автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизация наблюдений в задачах минимаксного оценивания функционалов от решений уравнений с частными производными

ЧЕРНОВИЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ии. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

на правах рукописи

Руснак Николай Андреевич

ОПТИМИЗАЦИЯ НАБЛЮДЕНИЙ В ЗАДАЧАХ МИНИМАКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕРНОВЦЫ - 1992

Работа выполнена на кафедре моделирования сложных систем Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор НАКОНЕЧНЫЙ А.Г.

Официальные оппоненты: I. Доктор физико-математических наук,

Чикркй Аркадий Алексеевич, Институт Кибернетики АН Украины, 2. Кандидат физико-математических наук,

Лавренчук Владимир Петрович, Черновицкий государственный университет

Ведущая организация: институт прикладных проблем механики и математики, г. Пьвов.

Защита диссертации состоится ".<5. . ..... 1992 г.

14

в .'.... часов на заседании специализированного совета К 068.16.05 в Черновицком государственном университете по адресу 27'Ю12, Черновцы-12, ул. Коцюбинского, 2, ЧГУ, математический факультет, ауд. 8. С диссертацией можно познакомиться в библиотеке ЧГУ ( ул. J1.Украинки, 23 )

Автореферат разослан •Jtt- .QwJtPA'?)... 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета/ Л £ Садовяк A.M.

' Актуальность темы. Развитие современна науки и техники привело к постановке и необходимости решения новых математических проблем,связанных с оптимальной обработкой результатов экспериментов для процессов, описываемых уравнениями с частными производными.Эти задачи возникают в таких о'" "штях естествознания как радиофизика, геофизика, теплофизика, гидроакустика, гидромеханика и др. При этом, ограниченное количество наблюдений с одной стороны, и большие затраты на них, с другой, делают актуальными задачи планирования и оптимизации наблюдений.

Обычно в экспериментах измеряется не сама величина Ч1 , которой описывается исследуемое явление, а некоторое ее проявление вида . Величину ^ называют наблюде-

нием за состоянием системы Ч • оператор С называют оператором наблюдения. Прямое решение этого уравнения относительно Ч* обычно невозможно, так как часто для оператора С не существует обратного или, в случае линейных операторов, он неограничен. Заметим далее, что наблюдение почти всегда содержит погрешность измерения, природа которой может быть самой разной. Если погрешность входит в измерения аддитивно, то процесс наблюдения представляемся в &;:дг

Поскольку точное значение величины 4 неизвестно, естественно

л

поставить задачу о вычислении такой величины Ч' , которая неким наилучшим образом приближает величину Ч

Нами используетсч минимаксный подход к решению такого рода задач, позволяющий вычислить минимаксные оценку и ошибку оценивания линейных функционалов решения или правой части уравнений с частными производными. Естественно, что эти вели -чины существенно зависят от параметров, определяющих свойства оператора наблюдения. В диссертации изучаются задачи оптимиза-

ции этих пар^четров д-.я минимизации ошибки оценивания линейных функционалов от решений абстрактных уравнений в нормированных пространствах.

Целью настоящей работы является математическая постановка

и развитие методов исследования задачи оптимизации управляющих

/

параметров оператора наблюдения в минимаксном процессе оценивания состояния систем с распределенными параметрами эллиптического и параболического типов. Заметим, что эти задачи тесно связанны с проблемой планирования эксперимента. Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов следующая :

1) получены минимаксные оценки и априорные ошибки оценивания линейных непрерывных функционалов от решений абстрактных уравнений с возмущениями правых частей и погрешностями измерений в банаховь.х пространствах типа 1.р, 1 < °°

2) в гильбертовых пространствах исследованы задачи совместного управления и оценивания, получен явный вид оценки и условия непустоты множества оптимальных управлений;

3) получены минимаксные оценки и априорные ошибки оценивания для случаев, когда возмущения правых частей и погрешности измерений принадлежат множествам, отличным от эллипсоида;

4) для эллиптических и параболических уравнений в соболевских пространствах поставлены и исследованы задачи минимизации априорной ошибки оценивания, доказано существование решений

и получены необходимые условия, которым они удовлетворяют, в ряде случаев оптимальные управления выписаны в явном виде.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы состоит в математическом исследовании новых задач оптимального управления экспериментом при оценивании состояния систем с распределенными параметрами и формулировке конструк-

тивных условий оптимальности, перспективных для реления конкретных прикладных °адач оптимального планирования эксперимента в системах, описываемых уравнениями с частными производными.

На защиту выносятся следующие основные результаты :

1) постановка математической задачи оптимизации управляющего параметра оператора наблюдения в минимаксном оценизании линейных функционалов от решений линейных абстрактных уравнений эллиптического и параболического типов;

2) метод исследования вопроса существования решения поставленной задачи оптимизации процесса наблюдения;

3) необходимые условия оптимальности управляющего параметра оператора наблюдения в задаче минимаксного оценивания состояний эллиптических и параболических уравнений в оснащенных пространствах;

4) необходимые условия оптимальности при оценивании функционалов от решений эллиптических и параболических уравнений в пространствах Соболева.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной научно-технической конференции "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами" ( г. Одесса, 1987), Пятой Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" ( г. Казань, 1987), Шестой Всесоюзной конференции по управлению в механических системах ( г. Львов, 1988), Всесоюзной школе-семинаре молодых ученых ( г. Алушта, 1988 ), Республиканском научном семинаре по проблеме "Кибернетика" АН Украины "Математические проблемы управления" ( г.Черновцы, Г989 ) /научный руководитель доктор фаз.-мат. наук,

профессор Н.Ф. Кириченко /.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, каждая из которых состоит из трех параграфов, заключения и списка использованной литературы (всего стр.)

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена цель работы, изложена новизна полученных результатов, которые выносятся на защиту. Приводится краткий обзор исследований по вопросам, касающихся темы работы.

В первой главе изучаются задачи минимизации априорной ошибки минимаксного оценивания для систем эллиптического типа. В параграфе I рассмотрены задачи минимаксного оценивания линейных функционалов от решений вариационных уравнений в случае, когда возмущения правых частей уравнений и ошибки измерений принадлежат известным м*южествам в пространствах типа Ьр ,1<р<с<5. Полученные соотношения позволяют определить структуру минимаксной оценки и априорной ошибки оценивания. Далее в предположении, что оператор наблюдения линейно зависит от некоторого управляющего параметра "О из рефлексивного банахова пространства V . ставится задача минимизации априорной ошибки оценивания по этому параметру. Исследован вопрос о непустоте множества решений ( Теорема 2) и получены необходимые условия оптимальности ( Предложение I ).

Приведем некоторые из результатов этой главы. Пусть, для определенности, Но - некоторое гильбертово пространство, Н+ и Н_ его оснащение, так что

Н+с Н0СН- , 11ХЦ_ 6 ЦХНо 4 ЦХ11+ , Ухе Н + .

На пространстве Н+ задана непрерывная билинейная форма^СКЧ'.ЧО удовлетворяющая условиям леииы Ланса-Нильграиа, так что существует единственное решение уравнения

где £ , р1 - банахово пространство, причем Н+ .

Наблюдению доступен элеиент банахова пространства V вида где

- банахово пространство,

В^г^аЛ •

Минимаксной оценкой линейного непрерывного функционала ИЧ) ,

Ее Н-

, по наблюдениям ( 2 ) назовем величинуС^Ь^и.^ + с! , где - отношение двойственности в пространстве р

це Г* .с1 •■ некоторое число, найденные из условия

¿ni SUD lEUPÍ-eW)! = (f,,¿)eG

U.e F* deR

( 3 )

Если Fl( Fa пространства Lp(£I); l< p< o° , XI некоторая ограниченная область из R , множество G зададим так ~

G-[l*,,U£F'.*F4: jüq,(x)|í,(x)l di*

+]^x)lla(x)|Pcix ¿ij,

гдеС^ДХ^СЦи) строго положительные функции из Loo(Xl.) .

При этих предположениях минимаксная оценка имеет вид

ошибка оценивания задается выражением (Г^ - t(p<>)

^ г - Í ( теорема I ).

Г >

Л С * И

Элементы U £ г и ров Н+ определяются как решения

системч уравнений

в.сСЛх) I вГ з i , vva6H+,

в4(Ю1в1йГв:а-Сро=0

Пусть далее оператор наблюдения линейно зависит от параметра "О из рефлексивного банахова пространства V , то есть наблюдение имеет вид

d _ . ( ц )

Обозначим

и рассмотргм задачу

nun MD)

T^bV

Теорема 2 устанавливает непустоту множества CClQi-M-

ÜfcV

а предложение 1 указывает необходимые условия оптимальности. Далее рассматривается задача отыскания минимаксной оценки ли -нейного непрерывного функционала

при неполной информа -ции о возмущениях в правой части уравнения ( I ). Пусть состояние системы описывается уравнением

aw,^=с Во4«, vjo + с в, 4,, ч')0 , н+ ,

наблюдение за состоянием системы имеет вид ( 2 ), множество задано соотношением ( 3 ). При этом, информация об элементе

|о G Fo , Fo - банахово пространство, ß0 £ X(Fp,H-) отсутствует. Поручены соотношения, позволяющие определить ми -нимаксные оценку и ошиоку оценивания ( теорема 4 ). Теорема 5 устанавливает непустоту множества решений задачи ( 4 ), необходимые условия оптимальности и в этом случае

задастся предложением I.

В заключение § I рассматривается задача минимаксного оценива ния при специальном выборе множества (з . Пусть состояние системы описывается уравнением

СЦ^'ОЧОо , УУбН* , еН- , .

ппи наблюдениях

1^= Кг , £г е в

Множество й задано соотношением

в» [(к Н.х В: (ОЛ,13, К Р<°°,

(3симметричные положительно определенные операторы, для которых существуют ограниченные обратные операторы, причем

О.Д'еЗЛН-ЛО, Ог, 0*1 е Х(Ь,В).

Теорема 6 устанавливает .ви^ минимаксной оценки линейного непрерывного функционала

при этом, ошибку оценивания можно вычислить из соотношения

Здесь элементы р0&И+, Ч1 е И+ определяются из решения систем уравнений ^

. саро.ч'яЯо"/ х Дг)0, и+,

. а№,р)=1агсрь,ср0)^ (сцг е^с^,),\/%ен, , а %)=П, г )сг'; (О,1 з р, )„, УУя € Н*

В обозначениях

снова рассматривается задача ( 5 ).

Теорема 7 устанавливает непустоту множества С1Т.(Ш1+ ^К^)

аг)бУ

предложение 2 дает необходимые условия оптимальности в этом случае.

В параграфе 2 этой главы исследуется задачи минимизации априорноп ошибки оценивания при ограничениях в гильоертовых

пространствах. При этом, в ряде случное удается ослабить требования теоремы о непустоте множества C-t^ift^- "ÍC^) и выписать необходимые условия оптимальности ¿ конструктивном виде. Поскольку вопросы получения минимаксных оценок и ошибок оценивания в этом случае исгледованы подробно , использовались йзвестнь"? соотношения.

Параграф начинается исследованием задачи совместного оценивания и управления наблюдениями.

Пусть состояние системы описывается уравнением

CUifcW'UbMOo , + (6)

. |-1 - некоторый элемент из гильбертова пространства Н-набльдается элемент гильбертова пространства Н вида

. ? ( 7 )

ГдеЯ?сУ/.' - рефлексивное банахово пространство, при каждом Ü&V оператор Ctl?) С 1 ( Н+ , Н) , то есть

Пусть С - линейный непрерывный функционал, заданный на пространстве Н+ ", то bctlÍ^H- ,

Введэм функционал

и рассмотрим задачу об отыскании элементов, доставляющих минимум этого функционала.

В ( б ) множество (г - некоторое непустое множество изИ.хН . Теорема I устанавливает непустоту множества

щЫ Wu.v) (9 >

ulH

где Щ ограниченное, слабозамкнутое множество из V Далее, при специальном ¿ыборе множества &

G^X-cq!,^1!, ММЛ Я-Н-хН,

Л

удается в явном виде вычислить элемент LL , доставляющий минимум функционалу ^(и.'О) в задаче ( 9 ). Таким образом эта задача представляется в виде

Lai 3(u,\5) = Ы ^Cu.-o) * ia4 °P(-w)

ue H ve4

Теорема 2 устанавливает непустоту множества Q.4QÏn.+ Ф(.Т5) а в теореме 3 получены необходимые условия, которым удовлетворяют элементы из этого множества. Теорема 4 устанавливает непустоту множества СШНа-р- cpCv) при неполной информации о возмущении в правой части уравнения ( 6 ).

В заключение параграфа приводятся другие условия, обеспечивающие непустоту множества &iQia4 ЧЧи) .

Параграф 3 этой главы посвящен применению полученных ранее результатов для исследования конкретных задач минимаксного оценивания линейных функционалов от решения уравнений с частными производными эллиптического типа.

В ряде случаев существенно упрощаются условия непустоты мно -жества (WijijUUtu) необходимые условия выписаны в явном виде и пригодны для расчетов.

В отдельных случаях удается твно получить оптимальное значение управляющего параметра 1>

Во второй главе диссертационной работы исследуются задачи оптимального выбора параметров наблюдателя в нестационарном случав. Структура этой главы аналохична структуре первой гла -вы. В параграфе I лолуче"ы минимаксные оценки и априорные ошибки оценивания в случае, когда возмущения правой части уравнения и погрешности измерений принадлежат банаховым пространствам типа ЬрСО-.в;*}, , X - нормированное пространство.

Пусть состояние системы задается уравнением

cLi ' ...........' ■ ' ( ю )

где оператор

АН) ассоциирован с билинейной формой

так, что

с начальными данными Здесь

-В.еЭЛ^Н.), Fo, Fi

- банаховы пространства, & Ff t ), ~ линейные ограниченные

операторы. Наблюдению доступен элемент банахова пространства вида

■ « ( II )

где j е Рг , Fi _ банахово простанство1

CG ^(u2Cic,-t,;Hr); F). Рассматривается задача минимаксного оценивания линейного не -прерывного функционала

где i; Н-), tie Но >по наблюдениям ( II ).

. * .

Теорема I устанавливает вид минимаксно:. пцс.1,м, '■?) = £() , а также (.пределяет ошибку оценивания 0 ¡Дрс/ 1 в случае, когда пространства Ро , I" 1 , Т-г будут пространствами

ьР(Х1), 1Р(Ц1,; Lp.ii);

соответстврнно. Здесь-Г1 некоторая ограниченная область из Я , 1,1-. 1

Полученная ошибка оценивания используется для постановки задачи управления наблюдениями.

В оператор наблюдения в ( II ) вводится управляющий параметр

V £ V , V - рефлексивное банахово пространство,

и рассматривается задача ¡.а£ ЗИ?) , =

"ОьУ . р ч

Теорема 2 усанавливает непустоту множества ОЛ.СНИ-> л о; (

предложение I дает необходимые условия, которым удовлетворяют

элементы из этого множества.

Далее рассматриваются задачи минимаксного оценивания и управ -ления наблюдениями в случае неполной информации о возмущениях в правой части уравнения и начальных данных ( 10 ). Теоремы 3,4 устанавливают вид минимаксной оценки, ошибки оце -нивания и непустоту множества

В заключение рассматриваются задачи оценивания и миними -зации ошибки оценивания при специальном выборе множества & ( теоремы 5,6 ). Предложение 2 дает необходимые условия в этом случае.

В параграфе 2 исследуется задача совместного управления и оценивания ( поставленная ь § 2 гл. I ) для нестационарных систем. Доказана теорема о существовании решения этой задачи ( Теорема I ). При специальном выборе множества (г вычислен явный вид оптимальной оценки. Доказана непустота множества

( Теоргма 2 ), приведены необходимые условия, котирым удовлетворяют элементы множества

( Teopera 3 ). Полученные результаты распространяются на другие виды функционалов и способы задания множества G

В параграфе 3 рассматриваются задачи минимизации априорной ошибки оценивания состояния систем, описываемых конкретными эволюционными урагчениями. В некоторых случаях значительно упрощаются условия существования оптимального управления, необходимые условия приобретают конструктивный вид, пригодный для расчетов, и удается явно вычислить оптимальные значения параметров оператора наблюдения.

Основные результаты достаточно полно изложены в следую -цих публикациях:

I). Няконе«чый А.Г., Руснак H.A. К оценке скорости сходимости аппроксимирующих последовательностей в задачах минимизации функционалов. Вычислительная и прикладная математика. BbmyfcK 59, 1986 г., стр. II7-I2I..

2/. F/снак U.A. Минимизация априорной ошибки оценивания при нестационарном упроглении. Всесоюзная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами ". 1987г. Тезисы докладов. , стр.120 г. Одесса.

3). Наконечный А.Г., Руснак H.A. Оптимальное управление наблюдениями в задачах минимаксного оценивания решений уравнений с частными производными. Пятая Всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и уппавление движением". 1987 г., г.Казань, Тезисы докладов.,

стр.70.

4). Руснак H.A. Планирование эксперимента на основе минимизации априорной ошибки оценивания. Рукопись депонирована в Укр-НИИНТИ 7.07.87г. 1916-Ук87., 15 стр.

5). Руснак H.A. Минимизация априорной ошибки оценивания

состояния динаичческих систеи в условиях неопределенности. Шестая Всесоюзная конференция по управлению в механических системах. г.Львов, I98P г. Тезисы докладов., стр.136.

6). Руснак H.A. Совместное управление коэффициентам!! и правой частью вариационного уравнения в гильбертово« пространстве. Рукопись депонирована в Укр-НИИНТИ 7.07.87 г.

1919-Ук87., 9 стр.

7). Наконечный А.Г., Руснак H.A. Управление наблюдениями в задачах минимаксного оценивания решений вариационных

уравнений в гильбертовых пространствах . Вестййк Киевского университета. Серия: Моделирование и оптимизация сложных систем . Выпуск 7., 1988 г., стр.5-9.