автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нечеткие граф-схемы в задачах распознавания образов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Казаков Дмитрий Александрович

НЕЧЕТКИЕ ГРАФ-ОХЕНН В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной

техники, математическгд'о моделирования и математичэсжих методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ" диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном электротехническом университете имени В.И.Ульянова (Ленина).

Научный руководитель -

кандидат технических наук доцент Геппенер В.В.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Кокаев О.Г.,

кандидат технических наук Титов М.С.

Ведущая организация -

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации

Защита состоится " " исжрта. 1993 г. в /(Р*1® час. на заседании специализированного ' совета К 063.36.12 Санкт-Петербургского Государственного электротехнического университета имени В.И.Ульянову (Ленина) по адресу: . 197376, Санкт-Петербург, ул.Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " " 19 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Балакин В.Н.

1 ; Общая характеристика работы

Актуальность хеш. Растущие мощности современных вычислительных систем постоянно расширяют круг практических задач, решение которых возможно с использованием средств искусственного интеллекта и распознавания образов. При этом, применяются все более сложные модели, призванные описывать явления, для которых затруднительно получить количественные характеристики. Неопределенность информации в системе распознавания вызывается как неточностью измерительной аппаратуры, так и тем, что часто в качестве таковой выступает человек, что особенно характерно для экспертных систем. Неполнота является неотъемлемым дополнением любой информации, поступающей в систему. Основные методы учета неполноты информации могут быть отнесены к следующим трем категориям: вероятностные, эмпирические и нечеткие.

Использование вероятностного подхода к распознаванию образов затрудняет то, что требования налагаемые на признаки часто оказываются невыполнимыми. Вероятностное пространство (в конечном случае) состоит из элементарных событий, считающихся несовместными. Это обусловливает ту особую роль, которую играют в статистической теории . независимые случайте величины и, соответственно, независимые признают. В реальной же ситуации, признаки почти всегда взаимозависимы. В большинстве моделей используется предположение нормальности распределения признаков, в то время как, обычно, признаю! не распределены по какому-либо хоропо известному закону. Часто бывает трудным или невозможным получение выборки достаточного объема, для того, чтобы статистические оценки были достоверными. Кроме того, в вероятностном подхода оченьЛ- сложно описать факт отсутствия информации.

Что касается эмпирических методов, таких как факторы уверенности экспертной системы MYCIN и их развитие в системе Intersensor, или байесовский подход оценки свудетельств (PROSPECTOR), то не известны границы их применимости.

С другой стороны, теория нечетких множеств, сформулированная Л.А.Заде четверть века назад, предлагает естественный аппарат для представления, таких понятий теории распознавания образов, как объект и класс, «размытость» которых не обязательно должна выражаться в случайности. Классы и объекты, в конечном итоге, интуитивно определяются наблюдателем, в воображении которого они представляются скорее нечеткими нежели случайными. Альтернативой теории вероятности является теория возможностей, развиваемая с 50-х годов. В отличии от вероятностного пространства, возмокностное строится из взвимно вложенных .^уг в друга событий, что хорошо соответствует стратегии классификации «сверху-вниз», когда каждый шаг классификации все более' сужает рассматриваемую область пространства образов, предполагая иерархичность <5го строения. э .

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов использования теории нечетких множеств и теории возможностей в задачах распознавания образов. При этом, основное внимание было уделено деревьям решений. Деревья решений это универсальное средство представления знаний, близкое к продукциям. Наиболее широко используемые до сих пор четкие и ' вероятностные .деревья решений сужают . возможности методов распознавания из-за неадекватности детерминистских и вероятностных моделей. Выше сказанное делает актуальным использование нечетких деревьев. К деревьям решений тесно примыкает понятие граф-схемы, предложенное впервые для описания алгоритмов Л.А.Калужининым в 1959г. Граф-схемы оказались эффективным средством представления решающих правил.

В связи с этим, представляется актуальным применение теории нечетких множеств и теории возможностей для обобщения понятия граф-схемы при исследовании и разработке инструментальных средств решения задач распознавания, ориентированных на использование нечетких данных.

Цель и задачи работы. Целью работы является исследование алгоритмов и методов реализации системы нечеткого обучения на основе использования граф-схем и теории возможностей,

удовлетворяющей следующим требованиям:

- возможности использования нечетких обучающих примеров;

- допустимости противоречивых обучающих примеров;

- возможности отсутствия значений некоторых признаков как на этапе обучения, так и при распознавании;

- возможности использования взаимозависимых признаков;

- допустимости одновременного использования как четких, так и нечетких представлений данных.

В соответствии с указанными целями работы, в диссертации решены следукцпе задачи:

1. Получена фор,ильная постановка задачи нечеткого обучения с учителем в терминах теории возможностей.

2. Разработаны алгоритмы и методы построения нечетких классификаторов на основе нечетких граф-схем.

3. Разработаны архитектура и программная реализация системы нечеткого обучения.

?.?этоды исследования. Для решения указанных задач -используется аппарат теории нечетких множеств Заде, теории возможностей,■ теории Демпстера-Шейфера и системы программирования языка Ada.

Научной новизной работы являются:

1. Обобщение понятия граф-схемы принятия решения на основе использования:

- пары граф-схем, одна из которых оценивает возможности, а другая - необходимости принадлежности классифицируемого объекта классам;

- нечетких множеств в качестве весов дуг;

- условных возможностей и необходимостей в качестве факторов уверенности переходов по дугам граф-схемы.

2. Разработка метода построения нечеткой граф-схемы по нечеткому обучающему множеству и его исследование.

3. Метод бинаризации признаков с упорядоченными шкалами и его использование при построении граф-схемы.

4. Метод дообучения и изменения порядка проверки признаков, при поступлении дополнительных обучающих примеров.

Практическая ценность.

1. Разработан конкретный алгоритм ' построения нечеткой граф-схемы.

2. Разработана программная система нечеткого обучения на основе граф-схем, реализующая алгоритм нечеткого обучения, базу знаний обучения, объектно-ориентированное меню, экранный редактор обучающих множеств, подсистемы импорта обучающих множеств и просмотра структуры классификаторов.

3. Разработан пакет прикладных программ построения диалоговых систем, включающий методы редактирования строк, сопоставления образцов, «обработки файлов, интерпретации инфиксных выражений.

Внедрение результатов работы. Теоретичешсие и практические результаты диссертационной работы использовались в хоз договорной научно - исследовательской работе НИР МО-58 по. разработке экспертной системы поддержки работы оператора специализированного радио - технического комплекса, -выполненной на кафедре математического обеспечения и применения ЭВМ ЛЭТИ им. В.И-.Ульянова /Ленина/ в 1990 - 1991гг, а так же в НИР по разработке коммплексной системы классификации сигналов, выполненной по договору с Россйским НИИ' космического приборостроения в 1991 - 1992гг.

Апробация работа. Основные положения и результаты диссертационной работа докладывались на научно - практических конференциях ЛЭТИ им. В.И.Ульянова /Ленина/ в 1989 - 1.991гг., на 5-м Ленинградском симпозиуме по теории адаптивных ' систем, 1991, на межотраслевом научно - техническом семинаре «Разработка архитектуры и программного обеспечения вычислительных систем обработки информации в реальном врекея!, использующих микромощную элементную базу», г.Ленинград 1991 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объеи работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав с выводами, заключения. Основная часть работы изложена на 139 страницах машинописного текста. Работа содержит 37 рисунков, 4 таблицы. Список литературы включает мн-пменовашй.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования.

В первой главе рассматривается современное представление о концепции неопределенности в системах обработки информации. Приводится обзор работ, посвященных этому вопросу. Обосновывается недостаточность чисто вероятностного описания неопределенности. Анализ попыток статистического описания ■описания неопределенности показывает, что неопределенность не сводится только лишь к случайности. Т.е. помимо случайной компоненты в неопределенном событии содержится нечеткая составляющая. -

В разделе 1.1. обсуздается вопрос о мере неопределенности. Описывается алгебра нечетких множеств, основные операции над нечеткими множества®! и их интуитивно очевидные свойства. Затрагивается вопрос.о фундаментальности уровней принадлежности нечеткого множества, т.е. о невозможности их определения иначе, чем аксиоматическим путем.

В разделе 1.2. рассматривается понятие нечеткого случайного события. Концепция нечеткого случайного события призвана соединить вместе случайную и нечеткую составляющие неопределенности. Приводится обзор различных подходов к описанию нечетких случайных событий. Работы в этой области ведутся по трем основным направлениям.

Теория нечеткой меры пытается обобщить теорию вероятностной меры на нечеткие множества. Можно ввести нечеткую а-алгебу и меру для множества нечетких подмножеств. К этому же

- б -

напрвленюо относится теория нечетких интегралов Суджено и соответствующая ей Я-нечеткая мера. Основным недостатком данного направления является интуитивно очевидное желание, чтобы мера нечеткого множества элементарных событий была нечетким числом из СО»13. Попытку решения данного вопроса представляет собой теория нечетко-значных мер Хеле. Однако и нечеткие числа Хеле не решают проблемы окончательно, так как они не являются нечеткими числами в строгом.смысле.

.Второе направление связано с теорией возможностей. Теория возможностей Заде представляет собой .«экстремисткий» подход, . сводящий всю неопределенность лишь к нечеткой ее составляющей. С этой точки зрения теория возможностей - прямая альтернатива теории вероятности, йэ несмотря / на свою, очевидную, неадекватность реальному положению вещей, теория возможностей имеет ряд существенных достоинств. Так как основные, результаты теории возможностей имеют вид неравенств, они . сохраняют свою силу дажз при значительном вкладе- случайности (за счет огрубления результата). Важный случай - полное отсутствие информации легко выражается .средствами теории возможностей, тогда как при вероятностном подходе Он в принципе не может быть описан, ибо полное незнание соответствует чисто ■ нечеткой составляющей неопределенности (аналогично, равновероятные, исхода невозможно описать средствами теории возможностей). -

Третье направление -теория Демпстера-Шейфера. Эта теория рассматривает пространство элементарных событий, структурированное в виде набора «фокальных элементов». Таким образом, если случайность описывается несовместными элементарными событиями, то нечеткость проявляется в незнании распределения вероятности внутри фокальных элементов. Поэтому с кавдым событием можно связать лишь верхнюю и нижнюю оценки его вероятности. При определенных условиях теория Демпстера-Шейфера может перейти как в теорию вероятностей так и возможностей. К сожалению в теории Демпстера-Шейфера нельзя без привлечения дополнительных предположений определить верхние и нижние вероятности пересечения или объединения событий. По этой причине разумно использовать смешанный подход с привлечением теории возможностей.

Во второй главе приводится обзор способов использования деревьев решений в задачах распознавания. Деревья решений удобны как для представления так и для использования знаний. По этой причине опи черезвычайно широко распространены в практике распознавания образов. В главе дается возможно более общее определение дерева решений и классификация деревьев решений на его основе.

В разделе 2.1. приводится классификация существующих тщов деревьев решений:

- классические четкие деревья.решений;

- вероятностные деревья;

- деревья возможностей (тах-ш1п деревья);

- деревья,необходимостей (т1п-тах деревья).

В разделе 2.2. обсукдается вопрос использования деревьев решений в' задаче обучения. Деревья решений' применяются в основном для логических , алгоритмов. Основной недостаток' последних - их жесткое поведение - может быть устранен при использовании нечетких деревьев решений. Однако основные усилия в этом направлении связаны с'вероятностными"деревьями, невзирая на очевидное противоречие меаду желанием отказаться от статистических методов распознавания в пользу логических и стремлением дать последним вероятностную интерпретацию за счет использования именно вероятностных деревьев.

В разделе Ё.З..'рассматривается" метод обучения на основе гр^ф-схем. Граф-схемы первоначально возникли как метод описания алгоритмов. Далее, они были использованы в задачах распознавания образов, в этой области они мало чем отличаются, от . деревьев решений,.однако сам термин является достаточно устоявшимся. Предлагаемый метод обучения модифицирован для использования бинаризованных признаков. -

Третья глава посвящена использованию теории возможностей в задаче нечеткого обучения с учителем.

В разделе 3.1. вводятся понятия нечеткого события, класса и признака. Признаки рассматриваются как нечетко-значные отстранения пространства элементарных событий на пространство описаний. В -качестве меры- нечеткого случайного события используется пара возможность-необходимость. Обсуждается вопрос

оценки условных возможностей и необходимостей нечетких событий по их нечетким признакам.

В разделе 3.2. формулируется задача нечеткого обучения с учителем: Пусть:

(Q,a(fl) ,Р)

- вероятностное пространство над конечным Q.

- множество нечетких признаков iV

с совместным распределением х:П->Г0,1] , задающим пространство нечетких признаков {f=[0,1]D, где D= П Dt- Для любого нечеткого события qeC0,13n его образ в % есть x(q):

VutD i(q)Cd) = Sup maxiq(cj) ,x(cj,d)} . ucn

множество нечетких классов p-* :П-»Ш, 1 ].

обучающее множество:

{pJ>

L =

ri^l Kbl

ЦК?')] ' L Hj J J \г

множество пар, где первый элемент задает образы нечеткого события о1 и его дополнения 5г, второй - нечеткие множества С* и , описыващкз распределения возможностей и необходимостей принадлежности данного обучающего примера классам.

Требуется:

Построить по Ъ нечеткое решающее правило, ставящее в соответствие некоторому нечеткому элементу пространства нечетких описаний 5 = П [0,1 пару распределений возможностей и необходимостей над классами, оптимальное в некотором смысле. Мы не будем уточнять слово «оптимальное», отметим . лишь, что целые области в теории распознавания образов порождаются различными вариантам! его толкования. Данная постановка задачи соответствует случаю, когда «учитель» не выбирает примеры из классов, а наблюдает самопроизвольно происходящие события, оценивая их признаки и классифицируя их с помощью идеального классификатора, который в силу нечеткости событий и возможного пересечения классов не может быть уверен на все 100%.

Первый шаг решения задачи нечеткого обучения исслодоваакие нечеткого аналога метода эталонов. В качестве

о

такового предлагается решающее правйло типа «перечисления». Доказывается, что существуют нечеткие «образы» классов,

однозначно определяющие такого правила:

результат классификации при помощи

= и х(ч) и = и х(я)

<з€0

чесЗ;

где

Qj - множество всех прообразов обучающих- примеров, относимых обучающим множеством к классу р-*. Далее для образов классов вводится метрика и доказывается, что расстояние между образами двух классов равняется максимальному расхождению классификаций основанных на них' решающих правил. В конце раздела доказывается, что поведение правила4 типа . «перечисления» полностью определяется тем, как оно -классифицирует точечные объекты.

В разделе 3.3. рассматривается проблема зависимости нечетких признаков. Доказывается оценка для условных сдбытий в случае нескольких признаков. Далее показывается, что эта оценка улучшается, если при.определении значения некоторого признака используется информация о значениях. ранее определенных признаков. Таким образом, при использовании теории возможностей проблема зависимости признаков стоит не так остро, как в статистической теории распознавания.

Б разделе 3.4. формулируется задача нечеткого обучения с учителем для случая нескольких признаков. В этом случае обучающее множество будет иметь вид:

Ь =

х,(я1)1 х2(я1), ... , Vе*1 >

I

Конструируется и исследуется правило типа этого случая:

Е(у)={с(%|у);Щр^|у)} _

«перечисления» для

,где

Йг и П х.(я) сее, с

г и Л , у г П у{ € 10.1х Ъ

«Ъ «

Как и ранее Q^ - множество прообразов обучающие примеров, относимых обучающим множеством' к классу р^.

Важным моментом является то, что пространство нечетких описаниий g заменено здесь на пространство нечетких признаков 5, т.е. правило типа «перечисления» выдает одинаковые результаты для классов эквивалентности в

У = { У I П у, = const } 1

Далее выявляются условия эквивалентности обучающих множеств с точки зрения классификации в 'условиях версификации ириьиалим и иампл множеств, дли этого, вводится понятие эквивалентности обучающих множеств п доказывается, что малые изменения значений признаков обучающих примеров и классифицируемых объектов ведут к малым изменениям результатов классификации.

Четвертая глава посвящена решению задачи нечеткого обучения с помощью аппарата нечетких граф-схем.

В разделе 4.1. понятие граф-схеш обобщается" на. нечеткий случай. Нечеткая граф-схема это пара функций, ставящих в соответствие некоторому объекту нечеткий граф. Одна из них называется граф-схемой возможностей, другая - необходимостей. Каждый уровень граф-схемы, кроме последнего, проверяет тот или иной признак. Дуги нечеткой граф-схемы- взвешены нечеткими множествами. При фиксированных значениях нечетких признаков, условная возмножность (необходимость) веса дуги используется в качестве веса дуги в соответствующем max-min (mln-иах) дереве, транзитивное замыкание которого дает распределение возможностей (необходимостей) классов.

Далее рассматривается поведение граф-схемы в. качестве классифицирующего правила. Показывается, что любые образы классов в пространстве признаков могут быть описаны при помощи некоторой нечеткой граф-схеш. Доказывается аддитивность граф-схемы по объединению. Рассматривается метод приведения нечеткой граф-схеш к каноническому виду, когда дуги, исходягзае из узлов всех уровней, кроме предпоследнего являются четкими, а вся нечеткость сводится, в дуги, выхоядящие, из узлов предпоследнего уровня. Предлагается использовать его для

машинной реализации. 1

В разделе 4.2. рассматривается вопрос обучения с учителем. Проблема обучения рассматривается с позиции модификации соответствующим способом образов классов, порождаемых обучающим множеством. Множество значений признаков Б метризуется следующим образом. Пусть области значений каждого из признаков х{ метризованы и соответствующие метрики. Пусть 0Б{-

диаметр^:

0й1 ч Бир й1(а{,Ь{) -ь>\

Тогда метрика 3 будет тлеть вид:

я

Уа.ЬеБ И(о.Ь) г £ >

1=1 Ь=1+1

Данная метрика может использоваться для нечеткого аналога правила ближайшего соседа. Рассматривается алгоритм построения граф-схемы, реализующей подобный классификатор.

В разделе 4.З.' обсуадаются различные вопросы, связанные с преобразованием признаков. Так как последовательная дисциплина опроса признаков приводит к неравноправию признаков, предлагается бинаризовать признаки, в тех случаях, .когда признаки слабо различаются по ¡информативности. При этом, можно опрашивать разряды двоичного представления значений признаков в порядке старшинства. Бинаризация признаков может использоваться и для углубления обучения за счет более мелкого дробления пространства признаков. Операция бинаризации признака х{ ввддит на В1 метрику вида:

1оз1п1I 1ов|Л.|-Ь

л;(о4.Ь4) = I \а1к-Ъ1к\-2 к=1

Она может не совпадать с естественной метрикой в том смысле, что точки, ближайшие по (1{ и к некоторой другой точке Б{, могут оказаться различными. Например, если Б{ есть натуральные числа (1,2,3,4,5}, то согласно й* 1 ближе к 5, чем к 4: а*(1.5) = с1{ (0012,1012)- = 4<5 = (1|(001^,1002) = Поэтому, в

случае, когда область значений признака обладает естествчн-'Ь'ч

порядком необходимо использовать согласованную с 'ним метрику, удовлетворяющую требованию Ма1,Ъ1,с1^р1 а1<Ь1^с1 => d*(a{,bt)cd*(at,ct). Доказывается, что такой согласованной метрикой является метрика вида:

Va{,ö{eD{ dj(at.öt) =

I Ч.-Л*)-4 { к=1

Далее вносятся необходимые изменения алгоритма построения нечеткой граф-схемы в случае бшаризации линейно-упорядоченных признаков.

Затем рассматриваются различнее способы предобработки исходных данных в случае, когда источник информации не соответствует принятой модели нечеткого обучения (в частности -при вероятностных данных).

В разделе 4.4. обсуждается проблема дообучения и изменения порядка проверки признаков. Необходимость дообучения может быть вызвана поступлением новых обучающих примеров. Возможность изменения порядка проверки признаков важна, если информативность признаков априорно не известна. Предлагаются соответствующие алгоритмы.

3 разделе 4.5. приводится пример построения граф-схемы возможностей вручную.

Пятая глава появящена реализации ' системы нечеткого обучения на основе граф-схем.

В разделе 5.1. обосновывается выбср системы программирования языка Ada в качестве инструментального средства разработки системы нечеткого обучения.

В разделе 5.2. приводится обоснование использования операционной системы VAX/VMS в качестве среди разработки и функционрования системы нечеткого обучения.

В разделе 5.3. рассматриваются особенности реализации системы: способы реализации алгебры нечетких множеств, внутреннее представление граф-схемы в памяти ЭВМ и другие проблемы.

В разделе 5.4. описывается структура системы нечеткого обучения - ее функциональные части и структура базы знаний.

В разделе 5.5. рассматривается организация диалога в

системе нечеткого обучения с помощью объектно-ориентированного меню.

• В разделе 5.6. приводится синтаксис языка описания обучающих множеств для импортирования их в систему без использования средств ручного редактирования.

В разделе 5.7. оценивается, объем оперативной памяти, требующейся для функционирования системы нечеткого обучения. Показывается, что под управлением VAX/VIäS объем ' обучающего множества ограничен, практически,, лишь быстродействием.

В разделе 5.3. рассматривается экспериментальная оценка производительности системы нечеткого обучения при различных объемах обучающих множеств и количествах признаков.

Б раздела 5.9. проводится сравнение системы нечеткого обучения с другими алгоритмами обучения. В качестве эталонов бнлп выбраны методы из различных классов алгоритмов обучения: логический - ГЕКОНДЛ, близкий к методу тупиковых тестов Журавлева и статистический - SEGAL: модифицированный -алгоритм типа ISODATA. На исследованной задаче результаты работы системы нечеткого обучения но проценту ошибок на контрольной выборке. При этом в отличие от ГЕКОНДЛ увеличения- количества используемых признаков не ухудшало работу системы.

В заключении 'формулируются основные результаты работы, нерешенные проблемы и возможные направления дальнейших исследований.

Основные результаты работы

4

1. Предложено обобщение понятия четкой граф-схемы принятия решения на нечеткий случай.

2. Разработан метод построения нечеткой граф-схемы по нечеткому обучающему" множеству ,

3. Предложен метод бинаризации признаков с упорядоченными шкалами и его использование при построешш граф-схемы.

4. Предложены методы дообучения и изменения порядка проверки признаков без полной перестройки граф-схемы, прл поступлении дополнительных обучающих примеров.

5. Разработана программная система нечеткого обучения на

основе граф-схем.

6. Разработан пакет прикладных nporpaMMf построения диалоговых систем.

Публикации по теме диссертации

1. Казаков Д.А., Плаксин М.В. Параметрический кластер-анализ // Математическое обеспечение структур типа АРМ на базе мини- и микро-ЭВМ. - М., 1988.- С.24-25. (Алгоритмы и программы; Вып. 7(111)).

2. Казаков Д.А.. Плаксин М.В. Нзпарамэтрический кластер-анализ // Математическое обеспечение структур типа АРМ па базе мини- и микро-ЭВМ. - М., 1988.- С.25-26. (Алгоритмы и программы; Вып. 7(111)).

3. Геппенер В.В., Казаков Д.А. Представление знаний в экспертных системах // Адаптивные и экспертные системы в управлении: Тез. докл. 5-го Ленинградского симпозиума по теории адаптивных систем. Часть 2.- Л., 1991.- С.80-81.

4. Казаков Д.А., Кафтасьев Н.В. Программный . комплекс для разработки диалоговых систем. - Л., 1987. - С.78-80. (Изв. ЛЭТИ; Вып. 392).

5. Геппенер В.В., Казаков Д.А. Граф-схемы в задачах распознавания образов / ЛЭТИ. - Л., 1991. - 14с. - Деп. в ВИНИТИ 11.11.91 & 4237-В91.

6. Геппенер В.В., Казаков Д.А. Использование граф-схем в задачах принятия решений // Разработка архитектуры и программного обеспечения вычислительных систем • обработки информации в реальном времени, использующих микромощную элементную базу: Тез. докл. межотраслевого научно-техн. семинара. - Л., 1991.

* 7. Geppener V.V., Kazakov D.A. Application of graph-schemes In the task of learning with a teacher // Pattern Recognition and Image Analysis. - 1992. - Vol.2, Ho.4.

ПотТк печ. 2k. 12. 1992 Формат 60x84 J/16

Офсетная печать. Усл.печ^л^ I, ^ Уч.-изд. 1.0.

Тираж 100 экз. Зак. If 44С Бесплатно

1Ътапринт С.-Пб ГЭУ, 19737 6, Санкт-Петербург, ул.проф. Попове, 5