автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Новая математическая модель динамики многороторных гиростатов

1 Введение

1.1 Актуальность задач, цель и метод исследования.

1.2 Обзор литературы.

1.3 Содержание работы и основные результаты.

2 Тензор поворота в кинематике абсолютного твердого тела.

2.1 Основные обозначения

2.2 Тензоры второго ранга и тензор поворота в трехмерном пространстве

2.3 Левая и правая угловая скорость.

3 Свободное вращение однороторного гиростата

3.1 Описание движения однороторного гиростата.

3.2 Вывод уравнений движения гиростата

3.3 Интеграл энергии.

3.4 Частные случаи, допускающие решение в элементарных функция

3.4.1 Случай: = 02 = в3 - в

3.4.2 Случай: вх = в2 ф 08> e=d3.

3.5 Общий случай движения гиростата.

3.5.1 Различные способы представления тензора поворота.

3.5.2 Представление тензора поворота через вектор х1з общий случай расположения ротора).

3.5.3 Представление тензора поворота через вектор d частные случаи расположения ротора).

3.5.4 Представление тензора поворота через вектор di.

3.5.5 Представление тензора поворота через вектор с!г.

3.5.6 Выводы.

3.6 Представление системы уравнений, описывающих движение гиро

§ стата, в скалярной форме. Численное решение задачи. 3.7 Точное аналитическое решение задачи.

4 Свободное вращение мультироторного гиростата

4.1 Общее описание движения мультироторного гиростата.

4.2 Уравнения движшгая гиростата.

5 Свободное вращение однороторного гиростата при наличии внутреннего двигателя ограниченной мощности

5.1 Описание вращения: однороторного гиростата тгри наличии внутреннего двигателя ограниченной мощности

5.2 уравнения движения системы.

З Асимптотические свойства решения при больших i.

5.4 Асимптотические решение задачи при больших t.

1.1 Актуальность задач, цель и метод исследования

В диссертационной работе рассматривается задача о свободном вращательном движении гиростата. Актуальность темы диссертации обусловлена широким применением в технике различных гироскопических приборов. В частности, результаты исследования задачи о движении гиростата могут найти применение при стабилизации гироскопических платформ, при стабилизации и управлении движением искусственных спутников Земли, а также при расчете и проектировании различных гироскопических приборов. Задача о движении гиростата рассматривается в нелинейной постановке. Лишь в некоторых частных случаях задачи динамики твердого тела допускают простое аналитическое решение. Как правило, аналитическое решение построить не удается или оно имеет настолько сложный вид, что для практических целей оказывается непригодным. Известно, что численное решение задач динамики твердого тела может вызывать затруднения, возникающие из-за наличия полюсов. В связи с этим актуальной является задача выбора основных переменных, задающих врахцательное движение твердого тела, и получения дифференциальных уравнений в наиболее удобной для численной реализации форме. При выборе основных переменных полезной оказывается любая информация о свойствах движения системы. Поэтому важное значение приобретает предварительное аналитическое исследование уравнений движения системы.

Целью диссертационной работы является вывод уравнений движения одно-роторного и многороторного гиростатов в векторной форме; выбор оптимальной формы представления тензора поворота несущего тела гиростата; построение аналитического решения задачи в случае свободного вращения и исследование свойств построенного решения; исследование асимптотических свойств движения гиросгата в случае, когда ротор вращается двигателем ограниченной мощности.

Метод исследования. Вывод дифференциальных уравнений движения осуществляется на основе фундаментальных законов механики с использованием аппарата прямого тензорного исчисления. В частных случаях при решении дифференциальных уравнений используются точные аналитические методы, а также асимптотические методы для построения приближенных решений. В более общих ситуациях, которые в некотором смысле типичны, используются численные методы. Кроме того, в работе широко используются компьютерные методы символьных вычислений.

1.2 Обзор литературы

В диссертационной работе рассматривается задача о гиростате, обобщающая известную задачу о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку. Фактически систему, являющуюся гиростатом, изучал еще Н. Е. Жуковский [27] и несколько позже В. Вольтерра [98]. Термин гиростат появился в работах английских исследователей. Много лет назад смысл этого понятия неоднократно уточнялся. Одна из постановок задачи о гиростате такова [85]: рассматривается система твердых тел, состоящая из тела-носителя (несущего тела) и носимых тел (роторов).

Задачу о движении гиростата в простейшей постановке (движение свободного гиростата) и в более сложных постановках (движение гиростата в ньютоновском поле тяготения) исследовали многие авторы Р. Граммель [16], М. Лагалли [51], А.И. Лурье [54], К. Магнус [57], П. А. Жилин [103], Б. А. Смольников [79], Б. А. Смольников, М. В. Степанова [78], В. В. Румянцев [73], Л. М. Ковалева [105]. Несмотря на это, нельзя утверждать, что это даже простейший случай — движение свободного гиростата — исследован во всех деталях.

Классическая задача о движении и устойчивости гиростата, впервые строго поставленная в работах В. Вольтерра [98] и Н. Е. Жукоковского [28]. В последнее время в связи с задачами стабилизации и управления движением искусственных спутников и другими техническими приложениями задача о движении и устойчивости гиростата вновь привлекает к себе внимание исследователей. Этому вопросу посвящены работы А. А. Анчева [4], Э. И. Дружинина [19, 104], В. В. Румянцева [72], В. Н. Скимеля [77], А. П. Харламова [84], Н. С. Цодоковой [87] и многих других авторов. В диссертационной работе [104] рассматривается задача об устойчивости стационарных движений гиростата с одной закрепленной точкой в центральном поле сил.

Из общих работ по динамике твердого тела прежде всего отметим монографии Р. Граммеля [16] и К. Магнуса [57]. В этих работах подробно рассмотрены как теоретические основы динамики твердого тела, так и различные практические приложения, в том числе и гироскопические эффекты у роторов.

Обширнейшая библиография по работам в области динамики твердого тела имеется в [1В] (2 библиографических списка 958 и 2062 назв., охватывающих 15771979 гг.). Отметим, также, работу [17].

Отметим также общие работы по динамике твердого тела Ю. А. Архангельского [6], В. В. Белецкого [7], П. А. Жилин [23, 24] ,А. Ю. Ишлинского [34], Д. М. Климова [39], В. В. Козлова [40], В. Н. Кошлякова [43], Т. Леви - Чивита , У. Мальди [52], А. П. Маркеева [61, 62], Н. Н. Моисеева , В. В. Румянцева [64], А. П. Харламова [84], Ф. Л. Черноусько [88] и др. Работы М. Ш. Аминова [1], Е. А. Ивановой [31, 96, 97], А. М. Кривцова [46, 49], и В. М. Матросов [63], посвящены задаче о движении осесимметричного твердого тела в сопротивляющейся среде.

Более подробную библиографию работ, посвященных задаче движения гиростата можно найти в книге Е. И. Харламовой и Г. В. Мозалевской [86].

В [30] можно найти библиографию по работам А. С. Кельзона до 1982 г в области динамики роторов. Отметим монографию А. С. Кельзона и др. [35] (она носит более технический характер, чем [30]), а также работы [99, 98, 78, 15, 65, 68, 80] и диссертационную работу Э. И. Дружинина [104], посвященные динамике гиростата. В работе [25] рассматривается гиростат на нелинейно упругом основании. Статья Г. В. Горра и А. В. Зызы [14] посвящена задаче о движении гиростата с неподвижной точкой. Монография А. С. Кельзона и Л. М. Малинина [36] и диссертационные работы Л. М. Малинина, Ю.Б. Шнеерсон [107, 108], посвящены управлению колебаниями роторов. В работе Б. А. Смольникова и М. В. Степановой [78] исследуются перманентные вращения свободного гиростата и их устойчивость при наличии самовозбуждения. В статье [99] исследовано существование периодических решений задачи о движении гиростата вокруг неподвижной точки под действием центрального ньютоновского поля сил.

Отметим несколько работ, в которых излагаются общие методы динамики абсолютно твердого тела. В книге В. Ф. Журавлева [29] даны общие теоремы динамики и рассмотрена кинематика твердого тела. Отметим также монографию Н. Г. Че-таева [90] в которой рассмотрено движение твердого тела вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки, и исследованы уравнения движения свободного твердого тела. В книгах [9, 13], даются основные понятия теоретической механики и рассматриваются общее движение твердого тела и движение системы твердых тел.

В монографиях П. А. Жилина [103], Й. Виттенбурга [10], А. И. Лурье [54], Jl. М. Ковалева [105], рассматриваются различные вопросы динамики твердого тела, близкие к теме настоящей работы. Работа П. А. Жилина [103] посвящена проблеме вращения свободного твердого тела; в этой работе разрабатываются и применяются новые методы, основанные на использовании тензора поворота. В книге А. И. Лурье [54] рассмотрено движение гироскопической платформы. Из книг общего характера по устойчивости движения отметим монографии И. Г. Мал-кина [58], Д. Р. Меркина [59, 60], Н. Г. Четаева [89, 91], а также работу М. 3. Колов-ский [41]. Устойчивость стационарных движений рассматривается также в работах В. Н. Рубановского [69, 70], А. Я. Савченко [74, 75] и др.

В работах А. Тондла [81, 83] подробно исследуется устойчивость стационарных движения ротора на гибком валу (2 степени свободы) в случае физической нелинейности, учитывается гироскопический эффект диска. Особый интерес представляют исследования в [83] автоколебаний — движений, приходящих на смену стационарному движению в случае его неустойчивости. Производится как аналитическое исследование автоколебаний, так и экспериментальное — при помощи аналоговой вычислительной машины. Отметим также статью А. Тондла [101]. Автоколебания роторов рассматривается в монографии М. Я. Кушуля [50], продолжению исследований [50] при учете гироскопического эффекта диска посвящена работа [3].

При отсутствии момента двигателя рассматривалась классическая задача о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку многими авторами. Стационарные движения, в этом случае, являются перманентными вращениями Штауде [100]. Условия устойчивости перманентных вращений Штау-де, на основании возмущенных уравнений первого приближения, были получены Р. Граммелем [16, т. 1]. В дальнейшем они исследовались многими авторами — описание истории этой задачи можно найти в статье В. В. Румянцева [71].

В работах В. В. Румянцева [71, 72] получены достаточные условия устойчивости при помощи функций Ляпунова. Отметим также более поздние работы Д. В. Андреева [2], Т. Биярова [8], В. Н. Котлякова [44], В. С. Сергеева [76], посвященные этой тематике. В работе Д. В. Андреева [2], в частности, показано, что в нерезонансном случае устойчивость всех, кроме, быть может, конечного числа перманентных вращений определяется первым приближением.

В настоящей работе используется язык прямого тензорного исчисления. Систематическое изложение основ прямого тензорного исчисления дано в монографии М. Лагалли [51]. В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А. И. Лурье [55, 56]. Методика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики отражена в монографии В. А. Пальмова [66]. Особенности применения тензорного аппарата при решении задач динамики твердого тела рассматриваются, соответственно, в работах П. А. Жилина [20, 21], Е. А. Ивановой [32, 33], А. М. Кривцова [47].

Применение тензора поворота в динамике твердого тела описывается в работах П. А. Жилина [22,102,103]. Прямая тензорная запись при описании динамики систем твердых тел используется в книгах [10, 75]. Математические аспекты кинематики твердого тела описываются в монографии С. Н. Кирпичникова и В. С. Новоселова [38]. Отметим также книгу В. И. Арнольда [5], в которой рассматриваются математические методы классической механики, в том числе и динамики твердого тела. Методы описания движения систем твердых тел излагаются в книгах М. 3. Коловского и др. [42], Б. А. Смольникова [79]; в монографии Б. А. Смольникова [79] описывается матричный аппарат представления векторных и тензорных величин. Аппарат для описания больших поворотов рассматривается в работах Дж. Аргириса [92, 93]. Общее изложение векторного исчисления и начал тензорного исчисления даны в монографии Н. Е. Кочина [45].

В данной работе используется метод построения решения задачи, базирующийся на использовании тензора поворота и связанных е ним понятий. Использование современного математического аппарата позволяет упростить ход решения задачи и сделать его более наглядным.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Получены уравнения движения однороторного гиростата в такой форме, что задача фактически сведена к определению движения вектора кинетического момента относительно несущего тела. В случае свободного движения построен интеграл энергии гиростата, зависящий только от единичного вектора, характеризующего движение вектора кинетического момента относительно несущего тела.

2. Рассмотрены три различные формы представления тензора поворота несущего тела гиростата. На основе анализа интеграла энергии, проведенного с помощью компьютерных методов символьных вычислений, найдены области параметров, при которых одна из рассмотренных форм представления тензора поворота будет наиболее удобна.

3. Построено точное решение задачи о свободном движении гиростата в квадратурах и исследованы периодические свойства построенного решения. На основании численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение гиростата, сделан вывод о том, что если ось собственного вращения несущего тела оказывается внутри годографа вектора кинетического момента гиростата, то угол собственного вращения — периодическая функция, а если ось собственного вращения несущего тела оказывается вне годографа вектора кинетического момента гиростата, то угол собственного вращения за время Т увеличивается на 2тг.

4. Показано, что уравнения движения многороторного гиростата имеют точно такую же структуру, как и в случае однороторного гиростата. Отличие заключено только в параметрах, входящих в уравнения движения.

5. Рассмотрена задача о движении гиростата, на ротор которого действует момент двигателя ограниченной мощности. Исследованы асимптотические свойства решения при больших t. Доказано, что движение несущего тела стремится к вращению вокруг фиксированной оси, направление которой зависит от всех параметров задачи и начальных условий.

6. Получена система дифференциальных уравнений, приближенно описывающих движение гиростата, на ротор которого действует момент двигателя ограниченной мощности, при больших временах. В этом случае коэффициенты системы зависят от времени, и она поддается только численному решению. На основании численного анализа доказана устойчивость движения. а) Сечение поверхности (3.61) и сферы (3.60) с плоскостью z=0.

6) Сечение поверхности (3.71)и сферы (3.60) с плоскостью х=0. в) Сечение поверхности ( 3.74)и сферы (3,60) с плоскостью у=0.

Рис. А.1: а) Сечение поверхности (3.61) и сферы (3.60) с плоскостью z=0 . б) Сечение поверхности (3.71) сферы (3.60) с плоскостью ; в) Сечение поверхности (3.74) и сферы (3.60) с плоскостью у= 0.

Рис. А.З: а) Сечение поверхности (3.61) и сферы (3.60) с плоскостью z=0 .

6) Сечение поверхности (3.71) и сферы (3.60) с плоскостью х= в) Сечение поверхности (3.74) и сферы (3.60) с плоскостью у=0 .

Рие. А.4: а) Сечение поверхности (3.61) и б) Сечение поверхности ( 3.71) и сферы (3.60) с плоскостью z=0. сферы (3.60) с плоскостью Х=0. сферы (3.60) с плоскостью у=0 ,

Рис. А.5: 83 а) Сечение поверхности (3.61) и сферы(3.60) с плоскостью Z=-0, б) Сечение поверхности (3.71) и сферы(3.60) с плоскостью Х=0. сферы(3.б0)с плоскостью У=0. Рис. А.6: а) Сечение поверхности (3.61) и б)Сечение поверхности (3.71) и сферы (3.60) с плоскостью z-О . сферы (3.60) с плоскостью х-0. в) Сечение поверхности (3.74 ) и сферы (3.60) с плоскостью у=0.

Рис. А.8: 86 ш

Рис. А.10:

Рис. А.11:

1. Аминов М. Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы. / / Тр. Казанск. авиац. ин-та. 1959. N 48.

2. Андреев Д. В. Об устойчивости перманентных вращений несимметричноготяжелого твердого тела / / ПММ. 1983. Т.47. Вып.З. ЗГ2-377.

3. Аникеев Г. И., Силъеестрое Э. Е. Нелинейные колебания ротора с учетомгироскопического эффекта диска / / Машиноведение. 1971. N 1 . 3-10.

4. Анчев А. А. Об уостойчивости перманентного вращения тяжелого гиростата. ПММ, т. 26, вып. 1. 1962.

5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука.1989. 472 с. б. Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука. 19Г7. 328 с.

6. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Р1зд. МГУ. 1975. 308 с.

7. Бияров Т., Кремептуло В. В., Тажеков А. О стабилизации перманентныхвращений твердого тела / / Изв. АН СССР. МТТ. 1991. N4. 16-21.

8. Бутенин Н.В., Фуфаев H.A. Введение в аналитическую механику. М.: Наука. 1991. 256 с.

9. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.; Мир. 1980. 292с.

10. Воротников В. И. О стабилизации перманентных вращений тяжелого твердого тела, закрепленного в неподвижной точке. Изв. Академии Наук. Механика твердого тела. 1985. No.3. 16-18.

11. Го.ло-А ^ ^ Свободное врашение мультироторного гиростата / /материалахV всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" 8 - 9 июня 2001 года. Изд. СПбГТУ. С-Пб. 2001. 79-80.

12. ГоАЬст Г., Р&львих X., Силъде О. Основные вопросы аналитической механики. Таллин. Изд. Валгус. 1979. 67-121

13. Горр Г. В., Зива А. В. Полиномиальные решения в одной задаче о движениигиростата с неподвижной точкой. Изв. Академии Наук. Механика твердого тела. 1998. N0.6. 12-21.

14. Горячее Д. Н. Новые частное решение задачи о тяжелого твердого телавокруг неподвижной точеки. Тр. Отд. Физ. наук. О-ва любителей естествознания. 1899. т.Ю. Вып.1. 23-24.

15. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применение. Т. 1,2. М.: ИЛ. 1952. 352 с,318 с.

16. ГршорьАн А. Т. История механики гироскопических систем. 1975. 126с.

17. Григорьлн А. Т., Фрадлип Б. Н. История механики твердого тела. М.: Наука.1982. 296 с.

18. Друокипип Э. И. Устойчивость сгацонарных движений гиростатов. ТрудыКАИ, вып. 92. 1966.

19. Жилин П. А.; Голосткое Д. П. Приложение тензорного исчисления. Л.:Изд. ЛИВТ. 1988. 62 с.

20. Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве.С.-Пб.: И з д СПбГТУ. 1992. 86с.

21. Жилин П. А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела. ТрудыСПбГТУ. 1992. N 443. 100-121.

22. Жилин П. А. Новые результаты по анализу свободного вращения твердыхтел. ИПМаш РАН, препринт N102, 1994г.34с.

23. Жилип П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве.Изд-во "Нестор". СПбГТУ. 2001.275с.

24. Жуковский Н. Е. О Движении твердого тела, имеющего полпсти, каполненные однородной капельной жидкостью. Журнал физ.-хим. об-ва, ч. физич. т. 17, отд. 6, 7, 8. 1885.

25. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполнненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., т. 2. М.-Л, Гостехиздат. 1949.

26. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. - М.: Наука. Физматлит,1997. 320 с.

27. Зобпип A.n., Кельаоп А. С, Малипип Л. М. Влияние угла между векторамидисбалансов на амплитудно-частотную характеристику линейной роторной системы и способ его измерения. Вестник машиностроения. 1982. N 5 . 2729.

28. Иванова Е. А. Свободное вращенение осесимметричного твердого тела всопротивляющейся среде. Труды СПбТУ. 1997. N467 61-69.

30. Иванова Е. А. Использование прямого тензорного исчисления при решениизадачи Дарбу. / / -Петерб. гос. техн. ун-т. 1998. - И с. - Деп. в ВИНИТИ 2704.98. N 1358-В98.

31. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.:Наука. 1976. 670 с.

32. Келъзон А. С, Журавлев Ю. М., Январее М. В. Расчет и конструирование роторных машин. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение. 1977. 287 с.

33. Келъзон А. С, Малинин Л. М. Управление колебаниями роторов. С-Пб;Политехника. 1992. 119с. 37. 1Сосл-юдемья'нск'!Л'й Á. Á. Теоретическая механика и соврембнн8.я техника. Изд. 2-е, доп. М.,"Просвещение". 1975. 248с.

34. Кирпичников Н., Новоселов В. Математические аспекты кинематикитвердого тела. Л.: Изд. ЛГУ. 1986. 250с.

35. Климов Д. М., Харламов А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе.М.: Наука. 1978. 208 с.

36. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.:Изд. МГУ. 1980. 230 с.

37. Коловский М. 3. Теория устойчивости движения. Л.: Изд. Л ПИ. 111с.

38. Коловский М. 3., Слоущ А. В. Динамика промышленных роботов. М.: Наука. 1988.

39. Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. М.: Наука. 1985. 286 с.

40. Кошляков В. Н. Об одном случае неустойчивости быстро вращающегося тяжелого тела / / Изв. АН СССР. МТТ. 1988. N4. 43-50.

41. Кочип Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.:И з д АН СССР. 1961. 426 с.

42. Кривцов А. М. Квазикоординаты в описании движения осесимметричноготвердого тела в линейно вязкой среде. / / Мех. и проц. управления. Труды СПбГТУ. N 467. -Петербург. 1997. 91-99.

43. Кривцов А. М. Об использовании векторов кинетического момента и угловой скорости при описании вращательных движений твердого тела. Труды X X I V школы - семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", С-Пб: 1997. 351-363.

44. Кривцов А. М. Использование векторных переменных для описания вращательных движений твердого тела. Деп. ВИНИТИ. 21.04.97, N 1345-В97. 15 с.

45. Латлли М. Векторное нечисление. М.-Л.: ОНТИ. 1936. 343с.

46. Леей - Чивита Т., Малъди У. Курс теартической механики. Т. 1. М.: Изд-воиностр. лит., 1952. 387с.

47. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т.2. М. Наука.1983. 640 с.

48. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824 с.

49. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

50. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

51. Магнус К. Гироскоп: Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

52. Малкип И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. 530 с.

53. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука. 1974. 344с.

54. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М: Наука. 1987.304 с.

55. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью.М.: Наука. 1992. 336 с. 62[ Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо . 1999. 576 с.

56. Матросов В. М. Об устойчивости движения. / / ПММ. 1962. Т. 26. N 5.С. 23-29.

57. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащимижидкость. М.: Наука. 1965. 440 с.

58. Набиуллин М. К. Об устойчивости стащ^онарного движения гиростата супргими пластинами в ньютоновском центральном поле сил. Изв. Академии Наук. Механика твердого тела. 1981. N0.1. 33-44.

59. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука. 1976. 348 с.

60. Паповко, Яков Гилелевич. Введение в теорию механических колебаний. 3-еизд. М. Наука. 1991. 255с.

61. ТТозняк 9. Л- ДинЕмека. ротора, вэаи>!ГОДбйствук>1цего с корнпусом в р е ж и м еподшипника сухого трения. Изв. Академии Наук. Механика твердого тела. 1994. N0.5. 27-42.

62. Рубаповский В. П., Самсонов В. А. Избранные задачи по теории устойчивости. М.: Изд. МГУ. 1981. 51 с.

63. Рубаповский В. Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движенийв примерах и задачах. М.: Наука. 1988. 304с.

64. Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений твердого тела / /ПММ. Т.20. Вып.1. 1956. 51-56.

65. Румянцев В. В. К устойчивости перманентных вращений твердого телаоколо неподвижной точки / / ПММ. 1957. Т.21. Вып.З. 339-346.

66. Румянцев В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.Изд-во ВЦ Со АН .СССР, 1967. 142 с.

67. Савченко А. Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. Киев: Наукова думка. 1977. 160 с.

68. Савченко А. Я., Болграбская И. А., Копоныхин Г. А. Устойчивость движения систем связанных твердых тел. Киев: Наукова думка. 1991. 165 с.

69. Сергеев В. Периодические движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, близкого к динамически симметричному / / ПММ. 1983. Т.47. Вып.1. 163-166.

70. Скимелъ В. Н. об устойчивости некоторого движения гиростата. ТрудыКАИ, вып. 71. 1962.

71. Смольников Б. А., Степанова М. В. Перманентные вращения гиростата ссамовозбуждением. Изв. АН СССР. МТТ. 1981. N 3 . 107-113.

72. Смольников Б. А. Проблемы механики и оптимизации роботов. М.: Наука.1991. 232 с.

73. Стеклов В. А. Новые частное решение диффернциальных уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвжную точеку. Тр . Отд. Физ. наук. О-ва любителей естествознания. 1899. т. 10. Вып.1. 1-3.

74. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. М.-Л.: Энергия. 1971. 387 с.

75. Тондл А. Автоколебания метаттичеоких г.хтгтам. М.: Мип. 1fl7Q 499«"

76. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир. 1973. 334 с.

77. Харламов А. П. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та. 1965. 221 с.

78. Харламов А. П. Об уравнениях движения системы твердых тел. Сб.: Механика твердого тела, вып. 4, "Наукова думка". К. 1972.

79. Харламова Е. И., Мозалевская Г. В. Интегродифференциальное уравнениединамики твердого тела. Киев: Наукова думка. 1986. 296 с.

80. Цодокова Н. О перматенетных осях вращения гиростата с закрепленнойточкой. ПММ, т. 29, вып. 6. 1965.

81. Черноусьт Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Наука. 1968. 230 с.

82. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике.М.: И з д АН СССР. 1962. 535 с.

83. Четаев Н. Г. Теоретическая механика. М.: Наука. 1987. 368 с.

84. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука. 1989. 176с.

85. Argyris J. A n excursion into large rotations. Computer methods in appliedmechanics and engineering. North-Holland. 1982. N32. pp. 85-155.

86. Argyris J., Poterasu V. F. Large rotations revisited application of Lie algebra.Computer methods in appUed mechanics and engineering. North-Holland. 1993. N103. pp. 11-42.

88. Galal A. A., Ivonova E.A. Motion of one-rotor gyrostat under the action ofinternal moment / / X X X Summer School "Advanced Problems in Mechanics". St.Petersburg (Repino) June 27 - July 6, 2002. Book of Abstracts. P. 44.

89. Ivanova E. A. Influence of Viscuss Friction on Rotation of Rigid Body. G A M MAnnual Meeting. Regensburg, March 24-27, 1997.

90. Ivanova E. А. Free rotation of rigid body in the resisting medium. Труды X X I Vшколы - семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", С-Пб. 1997. 394-406.

91. Volterra V. Sur la theoria des variations des latitudes. Acta Mathematica, 1899,V.22.

93. Staude 0. Über permanente Rotationsaxe bei der Bewegung eines schwerenKörpers um einen festen Punkt / / J . Reine und Angew. Math. 1894. N113. pp.318-334.

94. Tondl A. On the stability of a rotor system / / Acta techn. CSAV . 1991. 36, N 3 .pp. 331-338.

95. Zhilin P. A. A new approach to the analysis of free rotations of rigid bodies.S.-Pb.: Inst, of Problems of Mech. Engeneering. Preprint N 102. 1992. 34 p.

96. Zhilin P. A. A new approach to the analysis of free rotations of rigid bodies,Z A M M . Z. angew. Mech. 76 (1996) 4, 187-204.

97. Дружинин Э. И. Устойчивость стацонарных движений гиростатов в центральном ньютоновском поле сил. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ, канд. техн. наук. Донецк 1967. 7с.

98. Ковалева Л. М. Новые случаи интерегрируемости уравнений движение гиростата. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м. Донецк 1972. 29 с.

99. Кривцов А. М. Динамика неуравновешенного твердого тела на упругих опорах. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м. наук. С-Пб. 1995. 158 с.

100. Малинин Л. М. Исследование динамики высокооборотных упругоустановленных жестких роторов со значительной неуравновешенностью. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. Л. 1983.

101. Шнеерсон Ю. Б. Динамическая устойчивость несимметричных роторов. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м. наук. С-Пб. 1993.