автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование дискретно заданных поверхностей на основе численных методов параболической интерполяции

На правахрукописи

Николаев Владимир Вениаминович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНО ЗАДАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Брянск 2005

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете.

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор Степанов Ю.С.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Иноземцев А.Н.

кандидат технических наук, доцент Подвесовский ЛБ,

Курский государственный технический университет

Защита состоится 26 апреля 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К212.021.01 при Брянском государственном техническом университете по адресу: 241035, г. Брянск, бульвар 50-летия Октября, д.7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Брянского государственного технического университета.

Автореферат разослан 24 марта 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Шкаберин В. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Широкое использование вычислительной техники в автоматизации производственных процессов предполагает, в том числе, создание точных геометрических моделей технических объектов. В современном машиностроении, наряду с аналитически определяемыми поверхностями, распространен класс поверхностей, задаваемых системой дискретных точек или построением отдельных сечений.

От математических моделей, описывающих как сам объект проектирования, так и процессы обработки деталей в значительной степени зависит эффективность применения программных комплексов. Существующие CAD/САМ системы в основном ориентированы на использование универсальных методов аппроксимации сплайнами при построении каркасных, поверхностных и твердотельных моделей деталей машин.

Эксплуатационные свойства деталей машин существенно зависят от качества поверхностного слоя. Учитывая широкое применение процессов механической, в том числе абразивной, обработки в различных отраслях промышленности, проблема исследования и разработки методов оценки качества поверхностного слоя остается актуальной. Решение этой задачи предполагает наличие удобных для инженерных расчетов математических моделей поверхностного слоя деталей машин. Предложенный Ю.С. Степановым способ определения микрогеометрии поверхности (патент РФ №2187070) предполагает аппроксимацию поверхности в окрестности данной точки соприкасающимся параболоидом, определяемым тензором кривизны Римана-Кристоффеля.

Разработка на базе предложенной модульной геометрической модели (МГМ) численных методов параболической интерполяции позволяет создать специализированный программный комплекс для автоматизированного построения трехмерных геометрических моделей обрабатываемых поверхностей деталей машин.

Диссертационная работа выполнялась в рамках исследований, проводимых при поддержке следующих грантов: грант на проведение научных исследований в ведущих научно-педагогических коллективах высших учебных заведений и научных организаций Минобразования России (PD02-2Л0-133) «Разработка модели управления процессом резания гидроабразивной струей конструкционных материалов на основе моделирования формообразования микрорельефа поверхности реза»; грант Минобразования России по фундаментальным исследованиям в области технических наук №1278 «Разработка теории и технологии обработки сверхзвуковой гидроабразивной струей, повышающей эффективность отделочно-зачистных технологических процессов».

Целью диссертационной работы является автоматизация построения

трехмерной модели шероховатой поверхности обрабатываемой детали на основе разработки численных методов параболической интерполяции дискретно заданных пространственно сложных поверхностей.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработка численного метода кусочно-непрерывной интерполяции дискретно заданной поверхности на основе МГМ, использующей соприкасающиеся параболоиды.

2. Разработка численного метода локальной параболической интерполяции дискретно заданных сечений поверхности каркасной модели изделия.

3. Создание структуры, алгоритмов и программная реализация вычислительного комплекса для автоматизации моделирования дискретно заданных поверхностей деталей машин при обязательном прохождении интерполирующей поверхности через заданную сетку точек.

4. Определение точности разработанных численных методов параболической интерполяции на основе применения созданного программного комплекса для тестовых поверхностей и при создании геометрических моделей подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий.

5. Построение трехмерных моделей шероховатых поверхностей на основе профилограмм для подтверждения эффективности применения разработанных численных методов параболической интерполяции дискретно заданных поверхностей при больших объемах экспериментальных данных.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в настоящей работе использовались методы аналитической геометрии, методы численного решения уравнений, матричной алгебры, теории вероятностей и методы аппроксимации кривых и поверхностей, применяемые в САПР. При создании программного обеспечения использовались технологии реализации графических интерфейсов и методы структурного программирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан численный метод интерполяции дискретно заданных поверхностей сложной формы на основе МГМ, использующей соприкасающиеся параболоиды, классифицируемые по тензору кривизны Римана-Кристоффеля.

2. Предложен численный метод локальной интерполяции дискретно заданных сечений поверхности отрезками парабол с сохранением непрерывности первой производной, дополняющий известные аналитические методы. Каждый отрезок определяется параметром параболы, координатами начала локальной системы координат параболы и углом поворота ее осей.

3. Разработана структура вычислительного комплекса для автоматизации расчетов макроотклонения, волнистости и шероховатости поверхностного слоя деталей машин на основе построенной трехмерной математической модели шероховатой поверхности.

4. Предложено уточнение способов параметрической оценки неровностей поверхности для использования в теоретических моделях, описывающих взаимосвязи параметров качества с условиями механической обработки.

На защиту выносятся:

1. Численный метод кусочно-непрерывной интерполяции дискретно заданной пространственно сложной поверхности, использующий соприкасающиеся параболоиды.

2. Численный метод представления дискретно заданных сечений поверхностей, использующий кусочно-непрерывную интерполяцию параболически-милиниями.

3. Структура и алгоритмы программного комплекса для автоматизации моделирования дискретно заданных поверхностей на основе разработанных численных методов параболической интерполяции.

4. Каркасные геометрические модели подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий.

5. Результаты построения трехмерных моделей шероховатых поверхностей деталей машин по экспериментальным данным.

Практическую ценность работы составляют:

1. Программный комплекс автоматизированного построения трехмерных моделей обрабатываемых поверхностей деталей машин, обеспечивающий точное прохождение интерполирующей кусочно-непрерывной поверхности через заданную сетку точек.

2. Программное обеспечение для интерполяции дискретно заданных сечений поверхности подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий.

Реализация результатов работы. Созданный комплекс программ использовался для построения трехмерных моделей дискретно заданных поверхностей деталей машин в ЗАО "Научприбор" и ОАО "Стекломаш", при автоматизированном проектировании геометрических моделей подушек прессов в НИИлегмаш.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, включая две статьи в журнале "Справочник. Инженерный журнал" (2003, 2004 гг.). Результаты выполненных исследований докладывались на Всероссийской научной конференции "Методы прикладной математики и компьютерной обработки данных в технике, экономике и экологии", Международных научно-технических конференциях "Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения" (г.Орел, 2001-2004 гг.), на Международном Форуме по проблемам науки, техники и образования (г. Москва, 2002 г.) и на научно-методических семинарах ОрелГТУ (1999-2004 гг.).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 131 наименования и приложений. Основная часть работы содержит 150 страниц машинописного текста, 56 рисунков и 11 таблиц. Приложения представлены на 57 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность решения проблем в области численного моделирования дискретно заданных пространственно-сложных поверхностей при механической обработке деталей машин, изложена цель, научная новизна, практическая значимость и структура работы, а также перечислены используемые методы исследования.

В первой главе рассмотрены особенности математического представления кривых и поверхностей, используемого в современных САПР. Проанализированы результаты теоретических и экспериментальных работ российских и зарубежных ученых, позволяющие сформулировать цель и задачи дальнейших исследований в области моделирования пространственно-сложных поверхностей.

Геометрическая модель детали с поверхностями сложной формы может быть задана в каркасном виде - системой кривых линий или дискретном виде - координатами точек. Классические методы интерполяции кривых полиномами по достаточно большому набору точек имеют ряд недостатков, делающих их применение в ряде случаев нерациональным. Применяемые методы кусочно-непрерывной интерполяции обычно предполагают использование полиномов третьей степени и выше, обосновывая непрерывность первой производной. При этом требуется найти решение большой системы линейных уравнений, зависящей от точности определения каждого параметра. В-сплайны обладают высокой универсальностью, но в исходной постановке обеспечивают интерполяцию только в двух крайних узловых точках. Их применение в современных САПР ориентировано на интерактивное решение задачи. При решении задачи обязательного прохождения сплайна через заданный набор точек используются итерационные методы. Применение NURB-сплайнов для больших наборов одинаково значимых точек нерационально. При построении каркасных поверхностей и поверхностей тензорного произведения на основе сплайнов сложности решения задачи точного прохождения интерполирующей кусочно-непрерывной поверхности через заданный набор точек значительно возрастают.

Рассмотренные методы математического моделирования сложных поверхностей не оперируют понятиями кривизны поверхности в точках каркаса. В основу данного исследования положена классификация модулей пространственно-сложных поверхностей и инструмента для их обработки по тензору Римана-Кристоффеля ЯШ2 как универсального и обобщенного параметра поверхности, инвариантного к изменению системы координат. Касательная плоскость воспроизводит форму поверхности в окрестности точки касания в первом приближении. Рассчитываемый по МГМ соприкасающийся параболоид воспроизводит форму поверхности во втором приближении.

Локальная интерполяция заданного набора точек параболическими кривыми, параметры которых имеют ясный геометрический смысл, позволяет дополнить существующие методы. Численная модель, использующая кривые

второго порядка для построения модульной геометрической модели детали на основе поверхностей, образованных поступательно-вращательным движением образующих, снижает требования к возможностям станков с ЧПУ.

Вид механической обработки оказывает существенное влияние на геометрию и характер расположения единичных макро- и микронеровностей обрабатываемой поверхности, а также на физико-химические характеристики тонкого поверхностного слоя. В решении сложной проблемы оценки влияния геометрических характеристик поверхностного слоя на такие эксплуатационные свойства деталей машин и их соединений, как контактная жесткость, износостойкость, герметичность, прочность посадок, большое значение может иметь создание программного комплекса для оценки параметров геометрии поверхностного слоя на основе трехмерной модели.

Значительное внимание вопросам качества поверхностного слоя уделяется при таком виде механической обработки деталей машин, как абразивная обработка. Большой вклад в разработку теории и методов абразивной обработки внесли российские ученые Е.Н. Маслов, А.В. Якимов, С.А Попов, М.Ф. Сем-ко, А.П. Хусу, Б.М. Базров, Ю.М. Зубарев, A.M. Дальский, О.А. Горленко, Э.В. Рыжов, А.Г. Суслов, Ю.С. Степанов, В.Г. Гусев, Л.В. Худобин и др. Разработанные аналитические модели процессов абразивной обработки используются для оценки характеристик макроотклонений, волнистости и шероховатости. Методы представления пространственно сложных поверхностей при исследовании процессов абразивной обработки для оценки геометрических показателей качества поверхностного слоя не используются широко, в частности, из-за сложности применения. Различные существующие модели используют аппроксимацию шероховатой поверхности плоскими, цилиндрическими, коническими, параболическими поверхностями. Для дальнейшего исследования процессов механической, в том числе абразивной, обработки требуются математические методы, позволяющие точно интерполировать сетку экспериментальных точек, определяемую профилограммами.

Технология точной обработки поверхностей предполагает метод математического моделирования на основе аналитического представления обрабатываемой поверхности. Математическая модель должна охватывать широкую область обрабатываемых технологических поверхностей. Такую возможность дает применение метода модульного геометрического моделирования. Трехмерная математическая модель микрорельефа позволяет учесть влияние особенностей применяемого метода механической обработки на параметры геометрии поверхностного слоя. Получение математической модели поверхности сложной формы дает дополнительные возможности для применения вероятностных подходов к описанию процесса формирования поверхности микрорельефа при различных видах абразивной обработки.

В результате проведенного анализа были сделаны следующие выводы:

1. Повышение эффективности научных исследований в области обеспечения эксплуатационных показателей деталей машин при механической обработке связано, в том числе, с созданием математических моделей, разработ-

кой алгоритмов и специализированных вычислительных комплексов на их основе.

2. Существующие методы моделирования поверхности сложной формы не используют понятие кривизны в точках каркаса в смысле Римана-Кристоффеля. Оценка кривизны в данной точке поверхности по теореме Ме-нье позволяет автоматизировать процесс определения типа соприкасающейся поверхности при обеспечении точного прохождения поверхности параболоида через заданную точку.

3. Математическая модель, использующая численные методы параболической интерполяции, обеспечивает точное прохождение интерполирующей кусочно-непрерывной поверхности через заданную сетку точек при обработке больших объемов экспериментальных данных для исследования особенностей микрорельефа при данном способе механической обработки.

Вторая глава посвящена разработке численных методов построения кар-касно заданных пространственно-сложных поверхностей. Предложенная МГМ использует поверхности, образованные поступательно-вращательным движением кусочно-непрерывной параболической кривой. Рассмотрена численная модель интерполяции дискретно заданных кривых линий отрезками парабол. Метод обеспечивает непрерывность первой производной при переходе от одного отрезка к другому. Каждый отрезок определяется четырьмя параметрами: параметром параболы координатами начала локальной системы координат параболы хо1,уо1 и углом поворота осей а (рис.1).

Алгоритм расчета параметров соприкасающейся параболы использует зависимость от угла и уравнение

У

С

X

Рис. 1. Параболы, имеющие общую касательную

С = -хь бш а + уь соб а; В = хь со5а + уь бтаг; Е = хасоъа +уа бш а.

Рассчитанные значения координат ул начала локальной системы координат позволяют найти параметр параболы

ха соб а+уа бш а - соэа - уо{ бш а

Значение целевой функции, меньшее или равное заданному значению относительной погрешности, определяет условия окончания работы алгоритма:

Для построения численной модели интерполяции замкнутых кривых разработан алгоритм построения замыкающего отрезка параболы, определяемого двумя касательными.

В соответствии с модульным принципом структурирования каркасную или дискретно заданную пространственно сложную поверхность можно аппроксимировать поверхностями, полученными поступательно-вращательными перемещениями кусочно-непрерывных параболических кривых. Разработанные математические модели позволяют создать программное обеспечение для автоматизированного построения каркасной геометрической модели обрабатываемой детали.

В третьей главе поставлена и решена задача разработки численного метода параболической интерполяции дискретно заданной поверхности, позволяющий моделировать микрорельеф поверхности при механической обработке. Геометрия реальной поверхности обрабатываемой детали характеризуется случайно расположенными или некоторым образом упорядоченными выступами и впадинами, высота которых значительно меньше их линейных размеров. Для расчета геометрических параметров шероховатости используют профилограммы, позволяющие определить микрорельеф как каркасную поверхность. МГМ, использующая соприкасающиеся параболоида:, позволяет точно интерполировать дискретно заданную пространственно-сложную поверхность микрорельефа. Параметры параболоидов зависят от оценки значения кривизны в данной точке поверхности по теореме Менье.

Аналитическое уравнение модуля параболической поверхности определяется значениями кривизны поверхности и углами между нормалями к по-

верхности в данной точке (x,,yj,Zy ). Алгоритм определения типа и параметров соприкасающегося параболоида:

- находятся радиусы окружностей Rх, Ry , проходящих через три точки

, zt_Xj) (х,, z, j) (х,+1, zl+l j) в плоскости Y = уj, параллельной XOZ, и

через три точки в плоскости па-

раллельной YOZ ;

- определяются уравнения касательных кх,ку и нормалей пх,пу в декартовой прямоугольной системе координат к окружностям, проходящим через данную точку;

- записывается уравнение главной нормали пху, перпендикулярной плоскости пппходящей через две касательные, пересекающиеся в точке Oi >yj>Zy)\

- определяется угол между касательными в пространстве и углы

между нормалями и главной нормалью

- по теореме Менье рассчитывается нормальная кривизна kl = cos <pt / Rx в сечении Y = у j и нормальная кривизна к2 = cos <р2/ Ry в сечении X =х,\

- в зависимости от знака и значения к^,к2 определяется тип соприкасающегося параболоида ( эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, параболический цилиндр или плоскость), определяемого уравнением

Vr2+*2r2=2Z';

Y У hi

Уь

У)

Ун

г

ZfCL

о

р ' i

X

? ¡¡-1 Хк xj xi+i ~Уь X

1 1

Хи

Хк X;

Xi+1

Рис. 2. Определение высоты микрорельефа в произвольной точке

- рассчитываются углы поворота локальной системы координат X' У Т параболоида: СС\,р\,У\ - углы, образованные осью X',

аг>Рг>Уг - осью У>

- осью с прежними осями

Математическая модель построения соприкасающегося параболоида позволяет рассчитать значение высоты аппроксимируемой пространст-

венно-сложной поверхности в любой произвольной точке. Алгоритм нахождения значения в некоторой точке (хк,уследующий:

- для всех точек сетки дискретно заданной поверхности определяются типы и параметры соприкасающихся параболоидов МГМ;

- по координатам (хк, у1) определяется, в окрестность какой расчетной точки (х1,у] ,2ц ) попадает данная точка (рис.2);

- по значениям (хк, у1) для рассчитанного типа параболоида находится значение высоты ^^ аппроксимируемой пространственно-сложной поверхности. С учетом переноса начала локальной системы координат параболоида и поворота его осей значение высоты гщ =гу + г, где 2 - решение уравнения

(О 5кхЬг + 0 5V + (к]аЬ + -/)г + (0 5А,а2 + 0 5к2с2 - е) = 0, где а = хсоъах ; Ь = со%а^; с = хс<«Д +усо$р2; й = соб/^ ;

МГМ также позволяет моделировать поверхность, дискретно заданную в сферических координатах. В этом случае каждая точка поверхности определяется двумя углами <р,а и радиусом Я . Предложенная методика учитывает особенности расчетов, связанные с замыканием поверхности.

В четвертой главе приведены конкретные примеры применения программного комплекса, использующего разработанные численные методы, для моделирования дискретно заданных пространственно-сложных поверхностей.

Точность алгоритма интерполяции дискретно заданных кривых отрезками парабол с сохранением непрерывности первой производной проверялась на тестовых примерах, имеющих известное решение. Расчеты, проведенные для различных наборов исходных данных, показали возможность определения параметров с требуемой относительной погрешностью.

Для случая тестовых сложных кривых линий решались задачи автоматизированной кусочно-непрерывной интерполяции по набору узловых точек, определенных пользователем, на основе разработанной численной модели. Графический вывод результатов расчетов для двух характерных случаев представлен на рисунке 3.

Рис. 3. Результаты работы программы интерполяции дискретно заданных сложных кривых линий

Точность расчета параметров для всех отрезков парабол одинакова Все координаты исходных точек задаются в единой глобальной системе координат Глобальные координаты точек, определяющих параболу, соприкасающуюся с данной, пересчитываются для локальной системы первой параболы После расчета второй параболы ее параметры пересчитываются обратно в глобальную систему координат.

Детали с поверхностями сложной формы могут иметь переменную кривизну как в поперечных - по ширине детали, так и продольных - по высоте детали - расчетных сечениях Расчетные сечения обычно повернуты относительно оси детали и имеют переменный угол закрутки по длине детали При формообразовании пространственно-сложных поверхностей важной технологической задачей является обеспечение плавности всего профиля детали

На основе методики интерполяции дискретно заданных сечений поверхности отрезками парабол, были произведены численные расчеты геометрических моделей подушек для прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий С рабочих чертежей подушек были сняты координаты опорных точек, позволившие рассчитать каркасную геометрическую модель изделия на основе МГМ

Рис 4 Компьютерный расчет сечений поверхности подушки для пресса влажно-тепловой обработки швейных изделий

Аналитически поверхность рабочей части подушки представлена совокупностью уравнений с заданием координат точек, в которых происходит гладкая сшивка отрезков парабол, образующих профиль в данном сечении

Точность предложенного метода построения трехмерной модели поверхности детали зависит от погрешности используемых экспериментальных данных и от точности предложенной математической модели

Реализованная МГМ микрорельефа основана на кусочно-непрерывном представлении поверхности параболическими модулями Модель обеспечивает точную интерполяцию в средней точке расчетной области

(рис 2) и аппроксимацию в четырех крайних точках Для оценки точности математической модели были проведены расчеты относительной погрешно-

сти аппроксимации тестовых данных, соответствующих всем типам соприкасающихся параболоидов. Результаты проведенных расчетов показали, что в случае, если пять экспериментальных точек лежат на плоскости, погрешность равна нулю. Для эллиптического и гиперболического параболоидов и параболического цилиндра погрешность расчета поверхности в крайних точках зависит от их расположения относительно центральной точки. Построенные графики зависимостей показывают уменьшение относительной погрешности аппроксимации при увеличении разности значений высот микрорельефа, используемых для построения единичного модуля МГМ. Это объясняется более точным определением увеличивающегося радиуса кривизны поверхности соприкасающегося параболоида в расчетной точке в случае поворота его осей. Анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод, что при выполнении условий применимости численной модели относительная погрешность расчета высоты рельефа в крайних точках не более 2%.

При необходимости обеспечения непрерывности первой производной на границах между параболоидами разработан алгоритм сглаживания, использующий модификацию аналитического метода параболической интерполяции. Алгоритм использует построение вспомогательной параболы между вершинами соседних параболоидов и средней точкой на границе и ее линейную комбинацию с соответствующими сечениями параболоидов. Гладкая сшивка параболоидов проводится по осям X и Y, что обеспечивает требуемую непрерывность первых производных.

Исследование возможностей программного комплекса, реализующего разработанную численную модель построения поверхностей сложной формы, проводилось для различных видов дискретно заданных поверхностей. Исходная сетка высот рельефа размером Nx x Ny задавалась числами в вещественном формате, сохраненными в текстовом файле формата .ТХТ . Использование данного способа хранения данных дает возможность непосредственной корректировки задаваемых значений пользователем, а также позволяет решить проблему совместимости форматов представления данных при передаче информации между программами, созданными разными разработчиками. Знаки пробелов, табуляции, конца и перевода строки являются разделителями между числами. Поскольку при считывании файла программа производит распознавание целых и вещественных чисел, выделяя цифры и знак десятичной точки, допустимы текстовые комментарии. Количество считанных данных должно соответствовать заданным значениям, в противном случае программа выводит сообщение об ошибке при вводе исходных данных.

Анализ результатов моделирования для различных наборов тестовых данных показал возможность применения разработанной численной модели в производстве для автоматизированного построения трехмерных моделей шероховатых поверхностей деталей машин.

Структурно-функциональная схема разработанного вычислительного комплекса, использующего предложенные численные методы параболиче-

ской интерполяции дискретно заданных поверхностей и алгоритмы на их основе, представлена на рисунке 5.

Рис. 5. Структурно-функциональная схема программного комплекса построения трехмерной модели шероховатой поверхности

На основе заданного дискретного представления поверхности сложной формы рассчитывается трехмерная математическая модель кусочно-непрерывной поверхности, использующая соприкасающиеся параболоиды.

Расчеты, проведенные для тестовых поверхностей, подтвердили возможность построения пространственно сложной интерполирующей поверхности, точно проходящей через заданную сетку точек. Графический вывод программы в виде сетки линий размером для некоторых

характерных видов поверхности представлен на рисунке 6 Исходный текст программных модулей на языке Си++ дан в приложениях.

шш'шяшшшштшшшшшшшшшшшяшшяятв ввнмнипнннншшшшш

Рис. 6. Визуализация трехмерных математических моделей шероховатых

поверхностей

В результате экспериментов, проведенных с использованием измерительно-вычислительного комплекса для оценки геометрического состояния поверхностного слоя деталей машин, были сняты профилограммы поверхностей деталей, изготовленных из стали 45. Образцы подвергались абразивной обработке кругом зернистостью 40, диаметр круга 350 мм. Глубина шлифования составляла 20 мкм.

На рисунке 7 показан небольшой участок сечения трехмерной модели поверхности, построенной по 26 профилограммам. Графическое моделирование поверхности позволяет выявить характерные особенности геометрии поверхностного слоя и их изменение для различных режимов обработки.

Рис. 7. Компьютерное моделирование сечения трехмерной поверхности Для оценки точности полученной математической модели параметры шероховатости рассчитанные по экспериментальным профило-

граммам, сравнивались с параметрами соответствующих сечений трехмерной модели. Относительная погрешность расчета параметров по модели составила менее 3% для сетки 400*1000 точек с шагом 6 мкм.

Сечение трехмерной модели микрорельефа горизонтальной плоскостью на разных уровнях позволяет выявить характерные особенности микрорельефа, построить опорную кривую для всей модели, определить форму и размеры единичных неровностей, построить профилограмму в интересующем сечении. Это имеет особое значение для поверхностей с наклонным или перекрещивающимся микрорельефом обработанной поверхности без явно выраженного направления микронеровностей (рис.8,9).

Рис. 8. Сечение трехмерной модели микрорельефа горизонтальной плоскостью и построение профилограммы в сечении

микрорельефом горизонтальной плоскостью (сечение и вид сверху)

Программа позволяет определить форму и размеры единичных микронеровностей. На основе разработанного вычислительного комплекса для расчета показателей геометрии поверхности определены опорные кривые и относительные опорные плоскости, объемы зазоров для различных шероховатых поверхностей.

Рис.10. Графики относительной опорной плоскости и изменения объема зазора при сечении трехмерной модели горизонтальной плоскостью

Математическое моделирование трехмерного микрорельефа поверхностного слоя позволяет автоматизировать процесс определения характеристик шероховатой поверхности для прогнозирования влияния геометрических характеристик качества поверхностного слоя на эксплуатационные свойства деталей машин.

ОСНОВЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан численный метод параболической интерполяции дискретно заданных поверхностей. Модель использует понятие соприкасающегося параболоида, имеющего в заданной точке ту же кривизну, что и аппроксимируемая поверхность. Численная модель позволяет определить тип и параметры соприкасающегося параболоида и углы наклона осей его локальной системы координат.

2. Разработан численный метод кусочно-непрерывной параболической интерполяции дискретно заданного сечения поверхности, дополняющий известные аналитические методы. Углы наклона осей локальных систем координат парабол обеспечивают непрерывность первой производной для кривой. Модель позволяет реализовать построение дискретно заданных сложных кривых линий переменной кривизны.

3. Для геометрической модели поверхности сложной формы сформулированы и получены условия гладкой сшивки двух поверхностей, образованных

винтовым перемещением плоской кусочно-непрерывной параболической кривой с изменяющимися параметрами.

4. Реализована программа построения трехмерной модели микрорельефа обрабатываемой поверхности детали по экспериментальным профилограм-мам на основе предложенных численных методов параболической интерполяции и исследована точность полученной математической модели на примере определения геометрических характеристик поверхностного слоя.

5. Результаты моделирования подтверждают эффективность применения разработанных численных методов параболической интерполяции для построения интерполирующей кусочно-непрерывной пространственно-сложной поверхности, обязательно проходящей через заданную сетку точек, при обработке больших объемов экспериментальных данных.

6. Получены геометрические модели подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий, выпускаемых НИИлегмаш (г.Орел). Результаты расчетов подтверждают применимость разработанных численных методов параболической интерполяции и позволяют автоматизировать процесс расчета сечений для различных типоразмеров подушек, сократив время на проектирование на 10%. Геометрическая модель изделия также используется для расчета деформации подушки при знакопеременном температурном воздействии.

7. Предложенный численный метод параболической интерполяции дискретно заданных сечений поверхности реализован в виде программы, позволяющей получить аналитическую модель траектории движения инструмента при гидрообработке. Повышение производительности процесса резания конструкционных материалов составило 12% в производственных условиях ОАО Орловский завод "Стекломаш".

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степанов Ю.С., Николаев В.В. Численный метод интерполяции дискретно заданных поверхностей соприкасающимися параболоидами // Методы прикладной математики и компьютерной обработки данных в технике, экономике и экологии. Матер. Всерос. науч. конф. Орел, 2004. С. 193-196.

2. Николаев В.В. Численный метод параболической интерполяции дискретно заданной линии // Методы прикладной математики и компьютерной обработки данных в технике, экономике и экологии. Матер. Всерос. науч. конф. Орел, 2004. С.141-144.

3. Белкин Е.А., Николаев В.В. Моделирование тепловых полей при абразивном шлифовании в рамках теории микроформообразования // Справочник. Инженерный журнал, 2004. №9. С.5-8.

4. Степанов Ю.С., Белкин ЕА, Николаев В.В. Моделирование тепловых полей при абразивном шлифовании в рамках теории микроформообразования. Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения

- Технология - 2004. Матер, междунар. науч.-техн. конф. // Известия Орел-ГТУ. Серия "Машиностроение. Приборостроение", 2004. N4. С.32-34.

5. Барсуков Г.В., Белкин ЕА, Николаев В.В., Первых И.П. Моделирование топографии поверхности при гидроабразивной обработке // Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения - Технология -2003. Матер, междунар. науч.-техн. конф. Орел, 2003. С.303-307.

6. Степанов Ю.С., Барсуков Г.В., Белкин ЕА, Николаев В.В. Разработка численного аппарата для оценки шероховатости поверхностного слоя деталей машин // Справочник. Инженерный журнал, 2003. №9. С. 61-64.

7. Белкин ЕА, Барсуков Г.В., Николаев В.В. Численное моделирование реального микрорельефа абразивного зерна // Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения - Технология - 2002: Матер, меж-дунар. науч.-техн. конф. Орел, 2002. С.5-9.

8. Степанов Ю.С., Барсуков Г.В., Белкин ЕА, Николаев В.В. Обобщенная математическая модель комплексного анализа формирования геометрических параметров качества поверхности деталей машин после плоского шлифования // Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования. Т.2. М.: Академия наук о Земле, 2002. С. 111.

9. Белкин Е.А., Барсуков Г.В., Николаев В.В. Численное моделирование реального микрорельефа поверхностного слоя деталей машин // Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения - Технология -2001. Сб. науч. тр. Междунар. науч.-техн. конф. Орел, 2001. С.5-11.

10. Николаев В.В. Об использовании априорной информации для определения нижней оценки надежности конструкции // Несущая способность и долговечность конструкций: Сб. науч. тр. АН УССР. Ин-т техн. механики. Киев: Наук, думка, 1990. СП 1-115.

05.Ш-05:М

Николаев Владимир Вениаминович

Моделирование дискретно заданных поверхностей на основе численных методов параболической интерполяции

Автореферат

Подписано к печати Н.ОЪ 2005г. Тираж - ЮОэкз Объем 1 пл. Заказ № 03 ¡05М

Отпечатано сготового оригинал-макетанаполиграфическойбазе

Орловскогогосударственного техническогоуниверситет^ „

Адрес302020, г Орел, Наугорское шоссе,29 ^ г ^

( ¡ГРШ

2 2 АПР 2005 Ч - • - /

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ.

1.1. Методы построения кривых линий по заданному набору точек.

1.2. Методы построения поверхностей, заданных на конечном множестве точек.

1.3. Математические модели, применяемые при исследовании геометрии поверхностного слоя деталей машин.

1.4. Постановка задачи исследования.

1.5. Выводы по главе

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАРКАСНОЙ ДИСКРЕТНО ЗАДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

2.1. Модульная геометрическая модель (МГМ) поверхности сложной формы.

2.2. Интерполяция дискретно заданной кривой отрезками парабол.

2.2.1. Определение параметров параболы, имеющей общую касательную с данной.

2.2.2. Определение параметров параболы, имеющей общую касательную с данной, с учетом поворота осей системы координат.

2.2.3. Определение параметров параболы по двум касательным к ней с учетом поворота осей системы координат.

2.3. Алгоритм построения трехмерной математической модели каркасной дискретно заданной поверхности.

2.4. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ОСНОВЕ МГМ.

3.1. Математическая модель построения соприкасающегося параболоида МГМ для дискретно заданной поверхности

3.1.1. Расчет касательных и нормалей к дискретно заданной поверхности.

3.1.2. Определение типа и параметров соприкасающегося параболоида.

3.1.3. Расчет углов поворота локальной системы координат

3.2. Алгоритм построения трехмерной математической модели шероховатой поверхности.

3.3. Математическая модель поверхности в сферических координатах.

3.4. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ НА ОСНОВЕ МГМ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННО СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4.1. Кусочно-непрерывная интерполяция дискретно заданных кривых линий высокого порядка отрезками парабол.

4.2. Трехмерная геометрическая модель шероховатой поверхности деталей машин.

4.2.1. Оценка точности интерполяции экспериментальных данных параболоидом МГМ.

4.2.2. Кусочно - непрерывная интерполяция дискретно заданной поверхности.

4.2.3. Система компьютерного моделирования шероховатой поверхности детали при механической обработке.

4.3. Выводы по главе.

Использование средств автоматизированного проектирования и подготовки производства позволяет улучшить качество изделий, значительно быстрее освоить выпуск новых видов продукции, уменьшить затраты на проектирование и производство. Эффективность применения программных комплексов в значительной степени зависит от математических моделей, описывающих как сам объект проектирования, так и процессы обработки деталей.

Вид механической обработки оказывает существенное влияние на чистоту поверхности, характер штрихов, геометрию и характер расположения единичных микронеровностей, а также на механические характеристики тонкого поверхностного слоя [1,63,72]. Применение в современном машиностроении труднообрабатываемых сталей и сплавов [18,40,59,96], повышение требований к точности изготовления и качеству поверхности, значительно расширяют область применения абразивного инструмента [53,99,104,108]. Одним из направлений повышения эффективности абразивной обработки является совершенствование способов шлифования путем изменения кинематики движений абразивного инструмента и обрабатываемой детали. Получение высокого качества поверхностного слоя возможно при применении технологий, основанных на локализации взаимодействия абразивного инструмента и заготовки. Технология шлифования с бегущим контактом, значительный вклад в разработку которой внес профессор, д.т.н. Ю.С. Степанов, обеспечивает локальную осциллирующую зону резания [75,78,82,83]. Локальность контакта значительно снижает силы резания и трения, а также тепловое воздействие на поверхностный слой детали, что повышает качество получаемой поверхности.

Траектория движения точки контакта заготовки и абразивного инструмента зависит в первую очередь от формы поверхности детали. При обработке деталей машин с пространственно сложными поверхностями траектория представляет собой образующую обрабатываемой поверхности сложной формы. Для описания процесса формообразования изделий необходима точная информация об их геометрической форме. Наличие трехмерной модели функциональной поверхности детали также позволяет провести анализ геометрических характеристик качества поверхностного слоя.

Наряду с аналитически описываемыми поверхностями, в машиностроении широко распространены поверхности сложной формы, заданные сеткой дискретных точек или системой дискретно ориентированных сечений. Методы аппроксимации дискретно-заданных поверхностей в соответствии с модульным принципом структурирования предложены профессором Ю.С. Степановым [74,77,81,82] и исследованы Е.А. Белкиным [10,13,76,79,80]. Сущность похода, предложенного данными авторами (патент РФ №2187070), заключается в аппроксимации поверхности в окрестности данной точки соприкасающимся параболоидом, имеющим ту же кривизну, что и исходная поверхность. Также показана возможность представления макрогеометрии функциональной поверхности детали (рабочей части лопатки газовой турбины) в виде модульной геометрической модели (МГМ) на основе косого геликоида. Сложность решаемых задач создает существенные трудности для получения точного аналитического решения.

Учитывая широкое применение процессов механической, в том числе абразивной, обработки в различных отраслях промышленности, проблема исследования и разработки методов оценки качества поверхности остается актуальной. Решение этой задачи предполагает наличие удобных для инженерных расчетов математических моделей микрорельефа детали и поверхности производящего инструмента. Возможность точного расчета траектории движения точки контакта абразивного инструмента зависит от типа модели, применяемой для описания поверхности детали сложной формы.

Предлагаемые в настоящий момент программные комплексы зарубежных и отечественных фирм в основном рассчитаны на комплексное решение задач конструкторско-технологической подготовки производства. Используемые в них универсальные математические модели твердотельного моделирования не учитывают особенности процессов механической, в том числе абразивной, обработки.

Проблемы, связанные с реализацией передовых технологий механической обработки, позволяют сформулировать цель диссертационной работы: автоматизация построения трехмерной модели шероховатой поверхности обрабатываемой детали на основе разработки численных методов параболической интерполяции дискретно заданных пространственно сложных поверхностей.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработать численный метод кусочно-непрерывной интерполяции дискретно заданной поверхности на основе МГМ, использующей соприкасающиеся параболоиды;

- разработать численный метод локальной параболической интерполяции дискретно заданных сечений поверхности каркасной модели изделия;

- создать структуру, алгоритмы и программную реализацию вычислительного комплекса для автоматизации моделирования дискретно заданных поверхностей деталей машин при обязательном прохождении интерполирующей поверхности через заданную сетку точек;

- определить точность разработанных численных методов параболической интерполяции на основе применения созданного программного комплекса для тестовых поверхностей и при создании геометрических моделей подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий;

- построить трехмерные модели шероховатых поверхностей на основе профилограмм для подтверждения эффективности применения разработанных численных методов параболической интерполяции дискретно заданных поверхностей при больших объемах экспериментальных данных.

Для решения поставленных задач в настоящей работе использовались методы аналитической геометрии, методы численного решения уравнений, методы теории вероятностей и методы аппроксимации кривых и поверхностей, применяемые в САПР. При создании программного обеспечения использовались технологии реализации графических интерфейсов и методы структурного программирования.

Научная новизна работы заключается в разработке численного метода интерполяции дискретно заданных поверхностей сложной формы на основе МГМ, использующей соприкасающиеся параболоиды, классифицируемые по тензору кривизны Римана-Кристоффеля.

Предложен численный метод локальной интерполяции дискретно заданных сечений поверхности отрезками парабол с сохранением непрерывности первой производной, дополняющий известные аналитические методы. Каждый отрезок определяется параметром параболы, координатами начала локальной системы координат параболы и углом поворота ее осей.

Разработана структура вычислительного комплекса для автоматизации расчетов макроотклонения, волнистости и шероховатости поверхностного слоя деталей машин на основе построенной трехмерной математической модели шероховатой поверхности.

Предложено уточнение способов параметрической оценки неровностей поверхности для использования в теоретических моделях, описывающих взаимосвязи параметров качества с условиями механической обработки.

Практическая ценность работы определяется разработкой программного комплекса автоматизированного построения трехмерных моделей обрабатываемых поверхностей деталей машин, обеспечивающего точное прохождение интерполирующей кусочно-непрерывной поверхности через заданную сетку точек и программного обеспечения для интерполяции дискретно заданных сечений поверхности подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий.

Автор защищает:

- численный метод кусочно-непрерывной интерполяции дискретно заданной пространственно сложной поверхности, использующий соприкасающиеся параболоиды;

- численный метод представления дискретно заданных сечений поверхностей, использующий кусочно-непрерывную интерполяцию параболическими линиями;

- структуру и алгоритмы программного комплекса для автоматизации моделирования дискретно заданных поверхностей на основе разработанных численных методов параболической интерполяции;

- каркасные геометрические модели подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий;

- результаты построения трехмерных моделей шероховатых поверхностей деталей машин по экспериментальным данным.

Научное исследование по теме диссертационной работы выполнено в рамках проектов, проводимых при поддержке следующих грантов:

- грант на проведение научных исследований в ведущих научно-педагогических коллективах высших учебных заведений и научных организаций Минобразования России (PD02-2.10-133) «Разработка модели управления процессом резания гидроабразивной струей конструкционных материалов на основе моделирования формообразования микрорельефа поверхности реза»;

- грант Минобразования России по фундаментальным исследованиям в области технических наук №1278 «Разработка теории и технологии обработки сверхзвуковой гидроабразивной струей, повышающей эффективность от-делочно-зачистных технологических процессов».

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан численный метод параболической интерполяции дискретно заданных поверхностей. Модель использует понятие соприкасающегося параболоида, имеющего в заданной точке ту же кривизну, что и аппроксимируемая поверхность. Численная модель позволяет определить тип и параметры соприкасающегося параболоида и углы наклона осей его локальной системы координат.

2. Разработан численный метод кусочно-непрерывной параболической интерполяции дискретно заданного сечения поверхности, дополняющий известные аналитические методы. Углы наклона осей локальных систем координат парабол обеспечивают непрерывность первой производной для кривой. Модель позволяет реализовать построение дискретно заданных сложных кривых линий переменной кривизны.

3. Для геометрической модели поверхности сложной формы сформулированы и получены условия гладкой сшивки двух поверхностей, образованных винтовым перемещением плоской кусочно-непрерывной параболической кривой с изменяющимися параметрами.

4. Реализована программа построения трехмерной модели микрорельефа обрабатываемой поверхности детали по экспериментальным профило-граммам на основе предложенных численных методов параболической интерполяции и исследована точность полученной математической модели на примере определения геометрических характеристик поверхностного слоя.

5. Результаты моделирования подтверждают эффективность применения разработанных численных методов параболической интерполяции для построения интерполирующей кусочно-непрерывной пространственно-сложной поверхности, обязательно проходящей через заданную сетку точек, при обработке больших объемов экспериментальных данных.

6. Получены геометрические модели подушек прессов влажно-тепловой обработки швейных изделий, выпускаемых НИИлегмаш (г.Орел).

Результаты расчетов подтверждают применимость разработанных численных методов параболической интерполяции и позволяют автоматизировать процесс расчета сечений для различных типоразмеров подушек, сократив время на проектирование на 10%. Геометрическая модель изделия также используется для расчета деформации подушки при знакопеременном температурном воздействии.

7. Предложенный численный метод параболической интерполяции дискретно заданных сечений поверхности реализован в виде программы, позволяющей получить аналитическую модель траектории движения инструмента при гидрообработке. Повышение производительности процесса резания конструкционных материалов составило 12% в производственных условиях ОАО Орловский завод "Стекломаш".

138

1. Абразивная и алмазная обработка материалов: Справочник / Под ред. А.Н. Резникова. М.: Машиностроение, 1977. 391 с.

2. Аверченков В.И., Дюдин В.В., Потоцкий В.И. Измерительно-вычислительный комплекс для оценки геометрического состояния поверхностного слоя деталей машин // Ресурсосберегающие технологии в машиностроении. Сб. науч. трудов. М.: МВТУ, 1995. С. 336-339.

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.316 с.

4. Алексеев Н.С. Влияние зернистости кругов на некоторые показатели шлифования // Вестник машиностроения, 2003. № 4. С.66-69.

5. Базров Б.М. Совершенствование машиностроительного производства на основе модульной технологии //Станки и инструмент, 1985. №10. С. 22-25.

6. Баландин А.Д. Синтез и анализ поверхностей сложной формы // Станки и инструмент, 1988. № 3. С. 16-18.

7. Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая геометрия. М.: Просвещение, 1970. 376 с.

8. Безъязычный В.Ф. Влияние качества поверхностного слоя после механической обработки на эксплуатационные свойства деталей машин // Приложение. Справочник. Инженерный журнал, 2001. № 4. С.9-16.

9. Белкин Е.А. Формообразование каркасных дискретно-определенных поверхностей шлифованием с бегущим контактом абразивного слоя: Дис. . канд.техн.наук. Орел: ОрелГТУ, 2000. 208 с.

10. Белкин Е.А., Барсуков Г.В., Николаев В.В. Численное моделирование реального микрорельефа абразивного зерна // Фундаментальные и прикладные проблемы технологии машиностроения Технология - 2002: Матер, междунар. науч.-техн. конф. Орел, 2002. С.5-9.

11. Белкин Е.А. Геометрическая модель плоского шлифования на основе модульного принципа // Справочник. Инженерный журнал, 2003. №8. С.29-32.

12. Белкин Е.А., Николаев В.В. Моделирование тепловых полей при абразивном шлифовании в рамках теории микроформообразования // Справочник. Инженерный журнал, 2004. №9. С.5-8.

13. Богданович П.Н., Прушак В.Я. Трение и износ в машинах: Учеб. для вузов. Мн.: Выш. шк., 1999. 374 с.

14. Ваксер Д.Б. Пути повышения производительности абразивного инструмента при шлифовании. M.-JL: Машиностроение, 1964. 124 с.

15. ГОСТ 2789-73. Шероховатость поверхности. Параметры и характеристики.

16. Гусейнов А.Г. Механическая обработка прецизионных деталей с диффузионными покрытиями // Вестник машиностроения, 2002. № 11. С.51-57.

17. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

18. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М.: Машиностроение, 1981. 244 с.

19. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое обеспечение: Справочник. JL: Машиностроение, 1985. 263 с.

20. Дунин-Барковский И.В., Карташова А.Н. Измерения и анализ шероховатости, волнистости и некруглости поверхности. М.: Машиностроение, 1978.232 с.

21. Ермаков Ю.М., Степанов Ю.С. Современные способы эффективной абразивной обработки. М.: ВНИИТЭМР, 1992. 64 с.

22. Ермаков Ю.М. Комплексные способы эффективной обработки резанием: Библиотека технолога. М.: Машиностроение, 2003. 272 с.

23. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.

24. Зубарев Ю.М., Приемышев А.В. Технологические основы высокопроизводительного шлифования сталей и сплавов. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1994. 220 с.

25. Исупов М.Г., Крекнин JI.T. Повышение эксплуатационных свойств прецизионных пар трения струйно-абразивной обработкой // Вестник машиностроения, 2004. № 7. С.68-69.

26. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Ч. 2. М.: ОГИЗ, 1947. 407 с.

27. Козлов A.M. Повышение качества и точности цилиндрических деталей при шлифовании. Липецк: ЛГТУ, 2004. 181 с.

28. Комбалов B.C. Влияние шероховатости твердых тел на трение и износ. М.: Наука, 1974. 112 с.

29. Комбалов B.C. Решение некоторых задач оптимизации трения и износа поверхностей деталей машин // Вестник машиностроения, 2002. № 8. С. 18-21.

30. Королев А.В. Исследование процессов образования поверхностей инструмента и детали при абразивной обработке. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975. 212 с.

31. Косов М.Г., Корзаков А.А. Моделирование контактной жесткости деталей с учетом рельефа шероховатости их поверхности // СТИН, 2003. № 12. С.23-25.

32. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.

33. Крагельский И.В. Трение и износ. М.Машиностроение. 1968, 480с.

34. Крагельский И.В., Добычин М.Н. Расчетные зависимости и методы экспериментального определения износа при трении. М.: Машиностроение, 1968. 52 с.

35. Краткий физико-технический справочник. Т.1 / Под общ. ред. К.П. Яковлева. М.: Физматгиз, 1960. 448 с.

36. Кузин В.В. Технологические особенности алмазного шлифования деталей из нитридной керамики // Вестник машиностроения, 2004. № 1. С.37-41.

37. Лашнев С.И., Юликов М.И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ. М.'Машиностроение, 1975. 392 с.

38. Лашнев С.И., Борисов А.Н. Геометрическая модель формирования поверхностей режущими инструментами // СТИН, 1995. №4. С. 22-26.

39. Лашнев С.И., Борисов А.Н., Емельянов С.Г. Геометрическая теория формообразования поверхностей режущими инструментами. Курск: Изд-во КГТУ, 1997.391 с.

40. Лесин Ю.Л. Математическое обеспечение формообразования сложных поверхностей // Станки и инструмент, 1987. №4. С. 12-14.

41. Линник Ю.В., Хусу А.П. Вероятностные методы при оценке качества обработки поверхностей // Вероятностно-статистические основы процессов шлифования и доводки: Межвуз. сб. науч. тр. Л., 1974. С. 7-12.

42. Лурье Г.Б. Шлифование металлов. М.: Машиностроение, 1969.175с.

43. Лэмберн Е.Б. Современные достижения в области пространственного проектирования и изготовления деталей сложной формы // Станки и инструмент, 1993. №5. С.26-29.

44. Маслов Е.Н. Теория шлифования материалов. М.: Машиностроение, 1974. 319с.

45. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 1. Пер. с франц. / Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. М.: Мир, 1988. 204 с.

46. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с франц. / Жермен-Лакур П., Жорж П., Пистр Ф., Безье П. М.: Мир, 1989. 264 с.

47. Металлорежущие инструменты: Учебник для вузов по спец. "Технология машиностроения", "Металлорежущие станки и инструменты"/ Г.Н. Сахаров, О.Б. Арбузов, Ю.Л. Боровой и др. М.: Машиностроение, 1989. 328 с.

48. Николаев В.В. Численный метод параболической интерполяции дискретно заданной линии // Методы прикладной математики и компьютерной обработки данных в технике, экономике и экологии. Матер. Всерос. науч. конф. Орел, 2004. С.141-144.

49. Николаев В.В. Об использовании априорной информации для определения нижней оценки надежности конструкции // Несущая способностьи долговечность конструкций: Сб. науч. тр. АН УССР. Ин-т техн. механики. Киев: Наук, думка, 1990. С.111-115.

50. Оробинский В.М. Абразивные методы обработки и их оптимизация. М.: Машиностроение, 2000. 314 с.

51. Островский В.И. Теоретические основы процесса шлифования. JL: ЛГУ, 1981. 142 с.

52. Поклад В.А., Солодухин Н.Н., Старков В.К., Рябцев С.А. Выбор оптимальных условий чистового шлифования зубчатых колес высокопористыми кругами // Вестник машиностроения, 2002. № 7. С.42-46.

53. Попов С.А., Малевский Н.П., Терещенко Л.М. Алмазно-абразивная обработка металлов и твердых сплавов. М.: Машиностроение, 1977. 263 с.

54. Портман В.Т. Топологическая классификация процессов формообразования // СТИН, 1995. № 4. С.3-5.

55. Проволоцкий А.Е. Струйно-абразивная обработка деталей машин. Киев: Техника, 1989. 279 с.

56. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т. Т.2 / Под ред. А.Г. Косиловой и Р.К. Мещерякова. М.: Машиностроение, 1985. 496 с.

57. Радзевич С.П. Прогрессивные технологические процессы обработки деталей сложной формы. М.: ВНИИТЭМР, 1988. 56 с.

58. Радзевич С.П. Формообразование сложных поверхностей на станках с ЧПУ. Киев: Вища школа, 1991. 192 с.

59. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

60. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. 604с.

61. Родин П.Р. Основы формообразования поверхностей резанием. Киев: Вища школа, 1977. 192 с.

62. Рыжов Э.В., Суслов А.Г., Федоров В.П. Технологическое обеспечение эксплуатационных свойств деталей машин. М.: Машиностроение, 1979. 176 с.

63. Семко М.Ф., Грабченко А.А., Зубкова А.А. и др. Эльборовое шлифование быстрорежущих сталей. Харьков, 1974. 135 с.

64. Сморкалов Н.В. Формирование поверхности детали при переходе от дискретного моделирования к непрерывному // СТИН, 2003. №1. С. 33-36.

65. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т. Т.1 / Под ред. A.M. Дальского, А.Г. Косиловой, Р.К. Мещерякова, А.Г. Суслова. М.: Машиностроение-!, 2001. 912 с.

66. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т. Т.2 / Под ред. A.M. Дальского, А.Г. Косиловой, Р.К. Мещерякова, А.Г. Суслова. М.: Машиностроение-!, 2001. 905 с.

67. Степанов Ю.С., Белкин Е.А. Моделирование микрогеометрии шлифованных деталей на основе принципа локального контакта // Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред: Тез. докл. конф. Воронеж: ВГУ, 1992. С. 150.

68. Степанов Ю.С., Белкин Е.А. Аппроксимация технологической поверхности соприкасающимся параболоидом // Исследования в области инструментального производства и обработки металлов резанием: Сб. науч. тр. Тула: ТулПИ, 1992. С.63-69.

69. Степанов Ю.С., Белкин Е.А. Оценка точности аппроксимации поверхности соприкасающимся параболоидом // Современные технологические и информационные процессы в машиностроении: Матер, междунар. семинара. Орел: ОрелГПИ, 1993. С.87-92.

70. Степанов Ю.С., Белкин Е.А., Дурсин Ю.Г. Условия регулярного сшивания различных типов соприкасающихся параболоидов // Режущие инструменты и метрологические аспекты их производства: Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 1995. С. 92-102.

71. Степанов Ю.С. Технологии, инструменты и методы проектирования абразивной обработки с бегущим контактом: Дис. . доктора техн. наук. Тула: ТулГУ, 1997.304 с.

72. Степанов Ю.С., Барсуков Г.В., Белкин Е.А., Николаев В.В. Разработка численного аппарата для оценки шероховатости поверхностного слоя деталей машин // Справочник. Инженерный журнал. №9, 2003. С. 61-64.

73. Степанов Ю.С. Развитие классификационных систем способов механической обработки // Справочник. Инженерный журнал, 2004. №3. С.21-24.

74. Степанов Ю.С., Белкин Е.А., Барсуков Г.В. Моделирование микрорельефа абразивного инструмента и поверхности детали: Монография. М.: "Машиностроение-1", 2004. 215 с.

75. Суслов А.Г. Технология машиностроения: Учебник для студентов машиностроительных спец. вузов. М.: Машиностроение, 2004. 400 с.

76. Суслов А.Г., Бишутин С.Г. Математическая модель шероховатости шлифованной поверхности // Справочник. Инженерный журнал, 2004. №8. С. 17-20.

77. Суслов А.Г., Дальский A.M. Научные основы технологии машиностроения. М.: Машиностроение, 2002. 684 с.

78. Суслов А.Г. Качество поверхностного слоя деталей машин. М. Машиностроение, 2000. 320 с.

79. Суслов А.Г. Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей. М.: Машиностроение, 1987. 208 с.

80. Тененбаум М.М. Сопротивление абразивному изнашиванию. М.: Машиностроение, 1976. - 387 с.

81. Федоров В.П., Кельнер А.А. Автоматизированная система определения параметров шероховатости поверхности деталей машин // Измерительная техника, 1987. №3. С.23.

82. Харцбекер К., Старков В.К., Овчинников Д.С. Высокоскоростное шлифование закаленных сталей без охлаждения // Вестник машиностроения, 2002. № 9. С.43-50.

83. Хилл Ф. OpenGL. Программирование компьютерной графики. -Спб: Питер, 2002. 1088с.

84. Худобин Л.В., Веткасов Н.И., Коршунов Д.А. Эффективность внутреннего шлифования композиционными шлифовальными кругами //

85. Вестник машиностроения, 2003. № 7. С.44-47.

86. Хусу А.П., Витенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей (теоретико-вероятностный подход). М.: Наука, 1975. 344 с.

87. Чирков Г.В. Исследование процесса обработки материалов им-прегнированными абразивно-алмазными инструментами // Вестник машиностроения, 2002. № 8. С.45-46.

88. Юнусов Ф.С. Формообразование сложнопрофильных поверхностей шлифованием.- М.: Машиностроение, 1987. 248 с.

89. Якимов А.В. Оптимизация процесса шлифования. М.: Машиностроение, 1975. 175 с.

90. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: Изд-во МАИ, 1980. 85 с.

91. Ящерицын П.И., Зайцев А.Г. Повышение качества шлифованных поверхностей и режущих свойств абразивно-алмазного инструмента. Мн.: Наука и техника, 1972. 480 с.

92. Aumann G. Degree elevation and developable Bezier surfaces //

93. Computer Aided Geometric Design, 2004. Vol. 21, Issue 7. P.661 -670.

94. Barnhill R.E. Computer Aided Surface Representation and Design // Surfaces in Computer Aided Geometric Design. North-Holland Publishing Company, 1983. P. 1-24.

95. Barnhill R.E., Riesenfeld R.F. Surface representation for computer aided design // Data structures, computer graphics and pattern recognition. Academic Press, 1977. P. 413 -426.

96. Chandra A., Bastawros A-F. Mechanistic Understanding of Material Detachment During Micro-Scale Polishing // Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2003. ASME. Vol. 125, Issue 4. P.731-735.

97. Chao J., Zhou G., Geskin E. Characteristics of abrasive waterjet generated surfaces and e ffects о f cutting // Journal о f Engineering for Industry. ASME, 1995. Vol. 117 (4). P. 516-525.

98. Coons S.A. Surface patches and B-spline curves // Computer Aided Geometric Design, 1974. P. 1-16.

99. Cripps R.J. , Howe R.E., Surface visualisation and assessment using geometric parameter curves // Advances in Manufacturing Technology, 1998, ASME. XII. P. 335 342.

100. Cripps R.J., Algorithms to support point-based CADCAM // International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2003. Vol. 43, Issue 4. P.щ 425 432.

101. Dietz D., Piper B. Interpolation with cubic spirals // Computer Aided Geometric Design, 2004. Vol. 21, Issue 2. P. 165-180

102. Farm G. Smooth Interpolation to Scattered 3D Data // Surfaces in Computer Aided Geometric Design. North-Holland Publishing Company, 1983. P. 43-63.

103. Farm G. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide. Academic Press, 2002. 499 p.

104. D 120. Gordon W., Riesenfeld R. B-spline curves and surfaces // Computer

105. Aided Geometric Design. Academic Press, 1974. P. 95-126.

106. Gordon W. Spline-blended surface interpolation through curve networks // Journal of Mathematics and Mechanics, 1969. Vol. 18 (10). P. 931952.

107. Hecker R., Liang S. Cripps R.J. Predictive modeling of surface roughness in grinding // International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2003. Vol. 43, Issue 8. P. 755 761.

108. Hegeman J.B. Fundamentals of grinding: surface conditions of ground materials. Groningen, Rijksuniversiteit Groningen, 2000. 142 p.

109. Hou Z., Komanduri R. On the mechanics of the grinding process Part I. Stochastic nature of the grinding process // International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2003. Vol. 43, Issue 15. P.1579 - 1593.

110. Lee C., Shin Y. Evolutionary Modeling and Optimization of Grinding Processes // International Journal of Production Research, 2000. Vol. 38, Num. 12. P. 2787 -2813.

111. Meek D., Ong В., Walton D. Constrained interpolation with rational cubics // Computer Aided Geometric Design, 2003. Vol. 20, Issue 5. P.253-275.

112. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Springer-Verlag, 2001.565 p.

113. Tam H., Haiyin X., Tse P. An algorithm for the interpolation of hybrid curves // Computer Aided Design, 2003. Vol. 35, Issue 3. P. 267-277.

114. Sarraga R. Modifying CAD/CAM surfaces according to displacements prescribed at a finite set of points // Computer Aided Design, 2004. Vol. 36, Issue 4. P.343-349.

115. S tephensonD., Veselovac D., Manley S., Corbett J. Ultra-precision grinding of hard steels // Precision Engineering, 2001. Vol. 25. P. 336-345.

116. Yang H., Wang W., Sun J. Control point adjustment for B-spline curve approximation // Computer Aided Design, 2004. Vol. 36, Issue 7. P.639-652.