автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Модели и методы расчета параметров производительности сотовых сетей связи

На правах рукописи

Серебренникова Наталья Валентиновна

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ СОТОВЫХ СЕТЕЙ СВЯЗИ

05 13 17 - Теоретические основы информатики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003062668

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор

Башарин Гелий Павлович

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук Зубков Андрей Михайлович

кандидат физико-математических наук Меркулов Владимир Евгеньевич

Институт проблем информатики Российской академии наук (ИПИ РАН)

Защита диссертации состоится « 18 » мая 2007 г в 16 час 00 мин на заседании диссертационного совета К 212 203 08 в Российском университете дружбы народов по адресу Москва, ул Орджоникидзе, 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу 117198, Москва, ул Миклухо-Маклая, б

Автореферат разослан «/<Г » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, до цен г М Б Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы

Задами оценки и повышения производительности сетей сотовой подвижной связи (ССПС) возникают как на этапе их проектирования, так и в процессе эксплуатации Сегодня к ССПС предъявляются жесткие требования, обусловленные необходимостью удовлетворить высокий спрос на традиционные услуги и растущую потребность в новых услугах, а таюке обеспечить определенный уровень их качества

С точки зрения конечного пользователя, один из самых важных показателей производительности ССПС - это ее способность выделить ресурс для предоставления той или иной услуги с надлежащим качеством Не менее значимым этот показатель является и для оператора сети, для которого невозможность обслужить запрос абонента связана с потерей потенциального дохода и даже оттоком абонентов к конкурентам В этих условиях проблема удовлетворения требований к качеству услуг становится приоритетной для оператора Определяющий вклад в показатели качества вносят такие параметры как вероятность блокировки запроса абонента на установление соединения и вероятность разрыва соединения в результате выполнения межсотового хэндовера по причине занятости всех каналов Для оценки этих хар актер истин и разработки алгоритмов по их минимизации используются методы теории вероятностей и случайных процессов, теории массового обслуживания и теории телетрафика, а также методы имитационного и статистического моделирования Основной вклад в развитие этих областей принадлежит российским ученым А А Боровкову, Г П Башарину, П П Бочарову, В М Вишневскому, Б В Гнеденко, В А Наумову, А П Пшеничникову, Б А Севастьянову, АД Соловьеву, СН Степанову, АД Харкевичу, МА Шнепс-Шнеппе и другим Среди зарубежных исследователей можно выделить В Иверсена, Ф Келли, Л Клейнрока, С Раппопорта, К Росса и др

Появление и быстрое развитие ССПС резко усложнило задачи, поставленные перед теорией телетрафика и теорией систем и сетей массового обслуживания со стороны разработчиков и операторов, поскольку использование различных радиосистем требует учета многих особенностей их функционирования, разработку и анализ новых и достаточно сложных моделей междисциплинарного характера

С появлением сетей 30 возникла необходимость в разработке новых моделей, адекватно отражающих такие особенности сетей, как иерархическая структура, зависимость вероятностно-временных характеристик (ВВХ) от размеров соты, наличие зон перекрытий радиосвязи, в том числе, возникающих за счет наложения

ыакросоты на микросоту Такие модели были предложены в работах Г П Башарина, О А Шорина, В Иверсена, И -Б Лина, Ю Такахаши

Таким образом, актуальной является задача разработки методов исследования параметров производительности ССПС, учитывающих такие важные особенности новых систем как наличие перекрытий между сотами и зависимость ВВХ от размеров сот и поведения абонентов в них

Цель диссертационной работы состоит в разработке моделей, отражающих особенности современных ССПС, и методов расчета их производительности, а также в разработке эффективных вычислительных алгоритмов и в проведении численного анализа

Методы исследования В работе использованы методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории телетрафика

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем

1 разработана и проанализирована математическая модель выделенной соты с двумя типами каналов и резервированием каналов для входящих хэндовер-вызовов, учитывающая наличие в соте пассивных и активных абонентов, а также поставлена и решена задача оптимизации общего числа каналов и числа резервных каналов в соте,

2 разработана математическая модель кластера ССПС регулярной однородной структуры с перекрытиями сот для двух типов покрытия и двух алгоритмов доступа в зоне перекрытия - равновероятного и адаптивного, учитывающего загруженность доступных в зоне перекрытия базовых станций (БС) Для расчета ВВХ построенных моделей кластера и проведения численного анализа разработаны эффективные вычислительные методы,

3 для произвольной сотовой структуры с перекрытиями соседних сот в случае любой максимальной кратности перекрытий разработан приближенный метод нахождения верхней и нижней оценок ВВХ

Практическая ценность работы Методы и алгоритмы, предложенные в работе, предназначены для расчета и анализа характеристик производительности ССПС Результаты исследований используются в учебном процессе на кафедре систем телекоммуникаций РУДЫ для студентов, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и информатика» и «Математика Компьютерные науки»

Реализация результатов работы Работа проводилась при частичной поддержке программы «Университеты России» УР 03 01 252

Апробация работы Основные результаты работы были представлены на

- XLI, XLII, XLIII Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2005,2006, 2007),

- семинаре отдела дискретной математики Математического института им В А Стеклова РАН (Москва, 2007),

- научных семинарах кафедры систем телекоммуникаций РУДН (Москва, 2005, 2006, 2007)

Публикации По теме диссертации опубликовано 5 работ, из которых 3 - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии из 77 наименований Диссертация содержит 107 страниц текста, 31 рисунок, 23 таблицы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационный работы и содержится обзор публикаций по этой теме, сформулированы цель исследований и основные задачи, представлено краткое содержание работы

Глава 1 является вводной, в ней изложены основы функционирования ССПС В разделе 1 1 кратко описаны основные структурные элементы сотовой сети, пояснены термины, касающиеся ее архитектуры, топологии и зоны покрытия В разделе 1 2 представлены различные модели мобильности абонентов и указаны типы задач, для решения которых применяется анализ той или иной модели Раздел 1 3 посвящен принципу эстафетной передачи, обеспечивающему возможность мобильности для активного абонента В разделе 14 перечислены основные параметры производительности ССПС Характеристики процесса предоставления услуг в ССПС с точки зрения теории телетрафика представлены в разделе 1 5 Также в нем рассмотрена модель выделенной соты в виде модели Эрланга с явными потерями

Глава 2 диссертационной работы посвящена одной из проблем, возникших при переходе от систем 2G к системам 3G, существенной особенностью которых является многоуровневая архитектура с микро- и пикосотовым покрытием, в которой мобильность абонентов и случайные флуктуации их численности в сотах сильно влияют на пропускную способность и качество обслуживания Для своевременного обнаружения перегрузок в сотах и оперативного перераспределения между ними ресурсов в дополнение к процессам поступления вызовов от зарегистрированных в соте абонентов и их обслуживания необходимо рассматривать процессы прихода и

ухода из соты пассивных (зарегистрированных) и активных (зарегистрированных и разговаривающих) абонентов (межсотовый хэндовер)

Пусть ССПС состоит из одинаковых сот Выделим некоторую соту (сота 1) и рассмотрим ее как систему массового обслуживания (СМО) с двумя типами каналов -для регистрации пребывания абонентов в соте 1, их число неограниченно, и разговорными каналами, число которых равно С Для процедуры хэндовера из смежных сот зарезервируем 0 <g <С разговорных каналов, тогда не более С„ = C-g каналов могут быть использованы для обслуживания новых вызовов от абонентов, зарегистрированных в соте 1 Примем, что

Г потоки поступления пассивных (тотько на регистрацию) и активных (с хэндовером на регистрацию и разговор одновременно) абонентов в соту 1 — пуассоновские и имеют постоянные интенсивности Л, и Хн соответственно,

2 уход из соты 1 абонентов любого типа происходит с одинаковой интенсивностью V мобильности,

3° поток поступления запросов на установление соединения и предоставление разговорного канала от одного пассивного зарегистрированного в соте 1 абонента также является пуассоновским с постоянной интенсивностью е,

4" длительность разговора в соте имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью р. его успешного (без хэндовера) завершения и перехода активного абонента в пассивное состояние с освобождением разговорного канала и дальнейшим удержанием канала регистрации

Процесс функционирования такой СМО при сделанных предположениях и двух структурных (С, х) и пяти нагрузочных (Д,, Ля, е, и, р) параметрах описывается ступенчатым марковским процессом (МП) У(/)) г > 0 с двумерным

пространством состояний / = {(;,_/) 1 = 0,1, , 0<у < тт(/,С)}, где 1 — число зарегистрированных в соте абонентов, у — чисто активных из них, те число занятых каналов обслуживания

Теорема 2 1 Пусть ¿>(/,7), (г, у) е./ - равновесное распределение вероятностей состояний МП, характеризующего функционирование рассматриваемой СМО в предположениях 1 -4" Тогда система уравнений глобального баланса (СУГБ) для него имеет вид

[^+л¡J+Jм+^v+(.l-J)v+^^-^)s\(^<c(¡)]p(l,^)=(l-^+l)^p(l+\,^)+ +(,-J+l)El(o<^<crl-l)p(l,^-\)+лнlu>o)p(l-\,J-\)+ + Л, 1(1 > ;)Р(' -1,)) + 1(г > С,] = С)р{1 -1,7) + О +1)^1(7 < С)р{1 +1,] +1) + + (у + 1)А1(! > У,У < С)рО,у +1), I > 0,0 < у < тиф,С)

Для решения СУГБ (1) в разделе 2 4 рассмотрены два основных одномерных

mm(, С)

распределения в соте 1 Р{х = ;}= Èp(i,j)= p(i, ), ï = 0,1, для числа i

1' О

зарегистрированных и p{f = ^}=£р(г,у) = р( j = для числа j активных

ч

абонентов

Установлено, что распределение pif,.), z = 0,1, является пуассоновским с параметром р = + и не зависит от интенсивности ц успешного завершения разговора

Для распределения р{ ,j), ; = 0,С из физических соображений получена приближенная формула (2), в которой интенсивность освобождения одного разговорного канала равна (j.t + v), а интенсивность поступления пуассоновского потока заявок на разговор равна (Яи +е р.) при j = 0,С0 и Л„ при j = C„ + l,C,

v

р{

Jc j^ _ (2)

A У = С0+1,С,

J1

p + v fi + v % S J\

Для вычисления вероятностей блокировок новых и хэндовер-вызовов предложен рекуррешгный алгоритм, позволяющий эффективно проводить их расчет

На численном примере показано, что учет мобильности пассивных и активных абонентов в соте особенно необходим в условиях скачков нагрузки, поскольку позволяет вовремя обнаружить перегрузки и дает возможность оператору принять меры по их устранению

Поставлены задачи оптимизации числа резервных разговорных каналов и общего числа разговорных каналов в соте Алгоритмы, разработанные для их решения, основаны на рекуррентном алгоритме вычисления вероятностей блокировок новых и хэндовер-вызовов Их работа проиллюстрирована численными примерами

Глава 3 посвящена разработке и анализу модели кластера ССПС регулярной однородной структуры с учетом зон перекрытия Наличие перекрытия зон радиосвязи соседних сот является необходимым условием обеспечения процедуры межсотового хэндовера в ССПС В зоне перекрытия абоненту доступны сразу несколько БС, что

может быть использовано для повышения производительности ССПС В системах стандарта GSM радиус зоны радиосвязи обычно не превышает 1,3 радиуса соты, в системах стандарта CDMA он может достигать 1,9 радиуса соты

Рассмотрим бесконечную регулярную однородную сотовую структуру и два типа покрытия - сплошное радиопокрытие некоторой территории и фрагмент сети линейной конфигурации, который используется, например, для загородных трасс (рис 1) Выделим одну соту (сота 1) и построим кластер, включив в него соту 1 и соты, участвующие с ней в прекрытиях Сота 1 - центральная для кластера Пусть К -максимально возможная кратность перекрытия в кластере Она определяется соотношением радиуса г соты и радиуса R зоны радиосвязи каждой БС кластера Для первого типа покрытия для стандартов GSM и CDMA К может меняться от 2-х до 4-х, для второго - К- 2

^ ^ - граница соты

гргница зоны радиосвязи

Рис 1 Кластеры регулярной однородной сотовой структуры В диссертационной работе для обоих типов покрытия получены формулы для вычисления площадей зон ¿-кратного перекрытия, к = \,К, периметров /,,,

/с = 1, £ -1 границы зоны ¿-кратного перекрытия соты 1, через которую в эту зону возможен приход абонентов, выполняющих хэндовер из остальных сот кластера, а также площади 5 зоны радиосвязи и периметра Ь границы, через которую в зону радиосвязи соты 1 может быть выполнен хэндовер

Проанализируем процесс межсотового хэндовера в соту 1 Передача установленного соединения на БС соты 1 происходит не в момент пересечения активным абонентом границы соты 1, а при его выходе из зоны радиосвязи обслуживающей его БС соседней соты Анализ геометрической структуры кластера показал, что абонент, выполняющий процедуру хэндовера из зоны с {к +1) -кратным перекрытием, приходит в зону ¿-кратного перекрытия Это означает, что такой абонент не может придти лишь в зону -кратного перекрытия Для удобства дальнейших вычислений примем Ьк = О

Построенная далее математическая модель является общей для обоих типов покрытия Будем считать, что все БС работают независимо друг от друга, каждая сота рассматриваемого кластера имеет С полнодоступных каналов обслуживания, т е нет приоритетного доступа для хэндовер-вызовов Пусть все соты покрытия первого типа работают в условиях равномерного распределения плотности интенсивности возникновения запросов на территории покрытия и равномерного распределения направления движения произвольного абонента Для покрытия второго типа примем, что плотность интенсивности возникновения запросов распределена равномерно в пределах некоторой полосы (трассы), а за ее границами она равна нулю Абоненты могут двигаться только в двух встречных направлениях, в этих направлениях плотность и скорость их движения равны, т е интенсивности ухода абонентов из центральной соты 1 в две смежные с ней и прихода из них в соту 1 - одинаковы

Пусть на территории радиосвязи каждой соты образуется пуассоновский поток интенсивности X поступления запросов на установление нового соединения, длительность разговора имеет экспоненциальное распределение со средним

Будем предполагать, что поток заявок на процедуру межсотового хэндовера в зоне радиосвязи каждой соты - пуассоновский с интенсивностью Хп Освобождение каналов обслуживания в сотах за счет ухода активных абонентов происходит с интенсивностью v

В сделанных предположениях интенсивность \ потока новых вызовов из зоны

к -кратного перекрытия площади Sk, к = 1, К будет пропорциональна отношению ее

£ _

площади к площади зоны радиосвязи, то есть Хк - , к = 1, К

Интенсивность Ят потока заявок на хэндовер, поступающего в зону к -кратного перекрытия территории радиосвязи соты, будет пропорциональна отношению

периметра границы Lk этой зоны к общему периметру L Я;д = Х„ к = \, К

Функционирование каждой соты в сделанных предположениях описывается МП X(t), t> О с пространством состояний J = {i,i = О, С"}, где г - количество занятых в соте каналов

Пусть /0,к) - вероятность того, что при поступлении заявки на занятие канала в зоне к -кратного перекрытия, когда в соте 1 заняты i каналов, будет выбрана БС соты 1, i = 0jC-l, к = 1К

Система уравнений локального баланса (СУЛБ) для равновесного распределения Р{Х =;} = р(0 имеет вид

КОХ(Л + Я№)/М) = 0 + 1)р(/ + 1)(//^), ? = 0 С-1 (3)

Для нахождения равновесного распределения необходимо учесть и условие

с

нормировки ]£/?(!) = 1

Функционирование соседних с сотой 1 сот, в силу сделанных выше предположений о бесконечности, регулярности и однородности покрытия, будет описываться таким же МП, и равновесное распределение вероятностей состояния занятия каналов в них будет тем же

Рассмотрим два алгоритма выбора БС для обслуживания вызова в зоне перекрытия - равновероятный и адаптивный, учитывающий загруженность доступных в зоне перекрытия БС

Равновероятный алгоритм состоит в следующем Вызов, возникающий в зоне перекрытия кратности к, к = \,К, направляется на обслуживание на одну из к доступных ему БС, выбранную случайным образом Если на этой БС уже заняты все каналы, то вызов будет передан на одну из также случайно выбранных оставшихся к-1 БС При блокировке процедура выбора повторится до тех пор, пока не будет найдена БС со свободными каналами или не будут перебраны все доступные к БС Таким образом, вызов будет заблокирован только в том случае, когда ни на одной из к БС, участвующих в перекрытии, нет свободных каналов

Теорема 3 1 При сделанных предположениях вероятности /0,к), г = О, С — 1, отвечающие за реализацию алгоритма равновероятного выбора БС для обслуживания в зоне перекрытия кратности к, к = 1,К, могут быть вычислены по формуле

(4)

После подстановки в СУЛБ (3) формулы (4), решение системы имеет вид

( \с-

// + V

\ *-1 к 7=1

у/>(С),/ = 0,С-1, (5)

Значение р{С) е (од) ищется из условия нормировки, которое после подстановки в него (5) преобразуется в полином степени С(Х-1) + 1 от р(С), решение которого уже при С = 2 целесообразно искать численно

- И -

Адаптивный алгоритм характеризуется тем что для обслуживания вызова в зоне перекрытия будет выбрана наименее загруженная из всех доступных БС Если же имеется несколько БС с минимальной загрузкой, из них будет выбрана одна случайным образом

Теорема 3 2 При сделанных предположениях вероятности /(/,*), / = 0,С-1, отвечающие за реализацию адаптивного акоритма выбора БС для обслуживания в зоне перекрытия кратности к, к = \,К, могут быть вычислены по формуле1

После подстановки (6) в СУЛБ (3) и замены переменных

а.=5>0).» = б^ (7)

СУЛБ (3) сводится к системе

1 V К + г,* „4 1 ,-ТГ

Ъ —;— №-2 - ям У = 2, С,

(1-1) +

(8)

С учетом условия нормировки, а0 = 1, 1 > а, > > ас, и решение системы (8) (аЦ=1,а°, ,а°) принадлежит множеству [о,1р', оно может быть найдено численно путем пошаговой подстановки переменных Для нахождения равновесного распределения вероятностей затем необходимо сделать обратный переход

]/>(') = «, - а+1.» = О,С-1, 1р(С) = Яс

Основными параметрами производительности ССПС, являются вероятности блокировок новых и хэндовер-вызовов Пусть кк - вероятность блокировки заявок

обоих типов в зоне ¿-кратного перекрытия, к = \,К Очевидно, что для описанного кластера як = рк(С) Определим общую вероятность блокировки новых вызовов, поступающих на БС соты, как взвешенную сумму вероятностей их блокировок в отдельных зонах перекрытия, весовые коэффициенты соответствуют отношениям

К $

площадей этих перекрытий к площади 5 зоны радиосвязи ,т0 = X "ГОбщую

А--1 $

вероятность пП блокировки хэндовер-вызовов, поступающих на БС соты, также

1 Впервые получена в КоытовМ II, Шорин О А Повышение емкости сотовой системы связи при испотьзовании зон перекрытия И Этсктросвячь -2003 -ЛаЗ -С 18 20

определим как взвешенную сумму вероятностей их блокировок в зонах перекрытия х Ь

* и =Ет";г*

¡Ы1

В таблице 1 приведеи>1 результаты расчета минимального чиста каналов, обеспечивающего вероятности блокировки гг0 не выше уровня = 1СГ2 и жи не выше уровня тг°н=\0~3 Расчет производился при различных значениях к для изолированной соты (модель Эрланга с явными потерями) и двух алгоритмов выбора БС в зоне перекрытия при Ля = ^^, ц = 0,025, V =

Таблица 1 Минимальное число каналов

Л Минимальное число каналов

Изолированная сота Равновероятный выбор БС Адаптивный алгоритм

1-й тип покрытия (сплошное покрытие)

— = —, К = 2 Я 2

1 60 60 56

1,2 69 69 65

1,4 78 79 73

1 60 56 45

1,2 69 65 54

1,4 78 75 62

= 4 Я 1,8

1 60 54 44

1,2 69 63 52

1,4 78 72 60

2-й тип покрытия (линейный фрагмент)

— = —, К = 2 Я 1,5

1 60 62 52

1,2 69 71 61

1,4 78 81 70

Как видно из таблицы 1, наилучшую производительность для обоих фрагментов и всех рассмотренных К обеспечивает адаптивный алгоритм выбора БС в зоне

перекрытия В результате проведенного численного анализа также установлено, что работа соты в изолированном режиме более эффективна только при больших значениях р{С) Это связано с тем, что в этой ситуации выигрыш от использования свойств зон перекрытия минимален, так как ресурса соты заведомо не хватает для обслуживания поступающего потока заявок Каналы соты и соседних с ней будут заниматься быстро, и фактически сота будет работать в режиме, близком к изолированному, причем в условиях бочьшей нагрузки с большей зоны покрытия Однако для «рабочего» диапазона р(С)<КГ' более эффективным для всех типов покрытия и всех К является адаптивный алгоритм выбора БС в зоне перекрытия, причем достигаемый в результате его применения выигрыш достаточно значителен

В главе 4 разработан метод оценки ВВХ фрагмента ССПС произвольной сотовой структуры, учитывающий наличие зон перекрытия любой максимальной кратности между сотами и предполагающий использования алгоритма равновероятного выбора БС для обслуживания запроса на установление нового соединения, приходящего из зоны перекрытия

В условиях отсутствия однородности, когда соты различны по размеру, числу каналов и параметрам потоков поступления вызовов, для анализа фрагмента необходимо рассматривать многомерную модель размерности совпадающей с числом сот в нем Учет зон перекрытия порождает дополнительные сложности при построении и изучении такой модели

Рассмотрим фрагмент ССПС произвольной структуры с перекрытием зон радиосвязи между соседними сотами, состоящий из N сот, и перенумеруем их от 1 до N Будем считать, что граница соты совпадает с границей ее зоны радиосвязи Пусть максимальная кратность перекрытия во фрагменте равна К Обозначим область к -кратного перекрытия, к = \,К, как упорядоченное по возрастанию множество номеров сот, образующих эту область Тогда А" - множество областей ¿-кратного перекрытия

Ак = {(л,, , пк), и, < <пк,пг ,пк е 1, ЛГ, соты и,, , >\ участвуют в перекрытии}, к = 1, К Для каждой соты п, л = 1,N, построим также множества А* областей ¿-кратного перекрытия, в которых участвует эта сота, к = , и множество Вг номеров смежных с ней сот

Пусть БС соты л, п = 1.ЛГ, имеет С„ полнодоступных каналов обслуживания Будем считать, что в области (л,, ,п„)еАк образуется пуассоновский поток интенсивности ^ поступления запросов на установление нового соединения,

к = 1, К, причем все эти потоки независимы Новый вызов, поступающий из зоны перекрытия кратности к, равновероятно случайным образом выбирает для обслуживания любую из к доступных БС Если на выбранной БС нет свободных каналов, выбирается одна из оставшихся к -1 БС Процедура выбора повторяется до тех пор, пока либо вызов не будет принят одной из доступных БС, либо не будет заблокирован после перебора всех к БС Длительность разговора одинакова для всех сот и имеет экспоненциальное распределение со средним

Будем считать, что освобождение канала обслуживания в соте п, п = за счет передачи обслуживания активных абонентов на БС смежных сот происходит с интенсивностью Обозначим рг1 вероятность того, что обслуживание активного

абонента с БС соты п передано на БС смежной с ней соты /, п = 1, N, I е В„ Тогда интенсивность передачи хэндовер-вызова от БС соты п на БС соты I равна V»I = Р^К> л = , /еВ„ При выполнении хэндовера от БС п на БС /, л = I,N, 1еВп, вызов будет блокирован, при отсутствии на последней свободных каналов

Обозначим Х„(/), 1>0 - число занятых каналов на БС и в момент времени I, й = 1, Л' В сделанных предположениях Х„(1) - МП с пространством состояний 3„ = {¡,г =0,С„} Состояние всей системы описывается тогда Л'-мерным МП

= .ХД/)), />0 с пространством состояний 7 = {(г,, = 0,С„,и =

л

размерности |У| = ]^[(С„+ 1), и общая интенсивность Хн: потока прихода хэндовер-вызовов на БС I в равновесном состоянии равна ЯИ! = , / = 1,Л'

лей,

Обозначим А матрицу интенсивностей переходов для процесса Х(1) Метод ее построения предложен в разделе 4 3 Пусть Р{Х, =/,, ,ХЛ. = ¡л,} — р(г,, -равновесная вероятность того, что в системе на БС соты п заняты ¡я каналов, г„=0,Сл, лг = 1, Л', и р - вектор-столбец, описывающий равновесное распределение вероятностей Вектор р удовлетворяет системе уравнений равновесия (СУР) ргА = Ог, решение которой для реальных систем даже численно представляет определенную сложность ввиду большой ее размерности

Для уменьшения размерности исследуемого процесса в разделе 4 4 без потери общности для первых Л', < N выделенных сот строится агрегированный процесс

Обозначим J0 - пространство состояний для выделенных сот, то есть _ _

Л ={('р Л„)Л =0,С„,и = 1,#,}, его размерность ]/„) = ]^(С„ +1)

г-1

Определим разбиение пространства J состояний исходного процесса Х(/) на

подпространства J у ,,={(;,, = 0,С„,п = + , (г., и введем

1 - "

агрегированный процесс Хй{() Хв(0 = 0,, а„)еслп X(t)eJ

1 'I •

Обозначим А„ - матрицу интенсивностей переходов процесса Х„(/), рс - вектор-столбец его равновесного распределения вероятностей, который может быть найден

из СУР р^А0=Ог и условия нормировки А„) = 1 При этом число

('1 % >''

уравнений, входящих в СУР для агрегированного процесса, меньше, чем в СУР исходного процесса

Заметим, что в силу построения процесса Х„(/) матрица А0 содержит неизвестные условные вероятности р„ (ф,, , )-=Р{Х„ (Г) = г\Х1 (0=4, = '\„} ,

г=0,Сп,(;,, ,l^¡)eJr¡, и = ЛГ(1+1,АГ которые могут принимать значения из интервала

[0,1] при соблюдении условия нормировки ¿^ (/1 (,, , г ч ) = 1

1—0

В диссертации для нахождения верхней и нижней оценок вероятностных характеристик агрегированного процесса X0(г) используется метод, основанный на анализе зависимости решения СУР процесса Х0(с) от значений условных вероятностей ¿>„(ф,, ,1Л ), (¡,, ,гч)бУ„, п = Ы0 + входящих в матрицу А0, в предположении, что эти значения принадлежат интервалу [0,1]

Для нахождения границ изменения ряда характеристик, удовлетворяющих дополнительным условиям, сформулированным в разделе 4 5, верхняя и нижняя оценки могут быть получены непосредственно из матрицы А0 При этом в первом

случае мы предполагаем, что в каждой соте п, п = Л'0, Л'0 +1, все каналы заняты, и вся нагрузка из областей перекрытия, в которых они участвуют вместе с выделенными сотами, поступает только па доступные выделенные соты То есть, в матрице А„ необходимо осуществить подстановку

Р„0 I',, ''ч^о'Дс' " = Л'»,Л''+1, (г" -Ч)6-7» (9)

Во втором случае мы строим матрицу А0 исходя из предположения о том, что в каждой соте п, п = М0,М0+\, все каналы всегда свободны, поэтому от них на выделенные соты не поступают хэндовер-вызовы, и всегда происходит разделение нагрузки из соответствующих зон перекрытия В матрице А0 при этом необходимо сделать следующую подстановку

(0,0 <I < С , -

Л,0к, .ОН, „ я = Аг0,Лг0 +1, (;,, ,1л,.)еЛ (Ю)

При помощи подстановок (9) и (10), например, могут быть получены верхняя и нижняя оценки для таких важных параметров производительности, как вероятность занятия всех каналов и среднее число занятых каналов в той или иной выделенной соте

Применение разработанного метода проиллюстрировано на численном примере, в котором рассмотрены два кластера, состоящие из одинаковых сот и соответствующие двум типам покрытия - сплошному и линейному (рис 2) Интенсивность потока

Оценим для обоих фрагментов вероятность р,(С,) занятия всех каналов в соте 1, используя для этого формулы (9) и (10) При этом будем увеличивать число Л'0 выделенных сот, дополняя их множество согласно нумерации сот на рисунке Для фрагмента 1 рассмотрим значения ЛГ0 = 1,4,7, для фрагмента 2 - Л'0 = 1,3

Обозначим />,(С,) - верхнюю границу для вероятности р, (С,), а р,(С,) - ее нижнюю границу Результаты расчетов для верхней и нижней границ р] (С,) при С„ = 5, Х = 0,03, ц = 0,025, у„ = 0,0025, п = ТЛ приведены в таблице 2

Как видно из таблицы 2, по мере увеличения числа Л'0 выделенных сот интервал изменения р.ДС.), определяемый оценкой, сужается Это связано с расширением

множества сот, чье влияние на работу соты 1 учитывается при расчетах, и при достаточно большом можно получить удовлетворительную для инженерных расчетов оценку

Таблица 2 Верхняя и нижняя оценки вероятности р1 (С )

К Л (С,) Л (С,) А (С,)/ /РАС,)

Фрагмент 1

1 6,87 10"3 3,17 10'2 462,05

4 1,06 ю-4 2,66 10"2 250,94

7 1,21 10"* 1,26 10"4 1,041

Фрагмент 2

1 9,14 10~4 1,57 10~2 17,23

3 9,17 10"" 9,28 10"4 1,012

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработана математическая модель выделенной соты с двумя типами каналов (для регистрации и обслуживания) и резервированием каналов для входящих хэндовер-вызовов Модель построена в виде СМО, функционирование которой описывается МП с двумерным пространством состояний Для вычисления основных ВВХ разработаны точный метод нахождения равновесного распределения числа занятых каналов регистрации и приближенный метод нахождения равновесного распределения числа занятых разговорных каналов Сформулированы задачи оптимизации общего тесла разговорных каналов и числа резервных разговорных каналов в соте, для их решения предложен рекуррентный алгоритм

2 В условиях регулярной однородной сотовой структуры с перекрытиями соседних сот для двух типов покрытия разработана модель кластера Модель исследована для двух различных алгоритмов выбора БС в области перекрытия - равновероятного и адаптивного, учитывающего загруженность всех доступных БС Для нахождения основных ВВХ для обоих алгоритмов разработаны точные методы решения соответствующих СУЛБ На основе численного анализа дана оценка выигрыша в производительности, достигаемого за счет использования свойств зон перекрытия Установлено, что для обоих типов покрытия наиболее эффективным является адаптивный алгоритм

3 Для кластера ССПС произвольной сотовой структуры с перекрытиями любой максимальной кратности разработан приближенный метод нахождения верхней и нижней оценок ВВХ Проведен численный анализ и найдены верхняя и нижняя оценки вероятности занятия всех каналов в соте для двух моделей кластера регулярной однородной сотовой структуры, соответствующих двум типам покрытия Проведено сравнение приближенного и точного методов и показано, что для получения удовлетворительной для инженерных расчетов оценки ВВХ соты агрегированный процесс, на основе анализа которого вычисляются границы изменения характеристик, достаточно построить для смежных с ней сот

Основные результаты диссертационной работы представлены в следующих

опубликованных работах

1 Багиарин Г П , Серебренникова Н В Вычисление ВВХ в сотовых сетях связи с учетом мобильности абонентов // Сб «Х1Л Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии» - М Изд-во РУДН, 2005 -С 130-131

2 Башарин Г П, Серебренникова Н В Вычисление ВВХ в сотовых сетях связи с учетом мобильности абонентов // Вестник РУДН Серия «Прикладная и компьютерная математика» -2005 -Т 4, №1 - С 11-18

3 Башарин Г П, Серебренникова Н В Математическая модель фрагмента сотовой сети с учетом перекрытия зон радиосвязи // Вестник РУДН Серия «Физико-математические науки» - 2006 - № 1 - С 55-60

4 Башарин Г 77, Серебренникова Н В Повышение производительности кластера ССПС за счет использования перекрытия зон радиосвязи // Сб «Х1Л1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии» - М Изд-во РУДН, 2006 - С 45

5 Башарин Г П, Серебренникова Н В Анализ производительности фрагмента сотовой сети с учетом перекрытия зон радиосвязи // Электросвязь - 2006 - № 7 -С 43-45

Серебренникова Наталья Валентиновна (Россия)

Модели и методы расчета параметров производительности сотовых сетей связи

В диссертационной работе разработаны и исследованы математические модели сотовых сетей связи, учитывающие такие их важные особенности как зависимость параметров производительности от поведения абонентов и наличие зон перекрытий между смежными сотами Для вычисления основных вероятностных характеристик сетей разработаны точные и приближенные методы, эффективность которых проверена в результате численного анализа

Natalya Serebrennikova (Russia)

Models and methods for performance analysis of cellular communication networks

In this thesis we develop and analyze analytical models of cellular communication networks These models deal with such important network features as subscribers' mobility behavior and overlappmg cells We propose methods for exact and approximate computation of performance measures The efficiency of these techniques is validated by numerical results

Подписано в печать 11 04 2007 г Исполнено 12 04 2007 г Печать трафаретная

Заказ №315 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 www autoreferdt ru

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Общие принципы функционирования систем 11 сотовой подвижной связи

1.1. Основы построения ССПС

1.2. Модели мобильности абонентов

1.3. Принцип эстафетной передачи

1.4. Параметры производительности ССПС

1.5. Применение методов теории телетрафика к 19 анализу ССПС

1.5.1. Характеристики нагрузки

1.5.2. Параметры обслуживания

1.5.3. Правила установления соединения

1.5.4. Анализ выделенной соты

ГЛАВА 2. Учет мобильности абонентов в соте с двумя типами каналов

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение математической модели

2.3. Вывод СУГБ

2.4. Решение СУГБ

2.5. Построение эквивалентной одномерной 36 физической модели

2.6. Рекуррентный алгоритм вычисления 38 вероятностей блокировок

2.7. Пример численного анализа

2.7.1. Мобильность абонентов в условиях колебания 39 нагрузки

2.7.2. Оптимизация использования канального ресурса

ГЛАВАЗ. Анализ функционирования кластера ССПС регулярной однородной сотовой структуры с учетом зон перекрытия

3.1. Постановка задачи

3.2. Геометрический анализ структуры кластера

3.3. Построение математической модели

3.4. Случай равновероятного выбора БС в зоне 55 перекрытия

3.4.1. Вывод СУЛБ

3.4.2. Решение СУЛБ

3.5. Случай выбора наименее загруженной БС в зоне 57 перекрытия

3.5.1. Вывод СУЛБ

3.5.2. Решение СУЛБ

3.6. Параметры производительности системы

3.7. Пример численного анализа

3.7.1. Анализ фрагмента покрытия первого типа

3.7.2. Анализ фрагмента покрытия второго типа

ГЛАВА 4. Метод оценки ВВХ в кластере ССПС произвольной структуры с учетом зон перекрытия

4.1. Постановка задачи

4.2. Построение математической модели

4.3. Построение матрицы интенсивностей переходов

4.4. Построение агрегированного процесса

4.5. Метод оценки ВВХ

4.6. Пример численного анализа 93 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 98 БИБЛИОГРАФИЯ

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

БС - Базовая Станция

ВВХ - Вероятностно-Временные Характеристики

МП - Марковский Процесс

ПС - Подвижная Станция смо - Система Массового Обслуживания сспс - Сеть Сотовой Подвижной Связи

СУГБ - Система Уравнений Глобального Баланса

СУЛБ - Система Уравнений Локального Баланса

СУР - Система Уравнений Равновесия

СУЧБ - Система Уравнений Частичного Баланса

CDMA - Code Division Multiple Access

GSM - Global System for Mobile communications

QoS - Quality of Service

В истории развития сетей сотовой подвижной связи (ССПС) общего пользования [17,25,28,63,71 и др.] можно выделить несколько этапов. Первые сети были развернуты в начале 1980-х годов на основе аналоговых стандартов, относимых сейчас к поколению 1G. В начале 1990-х они уступили свое место цифровым (2G), которые были способны справиться с постоянно растущим спросом на услуги мобильных сетей. Основными мировыми стандартами стали GSM (Global System for Mobile communications), IS-136 (D-AMPS), IS-95 (cdmaOne) [32,50,69,66]. С повсеместным развитием сети Internet появилась задача обеспечения передачи данных и мультимедиа в ССПС, что привело к появлению мобильных стандартов, основанных на пакетной передаче, - стандартов 3G [27,43,49,60].

Сегодня к ССПС предъявляются жесткие требования, обусловленные необходимостью удовлетворения высокого спроса на традиционные услуги сетей и растущей потребности в новых услугах, а также обеспечения их надлежащего качества. В силу ограниченности выделяемого частотного ресурса, операторы сетей вынуждены все больше внимания уделять эффективности использования спектра [17,25,30,41,50], производительности системы сигнализации [29,31,33,34,35]. На этапе проектирования особую важность имеют задачи определения числа и расположения сот [25,30,41,63,69], поддержки их иерархии [4,56,57], частотного планирования [25,30,41,60]. В процессе эксплуатации сетей возникают задачи динамического перераспределения ресурсов [37], предупреждения и обнаружения перегрузок [37,39], обеспечения качества обслуживания [51,64,77], оптимизации процессов доступа к ресурсам сети [67,74]. Зачастую они связаны с локализацией абонента [70].

С точки зрения конечного пользователя, один из самых важных показателей производительности ССПС - это ее способность выделить ресурс для предоставления той или иной услуги с надлежащим качеством.

Не менее значимым этот показатель является и для оператора сети, для которого невозможность обслужить запрос абонента связана с потерей потенциального дохода и даже оттоком абонентов к конкурентам. В этих условиях проблема удовлетворения требований к качеству услуг становится приоритетной для оператора. Определяющий вклад в показатели качества вносят такие параметры как вероятность блокировки запроса абонента на установление соединения и вероятность разрыва соединения в результате выполнения межсотового хэндовера по причине занятости всех каналов. Для оценки этих характеристик и разработки алгоритмов по их минимизации используются методы теории вероятностей и случайных процессов [13,15,19,26,59], теории массового обслуживания и теории телетрафика [1,3,10-12,14,16,18,20,23,24,45,55], а также методы имитационного и статистического моделирования. Основной вклад в развитие этих областей принадлежит российским ученым А.А. Боровкову, Г.П. Башарину, П.П. Бочарову, В.М. Вишневскому, Б.В. Гнеденко, В.А. Наумову, А.П. Пшеничникову, Б.А. Севастьянову, А.Д. Соловьеву, С.Н. Степанову, А.Д. Харкевичу, М.А. Шнепс-Шнеппе и другим. Среди зарубежных исследователей можно выделить В. Иверсена, Ф. Келли, JT. Клейнрока, С. Раппопорта, К. Росса и др.

Появление и быстрое развитие ССПС резко усложнило задачи, поставленные перед теорией телетрафика и теорией систем и сетей массового обслуживания со стороны разработчиков и операторов, поскольку использование различных радиосистем требует учета многих особенностей их функционирования, разработку и анализ новых и достаточно сложных моделей междисциплинарного характера. Развитие методов, предназначенных для традиционной телефонии, в том числе, основанных на классических формулах Эрланга [например, 1,10], создали базу для исследования характеристик производительности ССПС.

Преимущественно используемая методика проведения математического анализа сотовой сети состоит в адаптации исходной классической модели, представленной, например, в [53], и добавлении в нее параметров, отражающих тот или иной аспект реально существующих сетей. Полученные модели, как правило, сфокусированы на изучении влияния определенного ограниченного набора факторов на функционирование сети. Разработке моделей сотовых сетей связи и методов анализа их ВВХ посвящены работы [49,50,55,58,63].

В целом ряде работ проводится анализ параметров трафика в мобильных сетях. Так, в [44,46,48,55,62,72,77] изучено влияние вида распределения времени занятия канала на ВВХ сети. В [40,47,55,68] построены различные модели поведения абонентов и выявлены связанные с ними особенности в определении параметров трафика. Другое направление исследований определили задачи контроля доступа различных типов вызовов к ресурсам сети. В [53,58] рассмотрены основные схемы приоритезации, в [51,74] поставлена и решена задача оптимизации канального ресурса при использовании резервных каналов.

С появление сетей 3G возникла необходимость в разработке новых моделей, адекватно отражающих особенности сетей. Такие модели были предложены в [4,56], где ВВХ изучены для сетей иерархической структуры, а также в [37,38,54,68], посвященных зависимости влияния мобильности абонентов на производительность соты от ее размеров. В [21,57,73,76] анализ производительности ССПС проведен с учетом перекрытий зон радиосвязи, в том числе, возникающих за счет наложения макросоты на микросоту [57]. Сложность последней задачи обусловлена тем, что необходимо учитывать состояния всех сот, участвующих в перекрытии, и рассматривать многомерные модели.

Таким образом, актуальной является задача разработки методов исследования параметров производительности ССПС, учитывающих особенности используемых стандартов, а именно, наличие перекрытий между сотами, различные размеры сот, а также резервирование каналов и модели мобильности. Цель диссертационной работы состоит в разработке моделей, отражающих особенности современных ССПС, и методов расчета их производительности, а также в разработке эффективных вычислительных алгоритмов и в проведении численного анализа.

Работа имеет следующую структуру. В первой главе изложены основы функционирования ССПС. В разделе 1.1 кратко описаны основные структурные элементы сотовой сети, пояснены термины, касающиеся ее архитектуры, топологии и зоны покрытия. В разделе 1.2 представлены различные модели мобильности абонентов и указаны типы задач, для решения которых применяется анализ той или иной модели. Раздел 1.3 посвящен принципу эстафетной передачи, обеспечивающему возможность мобильности для активного абонента. В разделе 1.4 перечислены основные параметры производительности ССПС. Характеристика процесса предоставления услуг в ССПС с точки зрения теории телетрафика представлена в разделе 1.5. Также в нем рассмотрена классическая модель соты [53].

Глава 2 диссертационной работы посвящена анализу ВВХ соты с двумя типами каналов (для регистрации абонентов и разговорные) и резервированием каналов для входящих хэндовер-вызовов. Математическая модель функционирования такой соты построена и исследована в разделах 2.1-2.6. В разделе 2.7 приводятся примеры численного анализа. Глава 2 написана на основе публикаций с участием автора [6,7].

Глава 3 посвящена разработке и анализу модели кластера ССПС регулярной однородной структуры с учетом зон перекрытия. Рассмотрены два типа покрытия, соответствующие двум моделям мобильности абонентов, и два алгоритма выбора БС для обслуживания в зоне перекрытия - равновероятный и адаптивный, учитывающий загруженность доступных в зоне перекрытия БС. Постановка задачи содержится в разделе 3.1. В разделе 3.2 представлен анализ геометрической структуры двух типов кластеров. В разделе 3.3 построена общая математическая модель функционирования соты, которая затем изучена в разделах 3.4 и 3.5 для двух указанных алгоритмов выбора БС для обслуживания. С учетом перекрытий в разделе 3.6 для выделенной соты предложены формулы для вычисления параметров производительности. В разделе 3.7 приведены примеры численного анализа. Глава 3 основана на публикациях с участием автора [5,8,9].

В главе 4 на основе работ [73,76] разработан метод оценки ВВХ ССПС произвольной сотовой структуры, учитывающий наличие зон перекрытия между сотами для любой максимальной кратности этих перекрытий. Постановка задачи содержится в разделе 4.1. В разделах 4.2 и 4.3 в виде многомерного МП построена соответствующая математическая модель и его матрица интенсивностей переходов. В разделах 4.4 и 4.5 строится и исследуется агрегированный процесс меньшей размерности, который и используется для оценки вероятностных характеристик исходного МП. В разделе 4.6 приведен пример численного анализа, а также проводится сравнение результатов применения точного метода, предложенного в главе 3, и исследуемого метода оценки для определения ВВХ сети.

Таким образом, в диссертационной работе решаются перечисленные ниже аюуальные задачи.

1. Разработка и анализ математической модели выделенной соты с двумя типами каналов и резервированием каналов для входящих хэндовер-вызовов, а также постановка и решение задачи оптимизации общего числа каналов и числа резервных каналов в соте.

2. Разработка математической модели кластера ССПС регулярной однородной структуры с перекрытиями сот для двух моделей мобильности абонентов и двух алгоритмов доступа в зоне перекрытия - равновероятного и адаптивного, учитывающего загруженность доступных в зоне перекрытия БС. Разработка эффективных вычислительных методов для расчета вероятностных характеристик построенных моделей кластера и проведение численного анализа.

3. Разработка приближенного метода нахождения верхней и нижней оценок ВВХ кластера произвольной сотовой структуры с учетом зон перекрытия для случая любой максимальной кратности перекрытий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Разработана математическая модель выделенной соты с двумя типами каналов (для регистрации и обслуживания) и резервированием каналов для входящих хэндовер-вызовов. Модель построена в виде СМО, функционирование которой описывается МП с двумерным пространством состояний. Для вычисления основных ВВХ разработаны точный метод нахождения равновесного распределения числа занятых каналов регистрации и приближенный метод нахождения равновесного распределения числа занятых разговорных каналов. Сформулированы задачи оптимизации общего числа разговорных каналов и числа резервных разговорных каналов в соте, для их решения предложен рекуррентный алгоритм.

2. В условиях регулярной однородной сотовой структуры с перекрытиями соседних сот для двух типов покрытия разработана модель кластера. Модель исследована для двух различных алгоритмов выбора БС в области перекрытия - равновероятного и адаптивного, учитывающего загруженность всех доступных БС. Для нахождения основных ВВХ для обоих алгоритмов разрабтаны точные методы решения соответствующих СУЛБ. На основе численного анализа дана оценка выигрыша в производительности, достигаемого за счет использования свойств зон перекрытия. Установлено, что для обоих типов покрытия наиболее эффективным является адаптивный алгоритм.

3. Для кластера ССПС произвольной сотовой структуры с перекрытиями любой максимальной кратности разработан приближенный метод нахождения верхней и нижней оценок ВВХ. Проведен численный анализ и найдены верхняя и нижняя оценки вероятности занятия всех каналов в соте для двух моделей кластера регулярной однородной сотовой структуры. Проведено сравнение приближенного и точного методов и показано, что для получения удовлетворительной для инженерных расчетов оценки ВВХ соты агрегированный процесс, на основе анализа которого вычисляются границы изменения характеристик, достаточно построить для смежных с ней сот.

1. Башарин Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. -М.: Изд-во РУДН, 2004.

2. Башарин Г. П. Об аналитическом и числеииом методах исследования коммутационных систем. // Сб. ст. ИППИ АН СССР «Системы распределения информации» — М.: Наука, 1972.

3. Башарин Г. П.; Бочаров П. П.; Коган Я. А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989.

4. Башарин Г. П.; Меркулов В. Е. Анализ пропускной способности в иерархических сетях сотовой связи. // Электросвязь. 2003. - № 4. -С. 45-47.

5. Башарин Г. П.; Серебренникова Н. В. Анализ производительности фрагмента сотовой сети с учетом перекрытия зон радиосвязи. // Электросвязь. 2006. - № 7. - С. 43-45.

6. Башарин Г. П.; Серебренникова Н. В. Вычисление ВВХ в сотовых сетях связи с учетом мобильности абонентов. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». 2005. - Т. 4, № 1.-С. 11-18.

7. Башарин Г. П.; Серебренникова Н. В. Вычисление ВВХ в сотовых сетях связи с учетом мобильности абонентов. // Сб. «XLI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии». М.: Изд-во РУДН, 2005.

8. Башарин Г. П.; Серебренникова Н. В. Математическая модель фрагмента сотовой сети с учетом перекрытия зон радиосвязи. // Вестник РУДН. Серия «Физико-математические науки». 2006. -№ 1.-С. 55-60.

9. Башарин Г. П.; Серебренникова Н. В. Повышение производительности кластера ССПС за счет использования перекрытия зон радиосвязи // Сб. «XLII Всероссийскаяконференция по проблемам математики, информатики, физики и химии». М.: Изд-во РУДН, 2006.

10. Башарин Г. П.; Харкевич А. Д.; Шнепс М. А. Массовое обслуживание в телефонии. М.: Наука, 1968.

11. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

12. Бочаров П. П.; Печипкин А. В. Теория массового обслуживания. -М.: Изд-во РУДН, 1995.

13. Вентцелъ Е.С.; Овчаров JI. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. - 2-е изд.

14. Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003.

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Едиториал УРСС, 2005.-8-е изд.

16. Гнеденко Б. В.; Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, ГРФМЛ, 1987. - 2 изд.

17. Карташевский В. Г.; Семенов С. Н.; Фирстова Т. В. Сети подвижной связи. М.: Эко-Трендз, 2001.

18. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания — М. : Машиностроение, 1979.

19. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. - 2-е изд.

20. Корнышев Ю. Н.; Пшеничников А. П.; Харкевич А. Д. Теория телетрафика. М.: Радио и связь, 1996.

21. Косинов М. И.; Шорин О. А. Повышение емкости сотовой системы связи при использовании зон перекрытия. // Электросвязь. 2003. -№ 3. - С. 18-20.

22. Кротов Н. А. Разновидности хсндовера в сотовых сетях стандарта GSM. М.: МТУСИ, 2004. - Деп. в ЦНТИ «Информсвязь»

23. Крылов В. В.; Самохвалова С. С. Теория телетрафика и ее применение СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

24. Лагутин В. С.; Степанов С. Н. Телетрафик мультисервиеных сетей связи. М.: Радио и связь, 2000.

25. Матвеева М. М.; Шинаков Ю. С. Системы связи с подвижными объектами: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 2002.

26. Наумов В. А. Численные методы анализа марковских систем. Учеб. пособие. -М. :Изд-во РУДН, 1985.

27. Невдяев Л. М. Мобильная связь 3-го поколения. М.: МЦНТИ, ООО «Мобильные коммуникации», 2000.

28. Невдяев Л. М. Телекоммуникационные технологии. Англо-русский толковый словарь справочник. М.: МЦНТИ, 2002.

29. Никитин А. Г.; Серебренникова Н. В. Разработка программного обеспечения протокола ТСАР в архитектуре JAIN // В сб. трудов XXXVIII Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики. М.: Изд-во РУДН, 2002.

30. Ратынский М. В. Основы сотовой связи. / Под ред. Д.Б. Зимина. -М.: Радио и связь, 2000. 2-е изд.

31. Самуилов К.Е. Методы анализа и расчета сетей ОКС7: Монография. М.: Изд-во РУДН, 2002.

32. Самуилов К. Е.; Никитина М. В. Сети сотовой подвижной связи в стандарте GSM. // Сети. 1996. - № 6. - С. 10-14.

33. Самуилов К. Е.; Серебренникова Н. В. К решению задачи о максимальном потоке на графе сети сигнализации. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». 2004. -Т. 3, № 1.-С. 19-29.

34. Самуилов К. Е.; Серебренникова Н. В. Особенности постановки задачи о максимальном потоке в сети сигнализации // Системы телекоммуникаций и моделирование сложных систем. М.: Изд-во РУДН, 2003.

35. Серебренникова Н. В. Задача о максимальном потоке на графе сети сигнализации // Сб. «XL Всероссийская конференция по проблемамматематики, информатики, физики и химии». М.: Изд-во РУДН, 2004.

36. Ховард Р. А. Динамическое программирование и марковские процессы.-М.: Советское радио, 1964.

37. Шорин О. А. Вероятность перегрузки сотовых систем связи с учетом подвижности абонентов. // Электросвязь. 2004. - № 5. -С. 23-26.

38. Шорин О. А. Оценка параметров мобильности абонентов в сотовых системах связи. // Электросвязь. 2004. - № 11. - С. 39-41.

39. Шорин О. А. Прогноз перегрузок с учетом подвижности абонентов в сотовых системах связи. // Мобильные системы. 2005. - № 1. -С. 15-19.

40. Akyildiz I. F.; Lin Y.-B.; Lai W.-R.; Chen R.-J. A new random walk model for PCS networks. // IEEE Journal on Selected Areas in Communications.-2000.-Vol. 18, №7.-Pp. 1254-1260.

41. Anttalainen T. Introduction to telecommunications network engineering. Boston, London : Artech House, 2003.

42. Bai F.; Sadogopan N.; Helmy A. IMPORTANT: a framework tosystematically analyze the Impact of Mobility on Performance Ofth

43. RouTing protocols for Ad-hoc NeTwork // Proceedings of the 22 IEEE Information Communications Conference (INFOCOM, San Francisco, USA, 2003).-Pp. 825-835.

44. Bannister J.; Mather P.; Coope S. Convergence technologies for 3G networks: IP, UMTS, EGPRS and ATM. Chichester: John Wiley & Sons, 2004.

45. Barcelo F.; Jordan J. Channel holding time distribution in cellular telephony. // Proceedings of the 9th International Conference on Wireless Communications (Calgary, Canada, July 9-11, 1997). Vol.1. - Pp. 125134.

46. Fang Y.; Chlamtac I. Teletraffic analysis and mobility modeling of PCS networks. // IEEE Trans, on Communications. July 1999. - Vol. 47, №7.-Pp. 1062-1072.

47. Fang Y.; Chlamtac /.; Lin Y.-B. Modeling PCS networks under general call holding time and cell residence time distributions. // IEEE Trans, on Vehicular Technology. December 1997. - Vol. 5, № 6. - Pp. 893-906

48. GSM, GPRS and EDGE Performance. Evolution towards 3G/UMTS. / Eds. T. Halonen, H. Romero, J. Melero. Chichester: John Wiley & Sons, 2003.

49. Handbook on wireless networks and mobile computing // Ed. I. Stojmenovic. Chichester: John Wiley & Sons, 2002.

50. Haring G.; Marie R.; Puigjaner R.; Trivedi K. Loss formulas and their application to optimization for cellular networks. // IEEE Trans, on Vehicular Technology. May 2001. - Vol. 50, № 3. - Pp. 664-673.

51. Hartfiel D.J.; Seneta E. On the theory of Markov set-chains. // Advances in Applied Probability. December, 1994. - Vol. 26, № 4. -Pp. 947-964.

52. Hung H.-N.; Lee P.-C.; Lin Y.-B.; Peng N.-F. Modeling channel assignment of small-scale cellular networks. // IEEE Trans, on Wireless Communications. 2005. - Vol. 4, № 2. - Pp. 646-652.

53. Iversen V. В. Teletraffic engineering handbook. ITU-D, Geneva, January 2005.

54. Iversen V. B. The exact evaluation of multi-service loss systems with access control. // Teleteknik, English edition. 1987. - Vol. 31, №2. -Pp. 56-61.

55. Iversen V. В.; Benetis V.; Hansen P. D. Performance of hierarchical cellular networks with overlapping cells. // Mobile and wireless systems. / Eds. G. Kotsis, O. Spaniol. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag.-2005.-Pp. 7-19.

56. Janevski T. Traffic analysis and design of wireless IP networks. -Boston, London : Artech House, 2003.

57. Kelly F. P. Reversibility and stochastic networks. Chichester: John Wiley & Sons, 1979.

58. Korhonen J. Introduction to 3G mobile communications. Boston, London : Artech House, 2003.

59. Kurano M.\ Yasuda M.; Nakagami J. Interval methods for uncertain Markov decision processes. // Markov processes and controlled Markov chains / Eds. Z. Hou, J. Filar, A. Chen. Kluwer Academic Publishers. -2002. - Pp. 223-232.

60. Lee W. C. Y. Mobile Cellular Telecommunications Systems. New York: McGraw-Hill, 1990.

61. Lin Y.-B.; Chen W. Impact of busy lines and mobility on cell blocking in a PCS network. // International Journal of Communications Systems. -1996.-№9.-Pp. 35-45.

62. Lin Y.-B.; PangA.-C. Comparing soft and hard handoffs. // IEEE Trans, on Vehicular Technology. 2000. - Vol. 49, № 3. - Pp. 792-798.

63. Mallick M. Mobile and wireless design essentials. Chichester: John Wiley & Sons, 2003.

64. Marie S.; Seskar I. Microcell planning and channel allocation for Manhattan street environments. // Proceedings of the 1st International Conference on Universal Personal Communications (Dallas, TX, USA, 29 September 1 October, 1992).-Pp. 13.04/1-5.

65. Markoulidakis J. G.; Liberopoulos G. L.; Anagnostou M. E. Mobility modeling in third generation mobile telecommunication systems. // IEEE Personal Communications. August, 1997. - Vol. 4, № 4. - Pp. 41-56.

66. Mehrotra A. GSM system engineering. Boston, London: Artech House, 1997.

67. Mukherjee A.; Bandyopadhyay S.; Saha D. Location management and routing in mobile wireless networks. Boston, London : Artech House, 2003.

68. Muller N. J. Wireless A to Z. New York : McGraw-Hill, 2003.

69. Ozawa Т.; Takahashi N.; Takahashi Y. Bounds for call completion probabilities in large-scale mobile communication networks. // Journal of the Operational Research, Society of Japan. 2004. - Vol. 47, № 4. -Pp. 339-358.

70. Ramjee R.; Nagarajan R.; Towsley D. On optimal call admission control in cellular networks. // Wireless Networks Journal. 1997. - Vol. 3, № l.-Pp. 29-41.

71. Takahashi Y. Weak D-Markov chain and its application to a queueing network. // Mathematical computer performance and reliability. / Eds. G. Iazeolla, P. J. Curtois, A. Hordijk. Amsterdam. - 1984. -Pp.153-165.

72. Takahashi Т.; Ozawa Т.; Takahashi Y. Bounds of performance measures in large-scale mobile communication networks. // Performance evaluation. November 2003. - Vol. 54, №. 3. - Pp. 263-283.

73. Zhang V.; Soon B.-H. The effect of handoff dwell time on the mobile network performance. // Wireless Personal Communications. 2004. -Vol.31.-Pp. 221-234.