автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамики многокомпонентных систем на основе маркированных графов

003473583 На правах рукописи

ВОЛГИНА Марина Анатольевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МАРКИРОВАННЫХ ГРАФОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

18 нюн

2009

ПЕНЗА 2009

003473583

Диссертационная работа выполнена на кафедре «Математическое обеспечение и применение ЭВМ» в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Макарычев Петр Петрович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Якимов Александр Николаевич; кандидат технических наук, профессор Дрождин Владимир Викторович.

Ведущая организация - ОАО «Научно-производственное предприятие "Рубин"» (г. Пенза).

Защита диссертации состоится 30 июня 2009 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» и на сайте www.pnzgu.ru

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

иш,0 2009 г.

Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На сегодняшний день имитационное моделирование является мощным и эффективным средством теоретического исследования и проектирования технических, экономических, биологических и социальных систем. Широкое применение имитационного моделирования обусловлено двумя причинами: желанием разработчиков иметь в распоряжении количественные оценки характеристик систем до завершения проектирования и экспериментального исследования; сложностью выполнения оценок характеристик многокомпонентных динамических систем аналитическими методами.

Существуют специализированные программные средства (Arena, Extend, ProModel, Vissim, Powersim и др.), предназначенные для визуального моделирования многокомпонентных систем, и универсальные математические пакеты (MathCad, Matlab, Mathematica, Maple и др.). Графическая оболочка визуальных пакетов моделирования, как правило, скрывает от пользователя процедуру получения результатов модельного эксперимента. Однако выбор нужного для решения конкретной задачи численного метода и настройка параметров вычислительного эксперимента часто являются далеко не тривиальной задачей. При отсутствии в пакетах средств выбора метода и настройки параметров появляется опасность получения неправильных результатов.

К достоинствам математических пакетов следует отнести простой и удобный интерфейс, широкую библиотеку встроенных функций и численных методов, возможность символьных вычислений, графические средства представления результатов, а также возможность интеграции с программными средствами визуального моделирования. Кроме того, математические пакеты являются инструментальными средствами, позволяющими реализовать как аналитическое, так и имитационное моделирование несложных систем. К числу основных достоинств моделирования с помощью математических пакетов следует отнести математическую прозрачность модельных представлений, которая особенно важна при моделировании новых неисследованных объектов.

Несмотря на перечисленные достоинства, широкое применение математических пакетов в имитационном моделировании в научных исследованиях и инженерной практике ограничено. Эти ограничения

связаны с отсутствием способов построения моделей и программных средств организации имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем. В связи с этим задача разработки способа построения моделей и программных средств для организации имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем в среде математических пакетов является актуальной. При этом математические пакеты должны предоставлять пользователю средства для моделирования систем произвольной структуры и назначения, сокращать затраты времени на программирование вычислений при построении имитационной модели.

Методологической основой данной диссертационной работы являются исследования А. А. Самарского, С. В. Емельянова, H. Н. Моисеева, О. Ope, К. Бержа, Ф. Харари, Л.Г. Лабскера, Р. Уилсона, Т. Саати, Н. Кристофидеса, В. Е. Котова, Дж. Питерсона, В. Н. Буркова, П. П. Макарычева и др.

Целью диссертационной работы являются теоретическое исследование и развитие методов, средств имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем с применением математических пакетов.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- анализ существующих методов, алгоритмов, программных средств имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем;

- разработка вычислительной модели для организации имитационного моделирования динамики многокомпонентных систем в универсальных математических пакетах;

- разработка и исследование способа построения имитационных моделей многокомпонентных систем на основе маркированных графов и оценка их адекватности;

- разработка и исследование способа матричного описания маркированных графов и процедуры смены маркировки графа;

- разработка алгоритмов решения задач сетевого планирования и поиска кратчайшего пути на основе представления сетевых моделей в виде маркированных орграфов;

- разработка и экспериментальное исследование программного обеспечения моделирования сетей массового обслуживания, динами-

ческих систем и объектов системной динамики в среде математического пакета МаЛСас!.

Методы исследования основаны на использовании основных положений теории математического, имитационного моделирования систем, теории случайных процессов, теории логики, теории графов, теории массового обслуживания, теории системной динамики и динамических систем, теории концептуального программирования, методов сетевого планирования и управления.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) разработана вычислительная модель для организации имитационного моделирования многокомпонентных систем, которая, в отличие от известных, содержит систему логических правил, формируемых с учетом структуры моделируемой системы и функций поведения ее разнородных компонентов;

2) предложены новые графовые модели структур многокомпонентных систем, которые, в отличие от известных, содержат маркеры в виде фишек, размещенных в вершинах или на дугах графа, продвижение которых в графе отражает динамику изменений значений сигналов компонентов в дискретном времени;

3) предложено матрично-векгорное описание маркированных графов, которое обеспечивает задание структуры, начальной маркировки графа, условия активности вершин графа и процедуры смены маркировки;

4) предложен способ организации имитационного моделирования в математических пакетах, который отличается от известных организацией вычислений и продвижением модельного времени в процессе компьютерного эксперимента на основе маркированных графов;

5) предложены алгоритм решения задач сетевого планирования и алгоритм поиска кратчайшего пути, которые отличаются использованием маркированных графов при формализованном описании структуры сетевой модели.

Практическая значимость исследования. Полученные в диссертации теоретические и практические результаты позволяют расширить возможности моделирования многокомпонентных динамических систем в среде универсальных математических пакетов. Комплекс программ, разработанный в среде математического пакета МаШСас!, позволяет решать задачи имитационного моделирования

динамических систем, объектов системной динамики и сетей массового обслуживания, а также задачи сетевого планирования и поиска кратчайшего пути на основе маркированных графов. Наличие библиотеки компонентов динамических систем позволяет ускорить процесс сборки модели из библиотечных элементов, что обеспечивает компонентный подход к имитационному моделированию систем на основе маркированных графов.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты по разработке вычислительной модели, имитационных моделей многокомпонентных динамических систем и комплекс программ для решения задач имитационного моделирования динамических систем в среде пакета МаШСас! внедрены в ОАО «Научно-производственное предприятие "Рубин"».

В ООО «СтройПенза» внедрена и успешно использована программа для решения задач сетевого планирования в среде математического пакета Ма&Сас!. С использованием программы выполнены расчеты временных характеристик сетевых проектов строительных работ.

Материалы диссертационной работы использованы при проведении лекционных и лабораторных занятий по дисциплине «Моделирование систем», изучаемой студентами специальности 230202.65 -«Информационные технологии в образовании» факультета вычислительной техники Пензенского государственного университета.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) вычислительная модель для организации компьютерного моделирования многокомпонентных систем, учитывающая структуру моделируемой системы и функции поведения ее разнородных компонентов;

2) представление моделей структур многокомпонентных систем в виде маркированных орграфов, содержащих в вершинах или на дугах маркеры, обеспечивающие управление вычислениями в процессе модельного эксперимента;

3) матричное представление маркированных графов, позволяющее описать логическую структуру графа, условие активности вершин графа и процесс смены его маркировки;

4) способ организации имитационного моделирования динамических систем, сетей массового обслуживания и моделей системной

динамики на основе маркированных графов в среде универсальных математических пакетов;

5) алгоритм решения задач сетевого планирования и алгоритм поиска кратчайшего пути на основе маркированных графов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза, 2001 г.); VII Международном семинаре «Синтез и сложность управляющих систем» (г. Москва, 2001 г.); V Международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии и системы» (г. Пенза, 2002 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Социально-экономические аспекты современного развития России» (г. Пенза, 2003 г.); VII Международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии и системы» (г. Пенза, 2006 г.).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 14 статьях и тезисах конференций. Среди них 1 статья в журнале из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований и В приложений. Объем работы: 135 страниц основного текста, включающего 40 рисунков, 4 таблицы и 77 страниц приложений.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, показаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе представлен обзор работ, посвященных методам математического и имитационного моделирования динамики систем. Рассмотрены методы построения моделей системной динамики, динамических систем и сетей массового обслуживания.

В работах специалистов отмечено, что модель многокомпонентной динамической системы содержит три составляющие: формализованное описание взаимосвязи между компонентами системы и системы с внешней средой, модельное представление компонентов в соответствии с назначением системы и формализованное описание

продвижения модельного времени. При построении математических моделей отдельных компонентов и системы в целом используются фундаментальные законы природы, вариационные методы, методы аналогий и иерархических цепочек. Для построения дискретных моделей систем, функционирующих в непрерывном времени, используются такие известные методы, как метод Пикара, метод рядов Тейлора, аналого-цифровой метод, метод интегрального преобразования Лапласа и методы алгебраической интерполяции.

В соответствии с классификацией моделей систем, предложенной Дж. Клиром, в диссертации выделено четыре уровня построения модели системы. Первый уровень соответствует разработке концептуальной модели системы, второй уровень - модели системы с данными, третий уровень - формализованному описанию модели, четвертый уровень - разработке компьютерной модели. На всех уровнях модель системы представляется в структурированном виде. На первом и втором уровнях для построения моделей можно использовать методологии ШЕБ, ЦМЬ и АШв. В диссертации для разработки концептуальных моделей и моделей систем с данными использован международный стандарт ГОЕБЗ, обеспечивающий описание логики моделируемых процессов и сбор данных о системе.

В диссертации отмечено, что для поддержки процесса построения моделей на третьем и четвертом уровнях можно использовать как специализированные программные средства моделирования, так и универсальные математические пакеты. Применение универсальных математических пакетов позволяет решать задачи построения и исследования имитационных моделей многокомпонентных систем с использованием выбранных исследователем методов и алгоритмов вычислительной математики.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию маркированных графов и их формализованному описанию. Предложены следующие виды маркированных графов: ориентированные, неориентированные графы, гиперграфы, нечеткие и раскрашенные графы.

Маркированный орграф = РГ, Л/) содержит маркеры

графа. Смена маркировки орграфа (7 осуществляется путем последова-

тельной проводки маркеров в процессе активизации и запуска активных вершин. Рассмотрены процессы смены маркировки графов. Пример орграфа с маркированными дугами приведен на рисунке 1.

маркированный граф

Предложено следующее условие активизации вершины vi маркированного орграфа С:

т) > /(у,)) ,/ = 1^, у = 1Г» Д = 0, 1, 2,..., (1) где /(у,)-; комплект входящих в вершину V,- дуг; #(•) - число дуг ^Wj в комплекте; к - шаг смены маркировки графа.

При выполнении условия активизации (1) осуществляется запуск активной вершины V, орграфа.

Смена текущей маркировки орграфа Мк на новую Мк+1 осуществляется следующим образом:

тк/1 = т*-*^,^))* 0(у,)), (2)

где ~ комплект выходящих из вершины у; дуг.

Предложен матричный способ описания маркированного орграфа С = (Д, 1>2, М0) . При этом структура маркированного орграфа задается матрицами инцидентности £), = [с?,.. ] и £)2 = ], а начальная

маркировка графа - вектором М0 = {т\, т\,..., т°).

Приведено условие активизации вершины V, маркированного орграфа в текущей маркировке Мк = ..., /и* ):

т)>^г (3)

Предложена формула для смены текущей маркировки Мк орграфа на новую Мк+{:

Мк+1=Мк + Ек-0, (4)

где Ек = {е^ , е\, ...,екп) - текущий вектор запуска вершины графа, В - \с1у ] - результирующая матрица изменений маркировки: ^ = £>2-1),.

Элементы текущего вектора запуска Ек определяются следующим образом:

^=|1,если т)><1хч, (5)

[О в остальных случаях.

В третьей главе предложена вычислительная модель для организации компьютерного моделирования многокомпонентных систем в универсальных математических пакетах. На основе вычислительной модели организовано имитационное моделирование динамических систем, сетей массового обслуживания и объектов системной динамики.

Вычислительная модель определяется как кортеж:

= {/Д {с„}), (6)

где {ху} - множество переменных; {/, } - множество функциональных отношений; {с„} - множество элементов управляющей структуры.

На этапе построения модели структура многокомпонентной динамической системы задается бинарным отношением следования вычислений сигналов. Для системы, представленной на рисунке 2, бинарное отношение имеет следующий вид:

Я = {(*!, (х2, х3), (х3, х4), (х4, х5)(х4, х6), (х6, *0}. (7)

Рисунок 2 - Графовая модель динамической системы

Состояние динамического компонента в момент времени 1к , где ¡к = к ■ А?, к = 0,1, 2,..., А/ - шаг дискретизации по времени, определяется наборами значений входных и выходных сигналов. Для компонента г2 наборы значений входных х^), и выходного

х3(к-\) сигналов в момент вычисления определены следующим образом:

(х1-а> ^1-0+1» •••>

■ (**-г> хк-у+1' •••»**}; ^

где а, у, г) - константы, значения которых определяются видом функционального отношения /2.

Предложено общее правило Р для вычисления выходного сигнала каждого компонента системы:

Р :А;А^>В; V, (9)

где А - условие активизации правила; В - заключение правила, «=> » - знак логической секвенции; и - постусловие логического правила.

Условие А активизации процесса вычисления значения выходного сигнала компонента задается в виде логического выражения. Для компонента у2 условие А имеет следующий вид:

А={хх, х^еЛл (^2, Лз)еЛд(д;, ^(^л^ =Зс3(А;-1)) . (10)

Заключение В, определяющее процедуру вычисления значения выходного сигнала в момент времени , задается функциональным

отношением /,, / = 1, п . Для компонента у2 функциональное отношение /2 на наборах входных Зс 1 (к ), х2(к) и выходного х3(£-1) сигналов имеет следующий вид:

л(Ш (*))• о1)

С использованием постусловия V формируется новый набор значений выходного сигнала хг (к) :

(**-„. 4) = и{(х1^,..., хЦ, х3{к)) . (12)

Представление структуры моделируемой системы в виде маркированного орграфа позволяет упростить вычислительную модель, так как при этом условие активизации вычисления выходного сигнала каждого компонента (10) заменяется на условие поиска активной вершины маркированного орграфа (3), а смена текущей маркировки графа (4) соответствует активизации логического правила (9). Предложенная вычислительная модель позволяет построить планировщик вычислений при организации имитационного моделирования динамических систем (ДС), сетей массового обслуживания (СеМО) и объектов системной динамики (СД) на основе маркированных орграфов.

На основе предложенного графового модельного представления систем разработан способ организации имитационного моделирования СеМО, объектов СД и ДС. При этом математическая модель системы состоит из моделей компонентов, модели структуры связей ( , £)2) между компонентами системы и вектора начальной маркировки (М0 ) графа.

Компоненты СеМО представлены источниками заявок, узлами обслуживания, очередями ожидания, стоками заявок и логическими компонентами, которые ассоциированы с перекрестками концептуальной модели в стандарте ШЕРЗ. Для имитационного моделирова-

ния СеМО на основе маркированных орграфов в среде математического пакета МаШСас! разработана программа, позволяющая построить модель СеМО в соответствии с предложенной Кендаллом классификацией а/Ь/с^еЯ- СМО. Разработана библиотека подпрограмм-компонентов, которая позволяет сократить время на построение имитационной модели. Результатами моделирования являются основные характеристики компонентов и СеМО, которые сопровождаются графической визуализацией потоков заявок в узлах СеМО.

При организации дискретно-событийного моделирования построена модель трехзвенной системы «клиент-сервер», которая состоит из двух источников с разными типами заявок, канала связи, сервера приложений и сервера базы данных (БД). Результаты аналитического и имитационного моделирования при интенсивностях поступления заявок X] = 2 1/с, Х2 — 4 1/с и интенсивностях обслуживания ц1 = 28 1/с, ц2 = 100 1/с, цЗ = 17 1/с соответственно в канале, сервере приложений и сервере БД приведены в таблице 1. В таблице использованы следующие обозначения: Гс - среднее время пребывания заявки в сети; Тоб - среднее время обслуживания заявки в системе; Гож - среднее время ожидания заявки в очереди; Nъ - среднее число заявок в сети.

Таблица 1

Вид моделирования Характеристики СеМО

Тоб, с Т ож I С Тс, с

1 тип заявок 2 тип заявок 1 тип заявок 2 тип заявок 1 тип заявок 2 тип заявок 1 тип заявок 2 тип заявок

Имитационное 0,1486 0,0831 0,064 0,0562 0,2126 0,1393 0,4252 0,5572

Аналитическое 0,1502 0,0814 0,0657 0,0558 0,2159 0,1372 0,4318 0,5488

Из таблицы видно, что отклонение результатов имитационного моделирования от аналитического не превышает 2 %.

На рисунке 3 представлены трафики двух типов обслуженных заявок на выходе системы. Первый тип заявок (А^) обслуживается

сервером БД, второй тип заявок ( ) - только сервером приложений.

Рисунок 3 — Выходные потоки заявок трехзвенной системы «клиент-сервер»

С применением маркированных орграфов решена задача имитационного моделирования ДС. На рисунке 4 представлена схема системы управления толщиной стальной полосы на выходе прокатного стана.

Рисунок 4 - Схема системы управления толщиной полосы прокатного стана

Система содержит источник входного сигнала /ф), ПИД-ре-гулятор С(у), который взаимодействует с объектом (^(.у), <32(.у) в контуре обратной связи, возмущение приложенное к входу

объекта, и узел (?/(«) упреждения возмущения. Маркированный орграф данной модели представлен на рисунке 1.

В исходной аналоговой модели компоненты представлены дифференциальными уравнениями. Дискретные модели компонентов построены с применением аналого-цифрового метода, алгебраической интерполяции входных сигналов и интегрального преобразования Лапласа. Например, для звена упреждения возмущения

получена дискретная модель в форме системы конечно-разностных уравнений:

К

Ч = ехР(-а•'ик-\ +---(1 ~ехр(-а■ АО)■ 4 +*к~Х,

р-а 1

Ук

= (а~Ь).

4-х

К хк + хк_х

(13)

Р 2

где ик - переменная состояния; ук - выходная переменная; хк - входная переменная; а,Ь - полюс и ноль соответственно; К, Р - коэффициенты; А/ - шаг дискретизации.

Адекватность имитационной и аналитической модели ДС оценена на основе сравнения значений выходных сигналов дискретной модели с аналитическим решением для каждого компонента ДС. На рисунке 5 представлены графики выходных сигналов (П^, ПИД-регулятора, значения которых рассчитаны методом имитационного и аналитического моделирования при входном сигнале Хк.

40г

зо-

у^

20-

хк

Рисунок 5 - Результаты аналитического и имитационного моделирования ПИД-регулятора

График выходного сигнала аналитической модели смещен относительно графика выходного сигнала дискретной модели для наглядности изображения. Из рисунка видно, что относительное отклонение вычислений выходного сигнала в дискретной модели не превышает 0,25 %.

Для имитационного моделирования ДС на основе маркированных орграфов в универсальном математическом пакете МаЛСас! разработана программа, которая содержит библиотеку подпрограмм-компонентов, включающую дискретные модели динамических звеньев системы.

С использованием разработанной программы получены результаты моделирования ДС при единичном ступенчатом входном воздействии /?($) (/ = 1) и единичном ступенчатом возмущении

(t = 5). На рисунке 6 показаны графики значений выходных сигналов компонентов модели управления толщиной полосы прокатного стана. Используя настройку параметров компонентов, можно обеспечить желаемое качество переходных процессов в исследуемой системе.

Rk

-г 15 Ск

i -

V

JT

о

о

5

10

15

20

tk

Рисунок 6 - Выходные сигналы компонентов модели управления толщиной полосы прокатного стана

В диссертации представлены результаты имитационного моделирования производственно-сбытовой организации методом системной динамики.

В.четвертой главе на основе маркированных графов предложены решения задач сетевого планирования, поиска кратчайшего пути сетевой модели и моделирование работы конечного автомата.

Предложена организация сетевого планирования на основе представления сетевого графика в виде маркированного орграфа с взвешенными дугами С = Ць Т, М0), где Т = {,...,-множество весов дуг. Продвижение маркера по графу определяет последовательность выполнения расчетов временных характеристик событий и работ сетевой модели.

Разработана программа для реализации сетевого планирования крупных проектов в среде математического пакета МаЛСас!, позволяющая рассчитать временные характеристики сетевой модели на основе заданной структуры, начальной маркировки и весов дуг графа. Программа успешно использована ООО «СтройПенза» для нахождения следующих временных характеристик сетевых проектов строительных работ: ранних и поздних сроков свершения событий, резервов времени событий, ранних и поздних сроков начала и окончания выполнения работ, резервов времени работ, маршрута и продолжительности критического пути.

Для решения задачи поиска кратчайшего пути предложен алгоритм, отличительная особенность которого состоит в использовании маркировки дуг графа. При этом исходная сеть представляется в виде маркированного взвешенного орграфа С = £>2, Т, С, М0), где С = {с), с2,..., ст} - множество весов маркеров, - функция, определяющая веса маркеров на выходных дугах разрешенной вершины. При смене маркировки вес маркера на выходной дуге определяется минимальным весом маркера из множества маркеров, размещенных на входных дугах разрешенной вершины.

Кроме рассмотренных выше задач, предложена модель конечного автомата в виде маркированного орграфа.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложения содержат листинги программ, разработанных в среде универсального математического пакета МаЛСас!. Программы разработаны для организации имитационного моделирования динамических систем, объектов системной динамики, сетей массового обслуживания, а также для решения задач сетевого планирования и поиска кратчайшего пути сетевой модели на основе маркированных графов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработана вычислительная модель для организации имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем в среде математического пакета. Модель отличается заданием системы логических правил, определяющих последовательность вычислений с учетом структуры моделируемой системы и функций поведения компонентов, что позволяет построить планировщик вычислений при компьютерном моделировании динамических систем, процессов системной динамики и сетей массового обслуживания.

2 Предложены новые графовые модели многокомпонентных систем, которые, в отличие от известных, кроме множества вершин и множества дуг, содержат маркеры в виде фишек, размещенных на дугах или в вершинах графа, что позволяет отобразить в модели смену состояний входных и выходных сигналов компонентов системы.

3 Разработано матричное представление графовых моделей многокомпонентных систем, которое отличается заданием матриц инци-денций, начальной маркировки, вектора активизации вершин и правила смены маркировки. Матричное представление графовых моделей обеспечивает применение методов линейной алгебры для управления вычислениями в процессе модельного эксперимента.

4 Предложены алгоритм решения задач сетевого планирования и алгоритм поиска кратчайшего пути в сети, отличающиеся представлением сетевых моделей в виде маркированных взвешенных орграфов. Применение алгоритмов позволяет решать задачи на основе маркированных орграфов в среде универсальных математических пакетов.

5 Разработан комплекс программ для решения задач моделирования динамических систем, объектов системной динамики, сетей массового обслуживания, задач сетевого планирования и поиска кратчайшего пути в среде математического пакета МаШСас!.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России

1 Волгина, М. А. Моделирование сетей массового обслуживания на основе маркированных графов / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2008. - № 3. - С. 33-39.

Публикации в других изданиях

2 Волгина, М. А. Логико-алгебраический метод сетевого планирования и управления / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике: тр. Междунар. конф. - Ульяновск, 2001. -Т.З.-С. 59-60.

3 Волгина, М. А. Анализ деятельности предприятий с использованием маркированных графов / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Синтез и сложность управляющих систем: VII Междунар. школа-семинар.-М., 2001. - Ч. 1.-С. 72-75.

4. Волгина, М. А. Организация имитационного моделирования деятельности предприятий / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: сб. материалов Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2001. - Ч. 1. - С. 49-51.

5 Волгина, М. А. Компьютерное моделирование сложных динамических систем / М. А. Волгина, П. П. Макарычев Н Сб. материалов VI Междунар. науч.-метод. конф. - Пенза, 2002. - С. 539-540.

6 Волгина, М. А. Маркированные гиперграфы в задачах компьютерного моделирования / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках: Четвертая Всерос. научная ш1егпе1:-конф. - Тамбов, 2002.-С. 44-46.

7 Волгина, М. А. Компьютерное моделирование систем средствами математических пакетов / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Новые информационные технологии и системы : тр. V Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2002. - С. 226-229.

8 Волгина, М. А. Управление деятельностью предприятий с использованием компьютерного моделирования / М. А. Волгина // Со-

циально-экономические аспекты современного развития России : сб. материалов Всерос. науч.-практ. конф. - Пенза, 2003. - С. 63-65.

9 Волгина, М. А. Моделирование производственных систем средствами математических пакетов / М. А. Волгина // Компьютерное моделирование 2003 : тр. 4-й Междунар. науч.-техн. конф. - СПб.: «Нестор», 2003. - С. 260-264.

10 Волгина, М. А. Организация компьютерного компонентного моделирования производственных систем / М. А. Волгина // Актуальные проблемы современной науки : тр. 4-й Междунар. конф. молодых ученых и студентов. - Самара, 2003. - С. 16-19.

11 Волгина, М. А. Технология компьютерного моделирования бизнес-процессов / М. А. Волгина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 2-го Междунар. форума молодых ученых. - Самара : Изд-во Самар. гос. техн. ун-та, 2006. - С. 82-84.

12 Волгина, М. А. Матричное описание ориентированных маркированных графов / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Новые информационные технологии и системы : тр. VII Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2006. - Ч. 2. - С. 62-64.

13 Волгина, М. А. Моделирование динамических систем с применением маркированных гиперграфов / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. I Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза, 2007. - С. 64-67.

14 Волгина, М. А. Математическое моделирование систем в среде математического пакета / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Новые информационные технологии и системы : тр. VIII Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : ИИЦ ПГУ, 2008. - Ч. 2. - С. 76-78.

Волгина Марина Анатольевна

Моделирование динамики многокомпонентных систем на основе маркированных графов

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор О. Ю. Ещина Технический редактор Н. А. Вьялкова

Корректор Ж. А. Лубенцоеа Компьютерная верстка Н. В. Ивановой

ИД№ 06494 от 26.12.01 Сдано в производство 26.05.09. Формат 60x84 6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Заказ № 272. Тираж 100.

Издательство Пензенского государственного университета. 440026, Пенза, Красная, 40.

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Онтология математического моделирования.

1.2. Методы построения концептуальных и математических моделей.

1.3. Методы построения дискретных моделей системной динамики и динамических систем.

1.4. Технология имитационного моделирования.

1.5. Инструментальные средства имитационного моделирования.

Выводы.

2. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФОВЫХ МОДЕЛЕЙ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Представление модели в виде маркированного орграфа.

2.2. Представление модели в виде неориентированного маркированного графа.

2.3. Формализованное описание маркированного гиперграфа.

2.4. Формализованное описание нечетких маркированных графов.

2.5. Раскрашенные и двудольные маркированные графы.

2.6. Разработка программы моделирования маркированного графа.

Выводы.

3. ОРГАНИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МАРКИРОВАННЫХ ГРАФОВ.

3.1. Вычислительная модель для компьютерного моделирования динамических систем.

3.2. Организация дискретно-событийного моделирования.

3.3. Анализ адекватности имитационной модели сети массового обслуживания.

3.4. Моделирование многокомпонентных динамических систем.

3.5. Моделирование объекта системной динамики.

Выводы.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ МАРКИРОВАННЫХ ГРАФОВ.

4.1. Организация сетевого планирования.

4.2. Решение задачи поиска кратчайшего пути.

4.3. Моделирование многокомпонентных систем методом пространства состояний.

4.4. Анализ структурных характеристик многокомпонентных систем.

4.5. Модель конечного автомата в виде маркированного орграфа.

Выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

На сегодняшний день имитационное моделирование является мощным и эффективным средством теоретического исследования и проектирования технических, экономических, биологических и социальных систем. Широкое применение имитационного моделирования обусловлено двумя причинами: желанием разработчиков иметь в распоряжении количественные оценки характеристик систем до завершения проектирования и экспериментального исследования; сложностью выполнения оценок характеристик многокомпонентных динамических систем аналитическими методами.

Существуют специализированные программные средства (Arena, Extend, ProModel, Vissim, Powersim, VenSim и др.), предназначенные для визуального моделирования многокомпонентных систем, и универсальные математические пакеты (MathCad, Matlab, Mathematica, Maple и др.). Графическая оболочка визуальных пакетов моделирования, как правило, скрывает от пользователя процедуру получения результатов модельного эксперимента. Однако выбор нужного для решения конкретной задачи численного метода и настройка параметров вычислительного эксперимента часто являются далеко не тривиальной задачей. При отсутствии в пакетах средств выбора метода и настройки параметров появляется опасность получения неправильных результатов.

К достоинствам математических пакетов следует отнести простой и удобный интерфейс, широкую библиотеку встроенных функций и численных методов, возможность символьных вычислений, графические средства представления результатов, а также возможность интеграции с программными средствами визуального моделирования. Кроме того, математические пакеты являются инструментальными средствами, позволяющими реализовать как аналитическое, так и имитационное моделирование несложных систем. К числу основных достоинств моделирования с помощью математических пакетов следует отнести математическую прозрачность модельных представлений, которая особенно важна при моделировании новых неисследованных объектов.

Несмотря на перечисленные достоинства, широкое применение математических пакетов в имитационном моделировании в научных исследованиях и инженерной практике ограничено. Эти ограничения связаны с отсутствием способов построения моделей и программных средств организации имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем. В связи с этим задача разработки способа построения моделей и программных средств для организации имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем в среде математических пакетов является актуальной. При этом математические пакеты должны предоставлять пользователю средства для моделирования систем произвольной структуры и назначения, сокращать затраты времени на программирование вычислений при построении имитационной модели.

Методологической основой данной диссертационной работы являются исследования А. А. Самарского, С. В. Емельянова, Н. Н. Моисеева, О. Оре, К. Бержа, Ф. Харари, Л.Г. Лабскера, Р. Уилсона, Т. Саати, Н. Кристофидеса, В. Е. Котова, Дж. Питерсона, В. Н. Буркова, П. П. Макарычева и др.

Целью диссертационной работы являются теоретическое исследование и развитие методов, средств имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем с применением математических пакетов.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- анализ существующих методов, алгоритмов, программных средств имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем;

- разработка вычислительной модели для организации имитационного моделирования динамики многокомпонентных систем в универсальных математических пакетах;

- разработка и исследование способа построения имитационных моделей многокомпонентных систем на основе маркированных графов и оценка их адекватности;

- разработка и исследование способа матричного описания маркированных графов и процедуры смены маркировки графа;

- разработка алгоритмов решения задач сетевого планирования и поиска кратчайшего пути на основе представления сетевых моделей в виде маркированных орграфов;

- разработка и экспериментальное исследование программного обеспечения моделирования сетей массового обслуживания, динамических систем и объектов системной динамики в среде математического пакета MathCad.

Методы исследования основаны на использовании основных положений теории математического, имитационного моделирования систем, теории случайных процессов, теории логики, теории графов, теории массового обслуживания, теории системной динамики и динамических систем, теории концептуального программирования, методов сетевого планирования и управления.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) разработана вычислительная модель для организации имитационного моделирования многокомпонентных систем, которая, в отличие от известных, содержит систему логических правил, формируемых с учетом структуры моделируемой системы и функций поведения ее разнородных компонентов;

2) предложены новые графовые модели структур многокомпонентных систем, которые, в отличие от известных, содержат маркеры в виде фишек, размещенных в вершинах или на дугах графа, продвижение которых в графе отражает динамику изменений значений сигналов компонентов в дискретном времени;

3) предложено матрично-векторное описание маркированных графов, которое обеспечивает задание структуры, начальной маркировки графа, условия активности вершин графа и процедуры смены маркировки;

4) предложен способ организации имитационного моделирования в математических пакетах, который отличается от известных способов организацией вычислений и продвижением модельного времени в процессе компьютерного эксперимента на основе маркированных графов;

5) предложены алгоритм решения задач сетевого планирования и алгоритм поиска кратчайшего пути, которые отличаются использованием маркированных графов при формализованном описании структуры сетевой модели.

Практическая значимость исследования. Полученные в диссертации теоретические и практические результаты позволяют расширить возможности моделирования многокомпонентных динамических систем в среде универсальных математических пакетов. Комплекс программ, разработанный в среде математического пакета MathCad, позволяет решать задачи имитационного моделирования динамических систем, объектов системной динамики и сетей массового обслуживания, а также задачи сетевого планирования и поиска кратчайшего пути на основе маркированных графов. Наличие библиотеки компонентов динамических систем позволяет ускорить процесс сборки модели из библиотечных элементов, что обеспечивает компонентный подход к имитационному моделированию систем на основе маркированных графов.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты по разработке вычислительной модели, имитационных моделей многокомпонентных динамических систем и комплекс программ для решения задач имитационного моделирования динамических систем в среде пакета MathCad внедрены в ОАО «Научно-производственное предприятие "Рубин"».

В ООО «СтройПенза» внедрена и успешно использована программа для решения задач сетевого планирования в среде математического пакета MathCad. С использованием программы выполнены расчеты временных характеристик сетевых проектов строительных работ.

Материалы диссертационной работы использованы при проведении лекционных и лабораторных занятий по дисциплине «Моделирование систем», изучаемой студентами специальности 230202.65 — «Информационные технологии в образовании» факультета вычислительной техники Пензенского государственного университета.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) вычислительная модель для организации компьютерного моделирования многокомпонентных систем, учитывающая структуру моделируемой системы и функции поведения ее разнородных компонентов;

2) представление моделей структур многокомпонентных систем в виде маркированных орграфов, содержащих в вершинах или на дугах маркеры, обеспечивающие управление вычислениями в процессе модельного эксперимента;

3) матричное представление маркированных графов, позволяющее описать логическую структуру графа, условие активности вершин графа и процесс смены его маркировки;

4) способ организации имитационного моделирования динамических систем, сетей массового обслуживания и моделей системной динамики на основе маркированных графов в среде универсальных математических пакетов;

5) алгоритм решения задач сетевого планирования и алгоритм поиска кратчайшего пути на основе маркированных графов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза, 2001 г.); VII Международном семинаре «Синтез и сложность управляющих систем» (г. Москва,2001 г.); V Международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии и системы» (г. Пенза, 2002 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Социально-экономические аспекты современного развития России» (г. Пенза, 2003 г.); VII Международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии и системы» (г. Пенза, 2006 г.).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 14 статьях и тезисах конференций. Среди них 1 статья в журнале из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований и 8 приложений. Объем работы: 135 страниц основного текста, включающего 40 рисунков, 4 таблицы и 77 страниц приложений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана вычислительная модель для организации имитационного моделирования многокомпонентных динамических систем в среде математического пакета. Модель отличается заданием системы логических правил, определяющих последовательность вычислений с учетом структуры моделируемой системы и функций поведения компонентов, что позволяет построить планировщик вычислений при компьютерном моделировании динамических систем, процессов системной динамики и сетей массового обслуживания.

2. Предложены новые графовые модели многокомпонентных систем, которые, в отличие от известных, кроме множества вершин и множества дуг, содержат маркеры в виде фишек, размещенных на дугах или в вершинах графа, что позволяет отобразить в модели смену состояний входных и выходных сигналов компонентов системы.

3. Разработано матричное представление графовых моделей многокомпонентных систем, которое отличается заданием матриц инциденций, начальной маркировки, вектора активизации вершин и правила смены маркировки. Матричное представление графовых моделей обеспечивает применение методов линейной алгебры для управления вычислениями в процессе модельного эксперимента.

4. Предложены алгоритм решения задач сетевого планирования и алгоритм поиска кратчайшего пути в сети, отличающиеся представлением сетевых моделей в виде маркированных взвешенных орграфов. Применение алгоритмов позволяет решать задачи на основе маркированных орграфов в среде универсальных математических пакетов.

5. Разработан комплекс программ для решения задач моделирования динамических систем, объектов системной динамики, сетей массового обслуживания, задач сетевого планирования и поиска кратчайшего пути в среде математического пакета MathCad.

1. Banks J., Handbook of Simulation, Principles, Methodology, Advances, Applications and Practice // J. Wiley & Sons, 1.c., 1998. - 849 p.

2. Buckner G.D. Graphical Tool for Dynamic System Simulation // Technical Report Dept of Mechanical and Aerospace Engineering. North Carolina State University, 2002. 143 p.

3. Carson J.S. Model and validation // Proceedings of the 2001 Winter Simulation Conference, 2002. P. 52-58.

4. Edward Yourdon. Modem Structured Analysis. Englewood Cliffs, New Jersey: Yourdon Press, 1989. P. 34-41.

5. John D. Sterman. System Thinking and Modeling for a Complex World // Mc.Graw Hill, 2000. 982 p.

6. Law A.M., Mcomas M.G. How to build valid and credible simulation models // Proceedings of the 2001 Winter Simulation Conference, 2001. -P. 22-29.

7. Ogata K. System Dynamics. Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J., 1998.-216 p.

8. Pletcher SD and Neuhauser C. 2000. Biological aging Criteria for modeling and a new mechanistic model. Intern Journ of Modem Physics - P. 11.

9. Sheldon M. Ross. Simulation // Academic Press, 2002. 274 p.

10. ShlaerS., MellorS. Object Lifecycle: Modeling the World in States. New Jersy: Prentice Hall.: Tuglewood Cliffs, 1992. P. 31-43.

11. П.Алексеев E.P., Чеснокова O.B. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCad, Matlab, Maple. М: НТ Пресс, 2006. - 496 с.

12. Байков И.П., Дроздов В.Г., Ломагин В.Н., Староверов Б.А. Автоматизированные системы управления технологическими процессами. / Под общей редакцией Б.А. Староверова. Кострома: КГТУ, 2000. - 181 с.

13. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. / Перевод с английского. М.: Наука, 1973. - 368 с.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 632 с.

15. Башмаков А.И., Башмаков И.А. Интеллектуальные информационные технологии: Учебное пособие. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 304 с.

16. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирование динамических систем СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 464 с.

17. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 368 с.

18. Берж К. Теория графов и ее применения. / Перевод с французского. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 311 с.

19. Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Математические методы принятия решений. Учебное пособие. Тамбов: ТГТУ, 2004. - 116 с.

20. Борщев А. От системной динамики и традиционного имитационного моделирования — к практическим агентным моделям: причины, технология, инструменты / XJ Technologies www.xjtek.com.

21. Букреев В.Г. Основы математического моделирования и прогнозирования экономических систем. 4.1: Учебное пособие, 2-е изд. -Томск: ТГПУ, 2004. 104 с.

22. Бурков В.Н. и др. Сетевые модели и задачи управления. М.: Советское радио, 1966. - 296 с.

23. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2001. 124 с.

24. Бурков В.Н., Ириков В.А. Модели и методы управления организационными системами. М.: Наука, 1994. - 127 с.

25. Бурков B.H., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: СИНТЕГ, 2001. - 311 с.

26. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.- 400 с.

27. Варфоломеев В.И. Имитационное моделирование экономических систем. -М.: МГУК, 1997. 314 с.

28. Вендров A.M. Современные технологии создания программного обеспечения / Jet Info. Информационный бюллетень. М.: № 10, 2004. -С.31.

29. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. — М.: Техносфера, 2003. — 512 с.

30. Влацкая И.В., Татжибаева О.А. Моделирование систем массового обслуживания: методические указания к расчетно-графическим работам. / И.В. Влацкая, О.А. Татжибаева. Оренбург: ГОУ ОГУ, 2005. - 20 с.

31. Волгина, М.А. Компьютерное моделирование сложных динамических систем / М.А. Волгина, П.П. Макарычев // Сб. материалов VI Междунар. науч.-метод. конф. Пенза, 2002. - С. 539-540.

32. Волгина, М.А. Маркированные гиперграфы в задачах компьютерного моделирования / М.А. Волгина, П.П. Макарычев //

33. Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках: Четвертая Всерос. научная internet-конф. Тамбов,2002. С. 44-46.

34. Волгина, М.А. Моделирование производственных систем средствами математических пакетов / М.А. Волгина // Компьютерное моделирование 2003 : тр. 4-й Междунар. науч.-техн. конф. СПб. : «Нестор»,2003. С. 260-264.

35. Волгина, М.А. Моделирование сетей массового обслуживания на основе маркированных графов / М.А. Волгина, П.П. Макарычев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2008. -№3.- С. 33-39.

36. Волков B.JT. Моделирование процессов и систем в приборостроении: Учебное пособие. Арзамас: АПИ НГТУ, 2008. - 143 с.

37. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.

38. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика: Учебник для втузов. М.: Наука, 2000. -544 с.

39. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. М.: Компьютер, 1995. — 135 с.

40. Гудвин Г.К. Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 911 с.

41. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс. СПб.: Питер, 2000. - 432 с.

42. Доштойрова Т.Е. Некоторые вопросы системной динамики. М.: Наука, 1982.-54с.

43. Дьяконов В.П. Vissim + Mathcad + Matlab. Визуальное математическое моделирование. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. - 384 с.

44. Емеличев В.А. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. - 384 с.

45. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов М.: Наука, 1990. - 320 с.

46. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов. / Под ред. Емельянова А.А. М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.

47. Емельянов С.В. Технология системного моделирования. / Под ред. С.В. Емельянова М.: Машиностроение, 1998. - 386 с.

48. Заболотский В.П., Оводенко А.А., Степанов А.Г. Математические модели в управлении: Учебное пособие. / СПб.: СПбГУАП, 2001. 196с.

49. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во: Дело и сервис, 1999. - 265 с.

50. Зинкин С.А., Дубинин В.Н. Сетевые спецификации, моделирование и проектирование вычислительных комплексов, систем и сетей: Учебное пособие. Ч. 1. Пенза: Изд-во ПТУ, 1996. - 322 с.

51. Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая-статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде MathCad. — СПб: БХВ-Петербург, 2008. 528 с.

52. Имитационное моделирование производственных* систем. / Под общей редакцией А.А. Вавилова. -М.: Машиностроение, 1983. 416 с.

53. Информационные технологии моделирования и управления: Международный сборник научных трудов / Воронеж: ВГУ, 2005. 1043 с.

54. Иозайтис B.C., Львов Ю.А. Экономико-математическое моделирование производственных систем. М.: Высшая школа, 1991. - 115 с.

55. Калашников В.В. Организация моделирования сложных систем. — М.: Знание, 1982.-62 с.

56. Карамайкин А.С. Моделирование процессов и систем: Учебное пособие / СПб.: СПбГУАП, 2005. 108 с.

57. Карпов Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 400 с:

58. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.-576 с.

59. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. М.: Статистика, 1978. - 290 с.

60. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. / Перевод с английского М.: Радио и связь, 1990. - 544 с.

61. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей / Учебное пособие. -М.: Финстатинформ, 2000. 246 с.

62. Коблев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем. М.: Дело, 2003. — 270 с.

63. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: УРСС, 2005.-239 с.

64. Кондратьев А.С., Филиппов М.Э. Математическое моделирование реальных процессов // Компьютерные инструменты в образовании, 1999. -№ 1.

65. Конник К.А., Левинсон М.Р. Имитационные системы, принятия экономических решений. -М.: Наука, 1989. 165 с.

66. Котов В.Е. Сети Петри. М.: Наука, 1984. - 160 с.

67. КофманА., Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. М.: Прогресс, 1968. - 120 с.

68. Кривцов A.M., Шеховцев В.В. Сетевое планирование и управление. М.: Экономика, 1978. - 265 с.

69. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. — М.: Мир, 1980.-215 с.

70. Кугаенко А.А. Методы динамического моделирования в управлении экономикой: Учебное пособие. / Под ред. П.Е. Кондрашова. 2-е изд. - М.: Университетская книга, 2005. - 456 с.

71. Кугаенко А.А. Основы теории и практики динамического моделирования социально-экономических объектов и прогнозирования их развития. М.: Вузовская книга, 1998. - 392 с.

72. Кузин С.Г. Ролевой граф в качестве модели понятия // Вестник Нижегородского университета: Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1998. — С.235.

73. Кузин С.Г., Кошелев М.В. Модели и способы управления вычислительным процессом // Вестник Нижегор. ун-та: Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1997.-С. 311.

74. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. -416 с.

75. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. М.: ЮНИТИ, 1998. - 320 с.

76. Лабскер Л.Г. Математическое моделирование финансово-экономических ситуаций с применением компьютера М.: МЭСИ, 1998. -215 с.

77. Лапко А.А., Холод Н.И. Исследование операций // Марковские процессы. Теория массового обслуживания. Минск: БГЭУ, 1996. - 196 с.

78. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

79. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде Matlab и fuzzyTech. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.

80. Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. -М.: Советское радио, 1978. 216 с.

81. Лоу A.M., Кельтон В.Д. Имитационное моделирование. / Перевод с англ. СПб: Питер, 2004. - 370 с.

82. Лычкина Н.Н. Имитационное моделирование экономических процессов. Учебное пособие М.: Академия АйТи, 2005. - 160 с.

83. Лычкина Н.Н. Современные тенденции в имитационном моделировании // Информационные системы управления. М.: ГУУ, 2000. -№2.

84. Макарычев П.П. Моделирование непрерывных и дискретных динамических систем: Учебное пособие. / Под ред. Н.П. Вашкевича. — Пенза: Пензенский политехнический институт, 1988. 76 с.

85. Маклаков С.В. BPwin и ERwin. Case — средства разработки информационных систем. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. 256 с.

86. Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988.-232 с.

87. Марка Д., Мак Гоуэн К. Методология структурного анализа и проектирования. / Перевод с англ. М.: Наука, 1993. - 240 с.

88. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608 с.

89. Математический энциклопедический словарь. Гл. редактор Ю.В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. - 846 с.

90. Моделирование и анализ информационных систем: Сборник научных трудов / Ярославский государственный университет. Ярославль. Т. 12 № 1,2005.-76 с.

91. Моделирование систем с использованием теории массового обслуживания. / Под ред. д.т.н. Д.Н. Колесникова: Учебное пособие. СПб: СПбГПУ, 2003.- 180 с.

92. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа М.: Наука, 1981.-488 с.

93. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. 3-е издание. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с

94. Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование Matlab / Перевод с англ. М.: Вильяме, 2001. - 720 с.

95. Новгородцева Т.Ю., Матусевич Д.С. Анализ систем массового обслуживания с использованием программного комплекса "Теория Массового Обслуживания". Иркутск: ИГЭА, 2001. - 41 с.

96. Норенков И.П., Трудоношин В.А. Телекоммуникационные технологии и сети. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 146 с.

97. ОлзоеваС.И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем. Улан-Удэ: ВГСТУ, 2004. - 34 с.

98. Ope О. Теория графов. / Перевод с англ. 2-е изд. - М.: Наука, 1980.-336 с.

99. Оре О. Графы и их применение. / Перевод с англ. М.: Мир, 1965. -168 с.

100. Острейковский В.А. Теория систем. М.: Высшая школа, 1997.340 с.

101. Охорзин В.А. Компьютерное моделирование в системе MathCad. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 144 с.

102. Охорзин В.А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде MathCad. М.: Финансы и статистика, 2005. - 144 с.

103. Парийская Е.Ю. Сравнительный анализ математических моделей и подходов к моделированию и анализу непрерывно-дискретных систем // Электронный журнал. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 1997. -№ 1.-С. 91-120. http: // www.neva.ru / journal

104. ПартыкаТ.Л., Попов И.И. Математические методы. М.: Инфра-М, 2007. - 464 с.

105. Перегудов Ф.И. Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ: учебное пособие для ВУЗов. М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.

106. Перельман А.Е. Построение моделей автоматизированных систем оперативного управления производством. М.: Статистика, 1973. — 265 с.

107. Письменный Д.Т. Полный курс по высшей математике. 7-е изд. -М.: Айрис-пресс, 2008: - 608 с.

108. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 264 с.

109. Полак Э. Численные методы оптимизации. М: Мир, 1997. - 376 с.

110. Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических систем с использованием пакета MathCad. Изд-во: Горячая линия, 2004. - 319 с.

111. Романцев В.В., Яковлев С.А. Моделирование систем массового обслуживания. СПб: Поликом, 1995. — 312 с.

112. Рыжиков Ю.И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. СПб.: КОРОНА, М: Альтекс-А, 2004. - 380 с.

113. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. / Перевод с англ. М.: Мир, 1991. - 397 с.

114. Самарский А.А. Математическое моделирование: Методы, описания и исследования сложных систем. М.: Наука, 1989. - 128 с.

115. Семененко М. Математическое моделирование в MathCad. М: Альтекс-А, 2003. - 293 с.

116. Сениченков Ю.Б. Визуальное моделирование сложных динамических систем. СПб: Дизайн, 2004. - 320 с.

117. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.: Высшая школа, 2003.-311 с.

118. Сольницев Р.И., Кононюк А.Е., Кулаков Ф.М. Автоматизация проектирования гибких производственных систем. JL: Машиностроение, 1990.-415 с.

119. Тартаковский Г.П. Теория информационных систем. М.: Физматкнига, 2005. — 304 с.

120. Тернер Д. Вероятность, статистика, исследование операций. М.: Статистика, 1976. - 310 с.

121. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. 2-е изд. М.: РДЛ, 2002. — 256 с.

122. Уилсон Р. Введение в теорию графов. / Перевод с англ. М.: Мир, 1977.-202 с.

123. Ушаков А.В., ХабаловВ.В., Дударенко Н.А. Математические основы теории систем: элементы теории и практикум. / Под ред. А.В. Ушакова СПб.: СПбГУИТМО, 2007. - 283 с.

124. Федоренко Н.П. Оптимальное планирование и управление. Информация и модели структур управления. М.: Наука, 1972. — 278 с.

125. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для ВУЗов. / Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 2000. - 391 с.

126. Филипс Д., Гарсия-Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир, 1984.-234 с.

127. Форрестер Дж. Динамика развития города. М.: Прогресс, 1974.274 с.

128. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978. - 340 с.

129. Фриск В.В. MatchCad. Расчеты и моделирование цепей на ПК. -М: Солон-Пресс, 2006. 328 с.

130. Харари Ф. Теория графов. / Перевод с англ. М.: Мир, 1973.342 с.

131. Харари Ф., Пальмер Э. Перечисление графов. / Перевод с англ. -М.: Мир, 1977.-312 с.

132. Холод Н.И., Кузнецов А.В., ЖихарЯ.Н. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / Под общ. ред. А.В. Кузнецова. М.: БГЭУ, 1999. - 413 с.

133. Цвиркун А.Д. и др. Имитационное моделирование в- задачах синтеза структуры сложных систем. М.: Наука, 1985. - 276 с.

134. Черненький В.М. Имитационное моделирование. М.: Высшая школа, 1990. - 225 с.

135. Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Высшая математика на базе MathCad. СПб: БХВ-Петербург, 2004. - 360 с.

136. Шелухин О.И. Моделирование информационных систем: Учебное пособие. / О.И. Шелухин, A.M. Тенякшев, А.В. Осин. М.: Радиотехника, 2005. - 367 с.

137. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 418 с.

138. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. 2-е изд. — М.: Дело, 2002. - 440 с.

139. Шуткин JI.B. Паттерновые сети для моделирования информационных систем. М.: НТИ, 1995. - 21 с.

140. Anylogic. Учебное пособие по системной динамике 1992-2004 XJ Technologies Company Ltd / http://www.xitek.com/products/anylogic.