автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и оптимизация функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с нестационарным входящим потоком и случайным временем обслуживания

На правах рукописи

005020271

КИРИЛОВ Александр Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОПРОФИЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО КОМПЛЕКСА С НЕСТАЦИОНАРНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ И СЛУЧАЙНЫМ ВРЕМЕНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Г- а Г1 1-) "^'О

J АКГ 10 ¡1

Воронеж - 2012

005020271

Работа выполнена в НОУВПО «Международный институт компьютерных технологий» (г.Воронеж).

Научный руководитель Олейникова Светлана Александровна,

кандидат технических наук, доцент, Международный институт компьютерных технологий (г.Воронеж), доцент кафедры информатики и вычислительной техники

Официальные оппоненты: Бурковский Виктор Леонидович, доктор

технических наук, профессор, Воронежский государственный технический университет, зав. кафедрой электропривода, автоматики и управления в технических системах;

Бобровников Александр Васильевич,

кандидат технических наук, доцент, Московский государственный университет путей сообщения, доцент кафедры высшей и прикладной математики

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

университет инженерных технологий»

Защита состоится 19 апреля 2012 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ■ ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан «19» марта 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Барабанов Владимир Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В современных условиях к обслуживающим комплексам предъявляются повышенные требования с точки зрения оптимальности функционирования. Учет ограничений на взаимную зависимость работ, особенностей входящего потока, случайной длительности обслуживания, существующего плана выполнения работ позволит составить наиболее эффективный график функционирования системы в целом, а следовательно, повысить качество ее работы.

Большой вклад в развитие анализа сложных систем и оптимизацию их функционирования внесли как отечественные, так и иностранные ученые. Базовые результаты теории систем массового обслуживания были получены А.К. Эрлангом, Л. Клейнроком, а также советскими учеными А. Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным, Б.А. Севастьяновым и др. Разработкой оценок длительности обслуживания сложных систем занимались как отдельные ученые (X. Ахь-юджа, Р.В. Конвей, А. Кофман, Д.И. Голенко- Гинзбург и др.), так и целые организации («Буз, Ален и Гамильтон», «Локхид»).

Однако не все проблемы в данной области можно считать решенными. В частности, исчерпывающие характеристики получены лишь дня классических систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок. В остальных случаях существуют лишь некоторые формулы, недостаточные для полного описания функционирования сложных систем. В связи с этим возникает необходимость разработки математических моделей, учитывающих все специфические особенности системы и позволяющие определить ее характеристики. Поскольку применение аналитического аппарата зачастую бывает затруднительно в связи со сложностью модели, необходимо для этой цели использовать численные методы.

В частности, одной из важнейших задач является оценка числа обслуживающих устройств при нестационарном входящем потоке. Учет специфики поступления заявок при планировании графика работы обслуживающих устройств позволит минимизировать ситуации, при которых заявка должна получить отказ в связи с пиковой загрузкой системы.

Другой важной задачей является оценка длительности обслуживания. Точная оценка времени обслуживания позволит плановое расписание максимально приблизить к реальному и, вследствие этого, минимизировать ошибки, возникающие при планировании.

Сложность современных обслуживающих систем обуславливает необходимость автоматизации процесса планирования работ с помощью специально разработанного комплекса программ, учитывающего все вышеперечисленные особенности.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования продиктована необходимостью улучшения функционирования многопрофильных обслуживающих комплексов, отличительными чертами которых являются нестационарный входящий поток заявок и случайная длительность обслуживания^

Работа выполнена в рамках научного направления НОУ ВПО «Международный институт компьютерных технологий» «Моделирование информационных процессов в сложных системах».

Цель работы. Целью работы является разработка моделей, методов и программных средств для оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с нестационарным входящим потоком заявок и случайным временем обслуживания.

Задачи исследования. Для достижения этой цели в работе необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать процесс функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с целью выявления возможных подходов для повышения эффективности его функционирования.

2. Разработать математическую модель системы, учитывающую нестационарный входящий поток, случайную длительность обслуживания и ограничение на время пребывания заявки в очереди.

3. Разработать аналитические и численные методы оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса.

4. Реализовать программные средства, моделирующие процесс планирования работ на основе разработанных ранее оценок и моделей.

Методы исследования. В работе использованы методы оптимизации, численные методы, а также методы моделирования, теория вероятностей и математическая статистика и теория объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18:

3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Научная новизна работы. В работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Математическая модель многопрофильного обслуживающего комплекса, учитывающая нестационарный входящий поток, случайную длительность обслуживания и ограничение на время пребывания в очереди и позволяющая найти оценки основных параметров, влияющих на эффективность работы системы.

2. Численная оценка длительности обслуживания, построенная на основании наименьшего, наибольшего и наиболее вероятного времени выполнения работ и повышающая точность оценок параметров оптимизационной задачи.

3. Численная оценка числа обслуживающих устройств в каждом центре, учитывающая нестационарный входящий поток и обеспечивающая максимальное приближение реальной загрузки системы к плановой.

4. Разработка системы компьютерного моделирования, особенностью которой является возможность автоматического изменения последовательности исполняемых модулей в зависимости от параметров входящего потока и характеристик обслуживающих устройств, позволяющей оптимизировать процесс функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса.

Практическая значимость работы. Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса программ, позволяющего автоматизировать процесс планирования работ для многопрофильного обслуживающего комплекса и учитывающего неоднородность входящего потока заявок и случайное время их обслуживания. Использование данного программного комплекса позволит не только значительно сократить время, затрачиваемое на планирование работ, но и существенно повысить качество составляемого графика работ.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты работы реализованы в виде комплекса программных средств, предназначенных для повышения эффективности функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса. Эффект от внедрения заключается в приближении реальной загрузки системы к плановой, а также уменьшении вероятности отказа.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались на следующих научных конференциях и семинарах: X Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий» (Улан-Удэ, 2009), VIII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (Томск, 2009), Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2010), международной научной конференции «Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике» (Воронеж, 2010), I Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных и информационных систем» (Воронеж, 2011), 111 международной научно-практической конференции «Наука и просвещение» (Санкт-Петербург, 2011), а также научных семинарах кафедры информатики и вычислительной техники Международного института компьютерных технологий (Воронеж, 2009 -2011).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 18 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: [1] - особенности функционирования системы при наличии нестационарного потока; [2] - определение параметров для численной

оценки длительности обслуживания; [3] - алгоритм планирования работ, учитывающий временные ограничения и наличие план-графика для работ, поступивших в систему ранее; [4] - описание программы, автоматизирующей процесс планирования работ; [5-7] - формулы для оценки одного из параметров математической модели многопрофильного обслуживающего комплекса; [8] -разработка алгоритма и программного средства для подсистемы оценки длительности приема пациентов; [11,12] - анализ одного из подходов к оценке одного из параметров математической модели; [16]- реализация и проведение эксперимента; [17,18] -разработка программного кода.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований. Основная часть работы изложена на 109 страницах, содержит 17 таблиц и 32 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы, представлена научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены основные сведения об апробации и внедрении основных результатов, а также представлены сведения о публикациях.

В первой главе анализируются особенности задачи планирования для системы, отличительными чертами которой являются наличие нескольких центров обслуживания и случайная длительность выполнения работ. В частности, рассматривается функционирование обслуживающего комплекса, состоящего из нескольких центров, каждый из которых предназначен для обслуживания заявок определенного типа. На вход системы поступает нестационарный поток с интенсивностью Ц\). .Обслуживание заявки представляет собой выполнение нескольких взаимосвязанных работ, каждая из которых должна выполняться в определенном центре. Необходимо оптимизировать функционирование данного комплекса.

Первая часть главы посвящена обзору методов решения подобных задач. Во второй части анализируются подходы к оценке длительности работ. Третья часть посвящена анализу систем массового обслуживания с целью возможности получения характеристик функционирования для исследуемой системы.

Вторая глава посвящена разработке математической модели многопрофильного обслуживания комплекса, отличительной чертой которого является наличие нескольких центров обслуживания, нестационарного входящего потока, а также случайной длительности выполнения работ.

В начале главы рассмотрены отличия работы каждого центра описанной выше системы от классической системы массового обслуживания, которые заключаются в следующем:

- в силу того, что интенсивность входного потока на каждый центр i X (t)

будет зависеть от времени, сделан вывод о том, что входящий поток не является простейшим;

- длительность обслуживания не распределена по экспоненциальному закону. Это является также одним из предположений, на основании которых были выведены известные формулы теории массового обслуживания. Анализ специфики функционирования сложных систем показывает, что наиболее целесообразным законом распределения длительности обслуживания является закон бета;

- система будет отличаться от классической системы массового обслуживания с учетом специфики ее функционирования.

Затем предложено рассмотреть следующий режим работы системы. Пусть для обслуживания заявке необходимо пройти два этапа. На первом этапе она должна зарегистрироваться для обслуживания, а на втором - собственно пройти обслуживание. Схематично обслуживание в каждом центре можно представить следующим образом.

Поступающий поток заявок, л:

л_,

Проверка возможности обслуживания

Заявки, И

прошедшие отказы.

р егнстр ацню /.; \/_

Центр

обслуживания

Рис. 1. Функционирование отдельного центра обслуживания

Анализ функционирования системы позволил выделить параметры, управляя которыми можно достичь оптимального режима работы комплекса:

1) общее количество обслуживающих устройств;

2) количество обслуживающих устройств в каждом из периодов с учетом нестационарности входящего потока и требований о перерыве в работе каждого устройства;

3) длительность обслуживания.

При этом выделены следующие показатели эффективности:

1) минимизация вероятности отказа;

2) минимизация времени ожидания в очереди;

3) максимизация загрузки системы.

На основании этих показателей была предложена следующая математическая модель системы:

_I__1

(Б-а)1'^)^ «; 1 <2)

а?и ^ ¡! + 8 • (в - а)

а .

5<Г (3)

Здесь: 5 - количество обслуживающих устройств в центре; X, -интенсивность исходного потока заявок в данный центр; ц - интенсивность обслуживания; Т - длительность рабочего функционирования обслуживающего устройства в течение суток; Х2 - интенсивность потока заявок, прошедших на

обслуживание; сх = —.

Ц

Поскольку минимизация отказа и минимизация времени ожидания в очереди учтены в формулах (1) и (2), необходимо учесть максимизацию загрузки системы. Для системы с бесконечной очередью коэффициент загрузки определяется формулой:

а

Р=5- (4)

Тогда поиск оптимального числа обслуживающих устройств определяется с помощью решения следующей оптимизационной задачи:

->тт, (5)

где в качестве ограничений выступают неравенства (1)-(3).

С учетом специфики неравенства (2), аналитическое решение данной оптимизационной задачи получить не удалось. Однако в связи с тем, что функция в левой части неравенства монотонно убывает относительно Б, а также учитывая целочисленность данного аргумента, был предложен следующий алгоритм поиска оптимального значения Б, представленный на рисунке 2.

Здесь Се1_Ь - функция, которая будет возвращать значение длины очереди для заданного значения Б на основании левой части неравенства (2).

Далее исследовались особенности решения данной задачи, связанные с нестационарным характером входящего потока. В этом случае требование описанное неравенством (3) не всегда целесообразно. Однако длина очереди' описываемая левой частью неравенства (2), может быть рассчитана только при данных условиях.

Анализ возможных подходов к оценке оптимального числа обслуживающих устройств показал, что наиболее целесообразным вариантом будет поиск данного значения при усредненной интенсивности с помощью алгоритма, представленного на рисунке 2. Если известна функция интенсивности МО, то получить среднее значение можно с помощью формулы:

б

7-Ц

Г останов )

Рис. 2. Алгоритм поиска оптимального числа обслуживающих устройств

Нестационарность входящего потока обуславливает необходимость решения задачи оценки оптимального числа обслуживающих устройств в отдельные периоды. Данная задача возникает в силу того, что если, например, под обслуживающими устройствами понимать специалистов, то очевидно, что в течение определенного периода специалист будет недоступен (уйдет в отпуск и т.п.). В силу этого оптимальное распределение мощности системы в отдельные периоды является весьма важной задачей.

Математически ее можно описать следующим образом:

-У

• гшп.

, -18,= (к-де,.

(7)

(8)

Здесь к количество периодов, б,, - количество обслуживающих устройств в ¡-м центре в ]-й период; у - желательный коэффициент загрузки системы.

и Б <8.

Анализ возможностей аналитического решения (7) - (9) показал необходимость использования численного подхода к решению задачи. В связи с этим предлагается дальнейшее ее численное решение.

Еще одном фактором, влияющим на качество расписания, является длительность обслуживания. Для ее оценки было проанализировано несколько подходов. В частности, рассматривалась возможность применения аппарата нейронных сетей. Но оказалось, что структура нейронной сети будет в большой степени зависеть от специфики обслуживания и от вида обслуживающего комплекса. Кроме того, требовалось наличие статистических данных, учитывающих влияние каждого из факторов, влияющих на длительность обслуживания Поэтому от использования данного подхода было решено отказаться.

Далее рассматривался подход, основанный на теории вероятностей Было обосновано, что наиболее предпочтительно случайную длительность обслуживания $ описывать с помощью бета-распределения. Этот закон описывается с помощью формулы:

~ (1-аГ(Ь-1Г,а51*Ь, В(м) (Ю)

f,(t)=

0, t < a, t > b.

Здесь р и q - параметры бета-распределения, а - минимально возможное значение случайной величины; b - максимально возможное значение данного значения; B(p,q) - бета - функция.

Анализ существующих методов оценки длительности работ показал что наиболее распространенными являются расчетные формулы метода PERT Они имеют следующий вид:

а + 4ш + Ь

=---. (П)

Здесь m - наиболее вероятное время выполнения операции (мода)- М£-математическое ожидание.

В работе было показано, что метод PERT фактически сводится к решению следующей системы относительно неизвестных Щ, р и q при известном значении моды ш:

M^ = a + (b-a)-J-p + q

m = a + (b-a)-£d_ p + q-2

(12)

pq

(Р+Ч)ЧР+Я + 0 36

1Р + Я = 6

Очевидна избыточность данной системы, поскольку для нахождения трех неизвестных достаточно трех уравнений. Детальный анализ системы показал,

что лишним является четвертое уравнение, полученное на основании некоторых предположениях метода PERT. Таким образом, оценка длительности выполнения операций сводится к нахождению (а также параметров р и q) из первых трех уравнений системы (12).

После нахождения неизвестных р и q и подстановки их в первое уравнение (12) была получена оценка математического ожидания. В результате преобразования данной системы, представленного в тексте диссертационного исследования, выведены следующие формулы для нахождения параметров р и q:

(m-aXq~2)+b-a (13)

b-m

t(b-m)-(a + b-2m)^ (14)

b-a

где t определяется из уравнения:

i-36>:aft-m)l-t3«yb-?my +

(b - a) J (b - а)"

t' +t 36(a + b-2m):

(15)

'" (ь-У

Таким образом, предложен подход к оценке длительности обслуживания, которая будет определяться с помощью одного из корней уравнения (15). Анализ возможных аналитических подходов к решению данного уравнения (в частности, использование формулы Кардано) показал необходимость использования численных методов для поиска решения (15).

Третья глава посвящена численным оценкам оптимального числа обслуживающих устройств, длительности обслуживания, а также подходу к планированию работ в системе, отличительной особенностью которой является нестационарный поток заявок, наличие существующего расписания по обслуживанию заявок, пришедших ранее, а также нескольких центров обслуживания.

Поскольку оценка оптимального числа обслуживающих устройств в каждом из периодов является задачей на условный экстремум, то с помощью штрафной функции вида:

В(5)=[15,-(к-1^ (16)

она была сведена к задаче на безусловный экстремум. В результате, целевая функция приобрела следующий вид:

](5„...,з к) = ¿[^ - гТ + Г1- (к -1)6)"" ■ (П)

Для численного решения данной задачи был использован метод градиентного спуска. Основные этапы численного подхода к оценке длительности обслуживания в общем виде можно описать следующим образом:

1. Формирование с помощью формулы (16) штрафа.

2. Сведение задачи (7)-(9) к задаче на безусловный экстремум с помощью формулы (17).

3. Численное решение задачи (17) методом градиентного спуска.

4. Нахождение оптимального целочисленного результата.

Следующим этапом явилось определение параметров для численной

оценки длительности обслуживания каждой операции. При этом считалось, что известны следующие значения:

- наименьшее возможное значение длительности а;

- наибольшее возможное значение длительности Ь;

- наиболее вероятное значение длительности ш.

Во второй главе было получено следующее уравнение (15), решив которое можно найти параметры бета-распределения. Было очевидно, что данное уравнение можно решить любым численным методом, например, с помощью дихотомии. Для отделения корней определим промежутки монотонности функции, найдя первую производную функции, описанной в левой части уравнения (15), и приравняв ее к нулю. Получим следующие точки, отделяющие корни уравнения:

где

I (Ь-а)г ) (Ь-а)! ' 1 '

Для того, чтобы определить интервал, в котором находится корень, на основании которого рассчитывается истинное значение математического ожидания, был проведен эксперимент. В нем, изменяя моду последовательно от а до Ь с шагом 0.1, рассчитываем значение 1, как каждый из трех корней, параметры р и я, полученные на основании этого значения, а также математическое ожидание. Результаты эксперимента приведены в следующей таблице.

Таблица 1

Результаты эксперимента_

ш м, М2 М3

0.1 -0.0854 0.9385 0.2424

0.2 -0.0408 0.9451 0.2929

0.3 -0.0095 0.9512 0.3552

0.4 0.0068 0.962 0.4256

ю

Продолжение табл. 1

0.5 0.5 0.5 0.5

0.6 0.9932 0.038 0.5744

0.7 1.0095 0.0488 0.6448

0.8 1.0408 0.0549 0.7071

0.9 1.0854 0.0615 0.7576

После анализа полученных значений и сравнения их с аналогами метода PERT был сделан вывод, что из трех интервалов лишь в третьем будет находиться то значение t, на основании которого можно получить значение математического ожидания.

Далее при предположении о найденных оценках для нестационарного потока заявок и случайной длительности обслуживания разрабатывается алгоритм, предназначенный для планирования работ в системе, особенностями которой является наличие план-графика для работ, поступивших в систему ранее, а также критерия равномерной загрузки. Общая схема алгоритма представлена на рисунке 3.

Основные обозначения на данном алгоритме: w - массив работ, которым необходимо определить время; Sh - существующее расписание; ТКр - критическое время выполнения данных работ; Tfln - время окончания проекта, рассчитанное в соответствии с построенным к данному времени расписанием. Используются также следующие подпрограммы: Get_Free_Res(sh) - подпрограмма для определения уровня свободных ресурсов на каждом интервале; Choose_W(i,wr) - подпрограмма, определяющая подмножество работ wr, которые могут начать свое выполнение на i-м интервале (в момент времени tj); Def_w(wrj) - подпрограмма, выделяющая работу j из множества wr, для которой в данный момент времени будет определяться начало выполнения; Get_tm(j) - подпрограмма для расчета наиболее предпочтительного времени выполнения работы j; Pred_Korr_res(w) - подпрограмма, которая определяет величину ресурсов для всех работ, которым еще не запланировано время; Cans(sh) - подпрограмма, отменяющая время последнего назначения времени работе j и назначающая всем последующим работам, имевшие место ранее, приоритеты; Ban(j) - подпрограмма, запрещающая назначать работе j определенное ранее время; Length(wr) - подпрограмма, которая проверяет количество работ из подмножества wr, которым еще не было назначено времени; Def_Sh -подпрограмма для закрепления расписания; Mistake - подпрограмма, позволяющая выявить ошибку, которая возникает в случае, если планирование работ w не может быть осуществлено в заданное время ТКр.

Рис. 3. Обобщенный алгоритм планирования работ В четвертой главе приведено описание программного комплекса, автоматизирующего процесс оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса на примере лечебно-профилактического учреждения (ЛПУ). Программа представляет собой систему компьютерного моделирования, позволяющую на основании построенной математической модели и численных оценок смоделировать процесс функционирования ЛПУ.

Новизна программного комплекса заключается в возможности автоматического изменения последовательности исполняемых модулей в зависимости от параметров входящего потока и характеристик обслуживающих устройств. Эта особенность реализуется посредством подпрограмм, описанных в модуле Main_Cen_Unit центра управления. Программа написана в среде Delphi 7 для операционной системы Windows.

Разработана структура комплекса программ, представленная на рисунке 4. На данном рисунке представлены следующие модули. Для всех подсистем

Эа1аМос1и1е - модуль, предназначенный для организации взаимодействия с удаленной базой данных.

Рис. 4. Общая структура программного комплекса

1. Подсистема планирования: Мат_Р1_11пи - основной модуль подсистемы; 1при1_иш1 - модуль, предназначенный для организации ввода данных о новой заявке, выбора соответствующих работ и различных ограничений; 8е«т_игиЧ - модуль, позволяющий пользователю настроить необходимую конфигурацию для выбранного агента; Р1апп1'п£_ишЧ - модуль, содержащий основные подпрограммы и алгоритмы, позволяющие формировать расписание.

2. Подсистема Оценки длительности работ: Мат_Оиг_ипк - основной модуль подсистемы; Ез1_ип11 - модуль, содержащий основные подпрограммы, необходимые для оценки длительности.

3. Подсистема коррекции: Маш_Ког_ипк - основной модуль подсистемы; Ког_ипЬ - модуль, содержащий основные подпрограммы, позволяющие скорректировать оценки параметров; 51а1_ипк - модуль, содержащий подпрограммы для получения оценок по статистическим данным.

4. Центр управления: Мат_Сеп_ипй - основной модуль подсистемы; Еэ^ипк - модуль для численной оценки числа обслуживающих устройств.

На основании детального анализа предметной области, с учетом специфики требований к программному комплексу, была разработана база данных, структура которой представлена на рисунке 5.

Рис. 5. Логическая модель базы данных Далее были разработаны основные подсистемы программного комплекса. Регистрация пациента представлена на рисунке 6.

шшн ни I шин им ¡мжмгщ^^ , н | |

а**»»?«?*™

7 Анализ но Вич

в ПцР

3 Анвлюивгвпатт

0 Исследование но 1дС

1 Исспеоовон1лв «а к^м

2 'Исследование на 1дА

3 Прием гимелологв * Прием уролога

■Ей

Рис. 6. Основное окно подсистемы

При нажатии на кнопку «Далее» согласно алгоритму, представленному на рисунке 3, планируется время выполнения каждой операции. Результаты планирования выдаются в отдельном окне.

Отвеетво | ■

Услуга {Врач (каб Пата {время

► Общий анализ крови • Логвинв 12 1404 10 815

Микробиол анализ Лорьино 43 14 04 10 10 30

Цитологический аналь Зеленое 5 1404 10 12 00

Прием дерматолога Воробьев 30 21 04 10 11 30

«и А

Сохранить в вазу

Рис. 7. Результаты планирования В последней части четвертой главы описаны результаты серии поставленных экспериментов, позволяющие обосновать необходимость их внедрения. В качестве критериев эффективности рассматривались следующие показатели: минимизация вероятности отказа, минимизация времени ожидания в очереди и максимизация загрузки системы. Степень эффективности оценки числа обслуживающих устройств рассчитывалась по формуле:

= 1

, -5.

(20)

Здесь Б, сущ - количество специалистов, которые работали в ¡-м периоде; от ~ оптимальное количество специалистов, необходимое для обслуживания заданного числа пациентов. Для экспериментального обоснования полученных оценок использовались статистические данные БУЗВО ВОККВД. Результаты приведены в следующей таблице.

Таблица 2

Сравнительный анализ результатов по БУЗВО ВОККВД

№ ян фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек

1 2360 2350 2620 2680 2070 2150 2067 1900 2610 2640 2405 2485

2 8 8 8 9 8 8 8 8 9 9 8 8

3 8 8 9 9 8 8 7 7 9 9 8 9

В первой строке таблицы приведены данные о числе поступивших в 2008 году пациентов в дерматологическое отделение; во второй - количество специалистов с учетом отпусков, которое имело место в 2008 году; в третей -предлагаемые решения по числу специалистов. В результате расчета по формуле (20) ошибки для первого и второго случая оказалось, что до оптимизации

она составляла 3,1, а после - 2,1. Таким образом, можно сделать вывод о том, что ошибка снизилась почти в 1,5 раза. Это свидетельствует о том, что данная оценка дает возможность судить о степени приближения реальной нагрузки к плановой. Более того, расчет значений с помощью полученных оценок позволяет принять решение о возможности предоставить отпуск в летнее время большему числу специалистов, что говорит о социальном эффекте.

Подсистема планирования разработанного программного средства зарегистрирована в ФАП «ВНТИЦ». Имеется свидетельство о регистрации программы в ФИПС № 2011617260 от 29.09.2011. Программа внедрена в МУЗ Хо-хольская ЦРБ и БУЗВО ВОККВД, что подтверждается актами о внедрении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель многопрофильного обслуживающего комплекса, учитывающая нестационарный входящий поток, случайную длительность обслуживания и ограничение на время пребывания в очереди и позволяющая найти оценки основных параметров, влияющих на эффективность работы системы.

2. Получена численная оценка длительности обслуживания, построенная на основании наименьшего, наибольшего и наиболее вероятного времени обслуживания и повышающая точность оценок параметров оптимизационной задачи.

3. Предложена численная оценка числа обслуживающих устройств в каждом центре, учитывающая нестационарный входящий поток и обеспечивающая максимальное приближение реальной загрузки системы к плановой.

4. Разработан метод планирования работ, учитывающий критерий равномерной загрузки системы и ограничения на максимальное время пребывания заявки в системе.

5. Реализован комплекс программ, представляющий собой систему компьютерного моделирования, позволяющий автоматизировать процесс планирования работ для многопрофильного обслуживающего комплекса и учитывающий неоднородность входящего потока заявок и случайное время их обслуживания.

6. Внедрение результатов исследования позволило не только значительно сократить время, затрачиваемое на планирование работ, но и существенно повысить качество составляемого расписания, а также оптимизировать функционирование многопрофильного лечебно-профилактического учреждения путем подбора оптимального числа специалистов в каждый из периодов обслуживания.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Олейникова С.А. Управление неоднородным потоком заявок с целью оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса/ С.А. Олейникова, A.A. Кирилов// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2009. Т. 5. №10. С. 169-173

2. Олейникова С.А. Численная оценка параметров бета-распределения/ С.А. Олейникова, A.A. Кирилов// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т.7. № 7. С.209-212.

3. Кирилов A.A. Особенности подхода к планированию работ в системе с существующим расписанием/ A.A. Кирилов, С.А. Олейникова // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 3(45). С. 64-67.

Статьи и материалы конференций

4. Олейникова С.А. Автоматизация планирования работы специалистов лечебно-профилактических учреждений/ С.А. Олейникова, A.A. Кирилов// Врач-аспирант. Воронеж: Научная книга, 2008. Выпуск 2 (22). С.75-79

5. Олейникова С.А. Об одном подходе к решению задачи планирования обслуживания пациентов/ С.А. Олейникова, A.A. Кирилов// Врач-аспирант. Воронеж: Научная книга, 2008. Выпуск 3(24). С.235-240.

6. Кирилов A.A. О подходах к формализации длительности обслуживания пациентов в многопрофильных лечебно-профилактических учреждениях/ A.A. Кирилов, С.А. Олейникова // Современные проблемы информатизации в моделировании и социальных технологиях: сб. тр. Воронеж: Научная книга, 2009. Вып.14. С.141-144.

7. Олейникова С.А. Оценка длительности обслуживания пациентов в лечебно-профилактических учреждениях/ С.А. Олейникова, A.A. Кирилов// Управление в социальных и экономических системах: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТУ, 2008. С. 111 -117.

8. Кирилов A.A. Разработка подсистемы для оценки длительности приема пациентов в ЛПУ/ A.A. Кирилов, С.А. Олейникова// Врач-аспирант. Воронеж: Научная книга, 2009. Выпуск 2(29). С. 154-159.

9. Кирилов A.A. Разработка системы диспетчерского управления ЛПУ /A.A. Кирилов// Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: материалы X Всерос. науч.-техн. конф. Улан-Удэ, 2009. С.288-293.

10. Кирилов A.A. Математическое моделирование процесса планирования работ для медицинского учреждения/ A.A. Кирилов// Информационные технологии и математическое моделирование: материалы VIII Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. Томск, 2009. Ч. 1. С.41-47.

П.Кирилов A.A. Формализация нечеткости при математическом моделировании длительности обслуживания пациентов в ЛПУ/ A.A. Кирилов, С.А.

Олейникова, И.Н. Крючкова// Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: труды Всерос. конф. Воронеж: ВГТУ, 2010. С.55-56.

12. Кирилов A.A. Особенности формализации и предобработки данных для оценки длительности работ с помощью нейронной сети/ A.A. Кирилов, С.А. Олейникова, И.Н. Крючкова //Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике: сб. тр. междунар. науч. конф. Воронеж: МИКТ 2010. 4.2. С.67-71

13. Кирилов A.A. О подходах к численной оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с неоднородным входящим потоком заявок /A.A. Кирилов// Критические технологии вычислительных и информационных систем: сб. тр. Воронеж: МИКТ, 2011. С. 51-57

14. Кирилов A.A. Проектирование структуры базы данных для автоматизированной системы планирования услуг многопрофильного медицинского учреждения /A.A. Кирилов// Современное состояние естественных и технических наук: материалы 1 междунар. науч.-практ. конф. М., 2011. С.89-93.

15. Кирилов A.A. Численная оценка загрузки многопрофильного обслуживающего комплекса при нестационарном потоке заявок /A.A. Кирилов//Наука и просвещение: сб. тр. III междунар. науч.-практ. конф. СПб.: Издательство Простобук, 2011. С.7-12.

16. Кирилов A.A. Экспериментальное подтверждение результатов оптимизации многопрофильного обслуживающего комплекса/ A.A. Кирилов, С.А. Олейникова// Информационные технологии моделирования и управления 2011 №6(71). С. 620-627.

17. Кирилов A.A. Программа «Оптимизация планирования обслуживания пациентов в лечебно-профилактических учреждениях»/ A.A. Кирилов, С.А. Олейникова. - М.: ФАП ВНТИЦ, 2008. № 50200801108 от25.01.2008.

18. Олейникова С.А. Программа «Оптимизация функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с нестационарным входящим потоком»/ С.А. Олейникова, A.A. Кирилов. Свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ № 2011617260 от 29.09.2011. Зарегистрировано 18.11.2011. № 2011618998.

Подписано в печать 16.03.2012. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14

61 12-5/3198

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КИРИЛОВ Александр Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОПРОФИЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО КОМПЛЕКСА С НЕСТАЦИОНАРНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ И СЛУЧАЙНЫМ ВРЕМЕНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Специальность: 05.13 Л 8 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -кандидат технических наук, доцент Олейникова Светлана Александровна

Воронеж — 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................. 5

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ОСОБЕННОСТИ ОПТИМИЗАЦИИ

МНОГОПРОФИЛЬНЫХ ОБСЛУЖИВАЮЩИХ КОМПЛЕКСОВ......... ю

1.1 Анализ функционирования многопрофильных обслуживающих комплексов.......................................................................... 10

1.2 Системы массового обслуживания как инструмент анализа обслуживающих комплексов..................................................... 16

1.3 Особенности влияния нестационарного потока на функционирование системы............................................................................... 24

1.4 Обзор подходов к оценке длительностей работ............................. 27

1.5 Цель и задачи исследования..................................................... 36

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ

ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОПРОФИЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО КОМПЛЕКСА.......................................................... 38

2.1 Математическая модель многопрофильного обслуживающего комплекса с несколькими центрами обслуживания......................... 38

2.2 Оценка оптимального числа обслуживающих устройств.................. 45

2.3 Оценка оптимального числа обслуживающих устройств в каждый момент времени..................................................................... 51

2.4 Оценка длительности обслуживания.......................................... 55

2.5 Выводы............................................................................... 64

3 ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РАБОТЫ

МНОГОПРОФИЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО КОМПЛЕКСА..................66

3.1 Численный метод оценки оптимального числа обслуживающих устройств........................................................................................................................................................66

3.2 Численная оценка длительности обслуживания........................................................71

3.3 Эксперименты для оценки длительности обслуживания....................................74

3.4 Разработка алгоритма планирования взаимно - зависимых работ для обслуживающего комплекса при существующем расписании............................81

3.5 Выводы............................................................................................................................................................90

4 ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ С НЕОДНОРОДНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК И СЛУЧАЙНОЙ

ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ОБСЛУЖИВАНИЯ..................................................................................92

4.1 Структура программного комплекса....................................................................................92

4.2 Структура базы данных....................................................................................................................98

4.3 Применение разработанной системы в многопрофильном лечебно-профилактическом учреждении................................................................................................106

4.4 Экспериментальное обоснование полученных результатов............................112

4.5 Выводы............................................................................................................................................................121

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ............................................................................................119

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................................122

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 - Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ................................................................................133

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 - Акты внедрения..................................................................................................134

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 - Фрагмент таблицы «Должность»........................................................136

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 - Фрагмент таблицы «Должность-Сотрудник»......................137

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 - Фрагмент таблицы «История болезни»....................................138

ПРИЛОЖЕНИЕ 6 - Фрагмент таблицы «Назначение»...............................140

ПРИЛОЖЕНИЕ 7 - Фрагмент таблицы «Отделение»..........................................................142

ПРИЛОЖЕНИЕ 8 - Фрагмент таблицы «Пациент»................................................................143

ПРИЛОЖЕНИЕ 9 - Фрагмент таблицы «Расписание сотрудника»..........................145

ПРИЛОЖЕНИЕ 10 - Фрагмент таблицы «Услуга»................................................................146

ПРИЛОЖЕНИЕ 11 - Фрагмент таблицы «Смежная услуга»........................................147

ПРИЛОЖЕНИЕ 12 - Фрагмент таблицы «Сотрудник»......................................................148

ПРИЛОЖЕНИЕ 13 - Фрагмент таблицы «Услуга-Сотрудник»..................................149

ПРИЛОЖЕНИЕ 14 - Фрагмент таблицы «Отпуск»................................................................150

ВВЕДЕНИЕ Актуальность

В современных условиях к обслуживающим комплексам предъявляются повышенные требования с точки зрения оптимальности функционирования. Учет ограничений на взаимную зависимость работ, особенностей входящего потока, случайной длительности обслуживания, существующего плана выполнения работ позволит составить наиболее эффективный график функционирования системы в целом, а, следовательно, повысить качество ее работы.

Большой вклад в развитие анализа сложных систем и оптимизацию их функционирования внесли как отечественные, так и иностранные ученые. Базовые результаты теории систем массового обслуживания были получены А.К. Эрлангом, Л. Клейнроком, а также советскими учеными А. Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным, Б.А. Севастьяновым и др. Разработкой оценок длительности обслуживания сложных систем занимались как отдельные ученые (X. Ахьюджа, Р.В. Конвей, А. Кофман, Д.И. Голенко- Гинзбург и др.), так и целые организации («Буз, Ален и Гамильтон», «Локхид»).

Однако, не все проблемы в данной области можно считать решенными. В частности, исчерпывающие характеристики получены лишь для классических систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок. В остальных случаях существуют лишь некоторые формулы, недостаточные для полного описания функционирования сложных систем. В связи с этим возникает необходимость разработки математических моделей, учитывающих все специфические особенности системы и позволяющие определить ее характеристики. Поскольку применение аналитического аппарата зачастую бывает затруднительно в связи со сложностью модели, необходимо для этой цели использовать численные методы.

В частности, одной из важнейших задач является оценка числа обслуживающих устройств при нестационарном входящем потоке. Учет специфики поступления заявок при планировании графика работы обслуживающих

5

устройств позволит минимизировать ситуации, при которых заявка должна получить отказ в связи с пиковой загрузкой системы.

Другой важной задачей является оценка длительности обслуживания. Точная оценка времени обслуживания позволит плановое расписание максимально приблизить к реальному и, вследствие этого, минимизировать ошибки, возникающие при планировании.

Сложность современных обслуживающих систем обуславливает необходимость автоматизации процесса планирования работ с помощью специально разработанного комплекса программ, учитывающего все вышеперечисленные особенности.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования продиктована необходимостью улучшения функционирования многопрофильных обслуживающих комплексов, отличительными чертами которых являются нестационарный входящий поток заявок и случайная длительность обслуживания.

Работа выполнена в рамках научного направления НОУ ВПО «Международный институт компьютерных технологий» «Моделирование информационных процессов в сложных системах».

Цель работы. Целью работы является разработка моделей, методов и программных средств для оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с нестационарным входящим потоком заявок и случайным временем обслуживания.

Задачи исследования. Для достижения этой цели в работе необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать процесс функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса с целью выявления возможных подходов для повышения эффективности его функционирования.

2. Разработать математическую модель системы, учитывающую нестационарный входящий поток, случайную длительность обслуживания и ограничение на время пребывания заявки в очереди.

3. Разработать аналитические и численные методы оптимизации функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса.

4. Реализовать программные средства, моделирующие процесс планирования работ на основе разработанных ранее оценок и моделей.

Методы исследования. В работе использованы методы оптимизации, численные методы, а также методы моделирования, теория вероятностей и математическая статистика и теория объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18:

3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Научная новизна работьь В работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Математическая модель многопрофильного обслуживающего комплекса, учитывающая нестационарный входящий поток, случайную длительность обслуживания и ограничение на время пребывания в очереди, и позволяющая найти оценки основных параметров, влияющих на эффективность работы системы.

2. Численная оценка длительности обслуживания, построенная на основании наименьшего, наибольшего и наиболее вероятного времени выполнения работ и повышающая точность оценок параметров оптимизационной задачи.

3. Численная оценка числа обслуживающих устройств в каждом центре, учитывающая нестационарный входящий поток и обеспечивающая максимальное приближение реальной загрузки системы к плановой.

4. Разработка системы компьютерного моделирования, особенностью которой является возможность автоматического изменения последовательности исполняемых модулей в зависимости от параметров входящего потока и характеристик обслуживающих устройств, позволяющей оптимизировать процесс функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса.

Практическая значимость работы. Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса программ, позволяющего автоматизировать процесс планирования работ для многопрофильного обслуживающего комплекса и учитывающего неоднородность входящего потока заявок и случайное время их обслуживания. Использование данного программного комплекса позволит не только значительно сократить время, затрачиваемое на планирование работ, но и существенно повысить качество составляемого графика работ.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты работы реализованы в виде комплекса программных средств, предназначенных для повышения эффективности функционирования многопрофильного обслуживающего комплекса. Эффект от внедрения заключается в приближении реальной загрузки системы к плановой, а также уменьшении вероятности отказа.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались на следующих научных конференциях и семинарах: Современные проблемы информатизации в моделировании и социальных технологиях (2009), Управление в социальных и экономических системах (2009), X Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий» (Улан-Удэ, 2009), VIII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (Томск, 2009), Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве (Воронеж, 2010), Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике (Воронеж, 2010), I

Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных и информационных систем» (Воронеж, 2011), «Наука и просвещение» (Санкт-Петербург, 2011), а также научных семинарах кафедры информатики и вычислительной техники Международного института компьютерных технологий (Воронеж, 2009 -2011).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 18 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: [1] - особенности функционирования системы при наличии нестационарного потока; [2] - определение параметров для численной оценки длительности обслуживания; [3] - алгоритм планирования работ, учитывающий временные ограничения и наличие план-графика для работ, поступивших в систему ранее; [4] - описание программы, автоматизирующей процесс планирования работ; [5-7] - формулы для оценки одного из параметров математической модели многопрофильного обслуживающего комплекса; [8] -разработка алгоритма и программного средства для подсистемы оценки длительности приема пациентов; [11,12] - анализ одного из подходов к оценке одного из параметров математической модели; [16]-Реализация и проведение эксперимента; [17,18] -разработка программного кода.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований. Основная часть работы изложена на 109 страницах, содержит 17 таблиц и 32 рисунка.

Глава 1 Современное состояние и особенности оптимизации многопрофильных обслуживающих комплексов

Глава посвящена обзору современного состояния проблемы оптимизации функционирования многопрофильных обслуживающих комплексов, особенностями которых является нестационарный входящий поток заявок и случайная длительность их обслуживания, а также анализу методов, позволяющих оптимизировать работу таких систем. В первой части приводится анализ функционирования многопрофильных обслуживающих комплексов в целях поиска оптимизации их дальнейшей работы. Во второй части дается обзор систем массового обслуживания как одного из инструментов для анализа вычислительных систем. Третья часть посвящена анализу нестационарного входящего потока заявок. Обзор подходов для оценки длительности обслуживания приведен в четвертой части. В пятой части формулируются цели и задачи диссертационного исследования.

1.2 Анализ функционирования многопрофильных обслуживающих комплексов

Качество и своевременность обслуживания заявок является одним из наиболее важных показателей функционирования современных обслуживаемых комплексов. Невозможность выполнения некоторой работы в данный момент времени может не только повлечь потерю прибыли и различного рода штрафы, но и привести к таким последствиям, как, например, ухудшение здоровья пациента, если речь идет о медицинских учреждениях [25]. Следовательно, обслуживание должно быть организовано таким образом, чтобы минимизировать различные задержки. С другой стороны, количество обслуживающих устройств и график их работы должен быть таким, чтобы затраты на их функционирование были бы минимальными. Иными словами, необходимо минимизировать простой обслуживающих устройств и оптимальным образом организовать их загрузку. Существенной характеристикой, влияющей на качество создаваемого расписания, является длительность обслуживания. Учет

точной оценки длительности позволит не только уменьшить различного рода очереди, связанные с несоответствием запланированного и фактического расписания, но и подобрать наиболее оптимальное время для обслуживания данной заявки.

Таким образом, задача оптимизации обслуживающих комплексов требует решения перечисленных выше задач и их автоматизации.

Рассмотрим задачу оптимизации многопрофильного обслуживающего комплекса и ее особенности. На вход системы поступает неоднородный поток заявок с интенсивностью ^0:). Каждая заявка требует выполнения определенных работ в некоторых отделениях системы (центров обслуживания). Предположим, что система состоит из п центров, каждый из которых специализируется в определенном виде обслуживания. Выполнение работы также зависит от некоторого объема ресурсов (одного или нескольких видов), к которым можно отнести специалистов, оборудование и т.д. Время выполнения определенной работы является случайной величиной, однако интенсивность ее выполнения ц не зависит от времени. Необходимо оптимизировать работу системы.

Для анализа возможных подходов к решению задачи выявим особенности функционирования такой системы. В первую очередь следует отметить случайную длительность обслуживания. Наличие случайных факторов при выполнении нескольких взаимосвязанных работ может существенно изменить время выполнения заяв