автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование распространения вещества в протяженных стационарных потоках вязкой жидкости

Введение

0.1 Подходы к моделированию распространения примесей в потоках (обзор литературы).

0.1.1 Формульные и интегральные модели.

0.1.2 Упрощённые непрерывные модели.

0.2 Результаты, представленные к защите.

0.3 Апробация работы.

1 Двумерная плоская задача

1.1 Постановка задачи.

1.2 Построение математической модели.

1.2.1 Вывод модельных уравнений дисперсии.

1.2.2 Исследование гидродинамической подсистемы

1.2.3 Исследование задачи для концентрации.

1.3 Конечноэлементная формулировка задачи определения концентрации.

1.3.1 Сведение области к прямоугольной.

1.3.2 Вывод уравнений для конечных элементов.

1.3.3 Вычисление матриц конечных элементов.

1.4 Анализ результатов численных расчетов.

1.4.1 Сравнение с известными экспериментальными данными.

2 Трехмерная осесимметричная задача.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Построение математической модели.

2.2.1 Вывод модельных уравнений.

2.2.2 Исследование гидродинамической подсистемы.

2.2.3 Исследование задачи для концентрации.

2.3 Конечноэлементная формулировка задачи определения концентрации.

2.3.1 Сведение области к прямоугольнику.

2.3.2 Вывод уравнений для элементов.

2.3.3 Вычисление матриц элементов.

2.4 Анализ численных расчетов.

2.5 Сравнение с известными экспериментальными данными.

3 Трехмерная задача

3.1 Постановка задачи

3.2 Построение математической модели.

3.2.1 Вывод уравнений базовой модели дисперсии.

3.2.2 Исследование гидродинамической подсистемы.

3.2.3 Исследование задачи для концентрации.

3.3 Пример русла особого вида.

3.4 Численное решение

3.4.1 Вычисление матриц элементов.

3.5 Анализ результатов численных расчетов.

Актуальность разработки математических моделей, описывающих процесс распространения вещества в потоке, обусловлена широким их применением при изучении различных технических и природных процессов. Например, при планировании водохозяйственных мероприятий необходим контроль за ПДК и количественная оценка качества воды, что требует анализа динамики загрязнения и самоочищения в водоёмах. При этом процесс разбавления и переноса вещества является наиболее существенным фактором снижения концентрации загрязнений в водной среде. Другой пример - оценка последствий аварий, связанных с попаданием токсичных загрязняющих веществ в открытые водоемы. Таким образом, математические модели, описывающие процесс рассеяния примеси в водных потоках, играют важную роль в системах прогнозирования и наблюдения за качеством поверхностных вод, а также при оценке антропогенного воздействия на водные экосистемы.

Детальный учет процессов распространения вещества в потоке в общем случае требует решения начально-краевых задач для двух- и трехмерных уравнений Навье-Стокса и конвекции-диффузии, что представляет собой весьма трудоёмкую задачу, требующую привлечения значительных вычислительных ресурсов. Особенностью многих естественных водотоков (реки, каналы) является их протяженность, слабая искривленность и относительная мелководность. Это может быть использовано для значительного упрощения математического описания рассматриваемых процессов без существенной потери точности результатов, поэтому задача построения редуцированных моделей, адекватно описывающие процесс рассеяния примесей, оказывается весьма актуальной.

Целью исследования является построение и анализ редуцированных математических моделей процесса распространения вещества в стационарных, протяженных слабоискривленных потоках вязкой жидкости; получение модели, позволяющей адекватно описать процесс рассеяния примеси без необходимости решения системы нелинейных уравнений в частных производных.

Для получения таких редуцированных моделей применяется метод малого параметра, в качестве которого используется величина, характеризующая геометрическую форму потока. В предположении пассивности примеси в полученных моделях удается найти явное решение для поля скорости и давления. Уравнение распространения вещества решается численно, с помощью метода конечных элементов.

0.1 Подходы к моделированию распространения примесей в потоках (обзор литературы).

Для успешного решения задач, связанных с прогнозированием, оперативным управлением и контролем за качеством водной среды широко применяются методы математического моделирования. Разработке и применению математических моделей для водных объектов посвящен ряд сборников и монографий как у нас в стране, так и за рубежом [24], [28], [29],[49]- [53], [56], [120].

Модели можно разбить на два класса — оптимизационные и имитационные. Имитационные модели используются для получения долгосрочных (перспективных) прогнозов и для оперативного управления водными ресурсами. Зачастую они являются частью оптимизационных моделей, предназначенных для определения оптимальной стратегии хозяйствования и для выбора оптимального плана водоохранных мероприятий. Цель перспективного прогнозирования — выяснить реакцию окружающей среды на долговременное воздействие некоторых факторов, например, при постоянном сбросе сточных вод [44]. При оперативном управлении имитационные модели используются для предсказания непосредственного воздействия на состояние водной среды какого-либо события (аварийного сброса загрязняющих веществ и т.п.). Полученные результаты используются для выбора экстренных мер, ведущих к снижению или полному предотвращению ущерба от подобных случаев [38].

При построении математических моделей состояния водной среды необходимо оценивать качество воды с помощью одной или нескольких числовых величин, т.е. провести формализацию параметра "качество воды". Качество природных вод характеризуется составом и количеством растворенных и взвешенных в воде веществ, содержанием биомассы и микроорганизмов, температурой и другими физическими характеристиками [6], [29], [30], [44], [68].

Действительное число компонент экосистемы может состоять из десятков и даже сотен различных параметров [1], [2]. Поэтому, в зависимости от характера задачи и на основе имеющихся результатов исследования экосистемы, большей частью компонент пренебрегают. Как правило, реальные методы используют несколько простейших параметров [16], [19], [59], [64]: растворенный кислород, биологическое потребление кислорода, концентрация примеси и т.п. Кроме того можно ввести и интегральные показатели, которые учитывают совместное влияние нескольких факторов [27], [48], [53].

Все эти параметры отражают мгновенное состояние водной среды, знание которого необходимо для оперативного управления и контроля ее качества.

Многогранность процессов распространения загрязненных вод, самоочищение и превращение загрязняющих веществ в водных объектах является причиной того, что до настоящего времени проблема формирования качества воды в реках и водоемах, испытывающих антропогенное влияние, не решена достаточно полно. Наиболее значимыми являются следующие процессы [53]:

1. Перенос вещества и разбавление стоков. Для описания этих процессов требуются данные по гидрологии и гидродинамике водного объекта, анализ течений, турбулентной диффузии и т.д.

2. Осаждение трудноразложимых примесей, вторичное загрязнение, когда примесь снова попадает в воду.

3. Разложение легкоразложимых примесей, самоочищение водной среды.

При рассмотрении динамики загрязнения и самоочищения в реках, озерах и водохранилищах в первую очередь обращают внимание на процесс разбавления и переноса вещества как на наиболее существенный фактор снижения концентрации загрязняющих веществ в водной среде.

Для описания процесса распространения пассивной примеси в стационарном водном потоке наиболее часто используется система дифференциальных уравнений в частных производных, включающая в себя уравнения Навье-Стокса, уравнение неразрывности и уравнение переноса вещества, записанные в трехмерной декартовой системе координат [37]:

0.5)

Здесь неизвестные функции u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z)— составляющие поля скорости, р(х, ?/, z) — поле давления в стационарном потоке, с(£, ж, у, z) — концентрация примеси. Известные параметры: р — плотность жидкости, Vi — коэффициенты турбулентной вязкости, — компоненты вектора внешней силы (как правило, это сила тяжести), 7 — коэффициент распада вещества. Параметры Dx, Dy и Dz — коэффициенты турбулентной диффузии, вообще говоря, зависящие от пространственных координат. Для упрощения задачи Dx, Dy и Dz часто полагают постоянными [59], [64].

Для системы (0.1)—(0.5) ставятся соответствующие краевые и начальные условия. Как правило, это условие равенства нулю скорости на твердых стенках и условия для свободной поверхности, расход воды или градиент давления, условия на поток примеси через границу, начальное распределение вещества.

Строго говоря, параметры гидродинамической подсистемы (плотность жидкости, ее вязкость) должны зависеть от концентрации примеси. Однако в большинстве случаев, с целью упрощения модели, этой зависимостью пренебрегают, т.е. примесь считается пассивной [54]. В моделях, где концентрация примеси относительно мала (например, в болыпинтве задач водной экологии), такое упрощение вполне оправданно [37], [42], [59], [64]. При таком предположении гидродинамическую подсистему (0.1)-(0.4) можно решать независимо от уравнения для концентрации (0.5).

В случае многокомпонентной примеси для каждой составляющей записывается уравнение (0.5) и соответствующие начальные и краевые условия й

Иногда используются различные обобщающие модификации системы (0.1)—(0.5), приводящие, как правило, к ее усложнению. Уравнения (0.1)-(0.5) можно записывать в криволинейной ортогональной системе координат, которая переводит, вообще говоря, произвольно искривленное русло в прямоугольник. Такие координаты удобны с вычислительной точки зрения, однако при их использовании необходимо определять коэффициенты Ламе, для чего в общем случае необходимо решать систему уравнений в частных производных второго порядка. Наиболее часто такие координаты используются на повороте русла [53], [62], [94], где они представляют собой цилиндрическую систему координат.

Вместо уравнения (О.б^гДля определения концентрации можно использовать уравнения, полученные на основе микроструктурного подхода [46], [55], [72], т.е. рассматривать движение смеси "твердые частицы - несущая жидкость". Примесь представляется в виде совокупности твердых (как правило, шарообразных) частиц, двигающихся в вязкой жидкости. Такой подход применяется для изучения движения взвеси некоторого вещества.

Система уравнений (0.1)—(0.5) в силу своей нелинейности весьма сложна для аналитического исследования [40], [43], [54]. Ее решение с помощью численных методов также является весьма трудоемкой задачей, требующей значительных вычислительных ресурсов [39], [63], [70]. При этом точность имеющихся начальных данных и параметров, характеризующих процесс, как правило, гораздо ниже достижимой точности численного решения. По этой причине на практике широко используются упрощенные модели, позволяющие адекватно описать процесс при меньших затратах ценой снижения точности результатов.

0.1.1 Формульные и интегральные модели

В качестве первого, самого грубого, приближения при изучении распространения вещества можно использовать упрощенные методики расчета, основой которых является некоторая явная функция разбавления стоков от расстояния до места сброса. Ряд таких методов приведен в [53] (см. также [22]). Как правило, в них входят один или несколько параметров, учитывающих коэффициент диффузии, скорость потока и т.д., которые настраиваются на основе данных лабораторных экспериментов или натурных измерений. В определенных случаях такие упрощенные методы могут дать достаточно точную картину распределения вещества на некотором участке русла [34]. Тем не менее, в силу сложности процессов, воздействующих на перенос примеси в речном потоке, все они имеют весьма ограниченную область применения. В работе [34] проведено сравнение результатов, полученных с помощью нескольких упрощенных методов, с экспериментальными данными. Анализ показал, что все тестируемые методы дают приемлемую точность только в узком диапазоне возможных значений параметров. За пределами этого диапазона погрешность очень быстро растет и реальные и расчетные результаты могут различаться на порядок. Также оказалось, что самый простой численный метод решения уравнения (0.5) дает большую точность, чем все рассмотренные методики, основанные на таких эмпирических формулах.

В том случае, когда интерес представляют лишь самые общие черты динамики водной экосистемы, используются точечные модели. В качестве первого приближения проводится полное интегрирование и осреднение по объему всей рассматриваемой области бассейна [57]. Такие модели, как следует из принципа их построения, не учитывают пространственные изменения характеристик в пределах системы, и пригодны для изучения динамики изменения концентрации вещества лишь в масштабе всего водоема. Область их применения ограничена, как правило, моделированием экосистем нестратифицированных, хорошо перемешиваемых водоемов, но иногда и рек [73].

Если характер задачи требует самого простого учета пространственной неоднородности рассматриваемой области и грубого выделения в ней структурных подразделений, то используют метод резервуаров или камер [3]. Согласно этому методу исследуемая область разбивается на несколько подобластей — резервуаров, каждый из которых считается однородным. Для каждой камеры учитываются лишь средние по ней значения параметров экосистемы и для каждого резервуара строится точечная модель. Поток вещества через границы камер описывается с помощью простых балансовых соотношений, коэффициенты в которых подбираются опытным путем. Резервуарные (камерные) модели используются при моделировании экосистем как водоемов, так и водотоков [45].

0.1.2 Упрощённые непрерывные модели

Когда необходимо достаточно подробно изучить распространение вещества, то привлекаются упрощённые модели, полученные на основе системы (0.1)-(0.5), сохраняющие непрерывность по пространству и по времени. Упрощение производится, обычно, за счет отбрасывания некоторых членов или их видоизменения с учетом свойств геометрии рассматриваемой области, свойств вещества и других характеристик исходной задачи.

Одномерные модели. При рассмотрении очень длинных участков реки или канала обычно представляет интерес лишь изменение вдоль русла средней концентрации примеси в поперечном сечении. В этом случае рассматривается одномерное уравнение диффузии:

При этом представляет интерес влияние изгибов и изменение ширины русла на значение эффективного коэффициента продольлной дисперсии Dy [93], [106]. В статьях [86], [114], [116], предложен ряд численных методов для решения одномерного уравнения конвективной диффузии.

Благодаря своей относительной простоте одномерная постановка часто используется для изучения распространения нескольких взаимодействующих примесей. При этом для каждого вещества записывается уравнение вида (0.6); коэффициент распада 7 и, возможно, коэффициент диффузии Dx зависят от концентрации других веществ. Такие системы используются при оценке качества воды в системе каналов или эстуариях. В работе [113] представлено решение уравнения диффузии в условиях продольного массо-переноса в пульсирующих потоках в рукавах разветвленных систем. Установлено, что коэффициент дисперсии удваивается в месте слияния двух

0.6) потоков.

Скорость u(x,t) можно определить, зная расход воды Q(t) и площадь поперечного сечения А(х):

М) = Ц (0-7)

На практике часто измеряется лишь расход и ширина потока, а скорость вычисляется по некоторым эмпирическим формулам, в которые входят коэффициенты, определяемые при настройке (калибровке) модели в каждом конкретном случае. Множество таких формул для разных видов каналов можно найти в [74].

Двумерные модели. При моделировании распространения примеси на отдельном участке реки наиболее часто применяются двумерные плановые модели [28], [36], [87], [88], [99], [94], [102], [109], [111], [112], [126]. Концентрация вещества при этом полагается постоянной по глубине. Такая двумерная постановка очень близка к задаче о рассеянии примеси в потоке жидкости через осесимметричную трубу, которой посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ [54], [77], [83], [84], [91], [92], [98], [ИТ]—[119]. В рамках настоящей работы были получены упрощенные модели как для двумерной, так и для осесимметричной задач.

Систематическое изучение диффузии вещества в протяженных потоках началось с работ Тейлора [117]—[119]. В [117], [118] были опубликованы данные экспериментов по распространению перманганата калия в воде, протекающей через прямую длинную трубку. Рассматривались как ламинарные [117], так и турбулентные [118] течения. Было установлено, что степень продольного рассеяния примеси определяется двумя факторами: молекулярной диффузией и неоднородностью конвективного переноса вещества, вызванного зависимостью продольной скорости от радиальной (поперечной) координаты. Радиальный сдвиг скорости приводит к резкому усилению продольной дисперсии, в то время как поперечная диффузия, наоборот, задерживает продольное рассеяние вещества. Для ламинарного течения в прямой круглой трубе эффективный коэффициент продольной дисперсии К равен, согласно работам Тейлора [117] и Ариса [77]:

R2ul к = -ш+п

0.8) где R— радиус трубы, £Уср — средняя скорость течения жидкости. Поскольку значение К нетрудно определить экспериментально [54], то использование формулы (0.8) позволяет получить коэффицент молекулярной диффузии D. Обсуждению такого метода измерения D посвящена статья [119]

В работе Ариса [77] задача о тейлоровской дисперсии исследовалась с помощью метода моментов. Из уравнения конвекции-диффузии были получены уравнения для моментов распределения примеси, которые можно решать последовательно при начальных и граничных условиях, следующих из уравнения для концентрации. Окончательные результаты при этом совпадают с результатами Тэйлора.

В дальнейшем эта задача, получившая название "задачи о тейлоровской дисперсии" (Taylor dispersion problem), исследовалась многими авторами. В [83], [84] изучено продольное рассеяние примеси на начальных этапах после ввода вещества в поток. В [94], [126] рассматривается двумерная плановая задача о распространении примеси в канале. При этом вводится криволинейная система координат, переводящая произвольную область течения в прямоугольник. В [94] проведено экспериментальное исследование процесса для канала синусоидальной формы. В [126] учитывается влияние распределения глубин в канале на процесс рассеяния вещества. В работе [122] предложен явный численный метод (метод дробных шагов) решения двумерной задачи распространения вещества в искривленном канале. В [99] проведено сравнение численных результатов, полученных этим методом с экспериментальными данными для канала синусоидальной формы, которое показало хорошее совпадение результатов. В [124] рассмотрена двумерная модель распространения вещества от линейного источника, помещенного вдоль русла. Исследование проведено для стационарного и осциллирующего течений. При этом рассматривается продольное вертикальное сечение потока.

В работах Смита [107], [108], [110], [111], [112], предложены различные модели для описания процесса переноса примесей в реках и в прямых трубках. В [107] теоретически проанализировано влияние граничной адсорбции на рассеяние примеси в речном канале со сдвигом. В [108] приводятся математические преобразования, с помощью которых на основании натурных данных о концентрации примеси, полученных в разное время в одной точке можно построить аналитическую аппроксимацию. В [110] задача о распространении вещества в трубке исследуется методом моментов, предложенным Арисом [77]. В [111] рассмотрена зависимость степени разбавления примеси от места расположения источника загрязняющих веществ в реке и наличия притоков. В [112] изучен случай источника с меняющейся во времени интенсивностью.

Ряд работ [91], [92], [102], [104] посвящен получению асимптотических приближений к решению двумерного уравнения конвекции-диффузии. В [102], [104] такое приближение получено с помощью метода центрального многообразия (соответственно для каналов со слабо и сильно меняющейся шириной вдоль течения). В [91], [92] предложен метод, в основе которого лежит введение двух масштабов времени и представление решения в виде суммы двух функций, одна из которых описывает рассеяние примеси вскоре после начального момента времени, а вторая — после того, как примесь равномерно распределится по ширине потока в результате диффузии. В [115] для анализа асимптотического поведения распределения концентрации предлагается использовать интегральные преобразования (Лапласа по времени и Фурье в направлении течения).

В отличие от одномерного случая определение даже стационарного двумерного поля скорости сопряжено со значительными трудностями. Поэтому в упомянутых выше работах постановка задачи, как правило, ограничивается уравнением для концентрации с соответствующими начально-краевыми условиями, при этом скорость потока входит в уравнение как заданное векторное поле. Такой подход вполне оправдан, например, для труб постоянного сечения или прямых каналов, когда известно точное решение уравнений Навье-Стокса. Для специальных случаев, в частности труб переменного сечения, следует, наряду с уравнением для концентрации, рассматривать и уравнения Навье-Стокса. В статьях [87], [88], [109] предлагаются промежуточные решения. В [87], [88] двумерная область потока делится на зоны, в каждой из которых гидродинамические характеристики водотока считаются постоянными. В [109] предлагается дополнять уравнения переноса членами, которые суммарно учитывают сложную форму водотока.

В общем случае для определения поля скорости необходимо численно решать двумерные уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности или уравнения движения жидкости записанные в терминах функция тока - вихрь. Монографии [39], [63] посвящены численному решению таких задач методами конечных элементов и конечных разностей соответственно. Численному определению поля скорости в двумерных потоках или трубках посвящены работы [89], [123], [127], [128]. Однако расходы на получение численного решения весьма велики, при этом зачастую точность входных данных для экологических задач, гораздо ниже достижимой численной точности. Поэтому большое значение имеют методы, позволяющие получить приближенное поле скорости в явном виде.

Одним из таких методов исследования течений в трубах и открытых потоках является метод малого параметра. Впервые эта техника для труб переменного сечения была применена Блазиусом [82]. Решение разыскивается в виде степенных рядов по малому параметру, которые затем подставляются в исходные уравнения. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра получают набор краевых задач для членов степенных рядов, для которых можно найти аналитическое решение. Решение для каждого последующего приближения определяется с учетом предыдущего. В работах [60], [61], [95], [96], [97], [101], [121] рассматриваются различные модификации метода малого параметра. В качестве малого параметра выступает величина, связанная с геометрическими характеристиками области течения. В [60] рассматривается течение вязкого газа в [101] -— стационарного, а в [95] — осциллирующего потока вязкой жидкости через осесимметричные трубки. В [97], [121] найдено асимптотическое решение для течений в трубке, полученной вращением поперечного сечения при движении вдоль оси.

Представляет интерес применение малого параметра для совместной системы уравнений Навье-Стокса и уравнения для концентрации. Это позволяет согласованно проводить асимптотические разложения и последовательно получать приближения для скорости и концентрации одного порядка. Такой подход применен в [12], [17], [98]. В [98] рассматривается распространение вещества в трубе, полученной движением окружности вдоль спирали. Для получения приближенного решения методы, предложенные в работах [82] и [92] используются совместно. В [12], [17] рассматривается двумерное распространение вещества в реке в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно.

Как показывают натурные эксперименты, неравномерное распределение глубин в водотоке оказывает существенное влияние на процесс рассеяния примеси [53]. Для учета этого фактора на практике используются квазитрехмерные модели. Примесь предполагается равномерно распределенной по глубине потока, а в качестве модельного берется двумерное плановое уравнение диффузии. Однако скорость при этом предполагается зависящей от глубины h(x,y) в данной точке потока, т.е. и = и(х, у, h(x, у)); v = v{x,y,h(x,y)). Такой подход позволяет рассматривать влияние на процесс распространения загрязняющих веществ неравномерной глубины потока [4], [23], [25], [76]. Другой подход состоит в том, что неравномерность распределения скорости в зависимости от глубины потока компенсируется изменением величины коэффициента турбулентной диффузии Dy [53], [75], [102]

Трехмерные модели. С увеличение размерности задачи резко возрастает сложность модели. Во-первых, как уже неоднократно отмечалось, увеличиваются вычислительные трудности. Во-вторых, повышаются требования к точности входных данных. Получение детальной трехмерной картины начального распределения вещества или подробной карты дна потока для природных объектов является весьма непростой задачей.

Таким образом, с учетом возрастающей погрешности в начальных данных переход от двумерной задачи к трехмерной не всегда ведет к существенному повышению точности. По этой причине в задачах речной экологии трехмерные модели применяются относительно редко [18], [31], [32], [53], [67], [105].

В работах [103] и [98] рассматривается распространение вещества в трубах с существенно трехмерной геометрией. Отметим, однако, что, в отличие от двумерного случая, трехмерное распространение вещества в речных потоках значительно отличается от рассеяния примеси в трубах. Это связано с тем, что поперечное сечение речного русла имеет различные масштабы в вертикальном и горизонтальном направлениях. Отношение между характерной глубиной и характерной шириной в реках колеблется в пределах 0.1-0.005 [21], [62], В силу этого горизонтальное перемешивание примеси в естественном потоке гораздо слабее вертикального [71]. Эксперименты показали, что в реках полное вертикальное перемешивание осуществляется в пределах первого километра, а в ряде случаев и на меньшем расстоянии [125], в то же время натурные исследования смешения вод рек Маккензи и Большая Медвежья показали, что полное горизонтальное перемешивание наблюдается лишь на расстоянии 500 км. от места слияния обеих рек [100]. При этом в горизонтальном перемешивании главную роль играет не диффузия, а конвективный перенос.

Особые трудности при трехмерном моделировании возникают в связи с необходимостью определения трехмерного поля скорости, которое оказывает существенное влияние на процесс распространения вещества [90]. Поэтому часто рассматривают упрощенное уравнение конвекции-диффузии вида [31], [53], [67]: дс д2с д2С

U{z)d-X=D*W+Dzdz*

7 с

0.9)

Использование формулы (0.9) позволяет ограничиться лишь информацией о вертикальном профиле продольной компоненты скорости, для определения которого используются эмпирические формулы параболического или логарифмического распределения [20].

В общем случае при решении полной трехмерной задачи поле скорости необходимо определять из системы (0.1)-(0.4), к которой также добавляется уравнение для свободной поверхности. Поскольку построение теории вязких жидкостей фактически сводится к всестороннему исследованию уравнений Навье-Стокса [40] система (0.1)-(0.4) хорошо изучена [40], [43], [54], [70]. Существует множество алгоритмов получения численного решения этой системы, основанных на методах конечных элементов [33], [39] или конечных разностей [63]. Однако затраты на получение такого решения весьма высоки, при этом в задачах водной экологии точность этих методов зачастую значительно превосходит точность доступных исходных данных. Так, например, для нестационарной задачи трудности с определением начальных условий возникают уже для одномерного случая [26]. По этой причине упрощенные модели, полученные при некоторых предположениях и позволяющие получить приближенное поле скорости в явном виде, имеют большое значение.

Как и в двумерном случае, с этой целью можно использовать метод малого параметра. В [5], [62] с помощью этого метода получена упрощенная модель для течения на повороте открытого русла. В качестве малого параметра взято отношение характерной глубины потока к его ширине. Рассмотрены русла с различной формой поперечного сечения и для некоторых из них получены явные формулы для приближенного поля скорости. Результаты работы [62] используются в [67] при моделировании распространения вещества на повороте водотока.

В [105] исследуется рассеяние плавучей примеси в мелководном канале. При этом вводится еще один малый параметр — отношение характерной глубины потока к длине рассматриваемого участка. Решение ищется в виде рядов по степеням обоих параметров. Исследовано влияние плавучести на характер продольной дисперсии.

Имитационные модели распространения примеси в водных потоках играют важную роль при оценке качества воды и величины антропогенного воздействия на состояние водной среды. В основе большинства таких моделей лежит численное решение уравнения турбулентной диффузии. Размерность используемой модели зависит от целей, для которых она предназначена. Если объектом моделирования является очень длинный участок потока, система каналов или эстуарий, то, как правило, ограничиваются одномерной моделью. Если представляет интерес распределение примеси по ширине потока применяют двумерные модели. Трехмерные модели обычно используют при учете влияния осаждения, рельефа дна и при моделировании процессов, происходящих вблизи гидротехнических сооружений.

При решении уравнения турбулентной диффузии необходимо иметь информацию о поле скорости потока, которая определяется либо с помощью натурных экспериментов, из эмпирических формул или в результате численного решения уравнений Навье-Стокса. В последнем случае вычислительная сложность задачи резко возрастает, при этом достижимая численная точность много больше точности имеющихся начальных экспериментальных данных. Поэтому особое значение имеют упрощенные модели для определения поля скорости.

Характерной особенностью речных потоков является их большая протяженность и малая, по сравнению с шириной, глубина. Это позволяет получить упрощенные модели процесса распространения вещества с помощью метода малого параметра. Его применение к уравнениям Навье-Стокса позволяет найти явные формулы для компонент скорости, наиболее сущест- ^ венных для данной геометрии потока. Применение метода к уравнению турбулентной диффузии дает редуцированное уравнение, которое в двумерном случае совпадает с уравнением, полученном Тейлором в результате экспериментальных исследований.

0.2 Результаты, представленные к защите

1. Развита методика вывода уравнений математических моделей, описывающих перенос пассивной примеси стационарным протяженным слабо искривленным потоком вязкой жидкости, основанная на методе малого параметра. Предложенный подход позволяет свести исходную (нелинейную) систему уравнений к последовательности редуцированных уравнений типа конвекции-диффузии с известным полем скорости.

2. На основе предложенной методики получены и исследованы математические модели для следующих случаев:

• двумерного потока, заданного своей горизонтальной проекцией.

• осесимметричного потока через трубу кругового сечения переменного радиуса.

• трехмерного мелководного потока в открытом канале с недеформи-руемой свободной границей (исследован случай русла специального вида).

В первом и втором случаях получены и исследованы также уравнения второго приближения. Доказаны основные теоремы о характере решений.

3. На основе разработанных компьютерных программ проведено детальное численное исследование полученных моделей. Особое внимание уделено изучению влияния на рассеяние вещества коэффициента поперечной диффузии, а также (для последней модели) воздействия напряжений, заданных на поверхности потока.

0.3 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на VII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Новороссийск, 1997), на VII Всероссийской школе-семинаре "Механика грунтов и охрана окружающей среды" (Новороссийск, 1998), на XII Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Новороссийск, 1998), на IV-VI Международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды", (Ростов-на-Дону, 1998-2000), на Международной конференции по математическому моделированию окружающей среды EMMNA'99 (Ростов-на-Дону, 1999), на Всероссийских конференциях "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (Дюрсо, 2000) и "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (Дюрсо, 2000). Также результаты диссертации были представлены на конференциях First Federal Interagency Hydrologic Modelling Conference. Las Vegas, Nevada (1998), и XIII Int. Conf. on Сотр. Meth. in Water Res. Calgary, Canada, 25-29 June 2000. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического моделирования, кафедры вычислительной математики и математической физики, кафедры информатики и вычислительного эксперимента Ростовского государственного университета.

4 Заключение

В диссертационной работе предложены и изучены упрощенные математические модели процесса распространения вещества в стационарных потоках У вязкой жидкости. Достоинством предложенных моделей является их относительная простота, а также возможность (в отличие от усредненных моделей) учитывать поперечную структуру распространяющегося пятна примеси. Для трехмерной модели возможен также учет влияний на процесс рассеяния вещества поверхностных сил, вызванных, например, воздействием ветра. Вывод модельных уравнений опирается на две характерные особенности области течения: протяженность потока (в трехмерном случае предполагается также его мелководность) и малую его кривизну на рассматриваемом участке. Предложенные модели могут быть использованы при решении задач оценки качества вод как составная часть моделей водных (например, речных) экосистем.

Результаты проведенного численного исследования показали хорошее качественное совпадение с имеющимися данными натурных экспериментов и наблюдений распространения примесей в реках и в узких трубках [99], [100], [117].

Для численного исследования были предложены расчетные схемы на базе метода конечных элементов, которые хорошо зарекомендовали себя применительно к задачам гидродинамики и тепломассопереноса [39].

1. Айзатуллин Т.А., Лебедев Ю.М. Моделирование трансформации органических загрязнений в экосистемах и самоочищение водотоков и водоемов.// В кн.: Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Общая биология. Биоценология. Гидробиология, 1977г. вып. 4, С. 8-74.

2. Айзатуллин Т.А., Шамардина И.П., Математическое моделирование экосистем континентальных водотоков и водоемов.// В кн.:Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Общая биология.Биоценология. Гидробиология, 1980. вып. 5, С. 154-228.

3. Айзатуллин Т.А. Расчет и моделирование трансформации органических веществ. //В кн. Методы исследования органического вещества в океане. М.:—Наука, 1980.

4. Александренко С.М., Галкин Л.М., Маджарова С.А. Совершенствование моделей водно-экологических процессов.// Водные ресурсы, 1990, №5 С. 100-109

5. Ананян А.К. Движение жидкости на повороте водотока. Ереван:—Изд-во АН АССР, 1957, 362 с.

6. Арухова Л.Я., Хеджер Т. В. Химическия состав и гидрохимический режим вод реки Иркутск //В кн.: Самоочищение и диффузия во внутренних водоемах Новосибирск:— Наука 1980. С. 73-108

7. Бабаян А.В., Надолин К.А. Двумерное моделирование диффузии пассивного скаляра в потоке вязкой жидкости. // Тез. докл./ В кн. IV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 27-29 окт., 1998, с. 37-42

8. Бабаян А.В., Надолин К.А. О моделировании тэйлоровской диффузии в прямой трубе переменного сечения. // Тез. докл./ В кн. V Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 12-14 окт., (1999) с. 11-15

9. Бабаян А.В., Надолин К.А. О моделировании распространения вещества в плоском стационарном потоке вязкой жидкости // Водные ресурсы, Т. 21, №2, 2000 С. 184 191

10. Бабаян А.Б., Надолин К.А. Редуцированная модель 3D переноса вещества в речном потоке. // Тез. докл. / В кн. Всеросс. конф. "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" пос. Дюрсо, 4-9 сент., 2000 г. с. 12-19

11. Бабаян А.В., Надолин К.А. Редуцированные модели распространения пятна примеси в речном потоке. /Тр. школы-семинара // Тез. докл. / В кн. "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" 11-16 сентября 2000 г.

12. Бабаян А.В., Надолин К.А. О моделировании тэйлоровской дисперсии в трубе переменного сечения.// Изв. ВУЗов, Сев.-Кав. регион, Естественные науки. №3, 2001 С. 27-29

13. Бисвас А. К. Достижения в области моделирования качества воды // Метеорология и гидрология, 1974, №11, С. 101-120

14. Бочев М.А., Надолин К.А., Николаев И.А. Моделирование распространения вещества в двумерном стационарном открытом русловом потоке // Мат. Моделир. 1996. Т.8, №1. С. 11-24.

15. Быстрик П.С., Синельщиков B.C. Перенос примеси в мелководном турбулентном водоеме //В кн.: Проблемы охраны вод. вып. 8, Харьков, 1977, С. 69-75

16. Вавилов В.А., Циткин М.Ю. Математическое моделирование и управление качеством водной среды // Водные ресурсы, 1977, №5 С. 114132

17. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. Т.1: Структура потока. М:—Гостехиздат, 1954, 324 с.

18. Великанов М.А. Русловой процесс, основы теории. М: — Физматгиз, 398 с.

19. Временные методические указания по проведению расчетов фоновых концентраций химических веществ в воде водотоков. Д.: — Гидроме-теоиздат, 1983, 52 с.

20. Галкин Л.М., Маджарова С.А. Метод понижения размерности моделей речных экосистем // Водные ресурсы, 1993, №3. С. 340-344

21. Гидрология суши. // М.:1987. АН СССР. ВИНИТИ, Итоги Науки и техники, вып. 6 158 с.

22. Гордин И.В, Кочарян А.Г., Воробьева Н.П. Влияние точности гидродинамического моделирования водоемов на оценку их самоочищающей способности // Водные ресурсы, 1977, №3 С. 18-26

23. Грушевский М.С. Неустановившееся движение воды в реках и каналах. JI. — Гидрометеоиздат, 1982, 288 с.

24. Гурарий В.И., Шайн А.С. Численные оценки качества вод. //В кн.: Проблемы охраны и использования вод. вып. 5, 1974, С. 131 135

25. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. // Д.:— Гидрометеоиздат, 1989, 392 с.

26. Дривер Дж. Геохимия природных вод. // М.:—Мир, 1985, 440 с.

27. Дудова М.Я. Современное состояние методов оценки общей загрязненности природных и сточных вод органическими веществами // Водные ресурсы, 1977, №5 С. 133-142

28. Еременко Е.В. Моделирование качества вод речного бассейна. //В кн.: тр. Сов.-амер. симп. "Использование математических моделей для управления качеством воды" Т. 1, С. 68-109

29. Еременко Е.В., Радвинская З.П., Селюк, Н.И. О распространении примеси на повороте открытого русла. // В кн.: Проблемы охраны вод. Харьков, вып.7, 1976 с.97-101.

30. Ершов Н.Ф., Шахведи Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: — Судостроение, 1984, 237 с.

31. Звонников А.В., Писарев В.В., Сухоручкин А.К. О практическом применении некоторых методов расчета рассеяния загрязняющей примеси в реках. //В кн.: Вопросы контроля загрязнения природной среды JI.:—Гидрометеоиздат 1981. С. 112-117

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: — Мир, 1975, 541 с.

33. Караушев А.В. Речная гидравлика. JI.:—Гидрометеоиздат, 1969, 416.с.

34. Клименко О.А., Фаддеев М.Н. Прогнозирование качества воды рек в условиях антропогенного воздействия // В кн.: Вопросы контроля загрязнения природной среды. JL:—Гидрометеоиздат, 1981. С. 94-98

35. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. JI.—"Судостроение", 1979, 264 с.

36. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.:—Гос. изд. физ.-мат. лит., т. 2, 1963 728 с.

37. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.:—Высшая школа, 1970, 712с.

38. Кудряшова Ж.Н. Численный метод решения решения задачи о качестве воды в канале.// Водные ресурсы, 1977, №3 с. 118-123

39. Ландау Л.Е. Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.:—Наука, 1988, 736 с.

40. Лапшина Т.П., Хоменко А.Н. Современнное состояние и возможное изменение качеества поверхностных вод трассы БАМ//В кн.: Вопросы контроля загрязнения природной среды. Д.:—Гидрометеоиздат, 1981. С. 99-102

41. Лебедев Ю.М., Веселкова Т.В., Жуков Э.П., Сабусова Г.А., Стряпчий

42. B.А. Расчет интенсивности трансформации органического вещества в водотоке с неустановившемся движением воды. //В кн.: Гидробиология бассейна Амура. Владивосток, 1978, С. 3-22

43. Львов В.А. Перенос пассивной примеси потоком вязкой жидкости. Охрана вод речных бассейнов:сб. науч. тр./ВНИИВО Харьков: 1987,1. C. 80-86

44. Львович М.И. Мировые водные ресурсы и их будущее. М.:—Мысль 1974г., 498 с.

45. Макаровский E.JI., Падалка А.Г., Баклан Б.С., Беленъкова B.C. Оценка качества поверхностных вод региона в схеме комплексного использования и охраны водных ресурсов СССР.// В кн.: Охрана вод речных бассейнов. ВНИИВО — Харьков, 1987, С. 3-7

46. Математические модели водных экосистем. М.:—ВЦ АН СССР, 1984, 147 с.

47. Математическое моделирование водных экосистем: Тр. сов.-амер. симпоз., Детройт США, 27-30 авг. 1979 г. JI.:—Гидрометеоиздат, 1981, 310 с.

48. Математические модели контроля загрязнения воды. М.:—Мир, 1984, 472 с.

49. Меншуткин В.А. Имитационное моделирование водных экологичских систем. Спб.:—Наука, 1993, 160 с.

50. Методические основы оценки и регламентации антропогенного влияния на качество поверхностных вод. JI.:—Гидрометеоиздат, 1987, 217 с.

51. Монин, Яглом.М. Статистическая гидродинамика. T.l. М.:—Наука, 1990, 695 с.

52. Нигматулин Р.С. Основы механики гетерогенных сред. М.:—Наука, 1978, 374 с.

53. Никаноров A.M. Циркунов В.В. Системы мониторинга качества поверхностных вод. СПб.:—Гидрометеоиздат, 1994, 108 с.

54. Новиков Б. И. Некоторые данные на влияние ветрового режима на распределение синезеленых водорослей в водохранилищах Днепра. //Биология внутренних вод. Информ. бюл. 19786 №40, С. 54-57

55. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. // М.:—1953, 360 с.

56. Пясковский Р.В. Моделирование динамики переноса загрязняющих веществ в Невской Губе. // Метеорология и гидрология, 1976, N 3, с. 6877

57. Рогов Б.В, Соколова Н.А. Об асимптотической точности приближения гладкого канала при описании вязких течений.//Доклады Академии Наук, т. 357, №2 1997г. с. 190-194

58. Рогов Б.В, Соколова Н.А. Упрощенные уравнения Навье-Стокса для внутренних смешанных течений и численный метод их решения.//Механика жидкости и газа, №3 2001г. с. 61-70

59. Розовский И.Л. Движение воды на повороте открытого русла.— Киев: изд. АН УССР 1957, 188 с.

60. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.:Мир, 1980г. 616 с.

61. Руховец Л.А. Математическое моделирование водообмена и распространения примесей в Невской Губе. // Метеорология и гидрология, 1982, № 7, С. 78-87

62. Самохин А.Ф. Река Дон и её притоки. Ростов-на-Дону:—Изд-во Ростовского университета, 1958, 120 с.

63. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:—Мир, 1979, 392 с.

64. Селюк Н.И., Харченко Я.С. Распространение примеси в широких открытых водоемах //В кн.: Водоохранные комплексы речных бассейнов. Сб. науч. тр., Харьков: ВНИИВО, 1985, С. 112-118

65. Степанов Ю.Г. Гидрологические характеристики реки Иркутск и ее бассейна //В кн.: Самоочищение и диффузия во внутренних водоемах. Новосибирск. — Наука 1980. С. 48-72

66. Стренг Г., Фикс Дж. Теория методов конечных элементов. М.:Мир, 1977, 352 с.

67. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ. М.:Мир, 1981, 408 с.

68. Тушинский С. Г. Изучение динамики вод суши. Гидрология суши (Итоги науки и техники, ВИНИТИ). М.:—1978, вып. 3, С. 14-63

69. Хаппелъ Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольд-са. М.:Наука, 1976, 630 с.

70. Чеберкус В.И., Курковский А.П. Самоорганизация точечных моделей для прогнозирования содержания растворенного кислорода и взвешенных частиц в реке. // Автоматика (Киев), №5, 1979, С. 85-89

71. Чоу В. Т. Гидравлика открытых каналов. М. — Стройиздат, 1969, 464 с.

72. Шеренков И.А. Влияние поля скорости на диффузию пассивной примеси в равномерном плоском потоке.// В кн.: Проблемы качества вод. Харьков, вып. 6, 1975, С. 110-120

73. Шеренков И. А. Прикладные плановые задачи гидравлики спокойных потоков. М.:—Энергия, 1978, 240 с.

74. Aris R. On the dispersion of solute in a fluid flowing through a tube// Proc. Roy. Soc. (London) A, 235 (1956), pp.67-77.

75. Babayan A.V., Nadolin K.A. Modelling substance spreading in 2D (in plane) steady stream // Proc. of the First Federal Interagency Hydrologic Modelling Conference. Las Vegas, Nevada, Vol 1, (1998) pp. 6-73 6-81

76. Babayan A.V., Nadolin K.A. Simulation of the admixture spreading in a steady 2D lengthy stream of a viscous fluid // Global Nest the int. J., Vol. 2, No 1, (2000), pp. 91-97.

77. Babayan A.V., Nadolin K.A. 2D numerical modeling of the contaminant spreading in a steady lengthy river flow // Proc. of XIII Int. Conf. on Сотр. Meth. in Water Res. (2000) pp. 1009-1013.

78. Von H. Blasius Laminare Strom,ung in Kanalen wechselnder Breite. // Z. Mathematic u. Physik. 58, Band. 1910. Heft 3, pp.225-233

79. Chatwin P.C. On the interpolation of some longitudinal dispersion experiments // J. Fluid Mech., 48 (1971), pp.689-702.

80. Chatwin P. C. The initial development of longitudal dispersion in straight tubes// J. Fluid Mech., 80 (1977), pp.319-349.

81. Chatwin P.С., Allen C.M. Mathematical models of dispersion in rivers and estuaries// Ann. Rev. Fluid Mech., 17 (1985), pp.319-349.

82. Chi Wai Li Advection simulation by minimax-characteristics methods. J. of Hydr. Eng. V. 116, №9, 1989, P. 1138-1144

83. Chikwendu S. C. Calculation of longitudal shear dispersivity using N-zone model as N oo // J. Fluid Mech, V. 167, 1986, P. 19-30.

84. Chikwendu S.C., Ojiaker G.U. Slow-zone model for longitudal dispersion in two-dimensional shear flows. J. Fluid Mech., V. 152, 1985, P. 15-38.

85. Collins W.M., Dennis S.C.R. The steady motion of a viscous fluid in a curved channel.// Q. J. Mech. appl. Math., V. XXVIII №2,1975, P. 133156

86. Elder J.W. The dispersion of marked fluid in turbulent shear flow // J. Fluid Mech., 1959, V. 5, №4, P. 544-560

87. Fife P.C. Singular pertrubation problems whose degenerate form has many solutions. // Applicable Analysis, V. 1 1972, pp.331-358.

88. Fife P.C., Nicholes K.R. Dispersion in flow through small tubes // Proc. Roy. Soc. (London) A, 344 (1975), pp. 131-145.

89. Fischer H. В. The effect of bends on dispersion in streams // Water Resource Research, 5 (1969) pp.496-506.

90. Fukuoka S., Sayre W.W. Longitudal dispersion in sinuous channels. // J. of the Hydraul. Div., Proc. A.S.C.E., V. 99 (1973) pp.195-217.

91. Hall P. Unsteady viscous flow in a pipe of slowly varying cross-section. J. Fluid Mech., 1974, V. 64, 2, pp. 209-226.

92. Kotorynski W.P. Slow Varying channel flows in three dimension // J. Inst. Maths. Applies 24 (1979), pp.71-80.

93. Kotorynski W.P. Steady laminar flow through a twisted pipe of elliptical cross-section // Computers & Fulids 14 (1986), pp.433-444.

94. Kotorynski W.P. Dispersion in pipes with slowly varying cross section// SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), pp.915-940.

95. Luk G.K.Y., Lau Y.L., Watt W.E. Two-dimensional mixing in rivers with unsteady pollutant source // J. of Env. Eng. 116 (1990), pp. 125-143.

96. Mackay J.R. Application of water temperatures to the problem of lateral mixing in the Great Bear Mackensie River system. // Can. J. Earth Sci., 1972, V. 9, №7, P. 913-917.

97. Manton M.J. Low Reynolds number flow in slowly varying axisymmetric tubes.// J. Fluid Mech., 1971, V. 49, 3, pp. 451-459.

98. Mercer G.N., Roberts A.J. A centre manifold description of contaminant dispersion in channels with varying flow properties. // SIAM J. Appl. Math., V. 50, 1990, P. 1547-1565.

99. Mercer G.N., Roberts A.J. A complete model of shear dispersion in pipes. //Japan J. Indust. Appl. Math. V. 11, 1994, P. 499-521

100. Rosencrans. S. Taylor dispersion in curved channels. // SIAM J. Appl. Math., V. 57, 1997, P. 1216-1241.

101. Smith R. Longitudal dispersion of a buoyant contaminant is a shallow channel. // J. Fluid Mech. V. 78, №4, 1977, P. 677-688.

102. Smith R. Longitudal dispersion coefficients for varying channels. // J. Fluid Mech. V. 130, 1983, P. 299-314.

103. Smith R. Effects of boundary absorption upon longitudal dispersion in shear flows // J. Fluid Mech. V. 134, 1983, P. 161-177.

104. Smith R. Contaminant dispersion as viewed from a fixed position. //J. Fluid Mech. V. 152, 1985, P. 217-233.

105. Smith R. A two-equation model for contaminant dispersion in natural streams. // J. Fluid Mech. V. 178 1987, P. 257-277.

106. Smith R. Shear dispersion looked at from new angle //J. Fluid Mech. V. 182 1987, P. 447-468.

107. Smith R. Minimized shoreline pollution in rivers with tributaries. //J. Fluid. Mech., V. 187, 1988, P. 589-597

108. Smith R. Time dependent releases of solute in parallel flow. //J. Fluid. Mech., V. 195, 1989, P. 587-595

109. Smith. R. Transport in lungs and branched estuaries. //J. Fluid. Mech., V. 325, 1996, P. 331-355

110. Schohl G.A., Holly F.M. Cubic-spline interpolation in Lagrangian advection computation J. of Hydr. Eng./, V. 117, №2, 1991, P. 248-253

111. Stokes A.N., Barton N.G. The concentration distribution produced by-shear dispersion of solute in Poiseuille flow. //J. Fluid Mech., V. 210, P. 201-221

112. Tanaka Y., Honma Т., Kaji I. Numerical study on mixed boundary element solutions for a transient convection-diffusion equation. Proc. of conf. "Comput. Mech.'86: Theory and Appl." V.2, P. XI/131-XI/136

113. Taylor G.I. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube// Proc. Roy. Soc. (London) A, 254 (1953), pp.186-203.

114. Taylor G.I. The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe// Proc. Roy. Soc. (London) A, 223 (1954), pp.446-468.

115. Taylor G.I. Conditions under wich dispersion of a solute in a stream of solvent can be used to measure molecular diffusion // Proc. Roy. Soc. (London) A, 225 (1954), pp.473-477.

116. Terrain analysis and distributed modelling in hydrology. Part 3. K.J. Beven, I.D. Moore Eds. John Wiley, Chichester, 1993.

117. Todd L. Some comments on steady, laminar flow through twisted pipes // J. Eng. Math. 1977, Vol. 11, 1, pp.29-48

118. Verboom G.K. The advection-dispersion equation for an anisotropic medium solved fractional-step methods. Proc. Int. Conf. Mathematical models for environmental problems. 1975, P. 299-312

119. Wei Wen-Li, Jin Zhong-qing Numerical solution for unsteady 2-D flow using the transformed shallow water equations.// J. of Hydrodynamics, Ser. В., №3, 1995, P. 65-71

120. Yasuda H., Longitudal dispersion of matter due to the shear effect of steady and oscillatory currents.// J. Fluid Mech., 148, 1984, P. 383-403

121. Yotsukura N., Cobb E. Transverse diffusion of solutes in natural streams. // Geol. Surv. Profess. Pap., 1972, M582-C.

122. Yotsukura N., Sayre W.W. Transverse moving in natural channels. // Water Resources Research, 12 (1976) pp.695-704.

123. Zabielski L., Mestel A.J. Steady flow in a helically symmetric pipe // J. Fluid Mech., 370 (1998) pp.297-320.

124. Zabielski L., Mestel A.J. Unsteady blood flow in a helically symmetric pipe 11 J. Fluid Mech., 370 (1998) pp.321-345.