автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Применение теории стохастических дифференциальных уравнений к исследованию недетерминированных процессов, обладающих сохраняющимися функционалами

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Томский государственный университет

Г б од

на правах рукописи

УДК 519.21

ЧАЛЫХ Елена Викторовна

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ, ОБЛАДАЮЩИХ СОХРАНЯЮЩИМИСЯ ФУНКЦИОНАЛАМИ

05.13.16— Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1998

Работа выполнена в Биробиджанском государственном педагогическом институте

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор фиоико-математических

наук, профессор Дубко В.Л.

доктор фиоико-магематических

наук, профессор ТУрбин А.Ф.,

доктор физико-математических

наук, профессор Конев В.В.

Институт прикладной математики ДВО РАН

Защита диссертации состоится " ^ 5993 года в 14 часов на заседании

специализированного Совета Д 063.53.03 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, уя.Пеннна, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат (в 2-х экземплярах, заверенные печатью) посылать по адресу: 634050, г.Томск, ул.Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ Буровой Н.Ю.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специалиоированного Совета ''"Л

ь)

'кандидат фиоико-математических наук Тривоженко Б.Е.

Актуальность темы.

Применение математических методов в последние годы в естественно-научных и приданных исследованиях характеризуется тем фахтом, что модели, основывающиеся ;:л ростейших предположениях, заменяются моделями, имеющими более реальное прибли-сение.

Посхольху любая реальная система не может рассматриваться как изолированная и одчиненная строго детерминированным ¡загонам, то-более адехватными становятся стспастические модели. Этот фахт отражается при моделировании реальных динамических истем ( физичесхих, экономических, социальных, биодогичесхих и т.д.) при помощи ведения случайных воздействии. Эффективные методы для тахого моделирования пре-рставдяет теория стохастических дифференциальных уравнений , основы которой были аложены Н.Н.Боголюбовым, И.И.Гихманом и К.Ито. Уровень современной теории сто-астичесхих дифференциальных уравнений определяется вкладом многих авторов и с до-таточной полнотой, в хонтехсте направлений исследований данной работы, отражен в ниге И.И.Гихмана и А.В.Скорохода "Стохастические дифференциальные уравнения и их риложения" (Киев: Наук, думха, 1982).

Примерами областей применимости стохастического анализа могут служить теория юлимеров (де Жен П. " Идеи схейлинга в физике полимеров". - М.: Мир, 1982. , Воль-:енштейн М.В." Конфигурационная статистиха полимерных цепей". - М.: Иод-во АН ИССР, 1959., Вольхенштейн М.В. Биофизика. - М.: 1981. , Займан Дж. "Модели беспо->ядха". - М.: Мир, 1982. и др.) теория электромагнитных случайных полей (Колачевсхий 1.Н. "Магнитные шумы*. - М.: Наука, 1971), турбулентная флуктуация (Стратонович '.П. "Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике". - М.: Сов. радио, 1961), юдели рептации (Альтшулер Б., Ли П. " Раоупорядоченные элехтронпые системы" // Фишка за рубежом. - Сер. А. (Исследования). - М.: Мир, 1990), теории связи (Снайдер Д. Метод уравнения состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи". -И.: Энергия, 1973) и др.

Одной из основных задач данного исследования является рассмотрение нового класса >адач, связанных с обобщением процесса вращательной диффузии в конечномерном про-ггранстве. Впервые задачи тахого типа, 1ах отмечено в работе Хида Т. "Броуновсхое щижение". - М.: Науха, 1987, были рассмотрены Иосида. Затем Г. Маиин в книге 'Стохастические интегралы". -М.: Мир, 1972, построил броуновское движение на группе Пи.

Задачи тахого типа тесно связаны с диффузией с постоянной старостью. По-видимому, зпервые проблемой диффузии с постоянной скоростью начал заниматься М. Кац ( " Не-полько вероятностных задач физихи и математихи". - М.: Науха, 1967).

Модели диффузии с постоянной скоростью можно свести к более широкому классу за-5ач - вращательной диффузии. Пусть имеется круг (сфера), на которой осуществляется случайное движение (частицы). Т.е. движехние происходит на сферическом многообразии. Как выяснилось в исследовании, проведенном в работах Дубхо В.А. (см., например, "Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений". -Владивосток: ДВО АН СССР, 1989), в которых было обосновано существование первых интегралов для стохастических дифференциальных уравнений Ито и при исследовании их свойств, можно построить стохастические уравнения в II3 и Н3, для которых круг и сфера, соответственно, будут устойчивыми многообразиями. Данный результат означает, что процесс, начавшийся либо внутри, либо вне этого многообразия, со временем попадая на него, остается там бесконечно долго.

При исследовании случайных процессов конечной целыо считалось построение ура нения для определения плотности переходной вероятности итого процесса (а иногда нахождение его точного решения), построение корреляционной функции или нахождеш моментов (возможно и в аналитическом виде ). Однако теория стохастических дифф ренциалышх уравнений позволяет находить решения некоторых видов стохастически дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Особенностью последних являет< то, что в их решения входят функционалы от случайных возмущений.

Такая возможность появляется, как показано в главе 1, при наличии сохраняющих! функционалов на любой реализации случайного процесса - первых интегралов Дубхо.

Вопросы о существовании устойчивых многообразий дня стохастических уравнен» Ито исследовались в работах, например, Белопохьской Я.И. "Устойчивые интегральнь многообразия стохастических дифференциальных уравнений" //IX Международная toi ференция по нелинейным колебаниям (тезисы докладов). — Киев : Ии-т математик] 3981, Денисовой 11.10. "О достижимости и устойчивости инвариантного множества ci стены стохастических дифференциальных уравнений" // Укр. мат. журн. - 1992. - 4' N4. Теория первых интегралов Дубко В.А.( * Первый интеграл системы стохастически дифференциальных уравнений", 1978) позволила исследовать этот вопрос практически рамках теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Было установлено, что нр определенных условиях уравнение типа Ланжевена обладает первым интегралом.

Другой класс задач, рассмотренных нами в работе, связан с возможностью ди<]*]'уз) онной аппроксимации компонент решения исходной системы стохастических диффере* циальных уравнений. Не существует универсальных методов исследования проблемы ai; проксимации. Подтверждением этому слух-кт обилие работ и монографий, посвящении данному вопросу . Кроме того, много работ посвопцены исследованию этой проблемы дя стохастических дифференциальных уравнений с применением различных методов нол\ чения аппроксимирующего, в каком-то смысле, ряаеккя. Подтверздекисм втому слу и наши результаты.

Цель работы.

Исследовакве возможностей нахождения точных решений стохастических диффереи циальных уравнений Ито, описывающих явление броуновской диффузии в представлсни Ланжевена с ортогональным воздействием. Построение стохастических уравнений, опи сывающнх динамику цепи конечной длины с бесконечным числом звеньев, поворот каждог из которых определяется только направлением предыдущего в смысле слабой сходиыост; процесса ди^>фуоии для систем с ортогональным случайными воздействиями в иросгран стве координат.

Научная новизна.

1. Для классанелмнейных стохастических дифференциальных уравнений, описываю щих динамику броуновского движения при ортогональных случайных воздействиях, по лучено аналитическое решение. Построен полный класс стохастических уравнений Л ал жевена с ортогональными воздействиями в R". Показана возможность существование первых интегралов для стохастических систем со случайными коэффициентами.

2. На основе метода характеристических функций доказана предельная теорема о( аналитическом представлении медленной составляющей решения для одного класса сто хастических дифференциальных уравнений Ланжевена с ортогональными воздействиями явхпошегося диффузионной аппроксимацией для положения броуновской частицы во ире

мени.

3. Построены явные аналитические представления для моментов для явления поворотной диффузии с пуассоновсхими переключениями и изменения по оахону распределения винеровсхого процесса угла поворота по отношению х исходному при этом переключении.

4. На основе метода харахтеристичесхих фунхций построено уравнение для цепи конечной длины с бесюнечным числом звеньев, пооволяющее перейти х нахождению плотности ансамбля таких цепей для любого момента времени.

Методика исследования.

1. Используется возможность перехода к различным представлениям описания стохастической динамики.

2. Теория первых интегралов уравнений Ито.

3. Основным моментом при дохаоательстве предельных теорем является установление слабой сходимости решения уравнения х нехоторому процессу, подчиненному собственной системе стохастических дифференциальных уравнений.

4. Элементы алгебры.

Аппробация работы.

Основные результаты работы докладывались на семинарах по теории вероятностей и математической статистихе Института математики HAH Украины (рух-ли: академик НАНУ Королюк B.C., проф. Турбин А.Ф., 1997 - 1998), на научном семинаре кафедры уравнений математической физики Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко (рук. проф. Гончаренко В.В., 1997), на научных конференциях аспирантов и преподавателей Биробиджанского госпединститута (1995, 1996), Амурского госуниверситета (1994), на Третьих Боголюбовсхих чтениях (Киев, 1997), на международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию П.Л.Чебышева (МГУ, 1996), на международном симпооиуме "Циклические процессы в природе и обществе" (Ставрополь, 1994).

Объем и структура работы.

Диссертация состоит ио введения, двух глав, приложения и списка цитируемой литературы, насчитывающего 71 наименования. Полный объем работы 100 страниц.

Содержание работы.

Во введении выполнен краткий обзор по моделированию систем броуновской диффузии на сферических многообразиях, мотодах аппроксимации медленной составляющей сингулярно возмущенных уравнений типа Ланжевена. Цель выполненного обоора- обосновать новизну выбираемого класса задач. Мотивируется выбор вида моделей для исследования, исходя из моделей реальных процессов.

Нумерация формул в диссертации непрерывная по главам. Для удобства восприятия в автореферате введена своя нумерация формул. Первая цифра при нумерации теорем и лемм показывает номер главы, вторая в нумерации теорем - номер в главе, вторая в нумерации лемм - номер теоремы, к докаоательству которой она относится и третья в нумерации лемм - собственный номер. В автореферате нумерация теорем и лемм сохранена, для формул - сплошная нумерация.

Основным результатом главы 1 является теорема о явном виде точного решекил стохастического дифференциального уравнения типа Ланжевена с ортогональными случайными воздействиями. Доказана теорема о строении класса стохастических дифференциальных уравнений в пространстве R", приводящих х возможности существования устойчивого сферического многообразия в R". Указаны пути расширения данного класса задач на динамику броуновского движения в случайных средах. Доказана теорема об интегральном представлении медленной составляющей для сингулярно возмущенных систем второго порядка типа Ланжевена с ортогонкальными воздействиями. Опираясь на вту теорему, на основе метода характеристических функций доказывается теорема о слабой сходимости этого интегрального представления к диффузионному процессу.

Во второй главе исследуется специальный класс случайных блужданий на круге, связанных с конкретным предположением о динамике случайной фазы поворота. Доказана теорема о моментах при условии, что фаза <f(t) есть обобщенный пуасссоновский процесс. Такие предположения при удачном выборе временного интервала между изменениями могут быть использованы при анализе многих явлений поворотной "диффузии". Доказывается теорема о предельных стохастических уравнениях, позволяющих перейти к построению уравнения для плотности распределения динамики длины вектора, соединяющего начало и конец цепи конечной длины с бесконечным числом звеньев.

В п. 1.1 рассматривается уравнение Ланжевена специального вида :

<Mt) = v(t) dt + |Щ|[у(£) х dw(i)], (1)

где ¿i(t)i b(t) G R1 - неслучайные функции от t, W{(t) - независимые винеровсхие процессы,

t = Т7з.

Относительно гладкости этих и других встречающихся коэффициентов полагается , что она достаточна для обеспечения условий существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения. Используя теорию первых интегралов, устанавливается, что

|v(t)|3 = /е*р{-/ 2^(r)drj2b3(u)<iu + exp|-/ 2M(r)drJ|v(0)|3, (2)

то есть ¿(0/lvMI ~ есть неслучайная величина. Поэтому далее будем исследовать решение более общего уравнения:

dv(t) = -n{t) v(t) dt + a(t)[v(i) X <fw(t)], (3)

где o(i) = fc(i)/|v(f)l-

В п. 1.2 обсуждается возможность и удобство перехода к представлению Стратоновича как основа дня нахождения точного решения линейного по v(i) стохастического дифференциального уравнения Ито. •

В п.1.3. для уравнения в представлении Стратоновича вида

dv{t) = -p(i)v(t) dt + dw{t) a(t) £ Bjv(f), (4)

k=î

доказывается справедливость следующего утверждений^. ® ~ А/ЯТуиЦ

Таким обраеом, задача свелась к вопросу о поворотной (вращательной) диффуси окружности.

Существует много примеров моделей вращательной диффуоии. Однако в ловес постановках предполагалось, что фаоа 77(f) непрерывна и подчинена некоторому ур нию или является чисто пуассоновским процессом. Мы рассмотрели некоторое ибоби этих оадач в следующей постановке. Пусть

z(í) = |г| eos (<p(t) + U), y{t) = |г| sin (<p(t) + ut) = |г| cos {<p(t) + wt- тг/2), |r| = sjx^ + y2 = const -- 1,

n(l)

где <p(t) = io = 0, Дро = <P(0)i -скачкообразное изменение угла, <pQ - на'

•=о

ный угол, w -неслучайная собственная частота, n(t) > 0 — число скачков до иомен Сохраняющимся функционалом в данном случае является |r(í)| = 1.

Предположим, что: 1) n(i) > 0 - число скачков оа промежуток времени t, подчиш закону Пуассона; 2) {Л<p¡] - нормально распределенные независимые случайные вели" для всех i = 1, п.

Теорема 2.1. (О моментах). Пусть x(í) = сое (<f(t)), где

-С)

<p(t) = Yj Aiph + (fio + wt, А<рь k= 1

-случайные нормально распределенные независимые для всех к величины, т.е.

М[А<рк] = 0, М[(Др»)'] = n(t) - число скачков, подчиненных закону Пуассона:

M[n(t)] = ßt.

Тогда момент Lj(m¡ t) порядка tп от случайной величины z(t) имеет вид:

1 7 т

U(m-,t)=— / cos Km — 2А) (<Ра + o>í)]x 1 -i,

X exp ^-ßt - exp jj I p{vo) d<p0.

В п.2.2 рассмотрена оадача в постановке, обобщающей иовестные задачи поворо' диффузии частицы в R2, возникающая в динамике полимерных цепей. Сохраняют] функционалом для данного случайного процесса является длина цепи l(t) - манси мал его длина.

Рассмотрен следующий двумерный процесс

п

*„(0 = £«('.;О«*^)'Д. »=i п

у» (0 = Л а(!>; 0 sin г,(0 ■ А. <=i

:шекие системы. (8), (9) можно представить в виде

t jyj

x(f) = rj(e; t) + / ij- [v(0 X ¿w(i)j - x(0), о ^

)e через rj(c\t) обозначены слагаемые, квадрат математического ожиданиж от кото-ае равен 0(e), т.е.:

иы^ус] = о(с)

(ох&зкгельство проводится с помощью лемм об оценке.

Затеи на основе метода харыгтернстичесгих функций доказывается следующая тео-ема.

Теорема 1.4. (О диффузионной аппроксимации.) Пусть процесс x,(t) является решением. системы стохастических дифференциальных уравнений вида

dx.(t) = v.(i)cft, edv.(i) = -ti(t)v,(t)dt + [v.(i) X ¿w(t)],

!M[jve(0)|4]< const, |v(0)| ф 0, x(t)

= x(0),

?e t > 0, p.{t) > 0; u(t) Ç Ch.-«. Тогда r.pu t —* 0 последовательное^!» процессов x»(r) сходится к процессу x(t) с компонентами:

-fr,(0),t"= 1,3,

áe u\(-) - независимые еинероеские процессы .

Во второй главе рассматривается более общая постановка задачи о вращательной диффузии. Пусть

zi(t) = г(t) cos (a(i) + И> i + р(0)) + C(t).

де o(t) = /(í) + r¡(t), C(t) и ij(t) - независимые случайные процессы, в частности, r¡(t) юх.ет быть вхнеровским, f(t) — неслучайная функция.

Задачи такого типа возникают в теории связи в случае процесса нелинейной модулями при наличии шума (при атом a(í) - называют модулирующим фазу сигналом, мо -гесущей частотой), при описании явлений, связанных с флуктуациями в ферромагнитных материалах при циклическом перемагничивании .

Поскольку возможно представление

COS (/(t) + Tj(t) + Wo t) = COS /(í) COS (t](t ) + ыв í) - sin f(t) sin (r?(í) + Wo t), го при г (t) = const задача может быть сведена к отысканию распределения соответственно

Zj(í) = cos (rj(t) + и>о t)

t=0

где тц, i=l, 2, - в данном случае - целочисленный случайный процесс, например, пуассо-новский.

Кроме того, можно внести случайность в коэффициент при в уравнении (1), потребовав в этом случае от коэффициентов ¿i(|v|,i, щ), i>2(|v|, t, rft) и m(|v|,î,»?i,%) выполнения условия

-м(М, t, щ,тц) |v|3 + 6?(|v|, t, »л) + b?(|v|, t, %) = ç(|v|, t),

где ?(|v|, t) - неслучайная функция.

При btou в уравнениях Колмогорова при фиксированных rji kijj коэффициенты сноса и диффузии будут оставаться случайными, т.е. данная задача примыкает к задачам об эволюции в случайных средах , но образует собственный класс задач.

В п.п.1.6.3, 1.6.4 обобщается и строится полный класс уравнения броуновского движения с ортогональными воздействиями в пространстве произвольной размерности. Как видим, в атом случае

¿lv(i)jJ = —2 fi jv(t)j2 eft + (я - 1) ^(|v(i)|;i) dt,

т.е. и в пространстве Rn процесс |v(i)]2 - неслучайная величина. Для нее, как и в случае В.5, устанавливаются условия существования устойчивых многообразий, ио ухе в форме п -мерной сферы.

Полученные результаты сформулированы в виде теоремы. Теорема 1.2. Любая система mur.а

cv(t) = -Kv(i); t)y(t)di -f Efc... ; v(î) ; f) C4v(i), (С)

матрицы которой могут быть представлены в виде

B(t) = A'(t)A{t)D(t), (Т)

является системой с ортогональными возмущениями по отношению к вектору v(i) и обратно, если система - система с ортогональными воздействиями, то ее лагари^ы должны удовлетворять соотношению (7), где строки матрицы Ait) - векторы a&(v(t); t), k = 2,п, построенные по приведенному алгоритму ортогонализации. Относительно ко-вффщиентое fi(v(t); t) и матриц B{t) и D(t) полагается, что они согласованы с ус/.оеи-ями существования и единственности решения уравнения (6) .

В п.1.7. исследуется сходимость! диффузионному процессу, т.е. построение диффузионной аппроксимации для медленной составляющей процесса xt(i), подчиненного системе

Ac.(t)=v.(t)cft, (8)

е dv.(t) = -fi(t)v.(t)di -г j^j [v.(t) х ¿w(f)], (9)

когда малый параметр s —у 0. Сначала строится интегральное уравнение для медленных компонент. Основной результата данного параграфа составляет следующая теорема.

Теорема 1.3. (Об интегральном представлении решения) При ограничениях А) : выполняется оценка

с

1+а

M[|v(0)fi = <?(=),

где

¡v(0)] = 0, u(i)>0, u'ilsC1, Vic[0;Tl, a > 0, x(f) = x(C)

lt=o

Теорема 1.1. Пусть выполняются условия С) :

a(t),n[t) ее1.

Тогда решение стохастического дифференциального уравнения (\) существует и имеет вид (при условии w/,(t) = w(t), k — 1,3):

v(t) = P(z(t)) v(0) = «p j J (¿'(r) - „(гу.г) j

t (j а(фЫг))У , .

sin E

E / 4r)dwb(r) B2+

3 (t \9V

E (/ a(r)dw, r)j j

(5)

f a(r)dwk{r)

£ \J «(r)dMr)

v(0).

В л.1.4 исследуются некоторые свойства решения.

1. Отметим, что в процессе построения решения уравнения (4) помимо требования непрерывности по ( коэффициентов /¿(С) и а(') другие ограничения не использовались. Поэтому полученное решение является решением более ебшей задачи, чем исходная . ч

2. Решение (5) уравнения (4) представимо в виде:

1

где = I <з(г)Лу(г), матрица определяется выражением (5).

о

В п. 1.5. исследуются моменты процесса х({) . Коэффициент диффузии получается в этом случае равным Ь7/3^ (при Ь —* оо, большие времена). Он отличается от коэффициента диффуоии Лаижевена, равного №¡11? для процесса

<&,(£) = -р. <& + Ь dw.it), ¿х,{1) = <&

с тремя независимыми винеровскими воздействиями » = 1, 3 в однородной изотроп-

ной среде.

В п. 1.6 рассматривается обобщение теории броуновского движения со случайными ортогональными воздействиями. Вполне возможны иные представления коэффициентов ЫМ^! ш) и &з(М>%)! в частности, когда эти величины имеют вид

ММ, т) = ИГ I, О, ЫМ, ъ) = ИГ ЫМ,ь),

X

где a(i,;i),<p,(t) - в общем случае случайные процессы, h < h < ••■ 2 o(i;t) > 0; Д = l/n, I = ccnsi.

Модели вида (10) описывают распределение длин I полимерных цепей для случая установившегося, стационарного распределения , удовлетворяющих условию:

l7{t) = |r„(i)lJ + WOP < const,

С точги прения представлений о явлении турбулентной диффузии модель (10) может служить неюторым обобщением диффузии пассивной примеси под действием вложенных вихрей различных масштабов.

В данной работе поле ¿); у„(/; <)} изучается как стохастический динамический процесс и исследуется его предельное поведение при п —> оо. Для того, чтобы получить кооффициенты предельных уравнений в аналитической виде, ограничимся рассмотрением модели (10) при дополнительных предположениях (условие С)):

a(/;i)=a(i)> 0, I 6 [0, £],

Ы0 = Е 0Д(ш(/,)), ¿6 [о, Г], •=i

t

гj(i,;i)= f c(l,-,r)dw,{r),

(12)

(13)

(14)

где Л(ю(1,)), А(ш,(г)) - независимые между собой и для различных я и г опережающие приращения соответствующих винеровских процессов, определенных иа произведении н езависимых вероятностных пространств

{СЬ, 0|, Р,} х {О,, Р3},

где О/, и - соответствующие потоки а -алгебр, порождаемых процессами ю(1) и ш(4); а(1), £ С^мо.Я - неслучайные функции от I и При условии (11) дм случайной

функции (13) может быть определен предел при п оо.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.2. При выполнении условий (11) - (Ц) прилюб6 [0,Т] последовательность {г„(/; Ь)\ уп{1\ 0} слабо сходится при п—Уоок решению задачи Ко ши для системы стохастических дифференциальных уравнений Ито вида:

d,p(l\t) =

p(i;i)|ba(i)-^(i;t)/a3(i;r)<ir о

/ ' \Ф -[¿f°2(hr)drj q(l-,t)dW(l),

q{ht)jlhia{l)-\q{l-,t)j<,\l-,r)dr о.

/ i

.^/a3(l;r)drj p(l; t)dw(l),

dl-

dl+

(15)

сí,x(í; t) = ?(í; t) di, d,y(l-t) = p(í; í) Л, удовлетворяющему граничным условиям

x(0;í) = 0, y(0;t) = 0, p(0; í) = a(0), g(0;í) = 0.

Доказательство теоремы основано на следующих промежуточных утверждениях. Лемма 2.2.1. Справедливо равенство

М

: Const

= м,

exp ja J г)(щ t) ¿ш(и)|

где

exp ja У r/(u; t) ¿tü(ii) J jt =

2.2.2. Имеет место соотношение

M |ехр j-y /=ехр ~f Juj,

i

0 = f t) dw(r)t

и(и; - неслучайная функция.

Данные утверждения пооваляют перейти от исследования процесса (13), определенного на потохе сг-алгебр £?е ф х процессу, определенному на потохе <г-алгебр ^(0

= £ a(f,)co8

¿ДМУ) )árj

Д|,

Д(,

где - приращение винеровсхого процесса на интервале [/у; ^+1].

Лемма 2.2.4. Ясмя- ¿); уп(/; ¿)} и {гп(1;^;уп(1; ¿)} при п оо являются стохастически аквивалентными в широком смысле.

Лемма 2.2.4 позволяет перейти к исследованию предельного при п —> оо поведения только поля {х„(1; 4), Уп('> 0}- Сравнение характеристических функций для {£*(/; £)> Уп(1\')} и !/('". 0} ~ решения системы уравнений (15), для любых 4 € [О, Т] при п оо

приводит х утверждению теоремы 2.2.

Замечание 1. В рассматриваемом случае для определения у; /) можно построить соответствующие уравнения Колмогорова по параметру I > 0 для любого фиксированного t > 0.

Замечание 2. Характер рассуждений существенно не изменится, например, когда а = а(1\ £) (колеблющаяся цепь), а(1; Ь) - неупреясдающие по I и Ь измеримые случайные

функции относительно неэависи-кш; потоков а-алгебр, порожденные соответственно винеровскими процессами w(l) и w(t).

Тем самым мы пришли к представлению о когерентной органиоации (распределении): параметр t определяет одновременно и структуру цепочки.

1 Публикации по теме диссертации.

1. Чалых Е.В. Построение диффузионной аппроксимации положения броуновской частицы с ортогональными воздействиями. -Хабаровск,1998. - 20 е.- (Препр./ Ин-т прикладной математики, ДВО РАН; 05.1998).

2. Чалых Е.В. Наличие сохраняющихся функционалов броуновского движения в случайной среде. - Хабаровск, 1998. - 8 с. - (Препр./ ДВО РАН. Ин-т прикладной математики, ДВО РАН; ОС. 1998).

3. Чалых Е.В. Об одном обобщении уравнений Ланжевена с детерминированным модулем скорости // Укр. мат. жури. - 1998. - 50, No. 5 - С. 712-713.

4. Дубко В.А., Чалых Е.В. Построение аналитического решения для одного класса уравнений типа Ланжевена с ортогональными случайными воздействиями // Укр. мат. жури. - 1998, - 50, No.4, Р. 604 - 605.

5. Дубко В.А., Чалых Е.В. Стохастическая моледь длнаккки цепи конечных размеров с бесконечным числом звеньев // Труды Международной научной конференции по асимптотическим и качественшгм методам теории нелинейных колебаний. Третьи Боголюбовские чтения. 18 - 23 августа, 1997. г.Киев, Украина. - Киев: Нн^г математики IIAH Украины, 1998. - Т. I. - С. 47-50. "

С. Дубко В.А., Чалых Е.В. Броуновское движение с детерминированным модулем скорости. - Киев, 1997. - 21 с. - (Препринт / HAH Украины. Ин-т математики; 97.13).

7. Дубко В.А., Савенко O.A., Чалых Е.В. Характеристические функции и их применение. - Учебно-методические указания. Биробиджанский государственный педагогический институт, 199G. - 36 с.

Елена Викторовна Чалых

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ, ОБЛАДАЮЩИХ СОХРАНЯЮЩИМИСЯ ФУНКЦИОНАЛАМИ

Автореферат

Лицензия N 020069 Ткраж 100 экз. Заказ

Отпечатано в Биробиджанском государственном

педагогическом институте Адрес: 682200, г.Биробиджан, ул.Широкая, 70-а.