автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование неоднородных структур на основе метода низкочастотной электрической томографии

На правах руиси

"у/ ■>

ТАЙЛАКОВ ДМИТРИЙ ОЛЕГОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР НА ОСНОВЕ МЕТОДА НИЗКОЧАСТОТНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численн методы и комплексы программ

Автореферат ООЗАИииио

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Барнаул 2009

V54UE

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт угля и углехимии Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Логов Александр Борисович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Шайдук Александр Михайлович

доктор технических наук, профессор

Катаев Михаил Юрьевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Защита состоится 6 ноября 2009 г. в 14-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан 5 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор, д.ф.-м.н.

С. А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последнее время в различных отраслях науки и техники, в частности в геофизике и горном деле, интенсивно развиваются методы неразрушающего оперативного контроля состояния объектов и среды их функционирования. В качестве одного из подходов в таких методах используется измерение параметров физических полей (гравитационного, магнитного, электрического, упругих колебаний, термических, ядерных излучений) в соответствующих видах каротажа. При этом в угольной отрасли для обеспечения текущего мониторинга состояния углепородного массива, изучения его свойств и поиска неоднородностей представляется целесообразным использовать в каротажных измерениях различные виды технологических скважин, которые бурятся для дегазации угольных пластов и выработанного пространства до или в процессе угледобычи. Корректная интерпретация параметров физических полей, полученных в каротажных измерениях, позволит существенно улучшить качество данных о состоянии массива горных пород, а также обеспечить выбор рациональных схем дегазации угольных пластов, способствующих повышению безопасности ведения горных работ и производительности угледобычи.

В качестве основного инструмента исследования возможно использовать низкочастотную электрическую томографию, суть которой заключается в измерении потенциала с помощью электродов на поверхности при протекании тока через прискважинную зону углепородного массива. Набор измерений, получаемых при различных комбинациях токовых и измерительных электродов, позволяет оценить распределение проводимости в исследуемой области угольного пласта. В отличие от вертикальных скважин, применяемых в геофизике, при использовании дегазационных скважин с иным пространственным положением (в пределе - горизонтальным), а также способом обустройства, возникает необходимость разработки новых математических моделей и подходов к их исследованию для получения достоверной информации о свойствах угольных пластов и вмещающих пород.

В этой связи создание моделей произвольно ориентированных слоистых структур в качестве базы для мониторинга объектов различной природы методом электрической томографии является актуальной научной задачей.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами НИР Института угля и углехимии СО РАН на 2007-2009 гг. (научный проект «Особенности процессов деформирования и разрушения массивов горных пород, включающих техногенно нестабильные двухкомпонентные геоматериалы», Блок 3. «Мониторинг изменений окружающей среды в углепромышленных районах в результате техногенного деформирования массивов горных пород», этап 2008 г. «Исследование взаимосвязи эмиссий метана с газообильностью горных выработок и выработанных пространств») и договором № 5/01-07 «Определение (исследование) газоносности угольных пластов 52, 51, 50 и 49 в пределах опытно-промышленного участка горного отвода шахты «Котинская» и лавы № 5203», выполненного по заданию ОАО «СУЭК-Кузбасс» в 2008 г.

Целью работы является моделирования структур углеродосодержа-щих материалов с пространственной анизотропией для обнаружения неодно-родностей при мониторинге объектов различной природы методом электрической томографии.

Идея работы состоит в использовании решения трехмерного уравнения Лапласа в цилиндрических координатах и получении точного решения прямой задачи электрической томографии для исследования свойств различных цилиндрических объектов в изотропном и анизотропном случаях.

Задачи исследования:

- обосновать возможность применения методов низкочастотной электрической томографии для исследования структуры угольных пластов из дегазационных скважин;

- разработать математическую модель распределения удельного электрического сопротивления горных пород в окрестностях дегазационных скважин в изотропном и анизотропном случаях;

- разработать математическую модель распределения кажущегося удельного сопротивления горных пород для обнаружения неоднородностей и включений различной природы в угольных пластах;

- провести вычислительный эксперимент по апробации моделей в заданной цилиндрически-симметричной среде посредством решения прямой и обратной задач электрической томографии.

Методы исследования. В работе использовалось решение прямой задачи на основе уравнения Лапласа в цилиндрических координатах для электрической томографии; численные методы линейной алгебры для анализа полученных решений; метод минимизации Нелдера-Мида для решения обратной задачи низкочастотной электрической томографии; асимптотическое разложение цилиндрических функций Бесселя для анализа полученных решений.

Научные положения, выносимые на защиту:

- в асимптотическом приближении распределение потенциала источника постоянного электрического тока в углепородном массиве обратно пропорционально удельной проводимости угольного пласта и неоднородных включений, которые могут быть обнаружены путем изменения взаимоположения источника постоянного тока и приемника в горизонтальных дегазационных скважинах;

- распределение потенциала в цилиндрически-слоистых средах в при-скважинной зоне в общем случае А-вложенных цилиндров с трехмерной анизотропией записывается в явном виде при решении уравнения Лапласа;

- значение потенциала для слоистой цилиндрической структуры определяется путем разложения подынтегрального выражения, содержащего функции Бесселя Н-го рода, в многочлен, степень которого зависит от расхождения аналитического решения и полиномиального разложения и определяется заданной точностью численного эксперимента;

- соответствие между аналитическим решением и результатом эксперимента для трехслойной цилиндрической среды в изотропном и анизот-

ропном случаях обеспечивается разработанным алгоритмом адаптации низкочастотной электрической томографии.

Обоснованность и достоверность научных положений и результатов

1) подтверждается:

- результатами аналитического решения уравнения Лапласа, полученного для распределения потенциала цилиндрически-слоистых сред, и его асимптотического разложения (расхождение не более 1% для отношения поперечной длины зонда к продольной >10);

- удовлетворительным совпадением (расхождение не более 10%) результатов тестового численного решения прямой и обратной задач для цилиндрически-симметричных объектов с заранее известными параметрами;

2) обеспечивается:

- корректным аналитическим решением уравнения Лапласа для распределения потенциала в неоднородной среде в цилиндрических координатах;

- представительной серией физических экспериментов, поставленных на углеродосодержащих объектах, и соответствием полученных результатов численному моделированию.

Адекватность предложенной модели подтверждается опытом низкочастотной электрической томографии, а для цилиндрических объектов - дополнительно поставленной серией численных экспериментов с расхождением не более 9,5% относительно результатов теста.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- расширена область применения электрического каротажа для обнаружения из дегазационных скважин с пространственной ориентацией, отличной от вертикальной, неоднородностей в углепородном массиве с линейными размерами, свойственными геологическим нарушениям и включениям;

- получено строгое аналитическое решение уравнения Лапласа для распределения потенциала на границе многослойной цилиндрически-анизотропной среды в зависимости от расположения источника тока;

- создан программный комплекс, для которого реализован численный эксперимент, с возможностью вариации количества внутренних слоев и свойств изотропных и анизотропных углеродосодержащих объектов, для определения потенциала слоистой цилиндрической структуры при каротаже дегазационных скважин;

- адаптирован метод низкочастотной электрической томографии для слоистой модели вложенных цилиндров, заключающийся в нахождении распределения проводимости в зависимости от расположения источника постоянного тока и значений потенциала на заданных границах цилиндрического объекта.

Личный вклад автора состоит:

- в обосновании возможности применения электрической томографии для исследования угольных пластов с использованием действующих дегазационных скважин;

- в разработке математической модели распределения потенциала на границе цилиндрической среды и проведении анализа полученных решений с помощью асимптотических разложений;

- в компьютерной реализации метода решения прямой и обратной задачи восстановления удельной проводимости среды в зависимости от значений силы тока и распределения потенциала на границе исследуемого объекта;

- в проведении вычислительного эксперимента применительно к различным цилиндрическим объектам и обобщении результатов анализа.

Практическая ценность.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для:

- мониторинга состояния прискважинной зоны в углепородном массиве в процессе или до ведения угледобычи на основе предложенного подхода для определения удельной проводимости в цилиндрически-слоистых средах;

- электрического каротажа геолого-геофизических объектов более сложной структуры на основе полученных решений уравнения Лапласа для распределения потенциала на границе многослойной цилиндрической среды,

- разработки технических требований к оборудованию и регламента его применения для обнаружения различных образований в угольном пласте (не-однородностей, пустот или включений) на основе разработанного программного комплекса.

Реализация работы.

Результаты исследований и разработанный подход использованы для определении газоносности угольных пластов в пределах горного отвода шахты «Котинская».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научной конференции «Физика и Эйнштейн» (Красноярск, 2005), ХЫП и ХЫУ международных конференциях студентов и молодых ученых «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005, 2006), Международном форуме «Проблемы и перспективы инновационного развития экономики Кузбасса» (Кемерово, 2008), на научных семинарах ИУУ СО РАН (Кемерово, 2007-09).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, куда входят (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (1.19/0.65 печ. л.), 1 - в научных изданиях (0.13/0.07 печ. л.), 3 - в тезисах и докладах международных и всероссийских конференций (0.38/0.38 печ. л.).

Структура и объем работы. Работа состоит из 4 глав на 127 страницах и содержит 54 рисунка, 6 таблиц, список литературы из 64 наименований и 6 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. В асимптотическом приближении распределение потенциала источника постоянного электрического тока в углепородном массиве обратно пропорционально удельной проводимости угольного пласта н неоднородных включений, которые могут быть обнаружены путем изменения взаимоположения источника постоянного тока и приемника в горизонтальных дегазационных скважинах.

В настоящее время актуальны проблемы обнаружения различных не-однородностей в угольном пласте, обусловливающих повышенное содержание метана, и как можно более точного определения геометрии пласта. Решение этих задач является необходимым условием обеспечения безопасности работы в шахте и повышения эффективности добычи угля.

Для поиска участков углепородного массива с измененной плотностью и определения их границ предложено применять каротаж дегазационных скважин, которые бурятся достаточно часто и непосредственно в угольный пласт. Так ограждающую дегазацию угольного массива, прилегающего к проводимой выработке, осуществляют с помощью барьерных или законтурных скважин. По времени дегазация подготовительных выработок делится на два вида: предварительную и текущую. Типовым способом предварительной дегазации угольного массива является бурение скважин до начала проведения выработки, а при текущем - во время ее проведения. При ограждающей дегазации барьерные скважины бурят преимущественно диаметром 80 - 100 мм и протяженностью до 100 - 150 м. Устье скважин располагают на расстоянии 1,5 - 2,0 м от стенки выработки. Угол отклонения скважин от оси выработки составляет 3-90 градусов. Из камеры, в зависимости от метано-носности угля мощного пласта, бурят в среднем по 3 - 4 скважины с каждого борта, иногда и до 12 - 15 скважин. Многообразие видов дегазационных скважин обусловливает возможность исследования угольного пласта без увеличения затрат на дополнительное бурение.

В работе в качестве прямой задачи понимается нахождение распределения потенциала в зависимости от заданного распределения удельного сопротивления и источников постоянного электрического тока в результате решения трехмерного уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.

Для обоснования возможности применения низкочастотной электрической томографии при г исследовании структуры угольных

источник приемник

Рис. 1. Модель трехслойной среды

пластов из дегазационных скважин рассмотрена трехслойная среда с проводимостями верхнего, среднего и нижнего слоев *д, и У;? (рис. 1).

В средней части среды, в

начале цилиндрической системы координат {г, <р, г}, размещен точечный источник постоянного тока /, расстояние от которого до границы верхнего слоя равно к], а нижнего - к2, причем Ъ1,Ъ2>0 (рис. 1). Потенциал ие электрического поля £ среднего слоя представлен в виде

•и, =и0+й„ (1)

где щ - потенциал электрического поля источника постоянного тока в однородной среде с проводимостью уе. Из решения уравнения Лапласа, описывающего пространственное распределение потенциалов верхнего и нижнего слоев 111 и и2, а также введенной поправки гц к потенциалу, которая возникает при возмущении электрического поля в однородной среде, и с учетом поведения потенциала при г -> 0 и г -»оэ установлено, что

- I Ате~™*)0(тпг)<1т, П.Сг.г) = [ [В^е™2 + Сше-^}]0(тг)ёт1 (2)

¿а

и2(г,г) = тг)<1т,

-'о

где Ат, Вт, Ст, От - константы, определяемые из граничных условий; Л -функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка. Из граничных условий с учетом

I I Гм

Щ = --== = — е-™ыМтг^т (3)

2яув%!гг + 2щ'е]0

при г=0 получено

и.(г) = --+ --[ 1 21 Ч(/ягМт

2яуег 2луе I

(4)

где

о _ -гт^ /г_У± 9 _ -2тИ2 Уе~Уг

г. + п 2 Г. + Г». (5)

Асимптотическое разложение (5) имеет вид

И'(г)Я2^пРиГ->0. (6)

(7)

Известно, что удельная проводимость угля составляет 10"8-10"12 Ом"1 м"' и может регистрироваться стандартными методами, используемыми для электромагнитного каротажа. Неоднородности различной природы с удель-

ной проводимостью, существенно отличающейся от свойственной углям, могут быть обнаружены путем пространственного перемещения источника постоянного тока и приемника, с учетом полученных уравнений (6, 7) при каротаже дегазационных скважин.

2. Распределение потенциала в цилиндрически-слоистых средах в ирискважинной зоне в общем случае А-вложенных цилиндров с трехмерной анизотропией записывается в явном виде при решении уравнения Лапласа.

Разработана и исследована математическая модель, описывающая изменение потенциала на границе среды в зависимости от силы тока для двухслойной, трехслойной и ¿-слойной сред. Двухслойная среда представлена цилиндром с бесконечной высотой и радиусом а, который помещен в среду с нулевой проводимостью. Внутри цилиндра находится цилиндр с бесконечной высотой и радиусом Ь, а на границе а внешнего цилиндра - точечный источник постоянного тока /. В цилиндрической системе координат потенциал ие электрического поля £ вне цилиндра представлен в виде (1). Разложение функции и\ иа в ряды Фурье по угловой координате имеет вид

и' - ^ ипс СОБ П(р + ип* БШ пр = ^ и™

л=0 Л—О

30 К

мо*=IX»со5 п(р+и1 ^ п(Р=£ Щп

^со ЭИ^Л

ътпер ''со вгхр^ БШ п<р

(8) (9)

С учетом (8, 9) уравнение Лапласа принимает вид

дУ;-1 [ 1 диУ

дг2 г дг

У,

(

дг

= 7.

¿ЧГ , да;

дг

дг

г = а.

(10) (П)

Решение уравнения (11) с учетом поведения потенциала при г -* 0 и г -» со имеет вид

\ВпКп(тг),г> а.

Здесь т = Щ\ 1„(х),К„(х) - модифицированные функции Бесселя, Впси Апс' определяются из граничных условий и решения системы линейных уравнений. Для г=г0=а установлено, что

где ф = <р-<р0,1 = =--^-,х = та.

По аналогии для трехслойной среды получено выражение для потенциала при г = а

1 00 и = ± У

Гсоз^

^ БШ П(р )

где г=--.

а

Для оценки поведения потенциала в дальней зоне и возможности использования упрощенных выражений при решении прикладных задач, рассмотрена асимптотика и при большом г для (13). При г = г0= а получено

, ■ ■ ч 1 1 , -ч 1 д2"

(15)

Аналогичным образом асимптотическое разложение (14) представлено в виде

/1^1 , чГ2й2"(1+5)+й2"(1-5)'| 1 д2"

(16)

Установлено, что отличие полученных асимптотик от аналитического решения составляет не более 1% при г>10, что позволяет использовать их для вычисления потенциала при больших вертикальных разносах электродов.

Рассмотрена к - слойная модель, в которой внешний слой представляет собой среду с нулевой проводимостью, а остальные к- 1 слоев - коаксиальные бесконечные цилиндры радиусами а/.а^.-.а^ и проводимостями 7/, 72,-,ук-1- Потенциал м; электрического поля Ё внутри цилиндра радиуса а1 представлен в виде и1-и0 + й1. Здесь щ - потенциал электрического поля

сторонних токов X в однородной среде с проводимостью у¡. Потенциалы внутри других цилиндров обозначены и2,щ.....а потенциал внешней среды - ие. В предположении, что функция и0 известна, определен потенциал й, на границе а/. При этом для решения уравнения Лапласа на каждой границе записаны граничные условия и получена система 2(к - 1) уравнений с 2(к - 1) константами

мх=и.

(17)

Здесь М - матрица модифицированных функций Бесселя порядка п, которые зависят от произведения та, (¡-1 -к-1) и коэффициентов 5, =

Вектор-столбец X состоит из искомых констант СУ (1-1^2к-2), и - вектор-столбец, все элементы которого, кроме первых четырех, равны нулю. Ненулевые элементы имеют вид

"з = -»о" («О

0п К ихК(та1У

Кг,(та2)

и, = -

«3 = Щп ^ТТТТу "4

0г К^СгаС).)'

Зг

В итоге, решение уравнения Лапласа выглядит следующим образом

(18) (19)

1 V

п /(=0

I (и'0с/(ч)+сг"1„(та,) + Сг"КП{пщ))со%{та1^)йт

(20)

Разработана обобщенная модель, учитывающая анизотропию проводимости по трем координатам {г, (р, г}, для каждого слоя ¿-слойной цилиндрически-слоистой среды. Для проводимостей по {г, <р, -} - (I в цилиндрических координатах уравнение Лапласа с учетом Фурье-преобразования имеет вид

дгг

1 диУ

дг

иУ = о

(21)

где (Д{. )2 = Щ, )2 коэффициенты анизотропии.

чч,/ # . Гт

Таким образом, обобщенное уравнение для распределения потенциала в зависимости от проводимости и анизотропии ¿-слойкой цилиндрической среды имеет вид

71 Ь

| (»;»•*(".) ■+ с "'„л;, + с (тли))со5(|яЛ^а1;>//я|

С05"П (22)

51П П<р I

Использование полученного уравнения (22) для решения обратной задачи позволяет восстановить значение удельного сопротивления внутри искомого слоя и, следовательно, определить его анизотропию.

3. Значение потенциала для слоистой цилиндрической структуры определяется путем разложения подынтегрального выражения, содержащего функции Бесселя И-го рода, в многочлен, степень которого зависит от расхождения аналитического решения и полиномиального разложения и определяется заданной точностью численного эксперимента.

poiynoni_s

разложение й пепином ловуктаг^апь^хз выражения :

!n!egrai_s_co$

расчет шге?ралькот аыраадаайя

Найденные распределения потенциалов (13), (14), (20), (22) содержат подынтегральные выражения с функциями Бесселя П-го рода, поэтому аналитическое вычисление соответствующих интегралов представляется затруднительным.

Для вычисления потенциалов слоистой цилиндрической структуры в практических задачах каротажа дегазационных скважин разработан программный комплекс, структура которого приведена на рисунке 2.

С помощью функции разложения в многочлен ро1у-пот_5 вычисляются коэффициенты полинома степени п, который аппроксимирует заданную функцию у(х) методом наименьших квадратов (рис. 3). В результате получается строка длины п+1, содержащая коэффициенты аппроксимирующего полинома. Аппроксимация полиномом связана с вычислением матрицы Вандермонда V, элементами которой являются базисные функ-

п_Ыоу

Дрв ПСОГраИНОГО коыпявкса.

mmixm [■^ш^ч.'е матричнсгэ !

уравнения i

summ _phi вычисление интеграла у. суиымрэьаниё г-? *

summ_uj] еычисяенйе икгеграяа и суммирование по г

Рис. 2. Программный комплекс для решения прямой задачи

1

= xSrjx)K,(x)--Kl(i)iJx)

cos(l')

ЦИИ

(23)

и последующим решением переопределенной системы уравнений

Vp=y(x),

(24)

Рис. 3. Аппроксимация подынтегральной функции

где р - искомый столбец коэффициентов. Функция integral_s_cos возвращает значение подынтегрального выражения. С помощью функции matrix m решается матричное уравнение методом исключения Гаусса и определяется значение искомых констант в зависимости от параметров, переданных ядром программного комплекса n_sloy. Функция n sloy вычисляет значение потенциала на границе в зависимости от количества вложенных цилиндров, их радиусов и значений. С помощью функции summ_phi вычисляется интеграл и проводится суммирование по углу (р, если координаты источника и приемника по оси г совпадают. В противном случае конечное суммирование и вычисление интеграла проводится с помощью функции summ и ij. На ри-

12

сунке 4 представлены результаты применения разработанного алгоритмического и программного обеспечения для решения прямой задачи - восстановления распределения потенциала в узлах сетки в зависимости от заданных значений проводимости в этих точках.

Рис. 4. Наложение сетки на эллиптический объект, задание значений проводимости и расчет потенциала в этих точках

[4ЙГ-:Л4 '•: мы;»« > «« о ьлоцп; о ««¿с?!«*« тюх,» о ойкал г- о «галЛ о; шл*вш*1ат о

4. Соответствие между аналитическим решением и результатом эксперимента для трехслойной цилиндрической среды в изотропном и анизотропном случаях обеспечивается разработанным алгоритмом адаптации низкочастотной электрической томографии.

Обратная задача - восстановление распределения проводимости по значениям тока и потенциала на границе исследуемого объекта, решена методом подбора с использованием критерия минимума ||4Д| - нормы расхождения модельных и экспериментальных данных и-/=А/, который сводится к минимизации функционала

а

(25)

где рт - вес измерения ит, ^Рт=\. Для поиска минимума (25) использовался метод Нелдера - Мида. При этом решение прямой и обратной задач программно реализовано для изотропной модели многослойной среды и для нахождения коэффициента анизотропии в случае трехслойной тонкослоистой среды с изотропным ядром.

Для нахождения распределения проводимости внутри цилиндрических объектов в зависимости от распределения потенциала на границе применялось математическое приложение LCT Software, разработанное на основе пакета EIDORS, который позволяет восстанавливать электрические параметры объектов по измерениям, сделанным на границе (рис. 5).

При решении прямой задачи использовалась известная в электрической томографии полная математическая модель электродов, в которой электрический потенциал и в области £2 с распределением проводимости у удовлетворяет уравнению VyVu = 0. Возникающий электрохимический эффект, в виде тонкого слоя с высоким сопротивлением между поверхностью электрода и тела й, учитывается импедансом 2/.

С учетом того, что I/ - сила тока на Г-ом электроде £, условия на границе исследуемого объекта имеют вид

Рис. 5. Пример наложения сетки на объект цилиндрической формы (на рисунке закрашены поверхности соприкосновения с электродами)

ди Г

ди дп

dS,

(26)

где К/ - напряжение на электроде £/, п - внешний вектор нормали к поверхности рассматриваемого элемента. При этом плотность тока в промежутке между электродами

ди

у-- 0. (27)

Согласно этой модели электродов матрица проводимости А с количеством узлов в сетке равных и, с к элементами и £ электродами имеет вид

"¿с 4

A a A-i

(28)

Здесь

4СУ) = Ае1(У)+4г2(и) = f }'Уф-Щс1хауаг + ^ ( ф^йБ (29)

для у=7 (р1 и ф} - функции, характеризующие форму объекта; Ас, - может быть вычислено методом, предложенным Вавасисом; Ас2 -учитывает контактный импеданс элементов, находящихся под электродами. При этом Ае и Ал определяются следующим образом

KZlJfJ£,

для i=I+n и l=I+L;

A*cu)=[!o!izrl \1\ (3i)

для i,j=l+L. Здесь - поверхность /'-го электрода. Далее рассчитывается вектор / и его ненулевая часть Д для распределения значений потенциала в узлах сетки и„ и потенциалов на электродах Vt

а'[а; Д[?]-£!■ ВД

Решение обратной задачи заключается в нахождении устойчивого решения у, которое минимизирует функцию

/(у) = \ (F(y) - ЮЧЛк) -V) = l 11*00 - VIIя- (33)

где F(y) - нелинейный оператор в задаче с п параметрами (объемными минимальными конечными элементами - тетраэдрами) и т измерениями, а V -вектор значений напряжения для определенных распределений значений силы тока.

В результате решения обратной задачи получено распределение проводимости с погрешностью 50% вблизи электродов и 5-10% в остальной области. При решении обратной задачи и восстановлении распределения сопротивления для модельных данных реализован численный алгоритм для трехслойной среды. В качестве начального приближения выбраны удельные сопротивления в 1-ми 2-м слоях, равные удельному сопротивлению воды при нормальных условиях, а радиус внутреннего слоя - половине радиуса цилиндрического объекта на уровне производимых измерений. Затем начальное

приближение варьировалось в пределах 50% от приведенных значений. При этом решение оказалось устойчивым по отношению к выбору начальных данных. На рисунке 6 приведен результат вычислительного эксперимента, где & = -

и(г=0)

отношение значений потенциалов для электродов, расположенных на одной оси, и электродов, расположенных на одном радиусе, Л - коэффициент анизотропии.

В результате, для пяти серий модельных данных на границе трехслойной анизотропной среды получено

15

Рис. 6. Теоретическая зависимость в от Л и экспериментальные оценки коэффициентов анизотропии

ние не более 9,5% между теоретической зависимостью и результатами эксперимента.

Применение предложенного подхода для обнаружения неоднородно-стей рассмотрено для трех вариантов расположения эллиптического включения вблизи дегазационной скважины (рис. 7):

- объект удален от скважины на расстояние, не превышающее половины мощности угольного пласта;

- объект находится на расстояние половины мощности угольного пласта от скважины;

- объект находится на расстоянии, превышающем половину мощности угольного пласта.

При решении обратной задачи с помощью метода вложенных цилиндров для первого случая определен размер и удельное сопротивление цилиндра с измененной проводимостью (рис. 7, а), линейный размер которого незначительно отличается от размера включения (расхождение не более 8%).

= =>' ЦТ пи^пщ

з з 3 з

а)

4 х 4 х I

3 |

В)

б)

Рис. 7. Определение размеров эллиптического включения в случае его: а) - незначительного удаления от скважины; б) - удаления от скважины; в) - значительного удаления от скважины

Во втором случае возможно только обнаружение включения, поскольку при рассмотрении цилиндра с радиусом большим половины мощности угольного пласта возникает неопределенность, связанная с оценкой проводимости 1-го и 3-го пластов (рис. 7, б). В третьем случае для обнаружения неоднородностей и определения их размеров необходимо использовать две скважины с размещением в одной источника, а в другой - приемника. При этом заменяя проводимость всех трех слоев на усредненную - между 1-ым и 3-им, поскольку на значительном удалении источника и приемника они будут давать наибольший вклад в значение потенциала согласно (7), и применяя цилиндрическую модель, можно определить размеры включения в виде цилиндра, размещенного в однородном слое (рис. 7, в).

Таким образом, предложенный подход позволяет обнаруживать неоднородности и определять их линейные размеры в углепородном массиве при различном удалении включения от дегазационной скважины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача обнаружения неоднородностей на основе моделирования анизотропных слоистых углсродосодержащих структур для обеспечения мониторинга сложных объектов методом электрической томографии, имеющая существенное значение для применения математического моделирования при изучении физических свойств углепородного массива.

В диссертационной работе получены следующие основные выводы и результаты:

1. Обоснована возможность использования дегазационных скважин для исследования сопротивления и структуры угольного пласта по распределению удельного потенциала, измеренного методом низкочастотной электрической томографии. Многообразие вариантов пространственного размещения дегазационных скважин предоставляет уникальные возможности для нахождения включений различной природы.

2. Получено распределение кажущегося электрического сопротивления в зависимости от расположения источника тока на границе многослойной цилиндрически - симметричной среды в изотропном и анизотропном случаях, а также исследовано асимптотическое разложение, в результате которого выявленное расхождение составляет не более 1% от значений потенциала, полученных для аналитического выражения, при отношении поперечного расположения электродов к продольному >10.

3. С использованием адаптированного математического пакета ЕШОЯБ получено распределение проводимости на поверхности углеродосодержащих материалов цилиндрической формы с погрешностью 5-10% в области, соответствующей асимптотическому решению уравнения Лапласа.

4. Разложение подынтегрального выражения, содержащего функции Бесселя П-го рода, в полином степени п>10 обеспечивает достоверную оценку распределения потенциала на границе цилиндрически-слоистой среды.

5. В вычислительном эксперименте с трехслойной анизотропной средой рассчитан коэффициент анизотропии для 5-ти вариантов различных условий. Отличие между значениями, полученными в результате эксперимента и определяемыми с помощью теоретической зависимости, составило не более 9,5%.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

РАБОТАХ

Ведущие рецензируемые научные издания

1. Тайлаков, Д.О. Обнаружение неоднородностей угольного пласта методом каротажа дегазационных скважин / Д.О. Тайлаков // Отдельный выпуск Горного информационно-аналитического бюллетеня. - 2008. - № ОВ4. -М.: МГТУ, 2008. - С. 235-239.

2. Тайлаков, Д.О. Технологии детектирования шахтного метана в малых концентрациях для решения задач мониторинга с учетом требований

Киотского протокола / В.А. Капитанов, Г.Г. Матвиенко, Ю.Н. Пономарев, О.В. Тайлаков, E.JI. Счастливцев, М.П. Макеев, Д.О. Тайлаков // Горный Информационно-аналитический бюллетень. Тематическое приложение Кузбасс. - М.: МГГУ, 2008. - С. 158-163.

3. Тайлаков, Д.О. Неразрушающая диагностика живых деревьев методом низкочастотной электрической томографии / Ю.А. Дашевский, Д.О. Тайлаков // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2007,- Т. 10, №4 (32).-С. 21-31.

Тезисы и доклады научных конференций

4. Тайлаков, Д.О. Дендротомография: математическое моделирование, физический эксперимент / Д.О. Тайлаков // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIV МНСК. - Новосибирск, 2006. - С. 50.

5. Тайлаков, Д.О. Мониторинг электрических характеристик биологических объектов методом электрической томографии / Д.О. Тайлаков / Физика и Эйнштейн : материалы докладов научной конференции. - Красноярск, 2005.-С. 113-117.

6. Тайлаков, Д.О. Низкочастотная электрическая томография природных и техногенных объектов: математическое моделирование, физический эксперимент / Д.О. Тайлаков / Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIII МНСК, геология. - Новосибирск, 2005. - С. 55.

Научные издания

7. Тайлаков, Д.О. Мониторинг эмиссии метана из угольных пластов / О.В. Тайлаков, Д.О. Тайлаков // Уголь Кузбасса. Специальный выпуск, ав-густ-08. - Кемерово, 2006. - С. 74-76.

Подписано к печати 2009 г. Формат бумаги 60*84 1/16 Объем 1.0 п л. Тираж 100 экз. РИО УРАН ИУУ СО РАН 650610, г. Кемерово, ул. Рукавишникова, 21

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОБНАРУЖЕНИЮ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В УГОЛЬНЫХ ПЛАСТАХ.

1.1. Описание цилиндрически-слоистых объектов различной природы.

1.2. Методы, применяемые для исследования свойств пород в электроразведке.

1.3. Модель пространственного распределения кажущегося удельного сопротивления в анизотропных средах.

1.4. Возможность использования дегазационных скважин для зондирования угольных пластов и вмещающих пород электрическим током.

1.5. Выводы.

2. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАЖУЩЕГОСЯ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ

ОТ РАСПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТОКА.

2.1. Потенциал точечного источника постоянного тока на поверхности цилиндрически-слоистой среды.

2.2. Асимптотическое разложение потенциалов в случае больших длин зондов.

2.3. Анизотропия многослойной цилиндрически-слоистой среды.

2.4. Выводы.

3. ПРИМЕНЕНИЕ И АДАПТАЦИЯ ПОЛУЧЕННОЙ МЕТОДИКИ ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР.

3.1. Компьютерное моделирование для горизонтально слоистых сред.

3.2. Программный комплекс для изучения цилиндрически-слоистых объектов.

3.3. Анализ интегральных выражений и сумм для распределения потенциала в цилиндрически-слоистых средах.

3.4. Выводы.

4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА НИЗКОЧАСТОТНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ НА ПРИМЕРЕ РАЗЛИЧНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ -СИММЕТРИЧНЫХ ОБЪЕКТОВ.

4.1 Возможность использования цилиндрически — симметричных объектов для опробования полученных в главе 2 уравнений для потенциала.

4.2. Физический эксперимент для различных симметрично -цилиндрических объектов.

4.3. Восстановление распределения удельного сопротивления на основе данных полученных при физических экспериментах с использованием различных компьютерных программ.

4.4. Выводы.

Актуальность работы. В последнее время в различных отраслях науки и техники, в частности в геофизике и горном деле, интенсивно развиваются методы неразрушающего оперативного контроля состояния объектов и среды их функционирования. В качестве одного из подходов в таких методах используется измерение параметров физических полей (гравитационного, магнитного, электрического, упругих колебаний, термических, ядерных излучений) в соответствующих видах каротажа. При этом в угольной отрасли для обеспечения текущего мониторинга состояния угле-породного массива, изучения его свойств и поиска неоднородностей представляется целесообразным использовать в каротажных измерениях различные виды технологических скважин, которые бурятся для дегазации угольных пластов и выработанного пространства до или в процессе угледобычи. Корректная интерпретация параметров физических полей, полученных в каротажных измерениях, позволит существенно улучшить качество данных о состоянии массива горных пород, а также обеспечить выбор рациональных схем дегазации угольных пластов, способствующих повышению безопасности ведения горных работ и производительности угледобычи.

В качестве основного инструмента исследования возможно использовать низкочастотную электрическую томографию, суть которой заключается в измерении потенциала с помощью электродов на поверхности при протекании тока через прискважинную зону углепородного массива. Набор измерений, получаемых при различных комбинациях токовых и измерительных электродов, позволяет оценить распределение проводимости в исследуемой области угольного пласта. В отличие от вертикальных скважин, применяемых в геофизике, при использовании дегазационных скважин с иным пространственным положением (в пределе - горизонтальным), а также способом обустройства, возникает необходимость разработки новых математических моделей и подходов к их исследованию для получения достоверной информации о свойствах угольных пластов и вмещающих пород.

В этой связи создание моделей произвольно ориентированных слоистых структур в качестве базы для мониторинга объектов различной природы методом электрической томографии является актуальной научной задачей.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами НИР Института угля и углехимии СО РАН на 2007-2009 гг. (научный проект «Особенности процессов деформирования и разрушения массивов горных пород, включающих техногенно нестабильные двухкомпонентные геоматериалы», Блок 3. «Мониторинг изменений окружающей среды в углепромышленных районах в результате техногенного деформирования массивов горных пород», этап 2008 г. «Исследование взаимосвязи эмиссий метана с газообильностью горных выработок и выработанных пространств») и договором № 5/01-07 «Определение (исследование) газоносности угольных пластов 52, 51, 50 и 49 в пределах опытно-промышленного участка горного отвода шахты «Котинская» и лавы № 5203», выполненного по заданию ОАО «СУЭК-Кузбасс» в 2008 г.

Целью работы является моделирования структур углеродосодержа-щих материалов с пространственной анизотропией для обнаружения неод-нородностей при мониторинге объектов различной природы методом электрической томографии.

Идея работы состоит в использовании решения трехмерного уравнения Лапласа в цилиндрических координатах и получении точного решения прямой задачи электрической томографии для исследования свойств различных цилиндрических объектов в изотропном и анизотропном случаях.

Задачи исследования:

- обосновать возможность применения методов низкочастотной электрической томографии для исследования структуры угольных пластов из дегазационных скважин;

- разработать математическую модель распределения удельного электрического сопротивления горных пород в окрестностях дегазационных скважин в изотропном и анизотропном случаях;

- разработать математическую модель распределения кажущегося удельного сопротивления горных пород для обнаружения неоднородно-стей и включений различной природы в угольных пластах;

- провести вычислительный эксперимент по апробации моделей в заданной цилиндрически-симметричной среде посредством решения прямой и обратной задач электрической томографии.

Методы исследования. В работе использовалось решение прямой задачи на основе уравнения Лапласа в цилиндрических координатах для электрической томографии; численные методы линейной алгебры для анализа полученных решений; метод минимизации Нелдера-Мида для решения обратной задачи низкочастотной электрической томографии; асимптотическое разложение цилиндрических функций Бесселя для анализа полученных решений.

Научные положения, выносимые на защиту:

- в асимптотическом приближении распределение потенциала источника постоянного электрического тока в углепородном массиве обратно пропорционально удельной проводимости угольного пласта и неоднородных включений, которые могут быть обнаружены путем изменения взаимоположения источника постоянного тока и приемника в горизонтальных дегазационных скважинах;

- распределение потенциала в цилиндрически-слоистых средах в при-скважинной зоне в общем случае ^-вложенных цилиндров с трехмерной анизотропией записывается в явном виде при решении уравнения Лапласа;

- значение потенциала для слоистой цилиндрической структуры определяется путем разложения подынтегрального выражения, содержащего функции Бесселя П-го рода, в многочлен, степень которого зависит от расхождения аналитического решения и полиномиального разложения и определяется заданной точностью численного эксперимента;

- соответствие между аналитическим решением и результатом эксперимента для трехслойной цилиндрической среды в изотропном и анизотропном случаях обеспечивается разработанным алгоритмом адаптации низкочастотной электрической томографии.

Обоснованность и достоверность научных положений и результатов

1) подтверждается:

- результатами аналитического решения уравнения Лапласа, полученного для распределения потенциала цилиндрически-слоистых сред, и его асимптотического разложения (расхождение не более 1% для отношения поперечной длины зонда к продольной >10);

- удовлетворительным совпадением (расхождение не более 10%) результатов тестового численного решения прямой и обратной задач для цилиндрически-симметричных объектов с заранее известными параметрами;

2) обеспечивается:

- корректным аналитическим решением уравнения Лапласа для распределения потенциала в неоднородной среде в цилиндрических координатах;

- представительной серией физических экспериментов, поставленных на углеродосодержащих объектах, и соответствием полученных результатов численному моделированию.

Адекватность предложенной модели подтверждается опытом низкочастотной электрической томографии, а для цилиндрических объектов -дополнительно поставленной серией численных экспериментов с расхождением не более 9,5% относительно результатов теста.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- расширена область применения электрического каротажа для обнаружения из дегазационных скважин с пространственной ориентацией, отличной от вертикальной, неоднородностей в углепородном массиве с линейными размерами, свойственными геологическим нарушениям и включениям;

- получено строгое аналитическое решение уравнения Лапласа для распределения потенциала на границе многослойной цилиндрически-анизотропной среды в зависимости от расположения источника тока;

- создан программный комплекс, для которого реализован численный эксперимент, с возможностью вариации количества внутренних слоев и свойств изотропных и анизотропных углеродосодержащих объектов, для определения потенциала слоистой цилиндрической структуры при каротаже дегазационных скважин;

- адаптирован метод низкочастотной электрической томографии для слоистой модели вложенных цилиндров, заключающийся в нахождении распределения проводимости в зависимости от расположения источника постоянного тока и значений потенциала на заданных границах цилиндрического объекта.

Личный вклад автора состоит:

- в обосновании возможности применения электрической томографии для исследования угольных пластов с использованием действующих дегазационных скважин;

- в разработке математической модели распределения потенциала на границе цилиндрической среды и проведении анализа полученных решений с помощью асимптотических разложений;

- в компьютерной реализации метода решения прямой и обратной задачи восстановления удельной проводимости среды в зависимости от значений силы тока и распределения потенциала на границе исследуемого объекта;

- в проведении вычислительного эксперимента применительно к различным цилиндрическим объектам и обобщении результатов анализа.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для:

- мониторинга состояния прискважинной зоны в углепородном массиве в процессе или до ведения угледобычи на основе предложенного подхода для определения удельной проводимости в цилиндрически-слоистых средах;

- электрического каротажа геолого-геофизических объектов более сложной структуры на основе полученных решений уравнения Лапласа для распределения потенциала на границе многослойной цилиндрической среды,

- разработки технических требований к оборудованию и регламента его применения для обнаружения различных образований в угольном пласте (неоднородностей, пустот или включений) на основе разработанного программного комплекса.

Реализация работы. Результаты исследований и разработанный подход использованы для определения газоносности угольных пластов в пределах горного отвода шахты «Котинская».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научной конференции «Физика и Эйнштейн» (Красноярск, 2005), XLIII и XLIV международных конференциях студентов и молодых ученых «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005, 2006), Международном форуме «Проблемы и перспективы инновационного развития экономики Кузбасса» (Кемерово, 2008), на научных семинарах ИУУ СО РАН (Кемерово, 2007-09).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, куда входят (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе — объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (1.19/0.65 печ. л.), 1 - в научных изданиях (0.13/0.07 печ. л.), 3 — в тезисах и докладах международных и всероссийских конференций (0.38/0.38 печ. л.).

Структура и объем работы. Работа состоит из 4 глав на 127 страницах и содержит 54 рисунка, 6 таблиц, список литературы из 64 наименований и 6 приложений.

4.4. Выводы

1. Обоснована возможность использования различных цилиндрических объектов для апробации метода низкочастотной электрической томографии.

2. С использованием адаптированного математического пакета EI-DORS получено распределение проводимости на поверхности углеродосо-держащих материалов цилиндрической формы с погрешностью 5 - 10% в области, соответствующей асимптотическому решению уравнения Лапласа.

3. Приведено сравнение решение обратной задачи с помощью уже имеющегося пакета программ EIDORS и с предложенным методом решения на основе уравнений полученных в главе 2 и метода Нелдера - Мида.

4. Показано, что для решения обратной задачи в цилиндрически-слоистой тонкослоистой среде ненадежно использовать пакет программ EIDORS ввиду высокой погрешности.

5. Проведенные сезонные наблюдения за живым деревом выявили, что коэффициент анизотропии не зависит от сезонных вариаций сопротивления. И скорее всего, величина анизотропии связана с системой годичных колец имеющих тонкослоистую структуру и медленно изменяющуюся со временем.

6. В вычислительном эксперименте с трехслойной анизотропной средой рассчитан коэффициент анизотропии для 5-ти вариантов различных условий. Отличие между значениями, полученными в результате эксперимента и определяемыми с помощью теоретической зависимости, составило не более 9,5%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача обнаружения неоднородностей на основе моделирования анизотропных слоистых углеродосодержащих структур для обеспечения мониторинга сложных объектов методом электрической томографии, имеющая существенное значение для применения математического моделирования при изучении физических свойств углепород-ного массива.

В диссертационной работе получены следующие основные выводы и результаты:

1. Обоснована возможность использования дегазационных скважин I для исследования сопротивления и структуры угольного пласта по распределению удельного потенциала, измеренного методом низкочастотной электрической томографии. Многообразие вариантов пространственного размещения дегазационных скважин предоставляет уникальные возможности для нахождения включений различной природы.

2. Получено распределение кажущегося электрического сопротивления в зависимости от расположения источника тока на границе многослойной цилиндрически - симметричной среды в изотропном и анизотропном случаях, а также исследовано асимптотическое разложение, в результате которого выявленное расхождение составляет не более 1% от значений потенциала, полученных для аналитического выражения, при отношении поперечного расположения электродов к продольному >10.

3. С использованием адаптированного математического пакета EI-DORS получено распределение проводимости на поверхности углеродосодержащих материалов цилиндрической формы с погрешностью 5 — 10% в области, соответствующей асимптотическому решению уравнения Лапласа.

4. Разложение подынтегрального выражения, содержащего функции Бесселя П-го рода, в полином степени п>10 обеспечивает достоверную оценку распределения потенциала на границе цилиндрически-слоистой среды.

5. В вычислительном эксперименте с трехслойной анизотропной средой рассчитан коэффициент анизотропии для 5-ти вариантов различных условий. Отличие между значениями, полученными в результате эксперимента и определяемыми с помощью теоретической зависимости, составило не более 9,5%.

1. Федынский В. В., Разведочная геофизика, М.:Недра, 1967, 672с.

2. Соколов К. П., Геофизические методы разведки, М.: Недра, 1966, 230с.

3. Ясашин А. М. Вскрытие, опробование и испытание пластов. М., Недра, 1979. 344 с.

4. Жданов М.С. Электроразведка. М.: Недра, 1986. 316 с.

5. Кауфман А.А. Введение в теорию геофизических методов. Часть 1. Гравитационные, электрические и магнитные поля. М.: Недра, 1997. 520 с.

6. Габдуллин Т. Г. Оперативное исследование скважин. М., Недра, 1981,213 с.

7. Barber D. С., Brown В. Н. Applied potential tomography. J. Phys. E: Sci. Instrum. 1984. V. 17. № 9. P. 723.

8. Breckon W.R., Image reconstruction in Electrical Impedance Tomography. Ph.D. Thesis, Oxford Brookes Polytechnic, 1990. 140 p.

9. Dines K.A., Lytle R.J. Analysis of electrical-conductivity imaging. Geophysics vol. 46, 1981. pp. 1025-1036.

10. Baysal U. and Eyuboglu B.M. Use of a priori Information in Estimating Tissue Resistivities application to measured data. Physics in Medicine and Biology, Vol.44, No.7, 1999. Pp. 1677-1689.

11. Gunther Т., Tree tomography, http://www.resistivity.net.

12. Якубовский Ю.В., Ляхов Л.Л. Электроразведка. М., Недра. 1974, 304с.

13. И.Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе. Л.: Недра, 1980, 391 с.

14. Уэйт Дж.Р. Геоэлектромагнетизм Пер.с англ. М.:Недра, 1987, 235 с.

15. Матвеев Б.К. Электроразведка при поисках месторождений полезных ископаемых. М., Недра, 1982, 196 с.

16. Ватсон. Г. Н., Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949, 799 с.

17. Ослон А.Б., Делянов А.Г., Расчет электрического поля на поверхности слоистого грунта с использованием рекуррентных формул. Динамика электромеханических систем. Тула., 1978. с.45-74.

18. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1951. 660 с.

19. Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки. М.: Недра, 1973, 256с.

20. Хмелевской В.К., Шевнин В.А. Электрическое зондирование геологической среды, ч.1. М., 1988. 245 с.

21. Тайлаков О.В., Тайлаков Д.О. Мониторинг эмиссии метана из угольных пластов. Уголь Кузбасса. Специальный выпуск, август-08. Кемерово, 2006. - с. 74-76.

22. Николин В.И., Балинченко И.И., Симонов А.А. Борьба с выбросами угля и газа в шахтах М.: 1981. 304 с.

23. Малышев Ю.Н., Айруни А.Т. Комплексная дегазация угольных шахт. М.: 1999. 328 с.

24. Мясников А.А.Труды ВостНИИ. Эффективные способы дегазации угольных пластов. Т.ЗО ГХ.-М.: Недра, 1978. 144 с.

25. Тайлаков, Д.О. Обнаружение неоднородностей угольного пласта методом каротажа дегазационных скважин. Отдельный выпуск Горногоинформационно-аналитического бюллетеня. 2008. - № ОВ4. - Москва: МГГУ, 2008, - с. 235-239.

26. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Том 2. М.: Наука, 1974. 296 с.

27. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

28. Аммосов И.И., Еремин И.В., Бабинкова Н.И. Петрографические особенности и свойства углей. М: Недра, 1963. 380 с.

29. Moore E.S., Coal, its properties, analysis, classification, geology, extraction, uses and distribution. Chapman & Hall, Limited. 1950. 473 p.

30. Тайлаков Д.О. Дендротомография: математическое моделирование, физический эксперимент. Материалы XLIV МНСК «Студент и научно-технический прогресс», геология. Новосибирск, 2006г, с 50.

31. Тайлаков Д.О. Мониторинг электрических характеристик биологических объектов методом электрической томографии. Материалы докладов научной конференции «Физика и Эйнштейн». Красноярск, 2005г, с. 113-117.

32. Дашевский Ю. А., Тайлаков Д. О. Неразрушающая диагностика живых деревьев методом низкочастотной электрической томографии. Сиб. журн. индустр. матем., 2007, с 21-31.

33. Тайлаков Д.О. Низкочастотная электрическая томография природных и техногенных объектов: математическое моделирование, физический эксперимент. Материалы XLIII МНСК «Студент и научно-технический прогресс», геология. Новосибирск, 2005г, с. 55.

34. Korenev B.G. Bessel Functions and Their Applications. CRC. 2002. 376p.

35. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963.224 с.

36. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. 168 с.

37. ГрадштейнИ.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

38. Bell W.W. Special Functions for Scientists and Engineers. Dover Publications. 2004. 272p.

39. Кнут Д.Е. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. 832 с.

40. А1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 630 с.

41. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

42. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М., Наука, 1972. 400 с.

43. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

44. Белашов В.Ю. Специальные функции и алгоритмы их вычисления. М.: Магадан, 1997. 243 с.

45. ЯнкеЕ., Эмде Э., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука 1964. 344 с.

46. Люк Ю. Специальные функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 608 с.

47. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.312 с.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 832 с.

49. Кузьмин Р. О. Бесселевы функции. Л.-М.: ГТТИ 1933. 152 с.

50. Lionheart W.R.B., Arridge S.R., Schweiger М., Vauhkonen М., and Kai-pio J.P. Electrical Impedance and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software. 1st world congress on industrial process tomography, Buxton, 1999. pp. 75-88.

51. Vauhkonen M., Lionheart W.R.B., Heikkinen L.M., Vauhkonen P.J. and Kaipio J.P. A matlab package for the EIDORS project to reconstruct two-dimensional EIT images. Physiol. Meas., vol. 22, 2001. Pp. 107-111.

52. Borceu L., J.G. Berryman, and G.C. Pananicolaou. A non-linear multugr-id for imaging electrical conductivity and permittivity at low frequency. Inverse Problems, vol. 17. 2001, pp. 329-359.

53. Schoberl J., Netgen: A three-dimensional mesh generator software. http://www.hpfem.jku.at/netgen/

54. Earl S.J., Estimation for subsurface electrical resistivity values in 3d. Ph.D. thesis, University of Bristol, Bristol,UK, 1998. 170 p.

55. Somersalo E., Cheney M. and Isaacson D., Existence and uniqueness for electrode models for electric current computed tomography. SIAM J. Appl. Math., vol. 52, 1992, pp. 1023-1040.

56. Vavasis S., Stable finite elements for problems with wild coefficients. SIAM J. Numer. Anal. vol. 33, 1996. pp. 890-916.

57. Булыгин H. E., Ярмишко В. Т., Дендрология. М.: МГУЛ, 2003. 528 с.

58. Швамм Е.Е., Древесиноведение. http://www.drevo.boom.ru

59. Blue R.S., Isaacson D., Newell J.C., Real-time three-dimensional electrical impedance imaging. Physiol. Meas, vol. 21, 2000. pp. 15-26.

60. Lagarias, J.C., J. A. Reeds, M. H. Wright, and P. E. Wright, Convergence Properties of the Nelder-Mead Simplex Method in Low Dimensions. SIAM Journal of Optimization, Vol. 9 Number 1, 1998. pp. 112-147.

61. Polydorides N., Image reconstruction algorithms for soft-field tomography. Ph. D. thesis, UMIST, Manchester, 2002. 180 p.

62. Goble J.C. , The three-dimensional inverse problem in electric current computed tomography. Ph.D. Thesis, RPI, 1990. 156 p.

63. Шауб Ю. Б., Шауб С. К. Электрометрия для экологических и биофизических исследований. М.: Наука, 1992. 192 с.