автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Монотонные схемы повышенного порядка аппроксимации и их приложения в аэрогидромеханике

российская академия наук

Сибирское отделение Вычислительный центр

На правах рукописи

Пинчуков Владимир Иванович

МОНОТОННЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В АЭРОГВДРОМЕХАНИКЕ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических . методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Скбирскот отделения Российской академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Блохин А. М. доктор физико-математических наук, профессор Воеводин А. Ф. доктор физико-математических наук, профессор Воротов Е. В.

Ведущая организация - Институт прикладной математики Российско! академии наук (Москва).

Защита состоится " 2-2, c'i " 1995 года в " '/-У' часов на заседании специализированного совета Д. 002.10. 02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном центре СО РАН

С630090, Новосибирск, 90, пр. акад. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВЦ СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск, 90, пр. акад. Лаврентьева, 6.

Автореферат разослан "7j," года

Ученый секретарь специализированного совета

Г. И. Забиняко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Математическое моделирование играет важную роль в исследовании проблем авиастроения, космической техники, транспорта, энергомашиностроения и других отраслей новой техники, причем в связи с развитием вычислительной техники значение моделирования продолжает возрастать. Важнейшее место в решении указанных проблем занимает описание и предсказание процессов аэрогидродинамики при различных значениях режимных параметров и конфигураций геометрии изучаемых установок.

Повышенный интерес вызывают течения жидкостей и газов с различными особенностями и эффектами - ударными волнами, отрывными зонами, пограничными слоями, турбулентным переносом. Точность и эффективность расчета таких течений обеспечивается как построением адекватных математических моделей, так и созданием быстродействующих высокоточных численных методов, обладающих запасом "прочности" для качественного расчета при наличии особенностей - разрывов, изломов стенок, сдвиговых слоев.

С целью исследования на ЭВМ сложных течений необходимо построение эффективных численных схем, обладающих противоречивыми свойствами - высоким порядком аппроксимации и мажорантными свойствами С монотонность, принцип максимума). Интуитивные, эмпирические способы построения таких схем разрабатываются в течение длительного времени. Хотя на этом пути достигнуты, определенные успехи, широкомасштабное применение математического моделирования требует сознания достаточно общих алгоритмов построения адаптивных схем, гарантирующих как высокую точность на "гладких" разностных функциях, гак и надежность, хорошее качество решений с особенностями.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в создании, обосновании алгоритмов коррекции высокоточных численных методов, обеспечивающих их мажорантные свойства, конструировании адаптивных численных схем повышенного горядка аппроксимации, последовательном решении проблем вычисли-гельной аэрогидродинамики, применении методов математического моделирования для решения актуальных прикладных задач, получения зовых знаний об особенностях формирования и~ развития течений жид-гостей и газов с отрывом, рециркуляцией, ударными волнами, при на-тичии эффектов турбулентного'переноса, внутренних направляющих по-зерхностей, сочетания свободной и частично заданной поверхности падкости.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ состоит в следующем:

1. Предложен ряд алгоритмов коррекции произвольных схем общего вида решения различных уравнений (переноса, параболических уравнений с диффузионными членами высоких порядков дифференцирования, эллиптических уравнений, гиперболических симметрических систем), которые обеспечивают мажорантные свойства (монотонность, принцип максимума) схем и тождественность их исходным на гладких решениях вне экстремумов. Рассмотрены явные и неявные, консервативные и неконсервативные схемы.

2. Предложены схемы повышенного порядка аппроксимации для решения уравнений сжимаемого газа Связкого и идеального), несжимаемой жидкости, уравнений мелкой воды с использованием построенных алгоритмов адаптации.

3. Созданы численные алгоритмы расчета следующих задач аэромеханики: гиперзвукового двумерного обтекания тел сложной формы с передней отрывной зоной, трансвукового обтекания плоских крыльев турбулентным потоком, квазидвумерных турбулентных течений несжимаемой жидкости в каналах, мелководных течений воды вблизи судна.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается высоким уровнем обоснования алгоритмов и методов (устойчивость, монотонность, принцип максимума), тестовыми расчетами, анализом выполнения законов сохранения.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Изложенные в диссертации алгоритмы и методы построения высокоточных мажорантных численных схем, как и построенные адаптивные схемы, могут найти применение при математическом моделировании задач аэрогидромеханики с особенностями. Сочетание взаимодополняющих качеств - монотонности и высокой точности - позволяет с большей, чем ранее, уверенностью в успехе начинать исследование на ЭВМ проблем технологии и новой техники.

Методики и программные комплексы решения рассмотренных прикладных задач позволяют использовать их при моделировании родственных установок и объектов.

Расчетные данные о структурах течений, аэро гидродинамических характеристиках исследуемых тел, учитывались в процессе решения практических проблем. Кроме того, они несут в себе информацию об общих закономерностях потоков с отрывами, ударными волнами, пограничными и сдвиговыми слоями, которая может использоваться в ана-

личных ситуациях.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. По мере получения результаты диссертационной 1боты докладывались на: IX, X, XII, XIII Всесоюзных школах-семи-ipax по численным методам механики вязкой жидкости СОльгино, !82, Новосибирск, 1984, Свердловск, 1988, Новосибирск, 1992, ¡94}; Школе-семинаре соц. стран "Вычислительная аэрогидромехани-l", Самарканд, 1985, Всесоюзном семинаре "Отрывные и струйные терния", Новосибирск, 1988; Soviet Union-Japan Symp., Khabarovsk, !88; V Всесоюзной школе-семинаре по методам аэрофизических иссле->ваний С Абакан, 1989); International conference "Mathematical idels and numerical methods in continuum mechanics", 1991, Novo-birsk; International conference on the methods of aerophysical search (Novosibirsk, 1992); VII и VIII конференциях "Теоретичес-ie основы и конструирование численных алгоритмов решения задач тематической физики" СКемерово, 1988, Красновидово, 1990, 1992); :бирской конференции по прикладной и индустриальной математике [овосибирск, 1994); Международной конференции "Исследования ги-рзвуковых течений и гиперзвуковые технологии" СЖуковский, 1994); ■ждународкой школе-семинаре "Самгоп-94", (Арзамас-16, 1994).

ОБЬЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ, ПУБЛИКАЦИИ. Диссертация состоит из ми глав, заключения, списка литературы, содержащего 217 назва-й, выполнена на 268 страницах, иллюстрирована 45 рисунками. 0с-вные результаты диссертации опубликованы в 34 работах, список торых помещен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР МОНОТОНННЫХ СХЕМ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ.

Анализируется состояние вопроса, обосновывается актуальность осматриваемых проблем, выделяется круг основных задач. Рассмот-ена литература по схемам повышенной точности, алгоритмам их мо-тонизации, построению адаптивных численных методов. Отмечается, о с ростом мощности ЭВМ и увеличением числа сеточных узлов схемы вышенногс порядка становятся предпочтительными в связи с большим игрышем по точности. Однако использование схем высоких порядков митируется осцилляционными эффектами на разрывах решения.

На первом этапе алгоритмы построения адаптивных численных схем растеризовались использованием параметрического перестроения, к наиболее общего метода комбинирования в схеме противоречивых

свойств, и носили эмпирический характер. В рамках этого процесса поиска появились работы В. П. Колгана и Бориса и Бука, которые получили развитие и оформились в два направления конструирования высокоточных монотонных схем. Первое, реализующее принцип минималь ных производных, основывается на выборе минимально осцилйяционных формул одинакового порядка аппроксимации, характеризуется приоритетом аппроксимационных требований над требованиями монотонности и содержит, например, ENO-схемы. Второе характеризуется приоритетом монотонности над аплроксимационными условиями и содержит, например, FCT - схемы. Этому направлению принадлежат алгоритмы, развиваемые в диссертационной работе.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ КОРРЕКЦИИ СХЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧНОСТИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

В данной главе рассматриваются общие алгоритмы построения монотонных численных схем повышенной точности для решения гиперболических уравнений первого порядка. Основной идеей развиваемого подхода является комбинирование в конструируемой адаптивной схеме двух схем с различными свойствами или каких-либо элементов этих схем (например, потоков физических величин через границы разностной ячейки). В качестве одной из базовых схем обязательно должна быть монотонная схема первого порядка, второй может быть схема повышенной точности, не обладающая мажорантными свойствами. Предложенные алгоритмы, реализующие этот в целом известный подход, позволяют гарантировать как монотонность получаемых адаптивных схем, так и произвольный априори заданный порядок аппроксимации их на "гладких" решениях без экстремумов. Комбинирование двух схем реализуется посредством надлежащего ограничения апроксимационных добавок к монотонным потокам первого порядка.

В первом - третьем параграфах главы анализируются алгоритмы монотонизации различных схем - явных, неявных, консервативных, неконсервативных, типа предиктор-корректор - на примере уравнения с одной пространственной переменной. Рассмотрим здесь наиболее общие формулировки. Пусть решается задача Коши для уравнения переноса

/ + а/ =0, а = const. (1)

' t J X

Будем использовать обозначения /" = /(ат, ih), <5+= Г - Е, <Г= £ - Г1, Е/п = /п, Г/п = /п . Пусть I, , ~ crr/h/n+* - по-

Ji Ji Ji ' l + i J l+i/а -'iti/'г

токи, вычисляемые произвольным образом, возможно, с использованием этапа предиктор на основе явной или неявной схемы. Для построения монотонных разностных схем представим их в виде суммы монотонных потоков Г.+[и аппроксимационных добавок ЛГ+1/г, /,+1 /2=

Г., 7 + М. ^ , , где А/, = Г. -Г , , Г = т/С2М 1+1/2 1+1/2' 1+1/2 1+1/2 1+1/2 1+1/2

[(а+1а1)/" +Са-1аО/"+1 ].

Монотонная адаптивная схема повышенной точности может быть получена посредством ограничения аппроксимационных добавок Л7.+1/г

В1+./г' Л+ 1/2 = Г1 + ,/2+ °1+1/2- КОТ°Р°е йУДеМ проводить с помощью формул:

(2)

D. = s.iiM. s., lar/h I, lax/his.<5+/._ X),

1+1/2 1 1 + 1/2 1 Ji i'im

s.= signC6*fJ, га = sign Ca).

iC a , ... , a ) = max! 0, mini a , ... , a ) ], (3)

1 n 1 n

X > 0.5 - параметр сжатия. Рассмотрим неявные схемы

IE + fflXlCE - rm)]C/n+l- /п) + 5"J. _ = 0, (4)

' 1 J 1 1+1/2

где о - параметр, 0<rsl,

Теорема. Пусть последовательность /", s i i имеет определенное направление роста, то-есть, она либо невозрастащая, либо неуОибающая, кроме того, выполнены условия

l/"l s const, s L s lar/hlCl + X - a) s 1. (5)

Тогда последовательность -«> * i s имеет то хе направле-

ние роста, что и последовательность /".

Анализ монотонности справедлив для различных значений фигурирующих в разностных уравнениях параметров и охватывает случаи явных и неявных схем, имеющих одношаговый вид или принадлежащих типу предиктор-корректор с произвольным, явным или неявным, возможно, многошаговым предиктором.

Аналогично, рассмотрим неявные неконсервативные схемы

[£ + fflalT/hC£ - Гт)]С/р-/^) + V^ О, C1C

K1 = cnaf/dxF*s + 0Chk), m = signCa), 0 s tr i 1. ■ Cll

Монотонная разностная схема может быть получена посредствс лимитирования в уравнении СЮ) разностных производных У :

D* = sJ(.Visi, \ar/h6'mfi IX), /л. = signCa), \ > 1,

С12

st signC5"m/.), «5-7,= ¡iHl^/z ~

Теорема. Дусть последовательность /", -» s i u*e еш опреЭеленное направление роста, яо-есть, она .tutfo небозрашаю щая, либо неубывающая, кроле шого, выполнены условия

l/"l £ const, s i s со, lar/hlCX. -a) s 1. С14

ГогЗа последовательность , -»si s оправленная us ураб нения (10), в нояорол V заяененно на D*, имеет то хе направле

ние роста, что и последовательность /".

В четвертом параграфе приводятся тестовые расчеты решения урав нения переноса С1) применительно к задаче распространения уединен ного возмущения. Используется двухпараметрическое семейство чис ленных схем второго-шестого порядка по х и t.

На рис. 1 приведены результаты численного интегрирования урав нения (1) на интервале времени, за который возмущение распростра няется на 160 шагов сетки по пространству. Сплошной линией изобра жено точное решение, которое имеет общий вид / = yiix-at"), С а) со ответствует схеме второго порядка, С б) - схеме четвертого порядка С в) - схеме шестого порядка.

Следует отметить важную особенность приведенных численных реше ний. Развиваемые здесь алгоритмы построения монотонных схем повы шенного порядка аппроксимации относятся к "жестким", то-есть, условие монотонности доминирует над аппроксимационным. Такого род< схемы могут терять порядок точности на "гладких" решениях возл< экстремумов. Рассмотренные численные решения, тем не менее, демон-стрирукзт улучшение реальной точности расчетных данных возле экстремумов с повышением формального порядка аппроксимации используе-

Рис. 1. Уравнение переноса, а, а*- второй порядок, 6,6*- четвертый порядок, в, в* - шестой порядок.

мых схем, несмотря на "жесткость" алгоритма монотонизации.

Работоспособность исследуемых алгоритмов монотонизации иллюстрируется также численным решением нелинейного уравнения переноса + // = 0 с помощью неявных двухшаговых схем второго -четвертого порядка аппроксимации. Получены монотонные разностные функции для решений со скачками с их размазыванием на 2-3 интервала Срис.2).

В пятом - шестом параграфах рассмотренные алгоритмы обобщены для двумерных задач. Анализируются явные консервативные схемы произвольного порядка аппроксимации для решения уравнения переноса и симметрической гиперболической системы уравнений. Показано, что в результате применения предлагаемых алгоритмов коррекции схемы сохраняют исходный порядок аппроксимации на гладких решениях вне экстремумов, вместе с тем они эквивалентны трехточечным по каждой координате схемам с неотрицательными коэффициентами С для уравнения переноса) или симметричными матрицами Сдля симметрической системы). Справедливость мажорантного уравнения с неотрицательными коэффициентами гарантирует выполнение принципа максимума для схем численного решения уравнения переноса.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ КОРРЕКЦИИ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ.

Однородные аппроксимации третьих и более высоких производных не обеспечивают мажорантных свойств разностных схем ни при каких порядках аппроксимации ввиду знакопеременности коэффициентов этих аппроксимаций. Вместе с тем решения соответствующих уравнений могут сохранять монотонность С в одномерном случае) или подчиняться принципу максимума. В данной главе строятся адаптивные аппроксимации производных второго и более высоких порядков, которые при любой точности на гладких решениях гарантируют мажорантные свойства разностных уравнений.

Следует отметить, нелинейные аппроксимации производных старших порядков могут использоваться в качестве процедур нелинейного от-фильтровывания коротковолновой составляющей разностных функций с сохранением их монотонности. Предлагаемые здесь варианты нелинейных фильтров имеют произвольный заданный порядок малости Св частности, возможен режим тождественного перевода "гладких" функций самих на себя, с выглаживанием лишь "плохих" участков) и сохраняют монотонность численных данных.

Как и ранее при монотонизации схем решения гиперболических за-

дач, здесь используются идеи комбинирования элементов мажорантной и высокоточной схемы для построения нелинейных процедур фильтрования разностных функций. В первом - четвертом параграфе третьей главы даются различные модификации фильтров: явный, неявный, консервативный, неконсервативный. Рассмотрим в классе неконсервативных неявный случай, вначале - линейный фильтр:

СЕ - o6*6"Kf* - Д) = -fflf^ Мhk э^/эх*/, И = const. С15)

Неконсервативные операторы фильтрования, сохраняющие монотонность решения, могут бьггь построены путем представления исходного оператора в правой части С15) как суммы однородного опорного оператора, сохраняющего монотонность разностного решения, и аппрокси-мационной добавки D. = -МУ/ - aó'6+fi , ограничение которой позволяет получить монотонную процедуру:

СЕ - слГ<ГХ/* - /.) = <з6'б*{. + ГГ + D+, С16)

11 J i 11 i i •

где a ü О, D*, D^ определяются по формулам:

D* = s $ls. D., s б"Ла( 1 +о0/С 1 +2о0], 1 1-1 1-1 1 1-1 11

С17)

s. = signCíV.), ГГ = -sJl-s.D., s.ó*f.aС1+o0/С 1+2<т) ]. i 3 11 ' i i 11 i i

Теорема, йуешъ последовательность / , •• í i s ияеет определенное направление рост, яо есть, она либо невозрастащая, tudo неубывающая, кроле шого, выполнено условие

2а s 1 + 2o-, С18)

Тогда последоваяелъносшъ /*, s i í имеем по хе направление жша, что и последовательность / .

Далее рассматриваются консервативные фильтры. Полагая, что негодный оператор дифференцирования V представляется в этом случае i дивергентном виде V = б"В, ИВ - потоки, и введя аппроксимаци-знную поправку потоков D = có*+ MB, построим следущую явную про-1едуру:

С19)

D* = sMs.Df./2, \5*f.\a, s.e'f.cOJ, X > .5, (20)

D~ = s.iCs.Df. /2, 157. la, s.(5+/. cOO , s. = sign(<57 ). (21)

1 1 11 J 1 ' I ' 1 +1 1 J J 1

Теорема. Пусть послебобшшьносшг / , s i * ®( идеен определенное напрабление poena, то есть, оно ди<?о небозраеттвдая, лиОо неубывающая, кроле того, выполнено условие

2а (1 + U i 1. (22)

ТогСа последовательность {*, s i s ияеем шо же направление росла, что и последовательность f .

Следует отметить, на гладких решениях вне экстремумов как неконсервативная (16)-(17), так и консервативная (19)-(21) процедуры вырождаются в исходное линейное уравнение (15).

Поиски неявных консервативных фильтров в классе алгоритмов с линейными операторами в левой части успеха не принесли, причем, как следует из анализа общего решения разностного уравнения (23), фильтры с нужными аппроксимационными и мажорантными свойствами не существуют.

Рассмотрим общее выражение нелинейного фильтрования:

СЕ - а 6* + а 6")if* - /.) = - 6~J. , . (23:

1 а ' 1 11 1+1/2

Теорема. £сли в уравнении (23) потоки удовлетво-

рят условию

О * sJ. * -C\6*f. I, s = sign(57.), (24!

1 + 1/г ' l 3 Ji

причел

C[2/(Q2-4a а У/г+21 ¿Q + ((f-4cг a )'/г, Q = 1+cr +cr , (25!

12 12 12

то уравнение (23) сохраняет ttoнояонносжь численных решений, шо есть, неубывающую иди невозрасшащую разностную функцию перевови в такую хе.

Непосредственно вычисляя потоки Ji+1/2 по формулам (19)-(21) мы можем, вообще говоря, получить немонотонные значения функци /*, поскольку условиям теоремы они не удовлетворяют. Однако не сколько модифицируя (введя множитель 1/2 для второго аргумент

функции Ф) формулы С19)-С 21), можно получить диффузионные потоки с нужными свойствами.

Наконец, в расчетах опробован и дал хорошие результаты, хотя и не обоснован аналитически, следующий подход. Определим стандартным образом нелинейный фильтр-.

С £ - сri5+ + су5-)С/* - /4) = - <5 "J1+t/2, С 26)

где определяются по формулам С19)-С21), причем параметры

а , er , а, М будем выбирать из условия превращения в нулевую наиболее коротковолновой компоненты разностной функции, то-есть, потребуем, чтобы при / = С-1)1 имело место соотношение /* = О как для функций с доминирующими длинноволновыми компонентами (в

этом случае ^1+1/2= М&к~1) Jt= -W5+C6+i")k/i)- так и для функций

с доминирующими коротковолновыми компонентами =

Для этих случаев можно получить:

1+2а +2и = М 41+к. С 27)

1 2

1+20- + 2сг = а 4. (28)

1 2

Соотношения С27)-(28), хотя и не удовлетворяют теоретическим /словиям монотонности, в практических расчетах оказались вполне 1риемлемыми.

Таким образом, выше построены консервативные процедуры нелиней-юго фильтрования коротковолновой составляющей разностной функции, соторые гарантируют сохранение ее монотонности. Однако это достигается за счет определенного ограничения диффузионного коэффициента, кроме того, не выполнено аппроксимационное условие вырождения гелинейного сглаживания в исходное линейное заданного порядка, ¡десь мы продемонстрируем, что вынося на неявный слой все слагаете нелинейного диффузионного уравнения, можно получить безусловно юнотонный фильтр с нужными аппроксимационными свойствами.

Рассмотрим линейное неявное консервативное уравнение демпфировал коротковолновых компонент:

/, - /v + (ГГ =0, I.» BT/h£-lf/d>*-l\^ . к > 2. (29)

i 1 i 1 ' i + i /г

Здесь = /С Ш - входная функция, / = /(¿h) - результат

нелинейного фильтрования.

Введя вспомогательный параметр (3 = %1В\т/Нк * О, т - временной шаг, % ~ 0(1) - числовой параметр, зададим, как и ранее, "монотонные" потоки Г соотношениями: Г. = -/36+/,, а также аппро-

симационные добавки Л/. = / Г. = + P6*fi, так что /.= Г. +

Л/.. Ограничивая, как и ранее, эти добавки, получим потоки 7.,

обеспечивающие выполнение принципа максимума для построенной процедуры и тождественность ее исходной линейной (29) на гладких решениях:

J. = -|?<5+/. + + 2Г, (30)

1 1 ' 1 1 1

где Б*, ЕГ - вычисляются по формулам:

0* = s KбJ./2s., 13\б*/.1х, э.1367,- X), (31)

1 1 1 1' 1 * 1 ' I1 '1-1

гг = элш./гБ., /3157.1*, г.бб7- сз2)

1 1 1 1 ' ■' I I1 '1+1

э. = 51£г07.), 0.5 < * < 1, 0.5 < X. (33)

Рассмотрим уравнение

/. - Г + <5^- = 0. ■'1 71 1

(34)

Теорема. Разностная функция / , * I не дожей ов-новременно удовлетворять неравенствал /.> / , / > /,_1, /. > /У или /.< / , / < / , / < озкачаэдид наличие максимум

иди ликилула в точке х = 1Дх, I.

В пятом параграфе аналогичная теорема доказана для двумерных задач.

В шестом параграфе работоспособность предложенных методов проиллюстрирована эффективным выглаживанием разностного решения с изломами первой производной и пилообразной составляющей.

Нелинейные фильтры использовались для монотонизации численных схем интегрирования уравнения Бюргерса Д + С/г/2)х= 0. За основу взята консервативная схема второго порядка аппроксимации. Оказалось, нелинейные фильтры позволяют получать монотонные численные решения, однако при этом размазывание скачков несколько больше,

чем при использовании метода коррекции Сглава 23.

В результате объединения и некоторой модификации алгоритмов, рассмотренных во второй и третьей главах, в восьмом - десятом параграфах построены схемы произвольного порядка аппроксимации для общих классов параболических и эллиптических уравнений, содержащих как конвективные, так и диффузионные слагаемые высоких степеней дифференцирования. Показано, что схемы удовлетворяют принципу максимума как в одномерном, так и в многомерном случае, и могут использоваться для решения как стационарных задач с краевыми условиями, так и нестационарных задач.

ГЛАВА 4. ТЕЧЕНИЯ С ПЕРЕДНЕЙ ОТРЫВНОЙ ЗОНОЙ ВОЗЛЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ.

В данной главе на основе предложеных алгоритмов монотонизации строится численный метод интегрирования уравнений Навье-Стокса по времени. Он имеет повышенную точность по пространственным переменным, диссипативен, автоматически перестраивается на разрывах численного решения, так что разностные функции носят здесь монотонный характер.

Систему уравнений вязкого газа Д + Гх + = V, V - вязкие слагаемые, будем решать с помощью схем пересчетного типа:

О С/*-/п)/г + £(1>С/П) = V" - А" М. у - Д" N. , , (35)

I ' 1 ' х 1+1 /г у к+1/2

ОгС/п+1-Л/т + сг[£(1>(/*)Чи> С/")] = С/*-/п)/т, (36)

где М, N - члены искусственной диффузии, при вычислении которых использовались подходы глав 2 и 3 (метод коррекции и нелинейные фильтры), I.'11, I = 1,2,3, - аппроксимации повышенной точности для динамических слагаемых:

1а> = Д°СЕ + *(1><5+сГ)(£ + ^(1><5+<Г)Г +

у у

+ Д°(£ + *(1>(5+(Г)СЕ + ц{и6*6П6,

у хх У У

(37)

*">= о, рс,)= 0, *(г,= 1/6, р(2>= О, *(3)= 1/5, р(3> =1/30, й , й - стабилизирующие операторы

й = [Е - тД"сх , Д+] [£ - 2 Д" С тега)2 „ Д+3,

I х1 + 1/гх х 1+1/г х

О = [£ - тД-сУ , Д+][£Г - 2 Д- (таМ* Д+],

г у к+1/г у у к+1/2 у

Ci+1/2= W/CpPD+c /2, с* = w/СрРгЭ+с /2. A = 5 /Ду,

С 39)

с = Àx/2a minCl, 2\L*P+L'P\/d 1А+Р1+1Д"Р1), А = d /Ах, '

1 X X X X XX

Здесь pj'/CpPr), с^ с - коэффициенты, предназначенные для стабилизации, соответственно, физических и искусственных диссипа-тивных членов, а и Ь имеют смысл максимальных по модулю собственных значений матриц DF/Df, DG/Df, то есть, а = (уР/р)0'3 +

lui, Ь - iyP/p)°-s + lui.

Формулы С37) реализуют принципы компактных аппроксимаций и позволяют на стационарных решениях получать схемы 2,4,6-го порядков по пространственным переменным Сбез учета вязких слагаемых), соответственно, при I = 1,2,3.

На примере уравнения переноса доказана устойчивость предложенного семейства схем, а также показано, что они имеют второй, а для стационарных решений 2-6-й порядок аппроксимации. Теоретически исследованы также некоторые модификации схем (например, с нерасщеп-ленным стабилизирующим оператором), которые программно не реализованы, однако могут обладать определенными преимуществами, например, ускоренной сходимостью к стационарному решению.

Схемы реализованы в рамках подхода "конечных обьемов" для произвольного- криволинейного преобразования координат. Следует отметить, что для неравномерных криволинейных сеток порядок аппроксимации понижается до второго. Также второй порядок он имеет возле границ области ввиду необходимости урезания схемного шаблона.

Проведены тестовые расчеты гладких и разрывных решений уравнений Эйлера. Использование как корректирования схем, так и нелинейных фильтров позволяет получать монотонные профили газодинамических параметров на разрывах, однако разрешение разрывов несколько лучше в случае корректированных схем. Следует отметить, что нелинейные фильтры экономичнее по количеству вычислений.

Для оценки точности схем на гладких решениях произведен расчет симметричного истечения газа в вакуум от линейного источника. Расчет проведен на прямоугольной равномерной сетке из 45x27 узлов. Отклонение численного решения от точного максимально возле границ области и равняется 0.07% для схем четвертого и шестого порядка, 0.1154 - для схемы второго порядка.

Рис. 3. Разностная сетка. 91x39 узлов.

Оптимальные по скорости сходимости числа Куранта находятся дл предлагаемых схем в диапазоне 1-1.5. Таким образом, схемы обладаю небольшим запасом устойчивости, вместе с тем просты по реализации основанной на трехточечных скалярных прогонках, что оближет их явными схемами.

Рассмотрим результаты численного моделирования обтекания голов ной части затупленного тела вращения с элементом, индуцирующим пе ре днюю отрывную зону.

На рис. 3 изображена расчетная область и разностная сетка в фи зической плоскости. На рис. 4,5 изображены изолинии температуры линии тока для варианта, характеризующегося режимными параметрам

= 12, Яеш= 6450 (вычисляется по радиусу тела в сечении С

параметрам невозмущенпого потока) и геометрическими размерами г = 0.5, гр = 0.3, гс = 1.0, 1^ = 1.25, = 3.

Для определения влияния цилиндрического выступа на интегральны коэффициент сопротивления был произведен расчет обтекания торц цилиндра радиусом г0 с исходными параметрами набегающего потока то-есть, рассмотрено течение возле тела без элемента, индуцирующе го отрывную зону. Для тела с передним щитком невязкий коэффициен сопротивления С.х равен 0.227, коэффициент сопротивления

учетом сил трения С - 0.606, для тела без щитка - С1х= 0.738

С = 0.781. Здесь С. = 2Г./Сри^ттг^), Г. - определяется дав

»л К К ® ® 1/ IX

лением, Г^ - включает, кроме сил давления, также силы вязког трения.

Эти данные позволяют сделать вывод об эффективности способ снижения коэффициента трения посредством использования элементов индуцирующих переднюю отрывную зону. Силы сопротивления, обусло вленные давлением, отличаются для этих вариантов более чем в дв раза. Этот выигрыш уменьшается за счет вязких сил трения, тем н менее суммарное сопротивление для тела с щитком ниже на ЗОЯ По видимому, есть возможность дальнейшего снижения полного сопротив ления за счет надлежащего выбора геометрических размеров и конфи гурации головной части тела.

ГЛАВА 5. ДВУМЕРНОЕ ТРАНСЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА.

Задачи трансзвуковой аэродинамики вызывают повышенный интере ввиду широкого использования трансзвукового диапазона скоростей авиационной практике. Трансзвуковые течения характеризуются на

1чием ударных волн, возможным их взаимодействием с погранслоем, >иводящим к появлению отрывных зон, в свою очередь индуцирующим >ст турбулентных пульсаций, что в итоге может повлечь появление (аэипериодических автоколебательных режимов. Численное исследова-[е турбулентных ударно-волновых структур требует использования иежных моделей, эффективных, экономичных разностных методов.

В первом параграфе приводится постановка задачи. Для расчета >ансзвуковых течений в зависимости от условий обтекания использу-•ся уравнения Эйлера, Навье-Стокса, а также Рейнольдса с двумя >авнениями для вычисления турбулентной вязкости (модели типа £).

Система уравнений Рейнольдса содержит в выражении для тензора .пряжений пульсационные слагаемые, которые представляются с по->щью формулы Буссинеска,

^ = -Ъъ 4 4 - 2/351к8 ],

(40)

5 = и , Э =5 = (и + К )/2, 3 = и .

11 X 21 12 у К 22 у

Здесь и - молекулярная вязкость, вычисляемая с помощью степенно закона с показателем и = 0.75, ц - турбулентная вязкость, пловой поток $ определяется выражениями

% = -Г^^Рг + М/Рг^Е^. Рг = С^/К, Рг4 = С^/^.

Турбулентная вязкость ц = ^С^ °, ^ 2)) вычисляется с помощью

ух параметров Б***, з 21, характеризующих локальные свойства рбулентности и отыскиваемых из уравнений диффузионного переноса, ализующих модели Джонса-Лаундера, Чена, Коклея. При постановке граничных условий, с целью повышения точности счетов при ограниченной памяти ЭВМ, используется асимптотическое шение уравнений Эйлера С1*]:

и = иа- *Гу/(х2+ у2*2), V = *Гх/(х2+ у2«2),

(41)

* = (1 - Г = 1/(2тг)#(ш1х + Уйу).

С помощью этого решения определяется касательная скорость на ветренной части внешней границы (цД) = (и , О. Остальные пара-

метры вычисляются из соотношений р/// = 1, h° = h + Cu2 + tí2)/2 = O, R - инвариант Римана для уходящей из области харак-

теристики. Циркуляция скорости Г в формулах С41) вычисляется по контуру внутри расчетной области на определенном удалении от профиля вне погранслоя.

Второй параграф содержит описание численного алгоритма решения задачи. При его построении, особое внимание уделялось экономному использованию памяти ЭВМ. Исходные уравнения интегрируются по времени до установления при помощи неявной схемы бегущего счета, требующей лишь однократные массивы переменных. Уравнения модели турбулентности записываются в приближении стационарного пограничного слоя и решаются маршевым методом.

Для решения задачи используется метод глобальных итераций по турбулентной вязкости, то-есть, периодически отыскивается решение параболических уравнений модели турбулентности с помощью послойного интегрирования вниз по потоку от координатной линии у =0, приблизительно соответствующей линии разделения потока, далее производится расчет нескольких шагов по времени уравнений Рейнольдса с замороженной турбулентной вязкостью - функцией пространственных переменных.

Рассмотрим неявную двухшаговую схему интегрирования уравнений Рейнольдса типа попеременно-треугольного метода, то-есть, со стабилизирующий оператором, представленным блочно-треугольными матрицами. Для численного решения исходных уравнений используется разностная запись законов сохранения:

C/mtl-/m)/r+(F. -F, )/Ax+(G -G )/Ду = Н, (42)

' ' i+i/2 i-i/2 J+i/a j-t/г. ' '

где Н - аппроксимация вязких членов, основанная на формулах Са-ульева Снапример, /хх - - - ff- + /^М/Дх2),

F =FШ* +(1-а)Г , ) + М. , С Г - /* ),

1+1/2 '1+1/2 'l + 1/S 1+1/2 'í + 1/a '1+1/2 '

(43)

G , = GC/3/+ +(1 -б)/" ) + N. Л Г - f\ ),

J+1/2 1 ' J + 1 /2 1 J+1 /2 J + l/2 j + 1/2 'j+1/2 '

/\ , = (1+сг)/ш - tr/f , /7 = (1-кг)/?2 - а/f ,

'l+l/S 'l+l ' i+г 'l+l/2 'i '1-1

Л = ci+ü)/ni - q,fm , Г = (!+<?.)/m2 - af2 ,

'j + i/г * 'j+1 *yj+a' 1 J+1/2 * 'j ™j-i'

где индексы "т1", "га2" принимают значения "т" и "т+1" поочередно. Например, они могут определяться по формулам т1 = (1+(-1)т)/2 + т, т2 = (1-(-1)т)/2 + т. Параметры <у и <?. определяют порядок аппроксимации схемы (первый при и = $ = 0; второй при а = $ = 1/2), и как показали расчеты, они могут определяться автоматически по формулам

о- = С2 + А(эР/эхДх/Р)гГ!, ф = [2 + А(бР/эуДу/Р)2Г\ (45)

А = 10. Использовалось также вычисление величин Г, }' с помощью следующей простейшей процедуры лимитирования:

/* , = 1.5/™ - 0.5/™ , /** = 1.5/"12- 0.5/та , (46)

•,1+1/г •'1 + 1 М+г 'т/г 'I ■'1-1

-11+1/г

пах С /т ,/т) если /* у > тах(/т ,/т),

1 +1 ' 1 _ ■'1+1/г -11 +1 I

/* , , если /* , е [/"" ,/т], (47)

'1 + 1/г •'1 + 1/г _ •'1+1 •'1

лйп(/т ,/?) если /* , < тШ(/т ,/т), ' 1 +1 7 1 •'1+1/2 ' 1 +1 -1 1 '

тахС/™ ,/") если /** , > тахС /т ,/т),

Ji+i 'j ■'i+i/a •'i+i Ji

/** , если /** , s[/m ,/"4, 'i+i/г' 'i+i/г,. 1 i*i Ji

. mini/™ ,/m) если /** , < rnin(/m ,/m),

•"i+I J1 i+i/2 Ji+i'-'i

С 48)

которая для формул (46) оказывается эквивалентной методу коррекции Сгл. 2).

Параметры а, р в формулах (43) определяют направление разностных аппроксимаций. С целью адаптации схемы к структуре решения а выбирается по формулам (параметр /3 вычисляется аналогично)

0, и > с 0.5 - 0.75 и/с +• 0.25 (и/с)3, -csasc

1, и < -с

В результате при сверхзвуковых компонентах скорости получаются "противопотоковые" разности, при дозвуковых, компонентах формулы порождают смешанные весовые аппроксимации. Вторые слагаемые в соотношениях (42) имеют смысл искусственной вязкости и предназначены для обеспечения устойчивости схемы. Параметры М и N выбираются так, чтобы удовлетворялись условия

dF/df* i 0, dF/df i 0, dG/df* s 0, dG/df * 0,

эквивалентные неравенствам

М г тахС(с+и)а, Сс-и)С1-а)), N г шх((с+и)/3, Сс-и)С1-|3)),

из которых Ми N могут быть определены. Уравнения С 42) линеаризуются, что дает возможность обращения разностных операторов, пред ставленных верхней Сесли т1 = т+1, т2 = т) или нижней Сесли т1 = = т, т2 = т+1) блочно-треугольной матрицей, осуществляемого в процессе рекуррентных вычислений. Описываемая схема является абсолютно устойчивой в приближении замороженных коэффициентов, имеет второй порядок аппроксимации на гладких. решениях при достижении сходимости итерационного процесса и реализуется с помощью двумерного "бегущего счета". Ввиду явного характера реализации достаточно хранить однократные массивы зависимых переменных.

При интегрировании стационарных уравнений модели турбулентности начальные данные вычисляются на оси у = 0, где решение строится с учетом условия симметрии з5/ау = 0. Отметим, это условие является точным для симметричных профилей под нулевым углом атаки и для малых углов атаки может рассматриваться как предположение о доминирующем влиянии конвекции вдоль линии у = 0. Конвективный перенос по маршевой координате не учитывается также в области возвратного течения. Как показывают расчеты, скорость его составляет 3-5% от скорости невозмущенного потока. В результате редукции начально-краевая задача сводится в этой зоне также к решению обыкновенных дифференциальных уравнений на координатных линиях ?=сопэ1.

Предложенный алгоритм позволил рассчитывать достаточно сложные стационарные трансзвуковые течения на БЭСМ-6 с использованием только оперативной памяти машины.

В третьем параграфе описывается алгоритм расчета разностных сеток. Используется модификация уравнений Уинслоу, позволяющая производить как динамическую адаптацию сетки к решению Сконцентрировать узлы сетки в области больших градиентов, например, к линиям разрывов), так и учитывать априорное знание структуры решения и с помощью надлежащей расстановки узлов на границах добиваться нужной концентрации узлов, например, в области пограничного слоя. Рассмотрим здесь эллиптические уравнения с коэффициентами, которые позволяют регулировать концентрацию узлов лишь на основе априорной информации:

Лр Сх«/р). - Вх. + Су Сх/у) = О,

С 49)

лр су^р^ - + С^ С^/уО^ = О,

где

р = [С^С!-,)^]'-, С =

В = г<х?у у^у.

Следует отметить, что если р = р(?), у = , то заменой переменных йР = ей = с^уСт?) уравнения С 49) преобразуется к исходным, с точностью до введения новых обозначений, уравнениям Уинслоу. Таким образом, решение уравнений Уинслоу в преобразованных координатах порождает класс решений с произвольными степенями сгущения сеток в координатах 7?. Расчеты показали, что описанный алгоритм позволяет строить невырохдающиеся сетки типа С высокого качества с большими степенями сгущения узлов возле поверхности профиля даже при наличии острого угла в носке профиля крыла.

В третьем параграфе представлены расчетные результаты. Расчеты обтекания крыловых профилей проведены на сетках из из 1300-2000 узлов. В широком диапазоне определяющих параметров СО.6

* * 0.9, 10е * Р.еа 5 10®, вычисляется по длине хорды) для

сходимости итерационного процесса требуется не более 103 -итераций. Перерасчет турбулентной вязкости производится через 50-100 итераций.

На рис. 6-7 приводятся результаты расчетов в приближении модели Эйлера, использовались формулы С46)-С47). На рис. 6 изображены точками полученные данные для профиля НАСА0012. Результаты сравниваются с приведенными в [2*]. На рис 7 изображены расчетные данные для 18%-го параболического симметричного профиля, которые сравниваются с результатами из СЗ*] Ссплошной линией). На рис.8,9 приводятся расчетные результаты в приближении к-е модели турбулентности Джонса-Лаундера, использовались формулы С44)-(45). Рис. 8 соответствует обтеканию 18%-ого профиля из дуг окружности при

Яю= 0.72, Р.еф= 1.1x107, треугольники - данные [3*]. В данном слу-

О .4 .8

Рис.6. а - козфф. давления, 6 - изолинии давления. Мш=.75, а=2°.

О .2 .4 .6 .8 СГ

Рис.7, а - коэфф. давления, 6 - изолинии давления. Мю=.78, а=0°,

-0.6

-0.2-

0.2

0.2 ОА 0.6 0.8 1 X

Рис.8. Коэфф. давления.

/л= 1

Рис.9. Изолинии чисел Маха.

чае течение не содержит отрывов. На рис. 9 приведены результаты для несимметричного 12%-го профиля в потоке с числом Маха На= 0.9, Re = 2.12х107.

CD

ГЛАВА 6. ДВИЖЕНИЕ СУДНА В МЕЛКОВОДНОМ КАНАЛЕ. В первом параграфе приводится постановка задачи. При заданном распределении высоты поверхности воды посадка судна определяется на основе баланса сил тяжести и вытеснения и их моментов и может быть вычислена по формулам:

w = arcsin'Cl. lu - 1. Ia )/J),

r bo Ht t» Ho

ÄZ = CL - L Ju )/J, J = L I - I Г , (50)

bi Hl Ьз Ho bi bi bo ba

Ibi = S bix) x* dx, 1K = Я Шх,у)-Яо) x1 dx dy,

ЬСх) - ширина судна на уровне ватерлинии, &Z - динамическая просадка носа судна, у - ходовой дифферент, Ио - высота свободной поверхности в невозмущенном состоянии.

Система уравнений, определяющая течение жидкости в канале в приближении "мелкой воды", имеет вид [4*]:

h, + Chu) + Chu) = 0

t х у

и, + ии + vu = - gH + р* иг/С2Ю

t х у ° х г

С51)

V, + uv + ии = - gH + а? uz/(2h)

t X у " у г

где h - глубина потока, H - высота уровня поверхности жидкости рх, ¡¡У -коэффициенты турбулентного переноса в погранич-ЯЫХ слоях [4*]:

' 0u6u/c* вне судна

ClgCR )-0.65]-г>3 +ЭуВи [lg(R Su)-0. 65Гг"3 до смыкания х х погранслоев

«V.si'.iarwD n-г.з n00JÎÇ сшка1ЩЯ

погранслоев

■?= 2/с®, Su= 1 - U^u, Rх = xü/v, = xh/v, co-h'/B/n/ß1/z,

L 0.783(1 +C8u)'-sl1-'sClg(Rl)]

r - коэффициент шероховатости, ■ n = 0.012 - 0.02, Н = h + Z°.

Во втором параграфе описывается численный алгоритм решения задачи. Он заключается в решении задачи интерполяции корпуса судна, определении положения судна из соотношений баланса сил вытеснения и их моментов импульсов, и отыскании распределения скоростей и уровней воды в канале. При заданном положении судна его влияние на динамику жидкости определяется с помощью принципа эквивалентного возвышения дна. Уравнения мелкой воды численно интегрируются по времени до установления с помощью неявного разностного метода повышенного порядка аппроксимации, обладающего свойствами консервативности и монотонности, реализованного для произвольного преобразования координат.

В зависимости от характера геометрии задачи предусматривается также специалный режим расчета течения возле судна с вертикальной по всей глубине потока стенкой, причем судно лежит на дне. В этом случае геометрия задается соответствующей границей расчетной области и решение задачи заключается лишь в интегрировании уравнений мелкой воды.

Преобразование инженерного описания формы судна в разностное выполняется здесь с помошью сплайн-интерполяции по координате у в каждом плазовом сечении и линейной интерполяции по координате х. В качестве интерполянта может использоваться как непосредственно высота корпуса z(y), так и функция (z(y)-z(b))/(ö-y)'/2, Ь - полуширина судна. Последний способ применяется, если корпус судна имеет в своем составе вертикальный борт, плавно сопряженный с остальной частью копуса. Приведенная выше функция в этом случае не имеет особенностей, так что интерполяция имеет приемлемую точность даже при небольшом числе опорных узлов.

В третьем параграфе описывается численная схема решения уравнений мелкой воды. Для решения уравнений С51), переписанных в консервативной форме, использовалась схема (35)-(38) в варианте четвертого порядка аппроксимации (i =2), с отличием лишь в монотони-зируюших слагаемых, которые строились с помощью метода коррекции потоков, однако корректировались не потоки инвариантов Римана, а непосредственно компоненты "неотрицательных" и "неположительных" потоков Г", Г*, Г+ F*= F. По-видимому, при сильных разрывах настоящий способ может привести к осцилляционным решениям, однако в проведенных расчетах течений со слабыми разрывами он оказался вполне приемлем по качеству численных результатов, в то же время

он экономичнее более полного подхода, требующего оперирования Ри-мановыми инвариантами.

Четвертый параграф посвящен описанию результатов расчетов.

При проведении тестовых расчетов эмпирические вязкие коэффициенты в правой части уравнений мелкой воды полагались равными нулю. Следует отметить, что в этом случае для гладких решений имеет место закон сохранения на каждой линии тока полной энергии единицы массы жидкости, то есть уравнение Бернулли. Это уравнение может служить для контроля точности численных данных.

Дополнительным средством контроля точности являлось сравнение численных решений на сетках с различным количеством узлов С основная сетка содержала «1000 узлов, контрольная 2000). Погрешность расчетов существенно зависит от степени гладкости исследуемых решений и может меняться от 2-3% в области гладкого решения до 1015% и более вблизи разрывов решения. Для сходимости на основной сетке достаточно 300-400 итераций. Оптимальными по скорости сходимости являются значения числа Куранта К = тахСта/1, тЬ/П в диапазоне 2-3.

Рассмотрим течения в канале с плоским дном и вертикальной стенкой, имеющей параболический выступ с относительной толщиной й/I = 0.09. На рис. 10-12 изображены изолинии уровня свободной поверхности для чисел Фруда Гг = Ц/С^)0-3, 0.85, 0.91, 1.09. При

Гг * 1 течения имеют характерную структуру с областью повышенных "сверхзвуковых" значений скоростей возле выступа, заканчивающейся скачкообразным падением скорости и повышением уровня воды. Отметим монотонность численных данных на скачке.

На рис. 13.приводятся изолинии уровня свободной поверхности для течения возле судна длиной 40 м, шириной 4. 7 м, с глубиной погружения 2.5 и, составляющей 45% глубины набегающего потока. Плазо-вые сечения имеют прямоугольную, с небольшим скруглением нижних углов, форму. Расчет произведен для числа Фруда 0.85, пересчет положения судна вследствие изменения уровня свободной поверхности не производился. На рис. 14 изображены линии тока для этого варианта.

Таким образом, приведенный метод, обладая высоким быстродействием, позволяет проводить параметрическое исследование качественной картины движения судов в каналах. Разумные результаты получаются при весьма грубых разностных сетках, причем расчетные данные не имеют пульсаций на разрывах, с приемлемой точностью выпол-

Рис.10. Линии уровня Рис. И. Линии уровня воды. Гг = .85. воды. Гг = .91.

Рис.12. Линии уровня воды. Гг = 1.09.

Рис. 13. Линии уровня Рис. 14. Линии тока, воды. Гг = .85. . Гг = .85.

нен закон сохранения Бернулли.

ГЛАВА 7. ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК.

В данном разделе рассматриваются течения в каналах парогазовых энергетических установок, рабочий процесс в которых включает, кроме обычных стадий разгона рабочей смеси в процессе сгорания топлива и преобразования кинетической энергии продуктов сгорания в электрическую на турбине, утилизацию остаточной тепловой энергии рабочего газа в теплообменнике. Целью работы является исследование структуры течений во входном канале теплообменника в зависимости от его геометрических характеристик и получение достаточно однородного потока в теплообменнике, что гарантирует эффективный съем остаточной энергии продуктов сгорания. Для формирования приемлемой структуры течения используется выбор геометрии канала и введение внутрь течения направляющих листов.

В первом параграфе описывается постановка задачи. Численное моделирование течений в каналах производится в следующих предположениях:

1. Используется модель вязкой несжимаемой жидкости с учетом эффектов турбулентного переноса, которые описываются в приближении Буссинеска с помощью алгебраических формул типа Себечи-Смита.

2. Используется квазидвумерное приближение, основанное на интегрировании исходных трехмерных уравнений по одной из координат.

Квазидвумерная модель несжимаемой жидкости имеет следующий вид

э( hui/эх + äihw)/dz = 0. С52)

3/stChl/) + v. СhU.UJ =-h v.P + v. Сh И,-,), (53)

k l l k l 1 lk

где t/(x,2) = Си, w) - усредненные по поперечной координате у компоненты скорости, ' fi(x,z) - текущий размер канала по этой координате, - тензор вязких напряжений, индексы t, к меняются от 1 до 2 и нумеруют компоненты, соответственно, х, z и и, w. Повторяющиеся индексы означают суммирование по ним.

Во втором параграфе приводится разностный метод решения задачи.1 Алгоритм расчета предусматривает возможность моделирования воздействия на течение направляющих листов, расположенных по координатным линиям сетки. В узлах сетки, соответствующих направляющим листам, ставятся условия скольжения, то есть, эффекты вязкого торможения потока на этих листах не учитываются.

Разностная схема является обобщением одного из методов семейства MAC на случай квазидвумерной системы уравнений несжимаемой жидкости. Численное интегрирование определяющих уравнений производится в несколько шагов:

ф" = -СU + l/hv Сh Г.), С34)

m m j m mj

7 Ch7 P") = 9.[M)n], (55)

j j j j

[1+TUV -TV! 7 К1+ТШ -ri> 7 7 ] С U-lP^/т = фп - 7 Pn, (56)

»til 2tZ2 JJ J J

о Chv 6F) = ?.!№/T], (57)

j j j j

If*' = U- т 7 5P. (58)

Приведенная выше схема реализована для произвольного неортогонального преобразования координат, Разностные сетки строятся на основе решения эллиптических уравнений для функций преобразования и обеспечивают сгущение узлов к стенкам, достаточное для описания турбулентных пограничных слоев на них. Операторы дифференцирования при вычислении конвективных членов в соотношениях (54) аппроксимируется несимметричными формулами третьего порядка, которые далее лимитируются по неконсервативным алгоритмам (12).

Для решения уравнений (55), (57) применяется итерационный процесс типа метода блочной релаксации, реализуемый с помощью прогонок по одной из координат и бегущего счета по другой.

В третьем параграфе описываются результаты расчетов.

На рис. 15 изображены векторы скорости для течения в канале с простейшим диффузором, полученным соединением начального и конечного сечений плоскими поверхностями. Правая часть канала представляет часть рабочего обьема теплообменника.

Расчеты проводились для каналов, в которых размеры и расположение входного и выходного сечений во всех вариантах полагались неизменными. На рис. 1В изображены линии тока для оптимальной геометрии. Сочетание двух факторов - поджатия потока внизу и более плавного контура верхней части канала изменило структуру течения, значительно уменьшив размеры отрывной зоны. На рис. 17 приведены линии тока для течения с направляющими листами, которые также несколько улучшили структуру потока, однако эффект от них менее значителен, чем оптимизация формой канала.

- 32 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1. Предложены алгоритмы коррекции явных и неявных схем произвольной точности решения одномерных уравнений переноса как в консервативной, так и в неконсервативной формах. Доказано сохранение монотонности численных решений корректированных схем для уравнений переноса с постоянными коэффициентами. На "гладких" решениях схемы сохраняют исходный порядок аппроксимации.

2. Предложены алгоритмы коррекции схем для двумерных гиперболических уравнений. Доказано выполнение принципа максимума для схек с коррекцией применительно к уравнениям переноса с постоянными коэффициентами и эквивалентность их мажорантной схеме с неотрицательными матричными коэффициентами в случае двумерных симметрических гиперболических систем с постоянными коэффициентами.

3. Предложены и обоснованы алгоритмы коррекции аппроксимаци{ производных а^/Уэх*, к * 2, обеспечивающие их мажорантные свойства. Они могут использоваться как элементы монотонных одномерны) разностных схем, а также как нелинейные фильтры для подавления коротковолновых компонент разностных функций при решении различны: задач прикладной математики.

4. Предложены и обоснованы алгоритмы мажорантк л, обеспечиваю-ших выполнение принципа максимума, аппроксимаций произвольного порядка для некоторых классов параболических и эллиптических задач.

5. Построен неявный консервативный численный метод для решени: гиперболических систем уравнений на основе компактных аппроксима ций 2-6-го порядков для пространственных производных с использова нием предложенных алгоритмов коррекции.

6. Разработан численный метод с коррекцией потоков и созда комплекс программ для расчета гиперзвуковых течений вязкого газ возле тел вращения с элементом, индуцирующим переднюю отрывную зо ну. Показано уменьшение коэффициента сопротивления для таких тел.

7. Предложен адаптивный разностный метод, создан комплекс прог рамм для расчета околозвуковых течений возле крыловых профилей н базе уравнений Эйлера, Навье-Стокса, Рейнольдса с добавление уравнений для параметров турбулентности типа к-с. Исследованы дс и сверхкритические течения возле крыльев под углами атаки.

8. Разработаны численная схема и комплекс программ для расчете мелководных течений возле судна в квазидвумерном приближении.

9. Построен и программно реализован адаптивный численный мете

расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости на базе уравнений Навье-Стокса, усредненых по одной из пространственных переменных. Изучены возможности формирования течений необходимой степени однородности в каналах энергоустановок.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих печатных работах:

1. Пинчуков В.И. Об одной схеме решения уравнений вязкого теплопроводного газа // Журя, вычисл. матем. и матем. физ. - 1983. -Т. 23, N. 4.-С. 901-909.

2. Пинчуков В. И. Попеременно-треугольный метод для расчета вязких течений. Труды Всесоюзной школы-конференции "Вычислительные методы газовой динамики и тепломассобмена". Алма-Ата, 1980, С. 185-186.

3. Пинчуков В. И. Гиперзвуковое обтекание затупленных тел потоком вязкого колебательно-неравновесного газа. Сб. "Проблемы вязких течений". Труды IX Всесоюзной школы-семинара по числ. методам мех. вяз. жидкости. Новосибирск, 1983, С. 258-2S1.

4. Пинчуков В.И. Расчет гиперзвукового вязкого обтекания затупленных тел в условиях аэродинамического эксперимента // Числ. методы механ. сплошной среды / Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР - Новосибирск, 1984.-Т. 15, N. 4.-С. 91-104.

5. Пинчуков В. И. Численное исследование трансзвуковых течений на основе решения уравнений Навье-Стокса.- Новосибирск, 1985. -25 с.-(Препринт АН СССР, Сиб. отд.-ние, Ин-т теорет. и прикл. механики; N 27).

6. Карамышев В.Б., Пинчуков В.И. Турбулентные до- и сверхкритические течения возле крыловых профилей. Известия СО АН СССР, серия техн.. наук.-1987.-N. 18, вып. 5.-С. 20-24.

7. Карамышев В.Б., Пинчуков В. И. Расчет околозвуковых течений возле крыловых профилей при больших числах Рейнольдса// Моделирование в механике/Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР - Новосибирск, 1987.- Т. 1(18), N. 6-С. 91-105.

8. Карамышев В.Б., Пинчуков В. И. Численное моделирование трансзвуковых течений при больших числах Рейнольдса // 1У Всесоюзная школа по методам аэрофиз. исследований. Тезисы докладов. Ин-т георет. и прикл. механики СО АН СССР. Новосибирск, 1987.

9. Karamyshev V.B., Pinchukov V. I. "Computation of Transonic Flows Over Airfoils at Large Reynolds Numbers Russian

Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 1991, VI, N. 4, P. 369-381,

10. Пинчуков В.И. Об одном методе построения адаптивных разностных сеток в задачах аэродинамики//Моделирование в механике / ИТПМ СО АН СССР - Новосибирск, 1988-Т. 2(19), N. 2.-С.133-141.

11. Пинчуков В.И. Квазимонотонные схемы повышенной точности для решения задач аэродинамики,- Новосибирск, 1988.- 38 с.-(Препринт АН СССР, Сиб. отд.-ние, Ин-т теорет. и прикл. механики; 19).

12. Пинчуков В. И. Компактные схемы повышенной точности для решения уравнений вязкого газа//Моделирование в механике/ ИТПМ СО РАН-Новосибирск, 1990-Т.4(21), N. 1, С. 141-145.

13. Karamyshev V. В., Kovenya V. М., Pinchukov V.I. Quasimonotonous schemes of solving the aerodynamics problems//Proceedings of 1-st Soviet Union-Japan S mposium on Computational Fluid Dynamics/Moscow, 1989, 52-58.

14. Пинчуков В. И. Об алгоритмах монотонизации разностных схем повышенной точности//Моделирование в механике/ ИГПМ СО АН СССР - Новосибирск, 1989,- Т. 3(20), N. 5.- С. 79-92.

15. Карамышев В. Б., Ковеня В. М. , Пинчуков В. И. Квазимонотонные схемы решения задач аэродинамики/zVI Всесоюзная школа-семинар "Конструирование алгоритмов и решение задач математ. физики"/ Ин-т прикл. математики АН СССР. - Москва, 1989.-С. 73-86.

16. Пинчуков В. И. Схемы 2+6-го порядков для уравнений газовой ди-намики//Моделирование в механике/ Ин-т теорет. и прикл. механики СО РАН - Новосибирск, 1992-Т. 6(23), N. 1.-С. 95-100.

17. Pinchukov V.I. (2+6)-th order schemes. Examples of two-dimen-tional gasdynamic flows calculations // International Conference on the Methods of Aerophysical Research / Institute of Theor. and Applied Mechanics SD RAS.- Novosibirsk, 1992, P. 128-131.

18. Пинчуков В. И. 0 неявной схеме с коррекцией потоков для численного решения уравнений Эйлера// Журн. вычясл. матем. и ма-тем. физики. -1990,- Т. 29, N. 4.-С. 626-628.

19. Пинчуков В. И. 0 монотонизации одного семейства неявных схем// Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1990.- Т. 29, N. 5.-С. 672-679.

20. Pinchukov V.I. On one method of adaptive difference grids in aerodynamics problems//Russian Journal of Theoretical and Applied Mechanics.-1991. - V. 1, N. 3.-P. 221-228.

Í1. Пинчуков В. И. О построении монотонных схем типа предиктор-корректор произвольного порядка аппроксимации//Матем. моде-лир.- 1991,- Т. 3, N. 9.-С. 95-104.

12. Kovenya V. М., Pinchukov V. I., Cherny S. G. Numerical Modelling of Statonary Separated Flows//Fourth International Conference on Boundary Layers - Computational and Asymptotic Methods/ Institute of Theor. and Applied Mechanics SD RAS. -Novosibirck, 1986,- P. 117-129.

13. Пинчуков В. И. 0 методе численного моделирования движения судов по каналу в квазидвумерном приближении.- Новосибирск, -1989.- 28с.-СПрепринт АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл механики; N. 22-89).

4. Пинчуков В. И. 0 численном моделировании течений воды в канале вблизи движущегося судна //Моделирование в механике / ИТПМ СО РАН - Новосибирск, 1991.-Т. 5С22), N. 4.-С. 102-108.

5. Пинчуков В. И. Карамышев В. Б. 0 монотонности параметрического семейства неявных схем с коррекцией потоков // У11 Всесоюзная школа-семинар "Конструирование алгоритмов и решение задач ма-тем. физики"/Ин-т прикладной математики АН СССР.- Москва, 1991,- С. 107-111.

5. Пинчуков В. И. Адаптивные операторы сглаживания произвольного порядка// Вычислительные технологии/ИВТ СО РАН - Новосибирск, 1993. - Т. 2, N. 6. - С. 232-245.

Í7. Пинчуков В. И. Алгоритмы монотонизации схем повышенной точности для уравнений типа а//э(. + ¡ja^f/a** = 0, t г 1 // Моделирование в механике/Ин-т теорет. и прикл. механики СО РАН -Новосибирск, 1993,- Т.7С24), N. 2. - С. 150-159.

i. Пинчуков В. И. Об алгоритме расчета внутренних течений в/ квазидвумерном приближении//Моделирование в механике/ИТПМ СО РАН - Новосибирск, 1992,- Т. 6С23), N. 4,- С. 1С0-115.

Э. Пинчуков В. И. О формировании безотрывных течений в каналах при больших числах Рейнояьдса//Вычислительные технологии/ИВТ СО РАН - Новосибирск, 1993.- Т. 2, N. 5,- С. 149-157.

I. Пинчуков В. И. О численном моделировании турбулентных течений несжимаемой жидкости в каналах энергоустановок //Сиб. физико-технический журн. 1993.- вып. 4, С. 56-61.

. Пинчуков В. И. Мажорантные аппроксимации повышенной точности в задачах конвективной диффузии //Вычислительные технологии/ИВТ СО РАН - Новосибирск, 1994,- Т.З, N. 9. С. 121-133.

. Пинчуков В. И. О численном моделировании гиперзвуковых течений

с передней отрывной зоной возле тел вращения //Вычислительные технологии/ИВТ СО РАН - Новосибирск, 1994,- Т.З, N. 9. С. 134 -146.

33. Пинчуков В.И. Нелинейные разностные фильтры и их использование при численном интегрировании разрывных решений// Докл РАН - 1994. -Т. 337, N. 3. - С. 312-315.

34, Пинчуков В. И. О построении монотонных схем произвольного порядка аппроксимации для одного класса уравнений// IBM и Ш, 1994, Т.34, N11, С. 1723-1729.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1* Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики.-М.: Наука, 1981.-366с.

2*. Coakley T.J. A Compressible Navier-Stokes Code for Turbulent

Flow Modeling./NASA TM N. 85-899. - 1985. 3*. Mehta U., Lomax H., Reynolds Averaged Navier - Stokes Computations of Transonic Flow-the-States -of-the-Art, Progress in Astronautics and Aeronautics, 81, 297-375, 1982. 4*. Коротков C.H. Математическая модель движения судна по каналу. //Труды НИМВТ -Новосибирск, 1980.-Вып. 152, С. 113-130.