автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.13, диссертация на тему:Нелинейные методы цифровой обработки сигналов в частотной области в каналах со сложными видами помех

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОДЫ АДАПТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

В СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ ПО

КАНАЛАМ СО СЛОЖНЫМИ ВИДАМИ ПОМЕХ.

1.1 Основные виды, характеристики и модели аддитивных помех в каналах связи.

1.2. Методы приема дискретных сообщений в каналах со сложными видами помех с использованием принципов адаптации и нелинейной обработки сигналов.

1.3. Влияние негауссовских помех на показатели качества приема дискретных сообщений.

1.4. Особенности подавления сложных помех в каналах с памятью.

1.5. Выводы: формулировка задач работы.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СЕЛЕКТИВНОГО ПОДАВЛЕНИЯ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.

2.1. Принципы и преимущества нелинейной обработки сигналов в частотной области.

2.2. Преобразования сигналов в частотной области с применением операторов с унитарной нелинейностью и их свойства.

2.3. Теоретические оценки эффективности подавления сложных помех с применением нелинейных спектральных преобразований.

2.4. Выводы.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПУТЕЙ РЕАЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

НА ОСНОВЕ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ.

3.1. Дискретное представление операторов с унитарной нелинейностью с использованием метода расщепления.

3.2. Разработка нелинейных цифровых фазовых фильтров с применением быстрых алгоритмов ортогональных преобразований.

3.3. Оптимизация параметров нелинейных цифровых фазовых фильтров.

3.4. Оптимизация алгоритмов пороговой селекции сигнала и помех.

3.5. Выводы.

4. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ПОДАВЛЕНИЯ

СЛОЖНЫХ ПОМЕХ.

4.1. Задачи, методы и техника статистического моделирования.

4.2. Помехоустойчивость приема двоичных сигналов при использовании различных алгоритмов обработки сигналов в каналах без памяти в условиях действия сосредоточенных помех и флуктуационного шума.

4.3. Влияние импульсных помех и замираний на эффективность нелинейных алгоритмов обработки сигналов.

4.4. Влияние памяти канала на эффективность нелинейных алгоритмов обработки сигналов.

4.5. Общая оценка эффективности разработанных методов подавления сложных помех.

4.6. Результаты практического использования разработанных методов и рекомендации по их дальнейшему развитию.

Актуальность темы

В мире современных телекоммуникаций одной из важнейших задач является обеспечение высокого качества предоставляемых услуг связи. Это наиболее актуально в наши дни, когда наблюдается интенсивный рост и многообразие стационарных и подвижных средств связи. Одним из следствий этого прогресса является ужесточение требований к их электромагнитной совместимости. Большинство систем связи функционирует в условиях действия сложной помеховой обстановки при действии всех видов помех - флуктуационных, сосредоточенных и импульсных.

Первыми работами по этому направлению можно считать теорию потенциальной помехоустойчивости В.А. Котельникова и теорию оптимального кодирования, основы которой заложены К. Шенноном. Результаты, полученные этими исследователями, а также отраженные в работах А.Н. Колмогорова, Н. Винера, С.О. Райса, Л.С. Понтрягина, Д. Миддлтона, Н.Д. Папалекси, А. Блан-Лапьера и других, по праву считающиеся классическими, в основном получены с использованием гауссовских моделей сигналов и помех.

Однако из вышеперечисленных типов помех только флуктуационные могут быть представлены гауссовскими моделями, остальные же, как правило, имеют негауссовскую статистику. Кроме того, в настоящее время наблюдается постоянное увеличение скоростей передачи. Как следствие, некоторые помехи, соизмеримые с первичным элементом сигнала как по длительности, так и по ширине спектра, не могут быть классифицированы таким образом, а занимают промежуточное положение между ними.

Поэтому последние тридцать лет все большее внимание уделяется решениям задач приема дискретных и непрерывных сообщений в условиях действия сложных негауссовских помех. Подходом, обеспечивающим наиболее продуктивные результаты в этой области, является использование моделей в виде марковских процессов, представляемых в виде нелинейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Применение этого подхода и его обобщений позволило получить фундаментальные теоретические результаты в области нелинейной фильтрации, получившей применение при оценивании неизвестных характеристик, обнаружении сигналов на фоне негауссовских помех и других направлениях. Впервые они были опубликованы в работах Р.Л. Стратоновича и Т. Кайлата и получили дальнейшее развитие в работах В.И. Тихонова, Б.Р. Левина, Ю.Г. Сосулина, Д.Д. Кловского, С.М. Широкова и других у нас и Г. Ван Триса, Н. Ахмеда, Г. Кушнера, Дж. Мелса и других за рубежом.

Аппарат теории условных марковских процессов в виде нелинейных СДУ, являясь эффективным средством теоретического решения широкого круга задач, применяется как в технике связи, так и в родственных областях - радионавигации, радиолокации, телемеханике и других. Описываемые модели помех является общими, и применение их в технике связи приводит к получению очень сложных алгоритмов обработки сигналов, инженерно реализуемых только с введением большого количества приближений, что неизбежно приводит к ухудшению показателей качества приема.

С учетом этих факторов наиболее эффективным подходом при разработке алгоритмов обработки сигналов является модификация общих методов с учетом специфики разных видов помех, а также адаптация известных алгоритмов приема к реальным изменениям параметров каналов и помеховой обстановки. Наиболее важные результаты в этом направлении отражены в работах зарубежных - Д. Миддлтона, П. Белло, Р. Эспозито и других и отчественных ученых - А.Н. Щукина, Р.Л. Стратоновича, Б.Р. Левина, Л.М, Финка, Ю.С. Шинакова, Д.Д.

Кловского, Б.И. Николаева, С.М. Широкова, Е.Ф. Камнева, и многих других. Большинство представленных в них методов приема обеспечивают довольно эффективную защиту от импульсных помех, в том числе и негауссовских с использованием методов адаптивной фильтрации, интерполяции и нелинейного преобразования смеси сигнала и помех на основе ограничителей, бланкирующих устройств и т.п. безынерционных нелинейных элементов.

Эффективная борьба с сосредоточенными помехами, особенно негауссовскими, встречает трудности. Еще более затруднительно решение этой задачи, когда в канале присутствуют другие виды помех, такие как упомянутые выше помехи промежуточного типа. Большинство используемых на практике методов подавления сосредоточенных помех использует оценочно-компенсационные методы и методы режекторной и медианной фильтрации. Наиболее значимые в этом направлении результаты представлены в работах отечественных A.A. Сикарева, А.И. Фалько, Ю.Г. Сосулина, JI.M. Финка и зарубежных исследователей И. Хэнкока, У. Воуда.

Основным недостатком перечисленных выше методов является их сравнительно низкая эффективность в условиях действия негауссовских помех, соизмеримых по ширине спектра, длительности и амплитуде с сигналом. В этом случае большинство методов вообще неприменимы и решение именно этой задачи наиболее затруднительно. Поэтому и по сей день открытой остается проблема разработки эффективных методов защиты от таких помех. Бурное развитие в последние десятилетия микропроцессорной техники и методов цифровой обработки сигналов создают необходимые предпосылки для технического решения этой проблемы. Благодаря этому становится возможным проводить нелинейную обработку в спектральной области. Это направление в технике обработки сигналов пока еще слабо развито, но уже получило теоретическое и практическое обоснование в зарубежных работах Богерта, Хили, Тьюки, Оппенгейма, Стокхэма и других. Исследованные ими тривиальные преобразования в спектральной области эффективно применяются в технике обработки изображений и речевых сигналов.

Решение поставленной задачи составляет основную часть представленной работы, которая лежит в русле многолетних исследований в области разработки адаптивных систем передачи по каналам с межсимвольной интерференцией, замираниями и сложной помеховой обстановкой, выполняемых в ПГАТИ большой группой исследователей под руководством Д.Д. Кловского и непосредственно опирается на теоретические результаты С.М. Широкова в области теории нелинейных волновых процессов. Основанные на ней методы нелинейной фазовой фильтрации предназначены для повышения эффективности систем передачи информации в каналах с памятью и сложными видами помех.

Цель работы

Разработка и исследование новых, более эффективных методов нелинейной обработки сигналов в спектральной области в каналах связи со сложными видами помех.

Основные задачи исследования

- анализ моделей и характеристик негауссовских помех в реальных каналах связи;

- сравнительный анализ средств борьбы с негауссовскими помехами в современных системах связи и влияния их на показатели качества дискретных сообщений, на основе результатов которого выявляются наиболее перспективные пути повышения их эффективности;

- разработка теоретических основ селективного подавления негауссовских помех в частотной области на основе нелинейной обработки сигналов в спектральной области;

- теоретическое обоснование применения нелинейных спектральных преобразований в качестве преселектирующих, включая теоретические оценки эффективности подавления сложных помех; разработку принципов реализации нелинейных спектральных преобразований средствами цифровой обработки сигналов с применением быстрых алгоритмов ортогональных преобразований;

- разработка методов оптимизации параметров устройств подавления негауссовских помех на основе нелинейных фазовых фильтров;

- сравнительный анализ разработанных алгоритмов подавления сложных помех с помощью методов статистического моделирования.

Методы исследования

Основная часть работы выполнена с применением методов статистической теории связи, теории функций и функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики. Помимо этого, были использованы некоторые элементы теории нелинейных волновых процессов и теории оптимизации стохастических систем.

Все расчеты получены с использованием численных методов, реализованных на рабочей станции Sun Blade с помощью пакетов Mathematica и GNUPlot, а также методов компьютерного моделирования на языке Perl для платформы Solaris SPARC.

Научная новизна работы

В работе впервые: предложено новое нелинейное ортогональное спектральное преобразование и исследованы его свойства;

- установлены законы эволюции длительностей и спектров импульсов при этом нелинейном спектральном преобразовании;

- систематически исследован новый метод подавления сложных негауссовских помех в частотной области, в особенности помех промежуточного типа, соизмеримых по многим параметрам с полезным сигналом, с применением преселектирующих преобразований в частотной области, а также доказана эффективность этого метода;

- разработана реализация нового метода средствами цифровой обработки сигналов в виде нелинейного фазового фильтра (НФФ) с применением быстрых алгоритмов ортогональных преобразований;

- разработаны методы оптимизации алгоритмов обработки сигналов для подавления негауссовских помех, реализуемых этим методом;

- проведен обширный сравнительный анализ помехоустойчивости известных и разработанного методов подавления негауссовских помех, при котором использованы как практические оценки, так и компьютерное статистическое моделирование.

Практическая ценность и реализация результатов работы

В работе изложен новый метод нелинейной обработки сигналов в спектральной области, способный существенно повысить помехоустойчивость систем приема дискретных сообщений по основному показателю качества в этом случае - средней вероятности принятия ошибочного символа.

Разработанный метод реализован в виде алгоритма цифровой обработки сигналов. Его преимущества доказаны результатами статистического моделирования.

Разработанный в диссертации метод подавления помех, алгоритмическое и программное обеспечения, его реализующие, а также результаты статистического моделирования нашли применение в телекоммуникационной компании «Жигули-Телеком» при разработке программного комплекса для моделирования сетей радиодоступа.

Вышеуказанные результаты также приняты для практического использования в компании «Самара Телеком».

Практическое использование результатов работы подтверждено соответствующими актами, находящимися в приложении к диссертационной работе.

Апробация работы

Основное содержание работы докладывалось и обсуждалось на

- IV и V Международных научно-технических конференциях «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (Москва, 2002-2003 гг.);

II Международной научно-технической конференции «Физика нелинейных волновых процессов» (Самара, 2003 г.);

- научно-технических конференциях ПГАТИ (Самара, 2002-2003 гг.);

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 11 опубликованных и 1, находящейся в печати работах. Публикации включают 6 тезисов докладов, 5 статей в научных изданиях, 2 из которых опубликованы за рубежом, 1 статья опубликована в рецензируемом журнале.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Основная часть работы содержит 143 страницы текста с 21 иллюстрацией. Список литературы насчитывает 77 наименований. Общий объем работы с приложениями

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

В результате сравнительного анализа характеристик негауссовских помех большие трудности вызывает совместное подавление импульсных (ИП) и сосредоточенных помех (СП). Кроме того, в связи с увеличением рабочих скоростей передачи и соизмеримостью длительностей мешающих импульсов и элементов сигналов эти помехи представляют собой помехи промежуточного вида. Они оказывают на передачу как дискретных, так и непрерывных сообщений основное мешающее влияние. Показано, что в этих условиях СП можно принимать за частный вид такой помехи. Из анализа различных подходов к решению задач обработки сигналов в каналах с такими видами помех выяснено, что наиболее подходящей моделью для решения поставленных в этой работе задач является модель негауссовской помехи с независимыми спектральными составляющими. Установлено, что для обеспечения эффективности подавления описываемых помех предлагаемый метод борьбы с ними, помимо простой технической реализации, должен подавлять наиболее широкий класс помех, и обеспечивать раздельное подавление с учетом их специфики.

На основе результатов сравнительного анализа используемых ныне методов борьбы с негауссовскими помехами сделан вывод, что определенное предыскажение смеси может существенно увеличить эффективность существующих пороговых методов. Установлено также, что для помех, спектр которых уже спектра сигнала или соизмерим с ним, такое предыскажение и пороговую селекцию целесообразно проводить в частотной области. Такое спектральное преобразование должно удовлетворять требованиям обратимости, эффективной селективности и простоты технической реализации.

Выяснено, что подобным требованиям в максимальной степени удовлетворяет нелинейное преобразование, описывающее эволюцию импульса в среде с распределенными параметрами и обеспечивающее эффект сжатия импульсов определенной амплитуды без затрагивания основной смеси. Преобразование обладает фазовой характеристикой, зависящей от эволюции огибающей смеси.

Для этого преобразования разработаны математические модели в форме уравнений шредингеровского типа.

Получены теоретические оценки степени сжатия спектров импульсов и устойчивости преобразования к флуктуациям огибающей и параметров спектров, а также теоретические оценки вероятностей ошибок при приеме дискретных сообщений с использованием разработанного нелинейного спектрального преобразования. Эти результаты подтверждают сделанное ранее предположение об эффективности применения этого преобразования в сочетании с пороговыми методами при подавлении не-гауссовских помех.

Для преобразования получена простая дискретная модель, на основе которой оно может быть реализовано в виде цифрового НФФ. Разработаны структурная схема НФФ и алгоритм ЦОС с применением быстрых алгоритмов ортогональных преобразований.

Разработан метод параметрической оптимизации НФФ для импульса с детерминированными параметрами, обеспечивающий оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибочного приема символа выбор параметров линейной и нелинейной части фильтра.

Получены выражения преобразования плотности вероятности смеси в блоке селекции НФФ, на основе которых проведена оптимизация методов селекции.

Разработана программа моделирования приема дискретных сообщений в канале с негауссовскими помехами с использованием НФФ, на основе которой проведено статистическое моделирование метода.

Полученные в результате моделирования оценки эффективности использования этого метода для борьбы со сложными негауссовскими помехами близки к полученным ранее теоретическим результатам. Кроме того, получены вероятности ошибок при совокупном действии одиночной ИП и одиночной СП, учете замираний канала и МСИ. Результаты этого исследования подтверждают сделанный ранее вывод об эффективности применения этого метода и показывают его эффективность в реальных каналах связи.

137

1. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. М.: Радио и связь, 1973. -376 с.

2. Певницкий В.П., Полозок Ю.П. Статистические характеристики индустриальных радиопомех

3. Прокис Дж. Цифровая связь // Пер. с англ. М.: Радио и связь, 2000 -800 с.

4. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. - 320 с.

5. Андронов И.С., Финк J1.M. Передача дискретных сообщений по параллельным каналам. М.: Сов. Радио, 1971

6. Сикарев A.A., Фалько А.И. Оптимальный прием дискретных сообщений. М.: Связь, 1978. 328 с.

7. Кловский Д.Д., Конторович В.Я., Широков С.М. Модели непрерывных каналов связи на основе СДУ. М.: Радио и связь, 1984. -248 с.

8. Николаев Б.И. Последовательная передача дискретных сообщений по непрерывным каналам с памятью. М.: Радио и связь, 1988. -264 с.

9. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи // Пер. с англ. Под ред. Б.Р. Левина. М.: Сов. Радио, 1962.с

10. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. - 608 с.11 .Математические основы современной радиоэлектроники // Под ред. Л.С. Гуткина. М.: Сов. радио, 1968.- 206 с.

11. Кайлатц Т. Метод порождающего процесса в применении к теории обнаружения и оценки. // ТИИЭР, 1970, т.58, № 5. с. 82-99.

12. Антонов O.E. Оптимальное обнаружение сигналов в негауссовых помехах. Обнаружение полностью известного сигнала. // Радиотехника и электроника, 1967. т.ХП. вып. 5. с. 579-586.

13. Антонов O.E. Оптимальное обнаружение сигналов в негауссовых помехах. Обнаружение сигналов с неизвестной амплитудой и фазой. / Радиотехника и электроника, 1967. т.ХП, вып. 5. с 779-787.

14. Антонов O.E., Панкратов B.C. Об оптимальном приеме бинарных сигналов на фоне негауссовых помех. // Электросвязь, 1967. № 9. с. 25-33.

15. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

16. Стратонович Р.Л. Принципы адаптивного приема. М.: Сов. радио, 1973. 140 с.

17. Клюев В.И. Частотно-временные преобразования и прием дискретных сигналов в системах связи.-М. Радио и связь, 1990. 208 с.

18. Харкевич A.A. Спектры и анализ. М. Физматгиз, 1962. - 234 с.

19. Макс. Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. М.: Мир, 1983. - Т. 1. 312 с.

20. Макс. Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. М.: Мир, 1983. Т.2. 256 с.

21. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - 463 с.

22. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифрововых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

23. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. // Успехи математических наук, 1998. V.53. N6. с.9-13.

24. Coifman R.R., Wickerhauser V. М., Wavelets and Adapted Waveform Analysis. A Toolkit for Signal Processing and Numerical Analysis, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, Vol. 47, 1993, pp. 119153

25. Широков С.М., Григоров И.В. Фильтрация сигналов на фоне импульсных помех с применением нелинейных ортогональных преобразований. // Международная конференция и 50-я научная сессия РНТОРЭС им. А.С.Попова. Тезисы докладов, ч.2. М.: 1995г.

26. Кловский Д.Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам.

27. М.: Радио и связь, 1982. 304 с.

28. Middleton D. Statistical-Physical Models of Electromagnetic Interference. IEEE Trans., 1977, v. EMC—19, N 3, pp. 106-127.

29. Bello P.A., Esposito R. A New Method for Calculating Probabilities of Error Due to Impulsive Noise. IEEE Trans. 1969, v. Com-17, N 3, p.368-378.

30. Расчет помехоустойчивости систем связи дискретных сообщений: Справочник // Коржик В.П., Финк Л.М., Щелкунов К.Н.: Под ред. JI.M. Финка. М.: Радио и связь, 1981. - 232 с.

31. Bogert В., Healy М., Tukey J., The Quefrency Anaysis of Time Series for Echoes. Proc. of the Symposium on Time Series Analysis., chap. 15, pp. 209-243. John Wiley and Sons, Inc., NY, 1963.

32. Schafer R.W. Echo Removal by Generalized Linear Filtering, Nerem Record, 1967, pp.118-119.

33. Карташевский В.Г. Обработка пространственно временных сигналов в каналах с памятью. - М.: Радио и связь, 2000. - 272 с.

34. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.-368 с.

35. Методы обработки сигналов при наличии помех в линиях связи // Под ред. Е.Ф.Камнева. М.: Радио и связь, 1985 - 224с.

36. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех.- М.: Радио и связь, 1981416 с.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976 г. 542 с.

38. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана.- М.: Наука, 1976 192 с.

39. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. - 312 с.

40. Широков С. М. Нелинейные спектральные представления в теории и технике обработки сигналов. // Тезисы РНТК ПГАТИ ч. I. Самара, 2001, стр. 6-7.

41. Выслоух В.А., Сукотскова H.A. /Квантовая электроника. М.: Издательство Московского университета, 1987. - т. 14. - с. 243.

42. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. - 831 с.

43. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. - 974 с.

44. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.-624 с.

45. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. -368 с.

46. Anderson D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fibers // Phys. Rev. A: Gen. Phys.- 1983,- V.27.- No.6.- p.3135-3145.

47. Приближенное решение операторных уравнений /Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1969,-456 с.

48. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966 - М.: Наука, 1966.-376 с.

49. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989 - 728 с.

50. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн.- М.: Изд. МГУ, 1988. 176 с.

51. Стейн С., Джонс Дж. Принципы современной теории связи и их применение к передаче дискретных сообщений. М.: Связь, 1971. -374 с.

52. Широков С.М., Григоров И.В. Метод подавления импульсных помех при обработке сигналов и изображений // Компьютерная оптика,- 1996. Вып. 16. С.97-102.

53. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996 - 350 с.

54. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е.,Чиркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М. : Наука, 1981. - 640с.55.3алманзон J1.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применения в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989496 с.

55. Ярославский Л.П. Цифровая обработка изображений в оптике и голографии. М.: Радио и связь, 1987. - 296 с.

56. Безиерс И. Солитоны в среде со случайными неоднородностями // В сб. "Нелинейные электромагнитные волны'УПод ред. П.Усленги. М.: Мир, 1983.-С.70-91.

57. Абжандадзе З.Л., Осипов В.Ф. Преобразование Фурье-Френеля и некоторые его приложения. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. - 224 с.

58. Френке Л. Теория сигналов. /Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1969. -344 с.

59. Cooley J.W., Tukey J.W. An Algorithm for Machine Computation of Complex Fourier Series. // Mathematics of Computation. 1965. № 19. -pp. 297-301.

60. Горячкин O.B. Быстрый алгоритм дискретного преобразования Френеля для составной длины последовательности. // Сб. ТУЗС, 1994, № 162. с.24—26.

61. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. М., 1971. - 616 с.

62. Широков С.М., Григоров И.В. Оптимизация нелинейных фазовых фильтров для подавления импульсных помех. //51-я научная сессия РНТОРЭС им. А.С.Попова. Тезисы докладов, ч.2.- М.: 1996.

63. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.

64. Демадович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М: Наука, 1966.-664 с.

65. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982 . - 260 с.

66. Петров A.B. Моделирование алгоритма подавления сосредоточенных помех с негауссовской статистикой с применением нелинейных ортогональных преобразований. // IX Российская научная конференция ПГАТИ. Тезисы докладов. Самара, 2002.-е. 6-7

67. Петров A.B. Свойства преобразований спектра на основе операторов с унитарной нелинейностью. // X Российская научная конференция ПГАТИ. Тезисы докладов. Самара, 2003-с.7-8

68. Shirokov S.M., Petrov A.V. Digital Signal Processing using Nonlinear Orthogonal Transforms in Frequency Domain. // Proceedings of SCI2002/ISAS2002, vol. XIV, Orlando FL, 2002, pp. 267-270

69. Петров A.B. Компрессионные свойства нелинейного фазового фильтра в частотной области. // Инфокоммуникационные системы Поволжья. Самара, 2003. №1. - с. 14-17

70. Петров A.B. Моделирование алгоритма подавления сосредоточенных помех с негауссовской статистикой с применением нелинейныхортогональных преобразований. // Информатика, радиотехника, связь. Самара, 2002 - №7 - с.22-25

71. Shirokov S.M., Petrov A.V. Compression Characteristics of Nonlinear Spectrum Transforms. // Proceedings of SCI2003/1SAS2003, vol. XV, Orlando FL, 2002, pp. 302-303.

72. Широков С.М., Петров A.B. Обработка сигналов в каналах со сложными видами помех на основе теории нелинейных волновых процессов. // II Международная конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2003.

73. Афанасьев Ф.В., Петров A.B., Сухов A.M. Проверка качества каналов Интернет. // Сети и системы связи. М., 2003. № 6. - с. 92-94.