автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование инерционно-импульсных объектов составными системами дифференциальных уравнений

На правах рукописи 003457309

ГАЛКИН Александр Васильевич

ми

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЕРЦИОННО-ИМПУЛЬСНЫХ ОБЪЕКТОВ СОСТАВНЫМИ СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 2 ДЕН 2000

Воронеж-2008

003457369

Работа выполнена в ГОУВПО «Липецкий государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Блюмин Семен Львович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Барабанов Владимир Федорович;

кандидат технических наук, доцент

Белецкий Андрей Валерьевич

Ведущая организация

ГОУВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»

Защита состоится «25» декабря 2008 г. в Ю00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУВПО ' «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Питолин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При математическом моделировании современных технических устройств возникают сложные составные системы нелинейных дифференциальных уравнений. При их исследовании возникает необходимость в получении не только численного, но и приближенного аналитического решения. Важными задачами являются оптимизация параметров таких устройств, разработка соответствующих комплексов программ.

Сложность оптимального выбора параметров моделей технических систем заключается в том, что для моделей, заданных составными системами нелинейных дифференциальных уравнений, невозможно получить явные аналитические представления оптимизируемых функций. Возникает необходимость оптимизации функционалов, заданных неявно.

Актуальность работы определяется необходимостью разработать математический аппарат, позволяющий выбирать параметры моделей сложных технических объектов, заданных составными системами уравнений, обеспечивающий оптимальную работу конструкции. Оптимальный выбор параметров на этапе математического моделирования необходим для конструирования опытных образцов.

Примером таких устройств являются инерционно-импульсные системы, включающие инерционные трансформаторы вращающего момента (ИТВМ), импульсные вращатели, механизмы-нагружатели, центробежные динамические соединительные устройства.

ИТВМ является бесступенчатой передачей механического типа, обладающей внутренним автоматизмом, то есть способностью автоматически изменять передаточное отношение в зависимости от угловой скорости выходного вала и величины нагрузки внешнего сопротивления.

ИТВМ в настоящее время не получили достаточного распространения по причине недолговечности механизма свободного хода (МСХ), так как в инерционной передаче МСХ работают постоянно с высокой частотой и большой нагрузкой.

Для того, чтобы создать промышленные образцы, необходимо провести теоретические и экспериментальные исследования.

Работа выполнена по плану Министерства образования и науки Российской Федерации. Номер государственной регистрации научно-исследовательской работы (НИР): 01.2.00312560. Тема НИР: «Оптимизация использования инерционно-массовых сил в автоматических силовых системах механики».

Целью работы является моделирование инерционно-импульсных систем составными системами дифференциальных уравнений и оптимизация параметров данных объектов.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи исследования:

• проведение анализа существующих методов и алгоритмов построения математических моделей сложных технических систем и алгоритмов оптимизации параметров;

• получение приближенного аналитического решения математической модели инерционного трансформатора и сравнение полученных аналитических решений с численным решением;

• разработка численных методов оптимизации параметров модели и программная реализация данных методов;

• разработка математической модели рабочего процесса ИТВМ с учетом упругих свойств эксцентриково-клиновых МСХ;

• разработка алгоритма построения внешней характеристики ИТВМ;

• разработка программ, позволяющих конструкторам получить все необходимые данные и характеристики рабочего процесса и модели ИТВМ и рекомендуемые оптимальные параметры.

Методы исследования базируются на применении методов математического моделирования, теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений, теории оптимизации, численных методов вычислительной математики.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

• математическая модель рабочего процесса ИТВМ, отличающаяся учетом упругих свойств эксцентриково-клиновых МСХ с дополнительной кинематической связью сдвоенного исполнения с силовым уравновешиванием, представляющая собой составные системы нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений;

• решение математической модели, заданной составной системой нелинейных дифференциальных уравнений, методом малого параметра, отличающееся возможностью получить аналитические представления для скоростей вращения реактора, ведущего и ведомого валов;

• алгоритм оптимизации приведенного момента инерции реактора, отличающийся применением неявных методов Гаусса-Ньютона и Левенберга-Марквардта, использующий значение функции только в одной «плавающей» точке;

• алгоритм построения внешней характеристики инерционного трансформатора, отличающийся рассмотрением данной задачи как нелинейной задачи о наименьших квадратах и использующий специальные методы ее решения.

Практическая значимость работы заключается в разработке и внедрении в практику методов оптимального выбора параметров ИТВМ для < решения задач проектирования автоматических бесступенчатых передач.

Разработанные математические модели и алгоритмы оптимизации параметров ИТВМ и программное обеспечение могут быть использованы

предприятиями автомобильной промышленности в процессе создания автоматических трансмиссий мобильных машин.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические и практические результаты работы были применены на опытно-экспериментальном заводе «Гидромаш» для моделирования инерционного бесступенчатого автоматического трансформатора вращающего момента на автобус ЛиАЗ-677М. Предложенные методы выбора оптимальных параметров ИТВМ позволили при моделировании автоматической трансмиссии городского автобуса обеспечить оптимизацию ее рабочего процесса.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров по специальностям «Прикладная математика» и «Автомобиле- и тракторостроение».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: IV Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2005); Международной научно-технической конференции «Проектирование колесных машин», посвященной 70-летию кафедры «Колесные машины» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2006); конференции «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (Липецк, 2006); Международной научной конференции «Сложные системы управления и менеджмент качества СС5<ЗМ'2007» (Старый Оскол, 2007); II научной конференции молодых ученых «Управление большими системами» (Воронеж, 2007); XIII Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (Воронеж, 2007); XI Международной научно-практической конференции «Проблемы экологии и экологической безопасности Центрального Черноземья РФ» (Липецк, 2007), XVI Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы и достижения автотранспортного комплекса» (Екатеринбург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: [1] - предложен приближенный аналитический метод решения систем дифференциальных уравнений; [4] -сформулирован критерий оптимизации параметров ИТВМ; [5] - найдено аналитическое решение математической модели ИТВМ; [6] - предложен неявный метод оптимизации параметров ИТВМ; [11] - получено решение математической модели ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ; [12] -реализовано моделирование режимов работы автобуса; [13] - реализованы алгоритмы оптимизации параметров ИТВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 92 наименований, приложения.

Основная часть работы изложена на 126 страницах, содержит 34 рисунка и 16 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи диссертационного исследования, представлены основные научные результаты, определены их научная новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание работы по главам.

В первой главе проведен обзор литературы по задачам оптимизации параметров моделей, заданных с помощью систем дифференциальных уравнений. Данную задачу можно рассматривать как неявную задачу о наименьших квадратах, для которой разработаны специальные методы решения, такие как демпфированный метод Гаусса-Ньютона и метод Левенберга-Марквардта. Рассмотрены вопросы оптимизации неявных технологических связей.

Проведен обзор инерционно-импульсных систем, задаваемых составными системами дифференциальных уравнений, в частности, инерционных трансформаторов вращающего момента, являющихся автоматическими бесступенчатыми передачами. Проведен анализ тенденций развития импульсных передач. Рассмотрены основные конструктивные схемы ИТВМ. Их можно классифицировать по следующим направлениям:

- работающие на принципе использования тангенциальных сил инерции колеблющегося массивного звена;

- работающие с использованием центробежных сил инерции вращающегося маховика.

Математической моделью инерционного трансформатора являются составные системы дифференциальных уравнений, описывающие рабочий процесс движения на различных участках цикла. Эти системы дифференциальных уравнений являются нелинейными, нестационарными. Точное аналитическое представление решения данных систем получить нельзя. Между тем оно необходимо, так как в целевую функцию задачи оптимального выбора параметров ИТВМ входят решения систем уравнений математической модели.

Таким образом, задачей, поставленной в работе, является поиск оптимальных параметров моделей сложных технических систем, задаваемых составными системами дифференциальных уравнений.

Во второй главе производятся математическое моделирование рабочего процесса ИТВМ, решение полученных систем дифференциальных уравнений методом малого параметра, сравнение полученных приближенных аналитических решений систем с численным решением методом Рунге-Кутта.

Математическая модель автоматической передачи, использующей один-импульс инерционного момента, состоит из четырех систем дифференциальных уравнений, описывающих один из тактов циклического рабочего процесса.

4

Участок разгона реактора:

ÍA(v)?>2, + В2 (ц/)ф„ - 5, (у)(ф2, - ф22 )2 + В6 {ц/)ф\2 = мд,

js2 (v)ipn + В,ф22 - В6 (ИЙ =0, (1)

J„ip, =-мс.

Условием перехода является достижение угловой скорости реактора угловой скорости ведомого звена, т.е. íz>,(/1) = <ó22(0- В момент времени t¡ происходит переход рабочего процесса во второй такт.

Участок совместного движения реактора и ведомого звена:

f +Й2(С)¥>22 -Bt(i//){p2í -ф12У = Мд, ^

\вАЧ>)Фи+В1<ргг-Вь(у/)ф1, = -Мс.

Условием перехода является поворот сателлита в относительном

движении на ж радиан, т.е. ¡pv(¡2)-<p22{t2) = —- В момент времени /2 происходит

а

переход рабочего процесса в третий такт. Участок торможения реактора:

\в,{ц/)ф2, + В2(ц/)ф22 - Вл(<//)(ф2[ -ф12У +В6(1//)ф21 = МД,

js2 {чАФъ + в,ф21 - в6 (^Й =0, (3)

Jn<p, =~мс.

Условием перехода является достижение реактором угловой скорости равной нулю, т.е. ф22(г}) = 0. В момент времени t, происходит переход рабочего процесса в четвертый такт. Выстой реактора:

A (v)Pn + А = Мд, ^

Jn<Px = ~Мс-

Условием перехода является поворот сателлита в относительном

движении на 2к радиан, т.е. <ри (tt) - <р22 (/„) = —,

а

где Bt(i//) = J2t +пте2 +2nmed(\ + a)cosi// + nJr(l + a)г, B2(i//) = ~anJr(l + a)-nmaedcosiy, В, = J22 +nJra2,

В, (у) = nmaed(\ + a)sm i//, Bs = В, +J„, B6 ({/) = nmaedsin ty, y/(t) = a((p2l - q>22), a - внутреннее передаточное отношение; n - число грузовых звеньев; т - масса грузового звена; d - расстояние от оси вращения грузового звена до его центра тяжести; г - расстояние от оси вращения ИТВМ до оси вращения грузового звена; J2¡ - приведенный момент инерции ведущих элементов; J22 - приведенный момент инерции ведущей части реактора; Jn - приведенный момент инерции ведомых элементов; Jr - приведенный момент инерции грузового звена.

Начальные условия для первого участка" <¿21 (0) = (i>2l (0) = <¿>210, <Рп (0) = <Рпо, фп (0) = Ф22а, Р, (0) = <рт, <z>, (0) = фха.

В качестве начальных значений для последующих участков используются конечные значения предыдущего участка, что вытекает из непрерывности процесса.

Построена модель ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ. В этом случае связь между ведомым валом и реактором на втором такте работы принимается не жесткой, а упругой. Математическая модель такой передачи будет включать в себя на втором и четвертом такте упругий момент. Уравнения первого такта имеют вид (1). Уравнения второго такта

[я, (у/Ж, + Вг {\¡/)q>22 - Д, (уХФп - фгг f + В6 (Iи)ф\2 = мд, IВ2 {V)iplx + В,фп - В6 (y/)<pl¡ + (Р, ((</>г2 - <Рп ) - (Р, - )) + А) + ■/» I Фг2 != 0. (5)

Условиями перехода являются [(p2i('2)-^)-(í>22('2)-«?h)J= Wa и <z>22((2) = 0. Третий такт имеет такие же уравнения, как и первый такт. Уравнения четвертого такта

я,(!/)&, +Вг(ч/)фа-В^ч/)(ф„ -Фи)2 +В6(1//)фг21=Мд,

■ ВМУФп + ~ Wtó -9'2)+P,)+Ja\№ 1=0. (6)

J\V I = -Мс.

Условиями перехода являются ^1Х(^)-9п)-((1>22Ц<)-<р22)\=2л1 а и

Выражения P¡ {(<рп - <р'22 )-(<p¡- tpf )) + Р2 и Р} (<р12 - <р'£)+Р4 являются упругими моментами и входят в уравнения в линейном виде. Коэффициенты Р{,Рг, Р„ Pt определяют жесткость пружины и материалов между ведомым валом и реактором.

Для дальнейшего исследования ИТВМ получено приближенное аналитическое решение систем уравнений методом малого параметра. Типичным примером является система (1). Малый параметр вводится в нее * следующим образом:

А,ф2,+А2ф22 + и(а,(р)Ф21 + а2{Ч')Ф22 -Фи)1 +Аб^)Фп) = /мд, ^

Л2фг, + А,фп + ц(а2{ц/)ф1Х - А6(ч/)ф\{) = 0, где А, = J2I + пте1 + njr (\ + а)1, а, (if) = 2nmed(\ + a) eos у/,

Аг = -ап/г(1 + a),a2(t//)-nmaedC0S(í/, A, =J21 ±nJra2, A,(ty) = nmaed(\ + a)sin^, А (V) = nmaed sin Ц/.

Решение системы (7) представляется в виде

<Pn(t) = 4>¡, (0+WÍl О + Mi (') + -, ^

<Р22 (0 = Фи (0 + М<Рп (')+ ^22 (') + •■•

После подстановки рядов (8) в уравнения (7) и задания р. = О получается порождающая система уравнений

ШS2I + Агфп = О, {А2ф21 + А,ф22 =0.

Решение последних при начальных условиях

/ = 0,Р2,(0) = <рт,фи{0) = Фгю,<?п{0) = <»22(0) = ¿>220, МО) = <0,0,^(0) = принимает вид

ÍPi.C ) = Pj,o+!»2IÍA ^

VnC'^f^O+PW'

Порождающее решение (9) позволяет найти последующие приближения. В рядах (8) рассматриваются два слагаемых. В уравнении (7) приравниваются коэффициенты при ¡i, получается

¡Ap'i, + АФп - Ло(й-Фп)1 +ЛоФп =МД> ^

+ АиФп =0.

где Л40, Аса - первые члены разложений в ряды коэффициентов А„ Ай, Л40 = nmade(\ + а) sin - ip21), Ат = nmade sin a(<p¡¡ - <г>22).

Далее решается система уравнений (10) как линейная алгебраическая относительно Ф1, и ф\г

ф\х (i) = i D¡ sm(£l + а0)-^ Л/д,

Фп O = j£>ism(Я+ + где D¡ = [-А,птЫе(1+а)(ф2Ю-фи0)2 +птас!е(А1фт1 + А,ф2202)], D\ =[A2nmade(\ + а)(ф2Ю-ф220)2 - nmade(A,p2l02 + А2ф22а2)], A = A¡- А,А„а0 = а(<рш -<рш), б = а{ф2,0 - ф220) Решается первое из уравнений (11). В итоге получается выражение для второго члена ряда (8)

(О = C,V + - —L-sí^ÍÍ + аа)--j- Мд/2 As 2А

Решается второе уравнение (11), получается Де 2Д

В рядах (8) берутся два члена, получается аналитическое приближенное решение системы (1)

D' А

<?2, W = <Рг,0 + с; + (ф2,0 + c¡)tVsin(£í + а0)--j-Mjt2, As 2 А

Vil С) = <»220 + с; + (<»220 + С! )« - -—Т^Я +

(И)

Третье уравнение системы (1) решается отдельно, получается

/ > • Мс 2

й (') = ?>,о+<®|о'-77-' •

/7

Аналогично получается решение системы (2)

(0 = ^2.о + С22 + 0р2| О + С,2 V - -^йпф + а0)-£:Мс12-£-Мм12, &е 2Д 2Д

021 С) = ^220 + С4 + №220 + С,2)/ - Д-8Ш(Й + а0) + + ,

Дг 2Д 2Д

где £>,2 = [-Л5лтакйг(1 + в)(р210 -^220)2 + птаЫе{Агфш2 + А^фш2)},

02г = [Л2шяшйг(1 + я)(021О - р220)2 - птайе{А^ф1Х2 + А2ф2202)],

& = А2- А,А,,а„ = а{/р2Ю -(р11а), е = а(фш -ф210).

Система (3) совпадает с системой (1), поэтому аналитическое выражение его решения совпадает с решением системы (1).

Решаются отдельно два уравнения системы (4). Получается

9п (0 = <Р2,0 + с; + (ф2Ш+С,')/ -~зю(£/ + а0) + ^12,

£ ¿.Л|

,- ■ МГ 2

<Р\(') = <Р\о+<Рю1~-Т~Г-1 • и п

где Д4 ~^-птайе{\ + а), а0 = а(<рш-(Э220),£ = а(фш-?>220).

Л

На рис. 1 представлено решение систем (1)-(4) методом малого параметра и численным интегрированием методом Рунге-Кутта со следующими данными < = 0,5,^2|0 = 0,ф2Ю =418с\<р22а = Ос"',^220 -Ос'[,<р1а = 0с"',^1О = ¡-ф1Ю с', У21 = 0,2645 кг ■ м2, У22 = 0,0343 кг ■ м2, п = 5, т = 1,205 кг, а = 1,13, е = 0,099 м, (12)

=10,3кг-м2,<* = 0,0188м, Мд =130Нм,Л/с =Мд/ Н-м,Уг = 0,00196 кг-м2.

Из сравнения аналитического решения систем (1)-(4) с численным решением методом Рунге-Кутта, представленного на рис. 1, видно, что полученные аналитические представления достаточно точно описывают рабочий процесс ИТВМ.

Таким образом, получена математическая модель рабочего процесса ИТВМ с учетом упругих свойств. Найдено приближенное численное и приближенное аналитическое решение модели трансформатора без учета упругих свойств. Аналитическое решение математической модели ИТВМ с учетом упругих свойств на первом такте совпадает с решением для модели без учета упругих свойств МСХ.

В третьей главе рассматривается вопрос оптимизации параметров инерционного трансформатора вращающего момента, математической моделью которого являются составные системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих рабочий процесс движения на различных участках цикла.

Рис. I. Графики изменения скоростей фи,фгг, фк, полученные решением систем (3)-(6) методом малого параметра и методом Рунге-Кутта

Задача оптимизации рабочего процесса сводится к нахождению параметров, обеспечивающих выход рабочего процесса ИТВМ в установившийся режим работы. Установившейся режим работы заключается в том, что значения скоростей по окончании цикла работы совпадают со значениями скоростей в начале цикла.

Критерий оптимизации можно записать следующим образом: найти 1

а^тт/ОО, где /(х) = ^(фЦх,0-ф"0))1, ф[ - значение скорости ведомого с 1=0 маховика в конце цикла, ф" - значение скорости ведомого маховика в начале цикла, х - оптимизируемые параметры. На оптимизируемые значения параметров х накладываются следующие ограничения: хтп < х < х11ШЧ. Значения хгт и л'тач определяются из физических соображений.

Заменяем минимизируемую функцию на следующую

I

/(*) =(*,')-й0г, где ф^ - значение угловой скорости реактора в конце

>=о

участка разгона, » - начальное значение скорости ведомого маховика, так как из практических наблюдений получено, что чем дольше длится участок разгона реактора, тем меньше расхождение значений скоростей в начале и по окончании цикла. При этом при всех значениях передаточных отношений / скорость реактора должна достигать скорости ведомого звена. Теперь значения, входящие в минимизируемую функцию, зависят только от решения системы уравнений, описывающих участок разгона реактора.

Поставленная задача допускает трактовку как неявная нелинейная задача о наименьших квадратах (НЗНК), для решения которой разработаны специальные методы, такие как метод Гаусса-Ньютона, метод Левенберга-Марквардта. Данные методы учитывают структуру задачи оптимизации и могут применяться для оптимизируемых функций, заданных неявно.

Для поиска оптимальных параметров применен демпфированный метод Гаусса-Ньютона. Шаг итерационной процедуры алгоритма Гаусса-Ньютона записывается в виде х+ = - Л(3Г (х0)3(х0))~' (x0)/(xj. Выбирается первое удачное Л из набора {1; 0,5; 0,25; 0,125; ...}, удовлетворяющее неравенству Ж W) </(*„)•

„ 1

В итоге решается следующая задача: наити х„ = argmin—1[ У<дг) || при

заданной системе дифференциальных уравнений (1).

Значение функции отклонения представляет интерес только в конце участка разгона реактора, то есть в той точке, когда скорость реактора становится равной скорости ведомого вала. Поэтому при оптимизации используется значение функции только в одной точке. Так как при разных значениях параметров точка, в которой скорость реактора становится равной скорости ведомого маховика, изменяется, то и значение функции каждый раз считается в новой точке. Значение функции вычисляется методом Рунге-Кутга четвертого порядка, то есть не используются аналитические решения системы дифференциальных уравнений. Поэтому этот метод оптимизации назван неявным методом Гаусса-Ньютона с «плавающей точкой».

Для реализации этого метода необходимо знать производные оптимизируемой функции по параметрам. Для нахождения этих производных использовалось приближенное аналитическое решение системы (1), полученное методом малого параметра.

Решается задача поиска оптимального значения приведенного момента инерции ведущей части реактора.

Задача ставится следующим образом:

I

найти argmin(/(i22) = -X(?>2r(^2.'>-^2,')1).

i-O

при ограничении J22mn <J22<J„ + пте2 + nJr(\ + af + Inmed(1 + а)- 4nmed .

Для заданной оптимизируемой функции получено соотношение

.=0 п

Для из приближенного аналитического решения получено

dJ22

дф22 B.D2 B,D2cos(£t + a0) В.В2М,( „

следующее представление = —j-^-cosa0———~-2-—+ 2 . Таким

а/22 Д е As Д

образом, получены все данные, необходимые для применения метода Гаусса-Ньютона к решению поставленной задачи.

Разработанный подход к оптимизации был реализован в программном продукте, зарегистрированном в Отраслевом фонде программ и алгоритмов [13]. Блок-схема алгоритма оптимизации приведена на рис. 2.

Решается задача нахождения оптимальных параметров ИТВМ,

включающая в себя оптимизируемую функцию /(•/„) = и

.=о

систему дифференциальных уравнений (1). В качестве значений параметров выбираются (12). В качестве начального значения оптимизируемого параметра выбирается следующее J12 = 0,055 кг-м2.

Изначально при заданном значении параметра для передаточных отношений />0.6 скорость реактора даже не достигала скорости ведущего маховика, и разность считалась в точке максимума скорости реактора рис.3.

В результате процесса оптимизации на пятом шаге процесс остановился. Критерием остановки послужил \4f{Ja)\<e, где е = 0.004. Оптимальное значение параметра J12 = 0,0392кг-м!. Сходимость параметра отражена в таблице.

Сходимость параметра J12 автомобиля «Волга» при оптимизации _ методом Гаусса-Ньютона __

Ju, кг-м2 0,055 0,0254 0,0275 0,0292 0,031

¿(ЙЧ-^.О-ЙО1 1=0 Ш995 0,007 0,0076 0,0083 0,0091

J22, кг-м2 0,032 0,0331 0,0342 0,0357 0,0383

1 Е^йчЛг.о-йо2 1=0 0.0097 0,010 0,012 0,013 0,015

Jn, кг-м2 0,0392

¿(ЙГ^а.О-Й')1 1=0 0,031

Алгоритм Левенберга-Марквардта использует линейную модель функции

R(a) в окрестности текущей точки а0 итерационного процесса.

Модель функции имеет вид

«(«о) = ^RT («о Ща0 ) + Лг(а0 )3(а0 )(а - а„) + ^ (а - а0 )т Зг (аа )3(от0 )(а -а0).

Для текущей точки а0 и некоторого значения <50 решается задача об отыскании экстремума модели т0{а). Точка экстремума at = a0 + s должна попадать в доверительную область m0(aQ + s) = min т0(а).

||«-a„l]£rf„

Для поиска производных по параметру, необходимых для реализации данного метода, использовалось приближенное аналитическое решение системы (3), полученное методом малого параметра.

Также необходимо для каждого передаточного отношения подобрать значение момента сопротивления, обеспечивающего выход в установившийся режим.

Рис. 2. Алгоритм оптимизации параметра Jn Критерий оптимизации можно записать следующим образом: найти arg min/(дг), где f{x) = (ipl{xj)-p"{i)f, ф[ - значение скорости ведомого маховика

в конце цикла, ф" - значение скорости ведомого маховика в начале цикла, х -момент сопротивления.

Заменяем минимизируемую функцию на следующую /(х) = (фх'(х,1)-ф°11)1, где ф\" - значение угловой скорости реактора в конце

участка совместного движения, ф°п1 - начальное значение скорости ведомого маховика.

Для решения данной задачи оптимизации также используется неявный демпфированный метод Гаусса-Ньютона. Значение скорости вращения ведомого маховика представляет интерес только в конце участка совместного движения ведомого маховика и реактора. А потому при оптимизации используется значение этой функции только в одной точке. Производная по параметру Мс, необходимая при оптимизации данным методом, вычисляется из аналитических представлений решения математической модели ИТВМ,

полученных методом малого параметра. Значение производной: —= —

дМс 2Д

Решается задача нахождения оптимальных значений моментов сопротивления ИТВМ, включающая в себя оптимизируемую функцию /(мс) = (ф£'(мс,1)-фг1!)1, ограничение МД<МС<МС0 и системы дифференциальных уравнений (1)-(2). В качестве значений параметров выбираются (12). В качестве начальных значений моментов сопротивления

выбираются Мс = . На рис. 4 представлены полученная зависимость момента сопротивления от передаточного отношения и идеальная внешняя характеристика Мс = рад/с

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 Рис.3. Графики изменения скоростей фп, фа, фх на первом такте цикла

0.4 0 6 0.8

Рис. 4. График зависимости момента сопротивления от передаточного отношения и идеальная внешняя характеристика

На рис. 4 видно, что при передаточных отношениях />03, найденные значения моментов сопротивления близки к идеальным значениям момента сопротивления. Это означает, что используется почти вся мощность двигателя.

На рис. 5 представлена структура программного комплекса моделирования рабочего процесса ИТВМ, зарегистрированного в Отраслевом фонде программ и алгоритмов [13].

Таким образом, разработан алгоритм оптимизации параметров ИТВМ, позволяющий выбирать их так, чтобы они обеспечивали выход рабочего

процесса в установившийся режим. Кроме того, задача построения внешней характеристики рассмотрена и решена как задача о наименьших квадратах.

модуль ввода данных

модуль оптимизации парамггров

модуль построения внешней характеристики

решение уравнении первого такта

решение уравнении втор ого такта

решение уравнении третьего такта

решение уравнений четвертого такта

модуль моделирования рабочего процесса и упругих моментов (решение составных систем диффереяциалшых уравнений)

□ 8

Рис. 5. Структура программного комплекса моделирования рабочего процесса ИТВМ

В четвертой главе рассматривается модель ИТВМ с учетом упругих свойств эксцентриково-клиновых МСХ с дополнительной кинематической связью сдвоенного исполнения с силовым уравновешиванием. На рис. 6 представлен импульсный механизм ИТВМ для автобуса ЛиАЗ-677М, сконструированный на основе математической модели ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ.

Находится оптимальное значение приведенного момента инерции ведущей части реактора как решение задачи оптимизации, включающей в себя

1

оптимизируемую функцию 2>')-Й')2 и систему

дифференциальных уравнений (1). В качестве начальных значений и значений параметров выбираются (13).

<?ш = Фт = 334с"',<рт = 0,фш = 0с',<р10 = 0с',фю = I• фт с 1,

J2I = 3,15кг-мг, и = 6, /л = 1 кг, а = 1,6, е = 0,14 м, =19кгмг, (13)

г/ = 0,03 м, Мд = 383 Н • м, Мс =М л/ Нм,^ = 0,00121кг-м2.

В качестве начального значения оптимизируемого параметра выбирается следующее J22 =0.1кг-мг. В результате решения задачи, получается значение Jn = 0.7 кгм2.

Далее строится внешняя характеристика ИТВМ (рис. 7).

На рис. 7 видно, что при передаточных отношениях />0.3, найденные значения моментов сопротивления близки к идеальным значениям момента сопротивления. А это значит, что используется почти вся мощность двигателя.

Значения параметров жесткости: Р, =31426, Я, =95,171, /> =55409,Р< =60,046, при которых упругий момент изменяется следующим образом (рис. 8).

MC(i)

Рис. 7. График зависимости момента Рис.6. Импульсный механизм сопротивления от передаточного отношения ИТВМ для автобуса ЛиАЗ 677М и идеальная внешняя характеристика

Решение систем уравнений математической модели ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ для автобуса ЛиАЗ-677М получены численным интегрированием методом Рунге-Кутта с шагом 10°.

Рис. 8. График изменения упругого момента на втором такте рабочего процесса ИТВМ Таким образом, рассчитано оптимальное значение приведенного момента инерции ведущей части реактора, построена внешняя характеристика, смоделирован рабочий процесс.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

В приложении приведены акты внедрения результатов исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ, позволяющая более точно описать динамику рабочего процесса и определить значения динамических моментов при расчете надежности конструкции.

2. Получено аналитическое решение систем нелинейных дифференциальных уравнений для получения производных по оптимизируемым параметрам. Адекватность полученных представлений подтверждена численными методами решения.

3. Разработан метод оптимизации параметров ИТВМ. Для решения задачи оптимизации использовался неявный метод Гаусса-Ньютона наименьших квадратов. При этом использовалось расхождение значения функции от заданного только в одной точке, которая к тому же не являлась постоянной. Направление изменения параметров задавалось с помощью производных по параметру, полученных из аналитических представлений решения.

4. Разработан метод нахождения внешней и механических характеристик ИТВМ. Данный метод основан на неявном методе оптимизации Гаусса-Ньютона. Значения момента сопротивления рассчитываются для диапазона передаточных отношений i=0.J...0.9.

5. Разработан комплекс программ, позволяющий инженерам-конструкторам моделировать рабочий процесс ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ, выбирать оптимальное значение приведенного момента инерции реактора, строить внешнюю и механические характеристики и снизить нагруженность передачи.

6. Результаты диссертационной работы использованы в процессе' моделирования ИТВМ для автобуса ЛиАЗ-677М и используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров специальностей «Прикладная математика» и «Автомобиле- и тракторостроение».

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Галкин A.B., Баженов С.П. Применение метода малого параметра для решения систем уравнений, описывающих работу ИТВМ // Известия ТулГУ. 2006.Спец. вып. С. 117-122.

2. Галкин A.B. Математическое моделирование и оптимизация рабочего процесса инерционного трансформатора вращающего момента // Системы управления и информационные технологии. М., 2008. № 1.3(31). С. 345-349.

Статьи и материалы конференций

3. Галкин A.B. Применение метода выделения разностной части для расчета длинных электрических линий // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы IV Междунар. семинара. - Воронеж, 2005. - С. 69-74.

4. Баженов С.П., Блюмин С.Л., Галкин A.B. Задача оптимизации рабочего процесса инерционного трансформатора вращающего момента // Успехи современного естествознания. - 2006. №6. - С. 20-21.

5. Баженов С.П., Галкин A.B. Аналитический метод решения математической модели инерционного трансформатора вращающего момента // Проектирование колесных машин: материалы Междунар. науч.-техн. конф. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006, - С. 418-425.

6. Блюмин С.Л., Галкин A.B. Оптимизация параметров неявной модели инерционного трансформатора вращающего момента // Сложные системы управления и менеджмент качества: сб. тр. Междунар. науч. конф. Старый Оскол: ООО «ТНТ», 2007. С.8-10.

7. Галкин A.B. Нахождение оптимальных параметров инерционного трансформатора вращающего момента // Информационные технологии моделирования и управления.- 2007. №9 (43). - С.1106-1112.

8. Галкин A.B. Задача оптимального выбора параметров инерционного трансформатора вращающего момента // Управление большими системами: сб. тр. II науч. конф. молодых ученых. Воронеж, 2007. Т.2. С. 22-26.

9. Галкин A.B. Нахождение оптимального значения приведенного момента инерции ведущей части реактора инерционного трансформатора вращающего момента // Современные проблемы информатизации в проектировании и информационных системах: сб.тр. Воронеж, 2008. Вып. 13. С.410-415.

10. Галкин A.B. Нахождение аналитического решения систем уравнений, описывающих рабочий процесс инерционного трансформатора вращающего момента//Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ. 2008. №1 (15)- С.83-85.

11. Баженов С.П., Галкин A.B., Дедяев М.И. Метод оценки динамической нагруженности выпрямителя момента инерционной автоматической передачи городского автобуса // Современные наукоемкие технологии. - 2008. №4. - С. 63-65.

12. Баженов С.П., Галкин A.B., Дедяев М.И. Характеристики выпрямителя момента инерционного трансформатора городского автобуса // Проблемы и достижения автотранспортного комплекса: материалы XVI Всерос. науч.-техн. конф. Екатеринбург, 2008. С. 32-34.

13. Моделирование рабочего процесса, оптимизация параметров и построение внешней характеристики ИТВМ / С.П. Баженов, С.Л. Блюмин, A.B. Галкин, М.И. Дедяев,- М.: ОФАП ГКЦИТ, 2008. Per. № 50200800985 от

06.05.2008.

Подписано в печать 21.11.2008. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ №

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14

Введение.

Глава 1. Анализ работ по моделированию и оптимизации параметров инерционно-импульсных систем.

1.1. Оптимизация параметров неявных моделей.

1.2. Конструктивные схемы инерционно-импульсных систем.

1.3. Математическое моделирование составными системами дифференциальных уравнений рабочего процесса инерционного трансформатора.

Выводы.

Глава 2. Моделирование инерционно-импульсных систем составными системами дифференциальных уравнений.

2.1. Построение математической модели инерционного трансформатора с использованием составных систем уравнений.

2.1.1. Математическая модель трансформатора без учета упругих свойств механизмов свободного хода.

2.1.2. Математическая модель трансформатора с учетом упругих свойств механизмов свободного хода.

2.2. Поиск решения математической модели, заданной составными системами дифференциальных уравнений.

2.2.1. Решение составных систем дифференциальных уравнений математической модели методом Рунге-Кутта.

2.2.2. Нахождение аналитического решения составных систем дифференциальных уравнений математической модели методом малого параметра.

Выводы.

Глава 3. Оптимизация параметров устройств, моделируемых составными системами дифференциальных уравнений.

3.1. Постановка задачи оптимизации рабочего процесса инерционного трансформатора.

3.2. Решение задачи оптимизации параметров инерционного трансформатора.

3.3. Построение внешней характеристики инерционного трансформатора.

3.4. Комплекс программ по моделированию рабочего процесса инерционного трансформатора.

Выводы.

Глава 4. Расчет параметров и построение внешней характеристики инерционного трансформатора для автобуса ЛиАЗ-677М.

4.1. Инерционный трансформатор вращающего момента для автобуса ЛиАЗ-677М.

4.2. Расчет приведенного момента инерции ведущей части реактора.

4.3. Построение внешней характеристики.

Выводы.

Актуальность работы. При математическом моделировании современных технических устройств возникают сложные составные системы нелинейных дифференциальных уравнений. При их исследовании возникает необходимость в получении не только численного, но и приближенного аналитического решения. Важными задачами являются оптимизация параметров таких устройств, разработка соответствующих комплексов программ.

Сложность оптимального выбора параметров моделей технических систем заключается в том, что для моделей, заданных составными системами нелинейных дифференциальных уравнений, невозможно получить явные аналитические представления оптимизируемых функций. Возникает необходимость оптимизации функционалов, заданных неявно.

Примером таких устройств являются инерционно-импульсные системы [81], включающие инерционные трансформаторы вращающего момента (ИТВМ), импульсные вращатели, механизмы-нагружатели, центробежные динамические соединительные устройства.

Инерционный трансформатор вращающего момента (ИТВМ) является бесступенчатой передачей механического типа, обладающей внутренним автоматизмом, то есть способностью автоматически изменять передаточное отношение в зависимости от угловой скорости выходного вала и величины нагрузки внешнего сопротивления.

Кроме этого, инерционные трансформаторы имеют ряд положительных свойств: в рабочем диапазоне передаточных отношений высокий к.п.д.(0.85-0.95), близкий к к.п.д. ступенчатых передач; компактность конструкций, габариты которых не превышают габаритов ступенчатых передач; коэффициент трансформации момента инерционной передачи достигает 7-10; наличие стопового режима позволяет предохранить двигатель от перегрузок при заклинивании рабочего органа; возможность работы на режиме прямой передачи, при котором трансформатор, работая, как упругая динамическая муфта, снижает крутильные колебания в трансмиссии.

Несмотря на отмеченные достоинства ИТВМ в настоящее время не получили достаточного распространения по причине недолговечности МСХ, так как в инерционной передаче МСХ работают постоянно с высокой частотой и большой нагрузкой.

Для того, чтобы переходить к созданию промышленных образцов с заданной долговечностью, необходимо проводить теоретические и экспериментальные исследования.

Актуальность работы определяется необходимостью разработать математический аппарат, позволяющий выбирать параметры моделей сложных технических систем, заданных составными системами уравнений, обеспечивающие надежную работу конструкции. Оптимальный выбор параметров на этапе математического моделирования необходим для конструирования опытных образцов.

Работа выполнена по плану Министерства образования • и науки Российской Федерации. Номер государственной регистрации научно-исследовательской работы (НИР): 01.2.00312560. Тема НИР: «Оптимизация использования инерционно-массовых сил в автоматических силовых системах механики». Характер НИР: фундаментальное научное исследование.

Целью работы является моделирование инерционно-импульсных систем составными системами дифференциальных уравнений и оптимизация параметров данных объектов.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи исследования:

• проведение анализа существующих методов и алгоритмов построения математических моделей сложных технических систем и алгоритмов оптимизации параметров;

• получение приближенного аналитического решения математической модели инерционного трансформатора и сравнение полученных аналитических решений с численным решением;

• разработка численных методов оптимизации параметров модели и программная реализация данных методов;

• разработка математической модели рабочего процесса ИТВМ' с учетом упругих свойств эксцентриково-клиновых МСХ;

• разработка алгоритма построения внешней характеристики ИТВМ;

• разработка программ, позволяющих конструкторам получить все необходимые данные и характеристики рабочего процесса и модели* ИТВМ и рекомендуемые оптимальные параметры.

Методы исследования базируются на применении методов математического моделирования, теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений, теории! оптимизации, численных методов вычислительной математики.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

• математическая модель рабочего процесса ИТВМ, отличающаяся учетом упругих свойств эксцентриково-клиновых МСХ с дополнительной кинематической связью сдвоенного исполнения с силовым уравновешиванием, представляющая собой составные системы нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений;

• решение математической модели, заданной составной системой нелинейных дифференциальных уравнений, методом* малого параметра, отличающееся возможностью получить аналитические представления для скоростей вращения реактора, ведущего и ведомого валов;

• алгоритм оптимизации приведенного момента инерции реактора, отличающийся применением неявных методов Гаусса-Ньютона и Левенберга-Марквардта, использующий значение функции только в одной «плавающей» точке;

• алгоритм построения внешней характеристики инерционного трансформатора, отличающийся рассмотрением данной задачи, как нелинейной задачи о наименьших квадратах, и использующий специальные методы ее решения.

Практическая значимость работы заключается в разработке и внедрении в практику методов оптимального выбора параметров ИТВМ для решения задач проектирования автоматических бесступенчатых передач.

Разработанные математические модели и алгоритмы оптимизации параметров ИТВМ и программное обеспечение могут быть использованы предприятиями автомобильной промышленности в процессе создания автоматических трансмиссий мобильных машин.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические и практические результаты работы были применены на опытно-экспериментальном заводе «Гидромаш» для моделирования инерционного бесступенчатого автоматического трансформатора вращающего момента на Автобус ЛиАЗ-677М. Предложенные методы выбора оптимальных параметров ИТВМ позволили при моделировании автоматической трансмиссии городского автобуса обеспечить оптимизацию ее рабочего процесса.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров по специальностям «Прикладная математика» и «Автомобиле- и тракторостроение».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались: на IV-ом Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (г. Воронеж, 2005); на Международной научно-технической конференции «Проектирование колесных машин», посвященной 70-летию кафедры «Колесные машины» МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Москва, 2006); на конференции «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (г. Липецк, 2006); на Международной научной конференции «Сложные системы управления и менеджмент качества CCSQM'2007» (г. Старый Оскол, 2007); на II научной конференции молодых ученых «Управление большими системами» (г. Воронеж, 2007); на 13-ой Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (г. Воронеж, 2007); на 11-ой Международной научно-практической конференции «Проблемы экологии и экологической безопасности центрального Черноземья РФ» (г. Липецк, 2007), на 16-ой Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы и достижения автотранспортного комплекса» (г. Екатеринбург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем выполнены: в [1] - предложен приближенный аналитический метод решения систем дифференциальных уравнений; в [4] - сформулирован критерий оптимизации параметров ИТВМ; в [5] - найдено аналитическое решение математической модели ИТВМ; в [6] — предложен неявный метод оптимизации параметров ИТВМ; в [11] - получено решение математической модели ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ; в [12] - реализовано моделирование режимов работы автобуса; в [13] - реализованы алгоритмы оптимизации параметров ИТВМ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 92 наименований, приложения. Основная часть работы изложена на 126 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка и 16 таблиц.

В первой главе проведен обзор литературы по задачам оптимизации параметров моделей, заданных с помощью систем дифференциальных уравнений. Проведен обзор литературы по исследованию инерционных трансформаторов вращающего момента, относящихся к классу инерционно-импульсных систем.

Во второй главе производится математическое моделирование рабочего процесса ИТВМ без учета и с учетом упругих свойств эксцентриково-клиновых МСХ. Математическая модель инерционного трансформатора представляет собой составные системы нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение полученных систем дифференциальных уравнений методом малого параметра, сравнение полученных приближенных аналитических решений систем с численным решением методом Рунге-Кутта.

В третьей главе рассматривается вопрос оптимизации параметров инерционного трансформатора вращающего момента.

Задача оптимизации рабочего процесса сводится к нахождению параметров, обеспечивающих быстрый выход рабочего процесса ИТВМ в устоявшийся режим работы. Установившейся режим работы заключается в том, что значения скоростей по окончании цикла работы совпадают со значениями скоростей в начале цикла.

Также рассматривается задача построения внешней характеристики, как задача о наименьших квадратах. Для каждого передаточного отношения находится значение момента сопротивления, как решения оптимизационной задачи.

В четвертой главе рассматривается модель ИТВМ для автобуса ЛиАЗ-677М, сконструированная на основе математической модели с учетом упругих свойств МСХ. Рассчитано оптимальное значение приведенного момента инерции ведущей части реактора. Рассчитаны значения внешней характеристики для всех передаточных отношений.

В приложении содержатся акты внедрения научно-исследовательской деятельности.

Выводы

1. На основе разработанных методов математических моделирования рабочего процесса импульсного механизма получены рациональные конструктивные параметры и создан опытный образец инерционного бесступенчатого автоматического трансформатора вращающего момента для городского автобуса ЛиАЗ -677М.

2. По разработанной программе на ЭВМ рассчитано оптимальное значение приведенного момента инерции реактора и предложена внешняя характеристика ИТВМ, обеспечивающая быстрый выход в установившейся режим работы.

3. Смоделирован рабочий процесс ИТВМ с учетом упругих характеристик выходного и корпусного МСХ, дающий возможность выбрать оптимальные параметры жесткости динамической системы.

116

Заключение

1. Разработана математическая модель ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ, позволяющая более точно описать динамику рабочего процесса и определить значения динамических моментов при расчете надежности конструкции.

2. Получено аналитическое решение систем нелинейных дифференциальных уравнений для получения производных по оптимизируемы параметрам. Адекватность полученных представлений подтверждена численными методами решения.

3. Разработан метод оптимизации параметров ИТВМ. Для решения задачи оптимизации использовался неявный метод Гаусса-Ньютона наименьших квадратов. При этом использовалось расхождение значения функции от заданного только в одной точке, которая к тому же не являлась постоянной. Направление изменения параметров задавалось с помощью производных по параметру, полученных из аналитических представлений решения.

4. Разработан метод нахождения внешней и механических характеристик ИТВМ. Данный метод основан на неявном методе оптимизации Гаусса-Ньютона. Значения момента сопротивления рассчитывается для диапазона передаточных отношений i=0.1.0.9.

5. Разработан комплекс программ, позволяющий инженерам-конструкторам моделировать рабочий процесс ИТВМ с учетом упругих свойств МСХ, выбирать оптимальное значение приведенного момента инерции реактора, строить внешнюю и механические характеристики и снизить нагруженность передачи.

6. Результаты диссертационной работы использованы в процессе моделирования ИТВМ для автобуса ЛиАЗ-677М и используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров специальностей «Прикладная математика» и «Автомобиле- и тракторостроение».

1. А.с. 153817 СССР, МКИ F 16 Н 33/02. Бесступенчатая инерционная импульсная передача для транспортных машин / М.Ф. Балжи (СССР) № 570769/25-28; Заявлено 09.04.57; Опубл. 16.07.63, Бюл.№7.

2. А.с. 154123 СССР, МКИ F 16 Н 33/08. Кулачковый импульсный механизм / М.Ф. Балжи (СССР) № 629146/25-28; Заявлено 09.01.61; Опубл. 09.07.63, Бюл.№8.

3. А.с. 174044 СССР, МКИ F 16 Н 33/08. Импульсный механизм инерционного трансформатора крутящего момента / А.И. Леонов (СССР) -№ 849768/27-11; Заявлено 29.06.63; Опубл. 06.08.65, Бюл.№16.

4. А.с. 195818 СССР, МКИ F 16 И 33/08. Автоматический инерционный трансформатор крутящего момента / М.Ф. Балжи, А.И. Леонов (СССР) -№ 1062946/25-28; Заявлено 22.03.66; Опубл. 06.08.65, Бюл.№16.

5. А.с. 199611 СССР, МКИ F 16 Н 33/14. Инерционная импульсная передача / С.Ф. Левин (СССР) № 942403/25-28; Заявлено 09.11.65; Опубл. 13.07.67, Бюл.№15.

6. А.с. 627280 СССР, МКИ F 16 Н 33/14. Инерционный импульсатор / В.И. Пожбелко (СССР) № 2409694/25-28; Заявлено 07.10.76; Опубл. 05.10.78, Бюл.№37.

7. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. — М.:Высшая школа, 1994. -544 с.

8. Антонов А. С. Силовые передачи колесных и гусеничных машин. — Л.: Машиностроение. 1975 480 с.

9. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука. 1975 -640 с.

10. Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми разностными методами: практикум на ЭВМ по вычислительным методам. — Москва: МГУ, 2002. -51 с.

11. Архангельский Г.В., Мальцев В.Ф., Юзюк B.C. Особенности динамики машинных агрегатов с инерционными импульсными механизмами // Сб. Инерционно-импульсные механизмы, приводы и устройства, №134. Челябинск: ЧПИ. 1974, с.194-199.

12. Архипов С. В., Баженов С. П. К анализу коэффициента полезного действия автоматической инерциионной передачи. //Известия вузов. Машиностроение, №3, 1973. с.33-37.

13. Баженов С.П. Бесступенчатые передачи тяговых и транспортных машин: Учеб. пособие. Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2003. - 81 с.

14. Баженов С.П. Теория и расчёт инерционных автоматических приводов с двигателем внутреннего сгорания: Дис. докт. техн. наук.- Липецк, 1988. — 367 с.

15. Баженов С.П., Архипов С.В., Андреев В.Е. К анализу динамики транспортной машины с автоматической инерционной передачей // Проблемы машиностроения. Челябинск, 1973. - № 123. - С.95-101.

16. Баженов С.П., Блюмин С.Л., Галкин А.В. Задача оптимизации рабочего процесса инерционного трансформатора вращающего момента // Успехи современного естествознания 2006, №6. — С. 20-21.119 : '

17. Баженов С.П., Диковский, Б.Л., Крупйцкий С.М. Исследование инерционного; бесступенчатого трансформатора крутящего момента трактора: Т-30 // Конструирование и? расчет гусеничных машин. -Челябинск,; 1967.- №> 44: С.23-35:

18. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. -224 с.

19. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -М.:Наука, 1987.-630 с.

20. Белецкий А.В. Математическое моделирование и выбор оптимальных проектных решений в САПР преобразователей момента инерционных передач. Дис. .канд. Техн. наук. - Липецк, 2004. - 146 с.

21. Бертсекас Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

22. Благонравов А.А. Механические бесступенчатые передачи нефрикционного типа. -М.: Машиностроение, 1977. 148 с.

23. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. -894 с.

24. Блюмин С.Л. Оптимальное моделирование технологических связей: Учеб. пособие / С.Л. Блюмин, А.К. Погодаев, В.В. Барышев. Липецк: Изд-во ЛГТУ, 1993. - 68 с.

25. Блюмин С.Л., Миловидов С.П. Псевдообращение: Учебное пособие. -Воронеж: ВорПИ-ЛипПИ, 1990. 72 с.

26. Блюмин С.Л, Миловидов С.П, Погодаев А.К. Нелинейный метод наименьших квадратов и псевдообращение: Учебное пособие. Липецк: ЛипПИ, 1992. - 80 с.

27. Блюмин С.Л., Погодаев А.К. Алгоритмы блочной адаптации линейных и нелинейных моделей технологических зависимостей // Изв. Вузов. Черная металлургия. 1992. №9. - с.67-68.

28. Блюмин С.JI., Погодаев А.К. Блочные рекурентно-итерационные процедуры решения нелинейной задачи о наименьших квадратах // Ж. вычисл. Матем. И матем. Физ. 1992. -Т.32., №8. - с. 1180-1186.

29. Блюмин С.Л., Третьяков В.А., Барышев В.В. Неявный метод наименьших квадратов в идентификации технологических процессов: алгоритм Гаусса-Ньютона // Изв. Вузов. Черная металлургия. 1993. №3. - с.81-85.

30. Болдырев Р.Н. Исследование механических характеристик инерционных трансформаторов крутящего момента. Дисс.канд. Техн. наук. -Челябинск, 1972. - 175 с.

31. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехтеоретиздат. 1956 - 600 с.

32. Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. -М.: Радио и связь, 1984. 288 с.

33. Галкин А.В. Задача оптимального выбора параметров инерционного трансформатора вращающего момента // II школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами». Сборник трудов II конф., том 2. Воронеж, 2007. - С. 22-26.

34. Галкин А.В. Математическое моделирование и оптимизация рабочего процесса инерционного трансформатора вращающего момента// Системы управления и информационные технологии, 1.3(31), 2008. С. 345-349.

35. Галкин А.В. Нахождение аналитического решения систем уравнений, описывающих рабочий процесс инерционного трансформатора вращающего момента // Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ №1 (15), 2007. С.83-85.

36. Галкин А.В. Нахождение оптимальных параметров инерционного трансформатора вращающего момента // Информационные технологии моделирования и управления 2007, №9(43). — С. 1106-1112.

37. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

38. Гребеньков Д.В. Метод пронозирования технического ресурса инерционной гидродифференциальной автоматической передачи мобильных машин. Автореф. дис. . канд. тех. наук. - М.:МАМИ, 2005. -16 с.

39. Денис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решение нелинейных уравнений. М.: "Мир". 1988, 440 с.

40. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 311 с. - С. 22-26.

41. Ермольев, Ю.М. Ляшко И.И., Михалевич B.C., Тюптя В.И. Математические методы исследования операций: учеб. пособие для унтов и втузов. — Киев: Вища школа, 1979. 312 с.

42. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. -М.: Наука, 1991. 248 с.

43. Жилинскас А., Шалтянис В. Поиск оптимума. Компьютер расширяет возможности. -М.: Наука, 1989. 128 с.

44. Заславский В.И. Новая инерционная передача // Вестник инженеров и техников, 1937. -№5.- С. 331-336.

45. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. 512 с.

46. Колмогоров B.JI. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986. - 688 с.

47. Коновалов А.В. // Изв. АН СССР. Металлы. 1984. № 6. - С. 178-184.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд., стер. - СПб: Лань, 2003.-832 с.

49. Кузин Ф. А. Кандидатская диссертация. Методика написания, правила оформления и порядок защиты. Практическое пособие для аспирантов и соискателей ученой степени. М.: «Ось-99», 1999. - 208 с.

50. Левин С.Ф. Безразмерная внешняя характеристика инерционного трансформатора // Конструирование и расчет гусеничных машин. -Челябинск, 1971. №44. - С. 152-166.

51. Леонов А.И. Инерционные автоматические трансформаторы вращающего момента. М.: Машиностроение, 1978. - 224 с.

52. Леонов А.И. К выбору оптимальных параметров непараллелограммного импульсного механизма // Конструирование и расчет гусеничных машин. Челябинск, 1966. - №36. - С. 36-42.

53. Леонов А.И. Микрохраповые механизмы свободного хода. М.: Машиностроение, 1982. — 220 с.

54. Леонов А.И. Некоторые особенности применения метода малого параметра при решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сб. «Машиноведение и прикладная математика» №99, Челябинск: ЧПИ. 1971- с. 179-185.

55. Леонов А.И. Предпочтительное семейство импульсных механизмов // Машиноведение. Челябинск, 1973. - №125 - С. 68-71.

56. Летопур В. Э. Экспериментальное исследование инерционно-импульсного вариатора с упругими звеньями в приводе //Теория механизмов и машин: Респ. межвед. науч.-техн. сб. Харьков: Выщ. школа, 1983. Вып. 35. - С. 102 - 105.

57. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука. 1986 - 232 с.

58. Льюнг Д. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-432 с.

59. Мальцев В.Ф. Импульсные вариаторы, с М.: Машгиз, 1963. 367 с.

60. Мальцев В.Ф. Механические импульсные передачи. — М.: Машиностроение, 1978. 367 с.

61. Минимизация в инженерных расчетах на ЭВМ: Библиотека программ / С.Ю. Гуснин и др. -М.: Машиностроение, 1981. 120 с.

62. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990. - 488 с.

63. Новожилов Б. А. Обоснование и выбор параметров гидродифференциального выпрямителя момента инерционной автоматической бесступенчатой передачи мобильных машин: Автореф. дис. канд. тех. наук. М.-.МАМИ, 2000. - 16 с.

64. Норенков И.П., Маничев В.В. Основы теории и проектирования САПР: Учеб. Для вузов. М.: Высш. Шк., 1990. - 335 с.

65. Полецкий А.Т., Васин Г.Г. К интегрированию уравнений инерционного трансформатора момента // Сб. «Динамика машин», М.: Машиностроение. 1969 с. 297-308.

66. Пономарев С.М. Обобщенный планетарный импульсный механизм 2-го рода // Пятая Всесоюзная научно-техническая конференция по вариаторам и передачам гибкой связью: Тез. Докл. Одесса, 1976. -С.60.

67. Пожбелко В.И. Исследование инерционного трансформатора момента с полигармоническими импульсными механизмами // Машиноведение. -Челябинск, 1974. №142 - С. 66-70.

68. Пожбелко В. И. Теория и методы создания инерционно-импульсных систем с заданными свойствами: Автореферат дис. .докт. техн. наук. -Алма-Ата:ЮГУ, 1989. 32 с.

69. Попов В. С. Исследование динамической нагруженности трансмиссии колесной машины с инерционной автоматической передачей наэксплуатационных режимах работы: дис.канд. тех. наук. — М.: 1984. 172 с.

70. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производств. М.: Энергия, 1975. - 376 с.

71. Реклейтис Г., Рейнвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. -М.:Мир, 1986.-245 с, 227 с.

72. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. -Томск: ТГУ, 1981.-302 с.

73. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983. - 400 с.

74. Сорока И.Ф., Бурцев Е.Т., Кныш И.Ф. Экспериментальные исследования автоматической импульсной передачи // Шестая Всесоюзная конференция по управляемым и автоматическим приводам и передачам гибкой связью: Тез. Докл. Одесса, 1980. - С. 11-12.

75. Технология системного моделирования. М.: Машиностроение, 1988. -520 с.

76. Форсайт Дж., Малкольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир. 1980 386 с.

77. Хельд П.М. Автомобильные сцепления и коробки передач. М: Машгиз, 1947.-328 с.

78. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

79. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. — М.: Мир, 1982.-238 с.