автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Морфологические методы анализа изображений. Стохастические и нечеткие модели

ЮСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Животников Герман Сергеевич

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИЗОБРАЖЕНИЙ. СТОХАСТИЧЕСКИЕ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005 г.

Работа выполнена на кафедре компьютерных методов физики Физического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических паук, профессор Ю.П.Пытьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П. В. Голубцов доктор физико-математических наук, профессор М. И. Киселев

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных Исследований,

Лаборатория Информационных Технологий (г. Дубна)

Защита состоится «2-°» 2005 г. в на заседании Диссер-

тационного Совета К 501.001.17 при Московском Государственном Университете им.М В.Ломоносова (г.Москва, Ленинские горы, МГУ, Физический факулыет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « » СбМТЛ^ЬЛ 2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 501.001.17 д.ф -м.н., профессор

П. А. Поляков

¿>си>6 - Ч

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение объектов и явлений, основанное на анализе их изображений характеризуется тем, что модели изучаемых объектов содержат большую долю неопределенности, которая выражается в наличии неизвестных параметров различной природы. Такие параметры могут существенно влиять на процесс формирования изображений, предъявляемых для анализа; вместе с тем они могут не нести никакой полезной для исследователя информации. Например, в задачах анализа изображений реальных сцеп условия освещения наблюдаемого явления или объекта часто неизвестны. Они, очевидно, оказывают непосредственное влияние на то, какое изображение будет зарегистрировано, однако лить в небольшом числе приложений сами условия освещения представляют для исследователя интерес. Другим примером может служить задача изучения некоторого объекта, находящегося в изменчивой и неконтролируемой среде, по его изображению. Наконец, источником неопределенности может являться несовершенное оборудование, с помощью которого регистрируются изображения, предъявляемые в дальнейшем для анализа: ограниченное пространственное разрешение и недостаточно широкий динамический диапазон оборудования приводят к искажению изображений, что должно быть отражено в модели, при этом часто сами искажения не являются объектом исследования. Даже с учетом указанных неопределенностей в модели последняя может не вполне соответствовать действительности. Вопрос о том, насколько хорошо модель согласуется с предъявляемыми для обработки данными, часто остается в стороне при рассмотрении процедур принятия решений, основанных на анализе изображений.

Морфологические методы анализа изображений, будучи основапными на использовании моделей исследуемых объектов, предоставляют возможность для уточнения этих моделей без необходимости существенно модифицировать применяемый математический формализм. Ключевое понятие формы изображения — множества, инвариантного по отношению к изменению мешающих параметров, таких как условия регистрации изображения, при этом содержащего всю информацию б семантике исследуемого явления, объекта или сцены, которую можно получить из изображения.

— позволяет получать оптимальные процедуры принятия решений, базирующиеся на модели.

Действительно, важным аспектом при рассмотрении алгоритма для получения новой информации является качество этого алгоритма, понимаемое в соответствии с принятой моделью. Гарантированно высокое качество вывода, сделанного при помощи некоторого алгоритма, основанного на модели, например, малая погрешность оценки параметра в задаче оценивания, или малая вероятность ошибки в задаче узнавания.

- делает алгоритм привлекательным с прикладной точки зрения, а саму модель -перспективной для дальнейшего исследования.

Одна из проблем, которая часто остается в стороне при рассмотрении той или иной модели — это ее адекватность. Алгоритм, который осуществляет верификацию предъ-

являемых для анализа изображений на предмет отсутствия противоречий с моделью, на которой он основан, при обнаружении таких противоречий должен интерпретировать их как свидетельство неадекватности модели.

В представленной диссертационной работе применительно к спектру актуальных в современных приложениях задач, рассмотрены модели, позволяющие получать новую информацию об изучаемом объекте или сцене при помощи морфологических методов анализа изображений. В рамках этих моделей сведения, которыми располагает исследователь об объекте, явлении и процессе формирования изображений, предъявляемых для апализа, могут быть сформулированы в теоретико-вероятностных или теоретико-возможностных терминах. Первое позволяет строить решения, оптимальные или близкие к оптимальным в смысле, принятом в теории статистических выводов; при этом в работе доказывается оптимальность получаемых решений или приводятся аргументы, указывающие на возможность теоретической количественной оценки качества решений. Нечеткие модели оказываются полезными в ситуации, когда исследователь не обладает информацией, достаточной для построения стохастической модели; при этом, как показано в диссертационной работе, применение нечетких моделей иногда дает результаты, сопоставимые по качеству с оптимальными статистическими решениями. В диссертации дан сравнительный анализ решений на основе предлагаемых моделей с другими известными решениями рассматриваемых задач. Отдельная глава посвящена вопросу об адекватности выводов, основанных на предлагаемых моделях.

Цель диссертационной работы

Основной задачей настоящей диссертационной работы является формализация и изучение свойств теоретико-вероятностных и теоретико-возможпостных моделей объектов и сцен, и их применение при построении процедур получения новой информации в рамках парадигмы морфологических методов анализа изображений. В диссертации исследовано применение стохастических и нечетких моделей в задачах:

• узнавания объектов по изображениям,

• оценивания параметров объекта по его изображению,

• подавления помех на изображении,

• обнаружения и локализации неизвестных объектов на изображении известной сцены,

• определения формы текстурнозначного изображения,

• прогнозирования отсутствующих фрагментов изображения.

В диссергации разработапы новые математические методы и алгоритмы решения указанных задач, основнные на предложенных моделях, и приведены результаты, характеризующие качество решений. В работе проведен сравнительный анализ полученных

Л-

фоцедур (теоретически, где это возможно, или в вычислительном эксперименте). В шссертации исследован также вопрос об обнаружении противоречий между игл юл ь-¡уемой моделью и данными, предъявляемыми для анализа, с целью проверки аде-сватности модели.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новые морфологические методы решения задачи узпавапия изображений, основанные на стохастической и нечеткой моделях.

2. Новый метод выделения неизвестного объекта на известном фоне, обощающий пвестный морфологический метод решения этой задачи на случай, когда объект за-шмает значительную часть поля зрения.

3 Новый метод подавления помех на изображении, обобщающий известный мор-{юлогический метод решения этой задачи па случай, когда известны лишь локальные ■войства формы изображения.

4. Новый метод определения формы изображения, обобщаюпщй известный морфологический метод решения этой задачи на случай текстурнозначных изображений.

5. Комплекс алгоритмов и компьютерных программ, реализующих указанные методы; вычислительный эксперимент, посвященный их сравнительному анализу; вклю-тя новый метод стохастического моделирования нечеткого элемепта с заданным рас-феделением.

Научная новизна работы

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Предложены новые морфологические методы для решения задач узнавания, щенивания параметров объектов, подавления помех на изображении, сегментации «обряжений и прогнозирования отсутствующих фрагментов изображения н стоха-тических и теоретике-возможностных моделях;

2. Для указанных задач получены новые процедуры принятия решений, основание па предложенных моделях и учитывающие специфичный для каждого класса ¡адач критерий оптимальности;

3. Изучена устойчивость к помехам полученных решений; в ряде случаев получены еоретические оценки статистических и теоретико-возможностных свойств решений в случае применения стохастических и нечетких моделей соответственно).

4. Для ЭВМ реализованы алгоритмы, программы и компьютерные модели, реали-¡уюшие предложенные математические методы.

о. В вычислительном эксперименте проведен сравнительный анализ решающих фоцедур, основанных на стохастических и нечетких моделях. Для этого, в частности, зазработан новый алгоритм моделирования нечеткого элемента и набора независимых ! совокупности нечетких элементов с помощью ЭВМ.

6. Для указанных задач разработаны критерии, позволяющие обнаружить проти-юречие между используемой моделью (из числа предложенных) и предъявляемым уш анализа изображением для выпесения суждения об адекватности модели.

Практическая ценность и апробация работы

Результаты выполненного исследования могут быть использованы при разработке информационных систем анализа изображений или технического зрения, где решаются задачи получения оптимальных выводов и их верификации.

В частности, во время работы над диссертацией некоторые из предложенных ре зультатов применялись автором в составе исследовательской группы, работающей над задачами анализа изображений геологических структур в рамках договора о сотрудничестве между физическим факультетом МГУ им.М.В.Ломоносова и компанией Srhlumberger. Другие приложения были найдены автором в работе, посвященной оцениванию качества металлопрокатной продукции компании ALCOA. Соответствующие прикладные задачи и полученные результаты отражены в основном тексте диссертации.

Основные положения и результаты диссертации были представлены на 5-й Международной конференции «Распознавание Образов и Анализ Изображений: Новые Информационные Технологии» (РОАИ-5-2000), 10-й и 11-й Всероссийских конференциях «Математические методы распознавания образов», а также опубликованы в б печатных работах.

Основное содержание работы

В диссертационной работе рассматриваются процедуры, позволяющие, опираясь на морфологические модели исследуемых объектов и предъявляемых для апализа изображений, решать некоторые параметрические и непараметрические задачи анализа изображений.

Дается следующее схематичное определение информационной технологии, базирующейся на морфологических моделях исследуемых объектов и изображений, предъявляемых для анализа:

• Исследователь описывает классы VA изображений, соответствующих каждому из возможных значений А £ Л интересующих его параметров объекта; множество Л этих значений может иметь как конечную мощность (как в задаче у знавания), так и мощность континуума (как в задаче оценивания). Таким образом, каждому возможному значению параметров ставится в соответствие множество изображений. Описание этих множеств, или классов, может быть формализовано а) конструктивно, т.е. с указанием изображения-эталона (для каждого из возможных значений параметров объекта) и набора преобразований изображения, моделирующих вариации условий измерения; и, в более общем случае б) с помощью необходимых и достаточных условий, которым удовлетворяют изображения объекта с данными значениями параметров.

• Исходя из этих условий для каждого класса (Л € Л) изображений исследователь строит алгоритм Пд, ставящий в соответствие произвольному изображению

д такое изображение П\д из данного класса, которое является в известном смысле «наилучшим приближением» д.

• На основе класса {Щ, А € Л} таких алгоритмов строится решающее правило, которое уже зависит от конкретной задачи (понятно, что для задач узнавания, оценивапия и подавления помех вид решающих правил совершенно различен).

Ниже приводятся некоторые математические определенния и результаты, существенные для конкретизации и уточнения этой схемы в дальнейшем.

Полем зрения X назовем ограниченное подмножество плоскости Ж2 или сетки {(г. ]), г, з — 1.2....}. Изображением /(■) будем называть функцию, определенную та множестве X и принимающую значения в некотором нормированном пространстве П. интегрируемую с квадратом нормы на X:

/ ||/(гг)||^ < (X), Jx

до ¡| • ]|я — символ нормы в пространстве Я. Пространство таких функций {/(•) -X —^ Я, /х \\f(x)\\2dx < оо} обозначим как &(Х), а пространство их сужений на фоизвольпое множество А С X будем обозначать £(Д). Для простоты изложения зсюду ниже, где не оговорено обратное, будем считать, что пространство Я. совпадает ; осью действительных чисел, Я — Л1, так что — множество скалярнозначных 'монохромных) изображений. Норму || • ||д определим так: ||а(|я = |а|, а £ Ж1. Если толем зрения является сетка {(г, ]), г, 7 = 1,2,...}, то значения /(ж) при заданном с — (г, ]) 6 И будем обозначать также /ч.

Пусть задан набор {Лг С X, г = 1, ..., п} подмножеств поля зрения X, попарно

п

«пересекающихся, Аг П А} = 0, г ф у, и покрывающих все множество X, Л, = X.

г=1

Мозаичным изображением называется функция /(■) : X —> представимая в виде

•=1

пдс хд,(') — индикаторная фикция множества Д,

/ 1 I 17 я- € А„ ХА'(Х)=\0, х^Л;

I — различные между собой [г ф з ф с3) элементы пространства Я. не завися-цие от х, г, з = 1, 2, ..., п.

Формой мозаичного изображения /(•) называется множество V) изображений, име-ощих вид

1=1

где г[, г — 1, . п, - произвол г, иые элементы пространства П [Иыгьев, 1984|*

В определении формы изображения /(•) на упорядоченную по номерам совокупность элементов {с,}, которую в дальнейшем будем обозначать просто как пек-тор с Г Я". може! быть наложено ограничение, исходящее ич предметной обласхи решаемой задачи. В наиболее общем виде такое ограничение формулируется тя:<. срС С Я". В 910М случае определение формы мозаичного изображения /' ) выгляди! следующим образом:

V, = |г(-) е ЦХ): д(-) = ¿С.ХА.0), с е . (1)

Множество изображений

IV, = Ь(-) € С(Х) : <,(■) = У*С.ХА.0), С6Л-1 (2)

принято называть формой в широком смысле.

Вместе с множествами V/ и Wf под формой изображения и формой в широком смысле, соответственно, понимают также операторы проецирования на эти множества, Р/ и П/. Действие оператора Р : &{Х) —► U проецирования на любое множество U С -С(Х) определяется как решение задачи на минимум, а именно, Vry(-) е

Р9(-) = /(•) е I/, ||ff(.) - /(Oillw = mm - ЮГнху (3)

Для проектора П/ на форму в широком смысле, W/, результат его действия на любой элемент д( ) £ может быть выписан в явном виде:

«=1

где

°<(9(-)) = -~гг / 9(x)dx, i = 1, ..., п.

mesj% j ¿ц

Проблема узнавалия изображений рассмотрена в работе в следующей постановке. Пусть имеется М различных объектов («эталонов»), и известны соответствующие им изображения рк\ к = 1, М. Предположим, что для узнавания предъявляется изображение д, полученное путем добавления к одному из эталонных изображений f'k\ выбранному случайно, аддитивного шума и = {г/у, i = 1, п. j = 1, т) 6 R, п х т = dim R, по схеме

g = fM+v. (5)

"Пытьев Ю. П. Задачи морфологического анализа изображений. //В сб. сг. «Математические методы исследования природных ресурсов Земли из космоса», М.: «Наука», 1984, с. 41 -82.

1риводится традиционное решение, основанное на морфологических методах анализа изображений, а именно: Пусть — > « = 1 7,1} ~ индикаторная функция множества точек поля зрения, в которых яркость эталонного изображения fífc) постоянна. Морфологическое решающее правило предписывает считать нредъяв-юниое изображение д изображением эталона «к*», если

fc*=arg mm_\\g-PfWgf. (б)

к=1,М

4наче говоря, изображение д классифицируется как изображение эталона если, сак это отмечено в (6), оно ближе всего к форме изображения эталона «к*».

Статистические свойства морфологического решения в задаче узнавания сформу-шрованы в виде леммы:

ГГемма 1. Пусть в равенстве (5) координаты и1} вектора шума v одинаково распределены, независимы, Evt] — 0 и Evf} = о2 < оо, г = 1, п. j = 1. т. Тогда морфологическое решающее правило (6) асимптотически при N —> оо минимизирует чатематическое ожидание числа ошибочных решений.

Построены стратегии решений, сформулированные для теоретико-возможностиых моделей. В нечеткой постановке предъявляемое для узнавания изображение g е R :читать значением нечеткого вектора который формируется как сумма вектора

одного из эталонных изображений — и нечеткого вектора и € R, распределение адторого неизвестно, моделирующего шум. Здесь к - нечеткий элемент, имеющий дискретное распределение возможностей, принимающий значения от 0 до М (для ipocTOTbi будем считать, что все эталоны, предъявляемые для узнавания, априори эавновозможны, то есть Р{х = k) = 1, Vfc = О, М).

Форму Vjík¡ эталонного изображения определим как двумерное линейное под-тространство R

i

VJW = {he ЗГХ" : h = Y^ciXik)'"> -с» < Со < -гос, -оо < d < -roo}, «=о

<огорое является линейной оболочкой изображений и х'*''1, и соответственно эператор Рцк, — как ортогональный проектор на V¡(w,:

P/(k,9 = ¿cW(5)x(<:4 <?е Я, ,=0

(l\ (a _

гдс ^ = f^bp * = 1> 9 = 0, 1.

Пусть сЮ(д) = 6 X2, е = Q е Я2, Я« = 1;р) Тогда

суммарная яркость проекции предъявленного изображения д на форму Ущ- равна

(<<к\д),Н^е). С другой стороны, при фиксированной суммарной яркости проекции, зеличина е'^(д) - тем больше, чем контрастнее изображение проекции Pj'^q.

Будем считать, что при прочих равных условиях (т. е. при фиксированной средней яркости) чем контрастнее проекция изображения д на форму эталонного изображения цифры «fc», тем больше возможность того, что д является изображением цифры *к» Тогда переходную возможность [Пытьев, 2004]* определим следующим

равенством:

P(x = ^ = g)j-Fi(c(*)(g)> Htoe))' ('>

где функция F(-) строго монотопно возрастает от 0 до 1 на всей области определения, а 6 = (—1, 1) £ К2. Она интерпретируется как возможность того, что предъявленное изображение д в действительности является искаженным шумом изображением цифры к, если £ = д.

Решение, минимизирующее необходимость ошибки, выглядит следующим образом: предъявленное изображение идентифицируется как изображение цифры к*, где

к* = arg max Р{н = = д). (8)

к--0.. п

В диссертации построен также теоретике-возможностный апалог байесовской стратегии для задачи узнавания. Пусть задано распределение возможностей 'f"4 (•) = '.р{-) для координат вектора шума, г — 1, тп, j = 1, п, и коордипаты v взаимно независимы в теоретико-возможностном смысле. Если 77 сформировано на основании эталонного изображения «к», выражение для переходного распределения распределения •■р'''*{•'■) имеет вид

^"(д\к) = min - /,<*>), д € R, к = 0, ..., п.

1=1,m j=l,n

Значение есть возможность равенства rj = д при н = к. Поскольку

Р(* = к, т) = д) = пшИ"Ш, = *)), то в предположении о равновозможности Р(х = к) = 1, Vfc = 0, п, Р{н = k,r/ = g) = min min^(gv - f^).

t—1,n 3=1,m

Стратегия, согласно которой решение о принадлежности предъявленного для узнавания изображения д к классу <к*> - <к'(д)> принимается по максимуму этой возможности, то есть

к"(д) = arg max Р(х = к, г/ = д). (9)

Теоретико-возможностные свойства этой стратегии подытожены в следующей ле.мме.

'Пытьев Ю П Неопределенные нечеткие модели и их применения. //«Интеллектуальные сисхе-чы», 2004.

Лемма 2. Пусть в (5) координаты вектора шума v суть значения одинаково распределенных независимых нечетких элементов, a f — значение нечеткого вектора причем все .значения к нечеткого элемента х равновозможны. Тогда решающее правило (9) минимизирует необходимость ошибки.

В диссертации приведены результаты вычислительного эксперимента, поспящен-шго сравнительному анализу морфологических алгоритмов узнавания между собой i сравнению их с байесовским алгоритмом, выбранным в качестве «контрольного» как известно, байесовская стратегия минимизирует математическое ожидание числа ошибочных решений; этот факт упоминается в работе для сравнения с указанными jbiuie теоретическими свойствами предлагаемых решающих процедур).

Для адекватного сравнения в вычислительном эксперименте алгоритмов, основных на теоретико-вероятностных и теоретико-возможностных моделях в работе эазработан метод статистического моделирования нечеткого элемента. В самом деле, 1ри исследовании теоретико-возможностных решений на ЭВМ в качестве реализации «четкого элемента выбирается исход стохастического эксперимента. Если необходимо толучить реализацию нескольких нечетких элементов, стохастический эксперимент 10лжен проводиться со случайным вектором соответствующей размерности. В дис-:ертации получен ответ на вопрос о том, какому классу должно принадлежать рас-1ределение вероятностей случайного вектора, чтобы моделируемый с его помощью «четкий вектор имел заранее заданное распределение возможностей.

Пусть Í2 — конечное или счетное множество, П = (wi, о>2, ..., ...}, 7 — Р(й) - fr-алгебра всех его подмножеств, Рг(-) и Р(-) — соответственно вероятностная и воз-лож ностная меры, заданные па элементах ÍF и принимающие значения в [0, 1]. Тройки П. Рг) и (П, [Г, Р) суть вероятностное и возможностное пространства. Пусть зло-ленты П пронумерованы таким образом, чтобы выполнялась цепочка неравенств

Рг(К}) ^ Pr({w2}) > ... ^ Pr({W/v}) > ... > О, (10)

тем самым элементы с нулевой вероятностью считаются исключенными). Обозначим

к

Ъ = P({w*}), prfc = Pr({u»fc}) и Fu = Y, Ргя к = 1,2,..F0 = 0.

3=1

Эпределение 1. Возможностное пространство (Í2, 3", Р) называется согласоваи-1ым [Пытьев, 2000]* с вероятностным пространством (fi, 3", Рг), если \/Л, ВёЗ": МЛ) ^ Рг(-В) =>■ Р(А) ^ Р(В). Возможностное пространство (Í2, 5", Р) называет-:я максимально согласованным с вероятностным пространством (Q, 7, Рг), если Q, 3", Р) согласовано с (Q, 3\ Рг), и для любого другого (il, 7, Р'), согласованного с il, 7, Рг), выполняется условие

VA, В 6 7 : Р'(А) > Р'(В) =Ф Р(А) > Р(В).

'Пытьев Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000

Пусть задано возможностное пространство ($!, 7, Р), для которого выпочняются соотношения

l=Pl>P2>-..>PAf^..->0, (11)

где Рк = P{{^k}), к = 1, 2, ..., и требуется построить класс вероятностных пространств (О, У, Рг), с каждым из которых (П, У, Р) (максимально) согласовано.

Теорема 1. 1. Для того, чтобы возможностное пространство (i2, У, Р), в котором возможность Р определена значениями P({wJ) = р„ i = 1, 2, . упорядоченными согласно (11), было согласовано с вероятностным пространством (Q, Рг), необ-

S

годимо и достаточно, чтобы функция распределения вероятностей Fa = ^ргк,

к= 1

6 = 1,2,..., где ргк = Рг({^}), к = 1, 2, ..., удовлетворяют условию (10), принадлежала классу

= + ' = 1.2,...; {£ь£2, ...Jefij,

- в—1 1 в—1 где* £ = {{£1, е2, ...} : |е.| < -(2 - я = 1, 2, ..., е. < -(2 - +

1 "

е4_ь s = 2, 3, ..^lim^ 2лгТГ(2 ~ X^2"6») = пРичем £> > 0 nPu P* > P»n> -s =

e=i

1, 2,...}.

Для того, чтобы данное возможностное пространство (П, 7, Р) было максимально согласовано с вероятностным пространством (П, 3", Рг), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия пункта 1 настоящей теоремы при дополнительных ограничениях на е„: ea ^ 0, если ря = pe+1, s = 1,2, — 3. Класс Q непуст как в пункте 1, так и в пункте 2.

Задача моделирования совокупности N независимых нечетких элементов с одинаковым дискретным распределением ip(-) сводится к моделированию одного нечеткого элемента с дискретным распределением. В самом деле, пусть (QN, РЛ) воз-

можностное пространство, где QN = Q х П х ... х Q - прямое произведение N счетных множеств П; J(QN) — сг-алгебра всех подмножеств такого прямого произведения; PN (•) возможность, определенная на 3(£lN) и обладающая следующим свойством:

^(HJ х ... х {ukN}) = min у>(шк,).

1=1. JV

Тогда нечеткие элементы • ■ • > Cv, каждый из которых принимает значения

в i2 с возможностью Р(& = üJi) — <p(wi) = Pi, образуют нечеткий вектор ( =

к

'Подразумевается, что при к = 0 ^2'е} = 0.

j=i

(Сь £n) G с распределением возможностей у£{х) = PN({x}), х £ ÜN; его

координаты являются независимыми в теоретико-возможностном смысле.

Построить вероятностное пространство (П^, J(ÜN), Prjy), такое, что определенное выше возможностное пространство максимально с ним согласовано, позволяет следующий результат.

Теорема 2. Для стохастического моделирования N независимых одинаково распределенных нечетких элементов k = 1, ..., N, принимающих значения в конечном множестве Я = {и>\, ш^, ..., шт} с возможностями 1 = pi > ... > рт > 0, можно использовать N случайных величин щ, к — 1, ..., N, таких, что маргинальное распределение каждой из них равно

т т

Pr(r/fc = u>j) = ]Г ' • • ^(РЬ' Ргч' ■ ■ • > Pr.jv-i)> з = !> • • •, т,

<1=1 »JV-1—1

а условные распределения Щт+i = w^Jr/i = ... ,rjk = ujJk) =

m т

т'п(ргл • • • • > p>w. - pr«k« '■••'Pr.J

_ *fc+2=1 *ЛГ = 1

— -- ?

Л ■ ■ ■ 12т1п(ргл>• ■ ■.prJk>pv. '•••'Pr.J

«kfl = l >ЛГ=l

k = 1, ..., N- 1, jt - 1, ..m;

причем

1 - £ (rN - (Г - 1)") prr 1 - £ (r* - (r - in F*r

AJ*-(fc-l)*+l < Рг* < Г kN — (k — 1)N ' '

?de k = 1, . ., m — 1, а prm определяется из условия нормировки:

т-1

к - (т - 1П Ргт = 1-]Г (г" - (г - 1)") ргг.

г=1

При этом распределение возможностей

^«ь XN\ukl, ..., ojkJ = min pfcl

нечеткого вектора ..., £л-) будет максимально согласованным с распределением случайного вектора (щ, ..., тщ).

Рис. 1: Слева: зависимость частоты ошибочных решений от дисперсии нормально распределенного шума. Справа: зависимость частоты ошибочных решений от «эффективной ширины» распределения возможностей нечеткого шума. Сплошная линия соответствует нечеткому байесовскому алгоритму, штрихиунктир традиционному морфологическому решению, пунктир - слева теоретико-возможностному варианту морфологического алгоритма, справа — теоретико-возможностному варианту морфологического алгоритма

Результаты вычислительного эксперимента приведены на рис. 1.

Статистический вариант байесовского алгоритма, как и следовало ожидать показал наибольшую помехозащищенность и качество. Морфологическое решение (как традиционное, так и его нечеткий аналог) исследовалось для всех вариантов распределения вектора шума и показало высокую устойчивость и качество. Качество традиционного морфологического решения практически неотличимо от качества байесовского решения; несколько ниже качество нечеткого аналога морфологического алгоритма

Нечеткий аналог байесовского алгоритма (решение максимальной возможности) сравнивается с морфологическими алгоритмами при условии добавления к эталонным изображениям вектора шума, моделирующего значение нечеткого вектора с независимыми в теоретико-возможностном смысле одинаково распределенными координатами Помехоустойчивость этого алгоритма оказалась существенно выше, чем у алгоритмов, основанных на морфологических методах. Это объясняется тем, что статистические свойства шума, моделирующего нечеткий вектор с независимыми координатами, не удовлетворяют условиям, при которых построенный алгоритм, основанный на морфологических моделях, асимптотически оптимален (аименно, координаты вектора шума зависимы в теоретико-вероятностном смысле). Вместе с тем, нечеткий аналог байесовского решения полностью учитывает такую модель формирования изображений, что и обеспечивает его высокую эффективность.

В диссертации рассмотрены морфологические модели объекта для оценивания его параметров по изображению.

Пусть Д(-) € Л — эталонное изображение, которое соответствует ситуации, когда А е Л — значения параметров исследуемого объекта. Его форма, V* — множество всевозможных изображений, соответствующих одному и тому же набору параметров А и различным условиям регистрации. Оператор проецирования произвольного изображения на форму эталонного изображения />(•) обозначим Р\.

Рассмотрим стратегию У(д(;)) : Н —» Л, определенную как решение следующей

задачи на минимум:

№(•) - A-W ))®01|| = тш №(•) - (12)

А6Л

где Рд : fí —» Va — оператор проецирования на множество V\.

В работе получены свойства этой стратегии. Показано, что выполнении определенных условий при больших N оценка А*(д(-)) параметра Л изображения /д, на основании которого сформировано предъявленное для анализа изображений д, состоятельна и асимптотически (по N —» оо) нормальна.

Предложенная морфологическая модель допускает уточнения, призванные отразить роль среды, окружающей исследуемый объект, и прибора, с помощью которого проводится регистрация изображений, предъявляемых для оценивания параметров объекта. В некоторых задачах искажения изображения носят не только случайный характер и вызваны «шумящей» средой, в которой находится исследуемый объект, но и связаны с несовершенством измерительного прибора. Возможно также, что среда практически не привносит искажений, но измерительный прибор пе холько обладает ограниченными техническими возможностями (низкое разрешение), но и добавляв! стохастическую составляющую в результат измерения, которая может рассматриваться как шум. В диссертации рассмотрены обе эти ситуации.

В работе рассмотрены применепия морфологических моделей в ненараметриче-ских проблемах анализа изображений. Изучаемые модели характеризуются следующим предположением относительно изображений, предъявляемых для анализа: существует (и известно) некоторое свойство, которое локально постоянно на изображении. То есть, если в данной точке изображения значение этого свойства может быть описано некоторым числом или вектором, то всюду внутри некоторого подмножества поля зрения, покрывающего данную точку, значение этого свойства описывается тем же числом (вектором). Это условие весьма общо и при том или ином уточнении выполнено во многих реальных ситуациях. Например, пусть рассматривается проблема подавления помех на кусочно-постоянном изображении. Если известно, что минимальный размер (плошадь) связной области, где неискаженное шумом изображение имеет постоянную яркость, ограничен снизу, то эта информация может быть использована предлагаемым алгоритмом.

Далее приведено определение формализма, позволяющего описать в едином ключе морфологические решения рассмотренных в диссертации непараметрических задач

Предполагается, что предъявляемые для анализа изображения таковы, что некоторое их свойство & (определенное во всех точках поля зрения) принимает1 лишь конечное число значений; такие изображения далее будем называть кусочно-постоянными по данному свойству. Мпожесгво значений свойства 6 будем в дальнейшем обозначать как S. Подобным свойством может служить яркость изображения в точке, его цвет, текстура. Будем считать, что на множестве S задана метрика ps{-, ■) S'2 --> Кh.

Пусть дано изображение /(•) е £>(-Х), и его свойство 6 в точках поля зрения принимает п значений s, 6 S, i = 1, ..., п. Область поля зрения X, содержащую точки, в которых свойство принимает i-e значение, обозначим г = 1, ..., п. В

совокупности \ i = 1, ..., п} образуют разбиепие ноля зрения X:

п

Ул,/() = л{{' П А{{) =0 при г ^ .?.

1=1

Пусть задан класс ЗУ подмножеств поля зрения X, такой, что

• мера каждого множества Те D равна отличной от 0 константе, не зависящей от Т:

VTe® mesT = const > 0.

• для каждой точки поля зрения X найдется (по крайней мере одно) множество Т £ £>, содержащее эту точку:

Vz 6 X ЗТ £ Э : х £ Т.

Элементы класса S называются шаблонами. В диссертации приведен конструктивный способ определения класса Э, основанный на задании некоторого «начального» множества Т0 С X и множества Г обратимых отображений 7 : X —» X, сохраняющих меру любого подмножества поля зрения X. В качестве множества таких преобразований в приложениях можно выбирать, например, совокупность Гд всевозможных пар трансляций и поворотов двумерной плоскости.

Фундаментальным условием, которое предполагается выполненным для кусочно-постоянного изображения /(•), предъявляемого для анализа, является следующее:

УхеХ, эте®,3ге{1, ...,п}-. хеТчТсА{(), (13)

то есть структура областей постоянства значения свойства в на изображении ./ (■) такова, что для любой точки поля зрения найдется такой шаблон Г е Э, который покрывает данную точку и целиком находится внутри одной из областей постоянства значения свойства © на изображении.

В приложениях рассматриваемый метод предписывает сконструировать два функционала, v(-, •) и d(-, •), определенных на прямом произведении ЗУ и £(Х), принимающих значения в S и 3J1 соответственно, несущих следующую смысловую нагрузку. Пусть предъявлено изображение /(•) £ Значение v(T, /(-)) £ S интерпретиру-

ется как наилучшее приближеннее значения свойства © изображения /(•) на подмножестве Т £ 2) поля зрения X. Значение d(T, /(•)) £ З?1 интерпретируется как невязка аппроксимации значения свойства 6 изображения /(•) на подмножестве Т £ 33 поля зрения X значением v(T, /(■)). В диссертации показано, что при выполнении ряда предположений относительно свойств этих функционалов и структуры класса D справедливо следующее

Утверждение. Для любого изображения д(-) £ £(.Х) и для каждой точки х € X существует решение уравнения

d(T*(x), g(-)} = min{d(T, g(-)) | T £ S) : 1 £ T} (14)

относительно Т*(ж) £ 3).

Эпределение. Результатом фильтрации произвольного изображения д{) е? £{Х) {взывается функция <р(-), определенная на всем поле зрения X и принимающая зна-гения на множестве Б, равная

ф)±у(Т-(х),д(-)), х€Х, (15)

;др Т*(х) е Ф — решение уравнения (14).

При этом значение функции сР (-): X —► К1, определенной как

<Р(х) = €Г(х), 5(-)) = ттНГ, $(•)) \ Т е » : х € Т}, х£Х, (16)

штерпретируется как невязка приближения истинного значения свойства в изобра-кения /(■) в точке х € X результатом фильтрации <р(х).

Задача подавления помех рассмотрена в диссертации в следующей постановке. 1усть изображение д(-) : X —> , предъявляемое для анализа, представимо в виде •уперпозиции «невозмущенного» мозаичного изображения

п

/(х) = £<«.(*), хех, (17)

1=1

/довлетворяющего условию (13), и случайного элемента е С(Х), моделирующего юмеху:

д{-) = /(•) + К-)- а»)

1роблема состоит в том, чтобы построить оценку «невозмущенного» изображения ((■) но предъявленному изображению д(-).

Для определения класса X) выбирается непустое множество То С X и совокупность обратимых отображений 7: X —► X. Класс 2) есть совокупность образов множества Г„: ® = {7Т0, 7 6 Г}. Функционалы ь(-, •) : Г х —► Ж1 и •) • Г х £(*) -»■ Я1 для решения задачи подавления помех на изображении определены следующим )бразом:

<ъ <?(•)) = ^ I дШх, (19)

-/То

<?( )) = 1щ/Ш - ^('у, д{-)))Чх. (20)

■уТо

Результат фильтрации <р(-): X —»311 вычисляется в соответствии с (15).

Функция <р(-) интерпретируется как оценка «невозмущенного» изображения /(•). 1усть случайный элемент !/(-), моделирующий помеху, нулевое математическое ожи-хание и корреляционный оператором Е„ : £(Х) —> £(Х) с ограниченной нормой "ильберта-Шмидта, а2 = ЦЕ^Ц^ < оо. Если для множеств А1}\ г = 1, ..., п, на

которых яркость изображения /(•) принимает постоянные значения, выполнено предположение (13), то оценка у>( ) асимптотически (при малых <т2) оптимальна:

»/(•) - - о,

причем

Е(/(аг) - Ф))2 < зир^Е.ХгЛЫ-)!!2 •■ Т € Ю, Т Э х], (21)

где \т() € ¿(Л") — индикаторная функция множества Т С X, которая также рассматривается в этом выражении как линейный оператор %т '■ —> £(Х). При ->том значение функции <!*(■): X —> Я1, определенной как

<Г(ж) = й{Т{х), $(■)) = шт{¿(Т, <?(-)) \ Т 6 ® : ж € Г}, х е X, (22)

есть невязка приближения истинного значения свойства 6 изображения /( ) в точке х ё X результатом фильтрации <р(х).

Интегральное значение о!* функции <!*{■), определенной в (22), равное

сГ = —5— [ <Г (я)<*Е, тевл ] х

рассматривается как мера адекватности рассмотренной модели предъявляемому изображению <?(•). Близкие к нулю значения (1* говорят об отгтутствии противоречия между моделью и истинным положением вещей; значения й*, существенно большие 0, говорят о юм, что либо предположения о характере помех, либо предположение (13) о структуре разбиения Л^ неверны. Построить критерий для проверки гипотезы об адекватности данной модели на основании статистики (1* можно, воспользовавшись предположением о распределении шума и{-). Для этого рассмотрим простую ситуацию, когда множество X (и, соответственно, его подмножество То), конечно, и на нем определена считающая мера, причем /¿(То) — количество элементов Та - велико. : Тогда, если модель верна, то статистика ¿* имеет распределение \2 с /'РО степенями свободы, центральное. Если модель неверна, то ¿" имеет распределение ;\-2 с //(X) степенями свободы, нецентральное, с параметром нецентральности, большим 0. *

В диссертации рассмотрена модель для решения задачи определения формы тек-стурнозначного изображения. Под текстурнозначным изображением /(■) £ £(Х) понимается функция, представимая в виде

п

/(*) = £*.(*)*(*). (23)

»=1

где £,(-) е -С(Л') суть случайные поля*. В этом случае /(•) также является случайным полем, причем его статистические характеристики на каждом из множеств Аг с X совпадают с характеристиками соответствующего поля £,(•), г = 1, . ., п.

'Методы компьютерной обработки изображений.//Под ред. В А Сойфера. М : «ФИЗМ\ТЛИТ». 2003.

'ис. 2- Иллюстрация работы алгоритма определения формы текстурнозначного изображу ия Слева направо, сверху вниз: форма («идеальное» изображение); предъявленное для лализа текстурнозначное изображение; два восстановленных изображения

Предположим, что задано множество 5, и случайные поля ¿,(-), г = 1, ..., п, при-гадлежат параметрическому семейству 1:

! = {«.(•)€ Од: Зе5}.

)то означает, что каждой точке поля зрения для кусочно-постоянного текстурно-начпого изображения /(•) следует считать определенным значение в(х) — х 6 А„ войства & в 5, которое является совокупностью статистических характеристик слу-айного поля £,(•), «ответственного» за значение изображения в данной точке.

Пусть, как и прежде, задано подмножество Т0 поля зрения X и определено мно-<ество Г обратимых отображений 7 : X X. Рассмотрим некоторую процеду->у оценивания, которая ставит в соответствие функции д7т0(-) £ <0(7X0) - сужению (•) е £(ЛГ) на множество 7Т0 — значение в1(дуг0 (•)) 6 5, которое будем интерпретиро-ать как оценку параметра з случайного поля £„(•) е Т. Эту процедуру обозначим как 7(-) : £(т7о) —> 5. Например, если множество Т0 конечно, на нем задана считающая юра, и шееТ0 = ./V, то сужение д^т0(-) функции д( ) представляет собой конечио-шрный вектор, а множество есть пространство Пусть параметрическое

смейство Т позволяет определить плотность рв(х 1, £ь ..., Хц, ¿лг) •' (А' х В)ы —» К1 овместного распределения для N сечений случайного поля 13{-) : X —► Я (в точках } £ 7Т0, з = 1, ..., IV) для каждого в е 5. При этом оценка з7(-) : Хы —> 5 может ыть построена, например, как оценка максимального правдоподобия:

¿у(&7Го(-)) = аг8паахр,(а;1, д{хг), д{хы))- .... хм] = 7Г0.

! соответствии с формализмом, изложенным выше, функционал у(-, ■): Гх£>(Х) —> 3 пределяется следующим образом:

«(7, <?(')) = ^(<7уго(0), 7 6 Г, д(.) € ОД,

!еличина с1(у. <?(■)) € Xх, которая интерпретируется как качество оценки А'.,(<?<гс(-)) начения 6 на множестве уТ0, 7 е Г, может быть задана для решения проблемы

Рис. 3: Иллюстрация работы метода определения формы текстурнозначного изображения. Невязка между «идеальным» и восстановленным изображением модельной сцены для метода морфологической фильтрации (слева) и алгоритма со сверткой (справа)

определения формы текстурнозначного изображения, например, следующим образом: <2(7, д{-)) = - д{х\), ■ д{хк)), {хи ..., хлг} = 7 Т0.

Совокупность значений ¿(7, д(-)) при всевозможных 7 и <?(•) определяет функционал <!{■, •) : Г х И{Х) —> К1. Результат фильтрации текстурнозначного изображения определяется как

<р{х) = з1.{х){д1.(х)То{-)), хеХ, (24)

где 7*(х)Т0 = Т*(х) — решение уравнения (14).

Полученная оценка '/>(■) : X —> 5 поля значений свойства 6 изображения д(-), в свою очередь, является мозаичным изображением. Форма изображения <£>(-) интерпретируется как оценка формы текстурнозначного изображения </(•).

В качестве иллюстрации работы метода определения формы текстурнозначного изображения рассмотрен случай, когда случайные величины и{х), х € X, имеют распределение Пуассона с параметром А, и независимы в совокупности, г = 1, п. На рис.2, слева вверху, приведено «идеальное» изображение, которое необходимо получить для дальнейшего анализа (оно считается пеизвестным в вычислительном эксперименте). Там же, справа вверху дано соответствующее текстурнозначное изображение, где каждая из текстур определяется случайым полем, имеющим распределение Пуассона, причем параметр распределение кодирует истинное значение некоторого свойства «идеального» изображения. Впизу слева приведен результат восстановления «идеального» изображения при помощи алгоритма, описанного в настоящем разделе. Для того, чтобы сравнить качество работы предложенного алгоритма, был реализован также другой алгоритм восстановления «идеального» изображения, основанный на вычислении свертки исходного изображения с таким ядром, чтобы результирующее изображение представляло собой «сглаженную» версию исходного. Результат работы этого алгоритма представлен на рис. 2 справа внизу. Сравнение работы алгоритмов можно осуществить, используя знание «идеального» изображения. А именно, для такого сравнения было вычислено поле невязок между значениями яркости «идеального» и «восстановленного» изображений. Соотвтствующие иллюстрации приведены на рис. 3 для предложенного алгоритма морфологической фильтрации (слева) и для ггростой оценки с помощью свертки (справа). Интегральная невязка для метода морфологической фильтрации в вычислительном эксперименте оказывается ниже, чем для алгоритма со сверткой.

dhc. 4: Слева направо: 1. Изображение /о( ) исходной сцены. 2. Изображение /( ) той же •цены с новым объектом. 3. Белым цветом выделено множество А точек поля зрения, на соторых изображение /(•) не содержит изображений новых объектов (по сравнению с изображением /□(•))

В диссертации рассмотрена проблема сегментации изображения, а именно - загсам а обнаружения и локализации неизвестного объекта на изображении. Конкретная юстановка задачи и ее решение приводится ниже. Пусть задано кусочно-постоянное таображение /(•)

N

/(х) = X] с3хЛх)< > > • ■ • > слг, с3 е зг\ х е х,

71,е Хз(') X —> 311 индикаторная функции множества постоянной яркости, а с, е 3?! - яркость на этом множестве, .7 = 1, ..., N. Изображение /(■) интерпретируется как изображение «невозмущенной» сцены (т.е. сцены, на которой отсутствуют неизвест-ше объекты).

Формой изображения /(•) называется выпуклое множество

N

Ч = { /(•) : /(■) = С1 > с2 > ■■■ * с"> сз 6 зг1 }

<ли оператор Р/ : £(Х) —> £(Х) проецирования на это множество.

Сужением функции /(•) € &{Х) на множество В с X здесь будем называть функцию /д(-), определенную следующим образом:

... ,j если ж 6 Б 1в(х) = ^ .

если х 6 Х\В

Пусть для апализа предъявлено изображение <?(•) £ &(Х) исходной сцены, на которой добавлены новые объекты. Для каждого 7 € Г определим значение <],(";, д{-)) функционала ¿(-, ■):

где Е.гта оператор проецирования на множество V = {с • Хт?о(')> с е К1 } С Кроме того определим значение «(7, д(-)) функционала «(-, •):

где <5 € ~ некоторое пороговое значение.

В качестве оценки индикаторпой функции ) подмножества Л, поля зрения, где на предъявленном изображении д{) отсутствуют неизвестные объекты предлагаемый в диссертации алгоритм предписывает считать функцию г»(7*(ж), {/(•)), .т 6 X, определенную формально в соответствии с (15).

В работе проведен сравнительный анализ предложенного алгоритма обнаружения и локализации объектов на изображении с несколькими популярными алгоритмами решения этой задачи. В частности, для сравнения были использованы морфологический алх'оритм выделения объекта [Ру(;'су, 1993]*, локальный корреляционный алгоритм и локальный алгоритм ранговой корреляции [Кендэл, 1975]*, ]Пы-тьев и др., 2001]*.

Пусть множество А с X известно. Тогда будем считать, что оценка А\ пе хуже оценки А2. если выполняется соотношение

где Хл(') индикаторная функция множества А. Значение Цх/ц - Ха\\2 = mes(vlA/ii) интерпретируется как погрешность оценки Aj множества А. В проведением вычислительном эксперименте локальный морфологическим алюритм показал наименьшее среди указанных алгоритмов значение этой погрешности.

Основные результаты работы

В диссертации рассмотрены морфологические модели, нашедшие применение при решении задач, перечисленных в разделе «Цель диссертационной работы». Показано, каком образом информация об изучаемом объекте, имеющаяся у исследователя, может быть учтена в предложенных моделях в теоретико-вероятностной или теоретико-возможностной формулировке. Например, при решении задачи узнавания изображений исследователь формулирует знание о форме объектов, и строит нечеткое решающее правило так, чтобы неточность имеющихся априорных сведений об условиях регистрации изображений не слишком негативно сказывалась на необходимости ошибки

'Pyt'cv Yu. P. Morphological Image Analysis. //Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 3, No. 1, 1993, pp. 19-28.

^Кендэл M. Ранговые корреляции. M., «Статистика», 1975.

'Пытьев Ю. П., Семин А В., Успенский И. О. О быстром алгоритме морфологического анализа. //Математические методы распознавания образов. Доклады X Всероссийской конференции М ,

если d(7, д(-)) < 6 если d(7, д(-)) > 6 '

\\хл, - ха\\2 < ихла - ха\?,

2001.

эис. 5: Результаты работы сравниваемых алгоритмов: сверху — изображения погрешностей фиближения изображения /(•) его оценками, полученными с помощью алгоритмов; снизу: Зелым цветом выделены множества — оценки множества А, полученные сравниваемыми алгоритмами Справа налево, по столбцам: морфологический алгоритм выделения объекта, токальный корреляционный алгоритм, локальный алгоритм ранговой корреляции, локальный морфологический алгоритм

узнавания. В задаче оценивания параметров объекта по изображению предложенный з работе метод допускает учет исследователем имеющиеся у него сведения о процессе формирования изображения, предъявляемого для анализа - включая такие аспекты <ак форма исследуемого объекта и искажепия, привносимые прибором и средой. Кру1 1роблем, решение которых продемонстрировано, указывает на гибкость морфологи-(еских методов анализа изображений. Так, в работе показано, каким образом одна 1 та же информационная технология может быть применена для получения решаю-цих процедур в задачах а) обнаружения и локализации объектов на изображениях эеальных сцен в условиях пеоднородого нестационарного освещения, б) сегментации гекстурнозначных изображений (случайных полей), в) прогнозирования изображе--шй с известными локальными свойствами (в частности, изображений геологических -труктур, получаемых с помощью датчиков электрической проводимости среды).

Показана эффективность этих процедур в контексте конкретных решаемых задач в соответствии с принятой исследователем мерой качества, такой как погреш-юсть оценки при оценивании параметров объекта, частота ошибочных решений при эешении задачи узнавания и т.д. Для полученных решений в задачах узнавания и ?адачах оценивания параметров даны гарантированные оценки качества. Проведен сравнительный анализ процедур, основанных на стохастических и нечетких моделях; гак, для задачи узнавания изображений показано, что качество решений, основанных 1а нечетких моделях, близко к качеству теоретически неулучшаемых статистических аналогов, при этом для построения нечеткой решающей процедуры необходимо мень-тте априорной информации. Для проведения сравнительного анализа процедур, сфор-

мутированных в стохастических и нечетких терминах, разработан метод моделирования в вычислительном эксперименте нечеткого элемента и совокупности нечетких элементов, обладающих заданным распределением возможности. В ряде случаев указаны способы получения выводов об адекватности моделей, применяемых в рассмотренных задачах. Наличие в решающих процедурах, основанных на моделях, алгоритма проверки адекватности последних, позволяет расширить круг возможных применений рассмотренных методов такими задачами, в которых надежность решения считается наиболее критичным фактором. Приведены реальные применения описанного в диссертационной работе математического аппарата в прикладных задачах. Использование предложенных информационных технологий предоставило в этих приложениях привлекательную альтернативу дорогостоящему труду экспертов в соответствующих предметных областях.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Pyt'ev Yu. P. and Zhivotnikov G. S. On the Methods of Possibility Theory for Morphological Image Analysis. //Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.14, No.l., 2004, pp.60-71.

2. Животников Г. С., Пытьев Ю. П., Фаломкип И. И. Об алгоритме фильтрации кусочно-постоянных изображений. //"Интеллектуальные системы", 2005.

3. Животников Г. С. О задаче онтимальпого оценивания параметров объекта по его изображению. //Математические методы распознавания образов. Доклады 11-й Всероссийской конференции. М., 2003, сс.85-87.

4. Пытьев Ю. П., Животников Г. С. Теоретико-вероятностные и теоретико-возможностные модели распознавания. Сравнительный апализ. //"Интеллектуальные системы", 2002, т.6, вын.1-4., сс.63-90.

5. Животников Г. С., Пытьев Ю. П Теоретико-возможпостные модели распознавания. //Математические методы распознавания образов Доклады 10-й Всероссийской конференции. М., 2001, с.56.

6. Пытьев Ю. П., Животников Г. С. О теоретико-вероятностных, теоретико-возможностных и морфологических методах распознавания изображений. //5-я Международная Конференция "Распознавание Образов и Анализ Изображений: Новые Информационные Технологии"(РОАИ-5-2000), Труды Конференции, Том 2 (Представление, анализ, обработка и понимание изображений), Самара, 2000, сс.367-371.

ООП МГУ. Заказ 116- 100-05

№¡16 9 80

РНБ Русский фонд

2006-4 19631

Введение

1 Морфологические модели в задачах анализа изображений

1.1 Общие черты морфологических методов как инструмента для получения новых знаний.

1.2 Проблема узнавания изображений.

1.2.1 Традиционные алгоритмы узнавания, основанные на морфологических моделях.

1.2.2 Теоретико-возможностные модели узнавания

1.3 Проблема оценивания параметров объекта по его изображению

1.3.1 Морфологические модели изображений объекта для оценивания его параметров.

1.3.2 Уточенения модели: роль измерительного прибора и среды.

1.4 Непараметрические задачи: морфологический подход

1.4.1 Проблема фильтрации изображений

1.4.2 Задача подавления помех.

1.4.3 Сегментация изображений: обнаружение и локализация неизвестных объектов.

1.4.4 Задача определения формы текстурнозначного изображения.

1.4.5 Прогнозирование фрагментов изображения, основанное на морфологической модели.

2 Качество морфологических методов как технологии получения новых знаний

2.1 Сравнительный анализ морфологических алгоритмов узнавания.

2.1.1 Байесовское решение [12,15].

2.1.2 Статистическое моделирование нечеткого элемента

2.1.3 Сравнительный анализ алгоритмов в вычислительном эксперименте.

2.2 Сравнительный анализ алгоритмов обнаружения и локализации объектов на изображении.

2.2.1 Морфологический алгоритм.

2.2.2 Локальный корреляционный алгоритм.

2.2.3 Локальный алгоритм ранговой корреляции [20,21]

2.2.4 Сравнение алгоритмов

2.3 Качество алгоритма определения формы текстурнознач-ного изображения.

Актуальность исследования

Анализ изображений, машинное зрение — это та область применения новейших информационных технологий, которая традиционно и по праву считается одной из самых сложных. Для этого существует множество причин, среди которых следует особо отметить саму природу изображения как носителя информации об объекте исследования.

В самом деле, существует широкий класс задач, которые принято относить к задачам анализа изображений, и которые сводятся к проблеме получения нового знания об исследуемом объекте, причем это знание должно быть сформулировано в «концентрированной» форме. Речь идет о таких задачах как оценивание параметров объекта по его изображениям, узнавание объекта, классификация объекта, анализ сцены по ее изображению с целью принятия решения. Между тем сами изображения, предъявляемые для анализа, содержат большое количество «мешающей» информации, т. е. информации, не интересующей исследователя — по крайней мере, напрямую. Например, изображение может содержать информацию о среде, в которой находится объект, в то время как исследователя интересует только сам объект. Другим примером может служить изображение, полученное с помощью технически несовершенного оборудования, и вследствие этого содержащее шум или систематические искажения, привнесенные регистрирующи устройством.

Для эффективного решения упомянутых задач необходимо конструировать такой инструмент анализа, который позволяет абстрагироваться от сложности изображения, редуцируя ее до уровня сложности представлений об объекте. Получение инструмента, обладающего этим свойством, возможно на основе модели исследуемого объекта и (или) модели формирования изображений, предъявляемых для анализа.

Таким образом, методы анализа изображений, основанные на использовании моделей исследуемых объектов, предоставляющие возможность для уточнения этих моделей без необходимости существенно модифицировать применяемый математический формализм, представляют особый интерес при разработке технологий для получения нового знания. По мнению автора, к числу таких методов относятся морфологические методы анализа изображений [1-3]. Ключевым моментом в них является понятие о форме изображения как о множестве, содержащем всю информацию о семантике исследуемого являения, объекта или сцены, которую можно получить из изображения, при этом максимально абстрагируясь от информации, не интересующей исследователя — такой как условия регистрации изображения. Изначально морфологические методы применялись для решения некоторых специфичных задач — таких как узнавание сцен, обнаружение и локализация объектов на сцене, — в условиях, которые формулировались как предположения о характере возможных изменений изображения и не были явно связаны с моделью сцены или объекта исследования. С течением времени класс моделей, применяемых в сочетании с формализмом морфологических методов, становился все более обширным; соответственно все шире становился и круг задач, которые были решены с помощью этих методов.

Важным аспектом при рассмотрении алгоритма для получения новой информации является качество этого алгоритма, понимаемое в соответствии с принятой моделью. Действительно, существует ряд алгоритмов (или даже классов алгоритмов), не основанных на формализованных моделях; при этом они, как правило, вообще не могут быть охарактеризованы в терминах качества. Между тем, гарантированное качество вывода, сделанного при помощи некоторого алгоритма, основанного на модели, — например, дисперсия несмещенной оценки параметра в задаче оценивания, или вероятность ошибки в задаче узнавания, — делает алгоритм привлекательным с прикладной точки зрения, а саму модель — перспективной для дальнейшего исследования.

Одна из проблем, которая часто остается в стороне при рассмотрении той или иной модели — это ее адекватность. Исследователя всегда волнует ответ на вопрос о том, насколько он может доверять полученному выводу. Часто решение этого вопроса оставлено самому исследователю, причем механизмы получения нового знания из изображений не предусматривают возможности судить о том, насколько они применимы. Иными словами, верификация вывода часто осуществляется методами, внешними по отношению к самой процедуре получения вывода. Это в целом соответствует современным научно-философским представлениям о возможности (точнее, невозможности) подтвердить некоторый вывод с помощью той же процедуры, которой он получен. Между тем, эти же общие представления устанавливают допустимость отыскания противоречия между моделью и реальностью. Таким образом, наиболее ценным для исследователя при прочих равных условиях является тот алгоритм, который осуществляет верификацию предъявляемых для анализа изображений на предмет остутствия противоречий с моделью, на которой этот алгоритм основан. При обнаружении таких противоречий они должны быть интерпретированы как неадекватность модели.

В настоящей работе рассматриваются некоторые модели, позволяющие получать информацию об изучаемом объекте или сцене в рамках парадигмы морфологических методов анализа изображений, при этом учитывая специфику объекта исследования в теоретико-вероятностной или в теоретико-возможностной формулировках. Первое позволяет строить решения, оптимальные или близкие к оптимальным в смысле, принятом в теории статистических выводов; при этом в работе доказывается оптимальность получаемых решений или приводятся агрументы, указывающие на возможность теоретическоий количественной оценки качества решений. Нечеткие модели оказываются полезными в ситуации, когда исследователь не обладает информацией, достаточной для построения стохастической модели; при этом, как показано в диссертационной работе, применение нечетких моделей иногда дает результаты, сопоставимые по качеству с оптимальными статистическими решениями. В работе дан сравнительный анализ решений на основе предлагаемых моделей с другими известными решениями рассматриваемых задач. Отдельная глава посвящена вопросу об адекватности выводов, основанных на предлагаемых моделях.

Цели и задачи исследования

Основной задачей настоящей работы является формализация и изучение свойств теоретико-вероятностных и теоретико-возможностных моделей объектов и сцен, и их применение при построении процедур получения новой информации в рамках парадигмы морфологических методов анализа изображений.

Более точно, исследовалось применение стохастических и нечетких моделей в задачах:

• узнавания изображений,

• оценивания параметров объекта по его изображению,

• подавления помех на изображении,

• обнаружения и локализации неизвестных объектов на изображении известной сцены,

• определения формы текстурнозначного изображения,

• прогнозирования фрагментов изображения.

Для указанных задач построены процедуры получения выводов, основнные на предложенных моделях, и приведены результаты, характеризующие качество процедур*. В работе проведен сравнительный анализ полученных процедур с другими известными процедурами решения задач в схожей постановке (теоретически, где это возможно, или в вычислительном эксперименте). Автором исследуется также вопрос о выявлении противоречий между используемой моделью и данными, предъявляемыми для анализа, в контексте проверки адекватности модели.

Методологическая и теоретическая основа исследования

Методологической и теоретической основой исследования являются работы Ю. П. Пытьева, в которых заложены базовые принципы морфологических методов анализа изображений [1-3]. Для построения и использования стохастических моделей объектов исследования в работе применяется аппарат и результаты теореии вероятностей и математической статистики. Формализация нечетких моделей, а также понятие оптимальности в связи с использованием таких моделей, опирается на работу [17], в которой нашли теоретико-возможностную интерпретацию важные аналоги результатов теории статистических выводов.

Сравнительный анализ предлагаемых автором процедур проводится в том числе в вычислительном эксперименте, что является одним из принятых приемов при рассмотрении методов анализа изображений.

Суждение об адекватности обсуждаемых в диссертации моделей опирается на теорию надежности выводов [8].

Основные положения и результаты, используемые в работе, приве-дятся в основном тексте диссертации непосредственно перед их исноль Интерпретация термина «качество решающее процедуры» в каждом случае соответствует природе используемой модели и зависит от характера решаемой задачи. зованием, в соответствующих разделах.

Практическая значимость работы

Результаты выполненного исследования могут быть использованы при разработке информационных систем анализа изображений или технического зрения, где решаются задачи получения оптимальных выводов и их верификации.

В частности, во время работы над диссертацией некоторые из предложенные результатов применялись автором в составе исследовательской группы, работающей над задачами анализа изображений геологических структур в рамках договора о сотрудничестве между Физическим Факультетом МГУ им. М.В.Ломоносова и компанией Schlumberger. Другие приложения были найдены в работе, посвященной оцениванию качества металлопрокатной продукции компании ALCOA. Соответствующие прикладные задачи и полученные результаты отражены в основном тексте диссертации.

Апробация результатов исследования

Основные положения и результаты диссертации были представлены на 5-й Международной конференции «Распознавание Образов и Анализ Изображений: Новые Информационные Технологии» (РОАИ-5-2000), 10-й и 11-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», а также опубликованы в 3-х печатных работах.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены морфологические модели, нашедшие применение при решении таких задач как оценивание параметров объектов, узнавание изображений, фильтрация изображений, подавление помех на изображении, обнаружение объектов на сцене, определение формы и прогнозирование фрагментов изображения. Было показано, каком образом информация об изучаемом объекте, имеющаяся у исследователя, может быть учтена в предложенных моделях в теоретико-вероятностной или теоретико-возможностной формулировке. Например, при решении задачи узнавания изображений исследователь формулирует знание о форме объектов, и строит нечеткое решающее правило так, чтобы неточность имеющихся априорных сведений об условиях регистрации изображений не слишком негативно сказывалась на необходимости ошибки узнавания [17]. В задаче оценивания параметров объекта по изображению предложенный в работе метод предоставляет исследователю возможность учесть имеющиеся у него сведения о процессе формирования изображения, предъявляемого для анализа — включая такие аспекты как форма исследуемого объекта и искажения, привносимые прибором и средой. Круг задач, решение которых продемонстрировано, указывает на гибкость предложенных решающих процедур. Так, в работе показано, каким образом один и тот же формализм для получения выводов в непараметрических задачах анализа изображений может быть применен для а) обнаружения и локализации объектов на изображениях реальных сцен в условиях неоднородого нестационарного освещения, б) сегментации текстурнозначных изображений (случайных полей), в) прогнозирования изображений с известными локальными свойствами (в частности, изображений геологических структур, получаемых с помощью датчиков электрической проводимости среды).

Показана эффективность этих процедур в контексте конкретных решаемых задач в соответствии с принятой исследователем мерой качества — такой как погрешность оценки при оценивании параметров объекта, частота ошибочных решений при решении задачи узнавания и т.д. Для представленных решений в задачах узнавания и задачах оценивания параметров получены гарантированные оценки качества. Проведен сравнительный анализ процедур, основанных на стохастических и нечетких моделях; так, для задачи узнавания изображений показано, что качество решений, основанных на нечетких моделях, близко к качеству теоретически неулучшаемых статистических аналогов, при этом для построения нечеткой решающей процедуры необходимо меньше априорной информации. Для проведения сравнительного анализа процедур, сформулированных в стохастических и нечетких терминах, разработан метод моделирования в вычислительном эксперименте нечеткого элемента и совокупности нечетких элементов, обладающих заданным распределением возможности. В ряде случаев указаны способы получения выводов об адекватности моделей, применяемых в рассмотренных задачах. Наличие в решающих процедурах, основанных на моделях, механизма проверки адекватности последних, позволяет расширить круг возможных применений рассмотренных методов такими задачами, в которых надежность решения считается наиболее критичным фактором. Приведены некоторые реальные применения описанного в диссертационной работе математического аппарата в прикладных задачах. Использование предложенных информационных технологий предоставило в этих приложениях привлекательную альтернативу дорогостоящему труду экспертов в соответствующих предметных областях.

1. Пытьев Ю. П. Морфологический анализ изображений. //ДАН СССР, 1983, т. 269, №5, сс. 1061-1064.

2. Пытьев Ю. П. Задачи морфологического анализа изображений. //В сб. ст. «Математические методы исследования природных ресурсов Земли из космоса», М.: «Наука», 1984, с. 41-82.

3. Pyt'ev Yu. P. Morphological Image Analysis. //Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 3, No. 1, 1993, pp. 19-28.

4. Пытьев Ю. П., Животников Г. С. Теоретико-вероятностные и теоретико-возможностные модели распознавания. Сравнительный анализ. //«Интеллектуальные системы», 2002, т. 6, вып. 1-4., сс. 6390.

5. Pyt'ev Yu. Р. and Zhivotnikov G. S. On the Methods of Possibility Theory for Morphological Image Analysis. //Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 14, No. 1., 2004, pp. 60-71.

6. Пытьев Ю. П. Математические методы интерпретации эксперимента. М.: «Высшая школа», 1989.

7. Пытьев Ю. П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

8. Пытьев Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

9. Животников Г. С. О задаче оптимального оценивания параметров объекта по его изображению. //Математические методы распознавания образов. Доклады 11-й Всероссийской конференции. М., 2003.

10. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. Под ред. В. Н. Вапника. М.: Наука, 1984.

11. Боровков А. А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984.

12. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974.

13. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: «Мир», 1975.

14. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: «Наука», 1979.

15. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.

16. Пытьев Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: «Эдиториал УРСС», 2000.

17. H.-J. Bunge. Texture Analysis in Material Science. Mathematical Methods. Butterworth and Co. (Publishers), 1982.

18. Методы компьютерной обработки изображений. //Под ред. В. А. Сойфера. М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2003.

19. Кендэл М. Ранговые корреляции. М., «Статистика», 1975.

20. Пытьев Ю. П., Семин А. В., Успенский И. О. О быстром алгоритме морфологического анализа. //Математические методы распознавания образов. Доклады X Всероссийской конференции. М., 2001.

21. J. Hornegger, Н. Niemann. Probabilistic Modeling and Recognition of 3-D Objects. //International Journal of Computer Vision, vol. 39(3), pp. 229-251, 2000.

22. T. Vieville, D. Lingrand, F. Gaspard. Implementing a Multi-Model Estimation Method. //International Journal of Computer Vision, vol. 44(1), pp. 41-64, 2001.

23. W. M. Wells III. Statistical Approaches to Feature-Based Object Recognition. //International Journal of Computer Vision, vol. 21(1/2), pp.63-98, 1997.

24. M. A. Sipe, D. Casasent. Feature Space Trajectory Methods for Active Computer Vision. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 12, pp. 1634-1643, 2002.

25. B. Schiele. Recognition without Correspondence using Multidimensional Receptive Field Histograms. //International Journal of Computer Vision, vol. 36(1), pp.31-50, 2000.

26. J. F. Y. Cheung et al. A Statistical Theory for Optimal Detection of Moving Objects in Variable Corruptive Noise. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 8, no. 12, pp.1772-1787, 1999.

27. K. Sengupta, P. Burman. A Curve Fitting Problem and its Application in Modeling Objects in Monocular Image Sequences. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 5, pp.674-686, 2002.

28. М. А. Т. Figueiredo, А. К. Jain. Unsupervised Learning of Finite Mixture Models. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 3, pp.381-396, 2002.

29. J. P. Oakley, B. L. Satherley. Improving Image Quality in Poor Visibility Conditions Using a Physical Model for Contrast Degradation. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 2, pp. 167-179, 1998.

30. A. Lorette, X. Descombes, J. Zerubia. Texture Analysis through a Markovian Modelling and Fuzzy Classification: Application to Urban Area Extraction from Satellite Images. //International Journal of Computer Vision, vol. 36(3), pp. 221-236, 2000.

31. Ph. Th6venaz, U. E. Ruttimann, M. Unser. A Pyramid Approach to Subpixel Registration Based on Intensity. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 1, pp. 27-41, 1998.

32. N. Vasconcelos, A. Lippman. Statistical Models of Video Structure for Content Analysis and Characterization. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 1, pp. 3-19, 2000.

33. A. D. Lanterman, U. Grenander, M. I. Miller. Bayesian Segmentation via Asymtotic Partition Functions. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 4, pp.337-347, 2000.

34. K. Sivakumar, J. Goutsias. Morphologically Constrained GRFs: Applications to Texture Synthesis and Analysis. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no. 2, pp.99-113, 1999.

35. D. C. Alexander, B. F. Buxton. Statistical Modeling of Colour Data. //International Journal of Computer Vision, vol. 44(2), pp.87-109, 2001.

36. R. Toledo et al. Tracking Elongated Structures using Statistical Snakes. //IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, Proceedings, vol. 1, 2000.

37. W.-S. Hwang, J. Weng. Hierarchical Discriminant Regression. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intellignece, vol. 22, no. 11, pp. 1277-1293, 2000.

38. M. R. Rezaee et al. A Multiresolution Image Segmentation Technique Based on Pyramidal Segmentation and Fuzzy Clustering. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 7, pp. 1238-1248, 2000.

39. J. F. Y. Cheung et al. Directional Line Detectors in Correlated Noisy Environments. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 12, pp. 2061-2070, 2000.

40. J. M. N.Leitao, M. A. T. Figueiredo. Absolute Phase Image Reconstruction: A Stochastic Nonlinear Filtering Approach. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 6, pp. 868-882, 1998.

41. S. Baker, T. Kanade. Limits on Super-Resolution and How to Break Them. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 9, pp. 1167-1183, 2002.

42. M. Elad, A. Feuer. Super-Resolution Reconstruction of Image Sequences. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no. 9, pp. 817-834, 1999.

43. M. Elad, A. Feuer. Superresolution Restoration of an Image Sequence: Adaptive Filtering Approach. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 8, no. 3, pp. 387-395, 1999.

44. S. Baker, S. K. Nayar, H. Murase. Parametric Feature Detection. //International Journal of Computer Vision, vol. 27(1), pp. 27-50,1998.

45. R. Manduchi. Mixture Models and the Segmentation of Multimodal Textures. //IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, Proceedings, vol. I, 2000.

46. Y. Wang, L. H. Staib. Boundary Finding with Prior Shape and Smoothness Models. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 7, pp. 738-743, 2000.

47. P. Anandan, M. Irani. Factorization with Uncertainty. //International Journal of Computer Vision, vol. 49(2/3), pp. 101-116, 2002.

48. К. I. Kim, K. Jung, S. H. Park, H. J. Kim. Support Vector Machines for Texture Classification. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 11, pp. 1542-1550, 2002.

49. G. J. Genello et al. Graeco-Latin Squares Design for Line Detection in the Presence of Correlated Noise. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 4, pp. 609-622, 2000.

50. M. L. Comer, E. J. Delp. Segmentation of Textured Images Using a Multiresolution Gaussian Autoregressive Model. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 8, no. 3, pp.408-420, 1999.

51. C. F. Borges. On the Estimation of Markov Random Field Parameters. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no. 3, pp. 216-224, 1999.

52. R. G. Aykroyd. Bayesian Estimation for Homogeneous and Inhomogeneous Gaussian Random Fields. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 20, no. 5, pp. 533-539, 1998.

53. D. A. Langan, J. W. Modestino, J. Zhang. Cluster Validation for Unsupervised Stochastic Model-Based Image Segmentation. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 2, pp. 180-195, 1998.

54. X. Feng, С. К. I. Williams, S. N. Felderhof. Combining Belief Networks and Neural Networks for Scene Segmentation. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 4, pp.467-483, 2002.

55. J. Bennett, A. Khotanzad. Multispectral Random Field Models for Sythesis and Analysis of Color Images. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 20, no. 3, pp. 327-332, 1998.

56. J. Bennett, A. Khotanzad. Maximum Likelihood Estimation Methods for Multispectral Random Field Image Models. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no. 6, pp. 537-543, 1999.

57. D. C. Stanford, A. E. Raftery. Approximate Bayes Factors for Image Segmentation: The Pseudolikelihood Information Criterion (PLIC). //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 11, pp. 1517-1520, 2002.

58. I. B. Kerfoot, Y. Bresler. Theoretical Analysis of Multispectral Image Segmentation Criteria. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 8, no. 6, pp. 798-820, 1999.

59. К. B. Eom. Long-Correlation Image Models for Textures with Circular and Elliptical Correlation Structures. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 10, no. 7, pp. 1047-1055, 2001.

60. O. Pichler, A. Teuner, B. J. Hosticka. An Unsupervised Texture Segmentation Algorithm with Feature Space Reduction and Knowledge Feedback. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 1, pp. 53-61, 1998.

61. T. Hofmann, J. Puzicha, J. M. Buhmann. Unsupervised Texture Segmentation in a Deterministic Annealing Framework. //IEEE

62. Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 20, no. 8, pp. 803-818, 1998.

63. J. A. Rushing et al. Image Segmentation Using Association Rule Features. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 11, no. 5, pp. 558-567, 2002.

64. T.-I. Hsu, R. Wilson. A Two-Component Model of Texture for Analysis and Synthesis. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 10, pp. 1466-1476, 1998.

65. T. Randen, J. H. Hus0y. Texture Segmentation Using Filters with Optimized Energy Separation. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 8, no. 4, pp. 571-582, 1999.

66. P. Kruizinga, N. Petkov. Nonlinear Operator for Oriented Texture. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 8, no. 10, pp. 13951407, 1999.

67. H. Frigui, R. Krishnapuram. A Robust Competitive Clustering Algorithm With Applications in Computer Vision. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no. 5, pp. 450-465, 1999.

68. Y. Chen, J. Z. Wang. A Region-Based Fuzzy Feature Matching Approach to Content-Based Image Retrieval. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 24, no. 9, pp.1252-1267, 2002.

69. L. F. C. Pessoa, P. Maragos. MRL-Filters: A General Class of Nonlinear Systems and Their Optimal Design for Image Processing. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 7, pp. 966-978, 1998.

70. G. Ayala, J. Domingo. Spatial Size Distributions: Applications to Shape and Texture Analysis. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 23, no. 12, pp. 1430-1442, 2001.

71. W. Pieczynski, J. Bouvrais, C. Michel. Estimation of Generalized Mixture in the Case of Correlated Sensors. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 2, pp. 308-312, 2000.

72. S. J. Roberts et al. Bayesian Approaches to Gaussian Mixture Modeling. //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 20, no. 11, pp.1133-1142, 1998.

73. M. J. Jones, T. Poggio. Multidimensional Morphable Models: A Framework for Representing and Matching Object Classes. //International Journal of Computer Vision, vol. 2(29), pp. 107-131, 1998.

74. M. Mignotte et al. Sonar Image Segmentation Using an Unsupervised Hierarchical MRF Model. //IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 7, pp. 1216-1231, 2000.