автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Основы синтеза специализированных вычислителей динамических задач нелинейного программирования

ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИИКЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АРМЕНИИ

г, 5 Ом

На правах рукописи

Симонян Саргис Оганэсович

• ОСНОВЫ СИНТЕЗА СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ВЬГШСЛИТЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Специальности:

; 05.13.05 - Элемен+ы и устройства вычислительной техники и систем управления 05.$3.16 - Применение вычислительной техники, ; математического моделирования- и математических методов в научных исследованиях {промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ереван - 1993

Работа выполнена в Государственном инженерном университете Армении

Научные KOf сультанты:

Академик АН Украины, доктор технических наук, профессор

ПУХОВ Г.Е.

_ доктор технических наук, профессор

ГРЕЗДОВ Г.И.

Официальные оппоненты:

Член- корр. IIAH Армении, доктор физико-математических наук, профессор

НЕРСИСЯН А,Б.

доктор технических наук, профессор

НАЛЧАДНЯН Т.А.

доктор технических наук, профессор

МАТЕВОСЯН П.А.

Ведущая организация - Институт проблем информатики" и автоматизации HAH РА и ЕрГУ .

: Защита состоится «OKT-é fij 1993г. в 14 час. на заседании Специализированного Совета Д 055.03.01 при Государственном инженерном университете Армении по адресу: 375009, г. Ереван, ул. Теряна, 105.

С диссертацией мо:кно ознакомиться в библиотеке ; университета.

Автореферат разослан frÉl^C'vrt- 1993г.

Ученый секретарь 'специализированного совета .

к. т. н., доцент ¿q /Адаемпн Э. X. /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание современных средств аналоговой и йридноя электронной вычислительной техники является одним из ггоз развития математического маииностроения, направленного на юроииюо решение важнейших задач народного хозяйства. Такими Завами, в частности, являются задачи оптимизации и управления, ¡и необходимости решения этих задач в реальном и ускоренном вре->ни использование универсальных средств вьгаисдитольноа техники сто оказываотся поцплосообразпым, а июгда и невозможным, что 1ИВ0ДКТ к необходимости создания специализированных устройств числительной техники. В последнее время особое внимание уделя-сл разработке и создан/а как собственно споциэ,.визированных вы-слителез, ориентированных на решение конкретных задач, так ж одств, сущ.'зстбонно повьвйкдозлх оффэстквность совместного исполь-взния универсальных ЭЬМ и социализированных устройств.

В различных областях научных - и практических исследования сто встречаются динамические задачи нелинейного программкрова-я (ЙЛП), охватывающие в качестве частных задач система автоиом-х и неавтономных конечных уравнении, неравенств, задачи нопре-зного и дискретного математического программирования (МП), скс-vtu канонических и неканонических дифференциальных уравнения, тамические экстремальные задачи, вариационные задачи, задачи гимального управления и др. Они являются подзадачами общих за-1 оптимизации и управления и представляют значительный самосто-эльния интерес. Актуальными проблемами при атом являются: соз-!ие простых оффэктишых средств. математического моделирования и подлито льно й техники, основанных на едином формализованном под- _ ?э, обеспечдззтдем высокую степень- универсальности и порестраи-¡мости этих средств при решении отмеченных классов задач; соз-гко параллельных .методов математического ноделиравапия, орион-юванных ка их использование в высокопроизводительных средствах жлитолькоя техники: развигие нсвых архитектурных концепция с :ыо создания эффективных средств обработки информации, обладаю-предельно достижимыми характеристиками по быстродействию,■ ности, надежности и пр. _

Академиком АН Украины Г.Е. Пуховым и его учениками . Евдокимовым, В.В'. Васильевым, Г.И. Трездовым и др. разраба-аются гибридные вычислители для использования их в специалпзи-

рованных устройствах, обеспечивающие высокую скорость и необходи мую точность вычислении. Они объединяют основные преимуществ аналоговых и цифровых вычислительных устройств. Успешно разраба тывэются также средства моделирования на основе нового аппарат операционных методов - дифференциально-тейлоровских (ДТ-) преоб разевания, предложенных и всесторонне исследованных Г.Е. Пуховым

Целью диссертационной работы являются:

- разработка и исследование новых математических моделей,ал горитмов, машинных црограмм, структурных схем, а также синтез н их основе специализированных вычислэтелей с "быстрым" .градиентны и субградиэнтным дифференциальным' поиском решении данамисески задач НЛП в реальном и ускоренном времени;

- разработка и исследование новых дифференциально-тейлоров ских математических моделей, алгоритмов и машинных программ на и основе, обладающих максимальной степенью декомпозиции и агрэгиро вания переменных отмеченных классов задач, ориентированных на ис пользование з традиционных и параллельных системах обработки ин формации и служащих базой дая разработки новых эффективных спе циализироьанных вычислителей.

Метода исследования •. Решение' перечисленных задач осуществ лено на основе использования: теории конечных задач,дафференциаль ных уравнений, математического программирования,вариационного ис числения, оптимального управления, ДТ-преобразоваиии; численны методов алгебры, отимизацил, параллельных вычислений; методов ма шинного моделирования и структурного программирования аппарптны средств; теории и практики гибрадных экстремальных моделей и др

Научная новизна работы заключается в следующем:

- развиты существующие и разработаны новые методы мэтемати ческого моделирования динамических задач НЛП, основанные на еди ном формализованном подходе использования'" быстрых " градиентны и суб-'радаэнтных дифференциальных схем,обладающих простотой реа .яизации и высокой вычислительной эффективностью, предоставлявши получение отмеченных классов задач.в реальном и ускоренном вре мок:: .

- разработаны' теоретические основы новых методов матемэтиче ского моделирования динамических задач НЛП, базируюшдхся на одно мирных ДГ-преобргзовэниях и ориентированных на их эффективное ис по льзование как 'в традиционных, так и в параллельных системах об работки информации, а также служащих основой для разработки новы специализированных вычислителей;

- разработаны численные алгоритмы на основе предложенных ма-ематических моделей; обоснована локальная,.а в ряде случаев и лобальная сходимость вычислительных процедур; на основе машинно-о моделирования модельных примеров и практических задач показана ффективность алгоритмов при простых способах выбора ряда их вы-ислиталышх параметров и выявлены возможные, затруднения, . встр}-аемые при их использовании; даны общие практические рекомендации о преодолению этих трудностей;

- разработаны структуры аналоговых и гибридных вычислитель-а1х сетей гибридных и алигативных экстремальных моделей и синте-ированы специализированные вычислители, характеризующиеся мини-эльным объемом аппаратурных затрат и временем поиска решения, и риентированные на их использование в специализированных вычисли-эльных устройствах и системах с целые управления движущимися Зъекгами и быстропротекающими процессами в реальном времени.

Практическая ценность:

- разработанные и экспериментально исследованные средства, эзирующиеся на "быстрых" градиентных и субграджнтных дифферен-лальных структурах, были использованы при создании бортовых сго-лализированных гибридных вычислительных устройств с ьысокими эхн ико-экономичесними пока зателями;

- разработанные математические модели, алгоритмы, машинные эограммц и соответствующие методики их использования сбесгочивэ-г оперативное решение широкого круга задач, представляющих зна-«гельныя самостоятельный интерес.

Реализация результатов работы. Результаты теоретических и сспериментальпых исследований, полученные при выполнении • -ряда зздоговорных тем НИР, заключенных межд/ ИПМЭ АН Украины (г.Киев) ЕрШ (ныне ГИУА - г. Ереван) в течение 1980-19Р0 гг. в рамках »м " Модуль -С " (гос. регистр, »а 81040392), "'Лигатив - УН "и Градиент " (" Разработать теорию алигативного моделирования и »тодов синтеза на .ее основе гибридных вычислительных систем ¡ерхвысокого быстродействия выполненной по Постановлению Про-щиума АН Укоаины от 27.12.85 ), а также в рамках целевой компасной научно-технической программы 0.Ц.026 - "Автоматизация уп-шления технологическими, процессами, производствами, машинами, 'анками, оборудованием с применением мши- и микроэвм " соглэс-) договору о социалистическом содружестве -между теми же органи-щиями от 28.03.84 на период 01.04.84 - 31.12.88,- в настоящее

время внедрены и используются:

- в отделе N2 22 ОГМУСЭ ИПМЭ АН Украины;

- на кафедре " Информатика и управление " ГИУА при обученш бакалавров, магистров и аспирантов по специальности "Информационные технологии ".

Апробация работы. Основные положения,теоретические и практический результаты исследований, по теме диссертации доложены к обсуждены на: Всесоюзной научно-технической конференции "Твери* систем и разработка АСУ" (г. Дилижан, 1979 г.); Всесоюзной конференции "Оптимальное управление в механических системах" (г. Киев 1979 г.); Второй Республиканской научно-технической конференцга "Новые достижения в области'приборостроения" (г.Дилижан,1982 г.); Всесоюзной конференции по автоматизации систем управления (г.Ереван, 1984 г.); Всесоюзной научно-технической конференции "Моделирование -85 " (г.Киев, 1985 1.); Второй Республиканской научно-техкическоа конференции " Современные системы автоматического управления и их элементная база" (г.Ереван, 1986 г.); Второй Всесоюзной конференции гю актуальным проблемам информатики и вычислительной техники " Информатика -87 " (г. Ереван, 1987 г.); Третьей Васпусшканскоа хюкферонции " Новые достижения в области приборостроения " (г. Ереван, 1937 г.); Республиканской научно - техническое конференции " Приборы к- системы управления " (г. Ереван, 1989 г.); Гйр^ор, второй, третьей сколах-семинарах " Дифференциальные преобразования и ж приложения " (г. »итокир, 1985 г., 1^87 г.; г. Киэв, 1986 г.); научных семинарах Отдела гибрадаогс-моделирования экстремальных задач ИП7--1Э АН Украины (г. Киев, 19781991 гг.); ояегодных научко-ткшетескюс конференциях профессорскс преподавательского состава ГйУА (г.Ереван, 1979-1991 гг.), а также на научных семинарах кафедр "Автоматизированные системы управления " (19^8-1987 гг.) и." Информатика к управление " (1987-1993 гг.), Оки легли также в основу кчщидзтпких диссертация, студенчески научно-исследовательских работ и задание на дипломное про-чяспфованкэ »составили разделы прочитанных автором в период с 1978 то 1993 гг. курсов лекииз по дисциплинам ".Теоритеческие основы язтоматизированного управления", " Моделирование систем ", " Сис-••шек? анализ и исследование операций", " Теория систем и ее прк-", " Прикладная теория вычислительных методов ", " Вкчис-/•; комплексы автоматизированных систем " и др.

Публикации. lio tonto диссертации опубликовано 4í> работ, n той шел» 14 работ Ооз соавторов, получены 2 авторски* аниюто^ьа»i i изданы ?, учебных пособия. Во Нсесоюапои ипучио-тоятачосют* mt-(¡ормзщюшюм штро аарогиотрировлш 7 отчетов о паучпо-ислкуя) -уггальсчих работах, связанных с томоп диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из нподопял. 3-й глав, заключения, пшена литературы, состоящего из УЗД ияи-«мованшг. а тзкш 4 приютит, основной толст содержит 342 зтраниц. количество рисунков - Ш, количество таблиц - ви. Общип хЗьем работы составляет ЬЬЗ страниц машинописного текста ( порвал шита 447 стр., вторая - IOS стр.).

КРАТКОЕ СОДЕНШЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, нзло-ионы основные изучило результаты, выносимые на защиту, и краткое задержание отдельных глав диссертации.

В гярвои главе исследуются ди;амическда задачи ШШ, в' н-ш-Золэо общем случ;ю описывающиеся математической моделью

МСЧ - ,'), и- !>

хсо

'Р/ХСО.О <l-¿>

ACt) s 'р/ХСО,0 О , (1.3)

■ ХСО + p4íXCt),t) - И , л <1.4)

где: ХСО Сх,СО x/Oix^jfO,----хпС 0)т --« ТС '-) |ХТС 0)т-

зогстор.искомых переменных; ft<.XCt),o - заданная скалчрная функ-дия (или функционал ) многих переменных, для :соторои(го) требует-зя определить ивфимум ( значение или экстремаль критерии качества ИСО) по компонентам подвектора хсО; vjLKО,о = С<Р;ПСХС0,0,

.....<p.,:ifX( О, Of - воктор ограничиваюцих условия в виде конечных

равенств; <р/ХС0,0 --Ср-,/ХСО, О.....^ СХС'О,вектор ограничивающих пэрзллелепипадныг. условия в виде двусторонних слабых неравенств с вектора,™ границ ACO = (.^(t),... ,д со>т и ВС О -- сьгсц,... ,i> 0-»\ его изменения; р/ХСО, 0--ер41СХСО, Ч,..., р.,г(ХС О. '-))т - воктор правых частой, обуславливают« двииэние системы дифференциальных уравнения (1.4) в допустимой области, заданной условиями (1.2), (1,3); г s п - некоторая величина, рбуславливающая порядок системы диффер шциальных уравнений ( «л | л, р j п.- т | р ) (в даяьиеишм в каждой конкретной задаче

будет предполагаться гладкость необходимого порядка по компонентам воютра ХСО всех функции, входящих в математическую модель (1.1Ы1.4) ).

Анализируются основные достоинства и недостатки аналоговых i цифровых вычислительных машин, гибридных вычислительных систем i комплексов, обосновывается необходимость.использования спецчали-зированных вычислителей гибридного типа, обладающих основными достоинствами ' АВМ (быстродействием параллельно работающих элементов > и ЦВМ ( высокой точностью вычислений и алгоритмичностью)." I свете решаемых в диссертационной работе задач обосновывается целесообразность разработки аналоговых и гибридных моделей с цифровым ' управлением и логикой, среда которых особую группу составляют алигэтивные гибридные экстремальные модели, синтезируемые путем равномерной внутренней гибридизации способов представления v средств переработки шформацга. Отличительной чертой таких моделей является гибридизация на самом нижнем уровне операций алгоритма решении, позволяющая достичь наиболее органичного сочетания двух способов обработки информации и высокой эффективности специализации вычислителей для решния задач моделирования и управления в реальном времени. Кроме того, благодаря принципам.структурного программирования, использования проблемных вычислительных модулей, апгоратно реэль.зуюида решения отдельных подзадач исходник задачи, и эффективности заложенного метода решения ( обычно методов спуска ) .достигается функциональная гибкость алигативкых модолэй, расширение их алгоритмических "способностей", -развитие элементной базы и др.

Алгоритмы минимизации типа координатного спуска являются одним из распространенных методов поиска в гибридных моделях. Они обладают простотой реализации вычислительных операций при' соответствующем выборе вспомогательной функции и высокой скоростью поиска независимо от нелинейности задачи и расстояния исходной точки от минимума. Однако, наряду с этими достоинствами, покоординатный спуск имеет ряд существенных недостатков: не предоставляет возможность длительного точного интегрирования; на полученное [ющение налагаются пробные воздействия, воспринимаемые пользователем как шум и др. Использование в гибридных моделях в качестве метода поиска решения градиента или субгрздиенткых методов счускэ позволяет: обеспечивать высокую скорость и устойчивость нахождения более точных решении; ликвидировать пробные воз-

- 9 -

¡еяствия, либо сделать га регулярными с последующей их фильтрация и др.

Рассматриваются характеристики дифференциального спуска и особенности вычислительных схем. Особое внимание уделяется вопро-:у учета ограничений вида односторонних слабых неравенств: анализируются основные подходы, и в свете задач диссертации показч-1эется целесообразность использования преобразования закрытых об-[астея в открытые путем применения негладких функции типа ЭС'рШ):

фСХ) * 0 *+ + ¡<£Ш| - БС<рСт ' и, (1-5)

е увеличивающих размерность задачи и позволнпцих сводить такке-ювские задачи к лагранжевым, однако порождают!« необходимость рименения специального аппарата недиффарешщрувмоя оптимизации, аметим, что (1.5) обладает обобщенным градиентом, задаваемым тожеством

-^СФШ)-«: £ 6 [ . II. Ь)

Показано также, что использование одностороннего и двуст-)-оннего функциональных прерывателей и мгновенного функционального рерывателя первого порядка Герсеванов^ для вычисления производ-ых кусочно-гладкой функищ (1.5) приводит к некоторому соотноше-ию, являющемуся цсданошством множества (1.8).

Нроцеден. анализ работ, посвященных: операционному методу ,Т-преобразования.

оо , . .К *СО = Е [-д~]«ХСЮ. (1.7)

ик

хсю =

Лсо

£: = И

ри этом выделены три основных направления исследовании: развитие еорвтических "основ -преобразования: разработка высокопроизво-итадьных вычислительных систем иа их основе: исследования по риклздным аспецгам их применения для решения различных практи-еских задач.

Кз основе проведенного анализа обосновано, что: - универсальными и наиболее эффективными для моделирования азличных динамических задач НЛ1 и их частных подзадач средствам^ методы, алгоритмы, машинные программы, специализированные вычис-ители), основанными на едином формализованном подходе и обладаю-ими простотой их реализации, являются средства, функционирующие о принципу " быстрого " градиентного и субградиентного дифс^рон-иалыюго спуска. Для оперативного получения результатов модели-ования и управления быстропротекающими процессами .в реальном и

- 10 -

уско|хмшом Б1ШШЙИ наиоолво подходящими являются гиоридоив и.али-гаишлио экстремальные модели;

- из-за простых правил алгоораизации задач, использования алгебраических сверток вместо интегральных, формализованного гк?— ¡»хода из ооллоти оригиналов в область изображений и обратного перехода на основе лростойшеа операции суммирования, минимальных затрат по программированию и др. положительных свойств для указанных целей весьма эффективными могут оказаться ДГ-прообразова-ния, " органически " приспособленные для решения задач, описывающиеся динамическими соотношениями. В то ж© время вопроси использования ДХ-преобрэзоззния для исследования таких ватных задач математического моделирования, какими являются системы конечных Уравнения, различные классы ьадач математического программирования иш динамические экстремальные задачи, содержание как- конечные, так и динамические соотнешенин и др., почти не исследованы. :2ало исследованы, также их ьозмошости для решения, вариационных •*адач, задач оптимального управления и др.

Изложенное позволило обосновать актуальность темы исследования, сформулировать ео" цели и основные задачи.

Во второй главе предложены непрерывные и квазилинейные математические модели с " быстрым " градиентным (ШБГ'ДС, КЛМВГДС) и Оубградиэнтным (НМВСГДС, КЛМБСГДС) дифференциальным спуском, а также правые конечно-разностные эквиваленты (ГШРЭ) квазилинейных моделей.

Для моделирования автономных систем коночных уравнений

где £ = X .....х,/:'

а) рассмотрена модель, с " быстрым " доМаренциальным спуском:

*СО = - Кх'/тСХС О^'ДХСОЗ, ип =7, ''

основанная на. использовании квадратичной штрафной функции ГСХ), = ^-5. ГТСХ)*К-<»ЯХ) и еа минимизации:

-; -предложена квазилинейная модель БДГС счк~>:

■ = х„ - ? , хкао 7,

где: Хк- координаты фиксируемого центра к-го подпространства мима нелия церемонных Х;Д>:лСО - устанавипшееся .значение вектора приращения искомых переменных на этом подпространстве; к и кДг - диа-гонгмькые матрицы порядка г, с достаточно оолшики величинами ( матрицы килИмциенюв отрабатывающих .усилите..пай ), обоепечи-

- II -

ающими быстрое установление переходных процессов.

Предложены также:

- алгоритмическая дифференциальная модель, основанная на ис~ эльзовании уравнения Коти (применительно к модели (2.2)). В ре-ультате этого система ДХ) о на к - ом шаге итерационных проце-ур представляется по.лностью расцепленной, эквивалентной с точ-эстью до линейной аппроксимации однопараметрической системой ко-эчных уравнений дх^СО) и о •-- и. Минимизация многоэкстре-эльноа квадратичной формы Г(Хк,ДХкСО) = (^(О, гк(О) по неиз-эстному параметру I приводит к значениям Дх/ь'э = лх*, к приближению ХА.+_г, а повторение описанного процесса-к новому жОлижению и т.д. Модель обладает возможностью распараллеливания .[числительных процессов и организации параллельных вычислитель-га процедур по одновременному определению некоторого множества шений (если, конечно,они существуют);

- параллельная градиентная дифференциальная модель, основан-|я на жордановой даагонализации эквивалентного неоднозначною фмалыгаго линейного представления

£00 = V ** АСХ) «X - ¿О.) = 1, (в: АСХ) « П - некоторая функциональная матрица порядка п; п-|СКонечное множество таких возможных матриц: ьоо - функциональ-:я вектор правых частей. В результате этого имеем:

X -О^СХ)'« ,'КЙ = НадСс/^т.....

а 'сх> _

^/Х) ------,1 = 1,п , (2.а

_______ь'Ч^'сю -

е:( е - л-мерный единичный векторТа]"--1'«) - элементы функцио-льных матриц Т1)па АГ;1,(Х> порядка ^ на л^ - ом шаге процедуры-рдановоя диагонализации.

Рассмотрена одна из наиболее распространенных рекуррентных эм - вычислительный метод последовательной верхней релаксации именительно к (2.4):

э: ш - параметр релаксации. Доказано, что необходимее условие' эдимости процедуры последовательной верхней релаксации- ( уело-э Кахана: ш е (0,2) ) для схемы (2.5) является также достаточ-д условием. Скорость сходимости зависит от выбора значения па-летра ш, и она < теоретически ) тем больше, чем ш ближе к 1. С

учетом (2.4) предложены:

- непрерывная модель БГДО:

к Х»схс о , хсю =? ; <*.о.

- квазилинейная модель БГДС с:

Л*АСО = - хк - + О (У<1 СХдЗ.ДХ^С«)] ,

где «хрч^схр....."„„«„»Т.

= 7<х.р - якобиан порядка п

вектора сто'в точке а знак " о " указывает на покомпонентное произведение двух п - мерных векторов.

Предложены также параллельные градиентные дифференциальные модели для определения действительных корней алгебраических многочленов .

Р(х) - а^-х + ••• +ал«х + ал+1 = " <2-°>

с действительными коэффициентами 1=1,1+1 .

С учетом основной теоремы алгебры многочленов об п корнях X - Су.... ,к„) /л порождается система

АСХ>Х = -ап+1'е ,

где АСХ) - функциональнал матрица порядка п с элементами вида о±-|(Х) -- Представленная выше схема жордзновой диа-

гонализации применительно к системе (2.9) приводит к расщепленной

итерационной процедуре

. ,,п "п+2 .„(к). , п (к>.-1 „ .-=- ... ,„,

х- - С—->С 11 х., 3 , *1=1,п., (¿.1а)

1 з а 3

где У/Х), - известные равенства Виета-Жирара, а У^СХ). = .2.

При предположении сильное разделенности корней полинома (2.8) и соблюдении вниз направленной цепочки -

{ и \ 1 • 4 ПЛ.

г- ¡х„ • | начальных пркблженга процедура (2.10) обладает глобаль 1.оя сходимостью.

НМБГДС выглядит так:- •

^ ■ П * '

к,СО = -к •[ х -С (О * С-1)п+1'——'У/ХСОХ Ц х/чГ1] , 1 1 а 2 1 ■ у з

(2.11)

- ?, VI -Ч77Г .

Бекторно-матричное представление последней имеет вид:

*<о =■ -к^схсо-^^'^^хсед], хс*о - ?, (2.12)

ГДО C/СХСЮ) = Сс*дСХ<dfin(XCO)T, причем JltCXC«) -

n aj " _

:С_1у-\ .]] х CQ t i = 1,п .

aitH j^l J

J* i

При рассмотрении КЛМБГДС ( а также П1СРЭ > она сохраняет вид (2.7) с точностью до соотноиечип d± ху,), обладающих симметричным положительно-полуощодолешшм якобианом.

Использование любой из моделей (2.10), (2.11) ми (2.12) при вниз направленной цепочке начальных приближения приводит к корню X = с такой же характеристикой. Нарушение по той

или иной причине этой закономерности при окончательных приложениях -итерантах служит индикатором ошибочности последних. Эффективным контрольным условием правильности полученных приближений (точных решения) служит одновременное выполнение соотношения

а„ г V/50 _

S.со , 2, Vi-i.. . ,3.и>

Для нахождения комплексных корней многочленов вида (2.8) с действительными (или комплексными) коэффициентами необходимо ' путем применения известных преобразований привести их к двум раздельным системам уравнений с двумя векторными неизвестными ( векторы действительных и мнимых частей), а затеи использовать любую из предложенных моделей решения систем конечных уравнений при дальнейшем упорядочении пар компонентов этих векторов.

Для моделирования систем конечных неравенств общего вида ССХ) S Й , где С - CCj,... ,cJT, X = Cxj,... .х,/ , причем n ) т, с учетом (1.5), (1.6) предложены:

- непрерывная модель БСГДС:

*а> -=■-K-jas"acm-ii ,

л - ^

= K;i»SCXCtO) ; Г2-14)

- квазилинейная модель БСГДС cv«:

AÄjtCO - - ,

ßk =' tycscxp + ÖSCXP'AX^«) , (2.15)

xjtu " + Лх*с ° ' xa = ЛХА<<0 = ; •

„де к^- диагональная матрица порядка и с достаточно большими элементами, обеспечивающими быстрое выполнение голономных«. условий SCX(t)) = 0 .

Для моделирования непрерывных .задач математического программирования LCX)—- min , х\ ССХ) s где х - допустимая об-X в х с Е

- 14 -

ласть решении, на основе редукции LOO —♦ min , х\ SCC(X))=f,

X в х С Еп

где х - редуцированная допустимая область, и использования метода квадратичных штрафных функция предложены: - непрерывная модель БСГДС:-.

Xct) =- Kx'[VLCXCt>) + esTCX(t)).ii] , хс ю = ?,

¡1 ' K(i'SCXCt)) .

- квазилинейная модель БСГДС CVO:

Л*АСО - - Кдх«[ 'LCXp «■ ,

цк - ytscxp ♦ «scx^x^oj , ^

L = LCXA5 + 7LTCXp'AX^Ct) .

Наряду с ПКРЭ модели <2.17) предложен такте ее упрощенный вариант прк равных диагональных элементах Kj матрицы КЛхи к, матрицу Кд. При сохранении последних двух соотношений • модели (2.1?) он имеет вид:

<2.111

- ^.[VLCXp'- /fy^C CXp'SGCCX^'CCXp] ,

где - единичная матрица порядка л; 1 - индекс, указывающий на количество линейных отрезков ломаной Эалера на /с-ом подпространстве аппроксимации; ли > 0 - шаг неравномерной сетки на . том те 1

подпространство; SGC(XA) - перестраиваемая индикаторная матркца ограничивающих условие с трехступенчатыми диагональными -элементами sgcjiY.jP - ( ч, если с^схА3 < f; i, если су.х^р -- 4, если с^хр > 0, vj =т;лГ порождающая У" матриц порядка и, з.зависимости от попадания или непопадания текущей точки траектории сгуска к корню на грань некоторой мерности. допустимой области у-. Показанс повышение вычислительной эффективности модели при увеличении количества ограничивающих условия.

Для моделирования дискретных полностью целочисленных задач математического программирования ( задачи МП, при которых имек»г место также допольнительные условия xi е u,±i,±:>r,., ,±<р±-1), vi-i,n , где (p^-i) - наибольшее (наименьшее) возможное целое г-начекио, которое может принимать переменная xi ) путем введения обобщенной производящей функции с-тирлингового типа

, р •»„ RvJV ' USV'XJV - Т. ^ И , (2.19)

t* t r r_. j

- 15 .-

Р-г ' . »

(где (ГС 2р,2г) = 2'Е БСР, iP^r + -J) + 5СР,г).Б С р,г) , причем

3=1 3 <г<р

ЗСя,г) и в"(р,г) -- с-Пр*Г'ЗСр,*-) - коэффициенты' Лтщшшга первого рода или числа Билла порядка 1), идентифицирующей переменную х з качестве эквивалентной замены структуризованного конечного множества альтернатив, предложены:

- непрерывная модель БСГДС:

ко =- Кх'СЧ_СХСО + ЗСГСХСЬ))'^ , ХСЮ =7.*ГХ , 12.20) 1Я = ЭТ=К0.ОСХСО) = ССКд'ЭСХС ! СКд'й ^СХСВД)Т)Т ;

- квазилинейная модель БСГДС <ук>:

к

ак "2Рк

К^СБСХр + ^БСХР'ЛХ^СОЗ

12. Л)

Хк+1 = ХЛг + = ? * * .V40 '

1_схк+1> = 1-Схр + ^тсхр-дх*со .

Частично целочисленные задачи легко вписываются б схемы 2.20), (2.21). В эти ю схемы легко вписываются и бивалентные ;адачи математического программирования. Используя структурные особенности последних, предложены также соответствующие ШБСГДС и 1ЛМБСГДС на основе использования системы агрегирующих ограничения

СС032пх^'е - п = В , ■ - - т ">21

X «СХ-- е5 '

где соя2пХ = Ссоз2пхл,.. ,,соз2пх^т), вдентифицируюцвя п-мерный _ улевый вектор х,в качестве эквивалентной замены. Предложены так-е непрерывная и квазилинейная модели БСГДС псэвдобулевых задач атематичеокого программироваения о использованием истинных выс-азываний булевой алгебры, а такие их агрегированные эквиваленты, снованные на системе агрегирующих ограничении:

С со£71Х)т • ссет. х + л = и ,

ХТ.Х +_х т»х - Л = И , <2.23)

СХТ + X Т5»е - л - 0 ,

це X - Сх... ,>ГЛ5Т - вектор инверсных переменных.

. Рассмотрены системы ноканопичёских дифференциальных уряв-ЭНИЙ <и1о&т/си = гО), ХС») = Введя обозначение

- 16 -

f1CXCt)) = uct) и используя метод квадратичных штрафных функций, разработаны:

- непрерывная модель БГДС:

*(t) = - K^.vf^cXCtJVfi , ХС°) = fix,

ft = K^C^CXCt)) - UCO), (2.24j

Oct) = f2cxct)j, uco) = .ixcxw) = fix;

- квазилинейная модель БГДС (Vk>;

- - KAx-^Ixcxk>.fik . "k - V< W + - uk) , (2 25]

AOkCt) = VV + W2>:CXk),AXkCt) '

Xk+1 = Xk + ЛХ*СО, X0 = XC°) = fix , ЛХкС») = ?,

Ц-.-и = uk + ^k^5» = UCO) = fix . ¿UkCO) = ?.

Рассмотрена также система неканонических дифференциальных уравнений ftX(t),)fct)) = о, хсс>) = fi», ЙОТ = fi>¡. Введя векторное дифференциальное уравнение X(t) = UCO с начальным условием t.K'-'> = Х(<:о - fix, и используя принцип максимума Понтрягина, разработаны:

- непрорывная модель БГДС: Í40 = uct), Х(0> = -г ,

ACt) = -Vf7¡: CX(t),UCt)).ti , Мо) » ? , (2.26)

Oct) = -Ku4Vf^<XCt) ,UCt))-(í + M.t)), UCO) =fi>: , Ц K^-fCXCt),UCt)),

где: >,(t) = cx:ct).....An(t.))T - вектор сопряженных переменных;

Ки - диагональная матрица порядка m с достаточно большими элементами;

- квазилинейная модель БГДС cvk): A*k<t) = AUk<t) + U^ ,

= - ^CXk,Uk)'fík , Л0СО) = ? , AÜkCt) - - КДи'С^иСХк,ик)'/1к + \.Ct)) , (2.27!

JiK = К^>СКХк,ик) + Vfxcxk ,Uk)-AXkCt) + ^CX^U^U^)), Xk+1 = Xk * <Ct), X0 = XCO) = fix , ¿Xk(0) = ?.

Uk+1 = Uk + ^k^' uo = uc°5 = flx» ¿UkCO) = ?.

Рассмотрен также другой путь моделирования неканонической систолы:. используя квадратичную штрафную функцию по рассогласованиям в условиях задачи, разработаны:

- непрерывная модель ЕГДС:

ÜCO = , U(O) = fix . (2.2Я)

¡1 = K(,»fCU<t)) ;

- квазилинейная модель БГДС CVk):

Äökco - - КДи-^<ик>.)'к •

ик = K(1'Cf(Ul;) +- Vfucu(i)"\uk<t)), (2.29)

Uk + 1 = Uk + AU* С О . U0 = U C0> = fix, Aü,.CO) = ?.

1ри использовании этих моделей векторная переменная XCt) вычис-

t

jneTcn в соответствии с выражением XCt) = juct>jt , х<лО = fi« .

о

Рассмотрен наиболее общий класс динамических экстремальных

>адач, описываемый мателатической моделью: LCXCO.UCO) •—»

—> e«tr ; Gcxct),uct)).- cact),uco) i о. Zm =

;ct),uct) 6 Gcxct),uct))

(XCt).UCt)), xct0) = fix. t <= [ t0 = fix.T = ?] , где LCXCt),UCt)) ■ скалярный критерий качества; XCt) = С* tCt),... ,xnCt))T - вектор

:еизвестиых переменных состояния; UCt) = cu1ct>.....ur<t))T -

ектор неизвестных управляющих: переменных <г < n); G(xct).uct)) -:вязанная допустимая область решений, задаваемая вектором

:CXCt),UCO) = cc1cxCt).U(t)).....cm(xct),uct)))r ограничивающих

СЛ0ВИЙ (m I n).

Реализация решения задачи состоит из трех этапов. Пзрвыя этап

водится к определению краевого условия cxct0),u*ct0)) на левом

онце фазовой траектории (точнее, к определению начального значе-

ия U*CtQ) ). С этой'целью решается негладкая лагранжева задача

П: LCXCtfl),UCt,.)) —min , SCCCXCt0),UCt,.)) = о . При этом ис-U(t0)

пльзуются модели »аналогичные (2.16) - (2.18) . Второй этап роше-

ия задачи сводится к определению краевого условия с x*CT),U*CT) )

а правом конце фазовой траекторга. С этой целью решается неглад-

ая лагранжева задача МП: LCXCT),UCT)) —► «in ,SCCCXCT),UCT))=

XCT).UCT)

о . При этом также используются модели, аналогичные (2.16) -3.18). На третьем этапе решается задача оптимального управления закрепленными краевыми условиями: Lcxct),uct)) —► extr i

xco.uct) « GCXC*),UCt)) CXCt),UCt)). SCCCXa),.UCt)))=o,)^ct)-fCXCt),UCt)),CXCt0).U*Ct0))-fi«, CXCT),UCT)) = fiM, te[t0= .fix, T=?1 . С ЭТОЙ целью, ИС-эльзуя принцип максимума Понтрягина, разработаны:-

- непрерывная модель БСГДС:

*ct) = fco, XCt0) = fi, х*ст> - fix,

V0Ct) = О, *0ct0> = ?,

;Kt> = -vLxCO4P0Ct> - - aSxCO'JiCt), 4<t05 = ?,

Oct) ** -Ku'CVLuCO'VpCtJ + +-a^CO^Ct». <?.30>

U*Ct0) = fix, ü*CT) = -fix , ;ict) = K^'SCCCOJ,

LCO -► min ,

XCt),ü(t)

где: v0(t) -• екзлярныа множитель, соответствующий критерию качества; >Kt) = c^ct),... ,vnct))T- вектор сопряженных переменных, соответствующий дифференциальному уравнению основных переменных;

/<СО = QixCt?.....)/n<t))T - вектор неопределённых множшелей Лаг-

ранжа, соответствующий голономчому векторному ограничению; со^ cxct),uct»;

- квазилилейная мрдель БСГДС (Vk):

лх, (t) = fCOk + Vfxc*)k.iXkCt3 + 7fu(»)k.AUk(t3,

x0 = xct0j = fi«, xYr: - fi«. Axkct0) = ?,

i'0fcCt5 - О , V(,o<V =

i'kct) = -vLxCOk'V0 et) -vfJ<.?k.$kct)-öSxCOk^iiCt). «V = ?

лО,.со = —кл,,CL|jCok'Vf, со + vf^cok»ivct) + asyc»)'f<kct)),

t k l ' U0= и (t0) = , и CD = fi«, AUkfV = 7• <2-31'

iiko = к • cscok + asxc*>1;«ÄXk(-o + ösLcok-Auk(t)>,

Xk+i = xk + AXkCt), UkH - uk + AU*CO,

LCXCO.UU)) = LC*>b+VLyCO,.'AxitCt>+,'L^COl,-Auict)--* min

k x k k u к I. xk<t^,uk<tj

где 0)K ^ lXk,UK>.

Решение задачи на третьем этапе вычисления сводится к выполни нию трудоёмки-; многовариантных экспериментов по выбору значзний поктооа 'Kt,,), при котором удовлетворяются как краевые условия на ловом и правом концах фазовых траекторий, так и на этих траекториях дчетигаютея оптимальные значения критерий качества в любой мгкент времени на отрезке [ tC),T3 . Время перехода T-t0 обусловлено как расстоянием между краевыми условиями, так и другими характеристиками каждой конкретной задачи.

Гпосмстрен наиболее общий класс автономных изодариметрических

- 19 ■ -

вариационных задач, описываемых системой соотношении:

i = |Lcx(t),i:ct))dt —>.«in , fi<xct),X(t))rtt = d , { XCt),XCt) {

о о

;cxct),^ct)) < о, где 1_СХ(О,ХСО:>-я.цр0 скалярного интегрального

фитерия качества; v<:«t),^ct5)=(ip1cxct5,>':ct)5,... ,<pq(X(0,X(t»T-

ieicrop ядер изопер/метрических ограничения вида равенств; d = • ,... ,dq)r- вектор постоянных правых частей этих ограничений

: я | п ); tQ и tx - заданные величины, обуславливающие начало и одац процесса.

Введя дополыоттельные переменные и уравнения, эта задача ¡ведена к час~ной негладкой лагранжевой задаче оптимального уп--авления: *0—>• min , х ct)=LCXCt),UCO>, х <t )=о, >: ,((- >?;

iWHJCO; ?ct) = (pCXCt).UCt)), Усьр-У(10)=а, SCC(XCt),U(t))3=o,

рш реиениг которой разработаны: - непрерывная модель БСГДС:

*0СО = LCO, VV = xoctP 7»

*Ct) = UCtJ,

= рс о, Y(t0> = о, YCtp = d , V0(t) = o, v0(t0) = Vc,Ctp = const = ?, (2.32)

■kt) = -7Lxc*)'v0ct)-v(pJ(O'A<t)-asJc»)'/i(t>, i<»0) = ?,

X(ty = O, >Ct0> = X(tp = const = ? ,

Oct) = -Ku4VLuCO»i'0Ct)+4'Ct>+v^CO«ACt)+7^CO'/JCt)'>,

ii c<o = k^.sccco);

квазилинейная' модель БСГДО (w.): 0ct) = LCOk+^.x(Ok"iXkCt)+VL^CO«^k<0. x0<t0)=o, x0Cti)=?, *kCt) = U k + AUk<t), Axk:t0) - ?,

kCt) = ipC*)k+v(pxC0k'AX}iCt)+vipuC0k'AUkCt;., Y0Ct0)=o, Y0Ct1)=d. 0Ct5 ' o, v0oCt0> = V0 Ctp = const =.?,

kCt) - vlxC♦)k*if0Ct) - v^cOk^kCt) - 0s]".COk«^Ct), (2.33)

kCt) - O, AkCt ) = > = COn=t = ?, i !

- 'Kau 'cvLu< ok. V0Ct)+ikCt) W^C ok t>9Sl<.\ .jJkCO) , AUkCV =?,

(ct) - Кр»С8С*)к + axSCOk-AXkCt) asuCOk'AUkCt)) , ; + 1CO - xk ♦ AXk*Ct>, :ч1СО = UK » AU*CO.

Рассмотрены математические модели краевых условий вариационных задач (задач оптимального управления), задающие начало и конец движения динамического объекта. Это движение в наиболее общем случае начинается из <п - с*)-мерного подвижного гладкого многообразия M(t0> па левом конце и кончается на гладком <п - р)-ксрном перемещающемся многообразии МС*р на правом конце, причем

а <- п, р < п.

11 моделях (2.32) и (2.33) краевые условия по основным переменным xct) и соответствующим сопряженным переменным 4'(t) 'не указаны ( выбор вектора UCt0> непосредственно зависит от выбора ( или определения ) вектора начальных значений сопряженных переменных "Kt0> )• Это связано с тем, что конкретизация многообразий Mct0) и MCtp порождает различные классы задач с соответствующими краевыми условиями. Используя условия трансверсальности на левом И правом концах оптимальных траекторий, представлены соответствующие математические модели краевых условий.

Рассмотрен достаточно обнда класс задач оптимального управ-

г"1

ления: 1 = LCXCO.UCt» dt-* min , *(t;> = fCXCO.UCO),

{ ÜCt) e GC'>

«CV-V 6 MCt0), (XCtp.tp € MCtp; G^O: C^UCO.t) < o,

2) G.,CO: C2CX(t),uC0,t) < o, 3)' G3CO: C3(XCO,t) < o . Задачи с областями G1C») вписываются в схемы задач с областями G2CO. К. таким задачам сводятся и задачи с областями G3CO примененном Метода редуцированного фазового пространства. Поэтому, как наиболее общий класс задач, рассмотрены задачи с областями G2<*), для |ошения которых путем применения " ограниченного " принципа максимума Понтряггага разработаны:

- непрерывная модель БСГДС: í0ct) •= L(0, x0(t0) " О, x0Ct1) = ?,

= f(0,

rn-14 ' • n+lv O O' n+X X' 1*

í'0(t) = O, ¥>0(t0) = í'ClCt1D = const = ? , (2.34!

vl-Ct) = -?1_хСО«¥0СО - Vf^CO'íCt) - ;

,^-j.Ct) = -VLX <O-V0Ct) - vtj co-l-ct) - ¡>Sx С O./1С O,

n-i-1 rn-1 h<-l

Or.tj = - Ku'CVLuco>f0ct) + vf^co«íct).+ es^co^ct)), iict) = к -seo;

- квазилинейная модель БСГДС с )•'

п + 1 к

х0(*о) - О, х0(1р - ?,

Л*кСО = ПОк+7*х<Ок'ЛХкСО+7Ги(Ок'ЛикС*:;>+7*х со,. 'Лх^СО ,

п + 1 к

дХка0> - ?.

&*п+1<*> Г1' Хп+1^0> " V Хп + 1<* 1> - V ЛХп + 1 /V =

к О к

= О, V (10) = Ч'оС^^ = = ? ,

= -яп_хС*>к • »«0С-ЬЭ - - ЭЗхСОк «^.СО, (2.35)

*п+1СО = £Ок-У0СО ^ £0к.*к(0 - ЭБТХ (0к^к(0.

п+1 п+1 п+1

¿¿КСС> = -КДи.С^иСОк^0СО + 7^СОк-ФкСО + вЗиС0к'?1к(0),

дикс^) - ?.

' ' ' п+1 ■ к

Хк+1СО •= Хк+ ДХ*СО , х _ (о = х + Дх* со ,

Ик+1Ск) = ик(0 4- ЛикС*> .

Все модели (кроме параллельных градиентных моделей) обладаш1 локальной асимптотической устойчивостью, в связи с чем и обуславливают необходимость выполнения многовариантных вычпдлительных процедур с целью выделения глобального решения той ита иной задачи. Общие принципы построения математических моделей других типов задач, также охватываемых задачей (1.1) - (1.4), остаются в силе с точностью - до использов ания соответствующих редуцирующих формализмов.

В работах.. [ 16, 17, 31, 32 ] развит метод детерминантпых сравнений для решения линейных автономных задач оптимального быс-гродэйствия с некомплексными собс пзеншми числами матрицы системы л при фиксированных -и/или частично фиксированных краевых условиях 1 " жестких " мягких " и " смешанных " ограничениях на управ-, яяющив воздействия. Доказаны 0 теорем, псзволяющих получить рсше-шя таких задач алгоритмическим путем в виде точных аналитических соотношений, а также убедиться в оптимальности последних ла осно-39 определенных необходимых, достаточных и контрольных условий. 1оказательства двух из этих теорем (для задач с "жесткими" пгра-шчениями на управляющие воздействия) приведены в диссертации.

Щюдсгапл^ I акже основные характеристики метода детерминантных уравнений м установлены нижние и верхние пределы изменения ис- . полхзуомых при атом функций и постоянных Валентайна,снимающие ряд проблем, связанных с масштабированием перзмонных и имевших важное значеииэ при использовании вычислительных средст» неотрывного дойствея. Все операции метода детерминантных уравнений вписываются в схемы систем коночных уравнений и задач математического программирования, рассмотренные выше.

Т{>этья глава посвящена разработке ди^фэренциально-тейлоровс-ких математических моделей динамических задач НЛП.

Двд моделирования автономных систем конечных уравнений об-

того вида - а О , гдо * = .....*П)Т , X = о^.....«п)т,

а = (а1.....апэт, предложена ,-ифференциалыга-тейлоровская нопря-

мая модель на базе метода наименьших квадратов (ДТ-МНК).

Предположим, что решение системы существует и параметрически зависит от неизвестной переменной т.е. х = х(ь) .

Определение 5.1 . Определенную относительно неизвестных *С»0 систему конечных, уравнений назовем прямореализуемой ДТ-преобразованиями, если каждое слагаемое в уравнениях этой системы непосредственно переводася в область ДТ- изображений с помощью основных операций над тейлоровскими функциями, предусмотренных для коночных соотношений. В противном случае систему назовем прямоне-роализуемой.

Лрямонероализуемая система кх) - а = о своде (ся к прямо-рзализуемой система введением вспомогательных переменных и уравнений: .

^г^.н Э> - ч = - а = о, (3.1)

где: чг=С<р\! <рЪг= ^Рц.....<Р1п! <Р21.....<Р2г/ .причем - ректор,

соответствующий исходной системе, - вектор, соответствующий системе вспомогательных уравнении; 2(т) = схт(т) I ут0"))т = с«1Сг),

:..>.п<т>!У1(т).....УтСтЭ)т;<1 =сьт | ст>т=сь1.....ьп| сх.....с^7

- йовыя вектор свободных членов. у Прямореалкзуекоя системе (3.1) соответствует спектральная

• модель' • ;' • _

<К2СЮ> - '«>ь<ю = 0, К = >,оо , (3.2)

.где ЩУ - ве;сгор дискрет, ]/Ю тейлоровская единица.

Определение 3.?. . Систему (5.2) назовём П(Ю системой, согт-рет<двуацей прямореализуомой системе (3.1).

Для''любой прямореализуемой системы (3.1) ил.лот место слодую-ЩИО ,ути;рздония. .

Георома 3.1 . fl(0) з tpCZCO)) - d = O. a J|(K) - ситски CK'O) являкггсл рекуррентными, линейными относительно компонентов noirm ров дискрет ZCK), алгебраическими системами:

DCZCO).....ZCK-1))-ZCK) = dCZCO),...,ZCK-D). К = 17оо~, сз.з)

DCO - квадрадная патрица порядка п + m .

Георема 3.2 . Взкуррентлые матрицы [)СО инвэриан'лш относи телую номера к вектора дискрет ZCK), т.е. :

DCZCO» = DCZCO),... .ZCK—1» = D\ZCO).....ZCIO), 4 = T^o (3.D

и совпадают с якобианом системы (3.1) при векторе начальных дискрет, т.е.:

DCZCO)) - О*......а ) = v^ziT)) , (3.s)

1 П m ¡ Z С Т> = 2(0)

где i = T7í¡+¡r - j-ый вектор-столбец матрицы DCZCO)).

Теорема 3.3 . Если rangDCZCO)) = n + m, то vk = "TToo рекуррентные системы (3.3) обладают тривиальными решзниями ZCK) s о, VK =Т7оо .

При такой ситуации невозможна организация вычислительных процедур с целью определения решении системы (3.1). Ввиду отсутствия альтернатив при ¡; = t определяется некоторое псевдорошение ZC1)°= = CZC1)T\üT систеуы (3.3) из фундаментальной совокупное] л её решений:

Z<13° = - D+CZCO)^.dn4m ,

где 0СгС0))-гюдаатрш:,а матрицы C'vZCO)) с размерами (n+m)x<n+m-i); знаки с и + указывают на наилучшее приближённое решение и на псев-дообратлую матрицу соответственно. При .этом:

L'CK)°= D~lCZC0))-dCZC0),ZCD°...,ZCK-1)°), К = ~2~Тоо. С-7) Если же rcingDCZCO)) = s < ri+ra , то:

ZCD° = - о+сгсо))л^л , (з.о)

ZCK)°= о+сгсо))л*с!сгсо),гс1)0.....ZCK-Dd). К = ."27^5" ,

где DCZCO)^- (гит) х s-мерная подматрица матрицы DCZ:0)), ZC1)°=

n + m гит

= CZC1)'T,1------1)т , а вектор ti = с Е d.....Е r

-----~ r=s+l r=s+-.l '

n+m—s единиц

Иоггочьзуя (1.7), получена эквива^энтнзя (3.1) система <n+m) • го порядка (р(т) - d = о с полностью расщеплёнными конечными соотношениями с одним и тем же неизвестным параметром т = t 1. минимизируя однопораметричоскую квадратичную ферму FCT)=C(<p(T!-u)T, ,<pu>-ü)) по параметру т и используя полученные при этом значения т*, доставляющие локальные минимумы функции FCO. пз основе

<3.1) параллельно определяются приближенные постоянные регаония исходной системы с точностью до используемых, при этом частных сумм рядов Тейлора. Повторение этой процедуры при найденных приближениях приводит к взтвящимся процессам, постепенно уточняющим решения задачи.

Рассмотрены автономные системы конечных уравнений специального вида - с вектором <ЧХ) при функциях 1=Т^Г типа квадратичных форм. Получен расщеплённый эквивалент:

где: кт- степень аппроксимирующего многочлена; коэффициенты , х+л = т,2Кт определяются согласно соотношениям:

- о. - . '

к _

^ = - еГ = сА+лСХСО>,..-.,ХС1+^-1», = 2,Кт , :з.10)

x , з - 1

^ - - г. . - .....ХСКт)5. ^ =Кт+1.2Кт .

причем ( = ГСХ<л),ХС-0>, однотипные операторы при

множителях , зависящие от соответствующих дискрет и сохра-

няющие все свойства оператора *;. матрица

- * ^.о " о1+/хсо),ха^)), ш = пгт. (3.11)

а [1(0) = Г0 0 - а " О - система, совпадающая с исходной системой. При птом исследованы случаи п | 2Кга+1 и приветны соответствующиэ соотндамгая по определению векторов дискрет ХОО , К = 1,оо. Дальнейшие процедуры аналогичны рассмотренным выше для задач общего вида.

Предложена дифференциально-тейлоровская гомотопическая модель СДТ-ГМ) для задач общего еидэ, исключающая затруднения,. связан:ше с нзхо;.дннкем триближонных решений (векторов дискрет) при исполь-езвания моделей ДТ-МНК. Функция гомотоши имеет вид:

(,<¿(0.10 - рс 2 < ь) 5 + ррсч*гс2(0)> = о ,

р р+1 1.-1 (3.12)

II и-* ) Е БСР^^р^ 1

1. =1 1. =;. 1 ■

н = -^- ----- _ ^----- ь е n ,

(-1)р_1.п бсрм.о

ч:.=1 1 1

где ГС^ио - о - некоторый прямореализуемый эквивалент системы »со -= <'•; - нормализованная производящая функция стирлинго-

вого типа с коэффициентами БСО - с числами Билла пордщса 1. При этом фСГ<о),со = гсг<0)) + РРСО).ГС2(0)) = о, ибо ^(о) = -1, л также = Г(7( 11)) = о, иными словами, величины ил

натурального ряда чисел обуславливают получение решений задачи, причём р > ч , где я - количество возможных решений. Спектральная модель системы (3.12) имеет вид:

«чгею.ю = гегею) + ^оо^сго») = о . к

ЯРСО) = кр<о> = -1 , к

(3.13)

КРСЮ = КрК)СО , =--^

t=0 SCP+1,1)

S(P+1,K+1>

•К! , VK = 1,оо

ЭСР-И.О

С учетом вышеприведенных теорем (3.13) представляется в явном виде:

0*:1(0))'Н~К'2<Ю + Ор(Ю =0, '»К ,

ОрСО = Яраысгсо)) , (з.14)

ОрСК) = КрСЮ»ГСгСО)> + Н~^с;гс1).....¿СК-1)), УК=!Г,оо.

При ЭТОМ, если гапдО(2СО)) = п + т , ТОГ

гСК) = - о-1 С г СО»'ОрС !<)• '/ , УК = Т7оо „ если же гапдрсгсо)) < п + ш , шэ:

гею = -о+сгю)5 орсю«нк , п = ~П5о~.

Прзтенденгн-ретения задачи соответственно задаются выражениями:

-1„____с° Л ^к

Z(t > = ZCO) - D CZ(0))-E QplD't; , (з.15>

K=1 !

oo

J-

Z(t^) - ZCO) - D CZC0)5;E Qp«>»t2 ■

При p = к = 1 выражение (3.15) совпадает с упрощенным ( DCZCO) = ''FCZCCO) »■ const ) модифицированным методом Ньктонз с нагом итерация £,.C2.2)'S"lC2,1)'tl = tA, а при р = 1, !< х О. про-додура (3.15) порождает вычислительные схемы типа схе;л Чебышовг. Например, для наховдзлия корней скалярного уравнения fm = о при 1ачальном приближении х0 = ХСО) имеем схек-у:

fCO f2c*)'f"c*y f ко ^

i(D=XCO)--Т----Г-==

i (О Cf (•))"

I f coj

t f со J f со.

- 26 -

D общем случае.(р > К > 1) процедура (3.15) порождает не счетное множество различных вычислительных схем. Необходимые достаточные условии сходимости процедуры (3.15) в частном случг ( р = к = 1 ) совпадают с известными условиями метода Ньютона.

Предложены такие прямые дифференциально-тейлоровские моде.; 7]а базе градиентных и субградиентных дифференциальных моделе

ш.-да).

При предположении о существовании частных производных функщ КЧО) соответствующего порядка ( pu) по переменным xct} имееем прямую неявную сдокгральную модель:

• ХСР+1) = - Кх * vfT(XCP)) * КХСРЭ) , (3.17)

■гдо * - знак ДТ-свертки. При этом: ' р j р

x(t) = jf [-д-] *Х(Р) .если t * н . (з.1В)

р

= if ХСРУ .если t = н . (3.1?)

р=о

При предположении о существовании лишь первых частных проиг водных функции по переменным xt't) и допущении, что функ-

ция Axe t) обладает гладкостью необходимого порядка по аргументу ( а это всегда можно д0ц"стить, вплоть до существования частнь производных неограниченного порядка ), иными словами, при доцуще пг.л, чте га/еют моего дифференциальные преобразования

гцо akj (t) - оригинал ( функгдл-приращонио ) на к-ом годпростро стрэнство аппроксимации, a ¿Xt(P> - соответствующее изображение с учетом (2.2) будем иметь спектральную модель:

(3.2.1

При атом

г t V

>V+, - X + Е -п- 'ДХь.СР> , если t * н , с

V+i = х + е лх.-СРЭ , если I = H . «з.гз

При использовании представлений (3.18) и (3.22) организуете параллольпыо вычисления на основе минимизации одаопараметрическу квадратичных форм типа FCt) » C(yCt)-a)T ,(v<t)-e» и аналогичных о:.глур. описанных выше. При использовании представлений (3.19)

(3.23) получаются лишь некоторые приближения искомых решения.

Рассмотрены неавтономные системы конечных уравнения вида ;x(t),t) - act} = о, обладающие решениями - временными зависи-зстями xct) с соответствующими краевыми условиями хсо> на левых лщах фазовых траекторий. При этсм краевые условия хсо) либо 'бп-здолякггся на основе решения системы с постоянными коэффициентами

- а(со = о, либо выбираются или задаются, исходя из оп-эделенных соображент ( во всех случаях последняя система долина iiTb удовлетворена ). Получены некоторые оценки метода приравпи-¡ния коэффициентов и численного метода, показаны их' достоинства недостатки, обоснована ■ целесообразность применения дифферол-¡ально-тейлоровских преобразовать.

Для исследуемой задачи ПСЮ-системы имеют виц: . FCXCO)) - ACO) = О. К =■ О , (3.21)

FCH-XCO).....ХСК)) -А(Н.Ю - О, VK = ТГ55" ,

р FCO и ACO - тейлоровские изображения прямореализуемых ноли-йкого оператора f(*) и вектора свободных членов а(-> соответст-нно. Система (3.24) в явном виде задается рекуроентной цепочшш неаных по отношению векторов дискрет ХСК) алгебраических одао-дных или неоднородных систем

ОСХССШ'ХСЮ = ВСс.Н.ХСО).....ХСК-1)), VK 1,оо ,

( Ч ""Si

DCXCO)) = Vfv = const , 1-----'

'|xct) = хсо) = ХСО) |t = о

э BCc.H.XCO),... .ХСК-1)) - новый вектор правых частей,в котором , i = i,n некоторые постоянные величины. Очевидно: а) если igDCXCO)) - П , ВС О * о, ТО ХСЮ = D-1CXCO»BCO , VK - 1< если rangDCXCQ)) = п , ВС») о, то ХСЮ = О, vk > 1; в) если iqD(X(0)X п, ВС») * о, то система (3.25) но имеет реше:ш.', jmm словами , вектор ХСК) невозможно определить , г) если чд DCXCO)) < n , ВСО = о , то либо ХСК) - О, либо ХСК) при-igDtXCO))=o (или. часть его компонентов при о < г angDCXCO)) < п ) данном шаге не определяется.

Определение 3.3 . Величину RiCK> назовем размахом сдвига i-orc ; лпонента Х;СК) вектора дискрет ХСК) при номере к, если этот ком-юнт определяется в итоге реализации некоторых вычислений на (¿00 - ом шаге рекуррентных процедур (3.25).

Доказано следующее утверждение.

Теорема 3.4 . Если rmyDCXCO)) = п , то R^OO = о, vi, vk, йс-же ran.jDCXCO)) < П , TO RjCK) = Var * О, Vi. VK .

1'азраосл также ирямыо неявные (типа (3.37)-(3.19) )и прпкыо явные ( типа (3.23)-(3.23) ) дифференциально-тейлоровские модолл задач математического программирования, систем неканонических дифференциальных уравнения, динамических экстремал]ных задач, изопарим 'трических вариационных задач и задач оптимального управления .

Четвертая глава посвящена разработке алгоритмов, машинных программ и экспериментальным исследованиям на основе использования предложенных "быстрых" градиентных и субградиентных дифференциальных математических моделей, а также сравнительному анализу полученных результатов. Результаты моделирования 18-и задач сопровождаются 30-о таблицами и 18-ю рисунками.

При решении систем конечных уравнений использованы ПКРЭ модели (2.2), а такие алгоритмическая и параллельная градиентная дифференциальные модели. Сопоставительный анализ показал ряд преимуцеств этих моделей. В частности, при параллельной 1"ради-ентной дифференциальной модели из-за формализованной процедуры жордановэй диагонализации на каждой итерации вычислительных процедур требуется выпо.шение 0,5п(2л2+Зп-1) операций (где п-размерность задачи), что намного меньше известной оценки метода Ньютона.

Представлены результаты применения модели (2.6) с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка для параллельного нахождения корней одного многочлена. Решение задачи осущестьлено также параллельным методом Лобачевского, в отличие от, которого предложенная модель обладает рядом существенных достоинств: обеспечивает непосредственное получение корней с любой наперед заданной точностью; инвариантна относи--ельно вектора начальных приближений (при соблюдении вниз направленности цепочки его компонентов).степени и типа корней многочлена; программно намного болзе удобнореа: л и луема ¡надел ена сильными контрольными условиями (2.13) правильности получаемых итерантов. Дл* решения систем конечных неравенств применен ПКРЭ модели ("2.35).

Осушзствлоно моделирование задач математического программирования на основе использования модели (2.18). При этом рассмотрены задачи выдуклого, невыпуклого, квадратичного (с конечным и неограниченным оптимальными решениями), геометрического, сепара-белыгого, дробно-линейного„ линеиного программирования. В подав-лшлцэм большинстве случаев были получены аффективные численные процедуры,обладающие приемлемой точностью вычислений. При решении

рада задач линейного программирования были замечены сравиигельно большие погрешности, которые уменьшить никак не удалось. Ого пгн -лось прямым следствием использования метода штрафных термин, с' -ладаэт'дего определенными недостатками при решении задач линейкою программирования, и отсутствия внутренних оптимизационных свойств последних ввиду инвариантности их якобианов относительно координат текущих точек траектория спуска.

При решении одной полностью целочисленной задачи (при 10-и различных вариантах) использовано комбинирование непрерывной модели (2.20) с ПКРЭ. Показано,что на этапе использования непрерывной модели обеспечивается быстрое получение некоторого приближения корня задачи, а на этапе использования ПКРЭ - уточнение этого приближения до ее цэлочисленяости. При этом рассмотрены: вопросы влияния на оптимум задачи сильного разброса коэффициентов соотношений стерлингового типа; пути некоторого ослабления "эффекта чувствительности к коэффициентам" на основе перемасштабировании согласно закону у = (р-и"1«, р > г—1 (где у - новые переменные), хотя обычно этот "эффект" переходит с одного места задачи в другое; вычислительные затруднения, связанные с округлением приближенных значений целочисленных переменных, с замедлением скорости сходимости итерационных процедур вб.тази оптимума(ов), с попаданием текущих точек траекторий спуска в отличную(ые) от истинного (ых) реиопия(ий) целочисленную точку дискретной математической структуры, с неединственностью решений и др. Введено понятие оптимальных решений со сравнительно большими и или меньшими приоритетами; Псказзно, что траектории спуска в большинстве случаев ус-танав.жваются в узлах со сравнительно большими приоритетами (в которых евклидова норма суммарных невязок в удовлетворении ограничивающих условий тина неравенств исходной задачи максимальна), что является прямым следствием метода штрафных функций и иногда исключает возможность получения других , менее приоритетных оптимальных решений. Структурные особенности диофантовых задач часто инициируют и друп:е затруднения, появляющиеся в каждой конкретной задаче своеобразно.Указаны пути преодоления наиболее часто всрзчающихся затруднений при использовании предложенных моделей. .

Рассмотрены также частично целочисленные, бивалентные ' и псевдобулевы задачи математического программирования. В первом случае использована непрерывная модель, во втором - непрерывная агрегированная модель с дальнейшим применением ПКГЭ, в третьем -

непрерывная шагренированная и агрегированная модели. Показано, чтс :з общем случае неагрегированяые модели обеспечивает1 получение более точных решений, однако при сравнительно большом количестве итераций. При агрегированных моделях имеет место противоположна'! картина, что и наталкивает на целесообразность их комбинированного использования.

Осуществлено моделирование одной динамической экстремальной задачи (при 4-х вариантах) в соответствии с вышеотмеченными тремя этапами вычислений и использованием соответствующих непрерывных моделей. Получены также аналитические решения задачи, при которых зад >чены лишь незначительные расхождения между экспериментальными и теоретичеашми результатами.

При решении одной задач]- оптимального управления с фазовыми ограничениями (при их 3-х различных вариантах) использована непрерывная субградиентная модель (2.34). Показано выполнение всех необходимых условий принципа максимума Понтрягина и полное совпадение результатов моделирования с решениями, полученными методом редуцированного фазового пространства.

• Представлены также результаты решения 6-и задач оптимального быстродекегния с различными ограничениями па управляющие воздействия и краевыми условиями при применении метода детерминазтных уравнений.

Ргюсмотрены вопросы сходимости правых конечно-разностных эквивалентов. Получены необходиьые к достаточные услоаия соответствующих численных процедур, хорошо согласуемые с результатами экспериментальных исследований.

9 блок-схем, их описания и 14 текстов соответствующих машинных программ, составленных на основе предложенных алгоритмов с применением алгоритмического языка "ФОРТРАН-4" и для рассмотренных задач реализованных на 1ЩМ "ЕС 1841", приведены в приложение 2 (книга 2).

г Пятая глава посвящена разработке алгоритмов.формальных схем, машинных программ и экспериментальным исследованиям на основе использования предложенных ДТ-юделеа.а также сравнительному анализу, подученных результатов. Результаты моделирования 10-и задач сопровождаются 24-мя таблицами и 26-ю рисунками.

. ; Для моделирования автономных систем конечных уравнений дрльзовэца модель ДТ-МНК. Разработан вычислительный алгоритм, ще^'авлёна еро формальная схема, порождающая нечетное множество различных агрегирующих вычислительных процедур. Рассмо-цет при

мер, решение которого осуществлено тремя процедурами - многоцикловым алгори™мом с линейной аппроксимацией решений, одноцшслошм Содношаговым) алгоритмом с линейной аппроксимацией решений и многоцикловым алгоритмом со смешанной аппроксимацией решений. Показа но, что: эти алгоритмы обладают большей степенью манипулирования, чем классические алгоритмы {степень свобода на единицу болыг.о из-за параметра к); при них отсутствуют трудоемкие операции вычис.'.з-ния нз каждом шаге элементов якобианов, гессианов, операции обращения матриц, отри-дается выоор шагов итерационных процедур и т.п.; при их использовании имеется возможность выделения ориентировочных подобластей,содержащих искомые корни задач; они обладают самоисправляющимся характером при свободном выборе ряда вычислительных параметров и др. Сходство и отличие алгоритмов с классическими алгоритмами зэеисят от их структур, расположения в пространстве исходных точек поиска и пр. Аналогичными характеристиками обладает разработанный алгорстм, дрздзазкяченный для моделирования специальных систем конечных уравнения, результата решения одной из которых также представлены в работе.

Разработан алгоритм на основе использования модели ДТ-ГМ, который апробирован на одном модельном примере. Отмеченные выше характерно гики модели ДГ-МНК г общих чертах сохраняются к при этой модели. Однако, в отличие от м:дели ДГ-МНК и от классических методов, модель ДТ-ГМ обладает рамного большей степенью манипулирования, ибо основывается нч организации численных процедур в пространстве,дополштельно включающем параметры р, к, ^. Последние при небольшом количестве их различных комбинаций дают ъозмож-пость параллельно и сравнительно легко . определить решенче рассматриваемых задач. К тому же, машинная реализация модели несравнимо проста.

Представлены результаты исследования по моделированию 4-х неавтономных систем конечных уравнений. При одной из них использованы также метод приравнивания коэффициентов и численный метод пострсения временных зависимостей. На основе полученных результатов обосновано,что: -эффективность применения метода ДТ-преобразо-ваний гаиболее высока в задачах с полЕорзнговыш якобианами в начальных точках равновесных траекторий, ибс при этом векторы дискрет опрзделяются на рассматриваемых шагах в поте решения некоторой цепочки рекуррентных лилейных алгебраических систем, а в остальных случаях - в итоге вычислений с некоторыми сдвигами, при которых приходится оперировать нелинейными относительно неизвост-

.их компонентпз векторов даскрет системами, однако из-за их рас-цепляемости (яшипо1цейсп прямым следствием внутренних свойств ДТ-преоо'разованич) сравнительно легко поддающимися решению-, размахи сдвигов г^сю вектора дискрет ХСЮ обусловлены дефектом мэтршу ЬСХСО)) V, в общем случае, отличаются друг от друга и постоянны или непостоянны при различных значениях параметра к«невозможность определения (выбора или задания) вектора даскрет Х(Ю> К с О-оо или получение противоречивых условий на каком-то шаге рекуррентных процедур указывает на невозможность аппроксимации решений задач многочленами Тейлора и т.д.

При моделирован™ задач математического программирования использована прямая неявная субградиентная ДТ-модель. Разработан вычислительный алгоритм, представлена его формальная схема. Рассмотрена задача невыпуклого программирования с несвязанной допустимой областью, обладающей (в зависимости от некоторого параметра) различишь множествами решений. Представлены также результаты решения этой задачи при использовании НМБСГДС с применением метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Для моделирования задач математического программирования использована также прямая явная ДТ-модель. При этом разработаны вычислительный алгоритм и соответствующая формальная схема. Рассмотрена задача сепарабельного программирования. На основе результатов моделирования этих задач показано, что: при использовании непрерывной субградиентной ДТ-модели траектории дифференциального сцуска обычно недостаточно гладки -особенно в окрестности оптимума(ов) замечается множество колебаний типа траекторий " скользящего режима при применении алгоритма, основанного на НМБСГДС, параллельное определение нескольких решение задачи при одной и той же начальной точке поиска принципиально невозможно из-за невозможности пересечения при этом двух интегральных кривых динамических систем, между тем прямая неявная ДТ-модель предоставляет такую возможность; при применении алгоритма, основанного на прямой явной ДТ-модели, имеют место аналогичные характеристика, однако при заметно меньших объёмах аналитических подготовительных операций.

' Осуществлено моделирование одного из вариантов отмеченной выше динамической экстремальной задачи. В соответствии с тремя этапами решения задачи разработан алгоритм, состоящий из трех подалгоритмсв и основанный на использовании прямой явной ДТ-модели. Представлены формальные схемы подалгоритмов и результаты вычислений всех трех подзадач. При этом проведен сопоставительные

анализ и показано незначительное расхождение между полученными здесь и ранее результатами. Отмечен ряд особенностей организации эффеотивных вычислительных процедур. Показано, что в ДТ-моделях и алгоритмах масштабный коэффициент Н играет такую же роль, клкун играет градиентный шаг в градиентных и субградиентных моделях, а номер дискрет выступает в качестве пэраметрэ, регулирующего этот шзг в связи с присутствующими в итерационных ДГ-процедурах множителями типа НОМ)-1-

В связи с тем, что третья подзадача, фактически, является динамической оптимизационной задачей с фиксированными краевыми условиями, имеющей многие общие черты с вариациошшми задачами и задачами оптимального упраьления, экспериментальные исследования по моделированию таких задач на основе ДТ-адгоритмов не приведены.

Рассмотрены вопросы сходимости ДТ-алгоритмов, получены достаточные условия сходимости решений, хорошо согласуемые с результатами экспериментальных исследований:

Теорема 5.1. Бесконечнее убывание модулей компонентов Х±00 векторов дискрет ХСЮ при бесконечном увеличении количества элементов ДТ-спектрОз является достаточным условием сходимости рядов-решений рассматриваемых задач.

В шестой главе: рассмотрены вопросы структурного грограу.ми-рования вычислительных сетей . тйридных экстремальных моделей, служащего базой построения модульных аппаратных систем; разработаны аналоговые (на основ? "епрерывпых моделей) и гибридные {на основе квазичинеяных моделей) вы л тсжте льныо сети путем использования предложенных градиентных и субгрэднентнмх дилере ::циаль-ных математических моделей; синтезированы спещхадизгровлчпьг!? вычислители отмеченных классов задач на основе разрабо гапш,;х эяало говых вычислительных сетей (основные принципы синтеза остается в сило, и при разработке алигативных специализированных вычим гелей на базе гибридных вычислительных сетей).

На 9-и рисунках нрздстаатены структурные заготовки, предназначенные для структурного программирования, па 29 и рисунках -структурные схемы непрерывных и квазилинейных экстремальных моделей (в тем числе - агрегированных) отпеченных классов задач, а на 6-и рисунках - блок-схемы разработанных специализированных вычислителей. Приведены также краткие описания структурных схем -и блок-схем вычислителей.

В структурную схему непрерывной экстремальной модели непрерывных задач математического программирования вписыватгся сэот-

< - 34 -

ветствующие модели систъм конечных уравнения, неравенств. Структурные схемы непрерывных экстремальных моделей дискретных задач математического программирования легко.формируются путем дополнения этой схемы соответствующими структурными заготовками. Аналогичная картина имеет место при структурных схемах квазилинейных экстремальных моделей.

На основе предложенной структурной схемы непрерывной экстремальной модели непрерывных задач математического программирования разработан специализированный вычислитель, легко переводимый в вычислитель дли решения систем конечных уравнений, неравенств пуим отключения и подсоединения соответствующих структурных заготовок. При наращивании необходимых блоков и соответствующих соединениях он также легко преобразуется в вычислю ель для решения Есех отмеченных выше классов дискретных задач математического программирования.

Предложены структурные схемы непрерывной и квазилинейной экстремальных моделей решения систем неканонических дифференциальных уравнений путем использования математических моделей (2.24) и (2.25) соответственно. На основе структурной схемы непрерывной модели разработан специализированный вычислитель. Предложены также структурные схемы- (две разновидности) непрерывных и квазилинейных экстремальных моделей решения систем неканонических дифференциальных уравнений путем использования математических моделей (2.26),(2.28) и (2.27), (2.29) соответственно. На основе структурной схемы непрерывной модели (2.28) разработан специализированный вычислитель.

Вычислители задач математического программирования и систем неканонических дифференциальных уравнений работают в двух режимах - задания начальных условий и решения. Они из одного режима в другой переводятся операторам с помощью команды выбора режима работы. Режимы задания начальных условий являются вспомогатель-'нымк режимами,при которых вычислители подготавливаются к решению: производится масштабирование переменных; задаются начальные условия,' интегрирования; устанавливаются штрафные коэффициенты. При ¡ЭТ014 блоки интеграторов находятся в режиме задания начальных условии .. .В режимах решения вычислители переводятся в режим интегрирования, и на выходах соответствующих интеграторов в виде I э-•пряжешш получаются претенденты-реиения рассматриваемых задач.

''Предложены структурные схемы непрерывной и квазилинейной экстремальных моделей, реализующие математические модели, аналогич-

ныв (й.16), <2.17), а также модели (2.30), (2.31) соответственно. На основе обобщенной структурной схемы непрерывной модели разработан специализированный вычислитель с перестраиваемой структурой, работающий в трех режимах в соответствии с тремя этапами решения задачи. Каждый режим, в свою очередь, включает два подрежима - подрежим задания начальных условий и подрежим решения. Подрежимы задания начальных условий аналогичны рассмотренному вы-, ше. В подрежимах решения па выходах соответствующих интеграторов в виде напряжений получаются претенденты-решения подзадач ( при первых двух этапах - установившиеся значения соответствующих переходных процессов, а на третьем - временные зависимости (экстремали) с найденными на первых двух этапах краевыми условиями при экстремальном законе изменения целевой функции).

Предложены структурные схемы непрерывных и квазилинейных экстремальных моделей изопериметрических вариационных задач на основе использования математических моделей (2.32) и (2.33) соответственно, а также рассмотрены структурные схемы гидридаых моделей краевых условий при подвижном многообразии на левом конце и перемещающемся многообразии на правом конце оптимальных процессов. Вычислитель работает в двух режимах - в режиме задания начальных условии и в режиме решения. Из одного режима в другой он переводится оператором путем подачи соответствующей команды. В режиме задания печальных условий: производится масштабирование переменных; задаются начальные условия интегрирования с учетом условий трансверсальности ""на левом конце; устанавливаются штрафные коэффициенты. В режиме решения по команде выбора режима работы вычислитель переводится в режим интегрирования, в результате чего на выходе соответствующих блоков в виде напряжений получаются экстремальные законы изменения переменных. Индикатором оптимальности того, или иного претендента-решения является выполнение""" краевых условий и условий трансверсальности на правом конце экстремальных траекторий. При этом на соответствующем выходе вычислителя получается и оптимальное значение целевой функции.

Предложены структурные схемы непрерывной и квазилинейной экстремальных моделей, реализующие математические модели (2.34) и (2.35) соответственно. На основе структурной схемы непрерывной модели разработан специализированный вычислитель. Режимы работы-и другие характеристики вычислителя аналогичны характеристикам вычислителя изопериметрических вариационных задач, естественно, с точностью до соответствующих различий между ними.

' Ji за»''к:имости от попадания или ношпа дании фазовых траектория задач отимального управления на границу допустимой области G./.O гамильтонова капоническая система дифференциальных уравнения обладает перестраиваемой структурой. Это обстоятельство приобретает особую значимость в системах ]валыюго вымени и обуславливает необходимость решения проблемы автоматического синтеза моделей сопряженных систем. IIa основе использования условия регулярности гамильтониана задачи с областью G2CO получена преобразованная система сопряженных переменных, имеющая вид:

С»'0С»0,'ко.У'п+1СО)Т" - Г VF*(О + ^

*(4>0<ь> = - WTCt)-C(C0(t),4'TCt))T,

Л /ч

где W(t), vF^ft), vFu(t>, vcxCO, тс (i) -якобианы соответственно С размерами (n+l>x(n+t), (п-И)х(п-И) , rx(ni-l), '5х<п + 1) И Sur, причем x = CXT.xn+1)T, F = CL,*T:>T Величина s (s e'o.iö указывает на достижение фазовой траекторией o-s)-мерной грани допустимой области G2CO. "

Используя известные аналоговые модели, работающие по методу регуляризации Тихонова (при ш | г>, модели, отыскивающие наилучшие приближенные решения линейных некорректных задач, минимизирующие длины суммарных невязок и обладающие минимальной длиной (при го < г), а также модели линейных некорректных задач, работающие по методу отыскания единственных допустимых решений с минимальными длинами (при ш < г), предложены дае структуры, обесгичизаювде автоматический синтез сопряженных систем в соответствии с (6.1).

Модель с непрерывным градиентным спуском, работающая на основе метода регуляризации, решает задачу.близкую задаче отыскания ■наилучшего приближенного реш-зния. Разработана структура гибридной экстремальной модели с автоматическим выбором величины параметра регуляризации положительно-определенного сглаживающего функционала, обеспечивающей быстрое выделение на бесконечном множестве од-йошсстрзмалышх многомерных поверхностей поверхности с минимальным ,значением экстр-змума функционала Тихонова. Основное достоинство гибридной модели - ушс«реальность н реализация решений задач, (как,корректных,так и некорректных, как дефектных, так и бездефектных) без каких-либо предварительных аналитических расчетов. Для решения более общих задач (определения обратных и псевдс.обратных матриц) предложена гибридная параллельная структура на аскоьо определенного множества отмеченных гибридных экстремаль-

пых моделей, работающих по методу регуляризации с алтомотичпеким выбором сглаживающего параметра. При этом длительность тп/чщн -ошюго процесса обуславливается длительностью работы той ьотпл параллельной структуры,в которой врзмя достижения минимума соответствующего регуллризующого функционала максимально. ¡¡¡ъдстли-лоны структурные схемы предложенных средств и описания их функционирования.

Решение многоточечной краевой задачи,кроме трудностей вычислительного характера (многовариантность расчетов с целью удовлетворения краевым условиям' и нахождения глобальных максимумов функции Гамильтона).связано также с техническими трудностями. При выполнении необходимых условий управляемости динамической системы сопряженные переменные, обуславливающие оптимальность закона .управления, характеризуются асимптотически неустойчивым поведением, приводящим к переполнению шка.лы вычислителя. Указаны три пути "управления" переполнением - использование методов перемасштабирования переменных с постоянными и изменяющимися во времени масштабными коэффициентами, а также путь выбора соответствующего начального значения наиболее'быстро изменяющейся базовой составляющей вектора? сопряженных переменных. Обоснована целесообразность применения метода гюреизеттабирования с изменяющимся во врокони масштабным коэффициентом,при ко,торол решения эквивалентной сопряженной системы располагаются на, поверхности (п+2>~ горного шара а единичным радиусоя. Имея в зиду сопряженную систему (6.1) и сов-ш.дгющео с ной представление

• РСО = - .

где . ?CO=fv0Ct5.,Kt),v»ri+1ct))T-(n-i2)- мерный вектор расширенных сопряженных переменных , и используя линейное преобразование по 5 = f'(t)-?(t) с перекониым масштабным множителем <м t >, при нормальной квадратичной форме (ятсь),пс0) = ге2= const i о < r> < i ) получена эквивалентная система об! кноветшых дифференциальных уравнений . •

пСО = - Crt.E - ,

( где Е - едичичпля матрица порядка п+2 ) с дополнительным скалярным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением m(t) -- d"in( t), в na;ix.yjTO..; случае обладающая единичным радиусом-в-'?к-

v(t> = -

О . . -О

К СО

о О

О

-затором с пространственно-круговым вращением ( а - дополнительный параметр, определяемый из нелинейного алгебраического уравнения С 7iTCt5.C^Ct> + сеЕ)-ПСО) = О ) •

Синтезирована устойчивая аналоговая модель эквивалентной сопряженной системы с перестраиваемой структурой, приведена ее структурная схема и описание функционирования.

Для одной частной,но важной в практических исследованиях линейной автономной задачи оптимального управления, описываемой математической моделью

I = I СаТ-ХСО + bT-UCt))dt -► min , xct) = A-XCt) + B-UCO,

{ U(t):G^C-)

о

G2C•): P-XCt) + Q-uet) 3 О, где а = (ax.....ап5т.ь » (ь±.....t>r)T.

А = <aíj)^ = 1»п : В = 3 = 1,п , к = 1,г , (г < п);

Р = Ср^), 1 = Т.1Г , j •■= ,п"; о = 1 = Т7т" , к = '1,г(>

(т = п) , С учетом ТОГО, ЧТО обычно <е0 = -1 = сопьЪ , и имея в виду систему (6.1), получена эквивалентная ей система:

Фсо = - гдт+ рт-[о+]т-вт] -ч<о +са + рт-го+]т-ь) . сб.2)

Л Л

Здесь р И о - матрицы С размерами ч х п И Ч х г- (О < ц = уаг < я»), порождаемые матрицами р и о соответственно, в зависимости от попадания фазовой траектории на (т - ч)-мерную грань ограничивающей области или ухода с нее, и обуславливающие перестраивабмость сопряженной системы (6.2) на конечном множестве некоторого семейства стыкующихся или разрывных интегральных кривых.

Используя трансцендентное преобразование '

О ... О I о

........ ! ...

о

«О = R-

,-kt —kt diag(e ,...,е )

•vco

{ •

(где\ (?,к' > о - некоторые постоянные) из системы (6.2) получена , система преобразованных сопряженных переменных •

< • т т Т Т

. пСО = - ГА + Р -IQ J -B + К"£] 'ПСО +

+ R-diagC^^. . . . ) • (а + рТ-(О*)* 'Ь) ° (6.3)

Г» шт .

= - lvT + 'ПСО + vet).

Необходимое и достаточное' условие положительной определенности матрицы WT + k'-E с учетом критериев Баузра и Брауна о локализации

- 39 -

х эрактеристических чисел матриц приводит ic неравенств,,

I W + W

К > та>:

так [----М ±

±\ / -^i-^ - CWBS-WM- n,IWsl|- E|WXj|5

v :

j*=5 j.-'X

•a«I-U I "ss

|>а» С lA^ I , - . . . !Afl | з] . <6-41

с H = i <(ги г.ч элементами в больших скобках, где: W ,.W,,,

п ч=1 m ^ ЛА __лт _____

Wsj ,WAj. 5,],л= i,n -элементы матрицы W ; А±, i-i ,п -характеристические числа матрицы -ат . Значение постоянной r определяется ИЗ соотношений: О £ R < l, если |ma>: li'jC°)| ^ 1, 1 < R < OO .если | я>э>; v'j(°3| 5

В глаг>е приведены также количественные характеристики предложенных вычислителей. Показано.что аппаратурные затраты вычислителей, синтезированных на основе квазилинейных моделей, в % 1,5 раза п[евосходят аппаратурные затраты вычислителей, синтезированных на основе непрерывных моделей. Используя известную методику, представлены также сравнительные временные характеристики цифрового и гибридного моделирования на примере рассмотренных классов задач. Время решения этих задач на ЦБМ (в конкретном случае - па "КС 18-11.") в среднем а 4ПО рэз превосходит время при их решении на предложенных специализированных вычислителях,а при пренебрежении полученных 'двух наилучших и двух наихудших результатов -% 200 раз.

В приложений 1 (книга 1) представлены документы, подтвержу дающие внедрение ]«ззулътатпв работы, а в приложении-4. (книга 2) -предложенная методика предварительного расчета потенциала социально-экономического эф1«кта от внедрения результатов фундаментальных ПИР.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. На основе изучения научных разработок по исследуемой проблеме обосновано,'что универсальными и наиболее эф^нсгившлш с{юдствами для моделирования и управлении движущимися объектами и бистропрптекающими процессами (описываемыми различными динамичес-

кими задачами НЛП и их частными подзадачами) в реальном и ускоренном времени являются специализированные гибридные, и алигатив-ные экстремальные модели, базирующиеся на едином формализованном подходе и функционирующая по принципу "быстрого" градиентного и субградпентного дифференциального спуска (БГДС и БСГДС).

2. При предположении гладкости первого порядка подзадач динамических задач НЛП на основе различных редуцирующих формализмов разработаны новые математические модели с БГДС и БСГДС, а именно:

2.1. Для моделирования систем конечных уравнений предложены:

- квазилинейная модель с БГДС,обладающая локальной асимптотической сходимос-. ью;

- алгоритмическая модель с БГДС при максимальной степени распараллеливания вычислительных процедур;

- параллельная модель с БГДС, обладающая локальной асимптотической сходимостью (при непрерывных и квазилинейных моделях) и глобальной схгдимостью (при конечно-разностном эквиваленте на основе метода последовательной верхней релаксации).

2.2. Для одновременного нахождения всех действительных корней (при их сильной разделешости) алгебраических многочленов с действительными коэффициентами разработаны непрерывная, квазилинейная и правая конечно-разностная параллельные модели с БГДС,' обладающие гарантированной глобальной сходимостью при определенной закономерности выбора начальных приближений.

2.3. Для моделирования систем конечных неравенств предложены непрерывная, квазилинейная и правая конечно-разностная модели с БСГДС. ,

2.4. Для моделирования задач математического программирования:

- аналогичные модели разработаны при непрерывных 'задачах

МП;

- используя производящие функции стерлингового типа для дискретных полностью и частично целочисленных, а также булевых задач МП разработаны неагрегированние непрерывные, квазилинейные и правые конечно-разностные модели с БСГДС; подобные модели предложены и для псовдобулевых аадач МП при истинных высказываниях

буловой алгебры;

■ - используя структурные особенности булевых и псевдобулевых задач МП разработаны агрегированные модели с БСГДС.

2.5. Для моделирования двух специальных систем неканонических дифференциальных уравнений на основе метода квадратичных

' штрафных функций предложены непрерывная, квазилинейная и правая

конечно -разностная мололи с БГДС. Для второй из этих систем разработаны также аналогичные модели на основе принципа максимума.

2.6. Непрерывные, квазилинейные и правые конечно-разностные модели с БСГДС предложены для наиболее общих классов динамических экстремальных задач, изопориметрических вариационных задач и задач оптимального управления со связанными ограничениями на переменные состояния и управляющие воздействия.

Разработанные дифференциальные непрерывные и квазилинейные математические модели ориентированы на применение средств аналоговой, гибридной и алигативной вычислительной техники, а их разностные эквиваленты - цифровой. В последнем случае успешно могут быть использованы также негрерьшные и квазилинейные модели.

2.7. На основе ряда доказанных теорем развит метод детерми-нантных уравнений для решения линейных автономных задач оптимального быстродействия с некомплексными собственными числами матрицы системы, и получены дополнительные необходимые, достаточные и контрольные условия оптимальности ]«шениа.

3. При предположении определенного порядка гладкости рассматриваемых задач (необходимого порядка - при непрямых, а также прямых неявных моделях, и первого порядка - при прямых явных моделях) разработаны теоретические основы новых методов математического моделирования отмеченньрс классов задач, базирующиеся на здномерных дифференциально-тейлоровских преобразованиях, допускаю-;их полное расщепление и агрегироэание' переменных, а именно:

3.1. Для моделирования автономных систем конечных уравнений збцеговида введением ряда новых понятий и доказанных на иг. осно-зе теорем предложены:

, - параллельная непрямая модель применением метода наи^ зенылих квадратов (предложена также модификация этой модели для . штономных систем конечных уравнений специального вида);

- параллельная непрямая гомотопическая модель с использо-¡анием производящих функций стирлингового типа.

3.2. Для моделирования неавтономных систем конечных уравнений йщего вида на основе введения новых пошггий и доказанной теоремы 1азработана параллельная прямая модель.

3.3. Для всех указанных классов подзадач динамических задач ЖГ разработаны параллельные прямые неявные и явные модели на ос-ове использования предложенных дифференциальных непрерывных и вазилинейных моделей.

Разработанные параллельные дифференциально-тейлоровские ма-

тематические модели ориентированы на их использование к,-ut в традиционных, так и в параллельных системах обработки информации, а татке служат базой для разработки новых высоко^¡»'длсгивных специализированных вычислительных устройств.

■1. Па основе предложенных диМеренци.-пьных математических моделей и с целью проверки их достоверна: 1 и:

4.1. Разработаны численные алгоритмы и машинные программы для моделирования отмоченных классов задач,

4.2. Проведены экспериментальные исследования на основе использования этих средств и путем сопоставительного анализа полученных результатов выявлены их основные вычислительные характеристики.

4.3. Предложены методики по преодолению наиболее характерных вычислительных трудностей, встречающихся при машинном моделировании.

4.4. Получены необходимые и ' достаточные условия сходимости численных процедур npff правых конечно-разностных эквивалентах,хорошо согласуемые с результатами экспериментальных исследований.

5. На основе подложенных дифференциально-тейлоровских математических моделей и с целью проверки их достоверности: .

5.1. Разработаны численные алгоритмы и их формальные схемы, а также машинные программы для моделирования рассмотренных классов задач.

5.2 Проведены экспериментальные исследования и путем сопоставительного анализа полученных результатов выявлены основные вычислительные характеристики этих средств.

5.3. Предложены методики по преодолению наиболее часто встречаются при машинном моделировании вычислительных трудностей.

5.4. Получены достаточные условия сходимости решений рассмот-¡юнных классов задач, хорошо согласуемые с результата™ экспериментальных исследований.

6. Используя принципы структурного программирования и построения модульных аппаратных систем на основе разработанных дифференциальных математических моделейг _

6.1. Предложены структурные схемы аналоговых и гибридных вычислительных сетей гибридных и алигативных экстремальных моделей.

6.2. Синтезированы специализированные вычислители для моделирования рассмотренных классов подзадач динамических задач НЛП, сч5ладвэдио минимальным объемом аппаратурных затрат, минимальные Bjnswno» î:.hîck3 рсвоики, лргоклгмой точиооть»; нн'цн^кия и др.

Кроме того:

- для нелинейных неавтономных задач оптимального управления со связанными ограничениями синтезированы средства с подстраиваемой структурой для автоматического формирования сопряженных систем;

- на эти же задачи распространен метод переменных масштабов с целью стабилизации сопряженных систем при постоянных величинах их евклидовых норм;

- для лилейгых автономных задач оптимального управления с линейными связанными ограничениями и линейным ядром интегрального критерия качества предложен метод стабилизации сопряженных переменных в пределах соответствующего многомерного куба с единичным полуребром.

Разработанные вычислительные средства ориентированы на га использование в специализированных вычислительных системах в качестве расширителей арифметических устройств, а также на их самостоятельное применение с цолкй управления движущимися объектами и быстропротекающими процессами в реальном и ускоренном времени.

Полученные в диссертационной работе новые научные результаты внедрены в практику и использованы при разработке специализированных бортовых вычислительных устройств с высокими технико-экономическими показателями.

!

Основные' научные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: "

1. Ацамян Г.В., Симонян С.О. К некоторым вопросам автоматизации проектирования систем управления- с использованием Т-преобразования //Третья Республиканская научно-техническая коьфзроншя "Новые достижения в области приборостроения": Тез. докл.- Ереван, 1907.-С.5.

2. Адамян Г.В., Симонян С.О. К построению одного алгоритма оптимального убавления голономными системами на основе дифференциальных преобразований //Моделирование и управление технолога-чески™ процессами: • Межвузовский сб. научн. тр. / ЕрГИ. - Ереван, 1990. - О. 3. - 8.

3. A.c. 1654844 СССР. Go<bG7/3o. Устройство для решения систем'уравнений /Г.И. Грездов, С.О. СимоняП, Ф.С. Хачатрян, М.Г. Чилийгаряй, А.Л. Шкхутсккй (СССР).- к 4336512; Заявлено 16.10.87; Эцубл. 07. 06. 91, Ecu. Xiil .-4с.: ил.2.

4. A.c. 147650?, СССР. 006J1/02. Устройство дгч рэзшкя сие-

тем дифференциальных уравнений /Г.И. Грездов, С.О. Симонян, М.Г. Чилингарян, А.Л. Шихутския (СССР).- № 4317673; Заявлено 16.10.87; Опубл. 30.04.89, Бш.. «516.-Зс.: ил.1.

5. Грездов Г.И. .Сгашнян С.О. К проблеме автоматического синтеза сопряженных систем //Электронное моделирование.- 1979.- lis 2. - С. 79 - 82.

6. Грездов Г.И., Симонян С.О., Адамян Г.В. К построению некоторых алгоритмов решения одного класса динамических экстремальных задач //Электронное моделирование,- 1992.- 14' 2.- С. 16 - 24.

7. Грездов Г.И., Симонян С.О., Адамян Г.В., Чилингарян М.Г. К построению некоторых алгоритмов решения одного класса задач математического программирования //Электронное моделирование.-1990. ;- № 4.- С. 16 - 20.

8. Симонян С.О. Дифференвдально-тейлоровские модели и алгоритмы / ГИУА .- Ереван, 1993.- 130 с. (на армянском языке).

9. Симонян С.О. К построению алгоритма решения систем конечных уравнения, базирующихся на дифференциальных преобразованиях. Редукция зада<"л, экстремизация, достаточные условия сходимости решений и общая схема алгоритмов //Электронное моделирование.-1986.- № 5,- С. 3 - 8.

10. Симонян С.О. К построению алгоритмов решения систем конечных уравнений, базирующихся на дифференциальных преобразованиях. Пример. Обобщение и замечания // Электронное моделирование.-1986.- lis 6.- С. 18 - 23.

11. Симонян С.О. К построению гибридных моделей динамических оптимизациошшх задач с фазовыми ограничениями // Математическое моделирование и теория электрических цепей.-Вып. 16.-Киев, 1978.-С.

-.116 - 120. '

12. Симонян С.О. К построению моделей обратных и обобщенно-обратных матриц //Автоматика и вычислительная техника: Межвуз.сб. научн. тр. Серия 15, вып 5 /ЕрПИ.-Ереван, 1980.- С. 84 - 88.

! 13. Симонян С.О. К синтезу гибридных моделей оптимизационных задач // Третья Всесоюзная конференция "Оптимальное управление в механических системах": Тез. докл. - Киев, 1079.- с, 47.

14. Симонян С.О. К синтезу устойчивых аналоговых моделей сопряженных систем динамических огггимизационных задач с фазовыми ограничениями // Электроника и методы гибридных вычислений Сб. научн. тр,- Киев, 1978.- С. 34 - 41.

15. Скмоеян С.О, Машинное моделирование узлов алигативной специализированной вычислительной системы // Аннотации научно-ис-

следовательских и опытно-конструкторских работ / ЕрПИ. - Ереван, 1984.- С. 12 - 13.

16. Симонян С.0. Метод детерминантных уравнений в прикладной теории оптимальных систем: / ГНУЛ , - Ереван, 1992,- 102 с. (на армянском языке).

17. Симонян С.0. Метод детерминантных уравнений в прикладной теории оптимальных систем: системы с "жесткими" ограничениями и закрепленными краевыми условиями // Электронное моделирование.-1992.- № 3.- С. 9 - 14.

18. Симонян С.0. Метод решения одного класса систем коночных уравнений //Автоматизированные системы управления технологическими процессами: Межвуз. темат. сб. научн. тр. по автоматике вычислительной технике и электронике / ЕрГШ. - Ереван, 1984. - С. 58 - 60.

19. Симонян С.О. Об одном способе стабилизации сопряженных переменных линейных динамических оптимизационных задач с фазовыми ограничениями // Автоматика и вычислительная техника: Межвуз. сб.научн. тр. Серия 15, вып 4 /ЕрПИ.-Ереван, 1978.- С. 122 - 126.

20. Симонян'С.О. Прикладные аспекты применения ДТ-преобра-зований при построении траекторий равновесных состояний динамических сизтем // Электронное моделирование. - 1993.- № 2.- С. 58 - 65.

21. Симонян С.О. Субградиелтная локальная 1-модель и Т-ал-горитм решения задач математического программирования // Вопросы повышения эффективности систем управления технологическими процессами: Сб. статей /Национальный комитет СССР по автоматическому управлению,- Ереван, 1991.- С. 104 - 123.

22. Симонян С.О., Адэмян Г.В. К одному способу решения го-лоиомных задач при автоматизации проектирования систем // Вторая Республиканская научно-техническая конференция "Современные системы автоматического управления и их элементная база": Тез. докл.

- Ереван, 1586. - С. 34,

23. Симонян С.О., Ацамян Г.В. Об одном подходе к рчиению [щнамических экстремальных задач на основе дифференциальных преобразований ■// Республиканская научно-техническая конференция "Приборы и системы управления":Тез.докл,- Ереван, 1989.- С.15-16.

.24. Симонян С.О., Адамян Г.В. О регулярных алгоритмах решетя систем конечных уравнений, основанных на одномерных дифференциальных преобразованиях//Электронное моделирование. -1989.- № 5.

- С. 8 - 14.

25. Симонян С.О., Адамян Г.В. Приближенное решение задач нелинейного программирования применением Т-формализма //Всесоюзная конфе^нши "Моделирование-85". Теория, средства,применение: Тез. докл.- Киев, 1985.- С. 47.

26. Симоняи С.О., Адамян Г.В. Т-модель и алгоритм решения одного класса динамических экстремальных задач // Вопросы повышения эффективности систем управления технологическими процессами: Сб. статей /Национальный комитет СССР по автоматическому управлению.- Ереван, 1901.- С. 124 - 138.

27. Симоняи С.О., Адамян Г.В., Чилингарян М.Г. Комбинированный метод решения си?тем нелинейных уравнений / ЕрТШ. - Ереван, 1088.- 8 с. Леп. в АрмГОШНТИ, 73-Ар.88.122

28. Симонян С.О., Адамян Г.В., Чилингарян М.Г. К построению универсальных вычислительных структур для решения задач математического программирования // Вторая Всесоюзная конференция по

. актуальным проблемам информатики и вычислительной техники, информатика 1907: Тез. докл.- Ереван, 1987.- С. 158 - 159.

29. Симонян СО., Хачатрян Ф.С. Вопросы масштабирования и экстремальные оценки значений функции и постоянной Валентайна // Вторая Республиканская научно-техническая конференция "Новые достижения в области приборостроения": Тез. докл.- Ереван, 1032,-С. 22 - 23.

30. Симонян С. 0., Хачатрян Ф. С. Гибридная параллельная структура, используемая при решении оптимизационных задач АСУ // Всесоюзная научно-техническая конференция "Теория систем и разработка АСУ": Тез. докл.- Москва, 1979.- С, 22 - 23.

31. Симонян С.0., Хачатрян Ф.С. Метод вырожденных матриц .решения задач оптимального управления // Вторая Республиканская научно-техническая конференция "Новые достижения в области приборостроения": Тез. докл.- Ереван, 1082. - С. 18 - 18.

',,32. Симонян С.О., Хачатрян Ф.С. Метод детерминантных уравнений'в прикладной теории оптимальных систем: системы с "жесткими" ограничениями и частично закрепленными краевыми условиями // Вопросы повышения эффективности систем управления технологическими ,процессами: Сб. статей /Национальный комитет СССР по автоматическому управлению.- Ереван, 1991.- С. 137 - 145.

.33. Симонян С.О., Хачатрян Ф.С., Адамян Г.В., Об одной эф фек'гиъноя программе многовзриантного анализа движений стабилизт: руомпго летательного аппарата // Межвуз. тематический сборник н; учных трудов по автоматике, вычислительной технике и элоктрони

рПИ. - Ереван, 1985. - С. 69 - 72.

34. Симонян С.О., Хачатрян Ф.С. Об одном алгоритме решения ;тем конечных уравнения // Всесоюзная конференция по автомати-кому управлению: Тез. докл.- Ереван, 1984.- С. 183.

35. Симонян С. О., Филиппенко Т. К. К стабилизации решений ряженных переменных динамических оптимизационных задач с фазо-и ограничениями // Электроника и методы гибридных вычисления:

иаучн. тр. - Киев, 1978.- С. 159 - 165.

36. Simonyan S.H., Avetlssyan А.С. Ilfectlv aggregation and at" models lor solving pseudoboolean problems ol mathematical grommlns //The problems oi the efficiency Improvement of the trol 3y3tem3 of technological processes Yerevan, ' 1992.- ?. - 42.

37. Simonyan S.H., Avetlssyan A.G. Jordanian reduction of ite systeas and the effective rcethod of their solution //The Ыешз oi the efficiency improvement of the control systems of hnological processes Yerevan, 1992.- P. 14 - 24.

38. Simonyan S.H., Avetlssyan A.G. The parallel g.lobally-vergent method of defining actual routs of algebraic polyno-1з //The problems of the efficiency improvement of the control terns of technological processes .- Yerevan, 1992,- P.25 - 32.

39. - 45. Отчеты о научно исследовательских работах - Инв. : БЭ30025 , 028S504D600 , 028400824138, 02860009709 , 02860089527, 70049802, 02890054349.

Личный вклад автора

В работах [1,2,5,6,22-381 автору принадлежат основные теоре-эские результаты. В работах [3, 4 3 основные теоретические ро-_ ьтаты принадлежат Грездову Г.И., автору и Шихутскому А.Л. Прак-еские результаты этих работ, а также результаты, полученные в оте [7], принадлежат всем соавторам в равной степени. Работы -451 выполнялись под руководством и ггри непосредственном учас-автора.

ЮМ,