автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование сильных возмущений ионосферы с разбиением по физическим процессам при помощи модифицированного сеточно-характеристического метода и метода Годунова

На правах рукописи

ВАСИЛЬЕВ Михаил Олегович

Моделирование сильных возмущений ионосферы с разбиением по физическим процессам при помощи модифицированного сеточно-характеристического метода и метода Годунова

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

Москва-2008

003456177

Работа выполнена ни кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель: член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук профессор

Холодов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор

Галанин Михаил Павлович кандидат физико-математических наук Мухин Сергей Иванович Ведущая организация: Институт математического

моделирования РАН

Защита сос тоится « (б » декабря 2008 года в. /2 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу. 141700, Московская область, г\ Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан «_ /Г _» ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета / Федько О.С.

Д 212.150.05

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В диссертационной работе рассматривается задача моделирования последствий сильного локального возмущения ионосферы, вызванного воздействием взрывного тина или распылением высокотемпературной плазмы на высотах более 200 километров.

Задача детального исследования подобного рода возмущений интересна в связи с тем, что хотя с 60-х годов двадцатого века и проводилось довольно много натурных экспериментов с околоземной плазмой, математические модели, построенные на основании данных такого рода экспериментов, имеют тенденцию к упрощению и учету лишь параметров, относительно легко поддающихся регистрации.

Появившиеся в последнее время вычислительные возможности и развитые численные методы позволяют детально моделировать такого рода течения, основываясь па достаточно полной постановке задачи.

Первым шагом к реализации подробной математической модели ионосферы, описывающей явления подобного рода, является построение консервативного метода решения уравнений магнитной газовой динамики (МГД), применимого к задаче рассматриваемого типа.

В качестве грубой модели процесса может выступать модель, основанная на уравнениях динамики идеально проводящею газа - уравнениях идеальной МГД. Такая модель описывает далеко не все аспекты проблемы, но по крайней мере, позволяет проследить ударные волны и основные свойства течения газа. При этом не рассматривается распространение излучения и его взаимодействие с веществом, детали структуры ударных волн и

особенности химических процессов, протекающих в ионосфере, равно как и воздействие ударных волн и продуктов эксперимента на прохождение этих химических процессов.

Известные модели не позволяют достаточно точно описать поведение сильных возмущении, так как строятся зачастую на недивергентной форме уравнений.

Модели же, основанные на консервативной форме уравнений и решении задачи Римама о распаде разрыва, в их классическом виде являются неустойчивыми па нелинейном фоновом решении. Такое решение возникает при ненулевой правой части, что естественным образом следует из базисных предположений о поведении рассчитываемой функции в пределах ячейки сетки, используемых в этих подходах.

Таким образом, гю крайней мере в открытых источниках ощущается недостаток качественных методов решения задач моделирования интенсивных возмущений ионосферы.

Цели и задачи диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в разработке численного метода решения уравнений МГД, обладающего следующими свойствами:

• Точное выполнение на сеточном уровне физических законов сохранения;

• Возможность расчета продолжительных воздействий;

• Высокая точность расчета параметров, связанных с магнитным полем.

Научная новизна работы

Для трехмерных уравнений МГД разработан новый подход к решению, позволяющий строить решение, обладающее свойством консервативности по массе, энергии, импульсу, магнитному потоку и магнитному заряду. Начальное приближение строится так, что численный магнитный заряд равен нулю во всех ячейках разностной сетки, а консервативные свойства метода обеспечивают сохранение этого свойства. От существующих методов разработанный подход отличается более точной аппроксимацией магнитного поля и устойчивостью на нелинейном фоновом решении.

При этом разработанный подход позволяет использовать различные методики решения задачи Римана о распаде разрыва и может быть относительно легко применен к другим системам уравнений.

Необходимо отметить, что программная реализация предложенного метода, выполненная автором, обладает следующими свойствами:

• Гибкость и простота модификации - для того, чтобы было возможно сравнивать на одной и той же задаче различные методы решения составляющих подзадач.

• Расширяемость - простота добавления в рассчитываемую задачу новых параметров и изменения ее постановки.

• Возможность работы на разных типах сеток.

• Возможность работы на параллельных вычислительных системах.

На защиту выносятся:

1. Метод построения разностной сетки с определением значений рассчитываемых величин в различных точках пространства.

2. Метод реконструкции газодинамических и магнитных параметров в точках ячейки по их осреднепньш значениям.

3. Методика распараллеливания программного комплекса, основывающаяся на декомпозиции верхнего уровня иерархии сетки и балланси-ровке загрузки по априорной информации о решении.

Апробация работы

Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях: ''31st EPS Conference oil Plasma Physics" (London, 2004), "Международная конференция по избранным вопросам современной математики", (Калининград, 2005), 49-я и 50-я научные конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук", (Москва-Долгопрудный, 2006, 2007), а так же на научных семинарах кафедры вычислительной математики МФТИ (2004-2008 гг.)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе одна [1] в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ. В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1,2| - реализация численного алгоритма, проведение расчетов, [5,6] - реализация адаптивных иерархи-

ческих сеток, построение аириорной оцеики трудоемкости, [8] - решение задачи построения матрицы обменов.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 96 страниц. Список использованных источников содержит 31 наименование. В работу включены 34 рисунка.

Содержание работы

Введение к диссертации содержит обоснование актуальности избранной темы, описание основных целей и конкретных задач исследования. Сформулированы особенности существующих подходов к решению задач магнитной газовой динамики, их преимущества и недостатки. Предложены пути улучшения существующих методов.

В первой главе строятся основные методы реконструкции, применяемые для решения поставленной задачи.

Для системы уравнений идеальной магнитной газововой динамики: 1

% +&\чру =0

от

^ + (НУ (риу + уЛ - )

~ + сЩВ-и - иВ) = 0 от

1 Здесь р - плотность плазмы, и - ее скорость, р. ~ р + - полное давление, с — ре + Щ- + ^ -полная анергия единицы объема, В - магнитное ноле, е - тепловая -лтергия единицы массы. Уравнение состояния - р = (7 - , Так же использованы тензорные обозначения - произведение векторов аЬ-это тензор второго ранга с элементом а,!^, а дивергенция тензора Т^, соответственно, сектор

с дополнительным требованием бездивергентности магнитного поля:

сИУ В = О

строится разностная схема, основанная на следующих идеях:

• Газодинамические параметры должны быть определены в каждой ячейке и иметь смысл осреднений по ячейке. Тогда консервативная разностная схема гго ним обеспечит тождественное выполнение законов сохранения.

• Магнитное поле должно быть определено таким образом, что консервативная разностная схема обеспечит автоматическое выполнение закона сохранения магнитного потока через границы некоторой замкнутой области (при этом такая область не обязана совпадать с ячейкой разностной схемы, важно лишь, что все пространство расчетной области разбито на такие ячейки).

• Техника реконструкции магнитного поля в ячейке должна учитывать специфику магнитного поля Земли и позволять при достаточно подробной сетке получить реконструкцию аналитически задаваемого дипольного поля с машинной точностью.

• Техника реконструкции газодинамических параметров должна быть согласована с правой частью и так лее давать возможность реконструировать аналитическое решение стационарных уравнений с произвольной точней :тью.

Для магнитного поля строится декомпозиция, определяющая сеточные значения компонент поля как осреднения истинных значений соответствующих компонент по лежащим внутри ячейки граням субъячеек -

Рис. 1. Организация ячейки сетки. В центре ячейки определены р, рй, ё -осредненные по ячейке газодинамические переменные, в центрах границ субъячеек - перпендикулярные к ним компоненты поля, осредненные по соответствующим границам субъячеек

подобластей ячейки, на которые она делится тремя перпендикулярными плоскостями, проходящими через ее центр.

На основании этой информации о поле и представлении о нем, как о поле некоторого диполя с центром в центре Земли, а так же с использованием предположения о том, что сила, действующая со стороны поля на плазму определяется только потоками импульса на границах ячейки, строится приближенная реконструкция поля внутри ячейки. При этом рассчитываются первая и вторая производные всех компонент поли.

Для компонент дипольного момента ру получаются выражения:

Р] = (ф<\(м) + ф;.»,2) + ф;.(2,1) + Ф,,(2,2))

Здесь Фщк) = Вг,(],к)11ц11ь - потоки магнитного поля через соответствующую грань субъячейки, а тензор Ру имеет вид:2

- следующая за /,-й ось, <2 - следующая за м, /¡, - размеры субъяческ

Тензора Вц и Бум для диполыюго поля имеют вид:

Вцы =--^ + + Г,Гк6ц + Г/пби; + Г/П^А: + ГкПбц) +

(¿/АА: + 6ад# + Му) +-

И имеют смысл, соответственно, коэффициента в выражении для ?'-й компоненты поля при .?-й компоненте диполыюго момента (йу) и коэффициента в выражении для к, 1-й второй производной г-й компоненты поля при ¿-И компоненте диполыюго момента (Вуы). Понятно, что для других аналитически-задаваемых конфигураций поля подобные построения так же можно проделать.

Соответственно, после того, как компоненты дипольного момента найдены по потокам через грани субъячеек, дипольное магнитное поле может быть реконструированно в любой точке ячейки, так же по реконструкции легко находится полная энергия магнитного поля в ячейке.

Для реконструкции газодинамических параметров приближенно решается задача, о стационарном газодинамическом течении с ненулевой правой частью в пределах ячейки, и на основании этого приближенного решения строится связь между осредненными по ячейке значениями газодинамических величин и значениями в каждой точке.

Так как в газодинамической части уравнений есть выделенное направление - вертикальное, и в фоновом решении все газодинамические параметры решения зависят только от высоты, решается одномерная задача.

При решении находятся два первых интеграла системы - поток q и интеграл Бернулли I. От системы из трех уравнений остается одно:

+ (7-1)5^+^ = 0

Это уравнение решается приближенно, в итоге для плотности, скорости и внутренней энергии получаются выражения:

р = Рое'ь

и ~ щек2

£ ~ 7 V 2

к = а2 -^ + (7-1)/- - (7 - 1)5.

(случай с и = 0 в диссертации рассматривается отдельно, здесь он опущен).

Теперь, если известны осреднения по ячейке р, (ри), ё (а в консервативном методе типа Годунова именно такие значения хранятся в каждой ячейке), можно приближенно расчитать к, а для интеграла Бернулли при известном к можно получить: 3

1р = 7ё + (1 - + др - А/?/*)

Так же по приближенному значению к можно получить ро и «о -значения плотности и скорости в центре ячейки, а по ним - значения плотности, скорости и энергии в любой точке ячейки.

»Здесь= =

Рассмотренная реконструкция автоматически обратима - осреднение от реконструкции дает корректные осредненные значения и согласован с известными первыми интегралами системы. Так же построенная реконструкция обладает предельными переходами - при и —> 0 - стремится к одному из решений системы с и = 0, а при д —» 0 - стремится к обычной кусочно-постоянной реконструкции.

Описывается способ построения иерархических сеток, применимый в данной задаче и поясняется, почему необходимо при замене ячейки более подробной сеткой обязательно строить сетку с нечетными числами узлов по каждой из осей. Действительно, если при замене ячейки на сетку грани центральных субъячеек вновь построенной сетки перестанут переходить в грани субъячеек соседних с исходной ячеек, минимальная область, поток через границу которой определен, будет включать всю вновь построенную сетку, и только для такой области мы сможем гарантировать отсутствие магнитного заряда. Таким образом, эффект от перестроения сетки существенно уменьшится - по крайней мере одна из величин останется определенной на области порядка размера исходной ячейки.

Описываются алгоритмы перестроения сетки, позволяющие перестраивать сетку без выхода за допустимые ресурсы системы и с минимально возможной при этом потерей точности.

Во второй главе приводятся физические особенности решаемых задач - показьшается, что для решения задачи о распространении возмущения требуется вводить согласованное с правой частью фоновое решение, приводятся особенности постановки задач о взрыве и о желобковой неустойчивости фронта.

Действительно, оказывается, что если в качестве фонового решения

взять не модельную стационарную, а реальную (полученную обобщением экспериментальных данных) атмосферу, которой соответствует, вообще говоря, нестационарное состояние атмосферы, в решении будут развиваться течения, вызванные ненулевой разностью между gradp и рд.

При помощи простых энергетических оценок показывается, что если фронт разлетающейся плазмы возмущен, а суммарные давления с обоих сторон фронта сопоставимы, может возникнуть и развиться желобковая неустойчивость, строятся аналитические оценки скорости роста желобков.

В третьей главе приводятся результаты решения модельных задач, сформулированных во второй главе, демонстрация работы нескорректированного и скорректированного алгоритма типа Годунова на простой одномерной задаче газовой динамики, содержащей уравнения с отличной от нуля нелинейной правой частью.

Для дополнительной проверки аппроксимации и сходимости разработанного метода и его програмной реализации используются методы тестирования на сходимость одномерной версии расчетного кода и приводятся соответствующие результаты. Дополнительно тестируется на сходимость трехмерная версия кода. Ниже на Рис.3 и 4 приведены в качестве примера некоторые результаты расчета крупномасштабного возмущения.

Также в третьей главе приводятся результаты расчета взаимодействия двух одновременных возмущений в качестве примера усложненной постановки задачи (рис. 5) и результаты решения задачи о развитии же-лобковой неустойчивости на фронте разлетающейся плазмы в сравнении с аналитическими оценками параметров эволюции возмущений фронта, приведенными по работе [1].

В заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

Рис. 2. Зависимость модуля скорости от координаты в простой модельной задаче для газовой динамики с правой частью для скорректированного и нескорректированного метода Годунова. По горизонтальной оси - номер ячейки, по вертикальной оси - модуль скорости. 1000-й шаг по времени при числе Куранта равном 0.5. Правая часть и постоянная внутренняя энергия подобраны так, что на отрезке интегрирования плотность падает в 5 раз.

Т=0.21 ЗЗЕ+01 [Бес] 1гЬо(д/стА3]

-40 -20

0.0004 0.00035 0.0003 0.00025 0.0002 0.00015 0.0001 5е-05 0

Т=0.2133Е+01[5ес] .Ух[ст/51

Т=0.2133Е+01[Бес] .Уу[ст/Б]

' , . I I; .

I __1 I _ I 1

-40 -20 0 20 40 х[кт]

ЗООООО 6820

200000 „„„„ 6800

100000

6780

о I

6760

-100000 -200000 •300000 6720

6740

I I I :Г

■ * :: '---V - - '

Рис. 3. К тестированию на сеточную сходимость - результаты расчета на сетке 100x100x100, начальные условия Н0 = 400 КМ, Н*ехр1 — 10 КМ, РгпЬ — 1.0 ■ Ю-14 г/см3, Техр1 = 1.0 ■ 106 К, ф = 45°.

Т=0.21 ЗЗЕ+01 [вес] ,Е[егд/стЛ3]

T=0.2133E+01[sec) .VAm's]

T=0.2133E+01[sec] .BxfGs]

В

T=0.2133E+01[sec] .BylGs|

T=0.2133E*01[sec] ,Bz[Gs]

Рис. 4. К тестированию на сеточную сходимость - результаты расчета на сетке 100x100x100, начальные условия Щ = 400 км, Rexpi = Ю км, рм = 1.0 ■ 10"14 г/см3, Техр1 = 1.0 • 106 К, ф = 45°.

Т=0.1004Е+02[5ес] .гИд/сгг^З)

Т=0.1004Е+02[5ес1 .Уг{ст/в1

Т=0.1004Е+02[5ес] ,Е[егд/ст"3]

Т=0.1004Е*02[5ес] .ВДбэ]

5. Задача о паре возмущений. Н0 = 400км, Иехр1 = 10 км, рш = 10"14 г/см3, Техр1 = 1.0 ■ 104 К, К) = 10км/с. Момент времени Т = 10

Основные результаты работы

1. Разработан новый численный метод решения нестационарных задач магнитной газовой динамики, позволяющий решать трехмерные задачи с сильными возмущениями, обладающий свойством консервативности и обеспечивающий отсутствие численного магнитного заряда.

2. Предложен новый способ построения пространственной сетки для уравнений МГД, позволяющий строить решения, удовлетворяющие одновременно основным законам сохранения и условию бездивергент-ности магнитного поля .

3. Предложен способ подсеточной реконструкции решения для уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики, учитывающий правую часть этих уравнений. Показана необходимость в подобной реконструкции при построении консервативных разностных схем.

4. Построен программный комплекс, реализующий описанные методы и позволяющий решать практические задачи моделирования ионосферы.

5. Решены задачи об эволюции сильного локального возмущения ионосферы и о желобковой неустойчивости фронта разлетающейся плазмы.

Список публикаций по теме диссертации

1. Ступицкий Е. Л., Васильев М. О., Репин А. Ю., Холодов А. С., Холодов Я. А. Формирование крупномасштабного струйного течения в результате развития желобковой неустойчивости // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18, Ш. - С. 17-28.

2. М.О. Vasiliev, A.S. Khoîodov, Y.A. Kholodov, A.J. Repin, E.L. Stupitsky Nuinerical researches of formation of jet stream of plasma in large-scale geophysical experiment // 31st EPS Conférence on Plasma Phys. / London, 28 June - 2 July 2004, ECA Vol.28G, 2004, P-1.070.

3. Васильев M. О. Об одном подходе к численному решению уравнений магнитной газовой динамики // Моделирование и обработка информации: Сб.ст./Моск.физ.-тех. ин-т. - М., 2008. - С. 10-14.

4. Васильев М. О. Об одном методе построения разностных схем для уравнений МГД в условиях сильного фонового магнитного поля и гравитационной правой части // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 50-й научной конференции /Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2007. - Т. 2. - С. 126-129.

5. Кудряшов И. Ю.,Васильев М. О. Разработка численного алгоритма параллельного счета в случае трех пространственных переменных при использовании адаптивных иерархических сеток // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 49-й научной конференции

/Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2006. - С. 309-310.

6. Васильев М. О., Кудряшов И. Ю., Симаков С. С. Применение адаптивных иерархических сеток в задачах газовой динамики на графах // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 49-й научной конференции /Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2006. - С. 301-302.

7. Васильев М. О. О применении динамически адаптивных иерархических сеток в моделировании крупномасштабных геофизических экспериментов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 48-й научной конференции /Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2005. - С.167.

8. Полуосьмак В. В., Васильев М.О. Разработка алгоритмов параллельного счета для решения задач магнитной гидродинамики в применении к задаче о взрыве в верхней ионосфере // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLVII научной конференции / Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2004. - Т. 3. - С. 199-200.

Васильев Михаил Олегович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ИОНОСФЕРЫ С РАЗБИЕНИЕМ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ ПРИ ПОМОЩИ МОДИФИЦИРОВАННОГО СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА И МЕТОДА ГОДУНОВА.

Автореферат

Подписано в печать 3.11.2008. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 80 экз. Заказ X» ф-27

Государственное образовательное учереждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт(государственный университет) НИЧ МФТИ

• 141700, Моск. обл.,г.Долгопрудный, Институтский пер. 9.

Введение

Глава 1. Методы

1.1 Система уравнений.

1.2 Численные методы.

1.2.1 Организация ячейки разностной сетки.

1.2.2 Организация элементарной сетки.

1.2.3 Организация шага по времени

1.2.4 О применимости разделения системы уравнений на части.

1.2.5 Повышение порядка аппроксимации.

1.2.6 Адаптивные иерархические сетки.

1.3 Особенности реализации программы.

1.3.1 Общие принципы организации программы

1.3.2 Структуры данных.

1.3.3 Итераторы

1.3.4 Передаваемые процедуры.

1.4 Методика распараллеливания программы.

1.4.1 Распараллеливание методов на однородных сетках

1.4.2 Распараллеливание методов на иерархических сетках

1.5 Методика тестирования программы.

1.5.1 Тесты на сходимость.

Глава 2. Физические особенности постановки задачи

2.1 Модель атмосферы.

2.1.1 Исходные данные для атмосферной модели.

2.2 Модель начального возмущения

2.3 Задача о желобковой неустойчивости

2.3.1 Геометрия задачи.

2.3.2 Аналитические оценки.

Глава 3. Результаты

3.1 Проверка корректировки метода Годунова

3.2 Проверка аппроксимации.

3.3 Тестирование на сходимость.

3.4 Задача о сильном возмущении.

3.5 Задача о желобковой неустойчивости

Актуальность работы

В диссертационной работе рассматривается задача моделирования последствий сильного локального возмущения ионосферы, вызванного воздействием взрывного типа или распылением высокотемпературной плазмы на высотах более 200 километров.

Задача детального исследования подобного рода возмущений интересна в связи с тем, что хотя с 60-х годов 20-го века и проводилось довольно много взрывных экспериментов над околоземной плазмой, математические модели, построенные на основании данных такого рода экспериментов, имеют тенденцию к упрощению и учету только параметров, относительно легко поддающихся регистрации. [1] [2] [3]

С другой стороны, появившиеся в последнее время вычислительные возможности и развитые численные методы позволяют достаточно детально промоделировать такого рода течения и возмущения ионосферы, основываясь на максимально возможно полной постановке задачи.

Первым шагом к построению аккуратной численной модели ионосферы, описывающей явления подобного рода, является построение консервативного метода решения уравнений магнитной газовой дннамики, применимого к задаче рассматриваемого типпа.

В качестве достаточно грубой модели процесса может выступать модель, основанная на уравнениях динамики идеально проводящего газа -уравнениях МГД. Понятно, что рассматриваемая модель описывает далеко не все аспекты проблемы, но по крайней мере позволяет проследить ударные волны и основные аспекты течения газа. Необходимо отметить, что такой подход оставляет за рамками рассмотрения распространение излучения п его воздействие на вещество, детали структуры ударных волн и особенности химических процессов, протекающих в ионосфере, воздействие на них ударных волн и продуктов эксперимента.

Известные модели не позволяют достаточно точно описать поведение сильных возмущений, так как строятся зачастую на неконсервативной форме уравнений. Действительно, к примеру, в работах [4],[5] T.Ogino использует неконсервативную разностную схему, что позволяет получить реалистичные результаты, но не позволяет говорить о количественном соответствии полученных результатов, так как известно [6], что использование неконсервативных схем приводит к появлению нефизичных источников энергии в расчетной области.

Модели же, основанные на консервативной форме и решении задачи Римана о распаде разрыва, являются неустойчивыми на нелинейном фоновом решении, имеющем место при ненулевой правой части, что будет показано ниже.

Таким образом, мы сосредоточимся исключительно на динамике идеальной плазмы, находящейся в гравитационном и магнитном полях, и возмущенной в начальный момент в небольшой подобласти области интегрирования.

Для решения уравнений идеальной магнитной газовой динамики в задачах физики ионосферы необходим метод, обладающий следующими свойствами:

• Высокая точность расчета параметров, связанных с магнитным полем;

• Точное соблюдение физических законов сохранения на сеточном уровне и выполнение условия бездивергснтности магнитного поля;

• Обеспечение стационарного решения в невозмущенной среде.

Плюс к тому, задача о развитии высокоэнергетичного возмущения накладывает на программу свои требования:

• Отслеживание нелинейной динамики течения

• Учет разномасштабных эффектов.

В разрабатываемом методе для увеличения точности расчета магнитного поля в каждой ячейке каждая компонента магнитного поля задана в 4-х точках, кроме того, при расчете потоков импульса и энергии на границах каждой из восьми "субъячеек" используется предположение о диполь-ности магнитного поля в пределах ячейки.

Для того, чтобы при применении численного метода, построенного для решения нестационарных задач, стационарное начальное состояние не приводило к росту возмущений, метод должен быть соответствующим образом скорректирован - нужно предельно аккуратно подойти к вопросу о реконструкции сеточной функции в пределах ячейки сетки.

Консервативность по переменным, входящим в систему уравнений МГД, достигается построением схемы типа Годунова. Для достижения невозникновения численного магнитного заряда применяется специальное смещение областей определенности компонент магнитного поля.

Для учета разномасштабных эффектов используются иерархические адаптивные сетки, они же позволяют безболезненно "наращивать" область интегрирования при приближении решения к границе. Методы этого типа подробно описаны в [7].

Цели настоящей работы

Целью данной работы является разработка консервативного метода, являющегося устойчивым на невозмущенном фоновом состоянии ионосферы.

Так же целью является разработка программного комплекса, реализующего указанный метод и позволяющего эффективно решать практические задачи на современных параллельных вычислительных машинах.

При этом разработанный программный комплекс должен быть расширяемым, гибким, переносимым и распределяемым.

Научная новизна

Для трехмерных уравнений МГД разработан новый численный метод, позволяющий строить решение, обладающее свойством консервативности по массе, энергии, импульсу, магнитному потоку и бездивергентностыо по магнитному полю. От существующих методов разработанный подход отличается более точной аппроксимацией магнитного поля и устойчивостью на нелинейном фоновом решении.

При этом разработанный подход позволяет использовать различные методики решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва и может быть относительно легко применен к другим системам уравнений.

Обзор существующих работ

Так как данная работа содержит несколько разноплановых модификаций существующих методов, рассмотрим по отдельности основные успехи в соответствующих направлениях развития численных методов.

В качестве очень широкого и вместе с тем достаточно глубокого обзора по общим и частным методам решения гиперболических систем уравнений следует отметить книгу "Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений" А.Г. Куликовского, Н.В. Погорелова и А.Ю. Семенова [8]. Изложенный в этой книге обзор методов, посвященных проблеме устранения численного магнитного заряда и изучение работы [9] привели автора к разработке изложенного подхода к решению этой проблемы.

Методы устранения численного магнитного заряда, описанные на данный момент в литературе, сводятся к нескольким подходам.

Исторически первым подходом такого рода является метод периоди чески корректирующий решение так, чтобы условие сНу В — 0 выполнилось (см, например, [10],[11]). К основным недостаткам такого подхода следует отнести пеконсервативность по энергии и магнитному потоку и большие вычислительные затраты на решение уравнения Пуассона.

Другой подход, описанный в [8], заключается в переходе от магнитного поля к вектор-потенциалу. Сложность и неоднозначность его применения состоит в том, что при таком подходе приходится решать негиперболическую систему уравнений, а также в том, что вектор-потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции, и таким образом для минимизации численных ошибок может потребоваться периодически минимизировать его абсолютные значения с учетом такой инвариантности.

Третий подход, изложенный, например в [12], предлагает разнести компоненты магнитного поля по сетке так, чтобы пространство было разделено на замкнутые объемы, потоки через границы которых задаются значениями на сетке, а численный метод построить так, чтобы изменения потоков через все грани, имеющие общее ребро, всегда были одинаковы (с учетом знака). Оригинальный подход, предложенный, по всей видимости, авторами [12], позднее использовался другими авторами [9], в данной работе несколько модифицирован с целью хотя бы частично избавиться от осреднения магнитного поля п построить более-менее точную реконструкцию поля внутри ячейки.

Существующие модели атмосферы сводятся либо к моделям, обобщающим экспериментальные факты и наблюдения, либо построенные на основе физических уравнений динамики сплошной среды численные модели.

К моделям первого типа относятся, например International Reference Ionosphere [13], Стандартная атмосфера [14], MSISE Model [15]. Такого рода модели и положенные в их основу методики не могут быть непосредственно использованы для расчета возмущений атмосферы, но являются достоверным источником реалистичных начальных условий для задач моделирования возмущений.

Модели второго типа, например Parallel LArge-scale Self-adaptive Model of the Atmosphere [16] строятся с целью расчетов на продолжительные времена - для задач прогноза погоды, исследования климата, планетологии. Это требует от их создателей исключения из модели акустических волн, что недопустимо в задачах моделирования сильных возмущений, рассматриваемых в данной работе.

Заключение

Разработан новый метод решения нестационарных задач магнитной газовой динамики, позволяющий решать трехмерные задачи с сильными возмущениями, обладающртй свойством консервативности и обеспечивающий отсутствие численного магнитного заряда.

Разработан новый способ построения пространственной сетки для уравнений МГД, позволяющий строить решения, удовлетворяющие основным законам сохранения и условию бездртвергентности магнитного поля одновременно.

Разработан способ подсеточной реконструкции решения для уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики, учитывающий правую часть этих уравнений, и показана необходимость в подобной реконструкции при построении консервативных разностных схем.

Построен программный комплекс, реализующий описанные методы и позволяющий решать практические задачи моделирования ионосферных процессов в приближении идеальной МГД.

Решены задачи об эволюции сильного локального возмущения ионосферы и о желобковой неустойчивости фронта разлетающейся плазмы.

1. Зецер, Ю.И. Геомагнитные эффекты от расширяющегося плазменного образования высотного ядерного взрыва /Ю.И. Зецер, Б.Г. Гав-рилов,В.А. Жмайло,К.Г. Гайнуллин,В.И. Селин // Физика горения и взрыва. 2004. - т. 40, №6, - с. 31-41.

2. Козлов, С.И. Методы и средства создания искусственных образований в околоземной среде и оценки характеристик возникающих возмущений/ С.И. Козлов, Н.В. Смирнова // Космические исследования. -1992. т.ЗО, вып.4. - с. 495-523.

3. Starfish Prime Электронный ресурс. / Wikimedia inc.// Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/StarfishPrime , свободный доступ

4. Т. Ogino A three dimensional MHD simulation of the interaction of the solar wind with the earth's magnetosphere: The generation of field aligned currents. / T. Ogino // Journal of Geophysical Research, 1986, vol. 91, p. 6791.

5. T. Ogino A Global Magnetohydrodynamic Simulation of the Magnetosheath and Magnetosphere When the Interplanetary Magnetic Field Is Northward. / T. Ogino, R.J. Walker, M. Ashour-Abdalla // IEEE transactions on plasma science, DECEMBER 1992, VOL. 20, NO. 6

6. А.А. Самарский Разностные методы решения задач газовой динамики/ А.А.Самарский, Ю.П. Попов. Москва: Наука, 1992.

7. M.J. Berger Adaptive Mesh Refinement for Hyperbolic Partial

8. Differential Equations/ M.J. Berger, J.Oliger. // Journal of Computational Physics, 1984 53, c.484-512.

9. А.Г. Куликовский Математические вопросы численного решения гиперболических систсм уравнений/ А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. Москва: Физматлит, 2001

10. D.S. Balsara A Staggered Mesh Algorithm Using High Order Godunov Fluxes to Ensure Solenoidal Magnetic Fields in Magnetohydrodynamic Simulations / D.S. Balsara, D.S. Spicer // Journal of Computational Physics, 1999 149, c.270-292.

11. D. Potter Computational physics / D. Potter New Yourk: John Wiley,1973. Рус.пер.: Поттер Д. Вычислительные методы в физике, М. Мир, 1975. :

12. Т. Tanaka Finite volume TVD schemes on an unstructured grid system for three-dimensional MHD simulation of inhomogeneous systems including strong background potential fields./ T. Tanaka // Journal of Computational Physics 1994, 111, 2,381-389. t

13. C.R. Evans Simulation of General Relativistic Magnetohydrodynamic Flows: A Constrained Transport Method /C.R. Evans, J. F. Hawley // Astrophysical Journal, 1988 332, 659.

14. D. Bilitza International Reference Ionosphere 2007: Improvements and new parameters / D. Bilitza and B. Reinisch // Advances in Space Research, 2008 -43, c.599-609, doi:10.1016/j.asr.2007.07.048.

15. ГОСТ 4401 81. Атмосфера стандартная. Параметры - ИПК Издательство стандартов, 2004.

16. А. Е. Hedin MSISE Model 1990 Электронный ресурс. / А. Е. Hedin, Website Mgr.: Dr. Natalia Papitashvili, NASA Official: Dr. Robert

17. McGuire // Электрон, текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://modelweb.gsfc.nasa.gov/atmos/msise.html, свободный.

18. Cole R.H Underwater Explosions / R.H. Cole. Princeton University Press, Prinston, NJ. 1948. Рус. пер.: Коул P. Подводные взрывы -Иностр. лит., Москва, 1950.

19. С. Hirsch Numerical Computation of Internal and External Flows. / Chichester,UK:John Willey, 2001. 515 c.

20. Годунов C.K. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. М.: Наука, 1976, 400 с.

21. Y.A. Kholodov Numerical simulation of the convective plasma dynamics stage at the ionosphere motion by means of 3D MHD equations // Computer Physics Communications 2004 - Vol. 164, № 1-3, - P. 91-97.

22. K.M. Магомедов Сеточно-характеристические численные методы. / K.M. Магомедов, A.C. Холодов. M.:, Наука, 1988, 288 с.

23. S. Gershgorin Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix./ S. Gershgorin // Изв. АН. СССР, сер. физ.-матем. 1931. 6, c.749-754.

24. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики / В.П. Колган // Жуковский:Ученые записки ЦАГИ. 1972 - т.З, No 6, с.68-77.

25. Итератор Электронный ресурс. / Wikimedia inc.// Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/HTcpaTop , свободный доступ

26. James М. Stone Stone's code test page Электронный ресурс. / J.M. Stone, Princeton University Электрон, текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://www.astro.princeton.edu/ jstone/tests/index.html, свободный

27. Sturrock, Р.А. Plasma Physics / P.A. Sturrock Cambridge:Cambridge University Press, 1994 - 335 c.

28. Shu, F.H. The Physics of Astrophysics, Volume II Gas Dynamics/ F.H. Shu Sausalito,CA: University Science Books, 1992 - 476 c.

29. Brio M. An Upwind Differencing Scheme for the Equations of IdealMagnetohydrodynamics / M. Brio C.C. Wu // Journal of Computational Physics, 75, 400-422 , 1988.

30. A. E. Hedin MSIS-86 Thermospheric Model. / A.E. Hedin. // Journal of Geophysical Research,1987 92, 4649.

31. A. E. Hedin Extension of the MSIS Thermospheric Model into the Middle and Lower Atmosphere/ A.E. Hedin. // Journal of Geophysical Research, 1991. 96, 1159.

32. E.JI. Ступицкий Поведение высокоэнергетичного плазменного сгустка в верхней ионосфере. Часть 1. Начальная стадия разлета и торможения плазменного сгустка./ E.JT. Ступицкий, А.Ю. Репин, А.С. Холодов,

33. Я.А. Холодов // Математическое моделирование 2004 г. том 16,номер 7, стр 43-58.

34. Кадомцев Б.Б. Вопросы теории плазмы. Вып. 2 / Кадомцев Б.Б. под ред. Леонтовича М.А. М.: Атомиздат, 1963.

35. В.И. Шевченко Неустойчивости плазмы Электронный ресурс. / В.И. Шевченко, astronet.ru Электрон, текстовые дан. и граф. дан. - Режим доступа: http://www.astronet.ru:8100/db/msg/1202032/text

36. Г. Бейнман МГД-неустончивости / Г. Бейнман Москва: Энергоиз-дат, 1982.

37. Ступицкий Е. Л. Формирование крупномасштабного струйного течения в результате развития желобковой неустойчивости./ Ступицкий E.JL, Васильев М.О., Репин А.Ю., Холодов А.С., Холодов Я.А. // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18, №1. - С. 17-28.

38. Васильев M. О. Об одном подходе к численному решению уравнений магнитной газовой динамики // Моделирование и обработка информации: Сб.ст./Моск.физ.-тех. ин-т. М., 2008. - С. 10-14.

39. Полуосьмак В. В. Разработка алгоритмов параллельного счета для решения задач магнитной гидродинамики в применении к задаче о взрыве в верхней ионосфере //Полуосьмак В. В., Васильев М.О. /

40. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды ХЬУП научной конференции / Моск. физ. техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2004. - Т. 3. - С. 199-200.