автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Определение краевых условий механических и электронных систем

На правах рукописи

Ямилова Ляйсан Салимьяновна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

05.13.18 —Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Огерлитамак—2006

Работа выполнена на кафедре математических методов в экономике Башкирского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Ахтямов А.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кадченко С.И.

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Мустафина С.А.

Институт механики Уфимского научного центра РАН,

Защита состоится 24 ноября 2006 г. в 1600 час. на заседании диссертационного совета при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: 453003, г, Стерлитамак, проспект Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Автореферат разослан Л Ц октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.- мат. наук, профессор

Кризский В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Работа посвящена исследованию задач определения вида и параметров закреплений механических систем и электронных систем по собственным частотам колебаний. Задачи рассматриваемого типа связаны с обратными спектральными задачами, задачами диагностики, виброзащиты и контроля колебательных процессов.

Исследованиям обратных спектральных задач посвящено много работ авторов, в том числе работы таких известных ученых как В.А. Амбарцумян, Г. Борг, Н. Левинсон, М.Г. Крейн, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, В.А. Садовничий, В.А. Юрко и других, В работах этих авторов, требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. В качестве данных восстановления используются несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, весовые числа, функция Вейля). Однако, несмотря на свою актуальность, обратные задачи восстановления нераспадающихся краевых условий по конечному набору собственных значений серьезно не изучались.

В последнее время обществом стали предъявляться большие требования к диагностике. Возникающие техногенные катастрофы и опасности потребовали необходимости создания новых методов инженерного обследования и диагностики состояния объектов, пострадавших в результате чрезвычайных ситуаций. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета, см., например, работы И.И. Артоболевского, И. А. Бир-гера, М.Д. Генкина, Б.В. Павлова и др. Развитие и взаимопроникновение методов механики, математической физики, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений, теории функций, алгебраической геометрии и современных компьютерных технологий привели к новым возможностям в диагностике — 1 диагностике вида и параметров закреплений упругих тел по собственным частотам их колебаний, что позволило ставить и решать новые задачи.

Делью диссертационной работы является исследование задач определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам колебаний на основе применения современной технологии математического моделирования, комплексов программ и вычислительного эксперимента. В соответствии с поставленной делью определены следующие задачи исследования: 1) исследование математических моделей для определения вида и параметров условий закрепления механических систем и условий сопряжения электронных систем по собственным частотам колебаний; 2) исследование задач определения общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) разработка метода и комплекса компьютерных программ для решения обратных спектральных задач восстановления краевых условий по конечному набору собственных значений; проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна. Впервые поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока.

Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления на двух противоположных краях прямоугольной пластины и на обоих концах стержня по собственным частотам их изгибных колебаний.

Исследованы и решены задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков. Показано, что для задач с дифференциальным уравнением 4-го порядка нельзя восстановить произвольные нераспадающиеся краевые условия.

Разработан метод и комплекс программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений.

Практическая значимость результатов. Разработанный метод и комплекс программ могут быть применены в диагностике недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем, строительных конструкций, а также условий

замыкания для электронных систем. С помощью предложенного метода можно судить о виброзащитных закреплениях механических систем, а также подбирать условия замыкания провода для обеспечения нужного (безопасного) спектра частот колебаний напряжения в электронных системах.

Достоверность результатов подтверждена доказательством корректности поставленных задач, результатами вычислительных экспериментов, а также проведением сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие основные результаты: 1) математические модели определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам их колебаний; доказательство существования, единственности или двойственности и устойчивости решений соответствующих обратных задач; 2) решения задач восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) метод и комплекс компьютерных программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений; результаты вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на: республиканской конференции студентов и аспирантов по физике и математике (Уфа, 1997 г.); IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004 г.); III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ (Уфа, 2005); VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Дагомыс, 2005 г.); V Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2005 г.); Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); научных семинарах проф. К. Б; Сабитова (Стерлитамакская государственная педагогическая академия), проф. Я. Т. Султанаева (Башкирский государ-

ственный университет» кафедра дифференциальных уравнений), Института механики УНЦ РАН, А. М. Ахтямова (Башкирский государственный университет).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 12 работах. .

В совместных работах А. М. Ахтямову принадлежит постановка задач, М. Тайхер, А. В. Муфтахову— вывод соотношений Плюккера для уравнений 3-го и 4-го порядков. Соискателю принадлежат решения поставленных задач, комплекс компьютерных программ, результаты вычислительных экспериментов;

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложений. Полный объем диссертации составляет 144 страницы, включая приложения на 39 страницах.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследования, отмечена научная новизна и практическая значимость результатов, приведены основные результаты, выносимые на защиту.

В главе 1 дан обзор работ по изучаемой теме.

В главе 2 исследованы задачи определения вида и параметров закрепления механических систем по собственным частотам их колебаний.

В § 2.1 сформулирована и решена задача определения вида и параметров закрепления на обоих концах стержня по собственным частотам его изгибных колебаний. Показана двойственность решения этой задачи.

Уравнение изгибных колебаний стержня имеет вид:

Г1дЩх,г) тм) п

Е1 дх* -0'

где Е1 — изгибная жесткость стержня, р — плотность стержня, Р — площадь поперечного сечения стержня.

Пусть El у р п F — постоянные величины. Задача об изгиб-ных колебаниях стержня заменой и(х, t) = у(х) eos из t сводится к следующей спектральной задаче:

г/(4)=А4у, (1)

í/i(y)-a4yw(0)-alí,(0) = 0t U2{y) - a3y"(0) - а2у'{0) = 0, (2)

Uz(y) - а5 у{1) + с8 у'"{1) - 0, U4{y) = а6 у'(1) + а7 у"(1) = 0, (3)

где А4 = pFu2/a, а = El. Коэффициенты as, s = 1,8 характеризуют вид закрепления стержня (заделка, свободное опирание, свободный край, плавающая заделка, упругое закрепление) и его параметры (при упругом закреплении).

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов а3 форм Ui(y), I — 1,4 через Л, а ее миноры 4-го порядка - через Mijkn '

А =

-ai О 0 а4 О О О О

О ~а2 а3 О О О О О

О О О 0 а5 О 0 а8

О О О О О oe.fl7 О

, Mijkn — ±a¿ «J ак Оп-

Обратная задача формулируется следующим образом: коэффициенты а3, в = 1,8 форм Ц[(у), I = 1,4 задачи (1)—(3) неизвестны; гапкЛ = известны собственные значения Ат задачи (1)~(3). Требуется найти матрицу А с точностью до линейных эквивалентных матриц.

Наряду с формами (2), (3) рассмотрим линейные формы:

Ш = Ъ4 у"'{0) - 612/(0) - 0, и2{у) = Ьз у"{о) - Ь2 у'(0) - 0, (4)

и3{у) = ь5 у{1) + Ь8 у"'{1) = 0, и4(у) = &б у'(0 + Ь7 у"{1) = 0. (5)

Пусть В—матрица, составленная из коэффициентов Ь$ форм ' — 1) а М^ьп — ее миноры 4-го порядка:

В =

О О

о

о

~Ь2 о о

о

н

о о

Ьа

о о о

о о

Ьь о

о о о Ьв

о о о h

о о

о

Mijkn — bj bk bn.

Введем в рассмотрение также следующую матрицу:

Ьь о 0 bâ О ООО

_ 0 be ь7 О О ООО

0 0 0 0 -б! О О 64 '

ОООО О -&2 Ьз о

Через [Л], [В], [В~] обозначим класс матриц, линейно эквивалентных матрицам А, В, В~ соответственно.

Теорема 2.1 (о двойственности решения). Пусть гапкЛ

— ranks = Если собственные значения задан ( 1 )—(3) и (1), (4), (5) совпадают с учетом их кратностей, то [Л] = [В] или [А] = [В'].

Установлено также, что для определения вида и параметров закрепления обоих концов стержня в большинстве случаев достаточно использовать 9 значений спектра частот. Пусть Лт> m = X, 9

— собственные значения задачи (1)—(3). Рассмотрим систему девяти алгебраических уравнений

»1 í/~(Ai)Ai] + 32 [g(Am)l + х3 [A¡¡>/-(А™)] + х4 [/+(Ат)]+ +Х5 l¿(Am)/A*J + хб ¿(Am)] 4- Х7 [ff+(Am)/Am] + х8 [А^ <?+(Ат)]+-+х9 9~ (Am)/A^] + xJ0 [Am g (Am)] = 0, m - X, 9

(6)

от десяти неизвестных

Xi — Л/1256, Х2 ~ -(Л/2457 + Мзбв), — Л/3478,

Х4 = Л/12 78 + Л/34561 Х5 = —Л/1357, Х6 = Л/^бз, Х7 = Л/1268 - Л/2456, = Л/2478 - Л/3468,

Xg — Л/1356 — Л/1257, 210 — Л/3457 — Л/1378.

Здесь /±(А) «= (1 icosA chA)/2, z(A) = sinA shA, g(A) = cos A ch A, <?±(A) = (cos A shA ±sinA ch A)/2.

Теорема 2.2 (о двойственности решения). Если девять собственных значений Аш спектра задачи (1)~(3) таковы, что ранг матрицы системы (6) равен 9, то решение обратной задачи восстановления краевых условий (2), (3) по этим девяти собственным значениям двойственно.

Теорема 2.2 сильнее чем теорема 2.1, поскольку в теореме 2.2 используются только 9, а ке все собственные значения как в теореме 2.1. Однако область применения теоремы 2.1 шире, поскольку ранг системы (6) не всегда может быть равен 9.

Здесь также доказана непрерывная зависимость решений задачи (1)-(3) по собственным частотам Ат. Введем в рассмотрение матрицу

0 0 аз 0 0 0 0

0 а. е а7 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -01 0 0 Л4

0 0 0 0 0 -а2 0

Через [Л-] обозначим класс матриц, линейно эквивалентных матрице А".

Теорема 2.3 (об устойчивости решения). Пусть Ат и /¿т, т = 1,9—собственные значения задач (1)-(3) и (1), (4), (б) соответственно; гапкА — гапкВ — 4- Тогда для любого е > 0 найдутся такие 6 > О, А € [А], Л" € [А~], В е [В], В~ € [В"], что для собственных значений, удовлетворяющих неравенству Х)т=11- < <5 выполняются \а» "" М < €-

В § 2.2 решена задача определения вида и параметров закрепления на двух противоположных краях прямоугольной пластины. Получены результаты, аналогичные результатам § 2.1.

В § 2.3 рассмотрена механическая система, состоящая из однородного стержня с упруго закрепленными концами, которые связаны между собой канатом с пружинами (см. рис 1). Такое закрепление описывается в отличие от §§ 2.1 и 2.2 нераспадающимися условиями закрепления. Задача определения параметров закрепления этой механической системы сведена к следующей спектральной задаче: ...

ау^(х) = А у, у"(0) = у"( 1) » 0 (8)

ау"'(0) = (ко + к2)у{0) + к2у(1), -ау"'( 1) - + *а)у(1)+ *а»(0),

О)

^—ллллллл—^

Рис. 1: Механическая система, состоящая из упруго закрепленного стержня и каната, соединяющего концы стержня

где А — Р рш2/а, ш — частотный параметр, а—жесткость на изгиб, Р — площадь поперечного сечения, р — плотность стержня, — коэффициенты жесткости пружинок.

Нами показано, как по двум наборам собственных частот можно однозначно определить коэффициенты жесткости пружинок в рассматриваемой механической системе. Один из наборов собственных частот представляет собой собственные частоты колебаний рассматриваемой механической системы, другой — собственные частоты изгибных колебаний этой же механической системы, в некоторой точке х\ ф 1/2 оси стержня которой установлена промежуточная упругая опора с известным коэффициентом жесткости к.

В главе 3 исследованы задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков.

В § 3.1 сформулирована и решена задача восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральной задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка по 5 собственным

значениям. Рассматривается следующая спектральная задача:

l(y) = у"{х) + p(e, А) у'{х) + fl(e, Л) у(х) = 0, (10)

2

^(y)-E(a^y(fc"1)(0) + aíJfc+2Í/ífc-1)(l))-0, г = 1,2, (11)

где Л — спектральный параметр; х € [0,1]; р(х, Л) = Хр\ + рг(эО; д(х,А) = А2^ + Хд2{х) дг(®)» € С^ОД]; дз(х) 6

С[0,1]; atk>pu Qi € С.

Пусть Л = 11аЫ12х4— матрица, составленная из коэффициентов щк форм £/¿(y), í =s 1,2, a Míj— ее миноры, полученные из г-ro и jf-ro столбцов.

Обратная задача формулируется следующим образом: коэффициенты aik форм Ui(y), I — 1,2 задачи (10), (11) — неизвестны; гапкЛ = 2

,* известны собственные значения Ат задачи (10), (11). Требуется найти краевые условия Ui(y), I = 1,2, т.е., восстановить матрицу А с точностью до линейных эквивалентных матриц.

Пусть Am, т — Т75 — собственные значения задачи (10), (11); {Уп(я)}п=:1,2~ фундаментальная система решений уравнения (10),

удовлетворяющая условиям 2/nfc~^(0) = <5пь п,& = 1,2, где 6пь — символ Кронекера.

Рассмотрим систему из пяти уравнений от шести неизвестных Mij:

Mi2/l(Am)+Mi3/2(Am) + Aíi4/3(Am) + M23/4(Am)-|- , +Л/24/5(Ат) + М34/б(Ат)-0, т — 1,5,

где /j(A) = У1Ш2Ф) - У1(0)У2(0), /2(А) = yi(0)j^(l) - yi(l)y2(0),

Л(А) = У1(0)й(1)-й(1)»(0),.ЛСА) = Й(0)»(1) - »(1)14(0), /б(А) = й(1)й(0) - й(0)й(1), Л(А) = й(1)Й(1) " У1(1)»(1>.

Теорема 3.1 (о существовании и единственности решения). Если пять собственных значений Am, т = 1,5 спектра задачи (10), (11) таковы, что ранг матрицы системы (12) равен

5, то решение обратной задачи восстановления краевых условий (11) по этим пяти собственным значениям существует и единственно.

Наряду с формами (11) рассмотрим линейные формы: 2

Й(у) « (b№»tfc_l,(0) + bifc+av^-^ci)) = 0, 1 = 1,2. (13) fc=i

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов Ъц форм

¿ = 1,2 через В, а ее миноры - через M{j. Теорема 3.2 (об устойчивости решения). Пусть Ат и ßm, т — 1,5 — собственные значения задач (10), (11) ti (10), (13) соответственно; гапкЛ = гаикВ = 2. Тогда для любого е > 0 найдутся такие 6 > О, А € [А], В G [В], что для собственных значений, удовлетворяющих неравенству £т=1 — ßm\ < <5 вы-'

полняются Yli=i \aik — bik\ <

В § 3.2 изучена и решена задача восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральной задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка. Рассматривается следующая спектральная задача:

1{у) » jT(*) + р(х, Л) у"{х) + д(®, А) у'(х) + г(х, А) у{х) = 0, (14) з

^у^Хд^у^ЧоКаи+зу^и)) -0, г = 173, (15)

5=1

где А — спектральный параметр; х € [0,1]; р(х,Х) = Хр\ + Р2(х); q(x, А) — A2gi(x)+Ag2(^)+93(^); г(а;,А) = А3п -ЬА2г2(х)4- Аг3(х)+ г4(х); рг(х), q2(x), г2(х) 6 С2[0,1]; д3(я), г3(х) € С1 [0,1]; г4(х) € 1]; atay pi, n € С.

Пусть А — ¡|о/я||3х6 — матрица, составленная из коэффициентов ais форм Ui(y), I — 1,3, a М^ — ее миноры, составленные из ¿, j и к столбцов матрицы А.

Обратная задача формулируется следующим образом: коэффициенты au форм Ui(y)y I — 1,3 задачи (14), (15) — неизвестны;

гапкА =3; известны собственные значения задачи (Ц). Требуется найти краевые условия Е/|(у), / = 1,3, т.е.восстановить матрицу А с точностью до линейных эквивалентных матриц.

Доказана теорема 3.4, которая показывает, что по 19 собственным значениям задачи (14), (15) можно однозначно восстановить краевые условия (15).

Рассмотрен также частный случай общей задачи (14), (15), а именно две краевые спектральные задачи, порожденные одним общим уравнением

%) = У"'(*) + Ар1 у'{х) + А2р2 + А3рз У{х) - 0, (16) краевыми условиями (15) и 3

+ -0, /-173. (17)

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов Ь^ форм {/((у)) I — 1>3 через .В, а ее миноры — через М^.

Доказана

Теорема 3.3. Пусть гапкЛ — гапкВ = 3 и не каждое значение А является собственным значением задач (16), (15) и (16), (17), Если собственные значения спектральных задач (16), (15) и (16), (17) совпадают с учетом их кратностей, и кроме того выполняются следующие два условия: 1) корни характеристического уравненияы3 +рх иг2+р2Ы+рз — 0 удовлетворяют условиям Х^ед в1Ш\ ф О, где е^ = ±1, —произвольный набор из множества {1,2,3}, 2) р2 Ф 0, то совпадают и краевые условия (15) и (17),

В | 3.3 исследована задача восстановления нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с уравнением 4-го порядка. Рассматривается следующая спектральная задача:

У<4)(^) + АР1У",И + А2РЗУ"И + А3РЗУ/(Х) + А4Р4У(2:) = 0, (18)

где Л — спектральный параметр; х € [0,1]; aiSipt € С. Пусть ^ — Ha^lUxS' Mijkn — миноры матрицы А.

Доказана теорема 3.6, которая показывает, что для восстановления краевых условий спектральной задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка, в отличие от соответствующих задач для уравнений 2-го и 3-го порядков, нужно задавать дополнительные ограничения на сами краевые условия. То есть в некотором смысле случай с дифференциальным уравнением 3-го порядка является предельным.

В § 3.4 сформулирована и решена задача идентификации условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока. Задача об электрических колебаниях в проводе сведена к задаче со спектральным параметром в краевых условиях:

и"(х) = -б2и(х), (20)

и'(-1) = u'(l), u'(l) = (a + bjs - cs2){u{ 1) - ti(-l)), (21)

где s — спектральный параметр, коэффициенты a, 6, с характеризуют условия замыкания провода.

В терминах задачи (20), (21), задача отыскания условий замыкания провода может быть сформулирована следующим образом: .известны собственные значения $т задачи (20), (21). Требуется .. кайти неизвестные а, Ь, с.

Теорема 3.7 (о существовании и единственности решения). Если три попарно различных собственных значения si, вз задачи (20), (21) не являются корнями уравнения sins = 0, то А решение обратной задачи отыскания краевых условий (21) существует и единственно. Более того, неизвестные коэффициенты а, Ь, с краевых условий (21) являются решением системы уравнений a+jbsm— с— sm cossm/(2 sin sm), m = 1,3.

В § 3.5 разработан комплекс программ -«Диагностика краевых

условий*, позволяющий определять краевые условия спектральных задач по конечному набору собственных значений.

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе.

Работа поддержана грантом: № 13/7,170-05 (АН РБ) "Методы неразрушаюгцего контроля механических систем", 2005 г.

Основные результаты

1) Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления прямоугольной пластины и стержня по собственным частотам их изгибных колебаний. Установлена однозначность или двойственность решений соответствующих задач, их непрерывная зависимость по собственным значениям. Поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по трем собственным частотам колебаний напряжения переменного тока,

2) Исследованы и решены задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков по их собственным значениям. Показано, что для однозначного восстановления общих нераспадающихся краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка достаточно 5, а для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка — 19 собственных значений. Установлено, что для однозначного восстановления общих нераспадающихся краевых условий спектральной задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка нужно дополнительно задавать ограничения на сами краевые условия.

3) Разработан метод и комплекс программ для решения обратных спектральных задач восстановления краевых условий по конечному набору собственных значений. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Основные публикации по теме диссертации

1, Ахтямое А.М., Ямилова Л.С. Диагностирование нераспадающегося закрепления стержня переменной жесткости //

Приборы и системы. Контроль, управление, диагностика. 2006- № 2. С. 56-58.

2. Ахтямов A.M., Ямилова JI.C. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока // Электромагнитные волны и электронные системы. 2006. Т 11. К* 2-3. С. 14-16.

3. Ямилова JJ. С. Диагностирование нераспадающего закрепления неоднородного стержня // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005, Т. 12. С. 1140-1142.

4. Ямилова JI. С. Восстановление краевых условий спектральной задачи по ее собственным значениям // Вестник Башкирского университета, 2005. X* 1. С. 35-38.

5. Ямилова Л. С. О диагностировании нераспадающегося закрепления стержня // Материалы всероссийской научно-практической конференции «Наука и образование — 2005». В 3-х ч.: Ч. III. Нефтекамск: БашГУ, 2006. С. 113-117.

6. Ямилова Л. С. Восстановление трех нераспадающихся краг евых условий спектральной задачи по ее собственным значениям // Материалы III конкурса научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ. Уфа: Гилем, 2005. С. 20-22.

7. Ямилова Л. С. Диагностирование нераспадающегося закрепления стержня // V Регион, школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа: БашГУ, 2005. С. 14.

8. Ахтямов A.M., Муфггшхов A.B., Тайхер М., Ямилова Л.С. О корректности обратной задачи восстановления нераспадающихся краевых условий // Сб. тр. междунар. уфимской зимней школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Математика. Т. I. Уфа: БашГУ, 2005. С. 39-55.

9. Akhtyamov А. М., Mouftachov А. V., Teicher М.} Yamilova L.S. Can one bear fastening of a rod? // Сб. тр. междунар. уфимской зимней школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Математика. Т. I. Уфа: БашГУ, 2005. С. 55-71.

10. Ямилоеа Л. С. Математическое моделирование в диагностике строительных объектов //IV Регион, школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Тез. докл. Уфа: БашГУ, 2004. С. 19.

11. Ямилоеа Л. С, О единственности восстановления нераспадающихся краевых условий спектральной задачи // Тр. IV Регион. школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа: БашГУ, 2004. С. 207-216.

12. Ямилоеа Л.С. О совпадении спектральных задач, имеющих общее уравнение // Респ. конференция студентов и аспирантов по физике и математике: Сб. тез. докл. Уфа: БашГУ, 1997. С. 23.

Подписано в печать 20.10.06 г. Формат 60x84 '/14 Бумага белая S0 гtur Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1.12 Тираж 100 экз. Заказ № 682

ПД Ха 7-0159 от 25,05.01 г. Отпечатано в ООО «Внртуал» с готового оригинал-макета 450000, г. Уфа, ул. Ленина, 14/J б Тел. 73-31-49. тел./факс 73-14-40

Введение

Глава 1. История вопроса

Глава 2. Диагностика закреплений механических систем

§ 2.1. Диагностика закрепления стержня.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Двойственность решения.

2.1.3. Метод решения.

2.1.4. Устойчивость решения.

2.1.5. Примеры.

§ 2.2. Диагностика закрепления прямоугольной пластины

2.2.1. Постановка задачи.

3.1.2. Двойственность решения.

2.2.3. Метод решения.

2.2.4. Устойчивость решения.

2.2.5. Примеры.

§ 2.3. Диагностика нераспадающихся закреплений механической системы.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Метод решения.

2.3.3. Пример.

Глава 3. Восстановление нераспадающихся краевых условий общего вида

§ 3.1. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Метод решения.

3.1.3. Устойчивость решения

3.1.4. Примеры.

§ 3.2. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Единственность решения.

3.2.3. Метод решения.

3.2.4. Устойчивость решения.

3.2.5. Пример.

§ 3.3. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Решение задачи

§ 3.4. Диагностика условий замыкания электронных систем.

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Метод решения.

3.4.3. Примеры.

§ 3.5. Комплекс программ.

Актуальность темы диссертации. Работа посвящена исследованию задач определения вида и параметров закреплений механических систем и электронных систем по собственным частотам колебаний. Задачи рассматриваемого типа связаны с обратными спектральными задачами, задачами диагностики, виброзащиты и контроля колебательных процессов.

Исследованиям обратных спектральных задач посвящено много работ авторов, в том числе работы таких известных ученых как В.А. Амбарцумян, Г. Борг, Н. Левинсон, М.Г. Крейн, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, В.А. Садовничий, В.А. Юрко и других. В работах этих авторов требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. В качестве данных восстановления используются несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, весовые числа, функция Вейля). Однако, несмотря на свою актуальность, обратные задачи восстановления нераспадающихся краевых условий по конечному набору собственных значений серьезно не изучались.

В последнее время обществом стали предъявляться большие требования к диагностике. Возникающие техногенные катастрофы и опасности потребовали необходимости создания новых методов инженерного обследования и диагностики состояния объектов, пострадавших в результате чрезвычайных ситуаций. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета, (см., например, работы И.И. Артоболевского, И. А. Биргера, М.Д. Генкина, Б.В. Павлова и др.). Развитие и взаимопроникновение методов механики, математической физики, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений, теории функций, алгебраической геометрии и современных компьютерных технологий привели к новым возможностям в диагностике — диагностике вида и параметров закреплений упругих тел по собственным частотам их колебаний, что позволило ставить и решать новые задачи.

Целью диссертационной работы является исследование задач определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам колебаний на основе применения современной технологии математического моделирования, комплексов программ и вычислительного эксперимента. В соответствии с поставленной целыо определены следующие задачи исследования: 1) исследование математических моделей для определения вида и параметров условий закрепления механических систем и условий сопряжения электронных систем по собственным частотам колебаний; 2) исследование задач определения общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) разработка метода и комплекса компьютерных программ для решения обратных спектральных задач восстановления краевых условий по конечному набору собственных значений; проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна. Впервые поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока.

Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления на двух противоположных краях прямоугольной пластины и на обоих концах стержня по собственным частотам их изгибных колебаний.

Исследованы и решены задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков. Показано, что для задач с дифференциальным уравнением 4-го порядка нельзя однозначно восстановить произвольные нераспадающиеся краевые условия.

Разработан метод и комплекс программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений.

Практическая значимость результатов. Разработанный метод и комплекс программ могут быть применены в диагностике недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем, строительных конструкций, а также условий замыкания для электронных систем. С помощью предложенного метода можно судить о виброзащитных закреплениях механических систем, а также подбирать условия замыкания провода для обеспечения нужного (безопасного) спектра частот колебаний напряжения в электронных системах.

Достоверность результатов подтверждена доказательством корректности поставленных задач, результатами вычислительных экспериментов, а также проведением сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие основные результаты: 1) математические модели определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам их колебаний; доказательство существования, единственности или двойственности и устойчивости решений соответствующих обратных задач; 2) решения задач восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) метод и комплекс компьютерных программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений; результаты вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на: республиканской конференции студентов и аспирантов по физике и математике (Уфа, 1997 г.); IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004 г.); III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ (Уфа, 2005); VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Дагомыс, 2005 г.); V Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2005 г.); Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); научных семинарах проф. К. Б. Сабитова (Стерлитамакская государственная педагогическая академия), проф. Я. Т. Султанаева (Башкирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений), Института механики УНЦ РАН, А. М. Ахтямова (Башкирский государственный университет).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опуликованы в 12 работах.

В совместных работах А. М. Ахтямову принадлежит постановка задач, М. Тайхер, А. В. Муфтахову— вывод соотношений Плюккера для уравнений 3-го и 4-го порядков. Соискателю принадлежат решения поставленных задач, комплекс компьютерных программ, результаты вычислительных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложений. Полный объем диссертации составляет 144 страницы, включая приложения на 39 страницах.

Заключение

Получены следующие новые результаты: 1) Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления прямоугольной пластины и стержня по собственным частотам их изгибных колебаний. Установлена однозначность или двойственность решений соответствующих задач, их непрерывная зависимость по собственным значениям. Поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по трем собственным частотам колебаний напряжения переменного тока.

2) Исследованы и решены задачи восстановления по конечному набору собственных значений общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков. Показано, что для однозначного восстановления общих нераспадающихся краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка достаточно 5, а для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка — 19 собственных значений. Установлено, что для однозначного восстановления общих нераспадающихся краевых условий спектральной задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка нужно дополнительно задавать ограничения на сами краевые условия.

3) Разработан метод и комплекс программ, позволяющий определять краевые условия обратных задач по конечному набору собственных значений. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Работа поддержана грантом: № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005 г.

1. Артоболевский И. И., Бобровницкий Ю. И., Геи-кии М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 295 с.

2. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

3. Ахтямов А. М. О совпадении краевых условий спектральных задач, имеющих общее уравнение // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 4. Дифференциальные уравнения. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН. 1996. С. 15-21.

4. Ахтямов А. М. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. Уфа: БашГУ. 1996. № 3(1). С. 12-15.

5. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1127-1128.

6. Ахтямов А. М. Об определении параметров упругого закрепления струны по собственным частотам ее поперечных колебаний // Научная конференция понаучно-техническим программам Минобразования России: Сборник статей, ч. I. Уфа: БашГУ, 1998. С. 3-7.

7. Ахтямов А. М., Николаепко В. В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 92-93.

8. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. 2001. Т. 5. № 3, с. 103-110.

9. Ахтямов А. М. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний j j Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Том 9. Вып. 1. С. 154-155.

10. Ахтямов A.M. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

11. Ахтямов А. М. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5. М. С. 214-221.

12. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 137-147.

13. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закреплений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. С 61.

14. Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 995-106.

15. Биргер И. . А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

16. Будак В. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике: Учебное пособие, 3-е изд. М.: Наука. 1980. 688 с.

17. Вухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 184 с.

18. Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск. 1968. Вып. 4. С. 378-879.

19. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36. № 4. С. 74-77.

20. Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акуст. журн. 2000. Т. 46. № 3. С. 424426.

21. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. 1978. 352 с.

22. Вибродиагностика качества механизмов приборов. JL: ЛИАП, 1987. 144 с.

23. Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. С. Петербург: СПбГАУ, 2000. 317 с.

24. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

25. Губреев Г. М., Пивоварчик В. Н. Спектральный анализ задачи Редже с параметрами // Функц. анализ и его приложения. 1997. № 1. С. 70-74.

26. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 206 с.

27. Диагностика автотракторных двигателей. / Под ред. Н. С. Ждаиовского. Л.: Колос, 1977. 264 с.

28. Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение, 1968. 140 с.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и иженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

31. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.

32. Котляков Н. С., Глинер Э. БСмирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

33. Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт, 1967. 174 с.

34. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука. 1982. 272 с.

35. Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акуст. журн. 2002. Т. 48. № 2. С. 277-280.

36. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

37. Левитан Б. М., Гасымов М. Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам j j УМН. 1964. Т. 19. № 2(116). С. 3-63.

38. Левитан Б. М., Саргеян И. С. Введение в спектральную теорию (Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука, 1970. 672 с.

39. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 240 с.

40. Лейбензон 3. Л. Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п > 2 и преобразования таких операторов // ДАН СССР. 1962. Т. 142. 3. С. 534-537.

41. Лейбензон 3. Л. Обратная задача спектрального анализа обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Тр. Моск. матем. об-ва. 1966. 15. С. 70-145.

42. Лионе Ж.Л., Мадо/сенес Э. Некоторые граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

43. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 240 с.

44. Марченко В. А., Маелов К. В. Устойчивость задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Матем. сб. 1960. 52(94), N 2. С. 739-788.

45. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. 1972. 220 с.

46. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 526 с.

47. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

48. Павлов В.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971. 223 с.

49. Плаксипа О. А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Матем. сб. 1986. Т. 131. № 1. С. 326.

50. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия М.: Наука, 1986. 400 с.

51. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 567 с.

52. Расулов М. Л. Применение вычетного метода к решению задач дифференциальных уравнений. Баку: Элм, 1989. 328 с.

53. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

54. Садовничий В. А. Единственность решения обратной задачи для уравнения второго порядка с нераспадающимися краевыми краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1974. № 1. С. 143-151.

55. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Доклады Академии наук. 2004. Т. 395. № 5. С. 592-595.

56. Станкевич И. В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. 34-37.

57. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

58. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. М., JL: Гостехиздат, 1940. 500 с.

59. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

60. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки. М., JL: Гостехиздат. 1948. 460 с.

61. Тихонов А. Н.; Васильева А. ВСвешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 230 с.

62. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. № 1. С. 62-67.

63. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. Вып. 10. С. 130-133.

64. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им.И.Г.Петровского. 1983. № 9. С. 190-229.

65. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976. 576 с.

66. Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Изв. АН АрмССР. Мат. 1984. № 5. С. 398409.

67. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения,- Саратов: Сарат. педагогич. ин-т, 2001. 499 с.

68. Akhtyamov А. М., Mouftakhov А. V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // 11-Nov-2003, MPS: Applied mathematics/0311002.

69. Ambarzumijan V. A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zeitshrift fur Physik. 1929. № 53. S. 690-695.

70. Benedek A. I., Panzone R. Problemas de contorno para equaciones diferenciales ordinarias de sequndo orden con condiciones de borde dependientes del parametro espectral // Trab. mat. Inst, argent, mat. 1983. №. 53. P. 121.

71. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvilleschen Eigenwertanfgabe. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwarte // Acta Math. 1946. V. 78. № 1. S. 196.

72. Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. Boundary condition identification using condensation and inversion // J. Sound and Vib. 2000. V. 233. № 3. P. 495-514.

73. Frikha S., Gaudin M., Coffignal G. Boundary condition error for parametric updeting of In-operation systems application to piping systems // J. Sound and Vib. 2001. V. 241. No. 3. P. 373-399.

74. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73, № 4. P. 1-23.

75. W. U. Qunli, F. Fricke. Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ./ Inst. Eng. Austral, 1990. № 9, P. 329-333.

76. Oh.S., Kim H., Park Y. Active control of road booming noise in automotive interiors // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. № 1. P. 180-188.