автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые вопросы геометрической оптимизации винтовых пар в винтовых насосах

На правах рукописи

Ковалёва Марина Игоревна

Некоторые вопросы геометрической оптимизации винтовых пар в винтовых насосах

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ОКТ ?прп

ВОРОНЕЖ - 2009

003480315

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кругов Алексей Васильевич,

Ведущая организация: Воронежский государственный технический университет

Защита состоится 18 ноября 2009г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

О

Автореферат разослан " ° " октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20

профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Харламов Михаил Павлович

314

кандидат физ,- маг. наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тема диссертации связана с задачей оптимизации шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Эта задача является составной частью общей проблемы проектирования и оптимизации многофазных винтовых насосов (ВН)1 2 3. Отличительными признаками такого насоса являются малые радиальные и линейные зазоры, внешняя герметичность, а также симметричная схема силовых нагрузок на главный рабочий орган — винтовую пару. Минимальные зазоры позволяют такому насосу устойчиво работать и в режиме газового компрессора. Многофазные насосные станции активно создаются и используются в мировой практике в течение последних лет, они успешно эксплуатируются нефтегазодобывающими компаниями. Важнейший элемент конструирования ВН и его оптимизации в целом — оптимизация шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Некоторые из возможных подходов к решению задач оптимизации шестеренчатого зацепления винтовых поверхностей отражены в монографии 3. В ней изложены методы построения и анализа оптимально зацепленных (сопряженных) пар винтовых поверхностей, опирающиеся на математические представления, взятые из дифференциальной геометрии плоских кривых и теории особенностей гладких отображений 4 5. Представленные в диссертации результаты исследований, проведенных в русле монографии 3, дают уточнение и дальнейшее развитие некоторым теоретическим положениям этой монографии.

Изучение ВН можно осуществлять исходя из того, что кинематические характеристики ВН определяются геометрическими свойствами и особенностями поперечных сечений винтов, которые задаются в виде замкнутых контуров (гладких или кусочно гладких) посредством про-

'Балденко Д.Ф. Винтовые насосы/ Балденко Д.Ф., Бвдман М.Г., Калишевский В.Л. и др.// М.: Машиностроение, 1982. - 228 с.

2Женовак Н.Г. Судовые винтовые негерметичные насосы/ Женовак Н.Г.// Л.: Судостроение, 1972. - 144 с.

3Валюхов С.Г. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей/ Валюхов С.Г., Костин В.А., Сапронов Ю.И., Семенов СМ// Воронеж: ВорГУ. 2005. - 177с.

4Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов/ Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М.// М.: Наука. 1982. 304 с.

5Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей/ Брус Дж., Джиблин П.// Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 2С2 с.

фильных функций. Их удобно представлять как функции скалярного аргумента со значениями в поле комплексных чисел. Таким образом, кинематические свойства ВН можно исследовать, опираясь на анализ од-нопараметрических периодических семейств гладких плоских контуров и, следовательно, на теорию гладких отображений 4'5 двумерных торов в координатную плоскость. Такой подход позволяет не только изучать геометрические свойства пар винтовых поверхностей, но и создавать алгоритмы их оптимизации.

Цель работы и основные задачи. Основные цели работы:

• объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью;

• рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности;

• построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках;

• компьютерное изображение и исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов.

При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура —► точка пересечения нормали с ценгпроидой (базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа.

Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном се-чении)в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост".

2. Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений.

3. Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгеброид-ных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации, относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай п-винтовых систем, п>2,различной заходности ).

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Из режима развития — в режим функционирования" (Воронеж, 2007 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г.

Петровского, М., МГУ, 2007), на V международной научно- технической конференции "СИНТ-09" (Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Списку ВАК соответствует работа [!]•

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 29 наименований. Общий объем диссертации — 121 стр.

Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (37 рисунков), выполненной в среде Maple.

Содержание работы

Первая глава диссертации содержит необходимый минимум сведений по анализу гладких отображений, дифференциальной геометрии плоских кривых и коммутативной алгебре, необходимый для получения адекватного представления о методах и конструкциях, используемых в диссертации. Здесь же описаны элементы кинематики винтовых пар (см. Рис. 1, 2) и подходы к решению задач оптимизации пар винтовых поверхностей.

Если с одним из контуров связать подвижную систему координат, то получим эффект вращения второго контура (в подвижной системе координат) вокруг первого. Задав подвижный контур в начальный момент времени формулой w(<p) = f(<p)etip + 2, получим движущийся контур, заданный формулой z(<p,t) = ei(-2t+^f(ip)+2eit. На основе этой формулы можно получить геометрическое представление о сопряженном контуре, как границе области, "заметаемой" подвижным контуром (Рис. 2).

Во второй главе представлены результаты изучения бифуркаций регрессивных точек на контурах, сопряженных к алгеброидным. Описаны элементы алгоритма, позволяющего производить компьютерную идентификацию особенностей в регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям регрессивных точек, а также строить ли-

Рис. 1: Пары (не оптимизированные) 2— и 3—заходных винтовых поверхностей с алгеброидными профилями.

нии негладкости и линии регрессивных точек. Дано обоснование этого алгоритма, использующее элементы теории особенностей гладких отображений и боардмановскую классификацию идеалов в алгебре ростков гладких функций.

Симметричным алгеброидным контуром порядка 2п называется гладкая регулярная компактная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением V(z) = 1, где V(z) := П£=о W(u>kz),

W(z) = W0(eiaz), W0(z) := (1 - ф2 + (1 + e)y\

a, £ — произвольные константы, £ < 1, ш = ехр(г27г/п) — первообразный корень из единицы степени п (для определенности можно положить а = 0).

В полярных координатах z = relip получим уравнение V(r, <р) = 1, где V(r, ф) := г2и П (l + е cos (2 L + —

1 ) |Г1® о

: Щ \<;" 11Р&. Шш Ж

Рис. 2: "Прокрутка" 1—, 2— и 3—заходных алгеброидных контуров при двух различных значениях высоты зубца

или, что эквивалентно, уравнение

г = 1!({\-\- ес,оь{2гир)) ^2", е:=£п

(тригонометрическая форма уравнения симметричной алгеброидной кривой).

Симметричным алгеброидным контуром порядка 2п — 1 называется гладкая регулярная компактная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением (в полярных координатах) У (г, ф) = 1, где

У(г) :=г2п-1^1+есо8((2п-1)^)),илиг = 1Д1+есоз((2п-1)^))2""1.

Если исходное семейство кривых задано в виде линий нулевого уровня для функций гладкого Ь—параметрического семейства У(х,у,£), то огибающая задается системой уравнений

дУ

У(х,у,г) = = о,

которая описывает также те значения х, у, при которых функция У(х, у, ■) имеет кратный корень (по переменной ¿). Следовательно, проекция

(х,у,г)г |—» (х,у)т

переводит множество решений указанной выше системы уравнений на дискриминантную кривую гладкого (х, у)—семейства гладких функций У(х, у, Ь) скалярного аргумента t.

Таким образом, исследование и построение сопряженных контуров можно осуществлять посредством теории дискриминантных кривых. Точ-

- - 4 u Э2У г.

ка а этой кривой называется регрессивной , если в этой точке j^r = 0. Из этого определения следует, что регрессивные точки определяются системой уравнений

8V d2V

V{x, у, t) = — (х, у, t) = у, t) = 0.

Регрессивная точка а, заданная этой системой уравнений, называется регулярной, если в этой точке ^ Ф 0- В противном случае регрессивная точка называется вырожденной или особой. Ясно, что особая регрессивная точка является вырожденным нулем векторного поля

{ ' at' т2) '

Точка о, регрессивная при е = £о (для г—параметрического семейства контуров, сопряженных к заданному е—параметрическому семейству ал-геброидных контуров), называется первичной, если при е < £о регрессивные точки отсутствуют. Ясно, что каждая первично регрессивная точка является вырожденной.

Здесь же описана идентификация особенностей гладких отображений плоскости и приведены условия трансверсальности к особенности регрессивной точки.

Пусть £ — алгебра ростков в нуле гладких функций на координатной плоскости, 21 — конечнопорожденный идеал в £ с системой образующих VI, ... ,Vm:%=<Vu ... ,Vm

> . Боардмановским расширением 21 идеала 21 называется идеал, порожденный множествами 21 и [21,21], где [21,21] — множество функций вида

г , _ dudv dvdu v %

дхду дхду'

([■u,i>] — скобка Пуассона функций и,и €

Рангом rk(2l) идеала 21 называется размерность подпространства L(21) := span ({grad V(0,0)}) в R2, crk(2t) := 2 - rk(2l) . Для 21 =< Vh ... , Vm > имеем rk(2l) = rk (A), где A — матрица Якоби функций Vj в нуле (образованная первыми производными Vj).

Пусть

211 = а, 212 = 8?, ...., 21*+1 = И*, ...

— последовательность боардмановских расширений. Числа

П = сгк(21), г2 = сгк^1), г3 = сгк(212), ... , гк+1 = сгк(21к), ...

называются боардмановскими характеристиками идеала 21 3. Очевидно, что г\ > гг > ... > г/г+1 > .... Боардмановские характеристики инвариантны относительно выбора систем координат в образе и прообразе отображения.

Говорят, что отображение / : М2 —► К2 имеет особенность в нуле типа ... д,о верхнем показателе к единиц), если для идеала, порожденного ростками (в нуле) компонент этого отображения, выполнены соотношения п = ... = гк = 1, гк+1 = 0.

Например, идеалы < х, у2 >, < х,у3 > и < х, у4 > имеют в нуле особенности типов Е1,0, Е1'1,0 и Е1'1'1,0. Эти особенности носят имена "складка", "сборка" и "ласточкин хвост".

Если условие гк+г = 0 отбросить, то получим обозначение Е1'"'1. Пусть для отображения / : К2 —► К2, / = (/ь /2), Л(0) = /2(0) = 0, выполнено условие

©гасВД) ф 0. (*)

Ясно, что отображение / имеет в нуле особенность Е1 тогда и только тогда, когда в нуле

[Л,/а] =0 (Е1)

или, что эквивалентно, цгас^^О) ||gradf2(0).

Теорема 4. Отображение / имеет в нуле особенность Е1,1 тогда и только тогда, когда в нуле выполнены следующее равенства:

[/ь/2] = [/1,[/ь/2]] = 0. (Е1-1)

Отображение / имеет в нуле особенность Е1'1'0, если в нуле [Д, [Д, [/1, /2]]] ф 0 (при выполнении условий (Е1'1))

Теорема 5. Отображение / имеет в нуле особенность Е1'1,1 тогда и только тогда, когда в нуле выполнены следующие равенства:

[Л,/2] = [/ъ [/ь /2]] = [/ъ [Л, [Л, /2]]] = 0. (Е1'1'1)

Теорема 6. Отображение / имеет в нуле особенность Е1,1'1'0, если в нуле

(при выполнении условий (Е1'1,1))

Здесь рассмотрена нулевая особая точка, но все приведенные соотношения и утверждения автоматически переносятся на ненулевые особые точки.

Доказательства этих утверждений нетрудно провести посредством редукции Пуанкаре-Ляпунова-Шмидта 6 к одномерному отображению (5 : К —> К, /3(з) = /2(^(5)), где "ф(з) — интегральная кривая гамиль-тоновой системы

Кривая х = ф{з) задает параметризацию (вблизи нуля) множества решений уравнения /1(2;) = 0. Известно, что редукция сохраняет боардма-новские характеристики особенности, то есть для / их можно вычислять посредством отображения /3.

Приведена также основная формула для сопряженного контура и примеры её применения. Пусть исходный контур задан параметрическим уравнением (на координатной плоскости, отождествленной с плоскостью комлексных чисел) г (в) = /(в)е"Прокручивание" контура задается формулой = 2(.в)еш + 2еи или ^(М) = /(ф^2^) + 2еи. Урав-

нение кривой особых точек выглядит следующим образом

¡{¡в,í) = /(з)/(а) + / (в) сов(* + в) - /(в) юп(* + в) = 0

После замены t+s — д(з) получим /(з)/(з)+/(.з) соз(б) — /(в) йт(0) = 0. На кривой нулей якобиана имеем

63ачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ Зачспа В.Р., Сапронов Ю. И.// Воронеж, ВГУ. 2002. - 183 с.

[/ь[/ь[/ь[/ь/2]]]]^0

В итоге получаем основные формулы для сопряженного контура

' /(*) 1 , I /(«Ж«)

t + s = (s) := arcsin

y/f2(s) + P(s)

+ arcsm

/

t+s = 02 (s) := тг+arcsin

f(s)

\ (

—arcsin

s]P{s) + P{s)j ' \

\[p{s)Vf4s)

Параметрическое уравнение сопряженного контура примет следующий вид:

г*{з) = Г (а, -з + вк(з)) = +

Компьютерные графические изображения данного контура и сопряженных поверхностей, представленные в диссертации, получены на основе этой формулы.

Рис.3: Исходные и сопряженные 1—заходные контуры, г = (1 + esin(y;)) 1, е = 0.35, 0.49, 0.55;

Подставив явную формулу линии особых точек в уравнения регрессивных точек, получим формулы для графического изображения линий регрессивных точек. На Рис. 5 изображены такие линии (регрессивных точек) для 1—, 2— и 3—заходных алгеброидных контуров.

При нелокальном рассмотрении линии С регрессивных точек условие регулярности может нарушаться и поэтому построение С должно опираться на систему двух уравнений [ху,j] = [x2,j] = 0. Несложные вычисления показывают, что в итоге получится система двух уравнений

f(s) + 2(0* - l)sin(0A) = f{s) + 2(0* - 1 )(/(«) + cos(0*)) = 0.

Рис.4: Исходные и сопряженные 3—заходные контуры, г = (1+ евт(3уз)) е =

0.55, 0.69, 0.72.

Первое из этих уравнений отличается от второго лишь множителем

Представленные в диссертации графики кривых регрессивных точек получены на основе последнего уравнения. Здесь же приведены алгоритм идентификации особенности Е1,1'1,0 и алгоритм проверки условия трансверсальности к £1,1,1,0.

В этой же главе дан вывод, в случае симметричного зубца, уравнения точки самопересечения сопряженного контура, из которого можно выводить формулу зависимости координат точки самопересечения от высоты зубца.

В данной главе проведено также исследование сопряженных контуров и точек негладкости для (исходного) контура, заданного тригонометрическим многочленом, аппроксимирующим "пилообразный" контур.

В заключительном параграфе приведена асимптотическая формула величины угла между касательными к сопряженному контуру в точке негладкости (для симметричного зубца)с вырожденной регрессивной точкой в его вершине, аналитически сопряженного однозаходного контура г(з) = + с симметричным зубцом. Предполагается, что первично регрессивная точка появляется при 5 = 7г. Бифур-цирующие регрессивные точки симметричны относительно оси в = тг. Таким образом, эти точки соответствуют значениям б =7г ±5, при этом е = 0(62). Так как /(7г) = 0, то в(тг) = 0. Следовательно, ¿(п) =

= -/(тгУ2^ * (20(тг) - 1) - г (9{тг) - 1) =

- -/(тг) (20(тг) - 1) - 2г (0(тт) - 1).

0,660,650,640,63-

0,65 0,70 0,75

0,5 1,0 1,5 2.0

04 1,0 2,0

Рис. 5: Линии регрессивных точек.

Приравняв это выражение нулю, получим уравнение (от б)

- -1)

определяющее момент и место рождения регрессивной точки.

Условие симметрии зубца приводит к выводу о том, что значения в = 51, в2, при которых происходит самопересечение аналитически сопряженного контура, связаны соотношениями

в! = 7Г — 6, = 7Г + 5, £ = 0(62).

Зависимость е от <5 определяется соотношением

/ (я- + + 2еЧ-*-М1ж+б)) _

= /(тг _ + 2е»(-»+«+в(т-«)) .

Так как, по симметрии,

/(я- + 5) = /(тг - 5) = 0(тг + ¿) = -0(тг - ¿)(= 0),

то получим уравнение

/(тг - ¿К'^+м) = /(тг + 5)е^+2в) + ,

определяющее расположение точки самопересечения, или, в силу равенства /(7г — 6) = /(тг + <£) , уравнение

+ Л - о _ вш^-Л)

дтг + о; - ^ е<(_,+2в) _ е-4Н+щ * 9_5у

из которого нетрудно получить зависимость е от <5 виде £ = а<52 + Ьдг + о(<53). Из этого соотношения нетрудно вывести асимптотическую формулу для угла в точке негладкого стыка сопряженного контура.

В третьей главе приведены коды программ для получения компюгер-пых изображений винтовых поверхностей, сопряженных контуров, кривых регрессивных точек, а также приведены примеры компьютерных изображений, полученных на основе алгоритмов второй главы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Сапронов Ю.И. Бифуркации регрессивных точек на сопряженных, винтовых поверхностях// Ю.И. Сапронов , М.И. Ковалева // Вестник Воронежского государственного технического университета. Том 5 ЛМ, 2009. С.99 - 103.

[2]Валюхов С.Г. Рождение линий негладкости на сопряженной винтовой поверхности/ С.Г. Валюхов, М.И. Ковалева, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов // Из режима функционирования - в режим развития: сборник научных трудов региональной межвузовской научно-практической конференции. Ч. 2. - Воронеж: ВФ МГЭИ, 2007. С.4-7.

[3] Валюхов С.Г. О рождении линий негладкости на поверхностях винтовых пар турбоносов при их оптимизации/ С.Г. Валюхов, М.И. Ковалева, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, часть 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 10-25.

[4] Ковштева М.И. Об особых точках на поверхности, сопряженной с винтовой поверхностью алгеброидного типа. / М.И. Ковалева // Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского (XXII

совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.:Изд-во МГУ, 2007. С.159.

[5| Ковалева М.И. О зарождении особых точек на сопряженной винтовой поверхности. / М.И. Ковалева // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна- 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.69 - 70.

[6] Ковалева М.И. Построение поверхности, сопряженной к винтовой./ Ковалева М.И. // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2008. Материалы научной конференции, 14 - 19 апреля 2008. Спб., 2008. С.62 - 04.

[7] Ковалева М.И. К вычислению углов в точках аегладкости сопряженных контуров / М.И. Ковалева // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика. Математика,. 2009, № 1. С 119 - 125.

[8] Ковалева М.И. Построение сопряженного контура винтовой поверхности/ М.И. Ковалева //' Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2009. Материалы научной конференции, 13 - 18 апреля 2009. Спб., 2009. С.72

[9]Валюхов С.Г. Рождение линий негладкости на поверхности, сопряженной с винтовой поверхностью алгеброндного профиля/ С.Г. Валюхов, М.И. Ковалева, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во "Созвездие", 2007. С. 19-30.

[10]Валюхов С.Г. Построение кривых регрессивных точек на сопряженных винтовых поверхностях/ С.Г.Валюхов, М.И. Ковалева, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов// Разработка, производство и эксплуатация Турбо-, электронасосных агрегатов и систем на их основе. Материалы научно- технической конференции, 21-25 сентября 2009. Воронеж, 2009. С.313-321.

Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подписано в печать 06.10.09. Формат 60x84 '/к. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1588

Отпечатано с готового орипшала-махета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

-73.

Введение

1 Кинематика винтовых пар. Сопряженные винтовые поверхности

1.1 Плоские сечения винтовых пар и профильные функции

1.2 Метод Гаусса.

1.3 Метод огибающей кривой.

1.4 Винтовые пары. Прокрутка контуров.

1.5 Метод особых точек гладких отображений

1.6 Локальные кольца и типы особенностей отображений

1.7 Эквивариантные особенности гладких функций и симметричные профили.

1.8 Кольцо симметричных многочленов.

1.8.1 Кольцо (классических) многочленов. 1.8.2 Симметричые многочлены.

1.8.3 Многочлены от двух переменных с поворотной симметрией.

2 Алгеброидные контуры. Регрессивные точки на контурах, сопряженных к алгеброидным

2.1 Локальная модель рождения точки негладкости на сопряженном контуре

2.2 Дискриминантные кривые и регрессивные точки

2.3 Алгеброидные контуры.

2.4 Примеры компьютерных изображений алгеброидных контуров

2.5 Боардмановские расширения идеалов в алгебрах ростков гладких функций на координатной плоскости и типы особенностей отображений.

2.6 Идентификация особенностей гладких отображений плоскости. Условие трансверсальности к особенности.

2.7 Основная формула для сопряженного контура и примеры её применения

2.8 Нелокальное рассмотрение уравнения регрессивных точек

2.9 Идентификация особенности ^Г)1'1'1,0 и проверка условия трансверсальности к этой особенности.

2.10 Алгоритм идентификации особенности ^Г1'1'1,0.

2.11 Симметричные тригонометрические контуры.

2.12 Построение первично регрессивной точки и точки негладкости в случае симметричного зубца.

Актуальность темы. Тема диссертации связана с задачей оптимизации шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Эта задача является составной частью общей проблемы проектирования и оптимизации многофазных винтовых насосов (ВН) [2], [16], [12]. Отличительными признаками такого насоса являются малые радиальные и линейные зазоры, внешняя герметичность, а также симметричная схема силовых нагрузок на главный рабочий орган — винтовую пару. Минимальные зазоры позволяют такому насосу устойчиво работать и в режиме газового компрессора. Многофазные насосные станции активно создаются и используются в мировой практике в течение последних лет, они успешно эксплуатируются нефтегазодобывающими компаниями. Важнейший элемент конструирования ВН и его оптимизации в целом — оптимизация шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Безусловно, исследование и оптимизацию ВН можно осуществлять, используя современные методы нелинейной динамики, информатики и теории катастроф [5] - [7], [18]- [20], [25]- [30]. Некоторые из возможных подходов к построению математических моделей ВН и решению задач оптимизации шестеренчатого зацепления винтовых поверхностей отражены в монографии [12]. В ней изложены методы построения и анализа оптимально зацепленных (сопряженных) пар винтовых поверхностей, опирающиеся на математические представления, взятые из дифференциальной геометрии плоских кривых и теории особенностей гладких отображений [1], [4]. Представленные в диссертации результаты исследований, проведенных в русле монографии [12], дают уточнение и дальнейшее развитие некоторым теоретическим положениям этой монографии.

Изучение ВН можно осуществлять исходя из того, что кинематические характеристики ВН определяются геометрическими свойствами и особенностями поперечных сечений винтов, которые задаются в виде замкнутых контуров (гладких или кусочно гладких) посредством профильных функций. Их удобно представлять как функции скалярного аргумента со значениями в поле комплексных чисел. Таким образом, кинематические свойства ВН можно исследовать, опираясь на анализ однопараметрических периодических семейств гладких плоских кон

Рис. 1: Пример использования пятизаходных винтов.

Рис. 2: Виды винтовых насосов. туров и, следовательно, на теорию гладких отображений [1],[4] двумерных торов в координатную плоскость. Такой подход позволяет не только изучать геометрические свойства пар винтовых поверхностей, но и создавать алгоритмы их оптимизации.

Цель работы и основные задачи. Основные цели работы:

• объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью;

• рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности;

• построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках;

• компьютерное исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов.

При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура —> точка пересечения нормали с центроидой (базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа.

Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости па поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении)в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост".

2. Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений.

3. Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгебро-идных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации,относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай п-винтовых систем, п>2, различной заходности в примыкающих парах).

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Из режима развития — в режим функционирования" (Воронеж, 2007 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского, М., МГУ, 2007),па V международной научно- технической конференции "СИНТ-09"(Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Статья [42] опубликована в соответствии с "перечнем ВАК".

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов./ В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: Наука. 1982. 304 с.

2. Балденко Д.Ф. Винтовые насосы./ Д.Ф. Балденко , М.Г. Бидман, B.J1. Калишевский и др.// М.: Машиностроение, 1982. 228 с.

3. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./ Т. Брекер, JI. Ландер// М.: Мир, 1977. 208 с.

4. Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей./ Дж. Брус , П. Джиблин // Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 262 с.

5. Булыгин Ю.А. Информатика. Курс лекций/ Ю.А. Булыгин, В.В. Бородкин// Воронеж: ВГТУ, 2004. 88 с.

6. Валюхов С.Г., Скуфинский А.И., Булыгин Ю.А. Многофазный винтовой насос. Патент РФ № 227 14 74(13) С1. МПК Р04С 2/6 (2006.01). Заявка: 2004121023/06. Дата подачи заявки: 2004.07.08.

7. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра./ Б.Л.Ван дер Варден // М.: Наука, 1979. 624 с.

8. Валюхов С.Г. К кинематике винтовых насосов/ С.Г.Валюхов, В.А. Костин, Ю.И Сапронов // Труды математического факультета (новая серия). Воронеж: изд-во ВГУ, 1998. N.3. С. 14-19.

9. Валюхов С.Г. К оптимизации зацеплений вращающихся плостник контуров./ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И.Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., мат. Вып. 1. 2000. С. 98-104.

10. Валюхов С.Г. Зацепления винтовых поверхностей./ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов, С.М Семенов // Воронеж: изд-во ВГУ, 1999/131 с.

11. Валюхов С.Г. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей./ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов, С.М Семенов // Воронеж: ВорГУ. 2005. 177с.

12. Винберг Э.Б.Симметрия многочленов./ Э.Б. Винберг // М.: МЦ-НМО, 2001. 24с.

13. Булгаков Э.Б. Теория эвольвентных зубчатых передач. /Э.Б. Булгаков // М.: Машиностроение, 1995. 320 с.

14. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф/ Р. Гилмор // М.: Мир. 1984. Т 1, 350 с. Т 2, 285 с.

15. Женовак Н.Г. Судовые винтовые негерметичные насосы./ Н.Г. Женовак // JL: Судостроение, 1972. 144 с.

16. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ В.Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

17. Крутов A.B. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели/ A.B. Крутов// М.: Изд-во РУДН. 2001. -252 с.

18. Кривошапко С.Н. Ребра возврата, линии раздела и самопёресече-ния некоторых технологических поверхностей откоса/ С.Н. Кривошапко, A.B. Крутов// Вестник РУДН. Серия "Инженерные исследования, № 1". М.: Изд-во РУДН. 2001. С. 98-104.

19. Крутов A.B. Геометрическая модель движения твердого тела с неподвижной точкой на основе классификации кривых/ A.B. Крутов// Изв. РАН. МТТ. 2002. № 6. С. 37-42.

20. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ/ Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд// М.: Мир. 1988. 510 с.

21. Певзнер Б.М. Насосы судовых установок и систем./ Б.М. Певзнер // Ленинград: Судостроение, 1971. 217 с.

22. Постон Т. Теория катастроф и её приложения/ Т. Постон, И. Стюарт// М.: Мир, 1980. 608 с.

23. Пыж O.A. Судовые винтовые насосы./ O.A. Пыж, Е.С. Харитонов, П.Б. Егорова// Л.: Судостроение, 1969. 196 с.

24. Самарский A.A. Математическое моделирование. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов// Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр,-М.:ФИЗМАТЛИТ,2002.- 320 с.

25. Харламов М.П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем./М.П. Харламов // Механика твердого тела. 1979, № 11, с. 37-49.

26. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела./М.П. Харламов // Л.: Изд-во ЛГУ, 1988, 200 с.

27. Харламов М.П. Автоматическое управление программной ориентацией твердого тела./М.П. Харламов // Механика твердого тела, 2001, № 31, с. 126-133.

28. Харламов М.П. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской./ М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Доклады РАН, 2005, т. 401, № 3, с. 321-323.

29. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных./ М.П. Харламов // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 4, с. 453-472.

30. Poénaru V. Singularités С00 en Présence de Symétrie/ V. Poénaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

31. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities/ C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

32. Weinstein A. Singularities of families of functions/ A. Weinstein // Differential geometrie in Grossen. V.4. Oberwolfach. 1971. P.323-330.

33. Ковалева М.И. О зарождении особых точек на сопряженной винтовой поверхности. / М.И. Ковалева // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008.Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 69 - 70.

34. Ковалева М.И. К вычислению углов в точках негладкости сопряженных контуров /М.И. Ковалева // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика. Математика. 2009, №1. С 119 125.

35. Сапронов Ю.И. Бифуркации регрессивных точек на сопряженных винтовых поверхностях/ Ю.И. Сапронов , М.И. Ковалева //Вестник Воронежского государственного технического университета. Том 5 №4, 2009. С. 99 103.