автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели принятия решений при предупреждении чрезвычайных ситуаций

На правах рукописи

Копылов Сергей Анатольевич

Модели принятия решений при предупреждении чрезвычайных ситуаций

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре управления и вычислительных систем Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

д. т. н., профессор Шахраманьян Михаил Андраникович.

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор Афанасьев Александр Петрович, к. ф.-м. н., доцент Шахнов Игорь Фёдорович.

Ведущая организация: Институт проблем управления (ИПУ) РАН

Защита состоится ¿у^Я/^Д_2004 года в на за-

седании диссертационного совета К212.156.02 в Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан 2004 года

Учёный секретарь диссертационного с о К212.156.02

к . ф.-м. н . О. С. Федько

Общая характеристика

Актуальность темы

В настоящее время задачи антикризисного управления, например предотвращения и ликвидации чрезвычайных ситуаций, являются одним из приоритетов для России. Изучению проблем безопасности посвящены работы Ю. Л. Воробьёва, М. А. Шахраманьяна, В. П. Ав-дотьина, Б. В. Потапова, Н. Н. Радаева, М. Ю. Копнина. Чрезвычайная ситуация — любое, часто непредсказуемое изменение состояния социально-экономической системы, сопровождающееся, как правило, ущербом. Одной из важнейших характеристик таких систем является риск. Концепция риска несёт в себе два понятия: реальность (например, вероятность) неблагоприятного исхода и размер ущерба от него. Показатель риска является и мощным фактором управления, и целевым функционалом. Исследование влияния конкретного соотношения двух аспектов риска на поведение социально-экономических систем — острая задача практического управления.

В этом свете огромное значение имеет создание теории и методик управления в условиях риска. Возможно два вида управлений: программное и управление с обратной связью. Задача синтеза оптимального управления имеет большое значение при исследовании систем с априорной неопределённостью, к каковым относятся и социально-экономические системы. Их изучению посвящены работы А. А. Петрова, А. А. Ша-нанина. Применение теории управления к моделированию сложных систем освещено в работах А. П. Афанасьева, В. В. Дикусара, А. П. Абрамова.

Задача математического моделирования сложных систем вообще очень важна. Однако не всегда решение соответствующих систем уравнений можно получить в аналитическом виде. Поэтому разработка методов декомпозиции моделей, ориентированных на численное решение формулируемых задач, остаётся одним из ключевых направлений исследований. Особую актуальность эти подходы приобретают при решении таких системных задач, как анализ и синтез систем управления в условиях чрезвычайных ситуаций. Теоретические аспекты моделирования организационных систем рассматриваются в работах В. В. Кульбы, С. А. Косяченко. Применению имитационных методов посвящены работы Ю. Н. Павловского, В. И. Ёлкина. Результаты моделирования должны реализовываться в виде приня-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

СПетерСург ОЭ 200уЯХт6Ру

тых решений. Основы теории принятия решений заложены в работах Г. С. Поспелова и развиты В. А. Ириковым, И. Ф. Шахновым.

Цель работы

Целью работы является разработка методики математического моделирования принятия решений в условиях возможности чрезвычайных ситуаций и её апробация с использованием вычислительной техники.

Задачи работы

Достижение поставленной цели связано с решением таких задач, как:

- разработка методов общего описания принятия решения в условиях неопределённости, учитывающего разную природу соотношений между размером ущерба и его реальностью;

- исследование задачи распределения ресурсов между мероприятиями, направленными на предотвращение чрезвычайных ситуаций (например, резервированием средств), и иной хозяйственной деятельностью как при условной определённости, так и при неопределённости;

- разработка математической модели, описывающей возникновение недоучета возможности чрезвычайных ситуаций, связанного с их редкостью («адаптивное» поведение), то есть рассматривающей такое поведение лиц, принимающих решения, при котором в каждый последующий период времени при отсутствии чрезвычайных ситуаций выделяемые средства оказываются меньшими;

- создание методов коррекции адаптивного поведения;

- рассмотрение математической модели предотвращения чрезвычайной ситуации, в которой средства не резервируются, а направляются на изменение характеристик случайного процесса, порождающего чрезвычайные ситуации;

- разработка методики качественного и количественного анализа математических моделей сложных социально-экономических систем, подверженных риску чрезвычайных ситуаций.

Методы исследования

Для решения поставленных задач использованы следующие методы:

- математического моделирования,

- микро- и макроэкономики,

- оптимального управления,

- теории стохастических процессов,

- вычислительной математики.

Научная новизна

Научная новизна определяется следующими результатами:

- предложена простая методика соотнесения величины и реальности возможного ущерба, на примере описана сущность предлагаемого подхода к принятию решения;

- доказано, что если выделяемые на предотвращение средства изменяют характеристики процесса чрезвычайных ситуаций, то в определённом классе функций полезности средства, выделяемые на предотвращение, являются нормальным благом (то есть, при возрастании располагаемых средств они тоже растут);

- получена формула, определяющая излишнее сбережение при возможности чрезвычайных ситуаций, описываемых процессом Гаусса-Пуассона;

- предложена модель, предлагающая рациональное обоснование адаптивных ожиданий, лежащих в основе адаптивного поведения;

- в рамках задачи взаимодействия центра и региона предложен механизм подавления адаптивного поведения региона;

- численно исследована динамическая задача выделения средств на предотвращение чрезвычайных ситуаций (при возможности влияния на стохастический процесс, их порождающий).

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая и практическая ценность работы определяется полученными результатами. В частности, на основе синтезированного механизма коррекции адаптивного поведения теоретически обоснована методика выделения средств на ликвидацию последствий чрезвычайных ситуаций, применяемая МЧС России.

Апробация работы

Основные результаты были доложены на XLV и ^У! научно-технических конференциях «Современные проблемы фундаментальной и прик-

ладной физики и математики», проводимой Московским физико-техническим институтом (государственным университетом) (конференции 2002 и 2003 годов). Кроме того, они обсуждались на исследовательских семинарах в Вычислительном центре (ВЦ) РАН, Институте проблем управления (ИПУ) РАН, Институте системного анализа (ИСА) РАН, Центральном экономико-математическом институте (ЦЭМИ) РАН, Институте математического моделирования (ИММ) РАН, а также в Российской экономической школе (GET-семинар профессора РЭШ А. Е. Девятова). Часть результатов докладывалась также на конференциях МФТИ в 1997—1999 годах.

Публикации

По материалам диссертации опубликован ряд статей и препринт, тезисы докладов на конференциях.

Структура и объём работы

Работа состоит из введения (глава 1), четырёх глав, содержащих результаты работы, заключения (глава 6) и списка литературы. Общий объём составляет 108 страниц (6,25 уч.-изд. л.). В работе доказан ряд утверждений, среди которых 9 теорем и 3 леммы. Список литературы включает 151 наименование.

* * *

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю в магистратуре МФТИ д. ф.-м. н., профессору В. В. Дикусару за постоянное внимание к работе и ряд ценных замечаний.

Содержание работы

Глава 1 (введение)

Во введении в разделе 1.1 описана основная проблематика защиты территорий, хозяйствующих субъектов и населения от чрезвычайных ситуаций. В разделе 1.2 на простой макроэкономической модели, основанной на модели А. А. Петрова и др., показано, что страхование может являться наиболее выгодным (по сравнению с льготным кредитованием или субсидированием) способом стимулирования рискованных проектов.

Глава 2

Глава 2 посвящена принятию решения экономическим агентом в условиях неопределённости в задачах, допускающих статическую постановку.

В разделе 2.10 рассмотрена задача взаимодействия страховой компании и фирмы (или региона), сталкивающейся с возможностью возникновения чрезвычайной ситуации и необходимостью её предотвращения. Математически эта задача формулируется следующим образом.

Чрезвычайная ситуация описывается случайным ущербом е, имеющим функцию распределения F(e,s), плотность распределения f(t,s), математическое ожидание m(s), дисперсию a2(s), где s — суммарные затраты на предотвращение чрезвычайных ситуаций. Разумно сделать следующие предположения:

/n'(s)<0,CT2'(s)<0, limm(s) = 0, lim ct2(s) = 0. (i)

Задача страховой компании записывается в следующем виде: П - х(1 + г) — m(s2 + s3) —► шах,

Здесь sj — стоимость полисов, проданных компанией, х — резервы, вложенные в безрисковый актив со ставкой процента r, s2 — средства, направленные на предотвращение чрезвычайных ситуаций самой фирмой, s3 — средства, направленные на предотвращение страховой • компанией. Заметим также, что прибыль не должна быть отрицательной, гарантией этого служит условие страхования:

s!>m(s2).

Задача фирмы (с учётом условия страхования): Ми(.йГ—e + m(s2+s3)) = J u(K — e + m(s2+s3))dF(e,s2+s3)—*max,

Здесь Kg — начальный запас капитала, К — капитал фирмы, который участвует в производстве, ы(-) — функция полезности капитала,

М — математическое ожидание. Считаем, что ц'(-)>0, и"(-)<0. Вообще говоря, вопрос, будет ли фирма страховаться или предотвращать чрезвычайные ситуации самостоятельно, не имеет простого ответа. В нашей модели, однако, из-за того, что фирма избегает риска, она будет страховаться всегда. Таким образом, сформулирована игра Байеса. Доказана

Теорема 3: равновесие Байеса— Нэша в этой игре задаётся з=0, е'(82)=_1- Это равновесие является оптимальным по Парето.

Следовательно, предотвращать чрезвычайные ситуации будет только фирма.

В разделе 2.11 рассмотрена статическая задача, в которой средства, выделяемые на предотвращение чрезвычайных ситуаций, образуют не только резервный фонд, но и могут изменять стохастический процесс возникновения этих ситуаций. Пусть потребитель может выбрать, куда вложить деньги: в безрисковое обязательство, приносящее на каждый вложенный рубль (1+г) рублей, либо в предотвращение чрезвычайных ситуаций. Если потребитель вложил в предотвращение сумму я, то ущерб равен Ущерб считаем положительным (то есть для случайной величины е верно ^£(х)=0 при х<0). Функция предотвращения /(•) такова, что Г(в)<0 и f"(s)>Q. Примем нормировку 1^0)=1. Если потребитель распределяет сумму выделяя сумму ^ на предотвращение чрезвычайных ситуаций и резервируя сумму у, то его задача формулируется в виде

/«(ха-ад+а+г^х)-™«, (4)

Как обычно, — выпуклая возрастающая функция полезности: и'( )>0, ы"( )<0.

Теорема 4: в>0 (чрезвычайные ситуации предотвращаются) тогда и только тогда, когда

-(1+г)>Г(0)Ме. (5)

у>0 (резервный фонд создаётся) тогда и только тогда, когда

-(1+г)</'(ш)Ме. (6)

Доказательство теоремы основывается на том факте, что функция

ф(8) = /и(х(1-/(8)) + (1 + Г)(Ю - «)) ¿Р{Х)

является выпуклой. Действительно, Ф"(Ю = ^и" (х + (1 + г)и> - (хПз) + (1 + г)з)) • (-хП$) - (1 + г))2 <Щ*) -

ибо оба слагаемых, как следует из предположений о функциях и(-) и /(•), отрицательны. Следовательно, решение б* максимизационной задачи (4) существует и в*е[0,ш]. Доказана также

Теорема 5: если при любом х, при котором ^(х)>0, г,(х+(1+г)ц;-

— коэффициент абсолютного отторжения риска Эрроу—Пратта, то 0, то есть предотвращение является нормальным благом.

Однако, в рамках аксиоматики подхода ожидаемой полезности возможны результаты, не соответствующие качественным и интуитивно понятным предположениям о поведении лиц, принимающих решения. В разделе 2.7 построен пример, в котором увеличение коэффициента отторжения риска не приводит к большему резервированию.

Это не единственный недостаток подхода ожидаемой полезности. Рассмотрим известный парадокс Мориса Аллье. Пусть лотерея А состоит в получении 1 000 000 рублей с вероятностью 1, лотерея В — в получении того же выигрыша с вероятностью 0,89, выигрыша в 5 000 000 рублей с вероятностью 0,1 и 0 с вероятностью 0,01. Эмпирически показано, что большинство ЛПР считает, что Лотерея С — это выигрыш 1 000 000 рублей с вероятностью 0,11 и нулевой с вероятностью 0,89, и лотерея Б — выигрыш 5 000 000 рублей с вероятностью 0,1 и нулевой с вероятностью 0,9. Аналогично Б>-С. Из того, что АуВ, следует и(1)>0,89-ц(1)+0,1и(5), или 0Д1и(1)> что влечёт Для разрешения этого парадокса необходимо переосмыслить соотношения двух категорий, входящих в поня-тиериск: ущерба (или, как в парадоксе, наоборот, выигрыша) и его реальности. При этом природа неопределённости может быть различной: и вероятностной, и нечёткой.

Общий подход к описанию принятия решений в условиях неопределённости, который может быть применим на практике в качестве методики, описан в разделе 2.12. Двухточечная лотерея —это лотерея с двумя выигрышами: 0 с реальностью 1-р и х с реальностью р.

Принятие решения — соотнесение субъективных целей и объективных ограничений. Соответствующая задача формулируется в общем виде как

(7)

(В)

Аргументами функции полезности Щ-) являются выигрыш х и реальность этого выигрыша р, х = (х,р). Графически решение этой задачи представляется в виде касания кривыми безразличия : 1!(х) = [/„} при некотором действительном 1/0 бюджетного ограничения -£*:/(£) = /}-

(если кривые безразличия выпуклы, а границы бюджетного ограничения вогнуты). Рассмотрим пример распределения ресурсов на предотвращение чрезвычайных ситуаций (табл. 1). Здесь С — ущербы, Р1 — функция реальности ущерба, а, — стоимости предотвращения. Эти величины могут быть получены путём технических исследований или опроса экспертов» Примем бюджет предотвращения равным 4. Эти средства, не будучи вложенными, пользы не приносят. Если 1-й объект защищен и на нём произошла чрезвычайная ситуация, то считаем, что выпал выигрыш С Значит, распределение средств по объектам равносильно распределению ставок в некоторой лотерее.

Используя эти данные, построим бюджетное множество. Если были защищены объекты 11, ..., но чрезвычайная ситуация произошла только на объекте 1 <1<к, то этот выигрыш

равносилен выигрышу при защите только объекта Отдельные ущербы имеют распределение Бернулли, но совокупный выигрыш от защиты нескольких объектов не будет иметь это же распределение. Но приведённое соображение позволяет, тем не менее, свести задачу к рассмотрению бинарного распределения.

Таким образом, х=(й,р(^))бК2. Существует несколько способов соотнесения выигрыша и его возможности. Этот процесс соотнесения

может проводиться два раза: при построении бюджетного множества и при построении кривых безразличия. Сравним подходы к описанию неопределённости с помощью случайных величин и с помощью нечётких величин* (рис. 1 и рис. 2).

Решения задачи при разных функциях полезности приведены в таблице 2.

Таким образом, может быть рекомендована следующая методология принятия решения в условиях возможности чрезвычайных ситу-

* Спецификация случайных величин ориентирована на математическое описание неопределённости, связанной с физической сущностью исследуемых объектов, неопределённость, описываемая нечёткими величинами, обусловлена показаниями экспертов. Аксиоматика нечётких величин имеет ряд отличий от аксиоматики случайных величин. В частности, для л-мерного вектора состоящего из независимых нечётких величин X,, степень реальности события Р{2 = г} = (пип Р{Х, = г,}.

аций. Сначала определяются исходные данные (аналогично таблица 1). Реальность ущербов может иметь как физическую, так и экспертную природу (в первом -случае предпочтительной является вероятностная спецификация, во втором — нечёткая). Затем в рамках обеих спецификаций строятся бюджетные множества и решается задача (7), (8). Если объект подлежит защите в соответствии с обоими-ре-шениями, то он защищается. Иначе необходимо дополнительное исследование. Разрешение парадокса Аллье в рамках описываемого подхода очевидно из рисунка 3. Точки А, Б, С и Б изображают одноимённые лотереи. Ясно, что всегда возможно провести кривые безразличия так, чтобы что согласуется с экспериментом.

Глава 3

Воздействие чрезвычайных ситуаций на экономическую систему, описываемую системой дифференциальных или разностных уравнений, можно задавать разными способами. Глава 3 посвящена обсуждению двух из них.

В разделе 3.1 рассмотрена детерминистическая модель, в которой чрезвычайные ситуации считаются неожиданными и не учитываются при принятии решений.

Пусть имеются основные фонды w. мгновенная полезность которых определяется функцией и(\\-), которую считаем монотонной (и'(-)>0) и строго выпуклой Пусть также имеется резервный фонд S. Средства этого резервного фонда могут быть.

инвестированы в основные. Но они и сами по себе представляют ценность, например, возможностью «нецелевого» расходования. На резервный фонд начисляется процент г<-6, где б<0 — коэффициент дисконтирования. ЛПР решает задачу выбора оптимальных инвестиций 8!

J= [еы{и(ю) + 8)сН-+ тах,

О »:|«|<«о

">=/00,

(9) (10)

5 = -5 + Г5. (11)

Здесь функция 1 показывает, что не все выделяемые средства идут на увеличение основных фондов. Частью выделенных средств оплачивается ввод основных фондов в строй. Считаем, что эта функция симметрична относительно начала координат, /(0)=0, /'(0)=/О>0, пусть эта функция имеет асимптоты где

f и а — положительные константы. Кроме того, /0</<1(рис. 4). Предполагаем также, что в каждый момент времени ЛПР не может освоить средств более чем 80. Начальное условие предполагаем таким, как в задаче Коши, то есть и;(0)=и;0>0, 8(0)=£>°>0, но пока не будем уточнять конкретные значения этих величин.

Теорема 6: экономика, описываемая моделью (9)—(11), стремится попасть в стационарное состояние, задаваемое уравнением.

° I б]/'(0)

(12)

При этом, если экономика не находится в стационарном состоянии, то выделяемые из резервного фонда средства ^ равны -б0 при w>w0 и 80 при w<wg.

Действительно, функция Понтрягина рассматриваемой системы Н=еы(и(ш)+8)+р1/(8)-р2з+р2гЗ.

Поэтому задача (9)—(11) сводится к задаче

Здесь ъ—рх/р2, р2=-еы/(Ь+г). Отсюда в стационарном состоянии, когда

ш=ш0=сопело. 1Г=1Г0=СОП81;(0. получаем /'(з)=1/^0» и равенство (12).

В рамках этой модели возможны следующие типы чрезвычайных ситуаций: (1) уменьшающие основные фонды, и тогда восстановление производится так, как описано выше, и (2) изменяющие структуру экономики — параметры/0 (эффективность инвестиций), г - процентную ставку и 6 (отношение к будущему). Например, скачкообразный рост 6 (что означает возрастание важности будущего по сравнению с настоящим) или /0 (инвестиции становятся более эффективными) приводят к уменьшению стационарного и росту резерва S.

В разделе 3.2 описан процесс Гаусса-Пуассона, являющийся моделью чрезвычайных ситуаций. Будем считать время дискретным. Пусть есть пуассоновский поток событий с интенсивностью X, и каждое событие приносит ущерб Х,~М.т,о2) (то есть распределённый

нормально с математическим ожиданием т и дисперсией о2). Тогда процесс X назовём процессом Гаусса-Пуассона. Будем писать, что Х~дЦ\,т,о2).

Лемма 3: функция распределения случайной величины Х1 задаётся формулой

Моментные характеристики МХ",=Хт, БХ(=Х(т2+с2).

Отметим, что если чрезвычайная ситуация связана с превышением определённого порога некоторой (возможно, ненаблюдаемой) случайной величиной У(, являющейся при заданном t сечением белого шума, то процесс возникновения таких ситуаций приближённо можно считать пуассоновским. Это оправдывает выбор процесса Гаусса-Пуассона как модели возникновения чрезвычайных ситуаций. Конечно, ущерб считать нормальным нельзя, это упрощающее предположение.

В разделе 3.3 рассмотрена модель, аналогичная модели из раздела 3.1. Но чрезвычайные ситуации в ней присутствуют явно и описываются стохастическим процессом Гаусса-Пуассона. Обозначения те же, что и в модели (9)—(11). Пусть 0<6<1. ЛПР решает следующую задачу:

(13)

г

,7 = М(+ шах,

(14)

(15)

(16)

(17)

Горизонт планирования Т может быть конечным или бесконечным. Во всяком случае, будем считать, что он достаточно далеко отстоит от момента планирования Оператор условного математического ожидания М, означает суждение в момент времени I о состоянии системы в соответствующие последующие моменты времени. Все переменные, имеющие индексы не больше t, берутся своими реализациями (то есть,, «уже» известны), для всех переменных с индексами больше означает взятие математического ожидания

при условии известности всей информации до момента I включительно. Существенное отличие этой задачи от предыдущей заключается в ограничении на резервный фонд. Другое отличие — отсутствие ограничений на затраты на ликвидацию последствий чрезвычайных ситуаций е. Это означает, что восстановление возможно за один период. Функция полезности ы(лг)=—ехр(—9.х)/0-

Теорема 7: стационарное выделение средств в резервный фонд в этой модели определяется уравнением

о

(18)

Это, очевидно, больше Хт, являющегося математическим ожиданием процесса Гаусса-Пуассона.

Для обоснования этого утверждения рассмотрим стационарный процесс выделения средств ,$=,$* и проварьируем его, увеличив на и уменьшив так, чтобы начиная с момента времени

1+2 изменённая траектория ш,+3, ... совпадала со стационарной.

"<+2> "'<+3»

Можно показать, что Д50=Д8Г Так как возмущённая траектория не оптимальна, имеем

Аналогично уменьшая в, и увеличивая получим противоположное неравенство, откуда следует уравнение Эйлера

М "'(ш+ЛвЬе^С//'^).

Если при s=const стационарное ы>=-1п(С//'(8))/в (для данной функции полезности это так), то решая это уравнение, получим (18).

Глава 4

В главе 4 рассматриваются модели теории потребления в связи с вопросом распределения средств на потребление и резервы в условиях возможности чрезвычайных ситуаций. На примере стандартных моделей Фишера—Модильяни и Кабальеро разделяются понятия планируемого потребления и реального потребления. Отметим, что в рамках этих моделей это различение имеет только методический смысл. Другое дело — модели с адаптивными ожиданиями, которые способны описывать недостаточный учёт возможности чрезвычайных ситуаций лицами, принимающими решения.

В разделе 4.4 рассмотрена модель возникновения адаптивных ожиданий. Пусть с момента времени t не было чрезвычайных ситуаций. Тогда в текущий момент времени 1+п траектория планируемого потребления определяется потребителем из задачи

где как обозначена рента (то есть средства, получаемые потребителем в каждый момент времени), имеющаяся в момент времени t+s, а значком М'+" обозначено математическое ожидание, которое берётся в момент времени t+n. Функция полезности и(.х)=-еч>х/&, Тогда планируемое потребление равно

Из бюджетного ограничения (20), зная перманентный доход У*+" можно найти

X

... л '«=0

(19)

(20)

с1+л, 0<в<п, 0ст2

8ог 1 2 Г(1 + Г)"

И поэтому формула реального потребления в момент времени 1+п

с,+я = Yo +

во2

(1 + г)" -2 1 (1 + г)2я-1

1

(23)

(1 + г)" Г (1 + г)2" (1 + г)2-1]

Здесь Ум — рента в момент времени /. Найдём предел этого выражения при п—юо (теорема 8):

1 + г

lime,. =У0+^—

(24)

2 г(2 + г)

Добавка 0ст2(1+г)/(2г(2+г)) возникает вследствие сбережений из предосторожности вначале. Поэтому потребление в асимптотике оказывается выше исходной ренты Y0. Существование этой добавки показывает, что небольшие чрезвычайные ситуации способствуют росту экономики (теорема 9). Этот результат может быть интерпретирован как стимулирование научно-технического прогресса нештатными ситуациями природного или связанного с деятельностью человека характера. Сравнение двух моделей — стандартной модели Кабальеро (п=0) и модели формирования адаптивных ожиданий — проведено на рисунках 5 и 6. Видно (рис. 6), что в нашей модели нет неограниченного роста потребления.

Меры коррекции адаптивного поведения рассмотрены в разделе 4.6. Предположим, что если выделяемые средства на предотвращение чрезвычайных ситуаций равны б, то ущерб задаётся случайной величиной /(в)е, где /(0)—1 (см. модель раздела 2.11, с. 8). Тогда дисперсия ущерба равна — дисперсия случайной вели-

чины е. Отождествим резервируемые в рамках предыдущей модели средства и

Мы выяснили, что если экономический агент в момент чрезвычайной ситуации остался с рентой У0, а сейчас имеет располагаемый доход У+" и если последняя чрезвычайная ситуация произошла п периодов назад, то решение о потреблении имеет следующий вид (см. (22)):

2 г

(1 + г)"

<1,

вместо оптимального

С = у+" -

(+л еа2/2^*)

2 г

(26)

Здесь 8 и 5* обозначают соответствующие разницы между располагаемыми доходами и потреблениями, то есть вычитаемые в соответствующих формулах. Наша задача — чтобы 5=5*. Этого мы добьёмся с помощью установления правила, известного регионам, согласно которому будут выделяться средства на ликвидацию ущерба от чрезвычайной ситуации в зависимости от величины ущерба. Если ущерб составил х, то регион получает компенсацию g(x), и его ущерб оказывается равным х^(х). Заметим, что именно такая практика принята в МЧС России. Для равенства 5=5* должны быть равны вычитаемые в (25) и (26), откуда получаем соотношение

+х

а(л) / (ef(s*)-g(ef(s*)))2F(de) = oгf2(s*).

(27)

Функцию #(•) найдём из задачи минимизации математического ожидания ущерба от чрезвычайных ситуаций:

т X

/ (е/(з*) - g(ef(s*)))F(de) - тт.

Решение этой задачи (28) с ограничением (27) даёт синтезированную функцию

ё{х) = х- = х- а/(в*)(1 + г)п/г. у]о.(п)

(29)

В разделе 4.5 описана одна из основных проблем теории потребления — загадка излишней гладкости. Она состоит в том, что в реаль-

ности при возникновении шока дохода потребление уменьшается не на величину этого шока, как предсказывает стандартная модель Кабальеро (рис. 5), а на гораздо меньшую величину, и лишь затем постепенно переходит к новому стационарному потреблению. Выравнивание происходит более гладко, чем предсказывает теория. Для объяснения этого явления рассмотрена модификация модели адаптивных ожиданий. Пусть К — заданное целое число, определяющее горизонт памяти потребителя. Тогда задача потребителя в момент времени t может быть сформулирована в виде

(30)

Особую роль играет здесь поведение перманентного дохода, так как потребление отличается от него на постоянную величину. Обозначим звёздочкой перманентный доход при отсутствии шока. Ясно, что для любого п>К

Разница лишь в переходной динамике. Возьмём 0<п<К, тогда

(32)

(1+ /•)*-"

Заметим, что граничные случаи п=0 и п-К совпадают с нашими ожиданиями. Эти результаты можно получить и непосредственно (для случая п=К он уже получен). Потребление получилось "непрерывной" и «гладкой» функцией времени. Результаты численных экспериментов при тех же числовых условиях, что и эксперименты с моделью приспособления к чрезвычайным ситуациям, приведены на рисунках 7 и 8. Видно, что уменьшение дохода приводит к плавному падению потребления, и тем более плавному, чем больше у потребителя память К.

Глава 5

Глава 5 посвящена двум задачам. Во-первых, в ней исследуется динамическая задача распределения ресурсов на предотвращение чрезвычайных ситуаций и потребление. При этом характеристики чрезвычайной ситуации меняются в следствие предотвращения.

Во-вторых, это исследование проводится с использованием предлагаемых методов моделирования сложных систем. Описание и обоснование этих методов тоже приводится в этой главе.

Рассмотрим задачу распределения ресурсов и её результаты. В каждый момент времени лицо, принимающее решения, решает задачу выбора траектории потребления {с1+)1}*0 и предотвращения

> max ,

+ Х /%

+ЗС -у

(33)

(34)

(1 + г)*

Положим 1+г=3"1 (это обычное предположение в таких моделях). Пусть ц(с)=-ехр(-6с)/9, /(s)=exp(-ps) — функция предотвращения (ср. с моделью (4)). Можно показать, что планируемые средства на предотвращение чрезвычайных ситуаций в этой задаче убывают со временем.

Результаты численного решения этой задачи приведено на рисунках 9—12. Заметим, что средства, выделяемые на предотвращение чрезвычайных ситуаций, при малом горизонте планирования постоянны.

При создании программного комплекса для решения этой задачи воникло два класса проблем: вычислительные и декомпозиции. Описание проблемы декомпозиции выходит за рамки автореферата, отметим лишь, что при решении использовался Unified Modelling Lan-

1—'—I-(-1-1-1-—I 0+

0 50 100 150 200 250 300 0

Предотвращение

Рис. 9. Бюджетное ограничение выбора Рис. 10. План выделения средств

начальных средств на предотвращение на предотвращение

Рис. 11. Средства, реально выделяемые Рис. 12. Реальное потребление

на предотвращение

guage. Одна из вычислительных проблем связана с тем, что основные функции задаются суммами бесконечных рядов. Использование метода Ньютона требует их дифференцирования. Корректное численное решение требует взаимозависимого выбора шага дифференцирования и точности суммирования. Точность суммирования должна значительно превосходить шаг дифференцирования (в практических целях она выбиралась 0,00001 при шаге 0,01).

Другая проблема состоит в том, что выбранная функция полезности достаточно быстро убывает. Ведь е"100=3,72 10"44« 0,00001, и поэтому потребовалась модернизация метода Ньютона путём выбора нормирующего множителя. Аналогичная проблема встречается в теории жёстких систем дифференциальных уравнений. Исполь-

зовался следующий алгоритм: введём параметр x0 (нормировочный множитель) и будем вместо стандартной задачи решать задачу F(x,x0)—»max. Для решения х этой задачи найдём новый параметр

X

х/х) и решим задачу для него. Процесс останавливается, когда новый параметр мало отличается от старого.

Заключение

В заключении сформулированы основные результаты работы:

- предложена и апробирована простая методика соотнесения величины и реальности возможного ущерба;

- доказано, что средства, выделяемые на предотвращение, являются нормальным благом (то есть растут при росте располагаемых средств);

- предложена модель, предлагающая рациональное обоснование адаптивных ожиданий, лежащих в основе недоучёта факторов риска чрезвычайных ситуаций;

- в рамках этой модели предложено решение одной из основных проблем теории потребления — проблемы излишней гладкости;

- в рамках задачи взаимодействия центра и региона предложен механизм подавления адаптивного поведения региона, приводящего к снижению размера средств, выделяемых на предотвращение чрезвычайных ситуаций;

- численно исследована динамическая задача рационального выделения средств на предотвращение чрезвычайных ситуаций.

Публикации

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Дикусар В. В., Копылов С. А. Модели принятия решения при возможности чрезвычайных ситуаций.— М.: Вычислительный центр РАН, 2004.— 60 с.

2. Копылов С. А. Оптимизация распределения резервных фондов//Со-временные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLV научной конференции МФТИ.— М.: МФТИ, 2002.— С. 75.

3. Копылов С. А. Философия системного анализированиям/Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII.— Москва—Долгопрудный: МФТИ, 2002.— С. 94.

4. Копылов С. А. Принятие решения в условиях неопределённос-

ти//Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды конференции. Часть IX.— М., Долгопрудный: МФТИ, 2003.— С. 12—14.

5. Копылов С. А. Экономический механизм предотвращения чрезвычайных ситуаций//Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды конференции. Часть IX.— М., Долгопрудный: МФТИ, 2003.— С. 15—16.

6. Копылов С. А. Уравнение Беллмана для систем запаздывающего типа//Моделирование управляемых динамических систем.— М.: МФТИ, 1999.— С. 253-260.

7. DikusarV. V., Kopylov S.A. Rational Foundations of Adaptive Expectations: Approach to the Excess Smoothness Problem//Nonhomoge-nious systems.— M.: 2004, P. 167—175.

8. Kopylov S.A An approximate method of solving of problem of synthesis of optimal feedback system//Methods of Nonlinear Dynamics. Proceedings of ISA RAN, 1999.— pp. 20—28.

Личный вклад автора в совместные работы. В работах [1], [7] автору принадлежит 90% результатов.

1168 2 7

Копылов Сергей Анатольевич

Модели принятия решений при предупреждении чрезвычайных ситуаций

Подписано в печать 8.09.04. Формат 60x841/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 70 экз. Заказ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированные издательских систем «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл , г. Долгопрудный, Институтский пер, д. 9

1. Введение.

1.1. Актуальность работы.

1.2. Структура работы.

1.3. Математические методы обеспечения принятия решения

2. Статическая задача принятия решения.

2.1. Принятие решения экономическим агентом.

2.2. Принятие решения в условиях неопределённости. Риск

2.3. Принятие решения в условиях неопределённости.

Лотереи.

2.4. Функции полезности

2.5. Принятие решения в условиях неопределённости.

Сравнение распределений

2.6. Оптимизация распределения резервных фондов.

2.7. О решении одного важного уравнения.

2.8. Принятие решения в условиях неопределённости. Подход

2.9. Экспериментальная проверка.

2.10. Страхование и чрезвычайные ситуации.

2.11. Одна задача об ожидаемой полезности.

2.12. Принятие решений в условиях неопределённости. Общий подход.

3. Динамическая задача принятия решения.

3.1. Капитал в условиях риска чрезвычайных ситуаций.

Детерминированная модель.

3.2. Моделирование чрезвычайных ситуаций.

3.3. Модель принятия решения ЛПР, предусматривающим чрезвычайные ситуации.

4. Адаптивные ожидания в принятии решений.

4.1. Рациональные основания адаптивных ожиданий и чрезвычайные ситуации.

4.2. Детерминированная модель теории потребления (модель

Фишера—Модильяни).

4.3. Стохастическая модель теории потребления (модель

Кабальеро)

4.4. Рациональные основания адаптивных ожиданий.

4.5. Адаптивные ожидания и излишняя гладкость.

4.6. Приспособление к чрезвычайным ситуациям и стратегия

Центра.

5. Снижение ущерба путём предотвращения чрезвычайных ситуаций.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Особенности численных вычислений.

5.3. Организация вычислений при моделировании сложных систем. Объектно-ориентированный подход.

5.4. Результаты моделирования снижения ущерба путём предотвращения чрезвычайных ситуаций.

1.1. Актуальность работы

Человечество на всём протяжении своей истории постоянно подвергается воздействию катастроф. Они уносят тысячи человеческих жизней, наносят колоссальный экономический ущерб, в мгновение ока разрушают всё то, что создавалось годами, десятилетиями и даже веками.

Многие катастрофы оказали заметное влияние на развитие цивилизации, и уязвимость человечества для них повышается. Сегодня это в значительной мере обусловлено урбанизацией территорий. Развернувшаяся в нашем веке беспрецедентная по масштабам инженерная деятельность, вызванные ею изменения природной среды увеличили вероятность возникновения чрезвычайных ситуаций техногенного и природно-техногенного характера. При этом некоторые из них, например, связанные с авариями на особо опасных объектах (АЭС, гидросооружениях, химических комбинатах и т. п.) могут нанести не только большой прямой ущерб, но и многократно превышающий его косвенный, а иногда даже привести к глобальным катаклизмам.

Однако ещё более трагичной стороной катастроф является массовая гибель населения. Порой по количеству жертв чрезвычайные ситуации превосходят даже войны. Человек настолько свыкся с опасностями, которые сопровождают его на каждом шагу, что зачастую не реагирует на них, пренебрегает мерами предосторожности.

Многие катастрофические процессы тесно связаны и взаимозависимы — одно аномальное явление может вызвать другое. Скажем, природный катаклизм может повлечь за собой аварию в техносфере, и, наоборот, инцидент в производстве — запустить механизм стихийного бедствия. Когда опасное событие в природе или техносфере4 затрагивает социальную сферу, принято считать, что произошла катастрофа. Именно на стыке этих сфер и осуществляется управление рисками катастроф: их предупреждение, защита населения и территорий, восстановление жизнедеятельности пострадавших регионов. Сегодня стало очевидным, что без постоянно реализуемого комплекса мер, направленного на борьбу с катастрофами, ни одна страна и, тем более, всё человечество в целом не смогут поддержать своё устойчивое развитие.

В монографии [44] освещается широкий круг вопросов, касающихся катастроф. В ней подробно освещаются и комплексно рассматриваются организация и функционирование Единой государственной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций. Большая научная и практическая работа проделана в связи с защитой населения и народного хозяйства от землетрясений [109]. Однако существует множество проблем, связанных с экономикой предотвращения чрезвычайных ситуаций, и их исследование представляет большой интерес как в науном, так и в практическом плане.

Решение проблем предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций техногенного и природного характера становится сегодня одним из важнейших направлений деятельности по обеспечению национальной безопасности России. Это требует вложения больших материальных и финансовых средств. На данном этапе экономических преобразований в стране их не хватает. В связи с этим особую важность приобретают вопросы оптимизации использования всех видов ресурсов: людских, материальных, технических и финансовых. Кроме того, есть и другой подход, применение которого должно сочетаться с первым. Необходимо создать такие экономические институты, которые бы стимулировали экономиеских агентов в рамках их свободного рыночного поведения принимать оптимальные с точки зрения безопасности решения.

Обеспечение безопасности населения и территорий страны от чрезвычайных ситуаций проводится в рамках государственной политики, имеющей целью достижение финансовой стабилизации, структурной перестройки экономики, а в конечном счёте — и устойчивого экономического роста. Одним из важных элементов в комплексе решаемых задач по удвоению валового внутреннего продукта страны, поставленной Президентом Российской Федерации В. В. Путиным, являются мероприятия, направленные на предупреждение чрезвычайных ситуаций, снижение их количества, смягчению последствий аварий и катастроф. В первую очередь, это необходимо делать в экономической сфере, тесно связанной с техногенной, поскольку реформирование и организация экономических систем тесно связана с модернизацией производств, повышением производительности и безопасности труда, внедрением новых, безопасных, имеющих положительные экстернальные эффекты технологий.

Следует отметить, что деятельность по обеспечению безопасности, защиты населения и территорий от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера, созданию современных и прогрессивных экономических институтов для этого должна иметь твёрдую юридическую основу. Но даже сейчас не до конца отлажена система механихмов экономического воздействия на отношения между субъектами в интересующей области. Поэтому такие механизмы, как страхование, штрафные санкции, налоговые льготы, целевые фонды используются недостаточно широко и/или оправдано. Ещё до конца не раскрыты взаимосвязи между этими механизмами и условия их оптимального применения и совместного использования. И здесь открывается широкое поле для возможных исследований с применением математических методов для экономистов-теоретиков.

Для иллюстрации этого положения рассмотрим следующую упрощённую модель, которая сравнивает три подхода стимулирования проектов. В её основе лежит модель, разработанная под руководством академика РАН А. А. Петрова [86].

Пусть есть проект, в выполнении которого заинтересовано государство. Проект может окончиться как удачно, так и неудачно. Государство может стимулировать вложения в этот проект следующим образом: либо обеспечением льготного кредита, либо обеспечением льготного страхования, либо предоставлением налоговых льгот. Для оценки этих трёх способов рассмотрим модель финансового блока государства: dNp dt dNR dt d№ dt dNG dt dNB -л3Ф' +(1-л3)(Фя + Ф° + -H-d,

1-Л2)вЯ-ФЛ, n1(d + dB) + n2sR + n3( Ф7 +ФЛ +Ф° + Фе)-Фс +Z-HG, ■ H + HG +В-ФК-Z-dB +Е. dt

Здесь индекс р соответствует производству, индекс R — трудящимся, О — собственникам, G — государству, В — банку. N — денежные средства у соответствующих субъектов хозяйствования, Е — эмиссия, Ф — траты соответствующих субъектов на промышленные товары, Ф1 — инвестиции в производство, Ф* — кредиты производству, sR — заработная плата, d — выплачиваемые субъектом собственнику дивиденды, В — вклады собственников в банк, Z — кредиты, получаемые государством, Н — возврат кредитов, пх — налог на собственников, п2 — налог на трудящихся, пг — налог на производство. Легко видеть, то если сложить уравнения системы, то сумма изменения денежной массы будет равна эмиссии.

Для исследования поставленной задачи примем следующие упрощающие положения: денежная масса в распоряжении субъектов в результате инвестиций не меняется, эмиссия равна нулю. Получим следующую систему:

О = Фх — тг3 Д Ф' + АФК - Ad,

0 = Ф2, о = Ф3+(1-п1)А£г-дв,

0 = Ф4+ щ Ad + п3АФ' - АН°,

О = Ф5 + АВ + АН0 - АФК.

Здесь Фх, Ф2, Ф3, Ф4, Ф5 — стационарные финансовые потоки, а потоки, помеченные значком Д, — возмущения, связанные с инвестицией.

При страховании финансовые ресурсы вкладываются за счёт собственных средств собственников. В момент начала инновации изменения потоков составят: Ad—л3ДФ', ДВ^Х-л^ДсН-ЛдЦ-л^ДФ', ДФ^ЛдЦ-л^ДФ7, АФв=АВ=-п3(1-п1)АФ1. Пусть проект реализовался, принеся производству прибыль ДФГ Тогда Д<2=(Х-Лз)ДФх, ДВ^Х-л^Дс^Х-ЛзХХ-л^ДФ,, ДФ0=л1Дсг+п3ДФ1=л1(Х-Пз)ДФ1+л3ДФ1, ДФв=ДВ=(Х-л3)(Х-л1)ДФ1. Принимая коэффициент дисконтирования равным X (для наших оценочных расчётов это допустимо), получаем

Д <2=-л3 Д Ф7+( X - л3) Д Ф,, ДВ—л,(1-п1)ДФ,+(1-п8)(Х-п1)ДФ1, ДФ0=п8(1-п1)ДФ,+п1(1-я,)ДФ1+л8ДФ1> ДФв=-л3(Х-л^ДФ/+(Х-л3)(Х-л1)ДФ1. Первые слагаемые во всех формулах — это эффект вложений в проект, это то, что получается или расходуется субъектами в момент начала проекта, вторые слагаемые — это то, что получают субъекты по завершении проекта.

Рассмотрим вариант кредитной поддержки. Пусть обычный кредит равен гп льготный кредит равен гр. Потоки в начале проекта: ДФ/=ДФ*, Д<2=(Х-л3)х хДф', ДВ=(Х-л1)ДсИХ-л1)(Х-л3)ДФ1, ДФ°=л1Д£Л-л3ДФ/=(л1(Х-л3)+ +л3)ДФ', ДФв=(л1л3—лх-л3)ДФ7. Потоки в конце в случае удачного завершения проекта: АН=грАФ1, ДН°=(г1-гр)ДФ/, Дс?=(Х-л3)ДФ1-грДФ/, AB=(l-ni)Ad=(l-n3)x хЦ-л^ДФ^Х-л^ДФ', AФG=nlAd+n3AФl-(rl-rp)AФI=((l-n1)rp-rl)AФI+n1x х(Х-л3) ДФ1+л3ДФ1, ДФв=(Х-л3)(Х-л1)ДФ1-л1г;,ДФ/+(г 1-гр)ДФ/.

Сравним ДФ° в кредитном (ДФкр) и страховом случае (ДФСТ). В начале:

ДФ^-ДФ.^ДФ'.

В конце:

ДФкр-ДФст=((Х-л1)гр-г1)ДФ/. Пусть коэффициент дисконтирования равен г, r<rr Сравним общий итог:

ДФкр-ДФет«(та1+(1-Л1)г,-г1)ДФ', гл1+(Х-л1)гр-г1<0 — условие выгодности страхования г <г =Г1~ГЩ Гр< р0 Х-л, *

Так как лх<1, /^>0. Рассмотрим условие гр0<г1. Из него следует, что r>rv то есть страхование менее выгодно государству, чем льготное кредитование тогда, когда коэффициент дисконтирования больше процента по банковскому кредиту, чего не бывает (иначе бы банки были убыточны). Значит, государству всегда выгоднее страховать успешный проект, нежели обеспечивать льготный кредит.

Можно показать, что банку страхование проекта может быть тоже выгоднее, чем льготное кредитование — всё зависит от ставки процента льготного кредита. В модели это отвечает условию г >г ri-mi г> » 1+щ '

Здесь всегда rpl<rv С другой стороны, гр1>1 (так как n^i^- 1)/(г+1), иначе был бы слишком большой налог на собственников). Если же rpl< 1, то страхование также выгодно банку всегда.

Рассмотрим, наконец, ситуацию, когда проект неудачен. Считаем, что в этом случае государство полностью возвращает кредит в банк. Страховку же считаем равной сумме гДФ7. Можно показать, что страхование государству выгоднее, если r^-rn^r. Банку неудачный проект всегда выгоднее кредитовать.

Аналогично показывается выгодность страхования по сравнению с льготным налогообложением.

Большая роль в разработке и проведении мероприятий по предотвращению чрезвычайных ситуаций отводится субъектам Российской Федерации. Но они пока недостаточно работают в этой области. Между тем, сама возможность чрезвычайных ситуаций может играть большую роль в укреплении единства страны и разумного федерализма. Механизм этого может быть подобен изложенному в работе [119].

Сложившаяся в настоящее время система ресурсного обеспечения мероприятий по ликвидации последствий и предотвращению чрезвычайных ситуаций включает в себя ряд элементов. Среди них можно выделить два блока: финансово-экономический и организационный. Нас больше интересует первый блок, который включает в себя такие важные виды деятельности, как распределение средств резервного фонда Правительства Российской Федерации, порядок и цели финансирования, страхование рисков. При этом средства выделяются по двум каналам: через Министерство по чрезвычайным ситуациям (на оказание первой помощи и неотложную ликвидацию последствий) и через Министерство финансов.

Страхование рисков — одно из важнейших, приобретающих особую роль в условиях рыночной экономики звеньев в ресурсном обеспечении всей системы предотвращения и ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций. Вместе с тем, в настоящее время это — одно из слабейших мест этой системы. Основное бремя расходов по-прежнему несёт федеральный бюджет. Но решение этой проблемы в свете событий, связанных с введением обязательного автогражданского страхования, требует осторожности. В условиях необходимости обеспечения роста предприятиям необходимо предоставить максимальную свободу от внешних и несвязанных с производственной деятельностью обязательств. Введение таких мер должно быть выгодно самим субъектам хозяйствования.

При решении широкого комплекса возникающих задач всё больше используются различные «высокие» технологии, в том числе информационные, технологии математического моделирования и пр. Создана система прогнозирования последствий сейсмических катастроф, создаются и другие информационные системы. Именно поэтому изучение сложных социально-экономических систем в последнее время приобрело особую актуальность. Одной из важнейших характеристик таких систем является риск. Концепция риска несёт в себе два понятия: вероятноять неблагоприятного исхода и размер ущерба от него. Показатель риска для социально-экономических систем является одновременно и мощным фактором управления, и целевым функционалом. Системное исследование влияния конкретного соотношения двух аспектов риска на поведение социально-экономических систем — острая задача практического управления.

И в этом свете огромное значение имеет создание систем управления. Возможно два вида управлений: программное и синтезированное. Программное управление представляет собой зависимость от времени. Синтезированное управление является зависимостью от времени и фазовых координат. Задача синтеза оптимального управления приобретает особую важность при исследовании систем с априорной неопределённостью, к каковым относятся и социально-экономические системы. В них синтезированное управление может выражаться двояко: в оптимальной структуре системы и в виде стратегий, стратегических решений.

Развитие социально-хозяйственных систем в настоящее время происходит в условиях разнообразных ограничений. Значения различных показателей, например, антропогенных нагрузок на биосферу, близки к критическим. Всё это накладывает особые требования на качество принятия решений. Общая схема принятия решений подразумевает наличие системы сбора информации (должны быть выявлены симптомы проблемы, оценена актуальность, возможность и необходимость решения проблемы), систему поиска и оценки альтернатив, систему реализации решений. Все эти процессы подразумевают наличие моделей. Собираемая информация должна быть соответствующим образом структурирована, содержать в себе все необходимые данные для получения последующих решений. Это модели наблюдения. Система поиска и оценки альтернатив должна исходить из существующей структуры системы и её целевых функционалов. Система реализации решений должна иметь и модель наблюдения, и модель выработки корректирующих решений.

За каждым методом наблюдений, выработки или реализации решения стоит модель. Эта модель должна быть достаточно проста: во-первых, потому, что социально-хозяйственные системы являются весьма сложными, и любая модель для них будет неадекватной, во-вторых, потому, что методы принятия решений должны удовлетворять критериям операциональности, то есть быть доступны для принятия решения в соответствующее время минимально квалифицированным персоналом, в-третьих, потому, что все оцениваемые параметры и принимаемые решения должны быть конкретны и не допускать разночтений. Легко видеть, что эти принципы противоречат принципам моделирования сложных систем. Поэтому должны существовать более солидные модели, обосновывающие допустимость применения проектируемых методик (в основе которых лежат «простые» модели) в некоторых ситуациях и позволяющие определить множество таких ситуаций.

Разработка таких моделей несёт в себе и чисто научный интерес. Эти модели, естественно, должны более соответствовать специфике сложных систем, но платой за это будет их низкая операциональность. Такие модели должны обеспечивать на методы решения проблем «взгляд сверху». Именно это позволит осуществить междисциплинарную связь между достижениями различных областей науки, определить в целом последствия принимаемых решений, выявить необходимость организации новых связей в системе, в конечном счёте оптимизируя её структуру. Другим аспектом, обуславливающим полезность разработки таких моделей, является аспект появления новых задач, которые имеющимися методиками не решаются и на современном уровне развития науки и управления даже не ставятся.

Анализ безопасности — это проблема системная. Но вплоть до настоящего времени основную роль в этой области играют инженерные методы. Такой подход сводит задачу анализа безопасности территории к задачам создания отдельных технологий: отдельно технологий сбора данных о загрязнении почв, отдельно — воды и т. п., отдельно — технологий развития некоторого элемента инфраструктуры региона (по ведомственной принадлежности). Как следствие, такие методики ориентированы на источник опасности, а определение безопасности зависит от отрасли промышленности. Однако методик комплексного развития региона нет. К слову сказать, такие методики обладают слишком высокой сложностью; психологически человек способен оперировать 7±2 единицами информации, то есть по каждому блоку развития региона исследователь может оперировать только одним (а то и вообще не может) параметром. Поэтому необходимо широкое использование современной вычислительной техники и. модели, позволяющие адекватно представлять полученные результаты.

1.2. Структура работы

Настоящая работа не ставит своей задачей всестороннее рассмотрение проблематики чревычайных ситуаций. Такая задача пугает своей объёмностью и требует концентрации значительно больших усилий, чем способен приложить один человек. Эта работа находится лишь в ряду других работ, посвя-щённых данной тематике.

Будет рассмотрено несколько математических задач экономики чрезвычайных ситуаций, включающих вопросы системного анализа, постановки, связанные с поиском управлений, а также применение вычислительной техники.

В главе 2 будет рассмотрено статическое принятие решение экономическим агентом в условиях риска, в частности риска чрезвычайных ситуаций. Здесь не будет рассматриваться вопрос о межвременном выборе. Этому вопросу посвящена глава 3. Основной сферой интереса здесь будут методы соотнесения меры реальности (например, вероятности) (неблагоприятного) события и его количественного измерителя (например, ущерба). Помимо этого будут рассмотрены некоторые статические задачи математической экономики, свзанные с принятием решений в условиях неопределённости.

В главе 3 будет рассмотрена модель принятия решений о распределении ресурсов между инвестициями в основной капитал и резервным фондом. Постановка в непрерывном времени с бесконечным горизонтом будет исследована в детерминированном случае. Затем будет введена математическая модель чрезвычайной ситуации. Основная сложность при этом заключается в том, как соединить два источника неопределённости: неопределённость относительно самого возникновения этого события и неопределённость относительно ущерба, который оно несёт. Затем будет рассмотрена модель о распределении ресурсов, аналогичная первой. Постановка задачи будет сформулирована в дискретном времени и будет подразумевать наличие стохастики.

Глава 4 будет посвящена более пристаьному рассмотрению межвременного принятия решения. Будет предложена и исследована модель, объясняющая явление халатности, появляющейся при долговременном отсутствии чрезвычайных ситуаций. Эта же модель позволит предложить объяснение одной из основных проблем теории потребления — проблемы излишней гладкости. В рамках этой модели будет рассмотрена задача об оптимальной стратегии Центра, подавляющей такое поведение. Похожие методы используются в теории активных систем [13, 82, 83]. Вообще эта проблематика получила широкое распространение в экономико-математической литературе [130].

В главе 5 будет рассмотрена задача предотвращения чрезвычайных ситуаций и её численное исследование. Будет также проведено обсуждение проблематики междисциплинарного исследования и построения вычислительного эксперимента, моделирующего сложные системы.

Глава 6 содержит краткий анализ полученных результатов.

В главе 7 представлен список литературы.

6. Заключение

В настоящей работе представлен некоторый свод теоретических выкладок, касающихся принятия решений при возможности чрезвычайных ситуаций. Были рассмотрены различные задачи распределения ресурсов, как статические, сформулированные на один-два периода, так и динамические, сформулированные для бесконечного горизонта планирования (такие задачи связаны с проблемой устойчивого развития).

Однако математические формулировки задач принятия решения в условиях неопределённости не всегда согласуются с практикой. Известен парадокс Аллье, приведены примеры, когда математически строгое решение почти стандартной задачи приводит к качественно отличающимся от общеизвестных выводам. Всё это заставляет посмотреть на принятие решения в условиях неопределённости с несколько иной точки зрения. Риск — это система возможного ущерба и его реальности, и эти два компонента риска равноправны и, видимо, при принятии решения учитываются независимо. Результаты этого подхода обсуждены выше.

Кроме того, в рамках традиционной парадигмы функции ожидаемой полезности рассмотрен ряд задач. В частности показано, что страхование, на которое возлагаются большие надежды как на источник финансирования мероприятий по предотвращению чрезвычайных ситуаций, может оказаться невыгодным для предприятий и приниматься в штыки. Подобная ситуация наблюдается сейчас с автострахованием. В то же время, предотвращение является нормальным благом, то есть чем большими средствами располагает лицо, принимающее решение, тем больше средств выделяется на предотвращение. Правда, в динамической задаче этот эффект подтверждён не был. Впрочем, возможно просто были неудачно подобраны параметры, чтобы этот эффект отчётливо проявился. Кроме того, речь идёт, строго говоря, о другой модели.

Динамические задачи требуют особой формулировки, уточнения стохастического процесса, описывающего возникновение и ущерб чрезвычайных ситуаций. Кроме того, формулировка без стохастики, несмотря на свою простоту, тоже является содержательной.

Но особый интерес представляет возникновение халатности. Замечено, что если чрезвычайная ситуация долго не возникала, то её возможность всё меньше влияет на принятие решений. Построение такой модели позволяет не только описать качественное поведение лиц, принимающих решения, но и разработать и обосновать меры по подавлению халатности. Отметим, что в практике МЧС России применяются именно такие меры, которые рекомендуются моделью. Кроме того, похожая модель позволяет предложить объяснение одной из ключевых проблем теории потребления — проблемы излишней гладкости.

Но всё же динамические модели принятия решений в условиях возможности чрезвычайных ситуаций являются довольно сложными и не всегда допускают аналитическое исследование. Поэтому возникает вопрос о численном решении таких задач. Эти проблемы, хотя и не лишённые определённой специфики, всё же имеют стандартное решение. Но необходимо помнить, что анализ риска не ограничивается численным решением хорошо сформулированных задач. Он требует системного подхода. Поэтому необходимо развитие иной парадигмы, нежели вычислительная математика, ориентированной на моделирование сложных систем. В практике разработки информационных систем, которые должны быть изоморфны тем системам, которые они описывают, широко применяют объектно-ориентированный подход. Однако это зачастую делается механически, и поэтому требуется его глубокое осмысление. Попытка рассмотреть его генезис, высветить его гносеологические связи с глубокими философским конструктами, сделанная в этой работе, послужит разработке этого направления. Кроме того, здесь представлен конкретный опыт моделирования сложных систем, и обсуждён ряд проблем, которые при этом могут возникнуть.

В целом, настоящая работа, являясь лишь одной в ряду отечественных и зарубежных работ, посвящённых всем вопросам, связанным с рассматриваемым, не может претендовать на всеохватность. Но хочется верить, что полученные результаты окажутся полезными для решения имеющихся и новых научно-практических проблем.

1. Абрамов А. П., Петржик М. Задача перехода экономики на магистраль сбалансированного роста с учётом социального фактора//Исследование операций (модели, системы, решения).— М.: Вычислительный центр РАН, 2001.—С. 3—10.

2. Анатольев С. А. Эконометрика для продолжающих. Курс лекций.— М.: Российская экономическая школа, 2002.— 60 с.

3. Анатольев С. А. Эконометрика для подготовленных. Курс лекций.— М.: Российская экономическая школа, 2003.— 64 с.

4. Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Милютин А. А., Чуканов С. В. Необходимое условие в оптимальном управлении.— М.: Наука, 1990.

5. Балашов М. В. О максимизации выпуклой функции на компакте//Неко-торые проблемы фундаментальной и прикладной математики и физики.— М.: МФТИ, 1997.— С. 17-25.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц.— М.: Наука, 1969.— 368 е., ил.

7. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц.— М.: ГИФМЛ, 1961.— 128 с.

8. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Учеб. пособие для ун-тов.— М.: Высшая школа, 1991.— 303 е., ил.

9. Богданов А. А. Тектология: (Всеобщая организационная наука). В 2-х кн.— М.: Экономика, 1989.

10. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.— М.: Наука, 1966.— 308 с.

11. Бурков В. Н., Новиков Д. А. Модели и механизмы теории активных систем в управлении качеством подготовки специалистов.— М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 1998.— 157 с.

12. Буч Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами на С++.— М.: «Издательство Бином», СПб.: «Невский диалект», 2000.— 320 с.

13. Быков А. А., Мурзин Н. В. Проблемы анализа безопасности человека, общества и природы.— СПб.: Наука, 1997.— 247 с.

14. Векуа Н. П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике.— М.: Наука, 1991.— 256 с.

15. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения).— М.: Высшая школа, 2001.— 382 с.

16. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном мире.— М.: Советское Радио, 1968.— 328 с.

17. Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике.—1. М.: Наука, 1976.— 280 с.

18. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории оптимальных задач.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.— 204 с.

19. Государственный доклад о состоянии защиты населения и территорий Российской Федерации от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера в 1999 году.— М.: МЧС России/ВНИИ ГОЧС, 2000.— 132 с.

20. Гурьев Д. В. Математические модели оптимальной цены//Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLV научной конференции МФТИ.— М.: МФТИ, 2002.— С. 103—104.

21. Диесперов В. Н. Поведение автомодельных решений уравнения пограничного слоя с нулевым градиентом давления. Сообщения по прикладной математике. Препринт ВЦ АН СССР.— М., 1986.

22. Дикусар В. В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореферат докторской диссертации.— Дубна: ОИЯИ, 1982.

23. Дикусар В. В. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида.— М.: Изд-во МФТИ, 1983.— 63 с.

24. Дикусар В. В. Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения, 1994, т. 30, № 12.— С. 2116-2121.

25. Дикусар В. В., Копылов С. А. Модели принятия решения при возможности чрезвычайных ситуаций.— М.: Вычислительный центр РАН, 2004.— 52 с.

26. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Применение методов теории управления в жёстких системах для обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Вычислительный центр РАН, 2001.— 52 с.

27. Дикусар В. В., Рудецка-Гутковска С. Оптимальное управление инвестициями и сбережениями//Исследование операций (модели, системы, решения).— М.: Вычислительный центр РАН, 2001.— С. 20—31.

28. Дмитрук А. В., Милютин А. А., Осоловский Н. П. Теорема Люстерника и теория экстремума.— УМН, 1980, т. 35, вып. 6 (216), с. 11—46.

29. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Теория принципа максимума//Мето-ды теории экстремальных задач в экономике.— М.: Наука, 1981.

30. Дюкалов А. Н., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Теория управления и экономические системы. Качественные особенности. Схемы управления//Автома-тикаи телемеханика, 1974, № 6.

31. Евтушенко Ю. Г., Краснощёков П. С., Моисеев Н. Н. Имитационные сис-темы//Экономика и организация промышленного производства, 1973, № 6.

32. Ежегодный государственный доклад о состоянии защиты населения и территорий Российской Федерации от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера в 1998 году.— М.: МЧС России/ВНИИ ГОЧС, 1999 — 167 с.

33. Ежегодный государственный доклад о состоянии защиты населения и территорий Российской Федерации от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера в 1997 году.— М.: МЧС России/ВНИИ ГОЧС, 1998.— 167 с.

34. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи.— М.: Наука. Физматлит, 1997.— 352 с.

35. Иванилов Ю. П. Процессное моделирование имитационных моде-лей//Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1980, № 3.

36. Иванилов В. Ю., Огарышев В. С., Павловский Ю. Н. Имитация конфликтов.— М.: ВЦ РАН, 1993.— 196 с.

37. Иванов В. К., Мельников И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи.— М.: Наука—Физматлит, 1995 — 176 с.

38. История философии: Запад—Россия—Восток. Т. 1.— М.: «Греко-латинский кабинет» Ю. А. Шичалина, 2000.— 480 с.

39. Катастрофы и человек. Книга 1. Российский опыт противодействия чрезвычайным ситуациям/Ю. JI. Воробьёв, Н. И. Локтионов, М. И. Фалеев и др.; под ред. Ю. Л. Воробьёва.— М.: ACT-ЛТД, 1997.— 256 с.

40. Катулев А. Н., Северцев Н. А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности.— М.: Физико-математическая литература, 2000.— 320 с.

41. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.— М.: Мир, 1977.—656 с.

42. Клейнер Г. В., Смоляк С. А. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения.— М.: Наука, 2001.— 104 с.

43. Книга Екклисиаста, или Проповедника//Библия. Книги Священного Писания Ветхого и Нового завета.— М.: Российское библейское общество, 1995.—С. 618—625.

44. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1989.

45. Копылов С. А. О проблеме соответствия слов при переводе//ХЬ юбилейная научно-техническая конференция МФТИ, тезисы докладов.— Долгопрудный, 1997.

46. Копылов С. А. Об одной возможности макроэкономического кризиса//ХЬ юбилейная научно-техническая конференция МФТИ, тезисы докладов.— Долгопрудный, 1997.

47. Копылов С. А. Оценка последствий силовых решений//Тезисы докладов XLI научной конференции МФТИ.— Долгопрудный, 1998.

48. Копылов С. А. Изучение распространения слухов//Тезисы докладов XLI научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 1998.

49. Копылов С. А. Приближённый метод решения задачи синтеза оптимального управления//Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ.— Долгопрудный, 1999.

50. Копылов С. А. Системологические аспекты проблем современного образо-вания//Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ.— Долгопрудный, 1999.

51. Копылов С. А. Уравнение Беллмана для систем запаздывающего ти-па//Моделирование управляемых динамических систем.— М.: МФТИ, 1999 — С. 253-260.

52. Копылов С. А. Оптимизация распределения резервных фондов//Совре-менные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLV научной конференции МФТИ.— М.: МФТИ, 2002.— С. 75.

53. Копылов С. А. Философия системного анализирования//Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII.— Москва—Долгопрудный: МФТИ, 2002.— С. 94.

54. Копылов С. А. Принятие решения в условиях неопределённости//Совре-менные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды конференции. Часть IX.— М., Долгопрудный: МФТИ, 2003.— С. 12—14.

55. Копылов С. А. Экономический механизм предотвращения чрезвычайных ситуаций//Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды конференции. Часть IX.— М., Долгопрудный: МФТИ, 2003.— С. 15— 16.

56. Крылов В. Ю. Краткий курс теории вероятностей.— М.: МФТИ, 1975.— 98 с.

57. Кудрявцев JI. Д. Краткий курс математического анализа.— М.: Наука, 1989.— 736 с.

58. Ларман, Крэг. Применение UML и шаблонов проектирования.— М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.— 496 с.

59. Левнер Е. В., Птускин А. С., Фридман А. А. Размытые множества и их применение.— М.: ЦЭМИ РАН, 1998.— 108 с.бб.Леоненков А. В. Самоучитель UML.— СПб.: БХВ-Петербург, 2001.— 304 с.

60. Леушин В. Г. О мерах риска//Моделирование управляемых динамических систем.— М.: МФТИ, 1999.— С. 138-152.

61. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб.— 5-е изд., испр.— М.: Дело, 2001.— 400 с.— Гл. 14.

62. Маклаков С. В. BPWin и ERWin. CASE-средства разработки информационных систем.— М.: Диалог-МИФИ, 2000.— 256 с.

63. Материалистическая диалектика: Краткий очерк теории/П. Н. Федосеев, И. Т. Фролов, В. А. Лекторский, В. С. Швырёв, Б. Г. Юдин.— М.: Политиздат, 1985.— 350 с.

64. Меньшиков И. С. Финансовый анализ ценных бумаг. Курс лекций.— М.: Финансы и статистика, 1998.— 360 с.

65. Мессарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математичексие основы.— М.: Мир, 1978.— 312 с.

66. Милютин А. А. Элементы функционального анализа, теории меры и задачи оптимального управления.— М.: ЦАГИ, 1967.

67. Милютин А. А. Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления.— УМН, 1970, т. XXV, вып. 5 (155).— С. 110-116.

68. Милютин А. А. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления.— М.: Физматлит, 2001.— 304 с.

69. Моисеев Н. Н. Расставание с простотой.— М.: «Аграф», 1998.— 480 с.

70. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем.— М.: Наука, 1971.—424 с.

71. Мольдеров О. А., Дикусар В. В. Задача оптимального управления кредит-но-депозитной политикой среднестатистического банка//Тезисы докладов XLI научной конференции МФТИ.— Долгопрудный, 1998.

72. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.— М.: Наука, 1972.— 352 с.

73. Натан А. А. Случайные процессы.— М.: МФТИ.— в печати; есть и предыдущее издание.

74. Натан А. А. Стохастические модели.— М.: МФТИ.

75. Никаноров С. П., Никитина Н. К., Теслинов А. Г. Введение в концептуальное проектирование АСУ: анализ и синтез структур.— М.: РВСН, 1995.— 236 с.

76. Новиков Д. А. Стимулирование в социально-экономических системах. Базовые математические модели.— М.: Институт проблем управления РАН, 1998.—216 с.

77. Новиков Д. А., Петраков С. Н. Курс теории активных систем.— М.: СИН-ТЕГ, 1999.— 108 с.— (серия «Информатизация России на пороге XXI века). 84.0птнер С. Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных проблем.— М.: Советское Радио, 1969.— 216 с.

78. Павловский Ю. Н. Имитационные модели и системы.— М.: Фазис: ВЦ РАН, 2000.— Х+134 с.

79. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики.— М.: Энергоатомиздат, 1996.— 544 с.

80. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения.— М.: Издательство иностранной литературы, 1957.— 536 с.

81. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф.

82. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1976.—392 с.

83. Поспелов Г. С.,Ириков В. А. Программно-целевое планирование и управление.— М.: Советское радио, 1976.— 440 с.

84. Поспелов Г. С., Ириков В. А., Курилов А. Е. Процедуры и алгоритмы формирования комплексных программ/Под ред. Г. С. Поспелова.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.— 424 с.

85. Потапов Б. В., Радаев Н. Н. Экономика природного и техногенного рисков.— М.: ЗАО ФИД «Деловой экспресс», 2001.— 514 с.

86. Пугачёв В. С., Синицын И. Н. Теория стохастических систем.— М.: Логос, 2000.— 1000 с.

87. Пуанкаре А. Теория вероятностей.— Ижевск: Ижевская республиканская типограия, 1999.— 280 с.

88. Разжевайкин В. Н., Петржик М. Моделирование оптимальной реорганизации экономических объектов.— М.: Вычислительный центр РАН, 2002.— 40 с.

89. Розанов Ю. А. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными.— М.: Физматлит, 1995.—256 с.— (Теория вероятностей и математическая статистика).

90. Российский статистический ежегодник: Статистический сборник/Госкомстат России.— М., 1999.— 621 с.

91. Ротарь В. И., Шоломицкий А. Г. Об оценивании риска в страховой дея-тельности//Экономика и математические методы. Т. 32, вып. 1, 1996.— С. 96—105.

92. Скворчевский К. А. Теология процесса и современная физическая тео-рия//Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики.— Долгопрудный: МФТИ, 1996.— С. 93.

93. Смоляк С. А. О правилах сравнения нечётких альтернатив// Экономика и математические методы. Т. 29, вып. 4, 1993.— С. 627—641. ЮО.Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики.— М.: Наука, 1978.— 336 с.

94. Теория автоматического управления/А. А. Воронов, Д. П. Ким, В. М. Лохин и др.— М.: Высшая школа, 1986.— 504 с.

95. ЮЗ.Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.— М.: Издательство иностранной литературы, 1962.— 352 с.

96. Философский энциклопедический словарь/Гл. редакция: JI. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов.— М.: Советская Энциклопедия, 1983.— 840 с.

97. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений/Пер. с англ. С. Н. Шиманова.— М.: Мир, 1984.— 421 с.

98. Шумпетер Й. А. История экономического анализа: В 3-х т./Пер. с англ. под ред. В. С. Автономова.— Спб.: Экономическая школа, 2001. 113.Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.— М.: Мир, 1979.— 400 с.

99. Эльсгольц А. Э. Качественные методы в математическом анализе.— М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.— 300 с.

100. Иб.Янушевский Р. Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления.— М.: Наука, 1973.— 464 с.

101. Bernoulli D. Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk//Econometrica, Volume 22, Issue 1 (Jan., 1954), pp. 23—36.

102. Blanchard O. J., Fisher S. Lectures on Macroeconomics.— Cambridge: The MIT Press, 1992.— 650+XIV p.

103. Blanchard O. J., Kahn С. M. The Solution of Linear Difference Models Under Rational Expectations//Econometrica, Volume 8, Issue 5 (Jul., 1980), pp. 1305— 1312.

104. Bolton P., Roland G. The Breakup of Nations: a Political Economy Analysis//The Quaterly Journal of Economics, November 1997.— pp. 1057— 1090.

105. Brookshire D. S., Thayer M. A., Tschirhart J., Schulze W. D. A Test of the Expected Utility Model: Evidence from Earthquake Risks//Journal of Political Economy, 1985, vol. 93, no. 2, P. 369—389.

106. Caballero R. J. Expenditure on Durable Goods: A Case for Slow Adjustment//The Quaterly Journal of Economics, Volume 105, Issue 3 (Aug.,1990), p. 727—743.

107. Crooper M. L., Oates W. E. Enviromental Economics: A Survey//Journal of Economic Literature, Vol. XXX (June, 1992), pp. 675—740.

108. Dikusar V. V. New methods of synthesis of optimal feed-back systems//Differential Equations, Vol. 31, № 31, 1995.

109. Dikusar V. V., Kopylov S. A. Rational Foundations of Adaptive Expectations: Approach to the Excess Smoothness Problem//Methods of Nonlinear Dinamics. Proceedings of ISA RAN.— In printing.

110. Douty С. M. Disasters and Charity: Some Aspects of Cooperative Economic Behavior//The American Economic Review, Volume 62, Issue 4 (Sep. 1972), pp. 580—590.

111. Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations. Nonstiff Problems.— Berlin: Springer-Verlag, 1987.— 480 p.

112. Hall R. E. Stochastic Implications of the Life Cycle—Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence//Journal of the Political Economy, Volume 86, Issue 6 (Dec., 1978), p. 971—987.

113. Hayashi F. Tobin's Marginal q and Average q: A Neoclassical Interpreta-tion//Econometrica, Volume 50, Issue 1 (Jan., 1982), P. 213—224.

114. Hogarth R. M., Kunreuther H. Ambiguity and Insurance Decisions//AEA Papers and Proceedings, May 1985, Vol. 75, No. 2, P. 386—390.

115. Holmstrom В., Milgrom P. Addregation and Linearity in the Provision of Intertemporal Incentives//Econometrica, Vol. 55, No. 2 (March, 1987), P. 303— 328.

116. Kopylov S. A. An approximate method of solving of problem of synthesis of optimal feedback system//Methods of Nonlinear Dinamics. Proceedings of ISA RAN.— pp 20—28.

117. Kunreuther H., Easterling D. Are Risk-Benefit Tradeoffs Possible in Siting Hazardous Facilities?//AEA Papers and Proceedings, May 1990, Vol. 80, No. 2, P. 252—256.

118. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal systems.— New York: Wiley-In-terscience, 1972.

119. Leadbetter M. R. Rootzen H. Extremal Theory for Stochastic Proces-ses//The Annals of Probability, Vol. 16, No. 2 (Apr., 1988), P. 431—478.

120. Ljungqvist Lars, Sargent Th. J. Recursive macroeconomic theory.— Massachusetts: The MIT Press, 2000.— 709+XXXIV p.

121. Loomes G., Sugden R. Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainity//The Economic Journal, Vol. 92, No. 368 (Dec., 1982), pp. 805—824.

122. Mas-Colell Andreu, Whinston Michael D., Green Jerry R. Microeconomic Theory.— N. Y.: Oxford University Press, 1995.— 981+XX p.

123. Modigliani F. Life Cycle, Individual Thrift and the Wealth of Nations//The American Economic Review, Volume 76, Issue 3 (Jun., 1986),p. 297—313.

124. Myerson Roger B. Game Theory: Analysis of Conflict.— Massachusetts: Harvard University Press, 1997.— 568 p.

125. Nash John. Non-Cooperative Games//The Annals of Mathematics, Second Series, Volume 54, Issue 2 (Sep., 1951), pp. 286—295.

126. Nash John F. The Bargaining Problem//Econometrica, Volume 18, Issue 2 (Apr., 1950), pp. 155—162.

127. Nash John. Two-Person Cooperative Games//Econometrica, Volume 21, Issue 1 (Jan., 1953), pp. 128—140.

128. Pratt John W. Risk Aversion in the Small and in the Large//Econometrica, Volume 32, Issue 1/2 (Jan.—Apr., 1964), pp. 122—136.

129. Rothschild M., Stiglitz J. Increasing risk I: A definition//Journal of Economic Theory 2.— P. 225—243.

130. Rumbaugh J., Jacobson I., Booch G. The Unified Modelling Language. Reference Manual.— Massachusetts: Addison-Wesley, 1999.— 568 p.

131. Sage A. P. Optimum systems control.— Prentice-Hall, 1968.— 562 p. 147.Shlaer S., Lang N. Shlaer-Mellor Method: The OOA96 Report.— http:// www.projtech.com.— 54 p.

132. Schoemaker P. J. H. The Expected Utility Model: Its Variants, Purposes, Evidence and Limitations//Journal of Economic Literature, Volume XX (June, 1982), P. 529—563.

133. Smith R. L. Enviromental Statistics//http://www.stat.unc.edu/postscript/ rs/envnotes.ps.

134. Varian Hal R. Microeconomic Analysis. 3d ed.— N. Y.: W. W. Norton& Company, 1992.— 564 p.

135. Yaari Menahem E. Some Remarks on Measures of Risk Aversion and Their Uses//Journal of Economic Theory 1, 1969.— P. 315—329.