автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Обобщенные спектры решеток и кодов

^ А

^^ На правах рукописи

л V

Богуславский Михаил Игоревич

Обобщенные спектры решеток и

кодов

05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук М.А.Цфасман

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Левенштейн

кандидат физико-математических наук Г.Б.Шабат

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт

Защита состоится " " 1998 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д.003.29.01 в Институте проблем передачи информации РАН по адресу Москва, Б. Каретный, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации РАН.

Автореферат разослан " " 1998 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д.003.29.01 доктор технических наук, профессор С.Н. Степанов

Общая характеристика работы

Актуальпость темы. Настоящая работа посвящена изучению обобщенных весов и спектров Хэмминга для линейных кодов и обобщенных эрмитовых параметров (аналогов обобщенных весов) для решеток в евклидовом пространстве. Обобщенные веса Хэмминга, (называемые также профилем размерность/длина или минимальными весами носителей) — это введенные относительно недавно параметры линейных кодов, которые стали интенсивно изучаться с начала 1990х годов. Обобщенные веса кода связаны с трел-лисной сложностью кода, декодированием и эффективностью кода как криптографического в канале специального типа. Они применяются для доказательства неэквивалентности кодов, построения кривых над конечными полями с большим числом точек и для решения других проблем.

Обобщенные эрмитовы параметры тоже связаны с трел-лисной сложностью и декодированием. Они были введены Р.Ранкиным еще в 1953 году как естественные инварианты квадратичной формы, но интенсивное их исследование началось всего несколько лет назад. Обобщенные эрмитовы параметры являются систолами плоских торов, изучение которых важно с точки зрения геометрии римановых многообразий.

Получено достаточно много результатов относительно обобщенных весов кодов; про обобщенные эрмитовы параметры известно гораздо меньше, в частности, известно очень мало границ. В настоящей работе получено несколько новых границ на обобщенные эрмитовы параметры.

Многие результаты и конструкции из теории кодирования имеют естественные аналоги в теории решетчатых упаковок шаров в евклидовом пространстве. Как правило, в

таких случаях существуют общие конструкции, и результаты для кодов и решеток получаются как частные случаи одной общей конструкции. Так, например, формула суммирования Пуассона влечет и функциональное уравнение для Э-функции решетки, и тождества Мак-Вильямс (функциональное уравнение на нумератор кода). В работе получена еще одна такая общая конструкция, которая представляется наиболее приспособленной для изучения обобщенных весов. А именно, строится аналог преобразования Радона в различных пространствах, связанных с кодами и решетками, и демонстрируются несколько применений этого преобразования.

Важным является изучение кодов, построенных по алгебраическим многообразиям, отличным от кривых; в этом направлении пока очень мало результатов, за исключением нескольких работ Д.Ю.Ногина и М.А.Цфасмана, С.Г.Влэду-ца и Дж.В.П.Хиршфельда. Вычисление обобщенных весов для этих кодов часто приводит к естественным и теоретически важным геометрическим задачам. Например, рассматриваемая в настоящей работе задача о вычислении обобщенных весов д-ичных проективных кодов Рида-Малера эквивалентна задаче о нахождении максимально возможного числа решений полиномиальной системы над конечным полем. Кроме того, в работе строятся коды из расщепимых поверхностей Дель Пеццо и вычисляются их обобщенные веса. На геометрическом языке эти две задачи эквивалентны, соответственно, нахождению максимально возможного числа Р?-точек на сечениях многообразий Веронезе и расщепимых поверхностей Дель Пеццо.

Цель работы. Целью работы является исследование обобщенных весов линейных кодов и обобщенных эрмитовых констант решеток: получение соотношений на обобщен-

ные спектры; получение границ на обобщенные эрмитовы параметры и вычисление обобщенных весов и параметров для конкретных интересных с теоретической точки зрения кодов и решеток.

Методы исследования. В работе применяются методы различных областей математики. При построении аналога преобразования Радона применяются методы и идеи интегральной геометрии и теории двойственных однородных пространств. При получении оценок на обобщенные эрмитовы параметры используются результаты из теории упаковок в различных метрических пространствах. При вычислении весов проективных кодов Рида-Малера используется техника комбинаторной геометрии, а при вычислении обобщенных весов кодов по поверхностям Дель Пеццо используются результаты алгебраической геометрии.

Научная новизна. В работе вводятся Г-функции решеток, которые являются аналогом обобщенных весовых нумераторов кодов и обобщениями классической О-функции решетки, и изучаются' некоторые их свойства. Строится аналог преобразования Радона для некоторых пространств, связанных с кодами и решетками. Формула Планшереля для этого преобразования дает ряд тождеств на весовые нумераторы. Таким образом получаются любопытные тождества на обобщенные весовые нумераторы кодов и их аналоги для решеток, а также новое доказательство одной верхней границы на обобщенные веса и новая интерпретация двойственности вес/кратность для проективных систем. Применение преобразования Радона в теории решеток и кодов является новым и должно позволить по-новому взглянуть на некоторые известные результаты из теории кодов.

Из известных границ на сферические коды, упаковки в проективном пространстве и в грассманианах строятся гра-

ницы на обобщенные эрмитовы параметры решеток с несколькими минимальными векторами. Для многих известных решеток эти границы намного улучшают ранее известные. Этим методом, в частности, получены верхние оценки на (неизвестный до сих пор) второй эрмитов параметр теоретически важных двойственных решеток корней А*п и £)*, которые отличаются приблизительно в 1,3 раза от известных нижних границ.

В работе также вычисляется второй обобщенный вес для д-ичных проективных кодов Рида-Малера, и выдвигается гипотеза относительно значения остальных весов. Эти коды важны с теоретической точки зрения в силу своей универсальности. Задача вычисления обобщенных весов для этих кодов эквивалентна следующей очень естественной задаче геометрии над конечными полями: найти максимально возможное число решений в проективном пространстве над конечным полем у системы из г линейно независимых полиномиальных уравнений одной и той же степени Для случая г = 1 эта задача была решена в 1990 году Ж.-П.Серром, который доказал гипотезу М.А.Цфасмана. В настоящей работе получено решение задачи для г = 2 и выдвигаются гипотезы относительно общего случая. В аффинном случае задача была решена в 1997 году Р.Пелликааном и П.Хэйнен, однако, по всей видимости, их методы не распространяются на (более естественный с геометрической точки зрения) проективный случай. Кроме того, в работе строятся алгебро-геометрические коды по расщепимым поверхностям Дель Пеццо и вычисляются обобщенные веса этих кодов. Этот результат требует некоторой алгебро-геометрической техники и является (наряду с результатами, изложенными выше) одним из немногих имеющихся в настоящее время результатов о кодах, построенных из алгебраи-

ческих многообразий размерности больше единицы.

Апробация работы. По материалам работы автором сделаны доклады на Четвертой международной конференции по алгебраической и комбинаторной теории кодирования (Новгород, Сентябрь 1994), Третьем международном коллоквиуме «Арифметика, геометрия и теория кодирования» (Марсель, Июнь 1995), Пятой международной конференции по алгебраической и комбинаторной теории кодирования (Созополь, Июнь 1996), Шестой международной конференции по алгебраической и комбинаторной теории кодирования (Псков, Сентябрь 1998), а также на научных семинарах Добрушинской лаборатории ИППИ РАН, механико-математического факультета МГУ и математического факультета Амстердамского университета.

Публикация результатов исследования. Результаты диссертации опубликованы в четырех печатных работах автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Оглавления, Списка обозначений, Введения, Первой (вводной) главы, глав Второй - Пятой, содержащих, в основном, новые результаты автора, Заключения и Списка литературы. Текст отпечатан на 73 страницах и содержит 3 таблицы. Список литературы состоит из 55 работ.

Краткое содержание работы

Первая глава состоит из двух разделов. В §1.1 мы приводим основные понятия из теории линейных кодов и решеток и описываем связь между кодом и его проективной системой. Линейное п-мерное пространство п^ (с зафиксированным базисом) над конечным полем из д элементов можно

превратить в метрическое пространство, положив расстояние между двумя векторами равным числу координат, не совпадающих у этих векторов. Это расстояние называется расстоянием Хэмминга. Линейным [п, к, ¿]?-кодом называется такое /г-мерное линейное подпространство в п-мерном векторном пространстве над конечным полем f9, что минимальное расстояние между двумя различными элементами кода равняется d. Такой код можно рассматривать как упаковку qk непересекающихся открытых шаров в метрике Хэмминга радиуса d/2. По всякому [п, к, с2]?-коду можно построить проективную систему — n-точечное множество (с крат-ностями) в (к — 1)-мерном проективном пространстве над f7. По проективной системе код может быть восстановлен с точностью до изометрии. Богатым источником проективных систем служат множества Р?-точек алгебраических многообразий. Коды, полученные таким образом, называются алгебро-геометрическими.

Под (полного ранга) решеткой в работе понимается (полного ранга) дискретная подгруппа евклидова пространства к", то есть множество целочисленных линейных комбинаций векторов из некоторого базиса шп. Обозначим через r[L) длину самого короткого (ненулевого) вектора решетки L. Если мы поместим в точки решетки открытые шары радиуса r(L)/2, то эти шары не будут пересекаться. Плотность такой упаковки шаров является важным параметром решетки. Одним из способов измерять эту плотность является эрмитов параметр решетки 7(L). Он определяется как 7(L) = r2(L)f vol2/,fl L, где volL — это объем фундаментальной области решетки (то есть, объем параллелепипеда, натянутого на вектора, порождающие решетку).

В §1.2 дается определение обобщенных весов кодов и их аналогов для решеток - обобщенных эрмитовых констант.

Линейное подпространство размерности г в коде называется 7--П0ДК0Д0М. Носителем некоторого подмножества в линейном пространстве щп называется набор координатных позиций, для которых найдется элемент множества с ненулевой координатой в этой позиции. По определению, г-ый обобщенный вес (1Т(С) кода С равен минимальному размеру носителя г-мерного подкода. Легко видеть, что ¿1(С) = ¿(С) и если нет позиции, нулевой для всех слов кода С, то (1ь{С) = п. Для проективных систем и, в частности, для алгебро-геометрических кодов обобщенные веса имеют естественную интерпретацию: г-ый обобщенный вес равен минимальному числу точек вне сечения системы линейным пространством коразмерности г.

По аналогии с длиной г(Ь) минимального вектора решетки можно рассмотреть минимальные объемы уо1г(Ь) подрешеток ранга г в данной решетке. Нормируя эти параметры на объем всей решетки, мы получим обобщенные эрмитовы параметры. Другой, несколько более общий способ ввести эти параметры используется в работах М.Берже и М.Громова. Возьмем риманово многообразие М и рассмотрим минимальный объем г-цикла, неэквивалентного нулю в г-ой группе гомологий Нг(М,г) с целыми коэффициентами. Этот параметр называется г-систолой М и является интересным инвариантом многообразия. В случае, когда М — фактор вещественного п-мерного пространства по решетке Ь с индуцированной метрикой, мы получаем г-ыйобобщен-ный эрмитов параметр решетки Ь.

По аналогии с обобщенными спектрами кода можно ввести обобщенные спектры решетки, то есть распределения объемов подрешеток заданного ранга. В данной работе впервые вводятся обобщенные весовые нумераторы решеток, называемые Т-функциями. Эти функции являются

обобщениями классической ©-функции решетки и связаны с ней рядом соотношений. Мы определяем г-ую Т-функцию Т£(д) решетки Ь как формальный степенной ряд

П(д):= £ Г'2"

лге^и

Суммирование производится по множеству Ь^ всех примитивных г-подрешеток решетки Ь, то есть подрешеток, которые не содержатся ни в какой другой г-подрешетке решетки Ь. Эти функции удовлетворяют очевидным соотношениям двойственности.

Далее в работе рассматриваются связи обобщенных весов и обобщенных эрмитовых параметров с тензорными степенями и приводятся известные на настоящий моменнт границы на обобщенные эрмитовы константы: обобщенное неравенство Морделла и граница Куланжеона.

Вторая глава работы называется «Двойственные однородные пространства» и состоит из четырех разделов. Эта глава основывается на статье автора [4].

В §2.1 дается краткий обзор теории двойственных однородных пространств. Классическим примером, с которого в 1917 году Ж.Радон начал изучение подобных объектов, является пара пространств (точки в ¡я", гиперплоскости в к"), связанная отношением инцидентности, при котором точка х инцидентна гиперплоскости £ (это обозначается х IX £) тогда и только тогда, когда х принадлежит В общем случае, двойственные однородные пространства определяются как факторы произвольной локально компактной группы по двум подгруппам, удовлетворяющим некоторым специальным условиям. Если у нас есть пара двойственных однородных пространств то^мы можем всякой функ-

ции /(х) : X —>■ с сопоставить ее преобразование Радона

/(£) : Е —> с. Функция /(£) определяется (для простоты обозначений мы сейчас ограничимся дискретным случаем) формулой

ДО := Е /(*)■

Аналогично для функций ф{£) : Е С определяется двойственное преобразование Радона ф(х) : X —> с. Важным тождеством является формула Планшереля

т. та*) = т. пто- а)

rex ien

В §2.2 дается представление множеств как двойственных однородных пространств. Из формулы Планшереля (1) и соотношений двойственности для Г-функций получаются следующие любопытные тождества, выражающие произведения ©-функции решетки на первую Т-функцией решетки или (п — 1)ую Т-функцией двойственной решетки как взвешенные суммы ©-функций сдвигов подрешеток:

еж)-тгЧр)= Е Pw,a*ec(g)

ч

&ь(д)-тШ=Р^41 Е рто,,с©{(?)

Похожие соотношения можно получить и для других Т-функций.

Задача обращения преобразования Радона, то есть, явного построения функции f(x) из функции /(£) является, вообще говоря, сложной, и не существует общей формулы, верной для произвольной пары двойственных однородных пространств. Нам не удалось получить явную формулу обращения для пространств, связанных с решетками. В §2.3 и §2.4 мы конструируем двойственные однородные про-

странства, связанные с кодами и получаем новые доказательства двух ранее известных результатов: двойственности вес/кратность для проективных систем и верхней границы

МО < ^^ (2)

на обобщенный вес кода. Для этих пространств выписывается явная формула обращения для преобразования Радона и двойственного преобразования. Двойственность вес/кратность получается как следствие этой формулы обращения, а граница (2) как следствие формулы Планше-реля (1).

В третьей главе получается ряд новых границ на обобщенные эрмитовы параметры решетки. Содержание этой главы отражено в статье [4]. При этом используются известные границы на сферические коды, упаковки в вещественном проективном пространстве и в вещественных грассма-нианах. Получаемые оценки зависят от числа минимальных векторов решетки и имеют место только если это число больше двух. В §3.1 приводятся известные сведения о метриках и упаковках в грассманианах. Грассманиан , п) (как множество) — это множество всех линейных подпространств размерности к в п-мерном линейном пространстве. Для двух подпространств одной размерности можно определить набор главных углов между ними, измеряющий, насколько по-разному эти подпространства расположены. Из набора главных углов можно несколькими разными способами определить «расстояние» между подпространствами; наиболее естественным для многих задач является хордалъ-ное расстояние. Грассманиан как метрическое пространство с хордальным расстоянием вкладывается в сферу большой размерности в евклидовом пространстве. Это позво-

ляет применять к упаковкам в грассманиане известные границы на сферические коды. В §3.2 используются эти результаты только для грассманиана С(1,гг), который совпадает с проективным пространством.

В §3.2 мы строим из решетки с несколькими минимальными векторами упаковку в проективном пространстве и сферический код специального вида. Из границ Г.А.Кабатянского и В.И.Левенштейна для упаковок в проективном пространстве и границ на сферические коды, примененных к упаковкам в грассманиане (?(1,п), получаются верхние границы на второй эрмитов параметр. Пусть у нас есть решетка Ь С к"; обозначим через т число минимальных векторов (контактное число). Наши границы имеют вид 72(Ь) < Лп,т)'у1(Ь), Таким методом молено получить много различных границ, которые будут верны при различном количестве минимальных векторов. Приведем для примера две границы, первая из которых верна для решеток с четырьмя и более минимальными векторами (она получается из границы Ранкина на сферические коды), а вторая — только для решеток с т > 2п (и получается из простейшей границы линейного программирования на проективные коды):

/ гч п — 1 г(Ь) .

С помощью более громоздкой конструкции можно получить аналогичные оценки на остальные эрмитовы параметры, но эти оценки оказываются заметно хуже.

В §3.3 мы приводим примеры применения наших границ к ряду классических решеток: решеткам корней, двойствен-

ным решеткам корней, целочисленной решетке 2", слоистым решеткам. Для некоторых из этих решеток второй эрмитов параметр известен. Во многих случаях наши границы дают верхнюю оценку, отличающуюся от истинного значения приблизительно в 1,3 раза (это почти не зависит от решетки). Для других рассмотренных решеток значение второго эрмитова параметра неизвестно. Любопытно, что для них наша граница дает значения, отличающиеся от нижней границы (обобщенного неравенства Морделла), также примерно в 1,3 раза. Для всех рассмотренных решеток наши границы заметно лучше, чем граница Куланжеона. Отметим, что граница Куланжеона верна для произвольных решеток, а наши границы - только для решеток с достаточным количеством минимальных векторов. С другой стороны, большинство известных и/или интересных решеток имеют достаточно много минимальных векторов.

Четвертая глава посвящена обобщенным весам д-ичных проективных кодов Рида-Малера, одного из возможных обобщений классических двоичных кодов Рида-Малера на случай д-ичного алфавита. Эти коды можно определить как алгебро-геометрические коды, построенные из многообразия Веронезе. Обобщенные веса для двоичных кодов Рида-Малера были вычислены В. Вэем с помощью комбинаторной техники. Для аффинных д-ичных кодов веса были вычислены в недавней работе Р.Пелликаана и П.Хэйнен. Эта глава основывается на статьях автора [1] и [3].

В §4.1 мы даем сдедующую геометрическую переформулировку задачи. Пусть имеется система из г линейно независимых однородных многочленов отт + 1 переменной одинаковой степени <1 и с коэффициентами в некотором конечном поле Множества решений таких систем мы называем (7-, т, (^-конфигурациями. Требуется найти систему, име-

ющую максимально возможное число решений в т-мерном проективном пространстве рт над полем Fq. Множество решений этой системы мы называем максимальной (г, т, d)-конфигурацией. Для случая г = 1 задача была решена Ж.-П.Серром, который доказал, что сконструированный М.А.Цфасманом многочлен имеет максимально возможное число нулей. Максимальная (1, ггг, (^-конфигурация является объединением d гиперплоскостей, проходящий через одно общее линейное подпространство размерности т — 2. На ней лежит dqm~l + рт-2 точек, где ps = 4 - число точек в 5-мерном проективном пространстве. Заметим, что еще одна геометрическая переформулировка этой задачи -это задача о нахождении максимально возможного числа точек на сечении многообразия Веронезе линейным пространством.

В §4.2 выдвигается несколько гипотез относительно ответа в общем случае. Для г = 2 эти гипотезы доказываются в §3. Максимальная (2, т, ^-конфигурация является пересечением двух максимальных (1,тп, (^-конфигураций и состоит из максимальной (1 ,m,d — 1)-конфигурации и линейного подпространства т — 2. На ней лежит

(d-l)qm-l+pm_2 + q™-2

точек. При доказательстве используется примерно та же конструкция, что и в доказательстве Ж.-П.Серра. Заметим, что эта конструкция сводится к применению формулы Планшереля (1) для естественным образом конструируемого преобразования Радона индикаторной функции многообразия Веронезе. В доказательстве используется и предварительно доказывается следующий результат, который может быть интересен независимо: алгебраическое множество степени d и размерности s в рт содержит не более, чем dps

точек. Ранее этот результат доказывался различными авторами только при различных ограничениях на й, в и д.

В §4.3 результаты §4.2 интерпретируются на языке теории кодирования; таким образом вычисляется второй обобщенный вес для д-ичных проективных кодов Рида-Малера и выдвигаются гипотезы относительно остальных весов.

В пятой главе диссертации изучаются коды, построенные из расщепимых поверхностей Дель Пеццо и вычисляются обобщенные веса этих кодов. Эта глава основывается на работе автора [2]. В §5.1 кратко описываются эти коды и приводятся их параметры, вычисленные в §5.5. В §5.2 дается обзор теории поверхностей Дель Пеццо над конечными полями. Поверхности Дель Пеццо - это изучающееся с конца прошлого века семейство алгебраических поверхностей, задаваемое, говоря современным языком, требованием обильности антиканонического класса. Изучаемое нами семейство может быть описано и классическим образом. Рассмотрим вложение Веронезе третьей степени р2 —> р9, то есть, отображение, которое каждой точке сопоставляет значения всех мономов третьей степени от ее координат, то есть

(х0 : х1 : жг) ^ (жд : х^хх : х^х2 : ... : х\).

Образ этого отображения является неособой поверхностью девятой степени в р9 (это частный случай многообразия Веронезе, которые рассматривались в четвертой главе). Эта поверхность является одной из поверхностей рассматриваемого семейства и обозначается нами Р9; остальные поверхности лежат в р8,р7,...р3 и являются последовательными проекциями V9 из точек, лежащих на ней. Другими словами, мы берем плоскость р2 и вкладываем ее полной линейной системой кубик в р9 (получаем V9), или раздуваем от одной до шести г,-точек в общем положении на плоскости и

вкладываем получившуюся поверхность прообразом линейной системы плоских кубик. Так получаются поверхности

С р8, С Р7,.. ■ ,'С3 С Р3. Далее в работе рассматриваются вопросы зависимости получившихся поверхностей от выбора точек раздутия и существования на плоскости достаточного количества г9-точек общего положения. В большинстве случаев получающиеся при разных выборах точек поверхности изоморфны, в других случаях неизоморфны, но имеют одинаковые интересующие нас параметры,2 и только для поверхности V3 существование точек Экардта может немного ухудшить характеристики проективной системы. Что касается существования точек общего положения, то, как было показано Дж.В.П.Хиршфельдом, все семь поверхностей существуют при д > 4.

Несложно вычислить число г?-точек на такой поверхности, поскольку каждое раздутие добавляет к поверхности исключительный дивизор, определенный над на котором лежит д + 1 точка.

В §5.3 мы описываем общий план вычислений. Нам нужно вычислить для каждого к = 3, 4,..., 9 и для каждого г = 1, 2,... , к максимум по всем линейным подпространствам П коразмерности г в числа точек в пересечении ЛПТ>к. Это число совпадает с максимумом по всем наборам из г независимых кубик на плоскости числа точек в раздутии пересечения этих кубик. Мы будем перебирать всевозможные пересечения кубик на плоскости, вычисляя при этом размерность линейной системы кубик, проходящих через это пересечение, число Р?-точек общего положения в этом пересечении и число Р?-точек на раздутиях пересечения в точках общего положения. В §5.4 мы выводим из формулы взаимности для когомологий пучков формулу, дающую размерность линейной системы, проходящей через пересечение кубик, а

в §5.5 перебираем всевозможные пересечения. Эти пересечения оказывается удобно разбить на 24 типа, в §5.6 эти типы сведены в таблицу (это таблица 2 в тексте диссертации). Из этой таблицы легко получается таблица 3, дающая обобщенные веса соотвествуюгцих кодов.

В Заключении подводится итог результатам, полученным в работе, и предлагаются возможные направления дальнейших исследований. На наш взгляд, важно изучить другие применения идей, связанных с преобразованием Радона, к упаковкам в различных метрических пространствах.

Завершает диссертацию Список литературы.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах.

[1] Boguslavsky, М. 'On the number of points in an algebraic set', Proceedings of the Fifth International Workshop "Algebraic and Combinatorial Coding Theory," Sozopol, Bulgaria, June 1996, 54 - 58.

[2] Богуславский, M. 'Сечения поверхностей Дель Пеццо и обобщенные веса', Проблемы передачи информации, 34, N 1, (1998), 18-29.

[3] Boguslavsky, М. 'On the number of solutions of polynomial systems', Finite Fields and their Applications, 3, (1997), 287-299.

[4] Boguslavsky, M. 'Generalized Hermitian constants and kissing numbers', Proceedings of the Sixth International Workshop "Algebraic and Combinatorial Coding Theory," Pskov, Russia, September 1998, 46-51.