автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Полевые методы определения электрических параметров воздушных линий электропередачи

На правах рукописи 004614120

Бессолицын Алексей Витальевич ^з-гТгйй^^^4^5^

ПОЛЕВЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

Специальность 05.14.02 - Электрические станции и электроэнергетические системы

2 5 НОЯ 2010

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2010

004614120

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научные руководители:

доктор технических наук, прос >ессор

Попов Владимир Анатольевич;,

кандидат технических наук, доцент Попов Максим Георгиевич.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Коровкин Николай Владимирович,

кандидат технических наук, доцент Ярмаркин Михаил Кириллович

Ведущая организация: Филиал ОАО «ФСК ЕЭС» - МЭС Северо-Запада

Защита состоится « Ш » декабря 2010 г. в « \2 » часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.11 в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29. Главное здание, ауд. 325.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Автореферат разослан «_5_» ноября 2010 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.11

кандидат технических наук

Актуальность темы.

При анализе установившихся и переходных режимов работы воздушных линий (BJT) электроэнергетических систем требуется точное построение их математических моделей. В общем случае, процессы в линиях с распределенными параметрами описываются системой телеграфных уравнений. Для ее формирования требуется найти первичные параметры воздушной линии электропередачи (ЛЭП): собственные и взаимные продольные активные и индуктивные сопротивления, а также поперечные емкостные проводимости. В практике эксплуатации достаточно часто возникает задача расчета характеристик электромагнитного влияния воздушных линий электропередач на линии связи, кабели различного назначения, трубопроводы и т.п., что также требует определения взаимных индуктивно-стей и емкостей проводов ВЛ с близкорасположенными протяженными металлическими конструкциями.

Проблема расчета первичных продольных и поперечных параметров линий электропередач рассматривалась в работах Б.Э. Бонштедта, В.И. Глушко, В.Г. Гольдштеина, Г.А. Гринберга, Г.А. Евдокунина, К.П. Кадом-ской, М.В. Костенко, С.А. Лаврова, Б.К. Максимова, Л.С. Перельмана, J.R. Carson, P.S. Dokopoulos, D.P. Labridis и других. Так как решение задачи определения данных величин требует тщательного анализа электрического и магнитного поля, создаваемого проводами ВЛ, все существующие методы рассмотрения этой проблемы по используемому подходу к расчету характеристик электромагнитного поля можно разделить на две группы: аналитические и численные. В основе аналитических методов лежит расчет электромагнитного поля, создаваемого ЛЭП, путем решения системы уравнений Максвелла через переход к уравнениям Гельмгольца относительно составляющих векторов напряженности электрического и магнитного поля. Численные подходы предполагают поиск распределения в рассматриваемой области какого-либо параметра, описывающего электромагнитное поле, путем численного решения соответствующего дифференциального уравнения в частных производных.

По причине того, что при определении продольных и поперечных параметров ЛЭП следует учитывать геометрические особенности воздушных линий: провес проводов, участки косого сближения разных линий, пересечение ВЛ между собой и тому подобное, аналитические методы не позволяют получить точное решение рассматриваемой задачи из-за существенных допущении, принимаемых при выводе аналитических формул. Применение численных методов дает возможность снизить погрешность решения данной проблемы, за счет использования математических моделей более строго описывающих прохождение проводов ВЛ, многослойную структуру фунта и различные объекты, влияющие на распределение электромагнитного поля. Реализация численных методов при использовании языков программирования высокого уровня, многоядерных процессоров

ПЭВМ, кластерных вычислительных систем и других достижений информационных технологий позволяет вывести рассмотрение задачи об определении параметров воздушной линии электропередачи на качественно новый уровень.

Таким образом, разработка новых и развитие существующих численных методик расчета электрического и магнитного полей применительно к решению проблемы нахождения продольных сопротивлений и поперечных проводимостей проводов ВЛ является актуальной задачей, определившей тему данной диссертации.

Цель работы.

Разработка методики определения продольных и поперечных параметров воздушных линий электропередачи, основанной на численном расчете трехмерных электрического и магнитного полей ЛЭП с учетом геометрических особенностей расположения проводов ВЛ, а также многослойной структуры земли.

Научная новизна.

1. Разработана методика и новый программный комплекс БоАСР расчета трехмерных электрических и магнитных полей, создаваемых воздушными линиями электропередачи, основанные на методе конечных элементов (МКЭ), и позволяющие учитывать провисание проводов, поворот трасс ВЛ, многослойный грунт и наличие в непосредственной близости от линии объектов, искажающих картину поля.

2. Разработан оригинальный, эффективный алгоритм разбиения трехмерного пространства на тетраэдальные конечные элементы, дающий возможность получить качественную дискретизацию области решения при рассмотрении объектов (воздушных линий) со значительными отличиями геометрических размеров.

3. Разработан способ расчета продольных и поперечных параметров ВЛ, основанный на численном расчете создаваемых ими трехмерных электрических и магнитных полей. Предложенный подход позволяет отказаться от упрощений, принимаемых при аналитическом расчете параметров линий с использованием широко известных выражений.

4. Выполнена оценка влияния на погрешность численного расчета параметров ВЛ различных факторов (частоты, удельного сопротивления грунта, стрелы провеса и др.), связанных как с условиями решаемой задачи, так и с особенностями реализации предлагаемой численной методики. Установлена взаимосвязь между размерами расчетной области, числом узлов и погрешностью определения продольных и поперечных параметров ВЛ.

Практическая ценность.

Разработанные методики и программное обеспечение БоАСР могут использоваться при решении научно-исследовательских и эксплуатационных задач, связанных с определением электрических параметров воздушных линий электропередачи (математическое моделирование ВЛ для расчета нормальных и аварийных режимов, наведенного напряжения на протяженных конструкциях и т.п.).

Программный комплекс БоАСР применялся для расчета наведенного напряжения на линиях 35 - 220 кВ Норильской энергосистемы, проходящих над многослойной землей, и на линиях 500 кВ ОЭС Центра. Результаты работы использовались при разработке по заказу ОАО «ФСК ЕЭС» нормативно-технического документа «Методические указания по определению наведенного напряжения на отключенных воздушных линиях, находящихся вблизи действующих ВЛ».

Полученные материалы применяются в научно-исследовательской и учебной работе кафедр «Электрические станции» ГОУ ВПО «ВятГУ» и «Электрические станции и автоматизация энергосистем» ГОУ ВПО «СПбГПУ».

Апробация работы и публикации.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции «Энергетика сегодня и завтра» (2004 г.), Всероссийской научно-технической конференции «Наука - производство - технология - экология» (2006, 2009 гг.), на научных семинарах кафедры «Электрические станции» Вятского государственного университета (2007, 2009 гг.).

По теме диссертации опубликовано 11 работ, причем пять из них содержатся в реферируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка из 65 наименований. Содержание работы изложено на 154 страницах и иллюстрировано 33 рисунками и 8 таблицами.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приведены положения, отражающие научную новизну и практическую ценность диссертации.

В первой главе рассмотрены существующие методики расчета продольных сопротивлений и поперечных емкостей линий электропередачи.

Задачу расчета электромагнитного поля можно решать, используя две основные группы методов: аналитические и численные. По этой при-

чине имеются два соответствующих подхода к определению электрических параметров линий электропередачи, причем каждый из них имеет свои принципиальные достоинства и недостатки.

В строгой постановке без каких-либо упрощений задача расчета электромагнитного поля переменного тока, протекающего в прямолинейном цилиндрическом проводнике бесконечной длины, проходящем над поверхностью плоской земли, и определения электрических параметров такой линии была решена Гринбергом и Бонштедтом. Однако во все полученные ими результирующие выражения входят исключительно сложные неопределенные интегралы, которые невозможно взять аналитически. По этой причине наибольшее распространение в исследовательской практике получил другой менее строгий подход к интегрированию уравнений Максвелла, основанный на ряде допущений, предложенных Карсоном (Carson). Данная методика получила значительное развитие и была распространена на случаи непараллельного прохождения проводов BJ1, наличия у земли нескольких слоев с разными электрическими свойствами и т.п.

Опыт многих исследований, выполненных в нашей стране и за рубежом, показывает, что из всего многообразия численных методов для решения задачи с бесконечно удаленными границами и резко разномасштабной геометрией, какой является задача расчета электромагнитного поля воздушной линии с целью определения ее параметров, наиболее целесообразно использовать метод конечных элементов. Он обладает хорошей вычислительной устойчивостью и для рассматриваемой в данной работе задачи обеспечивает приемлемую погрешность расчетов при наименьших затратах на разработку алгоритмов и программного обеспечения.

К настоящему времени теория использования метода конечных элементов для расчета переменного магнитного поля с учетом вихревых токов, наводимых в проводящих телах, хорошо разработана для двумерного случая. Она широко используется для расчета магнитных полей кабелей и воздушных линий, а также определения их погонных параметров.

Существующие программные комплексы (ANSYS, COMSOL, EL-CUT и др.) могут осуществлять расчет индуктивных и емкостных параметров воздушных линий только в ограниченной (двумерной) задаче исследования их электрического и магнитного полей. При этом используется энергетический подход, требующий вычисления полной энергии поля во всей рассматриваемой области. Например, определение собственной емкости / -го проводника системы реализуется через расчет полной энергии электрического поля WE при условии равенства нулю напряжений на всех проводниках, кроме /-го (Ul -ф- 0):

Указанное программное обеспечение широко используется при решении полевых задач в ограниченной расчетной области, однако в случаях с бесконечно удаленными границами, оно становится неэффективным. В этой связи требуется разработка обобщенной методики и реализации нового программного комплекса для определения электрических характеристик ВЛ с использованием усовершенствованного математического описания полевой задачи.

Во второй главе выполнен анализ методов решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля ВЛ и исследованы принимаемые при этом допущения.

При исследовании аналитическими методами поля, создаваемого проводниками воздушной линии, делаются следующие допущения: проводники расположены над абсолютно плоской землей с неограниченной глубиной, они проходят параллельно поверхности земли, стрелой провеса пренебрегается, все среды в рассматриваемой задаче являются однородными и изотропными, свободные заряды отсутствуют, поперечная активная проводимость линии равна нулю. Кроме того, пренебрегают токами смещения и поперечными токами проводимости в земле.

Магнитное поле провода в воздухе и земле рассматривается как сумма двух составляющих. Первая составляющая, представляет собой магнитное поле, создаваемое электрическим током в проводнике, при отсутствии проводящей земли. Вторая составляющая магнитного поля создается электрическим током, протекающим в земле, наведенным переменным электромагнитным полем исходного тока. С использованием в качестве основы выражений для проекций на оси координат вектора напряженности магнитного поля, записывается формула, описывающая распределение векторного магнитного потенциала в воздухе. Она позволяет получить формулу для расчета продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Ех и определить коэффициент распространения у, что в свою очередь приводит к выражению для расчета погонных собственных 2С и взаимных 2М продольных сопротивлений проводов, расположенных параллельно проводящей земле (предполагается, что ось х направлена параллельно проводам, ось г - вертикально, ось у - горизонтально):

с """"" к 2 к Я„„

ги=АР+А. ш4, О)

л 4 л г где 2тутр - внутреннее сопротивление провода,

//„ - абсолютная магнитная проницаемость, Г - интеграл Карсона,

(у,,(у2,г2)- координаты расположения первого и второго проводов соответственно, КР ~ радиус провода,

г' = (22-2,)2+(Уг-У^2> г" = (г2+г1)2+(у2-у1)2.

Электрическое поле, создаваемое проводниками ВЛ, находящимися под высоким напряжением, рассматривается как электростатическое. Для расчета по известным формулам собственных и взаимных емкостей проводов их потенциальные коэффициенты определяются, исходя из предположения о параллельности проводников земле, методом зеркальных изображений.

Предложен способ оценки методической погрешности, заключающийся в сравнительном анализе результатов определения погонных параметров ЛЭП численным и аналитическим методами. Результаты расчета продольных и поперечных параметров ВЛ с применением аналитических методов должны быть использованы в качестве эталонных значений при проведении исследований погрешности численных методов. Однако, понятие относительной погрешности в этом случае является весьма условным, поскольку аналитическое решение полевой задачи не отвечает ее строгой постановке. Данная проблема детально исследована в пятой главе работы.

В третьей главе описывается использование метода конечных элементов для расчета электрического и магнитного полей воздушной линии и определения ее продольных и поперечных параметров.

В работе при определении параметров магнитного поля ВЛ предлагается использовать проекции векторного магнитного потенциала А на оси прямоугольной системы координат, а при определении параметров электрического поля скалярный электрический потенциал (р. Для разбиения рассчитываемой области на конечные элементы используются простейшие трехмерные фигуры - тетраэдры с заданием узловых точек только в их вершинах. В соответствии с этим, для аппроксимации распределения искомого потенциала внутри конечного элемента используется линейный полином.

Для формирования системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений искомых потенциалов А и <р применяется метод Галеркина. Формально он заключается в приравнивании нулю интеграла по объему одного конечного элемента У(е) от произведения транспонированной строки функций форм данного элемента на исследуемое дифференциальное уравнение. Например, для проекции на ось х векторного магнитного потенциала в вершинах е-го конечного элемента будет справедливо линейное уравнение:

-8,г) + jafrie)

■ А<;' = Т"'.ФГ, (4)

а для скалярного электрического потенциала:

8(г)фи=°. (5)

где ¡1 - магнитная проницаемость среды, Я'" и Т1''1 - матрицы, элементы которых вычисляются, исходя из координат узлов рассматриваемого е -го конечного элемента с использованием интегрирования в естественной системе координат тетраэдра, А'/', Ф^'1, ф<г) - вектора, элементами которых являются узловые значения проекции векторного магнитного потенциала на ось х, производные по координате х от электрического потенциала в вершинах конечного элемента и узловые значения скалярного электрического потенциала е-го конечного элемента соответственно.

Полученные уравнения (4), (5), сформированные для каждого отдельного конечного элемента, должны быть объединены в глобальную систему уравнений относительно значений искомого потенциала во всех узловых точках рассматриваемой области. Элементы глобальных матриц Б и Т рассчитываются как суммы соответствующих элементов локальных матриц 8й и Т(1>) всех конечных элементов области решения.

При определении продольных собственных и взаимных сопротивлений проводов воздушной линии используется допущение о неизменности модуля градиента скалярного электрического потенциала по всей длине проводника. С учетом этого алгоритм определения элементов матрицы продольных сопротивлений участка линии заключается в следующем:

1) Задание падений напряжения на рассматриваемом участке каждого проводника С/,, 02... 01: (где п - число проводников в системе).

2) Расчет проекций на оси координат градиента скалярного электрического потенциала во всех узловых точках каждого провода.

3) Решение систем линейных алгебраических уравнений относительно проекций векторного магнитного потенциала на все оси координат.

4) Расчет вектора плотности суммарного тока в узловых точках проводов по рассчитанным значениям векторного магнитного потенциала и заданным значениям градиента электрического потенциала:

8 = - ¡акт А - а §гас1 ф, (6)

где <т - удельная проводимость провода.

5) Определение среднего тока, протекающего вдоль каждого провода системы при заданном в первом пункте настоящего алгоритма наборе падений напряжений в проводниках:

где ^ , 4 проекции вектора плотности тока на ось провода в дан-

ном сечении для узловых точек е-го конечного элемента, вычисленные в предыдущем пункте, Ьт — длина рассматриваемого т -го проводника на рассчитываемом участке. Суммирование в числителе формулы ведется по всем е-ым конечным элементам, принадлежащим проводнику т.

6) Выполнение пунктов алгоритма с первого по пятый с разными задающими (см. п. 1) значениями падений напряжений столько раз, сколько имеется проводников в задаче.

7) Решение системы из п уравнений, каждое из которых соответствует одному из исходных наборов падений напряжения, а неизвестными выступают собственное и взаимные сопротивления первого проводника.

Т 12 2 Т...Л, „/„ -и1 ,

2 /(2> + 7 /(2)+ 7 /(2)=/У<2)

. (8)

7 /<"'-1-7 71"'-1- 7 /<"'—гУ<">

где верхний индекс указывает на номер исходного набора падений напряжений.

8) Формирование и решение аналогичных систем уравнений для каждого последующего провода с учетом уменьшения размерности на каждом шаге из-за того, что часть взаимных параметров рассчитывается на предыдущих шагах.

Для расчета собственных и взаимных частичных емкостей участков проводов ВЛ в данной работе предлагается алгоритм представленный на рис. 1.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма определения емкостных параметров проводов ВЛ

Согласно представленной на рис. 1 блок-схеме в основе алгоритма лежит последовательное определение емкостных коэффициентов проводов рассматриваемого участка воздушной линии. Данная задача решается путем вычисления заряда каждого провода как потока вектора электрической индукции через его боковую поверхность при равенстве нулю потенциалов всех проводов, кроме одного с потенциалом равным единице. Для расчета напряженности электрического поля на поверхности проводов используется метод конечных элементов.

Предлагаемые методы расчета продольных и поперечных параметров ВЛ позволяют полностью учесть реальное расположение проводов ЛЭП в пространстве, так как опираются на результаты расчета трехмерных электрического и магнитного полей.

В четвертой главе изложена методика триангуляции трехмерного пространства вокруг ВЛ при реализации предложенного способа конечно-элементного расчета электрического и магнитного полей для определения продольных и поперечных параметров ВЛ.

Наибольшую трудность в программной реализации предлагаемой численной методики представляет разбиение трехмерной области на конечные элементы (см. рис. 2). Выполнение дискретизации трехмерного пространства для расчета электромагнитного поля, создаваемого ВЛ, осложняется тем, что в данной задаче имеется неблагоприятное сочетание размеров и взаимных расстояний между элементами линии: диаметр проводов измеряется миллиметрами, расстояния между ними метрами, а длина ВЛ и размер расчетной области километрами.

тА/

IX- \ /Ч /' \ /\ /

Рис. 2. Разбиение расчетной области методом фронтальной триангуляции

В диссертационной работе выполнен анализ различных вариантов построения трехмерной триангуляции и показано, что наиболее эффективным вариантом является использования метода тиражируемых сечений. Суть этого метода заключается в том, что на первом этапе строится плоская триангуляция одного из сечений расчетной области, и затем она копируется вдоль неких траекторий тиражирования. Предлагаемый в работе алгоритм двухмерной дискретизации заключается в следующем: 1) выполнение триангуляции подобластей, лежащих внутри проводов, грозозащитных тросов, трубопроводов и других круговых структур; 2) выполнение дискретизации всей расчетной области, распространяя фронт триангуляции с круговых границ, внутри которых конечные элементы построены в первом пункте; 3) связывание между собой областей триангуляции, построенных в предыдущем пункте от разных круговых объектов; 4) включение в триангуляцию протяженных границ (например, между воздухом и землей, между слоями земли и т.п.).

Части полученной плоской триангуляции копируются вдоль траекторий тиражирования таким образом, чтобы плотность узлов в области с наибольшим градиентом поля была максимальной. В качестве траекторий тиражирования выбираются кривые аналогичные кривым провисания проводов. Блок-схема предлагаемого алгоритма получения трехмерной триангуляции представлена на рис. 3.

Рис. 3. Блок-схема алгоритма выполнения трехмерной дискретизации в

программе БоАСР

Результатом его работы является дискретизация расчетной области с максимальной плотностью узловых точек там, где градиент электрическо-

го и магнитного полей наибольший, что позволяет уменьшить погрешность расчетов при ограниченном размере решаемой системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений потенциалов полей.

В пятой главе выполнены исследования погрешности разработанного численного метода расчета параметров воздушных линий.

Для оценки погрешности предлагаемой численной методики определения электрических параметров ВЛ введено понятие относительной погрешности расчета, при вычислении которой в качестве эталонного значения использовались результаты расчета соответствующих параметров аналитическим методом. Расчетные исследования производились при широкой вариации частоты, удельного сопротивления грунта, числа узловых точек, размеров рассматриваемой области и др.

В результате тщательного анализа установлено, что погрешность расчета продольных и поперечных параметров ВЛ практически не зависит от высоты расположения проводов и от расстояния между ними по причине использования специализированной методики трехмерной триангуляции, учитывающей геометрические особенности задачи расчета полей систем протяженных тонких проводников, проходящих над плоской землей.

Основными факторами, определяющими погрешность расчета параметров воздушной линии по разработанной методике, являются количество узловых точек в области, где рассчитываются электрическое и магнитное поля, а также размер этой области. Расширение расчетной области и увеличение числа узлов в ней обуславливает значительное снижение погрешности определения продольных сопротивлений и поперечных емкостей проводов.

Анализ полученных частотных зависимостей в диапазоне от 10 Гц до 1 МГц показал, что погрешность расчета индуктивных сопротивлений не превышает полутора процентов при изменении удельного сопротивления грунта в широких пределах (см. рис. 4).

10 100 1000 10000 100000 f, Гц 10 100 1000 10000 100000 f, Гц -»• р, = ЮОм-м -*- р., = 100 Ом м р, = 1000 Ом м

Рис. 4. Относительная погрешность расчета индуктивных сопротивлений при вариации удельного сопротивления земли

Кроме этого в данной главе выполнен сопоставительный анализ разработанной программы ОоАСР с аналогичными расчетными комплексами. Сравнение с промышленной конечно-элементной расчетной системой АЫБУЗ выполнялось согласно показателям вычислительных и пользовательских временных затрат, а также по величине погрешности вычислений. Превосходство проблемно-ориентированного программного обеспечения ОоАСР при решении специальной задачи расчета емкостных параметров ВЛ было выявлено по всем указанным критериям (см. табл. 1).

Табл. 1. Сравнение результатов работы программ РоАСР и ANS YS

Число узлов ОоАСР / А^УБ Время расчета, с БоАСР / 5Сс,% DoACP / ANSYS scM,% DoACP / ANSYS

1045/ 13722 0,047/4 1,59/23,63 4,55/55,62

1335/26797 0,078 / 8 0,78 /19,46 4,41 /44,79

1973/56047 0,188/17 -0,21/5,88 1,02/20,38

2689/223593 0,406 / 70 -0,51/-1,82 0,44/17,75

В соответствии с принятым критерием (максимальное значение погрешности пять процентов) в работе сформулированы рекомендации по допустимости применения упрощенных аналитических выражений для расчета электрических характеристик линий электропередачи номинальным напряжением 110 - 220 кВ.

Апробация разработанного программного обеспечения для определения электрических параметров ВЛ выполнена при исследовании уровней наведенного напряжения на реальных ВЛ 500 кВ Каширская ГРЭС - Пахра (ОЭС Центра) и ВЛ 220 кВ ЛЭП-201, ЛЭП-207 (Норильская энергосистема). Результаты измерений и расчеты наведенного напряжения на ВЛ Норильской энергосистемы представлены в табл. 2.

Табл. 2. Результаты измерения и расчетов наведенного напряжения на опорах ВЛ 220 кВ Норильской энергосистемы__

Отключенная ВЛ Номер опоры Наведенное напряжение, В SUHAB,%

Измерено Рассчитано

ЛЭП-201 271 275 262 -2,9

ЛЭП-201 354 80 88,8 11,0

ЛЭП-207 396 35,3 38,8 9,9

ЛЭП-207 421 33,5 36,0 7,5

Приемлемая погрешность (около десяти процентов) результатов расчетов наведенного напряжения подтверждает адекватность предлагаемой методики определения параметров воздушных линий.

Заключение

1. Выполнено научное обоснование методики конечно-элементного расчета параметров электрического и магнитного поля, создаваемого проводами воздушных линий электропередачи при трехмерной постановке проблемы.

2. Предложен алгоритм определения собственных и взаимных продольных сопротивлений проводников ВЛ, основанный на расчете трехмерного магнитного поля. Разработана методика расчета собственных и взаимных частичных емкостей проводов воздушных линий электропередачи, основанная на численном расчете методом конечных элементов распределения скалярного электрического потенциала.

3. Разработана модификация метода тиражируемых сечений для построения дискретизации трехмерного пространства, позволяющая моделировать провисание проводов по вертикали и непараллельное расположение проводов разных BJ1 по горизонтали. Эффективность предложенного подхода заключается в значительном снижении (на два порядка) вычислительных затрат при достижении приемлемых значений погрешности.

4. Исследовано влияние частоты, проводимости грунта, количества узловых точек, размеров расчетной области на погрешность расчета численным методом. При количественной оценке погрешности установлены условия допустимости использования различных модификаций аналитических выражений для расчета электрических параметров ВЛ.

5. На основе сопоставительного анализа результатов расчета и натурного эксперимента по определению величины наведенного напряжения установлена адекватность (погрешность составляет около десяти процентов) предложенного математического описания задачи расчета продольных и поперечных параметров воздушных линий электропередачи.

Основные положения диссертации отражены в публикациях

Журналы, рекомендованные ВАК:

1. Бессолицын A.B. Погрешность расчета взаимоиндукции между проводами воздушных линий [Текст] / A.B. Бессолицын, В.А. Попов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2008. № 4. С. 14-16.

2. Бессолицын A.B. Измерение и расчет наведенного напряжения на отключенной ВЛ 500 кВ [Текст] / A.B. Бессолицын, Р.В. Медов, В.А. Попов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2008. № 4. С. 27-28.

3. Бессолицын A.B. О безопасности персонала при работах на отключенных В Л 35-220 кВ, находящихся под наведенным напряжением [Текст] / И.Г. Барг, A.B. Бессолицын // Энергетик. 2008. № 5. с. 23 - 27.

4. Бессолицын A.B. Разработка методики численного расчета продольных параметров воздушной линии на основе трехмерной краевой за-

дачи [Текст] / A.B. Бессолицын, O.A. Новоселова, М.Г. Попов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 2. С. 50 - 55.

5. Бессолицын A.B. Использование численного расчета трехмерного электростатического поля для определения собственных и взаимных емкостей проводов воздушной линии [Текст] / A.B. Бессолицын, М.Г. Попов, E.H. Хорошинина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 2. С. 55 - 59.

Прочие:

6. Бессолицын A.B. Анализ некоторых факторов, влияющих на наведенное напряжение при ремонте воздушных линий [Текст] / A.B. Бессолицын, Р.В. Медов, В.А. Попов // Международная научно-практическая конференция «Энергетика сегодня и завтра». Сборник трудов. 2004. Киров. С. 17-20.

7. Бессолицын A.B. Расчет наведенного напряжения на отключенной BJI 500 кВ Каширская ГРЭС - Пахра с использованием данных воздушного лазерного сканирования [Текст] / A.B. Бессолицын, Р.В. Медов,

B.А. Попов // Всероссийская научно-техническая конференция «Наука -производство - технология - экология». Сборник материалов. 2006. Киров.

C. 306-310.

8. Бессолицын A.B. Анализ методов расчета сопротивления взаимоиндукции между проводами воздушных линий [Текст] / A.B. Бессолицын, В.А. Попов //Вятский научный сборник. 2008. Киров. С. 16-21.

9. Бессолицын A.B. Расчет напряженности магнитного поля воздушной линии электропередачи методом конечных элементов [Текст] / A.B. Бессолицын // Всероссийская научно-техническая конференция «Общество - наука - инновации». Сборник материалов. 2010. Киров. Т. 2. С. 338-342.

10. Бессолицын A.B. Численная методика определения продольных параметров воздушной линии электропередачи [Текст] / A.B. Бессолицын // Всероссийская научно-техническая конференция «Общество - наука -инновации». Сборник материалов. 2010. Киров. Т. 2. С. 342 - 346.

11. Бессолицын A.B. Определение собственных и взаимных емкостей проводов воздушной линии на основе расчета трехмерного электростатического поля [Текст] / A.B. Бессолицын // Всероссийская научно-техническая конференция «Общество - наука - инновации». Сборник материалов. 2010. Киров. Т. 2. С. 346 - 350.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 08.11.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 6670Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.:(812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ.

1.1 Общие положения.

1.2 Аналитические методы расчета продольных и поперечных сопротивлений воздушных линий.

1.3 Использование численных методов расчета электромагнитного поля для определения параметров линий электропередач.

1.4 Существующие программно-вычислительные комплексы для анализа электромагнитного поля с возможностью расчета индуктивных и емкостных характеристик.

1.5 Выводы.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПОГОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУШНОЙ ЛИНИИ С УЧЕТОМ ПРОВОДЯЩЕЙ ЗЕМЛИ.

2.1 Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля проводов, проходящих параллельно земле с конечной проводимостью.

2.2 Формирование дифференциальных уравнений для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного поля.

2.3 Решение дифференциальных уравнений для вектора напряженности магнитного поля.

2.4 Расчет векторного магнитного потенциала и продольной составляющей векторалапряженности-электрического поля.472.5 Расчет собственного и взаимного сопротивления проводов над поверхностью земли.

2.6 Вычисление интеграла Карсона.

2.7 Расчет удельных емкостей проводов воздушных линий электропередач.

2.8 Выводы.

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПОЛЕВОЙ ЗАДАЧИ.

3.1 Общие положения метода конечных элементов.

3.2 Аппроксимация проекции векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов в области решения.

3.3 Вывод дифференциального уравнения для векторного магнитного потенциала.

3.4 Формирование системы алгебраических уравнений для одного элемента относительно значений узловых потенциалов методом Галёркина.

3.5 Формирование системы линейных уравнений для расчета электрического потенциала методом конечных элементов.

3.6 Расчет элементов матриц, входящих в алгебраические уравнения метода конечных элементов.

3.7 Формирование глобальных матриц коэффициентов систем линейных уравнений относительно величин искомых потенциалов.

3.8 Численный расчет собственных и взаимных сопротивлений проводов воздушных линий электропередач.

3.9 Определение собственных и взаимных емкостей проводов воздушных линий.

3.10 Выводы.

4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ В Л.

4.1 Общие положения.

4.2 Выполнение триангуляции на плоскости.

4.3 Построение трехмерной триангуляции.

4.4 Выводы.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ.

5.1 Сравнение результатов численного и аналитического расчета продольных параметров BJI.

5.2 Сравнение результатов численного и аналитического расчета поперечных параметров BJ1.

5.3 Сопоставление возможностей разработанного программного комплекса DoACP с характеристиками системы численного моделирования ANS YS.

5.4 Расчет электрических параметров BJI с учетом непараллельного прохождения проводов и их провеса.

5.5 Апробация разработанной методики расчета параметров BJI.

5.6 Выводы.

Актуальность темы.

При анализе установившихся и переходных режимов работы воздушных линий (BJ1) электроэнергетических систем требуется точное построение их математических моделей. В общем случае, процессы в линиях с распределенными параметрами описываются системой телеграфных уравнений. Для ее формирования требуется найти первичные параметры воздушной линии электропередачи (ЛЭП): собственные и взаимные продольные активные и индуктивные сопротивления, а также поперечные емкостные проводимости. В практике эксплуатации достаточно часто возникает задача расчета характеристик электромагнитного влияния воздушных линий электропередач на линии связи, кабели различного назначения, трубопроводы и т.п., что также требует определения взаимных индуктивностей и емкостей проводов BJI с близкорасположенными протяженными металлическими конструкциями.

Проблема расчета первичных продольных и поперечных параметров линий электропередач рассматривалась в работах Б.Э. Бонштедта, В.И. Глушко, В.Г. Гольдштейна, Г.А. Гринберга, Г.А. Евдокунина, К.П. Кадомской, М.В. Костенко, С.А. Лаврова, Б.К. Максимова, Л.С. Перельмана, J.R. Carson, P.S. Dokopoulos, D.P. Labridis и других. Так как решение задачи определения данных величин требует тщательного анализа электрического и магнитного поля, создаваемого проводами ВЛ, все существующие методы рассмотрения этой проблемы по используемому подходу к расчету характеристик электромагнитного поля можно разделить на две группы: аналитические и численные. В основе аналитических методов лежит расчет электромагнитного поля, создаваемого ЛЭП, путем решения системы уравнений Максвелла через переход к уравнениям Гельмгольца относительно составляющих векторов напряженности электрического и магнитного поля. Численные подходы предполагают поиск распределения в рассматриваемой области какого-либо параметра, описывающего электромагнитное поле, путем численного решения соответствующего дифференциального уравнения в частных производных.

По причине того, что при определении продольных и поперечных параметров ЛЭП следует учитывать геометрические особенности воздушных линий: провес проводов, участки косого сближения разных линий, пересечение ВЛ между собой и тому подобное, аналитические методы не позволяют получить точное решение рассматриваемой задачи из-за существенных допущении, принимаемых при выводе аналитических формул. Применение численных методов дает возможность снизить погрешность решения данной проблемы, за счет использования математических моделей более строго описывающих прохождение проводов ВЛ, многослойную структуру грунта и различные объекты, влияющие на распределение электромагнитного поля. Реализация численных методов при использовании языков программирования высокого уровня, многоядерных процессоров ПЭВМ, кластерных вычислительных систем и других достижений информационных технологий позволяет вывести рассмотрение задачи об определении параметров воздушной линии электропередачи на качественно новый уровень.

Таким образом, разработка новых и развитие существующих численных методик расчета электрического и магнитного полей применительно к решению проблемы нахождения продольных сопротивлений и поперечных проводимо-стей проводов ВЛ является актуальной задачей, определившей тему данной диссертации.

Цель работы.

Разработка методики определения продольных и поперечных параметров воздушных линий электропередачи, основанной на численном расчете трехмерных электрического и магнитного полей ЛЭП с учетом геометрических особенностей расположения проводов ВЛ, а также многослойной структуры земли.

Научная новизна.

1. Разработана методика и новый программный комплекс DoACP (Automatic Calculation of Parameters Transmission Line) расчета трехмерных электрических и магнитных полей, создаваемых воздушными линиями электропередачи, основанные на методе конечных элементов (МКЭ), и позволяющие учитывать провисание проводов, поворот трасс ВЛ, многослойный грунт и наличие в непосредственной близости от линии объектов, искажающих картину поля.

2. Разработан оригинальный, эффективный алгоритм разбиения трехмерного пространства на тетраэдальные конечные элементы, дающий возможность получить качественную дискретизацию области решения при рассмотрении объектов, имеющих сильно разномасштабную геометрию, каковыми являются воздушные линии.

3. Разработан способ расчета продольных и поперечных параметров ВЛ, основанный на численном расчете создаваемых ими трехмерных электрических и магнитных полей. Предложенный подход позволяет отказаться от упрощений, принимаемых при аналитическом расчете параметров линий с использованием широко известных выражений.

4. Выполнена оценка влияния на погрешность численного расчета параметров ВЛ различных факторов (частоты, удельного сопротивления грунта, стрелы провеса и др.), связанных как с условиями решаемой задачи, так и с особенностями реализации предлагаемой численной методики. Установлена взаимосвязь между размерами расчетной области, числом узлов и погрешностью определения продольных и поперечных параметров ВЛ.

Практическая ценность.

Разработанные методики и программное обеспечение DoACP могут использоваться при решении научно-исследовательских и эксплуатационных задач, связанных с определением электрических параметров воздушных линий электропередачи (математическое моделирование ВЛ для расчета нормальных и аварийных режимов, наведенного напряжения на протяженных конструкциях и т.п.).

Программный комплекс БоАСР применялся для расчета наведенного напряжения на линиях 35 - 220 кВ Норильской энергосистемы, проходящих над многослойной землей, и на линиях 500 кВ ОЭС Центра. Результаты работы использовались при разработке по заказу ОАО «ФСК ЕЭС» нормативно-технического документа «Методические указания по определению наведенного напряжения на отключенных воздушных линиях, находящихся вблизи действующих ВЛ».

Полученные материалы применяются в научно-исследовательской и учебной работе кафедр «Электрические станции» ГОУ ВПО «ВятГУ» и «Электрические станции и автоматизация энергосистем» ГОУ ВПО «СПбГПУ».

Апробация работы и публикации.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции «Энергетика сегодня и завтра» (2004 г.), Всероссийской научно-технической конференции «Наука -производство - технология - экология» (2006, 2009 гг.), на научных семинарах кафедры «Электрические станции» Вятского государственного университета (2007,2009 гг.).

По теме диссертации опубликовано 11 работ, причем пять из них содержатся в реферируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка из 65 наименований. Содержание работы изложено на 154 страницах и иллюстрировано 33 рисунками и 8 таблицами.

5.6 Выводы

1. Для исследования погрешности предлагаемой численной методики определения электрических параметров ВЛ введено понятие относительной погрешности расчета, при вычислении которой в качестве эталонного значения использовались результаты расчета соответствующих параметров аналитическим методом (см. главу 2).

2. В результате выполнения компьютерных исследований установлено, что предложенная методика определения продольных и поперечных параметров линий электропередачи имеет погрешность получаемых результатов, слабо зависящую от взаимного расположения проводов и от их высоты над поверхностью земли.

3. Исследование влияния характеристик дискретизации области решения (числа узлов в базовом сечении и число копий базового сечения вдоль траектории тиражирования) на величину относительной погрешности расчета активных и индуктивных сопротивлений, собственных и взаимных емкостей проводов ВЛ показало, что при увеличении числа узлов в области решения погрешность расчета уменьшается до величины, определяемой размером расчетной области.

4. Получены зависимости погрешности расчета продольных параметров ВЛ от частоты процессов и от радиуса расчетной области. Выявлено, что при вариации частоты от 10 Гц до 1 МГц погрешность расчета индуктивных сопротивлений не превышает полутора процентов. Также установлено, что решение задачи расчета индуктивных параметров линии достигается с приемлемой (менее двух процентов) погрешности при радиусе расчетной области свыше десяти километров. Дальнейшее увеличение диаметра исследуемой области для снижения погрешности предопределяет необходимость уменьшения шага дискретизации.

5. Сопоставительный анализ значений погрешности позволяет установить условия допустимости использования различных модификаций аналитических выражений для рассмотренных в работе расчетных случаев взаимного расположения проводов. Согласно принятому в работе критерию (максимальное значение погрешности пять процентов) сформулированы рекомендации по допустимости применения упрощенных аналитических выражений для расчета электрических характеристик линий электропередачи номинальным напряжением 110 - 220 кВ, заключающиеся в следующем:

5.1. для расчета собственного продольного сопротивления провода на частоте 50 Гц допустимо использовать выражение кэкв - 6 + 2/3-Ис (5.3) при любой стреле провеса.

5.2. для расчета собственной емкости провода выражение (5.3) допустимо использовать при стреле провеса не превышающей габарит провода.

5.3. для расчета взаимного индуктивного сопротивления проводов выражение аэкв = (а2 + 2я,)/3 (5.4), предложенное Костенко, допустимо использовать, если максимальное расстояние между проводами превышает минимальное не более чем в семь раз.

5.4. для расчета взаимной индуктивности проводов выражение ажв = 4а\' а2 (5-5), рекомендованное в [61], допустимо использовать, если максимальное расстояние между проводами превышает минимальное не более чем в четыре с половиной раза.

5.5. для расчета взаимной емкости двух проводов выражение ажв ={а1+а2(5-6) допустимо использовать, если максимальное расстояние между проводами превышает минимальное не более чем в два раза.

6. Апробация разработанной методики определения электрических параметров ВЛ выполнена при исследовании уровней наведенного напряжения на реальных ВЛ 500 кВ Каширская ГРЭС - Пахра (ОЭС Центра) длиной 130 км и В Л 220 кВ ЛЭП-201, ЛЭП-207 (Норильская энергосистема). На основе сопоставительного анализа результатов расчета и натурного эксперимента (погрешность составляет около десяти процентов) установлена адекватность предложенного математического описания задачи расчета продольных и поперечных параметров воздушных линий электропередачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках рассматриваемой диссертационной работы были рассмотрены аналитические и численные подходы, а так же программные средства, их реализующие, предназначенные для решения задачи определения продольных и поперечных электрических параметров воздушных линий электропередачи. Аналитические методы позволяют найти решение данной проблемы только после упрощения условий исходной задачи путем перехода от рассмотрения электрического и магнитного полей проводов ВЛ в трех измерениях к двухмерной постановке. Численные методы в общем случае позволяют рассчитывать электрические параметры систем проводников через определение характеристик трехмерных электрических и магнитных полей, создаваемых ими. Однако, изучение результатов работы современных универсальные конечно-элементных программных комплексов показало, что их возможности не позволяют в полной мере реализовать расчет продольных и поперечных параметров ВЛ при трехмерной постановке задачи, что обуславливает актуальность вопроса разработки специализированной методики и соответствующего проблемно-ориентированного программного обеспечения для определения индуктивных и емкостных характеристик воздушных линий электропередачи.

Подробное рассмотрение аналитической методики определения собственного и взаимного сопротивления проводов, проходящих над землей с конечной проводимостью, основанной на интегрировании системы уравнений Максвелла с учетом граничных условий, показало, что удобные для практического применения аналитические выражения могут быть получены только в простейшем случае, когда провода ВЛ имеют бесконечную длину и расположены параллельно друг другу и земле. Решение задачи определения собственных и взаимных емкостей проводов, расположенных вблизи земли, аналитическим методом приводит к аналогичному результату: получение сравнительно простых расчетных выражений возможно только при идеализации воздушных линий электропередачи. Несмотря на то, что аналитический подход к определению продольных и поперечных параметров ВЛ реализует не строгую постановку полевой задачи, результаты расчетов с его применением используются для верификации и оценки погрешности предложенной методики численного решения рассматриваемой задачи путем сравнения результатов решения, полученных двумя способами, для простейших случаев конфигурации проводников линии электропередачи.

В диссертационной работе научно обосновано, что в качестве рассчитываемой характеристики магнитного поля для последующего определения собственных и взаимных индуктивных параметров проводов ВЛ наиболее целесообразно принять векторный магнитный потенциал, а также использовать скалярный электрический потенциал как рассчитываемый параметр для вычисления собственных и взаимных емкостей проводников линии электропередачи. Было показано, что наиболее простым для программной реализации и удобным для моделирования поверхностей проводов и земли является использование конечных элементов тетраэдальной формы при линейной аппроксимации распределения рассчитываемых потенциалов по их объему. Для такой постановки задачи с помощью метода Галеркина из дифференциальных уравнений, описывающих векторный магнитный и скалярный электрический потенциалы, были аналитически получены выражения для расчета коэффициентов матриц систем линейных алгебраических уравнений, записанных относительно узловых значений искомых потенциалов.

Разработанная методика определения элементов матрицы Ъ собственных и взаимных сопротивлений основана на вычислении среднего тока, получаемого относительно значений проекций на оси координат векторного магнитного потенциала в узловых точках, лежащих внутри и на поверхности проводников. Для определения поперечных параметров - собственных и взаимных емкостей проводов ВЛ также была предложена методика, использующая в качестве исходных данных результаты конечно-элементного расчета узловых значений скалярного электрического потенциала. Поскольку предложенные методики реализуют численный метод конечных элементов, для расчета характеристик электрического и магнитного полей, индуктивности и емкости проводов ВЛ могут быть вычислены при абсолютно строгой постановке геометрических условий задачи.

В работе исследована проблема разбиения расчетной области на конечные элементы как наиболее трудоемкий этап программной реализации. Сравнительным анализом существующих методик получения трехмерной триангуляции показано, что при решении задачи для объектов (в частности для проводов ВЛ), у которых соотношение основных геометрических размеров оставляет несколько порядков, наиболее целесообразно использование метода тиражируемых сечений. При этом была предложена оригинальная модификация данного метода, учитывающая геометрические особенности рассматриваемой задачи.

Разработанные в диссертационной работе алгоритмы дискретизации расчетной области на конечные элементы, формирования систем линейных уравнений МКЭ относительно узловых значений потенциалов электрического и магнитного полей, определения продольных и поперечных параметров ВЛ были программно реализованы в виде проблемно-ориентированного расчетного комплекса БоАСР. Исследование влияния различных факторов на погрешность численного определения электрических характеристик воздушных линий электропередачи показало, что наиболее существенное значение для величины погрешности расчета имеет задаваемый размер расчетной области и число узловых точек, расположенных в ней, в то время как взаимное расположение проводников и высота их прохождения над поверхностью сказывается в незначительной степени.

Выполненное сравнение разработанного программного комплекса по величине вычислительных и пользовательских временных затрат, а также по значению погрешности вычислений с промышленной конечно-элементной расчетной системой АШУБ показало превосходство проблемно-ориентированного программного обеспечения БоАСР по всем указанным критериям при решении специальной задачи расчета погонных параметров ВЛ.

Апробация разработанной методики определения электрических параметров ЛЭП была выполнена при проведении расчетов наведенного напряжения на отключенных ВЛ, находящихся в зоне действия линий электропередачи, остающихся в работе. Достоверность полученных в диссертации результатов расчетных исследований и выводов подтверждается хорошей сходимостью с результатами натурных экспериментов по измерению наведенных напряжений на ЛЭП 220 кВ и 500 кВ (ОЭС Центра и Норильской энергосистемы).

1. Wave propagation in overhead wires with ground return Electronic resource. / J. R. Carson // Bell system technical journal. 1926. V. 5. № 4. P. 539 554. Access mode: http://bstj.bell-labs.com/BSTJ/imagesA^ol05/bstj5-4-539.pdf.

2. Погрешность расчета взаимоиндукции между проводами воздушных линий Текст. / A.B. Бессолицын, В.А. Попов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2008. № 4. С. 14-16.

3. Анализ методов расчета сопротивления взаимоиндукции между проводами воздушных линий Текст. / A.B. Бессолицын, В.А. Попов // Вятский научный сборник. 2008. Киров. С. 16 21.

4. Основы теории волнового поля линий передач Текст. / Г.А. Гринберг, Б.Э. Бонштедт // Журнал теоретической физики. 1954. Т. 24. Вып. 1. С. 67 95.

5. Зоммерфельд, А. Электродинамика Текст. / А. Зоммерфельд. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1954. 501 с.

6. Костенко, М.В. Взаимные сопротивления между воздушными линиями с учетом поверхностного эффекта в земле Текст. / М.В. Костенко // Электричество. 1955. №10. С. 29-34.

7. Уточнение теории распространения волн вдоль длинной многопроводной линии в связи с некоторыми техническими вопросами Текст. / Л. С. Перельман // Известия НИИ постоянного тока. 1963. № 10. С. 103 120.

8. Уточненное определение волновых параметров и анализ погрешности решения телеграфных уравнений на примере двухпроводной линии электропередачи Текст. / Ф. Г. Кайданов, М. В. Костенко, Л. С. Перельман // Электричество. 1965. №3. С. 15-21.

9. Методы расчета магнитного влияния между электрическими цепями с учетом конечной проводимости земли Текст. / В. И. Глушко // Электричество. 1986. № З.С.6-18.

10. Уточненная математическая модель поверхностного эффекта в многослойной земле Текст. / В. Г. Гольдштейн, Н. В. Саудова, А. К. Танаев // Вестник

11. Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. 2003. Вып. 19. С. 129 134.

12. Методика определения эквивалентной удельной проводимости земли Текст. / В. У. Костиков // Научные труды Томского электромеханического института инженеров железнодорожного транспорта. 1953. Т. 19. С. 134 -151.

13. Эквивалентное сопротивление горизонтально-слоистой земли в расчетах влияния BJI на линии связи Текст. / Э. П. Каскевич, Г. Г. Пучков // Электрические характеристики земли и заземлителей. Новосибирск, 1976. Вып. 33. С. 48 — 54.

14. Беленький, Н. М. Исследование влияния земли на собственные и взаимные параметры волновых каналов воздушных линий электропередач Текст. : дис. на соискание ученой степени канд. тех. наук / Н. М. Беленький. Омск, 1974. 197 с.

15. Черемисин, В. Т. Исследование собственных и взаимных параметров многопроводных линий в спектре повышенных частот Текст. : дис. на соискание ученой степени канд. тех. наук / В. Т. Черемисин. Омск, 1974. 221 с.

16. Картавцев A.C. Разработка методов определения параметров влияния высоковольтных линий на линейные сооружения связи в районах с многолетнемерз-лыми грунтами Текст.: дис. на соискание ученой степени канд. тех. наук / А. С. Картавцев. М., 1984. 162 с.

17. Приближенный учет влияния «идеально» заземленных тросов при расчете волновых процессов в воздушных линиях Текст. / М. В. Костенко, JI. С. Пе-рельман // Электричество. 1963. № 1. С. 52 54.

18. Параметры воздушных линий электропередачи компактной конструкции Текст. / Г. Н. Александров, Г. А. Евдокунин, Г. В. Подпоркин // Электричество. 1982. №4. С. 10-17.

19. Распространение волн по многопроводным линиям электропередачи с периодическими неоднородностями Текст. / JI. С. Перельман // Электричество. 1971. №7. С. 44-48.

20. Влияние провисания проводов на распространение волн вдоль линии электропередачи Текст. / JI. С. Перельман // Электричество. 1968. № 2. С. 13 17.

21. Демирчян, К. С. Машинные расчеты электромагнитных полей Текст. / К.С. Демирчян, B.JI. Чечурин. М.: Высшая школа. 1986.240 с.

22. Определение первичных продольных параметров воздушных и подземных линий электропередачи на основе расчета электромагнитного поля Текст. / М. В. Булатников [и др.] // Электричество. 2006. № 5. С. 17 24.

23. Методические вопросы расчета зависимости продольных параметров кабельных линий от частоты Текст. / А. Ф. Дьяков [и др.] // Вестник МЭИ. 2003. №4. С. 17-24.

24. Каплун, А. Б. ANSYS в руках инженера Текст. / А. Б. Каплун, Е. М. Морозов, М. А. Олферьева. М.: Едиториал УРСС. 2003. 272 с.

25. ANSYS, Inc. Theory reference. ANSYS release 9.0.002114 Electronic resource. Access mode: http://ansys.com.

26. AC/DC Module User's Guide Electronic resource. Access mode: http://www.comsol.com.

27. Ansoft Maxwell 3D Field Simulator vll User's Guide Electronic resource. http://www.ansoft.com.

28. ELCUT — инженерная система моделирования двумерных физических полей Текст. / G. Дубицкий, В. Поднос // CADmaster. 2001. № 1. С. 17 21.

29. Бессонов, JI.A. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле Текст. / JI. А. Бессонов. М.: Гардарики. 2001. 317 с.

30. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Текст.: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. М.: Физматлит. 2001.

31. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров Текст. / А. Анго. М.: Наука. 1964. 772 с.

32. Бугров, Я. С. Высшая математика Текст. : в 3 ч. 4.2. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М.: Дрофа. 2004. 512 с.

33. Теоретические основы электротехники Текст. : в 3 т. Т. 3 / К. С. Демирчян [и др.]. СПб.: Питер. 2004. 377 с.

34. Костенко, М. В. Волновые процессы и электрические.помехи в многопроводных линиях высокого напряжения Текст. / М. В. Костенко, JI. С. Перель-ман, Ю. П. Шкарин. М.: Энергия. 1973. 272 с.

35. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции Текст. : функции Бесселя, функции парраболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука. 1966. 295 с.

36. Расчет напряженности магнитного поля воздушной линии электропередачи методом конечных элементов Текст. / A.B. Бессолицын // Всероссийская научно-техническая конференция «Общество наука - инновации». Сборник материалов. 2010. Киров. Т. 2. С. 338 - 342.

37. Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов Текст. / JI. Сегер-линд. М. Мир.1979. 392 с.

38. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов Текст. / Д. Норри, Ж. Фриз. М. Мир. 1981. 304 с.

39. Разработка методики численного расчета продольных параметров воздушной линии на основе трехмерной краевой задачи Текст. / A.B. Бессолицын, O.A. Новоселова, М.Г. Попов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 2. С. 50 55.

40. Численная методика определения продольных параметров воздушной линии электропередачи Текст. / A.B. Бессолицын // Всероссийская научно-техническая конференция «Общество наука - инновации». Сборник материалов. 2010. Киров. Т. 2. С. 342 - 346.

41. Иванов, И. А. Конечно-элементное моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях с сильно разномасштабной геометрией Текст. : дис. на соискание ученой степени канд. тех. наук / И. А. Иванов. Новосибирск, 2005. 182 с.

42. Скворцов A.B. Триангуляция Делоне и ее применение Текст. / А. В. Скворцов. Томск. Изд-во Томского университета. 2002. 128 с.

43. Frykesting, J. Advancing front mesh generation techniques with application to the finite element method Electronic resource. / J. Frykesting .1994. Goteborg. 197 p. Access mode: http://www.dissertations.se/dissertation/10c04b6761/.

44. Михайлов, M. И. Электромагнитные влияния на сооружения связи Текст. / М. И. Михайлов, Л. Д. Разумов, С. А. Соколов. М. Связь. 1976. 264 с.

45. Измерение и расчет наведенного напряжения на отключенной ВЛ 500 кВ Текст. / В. А. Попов, Р. В. Медов, А. В. Бессолицын // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2008. № 4. С. 27 28.

46. О безопасности персонала при работах на отключенных ВЛ 35-220 кВ, находящихся под наведенным напряжением Текст. / И. Г. Барг, А. В. Бессолицын // Энергетик. 2008. № 5. С. 23 27.

47. Анализ некоторых факторов, влияющих на наведенное напряжение при ремонте воздушных линий Текст. / А.В. Бессолицын, Р.В. Медов, В.А. Попов //

48. Международная научно-практическая конференция «Энергетика сегодня и завтра». Сборник трудов. 2004. Киров. С. 17 20.