автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы исследования характеристик нестационарных процессов в системах массового обслуживания

На правах рукописи

БУБНОВ Владимир Петрович

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ

Специальность: 05.13.18-«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 2 НОЯ 2012

Санкт-Петербург 2012

005055598

005055598

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВПО

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Хомоненко Анатолий Дмитриевич

Официальные доктор технических наук, профессор, заведующий

оппоненты: кафедрой «Вычислительная техника» ФГБОУ

ВПО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики» Алиев Тауфик Измаилович

доктор технических наук, профессор кафедры «Организация пожаротушения и проведение аварийно-спасательных работ» ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский университет государственной противопожарной службы МЧС России» Таранцев Александр Алексеевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПОПГУПС

Ходаковский Валентин Аветикович

Ведущая организация: ОАО «Научно-исследовательский институт железнодорожного транспорта» (ВНИИЖТ)

Защита состоится О1&*< 2012 г. в 15-00 час. на заседании диссертационного совета Д218.008.06 на базе ФГБОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу: 190031, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д. 9, ауд. 1-217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Университета.

Автореферат разослан О У 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, профессор

Кудряшов Владимир Александрович

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время аппаратно-программные комплексы (АПК), входящие в контур управления подвижными объектами (ПО) и технологическими процессами, все чаще функционируют в условиях пиковых нагрузок. Это обусловлено с одной стороны возрастанием угроз, вызванных техногенными, природными и человеческими факторами, с другой желанием использовать уже существующие АПК для решения новых более сложных задач. Для определения возможности реализации всех операций, связанных с технологическим циклом управления, на заданном временном интервале применяют математическое моделирование. Математической базой является теория массового обслуживания (ТМО), позволяющая решать разнообразные задачи анализа и синтеза АПК путем определения технико-экономических показателей эффективности функционирования комплексов в целом при известных технических параметрах их элементов и рабочей нагрузке. Широкую известность приобрели фундаментальные работы по теории вычислительных систем и компьютерных сетей, использующие ТМО Клейнрока А., Майорова С. А., Алиева Т. И., Новикова Г. И., Феррари Д., Авена О. И., Когана Я. И., Вишневского В.М. и других авторов. С помощью моделей ТМО рассчитываются вероятностно-временные характеристики функционирования центральных процессоров и узлов коммутации, выполняется расчет потерь данных и загрузки линий связи, анализ буферной памяти и алгоритмов маршрутизации, решения пакета задач, необходимых для выдачи управляющего воздействия и т.п.

Большинство авторов используют модели ТМО в предположении, что очередь заявок бесконечна, существует стационарный режим, а коэффициент загрузки не превышает единицы. Однако наибольший практический и теоретический интерес представляют модели ТМО, учитывающие поведение АПК в контуре управления технологическими процессами и объектами, функционирующих в условиях перегрузок на заданном (директивном) временном интервале. В работах Хинчина А. Я., Такача К., Гне-денко Б. В., Коваленко И. Н„ Прохорова Ю.В., Ежова И. Ч., Рейча положено начало «нестационарной» ТМО. Ряд результатов в исследовании моделей ТМО, параметры которых зависят от состояния системы, получены в работах Арсенишвили Г. Л., Абольникова Л. М. Некоторые характеристики однолинейных систем массового обслуживания с ординарным входящим потоком, интенсивность которого обратно пропорциональна величине очереди, рассмотрены в работах Конолли Б. и Хидиди Н. В дальнейшем появились работы авторов Ляхова А. И., Климова Г. П., Травоженко Б. В., Стрик Я., Greenberg Н., Leese Е„ Leguesdron Р., Neuts М. F., Read R. R„ Syshi R., Головко H. И., Зефмана А. И., посвященные анализу и расчету нестационарных вероятностных характеристик моделей ТМО с посто-

янными интенсивностями входящего потока и обслуживания с бесконечными или конечными накопителями. Анализ результатов полученных в рассматриваемых работах показывает, что точное исследование протекающих в моделях ТМО процессов при поступлении на вход потока заявок с изменяющейся интенсивностью в нестационарном режиме чрезвычайно трудно даже при экспоненциальных законах распределения вероятностей. Недостаточно хорошо изучено поведение нестационарных систем обслуживания (НСО) с более общими предположениями о законах распределения времени между моментами поступления и обслуживания заявок. Любой учет особенностей (пиковые нагрузки, приоритетность, порядок выбора заявок из очереди на обслуживание, доступность каналов, отличие законов распределения временных интервалов от экспоненциального и т.п.), присущих реальным АПК, в математических моделях нестационарных систем массового обслуживания, в свою очередь, усложняет порядок расчета вероятностно-временных характеристик процесса обслуживания заявок. Таким образом, существует противоречие между практической потребностью в решении задач анализа и прогнозирования функционирования реальных АПК в условиях реальной рабочей нагрузки и ограниченными возможностями существующих методов их моделирования.

Указанные обстоятельства определяют актуальность исследуемой в диссертации научной проблемы: Анализа и прогнозирования реализации изменяющейся рабочей нагрузки АПК на заданном временном интервале.

Объект исследования: АПК, имеющие изменяющуюся рабочую нагрузку на заданном временном интервале.

Предмет исследования: математические модели НСО с конечным источником заявок, методы и алгоритмы расчета их вероятностно-временных характеристик.

Цель исследования: разработка теоретических основ, моделей и методов расчета НСО, обеспечивающих повышение точности моделирования АПК с изменяющейся рабочей нагрузкой.

Задачи исследования включают:

• разработка теоретических основ построения моделей НСО с конечным источником заявок, включающие подходы к формализованному описанию, и методов расчета вероятностно-временных характеристик процессов обслуживания;

• разработка моделей рабочей нагрузки, учитывающих неэкспоненци-альность распределений временных интервалов между поступлением и обслуживанием заявок;

• разработка комплекса моделей НСО;

• разработка метода построения закона распределения вероятностей времени нахождения заявки в сети массового обслуживания;

• разработка методик, алгоритмов и комплексов программ по расчету вероятностно-временных характеристик надежности и пропускной способности АПК.

Основным методом исследования является математическое моделирование с использованием теории надежности, теории массового обслуживания, теории графов, математической статистики, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна

1. Разработаны теоретические основы построения и расчета нового класса моделей НСО с конечным источником заявок. В отличие от традиционных моделей ТМО они позволяют моделировать процессы обслуживания при коэффициенте загрузки больше единицы, при общих предположениях о законах распределения временных интервалов между поступлениями и обслуживаниями заявок. Определены принципы построения этих моделей, их графическая интерпретация, расчет вероятностно-временных характеристик, выведены системы дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова.

2. Проведенное в диссертации обобщение аппроксимации произвольной плотности вероятностей плотностью вероятностей фазового типа (распределение гиперэкспоненциальное, неоднородно-эрланговское, Кокса и т.д.) методом моментов, позволило установить формулы их взаимного преобразования, а также диапазоны появления комплексно-сопряженных параметров; точностные параметры аппроксимации.

3. Разработан аналитический метод расчета вероятностей состояний НСО с конечным источником заявок. В основе подхода лежит алгоритм нумерации состояний систем обслуживания, позволяющий свести квадратную матрицу коэффициентов линейной системы однородных дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова к нижнетреугольному виду. В этом случае собственные числа матрицы выписываются в явном виде по диагонали. Нахождение решения в данном случае, в отличие от численного метода, дающего набор точек, представляет собой процедуру, позволяющую определить вероятности состояний системы в любой момент времени.

4. В диссертации приведен метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в разомкнутой сети массового обслуживания, удовлетворяющей условиям локального баланса и имеющей решение в форме произведения. Метод позволяет рассчитать первые к начальных моментов плотности распределения вероятностей времени нахождения заявки между двумя любыми узлами сети. Далее, используя одно из рассмотренных в диссертационной работе распределений фазового типа, с помощью метода моментов

аппроксимировать плотность распределения вероятностей времени пребывания заявки в сети.

Практическая значимость работы

1. Разработанный метод аналитического решения системы дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова НСО значительно сокращает время решения по сравнению с существующими аналитическими интеграторами (например, Wolfram Mathematica или Maplesoft Maple). А также дает возможность вывести решение системы с произвольной степенью детальности.

2. Разработанный комплекс моделей НСО может быть эффективно использован в задачах анализа реализации операций управления АПК, находящихся в контуре управления технологическими процессами и подвижными объектами, расчета показателей их функциональной надежности

3. Нестационарные модели обслуживания и методы их расчета применимы для повышения точности расчета показателей надежности программных средств (ПС), для сокращения времени испытаний ПС на основе выбора стратегии отладки и улучшения их испытаний.

4. Метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в сети массового обслуживания может быть использован для иерархического моделирования сложных систем, а также при планировании испытаний многомодульных ПС с учетом их характеристик надежности и информации о сложности и структуре ПС.

5. Разработанные на базе комплекса моделей НСО методики оценки функциональной безопасности применимы для оценки и обоснования достаточности резервирования средств железнодорожной автоматики, а также позволяют рассчитать стратегию замены плат микроконтроллеров.

6. Разработанные в диссертационной работе модели и методы расчета вероятностно-временных характеристик доведены до инженерных методик и реализованы в виде программных комплексов.

Достоверность и обоснованность результатов диссертации подтверждается строгими математическими выкладками, а также численными и имитационными тестами. Работоспособность и эффективность предложенных методов подтверждается имитационным моделированием и применением методов численного решения систем дифференциальных уравнений с использованием существующих интеграторов. Результаты по оценке пропускной способности, полученные на основе разработанных моделей и методов, подтверждались натурными испытаниями.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретические основы построения моделей НСО с конечным источником заявок, включающие подходы к формализованному описанию (графическое представление, системы дифференциальных уравнений, правила перехода), численные и аналитические методы расчета вероятностей состояний.

2. Комплекс моделей НСО с распределениями фазового типа и конечным источником заявок.

3. Метод расчета вероятностно-временных характеристик сетей массового обслуживания, удовлетворяющих условию локального баланса.

4. Комплексы программ по расчету характеристик надежности и пропускной способности АПК.

Внедрение результатов исследования. Теоретические положения и практические рекомендации диссертации были внедрены и использованы:

• в проводимых ФГБ УН Санкт-Петербургским институтом информатики и автоматизации российской академии наук фундаментальных научных исследованиях ОНИТ РАН "Комплексное моделирование, многокритериальное оценивание и анализ рисков при выработке управляющих решений в катастрофоустойчивой информационной системе";

• в организациях МО (войсковые части 32103, 14108, 08317) при подготовке и проведении испытаний существующих аппаратно-программных комплексов, в предложениях по повышению их пропускной способности и в технических предложениях по построению перспективных аппаратно-программных комплексов;

• в предприятиях промышленности и проектных институтах ЦНИИ машиностроения, ОАО «ВЭлНИИ» при оценке и обосновании принятия проектных решений по устойчивому функционированию аппаратно-программных комплексов;

• в ФГБОУ ВПО ПГУПС используются в учебной дисциплине «Управление качеством при разработке программного обеспечения на основе современных стандартов и моделей», а также при издании учебных пособий.

Практическое использование результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами о внедрении, представленными в приложении к диссертации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 100 научных работ. Основные научные результаты представлены в 85 публикациях, в число которых входят: 1 монография, 16 статей в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендуемых ВАК; 29 изобретений, 2 патента, 1 свидетельство на программы для ЭВМ, 14 работ в

материалах международных, всероссийских и ведомственных научно-технических конференций, 22 в других изданиях.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и были одобрены на: IV Всесоюзном симпозиуме «Модульные ИБС», Иркутск, 1983; НТС в/ч 08317 в 1985, 1988, 1989 годах; НТК в/ч 32103 в 1985, 1987, 1988, 1989 годах; НТК «Научно-технические проблемы развития и совершенствования сложных комплексов» ВИКИ, Ленинград, 1988; Всесоюзном совещании по проблемам диалоговых ИВС, Иркутск, 1986; Всесоюзном совещании «Распределенные автоматизированные СМО», 1986; 2 Всесоюзной НТК «Живучесть реконфигурации ИВС и управляющих систем», 1988; Всероссийской научно-методической конференции «Информационно-измерительная техника, экология и мониторинг», Москва, 2001; Международной научно-практической конференции «Инфотранс-2008», «Инфот-ранс-2009», Санкт-Петербург, ФГОУ ВПО ПГУПС, 2008, 2009; Юбилейной научно-технической конференции «Инновации на железнодорожном транспорте-2009», Санкт-Петербург, 2009; Международной конференции «Наука, транспорт XXI века», Варшава, 2010; Международной научно-методической конференции «Проблемы математической и естественнонаучной подготовки в инженерном образовании: исторический опыт, современные вызовы», Санкт-Петербург, 2010; Тридцать четвертой и Тридцать пятой ежегодной конференциях «IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC)» (Сеул, Корея, 2010 и Мюнхен, Германия, 2011).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 196 наименований, всего 203 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении показана актуальность проблемы, обоснованы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность исследования, приведены сведения об апробации работы и публикациях, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе выполняется обзор методов исследования нестационарных систем обслуживания и расчета их вероятностно-временных характеристик, используемых в теории и инженерной практике проектирования современных АПК для решения задач системного уровня. Вводятся необходимые понятия и обсуждаются достоинства применения моделей нестационарных систем обслуживания для расчета пропускной способности вычислительных систем и сетей, находящихся в контуре управления технологическими процессами и подвижными объектами, их функциональной надежности, а также оценки надежности программных средств.

Уточняется цель, и определяются задачи диссертационного исследования, направленного на разработку моделей нестационарных систем обслуживания, учитывающих переменность рабочей нагрузки, многоканальность, немарковость рабочей нагрузки, доступность каналов обслуживания и т.д. Ставится задача разработки численного и аналитического методов расчета комплекса моделей НСО.

Во второй главе рассматриваются теоретические основы построения моделей НСО с конечным источником заявок. Под НСО понимается система обслуживания с переменными во времени вероятностями состояний, каждое из которых описывается минимум двумя переменными: число заявок, находящихся в системе (число отказов), и число заявок, получивших обслуживание (число восстановлений).

На вход одноканальной системы обслуживания последовательно поступает N заявок на обслуживание. Распределения длительности интервалов между моментами поступления и обслуживания заявок описываются экспоненциальными законами с интенсивностями, зависящими от номера заявки .....и {ци(12, соответственно. Такая система пред-

ставляется цепью Маркова с дискретным множеством состоянии и непрерывным временем. Состояние системы в каждый момент времени характеризуется парой (¿,У), где I - число поступивших, но еще не обслуженных заявок (1 = МО, а / - число уже обслуженных заявок (у = О, N — V). Переход из состояния (¿,7) в состояние 0 + 1,]) означает, что в систему поступила (г +;' + 1) заявка. Переход из состояния (¿,;) в состояние (£ - 1,/ + 1) означает, что была обслужена (у + 1)"я заявка. Общее число состояний Лс вычисляется по формуле: = (ЛГ + 1)(ЛГ + 2)/2. На рис.1 приведен граф переходов и состояний.

По приведенному на рис. 1 графу может быть составлена система из Л/с линейных однородных дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова с постоянными коэффициентами:

= Я(0(Р;-г,а)А;+/ - РиСОщ+1) + (1)

+Н(/')Рг+ и-гСО^ - Н(Ы - I -УЖ.ДО^+г,

где НОО = ^ткк О, ФУНВДИЯ ХеШСаЙДО-

В качестве начальных условий выбирают обычно нахождение в состоянии (0,0), то есть Ри(0) = 1-Н(( + ])■ Для каждого момента времени t должно соблюдаться условие нормировки вида р1,] (О =

2 | N-3 № Ы-1 N

Рисунок 1 -Граф переходов и состояний М(£)/М(/)/М Вероятность нахождения в НСО ровно г заявок в каждый момент времени Рг(£) = Цу^Ру (1). Значение вероятности обслуживания ровно у заявок = ' С0> а значение вероятности обслуживания не менее д заявок может быть определено из выражения Рц (I) = Ру(£).

Марковский процесс, описывающий поведение НСО, имеет конечное число состояний. Есть начальное состояние и есть конечное (поглощающее) состояние. Все состояния невозвратные. Процесс однородный, не эр-годический, для него не существует стационарного режима. Граф состояний и переходов для всех НСО ориентированный, плоский. Все пути простые и элементарные. Граф конечный, без петель. Граф не имеет контуров. Существуют правила для любой НСО - невозможны переходы:

• из состояния (г,у) в состояние (г — к,;), к = 1, /V;

• из состояния (г,у) в состояние (г, / — к),к = 1, ¿V;

• из состояния ((,/) в состояние (к,)), если к > I + 1;

• из состояния ((,)) в состояние (г, к), если /с > / + 1.

Введена система обозначения моделей НСО Gk{i)/Gk(j}/N/1/Р, где б определяет закон распределения вероятностей временных интервалов между поступлениями заявок. В диссертационной работе рассматриваются модели: М-экспоненциальный, Е-Эрланга, Я-гиперэкспоненциапьный, С -Кокса; 7-трасса поступления заявок в определенные моменты времени; к -число этапов в рассматриваемых Е, Н, С распределениях. Обозначения: (О интенсивность поступления, зависит от номера заявки; (/) интенсивность обслуживания зависит, от номера заявки; Л/'-число заявок в источнике; ¿-число каналов обслуживания; Р может характеризовать приоритетность; /кр-число заявок в очереди, после которых подключается резервный канал обслуживания или начинается обслуживание; га-время начала обслуживания; ^-время окончания обслуживания; /-доступность каналов обслуживания; Д-емкость накопителя очереди.

В этой главе также рассмотрены модели одноканальные НСО:

• НСО с потерями (число мест в очереди меньше общего числа заявок) А/(г,Л)/(М/А0;

• НСО с двумя пакетами заявок Мф/Мф (!\'х );

• НСО с пороговым включением обслуживающего канала М(1,1кр)/КШ\

• НСО с включением и выключением канала обслуживания в определенные моменты времени А/(7, ^/М^дЩ

Модели многоканальных НСО представленные в виде:

• /-канальной НСО с переменной интенсивностью поступления заявок М(1)/МШ/1\

• двухканапьной НСО с подключением и отключением резервного канала обслуживания М(1)/М/№2(Ткр);

• двухканальной НСО с интенсивностью обслуживания заявок, зависящей от номера заявки и номера канала обслуживания

М(О/т0,1 )/Ы/2.

• двухканальной НСО с учетом доступности каналов для различных заявок, а также с отказами и восстановлениями каналов М(О/т0, I,у,ц*)/Ш2.

Особый интерес представляет организация работы с подключением второго канала обслуживания для сглаживания пиковых перегрузок. В этом случае, когда очередь заявок на обслуживание превышает некоторое число /кр, включается резервный канал с той же производительностью, что и основной. Резервный канал отключается при числе заявок меньшем или равном /кр. На рис. 2 показана зависимость вероятности обслуживания 20

заявок Р в случае двухканальной системы (кривая 1), только одноканаль-ной системы (кривая 5) и при различных значениях /кр = 2; 4; 10 (кривые 2, 3, 4 соответственно).

а ж ж ш т ш {щ Рисунок 2 - Зависимость вероятности обслуживания заявок от времени

С помощью данной модели можно, наложив ограничения на стоимость работы второго канала и вероятность обслуживания всех заявок к заданному директивному времени, решить задачу определения /кр, при котором целесообразно подключать резервный канал обслуживания. В модели двухканальной НСО с интенсивностью обслуживания заявок, зависящей от номера заявки и номера канала обслуживания, интенсивность обслуживания задается матрицей размерностью N х 2, каждый элемент которой представляет интенсивность обслуживания заявки с номером I на канале с номером 5, где 5 — 1,2. В этом случае, состояние НСО в каждый момент будет характеризоваться тройкой [г,], /), где I - вектор-строка из двух элементов, принимающих значения 0 или 1 в случае, если канал свободен или занят.

Для двухканальной модели НСО с отказами и восстановлениями каналов обслуживания и с учетом доступности каналов для различных заявок вводится булева матрица доступности каналов размерностью N х 2, каждый элемент ср^ — 0,1 которой равен 1, если 1-й заявке доступен 5-ый канал, 0 в противоположном случае. Компоненты вектора I здесь представ-0, канал свободен; ) ], канал занят обслуживанием ) — й заявки; N + 1, канал неисправен.

Для учета произвольного закона распределения временных интервалов в моделях НСО в диссертационной работе проведено обобщение метода аппроксимации произвольной плотности распределения вероятностей, плотностью вида

ляют —

к

i=i

где f{t) - произвольная плотность распределения вероятностей; 01 - некоторая константа;

^ - параметр экспоненциальной плотности распределения вероятностей; к - число аппроксимирующих экспоненциальных плотностей.

Известно, что плотности многих распределений, исключая некоторые (в частности, логарифмическое нормальное распределение), при определенных, обычно выполняемых условиях однозначно определяются своими начальными моментами. Потребовав равенства первых N начальных моментов плотности /(О и аппроксимирующей плотности, получим систему нелинейных алгебраических уравнений для определения неизвестных 61 И ¡11-

где v. -j-ът начальный момент аппроксимируемой плотности распределения /(t).

Если 0; положительные числа, удовлетворяющие условиям 0 < 0t < 1> = 1, то в правой части (2) плотность гиперэкспоненциального

распределения, графическая интерпретация которого представлена на рис. 3 а. Коэффициент вариации такого распределения Т] > 1. Частный случай, когда jU; равны между собой, а = р экспоненциальное распределение

77 = 1. _

Если 0! = Ftf-i-^; 1Л = 1, к; Hi* Hi, то правая часть (2)

, , ,

представляет неоднородно-эрланговское распределение порядка К (рис. i б). Коэффициент вариации такого распределения < rj < 1. В этом случае могут принимать отрицательное значение, однако условие Xf=i 0; = 1 должно сохраняться. Положив 0; = Td=iaia2 ■■■ п *

цп Ф fa-, ai + bi = 1; i * I, получим плотность распределения Кокса или гиперэрланговское распределение, как его иногда называют^ литературе (рис. 3 в). Коэффициент вариации такого распределения rj > .

Кокс показал, что параметры аппроксимирующего распределения могут быть комплексными, тогда чисто формально, можно исследовать процесс как марковский и составить уравнения Чепмена-Колмогорова обычным путем. В этом случае, несмотря на то, что значения вероятности,

(3)

связанные с фиктивными фазами, могут быть комплексными, все же вероятности, связанные с реальными состояниями исследуемой системы, будут вещественными.

Рисунок 3 - Графическая интерпретация аппроксимирующих распределений

Задача аппроксимации произвольной плотности распределения вероятностей гиперэкспоненциальной плотностью с комплексно-сопряженными параметрами, используя метод моментов, решена Смаги-ным В. А., Филимонихиным Г. В., Рыжиковым Ю. И. Для неоднородно-эрланговского распределения и распределения Кокса комплексно-сопряженные параметры были предложены автором диссертации совместно с Хомоненко А. Д. Использование комплексно-сопряженных параметров позволяет аппроксимировать выше перечисленными распределениями произвольные плотности с коэффициентами вариации, находящимися в диапазоне 0 < г] < со.

Приведены формулы расчета параметров аппроксимирующих распределений для случая к = 2. Приводятся формулы тождественного преобразования параметров гиперэкспоненциального распределения, неодно-родно-эрланговского и распределения Кокса. Исследуются области существования вещественных параметров фазовых распределений. Приведен порядок расчета параметров аппроксимирующего распределения в случае к > 2. Обсуждаются вопросы точности аппроксимации.

В качестве иллюстрации применения метода аппроксимации произвольной плотности вероятностей временных интервалов поступления и обслуживания заявок приведены модели НСО с эрланговским законом поступления и экспоненциальным законом обслуживания заявок Ек(1)/Мф/Ы, а также модель с экспоненциальным распределением временных интервалов между поступлениями заявок и эрланговским законом распределения временных интервалов обслуживания заявок Мф/Ек(]).Ш.

Используемые для решения соответствующей задачи Коши численные методы, при увеличении размерности системы, влекут за собой многократный рост вычислительных затрат и в силу большого числа действий, совершаемых на каждом шаге решения, и в силу роста погрешностей, которые приводят к необходимости увеличения общего числа шагов на заданном интервале. Для устранения данного недостатка был разработан метод решения системы дифференциальных уравнений Чепмена-Колмагорова, учитывающий особенности рассматриваемых НСО.

На примере НСО типа М(Г)/М(/)/М приводится доказательство сводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений НСО к виду, позволяющему получить решение в аналитическом виде. Любая из рассматриваемых выше моделей НСО описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, представленной в матричном виде

где *(£) - вектор неизвестных функций размерности ЛГС, а А- квадратная матрица. От того, каким образом функции сопоставляются

элементам вектора зависит и вид матрицы. Для указанной системы

существует явное аналитическое решение, если только известны собственные числа матрицы А. В случае треугольного вида матрицы А (для определенности будем считать ее нижнетреугольной) ее собственные числа выписаны в явном виде по диагонали. Переписав систему (4), учитывая треугольность матрицы А:

= Я^ЛМ + аМс 2Х2 (О + ••• + аКсГ1хЫс (О.

где а _ интенсивность перехода из состояния с номером ] в состояние с

*(0 = Лх(£),

(4)

з^ОО = ац^О;); х2(£) = а21*1 (0 + а22х2(0;

(5)

номером ( (в векторе лг ). Решение системы (5) разбивается на последовательное решение скалярных уравнений, первое из которых будет однородным, а все последующие будут включать в себя решения предыдущих уравнений в качестве неоднородности. Это позволяет сформулировать следующий алгоритм нахождения решения. Решением первого уравнения системы (5) является лгх(с) = л:1(0)еа11С, ему соответствует фундаментальное решение = е"1^. Предполагая, что решения первых £ — 1 уравнений найдены в форме = / = 1, £ — 1, причем Ху(0 = где - кратность собственного

числа а.]] в системе первых ) уравнений. Тогда, после подстановки найденного решения в /-ое уравнение системы (5), последнее можно записать в виде

¿¡(О = анх£(0 + ЪцХ] (0, (6)

решение которого имеет вид = Е}^^/*)00> ¿¡^СО = £<3'~1еп"'.

Коэффициенты кц находятся явно через коэффициенты ранее полученных решений, коэффициенты уравнения (6) и начальное условие £¿(0) на искомую функцию.

Такой алгоритм получения решения (5) требует на каждом шаге 0(£2) арифметических операций и не более £ сравнений. Общая сложность оценивается как 0(Л7С3). Для вычисления решения в произвольной точке потребуется рассчитать вектор фундаментальных решений — не более чем Ыс компонент - и умножить его на треугольную матрицу коэффициентов. Нахождение решения в данном случае, в отличие от численного метода, дающего конечный набор точек, представляет собой построение процедуры, позволяющей определить вероятности состояний НСО в произвольный момент времени. Это, во-первых, дает возможность вывести решение системы с произвольной степенью детальности. Во-вторых, скорость нахождения решения в любой, сколь угодно удаленный момент времени одинакова и не требует расчета многих предыдущих временных состояний, как это потребовалось бы численному методу, имеющему к тому же и методическую погрешность, оценка которой дополнительно увеличивает сложность решения. Нумерация состояний проводится сопоставлением состоянию (г,у') НСО компоненты хк(Х) вектора х(0. На рис. 1 хорошо видно, что все состояния с некоторым фиксированным номером по ) или меньшими предшествуют состояниям с большими номерами. При этом, в группе состояний с одинаковым числом У предшествуют те, у которых меньше число £. Значит, если пронумеровать состояния по возрастанию числа обслуженных заявок, а внутри этих групп по возрастанию числа поступивших заявок:

а, /) (0,0) (1.0) №0) (ОД) (М- 1.1) Г0,ю

к 1 2 N + 1 N + 2 2М + 1 (Л + 1)(ЛГ + 2)/2

то ни одно из состояний полученного списка не будет иметь зависимости от последующих. На графе это будет выглядеть как нумерация сверху вниз со сдвигом столбца направо. Соответственно, полученная матрица А системы (1) будет нижнетреугольной. Возможен другой вариант, который на графе будет иметь вид нумерации слева направо по диагональным соединениям со сдвигом диагонали вниз, а также некоторые другие способы нумерации состояний, приводящие к нижнетреугольной матрице. Такой алгоритм нумерации состояний применим ко всем приведенным в диссертационной работе моделям НСО. Приводятся также результаты сравнения разработанного метода расчета вероятностей состояний НСО с известными численными методами по точности и времени решения.

Третья глава посвящена разработке комплекса моделей НСО. Это модели Ь2

С2от М(£)/Н20)/М, Я2(О/ЯгС/У^, С2{1)/С20УЫ. Особенностью данных моделей является введение дополнительных параметров, характеризующих состояние НСО в каждый момент времени, номеров этапа аппроксимирующих распределений Н2, С2, Ег. Наибольшей общностью обладает модель с двухэтапным коксовским поступлением и двухэтапным коксовским

обслуживаем заявок С2(1)/С20)/Ы. Граф переходов и состояний для такой системы представлен на рис. 4.

Состояние (£,к,1.П системы С2{1~)/С2Ц)/N в каждый момент времени характеризуется количеством поступивших (еще не обслуженных) заявок £ (£ = (Щ), обслуженных заявок ; (/ = О, /V - £), этапом к (к -О,Я(Л? - £ - Я) и 1 0 = 0,Я(0) распределения Кокса длины интервалов времени между моментами поступления и обслуживания заявок. Поведение такой системы описывается однородной системой дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова с постоянными коэффициентами:

= _н(1 _ кШЫ _ £-№,к.иЮ ¿¡+7+1 -

М

+Н( 1 - ЮЯ(0(Р«д,и(ОЯ'г+у + Р;-1,сиД0(1 - Р;+;)Я;+7) ~

-НСОНС1 - о- я+

+н( 1 - ОНО) (Р;+1Ж1,у-1(с)Р / + - г>у) +

+Н(1)Рикл]Юг)+111]+1,

где Я;, Я'ь рь р\ - параметры распределения Кокса временного интервала между поступлением I — 1 и £ заявок;

15

М/, №], Г), г ¡ - параметры распределения Кокса временного интервала обслуживания ] — ой заявки;

нгт\ _ [1, если 771 > 0;

1о, если т < 0.

Для каждого момента времени С должно соблюдаться условие нормировки вида £"=1 Ж (0 = 1.

Задав начальные условия к системе в виде

р гпч _ (0, если £ +] + к 4- I Ф 0;

- Ц, всте £ + ; + к + / = о,

можно найти численное решение соответствующей задачи Коши для произвольного значения

Рисунок 4 - Граф переходов и состояний С2(0/С2 (/)/Л?

Здесь же приводятся модели НСО для случая детерминированного (трассировочного) поступления заявок T(i)/M(i)/N.

Рассматриваются модели НСО, применяемые для расчета пропускной способности АПК, учитывающие приоритетность заявок разного типа. Рассматривается ¿-канальная НСО с относительными приоритетами. М — количество типов заявок, причем тип заявки определяет относительный приоритет: у 1-го типа ниже, чем у (I + 1)-го типа (£ = 1 ,М); КТг - количество заявок /-го типа, поступающих в НСО за интервал моделирования; - элемент матрицы интенсивности поступления заявки -го типа с номером ]' (/ = 1, АТТУ); ¡1ц - элемент матрицы интенсивности обслуживания каналом с номером у заявки 1-го типа (( = 1, М, ) — 1, Ь); (рц - элемент матрицы доступности каналов (£ = 1, М, ] = 1, /,), (рц = 1 - заявке типа I доступен канал с номером /, (рц = 0 в противном случае; п = {п;} (/ = 1 ,М) - вектор, определяющий количество заявок каждого типа, находящихся в НСО; т = {тг} (/ = 1, М) - вектор, определяющий количество заявок каждого типа, уже получивших обслуживание и покинувших НСО; I = {¿у} (/ = 1, ¿) - вектор состояний каналов обслуживания, /у = 0 - у'-ый канал свободен, I] = г, ;-ый канал обслуживает заявку типа КС - общее количество состояний, в которых может находиться НСО. Состояние НСО определяется упорядоченной тройкой векторов (п, т, I). В этом случае нумерация состояний осуществляется для построения нижнетреугольной матрицы коэффициентов системы обыкновенных дифференциальных уравнений по алгоритму, описанному в предыдущей главе.

Для исследования различных алгоритмов распределения заявок между каналами обслуживания модель НСО дополнена понятием очереди к каналу обслуживания: dqi - длина очереди к /-му каналу (£ = 1,//), Ь — число каналов обслуживания, qi = {<?;;},) = 1, - вектор очереди к (-му каналу обслуживания, при этом /-ая компонента /'-го вектора равна номеру типа заявки, стоящей в очереди к -му каналу обслуживания на /-ом месте. Эти величины в совокупности составляют вектор длин очередей сМ} и матрицу очередей Кроме того, для возможности гибкого распределения заявок между каналами обслуживания было введено понятие алгоритма выбора канала обслуживания а, на основании которого каждая заявка, поступающая в НСО, выбирает для себя канал из числа доступных для нее.

В модели также предусмотрено: изменение следования заявок на обслуживание во входном потоке; введение шкалы относительных приоритетов, которая определяется в виде вектора рг = {ръ}^^, 1-ая компонента которого определяет приоритет заявок 1-го типа. Состояние НСО характеризуется следующим набором векторов (п,тп,1,(1(2,(2): п - вектор поступивших заявок каждого типа; т - вектор обслуженных заявок; I — вектор занятости каналов.

Следующая модель НСО, рассмотренная в данной главе, является сетевой, учитывающей технологию управления подвижным объектом. Из описания НСО удалены векторы определяющие интенсивности поступления заявок 1-го типа. В модель введено понятие технологической матрицы Т, имеющей размерность (2М + Р) х 5, где М - количество типов заявок, - количество подвижных объектов, 5 — количество строк технологической матрицы. Первые М элементов матрицы Т определяют количество заявок каждого типа, которые необходимо выполнить для того, чтобы иметь возможность поставить на обслуживание заявки, определенные следующими М элементами строки. То есть первые М элементов определяют условия запуска на обслуживание заявок, определенных следующими М элементами строки технологической матрицы. Последующие ^ элементов необходимы для определения завершения технологии управления того или иного подвижного объекта. Количество строк 5 матрицы Т определяется количеством технологических завязок между операциями управления в технологическом цикле управления всех подвижных объектов. Алгоритм работы с матрицей Т в процессе функционирования модели следующий: после обслуживания очередной заявки, новое значение вектора т сравнивается с первыми М элементами всех строк технологической матрицы, пока не происходит совпадение. После чего значения второй группы из М элементов выбранной строки прибавляются к соответствующим компонентам вектора п, затем для вновь появившихся в НСО заявок запускается алгоритм выбора канала обслуживания. Состояние системы характеризуется тем же набором векторов и матриц, как и в предыдущей модели. В той же главе приводится трассировочная модель НСО. В этой модели НСО введено понятие вектора трассы поступления заявок на обслуживание — Тй, имеющего размерность ИТ — общее число интервальных и реперных операций управления, выполняемых за временной интервал моделирования. Каждая компонента вектора ТЯ состоит из двух величин:

1. £-£ (£ = 1, ИТ) — время появления заявки с номером I в НСО;

2. £:ф; - тип заявки с номером ¿, Ь1р1 е [1, М].

Таким образом, технологическая матрица Т и вектор трассы поступления заявок на обслуживание полностью определяют рабочую нагрузку с учетом временной и технологической взаимосвязи операций управления. Для учета выведения из строя отдельных каналов обслуживания модель дополняется трассой заявок нулевого типа, которые прерывают, при своем попадании в канал, процесс обслуживания и занимают канал на все необходимое время. Состояние НСО определяется значениями {п, т, г, I, сМ}, где г = ~ вект°Р учета потерянных заявок. Для расчета такой мо-

дели весь интервал времени моделирования разбивается на участки, начало каждого из которых характеризуется одним из детерминированных собы-

тий: приход заявки из трассы TR; приход заявки нулевого типа TR0; восстановление канала. Все эти события располагаются на временной оси в порядке возрастания времени их наступления. Происходит расчет параметров модели НСО по участкам, но при этом от участка к участку меняются начальные условия.

В этой же главе приводится модификация аналитического метода расчета системы дифференциальных уравнений для каждой из рассмотренных моделей НСО.

Рассматривается модель функционирования вычислительной системы, построенной на базе микропроцессоров с многоканальным резервированием. Модель не ограничена предположением об экспоненциальности распределений и используется для моделирования процесса отказов и перехода на резервные микропроцессоры, находящиеся в холодном резерве, с произвольным законом распределения временных интервалов. Аппроксимация неоднородно-эрланговским распределением производится по первым двум начальным моментам, полученным из статистики с интенсивно-стями A,-, Tj распределения времени до отказа /-го микропроцессора и ин-тенсивностями /г,-, распределения времени перехода на резервный ;' + 1 микропроцессор. Состояние системы в каждый момент времени характеризуется вектором (j, к, I), где j - номер микропроцессора, находящегося в рабочем состоянии; к - номер этапа неоднородно-эрланговского распределения времени до отказа; I - номер этапа неоднородно-эрланговского распределения времени перехода на резервный микропроцессор. Общее уравнение системы однородных дифференциальных уравнений, описывающей данный процесс, имеет вид:

dPif(t) = НС 1 - k){H(J - l)TjPj-^(t) - Щ. О, o(t)} +

at _

+H(k)H(2 - k){AjPjA0(t) - XjPjXQ(t)} +

+H(k - 1)H(1 - 0{Д/Руд.о(О ~ +

+H(l)H(N -

где/ = 1 ,N,k = 0,2,1 = ОД, H{m) = {0>есшт < 0.

В этой же главе обсуждаются границы применимости данной модели и влияние коэффициента вариации исходных распределений на точность полученных результатов. Представленная модель позволяет рассчитывать временные интервалы для смены блоков или кассет средств железнодорожной автоматики, не нагружая их лишним резервированием.

Логическая схема использования моделей НСО и методов их расчета для оценки функциональной безопасности средств железнодорожной автоматики (СЖА) на этапе проектирования: модели - одноканальные и многоканальные с использованием фазовой аппроксимации; методическое обеспечение - комплекс программ для расчета показателей функциональной безопасности СЖА; метод расчета — численный.

Разработанный комплекс моделей НСО представлен на рис. 5.

НСО

Одноканальные Многоканальные Специальные

мцумфт Ш/ЩМ®

М(:)/Н,у}/ N

ЪЮ/ЪФ/Я СгШСгОУ№

Рисунок 5 - Комплекс моделей НСО

Четвертая глава. Метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в разомкнутой сети массового обслуживания.

Сеть массового обслуживания, состоящая из I узлов, представляется в виде ориентированного графа: нулевая вершина (исток) - идентифицирует источник заявок; вершины 1,2,..., I - узлы сети; (1 + 1) вершина выход (сток) сети. Переходы между узлами определены матрицей вероятностей передач сети Ру со стационарным режимом работы. Известны законы распределения времени пребывания заявок в каждом узле сети. Сеть массового обслуживания удовлетворяет условиям локального баланса и имеет решение в форме произведения. Задача состоит в определении закона распределения времени пребывания заявки в сети или между £-м и /-м узлами данной сети, £ = О, Ь + 1;= 0, Ь + 1; £ Алгоритм решения задачи основан на предположении о вероятностной независимости времени пребы-

моум/м/ь

М(0/М/А'/20Х?!

ма}/мц,г,/.*!/2

мщ/миЛ>7р(1/уя?г

сетевая

'¡».•«Н0.10; ячесра!!! трассировочна«

вания заявки в £-м узле от времени пребывания в узле _/. Это предположение вытекает из условия локального баланса и стационарного режима функционирования сети.

Введем в рассмотрение матрицу:

Р Р Р

1 0,0 * ОД

Я*) =

РиУ:М) Л.2 УМ

Каждый элемент матрицы РууКЮ есть произведение преобразования Лапласа-Стильтеса (ПЛС) плотности распределения времени пребывания заявки в У-м узле сети на вероятность перехода после обслуживания в -м узле в узел ]. Время пребывания в 0 и 1 + 1 узлах считается равным нулю, значит, у0 (х) = У/,+1(5) = 1. ПЛС плотности распределения времени пребывания заявки между ( и ) узлами сети будет равно элементу (£,У) матрицы вида:

П*) = I + уО) + у200 + ••• = /(/ - УОО)-1, где I — единичная матрица.

В соответствии с правилом вычисления обратной матрицы элемент (£,_/) равен v¡J(s) = А}1{8)/0(5), где Л;д(5) - алгебраическое дополнение элемента (£,;') матрицы а £($) - определитель матрицы 7(5), тогда ПЛС плотности распределения времени нахождения заявки в сети соответственно равно уох+1(5) = Л/.+1,о(5)/0(5). Если время пребывания заявки в каждом узле сети задано своими начальными моментами, то учитывая связь между к-м начальным моментом и к-й производной ПЛС в точке

5 = 0, подставляя вместо

£ = 0, £ + 1, значение -го момента

<1з* |х=0'

распределения времени нахождения заявки в £-м узле сети, а вместо единицу, получается к-п начальный момент распределения вре-

<¡3 15=0

мени нахождения заявки между £-м и У-м узлами сети. По вычисленным начальным моментам, используя рассмотренный во второй главе аппрок-симационный метод, определяется плотность распределения времени пребывания заявки между £-м и У-м узлами сети массового обслуживания.

Пятая глава посвящена применению разработанных моделей к оцениванию характеристик надежности программных средств (ПС) и планированию их испытаний. Вопросам разработки и применения моделей надежности ПС посвящено большое количество исследований отечествен-

ных и зарубежных авторов. К сожалению, они обладают рядом недостатков, ограничивающих их использование. Модели не обладают общностью (для описания временных характеристик отладки используются конкретные виды распределений, как правило, экспоненциальное), описывают процесс обнаружения, но не устранения программных ошибок, что делает невозможным их применение для планирования испытаний. Они не предназначены для выбора стратегий испытаний и распределения ресурсов тестирования между модулями ПС. Для устранения перечисленных недостатков разработаны модели надежности ПС, применимые для обоснования стратегий испытаний с целью сокращения сроков и стоимости разработки.

В основе определения последовательности взаимодействия команд разработчиков и тестеров лежат три базовых стратегии. Первая стратегия характеризуется тем, что тестирование продолжается, пока не будет обнаружена первая ошибка. После ее исправления вновь начинается тестирование. Вторая стратегия характеризуется тем, что тестирование продолжается, пока не будут обнаружены все ошибки. Затем обнаруженные ошибки исправляются. Третья стратегия характеризуется тем, что тестирование продолжается, пока не будут обнаружены к ошибок (1 < к < /V). После обнаружения к ошибок тестирование приостанавливается, найденные ошибки исправляются. Затем тестирование продолжается. Для каждой стратегии предлагаются соответствующие системы дифференциальных уравнений и формулы для определения показателей надежности ПС. Приведен расчетный пример. В зависимости от фактической организации взаимодействия команд разработчиков и тестеров могут использоваться более сложные стратегии испытаний, являющиеся комбинацией описанных базовых.

В работе предложен метод планирования испытаний, который является модификацией модели Чунга-Смагина с целью сокращения времени испытаний за счет учета влияния на надежность ПС дополнительного фактора - времени функционирования каждого отдельного модуля. В основе метода планирования лежит алгоритм расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в сетевой модели массового обслуживания, описанный в четвертой главе.

На основе нестационарных моделей разработан комплекс программ расчета надежности и планирования испытаний ПС. Программы написаны на языке МаЙаЪ и позволяют рассчитывать основные показатели надежности модулей ПС: среднее число неисправленных ошибок, вероятность отсутствия ошибок, вероятность того, что не исправлено к ошибок, вероятность безотказной работы.

Входными данными для расчета надежности являются: общее число ошибок, начальные моменты распределений длин временных интервалов

обнаружения и исправления ошибок (в зависимости от используемой модели задаются от одного до трех начальных моментов), среднее время функционирования модулей и граф переходов между компонентами ПС. Используя рассчитанные показатели надежности и данные о структуре ПС, выполняется оценка надежности отдельных модулей и всего ПС, обоснование стратегий и планирование испытаний многомодульных ПС.

В комплексе программ реализованы следующие модели надежности ПС: М(0/М0')/М, Я2(1)/М(/)/Л, М(Я/Е2(Я/Ы, Е2{1)/Е2Ц)/И, С2(О/ С2(у)/дг. Для всех моделей реализованы расчеты показателей надежности при использовании различных стратегий испытаний: как описанных в восьмой главе, так и более сложных.

Программы содержат следующие основные функции:

• ErlangApproximation, СохАрргохнпаПоп, Н2Арргох!таИоп - функции расчета параметров аппроксимации двухэтапным распределением Эрланга (неоднородным), Кокса, гиперэкспоненциальным распределением соответственно. Параметры: первые два (три) начальных момента исходного распределения.

• 81а1е(3иатку - функция расчета числа состояний модели. Параметр: общее число ошибок.

• Р1пс1ех - функция расчета порядкового номера (индекса) состояния модели. Параметры: вектор, описывающий состояние системы (число обнаруженных, но не исправленных ошибок, число исправленных ошибок, фаза обнаружения и исправления ошибок).

• Р1пс1ех2у - функция выполняет обратное преобразование. Параметр: индекс состояния.

• ЭеБМО - функция составления системы дифференциальных уравнений. Параметры: векторы интенсивностей обнаружения и исправления ошибок, матрица состояний (содержит индексы состояний, для которых производится расчет, это необходимо для моделирования различных стратегий испытаний), время моделирования, вектор вероятностей состояний системы в текущий момент времени.

• виттР - функция расчета вероятностных характеристик процесса испытаний и показателей надежности (функции распределения времени исправления заданного числа ошибок, вероятности обнаружения и исправления заданного числа ошибок, среднее число обнаруженных и исправленных ошибок). Параметры: вектор вероятностей пребывания в различных состояниях системы в различные моменты времени моделирования.

• Са1сиЫе8(а1ез - функция решения системы дифференциальных уравнений (вызов функций ос1е45 и БеБМО) и расчета показателей надежности (вызов функции БиттР).

• PFaultLess - функция расчета вероятности безотказной работы в течение заданного времени после проведения испытаний. Параметры: вектор вероятностей пребывания в различных состояниях системы в моменты времени моделирования, время функционирования, интенсивности обнаружения ошибок.

• Main - основная функция, готовит исходные данные, обращается к функции CalculateStates для решения системы дифференциальных уравнений и представляет результаты (графики, выходной файл).

Для решения системы дифференциальных уравнений использована стандартная функция ode45 для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием формул Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка.

Для каждой реализованной модели (как экспоненциальной, так и для общих моделей), существует возможность выполнить расчет надежности для различных стратегий испытаний.

Помимо описанных в главе стратегий комплекс программ моделирует и более сложные стратегии испытаний. Для этого система дифференциальных уравнений такой модели генерируется функцией DeSMO на основе параметра — матрицы, описывающей возможные «пути» обнаружения и исправления ошибок в графах переходов соответствующей модели и возможные варианты организации взаимодействия команд разработки и тестирования при испытаниях - последовательная, параллельная, комбинированная организация работы.

Для реализации модели планирования испытаний использован пакет символьных вычислений Matlab Symbolic Math Toolbox. Программа содержит следующие основные функции:

• CalculatePStay - функция расчета вероятностей выполнения модулей ПС путем решения системы линейных уравнений баланса. Параметры: матрица вероятностей переходов между модулями и средние значения времени исполнения модулей.

• ProbabilityNoFaultSPK — функция расчета вероятности безотказной работы многомодульного ПС в течение заданного времени после испытаний. Параметры: матрица вероятностей переходов между модулями и матрица безусловных вероятностей безотказной работы модулей.

• Inverse, Minor, Cofactor, Moments, MultyMV - вспомогательные функции для выполнения символьных вычислений над матрицами (нахождение обратной матрицы, минора, алгебраического дополнения и др.).

Разработанный комплекс программ расчета надежности и планирования испытаний программных средств зарегистрирован в Реестре

программ для ЭВМ (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010615617).

Для обоснования достоверности расчетов выполнена проверка полученных результатов с использованием различных разработанных моделей НСО. Схема выполнения взаимной проверки результатов моделирования иллюстрируется на рис. 6, где реализованные модели показаны по степени общности от базовой экспоненциальной (крайняя левая строка) до наиболее общей с использованием двухэтапного распределения Кокса (крайняя правая строка).

Модели, расположенные на рисунке правее, являются более общими и используются для проверки результатов частных моделей, расположенных на рисунке, соответственно, левее. Взаимная проверка моделей НСО показала совпадение полученных результатов.

Программная реализация модели многомодульных вычислительных систем с холодным резервом выполнена также в среде Matlab. Для проверки достоверности результатов выполнено имитационное моделирование в среде GPSS World.

Общность моделей НСО

M(l)IH2{j)IN

МЩ!ЕгфШ M{j)ICilj)IN

КЩ!Щ)!Ы CAf)ICi(i)IN

Ei(i)IM(jyN HM>M(j)iN

Сг№Ш1

Выполнение проверки результатов

Рисунок 6 — Схема взаимной проверки результатов моделирования

Логическая схема использования моделей НСО и методов их расчета в оценке надежности и планирования испытаний программных средств:

1. Этап разработки ПС. Модели: одноканальные. Метод расчета: численный, аналитический, электронное моделирование. Методическое обеспечение: методика задания исходных данных для проведения оценки надежности программ.

2. Этап испытаний ПС. Модели: одноканальные и многоканальные с использованием многофазовой аппроксимации. Метод расчета: численный, аналитический, электронное моделирование. Методическое обеспечение: методика оценки надежности ПС, методика планирова-

ния испытаний многомодульных ПС на основе информации о сложности, структуре ПС и надежности отдельных модулей, комплекс программ расчета надежности и планирования испытаний ПС.

Шестая глава посвящена разработке методологического аппарата оценки пропускной способности АПК, находящихся в контуре управления подвижными объектами (ПО). Под пропускной способностью АПК понимается максимальное число ПО, при обеспечении управления которыми вероятность решения задач технологического цикла управления Рпо в директивно установленный срок будет не меньше допустимого значения. Рассматривается схема подготовки и решения задачи оценки пропускной способности АПК центра управления ПО. Практическая ценность результатов моделирования зависит, прежде всего, от выбора модели рабочей нагрузки. Модель представляется трассой либо вероятностными распределениями временных интервалов. При построении вероятностной модели следует учесть степень приближения аппроксимирующего распределения плотности вероятности к полученным при сборе статистики данным.

Логическая схема использования моделей НСО и методов их расчета в оценке пропускной способности аппаратно-программных средств:

1. Этап проектирования. Модели: одноканальные и многоканальные НСО. Метод расчета: численный, аналитический, электронное моделирование. Методическое обеспечение: справочно-методические материалы по расчету пропускной способности информационно-вычислительного комплекса автоматизированной системы управления с учетом надежности и при различных вариантах использования вычислительных средств.

2. Этап опытно-конструкторских испытаний. Модели: технологические модели НСО. Метод расчета: аналитический, аналитико-имитационный. Методическое обеспечение: методика оценки пропускной способности информационно-вычислительного комплекса управления ПО, методика оценки пропускной способности наземного комплекса управления ПО.

3. Этап штатной эксплуатации. Модели: сетевые модели НСО, трассировочная модель НСО, моделирующий имитационный комплекс средств автоматизации. Метод расчета: аналитический, аналитико-имитационный, натурные испытания. Методическое обеспечение: методика оценки реализуемости операций управления ПО на средствах информационно-вычислительного комплекса управления ПО.

Основные результаты работы

В результате проведения диссертационного исследования решена

научная проблема анализа и прогнозирования реализации изменяющейся рабочей нагрузки АПК на заданном временном интервале. При использовании результатов диссертации было достигнуто: сокращение сроков и повышение качества испытаний изделий 14Ц40, 14Ц41, 14Ц42, ЦУП-695М, за счет чего снижены затраты на их проведение; повышение пропускной способности изделий 14Ц40, 14Ц41 на 25%. Сокращено время разработки микропроцессорных систем управления электровозов на 5-10% на основе эффективного проектирования и рационального планирования испытаний.

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертационном исследовании, состоят в следующем:

1. Сформулирована научная проблема анализа и прогнозирования реализации изменяющейся рабочей нагрузки АПК на заданном временном интервале.

2. Проведено обобщение ранее полученных результатов аппроксимации произвольной плотности вероятностей плотностью многофазных распределений методом моментов. Определены формулы взаимного преобразования С, Е, Н распределений, условия и диапазон появления комплексно-сопряженных параметров.

3. Разработаны теоретические основы построения и расчета вероятностно-временных характеристик моделей нестационарных систем обслуживания с конечным источником заявок, включающие подходы к формализованному описанию (графическое представление, системы дифференциальных уравнений, правила перехода).

4. Разработан алгоритм сводимости систем дифференциальных уравнений моделей НСО к виду, позволяющему получить решение в аналитическом виде.

5. Разработан комплекс моделей НСО с распределениями фазового типа и конечной очередью.

6. Разработаны методы расчета вероятностно-временных характеристик немарковских систем и сетей массового обслуживания.

7. Разработаны методики, алгоритмы и комплексы программ по расчету характеристик надежности и пропускной способности аппаратно-программных комплексов, функционирующих в условиях изменяющейся рабочей нагрузки.

В приложении приводятся сведения о разработанных в ходе диссертационного исследования комплексах программ, копии свидетельства об их регистрации и актов о внедрении.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

В монографии

1. Бубнов В. П., Сафонов В. И. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания. - Серия «Учебники для вузов, специальная литература». - СПб.: Издательство «Лань», 1999. - 64 стр.

В журналах перечня ВАК

2. Khomonenko A. D., Bubnov V. P. A use of Coxian distribution law for iterative solution of M/G/n/R < oo queueing systems // Problems of Control and Information Theory, 1985. - 14(2)-p.p. 313-319. Хомоненко А. Д., Бубнов В. П. Использование закона распределения Кокса для итеративного решения систем с очередями M/G/n/R < со // Проблемы управления и теории информации, 1985. - 14(2) - с. 313-319.

3. Бубнов В. П., Сафонов В. И., Смагин В. А. О загрузке вычислительной системы с изменяющейся интенсивностью поступления заданий // Автоматика и вычислительная техника. - 1987. - №6. - С. 19—22.

4. Бубнов В. П., Торопов В. Н. Алгоритм динамического планирования задач в распределенной вычислительной системе // Автоматика и вычислительная техника. - 1990. - №6. — С. 14—17.

5. Смагин В. А., Бубнов В. П., Филимонихин Г. В. Расчет вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в сетевой модели массового обслуживания // Изв. Вузов СССР - Приборостроение, 1989.-№2.-С. 23-25.

6. Бабишин В. Д., Бубнов В. П. и др. Научно-методические основы построения динамических моделей информационно-вычислительных сетей наземного комплекса управления космическими аппаратами // Сб. Информационно-измерительная техника, экология и мониторинг. Научные труды. - Вып. 2001/1. - М.: МГУЛ. - с. 67-87.

7. Бубнов В. П. Трассировочная модель рабочей нагрузки вычислительной сети управления подвижными объектами железнодорожного транспорта // Современные технологии, системный анализ, моделирование. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2009 - №4. - с. 123-126.

8. Bubnov V. P., Tyrva А. V., Khomonenko A. D. Model of reliability of the software with Coxian distribution of length of intervals between the moments of detection of errors // Proceedings of 34th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC 2010), 2010 - p.p. 238-243.

Бубнов В. П., Тырва А. В., Хомоненко А. Д. Модель надежности программных средств с распределением Кокса длин интервалов времени между моментами обнаружения ошибок // Материалы 34-й ежегодной конференции по программному обеспечению и приложениям международного института инженеров электроники и электротехники (COMPSAC 2010), 2010. - с. 238-243.

9. Бубнов В. П., Тырва А. В., Хомоненко А. Д. Обоснование стратегии отладки программ на основе нестационарной модели надежности // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2010 — № 2(97) - с. 85-92.

Ю.Бубнов В. П., Тырва А. В., Бурцева К. И. Нестационарная модель надежности программных средств с распределением Кокса длин интервалов времени исправления ошибок // Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. — Новочеркасск, 2010. —№ 1(59). —с. 143-152.

П.Бубнов В. П., Сафонов В. И. Проблемы сертификации программных средств для федерального железнодорожного транспорта // Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. - Новочеркасск, 2009. - №2(58). - с. 136-144.

12.Бубнов В. П. Комплекс моделей надежности программных средств с распределениями фазового типа И Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. — Новочеркасск, 2011. -№1(61). — с. 185-193.

13.Bubnov V. P., Tyrva А. V., Khomonenko A. D. Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments // Proceedings of 35th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC 2011), 2011. -p.p. 310-314.

Бубнов В. П., Тырва А. В., Хомоненко А. Д. Модель надежности программных средств с распределением Кокса длин интервалов времени обнаружения и исправления ошибок // Материалы 35-й ежегодной конференции по программному обеспечению и приложениям международного института инженеров электроники и электротехники (COMPSAC 2011), 2011. — с. 310-314.

14.Хомоненко А. Д., Бубнов В. П. и др. Расчет характеристик оперативности и защищенности информационных систем железнодорожного транспорта // Miedzynarodowa Konferencja Naukowa Transport XXI Wieku // Politechnika Warszawska. 21-24 wrzesnia 2010, Blalowiezy -p.p. 86-92.

15.Бубнов В. П. Метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в разомкнутой сети массового обслуживания // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. - Ростов-на-Дону: РГУПС, 2012. - №1. - с. 92-96.

16.Бубнов В. П. Алгоритм аналитического расчета вероятностей состояний нестационарных систем обслуживания // Известия Петербургского университета путей сообщения. — СПб, 2011. — Вып. №4(29). - с. 90-97.

17.Хомоненко А. Д., Бубнов В. П., Краснов С. А., Еремин А. С. Модель функционирования системы автоматической публикации документов в нестационарном режиме // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы, 2011. — №4. - с. 16-23.

Авторские свидетельства, патенты, программы для ЭВМ

18.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1080146А, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 15.03.84 г. в бюл. №10.

19.Бубнов В. П., Михайлов А. В., Сафонов В. И. Устройство для моделирования процесса обслуживания заявок // Описание изобретения по авторскому свидетельству ви 1341648 А1, кл. С Об Р 15/20, опуб. 30.09.87 г. в бюл. №36.

20.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству БУ 1405071 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 23.06.88 г. в бюл. №23.

21 .Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1399756 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 10.06.88 г. в бюл. №21.

22.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству 8и 1476485 А1, кл. й 06 Б 15/20, опуб. 30.04.89 г. в бюл. №16.

23.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1479938 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 15.05.89 г. в бюл. №18.

24.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования процесса обслуживания заявок // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1591036 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 07.09.90 г. в бюл. №33.

25.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования процесса обслуживания заявок // Описание изобретения по авторскому свидетельству 8и 1667099 А1, кл. С 06 Б 15/20, опуб. 30.07.91 г. в бюл. №28.

26.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1652979 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 30.05.91 г. в бюл. №20.

27.Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования сетей // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1837315 А1, кл. в 06 Г 15/20, 15/419, опуб. 30.08.93 г. в бюл. №32.

28.Бубнов В. П. и др. Устройство для распределения задач в вычислительной системе // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1837316 А1, кл. й 06 Б 15/20, 15/419, опуб. 30.08.93 г. в бюл. №32.

29.Бубнов В. П., Сафонов В. И., Пучков В. В. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения по авторскому свидетельству Б!) 1612298 А1, кл. в 06 Б 7/58, опуб. 07.12.90 г. в бюл. №45.

30.Бубнов В. П. и др. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения по авторскому свидетельству SU 1780153 AI, кл. Н 03 КЗ/84, опуб. 07.12.92 г. в бюл. №45.

31.Бубнов В. П. и др. Устройство для программного управления // Описание изобретения по авторскому свидетельству SU 1728849, кл. G 05 В1 9/43, опуб. 30.10.92 г. в бюл. №40.

32.Бубнов В. П. и др. №315669 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.07.90 г.

33.Бубнов В. П. и др. №329138 дополн. к а.с. 315669 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.08.91 г.

34.Бубнов В. П. и др. №300676 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.09.89 г.

35.Бубнов В. П., Лачугин В. П., Могилко Д. Ю. №316583 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.08.90 г.

36.Бубнов В. П. и др. №315490 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.07.90 г.

37.Бубнов В. П. и др. №300714 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.09.89 г.

38.Бубнов В. П. и др. №264114 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 02.11.87 г.

39.Бубнов В. П. и др. №255867 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.07.87 г.

40.Бубнов В. П. и др. №232651, к а. с. №202635 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 03.02.86 г.

41.Бубнов В. ГТ. и др. №331347 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.10.91 г.

42.Бубнов В. П. и др. №297624, к а. с. №280014 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 03.07.89 г.

43 .Бубнов В. П. и др. №254329 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 04.05.87 г.

44.Бубнов В. П. и др. №287587, к а. с. №242470 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 02.01.89 г.

45.Бубнов В. П. и др. №232650 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 03.02.86 г.

46.Бубнов В. П. и др. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения к патенту Российский Федерации RU 2032986 С1, кл. 6 Н 03 КЗ/84, опуб. 10.04.95 г. в бюл. №10.

47.Бубнов В. П. и др. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения к патенту Российский Федерации RU 2032987 С1, кл. 6 Н 03 КЗ/84, опуб. 10.04.95 г. в бюл. №10.

48.Тырва А. В., Хомоненко А. Д., Бубнов В. П. Комплекс программ расчета надежности и планирования испытаний программных средств // Федеральная служба по интеллектуальной собственности,

патентам и товарным знакам. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010615617. Москва, 2010.

Личный вклад автора. Результаты диссертационной работы, выносимой на защиту, принадлежат автору, что подтверждено публикациями в научных изданиях, патентами и авторскими свидетельствами на изобретения. В статьях и монографии, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат: постановка задачи, результаты теоретических исследований (п.п. 1-3, 5,6, 8-11, 13,17 из перечня публикации); постановка задачи (п.п. 4,14 из перечня публикации); постановка задачи определения направлений исследования, основные результаты исследований в других совместных публикациях. В изобретениях, сделанных в соавторстве, автору принадлежат основные идеи, постановка задач, первые формулы, теоретическое доказательство реализуемости и обоснование полезности, за исключением изобретений (п.п. 38-45 из перечня публикации), в которых автору принадлежат теоретическое доказательство реализуемости и обоснование полезности; п.п. 48 из перечня публикации - постановка задачи и результаты теоретических исследований.

Подписано к печати Печать - ризография

Тираж 100 экз._

СРПГУПС

28.08.2012 г.

Бумага для множит, апп.

Заказ № 792.

Печ. л. — 2 Формат 60x84 1/ 16

190031, С.-Петербург, Московский пр., 9

ВВЕДЕНИЕ.

1. Объект, цель и задачи исследования.

1.1. Концепция активного подвижного объекта.

1.2. Показатели пропускной способности АПК АПО.

1.3. Модели рабочей нагрузки АПК АПО.

1.4. Имитационное моделирование нестационарной рабочей нагрузки АПК.

1.4.1. Трассировочная модель рабочей нагрузки АПК при управлении одним АПО.

1.4.2. Трассировочная модель рабочей нагрузки АПК при управлении двумя АПО.

1.4.3. Экспоненциальная модель потока запросов.

1.4.4. Гиперэкспоненциальная модель потока запросов.

1.4.5. Экспоненциальная модель обслуживания.

1.4.6. Гиперэкспоненциальная модель обслуживания.

1.4.7. Модель нестационарной рабочей нагрузки.

1.4.8. Экспоненциальная модель нестационарного потока запросов при управлении системой АПО.

1.5. Определение требований к математическим моделям АПК.

1.6. Цель и задачи исследования.

1.7. Анализ возможности исследования нестационарных систем обслуживания методами теории массового обслуживания.

Выводы по главе.

2. Теоретические основы построения НС О с конечным источником заявок.

2.1. Основные понятия и определения, базовая модель.

2.2. Модель НСО с конечным накопителем.

2.3. Модель НСО с двумя пакетами заявок.

2.4. Модель НСО с пороговым включением обслуживающего канала.

2.5. Модель НСО при определенных моментах включения.

2.6. Модель Ь-канальной НСО с переменной интенсивностью поступления запросов.

2.7. Модель НСО с подключением и отключением резервного канала обслуживания.

2.8. Двухканальная НСО с интенсивностью обслуживания запросов, зависящей от номера запроса и номера канала обслуживания.

2.9. Двухканальная НСО с отказами и восстановлениями каналов обслуживания и их доступностью для различных заявок.

2.10. Аппроксимационный метод исследования немарковских систем.

2.10.1. Аппроксимация произвольной плотности распределения вероятностей.

2.10.2. Примеры аппроксимации двухэтапными распределениями.

2.10.3. Взаимосвязь и формулы тождественного преобразования между многоэтапными распределениями.

2.10.4. Область существования вещественных параметров многоэтапных распределений.

2.10.5. Порядок расчета параметров аппроксимирующего распределения.

2.11. Модель одноканальной НСО с эрланговским поступлением заявок.

2.12.Модель одноканальной НСО с трассировочным поступлением заявок.

2.13.Модель одноканальной НСО с коксовским поступлением заявок

2.14. Модель одноканальной НСО с эрланговским распределением времени обслуживания заявок.

2.15.Метод аналитического расчета НСО.

2.16. Сравнение численного и аналитического методов и алгоритм нумерации состояний НСО.

Выводы по главе.

3. Комплекс моделей НСО с распределениями фазового типа и конечным источником заявок.

3.1. Модели НСО с неэкспоненциальным распределением временных интервалов между поступлениями заявок.

3.1.1. Модель НСО типа C2(i)/M(j)/N.

3.1.2. Модель НСО типа H2(i)/M(j)/N.

3.2. Модели НСО с неэкспоненциальным распределением временных интервалов обслуживания заявок.

3.3. Модель одноканальной НСО C2(i)/C2(j)/N.

3.4. L-канальная НСО с относительными приоритетами.

3.5. Сетевая модель НСО.

3.6. Сетевая модель НСО, учитывающая технологию процессов управления.

3.7. Трассировочная модель НСО.

3.8. Модель НСО надежности микропроцессорной вычислительной системы с многоканальным резервированием.

3.9. Комплекс моделей НСО.

Выводы по главе.

4. Метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в сети массового обслуживания.

4.1. Характеристика проблемы расчета времени пребывания заявок в сетях массового обслуживания.

4.2. Метод расчета.

4.3. Программная реализация метода.

Выводы по главе.

5. Применение моделей НСО к оцениванию характеристик программных средств и планированию их испытаний.

5.1. Состояние вопроса.

5.2. Нестационарная модель надежности программных средств.

5.3. Варианты стратегии отладки.

5.4. Результаты прикладных расчетов и обоснование стратегии отладки.

5.5. Использование алгоритма расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявки СеМО для планирования испытаний ПС.

5.6. Комплекс программ расчета надежности и планирования испытаний ПС.

5.7. Логическая схема использования моделей НСО в оценке надежности и планирования испытаний ПС.

Выводы по главе.

6. Разработка методологического аппарата оценки пропускной способности АПК наземных средств.

6.1. Место проблемы оценки пропускной способности АПК наземных средств в системе научных знаний.

6.2. Схема подготовки и решения задачи оценки пропускной способности АПК наземных средств.

6.3. Система моделирования АПК наземных средств управления системой АПО.

6.4. Предложения по автоматизации испытаний вычислительной сети ЦУП с использованием моделирующего комплекса МИКАС.

6.5. Логическая схема использования моделей НСО и методов их расчета в оценке пропускной способности АПК.

Выводы по главе.

Отличительной чертой современных организационно-технических объектов и систем (СОТО, СОТС) является то, что при создании они, прежде всего, должны быть ориентированы на функционирование не только в нормальных, но и в критических (кризисных) условиях. Это обусловлено с одной стороны возрастанием угроз, вызванных техногенными, природными и человеческими факторами, с другой желанием использовать уже существующие СОТО и СОТС для решения новых более сложных задач.

Применительно к процессам мониторинга и прогнозирования состояния аппаратно-программных комплексов (АПК), входящих в систему управления подвижных объектов и технологических процессов реализация указанного свойства предполагает оперативное формирование таких процедур сбора, обработки и анализа измерительной информации (ИзИ) и соответствующей вычислительной среды, при которых обнаружение, локализация аварийных, нештатных и кризисных ситуаций, возникающих в тех или иных элементах (подсистемах) АПК будет происходить значительно раньше, чем станут проявляться возможные последствия указанных неисправностей. Дополнительные особенности мониторинга состояний АПК приобретают в тех условиях, когда из-за дефицита ресурсов (вызванного различными причинами субъективного и объективного характера) уже становится невозможным поддерживать требуемый уровень жизнедеятельности и пропускной способности АПК. В рассматриваемых ситуациях мониторинг и прогнозирование должен сопровождаться целенаправленными процедурами реконфигурации структур (в общем случае, управления структурами) как самих АПК, так и систем управления (СУ) ими для обеспечения максимально допустимого уровня их работоспособности и пропускной способности.

Для определения возможности реализации всех операций, связанных с технологическим циклом управления, на заданном временном интервале применяют математическое моделирование. Математической базой является теория массового обслуживания (ТМО), позволяющая решать разнообразные задачи анализа и синтеза АПК путем определения технико-экономических показателей эффективности функционирования комплексов в целом при известных технических параметрах их элементов и рабочей нагрузке. Широкую известность приобрели фундаментальные работы по теории вычислительных систем и компьютерных сетей, использующие ТМО Клейнрока А., Майорова С. А., Алиева Т. П., Новикова Г. И., Феррари Д., Авена О. И., Когана Я. И., Вишневского В.М. и других авторов. С помощью моделей ТМО рассчитываются вероятностно-временные характеристики функционирования центральных процессоров и узлов коммутации, выполняется расчет потерь данных и загрузки линий связи, анализ буферной памяти и алгоритмов маршрутизации, решения пакета задач, необходимых для выдачи управляющего воздействия и т.п.

Большинство авторов используют модели ТМО в предположении, что очередь заявок бесконечна, существует стационарный режим, а коэффициент загрузки не превышает единицы. Однако наибольший практический и теоретический интерес представляют модели ТМО, учитывающие поведение АПК в контуре управления технологическими процессами и объектами, функционирующих в условиях перегрузок на заданном (директивном) временном интервале. В работах Хинчина А. Я., Такача К., Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н., Прохорова Ю.В., Ежова И. Ч., Рейча положено начало «нестационарной» ТМО. Ряд результатов исследования моделей ТМО, параметры которых зависят от состояния системы, получены в работах Арсенишвили Г. Л., Абольникова Л. М. Некоторые характеристики однолинейных систем массового обслуживания с ординарным входящим потоком, интенсивность которого обратно пропорциональна величине очереди, рассмотрены в работах Конолли Б. и Хидиди Н. В дальнейшем появились работы авторов: Ляхова А. И., Климова Г. П., Травоженко Б. В., Стрик Я., Greenberg Н., Leese Е., Leguesdron Р., Neuts М. F., Read R. R., Syshi R., Головко H. И., Зефмана А. И., посвященные анализу и расчету нестационарных вероятностных характеристик моделей ТМО с постоянными интенсивностями входящего потока и обслуживания с бесконечными или конечными накопителями. Анализ результатов полученных в рассматриваемых работах показывает, что точное исследование протекающих в моделях ТМО процессов при поступлении на вход потока заявок с изменяющейся интенсивностью в нестационарном режиме чрезвычайно трудно даже при экспоненциальных законах распределения вероятностей. Недостаточно хорошо изучено поведение нестационарных систем обслуживания (НСО) с более общими предположениями о законах распределения времени между моментами поступления и обслуживания заявок. Любой учет особенностей, присущих реальным АПК(пиковые нагрузки, приоритетность, порядок выбора заявок из очереди на обслуживание, доступность каналов, отличие законов распределения временных интервалов от экспоненциального и т.п.) в математических моделях нестационарных систем массового обслуживания, в свою очередь, усложняет порядок расчета вероятностно-временных характеристик процесса обслуживания заявок. Таким образом, существует противоречие между практической потребностью в решении задач анализа и прогнозирования функционирования реальных АПК в условиях реальной рабочей нагрузки и ограниченными возможностями существующих методов их моделирования.

Указанные обстоятельства определяют актуальность исследуемой в диссертации научной проблемы: анализа и прогнозирования реализации изменяющейся рабочей нагрузки АПК на заданном временном интервале.

Объект исследования: АПК, имеющие изменяющуюся рабочую нагрузку на заданном временном интервале.

Предмет исследования: математические модели НСО с конечным источником заявок, методы и алгоритмы расчета их вероятностно-временных характеристик.

Цель исследования: разработка теоретических основ, моделей и методов расчета НСО, обеспечивающих повышение точности моделирования АПК с изменяющейся рабочей нагрузкой.

Задачи исследования включают:

• разработка теоретических основ построения моделей НСО с конечным источником заявок, включающие подходы к формализованному описанию, и методов расчета вероятностно-временных характеристик процессов обслуживания;

• разработка моделей рабочей нагрузки, учитывающих неэкспоненциальность распределений временных интервалов между поступлением и обслуживанием заявок;

• разработка комплекса моделей НСО;

• разработка метода определения закона распределения вероятностей времени нахождения заявки в сети массового обслуживания;

• разработка методик, алгоритмов и комплексов программ по расчету вероятностно-временных характеристик надежности и пропускной способности АПК.

Основным методом исследования является математическое моделирование с использованием теории надежности, теории массового обслуживания, теории графов, математической статистики, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна

1. Разработаны теоретические основы построения и расчета нового класса моделей НСО с конечным источником заявок. В отличие от традиционных моделей ТМО они позволяют моделировать процессы обслуживания при коэффициенте загрузки больше единицы, при общих предположениях о законах распределения временных интервалов между поступлениями и обслуживаниями заявок.

Определены принципы построения этих моделей, их графическая интерпретация, расчет вероятностно-временных характеристик, выведены системы дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова.

2. Проведенное в диссертации обобщение аппроксимации произвольной плотности вероятностей плотностью вероятностей фазового типа (распределение гиперэкспоненциальное, неоднородно-эрланговское, Кокса и т.д.) методом моментов, позволило установить формулы их взаимного преобразования, а также диапазоны появления комплексно-сопряженных параметров; точностные параметры аппроксимации.

3. Разработан аналитический метод расчета вероятностей состояний НСО с конечным источником заявок. В основе подхода лежит алгоритм нумерации состояний систем обслуживания, позволяющий свести квадратную матрицу коэффициентов линейной системы однородных дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова к нижнетреугольному виду. В этом случае собственные числа матрицы выписываются в явном виде по диагонали. Нахождение решения в данном случае, в отличие от численного метода, дающего набор точек, представляет собой процедуру, позволяющую определить вероятности состояний системы в любой момент времени.

4. В диссертации приведен метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в разомкнутой сети массового обслуживания, удовлетворяющей условиям локального баланса и имеющей решение в форме произведения. Метод позволяет рассчитать первые к начальных моментов плотности распределения вероятностей времени нахождения заявки между двумя любыми узлами сети. Далее, используя одно из рассмотренных в диссертационной работе распределений фазового типа, с помощью метода моментов аппроксимировать плотность распределения вероятностей времени пребывания заявки в сети.

Практическая значимость работы

1. Разработанный метод аналитического решения системы дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова НСО значительно сокращает время решения по сравнению с существующими аналитическими интеграторами (например, Wolfram Mathematica или Maplesoft Maple). А также дает возможность вывести решение системы с произвольной степенью детальности.

2. Разработанный комплекс моделей НСО может быть эффективно использован в задачах анализа реализации операций управления АПК, находящихся в контуре управления технологическими процессами и подвижными объектами, расчета показателей их функциональной надежности

3. Нестационарные модели обслуживания и методы их расчета применимы для повышения точности расчета показателей надежности программных средств (ПС), для сокращения времени испытаний ПС на основе выбора стратегии отладки и улучшения их испытаний.

4. Метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в сети массового обслуживания может быть использован для иерархического моделирования сложных систем, а также при планировании испытаний многомодульных ПС с учетом их характеристик надежности и информации о сложности и структуре ПС.

5. Разработанные на базе комплекса моделей НСО методики оценки функциональной безопасности применимы для оценки и обоснования достаточности резервирования средств железнодорожной автоматики, а также позволяют рассчитать стратегию замены плат микроконтроллеров.

6. Разработанные в диссертационной работе модели и методы расчета вероятностно-временных характеристик доведены до инженерных методик и реализованы в виде программных комплексов.

Достоверность и обоснованность результатов диссертации подтверждается строгими математическими выкладками, а также численными и имитационными тестами. Работоспособность и эффективность предложенных методов подтверждается имитационным моделированием и применением методов численного решения систем дифференциальных уравнений с использованием существующих интеграторов. Результаты по оценке пропускной способности, полученные на основе разработанных моделей и методов, подтверждались натурными испытаниями.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретические основы построения моделей НСО с конечным источником заявок, включающие подходы к формализованному описанию (графическое представление, системы дифференциальных уравнений, правила перехода), численные и аналитические методы расчета вероятностей состояний.

2. Комплекс моделей НСО с распределениями фазового типа и конечным источником заявок.

3. Метод расчета вероятностно-временных характеристик сетей массового обслуживания, удовлетворяющих условию локального баланса.

4. Комплексы программ по расчету характеристик надежности и пропускной способности АПК.

Внедрение результатов исследования. Теоретические положения и практические рекомендации диссертации были внедрены и использованы:

• в проводимых ФГБ УН Санкт-Петербургским институтом информатики и автоматизации российской академии наук фундаментальных научных исследованиях ОНИТ РАН "Комплексное моделирование, многокритериальное оценивание и анализ рисков при выработке управляющих решений в катастрофоустойчивой информационной системе";

• в организациях МО (войсковые части 32103, 14108, 08317) при подготовке и проведении испытаний существующих аппаратно-программных комплексов, в предложениях по повышению их пропускной способности и в технических предложениях по построению перспективных аппаратно-программных комплексов;

• на предприятиях промышленности и проектных институтах ЦНИИ машиностроения, ОАО «ВЭлНИИ» при оценке и обосновании принятия проектных решений по устойчивому функционированию аппаратно-программных комплексов;

• в ФГБОУ ВПО ПГУПС используются при проведении лекционных занятий и практических работ по разделу «Управление качеством при разработке программного обеспечения на основе современных стандартов и моделей» дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация», а также при издании учебных пособий.

Практическое использование результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами о внедрении, представленными в приложении к диссертации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 100 научных работ. Основные научные результаты представлены в 85 публикациях, в число которых входят: 1 монография, 16 статей в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендуемых ВАК; 29 изобретений, 2 патента, 1 свидетельство на программы для ЭВМ, 14 работ в материалах международных, всероссийских и ведомственных научно-технических конференций, 22 в других изданиях.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и были одобрены: на IV Всесоюзном симпозиуме «Модульные ИВС», Иркутск, 1983; НТС в/ч

08317 в 1985, 1988, 1989 годах; НТК в/ч 32103 в 1985, 1987, 1988, 1989 годах; НТК «Научно-технические проблемы развития и совершенствования сложных комплексов» ВИКИ, Ленинград, 1988; Всесоюзном совещании по проблемам диалоговых ИВС, Иркутск, 1986; Всесоюзном совещании «Распределенные автоматизированные СМО», 1986; 2 Всесоюзной НТК «Живучесть реконфигурации ИВС и управляющих систем», 1988; Всероссийской научно-методической конференции «Информационно-измерительная техника, экология и мониторинг», Москва, 2001; Международной научно-практической конференции «Инфотранс-2008», «Инфотранс-2009», Санкт-Петербург, ФГОУ ВПО ПГУПС, 2008, 2009; Юбилейной научно-технической конференции «Инновации на железнодорожном транспорте-2009», Санкт-Петербург, 2009; Международной конференции «Наука, транспорт XXI века», Варшава, 2010; Международной научно-методической конференции «Проблемы математической и естественно-научной подготовки в инженерном образовании: исторический опыт, современные вызовы», Санкт-Петербург, 2010; Тридцать четвертой и Тридцать пятой ежегодной конференциях «IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC)» (Сеул, Корея, 2010 и Мюнхен, Германия, 2011).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, 3 приложений и списка литературы, включающего 196 наименований, всего 247 страницы машинописного текста.

Выводы по главе

1 .Разработанный методологический аппарат оценки пропускной способности АПК наземных средств управления системами АПО позволяет проводить моделирование с учетом типа и количества АПО, технологии их управления, а также их баллистического построения.

2. Применение МИКАС позволяет имитировать увеличение рабочей нагрузки на существующие АПК ЦУП системой АПО без наращивания числа АПО, что дает возможность определения реальной пропускной способности АПК наземных средств.

3. Применение методологического аппарата оценки пропускной способности АПК наземных средств на этапе проектирования позволяет выбрать вычислительные модули и ОСПО; на этапе опытно-конструкторских испытаний сократить сроки и снизить затраты на их проведение; на этапе штатной эксплуатации принимать решение о наращивании числа АПО в системе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведения диссертационного исследования решена научная проблема анализа и прогнозирования реализации изменяющейся рабочей нагрузки АПК на заданном временном интервале. Тематика и результаты диссертационных исследований использованы в проводимых ФГБ УН Санкт-Петербургским институтом информатики и автоматизации российской академии наук фундаментальных научных исследованиях ОНИТ РАН "Комплексное моделирование, многокритериальное оценивание и анализ рисков при выработке управляющих решений в катастрофоустойчивой информационной системе". При использовании результатов диссертации было достигнуто: сокращение сроков и повышение качества испытаний изделий 14Ц40, 14Ц41, 14Ц42, ЦУП-695М, за счет чего снижены затраты на их проведение; повышение пропускной способности изделий 14Ц40, 14Ц41 на 25%. Сокращено время разработки микропроцессорных систем управления электровозов на 5-10% на основе эффективного проектирования и рационального планирования испытаний.

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертационном исследовании, состоят в следующем:

1. Сформулирована научная проблема анализа и прогнозирования реализации изменяющейся рабочей нагрузки АПК на заданном временном интервале.

2. Проведено обобщение ранее полученных результатов аппроксимации произвольной плотности вероятностей плотностью многофазных распределений методом моментов. Определены формулы взаимного преобразования С, Е, Н распределений, условия и диапазон появления комплексно-сопряженных параметров.

3. Разработаны теоретические основы построения и расчета вероятностно-временных характеристик моделей нестационарных систем обслуживания с конечным источником заявок, включающие подходы к формализованному описанию (графическое представление, системы дифференциальных уравнений, правила перехода).

4. Разработан алгоритм сводимости систем дифференциальных уравнений моделей НСО к виду, позволяющему получить решение в аналитическом виде.

5. Разработан комплекс моделей НСО с распределениями фазового типа и конечной очередью.

6. Разработаны методы расчета вероятностно-временных характеристик немарковских систем и сетей массового обслуживания.

7. Разработаны методики, алгоритмы и комплексы программ по расчету характеристик надежности и пропускной способности аппаратно-программных комплексов, функционирующих в условиях изменяющейся рабочей нагрузки.

1. Абольников Л. М. Нестационарная задача массового обслуживания для систем с бесконечным числом каналов при групповом поступлении требований // Проблемы передачи информации. 1968. Вып. 4. № 3. С. 99102.

2. Авен О. И., Турин Н. Н., Коган Я. А. Оценка качества и оптимизация вычислительных систем. М., 1982. 464 с.

3. Алиев Т.И., Алиев Ш.С. Выбор пропускных способностей каналов связи в сетях передачи данных с неоднородной нагрузкой // Изв.вузов СССР.-Приборостроение, 1993.- №1.- С.61-68.

4. Алиев Т.И. Основы моделирования дискретных систем. Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. - 363 с.

5. Алиев Т.И. Математические методы теории вычислительных систем. Учебное пособие. Л.: ЛИТМО, 1979. - 92с.

6. Алимов Д. Одноканальные системы с очередью в случае переменных интенсивностей поступления и обслуживания требований / Дис. канд. физ.-мат. наук. Киев, 1980. 126 с.

7. Альянах И. Н Моделирование вычислительных систем. Л., 1988. 223с.

8. Андропов В. М.Приближенный анализ функционирования вычислительных сетей // Автоматика. 1989. № 5. С. 56-60.

9. Арайс Е. А. Численное и аналитическое моделирование неоднородных технических устройств / Автореф. дис. доктора техн. наук. Томск, 1984. 31 с.

10. Ю.Арсенишвили Г. Л. Однолинейная система массового обслуживания с зависящей от величины очереди интенсивностью входящего потока // Сообщ. АН ГрузССР. 1974. Вып. 76. № 2. С. 285-288.

11. Арсенишвили Г. Л Однолинейная система массового обслуживания с меняющимися интенсивностями // Труды Тбилисск. ун-та. 1977. № 189. С. 85-79.

12. Артамонов Г. Т., Брехов О. М. Аналитические вероятностные модели функционирования ЭВМ. М., 1978. 368 с.

13. Ахмедов Б. О., Джавадов А. А., Исмайлов С. Ф., Исмайлов Б. Г. О моделировании и анализе характеристик распределенных мультипроцессорных систем // Автоматика и вычислительная техника. 1985. № 3. С. 70-74.

14. Байцер Б. Микроанализ производительности вычислительных систем / Пер. с англ. М., 1983. 360 с.

15. Балыбердин В. А. Оценка и оптимизация характеристик систем обработки данных. М., 1987. 176 с,

16. Башарин Г. П„ Бочаров П. П., Коган Я. А. Анализ очередей в вычислительных сетях: Теория и методы расчета. М., 1989. 336 с.

17. Башарин Г. П„ Харкевич А. Д., Шнепс М. А. Массовое обслуживание в телефонии. М., 1968. 234 с.

18. Беляев Ю. К„ Гнеденко Б. В., Ушаков И. А. О математических задачах теории массового обслуживания и надежности // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 6. С. 3-12.

19. Беспрозванных А В., Литвин В. Г. О расчете характеристик работы иерархических вычислительных систем, содержащих блокировки, методом фаз. М., 1984. С. 60-63.

20. Бетанов В. В. Решение обобщенных некорректных измерительных задач при управлении космическими аппаратами связи // Радиотехника. 1995. № 12.

21. Бетанов В. В., Федоша А. К. Алгоритм поиска рационального распределения расчетно-логических задач между элементами ЛВС // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 1.

22. Бетанов В. В., Янчик А. Г. Навигационно-баллистическое обеспечение испытаний и применения космических аппаратов: Учеб. пособие / Под ред. Б. И. Глазова. М., 1993.

23. Благо датских В.А., Волнин В.А., Поскакалов К.Ф. Стандартизация разработки программных средств: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2005. - 288 с.

24. Бочков К.А., Харлап С.Н., Шевченко Д.Н. Обзор методов и средств анализа на функциональную безопасность систем ЖАТ // Юбилейная научно-техническая конференция «Инновации на железнодорожном транспорте-2009», 2009. С. 48-58.

25. Бубнов В. П. Алгоритм аналитического расчета вероятностей состояний нестационарных систем обслуживания // Известия Петербургского университета путей сообщения. СПб, 2011. - Вып. №4(29). - с. 90-97.

26. Бубнов В. П. Комплекс моделей надежности программных средств с распределениями фазового типа // Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. Новочеркасск, 2011. -№1(61). - с. 185-193.

27. Бубнов В. П. Метод расчета вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в разомкнутой сети массового обслуживания // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. -Ростов-на-Дону: РГУПС, 2012. №1. - с. 92-96.

28. Бубнов В. П. Трассировочная модель рабочей нагрузки вычислительной сети управления подвижными объектами железнодорожного транспорта // Современные технологии, системный анализ, моделирование. Иркутск:

29. Изд-во ИрГУПС, 2009 №4. с. 123-126.

30. Бубнов В. П., Торопов В. Н. Алгоритм динамического планирования задач в распределенной вычислительной системе // Автоматика и вычислительная техника. 1990. - №6. - С. 14-17.

31. Бубнов В. П., Тырва А. В., Хомоненко А. Д. Обоснование стратегии отладки программ на основе нестационарной модели надежности // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2010 № 2(97) - с. 85-92.

32. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1080146А, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 15.03.84 г. в бюл. №10.

33. Бубнов В. П., Михайлов А. В., Сафонов В. И. Устройство для моделирования процесса обслуживания заявок // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1341648 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 30.09.87 г. в бюл. №36.

34. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1405071 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 23.06.88 г. в бюл. №23.

35. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1399756 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 10.06.88 г. в бюл. №21.

36. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству Би 1476485 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 30.04.89 г. в бюл. №16.

37. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству 8и 1479938 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 15.05.89 г. в бюл. №18.

38. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования процесса обслуживания заявок // Описание изобретения по авторскому свидетельству 811 1591036 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 07.09.90 г. в бюл. №33.

39. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования процесса обслуживания заявок // Описание изобретения по авторскому свидетельству 8И 1667099 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 30.07.91 г. в бюл. №28.

40. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования систем массового обслуживания // Описание изобретения по авторскому свидетельству 8и 1652979 А1, кл. в 06 Б 15/20, опуб. 30.05.91 г. в бюл. №20.

41. Бубнов В. П. и др. Устройство для моделирования сетей // Описание изобретения по авторскому свидетельству 811 1837315 А1, кл. в 06 Б 15/20, 15/419, опуб. 30.08.93 г. в бюл. №32.

42. Бубнов В. П. и др. Устройство для распределения задач в вычислительной системе // Описание изобретения по авторскому свидетельству 811 1837316 А1, кл. в 06 Б 15/20, 15/419, опуб. 30.08.93 г. в бюл. №32.

43. Бубнов В. П., Сафонов В. И., Пучков В. В. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения по авторскому свидетельству 8и 1612298 А1, кл. в 06 Б 7/58, опуб. 07.12.90 г. в бюл. №45.

44. Бубнов В. П. и др. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения по авторскому свидетельству 811 1780153 А1, кл. Н 03 КЗ/84, опуб. 07.12.92 г. в бюл. №45.

45. Бубнов В. П. и др. Устройство для программного управления // Описание изобретения по авторскому свидетельству 811 1728849, кл. в 05 В1 9/43, опуб. 30.10.92 г. в бюл. №40.

46. Бубнов В. П. и др. №315669 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.07.90 г.

47. Бубнов В. П. и др. №329138 дополн. к а.с. 315669 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.08.91 г.

48. Бубнов В. П. и др. №300676 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.09.89 г.

49. Бубнов В. П., Лачугин В. П., Могилко Д. Ю. №316583 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.08.90 г.

50. Бубнов В. П. и др. №315490 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.07.90 г.

51. Бубнов В. П. и др. №300714 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.09.89 г.

52. Бубнов В. П. и др. №264114 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 02.11.87 г.

53. Бубнов В. П. и др. №255867 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.07.87 г.

54. Бубнов В. П. и др. №232651, к а. с. №202635 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 03.02.86 г.

55. Бубнов В. П. и др. №331347 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 01.10.91 г.

56. Бубнов В. П. и др. №297624, к а. с. №280014 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 03.07.89 г.

57. Бубнов В. П. и др. №254329 // Зарегистрировано , в Государственном реестре изобретений СССР, 04.05.87 г.

58. Бубнов В. П. и др. №287587, к а. с. №242470 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 02.01.89 г.

59. Бубнов В. П. и др. №232650 // Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР, 03.02.86 г.

60. Бубнов В. П. и др. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения к патенту Российский Федерации RU 2032986 С1, кл. 6 Н 03 КЗ/84, опуб. 10.04.95 г. в бюл. №10.

61. Бубнов В. П. и др. Генератор случайных импульсов // Описание изобретения к патенту Российский Федерации RU 2032987 С1, кл. 6 Н 03 КЗ/84, опуб. 10.04.95 г. в бюл. №10.

62. Бубнов В. П., Сафонов В. И. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания. СПб: Издат. «Лань». 1999.64 стр.

63. Бубнов В. П., Сафонов В. И; Смагин В. А. О загрузке вычислительной системы с изменяющейся интенсивностью поступления заданий // Автоматика и вычислительная техника. 1987. № 6. С. 19-22.

64. Бубнов В. П., Сафонов В. И. Алгоритм исследования модели нестационарных систем обслуживания // Сборник типовых алгоритмов и программ. 1987. Вып. 8. С. 172-178.

65. Бубнов В. П., Сафонов В. П., Толмачев В. А. Методика определения закона распределения времени нахождения заявки в сети массового обслуживания. Деп. в ВИМИ № D 06709 // Сб. реф. НИОКР, обзоров, пер. и деп. рук., сер. AT. 1985. Вып. 26.

66. Бубнов В. П., Сафонов В. П., Толмачев В. А. Модель рабочей нагрузки вычислительной системы в случае нестационарного периодически изменяющегося потока требований. Деп. ЦИВТИ МО СССР № D 7479 // УПИМ, 1985. Вып. 3, сер. Б.

67. Бубнов В. П., Сафонов В. И. Ткачев С. Б„ Малявко А. Б. Устройство для моделирования систем обслуживания с эрланговским обслуживанием. Деп. в ЦВНИ. Per. в ЦСИФ 3.10.94 — № В 2630 // Сб. реф. деп. рук. 1994. Вып. 29, сер. Б.

68. Бутко Г. И., Ивницкий В. А., Порывкин Ю. П. Оценка характеристик систем управления летательными аппаратами. М., 1983. 246 с.

69. Вентцель Е. С; Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М., 1991. 384 с.

70. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1968. 432 с.

71. Гнеденко Б. В., Макаров И. П. Свойства решений задачи с потерями в случае периодичности интенсивности // Диф. уравнения. 1971. Т. 7. № 9.

72. Головко Н.И., Каретник В. О., Пелешок A.B. СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока// А и Т.2009. №10. С. 75-96.

73. Горов Г. В., Коган Я. И., Парадизов Н. В. Диффузионно-скачкоообразная аппроксимация в однолинейных системах с прерыванием обслуживания и переменным режимом поступления заявок // Автоматика и телемеханика. 1985. № 6. С. 44-51.

74. Драммонд М. Методы оценки и измерений дикретных вычислительных систем. М., 1977. 381 с.

75. Евдокимова Г. С. Многолинейная система массового обслуживания с периодическим входящим потоком // Автоматика и телемеханика. 1974. № 4. С. 62-65.

76. Ежов И. И., Корнейчук М. Т., Олийнык И. Д. Аналитическая модель — алгоритм бесконечноканальной системы обслуживания с переменной интенсивностью потока // Алгоритмические и аппаратурные методы обслуживания систем управления. Киев, 1973. С. 138-144.

77. Ежов И. И. Аналитическая модель бесконечной системы обслуживания с переменной интенсивностью потока заявок // Алгоритмические и аппаратурные методы обслуживания систем управления. Киев, 1974. С. 121-126.

78. Ежов И. И., Корнейчук М. Т., Олийнык И. Д. Распределение количества каналов системы ремонта, когда интенсивность потока изменяется специальным образом // Кибернетика. 1976. № 3. С. 92-97.

79. Ежов И. И., Шуренков В. М. Об одном классе случайных процессов, возникающих при описании систем обслуживания // Труды третьей школы совещания по теории массового обслуживания. Т. 1. М., 1976. С. 86-92.

80. Екимцов А. Н., Смагин В. А. Обратная задача теории массового обслуживания для одноканальной модели // Известия ВУЗов. Приборостроение. 1991. № 4. С. 12-16.

81. Жожикашвили В. А., Вишневский В. М. Сети массового обслуживания: Теория и применение к сетям ЭВМ. М., 1988. 192 с.

82. Закусило О. К. Система массового обслуживания с периодическим входным потоком // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 3. С. 124-129.

83. Захаров Г. П. Методы исследований сетей передачи данных. М., 1982. 208 с.

84. Зеленина О. В. Методы и средства обеспечения точности результатов имитационного моделирования вычислительных систем: Дисс. канд. техн. наук. Л., 1983. 208 с.

85. Земляной Н. С. Вероятностный анализ некоторых моделей вычислительных систем при различных загрузках: Дис. канд. физ.-мат. наук. Ереван, 1980. 102 с.90.3ейфман А. И. О нестационарной модели Эрланга// А и Т.2009.№12. С.71-80.

86. Ивницкий В. А. Исследование нестационарных характеристик ненадежной однолинейной системы с параметром, зависящим от длины очереди // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1974. № 1. С. 78-90.

87. Ивницкий В А. О восстановлении характеристик системы по наблюдениям над выходящим потоком // Теория вероятностей и ее применение. 1977. Т. 22. № 1. С. 188 191.

88. Иоффе А. Я., Марков В. М., Петухов Г. В., Юсупов Р. М. Вероятностные методы в прикладной кибернетике. Л., 1978. 424 с.

89. Калошин A.M., Пчелинцев Л.А., Кузнецов И.И., Ершов A.C. Наземная отработка космических аппаратов. М.: КомКнига, 2005. - 176 с.

90. Канер С., Фолк Д., Нгуен Е.К. Тестирование программного обеспечения. Фундаментальные концепции менеджмента бизнес-приложений: Пер. с англ. К.: Издательство «ДиаСофт», 2001. - 544 с.

91. Калашников В. В., Рачев С. Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. М., 1988. 310 с.

92. Калинин В. Н., Соколов Б. В. Многомодельное описание процессов управления космическими средствами // Теория и системы управления. 1995.№1. С. 149-156.

93. Калинин В. Н., Резников Б. А., Варакин Е. Н. Теория систем и оптимального управления: Понятия, модели, методы и алгоритмы оптимального выбора. Ч. 2. Л., 1988. 589 с.

94. Клейнрок Л Теория массового обслуживания. М., 1979. 432 с.

95. Клейнрок Л Вычислительные системы с очередями. М., 1979. 600 с.

96. Коваленко И. Н. О восстановлении характеристик системы по наблюдениям над выходящим потоком // ДАН СССР. 1965. Т. 164. № 5. С. 979-981.

97. Коваленко И. Н. О системе массового обслуживания со скоростью обслуживания, зависящей от числа требований в системе, и периодическим отключением каналов // Проблемы передачи информации. М., 1971. Т. 7. №2. С. 108-114.

98. Коваленко И. Н., Кузнецов Н. Ю., Шуренков В. М. Случайные процессы: Справочник. Киев, 1983. 365 с.

99. Козлов Н. И. Организация вычислительных работ. М., 1981. 240 с.

100. Конвей В. В., Максвелл В. Л; Миллер Л. В. Теория расписаний. М., 1975. 360 с.

101. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательных событий / Пер. с англ. М., 1969. 312 с.

102. Кубанков А. Н., Гуров В. А., Сафонов В. И. Способ исследования замкнутых многоканальных систем массового обслуживания с деградирующими потоками требований. Деп. в войсковой части 11520, №В 1318, 1989 г. // Сб. реф. деп. рук. 1989. Вып 10, сер. Б.

103. Кузнецов В.В., Смагин В.А. Прямая и обратная задачи надежности сложных программных комплексов. Надежность и контроль качества, № 10, 1997. С. 56-62.

104. Ларионов А. М., Майоров С. А., Новиков Г. И. Вычислительные комплексы, системы и сети. Л., 1987. 288 г.

105. Лещенко Ю. П., Беспрозванных А. В., Литвин В. Г. Комбинированный метод оценки производительности информационного модуля, входящего в состав локальной вычислительной сети // Автоматика и вычислительная техника. 1989. № 3. С. 28-32.

106. Липаев В. В. Распределение ресурсов в вычислительных системах. М., 1979. 249 с.

107. Литвин В. Г., Хенкин А. М. Оценка характеристик информационно-вычислительных систем с приоритетным обслуживанием методами анализа средних величин // Автоматика и вычислительная техника. 1987. № 3. С. 48-54.

108. Максименков А. В., Селезнев М. А. Основы проектирования информационно-вычислительных систем и сетей ЭВМ. М., 1991. 320 с.

109. Майоров С.А., Новиков Г.И., Алиев Т.И., Махарев Э.И., Тимченко Б.Д. Основы теории вычислительных систем. М.: Высшая школа, 1978. -408с.

110. Марчук В. Н., Смагин В. А. Алгоритм оптимизации ациклических вычислительных сетей при изменяющейся нагрузке // Сборник алгоритмов и программ типовых задач. Вып. 13 / Под ред. И. А. Кудряшова. 1995. С. 101-117.

111. Основы теории вычислительных систем / Под ред. С. А. Майорова. М., 1978. 408 с.

112. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейник. М., 1984. 296 с.

113. Петухов Г. Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. Методология, методы, модели. Ч. 1. JL, 1989. 660 с.

114. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М., 1976. 57 с.

115. Полк Д. Г. Об одной системе массового обслуживания с нестационарным входящим потоком // Проблемы передачи информации. 1971. № 1. С. 14-85.

116. Прохоров Ю. В. Переходные явления в процессах массового обслуживания '/Литовский математический сборник 1963. Т. 3. № 1. С. 199-205.

117. Резников Б. А. Системный анализ и методы системотехники. Ч. 1: Методология системных исследований Моделирование сложных систем. Л., 1990. 522 с.

118. Рыжиков Ю. И. Машинные методы расчета систем массового обслуживания. Л., 1979. 177 с.

119. Рыжиков Ю. И. Пакет программ для расчета систем с очередями и его тестирования // Труды СПИИРАН.2008. Выпуск 7. С. 265-284.

120. Рыжиков Ю.И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. -СПб.: КОРОНА принт; М.: Альтекс-А, 2004. 384 с.

121. Рыжиков Ю.И. Эффективность и эксплуатация программного обеспечения. Министерство обороны СССР, 1985. - 263 с.

122. Рыжиков Ю. И, Хомоненко А. Д. Расчет разомкнутых немарковских сетей с преобразованием потоков // Автоматика и вычислительная техника. 1989,№3.с. 15-24.

123. Сиголов Г. Г., Люперсольский А. М. Метод приближенного расчета переходных процессов в сетевых моделях массового обслуживания // Автоматика и вычислительная техника. 1990. № 3. С. 40-43.

124. Сиголов Г. Г., Люперсольский А. М. Метод расчета переходных процессов в сетевых моделях массового обслуживания // Всесоюз. школасеминар по распределенным автоматизированным системам массового обслуживания. Рига, 1988. С. 353-354.

125. Скляревич Ф. А. Характеристика пребывания фрагмента вычислительной сети в фиксированном подмножестве состояний // Автоматика и вычислительная техника. 1985. № 2. С. 14-20.

126. Смагин В. А. Немарковские задачи теории надежности. Л., 1982. 269 с.

127. Смагин В. А. Об одном методе исследования немарковских систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 6. С. 31-36.

128. Смагин В. А., Бубнов В. П., Филимонихин Г. В. Расчет вероятностно-временных характеристик пребывания заявок в сетевой модели массового обслуживания // Изв. ВУЗ. Приборостроение. 1989. № 2. С. 23г 25.

129. Смагин В. А, Филимонихин Г. В. Аппроксимационный метод расчета разомкнутых сетей массового обслуживания // Автоматика и вычислительная техника. 1986. № 4. С. 28-33.

130. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Сост. Г. Корн и Т. Корн. М., 1978. 832 с.

131. Таранцев А. А. Инженерные методы теории массового обслуживания.-Изд. 2-е, перераб. и доп.-СПб.: Наука,2007.-175 с.

132. Таиров М. Ф. Исследование систем массового обслуживания, локальные характеристики которых зависят от времени: Дис. канд. физ.-мат. наук. Баку, 1979. 125 с.

133. Тырва A.B. Методика задания исходных данных для моделей надежности программных средств железнодорожного транспорта // Известия Петербургского университета путей сообщения, 2010, № 2 (23). С. 250-261.

134. Тырва A.B. Методика сертификационных испытаний программного обеспечения системы «Горочная" автоматическая централизация микропроцессорная с ведением накопления вагонов в сортировочном парке (ГАЦ МН)» 86246294.50 5200 020-01, 2009. 18 с.

135. Тырва A.B. Методика сертификационных испытаний программного обеспечения комплексной системы автоматизации управления компрессорной станцией (ПО КСАУКС) 86246294.50 5200 002-01, 2010. -25 с.

136. Тырва A.B. Разработка приложения для планирования проведения тестирования комплексов программ // Шаг в будущее. Неделя науки-2009: материалы конференции, 2009. С. 178-180.

137. Тырва A.B., Хомоненко А.Д. Планирование проведения тестирования комплексов программ на основе проектных метрик сложности // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2009», 2009,4. 1. С. 80-82.

138. Тырва A.B., Хомоненко А.Д., Бубнов В.П. Модели надежности программного обеспечения: Учебное пособие. СПб.: Издательство ПГУПС, 2010.-40 с.

139. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных систем. М., 1981. 576 с.

140. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М., 1972. 400 с.

141. Хетагуров Я. А., Древе Ю. Г. Проектирование информационно-вычислительных комплексов. М., 1987. 280 с.

142. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М., 1963. 236 с.

143. Хомоненко А. Д., Бубнов В. П., Краснов С. А., Еремин А. С. Модель функционирования системы автоматической публикации документов в нестационарном режиме // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы, 2011. №4. - с. 16-23.

144. Хомоненко А. Д. Численные методы анализа систем и сетей массового обслуживания. Л., 1991. 196 с.

145. Черкесов Т.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов. Учебное пособие. СПб.: Питер, 2005. - 479 с.

146. Ченцов В. М. Системы распределения информации: Синтез структуры и управления. М., 1980. 144 с.

147. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / Пер. с англ. М., 1978. 501 с.

148. Штоян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. М., 1979. 268 с.

149. Юсупов Р. М. Наука и национальная безопасность. 2-е издание, переработанное и дополненное.-СПб.:Наука,2011. 369 с.

150. Якубайтис Э. А. Классификация вычислительных сетей // Автоматика и вычислительная техника. 1983. № 1. С. 3-6.

151. Янбых Г. Ф., Столяров Б. А. Оптимизация информационно-вычислительных сетей. М., 1987. 232 с.

152. Янбых Г. Ф., Эттингер Б. Я. Методы анализа и синтеза сетей ЭВМ. Л., 1980. 96 с.

153. Asad C. A., Ullah M. I., Rehman M. J.-U. An Approach for Software Reliability Model Selection // Proceedings of the 28th Annual International Computer Software and Applications Conference (COMPSAC'04), 2004. P. 534-539.

154. Bansiya J., Davis C. A Hierarchical Model for Object-Oriented Design Quality Assessment // IEEE Transactions on Software Engineering, 2002, V. 28, Iss. l.P. 4-17.

155. Basili V.R., Briand L.C. A validation of object-oriented design metrics as quality indicators // IEEE Transactions on Software Engineering, 1996, V. 22, Iss. 10. P. 751-761.

156. Briand L., Devanbu, P., Melo, W. An Investigation into Coupling Measures for С++ // Proceedings of the 1997 (19th) International Conference on Software Engineering, 1997. P. 412^121.

157. Bubnov V. P., Tyrva A. V., Khomonenko A. D. Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and

158. Fixing Moments // Proceedings of 35th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC 2011), 2011. p.p. 310-314.

159. Conolly B. W. Generalized State Dependent Eriangian Queues (speculation about calculating easure of effectiveness). —1. Appl. Probab., 1975, 12, No 2. P. 358-363.

160. Cheung R. C. A User-Oriented Software Reliability Model // IEEE Transactions On Software Engineering, 1980, V. 6, Iss. 2. P. 118-125.

161. Chidamber S.R., Kemerer C.F. A metrics suite for object oriented design // IEEE Transactions on Software Engineering, 1994, V. 20, Iss. 6. P. 476^193.

162. Cox P.R. A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes //Proc. Cambr. Soc, 1955, V.51. P. 313-319.

163. Darcy D.P., Kemerer C.F. OO Metrics in Practice // Software, 2005, V.22, N. 6.P. 17-19.

164. Dick S., Bethel C. L., Kandel A. Software-Reliability Modeling: The Case for Deterministic Behavior // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics—Part A: Systems and Humans, 2007, V. 37, Iss. 1. P. 106-119.

165. El-Emam K. Object-Oriented Metrics: A Review of Theory and Practice // Advances in software engineering, 2002. P. 23-50.

166. El-Emam K., Melo W., Machado J.C. The prediction of faulty classes using object-oriented design metrics // Journal of Systems and Software, 2001, V. 56. P. 63-75.

167. Farr W. Software Reliability & SMERFSA3. A Methodology and Tool for Software Reliability Assessment Электронный ресурс. Goddard Space Flight Center NASA, 2002. Режим доступа: http://www.slingcode.com/smerfs/downloads/NASATrainingMar2002.zip.

168. Fenton N.E., Neil, M. A critique of software defect prediction models // IEEE Transactions on Software Engineering, 1999, V. 25, Iss. 5. P. 675-689.

169. Gelenbe E., Mitrani I. Analysis and Synthesis of computer systems// Academic Press, 1980.-239p.

170. Genero M., Piattini M., Caleron С. A survey of metrics for UML class diagrams // Journal of Object Technology, 2005, V. 4, N. 9. P. 59-92.

171. Guo P., Lyu M.R. Software Quality Prediction Using Mixture Models with EM Algorithm // Proceedings of the The First Asia-Pacific Conference on Quality Software, 2000. P. 69-78.

172. Hadidi N. A. A queueing odel with variable arrival rates. — Period, ath. Hung., 1975, 77, No 1, p. 39-47.

173. Hosmer D. W., Lemeshow S. Applied Logistic Regression, Second Edition. New York: Wiley, 2000. - 392 p.

174. Huang C.-Y., Huang W.-C. Software Reliability Analysis and Measurement Using Finite and Infinite Server Queuing Models // IEEE Transactions On Reliability, 2008, V. 57, N. 1. P. 192-203.

175. Jelinski Z., Moranda P.B. Software Reliability Research // Proceedings of the Statistical Methods for the Evaluation of Computer System Performance. Academic Press, 1972. P. 465-484.

176. Kan S.H. Metrics and Models in Software Quality Engineering, Second Edition. Addison Wesley, 2002. - 344 p.

177. Kendall D. G. Some Recent Work and Further Problems in the Theory of Queues. // Теория вероятн. и ее применен. 1964. Т. IX. № 1. С. 3-15.

178. Khomonenko A.D., Bubnov V.P. A use of Coxian distribution for iterative solution of M/G/n/R<oo queueing systems // Probl. Of Control and Inform. Theory, 1985, V. 14, N 2. P. 143-153.

179. Khoshgoftaar Т. M., Munson J. C., Bhattacharya В. В., Richardson G. D. Predictive Modeling Techniques of Software Quality from Software Measures // IEEE Transactions on Software Engineering, 1992, V. 18, Iss. 11. P. 979987.

180. Kuhn P. R. Approximate Analysis of General Queueing Networks by Decomposition//IEEE Trans. On Conunun. 1979. Vol. 27. No 1. P. 113-126.

181. Musa J.D. The Measurement and Management of Software Reliability // Proceedings of the IEEE, 1980, V. 68, N. 9. P. 1131-1143

182. Takacs K. Investigation of Waiting Time Problems by Reduction to orkov processes //Act. ath. Acad. Sei. Hung. 1955. Vol. 6. P. 101-129.

183. Hadidi N. A. Ineary State Dependent Queues. // Progr. Statist. Vol. 1. Amsterdam— London, 1974. P. 303-308.

184. Zeifman A., Korotysheva A., Satin Y. On stability for Mt/Mt/N/N queue // Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 2010 International Congress. 18-20 Oct. 2010. P. 1102-1105.