автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Поведенческие модели участников биржи

На правах рукописи

Егорова Людмила Геннадьевна

Поведенческие модели участников биржи

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

ь АБГ 2015

Москва — 2015

005571277

005571277

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Научный руководитель: Алескеров Фуад Таги оглы,

доктор технических наук, старший научный сотрудник,

Официальные оппоненты: Шананин Александр Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

Московский физико-технический институт,

декан факультета управления и прикладной математики

Ерешко Феликс Иванович,

доктор технических наук, профессор,

Федеральный исследовательский центр "Информатика и управление" Российской академии наук, заведующий отделом Информационно-вычислительных систем

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова»

Защита состоится 21 сентября 2015 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета 212.048.09 при Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» по адресу: 105187, г. Москва, Кирпичная ул., д. 33, ауд. 503.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу: 101000, Москва, ул. Мясницкая, д.20 и на сайте http://www.hse.ru/sci/diss/. Автореферат разослан «_»_2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета _Гостев Иван Михайлович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Математическое моделирование в финансовой сфере представляет большой научный и практический интерес, так как исследование экономических систем, таких как биржи, банки, страховые и инвестиционные компании, важны как для самих участников этих систем, так и для государства с точки зрения функционирования финансовой системы страны. Вопросами математического моделирования в этой области в нашей стране занимались Ширяев А.Н., Завриев С.К., Лобанов A.A., Шананин A.A., Ерешко Ф.И, Поспелов И.Г., Смирнов С.Н., Моисеев С.Р. и др.

Описание указанных экономических систем является сложной задачей, поскольку они функционируют в условиях неопределенности, вызванной вероятностной природой протекающих в них процессов, большими размерами и сложностью самих систем, а также влиянием человеческого фактора. В каждой из этих систем человек как лицо, принимающее решение, оказывает влияние на динамику изменения параметров системы, но именно для биржи это влияние является существенным, определяющим реакцию системы на принимаемые решения. Более того, поведение самой биржи во многом определяется именно поведением участников биржи, их индивидуальными и коллективными действиями.

В классической теории финансов принята математическая модель репрезентативного агента, являющегося рациональным и принимающего решения посредством максимизации своей полезности, при этом во всех моделях поиска стратегий оптимального инвестирования на бирже, начиная с классической работы Г. Марковица, предполагается, что трейдеру известен закон распределения будущей цены финансовых инструментов. Обе эти гипотезы — о рациональности трейдеров и о знании ими закона распределения будущей цены актива - далеко не всегда выполняются: существуют

многочисленные свидетельства отклонения трейдеров от рационального поведения и неспособности трейдеров и даже финансовых аналитиков принимать правильные инвестиционные решения и предсказывать изменение стоимостей финансовых инструментов.

Эти факты заставляют взглянуть на задачу трейдера с другой стороны — не строить сложные модели поиска оптимального инвестирования при различных (часто спорных и непроверенных) предположениях о законе распределения стоимостей ценных бумаг, а оценить методами математического моделирования, на что вообще может рассчитывать трейдер при торговле на бирже, на какие принципы принятия решений ему стоит ориентироваться и какие результаты в зависимости от выбранной линии поведения он может получить.

Кроме того, почти все модели рационального агента, оптимизирующего своё поведение, требуют неизменности закона распределения цен финансовых инструментов и устойчивых оценок его параметров, что невозможно в условиях наступления финансового кризиса. А поскольку кризис предоставляет заманчивые возможности заработать большие деньги, то появляются призывы' зарабатывать на таких потрясениях на рынке вместо традиционных стратегий инвестирования или спекуляций. Однако остается открытым вопрос о том, будет ли успешна такая стратегия или же следование подобным призывам может быть фатальным.

Поэтому математическое моделирование поведения инвесторов, предпринятое в диссертации, представляется актуальным.

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка и анализ математических моделей поведения участников биржи в условиях стабильной экономической ситуации и при возможности наступления экономических и финансовых кризисов, а также создание программного

1 Taleb N. N. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. - London: Penguin Books, 2008.

комплекса для анализа поведения индивидуальных участников биржи.

Задачи диссертационного исследования:

а) построить модели поведения участников биржи в условиях стабильной экономической ситуации в зависимости от их способностей, имеющейся у них информации и принципов принятия ими решений по покупке и продаже финансовых инструментов,

б) построить модели поведения участников биржи при возможности наступления экономических и финансовых кризисов,

в) провести численные расчеты и оценки различных показателей финансовых результатов деятельности трейдера на основе имеющихся статистических данных о динамике изменения стоимостей конкретных финансовых инструментов и биржевых индексов,

г) разработать инструментарий, позволяющий количественно оценивать и анализировать поведение трейдеров на основе предложенных в исследовании моделей.

Объектом исследования являются индивидуальные участники биржи (трейдеры), самостоятельно принимающие решения об участии в торгах.

Предметом исследования являются поведенческие аспекты деятельности трейдеров.

Методологическую основу исследования составляют методы теории принятия решений, оптимизации в условиях неопределенности, теории вероятностей и имитационного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1) сформулированы и исследованы задачи поиска оптимальной стратегии инвестирования участника биржи с учетом способностей трейдера к предсказанию поведения конкретных финансовых инструментов. Эти задачи принятия решений в условиях неопределенности сформулированы как задачи линейного программирования,

2) предложена модель поведения участника биржи как системы массового обслуживания с двумя пуассоновскими потоками заявок и показано, что способность трейдера распознать появление кризиса практически не влияет на ожидаемый доход в сравнении со способностью трейдера правильно распознавать будущее состояние биржи в периоды стабильной экономической жизни,

3) исследованы модели поведения участника биржи при возможности наступления финансовых кризисов, в которых учитывается его способность к обучению на своих действиях в виде модели с поощрением за верное определение регулярных событий и модели с обучением,

4) разработан комплекс программ для численного анализа различных показателей финансовых результатов деятельности трейдера, который может быть использован в качестве элемента системы поддержки принятия решений трейдером на бирже.

Теоретическая значимость работы заключается в разработке системы математических моделей поведения участников биржи, учитывающих их способности к анализу биржевой ситуации, в частности:

1) показано, как задача поиска оптимальной стратегии инвестирования трейдера в период стабильной экономики с учетом его способностей к верному определению направления изменения стоимостей финансовых инструментов сводится к решению задачи (или пары двойственных задач) линейного программирования при различных предположениях трейдера о будущей стоимости финансовых инструментов,

2) смоделировано поведение участника биржи при возможности наступления финансовых кризисов при помощи систем массового обслуживания с двумя пуассоновскими потоками заявок (в том числе при возможности трейдера обучаться на своих действиях) и показано, что способность трейдера распознать появление кризиса практически не влияет на ожидаемый доход в сравнении со его способностью верно определять состояние

биржи в периоды стабильной экономики.

Практическая значимость исследования. Создан комплекс программ, позволяющих численно оценивать результаты торговли трейдером финансовым инструментом при известной его вероятности верного определения направления изменения стоимости данного финансового инструмента. Комплекс может быть использован для поддержки принятия решений трейдера на фондовом рынке и для исследования поведенческих аспектов функционирования биржи.

Достоверность и обоснованность полученных результатов опирается на строгость использованных математических моделей, обеспечивается доказательствами соответствующих теорем и подтверждается их соответствием реальным данным финансовых рынков.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. VI Московская международная конференция по исследованию операций ORM2010 (Москва, октябрь 2010г.),

2. International Conference on Operations Research OR 2011 (Цюрих, Швейцария, сентябрь 2011г.),

3. Семинар Исследовательского Центра Банка Финляндии BOFIT (Хельсинки, Финляндия, май 2011г.),

4. Международная Конференция ВШЭ - РЭШ по анализу общего равновесия (Москва, июнь 2011 г.),

5. 16th World Congress of International Economic Association (Пекин, Китай, июль 2011г.),

6. 87th Annual Conference Western Economic Association International (Сан-Франциско, США, июнь 2012г.),

7. 26th European Conference on Operational Research EURO XXVI (Рим, Италия, июль 2013г.),

8. 20th Conference of the International Federation of Operational Research Societies (Барселона, Испания, июнь 2014г.),

9. Second International Conference on Information Technology and Quantitative Management ITQM 2014 (Москва, июнь 2014г.)

10.XII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, июнь 2014г.),

11.Семинар по дискретной математике, оптимизации и принятию решений в университете Париж-1 Пантеон Сорбонна (Париж, Франция, декабрь 2014г.)

12.Общемосковский семинар «Математические методы анализа решений в экономике, бизнесе и политике» (НИУ ВШЭ, Москва, декабрь 2014г.),

13.3rd International Conference on Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences (Метц, Франция, май 2015г.).

Личный вклад.

1) Автор принимал участие в разработке системы математических моделей поведения участников биржи, учитывающих их способности к анализу биржевой ситуации в виде вероятности верно определить направление движения цены финансового инструмента в следующий момент времени. Автором лично разработаны модели выбора трейдером портфеля, состоящего из основных и производных ценных бумаг, при наличии у трейдера предположений о границах изменений будущих цен финансового инструмента,

2) Автор принимал участие в создании математических моделей на основе систем массового обслуживания, описывающих влияние возможности появления биржевых кризисов на задачу трейдера,. Автором лично разработаны и исследованы математические модели поведения участника биржи при возможности наступления финансовых кризисов, в которых учитывается его способность к обучению на своих действиях, а также моделей поведения трейдеров, в которых поощряются его правильные решения.

3) Автором лично разработан комплекс программ, позволяющих численно оценивать результаты торговли трейдером финансовым инструментом при известной его вероятности верного определения направления изменения стоимости данного финансового инструмента, и проведен численный анализ некоторых наиболее важных стратегий трейдеров. Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 6 — в сериях препринтов и трудов конференций.

Содержание работы.

Во Введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена описанию поведения участников биржи как объекта математического моделирования.

В разделе 1.1 приведено краткое описание проблемы моделирования поведения участников биржи.

Поведение биржи во многом определяется именно поведением участников биржи, их индивидуальными и коллективными действиями, поэтому исследование биржевых процессов с точки зрения участников биржи и построение математических моделей поведения участников биржи в условиях стабильной экономической ситуации и в периоды кризиса представляет объективный интерес как для науки, так и для биржевой практики.

В разделе 1.2 содержится краткий обзор работ, связанных с моделированием поведения участников биржи, охватывающий два основных направления исследований.

Первое связано с моделированием поведения трейдера в виде выбора им финансовых инструментов для формирования своего инвестиционного

портфеля. В этом разделе проанализированы 1) классические модели формирования оптимального инвестиционного портфеля, 2) модели динамики стоимостей различных финансовых инструментов и выявления законов распределения будущих стоимостей финансовых инструментов, оценка их параметров на основе статистических данных, 3) модели биржевых кризисов для учета влияния возможности их появления на стратегии участников биржи. Для этих работ указаны имеющиеся недостатки, ограничивающие их практическое применение и теоретическую значимость.

Работы второго направления связаны с общим направлением исследования процессов принятия решений человеком и рациональности осуществляемых им решений с точки зрения психологии, начатые Д.Канеманом и А.Тверски, а также описанием парадоксов выбора и фактов нерационального в классическом смысле поведения человека, в том числе и на фондовой бирже. В обзоре приведены работы, посвященные описанию выявленных фактов нерационального поведения трейдеров и их систематизации, и работы, посвященные анализу способностей участников биржи правильно предсказывать будущие стоимости финансовых инструментов и принимать рациональные и оптимальные инвестиционные решения на основе этих предсказаний. Эти исследования указывают на неспособность большинства частных трейдеров и даже финансовых аналитиков правильно предсказывать будущее состояние рынка и будущее поведение цен на финансовые инструменты.

В разделе 1.3 приведено обоснование целесообразности предложенных в диссертационной работе моделей анализа поведения участников биржевых торгов, учитывающих их способности к игре на бирже и их возможную нерациональность, для оценки ими своих шансов по достижению желаемых инвестиционных целей. Указано, что представленные в диссертационной работе исследования направлены на решение актуальных задач, связанных с анализом поведения участников биржевых торгов, и их результаты могут.

применяться для количественного анализа фондовых рынков.

Вторая глава посвящена моделированию поведения трейдера в предположении, что трейдер может прогнозировать будущее состояние биржи с некоторой вероятностью.

Раздел 2.1 посвящен исследованию способности участника угадывать направления изменения стоимости конкретных финансовых инструментов. Для оценки наличия такой способности у трейдера можно воспользоваться схемой Бернулли. Согласно теореме Бернулли, при большом числе проведенных испытаний доля успешно спрогнозированных трейдером будущих стоимостей этой ценной бумаги сходится по вероятности к вероятности р трейдера верно угадать направление изменения цен финансового инструмента. Приведены оценки необходимого числа испытаний для достижения требуемой точности оценки вероятности р.

В разделе 2.2 рассматривается задача выбора стратегии инвестирования при наличии у трейдера минимальных предположений об изменениях будущих цен на финансовые инструменты, по которым трейдер способен правильно предугадывать будущие цены, в виде установленных им границ возможных изменений.

Пусть трейдер на момент времени £ обладает портфелем ценных бумаг в количестве V,- с, £ = 1 ,п, и некоторым объемом денег т£, и способен разделить все множество ценных бумаг N на непересекающиеся подмножества /с+,/с_,/£° ценных бумаг, относительно которых он предсказывает повышение цены в следующий момент, снижение цены или не может высказать никаких предположений, соответственно. Задача трейдера состоит в выборе объемов покупки ценных бумаг относительно которых трейдер ожидает увеличения их стоимости в момент £ + 1, объемов продажи х[с < и,-£ ценных бумаг из текущего портфеля ценных бумаг и объемов продажи 2~с ценных бумаг, взятых

взаймы у брокера в момент t с возвратом ему этих ценных бумаг в момент t + 1 по цене si>t+1.

Пусть, например, трейдер ищет оптимальную стратегию по изменению своего портфеля инвестиций в момент £, решая задачу максимизации математического ожидания приращения AVV£+х стоимости портфеля при наличии ограничений на величину заемного капитала при маржинальной торговле с плечом kt (2), требования неуменьшения будущей стоимости портфеля по отношению к текущей с коэффициентом а (3) и естественных ограничений на неотрицательность всех переменных (4). Эта задача может быть сформулирована как следующая задача линейного программирования: M[AWt+1] = ^ vu(Msu+1 - si t) + + <t)(Msu+1 - su) +

+ - *Гс)(М5и+1 - si.t) + ^ 2"t(Msu+1 - su) -» max (1)

^ *i!t si.t + ^ zt.tsi.t - ( mt + ^ 4t su I - M mt + ^ ui.tsu J- (2)

ie;+ ieif \ ie/f / \ i=i /

+ ^ Kt + wsiit+1 + ^ [vi,t - *,7t] Msit+1 +

+ (Шс ~ X Msu + X *i-t 5'-£ + X Zi-c[Su ~ M5i-t+1J) - a X Vi-£Si-c +m£ -

\ ie;t+ ie/f ieif J u=i

xix < vix, i e it, x£t >o,ie хц > о, i e /f, zit > o, i e /t". (4)

Будущие цены si t+1, t G /t+, /f являются независимыми случайными величинами, законы распределения которых связаны с вероятностями р, верно определить направление изменения стоимости ценных бумаг i следующим образом:

S(,t+l.t 6 11 s(,t+1 > Si.t si,t+l — si,t 6 't si,t+i & si,t si,t+l < Si.t

р Pi 1 -Pi P 1-Pi Pi

Поскольку трейдер может установить границы изменений и s™i"1

будущей стоимости ценных бумаг ¿е/с+,/с"" в момент времени 1 + 1, но не

может определить закон распределения будущей стоимости ценной бумаги в указанных им границах, то естественно предположить равновероятность значений будущих цен в указанных им интервалах:

, , Л , при и е [su, f—^г, при У 6 [s™, su]

/г(и) = Kt+l"5« И /j(v) =< l t i c+1

{ 0,npnui[su,s^] { 0,npHV« [s.^.s^].

Если в момент времени t трейдер предполагает (с вероятностью р;), что в момент t + 1 стоимость ценной бумаги i возрастет, т.е. £ 6 /с+, то среднее

s. + smax

значение стоимости этой ценной бумаги составит ——Если же в момент t решение трейдера относительно этой ценной бумаги ошибочно, то естественно предположить, что возможны два события — стоимость ценной бумаги i в момент времени t + 1 уменьшится либо стоимость ценной бумаги i в момент времени t + 1 не изменится по сравнению с ее значением в момент времени t. Ясно, что эти два события несовместны, причем трейдер предполагает, что эти события равновозможны, а значит, каждое из них происходит с вероятностью Аналогичные рассуждения относительно ценных бумаг из множеств и

11° позволяют рассчитать математические ожидания стоимости всех ценных бумаг:

с л е-тпах 1 „ _min . _ 1 „

Msu+i = pi---+ —-----+ —I + (t),

,, S™+1 + 5i.t , Pis!',t+ Su+1 , 1 — Pi . .

Mst.t+i=Pi-2-+ —2--2---^—si.t.i e / (t),

, 1 _ Pi si\t + l + 5i.t , 1 — Pi si.t + si\t + l . _ l0,a

MsLt+1 = pisi c + —----+ —-----, 1 e /°(t).

Таким образом, задача (l)-(4) является задачей линейного программирования, решение которого можно легко найти с помощью любого современного математического программного обеспечения.

В разделе 2.3 рассматривается задача отыскания гарантированного выигрыша трейдера при отсутствии у него предположений о законе распределения будущих цен финансовых инструментов, которую можно

рассматривать как игру с природой, в которой природа как игрок предлагает трейдеру наиболее неблагоприятные для него варианты изменения цен на включенные им в портфель финансовые инструменты.

Пусть Х[ — (х£,х(,х°*) 6 М£ - X* х х Х° - вектор размерности |/£+[ + |/£-| + |/£°| объемов покупок/продаж ценных бумаг трейдером в момент времени С, у£+1 = Су1, УГ+1 > У°+1) 6 х ^Г х _ вектор размерности |/£+| + |/£-| + |/£°| цен покупок/продаж ценных бумаг в момент времени с + 1, если трейдер верно определил направление изменения стоимости этих ценных бумаг, и гс+1 — г£~+1, г£°+1) е х 2£~ у. 2® - вектор размерности |/£+| +

|/£~| + |/£°| цен покупок/продаж ценных бумаг в момент времени С + 1, если трейдер ошибся в своих прогнозах. Поскольку трейдер может также учитывать ограничения вида (2)-(4), то множества Х^, Х°, а соответственно и Мс являются выпуклыми многогранниками. Обозначим через

= (У£+1>2С+1>Уи-1'2£+1'Ус+1<г£°+1) £ + 1 = ^ + 1 Х Х ^£+1 х

^г+1 х ~ вектор возможных цен финансовых инструментов из множества в1+1, также являющегося выпуклым многогранником в силу положительности значений цен и их конечности.

Теорема 1. В каждый момент времени £ взаимодействие между трейдером и биржей может быть описано в форме игры на множествах несвязанных стратегий в виде выпуклых многогранников Мс и в1+1, где М£ — {х( 6 /?+:Я£л:£ > с1()} - множество стратегий трейдера и 0£+1 = {и/£+1 £ > й£} - множество стратегий фондовой биржи, с платежной

функцией (хс,Ос и/£+1), где £>с - матрица размерности (|/£+| + |/£~| + |/°|) х 2(и£+| + |/£~| + |/£°|), составленная следующим образом

где D'"(x) - диагональная матрица размера |/| X |/|, у которой все элементы главной диагонали равны х, и седловая точка игры может быть найдена из решения задач (5) и (6) линейного программирования:

(bt,ht) -» шах , (fttJ:t)E<2t

Qt = {(.htlxt) > 0: htAc < xtDt,Btxt > dc)

и

(-d,, n[+1) -> min

(jrt+1,wt+1)e/>t,t+1

Pt.t+i = i(Tt+i-wt+1) > 0:n[+1Bc < -Dtwt+1,Atwt+1 > bt), образующих двойственную пару.

Замечание. Понятно, что компоненты вектора хс в реальной задаче трейдера должны быть целыми числами и решения задач (5) и (6) дает лишь верхнюю границу значения maxA-t6Xt[minWt+ig0t+i<^t,Dtwt+1>]. Однако, при решении прикладных задач целочисленного линейного программирования, часто переменные рассматриваются как непрерывные (релаксация задачи), и нецелочисленные решения затем округляются до целых значений. Поскольку коэффициенты систем линейных неравенств, описывающих выпуклые многогранники допустимых множеств в (5) и (6), как правило, известны лишь приближенно, замена задачи отыскания точного значения максимина задачей отыскания его верхней границы представляется оправданной.

В разделе 2.4 рассматриваются задачи отыскания стратегий взаимодействия трейдера с биржей и поиска гарантированного результата трейдера при его работе с производными финансовыми инструментами (фьючерсами и опционами), аналогичные задачам из разделов 2.2 и 2.3, и отличающиеся от этих задач лишь учетом в формулировках этих задач математических соотношений, описывающих платежные функции фьючерсов и опционов.

Третья глава посвящена моделированию поведения трейдера в условиях финансового кризиса.

В разделе 3.1 рассматривается задача принятия решений трейдером в

условиях возможного наступления экономического или финансового кризиса как задача анализа системы массового обслуживания, в которой учет трейдером возможности наступления финансового кризиса моделируется с помощью дерева решений.

В момент времени £ трейдер получает сигнал о состоянии экономики и он должен решить, что означает этот сигнал - что экономика находится в стабильной ситуации ((?), либо наступает кризис (/?). Известно, что потоки событий типа и типа Я являются простейшими. Интенсивность потока событий типа <2 равна Л, интенсивность потока событий типа Д равна причем Л »¡х.

Задача трейдера заключается в распознавании наступившего события X. Если наступило событие <2 и трейдер его идентифицировал верно, то он получает небольшое вознаграждение а; если же произошла ошибка, то трейдер «проиграет» величину Ь. Вероятности таких исходов известны и равны рг и q1, соответственно. Аналогично, для событий типа Я, если трейдер «угадает» наступление кризиса, то сможет на этом заработать величину с, причем с » а, а при неправильной - «проигрыш» составляет - й, и (1 » Ь (Рис. 1).

В реальной работе трейдера такие исходы соответствуют открытию длинных и коротких позиций в период роста и спада. Длинная позиция (покупка) принесет трейдеру умеренный доход а и значительный убыток -й,

Рис. 1. Общая схема идентификации случайного события X Рис. 2. Схема модели с поощрением

когда рынок растет («регулярное» событие) и падает («кризис»), соответственно. С короткой позицией (продажей заемных ценных бумаг и последующим возвратом) в случае роста экономики трейдер немного потеряет (величина — Ь), но при сильном падении в кризис сможет заработать значительную сумму с.

Теорема 2. Ожидаемое значение = Х^ равно Е[г] = (Я(Р1а - <?!&) + м(р2с - д2сО)С.

Математическое ожидание Е(2} выигрыша трейдера будет неотрицательным при выполнении системы неравенств:

В разделе 3.2 приведены более сложные модели, учитывающие возможное пообщрение и обучение трейдера на своих действиях. Так как интенсивность регулярных событий <2 намного больше интенсивности редких кризисных событий, то регулярные события часто появляются одно за другим и формируют последовательность таких событий. Предположим, что устройство может «обучаться» на таких последовательностях и получать выгоду за счет распознавания подобных периодов.

3.2.1. Модель с поощрением

Накопление опыта моделируется функцией опыта на £-м шаге, равной количеству подряд произошедших событий типа А (Рис. 2). Если событие типа было распознано трейдером правильно к раз подряд, то он получает премию за распознавание события равную а + г (вместо а в базовой модели).

Теорема 3. Ожидаемое значение общего выигрыша в модели с поощрением равно

ГГ

ЕЮ = £(*«)■

где — (Я + /л) С — интенсивность потока неизвестных событий, Х^ и Х^ -случайные величины выигрыша для £ < к и £ > к с законами распределения

!РкЯг,еслих = -д., Р«<Ь.если* = -Ь, РоРг.е ели х = а, РяРг. если х = с.

РяЧ2.если х = Рд<71,еели х = —Ь,

Рг[*/2) = х] = РцРг (1 - (РоР1)к). если х = а,

{РоРг)"^.если х = а + г, ряр2,если х — с.

3.2.2. Модель со снижающимся поощрением

Теперь изменим условия модели с поощрением: если событие типа @ было распознано устройством правильно к раз подряд, то оно поощряется увеличением премии за распознавание события (), но эта премия снижается с ростом числа правильно распознанных регулярных событий, т.е. прибавка к выигрышу есть функция от значения функции опыта 5£ в виде степенной функции /Гк> параметр д > 1 отвечает за дисконт выигрыша.

Теорема 4. Ожидаемый выигрыш в модели со снижающимся поощрением равен

•и - 'И* - (>

+ч^*2в(я - 1)

(■-ШСтГ^Ч'-^

3.2.3. Модель с обучением.

В этой модели если событие @ было распознано трейдером правильно к раз подряд ^ > к), то он будет распознавать события <2 правильно с большей

вероятностью PÎ = P1 + S > Ръ причем S < q1 (ErrorI Reference source not found.).

если Si < к jr Q

PQ =

Я l

Vr =

<7i

Ч2 -<*

Рис. 3. Схема модели с обучением

Рис. 4. Область параметров £7|, (72, дающих неотрицательный ожидаемый выигрыш (Б&Р500)

Теорема 5. 1) Вероятность Р{5,- < fc} равна

P{Si <к} = pQ{4l - q[) У < fc}(poPl)' + - (pQPi)k\

i—i Pq4i + Pr v '

;'=o

2) Последовательность < к} сходится и ее предел равен

Нт Л{5, < к] =--М")__

"" (Ро<?1 + Ря) — Рд(41 - ^Х1 - (РсзРг) )

Теорема 6. Математическое ожидание суммарного выигрыша в модели с

обучением равно

/иг \

\vz "

r(fc-l.AWz) r(fc-i)

+ (k

где

|РкЧ2.еели х = — РвЧ1>еслих = -Ь. р^р^если х = а, РлР2, если х = с.

!Ря9 2. если х = —с?,

р^Рг {5,- < + Ч;Рг {5,- > к)], если х = -Ь, рс[р,Рг < к} + Р;Рг{5,- > к}], если х = а, р„р2,если х = с.

В разделе 3.3 приведены расчеты по дневным значениям различных индексов мировых фондовых бирж и акций некоторых компаний за период

2000-2010гг. Для определения «кризисных» дней Д, использовались значения волатильности индекса со скользящим интервалом в 20 дней и пороговое правило. Результаты расчетов по фондовым индексам приведены в Табл. 1. В диссертации анализируются данные крупнейших американских компаний.

Табл. 1 Оценки параметров базовой модели (порог 6%), %

Индекс Я И а -b с -d

S&P 500 246 4 0,6 -0,6 2,8 -2,9

Dow Jones 246 4 0,6 -0,6 1,9 -2,4

САС 40 243 7 0,8 -0,8 3,0 -2,5

DAX 239 11 0,8 -0,9 2,1 -2,5

Nikkei 225 245 5 0,8 -0,9 2,6 -3,2

Hang Seng 241 9 0,9 -0,9 2,6 -3,0

Для рассчитанных оценок параметров можно оценить минимальные значений вероятности ошибиться при идентификации событий, позволяющие трейдеру получать неотрицательный ожидаемый выигрыш. Для порога 6% для индекса 8&Р500 область значений параметров выглядит так, как показано на Рис. . Видно, что достаточно распознавать события типа <2 в чуть более, чем в половине случаев для обеспечения положительного результата всей игры (при £?2 = 1 значение ц1 должно быть не более 0.46). Также в разделе 3.3 приведены оценки для порогового правила определения параметров по доходности и ценам закрытия, численные оценки зависимости ожидаемого выигрыша трейдера от к и в моделях с поощрением и обучением.

Четвертая глава посвящена описанию программного комплекса для математического моделирования и анализа поведения участников фондовой биржи. В разделе 4.1 приведено общее описание программного комплекса для анализа поведения участников биржи методами имитационного моделирования. Разработанный программный комплекс реализован в среде II и позволяет проводить количественный анализ различных моделей поведения трейдеров, предоставляя статистику по различным показателям финансовых результатов деятельности трейдера при работе с одним финансовым инструментом.

Разработаны три программы для оценки финансовых результатов трейдера, использующего различные стратегии: 1) самостоятельное принятие

решений трейдером с известной вероятностью р принятия им правильного решения относительно будущего направления движения цены финансового инструмента, 2) стратегию «последователя», когда трейдер повторяет действия выбранного им лидера с некоторой вероятностью р с задержкой на один такт, 3) стратегию «искателя Черного Лебедя», моделирующую действия последователя Талеба.

В качестве критериев для оценки успешности стратегий рассматриваются три критерия: ожидаемое благосостояние в конце экспериментов, вероятность получения положительной доходности и вероятность обанкротиться за этот период (банкротство наступает при снижении благосостояния агента до критического уровня в размере половины начального состояния). Для этого оценивается (1) среднее благосостояние агентов на финальную дату, (2) доля агентов, чье благосостояние на финальную дату превысило начальное благосостояние и (3) доля банкротов в общей выборке.

В разделе 4.2 приведено описание схемы экспериментов по изучению трех стратегий участников биржи. В подразделе 4.2.1 описана схема экспериментов для базовой модели. Если агент принял решение «купить», то объем заявки выставляется в виде xix = z • ^ при запрете использования

w¡ fleverage

заемных средств и в виде xit = z • —:-при возможности использования

st

маржинальных сделок, где z - случайная величина, имеющая закон распределения R[0,1], leverage обозначает кредитное плечо (соотношение залога и заемного капитала). Наличие случайной величины z отражает тот факт, что агент может хотеть продать не все имеющиеся у него акции или купить не на все деньги в случае торговли без кредитного плеча или использовать не полностью максимально доступный заемный капитал в случае маржинальной торговли. Аналогично выставляются заявки для решения трейдера «продать».

В подразделе 4.2.2 описана схема экспериментов для модели с последователями. Агенты делятся на две равные группы - первая из них ведет

себя так же, как и в базовой модели, т.е. пытается предсказать движение цен с вероятностью р, а вторая группа копирует действия агентов из первой группы с опозданием на один шаг, и агент-последователь _/, наблюдая предыдущее действие своего лидера I, повторяет его на следующем шаге. Для каждого агента из первой группы (лидера) существует только один агент из второй группы (последователь), копирующий его действия.

В подразделе 4.2.3 описана схема экспериментов для анализа стратегии «искателей Черных Лебедей». Агенты делятся на две группы, условно называемые «обычные трейдеры» и «искатели Черных Лебедей» - первые из них хорошо предсказывают движение цен в период спокойной экономической жизни, но не могут сориентироваться в кризис, а вторые, наоборот, не очень хорошо предсказывают движение в регулярные периоды, зато практически не ошибаются в кризисное время (стратегия Талеба).

В разделе 4.3 приведены результаты численных расчетов по трех моделям поведения участников биржи на основе данных нескольких мировых фондовых бирж. В результате численного анализа финансовых результатов различных стратегий трейдер, зная свою вероятность принятия верного решения относительно направления изменения цен финансовых инструментов, может выбрать набор инструментов, результаты торговли с которыми по описанным моделям виртуального рынка его устраивают, для формирования своего портфеля финансовых инструментов.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1) предложена система математических моделей поведения участников биржи, учитывающих их способность к анализу биржевой ситуации в виде вероятности верно определить направление движения цены финансового инструмента в следующий момент времени, и указано, как можно оценить эту вероятность,

2) предложены несколько моделей выбора оптимального портфеля инвестиций. Доказано, что в период стабильной экономической ситуации в

случае наличия у трейдера предположений о границах изменений будущих цен финансового инструмента эту задачу можно свести к задаче линейного программирования, а в случае отсутствия у трейдера таких предположений можно найти гарантирующую стратегию для трейдера в антагонистической игре с биржей, моделируемой в виде игры с природой, и сводимой к паре двойственных задач линейного программирования,

3) предложены математические модели, описывающие влияние возможности появления биржевых кризисов на задачу трейдера с использованием сложных пуассоновских потоков и показано, что способность трейдера распознать появление кризиса практически не влияет на ожидаемый доход в сравнении со способностью трейдера правильно распознавать будущее состояние биржи в периоды стабильной экономики,

4) исследованы модели поведения участника биржи при возможности наступления финансовых кризисов, в которых учитывается его способности к обучению на своих действиях в виде модели с поощрением за верное определение регулярных событий и модели с обучением,

5) разработан комплекс программ и проведен численный анализ стратегий трейдеров, связанных с индивидуальным независимым, «стадным» поведением, и с использованием моделей Талеба, и показано, что такие стратегии приводят к результатам, не превышающим традиционных стратегий инвестирования.

Основпые результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях, 3 (1-3 ниже) из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Алескеров Ф. Т., Егорова JI. Г. Черные лебеди и биржа // Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2010. - Т. 14, № 4. - С. 492-506. - 0,6 а.л. (личный вклад автора 0,4 а.л.).

2. Aleskerov F. Т., Egorova L. G. Is it so bad that we cannot recognize black swans? // Economics Letters. - 2012. - Vol. 117, No. 3. - P. 563-565. - 0,3 а.л. (личный вклад автора 0,2 а.л.).

3. Егорова J1. Г. Эффективность торговых стратегий мелких трейдеров //

Проблемы управления. - 2014. - № 5. — С. 34-41. - 1 а.л.

4. Egorova L. G. Effectiveness of Different Trading Strategies for Price-takers // Procedía Computer Science. Proceedings of the 2nd International Conference on Information Technology and Quantitative Management, ITQM 2014. NRU HSE in Moscow (Russia) on June 3-5,2014. - 2014. - Vol. 31. - P. 133-142. - 0,6 а.л.

5. Belenky A.S., Egorova L.G. An Approach to Forming and Managing a Portfolio of Financial Securities by Small and Medium Price-Taking Traders in a Stock Exchange // Advances in Intelligent Systems and Computing. Proceedings of the 3rd International Conference on Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences MCO 2015. - 2015. - Vol. 359. - P. 257-268. - 0,6 а.л. (личный вклад автора 0,3 а.л.).

6. Беленький А.С., Егорова Л.Г. Две модели принятия решений участником торгов на фондовой бирже по формированию и изменению своего инвестиционного портфеля / Препринты. М.: Высшая школа экономики. Серия WP7 "Математические методы анализа решений в экономике, бизнесе и политике". 2015. No. 02. - 1 а.л. (личный вклад автора 0,5 а.л.).

7. Egorova L. G. The Effectiveness of Different Trading Strategies For Price-Takers / Working papers by NRU Higher School of Economics. Series FE "Financial Economics". 2014. No. WPBRP29/FE/2014. - 1,3 а.л.

8. Egorova L. G. Распознавание биржевых процессов как пуассоновского потока событий двух типов: модели с поощрением и обучением / Препринты. М.: Изд. дом ВШЭ. Серия WP7 "Математические методы анализа решений в экономике, бизнесе и политике". 2011. No. 02. - 0,6 а.л.

9. Aleskerov F. Т., Egorova L. G. Так ли уж плохо, что мы не умеем распознавать черных лебедей? / Препринты. М.: Изд. дом ВШЭ. Серия WP7 "Математические методы анализа решений в экономике, бизнесе и политике". 2010. No. 03. - 1 а.л. (личный вклад автора 0,7 а.л.).

Лицензия ЛР № 020832 от «15» октября 1993 г.

Подписано в печать <с/_»_2015 г. Формат 60x84/16

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 33 Типография издательства НИУ ВШЭ, 125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.