автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование распространения новых технологий

Введение.

Глава 1. Модель Полтеровича-Хенкина и ее модификации.

1.1. Описание исходной модели. Асимптотика решений.

1.2. Модель экономического роста.

1.3. Модель экономического роста с транзакционными издержками.

1.4. Моделирование многоукладной технологической структуры.

Глава 2. Исследование аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра.

2.1. Исследование неподвижных точек цепочки Ленгмюра-Вольтерра. Формула Ю. Мозера.

2.2. Некоторые сведения из теории рациональных аппроксимаций.

2.3. Аттрактор цепочки Ленгмюра-Вольтерра.

Глава 3. Численное исследование модифицированной модели.

3.1. Характерные этапы эволюции технологической кривой.

3.2. Режим формирования технологических укладов (режим цепочки Ленгмюра-Вольтерра).

3.3. Режим взаимодействия имитации и инновации.

3.4. Режим диффузиии.

Одним из центральных вопросов идеологических дискуссий последних десятилетий была проблема оценки влияния государственной политики на темпы научно-технического прогресса. Существуют полярные точки зрения. С одной стороны, либеральные экономисты, например Ф.А. Хайек, утверждают, что государственное вмешательство в экономические процессы нарушает таинство функционирования рынка и замедляет научно-технический прогресс, полагая, что только рынок может определить наиболее перспективные направления экономического развития. Это предположение используется как аргумент в критике социалистических доктрин. Его сторонники утверждают, что административное регулирование снижает экономические стимулы для распространения новых технологий. Такая проблема действительно существовала в советской экономике, и попытки стимулировать распространение новых технологий за счет внеэкономических стимулов, таких как социалистическое соревнование, оказались малоэффективными.

С другой стороны, кейнсианская школа считает, что медленные процессы с характерными временами порядка десятилетий, к которым относятся процессы смены технологических укладов, плохо регулируются рыночными механизмами и что государственный спрос на инвестиции может способствовать научно-техническому прогрессу. Зависимость между внедрением научных открытий и большими циклами экономической конъюнктуры была обнаружена в работе Н.Д.Кондратьева "Большие циклы экономической конъюнктуры" см. [9]). Крупные государственные программы, такие как программа высадки человека на Луну "Аполлон" или программа СОИ, оказывали косвенное влияние на научно-технический прогресс. Предполагают, что программа "Аполлон" способствовала разработке и широкому внедрению компьютерных технологий, а программа военных приготовлений в рамках проекта СОИ включала в себя элемент государственной политики США в области развития гражданских промышленных технологий [7]. Административные методы регулирования экономики позволяют легче перераспределять ресурсы, чем это допускают рыночные механизмы. Так в СССР в 30-ые годы была осуществлена государственная программа индустриализации, которая позволила за счет ресурсов, накопленных в сельском хозяйстве, за короткий период времени создать военно-промышленный комплекс.

Разные точки зрения на эффективность государственного регулирования обусловлены разными представлениями о научно-техническом прогрессе. Сторонники либеральных экономических взглядов предполагают, что научно-технический прогресс - это распространение небольших нововведений и новых технологий на микроуровне. Динамика этого процесса определяется внутренними причинами и не требует крупных централизованных денежных вложений. Сторонники кейнсианских и социалистических взглядов склонны рассматривать научно-технический прогресс как крупные структурные сдвиги в технологическом укладе, обусловленные внедрением научных открытий. Такие сдвиги не являются спонтанными и происходят, как правило, при реализации крупных государственных программ. Попытки для реальных экономических систем установить с помощью эмпирических наблюдений какие представления о научно-техническом прогрессе оказываются более адекватными не приводят к однозначным результатам. Дело в том, что не вполне ясно как измерять научно-технический прогресс. Косвенные способы измерения могут приводить к ложным выводам. Например, в СССР в 70-ые годы официальная пропаганда говорила о высоких темпах научно-технического прогресса. Основанием для такого утверждения являлась регистрируемая статистическими службами динамика процесса замещения труда капиталом. Однако в реальности такая динамика была следствием увеличения выпуска некачественной продукции, что, в свою очередь, увеличивало коэффициент приростной фондоемкости (подробнее см. [16]). Поэтому в сложившейся ситуации темп замещения труда капиталом отнюдь не являлся мерой темпа научно-технического прогресса.

Тема диссертации является актуальной, поскольку из приведенного выше примера следует, что для адекватного понимания процессов технологического развития необходимо переходить от общих идеологических дискуссий, происходящих на концептуальном уровне, к систематическим исследованиям на языке математических моделей.

В диссертации развивается подход к описанию технологического развития, который использует и формализует концепцию Дж. Шумпетера о разделении механизма технологической эволюции на микроуровне на два взаимодействующих эндогенных процесса: инновационный, т.е. создание новых технологий, и имитационный, т.е. их заимствование. Этот подход был положен в основу ряда работ конца XX века таких авторов, как К. Иваи, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин, В.З. Беленький, С.Я. Глазьев и И.А. Каримов. Во всех этих работах распространение новой технологии описывается на основе функции распределения ее носителей (хозяйствующих субъектов или производственных мощностей) по уровням эффективности технологии. Понятие "уровня эффективности технологии" является первичным в указанных работах, уровни рассматриваются дискретными, п = 0,1,. Чем больше номер уровня, тем технология более эффективна, и фирма стремится перейти на более высокий уровень технологии. Соответствие технологии тому или иному уровню определяется экспертно. Уровень технологической эффективности может быть определен разными способами. Например, К. Иваи в [31] в качестве меры эффективности остановился на затратах на единицу добавленной стоимости, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин в своей модели экономического роста [18] в качестве меры эффективности технологии рассматривают прибыль на единицу мощности. В работе Гельмана Л.М., Левина М.И., Полтеровича В. М., Спи-вака В.А. приведены результаты компьютерного анализа эволюции кривой распределения предприятий черной металлургии СССР по уровням рентабельности в период с 1976 по 1988 год [5]. Анализ был проведен с учетом взаимодействия процессов создания и заимствования технологий и амортизации фондов. Этот подход позволил объяснить качественные особенности эволюции черной металлургии СССР в рассматриваемый период.

Обозначим через долю предприятий, находящихся в момент времени £ > 0 на уровнях с номерами не выше п. Тогда последовательность Т = как функция времени описывает эволюцию кривой распределения предприятий по уровням эффективности. Необходимо также определить закон, по которым происходят переходы между уровнями.

В своей исходной модели [17] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин использовали следующие гипотезы:

1. За единицу времени предприятия могут переходить только на следующий более высокий уровень. Разрешаются только переходы п —> п + 1. Тогда убывание Fn(t) происходит за счет перехода предприятий п-ого уровня, доля которых составляет ^п-ъ на (п + 1)-ый уровень.

2. Следуя концепции Шумпетера, интенсивность переходов складывается из двух элементов: инновационной составляющей

1 — и имитационной составляющей /3(1 — —

Константы а > 0 и (3 > 0 характеризуют интенсивности соответственно инновационного и имитационного процессов и считаются одинаковыми для всех уровней. Существенным является предположение о том, что интенсивность имитации на п-ом уровне пропорциональна доле предприятий, которые уже внедрили технологию п-ого уровня. Эта доля в веденных обозначениях равна (1 — Еп).

Таким образом, исходная модель Полтеровича-Хенкина представляет собой бесконечную систему дифференциальных уравнений + /3(1 - - п—1), п = 0,1,. (0.1)

Граничные и начальные условия модели: 0 при всех ^ > 0; ^ ~ (0.2)

0<^х(0)<^(0)<1,1 </с<ДГ; *Ц0)=1, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин доказали, что решение задачи Коши (0.1), (0.2) существует и единственно и с экспоненциальной скоростью сходится к частному решению уравнения (0.2) типа бегущей волны. Причем профиль волны представляет собой логистическое распределение. Таким образом, с течением времени распределение предприятий по эффективности технологий независимо от начальных условий приобретает устойчивую логистическую форму, что согласуется с эмпирическими наблюдениями.

В следующей работе [18] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин предложили интерпретацию переменных модели (0.1) в терминах модели экономического роста. В качестве меры эффективности технологии п-о\\■ уровня принимается прибыль, получаемая на единицу мощности Ап. Обозначим через Мп объем производственных мощностей на п-ыл ури;че, тогда функция распределения мощностей по уровням эффективности определяется по формуле

4 = 0,1.2,. (0.3)

Предполага-'.л :.: что ися нрлби. ¡'.- р л сходу- и;:-; па 1ни;ширсние мощ-ноеггон. При этом прибыль, пс ";<<• гиия на уровне, ригдслмотся на два потока капитальных вложений: доля </?п этой прибыли идет на создание мощностей следующего (п + 1)-го уровня, а остальная часть (1 — (рп) тратится на расширение производства уровня п. Уравнение экономического роста в этих предположениях записывается следующим образом ^ = (1 - (рп)\пМп + (^П1ЛП1МП1. (0.4)

С учетом дополнительных ограничений на последовательность {Лп}^°, которые соответствуют представлениями о распространении новых технологий в "зрелой" отрасли, В.М. Полтерович и Г.М. Хен-кин доказали, что функция распределения мощностей по уровням эффективности, определяемая по решениям задачи (0.4) согласно формуле (0.3), асимптотически притягивается к волновому решению уравнения (0.1). Этот результат получен для случая линейной функции (^п=^(^п)=ао+/5о(1—-^п)? где «о > 0 и Д) > 0 как и раньше являются параметрами инновации и имитации соответственно. Таким образом, стабильность формы кривой распределения получает более глубокое обоснование.

В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин получили аналогичный результат об асимптотическом поведении решений модели роста для более общего случая нелинейной функции <р(.Рп). В этом случае функция распределения мощностей по уровням эффективности притягивается к волновому решению обобщенного уравнения

0.5)

Пусть функция (р удовлетворяет следующим условиям:

А1. (р{Гп) > 0 и ограничена на отрезке [0,1], 1/(р интегрируема;

А2. ip не возрастает, (/?(0) > </?( 1), ср является Липшицевой на [0,1]. В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин доказали [26] , что при таких условиях 1. решение обобщенной задачи Коши (0.5) с начальными данными более общего, чем (0.2) вида

0 оо о < Fn(0) < 1, Е Fn{0) < оо, - Fn(0)) < оо (0.6) оо 1 существует и единственно; 2. решение стационарного уравнения dF с— = ip(F)(F(x) - F(x - 1)), х € (-оо, +оо), (0.7)

LlJb существует тогда и только тогда, когда с =

1л N-1

V6 УМ/

Причем, если F(:r) - решение стационарного уравнения, то для любого d функция F{x — d) - тоже решение;

3. решение обобщенной задачи (0.5), (0.6) асимптотически сходится к некоторому решению стационарного уравнения (0.7).

В.З. Беленький провел исчерпывающее исследование условий существования и единственности решения стационарного уравнения (0.7). Эта задача сведена им к задаче восстановления монотонной функции по ее диаграмме роста [2]. Применение теоремы, доказанной для общей задачи, к уравнению (0.7) позволяет установить необходимые и достаточные условия существования и единственности. Условие А2 заменяется более общим условием:

Ч w) I w)

0 о

В работе [3] В.З. Беленький анализирует модель Полтеровича-Хенкина в ее обобщенной форме (0.5) и предлагает свою оригинальную модификацию. Беленький предположил, что скорость перехода с уровня эффективности п на п + 1 зависит от относительной доли лидирующей группы на уровне п, т.е. от отношения числа предприятий, ушедших вперед, к числу предприятий, находящихся не ниже данного уровня п. Несмотря на то, что новая модель получилась более сложной, заменой переменных ее удалось свести к уравнению Полтеровича-Хенкина (0.5) и применить результат об асимптотической сходимости к волновому решению. Однако, в отличие от модели Полтеровича-Хенкина, скорость волны распределения в модели Беленького зависит от начального распределения.

В работе [27] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин исследуют задачу (0.5) для случая немонотонной функции <£>(.РП) специального вида, а именно где </?1,</?2 - монотонно убыающие функции. Функция такого вида позволяет получить в асимптотике две бегущие волны, которые перемещаются в сторону увеличения эффективности с различными скоростями, причем волна с большей скоростью убегает от волны с меньшей скоростью. Скорости волн определяются по следующим формулам из решения стационарной задачи (0.7) для функций <¿>1, </?2

1 — ^ х 1 п

МР) < к

0<к<1 на промежутках [0, к] и [к, 1] соответственно: к 1 — к с 1 = -й—:-, с2 = ^-;

Г dy г dy б VI fe) I ЫУ)

В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин доказали, что если обе функции </?1,</?2 удовлетворяют условиям А1 и А2 на отрезках [0, к] и [к, 1] соответственно и с\ < С2, то имеет место описанная выше асимптотика с двумя бегущими волнами.

В работе [29] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин приводят результаты для случая неубывающей функции </?. В этом случае система (0.5) не имеет волновых решений, а асимптотическое поведение решений представляет собой диффузию:

0, п < ip(Q)t,

K(t) = <p-\n/t), <p{0)t <n< ip( l)t,

1, n>(p(l)t.

Форма асимптотического распределения зависит только от функции ip. Так как ip(Fn) - неубывающая функция, то более передовые фирмы имееют большую скорость перехода, и все участки кривой распределения перемещаются в сторону увеличения эффективности независимо друг от друга.

Кроме того, высказывается гипотеза о поведении решений в случае немонотонной функции ip самого общего вида. Основываясь на уже полученных результатах, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин полагают, что в общем случае асимптотика решений будет состоять из комбинации волновых и диффузионных участков.

С точки зрения математического моделирования научнотехнического прогресса волновые участки технологической кривой можно интерпретировать как независимые технологические уклады. Тогда обобщенная модель Полтеровича-Хенкина может быть использована для описания такого явления, наблюдаемого в некоторых экономических системах, как многоукладность. Речь идет о явлении, когда, например, в рамках одной и той же отрасли могут независимо сосуществовать технологические уклады на разных уровнях эффективности, при этом разрыв между передовыми и отстающими укладами сохраняется и даже увеличивается.

В отличие от исходной линейной модели, в обобщенной модели Полтеровича-Хенкина отсутствует явное разделение Дж. Шумпете-ра на инновационную и имитационную составляющие. Постулируется только, что функция переходов (р общего вида отражает результат некоторого нелинейного взаимодействия между этими двумя компонетами. Такое обобщение не позволяет анализировать как внешнее воздействие, например со стороны государства, может влиять на инновационную и имитационную активность на микроуровне.

Целью диссертации является развитие математического аппарата для объяснения многоукладное™ технологической структуры в рамках концепции Дж. Шумпетера и анализ влияния транзакци-онных издержек на скорость распространения новых технологий.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе 1 исследуется вопрос о влиянии транзакционных издержек на скорость распространения новых технологий и обсуждается вопрос о моделировании многоукладности технологической структуры отрасли. В качестве базовой модели рассматривается эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий Полтеровича-Хенкина (0.1), (0.2). Для ответа на вопрос о транзакционных издержках была рассмотрена модификация модели экономического роста Полтеровича-Хенкина (0.4). Вводится дополнительная переменная (^(Ь), которая обозначает денежные средства, полученные от отрасли на осуществление государственных программ к моменту времени ^ Предполагается, что взимаемая с отрасли доля прибыли в момент времени пропорциональна величине

Результаты исследования асимптотического поведения модифицированной модели с транзакционными издержками сформулированы в виде теоремы. Содержательно теорема означает, что транзак-ционные издержки снижают скорость распространения новых технологий. С течением времени эта скорость приближается к величине которая меньше, чем скорость распространения технологий, полученная Полтеровичем и Хенкиным в их исходной модели. Более того, если налоги, взимаемые с предприятий отрасли, превышают некоторое пороговое значение - размер инновационной константы а, то научно-технический прогресс на микроуровне останавливается совсем.

Далее в главе 1 обсуждается проблема моделирования многоукладное™ технологической структуры отрасли. Как уже обсуждалось выше, для объяснения многоукладности В.М. Полтерович ш где М(£) есть суммарная мощность всей отрасли.

Э(*)+М(*) и Г.М. Хенкин используют обобщение своей эволюционной модели (см. [26], [27], [29]), в которой отсутствует явное деление процесса распространения новых технологий на инновационную и имитационную составляющие.

В данной работе исследуется другая модификация, в которой исходное разделение технологической эволюции на инновации и имитацию сохраняется, но модифицируется модельное описание имитационного процесса. Предполагается, что предприятия могут имитировать не любую более передовую технологию, а лишь технологии соседнего более высокого уровня эффективности. Тогда в введенных выше обозначениях имитационную составляющую можно записать в виде /3(Рп+1 — — Рп) и система (0.1) перепишется соответственно: -(а + - - (0.8)

Численные решения модифицированной модели имеют качественно иное поведение, чем решения исходной модели. В отличие от модели

Полтеровича-Хенкина, форма кривой, которая возникает при чис

1 1 ленном решении новой задачи Коши на временах д ^ ^ ^ ^ существенно зависит от начальных данных. Если в модели Полтеровича-Хенкина предприятия концентрируются около одного максимума, то в модифицированной модели на этих временах плотность распределения имеет несколько локальных максимумов, т.е. предприятия группируются в несколько технологических укладов.

Для объяснения этих различий сравнивается асимптотическое поведение решений исходной и новой задач Коши при а = 0, т.е. когда технологии распространяются только за счет имитации. В случае модели Полтеровича-Хенкина единственной устойчивой неподвижной точкой вырожденной системы является точка (0,., 0,1,1,.), следовательно процесс имитации технологий трансформирует кривую распределения модели (0.1) в единичную "ступеньку" независимо от начального распределения, т.е., последовательно копируя более передовые технологии, все предприятия постепенно собираются на самом высоком уровне эффективности.

Замена переменных для случая а = 0 приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений М-ого порядка

1 = С1С2 сп = сп(сп+1 - сп 1), п = 2,., N - 1, сдг = -сдгсдг1 (0.9)

Сп(0) = 7гг > 0, п =

Бесконечная цепочка уравнений сп=сп(сп+\ — Сп-1), —оо<п< + оо, первоначально возникла в физике при изучении тонкой структуры спектров ленгмюровских колебаний в плазме. Эта цепочка уравнений представляет собой разностный аналог уравнения КдФ и в континуальном пределе переходит в последнее [8]. В [21] конечная цепочка Ленгмюра называется моделью Вольтерра, при этом она интерпретируется как иерархическая экосистема хищников -жертв. Поэтому везде в работе мы называем систему (0.9) цепочкой Ленгмюра-Вольтерра.

Глава 2 посвящена исследованию аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра. Показано, что формула для точного решения цепочки Ленгмюра-Вольтерра (Ю. Мозер [35], Е.М. Никишин, В.Н. Сорокин [15]) не позволяет вычислить асимптотику. Заметим, что алгоритм нахождения решения по полученнной формуле напоминает процедуру, которая используется при интегрировании нелинейных уравнений в частных производных методом обратной задачи рассеяния, исходя из динамики данных рассеяния. Поскольку в нашем случае информация о динамике "данных рассеяния" не позволяет непосредственно вычислить асимптотику переменных цепочки Ленгмюра-Вольтерра, то была задействована третья система переменных - степенные моменты дискретной меры, построенной по данным рассеяния. Для доказательства теоремы об аттракторе цепочки Ленгмюра-Вольтерра, во второй главе приводятся и доказываются необходимые нам соотношения из теории рациональных аппроксимаций. Эти соотношения позволяют определить, как переменные цепочки Ленгмюра-Вольтерра выражаются через степенные моменты построенной нами дискретной меры и посчитать нужные асимптотики.

В соответствии с доказанной теоремой, все нечетные переменные цепочки Ленгмюра-Вольтерра стремятся к квадратам различных по модулю собственных значений матррицы Якоби, построенной по начальным данным, а все четные переменные стремяться к нулю, причем в обоих случаях скорость стремления является экспоненциальной и даже удалось вычислить порядки этих экспонент.

Аттрактор цепочки Ленгмюра-Вольтерра без оценки скорости сходимости впервые вычислил Ю. Мозер [35]. Таким образом, доказанная теорема является усилением результата Ю. Мозера. Оценка скорости сходимости необходима, чтобы доказать устойчивость по Ляпунову цепочки Ленгмюра-Вольтерра.

Доказанная теорема и следствие к ней дают исчерпывающее описание аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра. Решение любой задачи Коши (0.9) с положительными начальными данными сходится к устойчивой по Ляпунову неподвижной точке, которую можно найти, вычислив собственные числа матрицы Якоби, составленной по начальным данным. Эти неподвижные точки образуют ([у] + Замерное многообразие, которое является базой расслоения фазового пространства. Слоями этого расслоения являются множества начальных условий, приводящих к одной и той же предельной точке.

В главе 3 проводится численное исследование с целью проанализировать, как наличие малой инновационной компоненты, 0<а<С/3 возмущает систему (0.8) и влияет на качественную картину эволюции начального распределения. Перепишем уравнение (0.8) в плотностях с помощью замены переменных /п(£) = — .Рп1(£). Получим задачу Коши = " /п-0 - РШп+1 ~ /п-х) (0.10) с граничными и начальными условиями вида /о(£) = 0 при всех Ь > 0;

Д(0) > 0,1 <к<Щ £ Д(0) = 1; Д(0) = 0, к>И.

П=1

Обозначим через / = тахип(1):1 > 0,п = 0,1,.}. Результаты численных расчетов, проведенных для задачи Коши (0.10), (0.11), позволяют выделить три характерных этапа эволюции технологической кривой в модифицированной модели:

1. Этап формирования технологических укладов и режим цепочки Ленгмюра-Вольтерра (//3 а). Распространение технологий на этом этапе происходит в основном за счет их имитации, форма кривой плотности распределения существенно зависит от начальных данных и расслаивается на несколько укладов;

2. Этап взаимодействия имитации и инновации (//3 ~ а). На этом этапе имитация существующих и создание новых технологий происходит с близкой интенсивностью. Это приводит к размыванию технологических укладов, причем размывание начинается с отстающих;

3. Этап диффузии (//3 а). Определяющим фактором эволюции на этом этапе является инновационная составляющая. Форма технологической кривой имеет "треугольный" вид: чем меньше уровень технологии, тем меньше предприятий используют ее, причем разница в количестве предприятий, использующих технологии двух соседних уровней, постоянна в каждый момент времени и уменьшается со временем. Этап характеризуется отсутствием многоукладной структуры.

Далее более детально исследуется каждый из трех этапов. Получены следующие результаты :

• структура аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра объясняет наблюдаемый в ходе численных экспериментов эффект расслоения технологической кривой в модели (0.8) на конечное число укладов и позволяет предсказать количество различных укладов по начальным данным на временах, когда fP а;

• моменты установления укладов для случая а = 0 (цепочка Ленгмюра-Вольтерра) и для малых а > 0 в модифицированной модели (0.8) совпадают и определяются начальными данными из формул для оценки скорости сходимости, доказанных для цепочки Ленгмюра-Вольтерра в теореме 5;

• в модели (0.8) на первом этапе размеры укладов приближаются к соответствующим величинам для цепочки Ленгмюра-Вольтерра. Однако, в отличие от цепочки Ленгмюра-Вольтер-ра, где уклады упорядочены по количеству предприятий и для двух соседних укладов доля предприятий выше на более передовом, в модели (0.8) с регулярной частотой происходит "переток" фирм с лидирующего уклада на соседние и обратно, образуя колебания вокруг предельных значений для соответствующих укладов из аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра;

• на втором этапе формируется не зависящий от начальных данных режим, в котором влияние инновационного и имитационного процессов уравновешено - этот режим соответствует поведению модели Полтеровича-Хенкина. Удалось найти аналитически частное решение системы (0.8), не зависящее от начальных данных, которое в точности "ложится" на профиль режима второго этапа;

• формиравание такого равновесного режима начинается с отстающих укладов, а разрушение с передовых укладов;

• распределние, сформировавшееся на втором этапе, является начальными данными для режима диффузии на третьем этапе, и в асимптотике системы (0.8), (0.2) наблюдается режим диффузии с "отобраными" начальными данными.

Основные результаты диссертации, определяющие ее новизну, заключаются в следующем:

1. В рамках концепции Шумпетера предложена модификация модели Полтеровича-Хенкина, в которой при численных расчетах можно выделить три характерных режима эволюции технологической кривой. На временах, когда (3 • / а, наблюдается многоукладность технологической структуры.

2. Усилена теорема Ю. Мозера об асимптотике решений задачи Коши для цепочки Ленгмюра-Вольтерра. С помощью этой теоремы объясняются результаты численных экспериментов о мно-гоукладности.

3. Получена формула, отражающая зависимость между скоростью распространения новых технологий и транзакционными издержками. Из этой формулы определяется пороговое значение для размера транзакционных издержек, при превышении которого распространение новых технологий на микроуровне останавливается.

Теоретическая и практическая ценность состоит в том, что исследованные модели распространения новых технологий могут быть использованы в качестве блока макроэкономической модели для описания изменения технологической структуры отрасли на микроуровне в результате научно-технического прогресса.

По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Выводы:

• как и в модели Полтеровича-Хенкина формируется не зависящий от начальных данных режим, в котором влияние инновационного и имитационного процессов уравновешено. Удалось аналитически найти частное решение системы (3.59), не зависящее от начальных данных. Это - линейная функция, которая определяет форму кривой единого распределения;

• формирование такого равновесного режима начинается с отстающих укладов.

3.4 Режим диффузии.

Как было сказано в предыдущем параграфе, начиная с некоторого момента времени, численные решения задачи Коши (3.57) при ¡3 > 0 и малых а > 0 не зависят от начальных данных и совпадают. Оказывается, для случая без имитации (3 = 0, который соответствует уравнению диффузии, это наблюдение не подтверждается. На рис.3.8 можно видеть результаты расчетов для (3 = 0 и (3 > 0. В качестве начальных данных в обоих случаях выбраны различные кривые распределений, полученные для модифицированной модели на втором этапе (рис 3.7, (1), (111)-) При (3 > 0 кривые трансформируются и приобретают одинаковую "треугольную" форму, описанную выше. При /3 = 0 кривые остаются различными.

Рис. 3.8: Режим диффузии: отбор начальных данных

Зафиксируем численное решение задачи Коши (3.57) при (3 > О, которое сформировалось на втором этапе (см. рис. 3.8,(а)) и рассмотрим его в качестве начальных данных задачи Коши (3.57) при (3 = 0 и (3 > 0. Численные результаты для обоих случаев представлены на рис. 3.9 и показывают, что оба решения качественно ведут себя одинаково и за время т расходятся не более, чем на величину (3 ■ тах(/(Ь + г)). В случае, проиллюстрированном на рис. 3.9, т = 1000000, (3 • тахЦ(£ + т)) = 3.7599е-004, больше, чем разница между двумя решениями тах(/+ т) — /2+ т)) = 3.7545е—004.

Таким образом, мы заключаем, что распределение, сформировавшееся на втором этапе, является начальными данными для режима диффузии на третьем этапе, и в асимптотике системы (1.24), (1.13) наблюдается режим диффузии с "отобранными" на втором этапе начальными данными.

1. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с ней. М.: Физматгиз, 1961.

2. Беленький В.З. Диаграмма роста монотонной функции и задача восстановления ее оригинала. Препринт. М.:ЦЭМИ АН СССР, 1990.

3. Беленький В.З. Вероятностные модели математической экономики. // Сборник ЦЭМИ АН СССР, 1990. с.19-54

4. Габое С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Издательство МГУ, 1988.

5. Гельман Л.М., Левин М.И., Полтерович В. М., Спивак В.А. Моделирование динамики распределения предприятий отрасли по уровням эффективности (на примере черной металлургии). //Экономика и мат. методы, 1993. Т.29, вып.З. с.460-469.

6. Глазьев С.Ю. Теория долгосрочного технико-экономического развития. М.:"ВлаДар", 1993

7. Зегвельд В., Энцинг К. СОИ: технологический прорыв или экономическая авантюра? М.: Прогресс, 1989.

8. Захаров В.Е., Мапаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

9. Кондратьев Н.Д., Опарин Д.И. Большие циклы конъюнктуры: Доклады и их обсуждение в институте экономики. М., 1928.

10. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1958.

11. Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема мрментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.

12. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

13. Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.

14. Наумкии П.И., Шишмарев И.А. Задача о распаде ступеньки для уравнения Кортевеге-де-Фриза-Бюргерса// Функциональный анализ и его приложения, 1991. Т.25, вып.1, стр. 21-32.

15. Никишин Е. М., Сорокин В. Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988.

16. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

17. Полтерович В. М., Хенкин Г. М. Эволюционная модель взаимодействия процессовсоздания и заимствования технологий.

18. Экономика и математические методы, 1988. T.XXIV, вып.6. с. 1071-1083.

19. Полтерович В. М., Хенкин Г. М. Эволюционная модель экономического роста. //Экономика и математические методы, 1989. T.XXV, вып.З. с. 518-531.

20. Ташлицкая Я.М., Шананин А.А. Многоукладность технологической структуры и влияние транзакционных издержек на распространение инноваций. // Математическое моделирование. 2000, Т.12, N 12, с.24-34.

21. Ташлицкая Я.М., Шананин А.А. Моделирование процесса распространения новых технологий. М: Издательство Вычислительного центра РАН, Сообщения по прикладной математике, 2000.

22. Тахтадэюян Л.А., Фаддеев Л Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

23. Уизем Дою. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

24. Шумпетер Й. Теория экономического развития. М.: Прогресс, 1982.

25. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1986.

26. АтаЫе В., Petit P. Identifying the structure of institutions to promote innovation and growth. N 9919. Paris, CEPREMAP/Univ. de Lille-II, 1999.

27. Henkin G.M., Polterovich V.M. Shumpeterian dynamics as a nonlinear wave theory. //Journal of Mathematical Economics, 20, 1991. pp. 551-590.

28. Henkin G.M., Polterovich V.M. A Dufference-Differential Analogue of the Burgers Equation: Stability of the Two-wave Behaviour. //J. Nonlinear Science, 4, 1994. pp. 497-517.

29. Henkin G.M., Polterovich V.M. A difference differential analogue of the Burgers equation and some models of economic development. Universites Paris VI et VII, CNRS, 1997.

30. Henkin G.M., Polterovich V.M. A difference differential analogue of the Burgers equation and some models of economic development. // Discrete and Continuous Dynamical Systems, 5, 1999. N 4, pp. 697-728.

31. Iwai K. Shumpeterian Dynamics. Part I: An Evolutioanary Model of Innovation and Imitation// J.Economic Behaviour and Organization, 5, 1984. N 2, pp. 159-190

32. Iwai K. Shumpeterian Dynamics. Part II: Technological Progress, Firm Growth and "Economic Selection"// J.Economic Behaviour and Organization, 5, 1984. N 3-4, pp. 287-320.

33. Lax P.D., Levermore C.D. The small dispersion limit of KdV equation. // Comm. Pure Appl. Math. 36, 1983, I pp253-290, II pp.571593, III pp. 809-830.

34. Lax P.D., Levermore C.D., Venakides S. The generation and propagation of oscillations in dispersive initial value problems and their limiting behaviour.// p.205-241.

35. Lax P.D., Goodman J. On Dispersive Difference Schemes. I. // Comm. Pure Appl. Math. 41, 1988, pp. 591-613.

36. Moser J. Three integrable hamiltonian systems connected with isospectral deformations. //Advances in mathematics, 16, 1975. pp.197-220.

37. Shananin A.A., Tashlitskaya Y.M. A New Technology Propagation Model. Attractor for the Lengmure's Chain. // Тезисы докладов 2-ой Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 17-20 ноября 1998г.), с.32.

38. Tashlitskaya Y.M., Shananin A.A. Modeling of technologies diffusion in industry. Attractor for the Lengmuir's chain. // Abstracts to 222. WE-Heraeus-Seminar "Economic Dynamics from the Physics Point of View" (Bad Honnef, Germany, 27-30 March 2000).

39. Tsujimoto S., Nakamura Y., Iwasaki M. The discrete Lotka-Volterra system computes singular values.// Inverse Problems, 17, 2001. pp.53-58.1. РОССИЙСКАЯгосуд/:"".1Н1БЛИО i!