автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Модифицированная мультиномиальная схема испытаний и ее применение при построении критериев идентификации, используемых и медицинской диагностике

■"'С- V" " '

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Т. Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

МАТВЕЙЧУ1! Сергеи Анатольевич

МОДИФИЦИРОВАННАЯ МУЛЬТИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА ИСПЫТАНИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ КРИТЕРИЕВ ИДЕНТИФИКАЦИИ. ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В МЕДИЦИНСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ

05.i3.ie - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КИЕВ 1991

<<Э>

/

/

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики .Киевского государственного университета имени Т. Г. Шевченко

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ПЕТУНИИ Ю. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ПЭТЬЕВ Ю. П. доктор физико-математических наук, профессор ГИРКО В. Л.

Белущая организация: Вычислительный центр АН СССР

■'1 / ■ 1 ' / Защити состоится " 1 ' '- 1 _199/ г.

IV ..'. ^ '

в^!_часов на заседании специализированного совета К 066. 18. 10

при Киевском государственном университете имени Т. Г. Шевченко по адресу:

25212? Киев 12?, проспект академика Глушкова, б факультет кибернетики

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

-ТА-./. . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуаяыюсть' темы. Непараметрические методы статистики представля»эт активно развивающийся раздел как теоретической, так и прикладной статистики. Актуальность исследовании в этом направлении обусловлена возможностью широкого практического приложения такого рода методов. Одно» из областей приложения непараметрических методов является медицина и, в частности, медицинская диагностика. В качестве задач такого рода, имеющих разнообразные приложения, зледует отметить проблему идентификации выборок. Суть ее состоит в зледукэдем. Задана выборка г , полученная путем простого случайного зыбора из некоторой генеральной совокупности а , где априори 13вестно, что в качестве а может выступать одна из двух генеральных ¡овокупностеи а или о ; используя элементы выборки г требуется

X у

)пределить, из какой генеральной совокупности эта выборка извлечена. { такого рода математической модели сводится большое количество 5адач в технике, биологии и медицине. Имеется ряд математических юдходов, позволяющих решить эту проблему, но существенным их ¡едостатксм является требование наличиия информации о функцииях «определения генеральных совокупностей а или о , в то время как в

* V

]рилон<ениях эта информация почти полностью отсутствует. С другоа ¡торопи на практике очень часто информация о генеральных :свовуписстях с- и с зчдзотся в виде обучающих выборок. Однако,

V у

фимрненич суксотвукшлх статистических критериев для решения задачи деиггамкацин гО'Ийральнчх совокупностей на основе обучающих выбора,", •атрудгннтелыю 1 и треоует рчда дополните льны х исследований •сорзтйчзского н практического характера.

Целъ». уаео-ш яйЗй!-т«я построение свободного от распределения •татпстччоского критерия идс«тя$чкацпи. осиосанного на сбучокпих •иборкс.'й, лая которого »¿спе? быть оион«иа вероятность овшбяи 2-го

■ Г' Тм

Мутоп'л исследования. в работе используются метода теории ..•"-роятнсстси, математической статистики, функционального анализа, 'огрии Функций действительной переменной и линейной алгебры.

Научная пспиэиа. Изучены свойства случайных интервалов, концами ¡оторых гвлжтся порядковые статистика." предложен метод построения ао;о.::11ЫХ от распределения статистически!.', критерии» для проверки кпотчзы однор-лдзестк двух выборок. Получени ТОЧКИ* я

асимптотические распределения статистик этих критериев как пг основной, так и при альтернативной гипотезах. Предложен подход позволяющий сравнивать построенные критерии однородности. Показано как разработаны^ критерии могут быть использованы для построен критериев идентификации, основанных на обучающих выборках.

Практическая ценность. Полученные реЗУЛЬ^^ТЫ МОГУТ НЗЙ1 применение в статистической теории распознавания образов д; конструирования классификаторов с заданными свойствами. Критерк идентификации. основанные на обучающих выборках, могут быт использованы для решения задач диагностики заболеваний в различнь областях медицины, и в частности в онкоморфологии.

Апробация работы. Материалы диссертационной работ докладывались на следующих семинарах, конференциях и конгрессах:

- на Всесоюзном семинаре "Математические и вычислительные метода биологии" С Пущино, 1985 3;

на 4-ой Всесоюзной конференции "Математические мето; распознавания образов" С Рига. 1989 )•,

- на 2-ом Международном.конгрессе общества имени Бернулли и 53-ежегодном совещании Института математической статистики

С Уппсала. 1990 5;

- на 2-ой Международной конференции "Управление экологкчес^ риском" С Киев, 1990 );

- на 1-ой Всесоюзной конференции "Распознавание образов и ъ.тт изображения: новые информационные технологии" С Минск, 1991 ).

публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных рабо1 Все математические результаты получены самостоятельно и основные i них содержатся в работах с 1-6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, тр< глав С 7 параграфов ), заключения и списка литературы С 7( наименований ). Объем работы составляет 150 страниц, включая спис< литературы С страницы 145-150 ).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, дается краткий обз< существующих методов решения задачи идентификации выборок nj различных предположениях о функциях распределения исходи! генеральных совокупностей, дается краткий обзор содержаш

г

диссерташ:': и прягода.тся список обо значений и ксподьэуен^х в работе.

В первой главе изучается свойства порядковых статистик выборки, полученной в результате объединения двух независш.ад выборок, принадлежащих различным генеральным совокупностям и строится скег».а испытания, названная модифицированной мультиномиальной схемой. Изучаются свойства этой схемы. '

В параграф-э 1 вводятся следующие определения: ,

определении 1.1. Идентификатором генеральных совокупностей е и

.! * е называется функция

V

(ЗСуЭ = Р при V е 10,13,

V *

'до я , г - непрерывна, строго возрастающие функции распределения

» V

'енеральных совокупностей с , в соответственно.

* у

определение 1.2. Разбиением порядка к натурального числа N юзывается вектор qcю = сч компонентами q. . которого

(вляйтся натуральнее числа и Е кч = м. Числа ч называются частяин

избиения чсь'э , а вектор н сю = сз , з ,. . . з.где в = о,

Ч О 1 к О I 1 j

вектором частичках сумм разбиения чсю .

определение 1.4. Разбиение чс ю порядка к называется сходящимся а множестеа = -с».....> с а,...к>, если при n * <= его части

г -

Л'^Т!^ С рГ'ОТ "С ЛОПНЕМ*

15 1Г4= р + «г'з при I « 1к и Е кр = 1;

^ , I I Г 11

. 25 ч - Фиксированно при а х* . '

I. г

Разбиение чего называется сходящимся а целом если при N •» « ¡г 1 = р » ос 1г1 } при * = 1 , к , Ек р = 1 ;

1.1 1=11

Определение 1.7. фунШЮКаЛ ЗИДО

И (ГС'ЭЭ = [ О С'ОГСОсГ',

с* ( <Ч( м»

и = (V а с V , . . . , V 3: V ?-; О - V >"....■: V 5 V г II;

к - 1 I к -1 о 1 к -1 к

"Г - 5 (V - V 1 '

Пк I 1-1

—------ ;

ч! М) I. =

1=1 Го, 3

¡'60 - ггмма-функция;

■п.ызд^тся порядковым функционалом Дирихле.

Предложения 1.1 - 1.11 посвящены изучению свойств функционала М С).

В параграфе 1.2 рассматривается следующая схема испытаний которая строится по двум выборкам х и у :

п т

- по выборке х строится вариационный ряд

г»

х<0' < х' "<...< х'п>< х<"*1> ,

где х' =-« х =+<» , х'1'- порядковая статистика выборки х ;

- выбираются интервалы J = £х 1-1 ,х ' ) при * = 1;к , где э сп+1

- вектор частичных сумм некоторого разбиения чСп-иэ с п объе) выборки V 3;

ш

- рассматриваются события A=^yeJ^i = l,^c, где у - элемен' .С выборочное значение ) выборки у

Тогда выоорке у будет соответствовать ш испытании С т - объ

ш

выборки у } в построенной схеме.

определение 1.8. Описанная схема испытаний называет "модифицированной мультиномиальной схемой, построенной по выборкам и у с помощью разбиения чСп+13 (М -схемой). М -схема называете

>Т)

■ однородной, если выборки х и у извлечены из одной и той

п т

"генеральной совокупности.

определение 1.И. Векторная случайная величина * = с*.....*

1 1

Компонента * которой равна' числу элементов выборки у , попавших

, п

интервал и , •называется характеризационной статистикой М -схемы.

I .

Векторная величина п = сч ) , где т? = *>т , называв'

1 к ь ь

частотой М -схемы.

В теореме 1. 1 получено распределение характеризацион статистики М -схемы. Характеристическая функция этого -распредели имеет вид

»»„С4-3 = И «Е *ехр<1Ъ ЯСЗСУ 3 - (XV 3 ] При е Кк.

Предложения 1.1* - 1. 14 посвящены изучению свойств эт распределения, а в теореме 1.2 получено выражение для смеша} моментов любого порядка случайной величины » .

Б параграфе 3 исследуются асимптотические своП< характеризационной статистики. Поскольку распределение « зависит объемов п и т выборок, образующих М -схему, то возможна различ: асимптотика этого распределения при т,п . Так при фиксирован

п и т' ■» <*> частота М -схемы имеет асимптотическое распределение, основанное на распределении Дирихле С теорема 1.3 ).

Характеристическая функция *><Я|'с1э этого распределения имеет вид

Р';' С<0 = М СехрПЕ ',1 [«V) -6£у )Ш

V а< Г.» I > 1 I ,1 1-1

ПРИ 4 « Кк.

При фиксированном га и п ■» о>для всякого сходящегося в целом разбиения яСп+1) характериз.ационная статистика М -схемы имеет асимптотическое мультиномиальное .распределение С теорема 1.4 Его

характеристическая функция »>'с*-) имеет вид

Р1 С«-) я IE ^ ltexp<lL >[ -ЗС" CP)) - GCT ^СР))]!"1

где " ср) = Е 'р . .р - предел разбиения qcn+t) в смысле определения ' * 1

1.4.

В теореме 1.5 показано, что для компонент частоты М -схемы при п.и » ® и сходящемся в целом разбиении qCn+i) имеет место сходимость по вероятности вида

fl п* » П ley." ср)) - с<" ср))11

а в следствии 1.2 получена апроксимация смопанных моментов частоты М -схемы:

Г Г , ^

ЕС П II1 а) = И [GCn CP)) - GС" CP))] а + ОС т~1 * п"1 ) . аз 1 Iа iа id-1

Далее с помощью некоторого множества индексов iv= <i ) с

г 1 г

<= о .... к> компоненты характеризашгонной статистики * разбиваются на две группы и рассматриваются векторные случайные величины С = сС .....С з и v = см.....р ) , где

1 к - г 1 г

С = * при О- «г 1к ;

■5 а г

ц = п. ■'•■•[« -m Р CP)) ПРИ i ® 1к.

a I а а г

а

р CP) = GCE Qp ) - GCE а-»р ),

a I. J I J

Р е У = <ср .....р ) ■• 0<p<l.Erp = Ji.

г i г J 1 J

Для этих случайных величин в теореме ¡.о показано, что в случае, когда разбиение qcn+i) сходится на множестве i* и р «= у,-его предел в смысле определения 1.4, то при т,п # ® и * р е R*

характеристическая функция асимптотического совмэстног

распределения случайных величин С и ^ имеет вид:

... Л. з

Прй I * 1к

А Г

J « <1.....юч 1к , где

*> сц

я< 1»

•••Ч э • ;.ь„°'въЧ ч Ь

г о Ь

ср) »= Е Р -

<а. I 4 «1к> а

Г РС«5а- + Р^СРЗИ - РаСРЭ}

I -РГ Р - Р СРЗР СРЭ ПРИ л < Ь: а Ь а Ъ

(0. при л = 1 ;

дСЕ ар )а(Г -'р ), 1 1

при

схэ

'р )р при а = 2,г-1;

Р =

дСр Зр при е- = 1 ;

дСЕ^р* ар - д(Е "-'р )Г-р При «•= г, г-1;

* I 11. 1 ) 1 }

-дС1-р ЗС1-р 3 при <1 = г;

г г

-дСр ЗС1-р 3 При а = 1 •

дСГ "-'р. )Е ГР - дСЕ "р >Е г р прй»«г.г-1; I J а ] 1 } а-*! з

-дС1-р Эр при Л = г;

дСуз - производная идентификатора скуз. Следствия 1.3 и 1.4 являются частными случаями теоремы 1.6. В параграфе А изучается однородная М - схема. Поскольку в этой схеме идентификатор осуЗ имеет вид = V , то все свойства

однородной М -схемы являются следствиями теорем и предложений параграфоз 2-3 С следствия 1.5 - 1.15 X Поэтому выпишем только выражения для характеристических функций соответствующих распределений:

- распределение характеризационноп статистики * С следствие 1.5 3:

Р.-С^О =-. м «Е ¡_,ехрС11 >Су

л ч< 17 ~ * з 1

- асимптотическое распределение частоты п фиксированном п и ш ® ( следствие 1. 10 ):

V зГ>.

1-1

М -схемы при

Р'"' С«0 = М CexpUE* t Cv - V )|>

'/ п* l> J~lj j j_t

распределение Дирихле 3; • асимптотическое распределение характериэационноп статист.!н< мксированном m, п * ® и сходящемся в целом 'разбиении следствие 1.11 ):

к

Cl:> - (Е J,,exp<ltJ>CpJ - Р,_,ЗГ

мультиномиальное распределение совместное асимптотическое распределение величин с и С при •>■,> л*п * р « r'h сходящемся на множестве i" разбиении ( следствие 1. 13 ).-

*ГиГ*Ь> " VrlX. .....t .....t з

^ ^ 1 1, "i V

l k - r t г

ри í С ik . j e <i.... ,k>s rk , где

ara r

vs,.....vr> -'^'"'i

*» ci ... . .t 3 ~ E r p ».* - E r _.p p t 11

К l , ir 1=1 l ч a- b- « a h i ,, i ,,

ак следуот из ятих '{.ормул, распределение характорппаииоин"!* татистики в "днероднои М - сх'.-м»?" не зависит от функции аспродолэнич выборок х к y .

Во агорой глл se рассмотрен общий подход для построения аободных о? распределения критериев для проверки гипот^-ы днородности дзух выборок и построен критерия идентификации, снованный на обучающих выборках, для которого можно оценить эроятность ошибки 2-го рода.

В параграфе 1 рассмотрена задача проверки гипотезы однородности эух выборок, которая состоят в следующем: имеется две выборки х и . тробузгея, используя эти выборки, определить, принадлежат ли

п

яи к одной генеральной совокупности или к разным. Коли ¡«пользоваться понятием идентификатора генеральных совокупностей, о для решения этой задачи можно взести следующие гипотезы:

и = < ecvi 2 v!,

X

П'ываемую сс.чоьиоп;

Ну* 1 GCv3 » Fy[F*'cv3lK

мываему» альтернативной. Для решения это« задачи используются

результаты первой главы: по выборкам х и y с помощью некоторого

п m

разбиения qCn+iD строится M - схзма и рассматривается ее

характеризационтя статистика « = с*.....*;> . Пусть vcv.....v :> -

1 к 1 к некоторая борелевская функция, . тогда случайная величина v =

= ' wc* в условиях .справедливости гипотезы н имеет

1 к х

распределение не зависящее от функций распределения выборок х и ï .

n m

На основании этого распределения выбирается некоторая критическая область w„, такая, что fro е wuIh > » гдё « - заданное1 число, тогда критерий проверки справедливости гипотезы н протш

;..... • к

альтернативы н состоит в следующем: '

У -, .

- ПО выборкам X И Y С ПОМОШЬЮ разбиения qCn+l) строится M - схем.

Г» W»

и определяется реализация «°= характеризационнои

1 к

статистики этой M - схемы;

- если .....е , то принимается гипотеза н^ ;

- если ус*°,. -.""э е Wy, ï то принимается гипотеза н^ .

Класс всех статистических критериев, получаемых выше изложении способом о<Зоз«ачеи через и, а его элементы - через "Kvc.),qCn+i3 В качестве примера применения предложенного подхода рассмотре! критерий пустых блоков, впервые введенный Уилксом. Функция ус.эдл!

этого критерия имеет вид = » £ "-«©с* j• , где ¿Схз - единичная

oit

.функция Хэвисайда, а разбиение qCn+.iD, по которому, строится M - схе состоит из единичных частей и имеет порядок п-и : qcn+i:> = cq .... ...,а э,' где q = ï при i = î.n+i . Получено раслределение

ï I

статистики s при гипотезе н С теорема 2. 1 3. Характеристическая

о у

функция этого распределения имеет вид:

■о со = ï - L к С*1'"-

а=1

• м

q < T\+l >

1 а [ GC v Э - GCv Э]Г Z_, Г»» V 4 '»

1 а

В параграфе 2 изучается подкласс И класса W . состоящий и

к

критериев идентификации основанных на линейных функциях у^« Е^ ^ . Такие критерии названы квазилинейными критериями идентификации Выранения для характеристических функций распределений статистики V при гипотезах н и и имеют вид:

XV.

В

p< »>ct> = м «l

с г** 1 >

£ . ,(sxp<ltc >-1Эс v -

' - 1 J 1 1-1

p'v>ct3 _ М £U + Е Cexpdti >-l)[GCv Э - GCv эПт>

с q < n ♦ » > J"1 j J J -1

В теореме 2. 2 показано, что для разбиения qCn+iD сходящегося в целом, при * ® и m/n ■> р е R* статистика v является асимптоти-

С

чески нормальной кстЕ.шоэ , где параметры е и d в зависимости от предположения гипотезы н или н соответственно имеют вид

_Е = Е= Екср. ;

D = D = СР+1Э

у

[е kczP - гЕ * i=1c. с.р. р.] L iii

е = е = е с [<зс* ср5э - sc" cpd3] ;

У 11 t - 1

d = d = е к с с & ;

i. , j = 1 l J t j

где p - предел разбиения qCn+i:> в смысле определения 1. 4;

° - определяются по формуле (15. i i

Далее рассмотрен подкласс W* класса И , элементы которого

t 1

и» (v ,qCn+i33 названы оптимальными квазилинейными критериями. Эти'

критерии основании на оптимальной критической области w* , для которой вероятность ошибки критерия р^ - минимальна (а^ ^

= prCv g w |н ), Р = PrCv « w,,,|h )>.

У -л т »У

' В теореме 2. 3 показано, что при m„n => ® и m/n ■» р « R* и сходимости о целом разбиения qcn+i:> оптимальная критическая область

йу имеет вид

iv: v 0 [mlnCv , v ,v при D > D ;

t z 1 г ух

(v: V е trninCv ,v 3, maxC v ,v D 3 Ь При D < D ;

С 21

где

E D - E D

X у ух

|E - E К D D~

D - D

D - D

а вероятность ошибки критерия m'Cv .qCn+io) равна

с

гдч 4сuj - о'Ункикг. стандартного нормального распрс-яэлоиь

а = |е - е i/c^ít+vd^ ).

■ . Область w* вида с2) названа асимтотической оптимальной критичв' ч. iv; и областью, а величина - асимптотической эффективностью

ошимального критерия. С помощью Д возможно сравнение оптимальны:

квазилинейных критериев между собой.

В следствии 2.4 отмечено, что оптимальный квазилинейны! критерий идентификации является состоятельным, если

|Е kc Igc" срзз - ее" срзз -р ] | * о. I

» ) j J"4 i !

В теореме 2. 4 показано, что для любого идентификатора gcví * v

в классе W* существует состоятельный критерии идентификации. »

Введен класс Ягсос.эз с и .элементами которого явлшзтс$ i i

состоятельные оптимальные квазилинейные критерии идентификации. Элемент этого класса, . у которого асимптотическая эффективность ¿v достигает максимума

где = {р=ср .....р 3: о < р < i, Е^р = назван наиболее

1 k i i j асимптотически эффективным квазилинейным критерием.

В качестве примера рассмотрены квазилинейные критерии второго

порядка >n(v ,qcn+i3 ,w.„), где qCn+13 = cq,n+i-qD. Показано, что

С Г

наиболее асимптотически эффективным состоятельным "оптимальный квазилинейным критерием идентификации второго порядка является критерий т*сх ,сtCri+iзр j ,n+i-[cn+i3p )з, где-ex) - означает целую

1 о о

часть числа х, • .

|есРз - Р|

р = агдшах — —1—" - ■ '

° peCO,11 Vcp+lDpC 1 -рЗГ + ~fpgz С рЗ рс 1 -рЗ + GC рЗ £ 1-GC рЗ ]

дСрз - произвоцная идентификатора Gcp3.

В качестве другою примера рассмотрен критерии Манна-Уитни СГмлкокоонаЛ. Показано, что этот критерии является квазилинейным критерием и нтификашш порядка n+i с функцией у вида

с

v = и = Е п Сим -¿з* .

С 1=1 L

и/, лучены выражения для характеристической функции распределения ычистики v при гипотезах и и н соответственно.

с х у

ю

*>' "'Со = М СП + Се"- 1ЭЕ п . v ,-,1< Г'),

и а<п»1> '"1 д

*>,у>СО = М «14- Се11- 1ЭЕ Г-.ОСу )е11",-"Г),

и ч< г.» 1 I . > - 1 1

где = сч ,... > , при а = 1 .

1 п ♦ Л I '

В заключение отмечена тесная связь, существующая мскду компонентами характеризашюнной статистики . * и рангами к'''-порядковых статистик выборки х в объединенной выборке, состшш.чшо,! из элементов выборок х и г :

г* Гп

к'1' = 4 ♦ Е 1 * .

» I

В параграфе 3 предложен метод построения критериев идентификации, основанных ка обучающих выборках. С этой целью с поМощыб обучающих выборок х и у строится оценка ч с-.о

1 I п, I

производной идентификатора Эта оценка имеет вид

Сп<-1Э* При v « [0,13;

I < Г1* 1 > VI ♦ I

Сп»1:>* при v «• 1 .

I

Получено выражение для характеристической функции распределения отои оиенки С предложение 2. Я 3 и доказана состоятельность д ^с^ при п,' ♦ ® и + е> (теорема 2.6 3. Соответствующая опенка для

идентификатора с<\о получена, как

• Критерия идентификации, основанный на обучающих выборках, состоит в следующем.

13 по обучающим выборкам х и V строится оценка

25 используя эту осенку, на основании результатов параграфа 2 ь классе "со с.оз выбирается состоятельны.! СнаиСолее асимптотически эффективный)' оптимальный квазилинейный критерий порядка к: ,чСп+1)), где чСп-иэ » сч ... .

зэ по обучающей выборке х и идентифицируемой выборке с помощью разбиения цСг>+1> С фигурирующего- а п. 2,3 строится М - схема и определяется реализация с*°....„*£э характеризационной

статистики этой М - схемы;

если V с»°э « V* . где V* - асимптотически оптимальная

с ** г

критическая область, то считаем, что выборка 2^« 53 если V с в у* , то считаем, что выборка 2 е <з .

в . V ту

В третьей глаее описаны 'возможные . приложения критериев идентификации, основанных на обучающих выборках, для решения задач медицинской диагностики. В конце главы приведены результаты статистических исследовании по сравнению некоторых статистических критериев однородности применявшихся для решения задач медицинской диагностики.

В заключении подведены итоги проведенных исследований.

Основное содержание диссертации изложено в следующих рабоуах_:

1. Матвейчук С. А. Обобщение мультиномиальной схемы и ее применение при построении статистических критериев// Докл. АН УССР. -Сер. А. - 1990. - N4. - С. 22-25.

2. Матвейчук С. А., Петунин Ю. И. Обобщение схемы Бернулли, возникающее в вариационной статистике 1// Укр. мат. журн, - Киев,

1990. - Т. А2. - N4. - С. 518-528.

3. Матвейчук С. А., Петунин К). И. Обобщение схемы Бернулли, возникающее в вариационной статистике 2// Укр. мат. журн. - Киев,

1991. - Т. 43. - N6. - С. 77Э-7&6.

4. Петунин Ю. И. , Матвейчук С. А., Тимошенко Я. Г., Суптело П. П. Сравнительная характеристика статистических критериев, применяемых при дифференциальной диагностике гиперпластических процессов от рака 'желудка по морфометричееким и цитоспектрофотометрическик показателям // Вычисл. и прим. математика. - Киев, 1986. - Вып. 60. - С. 107-115. ' .

1 5. Matveichuk S А. , Petunin Ju.I. A new approach for the construction of statistical criteria for testing the uniformity oi .samples ✓✓ Bull. Inst. Math. Statist., 1990. - N10. - P. • 3S5. ' '

, 6. Matveichuk S.A., Petunin Ju.I. Statistical criteria- for pattern recognition, baaed on training samples // , Pattorri Recognition And Image Análisis, 1BS1. -V.l. - N2. - P. 1-0.

Poi J^rrH.SaK.» 465

or П.XI.SI г. тир. 150 экз.