автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимизация распараллеливания вычислений для моделей течений, осложненных физико-химическими процессами

На правах рукописи

Нуждин Николай Владимирович

Оптимизация распараллеливания вычислений для моделей течений, осложненных физико-химическими процессами

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иваново 2004

Работа выполнена в Ивановском государственном энергетическом университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты: Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ясинский Федор Николаевич

доктор технических наук,

профессор Годлевский Владимир Александрович

доктор технических наук,

профессор Калинин Евгений Николаевич

ОАО «Зарубежэнергопроект» г. Иваново

Защита состоится «23 » декабря 2004 года в «10» часов на заседании диссертационного совета К 212.062.02. в Ивановском государственном университете по адресу 153025, г. Иваново, ул. Ермака, 39, учебный корпус №1, ауд. 318.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИвГУ. Автореферат разослан «22» ноября 2004 года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета К 212.062.02.

Озерова Валентина Михайловна

Введение

Актуальность темы. Математическое моделирование течений, осложненных физико-химическими процессами, актуально в следующих областях.

1. Определение условий сжигания топлива в энергетике и на транспорте, при которых достигается максимальная энергетическая эффективность и возникает минимальное количество экологически вредных выбросов. Разработка устройств, в которых реализуются указанные режимы горения.

2. Создание конструкций, топлив и режимов работы аэрокосмических двигателей, обладающих высокими силовыми характеристиками, и минимальным воздействием на атмосферу.

3. Моделирование процессов в химических и газодинамических лазерах.

4. Оптимизация химических реакторов, использующих традиционные технологии и создание новых на основе неравновесной плазмохимии.

5. Исследование экологических процессов в реках, озерах и водохранилищах.

Ограничимся перечисленными областями, хотя указанный список легко может быть расширен.

Необходимо сразу же указать, что численное моделирование процессов в указанных областях связано с очень большими вычислительными затратами.

Положение еще усугубляется, если нужно не только промоделировать работу некоторого устройства, но и найти наилучшее инженерное решение, т.е. организовать поиск по некоторым параметрам, связанный с перебором вариантов.

Указанные вычислительные трудности являются существенным препятствием на пути создания совершенных устройств, отличающихся высокой продуктивностью, низкими энергозатратами и экологической безопасностью.

Цель работы. Цель настоящей работы это снижение затрат машинного времени при моделировании течений, осложненных физико-химическими процессами, посредством:

1. Разработки специализированных быстрых алгоритмов, высокая эффективность которых достигается за счет использования при их конструировании некоторой априорной информации об изучаемых процессах, а также выработка оптимальной вычислительной стратегии для задач такого рода.

2. Применением высокопроизводительной многопроцессорной вычислительной техники, позволяющей распределить весь объем вычислительной работы между множеством процессоров. При этом эффективность использования такой техники остро зависит от принятого распределения (распараллеливания) вычислений между процессорами. Поиск оптимального распараллеливания - важнейшая

цель этого исследования. Кратко резюмируя, цель настоящей работы состоит в выработке вычислительной стратегии, позволяющей за минимальное время решать высокоразмерные задачи физико-химической газодинамики посредством построения быстрых алгоритмов, специально настроенных на задачи такого рода и отыскания оптимального распараллеливания при реализации этих вычислений на многопроцессорных вычислительных усгройствах.

Практическая ценность. Весь комплекс вычислительных приемов, предложенный в диссертации, позволяет резко сократить затраты машинного времени при реализации на многопроцессорных вычислительных системах различных моделей физико-химической газодинамики.

Это в свою очередь позволяет повысить размерность решаемых задач (например, увеличить число химических реакций, учитываемых моделью) и таким образом приблизить модель к действительности.

Возросшая адекватность модели и возможность перебора вариантов позволяют находить более совершенные инженерные решения в выше указанных областях.

Автор защищает

1. Избранную вычислительную страте! ию, состоящую в приведении уравнений физико-химической газодинамики к единой форме и их расщепление по процессам и координатам, допускающее применение скалярных прогонок и отдельное интегрирование уравнений химической кинетики.

2. Исправление спектров решений посредством чередования в определенных долях в процессе интегрирования явных и неявных разностных схем.

3. Применение асинхронного интегрирования для решения уравнений химической кинетики. Это резко повышает быстродействие для больших и жестких систем.

4. Представление о вычисляющей среде и его использование для оптимального геометрического распараллеливания.

Публикации и апробация работы. Полученные автором результаты, опубликованы в следующих изданиях.

1. В.В. Пекунов, HB. Нуждин. Имитаторы многопроцессорной вычислительной системы на персональном компьютере и работы компьютерных сетей в режиме супермашины // Труды Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и их приложения". Издательство МГУ, Черноголовка, 2000 г. 159-161 стр.

2. Н.В. Нуждин, В.В. Пекунов, С.Г. Сидоров, Л.П. Чернышева, Ф.Н. Ясинский. Опыт распараллеливания вычислений для моделей процессов в сплошных

средах // Тезисы докладов на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001 г., с. 461.

3. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. О математическом моделировании движения реагирующих сред //Вестник ИГЭУ, выпуск 1,2002 г., стр. 125-127.

4. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. Представление о вычисляющей среде и его применения для распараллеливания алгоритмов в механике жидкости и газов // Вестник ИГЭУ, выпуск 2,2002 г., стр. 85-86.

5. Ф.Н. Ясинский, Н.В. Нуждин, В.В.Пекунов, Ускорение и распараллеливание вычислений для моделей течений реагирующих сред // Семинар Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Доклад на семинаре, май 2002 г.

6. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. О математическом моделировании аэродинамических и тепловых технологических процессов // Известия высших учебных заведений. Технология текстильной промышленности, № 1,2003 г., стр. 130-134.

7. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. Об эффективности комбинированных методов решения задач математической физики // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XI Бенардосовские чтения), т.1, Иваново, 2003 г., стр. 85.

8. Э.Ф. Балаев, Н.В.Нуждин, В.В. Пекунов, С.Г. Сидоров, Л.П. Чернышева, И.Ф. Ясинский, Ф.Н. Ясинский. Численные методы и параллельные вычисления для задач механики жидкости, газа и плазмы. Учебное пособие и монография. Издательство ИГЭУ, Иваново, 2003 г., 336 с.

Эти публикации сопровождались выступлениями на конференциях и

съездах, указанных в пунктах 1,2,5,7.

Глава 1. Основной объект. Исходная система уравнений и ее расщепление

Изучаемые в данной работе алгоритмы удобно рассмотреть на следующей типичной задаче физико-химической газодинамики.

Дана двумерная достаточно большая сопловая решетка. Через соприкасающиеся сопла подаются среды, которые в дальнейшем перемешиваются и вступают в реакции. В результате выделяется тепло, изменяется температура, возникают и исчезают составляющие среду вещества. Поскольку количество сопел в решетке весьма велико достаточно рассмотреть лишь один повторяющийся элемент этого периодического поля (рис. 1.2.)

Рис. 1.1 - Двумерная неограниченная сопловая гребенка, через которую подаются две взаимодействующие среды 81 и 82. Среды перемешиваются и вступают в реакции.

Рис. 1.2. Повторяющийся элемент периодического поля, показанного

на рис. 1.1.

Область, где будут моделироваться процессы обозначена через П, а ее границы соответственно Г*1, Г2, Г3, Г4, Г5.

Для всех интересующих нас величин (составляющие скоростей, давление, плотности компонентов, температуры и др. на указанных границах будут заданы следующие краевые условия

Г„ Г2 - условия первого рода, Г3, Г4 - периодические условия, Г5 - мягкие граничные условия.

Процессы, происходящие в области £2 будем описывать следующими уравнениями.

Основные уравнения. Уравнения движения среды и процессов в ней происходящих для представленного устройства возьмем в следующем виде.

Уравнение неразрывности

д! ¿?дх, ¿?дх\ ]=1,2.

0.1)

Величина в правой части этого уравнения учитывает влияние турбулентности и кроме того играет роль стабилизатора. Здесь р - плотность среды, t - время, х, - декартовы координаты, и, - составляющие вектора скорости, - кинематический коэффициент диффузии для плотности.

Уравнения движения.

Зи, ^ Эи, 10Р г а

-!-+> „ -!_=---+у-

Й ^ 'Эх, рс^ удх-1 1=1,2.

Б

дщ "Эх

(1.2)

J /

Р - давление, 0„ - кинематический коэффициент диффузии для скорости. Уравнение энергии.

31 г! ЭЬ 3

-+> II: - = У--

т у 'дх, удх1

+Р».

1).

эь

ЭР

Эх/

2 + / , Л Эи2 г \

1^*1

+2Ч<

(0„

(1.3.)

Ь - теплосодержание (энтальпия) среды

А = IРш ФЬ К = К + ¡с„{т>Я |+ К

(1.4)

а - номер вещества, входящего в смесь. ра, сра - ею теплосодержание, плотность и теплоемкость. Т - абсолютная температура, К - кинетическая

энергия турбулентных пульсаций, - соответствующей диффузионный коэффициент, соа - скорость химической реакции номер г . Если в среде происходят химические реакции и их стехиометрические уравнения имеют вид

а я

(1.5)

то скорость реакции можно записать как

Уаг

а>г=КГгП

Ра

м„

-КЬгП

Ра чМа

(1.6)

Ха - символ некоторого вещества,

а«,, Ьаг - стехиометрические коэффициенты,

КГг, КЬг - константы скоростей прямой и обратных реакций,

М„ - молекулярный вес вещества Ха .

Участвующие в реакциях и движении вещества, подчинены уравнениям

у др"и> = у 8

д1 ¿Г дх, гГдх/ч

^а=МаХ(Ьаг-аа>г

' дх.

(1.7)

(1.8)

В большинстве задач, имеющих практическое значение, движение и перемешивание сред является турбулентным. Наиболее подходящей в данной задаче является двухпараметрическая К-Е модель турбулентности

Ж г Ж

— + > и,— => —

- Г ¡Ъ

дЕ

Л дх, дх,

л л л л

8к = Ои Ск-Е

О

акЛ

г ж га

(

■Эх,

"дх

> /

8Е=(с,Ск-С2Е)|

Ск =

уЗи,

да, Зи —'- + —

дх, дх, | 1 /

(1.9)

(1.10)

(1.11) (1.12)

(1.13)

Соответственно коэффициент диффузии можно вычислить как

"» Е

(1.14)

Здесь ут0| - молекулярная кинетическая вязкость, си, с,, с2 - некоторые полу эмпирические константы.

Константы скоростей реакций в (1.6) в большинстве случаев можно представить в виде Аррениуса

Кг =К0Г Тт,е Е т (1.16)

Кот, тг, Ег - постоянные характерные для г-реакции.

Приведение уравнений к единой форме и расщепление полученной системы. Очевидно, что все приведенные выше уравнения можно переписать в форме

dQ dQ dQ д ndQ } Э

— + ii,-— -Ч1г—■— =- D— +-

at Эх, dx2 Эх, ^ Эх, J дхг

Под Q понимается любая из следующих величии Q=(p, u„ u2, h, p„ p2,..., pN, К, E)

D

3Q4!

3x

+ F„

2 У

(1.17)

(1.18)

N - число веществ, участвующих в происходящих процессах. - функции, которые в дальнейшем называются источниками. Выражения, определяющие Р0, легко могут быть получены из сопоставления (1.17) с приведенными выше уравнениями.

Система (1.17). (1.18) в соответствии с правилами локально-одномерного способа расщепляется на подсистемы

dt Эх, дх, ^ Эх,

8Q 8Q —+и dt

' Эх2 дх2

Эх

Ч У

dQ dt

= Fn

(1.19)

(1.20) (1.21)

В пределах малого шага по времени т уравнения (1.19), (1.20), (1.21) интегрируются последовательно. При этом результаты, полученные при решений предыдущего уравнения, являются исходными для следующего. Уравнение (1.19) интегрируются методом прогонок параллельных оси х,. Соответственно в (1.20) используются прогонки параллельные х2. Уравнение (1.21) решается с помощью неявной схемы или метода Головичева-Рожкова. При построении разностных схем для (1.19), (1.20) используются противоточные производные.

Соответствующие разностные схемы будут иметь следующий вид. Например для (1.19) получим

;(<с ■Н^к^Г'Кк+|<|)(<г))= Т 21,1 (1.22)

=+- ог)- +о?- Л<Г -

Здесь нижние индексы у соответствуют номерам (горизонтальному и вертикальному) узлов сетки, наброшенной на область П; Ь], Ь2 - гааги сетки по осям х„ х2-

Верхний индекс соответствует номеру момента времени. Очевидно, это уравнение можно привести к виду, в котором искомые значения , соответствующие новому моменту времени, собраны в левой части равенства.

(1.23)

в{{,с-|, - коэффициенты, получающиеся при приведении (1.22) к форме (1.23). К ней удобно применить метод ирогонки. Для этого решения ищется в виде

= (1.24)

После подстановки (1.24) в (1.23) находим выражения для вычисления прогоночных коэффициентов

Ькьц=-С5/(в5+А5Ц) (1.25)

м^=&- АЦМ^ДВ,!;+(1.26)

С помощью (1.25), (1.26), двигаясь по узлам вправо, находим все а

затем с помощью (1.24). двигаясь влево но узлам, определяются все соответствующие первому этапу вычислительного процесса (1.19). Эти операции выполняются для всех горизонтальных линеек узлов в области П.

Вторым этапом аналогичные операции выполняются для всех вертикальных столбиков узлов, но уже с разностной схемой для уравнения (1.20). На третьем этапе шага по времени интефируется система (1.21).

ВЫВОДЫ К первой главе. Рассматриваются процессы, происходящие в пространстве за двумерной сопловой решеткой, где происходит турбулентное перемешивание химически реагирующих сред, сопровождающееся выделением тепла. Предложена математическая модель для описания указанных процессов.

Все уравнения модели приводятся к единой форме.

Система уравнений расщепляется на конвективно-диффузионную и физико-химическую части.

Двумерная конвективно-диффузионная подсистема в свою очередь расщепляется на совокупность одномерных систем, которая интегрируется с помощью одномерных скалярных прогонок.

Физико-химическая подсистема интегрируется или с помощью метода Головичева-Рожкова или модифицированного метода Ньютона.

Предложенная вычислительная стратегия пригодна для исследования как нестационарных процессов, так и для отыскания стационарных решений методом установления.

Указанная стратегия удобна для реализации на многопроцессорных вычислительных устройствах.

Глава 2. Чередование явных и неявных разностных схем в процессе интегрирования уравнений математической физики

В результате расщепления исходной системы уравнений мы приходим к уравнению вида (1.19)

Рассмотрим искажения, которые вносятся в искомое решение различными разностными схемами.

Для упрощения заменим (2.1) на следующее уравнение, предположив, что D = const,, u(*)= const2. В данном случае это допущение не имеет принципиального значения

(2.1)

Эи nd2V

(2.2)

дх

Поскольку уравнение (2.2) является линейным, его общее решение можно переписать в виде такой суммы

N

U(t,x)=Xв-eiИD(I"",)e"DB°, (2-3)

»=1

Здесь общее решение слагается из N - волн с амплитудами В„ и волновыми числами со,.

Пусть теперь сеточное решение ищется с помощью следующей явной разностной схемы

1(иГ _ и?). -Л(2А)

' и Ь Ь2

т - шаг по времени, Ь - пространственный шаг сетки.

Запись и* - означает величину искомой функции х) узле сетки номер j в момент времени к

Опираясь на (2.4), для сеточного решения можно написать

и^-и'.е1", ир'-иу-з 1

Здесь в - некоторый комплексный множитель.

Подставив (2.9) в (2.7), после очевидных преобразований найдем

(2.5)

в,,, = + (2.6)

Бели воспользоваться неявной схемой

ик+1 - ик 1Гк+1 - 1Тк+1 11к+1 - 2Ик+1 + 11к+1

_= иК , р И

т 21» ь1

(2.7)

то получим

^НЯ1 - 7 «К

1 + 2— [1-С08Й)Ь)+1 — со$шЬ

I ъг Г ' ь

Рассматривая все эти выражения, можно видеть, что каждая разностная схема вносит свои искажения в получаемое решение.

Ниже мы рассматриваем способ преодоления этих спектральных искажений чередования явных и неявных разностных схем в процессе интегрирования.

Если поочередно применять, то явную, то неявную схемы, то переходный множитель для каждой пары шагов будет равен

Не трудно показать, что полученный алгоритм всегда устойчив, |8с(т,| < 1. Чередование явных и неявных схем позволяет исправить спектральный состав результирующих полей.

Доли, в которых применяются явные и неявные схемы, могут регулироваться

Здесь Ш1, ш2 - число применений явной и неявной схем в комбинированном шаге, который равен т = т,т,+т2т2. Здесь тн т2 - шаги для явной и неявной схем. Отметим, что при т,=т2 и ш,=т2=1 вычислительный процесс будет устойчив.

Маневрируя числами применений явной и неявной схем Ш| и т2 и временными шагами т, и т2 , можно эффективно управлять вычислительным процессом, обеспечивая высокую точность решения при минимальных затратах машинного времени.

Указанные выше теоретические соображения были проверены в численном эксперименте, в котором чередовались в различных пропорциях шаги по явной и неявной схемам. Результаты этих экспериментов для случая Т| =т2 =т и гп1=т2 подтвердили, что комбинированный алгоритм имеет весьма обширную область устойчивости.

ВЫВОДЫ КО второй главе. Применение способа чередования явных и неявных схем в процессе интегрирования уравнения (2.1) позволяет:

• несколько исправить "спектральный портрет" получаемого численного решения, приблизив его к истинному решению, так как явная и неявная схемы вносят каждая свои искажения, которая полярны друг по отношению к другу.

• области устойчивости комбинированного способа и чисто неявной схемы практически совпадают.

• затраты машинного времени для комбинированного способа меньше чем для неявной схемы, так как явная схема содержит меньше операций.

Ниже этот комбинированный алгоритм широко применялся и оказался весьма удобным и эффективным.

(2.9)

(2.10)

Глава 3. Математическое моделирование кинетических

процессов

Решение задач численного моделирования химических процессов представляет практическую ценность и естественнонаучный интерес.

Однако при интегрировании уравнений химической кинетики возникает ряд математических трудностей из-за одновременного присутствия очень медленно и очень быстро протекающих химических реакций. При решении этих задач многие вычислительные методы дают сбой. Для них разрабатываются специальные алгоритмы.

Моделирование кинетики химических процессов рассматривается нами на примере реакции окисления метана. Выбор такою объекта исследования обусловлен тем, что в последнее время перед человечеством все острее встают вопросы загрязнения окружающей среды и истощения запасов органического топлива, прежде всего нефти. Одним из путей решения этих вопросов является использование экологически чистого жидкого топлива, получаемого из газа. Таковым может быть метанол, получаемый при конверсии метана.

Под прямой задачей химической кинетики понимают задачу нахождения концентраций участвующих в реакции веществ в любой момент времени, исходя из известных начальных концентраций, схемы реакции и констант скоростей отдельных стадий.

Математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая полностью определена указанным набором химических реакций и имеет вид:

(1С К N. К ЛГ . /, п

I - У р л иг1"* -У Т 4 Т\ Г щ ■ , '

где С, - концентрация /-го вещества; А, - константа скоростиу'-й реакции.

Правая часть каждого /-го уравнения включает два члена: положительный, выражающий скорость приращения количества г'-го вещества, и отрицательный, выражающий, соответственно, скорость убывания.

Для концентрации веществ, участвующих в реакции окисления метана, приняты следующие обозначения: Соединение СН4 02 СН, Н02 СН300 СН20 ОН Концентрация С1 С2 С3 С4 С5 С6 С7 Соединение Н20 НСО СО Н202 С02 Н Н2 С2Н6 Концентрация С8 С? С10 Си С12 С,3 См С,5

Выпишем систему дифференциальных уравнений для изменения концентрации веществ, участвующих в реакции.

л осг ж ¿с л

ж

= Л„СЭС4 — 4С.С, — А4С,С7 - АЧС,С4 — АиС,Сп

= АцС4 + ЛцС4С7 + А16С4С1} + А17С3С4 — А1С,С2 — А2С2С, — А6СгС6 — А1С2С, -=+Д,С,С7+а%схс4 + А,хсхсп - а2с2с} - 2А,,с; - а,7с,с4 = А,С,С2 + А6С2С6 +А7 С2С, — АгС,С4 — А,СаС6 — 2АНС4 — А, 5С4С6 — \кС4С„

А17С3С4 = А2С2С, — Л3С,

6 - /<3С, А,С6С7 А6С2С6 А,С,Сь <412С6С13 = А.С\ — А4С,С7 — А,С6С7 — А10С7Ст ~ А,5С4С7

¿С, <к ¿С, Л

л

—~ = А4С]С, + А,с.с, + А15С4С.

с/С, Ш ¿С, Л

- А,С6С7 + А6С2С6 + А9С1С6 + А12С6С,п - А,С2С7

Ш-— А Г С —4 Г Г

лс, л

^-^а,с,с4+а9с4с6+а„с24

с/С,

3-- А С С

ф ~ 10 7^10

- — А0С-,С[п — АцСгС13 — А12С6С13 — А[6С4 Сп м

— АиС,С13 + А,2С6Сп + А16С4С\1

я*

л

^15 _ . Г2

I л 11 3

(3.2)

Математическая модель представляет собой задачу Коши с начальными условиями С?[СН4]= 0,29 и С®[02] = 0,71- Остальные С? = 0.

Численные методы решения кинетической задачи. Для

кинетических систем указанного типа характерно наличие быстро и медленно меняющихся переменных. Быстрые переменные практически мгновенно подстраиваются под изменения медленных.

Наличие быстрой и медленной подсистем определяет трудности, возникающие при численном решении прямой кинетической задачи. Для достаточно точного вычисления решения по быстрым переменным необходимо

выбирать шаг интегрирования значительно меньшим, чем полное время протекания процесса, определяемое изменением медленных переменных.

Системы дифференциальных уравнений, описывающие поведение как быстрой, так и медленной подсистемы, называются жесткими. Основные сложности, возникающие при численном решении прямой кинетической задачи, связаны именно со свойством жесткости этой задачи.

Задача Коши является жесткой, если в локальной области она устойчива, т.е. собственные значения якобиана правых частей дифференциальных уравнений имеют отрицательные действительные части: Яе(Л,)<0, и ЯеМ^/ЯеМ^)»!.

В задачах химической кинетики локальная жесткость может достигать порядка 1044 - 1049. Трудности решения жестких задач может накладывать требование абсолютной устойчивости метода, связанное с малыми возмущениями, возникающими в процессе реализации метода на цифровой машине. Действительно, величина шага интегрирования должна выбираться так, чтобы 31шит принадлежало области абсолютно устойчивости метода, таким образом, шаг интегрирования согласуется с характерным временем быстрого процесса Яе( ), в то время как характерное время медленного процесса Яе( -Ят1П) много больше, и необходимое число шагов интегрирования будет сравнимо с |Ке(Я1[шх )|/|Ке(Ятш)|.

Для того чтобы избежать этого ограничения, и, чтобы выбор шага определялся лишь соображениями точности решения, при решении задач Коши используют специальные жестко устойчивые численные методы, например, такие как метода Гира.

Асинхронный метод. При моделировании жестких систем дифференциальных уравнений с помощью простых методов основная часть затрат машинного времени связана с выполнением многочисленных итераций, которые обусловлены маленьким шагом интегрирования. Для того чтобы избежать такого ограничения можно воспользоваться асинхронным подходом.

Сущность асинхронного метода состоит в формальном разделении системы дифференциальных уравнений на быструю и медленную подсистемы, каждая из которых имеет свой шаг интегрирования.

Пусть быстроменяющийся параметр представляет собой «быструю» подсистему, остальные параметры - «медленную». *медл - шаг по времени, для медленной подсистемы 1к + тМС(Ъ1 и Тоыпр - шаг по времени для быстрой подсистемы, причем тмед , = Л^*т6ыстр,

где Лг— целое число; хк, - значение х, в момент времени ^;

Для быстро меняющегося параметрах, выполняем Л'раз интегрирование с шагом Тдыгл-Р. вычисление параметров не принадлежащих «быстрой» подсистеме не происходит.

Как только вычисление х, закачивается, для «медленной» подсистемы выполняем интегрирование с шагом тмсдл.

Такой метод позволяет значительно сократить количество вычислений и избежать вычислительной неустойчивости.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ АСИНХРОННОГО МЕТОДА. Рассмотрим в качестве параметра, по которому можно произвести разделение системы, значение константы скорости реакции. Поскольку вещества СН20, ОН, Н20, НСО имеют реакции со значением константы скорости выше 1013, то они составили «быструю» подсистему.

Интегрирование с помощью асинхронного метода, происходит на основе схемы Рожкова. Отношения шага интегрирования «медленной» подсистемы к «быстрой» рассматривается равным 10.

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

На рис.3.1. представлен график, отражающий разность между решениями, полученными в результате применения синхронного и асинхронного методов.

АС- среднеквадратическое отличие решений; т - шаг интегрирования «быстрой» подсистемы.

Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

График на рис.3.2 отражает затраты времени в зависимости от шша интегрирования.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод о том, что за счет применения асинхронного метода при интегрировании жестких систем

дифференциальных уравнений удалось в кинетической задаче сократить время вычислений приблизительно в 2,5 раза по сравнению с синхронным методом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ. Реализованы основные этапы вычислительного эксперимента, который заключался в нахождение концентраций веществ в любой момент времени, исходя из начальных концентраций, схемы реакции и констант скоростей отдельных стадий. Сложная реакция окисления метана была исследуемым объектом.

В результате построена математическая модель химического процесса, которая представляла собой жесткую систему дифференциальных уравнений.

Проведено сравнительное исследование двух методов синхронного и асинхронного интегрирования для определения наиболее эффективного из них. Это сравнение сначала производилось на модельной задаче, а затем для задачи о конверсии метана.

Разработаны программы, реализующие данные методы, проведены численные эксперименты.

Результаты исследования, представленные в графическом виде, отражают зависимость концентраций компонент системы от времени.

Итогом стало доказательство эффективности использования асинхронного метода для решения жестких систем дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику.

Глава 4. Представление о вычисляющей среде и его применение для распараллеливания алгоритмов в механике жидкостей и газов

Пусть с помощью многопроцессорной вычислительной системы решается задача из области механики сплошной среды.

Предположим, что пространство, в котором движется среда, некоторым образом делиться на части и каждая из этих частей закрепляется за определенным процессором. Процедура разделения пространства на области и их распределение между процессорами называется геометрическим распараллеливанием.

Распараллеливание оптимально, если затраты машинного времени на решение задачи минимальны.

До недавнего времени число процессоров в вычислительной системе измерялось десятками и сотнями. К настоящему времени созданы вычислительные комплексы, число процессоров в которых - тысячи и десятки тысяч.

В таких случаях мы предлагаем множество процессоров рассматривать как некоторую сплошную вычисляющую среду, которая движется и сжимается там, где интенсивность вычислений выше.

Будем рассматривать две среды: реальную физическую и виртуальную вычисляющую. Ставится задача о движение этих сред, причем движение

вычисляющей среды должно быть таким, чтобы минимизировать общие затраты машинного времени.

Ограничимся многопроцессорными системами с распределенной памятью, как наиболее приспособленными для задач механики жидкостей и газов.

Для этих устройств в информационном смысле самым узким местом являются каналы для передачи данных от процессора к процессору. Их низкая пропускная способность в многих случаях существенно сдерживает быстродействие всей системы. Именно поэтому приходится придерживаться заявленного нами принципа: "все процессы в каждом процессоре", суть которого состоит в том, что все физические процессы, происходящие в некоторой области полностью моделируются процессором, за которым закреплена эта область. Поступаем таким образом, чтобы избежать распараллеливания по физическим, химическим или иным процессам, при котором не избежать передачи по каналам связи больших массивов.

Наилучшие распараллеливание удается получить, если процессоры обмениваются лишь данными о состоянии полей на стыках между областями, так как при этом объем передаваемых данных минимальный. Эти соображения подсказывают, что предварительно наилучшее разбиение пространства это такое, при котором площадь поверхности, разделяющей процессорные области, наименьшая. В частном случае это "процессорные соты" при равномерном распределении вычислительной работы в разбиваемой области.

Предлагается следующая модель для написания движения и состояния вычисляющей среды. Пусть процессор П; обрабатывает область О,, объемом £2, и поверхностью с площадью . Если ввести некоторый эквивалентный размер , то можно написать

О, = в; = (4.1)

где п - размерность пространства (п=1,2,3).

Затраты машинного времени процессором Ц на один шаг физического времени пропорциональны трудоемкости вычислений в области Оь которую мы обозначим через и объему этой области

Тсош! =<;А/Всот =<;^"/Всот И-2)

Всот - быстродействие процессоров П!.

Соответственно время на передачу данных через границы пропорционально поверхностной плотности передаваемых данных ^ и площади поверхности стыка данной области с окружающими областями.

/В1пм /В{гам (4.3,

Btra„, - пропускная способность каналов связи, соединяющих процессор Ц с соседними процессорами.

Здесь уместно отметить, что между С,\ и ^ существует связь. Во многих случаях они могут быть пропорциональны. Очевидно, затраты машинного времени при работе lis равны наибольшему из Т,Г!Ш, ■,, T^,,, s.

Т1ок s = max(Tcora ,, Ttrans ¡) (4.4)

Tiok i - локальное машинное время, которое потребуется для выполнения всех вычислений по области Oj и обмена данными с соседними областями. Введем понятие о вычислительном давлении и процессорной плотности в области Oi.

Pi = "AT, ok | (4.5)

р1=1/П(. (4.6)

Здесь A - параметр оптимизации распараллеливания.

Примем, что вычисляющая среда будет двигаться до тех пор пока вычислительное давление в ней всюду не выровняется. Очевидно, что получаемое при этом распараллеливание будет оптимальным, так как уравниваются локальные вычислительные времена для всех процессоров. Предполагается, что все процессоры в системе одинаковы.

Рели число процессоров велико, то можно отбросить индекс i и перейти к

континуальному описанию

Тсот =ф"!/Всот (4-7)

Ttraos=42np-(n-l)/n/Btran8 (4.8)

Р = ~ATlok = - А тах(ТС0Ш, Ttrsms) (4.9)

р = -А шах(ф-' в£т ^2nB-r!tnsp-(n-,>/" ) (4.10)

Последнее выражение можно назвать уравнением состояния вычисляющей среды. Если в процессе вычислений количество процессоров не меняется, тогда для процессорной плотности вычисляющей среды справедливо уравнение неразрывности

+ div(pu)=0,

(4.11)

где и - вектор скорости, с которой движется вычисляющая среда. Во многих задачах для определения и будет достаточно следующего уравнения

В = -§га<1р (4.12)

Совокупность уравнений (10). (11), (12) определяет постановку задачи о движение вычисляющей среды.

Для реализации описанного алгоритма движения вычисляющей среды удобен известный метод "частиц в ячейках".

Отметим, что при использовании этого метода число "частиц" взятых для расчета может быть существенно меньше числа фактически работающих процессоров.

При расчете движения процессорной среды пересчет трудоемкости вычислений С, и плотности передаваемых данных на расчетной сегке нужно производить с частотой один раз на М шагов по времени. М и А подбираются.

Результаты наших численных экспериментов по распараллеливанию течений, осложненных физико-химическими процессами, позволяют надеяться, что предложенный здесь подход к процедуре распараллеливания перспективен.

Глава 5. Математическое моделирование течения реагирующих сред. Оптимальное распараллеливание.

Были решены три задачи о моделировании процессов для движущихся и реагирующих сред.

Дан сосуд. В сосуд ведут две трубы, а из сосуда выходит одна труба. В первую трубу поступает водяной пар, насыщенный водородом, во вторую -водяной пар, насыщенный кислородом. В сосуде среды перемешиваются, кислород и водород реагируют друг с другом с выделением тепла. В результате реакции образуется водяной пар. Из третьей трубы выходит водяной пар с остатками водорода и кислорода.

В третьем случае размер сосуда по оси Оу намного больше размера сосуда по оси Ох. В него ведет множество труб (расположенных слева), поступающие вещества, в которых чередуются: в одну трубу поступает водяной пар, насыщенный водородом, в другую - водяной пар, насыщенный кислородом, и т.д. Из сосуда ведет- одна труба (которая расположена справа). Далее рассматривается часть сосуда, охватывающую половины двух труб, в которую поступают вещества и часть трубы, расположенную напротив них, из которой выходит получившаяся смесь. В последнем случае учитывается тот факт, что сосуд состоит из подобных частей, границы которых (параллельные оси Ох) являются осями симметрии сосуда.

В задаче требуется рассчитать поля скорости, давления, температуры и концентраций веществ в сосуде в последующие момен гы времени.

НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. В центре каждой трубы среда имеет максимальную скорость, а по краям трубы скорости равны 0. Исключение составляет третья труба в третьем случае. Поскольку она бесконечна по ширине, скорость газа в каждой ее точке постоянна. Средняя скорость в первой трубе взята в 2 раза меньше, чем средняя скорость во второй трубе, а средняя скорость газов во всем сосуде взята равной 1 м/с. Начальное давление принято равньм 100 атм. Температура стенки сосуда и поступающих сред взята равной 1000 К, за исключением температуры сред, поступающих во вторую трубу в первой задаче. Там она взята равной 1100 А".

Плотность водорода, поступающего через первую трубу, и плотность кислорода, поступающего через вторую трубу, принимаются равными 0.01 от плотности общей смеси. Поэтому в дальнейшем в расчетах часто будут браться характеристики водяного пара, а не всей смеси газов, в виду малости их концентрации.

Таблица 5.1 Граничные условия

Тип iраница Давление Р Скорость U Температур« Г Концентрации С

«Вход» ПБ I i I

«Выход» КБ i IIA НА

«1 ранид«» ПА i I ПА

«Симметричная граница» ПА I1A* ILA ПА

Примечание.

I - граничное условие первого рода; значение на границе задано;

НА - граничное условие в юрою рода; первая производная по расстоянию

равна нулю;

ИБ - граничное условие второго рода; вторая производная по расстоянию равна нулю.

* Исключение: для Uy - граничное условие жесткой симметрии.

Решенные задачи. Задача решалась с помощью 2-х методов: метод перемененных направлений и метод расщепления. Mero а; переменных направлений использовался с целью контроля.

АЛГОРИТМЫ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ.

В соответствии с представлениями о вычисляющей среде ниже приводятся три способа распараллеливания программы для решения поставленной задачи: простое распараллеливания и два пути его оптимизации. Под оптимизацией понимается повышение точности вычислений и/или уменьшение времени их выполнения.

Самый простой алгоритм распараллеливания (алгоритм простого распараллеливания) предполагает распределение узлов сетки примерно поровну между всеми процессорами. Узлы можно распределить но процессорам, как показано на рис. 5.1 (N - число процессоров), то есть, разделив сетку на (примерно) равные полосы по одной из осей координат. При таком способе распараллеливания можно воспользоваться топологией «труба»

при написании параллельной программы. Другой способ распараллеливания состоит в разделении сетки между процессорами на (примерно) равные прямоугольники, близкие по форме к квадратам. При таком способе распараллеливания можно использовать топологию «решетка».

Процессор 0 Процессор 1 Процессор

N-1

Рис.5.1. Простое распараллеливания: разделение сетки на полосы по одной из осей координат

Таким образом, сетка делится на участки, за каждым из которых закрепляется «свой» процессор. Для расчета полей в следующий момент времени, каждый процессор выполняет шаг по времени на своем участке сетки используя на границах с другими процессорами граничные условия первого рода. После этого все процессоры посылают соседним процессорам значения полей в граничных узлах своих участков. Эти значения и используются соседними процессорами в качестве граничных условий.

Время выполнения шага по времени каждым процессором пропорционально количеству узлов сетки, принадлежащих данному процессору. А поскольку на каждом шаге по времени процессоры «ждут» друг друга для обмена значениями граничных узлов, то, чтобы свести к минимуму время работы программы, следует поровну распределять узлы между процессорами.

Чтобы свести к минимуму издержки на обмен значениями граничных узлов, нужно свести к минимуму общую длину границ между процессорами, а она стремится к полусумме периметров участков всех процессоров (с увеличением числа процессоров). Вот почему при большом числе процессоров второй способ распараллеливания более предпочтителен. По этой же причине следует разделять сетку между процессорами на участки, близкие по форме к квадратам.

Используя идеи асинхронного интегрирования, в предложенных способах будут изменяться шаги по времени ц на каждом процессоре, причем на разных процессорах они могут быть разными. Эти шаги тк могут принимать одно из трех значений 5/2, В/3 и 5/4, где В - большой шаг по времени. Итак, для ¿-ого процессора тк = В/8^, где может принимать одно из трех значений: 2, 3 или 4. Обмен значениями граничных узлов будет производиться в конце каждого большого шага по времени В. Для последующего сравнения результатов время выполнения программы следует оставить примерно таким же, как и при использовании алгоритма простого распараллеливания. Этого

можно добиться, если взять в качестве В три шага по времени г, по которым ведется расчет в алгоритме простого распараллеливания, и добавить ограничение

1Л*=ЗЛГ. (5.1)

В исходном состоянии узлы между процессорами распределяются поровну (в соответствии с рис. 5.1). Па всех процессорах принимаются = 3, то есть гк = В/3.

Итак, целью является уменьшение погрешности вычислений (поскольку время вычислений остается прежним). В качестве поля, по которому оценивается погрешность, было взято поле температуры. Хотя, конечно, можно было рассматривать погрешности всех рассчитываемых полей, оценивая, например линейную комбинацию погрешностей этих полей с некоторыми весовыми коэффициентами. Следует также заметить, что погрешность вычисления температуры влияет на погрешность вычисления концентраций веществ, так как вычисленное значение температуры используется при расчеге концентраций.

Для расчета относительной погрешности в каждом узле (у) используется следующая формула:

2\т -Т I

- , (5.2)

Перераспределение узлов между процессорами. Итак, в результате выполнения программы, коэффициенты Б* (а, следовательно, и шаги по времени т*) изменяются. Но вместе с этим изменяется и время выполнения шага по времени каждым процессором. Поэтому, чтобы время работы всех процессоров осталось одинаковым, следует перераспределить узлы между процессорами. Далее излагаются два варианта такого перераспределения узлов.

ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ. Приведенные выше способы были подтверждены практически полученными результатами.

Если при использовании алгоритма простого распараллеливания погрешность составляла примерно 0.46-10'3 то при использовании алгоритмов оптимального распараллеливания она уменьшается примерно до 0.27-10"3.

С другой стороны, если поставлена задача уменьшить время выполнения вычислений, оставив погрешность на прежнем уровне, то можно увеличив шаг по времени так, чтобы погрешность осталась прежней, использовать предложенные оптимальные алгоритмы распараллеливания.

Итак, при увеличении шага по времени и применении алгоритмов оптимального распараллеливания, погрешность в среднем остается прежней, а время выполнения вычислений уменьшается в 1.3 - 1.5 раза.

Таким образом, эффективность изложенных способов составления параллельных программ для моделирования физико-химических процессов, подтверждается.

Заключение ПО пятой главе. Были решены три задачи о моделировании движения реагирующих потоков. Для их решения были использованы два метода: метод переменных направлений и меч од расщепления. Результат работы программы оказался ожидаемым и сохласным здравому смыслу.

Также, в работе был исследован алгоритм простого распараллеливания программ для моделирования таких процессов и были испытаны два способа оптимизации распараллеливания. На практике оба способа дали хорошие результаты.

Результаты исследования в целом

1. Предложена и численных экспериментах испытана вычислительная стратегия, которая состоит в приведении уравнений физико-химической газодинамики к единой форме и ее расщеплении по процессам и координатам, допускающее применение скалярных прогонок и отдельное интегрирование уравнений химической кинетики. Такая стратегия применима к широкому классу задач и весьма удобна при программировании и распараллеливании вычислительных процессов.

2. Предложен и испытан алгоритм, состоящий в чередовании явных и неявных разностных схем при интегрировании уравнений, полученных в результате расщепления исходной системы. Процедура чередования явных и неявных схем дает устойчивый вычислительный процесс, сокращает затраты машинного времени и исправляет спектральный "портрет" решения.

3. Исследовано применение метода асинхронного интегрирования для жестких задач химической кинетики и получено весьма существенное (в несколько раз) сокращение затрат машинного времени при сохранении приемлемой точности. Метод испытан на модельной задаче и на сложной задаче о конверсии метана в метанол (жидкое топливо).

4. Предложена методика распараллеливания вычислений, в которой множество процессоров рассматривается как некоторая вычисляющая среда. Такое представление закономерно, если число процессоров велико. Выведены уравнения для описания такой среды. С помощью этих представлений ищется такое разбиение области на части, обслуживаемые различными процессорами, при которых получается максимальный вычислительный эффект.

5. Рассматривалась задача о реакторе, в котором взаимодействуют два высокотемпературных потока водяного пара, один из которых насыщен водородом, а другой - кислородом. Изложенные в работе способы позволили оптимизировать распараллеливание вычислительных процессов. Численные эксперименты показали, что при таком подходе затраты машинного времени минимальны.

Формат бумаги 60x841/16. Тираж 100 экз.

Печать плоская Заказ 0062

Отпечатано в ООО «ПопиПриит» Россия, 153032, г. Иваново, ул Станкостроителей. 12, офис 3. тел (0932)29-48-35

1 I

!

у

i i

i

i !

¡ E

I

I <

I

I

I

i I

РНБ Русский фонд

2006-4 26522

■ tfl

\ !r г

19 НСГЯ 2004

Введение.

Актуальность темы.

Цель работы.

Практическая ценность.

Автор защищает.

Публикация и апробация работы.

Глава 1. Основной объект. Исходная система уравнений и ее расщепление.

1.1. Основные уравнения.

1.2. Приведение уравнений и расщепление полученной системы.

1.3. Замечания о движении сред, находящихся в неравновесном состоянии.

Выводы к первой главе.

Глава 2. Чередование явных и неявных разностных схем в процессе интегрирования уравнений математической физики.

2.1. Аналитическое исследование устойчивости разностных схем.

2.2. Исследование устойчивости разностных схем в численных экспериментах.

2.3. Выводы к второй главе.

Глава 3. Математическое моделирование кинетических процессов.

О моделировании кинетических процессов.

3.1. Постановка задачи.

3.1.1. Постановка прямой кинетической задачи.

3.1.2. Основные понятие и величины химической кинетики.

3.1.3.Математическая модель.

3.2. Численные методы решения задачи.

3.2.1. Трудности, возникающие при численном решении прямой кинетической задачи.

3.2.2. Метод Гира.

3.2.3. Метод Рожкова.

3.2.4. Численное решение задачи с помощью метода Рожкова.

3.2.5. Полученные результаты.

3.3. Асинхронный метод.

3.3.1. Описание метода.

3.3.2. Применение на модельной задаче.

3.3.3. Численное решение задачи с помощью асинхронного метода.

3.3.4. Полученные результаты.

3.4. Использование многопроцессорной вычислительной техники.

3.4.1. Параллельные вычисления.

3.4.2.Архитектура параллельной вычислительной техники.

3.4.3.Тополигии на множестве процессоров.

3.4.4. Виды параллелизма.

3.4.5. Разработка параллельного приложения.

3.4.6. Эффективность вычислений на многопроцессорной вычислительной технике.

3.4.7. Распараллеливание вычислительного процесса.

Математическое моделирование течений, осложненных физико-химическими процессами, актуально в следующих областях.

1. Определение условий сжигания топлива в энергетике и на транспорте, при которых достигается максимальная энергетическая эффективность и возникает минимальное количество экологически вредных выбросов. Разработка устройств, в которых реализуются указанные режимы горения.

2. Создание конструкций, топлив и режимов работы аэродинамических двигателей, обладающих высокими силовыми характеристиками, и минимальным воздействием на атмосферу.

3. Моделирование процессов в химических и газодинамических лазерах.

4. Оптимизация химических реакторов, использующих традиционные технологии и создание новых на основе неравновесной плазмохимии.

5. Исследование экологических процессов в реках, озерах и водохранилищах.

Ограничимся перечисленными областями, хотя указанный список легко может быть расширен.

Необходимо сразу же указать, что численное моделирование процессов в указанных областях связано с очень большими вычислительными затратами.

Положение еще усугубляется, если нужно не только промоделировать работу некоторого устройства, но и найти наилучшее инженерное решение, т.е. организовать поиск по некоторым параметрам, связанный с перебором вариантов.

Указанные вычислительные трудности являются существенным препятствием на пути создания совершенных устройств, отличающихся высокой продуктивностью, низкими энергозатратами и экологической безопасностью.

Цель работы

Цель настоящей работы это снижение затрат машинного времени при моделировании течений, осложненных физико-химическими процессами, посредством:

1. Разработки специализированных быстрых алгоритмов, высокая эффективность которых достигается за счет использования при их конструировании некоторой априорной информации об изучаемых процессах, а также выработка оптимальной вычислительной стратегии для задач такого рода.

2. Применением высокопроизводительной многопроцессорной вычислительной техники, позволяющей распределить весь объем вычислительной работы между множеством процессоров. При этом эффективность использования такой техники остро зависит от принятого распределения (распараллеливания) вычислений между процессорами. Поиск оптимального распараллеливания - важнейшая цель этого исследования. Кратко резюмируя, цель настоящей работы состоит в выработке вычислительной стратегии, позволяющей за минимальное время решать высокоразмерные задачи физико-химической газодинамики посредством построения быстрых алгоритмов, специально настроенных на задачи такого рода и отыскания оптимального распараллеливания при реализации этих вычислений на многопроцессорных вычислительных устройствах.

Практическая ценность

Весь комплекс вычислительных приемов, предложенный в диссертации, позволяет резко сократить затраты машинного времени при реализации на многопроцессорных вычислительных системах различных моделей физико-химической газодинамики.

Это в свою очередь позволяет повысить размерность решаемых задач (например, увеличить число химических реакций, учитываемых моделью) и таким образом приблизить модель к действительности.

Возросшая адекватность модели и возможность перебора вариантов позволяют находить более совершенные инженерные решения в выше указанных областях.

Автор защищает

1. Избранную вычислительную стратегию, состоящую в приведении уравнений физико-химической газодинамики к единой форме и ее расщепление по процессам и координатам, допускающее применение скалярных прогонок и отдельное интегрирование уравнений химической кинетики.

2. Исправление спектров решений посредством чередования в определенных долях в процессе интегрирования явных и неявных разностных схем.

3. Применение асинхронного интегрирования для решения уравнений химической кинетики. Это резко повышает быстродействие для больших и жестких систем.

4. Представление о вычисляющей среде и его использование для оптимального геометрического распараллеливания.

Публикации и апробация работы

Полученные автором результаты, опубликованы в следующих изданиях.

1. В.В. Пекунов, Н.В. Нуждин. Имитаторы многопроцессорной вычислительной системы на персональном компьютере и работы компьютерных сетей в режиме супермашины // Труды Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и их приложения". Издательство МГУ, Черноголовка, 2000 г. 159-161 стр.

2. Н.В. Нуждин, В.В. Пекунов, С.Г. Сидоров, Л.П. Чернышева, Ф.Н. Ясинский. Опыт распараллеливания вычислений для моделей процессов в сплошных средах // Тезисы докладов на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001 г., с. 461.

3. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. О математическом моделировании движения реагирующих сред // Вестник ИГЭУ, выпуск 1, 2002 г., стр. 125-127.

4. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. Представление о вычисляющей среде и его применения для распараллеливания алгоритмов в механике жидкости и газов // Вестник ИГЭУ, выпуск 2, 2002 г., стр. 85-86.

5. Ф.Н. Ясинский, Н.В. Нуждин, В.В.Пекунов, Ускорение и распараллеливание вычислений для моделей течений реагирующих сред // Семинар Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Доклад на семинаре, май 2002 г.

6. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. О математическом моделировании аэродинамических и тепловых технологических процессов // Известия высших учебных заведений. Технология текстильной промышленности, № 1,2003 г., стр. 130-134.

7. Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский. Об эффективности комбинированных методов решения задач математической физики // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XI Бенардосовские чтения), т.1, Иваново, 2003 г., стр. 85.

8. Э.Ф. Бадаев, Н.В.Нуждин, В.В. Пекунов, С.Г. Сидоров, Л.П. Чернышева, И.Ф. Ясинский, Ф.Н. Ясинский. Численные методы и параллельные вычисления для задач механики жидкости, газа и плазмы. Учебное пособие и монография. Издательство ИГЭУ, Иваново, 2003 г., 336 с. Эти публикации сопровождались выступлениями на конференциях и съездах, указанных в пунктах 1,2, 5, 7.

Результаты исследования, представленные в графическом виде, отражают зависимость концентраций компонент системы от времени.

Основным итогом работы стало доказательство эффективного использование асинхронного метода для решения жестких систем дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

В данной работе реализованы основные этапы вычислительного эксперимента, который заключался в нахождение концентраций участвующих в реакции веществ в любой момент времени, исходя из начальных концентраций, схемы реакции и констант скоростей отдельных стадий. Сложная реакция окисления метана была исследуемым объектом.

В результате выполнения работы построена математическая модель химического процесса, которая представляла собой жесткую систему дифференциальных уравнений.

На этапе построения вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи, проведено исследование двух методов - синхронного и асинхронного для определения наиболее эффективного из них. Это сравнение сначала производилось на модельной задаче, а затем для задачи о конверсии метана.

Разработаны программы, реализующие данные методы, проведены различные эксперименты.

1. Полак JI.C., Гольденберг М.Я., Левицкий А.А. Вычислительные методы в химической кинетике. М.: Наука, 1984.

2. Гехтман Б.Н. Кинетика многоступенчатых реакций. Новосибирск: Наука, 1980.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М. Численные методы -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

4. Ясинский Ф.Н., Чернышева Л.П., Пекунов В.В. и др. Численные методы и параллельные вычисления для задач механики жидкости, газа и плазмы: Уч.пос. Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2003.

5. Левин В.К., Четверушкин Б.Н. Применение высокопроизводительных вычислительных систем для моделирования задачи добычи и горения органических топлив. // Журнал депонированных рукописей. 2003. №3.

6. Применение вычислительной математике в химической и физической кинетике. /Под ред. Л.С. Полак. М.: Наука, 1969.

7. Streett W.B., Tildesley D.J. Multiple time-step methods in molecular dynamics. // Molecular Physics, 1978, № 3.

8. Глава 4. Представление о вычисляющей среде и его применение для распараллеливания алгоритмов в механике жидкостей и газов

9. Вычисляющая среда и описывающие ее уравнения

10. Пусть с помощью многопроцессорной вычислительной системы решается задача из области механики сплошной среды.

11. Распараллеливание оптимально, если затраты машинного времени на решение задачи минимальны.

12. До недавнего времени число процессоров в вычислительной системе измерялось десятками и сотнями. К настоящему времени созданы вычислительные комплексы, число процессоров в которых тысячи и десятки тысяч.

13. В таких случаях мы предлагаем множество процессоров рассматривать как некоторую сплошную вычисляющую среду, которая движется и сжимается там, где интенсивность вычислений выше.

14. Будем рассматривать две среды: реальную физическую и виртуальную вычисляющую. Ставится задача о движение этих сред, причем движение вычисляющей среды должно быть таким, чтобы минимизировать общие затраты машинного времени.

15. Ограничимся многопроцессорными системами с распределенной памятью, как наиболее приспособленными для задач механики жидкостей и газов.

16. Затраты машинного времени процессором на один шаг физического времени пропорциональны трудоемкости вычислений в области Оь которую мы обозначим через Q и объему этой области

17. Tcomi = SA /Bcom = SiC /Всош> (2)

18. Bcom быстродействие процессоров П| .

19. Соответственно время на передачу данных через границы пропорционально поверхностной плотности передаваемых данных ^ и площади поверхности стыка данной области с окружающими областями

20. Ttrans i = £iSi / Вtrans = / Btrans , где (3)

21. Btrans пропускная способность каналов связи, соединяющих процессор П1 с соседними процессорами.

22. Здесь уместно отметить, что между ^ и ^ существуют связи. Во многих случаях они могут быть пропорциональны. Очевидно, затраты машинного времени при работе Щ равны наибольшему из Ttrans i или Tcom i •

23. Tlok i = И1ах(Тсот i, Ttrans j ) , где (4)

24. Здесь А параметр оптимизации распараллеливания.

25. Оптимальное распараллеливание

26. Если число процессоров велико, то можно отбросить индекс i и перейти кконтинуальному описанию1. Тсот =ф"1/Всот , (7)

27. Ttra„s=^2np-(n-1)/n/Btrans , (8)

28. Р = ~ATlok = -Amax(Tcom,Ttrans) , (9)р = -A max(c;p~1B~om,^2nBJj.1ansp"^n~1^n). (10)

29. Совокупность уравнений (10), (11), (12) определяет постановку задачи о движение вычисляющей среды.

30. Из (10) следует, что функция р не является гладкой. Поэтому в некоторых задачах приведенные уравнения придется заменить на следующие108u = -grad £(r), ^(r)=<p(f1).g(r-r1)>.14)

31. Здесь g() подходящая сглаживающая финитная функция, например, взятая в следующем виде

32. В нормирующий множитель, а - параметр, задающий величину области осреднения, <.>- операция осреднения по пространству.

33. Для реализации описанного алгоритма движения вычисляющей среды удобен метод частиц в ячейках, подробно изложенный в 2.

34. Отметим, что при использовании этого метода число "частиц" взятых для расчета может быть существенно меньше числа фактически работающих процессоров.

35. При расчете движения процессорной среды пересчет трудоемкости вычислений £ и плотности передаваемых данных £ на расчетной сетке нужно производить с частотой один раз на N шагов по времени. N и А подбираются.

36. Результаты наших численных экспериментов по распараллеливанию течений, осложненных физико-химическими процессами, позволяют надеяться, что предложенный здесь подход к процедуре распараллеливания перспективен.

37. Н.В. Нуждин, В.В. Пекунов, С.Г. Сидоров Л.П. Чернышева, Ф.Н. Ясинский, Опыт распараллеливания вычислений для моделей процессов в сплошных средах // В сб. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механики. Пермь, 2001 г. стр. 461.

38. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики // В сб. под редакцией К.И. Бабенко. М: Наука, 1979 г., с. 295.где15)

39. Список литературы к четвертой главе

40. Глава 5. Математическое моделирование течения реагирующих сред. Оптимальное распараллеливание

41. О моделировании процессов в реагирующих потоках

42. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ52.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

43. Для исследования поставленной проблемы, были решены три задачи о моделировании процессов для движущихся и реагирующих сред. Формулировка задач следующая.

44. Рис. 5.2.1. Форма сосуда (первый случай)2 м1. труба Aft.1.l труба