции "International Conference on Image Analysis and Recognition (ICIAR 2011)" (Бернаби, Канада, 2011).

5. Международной конференции "Sino-foreign-interchange Workshop on Intelligence Science and Intelligent Data Engineering (IScIDE 2011)" (Сиань, Китай, 2011).

6. Международном математическом конгрессе "The International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC 2011)" (Москва, 2011).

7. Заседании кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, г. Москва, 28 сентября 2011 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 научных работ (в том числе 3 из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объём работы - 103 страницы. Список литературы включает 60 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставятся цели диссертационного исследования, а также кратко излагается содер-

жание диссертации по главам.

В первой главе развивается проекционный метод с использованием функций Лагерра для численного обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка.

В первом параграфе ставятся задачи обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка. Вводятся операторные уравнения, описывающие обращение преобразования Ганкеля произвольного порядка и конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка, для данных, заданных на отрезке.

Во втором параграфе анализируются существующие методы решения задачи обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка для данных, заданных на отрезке:

где За — функция Бесселя первого рода порядка а, и6а — заданное приближенное значение правой части, й — точное значение правой части, 5 — уровень ошибки. Проведен анализ существующих методов обращения. Предлагается проекционный метод вычисления преобразования Ганкеля произвольного порядка, основанный на разложении исходной функции в ряд Фурье по функциям Лагерра, являющимся собственными функциями преобразования Ганкеля. Основная идея заключается в том, чтобы при решении задачи обращения интегрального уравнения с данными, заданными на отрезке, использовать собственные функции преобразования Ганкеля на полупрямой (функции Лагерра), воспользовавшись их финитностью с вычислительной точки зрения. Обосновано, что предлагаемый метод на основе разложения по функциям Лагерра является регуляризирующим при выполнении приведенной в работе оценки для числа членов разложения.

Нх = и{, Н: Ь2[0,оо) ¿2[0,о],

00

О

В параграфе проведено сравнение результатов расчетов для модельной функции предложенным методом и существующими. Обсуждены достоинства и недостатки предложенного проекционного метода.

Третий параграф посвящен методам решения задачи обращения конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка:

В качестве базового взят проекционный метод решения линейных уравнений I рода Аг = и в гильбертовом пространстве, основанный на разложении решения в ряд по собственным функциям оператора А*А. Особенность рассматриваемого уравнения для оператора преобразования Ганкеля произвольного порядка с конечным пределом интегрирования заключается в том, что у оператора А имеется кратное (с вычислительной точки зрения) собственное значение. Это приводит к ухудшению регуля-ризированного решения в случае, когда использованное в проекционном методе количество собственных функций, отвечающих этом}' собственному значению, меньше, чем его кратность па.

Предложенная модификация общего проекционного метода основана на замене собственных функций оператора А* А функциями Лагерра, являющимися собственными функциями преобразования Ганкеля на полупрямой. В силу их финитности с вычислительной точки зрения, данная замена приводит к повышению устойчивости решения к незначительным изменениям параметра а и к ошибкам в заданнин данных. В параграфе приведены доказательства неравенства

а

Аг= г(х)^(кх)хйх, и5а € ¿2[0,а]: |К ~ и1к2[о,а] < &

о

<

где ф"(х) = \/2хф%(х2) — собственные функции преобразования Ганкеля порядка a, a ф"{х) — функции JIareppa.

Также в параграфе приведены примеры значений норм ^A*Aipi{x) -ipi(x) ||i2[o,a] (где ipi -- собственные функции оператора А*А) и \\А*Аф?{х)~ ф?(х)\\¿2[о,а] Для кратного с вычислительной точки зрения собственного значения. Данные примеры и доказанные неравенства показывают возможность замены собственных функций оператора А*А функциями ф".

Представлены результаты расчетов для модельной функции стандартным проекционным методом и предложенной модификацией на основе функций Лагерра.

В четвертом параграфе рассматривается способ ускорения проекционного метода вычисления преобразования Ганкеля произвольного порядка с помощью квадратуры Гаусса-Лагерра. Благодаря специальному виду подынтегральной функции, вычисление коэффициентов разложения в ряд Фурье по системе собственных функций

о

«П = J i>i{x)u{[x)dx о

преобразовано к виду

00 о

где

№ = u5(Vt)~t-^LaM ft = ч/п!Г(п + а + 1) , Рп

L°(t) — полином Лагерра. Приведены недостатки явного применения квадратурной формулы Гаусса-Лагерра. Для преодоления эффекта потери точности, из-за большой разницы в порядках сомножителей 1//3" и ассоциативных весов квадратурной формулы, в работе предложено соотношение:

где N — порядок квадратуры, Ц — нули полинома Лагерра Щ{х). Значения функции в точках необходимые для расчета квадратуры Гаусса-Лагерра, находились с помощью линейной интерполяции. Приведена оценка ускорения при применении данной формулы.

Проведено сравнение точности аппроксимации тестовых функций обычным и быстрым методами для задачи обращения преобразования Ган-келя произвольного порядка и конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка. Приведенное сравнение показало актуальность использования быстрого алгоритма расчета коэффициентов в случае большого объема данных и высокого уровня ошибки.

Вторая глава посвящена применению проекционного метода с использованием функций Лагерра в обработке и анализе изображений.

В первом параграфе предложен проекционный алгоритм шумоподавления для изображений с радиальной симметрией. Данная задача возникает, например, при анализе интерферограмм Фабри-Перо. Пусть интенсивность изображения задана функцией 1(х,у). Если изображение является радиально-симметричным с центром в точке хс, уС) оно может быть представлено в виде:

1(х, у) = г (г), где г = у/{х- хс)2 + (у ~ ус)2.

Одним из способов шумоподавления изображений является частотная фильтрация с помощью двумерного преобразования Фурье. Однако, в случае радиальной симметрии, двумерное преобразование Фурье сводится к преобразованию Ганкеля нулевого порядка: оо оо оо 2тг

Г[/]=У 11(х, у)е~2™[т^4х<1у = 11 г(г)е-2"«ГС05(°^гсЫ# =

о о

2тг

У г (г) У еГ2^т^вйв г (1т = 2тг ^ г{г)М2ттгд)гс1г ,

где

х + гу = гегв, и + ю — деи

и ¡Л = I е-°-™т513с1в — функция Бесселя порядка а = 0. 27Г у о

Преобразование Ганкеля может быть подсчитано с помощью аппарата функций Лагерра, представленного в первой главе работы. Предложенный метод заключается в том, что для анализа частотных характеристик и фильтрации изображения используются проекционные коэффициенты Лагерра. соответствующего порядка. Приведены результаты шумоподавления для модельных изображений.

Во втором параграфе введены круговые гармонические функции Гаусса-Лагерра (Рис. 1):

где - функции Лагерра, а - параметр масштаба, а г, 7 - полярные координаты. Эти функции используются для обобщения локальных методов обработки изображений с круглой окрестностью рассматриваемой точки для случая отсутствия радиальной симметрии.

0=1 о.=2 о~3 а=4 0.-5

Рис. 1: Действительные и мнимые части круговых гармонических функции Гаусса-Лагерра.

Поскольку круговые гармонические функции Гаусса-Лагерра являются комплексными, коэффициенты разложения изображения по этим функциям в окрестности некоторой точки позволяют учитывать не толь-

ко структурные особенности областей изображения, но и их ориентацию. Двумерный проекционный метод на основе круговых гармонических функций Гаусса-Лагерра пригоден для многомасштабного анализа изображений.

Также в этом параграфе рассмотрена задача поиска и параметризации ключевых точек на изображении. Рассмотренный метод поиска ключевых точек основан на многомасштабном анализе коэффициентов разложения изображения в окрестности ключевой точки в ряд по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра. Для заданного набора масштабов {<7i} строится набор изображений („скейлограмма"):

S[x,y;cr) = \д3,о(х,у,а)\2 + \g4,o{x,y,cr)\2, a G {crj ,

гДе 9а,п{х, у, а) — коэффициенты разложения изображения в точке х, у по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра при масштабе а для соответствующих значений а и п. С помощью анализа скейлограм-мы на изображении выделяется набор ключевых точек {К = (х,у;а)}, каждая из которых характеризуется координатой х,у и масштабом а.

Для параметризации ключевых точек изображения каждой ключевой точке ставится в соответствие локальный дескриптор. Данный дескриптор представляет собой вектор, состоящий из комплексных коэффициентов разложения изображения в окрестности ключевой точки но круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра на масштабе ключевой точки и соседних с ним в множестве масштабов {<т;}. Элементы этого вектора для ключевой точки К = (х,у;ст) определяются следующим образом:

л 9a,n{x,y]0j)-e~iaei 0 , чч

Х[п, a, j) ---, 19j = arg(gl0(x, у; crj)) ,

П = 0, ..., ilmax , a = 1,..., Qmax ,j — ~Jmaxj jmax >

где (Tj — масштаб из множества {а,}, следующий после а, если j > 0, и предшествующий а, если j < 0. Множитель е~гав> обеспечивает устой-

чивость дескриптора к повороту изображения. С помощью параметров Птах, «шах и Зтах можно контролировать размер дескриптора.

В параграфе также рассмотрен метод ускорения вычисления коэффициентов разложения по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра. Идея ускорения основана на переходе от круговых гармонических функций Гаусса-Лагерра к двумерным функциям Эрмита, которые являются сепарабельными, что значительно ускоряет вычисления. Данный переход осуществим, т.к. система функций Гаусса-Лагерра линейно связана с системой двумерных функций Эрмита. Предложен метод дальнейшего ускорения алгоритма за счет аппроксимации проекционных коэффициентов с помощью быстрого проекционного метода с использованием функций Эрмита.

В третьем параграфе описан метод адаптации алгоритма параметризации ключевых точек для случая цветных изображений. Локальный дескриптор ключевой точки цветного изображения представляет собой вектор, элементами которого являются комплексные коэффициенты разложения различных цветовых каналов изображения по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра. При этом элементы вектора определяются аналогично случаю изображения в градациях серого.

Цветовые компоненты Е, Ед, Е\С\, Сда, используемые в данном алгоритме, определяются с помощью Гауссовой цветовой модели на основе теории отражения света от цветных тел Кубелки-Манка. Эти компоненты связаны с классическим для цветных изображений цветовым пространством К, О, В линейным образом:

" Е '

Ех ЕХх

Наличие нескольких цветовых компонент позволяет получить дополнительную информацию о локальных характеристиках изображения в окрестности ключевой точки, по сравнению со случаем изображения в

'0.06 0.63 0.27 \ Л 0.30 0.04 -0.35 <3 ,0.34 -0.60 0.17 ) В

, Су-

Ех „

Ехх Е

градациях серого, где компоненты дескриптора рассчитываются только на основе интенсивности изображения. В параграфе приведено выбранное сочетание цветовых компонент для расчета элементов локального дескриптора, а также количество элементов, полученных на основе каждой цветовой компоненты, которые показали хорошие результаты при практических расчетах.

В силу особенностей цветовой модели, выбранной для построения дескрипторов, приведенный алгоритм позволяет получать более устойчивые результаты на изображениях с неравномерной освещенностью.

В заключительном параграфе рассмотрена задача оценки качества изображений, основанная на сравнении изображений. Существует 2 основных типа метрик для сравнительной оценки качества изображений. Первый тип называется полноэталонным. Этот тин метрик подразумевает наличие изображения-эталона для сравнения с рассматриваемым изображением. Второй тип называется частичноэталонным. Он подразумевает наличие параметризации, построенной на основе изображения-эталона. Сравнение изображений выполняется путем сравнения значений параметров для эталона и рассматриваемого изображения. В параграфе предложен метод построения частичноэталонной метрики, которая учитывает особенности человеческого восприятия. Данная метрика может быть использована для сравнения результатов различных алгоритмов улучшения изображений, а также для оценки уровня шума и артефактов, внесенных в изображение.

Введено понятие модифицированной угловой когерентности границ (МАЕС) изображения в точке х, у:

МАЕС(х,у) = \91,й{х,у)\\со8{8^{д1!о{х,у)) - &щ(д31о(х,у))~

- агё(<75,0(я,?/)))|(|<7з,о(£, 2/)11 соэ(3 ащ(<?1,о , ¡/)) - аг§(£3,0(:Е,у)))|+

+(|55,о(£>У)|| сов^а^^Да;,?/)) — а,^(д5:0(х, у)))|) Данная характеристика вычисляется в окрестности точек границ изоб-

ражения, используя значения модулей и фаз коэффициентов разложения изображения в ряд по круговым гармоническим функциям Гаусса-Jlareppa. Значения МАЕС отражают качество границ изображения. Идея построения меры качества изображения основана на предположении, что изображение является качественным, если в точках наиболее ярковыра-женных границ изображения значение МАЕС высоко, в то время как в окрестностях этих границ значение МАЕС мало.

Третья глава посвящена описанию созданного на основе предложенных методов программного комплекса, включающего в себя модуль для вычисления обратного преобразования Ганкеля с конечным и бесконечным пределом интегрирования по данным, заданным на отрезке; модуль для определения качества изображений на основе метрики, предложенной в работе; и модуль для поиска и параметризации ключевых точек на изображениях в градациях серого и цветных изображениях. Рассмотрены практически важные аспекты реализации, приведено описание структуры модулей программных комплексов и интерфейсов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты

1. Разработаны проекционные методы с использованием функций Ла-герра для численного обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка.

2. Предложен проекционный метод с использованием функций Гаусса-Лагерра для поиска ключевых точек изображения, построения их локальных дескрипторов и сравнения изображений.

3. Реализован комплекс программ для обращения преобразования Ганкеля, поиска и параметризации ключевых точек на изображениях и сравнения изображений.

Публикации по теме диссертации

1. Д. В. Сорокин, А. С. Крылов "Проекционный метод Лагерра для конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка" // Вестник МГУ, серия "Вычислительная математика и кибернетика", №. 4, 2010, с. 3-10.

2. D. V. Sorokin, М. М. Mizotin, A. S. Krylov "Gauss-Laguerre Keypoints Extraction Using Fast Hermite Projection Method" // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 6753, 2011, pp. 284-293

3. D. V. Sorokin, A. S. Krylov. "Gauss-Laguerre-Hermite Method of Keypoint Extraction" // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 21, No. 2, 2011, pp. 332-334

4. D. V. Sorokin, A. S. Krylov "Short Reference Image Quality Estimation Using Modified Angular Edge Coherence" // Proc. of GraphiCon'2010, Moscow, Russia, 2010, pp. 137-140.

5. D. V. Sorokin, A. S. Krylov "Fast Gauss-Laguerre Keypoints Extraction using 2D Hermite Functions" // Proceedings of 10th Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies, Vol. 1. St. Petersburg, Russia, 2010, pp. 339-342

6. Д. В. Сорокин, Ю. И. Рудяк, А. С. Крылов "Выделение перекрытий фонового объекта снятого с разных ракурсов" // Труды 13-ой международной конференции „Цифровая обработка сигналов и её применение" DSPA'2011, Том 2, с. 192-195

7. D. V. Sorokin, A. S. Krylov "Fast Laguerre projection methods for finite Hankel transform of arbitrary order" // Abstracts of The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC 2011), 2011, p. 166

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 19.10.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0 Тираж 70 экз. Заказ 434. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

Введение

1 Проекционный метод с использованием функций Лагерра для преобразования Ганкеля произвольного порядка

1.1 Постановка задач.

1.2 Проекционный метод с использованием функций Лагерра обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка

1.3 Проекционный метод с использованием функций Лагерра обращения конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка.

1.4 Быстрый алгоритм расчета проекционных коэффициентов

2 Обработка и анализ изображений с помощью проекционного метода с использованием функций Лагерра

2.1 Шумоподавление для радиально-симметричных изображений

2.2 Выделение и параметризация ключевых точек на изображении на основе анализа проекционных коэффициентов Гаусса-Лагерра.

2.3 Адаптация алгоритма параметризации ключевых точек для цветных изображений.

2.4 Метрики качества изображений на основе анализа проекционных коэффициентов Гаусса-Лагерра.

3 Программная реализация проекционных методов с использованием функций Лагерра для обработки и анализа изображений

3.1 Программа обращения преобразования Ганкеля и обращения конечного преобразования Ганкеля.

3.1.1 Структура программы обращения преобразования Ганкеля и обращения конечного преобразования Ганкеля

3.1.2 Интерфейс программы обращения преобразования Ганкеля и обращения конечного преобразования Ганкеля

3.2 Программа поиска и параметризации ключевых точек на изображениях и сравнения изображений.'

3.2.1 Структура программы поиска и параметризации ключевых точек на изображениях и сравнения изображений

3.2.2 Интерфейс программы поиска и параметризации ключевых точек на изображениях.

В настоящее время одной из наиболее важных областей применения методов математического моделирования и компьютерных технологий является обработка и анализ изображений.

Одним из наиболее распространенных методов обработки и анализа изображений является использование частотного анализа с последующей обработкой полученных коэффициентов. В ряде случаев задача классического частотного Фурье-анализа может быть упрощена путем уменьшения ее размерности. Примером такого случая является обработка радиально-симметричных данных. В этом случае преобразование Фурье и его обращение, являющиеся основными операциями частотного анализа изображений, могут быть сведены к преобразованию Ганкеля и его обращению. Это делает особенно актуальным создание вычислительно эффективных методов обращения преобразования Ганкеля, основанных на проектировании данных на систему его собственных функций — функций Лагерра.

Кроме того, использование круглых окрестностей для локального анализа изображений является более естественным с точки зрения зрительного восприятия человека. Это приводит к необходимости обобщения аппарата анализа круглых областей изображения, основанного на использовании функций Лагерра, в случае отсутствия радиальной симметрии. Наиболее актуальной областью применения полученного обобщения является задача поиска и параметризации ключевых точек [1-4]. При построении локальных дескрипторов изображения использование круглых окрестностей является дополнительным преимуществом, позволяющим получать стабильный при повороте изображения дескриптор.

В первой главе развивается проекционный метод с использованием функций Лагерра для численного обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка.

В первом параграфе ставятся задачи обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка. Вводятся операторные уравнения, описывающие обращение преобразования Ганкеля произвольного порядка и конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка, для данных, заданных на отрезке.

Во втором параграфе анализируются существующие методы решения задачи обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка для данных, заданных на отрезке:

Нг = и6а, Н: Ь2[0, оо) Ь2[0,а], оо

Нг = ! г{х)1а(кх)х (1х : и{ € Ь2[0, а]: ||г4 - й\\ь2[о,а] < 5 , о где — функция Бесселя первого рода порядка а, и6а — заданное приближенное значение правой части, й — точное значение правой части, 5 — уровень ошибки. Проведен анализ существующих методов обращения. Предлагается проекционный метод вычисления преобразования Ганкеля произвольного порядка, основанный на разложении исходной функции в ряд Фурье по функциям Лагерра, являющимся собственными функци- ями преобразования Ганкеля. Основная идея заключается в том, чтобы при решении задачи обращения интегрального уравнения с данными, заданными на отрезке, использовать собственные функции преобразования Ганкеля на полупрямой (функции Лагерра), воспользовавшись их финитностью с вычислительной точки зрения. Обосновано, что предлагаемый метод на основе разложения по функциям Лагерра является регуляризирующим при выполнении приведенной в работе оценки для числа членов разложения.'

В параграфе проведено сравнение результатов расчетов для модельной функции предложенным методом и существующими. Обсуждены достоинства и недостатки предложенного проекционного метода.

Третий параграф посвящен методам решения задачи обращения конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка:

Аг = и5а, А: Ь2[0, а] Ь2[0, а], а

Аг = ! г(х)За(кх)х ¿х, и5а е Ь2[0, а]: - й\\ь2[о,а} < 5. о

В качестве базового взят проекционный метод решения линейных уравнений I рода Аг = и в гильбертовом пространстве, основанный на разложении решения в ряд по собственным функциям оператора А*А [5]. Особенность рассматриваемого уравнения для оператора преобразования Ганкеля произвольного порядка с конечным пределом интегрирования заключается в том, что у оператора А имеется кратное (с вычислительной точки зрения) собственное значение [6]. Это приводит к ухудшению регуляризированного решения в случае, когда использованное в проекционном методе количество собственных функций, отвечающих этому собственному значению, меньше, чем его кратность па.

Предложенная модификация общего проекционного метода основана на замене собственных функций оператора А*А функциями Лагерра, являющимися собственными функциями преобразования Ганкеля на полупрямой. В силу их финитности с вычислительной точки зрения, данная замена приводит к повышению устойчивости решения к незначительным изменениям параметра а и к ошибкам в заданнии данных. В параграфе приведены доказательства неравенства

А*Аф?(х) ~ ФГШЫОМ < ЧФГ(х)и2[а,со) и оценки для нормы функции Лагерра

II /а/ м|2 / Г(в + та + 1)Г(а + 2п+1, Уа) где = л/2хф%(х2) — собственные функции преобразования Ганкеля порядка а, а ф%(х) — функции Лагерра.

Также в параграфе приведены примеры значений норм ||Л*А</?г-(ж) — (Р1{х)\\ь2[ъ,а] (где (рг — собственные функции оператора А*А) и \\А*Аф?(х) — А

1Ф?(х)\\ь2[о,а] Для кратного с вычислительной точки зрения собственного значения. Данные примеры и доказанные неравенства показывают возА можность замены собственных функций оператора А*А функциями ф?.

Представлены результаты расчетов для модельной функции стандартным проекционным методом и предложенной модификацией на основе использования функций Лагерра.

В четвертом параграфе рассматривается способ ускорения проекционного метода вычисления преобразования Ганкеля произвольного порядка с помощью квадратуры Гаусса-Лагерра [7]. Благодаря специальному виду подынтегральной функции, вычисление коэффициентов разложения в ряд Фурье по системе собственных функций а ип = ! Фі{х)и5а{х)йх преобразовано к виду оо ип І ^т ¿і, у/2 о где

3% = ч/п!Г(п + с* + 1) ,

Рп — полином Лагерра. Приведены недостатки явного применения квадратурной формулы Гаусса-Лагерра. Для преодоления эффекта потери точности, из-за большой разницы в порядках сомножителей 1/(3% и ассоциативных весов квадратурной формулы, в работе предложено соотношение: 1 и

ЦФЖк) рЪМ =

ШЬ))2'

N — порядок квадратуры, ^ — нули полинома Лагерра Ь^(х). Значения функции в точках у/ьЦ, необходимые для расчета квадратуры Гаусса-Лагерра, находились с помощью линейной интерполяции. Приведена оценка ускорения при применении данной формулы.

Проведено сравнение точности аппроксимации тестовых функций обычным и быстрым методами для задачи обращения преобразования Ган-келя произвольного порядка и конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка. Приведенное сравнение показало актуальность использования быстрого алгоритма расчета коэффициентов в случае большого объема данных и высокого уровня ошибки.

Вторая глава посвящена применению проекционного метода с использованием функций Лагерра в обработке и анализе изображений.

В первом параграфе предложен проекционный алгоритм шумоподавления для изображений с радиальной симметрией. Данная задача возникает, например, при анализе интерферограмм Фабри-Перо. Пусть интенсивность изображения задана функцией 1(х,у). Если изображение является радиально-симметричным с центром в точке хс, ус, оно может быть представлено в виде:

1(х, у) = ¿(г), где Г = л/(х - хс)2 + (у -Ус)2.

Одним из способов шумоподавления изображений является частотная фильтрация с помощью двумерного преобразования Фурье. Однако, в случае радиальной симметрии, двумерное преобразование Фурье сводится к преобразованию Ганкеля нулевого порядка: оо оо оо 2я" J JI{x,y)e-27ГІ(^xu+yv)dxdy = J I г(г)е"2™9ГСОз(0-^сЫ0 = оо —оо О О

2тг оо Ji{r) У е-з^р-соа^ гсгг = 2тг ^ г (г)^(2тггд)Ыг

10 где х + гу = гегв, и + ¿V =

2тт

7о(2?) = — / е~2тгсоз13с1(3 — функция Бесселя порядка а = 0.

27Г у о

Преобразование Ганкеля может быть подсчитано с помощью аппарата функций Лагерра, представленного в первой главе работы. Предложенный метод заключается в том, что для.анализа частотных характеристик и фильтрации изображения используются проекционные коэффициенты соответствующего порядка. Приведены результаты шумоподавления для модельных изображений. .

Во втором параграфе введены круговые гармонические функции Гаусса-Лагерра:

Ф(г>7;а) = ^Н(г2/<7)е<^| где ф^ — функции Лагерра, а — параметр масштаба, а г, 7 — полярные координаты. Эти функции используются для обобщения локальных методов обработки изображений с круглой окрестностью рассматриваемой точки для случая отсутствия радиальной симметрии.

Поскольку круговые гармонические функции Гаусса-Лагерра являются комплексными, коэффициенты разложения изображения по этим функциям в окрестности некоторой точки позволяют учитывать не только структурные особенности областей изображения, но и их ориентацию. Двумерный проекционный метод на основе круговых гармонических функций Гаусса-Лагерра пригоден для многомасштабного анализа изображений [8].

Также в этом параграфе рассмотрена задача поиска и параметризации ключевых точек на изображении. Рассмотренный метод поиска ключевых точек основан на многомасштабном анализе коэффициентов разложения изображения в окрестности ключевой точки в ряд по круговым гармоническим функциям* Гаусса-Лагерра. Для заданного набора масштабов {&{} строится набор изображений („скейлограмма"):

8(х,у,а) = \дз,о(х,у,<т)\2 + у,сг)|2, <т € {<Хг} , где да;П(х,у,сг) — коэффициенты разложения изображения в точке х,у по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра при масштабе а для соответствующих значений о; и п. С помощью анализа скейлограм-мы на изображении выделяется набор ключевых точек {К = (х,у,сг)}, каждая из которых характеризуется координатой х,у и масштабом а.

Для параметризации ключевых точек изображения каждой ключевой точке'ставится в соответствие локальный дескриптор. Данный дескриптор представляет собой вектор, состоящий из комплексных коэффициентов разложения изображения в окрестности ключевой точки по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра на масштабе ключевой точки и соседних с ним в множестве масштабов {сгг}. Элементы этого вектора для ключевой точки К — (х,у]а) определяются следующим образом:

Х(п, а, з) = -^-, 6, = ащ(£1)0(ж,;г/; сг,)) , 01 • • •) ^тах ) ^ = 15 •••■> О^тах ) 3 ,7тах > • • • > ^тах > где аз — масштаб из множества {с*}? следующий после а, если ^ > 0, и предшествующий а, если ] < 0. Множитель е~гавз обеспечивает устойчивость дескриптора к повороту изображения. С помощью параметров ^тах> Лтах и jInax можно контролировать размер дескриптора.

В параграфе также рассмотрен метод ускорения вычисления коэффициентов разложения по круговым гармоническим функциям Гаусса

Лагерра. Идея ускорения основана на переходе от круговых гармонических функций Гаусса-Лагерра к двумерным функциям Эрмита, которые являются сепарабельными, что значительно ускоряет вычисления [4]. Данный переход осуществим, т.к. система функций Гаусса-Лагерра линейно связана с системой двумерных функций Эрмита [9,10]. Предложен метод дальнейшего ускорения алгоритма за счет аппроксимации проекционных коэффициентов с помощью быстрого проекционного метода с использованием функций Эрмита [11]. Этот метод, имея достаточно хорошую точность аппроксимации, позволяет ускорить вычисления еще в несколько раз.

В третьем параграфе описан метод адаптации алгоритма параметризации ключевых точек для случая цветных изображений. Локальный дескриптор ключевой точки цветного изображения представляет собой вектор, элементами которого являются комплексные коэффициенты разложения различных цветовых каналов изображения по круговым гармоническим функциям Гаусса-Лагерра. При этом элементы вектора опре' деляются аналогично случаю изображения в градациях серого.

Цветовые компоненты Е1, Е\, Е\\, С\, С\д, используемые в данном алгоритме, определяются с помощью Гауссовой цветовой модели на основе теории отражения света от цветных тел Кубелки-Манка. Эти компоненты связаны с классическим для цветных изображений цветовым пространством Д, С, В линейным образом [12]:

Наличие нескольких цветовых компонент позволяет получить дополнительную информацию о локальных характеристиках изображения в окрестности ключевой точки, по сравнению со случаем изображения в градациях серого, где компоненты дескриптора рассчитываются только на основе интенсивности изображения. В параграфе приведено выбран

Е 1 /0.06 0.63 0.27 \ Гй Е\ = 0.30 0.04 -0.35 Є , С\ = Ехх у0.34 -0.60 0.17 ) В ное сочетание цветовых компонент для расчета элементов локального дескриптора, а также количество элементов, полученных на основе каждой цветовой компоненты, которые показали хорошие результаты при практических расчетах.

В силу особенностей цветовой модели, выбранной для построения дескрипторов, приведенный алгоритм позволяет получать более устойчивые результаты на изображениях с неравномерной освещенностью.

В заключительном параграфе рассмотрена задача оценки качества изображений, основанная на сравнении изображений. Существует 2 основных типа метрик для сравнительной оценки качества изображений. Первый тип называется полноэталонным. Этот тип метрик подразумевает наличие изображения-эталона для сравнения с рассматриваемым изображением. Второй тип называется частичноэталонным [13-15]. Он подразумевает наличие некой параметризации, построенной на основе изображения-эталона. Сравнение изображений выполняется путем сравнения значений параметров для эталона и рассматриваемого изображения. В параграфе предложен метод построения частичноэталонной метрики, которая учитывает особенности человеческого восприятия. Данная метрика может быть использована для сравнения результатов различных алгоритмов улучшения изображений, а также для оценки уровня шума и артефактов, внесенных в изображение.

Введено понятие модифицированной угловой когерентности границ (МАЕС) изображения в точке х,у\

МАЕС(х,у) = о(ж, у)11 cos(8 arg(^i)o(ic, у)) - arg(рз,о(ж,г/))-- arg Об,о (я, У))) | (|£з,о (х, у) 11 cos (3 arg (glß (х, у)) - arg (д3>0 (х,у)))\+ +(|р5,о0, у) 11 cos(5 arg(01,0(ж, у)) - aig(g5ß(x, у))) |)

Данная характеристика вычисляется в окрестности точек границ изображения, используя значения модулей и фаз коэффициентов разложения изображения в ряд по круговым гармоническим функциям Гаусса

Лагерра. Значения МАЕС отражают качество границ изображения. Идея построения меры качества изображения основана на предположении, что изображение является качественным, если в точках наиболее ярковыра-женных границ изображения значение МАЕС высоко, в то время как в окрестностях этих границ значение МАЕС мало.

Третья глава посвящена описанию созданного на основе предложенных методов программного комплекса, включающего в себя модуль для вычисления обратного преобразования Ганкеля с конечным и бесконечным пределом интегрирования по данным, заданным на отрезке; модуль для определения качества изображений на основе метрики, предложенной в работе; и модуль для поиска и параметризации ключевых точек на изображениях в градациях серого и цветных изображениях. Рассмотрены практически важные аспекты реализации, приведено описание структуры модулей программных комплексов и интерфейсов.

Целью диссертационной работы является разработка и программная реализация проекционных методов с использованием функций Лагерра для задач обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка, обработки и локального анализа изображений. Особое внимание уделено эффективной программной реализации проекционных методов с использованием функций Лагерра для обращения преобразования Ганкеля произвольного порядка и конечного преобразования Ганкеля произвольного порядка с использованием быстрого алгоритма расчета проекционных коэффициентов на основе квадратуры Гаусса-Лагерра, а также эффективной реализации проекционного метода с использованием функций Гаусса-Лагерра на основе перехода к двумерным функциям Эрмита для эффективного расчета проекционных коэффициентов.

Основные результаты докладывались на:

1. Международной конференции "Graphicon 2010" (Санкт-Петербург, 2010).

2. Международной конференции "Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies 2010" (Санкт-Петербург, 2010).

3. Международной конференции "Digital Signal Processing and its Applications (DSPA 2011)" (Москва, 2011).

4. Международной конференции "International Conference on Image Analysis and Recognition (ICIAR 2011)" (Бернаби, Канада, 2011).

5. Международной конференции "Sino-foreign-interchange Workshop on Intelligence Science and Intelligent Data Engineering (IScIDE 2011)" (Сиань, Китай, 2011).

6. Международном математическом конгрессе "The International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC 2011)" (Москва, 2011).

7. Заседании кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, г. Москва, 28 сентября 2011 г.

Результаты опубликованы в статьях [4,6,57] и в качестве тезисов докладов [53,58-60].

Заключение

1. Schaffalitzky F., Zisserman A. Multi-view Matching for Unordered 1.age Sets // Lecture Notes in Computer Science. — 2002. — Vol. 2350. — Pp. 414-431.

2. Tuytelaars Т., Ferrari V., Van Gool L. Simultaneous object recognition and segmentation from single or multiple model views / / Int. J. of Computer Vision. 2006. — Vol. 67(2). — Pp. 159-188.

3. Scalable object-based video retrieval in HD video databases / C. Morand, J. Benois-Pineau, J.-P. Domenger et al. //J. Signal Processing: Image Communication. — 2010. — Vol. 25(6). — Pp. 450-465.

4. Sorokin D. V., Mizotin M. M., Krylov A. S. Gauss-Laguerre Keypoints Extraction Using Fast Hermite Projection Method // Lecture Notes in Computer Science. — 2011. — Vol. 6753. Pp. 284-293.

5. Денисов A. M. Введение в теорию решения обратных задач.— М.: Изд-во МГУ, 1994.

6. Sorokin D. V., Krylov A. S. Laguerre Projection Method for Finite Hankel Transform of Arbitrary Order // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. — 2010. — Vol. 34, no. 4. — Pp. 149-156.

7. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.— М.: Наука, 1967.-С. 116-147.

8. Sorgi L., Cimminiello N., Neri A. Keypoints Selection in the Gauss Laguerre Transformed Domain // Proc. of BMVC06. — 2006. — Pp. 539547.

9. Zauderer E. Complex argument Hermite-Gaussian and Laguerre-Gaussian beams // J. Opt. Soc. Am. A. — 1986. — Apr. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 465-469.

10. Di Claudio E. D., Jacovitti G., Laurenti A. Maximum Likelihood Orientation Estimation of 1-D Patterns in Laguerre-Gauss Subspaces //

11. Trans. Img. Proc. — 2010. — May. — Vol. 19. — Pp. 1113-1125.

12. Krylov A., Korchagin D. Fast Hermite Projection Method // Lecture Notes in Computer Science. — 2006. — Vol. 4141. — Pp. 329-338.

13. Color Invariance / J.-M. Geusebroek, R. van den Boomgaard, A. W. M. Smeulders, H. Geerts // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 2001. — Vol. 23, no. 12. - Pp. 1338-1350.

14. Wang Z., Simoncelli E. P. Reduced-reference image quality assessment using a wavelet-domain natural image statistic model // Proc. of SPIE Human Vision and Electronic Imaging. — 2005. — Pp. 149-159.

15. Carnée M., le Callet P., Barba D. Visual Features for Image Quality Assessment with Reduced Reference // ICIP05.— 2005.— Pp. I: 421424.

16. Perceptual blur and ringing metrics: Application to JPEG2000 / P. Marziliano, F. Dufaux, S. Winkler, T. Ebrahimi // Signal Processing: Image Communication. — 2004. — Vol. 19. — Pp. 163-172.

17. Magni V., Cerullo G., Silvestri D. High-accuracy fast Hankel transform for optical beam propagation //J. Opt. Soc. Am. A. — 1992.— Vol. 9, no. 11.— Pp. 2031-2033.

18. Quasi-discrete Hankel transform / L. Yu, M. Huang, M. Chen et al. // Optics Letters. 1998. — Vol. 23, no. 6. — Pp. 409-411.

19. El-Shahed M., Shawkey M. Generalized finite Hankel transform // Integral Transforms and Special Functions. — 2006. — Vol. 17. — Pp. 3944.

20. Eldabe N. T., El-Shahed M., Shawkey M. An extension of the finite Hankel transform // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Vol. 151. Pp. 713—717.

21. Mook D. R. An algorithm for numerical evaluation of Hankel and Abel transform // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. — 1983. — Vol. 31, no. 4. — Pp. 979-985.

22. Higgins W. E., Munson D. C. A Hankel transform approach to tomographic image reconstruction // IEEE Transactions on Medical Imaging. — 1988. Vol. 7, no. 1. — Pp. 59-72.

23. Barakat R., Parshall E., Sandler B. Zero-order Hankel transform algorithms based on Filon quadrature philosophy for diffraction optics and beam propagation //J. Opt. Soc. Am. — 1998. — Vol. A15. — Pp. 652-659.

24. Pandey R., Singh V., Singh O. An improvedmethodforcomputing Hankel transform // J. Opt. Soc. Am. — 1998.- Vol. A15. Pp. 652-659.

25. Postnikov E. About calculation of the Hankel transform using preliminary wavelet transform //J. Appl. Math.— 2003.— Vol. 6.— Pp. 319-325.

26. Siegman A. Quasi fast Hankel transform // J. Opt. Lett.— 1977.— Vol. 1. — Pp. 13-15.

27. Ferrari J. A. Fast Hankel transform of order zero // J. Opt. Soc. Am. — 1995. Vol. A 12. - Pp. 1812-1813.

28. Suter В. W., Hedges R. A. Understanding fast Hankel transforms //J. Opt. Soc. Am. 2001. - Vol. A 18. - Pp. 717-720.

29. Perciante C. D., Ferrari J. A. Fast Hankel transform of nth order with improved performance //J. Opt. Soc. Am.— 2004.— Vol. A 21.— Pp. 1811-1812.

30. Hansen E. W. Fast Hankel transform algorithm // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. — 1985. — Vol. 33, no. 3. — Pp. 666-671.

31. Pandey R., Singh V., Singh O. An improved method for computing Hankel transform // Journal of the Franklin Institute. — 2009. — Vol. 346, no. 2.-Pp. 102-111.

32. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — JI.-M.: Физматгиз, 1962.

33. The short-range order in the surface layers of melts Cu-Au (Ge) by electron diffraction / M. Spiridonov, S. Popel, A. Krylov, M. Mizotin // Journal of Physics: Conference Series. — 2008. — Vol. 98. — Pp. 53-56 (012014).-part 1.

34. Krylov A., Liakishev A. Numerical Projection Method for Inverse Fourier Transform and Its Application // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 2000. — Vol. 21, no. 1-2. — Pp. 205-216.

35. Krylov A., Vvedenskii A. Software Package for Radial Distribution Function Calculation // Journal of Non-Crystalline Solids. — 1995,— Vol. 192. Pp. 683-687.

36. Krylov A. S., Mizotin M. M. Projection method for the Hankel transform // Integral Transforms and Special Functions. — 2011.— Vol. 22, no. 6. Pp. 431-441.

37. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — Москва: Наука, 1976.

38. Титчмарш Э. Ч. Введение в теорию интегралов Фурье.— Москва: ОГИЗ "Гостехиздат", 1948.

39. Eberlein W. F. A new method for numerical evaluation of the Fourier transform // Journal of Mathematical AnaLysis and Application.— 1978. Vol. 65. - Pp. 80-84.

40. Harris C., Stephens M. A Combined Corner and Edge Detection // Proc. of The Fourth Alvey Vision Conf. 1988. - Pp. 147-151.

41. Lowe D. G. Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints // Int. J. of Сотр. Vis. 2004. - Vol. 60, no. 2. - Pp. 91-110.

42. Hse H., Newton A. Sketched symbol recognition using zernike moments // Proc. of ICPR04. — 2004. — Pp. 367-370.

43. Mikolajczyk K., Schmid C. A performance evaluation of local descriptors // IEEE Trans, on Pattern Anal, and Mach. Intell. — 2005. — oct. Vol. 27, no. 10. - Pp. 1615-1630.

44. Bay H., Tuytelaars Т., Gool L. V. Surf: Speeded up robust features // Proc. of ECCV. 2006. - Pp. 404-417.

45. Mikolajczyk K., Schmid C. A performance evaluation of local descriptors // IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence. 2005. — Vol. 27, no. 10. — Pp. 1615-1630.

46. Tola E., Lepetit V., Fua P. A Fast Local Descriptor for Dense Matching // Proc. of CVPR. 2008. - Pp. 1-8.

47. Abdel-Hakim A. E.} Farag A.-A. CSIFT: A SIFT Descriptor with Color Invariant Characteristics // Proc. CVPR. — Vol. 2. — 2006. — Pp. 19781983.

48. Bosch A., Zisserman A., Munoz X. Scene classification via pLSA // Proc. of ECCV. 2006. — Pp. 517-530.

49. Geusebroek J.-M., Burghouts G. J., Smeulders A. W. The amsterdam library of object images // Int. J. of Сотр. Vis. — 2005.— Vol. 61.— Pp. 103-112.

50. Krylov A. S., Sorokin D. V. Gauss-Laguerre Keypoints Descriptors for Color Images // Proc. of VCIP2011. — 2011. — in press.

51. Eckert M. P., Bradley A. P. Perceptual quality metrics applied to still image compression // Signal Processing. — 1998. — Vol. 70. — Pp. 177200.

52. Capodiferro L., Di Claudio Е. D., Jacovitti G. Short Reference Image Quality Rating Based on Angular Edge Coherence // Proc. of of 14th European Signal Processing Conference EUSIPCO. — 2006.

53. The polar edge coherence: a quasi blind metric for video quality assessment / V. Baroncini, L. Capodiferro, E. D. Di Claudio, G. Jacovitti // Proc. of of 14th European Signal Processing Conference EUSIPCO. 2009. - Pp. 564-568.

54. Sorokin D. V., Krylov A. S. Short reference image quality estimation using modified angular edge coherence // 20-th International Conference on Computer Graphics GraphiCon'2010. — St. Petersburg, Russia: 2010. September. — Pp. 137-140.

55. Nasonov А. V., Krylov A. S. Adaptive image deringing // 19-th International Conference on Computer Graphics GraphiCon'2009. — Moscow, Russia: 2009. — October. — Pp. 151-154.

56. Корчагин Д. H. Применение методов частотно-временного анализа в обработке графической и аудио информации: Диссертация канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / МГУ им. М. В. Ломоносова, факультет ВМК. — Москва, 2004.

57. Aberth 0. Iteration methods for finding all zeros of a polynomial simultaneously // Mathematics of computation. — 1973. — Vol. 27, no. 122. Pp. 339-344.

58. Sorokin D. VKrylov A. S. Gauss-Laguerre-Hermite Method of Keypoint Extraction // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2011. — Vol. 21, no. 2.- Pp. 332-334.

59. Sorokin D. V., Krylov A. S. Fast Gauss-Laguerre Keypoints Extraction using 2D Hermite Functions // Proc. of PRIA-10-2010. 2010,— Pp. 339-342.

60. Сорокин Д. В., Рудяк Ю. И.} Крылов А. С. Выделение перекрытий фонового объекта снятого с разных ракурсов // Труды 13-ой международной конференции „Цифровая обработка сигналов и её применение" DSPA'2011. Vol. 2. - 2011. - Pp. 192-195.

61. Sorokin D. V., Krylov A. S. Fast laguerre projection methods for finite hankel transform of arbitrary order // Abstracts of The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation. — 2011. — P. 166.