автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение доказательных вычислений к поиску областей, удовлетворяющих заданным свойствам

Г-?' С1

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАЛ\ НАУКИ И ВЫСШЕЙ школы НОВОСИБИРСКИ И ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КЕНЕНБАЕВЛ Гулам Мекишовна

УДК 681.3:517

ПРИМЕНЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ К ПОИСКУ ОБЛАСТЕЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЗАДАННЫМ СВОЙСТВАМ

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степенин кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 1991

Работа выполнена в Институте наук Республики Кыргызстан.

математики Академии

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических па\'к, старшим научный сотрудник П. С. ПАНКОВ.

доктор физико-математических наук, профессор

Ю. Е. БОЯРИНЦЕВ;

кандидат физико-математических наук

3. X. ЮЛДАШЕВ.

Ведущая организация: Вычислительный центр СО АН

СССР (г. Красноярск).

Защита состоится « » ср^рсиЛ 1992 г. в « ('Ь.сО» часов на заседании специализированного совета К 063.98.05 по присуждении степени кандидата физико-математических наук при Новосибирском государственном университете но адресу: 630090, г. Ноиоснбпрск-90, ул. Пиро-гова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан « -("9 » 1991 Г-

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук

Н. Н. СЕРГЕЕВ-АЛ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы. В различных прикладных вопросах возникают задачи поиска областей, удовлетворяющих заданным условиям, в многомерных пространствах параметров или фазовых переменных.

Известно, что возможности аналитических методов в таких задачах очень ограничены, а применение приближенных методов зачастую не дает даже практическую уверенность в правильности выводов не только из-за накопления погрешностей, но и из-за дискретности сеток.

Для получения гарантированных результатов с помощью численных методов по таким задачам потребовалось развить методику доказательных вычисления, что и является целью настоящей работы.

Научная новизна и значимость работы. Впервые систематически рассмотрены и классифицированы задачи поиска областей в многомерных пространствах в строгой постановке. Это дало возможность применять численные методы со строгим обоснованием.

Задачи поиска областей по постановке можно разделить на два

типа:

1) найти область, удовлетворяющую некоторому условию в целом (например, устойчивая, или инвариантная вправо область в пространстве фазовых переменных - если траектория начинается в этой области, то она не выходит из области в дальнейшем; область, вращение по границе которой отлично от нуля, т.е. содержащая особые точки векторного поля);

2) найти область, каждая точка которой удовлетворяет условию.

Несмотря на естественность второй постановки, она является

алгоритмически некорректной: не существует математически строгого и практически удобного способа задания области, удовлетворяющей, например, условию Р(х,у)>С для заданной нелинейной функции Я (на .плоскости). Поэтому предлагается разделить задачу на две:

поиск достаточных условий (представамой на ЭВМ области, лежащей внутри истинной) и необходимых условий (представимой на ЭВМ области, содержащей истинную).

В работе рассматриваются два вида доказательного представления областей:

- (в двумерном случае) границы области - ломаные линии (на ЭВМ они представляются массивами двоично-рациональных чисел -координат вершин);

- (для любой размерности) область - объединение параллелепипедов с гранями, параллельными осям координат (на ЭВМ каждый из них задается двумя массивами двоично-рациональных чисел -координат нижних и верхних границ).

В работе построены интервальные алгоритмы для аппроксимации границ двумерных областей ломаными линиями, для поиска устойчивых решений двумерных систем уравнений (построение набора сколь угодно узких областей, содержащих все решения), для аппроксимации многомерных областей изнутри и снаружи. Также построен алгоритм определения соответствия функциональной зависимости числовым данным, заключенным в заданных интервалах, и алгоритм глобальной условной аппроксимации.

Практическое значение работы. При помощи вышеназванных алгоритмов доказано, существование второго стационарного решения у системы дифференциальных уравнений, описывающих противовирусную иммунную реакцию (см. ниже § 3.2).

Совместно с Ф.Х.Байбулатовым [8] установлен эффект расщепления волновых мод в цилиндрическом волноводе в области черепковских скоростей движения не менее чем на три (см. ниже § 3.4 -3.5).

Разработанную методику и построенные алгоритмы можно применять и для решения других прикладных задач при наличии строгой

математической формулировки, а также для определения соответствия или несоответствия предлагаемой теоретической зависимости экспериментальным данным с известной погрешностью измерения.

Апробация работы. Материалы настоящей работы были доложены на УШ, К Республиканских конференциях молодых ученых (Фрунзе, 1936-87 г.г.), школе по автоматизации научных исследований (Чолпон-Ата, 1987), конференции молодых ученых по вычислительной математике и математической физике (Новосибирск, 1988), Расширенном семинаре "Новые алгоритмы и программные средства для автоматизации научных вычислений" (Переславль-Залесский, 1988), УП Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Горький, 1988), У1 Всесоюзном совещании по интервальной математике (Абакан, 1989), семинаре по интервальной математике (Саратов, 1990), семинарах в ВЦ СО АН СССР (Красноярск), ИМ СО АН СССР и ВЦ СО АН СССР (Новосибирск), УШ Всесоюзном совещании по интервальной математике (Бишкек, 1991).

Публикации. По теме работы опубликованы тезисы [I], 121, [3], [4], статьи С5], Гб], Г9], [10] и препринт Г 7].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 35 наименований, содержит 76 страниц печатного текста, программы и результаты доказательных вычислений на ЭВМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предлагаемая классификация задач и методика их решения, описана структура и краткое содержание диссертационной работы.

В первой главе излагаются методы нахождения, в двумерном случае, областей путем доказательных расчетов по их границам, а также некоторые необходимые для дальнейшего сведения из конструктивной математики и интервального анализа.

Естественно, что интервальный анализ практически может быть применен не к любым точечным множествам в многомерных пространствах, а только к некоторому классу из них. Можно предложить следующие общие формулировки: "Множества, определяемые посредством заданных непрерывных и алгоритмически вычислимых функций" или "множества, имеющие достаточно гладкую или просто определенную границу" (в тефрии интегрирования, задачах математической физики). В различных разделах математики такие множества называются обычно "областями". В каждом конкретном случае в работе приводятся строгие определения.

В данной работе к функциям, задаваемым пользователем, предъявляются только самые общие требования: непрерывность и алгоритмическая вычислимость.

В § 1.1 изложены некоторые сведения по методике доказательных вычислений. Согласно ей, для исследования принципиальной воз- . можности применения численных методов для получения строгих результатов используются построения конструктивного математического анализа, а для практических вычислений - методы интервального анализа. В связи с этим приведены некоторые факты и результаты из этих разделов. Основным требованием к определяющему область условию является его устойчивость, т.е. сохранение при малых изменениях. Это обеспечивает принципиальную возможность применения численных методов.

Для определенного каким-либо способом объекта (точки, области) можно поставить

- зада^ количественной оценки: найти возможность более близкие (одно или двусторонние) гарантированные границы;

- качественную задачу: существует ли искомый объект или имеет ли объект заданное свойство.

Эти задачи взаимосвязаны: улучшение численных оценок мозгет

- б -

дать новый качественный результат (§ 3.5), после доказательства существования искомого объекта может произьодиться уточнение его границ (§ 2.3).

Отмечается, что для построения основных алгоритмов в качестве исходных данных удобнее не интервальные расширения задаваемых непрерывных функций, а индикаторные функции (принимающие целочисленные значения). В связи с этим формулируются некоторые их свойства: сохранение значимости, устойчивость. Описаны условия остановки интервальных алгоритмов, в том числе следующие: если вычисленный интервал содержит ноль, то (в зависимости от специфики задачи) вычисления могут либо продолжаться (но индикаторная функция уже не сможет принять одно из значений "определенности"), либо прекращаются (с результатом "неопределенность" - нулевое значение).

В 5 1.2 предлагается алгоритм для поиска доказательной аппроксимации ломаными для границ областей. .Для этого вводится определение опорной точки (из нее исходят как возможные, тая и нз-вос1 "жные направления движения), и опорного направления (крайнего из возможных направлений движения при заданном вращении). Построены алгоритмы поиска опорных точек и движения вдоль кривой зс2) = О . которая рассматривается как граница двух областей ,

С {(хч,х2)! г(х<>хг) > о] г & _ =Г {(х4?хг)| , хг) < о] .

Здесь Р - скалярная непрерывная алгоритмически вычислимая функция.

В § 1.3 описано применение результатов § 1.2 к задачам двусторонней аппроксимации границ областей знакоопределенности гладких функций и поиска положительно инвариантных областей для двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Далее в работе рассматривается долек областей, гарантирова] но содержащих решения системы уравнений. Отметим, что не все пр ближенные методы (в частности, вариационные) решений уравнений вида

Р(*):0, Р :1> — Я" (Осй") (I)

могут быть дополнены до доказательных: с точки зрения получения гарантированных результатов задача (I) не эквивалентна задаче минимизации какой-либо неотрицательной функции, вида 5 (*) = —»■ ИНП, поскольку как бы ни было мзло значент 5 , отсюда не следует существование решения (I). (Вместе с тем, такая минимизация может использоваться как первый этап по иска).

Известные методы, которые, ыогшо дополнить до доказательны в обобщенном виде можно записать следующим образом. С использс нием наложенных ка ¥ условий, уравнение (I) преобразуется к виду ОС = С (ж) , после чего применяется принцип сжатых отос ражений.

Для установления существования точного решения в окрестн< ти приближенного Л.В.Канторович (1948) обобщил метод Ньютона. Здесь О(л) г х - (р'(зс.)) 4 Р(эс) * , и требуется наряду с заданием алгоритма для вычислений вектор-функции р еще и ал горитм для вычисления производных компонент этой функции и об ратной матрицы (р'(л))"' , а также оценка вторых произвол ных, что практически затруднительно). Аналогичные методы с пс иском по всей (ограниченной) области О предложены Ц.Е. ¡Пс Е.А.Волковым и другими авторами. Отметим, что эти алгоритмы иногда дают доказательство существования решения, но не явля пэлуразрешаюцими, т.е. не гарантируют нахождение всех устойч реаений.

В § 1.4 построен алгоритм для поиска областей, содержат - 8 -

/стойчивые решения двумерных систем уравнений

О , (2)

ао принципу ненулевого вращения. При этом не накладываются никакие предположения на гладкость функций Р^' , кроме непрерывности.

Для построения этого алгоритма (а также в последующих параграфах) в работе используется метод глобального поиска в ограниченной области, сформулированный, в частности, П.С.Панковым, основной иаг в котором состоит в следующем: проверяем выполнение условия для одной из подобластей, находящихся под рассмотрением. Если получен определенный ответ, то исключаем подобласть, иначе разрезаем её на две. Такой метод сочетает математическую строгость с эффективностью. Вместе с тем, исследование настоящей работы показало, что в ряде случаев этот метод нуждается в существенных дополнениях.

Применительно к данной задаче отметим, что при разрезании подобласти линия разреза может пройти точно по решению, поэтому в алгоритме предусмотрен переход к другой линии разреза при сохранении "неопределенности" при глубоком дроблении данного отрезка. Доказано, что построенный алгоритм является полуразрешаищимт если система имеет конечное количество устойчивых не исчезающих при достаточно малых возмущениях р решений внутри некоторой области, то при достаточно большом объеме вычислений алгоритм останавливается и заключает все решения в сколь угодно узкие подобласти. Сформулирована теорема, дающая условия результативной остановки алгоритма.

Во второй главе рассматривается поиск подобластей ип заданной области - параллелепипеда, кзлдая точке, которых удовлетворяет заданному условию.

Двусторонняя доказательная аппроксимация области, каздая

точка которой удовлетворяет заданному условию, осуществляется в этой главе посредством объединений параллелепипедов.

Для исходного определения области используется индикаторная функция J , принимающая следующие значения: Т( X) > 0 - все точки X не удовлетворяют условию, Х(Х) < О - удовлетворяют условию. Основной лаг вышеупомянутого алгоритма глобального поиска принимает вид: вычисляем значение индикаторной функции J для одной из подобластей (X') , находящихся под рассмотрением. Если J > О , то исключаем X' ; если х = О , то разрезаем X' на две; если Т < С , то одна из подобластей с искомыми точками найдена. Как ранее было известно, для устойчивой функции Т такой алгоритм останавливается при отсутствии соответствующих точек (т.е. когда область является пустой). Однако, как показывает построенный в настоящей работе пример, при их наличии алгоритм может работать бесконечно.

В связи с этим, для обеспечения полуразрешшости, в § 2.1 построен алгоритм, суть которого состоит во введении ограничения на глубину дробления при глобальном поиске и повторении поиска с последовательным увеличением допустимой глубины.

Объединение подобластей, где 7{Х) < О , дает внутреннее представление, искомой области, а объединение подобластей, где Т(Х) < 0 и 7(х)-= О , дает внешнее представление.

Доказана теорема об условиях остановки такого алгоритма.

В § 2.2 рассмотрена задача доказательной условной оптиглиза-ции. Для заданной непрерывной скалярной функции F , определенной на некотором параллелепипеде Т , и области, определенной индикаторной функцией J , строится гарантированная оценка величины

i = 1пЦр(х)|*еТ, т{^)< о]

я точки (или множества точек)

эст = агд ¿Л{р(х)1* бТ, Т(л) -со].

Известно, что применение методов локального спуска иди случайного поиска для условной оптимизации не дает гарантированной границы снизу для £и не"дает какой-либсГинформаций о ос^,-

'Методы штрафных и барьерных функций также не обеспечивают гарантированные связи между минимизационными свойствами исходной функции Р(эс.) и преобразованной функшш.

В этом параграфе построен алгоритм с применением метода, описанного в § 2.1, вместе с оптимизацией путем последовательного перебора, что примыкает к методу, предложенному Б.Г.Евтушенко "Численный метод поиска глобального экстремума функции" //йурнал вычислительной математики и математической физики. - 1971, Т. II, Тс б. -С.1390-1403.- Сущность предлагаемого алгоритма состоит в попытках доказательства серии неравенств 5 £ со все увеличивающейся допустимой глубиной дробления, где - некоторое число из уже полученного для 5 интервала [Б-, Б-»] • В алгоритме также предусматривается после получения очередной нижней оценки для 5 попытка построения более узкой прямоугольной области, \л/сТ , гарантированно содержащей X т , которая является внешним представление« исковой.*

В § 2.3 сформулирована задача установления соответствия - или несоответствия заданной функциональной зависимости", связывающей измеряемые (у йт) и исксже (ненаблюдаемые) величины (С,-) , заданному набору интервалов значении Упгп - [РН1М.,Р„М+] (полученному по результатам измерений и погрепмостям).

В наиболее общем виде эта связь кгргпется некоторой непрерывной по вещественнозначным аргуыеитаы функцией

.....Сс/, упт, и ,т) =О, и = ■(,..., М, т=-/,.,.,М (3)

где и - номер объекта, И1 - номер измерения. Предлагается,

что известки также априорные (достаточно широкие) границы изменения искомых аргументов Tj. ¿ i J- Л d. Требуется найти такие значения Cj , что

(^rJ.rw)t3^MífPIIm.,PwwJ)(H(c:>...,Cd,^w,».,»H) Г О) (4) (соответствие сеть) или же доказать, что

(5)

< н (с L-.tCJiUnn , и» Ж) ? О)

(соответствие невозможно).

Далее, при выполнении (4) - требуется найти "наиболее приемлемую" точку в смысле минимизации некоторого (неотрицательного) функционала F(с) , зависящего от разностей между заданными значениями ц и вычисленными значениями .

Для удобства практического использования, кроме неявной зависимости (3), рассмотрены также случаи: уравнение (3) может быть разрешено относительно ; уравнение (3) может быть

разрешено относительно одного из Сj .В последнем случае количество аргументов, по которым производится поиск, может быть уменьшено на единицу, что повышает эффективность поиска.

В 5 2.4 построены алгоритмы для аппроксимации экспериментальных данных с изэестной погрешностью измерения. Предлагается комплекс программ, включающий подпрограмму поиска условного глобального экстремума функционала, названную IPTGt , вспомогательную подпрограмму I V ОН R , осуществляющую печать границ заданных и получающихся областей, подпрограммы IT Y Н и IPG , вычисляющие значения индикаторной функции (соответствие /неопределенность/ несоответствие) и миноранты по области для F , и управляющую подпрограмму-функцию I РТ М М F

В силу того, что алгоритм производит глобальный поиск, то в процессе его применения необходимо построение минорант и мажорант по области. По этой же причине он эффективно применяется

только для небольшого количества искомых параметров 5..7 вследствие быстрого нарастания процессорного времени с ростом

d • i

Данный пакет был построен в связа с задачей (см. §2.3), поставленной в ИХФ АН СССР.

В третьей главе излагаются результаты, полученные с помощью вышеуказанных алгоритмов, описано используемое математическое обеспечение.

В ? 3.1 описан используемый в работе алгоритмический язык : v'г С Я , являющейся модификацией языка Фортран, допускающей использование интервальных констант и переменных, приведен список маамшшх интервальных операций, составляющих первый уровень этого программного обеспечения.

В S 3.2 описаны заголовки построенных в I главе (на языке Dl Fr ОR ) и в И главе (на языке Фортран) алгоритмов я основные используемые в них переменные. Алгоритмы I главы расширяют второй уровень комплекса программ.

В монографии Г.И.Ларчука "Математические подели в иммунологии", М.: Наука, 1935, выведена система десяти уравнений с без-размеркыми переменными, описывающая противовирусную иммунную реакция. По построению, эта система имеет стационарное решение, соответствующее здоровому состоянию организма (значения переменных равны 0 или I).

В § 3.3 при помощи алгоритма § 1.4 доказано существование второго стационарного состояния для такой системы уравнений и найдены достаточно узкие границы для компонент этого решения.

В 5 3.4 описаны метода доказательного суммирования рядов, предложена удобная форма гарантированной оценки остаточного члена для степенных рядов с положительными членами. Такте приведены доказательные вычисления функция

Мг)= а1/0)/з;(е) , {6)

К, (н) = 2 к/ (г)/ (г)

где 2,(2) , К ^ (?) - функции Бесселя и ¡¿акдональда соответственно.

4.X.Байбулатовым (си. [в]) из совместного решения уравнений Максвелла и материальных уравнений Янковского для направленных волн было получено детерг,инантное уравнение для движущегося цилиндрического волновода. Эго уравнение связывает между собой дче величины: с/х - пропорциональную волновому числу и 6у - обратно пропорциональную эффективному показателю преломления. Уравнение является трасцендентным: в него входят функции (6).

Вследствие его сложности не представлялось возможным исследовать его аналитическими методами.

В § 3.5 с использованием алгоритма § 1.3 и методов $ 3.4 ' доказано, что существует такяе значения параметров, что при некотором значении уравнение имеет не менее трех решений относительно с/ ^ »т.е. происходит расщепление волновой моды не менее, чем на три.

В § З.б показано соответствие математической модели конкретным экспериментальным данным с помощью построенного комплекса программ (см. § 2.4).

В заключении кратко сформулированы основные результаты и выводы работы. Предлагаемую методику, алгоритмы и программы можно применять и для других теоретических и прикладных задач.

В совместных статьях А.Ф.Кабировой принадлежат (недоказательные ) расчеты в части статьи Г8}, ке используемой в данной работе, В.А.Кузнецову и Ф.Х.Байбулатову - постановки прикладных задач, П.С.Панкову -"постановки задач на поиск устойчивых решений и атшроксимации в строгой формулировке.

В приложениях приведены тексты алгоритмов, построенных а I и П главах, схема пакета § 2.4, тексты программ, использующих эти алгоритмы, и полученное конкретные результаты (глава Ш).

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю д.ф.-н.н. П.С.Панкову за постановку задач я за постоянное

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кененбаева Г.Ы. Об одном приближенном способе поиска прямоугольных устойчивых областей для еястеыы двух автономных дифференциальных уравнений /Дез. докл. УШ межресп. научн. кон-ферен. молодых ученых АН Киргизской ССР. - Фрунзе, 1986. - С. 106-107. -

2. Кузнецов В.А., Панков П.С., Кененбаева Г.11. Автоматическое определение соответствия теоретической зависимости экспериментальным данным с известной погрешностью измерения //Автоматизация научных исследований: Тез. докл. XXI Всесоюзной школы. - Фрунзе, 1987. - С.91.

3. КененбаеЕа Г.Н. Вопросы доказательного поиска областей //Материалы IX межресп. научн. хонф. молодых ученых. - Фрунзе: Илим, 1988. - С.95-96.

4. Панков П.С., КененбаеЕа Г.М. Глобальный доказательный поиск ресений уравнений //Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. УШ Есессюз. конф., 3-8 ¡шля. - Горький, 1988. - С. 69-70.

5. Панков П.С., Кененбаева Г.Ы. Доказательные методы поиска устойчивых решений уравнений /Др. Первого сов.-болгар, семин. по числовой обработке /ИПС АН СССР - Переславль-Залесский, 1988. -Деп. в ВИНИТИ 21.04.89, № 2634-В89. - С.127-136.

6. Панков П.С., Кененбаева Г.Ы. Применение доказательных вычислений к поиску стационарных точек системы дифференциальных

- 15 -

уравнений описывающих противовирусную иммунную реакцию //Исслед. по интегро-дифф. уравнениям, вып.22, Фрунзе, 1989, С.189-191.

7. Панков П.С., Кузнецов Б.А., Кененбаева Г.Н. Алгоритмы глобального поиска и пакет программ для аппроксимации кинетических экспериментальных данных с известной погрешностью измерения. /Препринт Ш АН СССР. Черноголовка, 1990. - 42 с.

8. Бвйбулатов Ф.Х. .Панков П.С. .Кененбаева Г.Ы. »Кабирова А.$. Численное доказательство эффекта расщепления волновых мод в цилиндрическом волноводе в области черенковских скоростей движения //Известия АН Киргизской ССР, серия физико-технических, математических И горно-гоологических наук. - 1990, У I. - С.3-6.

9. Кененбаева Г.Н. Доказательная апцроксимация ломанными кривых и границ двумерных областей //Препринт Г 16 СО АН СССР. Информационно-оперативный материал. Часть I (интервальный анализ), Красноярск, 1990. - С.15-18.

10. Кененбаева ГЛ. Применение интервального анализа к поиску областей с заданными свойствами в двумерных и многомерных пространствах //Труды семинара по интервальной иатематике. - Саратов, 1990. - С.69-75.

Ф

' а пз * ?

министерство российской федерации по наука, высшей школе и технической политике Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный технический университет им. Н.Э.Баумана

На правах рукописи

ВАГИН Вячеслав Петрович

УЖ 519.854.6: 539.1.043:62-758.3

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРОТОНОВ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИИ НА КВАЗИУПОРЯДОЧЕНШЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

05.13.16.- Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

01.04.20.- Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника. ' *

-I

Автореферат диссертации на соискание учбной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992 г.

Работа выполнена в Научно-производственном объединении " Композит

Научный руководитель. -

Научный консультант

доктор технических наук, прфессор В.В.Савичев

доктор физико-математических наук М.Ф.Иванов

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Толмачбв, доктор физико-математических наук Н.Н.Калмыков

Ведущая организация - ВДИИМАШ

Запита состоится " 1992 г. . в М час. со мин.

на заседании специализированного совета ДОЮ .15.12 МГТУ им. Н.Э.Баумана по адресу: 107006, Москва, 2-я Бауманская ул. д. Б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э.Баумана

Автореферат разослан - " 3 " 02 1992 г.

Учбный секретарь специализированного совета к.т.н., доцент

Зак.^Я Тираж 100 экз. Подписано к печати 21,1.92. Типография МГТУ им.Н.Э.Баумана Объбм I п.л.

/

я "*1 0БЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.В последние десятилетия областью применения потоков зоряженннх частиц стали не только исследования в ядерной п атомной физике, в физике твордого тела, но и такие технические области, как ядерная энергетика, ускорительная техника, электронное приборостроение, медицина л т. и.

Большой интерес прэдстзвляят задачи редяещюнноА защита от потоков зэрягатпи. чеспг,х внсокой энергии пилотируемых и автоматически космэтескпх сппсратов, о такта вопросы защити ядврио-техшческях наземлнх устонокох. Интенсивно разрабатываемые метола злбктроотсй и протонной томографии, получении редких ¡ттспов, метол: регистрации бвстропротекаиших процессов и лучевой терапии в оикологая -ото далеко нэ полный шречент, использования чэстнц высокой 5Еерпш для рсгеяия прякладши задач.

Прстенешго нюханного моделирования для роретая большинства из ггоре'шслоншх задач является весьма актуальным по многим причетам. Сложность я высокая стоимость оксхкгрга?н-талыгах исследований, радиационная снчсность окспчрлментов, л таю» принципиальная невсзмсяиооть в иекоториг. случаях получения экспериментальным щтзм детальной информагая о про-текаюззяс процессах делают матемзтичесхмо моделирование серьезным и эффективном инструментом з радиационных исследованиях. Креме т-то, значительные успехи теоретической атомной г, ядерной физики и развитие вычислительной техники создает и9о0годии?ю основу для моделирования широкого класса задач, особенно в области прохождении зараженных частиц высокой энергии через композиционные и микроструктурированлые преграда, а также в исследовании сопутствующих радиационных эф1«к?ов. Способы численного медитирования прохождения зарякенпих частиц в различпнх. средах достаточно хорошо развиты п включают в себя как детерминистские метода роеенпя уравнения переноса чаопщ, так к статистические метода 'Доита-йарло. Несмотря на большие вытиелктчльпне объ-чн, шо-

гочисленныо модификации метода Монте-Карло имеют ряд ирибмуществ перед другими нэстатистическими методами решения задач•переноса частиц. Они обладают значительной гибкостью к включению в модель дополнительных видов взаимодействия, учету структурных или шных особенностей материала мишени, а такте имеют большую свободу в выбора геометрий исследуемых преград. Несмотря на широкое распространение разнообразных вычислительных методик в этой области, в настоящее время существует большое количество задач радиационной физики, для. решения которых,применение нетрадиционных моделей, основанных па методах Монте-Карло весьма актуально.

Целью настоящей работы являлось создание на основе методов Монте-Карло оригинальных вычислительных. методик, позволяющих моделировать и исследовать прохождение протонов высоких энергий в квазиупорядоченных на микроструктурном уровне, протяженных преградах, а также радиациовно-термическиа эффекты и вторичные нейтронные поля, возникающие в композиционных материалах при воздействии на них протонов высоких энергий.

Научная новизна и практическая значимость. В результате проведенных работ создан комплекс физико-математических моделей и расчетных программ, позволяющих решать значительное количество исследовательских и прикладных задач в области радиационной физики и физики радиационной защиты, а также получены следующие новые результаты:

1.В проведенных вычислительных экспериментах на основе разработанных физико-математической модели и алгоритма расчета прохождения протонов высокой анергии через широкий класс квазиупорядоченных структур, обнаружен и подтвержден экспериментально эффект анизотропии прохождения протонов через квазикристаллические преграды.

2.На основе разработанных физико-математической модели и алгоритма расчета ионизационно-термического воздействия на образцы композиционных материалов (КМ) предложена методика оценки вклада радаолиза в радаационно-дармиадскую их I

'вструкции.

З.На основе разработанных физико-математической модели и шоритма расчета нуклэн-нуклогаюго каскада предложена готоднка корректного разделения протонной и неЯтгснно1Т соулонент вторичного излучения, генерируемого ц КМ нуклонами -.уиокнх энергий.

Апробация ркботн. Основные результаты работы доложены пэ: Зое союзной кочфоронцпи "Мзтоды численного моделирования я'.огоморпнг задач мптематулесксй фвяжя" / г.Арзвмес-lG, 31ГСИЭФ, 1991 г./, на отраолапо.1 кенфорэндаи молода ученых зпецкалисточ "Разработка и создаете нг.рчх конструкщ'оньу/ ютер'лалов" / г. Нвяшигаград Ы.О., ИНИИКВ, 1937 г./, на шучшх сештарах отдела "Готокэхаютко" îKCimtt ?iOT гм.К.Э.Еаугапа / 1990,1991 гг./ ка семипврпх ■тецгалиоировзнного оэзота Д.053.15.Т2 1ЯТУ i;m, Н.З.ьэунвну ' 1991 г./ По резулт.тател! дгезэртошт спуСжчсвгно 5 начатый: ( a:' irai 3 покрнтых ) п в руксчакиш pvoo-r, хюх.учеиэ одно заторско% еппдетольетта.

Структура я cOî.-on! дкссорташга..

Дпссертанш» cocvokt из введения, трех глее к яокдэтоякя. Диссертация изложена на 116 страницах ызгоч ипепго текста, задержит 30 рисунков на 33 страницах, чз них 3 таблицы, Т.Св явимеыовотмй используемой литерзтуры.

Содоркашга работа.

Ео введении рассмотрены основные задачи диссертацисдчой робота,отмечены те вопросы, которые сЗусдовгли ей нойи:*яу и зктусш.косхь. Выделены полокения вносимые на задату, краткое описание структуры и содержания роботы.

Первоя rjTipa поспи обгоГ'йнй хоряктор. В ней пр-теолоя вволдо'тьереппеекпх or .нов <рлсика взгг.:ьг\действкр з(.ряи>»оых частив к';сокой гнергкц с воцаетвом, проь.'Доп еяг,т.!.з мгм.пев иотокэтаческого моделирования в эте» сояястп, а такке шСртш

перспективные направления исследования.радиационных эффектов, положенное в основу диссертационной работы.

Из основных аспектов взаимодействия заряженных частиц с веществом рассмотрены: теория энергетических потерь быстрых частиц в веществе, теории многократного кулоновского рассеяния, развитие ядерно-электромагнитного каскада в веществе, ориентациошше эффекты при прохождении заряженных. частиц в кристаллах, а также процессы радиационной и термической деструкции полимеров под действием пучка заряженных частиц.

В главе дан также обзор методов математического моделирования задач переноса заряженных частиц высокой энергии в гетерогенных средах, включающих в себя, как детерминистские способы решения уравнения переноса, так и разнообразные методы Монте-Карло. Детально рассмотрены такие приемущества методов Монте-Карло, как возможность включения или исключения различных видов взаимодействия, достаточная гибкость в геометрии исследуемых преград, а такие возможность учета микроструктурных особенностей строения материала-мишени.

На основе анализа литературных данных выбраны следующие задачи математического моделирования,' решению которых посвещена данная работа.

Путем проведения вычислительных и физических экспериментов:

1.Исследовать влияние микроструктурных особенностей поликристаллических ориентированных материалов (квазикристаллов) на прохождение в них заряженных частиц высоких энергий.

2.Исследовать влияние радиационных эффектов на процесс ионизационно-термической деструкции композиционных материалов с полимерными включениями при воздействии заряженных частиц высоких энергий.

3.Исследовать сцектральные • характеристики вторичного нейтронного излучения, генерируемого в композиционных преградах протонами высоких энергий.

Вторая глава работы посвящена численному модбшрованию прохождения прогонов высокой энергии (до 100 МэВ) через квазикристалличэские (квазиупорядоченные) и композиционные Н

штэриолц без учета ядерных реакций. Для реализации этой 1адачи была разработана физико-математическая модель и (ычеслительный алгоритм на основе двухуровневой модификации ютода Монте-Карло.

Распространение протонов высоких энергий рассматривалось I структуре поликристаллического материала, отдельные ристаллиты которого кмэют средние характерные размеры ,

сориентированы относительно плоскости поверхности юкрообразца с соответствующей дисперсией угла разориентации : имеюс^е случайное положение в самой плоскости ориентации, ри этом 16,1^-100-500 1, а направление совпадает с сновной кристаллографич?скоГ, осью решки отдельного ристаллитд.

На первом (микроскопическом) уровне моделирования методом онте-Карло в модифицированной схеме индивидуальных толкновений вычислялась функция анизотропии прохождения ротонов высокой энергии через квазикристаллическую структуру в зависимости от направления распространения аряженной частицы в квазикристалле (угол 0 к нормали эверхности мишени) и Е - энергии частицы. представляла

эбой усредненный по всем возможным столкновениям свободный робег частиц в исследуемой структуре.

голное эффективное сечение взаимодействия частиц с атомами груктуры в приближении Томаса-Ферми, _ объемная

>нцентрация атомов в квазикристалле, К^^О.Е)- свободный габег (пробег между двумя последовательными столкновениям!) трехмерной структуре квазикристалла, заданной с помощью [ейки трансформации и учитывающей взаиморасположение •дельных кристаштов. ,г>

N

( I )

Принимая во внимание случайное расположение кристаллитов в плоскости ориентации и малость величины | ~ 100 А, полагалось, что на расстояниях распространения частиц в квазикристалле по направлению ~ 1г ~ 1-100 мкм не происходит поляризации пучка частиц по азимутальным углам и прицельным параметрам.

Поэтому моделирование проводилось путем

построения прямолинейного участка траектории частицы в структуре между двумя столкновениями, при чем начальная точка траектории определялась с учетом различного расположения атомов в кристаллите и равномернараспредоленного прицельного параметра в предыдущем столкновении. При этом направление распространения частицы задавалось углом 9 и равномерно-распределенным азимутальным углом.Учитывались также разориентация кристаллитов и их случайное взаиморасположение.

Усреднение проводилось с общей статистикой испытаний "200000 для фиксированных угла в и энергии протона £ Статистическая ошибка при этом не привышала ? %.

Таким образом полученная функция анизотропии которая имеет вид (рис. I) и характеризует эффективную плотность взаимодействия частиц с атомами структуры в определенном направлении распространения, использовалась в дальнейшем для моделирования прохождения протонов высокой энергии через протяженные слои квазикристалла.

Для этого на .втором (макроскопическом) уровне моделирования методом Монте-Карло в схеме укрупненных столкновений после после каждого узла траектории определялась эффективная концентрация материала:

( 2 ),

учитывающая анизотропные свойства структуры.Таким образом в схеме укрупненных столкновений учитывались: многократное рассеяние протонов, флуктуации полных энергетических потерь частиц в среде, а также особенности микроструктуры квазикристалла.

Алгоритм схемы укрупненных столкновений представлял собой

реализацию катода Монте-Карло, аналогичную схемам, разработанным в роботах Бергера, Аккермана и др.Кроме того в предложенной наш модели учитывались поправки к полной тормозной способности протонов на молекулярпосвязанчом водороде, в случео композитов с подородонасыценчымп полимерт-м, а такк-? учитывались мтсроструктурные особенности ч случ.->з кв5з;жраст8лляческих чатериалсв.

R результате проведенных шчеоллто.шшх экоперимонтоп было обнаружено существование значительной анизотропии прохокг.еикя протеков поря:« ' кваз^чркстатчсскую структуру графита (рас I). В последствии я&вкт был подтвержден памг $ксп5{шеисально. На ¡яге. 2 показано хорошее, количественло«: согласиэ 5кс17ор;1М9Нгал.ъ!ах п pac-iSTHUx значения шзтэнсив'лости рассзипэго квазикристаадкчоской ютекью пучка протонов и зяерп'ей НО Мэ5.

Третья глава посвл?4еза исследовании с помощью ме-годов i.iai üfHiririüCKoro тоде-шрсвйния вклада рядяйшюв'зта эффектов (рпдтолизп) в пратесс всотзатаспно-терлотесксй деструкции кочпсзшегскшх котеризлоъ (км) с нллимерн^к жлючонкяга, а tsxxa иссл-едованк! спектров втерпчикх нейтронов, генерируем1« протонами с Еяергаой до 200 ?.'з0 в композрш'ошк преградах.

Для того, чтобы оценить вклад радколизэ в лр--йсс дострук'цга НМ с ткшмзрянми включениями при воздействии кнтзнеявшх пучков протонов гысокой энергкл, моделировалась ситуация, в которой тонкие цилинричьг:-сие образцы КМ ( d £ I см., I '=* 1,5-2 см.) облучались в вакууме с торцевой стороны. Вкормшея таким образом геометрия облучений позволила практически исключить продольную диффузию продуктов разложения в образце, т. к. они истекали в вакуум через боковую его поверхность и свести задачу к одномерной:

И = 1.

Dt -а*

; з )

( 4 )

Q ~ бпмр - л Q.

\x--o ' Т(х,о) = тоМ

^ = - е 2(1- • * .

Где илс - текущая масса смслы, приведенная к единице,, -начальная • и конечная плотности КМ, ?н - плотность неизменяющегося наполнителя, X , С нестационарные теплофизические коэффициенты, V* - объём композита, £ -степень черноты, 6 - коэффициент Стефана-Больцмана,ТвД„ -температурные параметры, Е - энергия активации, и - порядок химической реакции, Я - универсальная газовая постоянная, К - аррениусовский множитель, & - темп нагрева, йр- энерговклад протонов, йпм, - анергия, ушедшая на деструкцию связувдего, Д0. - энергия, унесенная вместе с продуктами деструкции в вакуум, м» - ма«а коксового остатка смоль».

Решение задачи < 3-6 ) проводилось с помощью метода конечных разностей (явная схема), на каждом временном шаге которой методом Монте-Карло вычислялось изменявшееся энерговыделение протонов, а также методом Рунге-Кутта 4-го порядка решалось феноменологическое уравнение термической деструкции Шлбнского ( 6 ).

Сопоставляя расчетные и экспериментальные значения температур . для стеклопластиков на основе

фенол-формальдегидной смолы ( рис. 3 ) было обнаружено их хорошее согласив, что дает право сделать вывод о малосущественности радаолиза по сравнению с чисто термической деструкцией, описываемой уравнением ( 6 ) при интенсивностях пучка Ю13-Ю14ч/см2с и энергией протонов до 50 МэВ. Т.к. значения температур в реперных точках образца весьма чувствительны к виду уравнения деструкции, в случае различия экспериментальных и расчетных значений температур, существует возможность параметризации уравнения ( 6 ) и получения макроскопического • уравнения деструкции с . радиационными

Поправками.

Моделирование нуклон-нуклоншй составляющей ядерного каскада в композиционных преградах с толщинами меньше-ионизационного пробега в них первичных протонов с энергией до 200 МэВ основывалось на разделении ядерных щ>0ц«ас<*-в и процессов, кулоновского взаимодействия как существенно равновероятных. При этом кулонйвекое взаимодействие частиц моделировалось с учетом многократного рассеяния и флуктуация энергетических потерь по методике, описанной в главе 2. Моделирование же нуклон-нуклотюй составляицей каскада проводилось по инклюзивной схем© Монте-Карло, расчитывающей дерево траекторий нуклонов без учета транспорта У-е" каскада и более тякелых чем нуклоны фрагментов ядерных реакций Д и т.п.).

Основными процессами, учтенным в модели для энергий яуклонов до 200 МэВ являлись: упругое п квазиупругое . рассеяние, неупругие реакции через составное ядро (образование испарительных частиц), а такта каскадные реакции.При моделировании указанных видов взаимодействия ^пользовались: система феноменологических формул ядерных ;ечений СычЭва, комплекс константного обеспечения АР0МАК0-2:г, а также модули програмного комплекса млиб . Спектральные сарактеристики нуклонов, провзаимодействоваьшх в преграде щерным способом, аддитивно входили в суммарные спектры с ¡есом равным полной вероятности ядерного взаимодействия (астиц в ней. •

В результате проведения вычислительных экспериментов и йзических измерений пространственно-энергетических :арактеристик вторичных нейтронов методами активацконной пектрометрии было обнорукено хорошее согласие расчета и ксперимента в области энергии нейтронов до 30-40 МэВ. Однако более высокоэнергетнческой области наблюдалось завышение кспериментальных значений, объясняемое вкладом рассеянных тенью первичных протонов. Таким образом было проведено вотирование предложенной модели, а также получеш зтодические результаты по определению границ корректного ^пользования экспериментальных активационннх методик для змерекия спектральных характеристик вторичных нейтронов,

9

генерируемых протонами высокой энергии в композиционных преградах незначительных толщин. ( рис.4.)

В заключении с^рмулированы основные результаты работы: I. На'17с1юьгГТ-Ч)Л»!^1дароБагашх методов Монте-Карло разработана $!изт'.о-матл".::7ич«ская модель и ее .численная реализация, позволяя.",пя учитывать прохождение протонов с энергией до 100 л!г;Б через ирогяжешше квазякристаляические преграда с учеюм их микрэсфуктурвыг особенностей. ?,. В результате проведении вычислительных экспериментов впервые обнзрумч к экспериментально подтверждав эффект склэоздявпт г/рохоадэния протонов высокой энергии в кь.чзи»фистглпичоских структурах графите, исследоввнн основные кгяюмЕюзгешше зависимости обнаруженного аффекта.

3. Г«-.роботака физика-математическая модель и алгоритм Гчсчо':.) рпдаоцпонно-термйческого отаига образцоь коотогнциониго материала пучком протонов с анергией до 50

и кяткнскгшостьм до 1014 ч/см^с с уча тем доструюш нсг.ж^ргшх ¿.тслшений.

4. Пут^м пртйодаш вычислительных п физических экспериментов вселило »а»: • ь.<лзд радаолкза в процесс нестационарной рж- щвокиэ-т<зрл1неской достругали стеклопластика на основа

смоли.

Ь. Гг^'р^отояс физико-математическая модель я алгоритм расчете саечгралышх характеристик вторичных нейтронов, генерируемых протонами с энергией до 200 МгВ в композиционных г^ч.ро.дах. Путем проведения численнйх и физических ¿коюрлмйтов исследованы методические возможности :-ксп-4>!!ьчнтзл).кпго разделения протонной и нейтронной «•стакччс^у инлучышя, а также установлова адекватность предлояонаоС отдели.

Ю

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Вагин В.П., Хромых A.B. Расчет эиерговндаления и температурных полей в конструкционных материалах

при воздействии протонов високих анергий.// Труди МГТУ.-1990.- N 542. - Гермомеханика -С. II5-I23.

2. Вагин В.П. .Савичев З.В. Моделирование температурных полей в образцах стеклопластика при воздейстгаи пучка протонов с энергией 30 МзВ. // Вестник МГТУ. Серия Машиностроение. -1991.- ы 2. -С.36-41.

3. Вагин В.П.,Каховский В.В., Иванов М.Ф., СзЕИчев В.В. Исследование температурных полэй в разлагающемся композиционном материале при воздействии интенсивного пучка протонов с энергией 30 МэВ.// ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов.- 1992. - (мят. 2,- 0.51 -5't.

II

Í- « , г - n , 5- го ( 4-so IMjft]

Рис. 1

--расчет - эксперимент

Рис. 2

\Ь

Рис. 3

i't