автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Об одной задаче расчета и оптимизации конструкции полупроводникового прибора

московский

ГОСУДАРСТВЕННОЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

ЗОТИНА Елена Николаевна

Об одной задаче расчета и оптимизации конструкции полупроводникового прибора

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V

/^Л

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор Л.А.Муравей

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, в.н.с..

Я.Е.Михайлов (.ЭД РАН),

кандидат физ.-мат. наук, с.н.с. А.З.Ишмухаметов (ИПК РАН)

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

физических проблем им. Ф.В.Лукина (г. Москва, Зеленоград)

Защита состоится "«¿У" сгк/'лс^Лл' 199^ г. в /^час. на заседании специализированного совета К.053.05.87 з МГУ им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, ф-т ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК. Автореферат разослан " с&Ылф-е' Х993г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф^-м.я.,доцент

/

В.М.Говоров

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Математическое моделирование - один из основных методов исследования в современной микроэлектронике. В данной работе рассматривается математическая модель прибора с зарядовой связью /ПЗС/ с зиртуальаой фазой со скрытым каналом. ПЗС - перспективные изделия на основе структуры металл-дизлектрик-полупроводник /МДП/. Они используются как фотоприемники в различных областях народного хозяйства: телевидении, астрономии и т.д. Математическое моделирование таких приборов является необходимым этапом при их проектировании из-за технологической сложности их изготовления и нелинейности протекающих в них процессов, причем модель должна учитывать двумерный характер описываемых процессов.

Большой практический интерес представляют задачи оптимизации конструкций ПЗС. Эффективность и практическая значимость такой работы будут определяться уменьшением числа минимально необходимых физических и технологических экспериментов и существенным сокращением цикла исследование-разработка. Это говорит об актуальности решаемой здесь проблемы исследования двумерной стационарной модели ПЗС. Отметим, что подробное математическое исследование двумерной модели ПЗС ранее не проводилось.

Состояние вопроса.

Математическое описание физических процессов, протекающих в ПЗС, приводит к системе трех стационарных двумерных эллиптических уравнений и краевых условий, описывающих распределение электрического потенциала в трехслойной структуре прибора. Рассмотрение пров'оДит^я для ПЗС со скрытым каналом м - типа на подложке р - типа, что определяет вид уравнений системы в кал-

дом из слоев.

Одномерная стационарная модель для ПЗС со скрытым каналом р - типа на подложке /V - типа исследовалась в работах В.Кента, Р.Болдена, Р.Крэмбика, Р.Стрейна, Дж.Мак Кенны, Н.Шрайера, Дж.Смита. В них получено распределение потенциала в скрытом канале ПЗС с однородно легированными р - слоем и Уь - областью при напряжении на затворе прибора V= 4 вольта для сигнальных пакетов различной величины, а также приведено соответствующее распределение объемной плотности сигнального заряда. Приведены результаты двумерного расчета продольного распределения потенциала в центре скрытого канала ПЗС. Физическая сторона этих вопросов и обзор соответствующих работ имеется в монографии С.Зи.

В последнее время в связи с появлением СБИС и ТБйС Ссзерх-и ультрабольших интегральных схем) происходит отказ от классических моделей, поскольку возникают совершенно новые явления, определяющие работу приборов. Двумерный численный анализ полупроводникового прибора был впервые проведён Д.П.Кеннеди, Р.Р.0'Брайеном. Отметим монографию под редакцией П.Антонетти, Д.Антониадиса, Р.Дат-тона, У.Оулдхема, где дан широкий обзор работ зарубежных ученых по исследованию двух - и трехмерных моделей полупроводниковых приборов. 3 этих работах рассмотрены фундаментальные свойства, лежащие в основе всех моделей приборов. Даны обзоры методов численного решения уравнений в полупроводниках.

Оптимизация конструкции прибора сводится к следующей задаче. Поскольку ПЗС со скрытым каналом имеет меньшую зарядовую емкость ячейки по сравнению с другими, типами ПЗС, что может привести к. уменьшению их динамического диапазона, большое значение имеет выбор оптимального профиля легирования канала, исходя из наибольшей зарядовой емкости ячейки. Эта задача формулируется в виде задачи минимизации соответствующего функционала, представляю-

щего величину информационного заряда, при управлении концентрацией легирующей примеси, входящей з правую часть эллиптического уравнения, описывающего распределение потенциала з полупроводнике

Л, - типа. Поставленная задача может быть отнесена к одному из подразделов теории оптимизации для систем с распределёнными параметрами. Различные ее аспекты рассмотрены з многочисленных работах как советских, так и зарубежных авторов (см., например, монографии ¿.-Л.Лионса, Л.С.Понтрягина, г.Л. Засильева).

При решении задачи оптимизации одновременно исследуются вопросы существования я единственности периодических решений неходкой системы двумерных стационарных эллиптических уравнении. Зопр^ам существования и единственности периодических решений уравнении з частных производных посвящено большое количество работ. Из них отметим работы 2.-Л.Лионса, л-Л.Л-ионса и Э.Мад-асенеса, в которых доказаны теоремы существования и единстзенности для периодических по времени решении гиперболических и параболических уравнении. 3 работе А.Б.Засидьезо.:, М.А.Петрозои доказана теорема существования и единстзенности периодического решения задачи ¿ирихле для нелинейного эллиптическ .го уравнения.

Численный анализ осложняется наличием тонкого диэлектрического слоя, что приводит к появлению эффектов типа пограничного слоя для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка. Сингулярно возмущенным уравнениям в частных производных посвящено большое количество работ: А.Н.Тихонова, М.И. Вишика я Л.А. Люстврника, А.Б. Васадьввоя и .Бутузова, С.А Ломоза и др.

Полученное в тонком диэлектрическом слое асимптотическое представление рейени^ "сшивается" с решением в полупроводнике с использованием условия непрерывности нормальных составляющих электрической индукции. Эта задача сводится к решению сингуляр-

ного интегрального уравнения на полуоси, которое решается приведением к Даевой задаче Римана. При этом используется методика, разработанная в трудах §.Д.Гахова, Ю.И.Черского.

В работе выясняется поведение решения в окрестности омического контакта, являющемся границей между диэлектриком и полупроводником. Поставленная при этом модельная задача сводится к нахождению решения уравнения Лапласа в плоскости с разрезом. С физической точки зрения это задача определения электростатического поля и плотности заряда вблизи острого ребра идеально проводящей пластины, имевшей нулевой потенциал. Решение ароводится методом Зинера-Хопфа с использованием методики Б.Нобли. Полученное решение позволяет соответствующим образом выбрать сетку в окрестности контакта при численном решении задачи.

При исследовании задачи оптимизации конструкции прибора получении необходимых условий оптимальности попользуется методика, разработанная в работах Ж.-Л.Лионса.

Цель работы.

Исследование свойств стационарной двумерной математической модели ПЗС и разработка аналитических и численных методов решения поставленной задачи оптимизации конструкции прибора.

Научная новизна.

1. Исследована двумерная стационарная математическая модель прибора с зарядовой связью. При этом получено асимптотическое представление решения двумерного эллиптического уравнения, периодического по переменной л: , с краевыми условиями первого рода по переменной у. Искомое уравнение - сингулярно возмущенное пох

2. Получено сингулярное интегральное уравнение для определения решения на границе между диэлектриком и полупроводником п. -типа. Определено . электростатическое поле и плотность заряда вблизи острого ребра идеально проводящей пластины, имеющей нулевоР

потенциал.

3. Получены необходимые условия оптимальности а поставленной задаче минимизация функционала, представляющего величину информационного заряда для исходной системы уравнений. Доказано существование и единственность решения задачи оптимизации.

4. предложены численные методы решения задач распределения потенциала з случае наличия и отсутствия информационного заряда в скрытом канале.

5. Предложен метод аппроксимации и численным метод реиения Зс^ччи оптимизации конструкции приоора. Проведены модельные расчеты, показывающие эффективность предложенных методов.

Метод исследования.

3 работе применены методы функционального анализа, сингулярно возмущенных уравнений а частных производных, метод Зинера-Хопфа, теории экстремальных задач, конечно-разностные методы.

Практическая ценность.

Полученные результаты могут оыть применены при исследовании математических моделей конкретных физических пркОороз на основе структур металл-диэлектрик-полупроводник /чДП/. предлагаемые з раооте методы могут служить эффективными методами решения таких задач. Быстрота сходимости и малость времени счета говорят о возможности широкого применения таких методов для вышеупомянутых задач, а также для тех задач, в которых могут быть применены результаты, приведенные в § .1.2, § 1.3 работы.

Апробация работы я публикации.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр обцей математики и оптимального управления факультета МГУ, ВЦ РАН и НШЙП им. Ф.В.Лукина, где ани были использованы для внедрения, соответствующих программ (имеются акты о внедрении программ в НШ&П им. Ф.З.Лукина).

Также дезультаты, полученные в диссертации, докладывались на

з

отраслевой научно-практической конференции "Математические модели в микроэлектронике" (г.Зеленоград, 1985г), на У1 Всесоюзном совещании-семинаре молодых учёных: "Современные проблемы автоматического управления" (г. Москва, 1985 г.), на 1-ой Международной научно-практической конференции молодых учёных и специалистов в области приборостроения: "ИНТЕРПРИБОР - 90" (г. Москва, 1990 г.).

Основные результаты диссертации содержатся в работах /1-5/. Программа определения распределения потенциала в приборе прилагается к работе.

Структура к объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, списка литературы ; текст диссертации содержит 103 страниц, библиография - ЦО названий.

П. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, близких по тематике к предмету диссертации и изложено ее основное содержание.

В диссертации используются следующие обозначения: С-пространства функций У"^,^/), И^, являющихся решениями эллиптических уравнений с периодическими по л условиями ;

Н > Ни. ~ гильбертовы пространства управлений со скалярными произведениями » (',

§ 1.1. первой главы носит вспомогательный характер. Здесь приведены основные соотношения, которым удовлетворяет распределение электрического потенциала в областях Я)^ Ю^ »<?? " двуокиси кремния £¿-01.^ кремнии а - типа, легированном до-норной примесью с концентрацией Л^л^х.) , кремнии р - типа, легированном акцепторной примесью с концентрацией //¿.{х.] (.рис, а именно, система уравнений«

-V ^ /у г „ .3 1

К 1 ^Г ""1

1 : ! 1 1

где

- малый параметр, /2/

;г

о-

Рис. I

у) £ За л /?/

г.. краевые условия

/5/

Условия непрерывности потенциала

и ПОЛЯ

' ^ ^ ^ < «'У, -гг ^ >

/6/ /7/

/9/

¿ту ' ''

3, 41 ~ относительные диэлектрические проницаемости диэлектрика и полупроводника /г, - типа соответственно.

^ * 4 /8/

а также условия: периодичности по переменной ¿С :

с? 3.

(.поскольку рассматриваемая структура является периодической, и выделена одна ячейка прибора):

здесь - постоянная величина / А = 0,4 ;

- физический параметр, определяемый условиями работы-прибора, определяется квазиуровнями #ерми.

/У^х) —Л/я^ - кусочно-постоянная функция, поскольку отли-

чительной особенностью рассматриваемого прибора является наличие областей с разной степенью легирования в полупроводниковой подложке п. - типа, что определяется технологией производства прибора

f 80, ¿> ¿jz ^ Л, /!/fx)= J ЭО.

20, л

^г у i

10,

К V

[/'' - постоянный потенциал, подаваемый на верхнюю границу области ,

для удобства вычислений размер прибора по j/ сокращен до

размеры прибора по у в областях »<2 причем

- размер прибора по .

Информационный заряд ¿P в канале вычисляется следующим образом

¿р^УУ/Йе^'^со. /ю/

В § I.I также сформулирована задача оптимизации конструкции прибора или задача о выборе оптимального профиля легирования канала в ПЗС. Требуется, управляя концентрацией донорной примеси

, входящей в правую часть (2), в полупроводниковой подложке ^ - типа /скрытом канале/, получить значение информационного заряда при напряжении на затворе - 5 вольт равным задан-

ному значению заряда ¿¡2, , определенному при затворном напряжении

=1 вольт в предположении о выполнении некоторых условий эффективного переноса заряда, которое описаны ниже. , определяются. (10). При этом, как замечено в физических эксперимен-

------- ------------------/Г~'( ™ иоппммвп Г"!_3и")

Математическая формулировка этой задачи: требуется найти минимум пункции /10/

й - ^ ^^ ^ ^ - ^ # /И/

равный значению заряда ¿р^ , при условии, что является решением краевой задачи /1/-/9/.

Предполагается, что управление --/1//%)/ концентрация легирующей примеси з полупроводниковой подложке /г - типа отыскивается среди кусочно-постоянных функций одной независимей переменной на [0,11 , удовлетворяющих неравенству А^^ где /Ун** , М»** - заданные значения концентрации: минималоно возможное и максимально допустимое соответственно. Эти значения концентрации определяются условиями работы прибора. При выбранном значении Л^и^

подвижность электронов начинает падать. У/^^г выберем равным концентрации заряда в полупроводниковой подложке р - типа. 3 модельной задаче положим ¿г = ( , ,

¿¿е- = сг>я4-!? , с = 1,2,3,4. Зафиксируем /^.и А^а* Положим первую и четвертую координаты , искомого оптимального управления равным соответственно /Ли» , Л^упаж. будем варьировать так, чтобы & У-Л^^г^ л

¿¿з & Л^/па* . Множество оптимальных управлений обозначим через С/*- .

Дадим определение эффективности переноса заряда. Через У?,', /= = , ~ 0 обозначим каждую из под-

областей , в которых концентрация легирующей примеси

постоянна. А через ^ / - 4 ^ ~ значения заря-

доз , ¿р^ в каждой из областей Лу , . Значения

зарядов С?; различны в зависимости от задаваемых затворных напряжений Т/ , концентрации легирующей примеси ЛЛЦ) и зна-

Обычно считается, что перенос зарядов , ¿^ эффективен,

если

0- -- о^-у, д! ^ -у

решение задачи минимизации /11/ при условиях /1/ - /9/ осуществляется з последующих параграфах диссертации, решение прямой задачи начинаем с §

3 § 1.2 для уравнения /1/ с краевыми условиями /4/,/б/,/7/, /9/ получено асимптотическое представление решения а тонком диэлектрическом слое./1/ является сингулярно возмущенным эллиптическим уравнением о малым параметром при Ухх л Г1еРИ0~ дическими краевыми условиями по этой *е переменной. Для получения асимптотики используется методика работ А.Н.Тихонов!, С.А.Ломова, А.Б.Васильевой, М.А. Вишика и Л.А. Люстерника. Сазцифнкой рассматриваемой задачи является то, что в построении аслмптотикн решения присутствуют не две функции типа погранслоя, а 4етыре.

доказана следующая теорема. Теорема I. Система /1/,А-/,/б/,/7/,/9/ имеет единственное ре-

аение: пару пункции У/5;у)на- отрезках ;

[_0,х1 соответственно. Для любого натурального имеют место следующие представления функции

_ (Ч^ «-¿Г

причем для остаточных членов разложений справедлива оценка

где постоянная не зависит от ¿Т . Коэффициенты ¿¿^ , ¿/^ , определяются явно.

Из /12/—/13/ вытекает и представление глазного члена асимптотики:

где Л^ определяется из ^6), а именно, через ооозначено решение (I) - (9) на - границе между диэлектриком и полу-

проводником /г - типа: /3 = 2),.

В § 1.3 для нахождения Л/х) ставится модельная задача в бесконечной ооласти. Совместно решается система уравнении вида /1/, /2/ и краевых условии /б/ - /7/: Задача приводится к сингулярному интегральному уравнению типа уравнения Зинера-Хопфа.

При решении уравнения используется методика,предложенная в монографии Б.Нобла. Полученный результат о представлении решения на границе раздела сред сформулирован в виде теоремы 2.

В § 1.3. также рассмотрена модельная задача для системы /1/-/9/, позволяющая уточнить поведение решения в окрестности омического контакта. Определено электростатическое поле и плотность заряда-волизи острого ребра идеально проводящей пластины, имеюцеи нулевой потенциал.

Рассматривается уравнение Лапласа в плоскости с разрезом

л /'-¿г /15/

Не/

пии этом

/17/

<*>/.

Используем методику озедения /I3/—/17/ с помощью преобразования Турье к краевой задаче теории аналитических функций, получаем, что в окрестности контакта решение

можно

представить в виде суммы

где ¿Г - постоянная,

у^У - глад;;ая рункция. Этот результат сдорму.:ирозан а зяде теоремы 3>

[¡олученное з ^ 1.3 представление решения задачи /1/-/9/ используется з главе второй при зыооре сетки в окрестности контакта при численном решении задачи конечно-разностным методом.

3 § 1.4 доказана теорема 4 суцеств^вания и единственности периодического по переменной ¿с решения задачи /1/-/9/. Теорема 4. при заданном значении существует единственное

периодическое решение задачи А/-/9/. Установлено существование оптимального управления задачи /II/, /1/-/9/. При этом использовалась методика, предложенная в монографиях г.П.Засильева, 2.-Д.1ионса. Этот результат сформулирозан з виде теоремы 5.

Показана дифференцируемость функционала /1О/ в // . Получена сопряженная задача для /II/, /1/-/9/.

Выписаны неооходимые условия1оптимальности первого порядка для этой задачи:

Определён градиент функционала /10/:р5/^

Подученные результаты "применялись для составления алгоритма численного решения задачи оптимизации /II/,/I/—/9/.

Вторая глава посвящена численному решению задач расчета распределения потенциала и определения оптимального профиля легирования канала в ПЬС с виртуальной фазой.

В §§ 2.1, 2.2, 2.3 второй главы предлагаются и обосновываются численные методы расчета распределения потенциала в П2С в отсутствие и при наличии информационного заряда в скрытом канале, а также задачи о выборе оптимального профиля легирования канала в ПоС.

Система дифференциальных уравнении /1/-/3/ и краевых условий А/-/9/, описывающих распределение потенциала в ПЗС, решается численно методом конечных'разностей. Для удобства вычислений размер прибора по у сокращен от полупрямой до сегмента £0,41 выбор величины ^ обоснован.

При построении сетки в области ^ используются результаты теорем 1,2,3. В окрестности омического контакта, при ¿С О строим неравномерную сетку , шаг по С выбираем вида

4 ^ /Т С . где .

(А), ' = У' А ^ = /ГС} •

В остальной части области сетка является равномерной

^¡^с, УУ) ¿л^/^/--Д ¿Ж.}.

Решение в каждой точке СО= СО,ОСОЛ обозначим Введены

пространство сеточных функций и дискретное пространство

управлений /т^ . Записана разностная аппроксимация /1/-/9/ в выбранных обозначениях. Для решения полученной краевой задачи в объеме используется метод верхней релаксации с организацией итерационного процесса, поскольку уравнения система в общем случав нелинейны. Выяснены условия применимости данного метода.

t

В приложении I приведены профили потенциала з течении по х. Применительно к работе ПЬС минимум электронной потенциальной энергии на границе раздела о окислом называют потенциальном ямой. Яри нулевом сигнальном заряде в канале эта яма пустая, что соответствует наибольшей вогнутости графика. Профили потенциала представлены при различных значениях напряжения на затворе. Наибопьдег значение потенциала достигается в подобласти с самым высоким уровнем легирования .

3 приложении 2 на гр^ике представлены профили потенциала в сечении по X при различных значениях информационного заряда в канале. Б случае хранения у границы раздела диэлектрика и полупроводника сигнального зарядового пакета поверхностный потенциал уменьшается, что соответствует заполнению потенциальной змы. На графике показано уменьшение глубины потенциальной ямы. При управлении начальным потенциалом V и концентрацией примеси У1/ ( ^ ) получаем нужный уровень глубины потенциальной ямы, что соответствует оптимизации конструкции прибора. х

i 7

Основное задержание диссертации опуолиг.озано з раОотах:

1. Ьотина E.H. Об оптимизации конструкций приспроз с заря-

доjjй озязью. - Материалы 71 Зсесоюзногэ созецания - семинара молодых ученых: "Современные проблемы автоматического упрааления". -Москва, íJüd, c.iäL'-i3i.

2. Зотила ¿.ti. Расчет распределена i потенциала в ЛЗС с зир-туальнол ¿азои. Деп. в ¿ИНйТИ АН СССР, i» <36¿G-306.

3. Ьотлна S.d. О выборе оптимального профиля легирозания канала з лЪС с зиртуальнол {¡азои. Деп. з ЗЛНИТЛ АН JCC?, й 6209-337.

Алфимов Г.Л., ЗотпнаЕ.Н., расчет распределения потенциала з иЬС с виртуальной фазой. Электронная техника, сер. Микроэлектроника, вып. Ч, 19Ь8.

5. Зотина E.H. Оптимизация конструкции прибора о зарядовой связью. Материалы 1-й международной науч^о-практическои конференции молодых ученых и специали^тоз з области прлооростроения: "ЛНТЕРПРЛЬО? - 91". Москва, 1990 г.

х