автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Некоторые расширения в теории нечетких реляционных баз данных

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Лыу Дык Кхам

НЕКОТОРЫЕ РАСШИРЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ

(05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления))

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: - Кандидат физико-математических наук, доцент

Сергеев Сергей Львович.

Официальные оппоненты: - Доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: - Институт информатики и автоматизации РАН

Защита состоится 24 сентября 2003 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург В.О., университетская набережная 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, университетская набережная 7/9.

Автореферат разослан g 1/4Уу(Л 2003 года.

Веремей Евгений Игоревич, - Кандидат физико-математических наук Пашкевич Василий Эрикович.

Ученый секретарь

диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

/ Курбатова Г. И./

tOg^iS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. За последних 30 лет в области теории баз данных была проведена серия исключительно продуктивных исследований. Полученные результаты вполне можно считать наиболее важным достижением информатики. Базы данных стали основой информационных систем и в корне изменили методы работы многих организации. Все это сделало системы баз данных доступными широкому кругу пользователей. Проблема проектирования баз данных (БД) является в настоящее время объектом все возрастающего интереса широкого круга специалистов в различных областях общественной жизни. Однако, во многих случаях, хранимая в БД информация не всегда точно отражает характеристики исследуемого объекта реального мира. Это объясняется тем, что рассматриваемый объект имеет сложную функциональную структуру, и исследователи не в состоянии полно ее выяснить. Причем, на практике бывает достаточно много атрибутов объекта, которые нельзя оценить количественными величинами, а только качественными. Такие типы данных часто встречаются во всех отраслях, где применима система БД. Поэтому в круг проблем проектирования нечеткой модели БД и методик обработки неточной и абстрактной информации вовлекается широкий круг пользователей информационных систем. Теория нечетких множеств, приложенная Zadeh, служит эффективным средством для представления, хранения и обработки нечеткой информации с различными уровнями точности.

Среди трех основных моделей БД, наиболее простой и распространенной оказалась реляционная модель. В связи со сложностью и разнообразием структуры нечетких данных БД, были разработаны различные нечеткие модели реляционных БД. Они изложены, например, в работах Buckles В.Р., Petty F.E., Shenoi S., Melton A., Medina J.M., Vila M.A., Lipski W.Jr., Prade H., Zemankova-Leech M., Kandel A., Umano M., Ding-An Chiang,

Lui R. Chow, Nan-Chen Hsien, Le Tien Vuong

H" Tbiiqn Tnirtng TY^Hlmp и

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА Cflmptypr

т.д. Однако нечеткие модели Buckles В.Р. и Petry F.E., Shenoi S. и Melton А. более привлекают специалистов разных областей, благодаря их структуре, приближающейся к структуре человеческого мышления. Благодаря работам многочисленных специалистов; Мартин Дж., Мейер Д., Дейт К.Дж., Томас Коннолли, Каролин Бегт, Codd E.F., Fagin R., Maier D., Armstrong W.W... и т.д., теория классических БД была достаточно развита с математической точки зрения. В то же время, нечеткая база данных рассматривается как обобщенная версия традиционной БД. Как известно, теория нечетких БД, по-видимому, еще не закончена с математической точки зрения, и в ней остается немало вопросов, требующих решения. Более того, области, к которым применимы нечеткие базы данных, разнообразны и исследуемые объекты обычно имеют сложную функциональную структуру и для работы с ними требуются подходящие методы манипуляции нечеткими данными. Поэтому, проблема расширения нечеткой модели баз данных является актуальной. Мы выбираем нечеткий аналог традиционной реляционной модели, чтобы проводить некоторые расширения.

Целью работы является уточнение и расширение нечетких реляционных моделей баз данных, в особенности модели Buckles и Petry и модели Shenoi и Melton. В основе исследования лежат такие вопросы, как нечеткое исчисление доменов, вполне определенности реляционной алгебры, нечеткие функциональные и многозначные зависимости и связанные нечеткие нормальные формы. Более того, опираясь на результаты, полученные Medina, Pons и Vila, ставится целью поиск одной группы операторов нечеткого сравнения между нечеткими значениями, с одной стороны и нечетким и четким значениям одного и того же домена, с другой стороны.

Аппаратом исследования служат: теория нечетких множеств, нечеткая логика, теория возможностей, теория проектирования реляционных баз данных, исчисление высказываний, исчисление предикатов, лингвистические

переменные, теория графов и алгебра лингвистических неопределенностей (hedge algebras).

Научная новизна.

1. Впервые исследована задача исчисления доменов (непроцедурный язык запросов) для основанной на отношениях близости нечеткой реляционной модели.

2. Определен полный набор операций нечеткой реляционной алгебры в основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели и показано свойство вполне определенности каждой операции.

3. Продемонстрированы дополнительные правила вывода для нечетких функциональных зависимостей в основанной на классах эквивалентности реляционной модели. В рамках нечеткой реляционной модели исследованы нечеткие многозначные зависимости и связанная нормальная форма для схем нечетких отношений.

4. Построена группа операций нечеткого сравнения в нечеткой реляционной модели баз данных и применены эти операции в командах реляционной алгебры. Определен новый метод хранения и обработки нечеткой информации.

Практическая ценность. Полученные во второй и третьей главе диссертации теоретические результаты могут использоваться при создании нечеткой базы данных и реализации нечетких запросов к ним. Результаты, развитые в четвертой главе, могут быть применены при проектировании баз данных для создания "хороших" нечетких моделей с помощью процедуры нормализации схем нечетких отношений. Результаты, полученные в пятой главе, могут быть использованы при хранении и обработке информации с различными уровнями точности.

Некоторые полученные нами результаты были реализованы в системе FAMEBASE 3.0 [5] и при проектировании информационной системы "Розыск уголовных преступников" (МВД СРВ).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры технологии программирования, на 33-ой и 34-ой научных конференциях студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ, СПбГУ (4.2002 г., 4.2003 г.).

Публикация. Основные результаты диссертации содержатся в работах

[1-5].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка русской и зарубежной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I коротко рассмотрена нечеткая реляционная модель баз данных Buckles и Petry, основанная на отношениях подобия для дискретных конечных множеств D,.

В параграфе 1 описаны основные понятия и свойства первоначальной модели. Отношением подобия на каждом множестве домена Dj является такое отображение s/. DjX Dj~* [0,1], что V х, у, z е Dj

(i) Sj{х, х) = 1 (рефлексия).

(ii) Sj{x, у) = sjiy, х) (симметрия).

(iii) s,{x,z) > шах {minfs/x, у), z)])}(max-min транзитивность).

У€ Dj

Показано, что отношение идентичности в традиционной реляционной модели является частным случаем отношения подобия.

Определены концепции нечеткой реляционной базы данных, нечеткого отношения, нечеткого кортежа, интерпретация кортежа, избыточных кортежей, порога подобия между элементами множества домена, разделения множества домена на непустые непересекающиеся подмножества.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы избыточные кортежи не существовали в нечетном отношении, дано следующей теоремой: ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть дано отношение подобия для каждого домена. Для того, чтобы нечеткое отношение не имело избыточных кортежей, необходимо и достаточно, чтобы Т-, nTj = 0, если i *j.

6

Здесь Т, - множество возможных интерпретаций для кортежа f,.

Необходимое условие для уникальности слияния избыточных кортежей демонстрируется теоремой 1.1.2.

ТЕОРЕМА 1.1.2. Нечеткое отношение, полученное, слиянием избыточных кортежей уникально, если на каждом домене было определено отношение подобия.

В параграфе 2 первоначальная модель расширена нечеткими числами. Нечеткое число А, определенное на вещественной оси, состоит из множества {(.т, //((т)) | х в R, //4(.r) е [0,1]}. Множество «-уровня нечеткого множества А, обозначаемое Аа - обычное множество {.г | /y.f(x) > а].

Перечислены основные свойства размытых чисел. Отношения подобия, используемые для дискретных, конечных множеств домена не могут быть непосредственно распространены на непрерывные множества нечетких чисел, так как в данном случае отсутствует свойство транзитивности, которое производит разделение множества домена так, чтобы гарантировать уникальность представления отношения. Определены новые отношения "близости", названные «-подобными S^ и а-ближайшими Su*. Показано одно важное свойство Sa\ обеспечивающее уникальность отношения. ЛЕММА 1.2.1. Sa' делит любое множество нечетких чисел {q\, q2, <?;,}■

Из леммы 1.2.1 следует, что S„ или Sa' делит множество размытых чисел на непересекающиеся блоки такие, что каждое нечеткое число находится только в одном блоке. На основе Sa и Sa определены понятие избыточности, операции слияния для размытых чисел и команд нечеткой реляционной алгебры, доказано их свойство вполне определенности.

Продемонстрированы нечеткие Булевы запросы Q(a„ ah, ..., ak) для модели Buckles и Petry. Реализовано их применение для доменов размытых чисел. В последнем случае запрос типа Q(x„ ..., xh, aj, ..., a ¡J представляет собой выражение одного или большего количества аргументов, объединенных дизъюнктивыми или конъюнктивыми Булевыми операторами: V, ор ... op Vh op Vj op ... op Vk.

7

Здесь Q¡ - домен размытых чисел, D, — конечный дискретный домен и каждый аргумент V, может быть х, е Q¡ или о, е Dj, видоизмененный одним или большим количеством лингвистических термов.

Присутствие нечетких чисел допускает возможности обработки нечеткого запроса, расширяющие методы простого информационного поиска, и их представление значительно расширяет полезность нечетких баз данных. До сих пор, нечеткая структура базы данных не позволила использовать нечеткие числа при применении формальных методов типа реляционной алгебры.

Описанный метод для доменов нечетких чисел, разумеется, обладает всеми желательными свойствами для конечных дискретных значений доменов.

В главе II рассмотрен вопрос расширения модели Buckles и Petry с отношениями близости и нормальным нечетким множеством, показано, что понятие отношения близости, предлагаемое Shenoi и Melton, является обобщением понятия отношения подобия. Кроме того, в этой главе исследован непроцедурный язык запросов для основанной на отношениях близости нечеткой реляционной модели баз данных.

В II. 1 объясняется, как отношения близости (рефлексивное и симметричное отображение s/. х Dj —* [0, 1]), определенные на конечных скалярных доменах, использованы для разделения доменов на непересекающиеся блоки информации.

Показано, что отношение близости является отношением эквивалентности, т. е. оно делит каждый домен на классы эквивалентности, ЛЕММА 2.1.1. Если s: D х D -» [0,1] - отношение близости то S* -отношение эквивалентности, то есть, оно делит D, для любого а е [0,1].

Выяснено, что этот подход обобщает подход Bucles и Petry. Доказано свойство вложенности классов эквивалентности, ЛЕММА 2.1.2.Для V.v, Vy еD, естxS'ayu а> а', то xS'ay.

Раздел II.2 посвящен проблеме использования нормальных нечетких множеств в качестве элементов домена Dr Shenoi и Melton показали, что домены, состоящие из конечного числа нормальных нечетких множеств, могут также быть использованы без неблагоприятного воздействия на желательные свойства реляционной модели, и функции принадлежности этих нечетких множеств могут использоваться для построения отношения близости. Определено отношение близости на домене, состоящем из конечного числа нормальных нечетких множеств, как выражение вида s/t(A„ Aj) = шах а.

(А,)а Г>фа * ф

Здесь А„ Aj- нормальные нечеткие множества и (А,)а - а-сечение нечеткого множества Л, то есть, (А,)а = {а е А | ц л ,(а) sа}.

В И.З изучен один непроцедурный язык запросов (исчисление доменов), относительно близкий к естественному языку для модели, основанной на отношениях близости. В нечетком исчислении домена, запросы представлены выражениями типа:

{Xt(At), Х2(А2),..., Хк(А±) | у/(Хи Хг,..., Хк)}, где: X,, Х2,..., Хк - переменные

доменов, А А2,.....Ак - имена атрибутов, из которых значения переменных

должны быть взяты, и у/ является формулой, построенной из атомов и набора операторов. Атомы могут иметь два вида:

(i) Л(КЬ Y2,..., Yk) с <условиеуровня>

(ii) Y\6 Y2 с <условие уровня>,

R является отношением БД, и каждый Yj . константа или переменная домена. Условия уровня, являющиеся ограничениями на пороговых значениях THRES (Aj) = ар для Va^e [0,1], необязательны и определяют значения уровня близости для любого или всех атрибутов в Л. У, и Y2-константы или переменные домена и 0 является реляционным оператором.

Истинное значение T\R(.): t,) конкретного атома относительно кортежа t, имеет вид вектора, упорядоченного по именам переменных:

7ЩГЬ Y2,..., Yky. t,) = <S(dlh Г,), {S(da, Y2),..., S(dlk, Yk)>,

где:

О , если каждая переменная не принимает значения из того же самого кортежа

min [sofa, Yj~)], если Yj- константа uedv

min [sd/m, если y}— конкретное значение переменной Yj, uedv

d,j - значение j-ого атрибута в tf,

Dj - множество домена для атрибута Aj.

Дано рекурсивное определение формул, аналогичное соответствующему определению четких БД с добавлением требуемого условия уровня а е [0, 1]. Определены критерий истинности и значение истинности нечеткой формулы исчисления доменов. Выяснено, что нечеткое исчисление доменов имеет более компактное выражение по сравнению с нечеткой реляционной алгеброй.

В главе III расширена реляционная модель с помощью классов эквивалентности на каждом домене. Разделением домена Dk является собрание непустых непересекающихся подмножеств в Dk, названных классами эквивалентности, с таким свойством, что каждый элемент в находится в одном из классов эквивалентности. На основе классов эквивалентности введено понятие избыточности, построены команды реляционной алгебры и проверено для каждой из них свойство вполне определенности.

Важно отметить, что классы эквивалентности могут быть определены на скалярных доменах без предположения существования отношений близости или подобия. Иначе говоря, два последних служат частными случаями отношения эквивалентности.

Л

В III.2 введено понятие частного домена Dk, связанного с Dk, как выражение,

Ьк = U h сА-

Показано, как применить классы эквивалентности для выражения желательного уровня точности информации при разделении доменов. Уровнями точности а в данном случае являются не только числовые значения в интервале [0,1], но и лингвистические значения. Доказано существование естественного порядка между уровнями точности информации.

Параграф Ш.З связан с нечеткой реляционной структурой относительно модели классов эквивалентности. Определены концепции нечеткого кортежа, избыточности кортежей, схемы нечеткого отношения, нечеткого отношения, слияние избыточных кортежей. Доказано свойство уникальности отношения г(Я'), полученного слиянием избыточных кортежей в г (Я).

В параграфе Ш.4 сформулирована полная группа операций реляционной алгебры (объединение, разность, декартовое произведение, проекция, выборка, пересечение, деление и соединение) и проверено, что эти операции сохраняют свойство вполне определенности.

В главе IV исследованы нечеткие функциональные и многозначные зависимости для модели классов эквивален гное х и, определены связанные с ними нечеткие нормальные формы.

В IV.2 введены основные концепции: грубое и тонкое разделение, а-избыточность компонента кортежа, операция слияния по эквивалентности, одноуровневая и многоуровневая нечеткая реляционная база данных. Определены порядок разделений и порядок уровней точности относительно одного и того же частного домена.

Два кортежа, по определению, являются избыточными, когда все их компоненты избыточны на данных уровнях точности.

В 1У.З определены функциональные зависимости в терминах а-избыточности и проверена их непротиворечивость по отношению к понятию классических зависимостей, т.е. последние являются частным случаем нечетких функциональных зависимостей (НФЗ).

Вследствие того, что классы эквивалентности имеют тенденцию сливаться при уменьшении уровня, нечеткие домены БД имеют структуру

А 2 а 12322 —> Я]4

Рис I. Представление нечеткой функциональной зависимости, дерева, в которой каждый уровень в дереве представляет одно разделение домена. (Атомные значения классической модели - листья этих деревьев и включают самое тонкое разделение; классическая зависимость соединяет узлы листьев деревьев, соответствующих атрибутам левой стороны (ЛС) и правой стороны (ПС) стрелки). НФЗ связывает классы эквивалентности на определенных уровнях на деревьях атрибутов ЛС с соответствующими классами эквивалентности на соответствующих уровнях на деревьях атрибутов ПС (Рис. /). Более точно, связь возникает всякий раз, когда компоненты двух кортежей принадлежат тем же самым классам эквивалентности в деревьях атрибутов ЛС, их компоненты по атрибутам ПС

также принадлежат тем же самым классам эквивалентное ш в деревьях атрибутов ПС.

Показано преимущество этого подхода по сравнению с подходом, предложенным и и Ма,)итс1аг.

Введены дополнительные правила вывода, аналогичные соответствующим правилам традиционных БД с добавлением уровней точности данных. Проверены правильность и полнота аксиом Армстронга, а также верность дополнительных правил вывода. Определены понятия ключа и суперключа в терминах нечетких функциональных зависимостей.

Исследование нечетких многозначных зависимостей проведено в IV.4. Как и функциональная зависимость, нечеткая многозначная зависимость построена на основе а-избыточности. Она охватывает традиционную многозначную зависимость в том смысле, что последняя представляет собой частный случай нечеткой многозначной зависимости (НМЗ).

Введены аксиомы и дополнительные правила вывода для НМЗ. Проверена верность и полнота множества правил вывода.

На основе изучения структуры НФЗ и НМЗ в 1У.5 предложены определения первой, второй, третьей, чегверюй нечетких нормальных форм и нечеткой нормальной формы Воусе-Сос1с1 для схем отдельного отношения, схем одноуровневых и многоуровневых нечетких реляционных баз данных.

Как в классической модели, первая нечеткая нормальная форма определяет структуру отношений БД и обеспечивает допустимые отношения.

Вторые и третьи нормальные формы в классической реляционной теории имеют дело с отношениями между ключевыми и остальными атрибутами отношения базы данных.

Переход ко второй нечеткой нормальной форме (2ННФ) имеет целью устранить все нечеткие частичные зависимости неключевых атрибутов от каждого ключа схемы Л

Для получения ЗННФ необходимо удалить из схемы отношения все нечеткие транзитивные зависимости неключевых атрибутов от ключа.

Определение четвертой ННФ тесно связывается с понятием так называемой нетривиальной нечеткой многозначной зависимости.

В параграфе IV.6 коротко и формально изложена проблема нормализации и раскрыты два ограничения на уровни точности информации по сравнению с нормализацией схем традиционных реляционных отношений.

В главе V предложен новый метод представления, хранения и обработки информации, когда на каждом домене отношения присутствуют одновременно четкие и нечеткие значения, причем последние состоят из нормальных нечетких множеств и лингвистических значений. Построена группа операций нечеткого сравнения, совместно использующая носители и функции принадлежности конечных нечетких множеств. Продемонстрировано применение этих операции в командах нечеткой реляционной алгебры. Таким образом, предложена новая модель нечеткой реляционной базы данных.

Домен U(Á) может быть расширен лингвистическими значениями и нечеткими множествами: D(A) - U(A) u T\Á) u F(A), где: 1\A) - множество лингвистических значений переменной A, F(A) - множество нечетких подмножеств и U(A) - множество домена четких значений.

В V.2 продемонстрирован новый метод внешнего и внутреннего представления и хранения нечетких значений с помощью множества первичных лингвистических термов Т°(А) и ядра внутреннего представления Лf(A). Вместо хранения всего внутреннего представления М(А) достаточно хранить только его ядро Af(A) и последнее занимает значительно меньший объем по сравнению с М(А).

Одновременная обработка четких и нечетких значений одного и того же домена исследована в V 3. Расширены обычные арифметические операции путем замены понятий обычных арифметических операций (=, <, >) понятиями "эквивалентность" (=), "предшествование" (-<), "постположение" (у) и "отличие" (*) при сравнении значении домена D.

Определены эти расширенные операции через степень различия между значениями pif, g) и вспомогательные функции Tl(f, g) и r2(f, g). Доказана теорема, позволяющая сравнивать нечеткие значения с четкими значениями одного и того же атрибута.

1 Определены основные операции {выборка, соединение, проекция)

нечеткой реляционной алгебры с использованием расширенных операций нечеткого сравнения и выбранного порога оценки S е [0, 1].

» -

' ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

*

1. Лыу Дык Кхам. Операторы сравнения в нечетких реляционных базах данных // Труды 33-ой научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. - С.-Петербург. - 2002. - С. 387-391.

2. Лыу Дык Кхам. Реляционная алгебра для основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели баз данных // Журнал "Информация о горной технологии". - Ханой. - 2003. - № 2. - С. 9-11.

3. Лыу Дык Кхам, Сергеев С.Л. Множество правил вывода для функциональных зависимостей в нечеткой реляционной модели баз данных // Деп. в ВИНИТИ 29.05.2003, № 1041-В2003. - С.-Петербург. - 2003. - 9 с.

4. Лыу Дык Кхам, Сергеев С.Л. О многозначных зависимостях в основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели баз данных // Деп. в ВИНИТИ 29.05.2003, № 1042-В2003,-

f С .-Петербург. - 2003. - 9 с.

5. Чыонг Дык Хунг, Ле Тиен Выонг, Лыу Дык Кхам и др. Реляционная система управления базами данных FAMEBASE 3.0 (на вьетнамском

1 языке). - Ханой. - 2000. - 256 с.

ЛР № 040815 от 22.05 97

Подписано к печати 27 06 2003 г Формат бумаги 60X84 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Объем 1 усл. п л Тираж 100 экз Заказ 2961 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26

\

I í

I

t

*Пг— J ¿л

РНБ Русский фонд

2005-4 50437

Введение

ГЛАВА I. НЕЧЕТКАЯ РЕЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ БАЗ ДАННЫХ BUCKLES И PETRY

1. Первоначальная версия

2. Расширение базы данных с нечеткими числами

2.1. Свойства доменов нечетких чисел

2.2. Нечеткие Булевы запросы

ГЛАВА II. РАСШИРЕНИЕ МОДЕЛИ НЕЧЕТКОЙ РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЫ ДАННЫХ С ОТНОШЕНИЯМИ БЛИЗОСТИ И НОРМАЛЬНЫМИ НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

1. Отношения близости и конечные скалярные домены

2. Нормальные нечеткие множества в реляционной модели

3. Непроцедурный язык запросов для нечетких реляционных баз данных, основанных на отношении близости

3.1. Введение

3.2. Нечеткие подъязыки данных

3.3. Реляционное исчисление нечеткого домена

3.4. Применение

ГЛАВА III. РАСШИРЕНИЕ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ

С КЛАССАМИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

1. Введение

2. Классы эквивалентности и неточная информация

3. Нечеткая реляционная структура

4. Нечеткая реляционная алгебра

4.1. Объединение

4.2. Разность

4.3. Декартовое произведение

4.4. Проекция

4.5. Выборка

4.6. Пересечение

4.7. Деление

4.8. Соединение 63 5. Пример

ГЛАВА IV. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И МНОГОЗНАЧНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В НЕЧЕТКОЙ РЕЛЯЦИОННОЙ МОДЕЛИ БАЗ ДАННЫХ

1. Введение

2. Предварительные концепции

3. Функциональные зависимости (ФЗ)

4. Многозначные зависимости (МЗ) 93 4.1 .Аксиомы для нечетких ФЗ и МЗ 96 4.2. Дополнительные правила вывода для нечетких МЗ

5. Нормальные формы

6. Проблемы нормализации

2. Представление и хранение данных 109

3. Обработка данных 113

3.1. Расширенные арифметические операции над данными 114

3.2. Реляционные операции в расширенных (нечетких) базах данных 118

3.2.1. Операция выборки 118

3.2.2. Операция соединения 119

3.2.3. Операция проекции 120

4. Заключение 121 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122 ЛИТЕРАТУРА 123

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Проблема проектирования баз данных (БД) является в настоящее время объектом все возрастающего интереса широкого круга специалистов в различных областях науки и техники. Однако, во многих случаях, хранимая в БД информация не всегда точно отражает характеристики исследуемого объекта реального мира. Это объясняется рядом объективных и субъективных причин. Во-первых, рассматриваемый объект имеет сложную функциональную структуру, и исследователи не в состоянии полно ее выяснить. Во-вторых, в связи с объективными причинами, специалисты не имели возможности получить точную информацию, а получили только ее некоторую часть (т.е. неполную информацию). В-третьих, на практике бывает достаточно много атрибутов объекта, которые нельзя оценить количественными величинами, а только качественными. Такие типы данных часто встречаются в экспертных системах, системах принятия решений, и интеллектуальных БД. Поэтому в настоящее время в круг проблем проектирования нечеткой модели БД и методик обработки неточной и абстрактной информации вовлекается широкий круг пользователей информационных систем.

Достаточно много ученых рассматривает проблемы нечетких баз данных, особенно их реляционную модель. Ими были разработаны различные нечеткие модели реляционных баз данных. Они изложены, например, в работах: Buckles В.Р и Petry F.E. [66-72], Shenoi S. и Melton А. [116-120], Medina J.M. и Vila М.А. [101-102, 132], Lipski W.Jr. [96-97], Prade H. [109-111], Zemankova-Leech M. и Kandel A. [146], Umano M. [129-130], Ding-An Chiang, Lui R. Chow и Nan-Chen Hsien [79], Le Tien Vuong, Ho Thuan и Truong Due Hung [56, 94, 95, 149]. и т.д. Среди них нечеткие модели Buckles В.Р и Petry F.E., Shenoi S. и Melton А. более привлекают специалистов различных областей, благодаря их структуре, приближающейся к структуре человеческого мышления.

Благодаря работам многочисленных специалистов: Мартин Дж. [21], Мейер Д. [23], Дейт К.Дж. [10], Томас Коннолли и Каролин Бегг [45], Codd E.F. [76,77], Fagin R. [83-85], Maier D. [98], Armstrong W.W. [60]. и т.д., теория классических баз данных была достаточно развита с математической точки зрения. В то же время, нечеткая база данных рассматривается как обобщенная версия традиционной базы данных, иначе говоря, последняя является специальным случаем нечеткой базы данных. С одной стороны, теория нечетких баз данных, по-видимому, еще не закончена с математической точки зрения, и в ней остается немало вопросов, требующих решения. С другой стороны, области, к которым применимы нечеткие базы данных, разнообразны, кроме того, исследуемые объекты обычно имеют сложную функциональную структуру и для работы с ними требуются подходящие методы манипуляции нечеткими данными. Поэтому, проблема расширения нечеткой модели баз данных является актуальной. Среди трех основных моделей баз данных, наиболее простой и распространенной оказалась реляционная модель. Мы выбираем ее нечеткий аналог, чтобы проводить некоторые расширения.

Целью работы является уточнение и расширение нечетких реляционных моделей баз данных, в особенности модели Buckles и Petry и модели Shenoi и Melton. В основе исследования лежат такие вопросы, как нечеткое исчисление доменов, вполне определенности реляционной алгебры, нечеткие функциональные и многозначные зависимости и связанные нечеткие нормальные формы. Более того, опирая на результаты, полученные Medina, Pons и Vila [101, 102], ставится целью поиск одной группы операторов нечеткого сравнения между нечеткими значениями, с одной стороны и нечетким и четким значениям одного и того же домена, с другой стороны.

Аппаратом исследования служат: теория нечетких множеств, нечеткая логика, теория возможностей, теория проектирования реляционных баз данных, исчисление высказываний, исчисление предикатов, лингвистические переменные, теория графов и алгебра лингвистических неопределенностей (hedge algebras).

Научная новизна»

1. Исследована задача исчисления доменов (непроцедурный язык запросов) для основанной на отношениях близости нечеткой реляционной модели и показана компактность этого непроцедурного языка запросов.

2. Определен полный набор операций нечеткой реляционной алгебры в основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели и показано свойство вполне определенности каждой операции.

3. Продемонстрированы дополнительные правила вывода для нечетких функциональных зависимостей в основанной на классах эквивалентности реляционной модели. Исследованы в ней нечеткие многозначные зависимости и связанная нормальная форма для схем нечетких отношений.

4. Построена группа операций нечеткого сравнения в нечеткой реляционной модели баз данных и применены эти операции в командах реляционной алгебры. Определен новый метод хранения и обработки нечеткой информации.

Практическая ценность. Полученные во второй и третьей главе диссертации теоретические результаты могут использоваться при создании нечеткой базы данных и реализации нечетких запросов к ним. Результаты, развитые в четвертой главе, могут быть применены при проектировании баз данных для создания "хороших" нечетких моделей с помощью процедуры нормализации схем нечетких отношений. Результаты, полученные в пятой главе, могут быть использованы при хранении и обработке информации с различными уровнями точности.

Полученные нами результаты были реализованы в системе FAMEBASE 3.0 [149] и при проектировании информационной системы "Розыск уголовных преступников" (министерство внутренних дел СРВ).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры технологии программирования (2002г.), на 33-ой и 34-ой научных конференциях студентов и аспирантов факультета ПМ-Г1У, СПбГУ (4.2002,4.2003).

Публикация. Некоторые результаты содержатся в работах [147- 1ST].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка русской и зарубежной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе изучены некоторые вопросы, связанные с проблемой совершенствования общей теории нечетких реляционных баз данных: нечеткое исчисление доменов для нечеткой модели, основанной на отношении близости; свойство вполне определенности нечетких реляционных операций; НФЗ, НМЗ и связанные с ними нормальные формы; новый метод представления, хранения и обработки неточной информации. Важно отметить, что традиционная реляционная модель баз данных представляет собой специальный случай нечеткой реляционной модели, когда уровни точности информации на всех доменах отношения равны 1. Рассматриваемые нами модели, основанные на отношении подобия, отношении близости и классах эквивалентности, имеют простую и наглядную структуру и обладают удобными средствами для обработки неточной информации. Новый метод обработки данных, предлагаемый нами, также основан на понятии эквивалентности значений домена. Метод определения отношения подобия, отношения близости, отношения эквивалентности (классов эквивалентности) на каждом домене, зависит от конкретного практического применения. Ввиду сложности структуры, в теории нечетких баз данных требуется дальнейшее исследование ряда вопросов. Перечислим некоторые из них: изучение свойства соединения без потерь (зависимости соединения) и определение связанной с ним нормальной формы для схемы нечетких отношений; проблема безопасности данных, связанная с многоуровневой нечеткой реляционной моделью, которая была предложена в главе IV; оптимизация запросов и представления неточной информации; создание нечетких продукционных систем, в которых информации представлены набором правил "если нечеткие условия, то действия" и т.д.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководители, доц. С. Л. Сергееву за постоянное внимание, поддержку и помощь.

1. Аверин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта // Под ред. Д.А. Поспелова. — М.: Наука. -1986.-312 с.

2. Александров А.Л., Бойко В.В. Вейнеров О.М., Системы управления базами данных. М.: финансы и статистика. - 1984. - 224 с.

3. Алтунин А.Е., Востров Н.Н. Методы определения функций принадлежности в теории размытых множеств // Труды Записи, НИГНИ. Тюмень, вып. 154. - 1980. - С. 62-72.

4. Атре. Структурный подход к организации баз данных. М.: Финансы и статистика. - 1983. — 313 с.

5. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зинатне. -1982.-256 с.

6. Вольфегаген В.Э., Кузин Л.Т., Саркисян В.И. Реляционные методы проектирования банков данных. Киев: Вища Школа. - 1979. - 192 с.

7. Вольфегаген В.Э., Ящук В.Я., Вычислительная модель реляционной алгебры // Программирование. 1985. - № 5.

8. Гаврилов Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. С.-Петербург, Москва * Харьков * Минск. — 2001.

9. Гладун В.П. Процессы формирования новых знаний. София, 1994.

10. Дейт К. Дж., Введение в системы баз данных. — Москва-Санкт-Петербург-Киев. 2001. - 1071 с.

11. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение. М.: Мир. - 1986. - 165 с.12.3митрович А.И. Интеллектуальные информационные системы.- Минск: HT000 "ТетраСистемс". 1997. - 367 с.

12. Игнатенко Б.В. Языки манипулирования данными: модели и средства.- Киев: Вшца школа. 1984. - 125 с.

13. Кокорева Л.В., Малашинин И.И. Проектирование банков данных. М.: Наука. - 1984.-256 с.

14. Корнеев В.В., Гареев А.Ф. Васютин С.В., Райх В.В. Базы данных, интеллектуальная обработка информации. — М.: Издатель Молгачева С.В. 2001. - 494 с.

15. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь. -1982.-432 с.

16. Круглов В.В., Дли М.И. Годунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. — М.: Физматлит. 2001. — 224 с.

17. Кузнецов И.П. Семантические представления.- М.: Наука.-1986.-293 с.

18. Кузнецов С.Д. Введение в СУБД: ЧАСТЬ 4 // Системы Управления Базами Данных. № 4/95. - С. 114-122.

19. Макликов А.В. К вопросу определения функциональной зависимости между атрибутами отношений в реляционных базах данных // Программирование. 1978. - № 1.

20. Мартин Дж. Организация баз данных в вычислительных системах. -М.: Мир.-1980.-662 с.

21. Мартен Д. Базы данных: Практические методы. М.: Радио и связь. -1983.-168 с.

22. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. — М.: Мир. — 1987. 608с.

23. Медельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука. — 1971. -320 с.

24. Нагао М. И др. Структуры и базы данных. М.: Мир. - 1986. - 198 с.

25. Нейлор К. Как построить свою экспертную систему. М.: Энергофтомиздат. - 1991. — 228 с.

26. Некиодова Е.А., Цаленко М. Ш. Синтез логической схемы реляционной базы данных // Программирование. -1979.-№ 6.-С. 58-68.

27. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения // Под ред. P.P. Ягера. -М.: Радио и связь. 1986. - 408 с.

28. Нильсон Н. Принцип искусственного интеллекта. М.: Радио и связь.1985.-373 с.

29. Норвич A.M., Турксен И.Б. Построение функций принадлежности В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения // Под ред. P.P. Ягера. — М.: Радио и связь.-1986- С. 64-71.

30. Плесневич Г.С. Концептуальные языки и модели данных И Изв. АН СССР Тех. Кибернет. 1984. - № 5.

31. Поспелов Д.А. Данные и знания. Искусственный интеллект // В 3 кн. Кн. 1. М.: Радио и связь. - 1990. - С. 7-14.

32. Прикладные нечеткие системы // Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. М.: Мир. - 1993. - 368 с.

33. Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблемы выбора в условиях неопределенности. -М.: Наука. 1977. - 120 с.

34. Рыжов А.П., Аверкин А.Н. Аксиоматическое определение степени нечеткости лингвистической шкалы и ее основные свойства //Искусственный интеллект -90. Т. 1: П Всесоюзная конференция. — Минск. 1990. - С. 162 -165.

35. Сибдя М., Ямамото Т. Алгоритмы обработки данных. М.: Мир.1986.-218 с.

36. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир. - 1979. - 375 с. 43 .Столяров Г.К.Б Дрибас В.П. Факторы оценки и выбора систем управления базами данных. — Минск. — 1976 (Препринт/институт математики АН БССР, № 6(6)).

37. Тиори Т., Фран Дж. Проектирование структур баз данных. М.: Мир. -1985.

38. Томас Коннолли, Каролин Бегг, Анна Страчан. Базы данных, Москва-Санкт-Петербург-Киев. - 2000. - 1111 с.

39. Ульман Дж. Основы системы баз данных. М.: Финансы и статистика. -1983.-334 с.

40. Уэно X, Исидзука. Представление и использование знаний. М.: Мир. -1989.-220 с.

41. Форсайт Ф. Экспертные системы. Принципы работы и примеры. М.: Радио и связь. —1987.

42. Хаббард Дж. Автоматизированное проектирование баз данных. — М.: Мир.-1984.-293 с.

43. Хант Д. Искусственный интеллект. М.: Мир. - 1986.

44. Хейес-Рот Ф., Уотерман Д., Ленат Д. Построение экспертных систем. -М.: Мир.-1987.-441 с.

45. Цаленко М.Ш. Реляционные модели баз данных // В сб. Алгоритмы и организация решений экономических задач. М.: 1977, вып. 9. - С. 18 - 36, вып. 10. - С. 16 - 29.

46. Цаленко М.Ш. Семантические и математические модели баз данных. -М.: ВИНИТИ. 1985. - 207 с.

47. Цаленко М.Ш. Моделирование семантики в базах данных. М.: Наука. -1989.

48. Цикритзис. Модели данных. -М.: Финансы и статистика.- 1985.-343 с. 56.Чыонг Дык Хунт. Некоторые вопросы о базах данных с неполнойинформацией и приблизительном рассуждении при обработке запросов. — Ханой. — 1996. — 93 с.

49. Шопшн П.Б. Размытые числа как средство описания субъективных величин // В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. -М.: Наука. 1977. - С. 234 - 250.

50. Шошин П.Б. Размытые числа как средство описания субъективных величин // В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. -М.: Наука. 1977. - С. 234 - 250.

51. Ягер Р.Р. Множества уровня для оценки принадлежности нечетких подмножеств //В кн.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. М.: Радио и связь. — 1986. — С. 71 - 78.

52. Armstrong W.W. Dependency structures of database relationships // Proc. 1974 EFIP Congress. Amsterdam, North-Holland. - P. 580 - 583,

53. Baldwin J.F. Knowledge engineering using a fuzzy relational inference // Proc. IF AC conf. On Fuzzy Information, Knowledge Representation, and Decision Processes. — Marseille, France. — 1983. — P. 15 — 23.

54. Baldwin J.F., Zhou S.Q. A Fuzzy relational inference language // Fuzzy Sets and Systems.-1984.-V. 14.-P. 155-174.

55. Been C., Fagin R., Howard J.H., A complete axiomatization for functional and multivalued dependencies in database relations // SIGMOD-77. 1977. - P. 47-61.

56. Bose D., Gelibourg M. Fuzzy querying with SQL extention and implementation aspects // Fuzzy Sets and Systems. 1988. - V. 28. - P. 333 -349.

57. Bosc P., Dubois D., Pivert O., Prade H., On the connection between fuzzy functional dependencies and redundancy // EUFIT'96 1996- P. 803-805.

58. Buckles B. P. and Petty F.E. A Fuzzy representation of data for relational databases // Fuzzy Sets and Systems. 1982. - V. 7, N 3. - P. 213 - 226.

59. Buckles B. P. and Petry F.E. Fuzzy databases and their applications // in Fuzzy Information and Decision Processes (M.M. Gupta and E. Sanchez, Eds.). North Holland. - 1982. - P. 361 - 371.

60. Buckles В. P. and Petry F.E. Information-theoretic characterization of fuzzy relational databases // IEEE Trans, Systems Man Cybernet SMC-13, N 1. -1983.-P. 74-77

61. Buckles B. P. and Petry F. E. Extending the fuzzy database with fuzzy numbers // Inform. Sci. 1984. - V. 34, N 2. - P. 145 - 155.

62. Buckles B.P. and Petry F.E., Security and fuzzy databases // in Proceedings of the IEEE international Conference on Cybernetics and Society. Seattle, Oct. 1982.

63. Buckles B.P., Petty F.E., Uncertainty models in information and database systems // Inform. Sci. 1985. - V. 11. - P. 77 - 87.

64. Buckles B. P. and Petry F. E., Sachar H. S. A domain calculus for fuzzy relational database // Technical Report CSE TR-85-006, Department of Computer Science and Engineering, University of Texas at Arlington.-1985.

65. Bose D., Gelibourg M. and Hamon G. Fuzzy querying with SQL extensions and implementation aspects // Fuzzy Sets and Systems (FS & S). 1988. — V. 28.-P. 333-349.

66. Cayrol M., Farreny H. and Prade H. Possibility and necessity in a pattern matching process // in Proceeding of the Ixth International Congress on Cybernetics. -Namur, Belgium, 8 13, Sept., 1980. - P. 53 - 65.

67. Cayrol M., Farreny H. and Prade H. Fuzzy pattern matching // Kybernetes. — 1982.-V. 11.- P. 103-116.

68. Codd E.E. Extending the database relational model to capture more meaning // ACM Trans. Database systems. 1979. - V. 4. - P. 397- 434.

69. Codd E.R. A relational model of data for large shared data banks // Commun. ACM 13, N 6. 1970. - P. 377 - 387.

70. Desai B.C. An Introduction to Database Systems // West Publishing Company. USA. - 1990.

71. Ding-An Chiang, Luis R. Chow, Nan-Chen Hsien. Fuzzy information in extended fuzzy relational databases // FS & S. 1997. - V. 92. - P. 1 - 20.

72. Dubois D. and Prade H. Fuzzy real algebra: Some results // Fuzzy Sets and Systems. 1979. - V. 2, N 4. - P. 327 - 348

73. Dubois D. and Prade H. Operations on fuzzy numbers // Internat. J. Systems. Sci. 1978. - V. 9, N. 6. - P. 613 - 626.

74. Dubois D. and Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and applications. -Academic. -1980.

75. Fagin R. Multivalued dependencies and a new normal form for relational databases // ACM Trans. Database Systems.- 1977.-V. 3, N 2.-P. 262- 278.

76. Fagin R. A normal form for relational databases that is based on domains and keys // ACM Trans. On Databases Systems. V. 6, N. 3. - P. 387- 415.

77. Fagin R. and Vardi M.Y. The theory of data dependencies a survey // in Mathematics of Information processing (M. Anshel and W. Gewirts, Eds.), Symposia in Applied Mathematics 34. - P. 19 - 72.

78. Giardina C., Sack I., Sinha D. Fuzzy Field Relational Database // Tech. Report 8332, Elect. Engng. and Computer Science Dept., Stevens Institute of Technology, Hoboken, NJ, October 1983.

79. Gu Т., Dubuisson B. Similarity of classes and fuzzy clustering // Fuzzy Sets andSystems.- 1990.-V. 34.-P. 213-221.

80. H0 N.C., Wechler W. Hedge algebras: an algebraic approach to structures of sets of linguistic domains of linguistic truth variable // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - V. 35. - P. 281 - 293.

81. Ho N.C., Wechler W. Extended hedge algebras and their application to fuzzy logic // Fuzzy Sets and Systems. 1992. - V. 52. - P. 259 - 282.

82. Kadel A. Fuzzy Mathematical Techniques with Applications. — Addison-Wesley. -1986.

83. Kent W. A simple guide to five normal forms in relational database theory // Communi. ACM. 1983. - V. 26. - P. 120 -125.

84. Kocprzyk J. and Ziolkowski. Database queries with fuzzy linguistic quantifiers // IEEE Trans. Systems Man. Cybernat. SMC-16. 1986.

85. Koczy L.T., Hirota К. Ordering, distance and closeness of fuzzy sets // FS & S. 1993. - V. 59. - P. 281 - 293.

86. Le Tien Vuong and Ho Thuan. Retrieval from fuzzy database by fuzzy relational algebra // MTA SZTAKI Kozlemenyek. -Budapest.-1987.- V. 37.

87. Le Tien Vuong, Ho Thuan. A Relational database extended by application of fuzzy theory and linguistic variables // Computers and Artificial Intelligence. 1989. - V. 8, N2.

88. Lipski W. Jr. On semantic issues connected with incomplete information databases // ACM Trans. Databases Systems 1979.-V. 4, N 3-P. 262-296.

89. Lipski W. Jr. On databases with incomplete information // J. Assoc. Comput. Mach. 1981. - V. 28, N 1. - P. 41 - 70.

90. Maier D. The Theory of Relational Databases // Computer Science Press. -Rockville, Md. -1983.

91. Martin Spott. A theory of possibility distributions // Fuzzy Sets and Systems. 1999. - V. 102. - P. 135 - 155.

92. Medelzon A.O. On axiomatizing multivalued dependencies in relational databases // J. Assoc. Сотр. Mach. 1979. - V. 1, N 26. - P. 37- 44.

93. Medina J.M., Vila M.A. Towards the implementation of a generalized fuzzy relational database model // FS & S. 1995. - V. 75. - P. 273 - 289.

94. Medina J.M., Vila M.A and Pons O. GEFRED A Generalized model of fuzzy relational database // Inform. Sci. - 1994. - V. 76. - P. 87- 109.

95. Mizumoto M. and Tanaka K. Some properties of fuzzy numbers // in Advances in Fuzzy Set Theory and Applications (M. Gupta, R Ragade, and R. Yager, Eds.)-North-Holland, New York.-1979.-V. 7-P. 153-164.

96. Mizumoto M. Note on the arithmetic rule by Zadeh for fuzzy Conditional inference // Cybernetics and systems. 1981. - V. 12.

97. Mizumoto M., Zimmermann H.J. Comparison of fuzzy reasoning methods // Fuzzy Sets and Systems. 1982. - V. 8. - P. 253 - 283.

98. Morrissey J.M. Imprecise information and uncertainty in information systems // ACM Trans. Inform. Systems. 1990. - V. 8. - P. 159 - 180.

99. Nakata M, Dependencies in fuzzy databases: multivalued dependency // ШЕЕ Int. Conf. Fuzzy Systems. -1996, FUZZ-IEEE 96, to appear.

100. Pedrycz W. Direct and inverse problem in comparison of fuzzy data // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - V. 34. - P. 223 - 235.

101. Prade H. Lipski's approach to incomplete information databases restated and generalized in the setting of Zadeh's Possibility Theory // Inform. Systems.-1984.-V. 1,N9.

102. Prade H. The connection between Lipski's approach to incomplete information data bases and Zadeh's Possibility Theory // Proc. Int. Conf. Systems Meth. 1982. - P. 402 - 408.

103. Prade H. and Testemale C. Generalizing database relational algebra for the treatment of incomplete or uncertain information and vague queries // Inform. Sci. 1984. - V. 34. - P. 115 - 143.

104. Raju K.V.S.V.N., Majumdar A.K. Fuzzy functional dependencies and lossless join decomposition of fuzzy relational database systems // ACM Trans. Database Systems. 1988. - V. 13. - P. 129 - 166.

105. Sachar H., Theoretical aspects of design of and retrieval from similarity-based relational database systems // Ph.D. Dissertation. 1986, University of Taxas at Arlington, TX, USA.

106. Saxena P.C. and Tyagi В. K. Fuzzy functional dependencies and independencies in extended fuzzy relational databases model // Fuzzy Sets and Systems. 1995. - V. 69. - P. 65 - 89.

107. Sergei Ovchinnikov. Similarity relations, fuzzy partitions, and fuzzy orderings // Fuzzy Sets and Systems. 1991. - V. 40. - P. 107 - 126.

108. Shenoi S. and Melton A. Proximity relations in the fuzzy relational database model // Fuzzy Sets and Systems.-1989.-V. 31, N 3-P. 285-296.

109. Shenoi S. and Melton A. An extended version of the fuzzy relational database model // Inform. Sci. 1990. - V. 52. - P. 35 - 52(.

110. Shenoi S., Melton A. Proximity relations in the fuzzy relational database model // Inform. Sci. 1990. - V. 52. - P. 35 - 52.

111. Shenoi S., Melton A. and Fan L. T. An equivalence classes model of fuzzy relational databases // FS & S. -1990. V. 38. - P. 153 - 170.

112. Shenoi S., Melton A. and Fan L. T. Functional dependencies and normal forms in the fuzzy relational database model // Information sciences. -1992.-V. 60.-P. 1-28.

113. Tahani V. A conceptual framework for fuzzy queries processing a step toward very intelligent database system // Inf. Proc. Manager. - 1977. - V. 13.-P. 289-303.

114. Tanaka H., Fan L.T., Lai F.S. and Toguchi K. Fault tree analysis by fuzzy probability // IEEE Trans. Reliability R-32, N 5. P. 453 - 457. - 1983.

115. Tanaka S., Higuchi S. and Tanaka K. Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE Trans. Sys. Man Cybernet. SMC-1, N l.-P. 61-66.-1971.

116. Tanaka H., Fan L.T., Lai F.S. and Toguchi K. Fault tree analysis by fuzzy probability // IEEE Trans. Reliability R-32, N 5. P. 453 - 457. -1983.

117. Tripathy R.C., Saxena P.C., Multivalued dependencies in fuzzy relational databases // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - V. 38. - P. 267 - 279.

118. Ullman J. D. Principles of Database and Knowledge-Base Systems // Computer Science Press. 1989. -V. 1,2.

119. Ullman J. D. Principles of Database Systems // Computer Science Press, Rockville, Md. -1982.

120. Ullman J. D. Principles of Database Systems // 2nd edition (Computer Science Press, Rockville, MD. 1983).

121. Umano M. FREEDOM-O: A fuzzy database system // in Fuzzy Information and Decision Processes (М.М/ Gupta and E. Sanchez, Eds.). — North-Holland. P. 339 - 347.

122. Umano M. Representation and manipulation of fuzzy data // Diss. Osaka univ.-Japan 2/1979.

123. Vassiliou Y. Functional dependencies and incomplete information // in Proceedings of theVI-th International Conference on Very Large Databases. Montreal, Oct. 1980. - P. 260 - 269.

124. Vila M. A., Cubero J.C., Medina J.M., Pons O. On the use of logical definition of fuzzy relational database // IEEE Conf. On Fuzzy Systems. -1993.

125. Wei-Yi Liu. The fuzzy functional dependency on the basis of the semantic distance // Fuzzy Sets and Systems. 1993. - V. 59. - P. 173 - 179.

126. Winston P.H. Artificial Intelligence. Addison-Wesley. - 1977.

127. Wong E. A statistical approach to incomplete information in database systems // ACM Trans. Database Sys. 1982. - V. 7, N 3. - P. 470 - 488.

128. Yager R.R. On the selection of objects having imprecise qualities // MII-305, Iona, College, New Rochelle, N.Y. 1982. - 28 p.

129. Yager R.R. On the lack of inverses in fuzzy arithmetic // Fuzzy Sets and Systems. 1980. - V. 4, N 1. - P. 73 - 82.

130. Yazici A., G5cmen E., Buckles B.P., George R., Petry F.E. An integrity constraint for a fuzzy relational database // Proc. IEEE Int. Conf. Fuzzy Systems. 1993, Fuzz-IEEE 93. - P. 496 - 499.

131. Yazici A., Sozat M.I. A complete axiomatization for fuzzy functional and multivalued dependencies in fuzzy database relations // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — V. 117.-P. 161-181.

132. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy ordering // Inform. Sci. — 1971. -V. 3, N 2. — P. 177-200.

133. Zadeh L.A. Fuzzy set // Inform, and Contr. 1965. - V. 8. -P. 338 - 353.

134. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theoiy of possibility // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - V. 1, N 1. - P. 3 - 28.

135. Zadeh L.A. Fuzzy algorithms // Inform. & Contr.-1968.-V.12.-P. 94-102.

136. Zadeh L.A. Fuzzy logic and approximate reasoning // Synthese. — 1975. — V. 30.-P. 407-428.

137. Zadeh L.A. PRUF: A meaning representation language for natural language // Internat. J. Man-Machine Studies. 1978.-V. 10 - P. 395-460.

138. Zemankova-Leech M. and Kandel A. Fuzzy Relational Databases A Key to Expert Systems // Verlag TUV Rheinland. - Cologne, Germany. - 1984.

139. Лыу Дык Кхам. Реляционная алгебра для основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели баз данных // Журнал "Информация о горной технологии" Ханойский институт горной технологии. - 2003, № 2. - С. 9-11.

140. Лыу Дык Кхам. Операторы сравнения в нечетких реляционных базах данных // Труды ХХХШ-ой научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. С.-Петербург. -2002г. -С. 387- 391.

141. Лыу Дык Кхам, Чыонг Дык Хунт, Ле Тиен Выонг и др. Реляционная система управления базами данных FAMEBASE 3.0 (на вьетнамском языке). — Ханой. — 2000. 256 с.

142. Лыу Дык Кхам, Сергеев С. Л. О многозначных зависимостях в основанной на классах эквивалентности нечеткой реляционной модели баз данных // Деп. в ВИНИТИ 29.05.2003, № 1042-В2003. -9 с.

143. Лыу Дык Кхам, Сергеев С. Л. Множество правил вывода для функциональных зависимостей в нечеткой реляционной модели баз данных // Деп. в ВИНИТИ 29.05.2003, № 1041-В2003. 9 с.