автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и оптимизация процесса формирования голографических изображений на основе эффективных методов расчета электромагнитных полей

На правах рукописи

КНЯЗЬКОВ Дмитрий Юрьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 8 НОЯ 2013

Москва — 2013

005541327

005541327

Работа выполнена в лаборатории механики управляемых систем Федерального государственного бюджетного учреждении науки Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук

(ИПМех РАН)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Шамаев Алексей Станиславович

Официальные оппоненты:

Ильинский Анатолий Серафимович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор

Андреев Владимир Андреевич, кандидат физико-математических наук, отделение оптики, оптический отдел Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники им В.А. Котельникова РАН

Защита состоится <г /$ » _2013 г. в 3 часов на

заседании диссертационного совета Д212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ). Автореферат разослан « 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время задача создания светового изображения голографичсскими методами с заданными параметрами качества представляется весьма актуальной. Она находит приложения в ряде отраслей современной электроники, оптической промышленности, микромеханике; при замене сложных линзовых систем голографи-ческими элементами, а именно такая тенденция характерна для современных приложений оптики таких, как, например, интерференционная микроскопия или микролитография. Эта задача требует разработки новых вычислительных методов и подходов к численному моделированию процесса формирования голографических изображений.

Принципиальным для проведения научно-исследовательских работ в указанной области было создание программного комплекса (ПК), позволившего бы рассчитывать голограммы, моделировать эксперимент по засветке этих голограмм и осуществлять прочие численные эксперименты. С другой стороны, из-за высокой вычислительной трудоемкости задачи, уже на этапе предварительных исследований была выявлена необходимость использовать суперкомпьютеры кластерного типа. Общее описание и более формальная постановка задач дается в первой главе настоящей работы, а специально разработанный суперкомпьютерный ПК подробно описан в четвертой главе. Примеры некоторых исследований задачи формирования голографических изображений для нужд современной микроэлектроники, проведенных с помощью этого ПК, описаны в пятой главе.

Другая принципиальная проблема создания изображений с заданными свойствами, когда размеры деталей изображения соизмеримы с длиной волны излучения, - низкое качество восстановленного с голограммы изображения, обусловленное необходимостью использовать для засветки голограмм когерентное излучение1. Описанию использования

1Philip S. Considine Effects of coherence on imaging systems // J. Opt. Soc. Am.. V. 56. No. 8. P. 1001-1009. 1966.

разработанного ПК в решении задачи оптимизации качества изображения, получаемого с компьютерно-синтезированной голограммы, посвящена третья глава диссертации.

Ключевым вопросом настоящей работы было обоснование возможности рассчитывать голограммы для изображений с числом элементов 108 -т- 1011 и более на доступных в настоящее время суперкомпыотерных вычислительных комплексах за приемлемое время (сутки). Эта задача подробно рассмотрена и решена во второй главе. Следует отметить, что подобные задачи расчета электромагнитных полей в миллиардах и десятках миллиардов точек возникают, например, в проекционной микролитографии2, однако здесь вычислительная сложность существенно ниже, так как нет необходимости рассчитывать дифракцию от далеко расположенных элементов.

Цели работы.

• Разработать и протестировать на современном суперкомпьютере эффективный метод расчета голограмм для 108 -г-1011 элементов изображения.

• Разработать и реализовать эффективные вычислительные методы расчета электромагнитных полей в виде суперкомпьютерного ПК для проведения вычислительных экспериментов в области формирования голографических изображений.

• Провести комплексное исследование научной проблемы формирования голографических изображений с применением разработанного ПК, в том числе исследовать возможности оптимизации качества изображений, получаемых с помощью голограмм Габора.

Научная новизна, заключается в том, что представленная программная реализация в виде ПК BinNet для моделирования процесса создания голографических изображений, имеющих до 108Н-1011 и более

2Singh V., Hu В., Bollepalli S., Wagner S., Borodovsky Y. Making a trillion pixels dance // Proc. of SPIE. Vol. 6924. P. 69240S-1 - 69240S-12. 2008.

элементов - единственная из известных на сегодняшний день. Впервые показано, что применение метода локальных вариаций к задаче оптимизации качества получаемых с голограммы изображений позволяет существенно уменьшить отрицательное влияние эффекта Гиббса на изображение. Разработан новый эффективный метод большого пиксела ускоренного расчета электромагнитных полей для решения задач формирования изображений с большим числом (108 ~ 1011) элементов. Впервые методы локальных вариаций и внесения коррекций в исходное объектное поле применены для оптимизации качества голографиче-ских изображений с элементами околоволновых размеров. Результаты численных исследований процесса восстановления изображений с голограмм показало высокую степень устойчивости таких изображений к локальным и случайным распределенным возмущениям.

Научная и практическая значимость работы. Исследована модель формирования голографическими пластинами изображений, содержащих 108-г-1011 и более элементов околоволновых размеров. Аналитически, численно-аналитически и, наконец, в сравнении с экспериментом показана адекватность используемой модели для описания процесса формирования голографических изображений. Предложен, исследован и реализован эффективный метод расчета быстроосциллирующих интегралов - метод большого пиксела. Показано, что решая оптимизационную задачу улучшения функционала качества голографическо-го изображения, возможно существенное уменьшение отрицательного влияния эффекта Гиббса на изображение.

Полученные в диссертации результаты могут использоваться при расчете электромагнитных полей и оптимизации качества формируемых этими полями световых изображений. Эти результаты уже нашли практическое применение при решении задачи создания голографических изображений требуемого качества для целей голографической литографии. Разработанный ПК ВтКе1 успешно использовался исследовательской группой [7,8,9] на суперкомпьютерах МВС100-К Межве-

домственного суперкомпьютерного центра РАН и МИИТ Т4700 Московского государственного университета путей сообщения, а также в научно-исследовательских работах Научно-исследовательский института системных исследований РАН [15], AHO КБ «Корунд-М», ООО «На-нотех» [4], ООО «NANOTECII SWHL» [15].

Помимо рассматриваемых в настоящей работе примеров применения, разработанный ПК BinNet может быть использован для решения различных задач, связанных с расчетом и моделированием результата прохождения электромагнитного излучения через дифракционный оптический элемент в дальней зоне дифракции. Более того, ПК BinNet имеет гибкую, удобную модульную архитектуру и легко может быть расширен для решения более широкого класса задач волновой оптики.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием строгих математических доказательств и рассуждений и апробированных в научной практике вычислительных методов. Более того, достоверность моделирования для стандартных изображений (полосы, квадраты и т.д.) подтверждена экспериментом. По результатам работы ПК формировалась голограмма, экспериментальное восстановление которой давало полное совпадение изображений: исходного, восстановленного и расчетного.

Численные эксперименты проводились на суперкомпьютере МВС-100К с использованием до 640 вычислительных ядер (80 вычислительных узлов) и на кластере МИИТ Т4700 с использованием до 320 вычислительных ядер (40 вычислительных узлов).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка и реализация эффективного вычислительного метода большого пиксела для расчета голограмм произвольных изображений, состоящих из 108 -г- 1011 и более элементов, позволяющего осуществлять расчеты за приемлемое время на современных суперкомпьютерах кластерного типа.

2. Демонстрация действенности вычислительного метода большого пиксела с помощью тестового расчета голограммы Габора с числом элементов изображения 1.6 • 109 на современном супервычислительном кластере МВС-100К.

3. Высокоэффективный ориентированный на использование на суперкомпьютерах ПК BinNet, разработанный на основе предложенных вычислительных методов расчета электромагнитных полей и позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в области создания голографичсских изображений и заменить дорогостоящий эксперимент моделированием.

4. Комплексное исследование научной проблемы формирования го-лографических изображений заданного качества, проведенное с помощью ПК BinNet на суперкомпьютерах МВС-100К и МИИТ Т4700.

5. Метод локальных вариаций для оптимизации качества результирующего изображения путем варьирования голограммы Габора простых объектов (полосок, квадратов, уголков, шевронов) обеспечивает существенное улучшение качества восстановленного изображения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах:

1. Теория управления и динамика систем, ИПМех РАН (руководитель семинара - академик Черноусько Ф.Л., научный секретарь семинара - Костин Г.В.), 12.11.2009, 27.10.2011 и 27.09.2012;

2. Асимптотические методы математической физики, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет (руководители семинара - Жиков В.В., Радкевич Е.В., Шамаев A.C., Шапошникова Т.А.), 28.03.2011;

3. Проблемы механики сплошной среды, ИПМех РАН (руководители

семинара - проф. Нестеров C.B., проф. Георгиевский Д.В., научный секретарь семинара - Гавриков A.A.), 5.05.2011.

Результаты работы были доложены на научных конференциях:

1. Форум нобелевских лауреатов, Санкт-Петербург, 2010 г.;

2. Пятая международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» (РАСО-2010), Москва, 2010 г.;

3. Международная научно-техническая конференция «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение» (СКТ-2010), Геленджик, 2010 г.;

4. 53-я и 55-ая научные конференции МФТИ, Москва - Долгопрудный - Жуковский, 2010, 2012 гг.;

5. Mathematical Modeling and Computational Physics, Stara Lesna, Slovakia, 2011 г.;

6. 28-ая международная конференция «European Mask and Lithography Conference», Дрезден, Германия, 2012 г.;

7. Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012», Новосибирск, 2012 г.;

8. Форум индустрии микроэлектроники и фотовольтаики в России SEMICON Russia: Конференция EU-RU.NET Workshop, Москва, 2012 г.;

9. Международная научная конференция SEMI Advanced Semiconductor Manufacturing Conference, 2012 23rd Annual SEMI, Саратога Спрингс, США, 2012 г.;

10. Пятая международная конференция «Численный анализ и приложения» (NAA-2012), Лозенец, Болгария, 2012 г.;

11. 39th International Conference on Micro and Nano Engineering, London, UK, 2013 r.

На международной научно-технической конференции «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение», Геленджик, 2010 г. соискателем была получена грамота за лучший доклад, представленный на секции 2 (Князьков Д.Ю. "Задача расчета электромагнитных полей в голографической литографии").

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 6 статей в журналах из перечня, рекомендованного ВАК РФ [1-6], два патента РФ [7,8], одна заявка на патент США [9].

Личный вклад автора в работы с соавторами определяется положениями, выносимыми на защиту и основными результатами данной диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 137 страницах, содержит 68 иллюстраций, 5 таблиц и список литературы, состоящий из 81 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы цели диссертационной работы, перечислены представленные в диссертации новые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, кратко изложена структура диссертации.

В первой главе дается постановка основных задач, решаемых в настоящей работе. Здесь и далее рассматривается схема создания изображения, состоящая из оптической системы, которая формирует волну W, голографической пластинки, занимающей в плоскости Оцху область i l я размера 6x6, и области регистрации il/ излучения в плоскости OiÇr), находящейся на расстоянии d от голограммы, в которой создается изображение размера axa (рис. 1).

Для удобства рассмотрим следующий математический объект - голограмму, имеющую непрерывно меняющуюся функцию пропускания:

Пусть до(£>»?) : О/ —> {0,1} - некоторая функция, задающая желаемое изображение. Представляющие интерес для настоящего исследо-

Рис. 1. Оптическая схема засветки голографической пластины.

вания изображения состоят из огромного количества прямоугольников с различным соотношением сторон ориентированных вдоль координатных осей (возможно, имеющих общие участки границ), либо вовсе только из полосок ориентированных вдоль одной оси координат. Возьмем в области !Г2/ на плоскости О^г) соответствующее объектное поле - ком-плекснозначную функцию : —> С. Тогда, если голограмма

Габора для объекта q(t;,r|) описывается функцией Тд(х,у) : Пц —»■ [0,1], процесс создания голограммы Габора (то есть результат интерференции объектной о опорной волн) может быть промоделирован следующим образом:

Тд(х,у) =

п,

„ikR

jj К(х, у, T))q(£, Г))<%dr, + W(x, у)

(1)

где К(х, у, rf) = R = у/(х - О2 + (у ~ г])2 + d2, k = - волно-

вое число, Л - длина волны, а W(x, у) - поле, комплексно-сопряженное к восстанавливающему полю W(х, у) (рис. 1).

На расстоянии d от голограммы, в объектной плоскости Oi^rj на-

ходится область наблюдения П/, в которой регистрируется интенсивность излучения 1(£,т)). Если поле в плоскости Онху до попадания на голограмму с пропусканием Т(х,у) описывается функцией IV(х,у), то интенсивность излучения в объектной плоскости (восстановленное изображение) может быть в скалярном приближении вычислена с использованием интеграла Кирхгофа:

1тЫ

(2)

Л К{х,у,£,п)\¥{х,у)Т{х,у)<1х<1у .

Для моделирования процесса формирования голографических изображений были рассмотрены как модели непосредственно соответствующие методам расчета (1), (2) при работе с объектами, имеющими непрерывно изменяющееся пропускание, так и модели, построенные на основе суммирования излучения от отдельных простых элементов (например, прямоугольников или квадратов), при работе с объектами дискретной структуры. Разработке и исследованию методов расчета голограмм (1) и изображений (2) посвящена вторая глава диссертации.

Полученное с голограммы Габора Тч(х,у) изображение бу-

дет сходно с заданным изображением до((, г/). Однако, точное равенство 1тч ~ Яо(£,, V) здесь не достижимо. Более того, качество восстановленного с голограммы Габора изображения оказывается неприемлемым для практических нужд. Поэтому в третьей главе настоящей работы будут рассмотрены различные подходы к решению задачи минимизации

о)—> тпт, (3)

где р - некоторый функционал отличия.

Кроме того, должен быть создан ПК, позволяющий проводить расчет серой голограммы Т(х, у), и моделировать весь процесс от создания голограммы до восстановления изображения с неё.

Во второй главе исследуются существующие и разрабатываются новые методы расчета распространения электромагнитного излучения,

необходимые для осуществления расчета голограммы (1) и моделирования эксперимента по ее засветке (2). Основная вычислительная сложность этих задач - это расчет интеграла

У)=Ц К{х, у, 1]Щс1т1

(4)

п

с сильно осциллирующим ядром

л

V'{х-а)2 + (у-г,)2 + сР'

(5)

Для расчета (4) предлагаются и исследуются алгоритмы полуаналитического расчета свертки суммированием излучения от прямоугольников и алгоритм двумерного БПФ. Показана хорошая масштабируемость первого алгоритма (см. рис. 5) и низкая эффективность второго (БПФ). Первый метод был реализован в составе ПК ВтКе(;. Была доказана

Теорема 1. Существует такая вещественная константа Сц > О, что количество операций Тд, требуемых для вычислений интеграла (4) по методу суммирования излучения от прямоугольников, не превышает C¡^Ni, причем существует класс топологий, на которых эта верхняя оценка достигается.

Таким образом (используя еще результаты тестовых расчетов и результаты исследования эффективности алгоритмов), была показана невозможность расчета такими методами голограммы Габора для изображений, состоящих из 108 и более элементов за приемлемое время, даже на существующих суперкомпьютерных вычислителях. Таким образом, расчет интеграла (4) для изображений содержащих 108 Н- 1011 элементов представляет собой очень трудоемкую вычислительную задачу, даже если используется современный суперкомпьютер. Решению этой задачи и посвящена вторая часть настоящей главы.

Далее описан метод большого пиксела. Суть метода состоит в разбиении области интегрирования О/ на одинаковые квадратики Оы раз-

мера ахай сведения вычисления интеграла (4) к расчету свертки вида

ЛГ-1

f{*J)='52<p(k,l)S{i-k,j-l), i,j = О, ...,М — 1, (6)

к,1=0

где N = М = [£]. Эта свертка, в свою очередь, считается с помощью трех двумерных БПФ соответствующих матриц. Суммарное количество арифметических операций, требуемых для вычисления по методу большого пиксела, дает

Теорема 2. Пусть N = 2Р, для некоторого р 6 N. Тогда для вычисления свертки (4) методом большого пиксела необходимо Т вп = (к + I)2N2(30log2({k + l)iV) + 1) арифметических операций.

Затем предлагается модифицированный, позволяющий в раз

снизить объем требуемой оперативной памяти, вариант метода большого пиксела - метод большого пиксела с декомпозицией области расчета, который и был реализован в составе суперкомпьютерного ПК BinNet. Была доказана следующая

Теорема 3. Пусть N = 2Р, для некоторого р е N. Тогда для вычисления свертки (4) методом большого пиксела с декомпозицией области расчета необходимо Тбпд = 4iV2(10(2к2 + l)log2{2N) + к2) арифметических операций.

Приведены результаты расчета голограммы Габора для изображения содержащего 1.6 • 109 расчетных элементов на суперкомпьютере МВС-100К (см. рис. 2). Время синтеза такой голограммы на 640 вычислительных ядрах составило около 100 мин.

Далее приводятся результаты исследования параллельных свойств реализованного алгоритма метода большого пиксела на суперкомпьютере кластерной архитектуры.

Следует отметить, что существует много подходов к вычислению интеграла типа (4) с быстро осциллирующим ядром3. В отдельных случа-

3 Greengard L. Fast algorithms for classical physics // Science. 1994. V. 265. P. 909-

914.

Рис. 2. Восстановленный участок изображения из 1.6 • 109 элементов, содержащий 9 мир.

ях удается добиться асимптотики количества операций CpoiN2log2N, однако получаемая в общих стандартных методах расчета константа С foi оказывается слишком большой. В настоящей главе доказано (Следствие 1 Теоремы 3), что предлагаемый метод большого пиксела позволят получить асимптотику CgpN2log2N количества операций. При этом константа Свр такова, что расчет голограмм Габора для изображений, состоящих из 10® и более элементов, на современных параллельных вычислительных системах кластерного типа становится возможным.

В третьей главе настоящей работы решалась задача (3) оптимизации голограммы Габора с целью создания световых изображений с требуемым распределением интенсивности. Для решения этой задачи были предложены два различных подхода. Первый - это варьирование функции пропускания голограммы Т(х,у):

р{1т{-), qo(-))—jrnin. (7)

В результате оптимизации методом локальных вариаций синтезированной на компьютере голограммы удалось снизить амплитуду колеба-

ний яркости на изображении до технологически приемлемых значений (см. рис. 3), существенно уменьшив "эффект Гиббса" - искажения возникающие на краях создаваемого объекта при физической регистрации голограммы.

Рис. 3. Результат применения метода локальных вариаций к задаче оптимизации качества изображения, состоящего из одиночной полоски. Слева полоска до оптимизации, справа - после.

Приведенные примеры оптимизации элементарных объектов показывают возможность существенно (до технологически приемлемых значений) уменьшить влияние эффекта Гиббса с помощью оптимизации компьютерно-синтезированной голограммы. Возможность оптимизации отдельных полосок говорит о том, что может быть улучшено качество и для любого другого изображения рассматриваемого типа.

Предлагаются способы оптимизации изображений составленных из большого количества элементов. Полученное улучшение изображения после внесения предварительных коррекций в исходное объектное поле [2] говорит о возможности реализовать алгоритм локальных вариаций, когда варьируется не функция пропускания голограммы, а объектное

поле, по которому эта голограмма рассчитывается:

(•), «>(•)) —(8)

Такой подход кажется перспективным, поскольку позволяет локально исправлять изображение не рассчитывая на каждом шаге поле на всей площади голограммы.

В четвертой главе описывается разработанный и реализованный автором суперкомпьютерный ПК ВтМе!,, позволяющий осуществлять расчеты голограмм, моделировать процесс формирования голографи-ческих изображений и проводить различные численные эксперименты для исследовательских нужд (заменив, таким образом, дорогостоящий натурный эксперимент). Суперкомпьютерный ПК BmNet успешно использовался на современных суперкомпьютерных вычислителях МВС-100К и МИИТ Т4700. Структура работы ПК приведена на рис. 4.

Рис. 4. Структура работы программного комплекса ВтКе^

Рис. 5. Масштабируемость алгоритма расчета электромагнитного поля из ПК Вт^. на кластерах МВС-ЮОК и МИИТ Т-4700.

ПК BinNet был написан на языке программирования С++ с использованием технологии обеспечения межпроцессорного взаимодействия MPI и был ориентирован на осуществление вычислений на суперкомпьютерах кластерного типа. Исходный код ПК BinNet содержит около 15000 строк (плотность кода - 2.8 оператора на строку) на языке С+ + и около 450 процедур и функций, находящихся в 11 файлах. Он сочетает в себе объектно-ориентированный подход в частях, не требующих параллельного выполнения и более эффективный не-объектный подход в наиболее трудоемких по времени параллельных частях. Достигнутая таким образом гибкость позволят легко расширять функциональность ПК, не снижая при этом его эффективность.

Результаты исследования масштабируемости ПК BinNet показали, что ПК очень хорошо масштабируется на системах кластерного типа, имеет практически линейное ускорение и близкую к 1 эффективность (см. рис. 5).

Описывается тестирование переноса основных расчетных алгоритмов на графический вычислитель Nvidia Tesla С1060, в результате которого было получено ускорение работы порядка 5 раз. Этот результат показывает, что весь 1IK может быть успешно перенесен на кластерный суперкомпьютер гибридной архитектуры (когда на каждом узле установлены как CPU, так и CPU), если только объем взаимодействия

между отдельными СРИ-устройствами будет не слишком велик.

В пятой главе приводятся примеры использования суперкомпьютерных вычислений на ПК BmNet для исследования задачи формирования голографического изображения в микроэлектронике. Развитие микроэлектроники идет по пути совершенствования технологии создания сверх больших интегральных схем (СБИС) с тенденцией увеличения числа элементов до 109 и более, уменьшения размеров до долей микрометра (яз 100-20 нм), что требует создания методов формирования исходных топологических изображений. Так как в процессах генерации и переноса изображений существенную роль играют дифракционные ограничения, то рассмотрение голографических подходов становится определяющим. Если для создания изображения используется синтезированная на компьютере голограмма, то расчет такой голограммы становится неотъемлемым этапом как в технологии фотоэкспонирования (и, следовательно, в технологии изготовления микропроцессора), так и в задаче моделирования эксперимента.

Для обеспечения работы технологического оборудования по генерации и переноса изображений с числом элементов 108 -г 1011 необходимо было существенным образом модернизировать программные методы ускоренного расчета и оптимизации электромагнитных полей. Для решения этой задачи соискателем был применен описанные ранее метод большого пиксела и методы оптимизации качества голографических изображений. Было установлено минимально возможное разрешение на голографическом изображении при использовании лазера с длиной волны А = 193 нм [4]. Путем моделирования бинарных голограмм и восстановления с них изображений, были установлены оптимальные параметры бинаризации серых голограмм [4].

Полученные в результате работы ПК файлы голограмм использовались как для моделирования восстановления изображения, так и для последующего изготовления голографических пластин. Изображение, получаемое при освещении таких пластин лазерным излучением реги-

стрировалось на ССБ-матрице (Челюбеевым Д.А. и Борисовым М.В.). Ширины полосок (и расстояния между ними) достигали 250 нм, что составляло примерно половину длины волны используемого излучения -теоретически предельное физически возможное разрешение. При этом была достигнута высокая степень согласованности результатов экспериментов и результатов численного моделирования.

С помощью моделирование на ПК BinNet было показано, что в рассматриваемой схеме получения голографических изображений наблюдается очень высокая степень устойчивости качества изображения к дефектам, возникающим на голографической пластине (см. рис. 6) [5,15,16].

И эшёши ■ — ^ \ * я

11 1

Рис. 6. Результаты моделирования загрязнения голограмммы Габора. Слева направо (верхний ряд): невозмущеиная голограмма, голограмма на 44% покрытая случайной пылыо, голограмма с большим квадратным дефектом. Внизу - восстановленные с соответствующих голограмм воздушные изображения.

Для перераспределения энергии из нулевого порядка в первый группой авторов была разработана и запатентована специальная технология [7]. На рис. 7 показаны результаты моделирования на ПК ВшКе1 засветки таких (еще не изготовленных физически) голограмм [15].

В заключении сформулированы результаты работы и выводы, соответствующие приведенным выше положениями, выносимыми на защиту.

Рис. 7. Уменьшение влияния "центрального креста" (паразитного 0-го порядка дифракции) - на качество результирующего изображения. Отношение энергии приходящейся на изображение ко всей энергии, пришедшей на изображение, паразитный крест и сопряженное изображение увеличивается в 665 раза, при этом интенсивность полезного изображения увеличивается в 3.9 раза.

Публикации соискателя по теме диссертации

1. Князьков Д.Ю. Эффективные методы расчета электромагнитных полей // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13, № 1, С. 181-188.

2. Князьков Д.Ю. Оптимизация электромагнитных полей в голографической литографии с помощью метода локальных вариаций // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. № 6. С. 99-109.

3. Knyazkov D. Simulation of Holography Using Multiprocessor Systems // Lecture Notes in Computer Science. Berlin: Springer. 2012. V. 7125. P. 270-275.

4. Борисов M., Боровиков В., Гавриков А., Князьков Д., Ра-ховский В., Челюбеев Д., Шамаев А. Методы создания и коррекции качества голографических изображений геометрических объектов с элементами субволновых размеров // Докл. Академии Наук. 2010. Т. 434, JV» 3. С. 332-336.

5. V. Rakhovsky, D. Knyazkov, A. Shamaev, V. Chernik, А.

Gavrikov, D. Chelyubeev, P. Mikheev, M. Borisov Phase-Shift at Sub-Wavelength Holographic Lithography (SWHL) // Proc. of SPIE. 2012. V. 8352. P. 83520P-1 - 83520P-7.

6. Knyazkov D., Shamaev A. An Effective Method of Electromagnetic Field Calculation // Lecture Notes in Computer Science. Berlin: Springer. 2013. V. 8236. P. 487-494.

7. Пат. 2396584 РФ, МПК G 03 H 1/00. Способ изготовления голо-графических изображений рисунка [Текст] / Борисов М.В., Гавриков А.А, Князьков Д.Ю., Раховский В.И., Челюбеев Д.А., Ша-маев А.С. патентообладатель Раховский В.И. - № 2009128066/28; заявл. 22.07.2009; опубл. 10.08.2010. - 14 с.

8. Пат. 2486561 РФ, МПК G 03 F 7/20, G 03 Н 1/08. Способ изготовления голографических изображений рисунка [Текст] / Борисов М.В., Гавриков А.А, Князьков Д.Ю., Раховский В.И., Челюбеев Д.А., Шамаев А.С. патентообладатель Раховский В.И. - № 2011152059/28; заявл. 21.12.2011; опубл. 27.06.2013, Бюл. № 18. -14 с.

9. Заявка 12/836670 США, G 03 F 1/00. Method of producing holographic images of 1С topologies [Текст] / Rakhovskiy V.I., Borisov M. V., Chelubeev D.A., Gavrikov A.A., Knyazkov DM., Shamaev A.S. заявитель Раховский В.И.; 20110020736; заявл. 15.07.2011; опубл. 27.01.2011; приоритет 22.07.2009, № 2009128066/28 (РФ). - 13 с.

10. Князьков Д.Ю. Задача расчета электромагнитных полей в голо-графической литографии // Мат. Межд. научно-техн. конф. «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение». Т. 1. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, С. 251-253.

11. Князьков Д.Ю. Задача оптимизации электромагнитных полей в голографической литографии // Труды 53-й научной конференции МФТИ. Ч III. Т. 1. М.: МФТИ, 2010, С. 116-117.

12. Князьков Д.Ю. Задачи расчета и оптимизации электромагнитных полей в голографической литографии // Труды Пятой международной конф. «Параллельные вычисления и задачи управления». М., 2010, А308, С. 425-432, на CD.

13. Князьков Д.Ю. Задача расчета электромагнитных полей в голо-графической литографии // Материалы Седьмой Международной научной молодежной школы «Высокопроизводительные вычислительные системы». Т. 1. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, С. 219-221.

14. Князьков Д.Ю. Эффективные методы расчета электромагнитных полей // Труды международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии». Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012, С. 191-201.

15. Borisov M.V., Chelyubeev D.A., Chernik V.V., Gavrikov A.A., Knyaz-kov D. Yu., Mikheev P.A., Rakhovskiy V.l., Shamaev A.S. Analysis of an effect of perturbations in SWHM and illuminating optical scheme parameters on an aerial image // Proc. of 23-d SEMI ASMC. 2012. P. 165-169.

16. Князьков Д.Ю. Устойчивость качества голографических изображений к сильным локальным и случайным распределенным возмущениям голограмм // Труды 55-й научной конф. МФТИ. Аэрофизика и космические исследования. Том 1. — М.: МФТИ, 2012. - С. 106-107.

Князьков Дмитрий Юрьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА

ОСНОВЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Автореферат

Подписано в печать 30.10.2013. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ N0 574. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский физико-технический институт (государственный университет)" Отдел оперативной полиграфии "Физтех-полиграф" 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

УДК 519.6

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ ИМ. А.Ю. ИШЛИНСКОГО

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

на правах рукописи

04201450114 КНЯЗЬКОВ Дмитрий Юрьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.С. Шамаев

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

Содержание

Список обозначений и сокращений 3

Введение 4

1 Постановка задачи. 13

1.1 Методы создания серой голограммы.................19

1.2 Восстановление.............................23

1.3 Выбор модели..............................25

1.4 Бинаризация..............................35

1.5 Качество голографического изображения...............39

2 Исследование ускоренных методов расчета электромагнитных полей. 42

2.1 Постановка задачи...........................42

2.2 Применение прямых методов расчета и методов с БПФ......44

2.2.1 Метод простого суммирования................44

2.2.2 Разбиение изображения на прямоугольники........45

2.2.3 Использование быстрого преобразования Фурье......48

2.2.4 Составление голограммы сложного изображения из голограмм простых элементов...................50

2.2.5 Трудоемкость алгоритмов и асимптотика количества операций...............................53

2.3 Метод большого пиксела.......................55

2.3.1 Разбиение изображения на большие пикселы........55

2.3.2 Реализация метода большого пиксела на кластерной ВС. 58

2.3.3 Пример численного расчета..................59

2.3.4 Применение метода большого пиксела для восстановления и оптимизации.......................60

2.4 Анализ результатов и выводы....................61

3 Оптимизация серой голограммы. 63

3.1 Постановка задачи............................63

3.2 Коррекции объектного поля.....................65

3.3 Оптимизация методом локальных вариаций............67

3.3.1 Описание алгоритма......................69

3.3.2 Примеры.............................70

3.3.3 Организация вычислений....................78

3.3.4 Сравнение с методом градиентного спуска..........79

3.4 Анализ результатов и выводы....................81

4 Исследование и оптимизация структуры, анализ масштабируемости параллельного программного комплекса расчета голограмм. 84

4.1 Описание параллельного программного комплекса.........84

4.2 Исследование параллельных свойств программного комплекса. . 93

4.3 Использование GPU..........................98

4.4 Анализ результатов и выводы....................102

5 Примеры расчетов и численного моделирования. 104

5.1 Создание изображения миры.....................104

5.2 Оценка предельного разрешения...................105

5.3 Устойчивость изображения к дефектам голограммы........106

5.4 Подавление 0-го порядка дифракции................119

5.5 Расчет файлов голограмм для её изготовления...........121

5.6 Анализ результатов и выводы....................128

Заключение 128

Список обозначений и сокращений.

\¥(х, у) - излучение, падающее на голограмму - "восстанавливающая волна" Одху - плоскость голограммы

Е(х, у) - комплекснозначная функция пропускания голограммы - "комплексная голограмма"

Т(х, у) - вещественнозначная функция пропускания голограммы - "серая голограмма"

В(х, у) - бинарная функция пропускания голограммы - "бинарная голограмма"

Ь - размер голограммы

С^(х,у) - поле подсветки после прохождения через голограмму с/ - расстояние между голограммой и плоскостью микросхемы О/^ту - плоскость изображения

" интенсивность излучения в объектной плоскости - "изображение" а - размер изображения (Сс^с) - центр изображения 9о(£) V) ~ желаемое изображение

Введение.

В настоящее время задача создания светового изображения голографически-ми методами с заданными параметрами качества представляется весьма актуальной. Она находит приложения в ряде отраслей современной электроники, оптической промышленности, микромеханике; при замене сложных линзовых систем голографическими элементами, а именно такая тенденция характерна для современных приложений оптики таких, как, например, интерференционная микроскопия [28, 29] или микролитография [20, 21]. Эта задача требует разработки новых вычислительных методов и подходов к численному моделированию процесса формирования голографических изображений.

Принципиальным для проведения научно-исследовательских работ в указанной области было создание программного комплекса (ПК), позволившего бы рассчитывать голограммы, моделировать эксперимент по засветке этих голограмм и осуществлять прочие численные эксперименты. С другой стороны, из-за высокой вычислительной трудоемкости задачи, уже на этапе предварительных исследований была выявлена необходимость использовать суперкомпьютеры кластерного типа. Общее описание и более формальная постановка задач дается в первой главе настоящей работы, а специально разработанный суперкомпыотерный ПК подробно описан в четвертой главе. Примеры некоторых исследований задачи формирования голографических изображений для нужд современной микроэлектроники, проведенных с помощью этого ПК, описаны в пятой главе.

Другая принципиальная проблема создания изображений с заданными свойствами, когда размеры деталей изображения соизмеримы с длиной волны излучения, - низкое качество восстановленного с голограммы изображения, обусловленное необходимостью использовать для засветки голограмм когерентное излучение [7]. Описанию использования разработанного ПК в решении задачи оптимизации качества изображения, получаемого с компьютерно-синтезированной голограммы, посвящена третья глава диссертации.

Ключевым вопросом настоящей работы было обоснование возможности рассчитывать голограммы для изображений с числом элементов 108 — 1011 и более на доступных в настоящее время суперкомпыотерных вычислительных комплексах за приемлемое время (сутки). Эта задача подробно рассмотрена и решена во второй главе. Следует отметить, что подобные задачи расчета электромагнитных полей в миллиардах и десятках миллиардов точек возникают,

например, в проекционной микролитографии [1, 3, 4], однако здесь вычислительная сложность существенно ниже [15, 19], так как нет необходимости рассчитывать дифракцию от далеко расположенных элементов.

Цели работы:

• Разработать и протестировать на современном суперкомпьютере эффективный метод расчета голограмм для 108 1011 элементов изображения.

• Разработать и реализовать эффективные вычислительные методы расчета электромагнитных полей в виде суперкомпьютерного ПК для проведения вычислительных экспериментов в области формирования голографических изображений.

• Провести комплексное исследование научной проблемы формирования голографических изображений с применением разработанного ПК, в том числе исследовать возможности оптимизации качества изображений, получаемых с помощью голограмм Габора.

Научная новизна заключается в том, что представленная программная реализация в виде ПК BinNet для моделирования процесса создания голографических изображений, имеющих до 108 1011 и более элементов - единственная из известных на сегодняшний день. Впервые показано, что применение метода локальных вариаций к задаче оптимизации качества получаемых с голограммы изображений позволяет существенно уменьшить отрицательное влияние эффекта Гиббса на изображение. Разработан новый эффективный метод большого пиксела ускоренного расчета электромагнитных полей для решения задач формирования изображений с большим числом (108 -I- 1011) элементов. Впервые методы локальных локальных вариаций и внесения коррекций в исходное объектное поле применены для оптимизации качества голографических изображений с элементами околоволновых размеров. Результаты численных исследований процесса восстановления изображений с голограмм показало высокую степень устойчивости таких изображений к локальным и случайным распределенным возмущениям.

Научная и практическая значимость работы. Исследована модель формирования голографическими пластинами изображений, содержащих 108-т-1011 и более элементов околоволновых размеров. Аналитическими, численно-аналитическими и, наконец, в сравнении с экспериментом показана адекватность используемой модели для описания процесса формирования голографических изображений. Предложен, исследован и реализован эффективный метод

расчета быстроосциллирующих интегралов - метод большого пиксела. Показано, что решая оптимизационную задачу улучшения функционала качества голографического изображения, возможно существенное уменьшение отрицательного влияния эффекта Гиббса на изображение.

Полученные в диссертации результаты могут использоваться при расчете электромагнитных полей и оптимизации качества формируемых этими полями световых изображений. Эти результаты уже нашли практическое применение при решении задачи создания голографических изображений требуемого качества для целей голографической литографии. Разработанный ПК BinNet успешно использовался исследовательской группой [7,8,9] на суперкомпьютерах МВС100-К Межведомственного суперкомпыотерного центра РАН и МНИТ Т4700 Московского государственного университета путей сообщения, а также в научно-исследовательских работах Научно-исследовательский института системных исследований РАН [15], AHO КБ «Корунд-М», ООО «Нанотех» [4], ООО «NANOTECH SWHL» [15].

Помимо рассматриваемых в настоящей работе примеров применения, разработанный ПК BinNet может быть использован для решения различных задач, связанных с расчетом и моделированием результата прохождения электромагнитного излучения через дифракционный оптический элемент в дальней зоне дифракции. Более того, ПК BinNet имеет гибкую, удобную модульную архитектуру и легко может быть расширен для решения более широкого класса задач волновой оптики.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием строгих математических доказательств и рассуждений и апробированных в научной практике вычислительных методов. Более того, достоверность моделирования для стандартных изображений (полосы, квадраты и т.д.) подтверждена экспериментом. По результатам работы ПК формировалась голограмма, экспериментальное восстановление которой давало полное совпадение изображений: исходного, восстановленного и расчетного.

Как правило, составные части программного комплекса создавались сначала в одно-процессорном кросс-платформенном варианте и отлаживались на персональном компьютере под управлением операционной системы Windows или Linux. Критические по трудоемкости места распараллеливались с помощью технологии MPI [62] и отлаживались на нескольких персональных компьютерах соединенных в небольшой кластер под управлением системы запуска параллельных задач MPICH2. Окончательно, программа переносилась на

суперкомпьютер МВС100К МСЦ РАН и отлаживалась там, при этом как правило, оставлялась возможность ее запуска и в однопроцессорном режиме. Для всего программного комплекса (особенно для программы расчета голограммы по методу Большого Пиксела) постоянно отслеживалось соответствие получаемых голограмм и изображений контрольному примеру.

Для проведения быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) использовался пакет fftw ("The Fastest Fourier Transform in the West сайт проекта - http://www.fftw.org/), являющийся на сегодняшний день самой быстрой кластерной некоммерческой реализацией БПФ. Для создания картинок в формате Windows Bitmap (BMP) использовался свободно распространяемый пакет EasyBMP ("EasyBMP Cross-Platform Windows Bitmap Library сайт проекта -http: / / easybmp.sourceforge.net/).

Окончательно, численные эксперименты проводились на суперкомпьютере МВС100К МСЦ РАН с использованием до 640 вычислительных ядер (80 узлов) и на кластере МИИТ Т4700 с использованием до 320 вычислительных ядер (40 узлов).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка и реализация эффективного вычислительного метода большого пиксела для расчета голограмм произвольных изображений, состоящих из 108 -г 1011 и более элементов, позволяющего осуществлять расчеты за приемлемое время на современных суперкомпьютерах кластерного типа.

2. Демонстрация действенности вычислительного метода большого пиксела с помощью тестового расчета голограммы Габора с числом элементов изображения 1.6 • 109 на современном супервычислительном кластере МВС-100К.

3. Высокоэффективный ориентированный на использование на суперкомпьютерах ПК BinNet, разработанный на основе предложенных вычислительных методов расчета электромагнитных полей и позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в области создания голографических изображений и заменить дорогостоящий эксперимент моделированием.

4. Комплексное исследование научной проблемы формирования голографических изображений заданного качества, проведенное с помощью ПК BinNet на суперкомпьютерах МВС-100К и МИИТ Т4700 Московского государственного университета путей сообщения.

5. Метод локальных вариаций для оптимизации качества результирующего

изображения путем варьирования голограммы Габора простых объектов (полосок, квадратов, уголков, шевронов) обеспечивает существенное улучшение качества восстановленного изображения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах:

1. Асимптотические методы математической физики, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет (руководители семинара -Жиков В.В., Радкевич Е.В., Шамаев А.С., Шапошникова Т.А.), 28 марта 2011 г.

2. Проблемы механики сплошной среды, ИПМех РАН (руководители семинара - проф. Нестеров С.В., проф. Георгиевский Д.В. научный секретарь семинара - Гавриков А.А.), 5 мая 2011 г.

3. Теория управления и динамика систем, ИПМех РАН (руководитель семинара - академик Черноусько Ф.Л., научный секретарь семинара - Костин Г.В.), 12 ноября 2009 г., 27 октября 2011 г. и 27 сентября 2012 г.

Результаты работы были доложены на следующих научных конференциях:

1. Форум нобелевских лауреатов, С-Пб., 2010 г.

2. Пятая международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» (РАСО-2010), Москва, 2010 г.

3. Международная научно-техническая конференция «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение» (СКТ-2010), Геленджик, 2010 г.

4. 53-я научная конференция МФТИ, Москва, 2010 г.

5. Mathematical Modeling and Computational Physics, Stara Lesna, Slovakia, 2011.

6. 28-ая международная конференция «European Mask and Lithography Conference», Дрезден, Германия, 2012 г.

7. Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012», Новосибирск, 2012 г.

8. Форум индустрии микроэлектроники и фотовольтаики в России SEMICON/SOLARCON Russia: Конференция EU-RU.NET Workshop. 15-16 мая 2012 г.

9. Международная научная конференция SEMI Advanced Semiconductor Manufacturing Conference, 2012 23rd Annual SEMI, Саратога Спрингс, США, 2012 г.

10. Пятая международная конференция «Численный анализ и приложения» (NAA-2012), Лозенец, Болгария, 2012 г.

11. 55-ая научная конференция МФТИ. Россия, Москва-Долгопрудный-Жуковский, 2012 г.

12. 39th International Conference on Micro and Nano Engineering, London, UK, 2013 r.

На международной научно-технической конференции «Суперкомпыотерные технологии: разработка, программирование, применение», Геленджик, 2010 г. автором была получена грамота за лучший доклад, представленный на секции 2 (Князьков Д.Ю. "Задача расчета электромагнитных полей в голографиче-ской литографии").

Работа была выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук.

Личный вклад автора определяется положениями, выносимыми на защиту и основными результатами данной диссертации..

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 122 страницах, содержит 57 иллюстрации, 4 таблицы и список литературы, состоящий из 69 наименований. Работа была набрана с использованием пакета LATEX.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Результаты работы полностью отражены в статьях из списка ВАК. Ниже приведен список публикаций автора по теме диссертации. Первые шесть работ опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК РФ. Из них первая, вторая и третья - без соавторов; эти три статьи в основном отражают материал второй, третьей и четвертой глав соответственно. Основные примеры моделирования с использованием разработанного в настоящей работе ПК (глава пять) можно найти в многоавторских статьях [4,5]. Описанию метода большого пиксела полностью посвящена статья [6]. В составе коллектива авторов получено два патента РФ и подана одна заявка на патент USA (публикации [7-9] из приведенного ниже списка).

1. Князьков Д.Ю. Эффективные методы расчета электромагнитных полей // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13, № 1, С. 181-188.

2. Князьков Д.Ю. Оптимизация электромагнитных полей в голо-графической литографии с помощью метода локальных вариаций // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. № 6.

C. 99-109.

3. Knyazkov D. Simulation of Holography Using Multiprocessor Systems // Lecture Notes in Computer Science. Berlin/Heidelberg: Springer. 2012. V. 7125. P. 270-275.

4. Борисов M.B., Боровиков В.А., Гавриков А.А, Князьков Д.Ю., Раховский В.И., Челюбее�