автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование структуры границ зерен и физических процессов, связанных с ними

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОРДОВСКИЙ ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.П.ОГАРЕВА

Г Г 5 С Л 2 МАР 1ЯР7

на правах рукописи

Батайкина Ирина Анатольевна

Моделирование структуры границ зерен и физических процессов, связанных с ними

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 1997 г.

Работа выполнена на кафедре физики твердого тела Мордовского ордена Дружбы народов государственного университета им. Н.П. Огарева.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент Ивлев В.И.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических

наук, профессор Малыханов Ю.Б.

Ведущее предприятие - ВНИИИС им. А.Н. Лодыгина

Защита состоится ¿¿/ъ/г&^г^ 1997 г. в /Э час. мин.

в аудитории / на заседании диссертационного совета К063.72.04 при Мордовском государственном университете им.Н. П. Огарева

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им.Н.П.Огарева.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета К063.72.04 кандидат физико-математических наук, доцент

урюмин С.М.

- кандидат физико-математических наук, доцент Сафонкин В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одной из главных задач, стоящих перед металлургической и металлообрабатывающей промышленностью, является создание и широкое внедрение новых металлических материалов с повышенными характеристиками, разработка высокоэффективных технологических процессов металлообработки. Решение этих задач возможно только при целенаправленном управлении свойствами металлов на основе знаний тонкой структуры. К числу важнейших структурных элементов, определяющих свойства металлических материалов, относятся границы зерен - один из основных дефектов кристаллического строения металлов.

За последние 15-20 лет достигнуты значительные успехи в изучении структуры и поведения границ зерен. Эти успехи связаны с появлением новых данных о кристаллогеомегрии границ зерен и их атомном строении благодаря совершенствованию экспериментальных методов высокого разрешения, а также развитию машинного моделирования.

Согласно современным представлениям, границей зерен следует считать область, где координация атомов иная, чем в совершенной решетке. Моделирование границ зерен на ЭВМ дает возможность глубже проникнуть в их сущность. С помощью вычислительной техники можно проводить значительно более реалистический анализ границ хотя бы просто потому, что ЭВМ позволяет рассматривать границы зерен, состоящие из огромного числа атомов.

Для современных моделей границ зерен характерна высокая степень детализации. Например, в модели с зерногранич-ными дислокациями расположение атомов в границах задается с точностью, составляющей доли атомного диаметра. Такая детализация позволяет с успехом решать многие задачи механики поликристаллов. В то же время она связана с введением значительного числа параметров, что существенно усложняет описание строения и свойств границ.

При решении значительного числа задач, в частности, связанных с анализом термодинамических свойств, более удобным является такое описание, которое содержит мини-

мальное число параметров. Естественно, что уменьшение числа параметров приводит к более или менее сильно выраженному обобщенному, интегральному характеру этих параметров. Метод приведенных ячеек Вигнера-Зейтца позволяет описывать структуру границ зерен, используя единственный параметр - параметр беспорядка, что и определяет актуальность данной работы.

В работе были поставлены следующие цели:

1) разработать методику компьютерного моделирования границ зерен, позволяющую рассчитывать обобщенный параметр беспорядка в схеме приведенных ячеек Вигнера-Зейтца. Создать пакет программ для реализации этой методики;

2) получить зависимость параметра беспорядка на границах зерен от угла разориентировки для различных кристаллических решеток и разных ориентировок границы;

3) установить связь между параметром беспорядка и энергией межатомного взаимодействия.

Научная новизна проведенных в работе исследований заключается в следующем:

а) разработана оригинальная методика компьютерного моделирования границ зерен, которая позволяет рассчитывать параметр беспорядка в схеме приведенных ячеек Вигнера-Зейтца;

б) впервые получены зависимости параметра беспорядка от угла разориентировки для различных кристаллических решеток при разных направлениях оси разворота;

в) впервые проведены расчеты параметра беспорядка, об-условленого дислокациями, установлена зависимость этого параметра от угла разориентировки для малоугловых (дислокационных) границ;

г) установлена связь между параметром беспорядка и энергией межатомного взаимодействия для различных кристаллов.

На защиту выносятся:

- методика расчета и пакет программ на языках ТВАБ1С и ТРАБСАЬ, предназначенных для расчета параметра беспорядка, обусловленного границами зерен в кристаллах, а также для решения ряда связанных с этой проблемой задач;

- систематизированные результаты машинного моделирования границ зерен и расчета параметра беспорядка в кристаллах с ПКР, ОЦК и ГЦК решетками;

- методика и результаты расчета взаимосвязи между параметром беспорядка и энергией межатомного взаимодействия;

- результаты расчета зернограничной энергии в зависимости от ориентации границы.

Практическое значение результатов работы заключается в следующем:

- полученные в работе результаты позволяют с новых позиций провести анализ геометрических и термодинамических аспектов проблемы межзеренных границ в поликристаллах;

- разработанные программы на языках TBASIC и TPASCAL могут быть использованы работниками вузов, исследовательских институтов, а также аспирантами и студентами старших курсов, занимающихся моделированием границ зерен.

Апробация работы. Результаты работы докладывались

на:

- II Всесоюзном совещании "Метастабильность фазовых состояний - тсплофизических свойств и кинетика релаксации" (Свердловск, 1989);

- IV Всесоюзной конференции "Сверхпластичность металлов" (Уфа, 1989);

- XII Всесоюзной конференции по физике прочности и пластичности металлов и сплавов (Куйбышев, 1989);

- VI Республиканской научно-технической конференции "Демпфирую-щие металлические материалы" (Киров, 1991);

- XIV Международной научной конференции по физике прочности и пластичности металлов и сплавов" (Самара, 1995);

- III Российско - Китайский симпозиум " Актуальные проблемы современного материаловедения" (Калуга, 1996);

- научном семинаре профессора Е.В.Воскресенского по прикладной математике при Мордовском гос. ун-те им. Н.П.Огарева (Саранск, 1997).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и 4 глав, содержит 145 страниц машинописного текста, включая 58 рисунков, 7 таблиц, библиографию из 134 наименований и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определяется задача, указываются цели исследований и научная новизна полученных результатов, формулируются основные положения и выводы, выносимые на защиту, а также рассматривается практическое значение работы.

Первая глава является обзорной и посвящена рассмотрению современных моделей структуры границ зерен. В ней дан краткий анализ основных теоретических и экспериментальных работ, посвященных этой теме. Значительное место в обзоре отведено рассмотрению наиболее распространенных моделей структуры границ зерен: взаимопроникающие решетки, решетки совпадающих узлов (РСУ), модель Болмана (0-решетка), решетка зернограничных сдвигов (ЗГД) и др.

Каждая из этих моделей в отдельности не охватывает всех возможных разориентировок между зернами. Многие решетки носят частный характер, например РСУ, так как они образуются дискретно и вероятность их образования уменьшается с понижением симметрии кристаллической решетки; в случае сопряжения разнотипных решеток могут вообще не возникнуть РСУ. Пожалуй, лишь теория 0-решетки Болмана дает наиболее общий геометрический подход к анализу структуры границ. Однако, и эта теория не объясняет протекание релаксации зернограничной структуры на атомарном уровне, но объясняет построение жесткой нерелаксированной модели, с которой во всех случаях начинается анализ зернограничной структуры.

Анализ кристаллографических параметров границ зерен удается выполнить в рамках чисто геометрических моделей их строения. Однако такие модели, позволяя систематизировать обширный фактический материал, вместе с тем обнаруживают и большое число расхождений с экспериментом. Так, в ряде экспериментальных работ не было обнаружено переориентации в специальное положение границ с £7 в бикристалле алюминия после длительного отжига. В бикристалле с Х9 при таком же отжиге наблюдали фасетирование границы. Произвольным по отношению к РСУ было положение границы с 219 в вольфраме, в то время как граница с ЕЗЗ (ось вращения <110>, 0 «62") располагалась по плоскости {554}в решетке обоих зерен, что соответствует зернограничной структуре с минимальной энергией.

Исследования структуры границ с использованием метода прямого разрешения решетки, выполненные в последние годы, позволили установить, что реальные позиции атомов в границе не соответствуют узлам сверхрешеток, построенных из чисто геометрических соображений. Все эти факты приводят к необходимости строить релаксированные модели границ, которые наряду с особенностями строения решетки учитывают и физическую природу материала, т.е. характер межатомного взаимодействия. Разработка таких моделей для металлов основывается главным образом на анализе результатов, полученных методом машинного моделирования. Наиболее свежие результаты, посвященные данной теме приводятся в обзоре.

Глава содержит обзор экспериментальных исследований структуры границ зерен и способов оценки ее энергетических характеристик. Энергия границы Е может быть определена как разность между потенциальной энергией области, состоящей из N атомов границы и потенциальной энергией совершенной части кристалла, состоящей из такого же количества атомов. Выбор потенциальной функции определяется характером межатомного взаимодействия и типом кристаллической структуры. Большинство расчетов релаксированной зернограничной структуры выполнено для ГЦК - и ОЦК -кристаллов. Просчитаны в основном границы наклона

(малоугловые и высокоугловыс) с осями вращения, проходящими по направлениям с малыми индексами.

Во второй главе представлена методика моделирования границы двух зерен на основе метода приведенных ячеек Вигнера-Зейтца. Схема приведенных ячеек Вигнера-Зейтца была предложена в [1] и использована для классификации конденсированных агрегатных состояний, анализа радиальной функции распределения атомов в однокомпонентных расплавах и в решении некоторых других задач.

Метод приведенных ячеек Вигнера-Зейтца позволяет описать структуру границ зерен, используя один единственный параметр - параметр беспорядка, представляющий собой дисперсию относительных межатомных расстояний.

Простейшая математическая модель кристалла - это множество точек (например, центров окружностей на плоскости или центров шаров в пространстве) в выбранной системе координат, расположение которых определяется формулой:

г = х}+у] + гк (1)

где х,у,г - целые числа, принимающие значения от -Ы до N.

Геометрическое место точек "узлов", расположенных в пространстве с трехмерной периодичностью, отвечает пространственной решетке. Подобный математический образ (в первом приближении) может служить моделью идеального кристалла. Эта модель характеризуется следующими признаками:

1) при температуре абсолютного нуля центры масс атомов располагаются в узлах пространственной решетки, определяемых соотношением (1);

2) при отличной от нуля температуре атомы совершают гармонические колебания около положений равновесия, которые совпадают с узлами решетки;

3) система гармонических осцилляторов находится в термодинамическом равновесии при заданных внешних условиях.

• Выбор базиса 1, ], к, т.е. порождающей матрицы зависел от моделируемой структуры. Рассматривались кристаллы

с простой кубической, с объемноцентрированной и с грапе-центрированной решетками.

Как было отмечено ранее, границей зерен считают область, где координация атомов иная, чем в совершенной решетке. Из-за формирования в области контакта зерен специфической структуры, отличной от структуры идеального кристалла, границы зерен рассматривают как самостоятельную фазу, структурно и по свойствам выделенную из объема.

Геометрически граница зерен может быть представлена как поверхность раздела, по которой сопрягаются два различно ориентированных кристалла. Разориентировку зерен при моделировании получали за счет поворота одного кристалла относительного другого на угол разориентировки вокруг общей для зерен оси (оси разориентировки) и.

В работе использован следующий алгоритм моделирования границ'.

1) построение идеального кристалла с заданным типом решетки;

2) поворот одной части кристалла (зерно 1) относительно другой (зерно 2) на определенный угол;

3) расчет параметра беспорядка границы зерен по схеме приведенных ячеек Вигнера-Зейтца;

4) построение рслаксированной границы, т.е. нахождение оптимального местоположения каждого граничного атома по отношению к его ближайшим соседям путем решения системы нелинейных уравнений методом итераций;

5) расчет параметра беспорядка в релаксироваиной структуре.

При реализации данного алгоритма ограничивающими условиями являются: а) исходная структура границ зерен задается как максимально плотная укладка жестких шаров (атомов), т.е. в укладке нет пустот, куда мог бы поместиться еще один шар; б) укладка шаров в границе совпадает с их укладкой в решетке для возможно большего числа шаров. Для реализации алгоритма были составлены программы, позволяющие моделировать "жесткие" несимметричные и симметричные границы наклона с различными осями поворота для кристаллов с кубическими решетками, проводить ре-

лаксацшо "жестких" границ раздела, т.е. получать модели границ зерен, которые наряду с особенностями строения решетки учитывают и физическую природу материала. Релаксация границы была проведена методом минимизации параметра беспорядка для каждого граничного атома.

Для реализации этой идеи были написаны программа-1 "Моделирование "жесткой" несимметричной границы" и программа-2 "Моделирование "жесткой" симметричной границы бикристалла". Это графические программы, позволяющие наглядно представить себе границу двух зерен, одно из которых повернуто на угол 6 по отношению к другому. Перед работой программы, в заставке, можно получить информацию о ее назначении. Входными параметрами программы (параметрами, которые задаются пользователем) являются: угол разориентировки границы и количество атомов, определяющее длину границы. Выходные параметры - это координаты граничных точек и координаты точек, следующих за граничными.

Все модельные построения, описанные выше, относятся к жесткой иерелаксированной зернограничной структуре, с которой всегда начинается любой анализ. Экспериментальные исследования границы зерен позволяют сделать вывод, что реальные позиции атомов в границе не соответствуют узлам решеток, построенных поворотом идеальной решетки на какой-либо угол. Граничные атомы стремятся занять такое положение, которое обеспечивало бы им равновесное состояние. Эти факты приводят к необходимости строить релакси-рованные модели границ, которые наряду с особенностями строения решетки учитывают и физическую природу материала.

Программа-3 "Релаксированная граница" позволяет найти оптимальное местоположение каждого граничного атома путем решения системы нелинейных уравнений методом итерации для каждого из них. Точность вычисления координат задавалась равной ~ 0.01 А0. Моделируемый кристалл состоял из конечного числа атомов порядка 10-4104. С макроскопической точки зрения это чрезвычайно мало. Для того чтобы результаты, полученные для малого кристалла, можно

было распространить на макрообъем (с тем чтобы в дальнейшем провести сравнение с экспериментом), задавались условия "сшивания" микрокристаллита с внешним объемом.

Например, на рис.1 представлена схема границы раздела, которая имеет период полной идентичности ( укладка слоев трехслойная АВСАВСАВС..., но слой С в этом направлении томно повторяет слой А ), следовательно размер расчетной ячейки в этом направлении равен периоду идентичности. Это позволяет имитировать бесконечную протяженность кристалла в рассматриваемом направлении. Такие периодические условия являются в известной степени точными, а не приближенными (в той степени, в какой соблюдается полная идентичность). В результате выполнения программы-3 получаем новые координаты граничных атомов и координаты атомов, следующих за граничными.

Расчеты были проведены для следующих частных случаев: а) кристалл с простой кубической решеткой, б) крис талл с объемноцентрированной структурой, в) кристалл с гране-ценгрированной кристаллической решеткой.

Также в этой главе описана процедура моделирования малоугловой границы на основе теории упругости. Для решения этой задачи нами была использована традиционная дислокационная модель. В ирогралше-4 "Малоугловая граница (ГЦК)" и программе-5 "Малоугловая граница (ОЦК)" моделируются малоугловые границы и рассчитывается параметр беспорядка в них.

В третьей главе описаны программы, разработанные для расчета параметра беспорядка в созданных моделях границ и представлены результаты этих расчетов.

Были получены зависимости параметра беспорядка от угла разориентировки для малоугловых и высокоугловых границ различных кубических решеток. Установлено, что значение параметра беспорядка, обусловленного малоугло выми границами, растет монотонно с увеличением угла разориентировки. Значение параметра беспорядка, найденное для произвольных границ, мало зависит от угла разориентировки. При специальных разориентировках границы (малая величина обратной плотности совпадающих узлов) кривые

ъ

1 п

Рис. 1. Схема жесткой симметричной границы наклона с осью [001 ].

зависимости о(9) имеют минимумы. Предполагается, что особые свойства специальных границ обусловлены их особой структурой: специальные границы имеют наиболее упорядоченные структуры. Таким образом, параметр беспорядка

конкретной границы может быть использован для анализа ее разупорядоченпости.

Расчеты были сделаны как для идеальной, гак и для ре-лаксированной структуры. Для большей наглядности полученные результаты представлены графически.

Четвертая глава посвящена установлению связи между традиционным методом расчета энергетических характеристик границы с предлагаемым методом. Метод приведенных ячеек Вигнера-Зсйтца рассматривается как дополнительный к обычным методам, в основе которых лежит расчет энергии межатомного взаимодействия системы. Установив связь между параметром беспорядка и энергией межатомного взаимодействия для ряда кристаллов (AI, Си, Fe, W и др.), можно объединить оба метода.

Для решения этой задачи было создано 4 программы: программа-]2 "Энергия границ в бикристалле меди", программа-! 2.1 "Энергия границ в кристаллах с ГЦК решеткой", программа-!3 "Энергия границ в бикристалле а-железе" и программа-!3.1 "Энергия границ в кристаллах с ОЦК решеткой" . Каждая из этих программ объединяет в себе ряд процедур, которыми решаются локальные задачи (например, процедуры LOOK, SORT, FORMULA, STEP) и ряд самостоятельных автономных программ (например, INF, MNK, KORR и SU6). Программа INF позволяет получить обширную информацию о данной программе, о ее входных и выходных данных, программа MNK обеспечивает нахождение коэффициентов выбранного полинома, программа KORR позволяет определять коэффициенты корреляции исследуемой зависимости, программа SU6 обеспечивает просмотр полученной зависимости по ходу выполнения программы.

Интересующая нас зависимость носит статистический характер - каждому значению энергии взаимодействия соответствует множество конфигураций, имеющих разные значения параметра беспорядка. Поэтому результаты расчетов, представленные графически в координатах Е - а2, имеют вид "облака", показанного для примера на рис.2 (Си). Усреднение результатов проведено в предположении, что различные

конфигурации, имеющие одну и ту же энергию, равноверояг ны. Эта зависимость имеет вид гладкой кривой. Методом наименьших квадратов было получено уравнение этой зависимости.

2.85

-3.85

-1.85

-5.65

-

ж ж ж ж * ( Ж W ж ж * т w т к Ж W ж ж * ж * * Ж * х ш w ш т

„ч ж * «г "S. ж * ж ** * м t * w ж ж ж * ж

0.08 О

<G"2>

.1

0.02 0.04 0.06

Рис.2. Корреляция между энергией ячейки и параметром беспорядка (Си).

Используя процедуру FORMULA, ранее полученная зависимость С72(0) была пересчитана в зависимость Е(0) (рис.3).

Определены коэффициенты корреляции между энергией и параметром беспорядка для ряда металлов с ОЦК и ГЦК структурой. Получены интерполяционные формулы, связывающие энергию и параметр беспорядка для Си, А1 (ГЦК) и Fe, W (ОЦК). Используя ранее найденные зависимости а (в) и интерполяционные формулы, были получены ориентацион-ные зависимости зернограничной энергии для Al, Си, Fe и W.

Рис.3. Расчетные значения энергии симметричных границ наклона с осью [001 ] в меди: 1- расчет но предложенной модели, 2 - данные [2].

Минимумы этих кривых приходятся на те углы взаимного поворота решеток, которые дают сравнительно малые значения обратной плотности совпадающих узлов I, т.е. приходятся на специальные углы о чем свидетельствует традиционная методика расчета и экспериментально полученные энергетические зависимости.

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика компьютерного моделирования границ зерен в кристаллах с кубическими решетками, которая позволяет рассчитывать параметр беспорядка в схеме приведенных ячеек Вигнера-Зейтца.

2. Разработан пакет программ на языках ТВА51С и ТРАБСАЬ, предназначенных для расчета параметра беспорядка, обусловленного границами зерен в кристаллах, а также для решения ряда связанных с этой проблемой задач.

3. Для большеугловых границ зерен различных кристаллических решеток и разных ориентировок границы получены зависимости параметра беспорядка от угла разориентировки границы.

Полученные в работе кривые а2(8) для различных кристаллических решеток имеют минимумы при специальных разориентировках границы.

4. Для анализа малоугловых границ использовалась дислокационная модель. Рассчитана величина прироста параметра беспорядка, обусловленного дислокацией, как функция расстояния от ее оси.

Параметр беспорядка, обусловленного границами, рассчитанный в дислокационной модели, растет монотонно с увеличением угла разориентировки.

5. Проведены расчеты взаимосвязи между параметром беспорядка и энергией межатомного взаимодействия в модели, содержащей центральный атом и его ближайшее окружение. Полученная зависимость имеет вид "облака" с большой дисперсией. При решении практических задач имеет смысл использовать зависимость энергии взаимодействия от параметра беспорядка, полученную усреднением по величине последнего в предположении равновероятности разных конфигураций атомов, имеющих одинаковую энергию. Эта зависимость имеет вид гладкой кривой.

6. Полученная в работе зависимость энергии взаимодействия от параметра беспорядка использована для расчета зернограничной энергии. Установлено, что предложенный метод описания структуры границ зерен дает результаты, которые хорошо согласуются с литературными данными по ориентационной зависимости граничной энергии. В частности, полученные в работе кривые Е(0) для различных металлов имеют минимумы там, где углы взаимного поворота решеток дают малые значения обратной плотности совпадающих узлов I, т.е. приходятся на специальные углы.

7. Схема приведенных ячеек Вигнера-Зейтца оказалась применимой для анализа разупорядоченности в кристаллах, обусловленной наличием границ зерен.

Предложенный метод описания границ раздела дает возможность получить результаты, не прибегая к громоздким вычислениям. Зная один только параметр беспорядка для границы, можно получить ее энергетическую характеристику. Результаты проведенного исследования могут быть использованы для дальнейшего изучения структуры границ зерен.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ивлев В.И., Беглов В.П., Черепкова (Батайкина) И.А. Неравновесность и параметр беспорядка в модели приведенных ячеек Вигнера-Зейтца. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания "Метастабильность фазового состояния - теплофи-зические свойства и кинетика релаксации". Свердловск, 1989, с.64-65.

2. Ивлев В.И., Батайкина И.А. Параметр беспорядка для границ зерен и его связь с межзеренным проскальзыванием при пластической дефор>мации. XII Всесоюзная конференция по физике прочности и пластичности металлов и сплавов. Куйбышев, 1989, с.170-171.

3. Ивлев В.И., Батайкина И.А. Зсрнограничпое проскальзывание при сверхпластической деформации в модели с параметром беспорядка. Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции Сверхпластичность металлов". I часть. Уфа, 1989, с.37-38.

4. Батайкина И.А. Расчет параметра беспорядка в некоторых моделях границ зерен. Тезисы научной конференции -XX Огаревские чтения. Саранск, 1991, с.33-34.

5. Ивлев В.И., Батайкина И.А. Границы зерен в ГЦК кристаллах. Тезисы научной конференции - XXI Огаревские чтения. Саранск, 1992, с.17-18.

6. Ивлев В.И., Батайкина И.А. Анализ беспорядка на границах зерен. Тезисы научной конференции - XXII Огаревские чтения. Саранск, 1993, с.85-86.

7. Ивлев В.И., Батайкина И.А. Моделирование структуры и свойств границ зерен в поликристаллах. Тезисы докладов III Межреспубликанского совещания по вопросам материаловедения для источников света и светотехнических изделий. Саранск, 1992, с. 15-16.

8. Ивлев В.И., Батайкина И.А. Моделирование границ зерен в светотехнических материалах. Тезисы научной конференции - Светоизлучаюгцие системы. Эффективность и применение. Саранск, 1994, с.23-24.

9. Батайкина И.А., Ивлев В.И. Анализ беспорядка на границах зерси кристаллов с кубическими решетками. XIV Международная конференция по физике прочности и пластичности материалов. Самара, 1995, с. 17-18.

10. Balaikina I.A., Ivlev V.I. Grain boundaries and the models with the parameter of disorder. Third Russian - Chinese Symposium. Advanced materials and processes. Kaluga, Russia, October, 9- 12, 1995. p.45-46.

Литература.

1, Ивлев В.И. Упорядоченные и разупорядоченные состояния вещества в схеме приведенных ячеек Вигнера-Зейтца. ЖФХ, 1988, т.62, в.37, с.828-830.

2. Hasson G., Boos J.-Y., Herbeuval I., Biscondi M. Theoretical and experimental determination of grain boundary structures and energies: correlation with various experimental results. Surf. Science, 1972, v.31, ptl, p.l 15-136.