автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы улучшения в задаче оптимального управления на сети операторов

на правах рукописи

Лемперт Анна Ананьевна

Методы улучшения в задаче оптимального управления на сети операторов

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в технике, экологии и экономике)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

ИРКУТСК - 2006

Работа выполнена в Институте

(ИД

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

хнамикк систем и теории упр 1С У) СО РАН

доктор физико-матем с.н.с. Батурин Владимир Ал<

доктор физиКо-математически аук, доцент Булдаев Александр Се! ¡вич

кандидат физико-математ доцент Сидоренко Геннадий

Ведущая организация:

Защита состоится 28 декабря ционного совета Д 003.021.01 в ЯСТ ул. Лермонтова, 134, зйл заседаний С диссертацией можно ознакоми ся Автореферат разослан 25 ноябр^рОО

Ученый секретарь д иссертационного совета лт.н.

Иркутский гххударствжнный унквери^г

6 г. в 15.00 час. на заседания

У СО РАН по адресу: 664033, Й еного Совета, ком. 407. в библиотеке ИДСТУ СО РАД. 6 года. •

т е;

Р уте;

ртаг

'К)

Опар] н Г.А

1

■ж

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время существует немало алгоритмов, предназначенных для решения задач оптимального управления. Бурное развитие в середине шестидесятых годов прошлого столетия этого раздела математики связано с требованиями практической деятельности людей. Многие процессы, имеющие место в технических системах, в экономике, в управлении деятельностью человеческого сообщества, моделируются учеными как задачи оптимального управления.

Основополагающими результатами теории оптимального управления являются: принцип максимума Л. С. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмана, достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова. На основе этих классических результатов созданы различные методы последовательных улучшений первого и второго порядка. Наиболее изученными оказались классы таких задач оптимального управления, как линейные, билинейные, квадратичные задачи. Свойства перечисленных классов задач позволяют упростить многие операции, необходимые для поиска решения, что приводит к созданию эффективных алгоритмов улучшения, однако встречающиеся на практике задачи по своей природе описываются более сложными структурами, такими, как многоэтапные процессы и сети операторов. Например, химические технологии, управление качеством воды в бассейне реки, литейное производство, процессы роста растений. Управление такими процессами может быть как точечным, так и распределенным по независимой переменной (по времени или расстоянию).

Таким образом, создание конструктивных методов решения задачи управления и, в частности, оптимального управления, актуально при исследовании такого рода объектов.

Цель работы - создать алгоритмы улучшения первого и второго порядков для решения задачи оптимального управления на сети операторов, рассмотреть задачу управления многоэтапным процессом как частный случай задачи оптимального управления на сети операторов и исследовать полученные новые алгоритмы на предмет их релаксационности и сходимости.

Методы исследования. При выполнении работы использовались аппарат дифференциального исчисления, элементы теории матриц и векторов, методы теории оптимального управления.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

• Для задачи оптимального управления многоэтапным процессом сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова, по-

строены методы сильного и слабого улучшения первого и второго порядков, доказаны свойства релаксационности и сходимости.

• Исследована задача параметрической идентификации как многоэтапный процесс, для нее адаптированы предложенные выше методы.

• Сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности для задачи оптимального управления на сети операторов, построены методы сильного и слабого улучшения второго порядка, доказаны свойства релаксационности и сходимости.

• Создана новая версия пакета по идентификации "ПСИ", на его основе разработал вычислительный сервер.

• Созданным программным комплексом решена задача идентификации коэффициентов по серии испытаний в модели движения вертолета типа "горка".

• На математической модели качества водных ресурсов бассейна р. Селенга решена задача нормирования сбросов загрязняющих веществ.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы могут использоваться при решении различных прикладных задач (технических, экономических, природ-но-экономических и др.). Работоспособность и эффективность этих алгоритмов подтверждена рядом тестовых примеров и решением задач эколого-экономическо-го и технического содержания.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на школе-семинаре молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: состояние и перспектива" (Аршан, 2001); на конференциях ИДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтения" (Иркутск, 2002, 2003); на Школе-семинаре молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования" (Ангасолка, 2002, 2003, 2004, 2005); на Всероссийской конференции "Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы" (Улан-Удэ - Байкал, 2003); на Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2004); на Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии" (Иркутск, 2004); на Международной конференции "ЕМУИ10М18'2004" (Томск, 2004); на Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004); на XIII Байкальской Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2005); на Всероссийской с международным участием кон-

ференции "Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании" (Северобайкальск, 2005); на VI Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии (Кемерово, 2005); на Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Павлодар, 2006).

Результаты работы обсуждались на семинарах лаборатории "Системного анализа и методов оптимального управления", кафедры теории систем Иркутского государственного университета и Объединенном семинаре ИДСТУ СО РАН.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список использованной литературы содержит 98 наименований. Общий объем диссертации - 95 страниц.

Краткое содержание диссертационной работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель научного исследования, отмечаются новизна и практическая значимость полученных результатов, дается обзор литературы по методам решения задач оптимального управления.

Первая глава посвящена исследованию задач управления для объектов с многоэтапной структурой.

! Рассматривается управляемый процесс, состоящий из нескольких этапов, причем момент окончания предыдущего этапа является моментом начала следующего этапа. Каждый этап описывается своей математической моделью:

dx* _

— = f\t,xl{t),u\t)),i = Q,p, t е fo, 7s+i]. (1)

Начальные условия на каждом этапе определяются из соотношений

х°(го) = к0 (а0), ¿(п) = = Т^. (2)

Функции xl(t) - кусочно дифференцируемы и принимают значения в евклидовом пространстве ul(t) € £/» С R"1^ - кусочно непрерывны; аг 6 Ai -векторные параметры из RT® к1 - заданные функции.

а = (а°,а\...,аР)'.

Множество троек (х,и,а), удовлетворяющих перечисленным условиям, а также дифференциальным связям (1) и начальным условиям (2), будем называть множеством допустимых и обозначать D, предполагается, что D ф 0.

Определим функционал

1(х, и, а) = F (хр(тр+1)) —* min. (3)

Поставим задачу о поиске последовательности {(xs, иа, а«)} С D, на которой J(xe, иа, аа) —*■ inf I = /», s —> оо.

Сформулируем и докажем обобщение теоремы Кротова о достаточных условиях оптимальности.

Введем следующие конструкции. Пусть <px(t, х\ a*) - функции, непрерывно дифференцируемые по своим аргументам, t € [г*, 7V+i],

R% x\ u\ a') = xS a')x\ v>) + ^(t, xf, a%

&(х*(ъ),х*(тш),а') = - (р*(п,х'(т4), а'),

GP(xP(rp),xP(rp+1),aP) = F(xp(tp+i)) +

L{x, u, a) = £

»=о

т.+t

^(х<(г<), х'(г|+1), a*) - / xf, u\

-<pP(rp,xP(rp),aP),

™(a)= inf Е^И^.^+О.«').

xl(ri+i)

a1) = sup Я{((, xw*, a*),

Z* = inf ^n(a) ~ E / Л*. a4)^ •

Теорема 1.1 (Достаточные условия оптимальности)

Пусть имеется последовательность {(x4,tis, а«)} С D и функции <pl(t, х', а1) такие, что:

£ ^(х*в(гО, x's(ri+1), <) - т(а3) -> 0;

¿=о

5. m(as)-E / ¿(t,4)dt-*l\

i- 0 7V

Тогда последовательность {(х8, ив,ав)} - минимизирующая, и всякая минимизирующая последовательность удовлетворяет условиям 1-3.

На основе доказанной теоремы разработаны алгоритмы последовательных улучшений второго порядка. При выводе алгоритмов разлагались приращения функций (? и Д1, г = 0, р в окрестности текущего приближения (х/, щ, а/) в ряд

Тейлора до слагаемых второго порядка, функции Кротова <£>*(£, х\ а1) задавались в классе линейно-квадратичных функций.

Алгоритм слабого улучшения второго порядка

1. На каждом этапе задаются начальные управления «}(£), параметры а}, из уравнений (1) и начальных условий (2) определяются х}(£).

2. Задается параметр а € (0,1] и из следующей системы находятся •0*(£), ст'(£),

г = ^Гр:

^ = -Ни + + (Н^ - (1 - а)^«)"1 Я<(| ^ = -Я^. - - + (#к< + а\/У (Я^. - (1 - а)^)"1 X

= • 41"% + г) • 4+1,

ар(тр+1) = —аРхрхр.

3. Подсчитываются а}/ = а} + Да1, где Да* вычисляются по формуле Да* = - [(^(г;) • 4<)'а, + • • ^ - (1 - X

4. Новая траектория определяется из уравнений (1) при условиях х°п(то) = к°(ап) и х}7(г{) = к1(тч,х)71(г»)>ая)> г = ТГр и управлениях и1 = + Диг(£, Дх1), где Ди* задаются формулой

Дгх< = - (Н^ - (1 - а)^))-1 (я*, + + /*сг<) Дх'), тем самым получаются и новые управления и}/ = -I- Дм*(£, — х}(г)).

5. Сравниваются значения функционалов 7(х/,и/, а/) и 1(хц,иц,ац). Если улучшения не произошло, то параметр а уменьшается и процесс повторяется, начиная с шага 2.

Для данного алгоритма доказана монотонность по функционалу последовательности, генерируемой алгоритмом.

Теорема 1.2 (о релаксационности алгоритма)

Пусть функция Р(хр) дважды дифференцируема, функции /*(£, х*, и*) дважды дифференцируемы и хотя бы на одном этапе управление не удовлетворяет условию стационарности //*;(£,х}(г),^»*(г), ^ 0 при а = 1.

Тогда алгоритм улучшает управление и7(£).

Алгоритм сильного улучшения второго порядка

1. На каждом этапе задаются начальные управления u)(t), параметры а}, из уравнений (1) и начальных условий (2) определяются x)(t).

2. Задается параметр a G (0,1] и из дифференциальных уравнений ^ = -Пхх< - er* - Нхф1) ,

1) = -<xFxP{Tp+l), ^ = - а'Щ^ - W^j - а'Щ^а1 + (1 -

a'(7i+i) = > к*1))* + ' • 4t1 - (1 - a)£»«,

aP(rp+1) = —ocFxpxJ> - (1 - a)£^> находятся -0*(£) и cr*(£).

3. По формуле Да* = - + - (1 - фн(т^ подсчитываются Да* и ахп = Oj + Да*.

4. Интегрируются уравнения

= fl(t,xx(t),ul(t,xxtipx(t) + а*(£)Дх*(£))),г = О,р, при условиях (2), тем самым находится Xj7(i) и uxrI(t) = u*(i,X//(i),V»*(£) + a*(i)(x/j(i) — х}(£))).

5. Сравниваются значения функционалов /(xj,uj,aj) и 1(хц, иц, а и). Если улучшения не произошло, то параметр а уменьшается и процесс повторяется, начиная с шага 2.

Теорема 1.3 (о релаксационности алгоритма)

Пусть функция F(xp) непрерывна и дважды дифференцируема, а функции Н1(-),Я*(-) и üx(t,xx,px) удовлетворяют условиям:

1) функции 7ix(£, х*, р*) непрерывны и непрерывно-дифференцируемы дважды по х\р1;

2) существуют непрерывные и дважды дифференцируемые по р1 функции ü*(t, х*, р*) такие, что Hx(t, хг, р\ üx(t, хх, р*)) = 7ix(t, х*, р*).

Тогда, если (xj(t),u}(£)) не является экстремалью Понтрягина, алгоритм определяет новые uxn{t)>axn и соответствующие траектории xln{t) такие, что 1(хц, щт, an) < 7(х/, w/, а/).

Во второй главе рассматривается более общая задача - задача оптимального управления на сети операторов.

В разделе 2.1 сформулирована постановка задачи и доказана теорема о достаточных условиях оптимальности.

Пусть задан ориентированный граф с вершинами i — О, N + к.

Обозначим А{ — множество индексов точек ] таких, что в заданном графе существует ребро ¿7, причем ] < г, В^ - множество индексов точек у таких, что в заданном графе существует ребро г./, причем з > г.

Пусть первые к вершин графа являются входными, а последние к вершин -выходными, т.е. = 0 при г = 0, к и = 0 при г = N + I, N + 1г.

На каждом ребре состояние процесса описывается своей математической моделью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений:

— = (4)

где € [т*, 7}], г = О, Ы, j € В{. Далее индексы у у £ будем опускать.

Начальные условия на каждом ребре определяются из следующих соотношений:

= г = 07к,

= /ь...,/р 6 Аи г = к+ТГЛГ. (5)

Функции ху'(£) - кусочно дифференцируемы и принимают значения в евклидовом пространстве € 17^ С ВГ1^ - кусочно непрерывны; а1^ € Лу -векторные параметры из к1! - заданные функции.

Обозначим = {x'J(i) : j e Bit г = ÖJ7}, u{ = {u^'(i) : j e B>, г = Ü777}, а1 = {а*> -.je Bit i = их— (^(i), ж^О. • • •

«« (и^О.иЧО.--.«^*))'.«« (a0.«1»--»^'.

Множество троек (x, и, а), удовлетворяющих перечисленным условиям, а также дифференциальным связям (4) и начальным условиям (5), будем называть множеством допустимых и обозначать D, предполагается, что D ^ 0. Определим функционал

/(*, u,a) = F (xs™>n+1(tn+1), ..., xs^+h(rn+h)) - min. (6)

Здесь Sie Ai.

В разделе 2.2 приводится вывод и обоснование алгоритмов слабого улучшения первого и второго порядков, исследуются их свойства. Алгоритм слабого улучшения

1. На каждом ребре задаются начальные управления ti/J(£), параметры а1/, из уравнений (4) и начальных условий (5) определяются xl/(t).

2. Задается параметр а € (0,1] и Tpl^(t)ta^(t), г = 0, N,j е В, находятся из уравнений:

^ = + + - (1 - а)^))"1 Н%

= £ -¥z{rj) • 4W,) при г = ÖJV, j € Bi, j < N,

zeBj v 31

ifrVfa) = -Fxij{Tj) при j = N + l,N + h, i e Л,,

^ = - ^ ~ - /+ (Д&«« + x X fe " (1 " a)^«))"1 (Я^ + /$a«) ,

<J<J(rj) = ' ^VX^) + ^V^'W'&fo,)] при г =ÖJf, je

Bi,j<N,

<rij(Tj) = -aFxü^)^^^) при j — N + 1,N + h, i e Aj.

3. Подсчитываются al/j — а)3 + Да*7, где

Да" = -[{ф'^Ы • - • a«(n) • - (1 - a)^)]"1 -

4. Новая траектория определяется из уравнений (4) при условиях

= ^ {п, ai/I), г = Tfjc, и

хЪ(т{) = к" (п,• • •, > к,1р е Аи г = к + 1, N

и управлениях и*' = и/({) + Аи'7(£, Ах1-7), где Аи1-7 задаются формулой

5. Сравниваются значения функционалов /(х/,и/,а/) и 1(хц,Щ1,ац). Если улучшения не произошло, то параметр а уменьшается и процесс повторяется, начиная с шага 2.

В разделе 2.3 строятся методы сильного улучшения первого и второго порядков, доказываются свойства релаксационности и сходимости.

Глава 3 посвящена программно-алгоритмической реализации методов улучшения и решению прикладных задач.

В разделе 3.1 дано описание комплекса программ для решения задачи параметрической идентификации, которая рассматривается как частный случай задачи оптимального управления многоэтапным процессом.

Пусть математическая модель управляемого объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

на Т — [Со, £]], где х(£) 6 К1, и{£) € Я™, а € /Г — вектор неизвестных параметров модели.

Наблюдения за объектом ведутся на некоторых отрезках времени Тг = [¿о, Ь\] С Г, г = 1 ,р, на каждом из которых известна вектор-функция дг (£, х, и, а), описывающая математическую модель оператора измерений над объектом, заданы вектор начальных состояний х (¿о), вектор значений оператора измерений на всем отрезке времени д1 (¿), а также математическая модель оператора измерений С (¿¡,х, а) при £ = ¿1 и вектор его значений СР.

Задача параметрической идентификации состоит в поиске таких коэффициентов модели, чтобы математическая модель (7) описывала наилучшим образом поведение объекта, например, в смысле минимума функционала отклонения полученных расчетных результатов от реально измеренных величин:

и-Х

— = /(£,х(£),м(£),а)

(7)

+

ОД = £ [(<?*(*{, **(*,), а) - (<*(*},**(«,), а) - &)+ / (д% х'(£), «'(О, а) - ЗЧОУ/ЗЧО(д% *'(«). «'(0.а) ~ .

где ßl(t) и <5* - диагональные положительно определенные матрицы.

Сформулированная задача укладывается в общую постановку из раздела 1.1, так как необходимо определить параметр а, а управления ux{t) считаются заданными функциями. Аналогом этапов в данном случае будут служить отрезки времени Т*, на которых производятся измерения.

На основе алгоритмов, изложенных в разделе 1.4, разработан программный комплекс, предназначенный для решения задачи параметрической идентификации "ПСИ". Комплекс реализован в операционной среде Windiws 98/2000/ХР на языке Visual Fortran 5.0. Структурная схема комплекса "ПСИ" представлена на рисунке.

Протокол ——

Пользователь

Головная программа

Подпрограммы описания задачи

Вычислительные процедуры

Методы, градиентного типа

Т

Методы кваэнньютоновского тлпа

J

Дополнительные вычислительны^ процедуры

Модули интегрирования ОДУ

Модули вычисления, производных:

Модуль одномерной минимизации

Модуль вычисления интегралов

Модуль проверки на непротиворечивость

Модуль обращения матриц

Модуль вычисления определителя

Модули печати результатов

Рис. 3.2: Структурная схема комплекса "ПСИ"

Комплекс содержит 8 методов, в том числе, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов и метод квази-Ньютона.

В настоящий момент на основе комплекса "ПСИ" создано "клиент-серверное" Интернет-приложение, что позволяет проводить расчеты с любого места, обеспеченного доступом в Интернет.

Пользователь работает с программной системой через интерфейс WEB-сайта. Данные обрабатываются на серверной части: библиотека, установленная на сервере, отвечает за ввод начальных данных, а также обращается к компилятору Fortran для получения результатов расчета в виде html-страницы. Компиляция проходит на сервере, используется компилятор Visual Fortran 5.0. Вычислительный сервер доступен по адресу: http://giscenter.icc.ru:8082/scripts/TIdent.dll/main

Раздел 3.2 содержит описание тестовых примеров и практических задач, ниже приведем некоторые из них.

Пример. Рассматривается связанная система ¿i = sin (axi) • Х2, xi(l) = 1, ±2 = bxl + cxi, хг(1) = 1, t е [i, 1.5].

Измерения берутся из численного интегрирования вышеуказанной системы при а = 1.2, 6= 1.5, с= -5.

Метод Начальное значение Полученное значение Значение Число

параметра параметра функц-ла итерац.

а b с а Ь с

Наискор. 1.000 1.500 0.100 1.5770 1.4437 -4.9164 0.55167Е-04 43

спуск -1.000 0.500 -1.500 1.6147 1.4772J -4.9350 0.53919Е-04 49

-0.100 1.000 2.000 1.5506 1.4815 -4.9358 0.51648Е-04 101

Сопряж. 1.000 1.500 0.100 1.6362 1.4778 -4.9360 0.53612Е-04 13

градиент -1.000 0.500 -1.500 1.2111 1.5552 -4.9909 0.32209Е-06 26

-0.100 1.000 2.000 1.5977 1.4785 -4.9352 0.53787Е-04 24

Второй 1.000 1.500 0.100 1.2009 1.5764 -5.0035 0.93365Е-07 20

порядок -1.000 0.500 -1.500 1.9562 1.5584 -5.0055 0.21820Е-04 12

-0.100 1.000 2.000 1.1960 1.5738 -5.0019 0.58876Е-07 20

Сложный нелинейный характер системы приводит к ухудшению сходимости алгоритмов. Значительное влияние оказывает выбор начального приближения и точность, но даже в этом случае метод 2-го порядка работает эффективнее других алгоритмов. |

Идентификация коэффициентов по серии испытаний в модели движения вертолета.

Уравнения модели аналогичны уравнениям, принятым при маневрах типа "горка" или "пикирование". Они имеют вид:

= АУХ + Х2АУу + Х3иг — д бш(1/ — <р3) + <78т(цэ — <£>з)+ 4-АУушг + ХАщ + Х5и2 + Х6Аи,

ау. = у, + у«лу. 4-1

л

-угАУу = У\ + У2АУу + У3ш2 — д соэ(1/ — <р3) + д соб^о — Уз) + УаЩ + У5и2 + У&Аш,

—шг = М\АУХ + М2АУу + М3иг + М^щ + М5и2 + М6 Аш,

л

-А

|ДЯ = (УХо + АУХ) зт(и - ср3) + (У^ + Д\^) сов^ - ср3),

а - ____ __

—Да; = МуАУх + М2АУу + М3и>г + М^щ + М5и2 + М$Аш + М7АМкЭв,

^ДМкэв = (ЬАи - АМкЭв) Тдв.

Здесь Ух - горизонтальная скорость, Уу - вертикальная скорость, шг - угловая скорость по тангажу, Аш - изменение оборотов несущего винта, Аи - угол тангажа, Мкдв - располагаемая мощность, Н - высота.

М2 = 0.018аь

М3 = (-0.4 - 0.0024 (УХ0 + Д14)) а2,

М4 = 8.3а3,

М2 = (-0.125 + 0.000134 (14о + АУХ ~ 52.8)2) а4,

М4 = 0.066 {УХо + АУХ) а5.

Параметры модели а\, а2, аз, а4) 05 подлежат определению. Они вычисляются по серии из пяти испытаний на отрезке времени 6 секунд. Измеряются величины АУХ ,Дг/, До;. Для решения задачи использовались 3 метода: алгоритм наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и алгоритм улучшения второго порядка (квазиньютоновский метод).

Было проведено два вычислительных эксперимента. Первый - с наперед заданными параметрами (ах = 1.5, а2 — 0.8, аз = 1, а4 = 1.3, а$ = 0.9), а сами испытания выбирались как решение исходной системы дифференциальных уравнений. Во втором эксперименте испытания снимались с реального объекта.

В качестве начального приближения выбирались а» = 0.8, г = 1,5 . В ходе решения все методы показали требуемую точность и сошлись к одной точке.

Нормирование воздействий в системе рек.

Распространение загрязнений в русле реки часто описывают с помощью уравнений турбулентной диффузии или системой уравнений Навье-Стокса. Однако, задачи оптимального управления или нормирования для таких моделей в настоящее время из-за трудностей вычислений неразрешимы. Во многих работах с помощью процедур осреднения такие задачи сводят к задаче управления для обыкновенных дифференциальных уравнений, как, например, сделано в монографии Г.Н. Константинова1. Используя уравнения из данной работы и рассматривая проблему качества водных ресурсов для бассейна р. Селенги, сформулирована задача оптимального управления качеством моделируемого объекта. Эту задачу можно формализовать как задачу управления на сети операторов. В разделе 3.2 с помощью алгоритмов, полученных в главах 1 и 2, решена задача нормирования сбросов загрязняющих веществ: максимизация сбросов при ограничении на концентрацию в заданных точках. Приводятся расчеты и обсуждаются результаты.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Доказаны теоремы о достаточных условиях оптимальности для задач оптимального управления многоэтапными процессами и на сети операторов.

2. Для многоэтапных процессов получены методы сильного и слабого улучшений второго порядка. Исследованы свойства релаксационности и сходимости.

3. Поставлена задача оптимального управления на сети операторов, выведены алгоритмы последовательных улучшений второго порядка. Исследованы свойства улучшаемости и сходимости.

4. Модифицирован комплекс программ по параметрической идентификации "ПСИ" в версии удаленного доступа.

5. Решена задача параметрической идентификации модели вертолета Ка-32 маневра типа "горка".

6. Для бассейна р. Селенга на математической модели качества воды решена задача нормирования сбросов загрязняющих веществ.

'Г.Н. Константинов. Нормирование воздействий на динамические системы. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1983. - 181 с.

Публикации по теме диссертации

1. Батурин В.А. Многоэтапные процессы и методы улучшения в задачах оптимального управления / В.А. Батурин, A.A. Лемперт // Вычислительные технологии. - 2003. - Т.8. - С. 103-108.

2. Батурин В.А., Лемперт A.A. Методы улучшения для задачи оптимального управления многоэтапными процессами // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы: материалы Всероссийской конференции. -Улан-Удэ, 2003. - Часть I. - С. 28-32.

3. Батурин В.А. Программная система идентификации динамических моделей / В.А. Батурин, A.A. Лемперт, Д.Е. Урбанович // Математическое моделирование. - 2004. - Т. 16, ЖЗ. - С. 110-113.

4. Гаченко A.C., Лемперт A.A., Урбанович Д.Е. Разработка вычислительного сервера на основе комплекса программ по параметрической идентификации // Информационные и математические технологии: труды Байкальской Всероссийской конференции. - Иркутск - 2004. - С.147-152.

5. И.В. Бычков, A.C. Гаченко, A.A. Лемперт, Д.Е. Урбанович. Разработка вычислительного сервера с удалённым доступом на примере комплекса программ по параметрической идентификации // Материалы Международной научной конференции по вычислительной математике. - Новосибирск.- 2004. - С. 38-40.

6. Лемперт A.A. Применение удаленного вычислительного сервера для обучения построению динамических моделей / A.A. Лемперт, A.C. Гаченко, Д.Е. Урбанович // Вычислительные технологии. - 2004. - Т.9, ч.З. - С. 87-91.

7. Лемперт A.A. Оптимизация сбросов загрязняющих веществ в бассейн реки при экологических ограничениях /A.A. Лемперт, Д.Е. Урбанович // География и природные ресурсы. - 2004. - Специальный выпуск. - С. 212-215.

8. Батурин В.А., Лемперт A.A. Метод сильного улучшения в задачах оптимального управления многоэтапными процессами // Методы оптимизации и их приложения: труды XIII Байкальской Международной школы-семинара. -Иркутск, 2005. - Т.2. - С. 105-110.

9. A.A. Лемперт. О методах улучшения для задач оптимального управления многоэтапными процессами // Математическое моделирование и информационные технологии: тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых. - Кемерово, 2005. - С. 22-23.

10. A.A. Лемперт. Метод улучшения неоптимальных экстремалей в задачах оптимального управления многоэтапными процессами // Проблемы теоретической и прикладной математики: труды 37-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 2006. - С. 340-344.

11. В.А. Батурин, A.A. Лемперт. Методы слабого улучшения в задаче оптимального управления на сети операторов // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании: труды Международной конференции. - Павлодар, 2006. - Т.2. - С. 3-10.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134 Подписано к печати 24.11.06.

Формат бумаги 60 х 84 1/16 объем 1 п.л. Заказ 7. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Введение

1 Многоэтапные процессы

1.1 Постановка задачи и достаточные условия оптимальности.

1.2 Методы слабого улучшения.

1.2.1 Вывод алгоритмов.

1.2.2 Свойства алгоритмов.

1.3 Методы енлыюго улучшения.

1.3.1 Вывод алгоритмов.2

1.3.2 Свойства алгоритмов.

1.4 Задача идентификации по серии экспериментов.

2 Оптимизация на сети операторов

2.1 Постановка задачи.

2.2 Методы слабого улучшения.

2.2.1 Вывод алгоритмов.

2.2.2 Свойства алгоритмов.

2.3 Методы сильного улучшения.

2.3.1 Вывод алгоритмов.

2.3.2 Свойства алгоритмов.

3 Программно-алгоритмическое обеспечение, тестовые примеры и задачи

3.1 Описание программного комплекса но идентификации.

3.2 Примеры и задачи.G

3.2.1 Модельные примеры.G

3.2.2 Задача идентификации коэффициентов по серии испытании в модели движения вертолета

3.2.3 Задача нормирования сбросов загрязняющих веществ.

В настоящее время существует немало алгоритмов, предназначенных для решении задач оптимального управления. Бурное развитие с середины шестидесятых годов прошлого столетия этого раздела математики связано с требованиями практической деятельности людей. Многие процессы, имеющие место в технических системах, и экономике, в управлении деятельностью человеческого сообщества, моделируются учеными как задачи оптимального управления.

Основополагающими результатами теории оптимального управления являются: принцип максимума Л.С. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмапа, достаточные условия оптимальности В.Ф.Кротова. На основе этих классических результатов созданы различные методы последовательных улучшений первого и второго порядка. Наиболее изученными оказались такие классы задач оптимального управления как линейные, билинейные, квадратичные задачи. Свойства перечисленных классов задач позволяют упростить многие операции, необходимые для поиска решения, что приводит к созданию эффективных алгоритмов улучшения. Сложнее обстоит дело, когда надо решать задачу оптимального управления нелинейной системой, характер нелинейности которой не известен заранее.

Алгоритмы последовательных улучшений, разработанные в предположении, что система и функционал имеют общин вид, как правило, содержат параметры, роль которых - регуляторы шага, обеспечивающие эффективное решение задачи улучшения. В результате, эффективность такого алгоритма в той пли иной степени (иногда в очень большой) зависит от выбора значений параметров. В то же время вопрос выбора наилучших значении параметров либо сводится к решению одномерной задачи минимизации (если она не трудоемка, то решение вопроса закрыто), либо часто не рассматривается, считается достаточным указать только область допустимых значений. Поэтому при практическом решении задачи оптимального управления достаточно хорошие значения параметров алгорнтма обычно находятся методом "проб и ошибок", отнимая у пользователя много вре

Л1СШГ.

Таким образом, актуальной является проблема управления параметрами алгоритма, и частности, проблема автоматизации поиска наилучших значений параметров на каждой итерации.

Краткий обзор. Разнообразие задач оптимального управления, возникающих в практической деятельности людей, и различимо подходы к их решению обусловили создание разных групп методов (алгоритмов, вычислительных процедур). Одни из таких подходов заключается в распространении на задачи оптимального управления методов, основанных на необходимых условиях оптимальности.

Большую группу составляют методы градиентного типа |Брайсои, Хо Ю-Ши, 1972; Васильев О.В., 1994; Васильев О.В., Лргучинцев, 1999; Колли, 19G5; Кротов, Гурман, 1973; Поляк, 1974; Сеа, 1973; Федоренко, 1978; Шатровский, 1902; Энеев, 19CGJ. При наличии ограничений на управление и фазовые переменные в градиентных методах первого порядка возникают трудности, которые преодолеваются путем модификации алгоритмов. Некоторые модификации связаны с методом штрафных функций [Гермейер, 1971], друг ие - это методы спуска в пространстве управлений, представляющие собой аналоги методов конечномерной оптимизации: условного градиента, проекции градиента [Демьянов, Рубинов, 19G8; Федоренко, 1975], возможных направлений [Зойтендейк, 19G3; Гюрджиев, 1980|; сопряженных градиентов [Брайсоп, Хо Ю-Ши, 1972; Федоренко, 1978].

В отдельную группу можно выделить методы, основанные на применении разнообразных алгоритмов нелинейного программирования к конечномерным представлениям задач оптимального управления [Евтушенко, 1982; Моисеев, 1975; Мордухович, 1980; Пшеничный, Данилин, 1975].

Еще одну группу составляют метод вариаций в фазовом пространстве [Васильев Ф.П., 1980; Моисеев, 19G4, I960, 1975; Федор емко, 1978] и его разновидности: метод локальных вариаций |Крылов, Черноусько, 19GG; Черноусько, Баничук, 1973] и метод блуждающей трубки |Моисеев, 19в6].

Открытый Л.С. Понтрягиным принцип максимума широко используется для построении вычислительных методов решения задач оптимального управления [Аргучпнцеп, Васильев О.В., 199G; Васильев О.В., 1991; Васильев О.В., Бельгюков, Терлецкип, 1991; Васильев О.В., Надежкпна, 199G; Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий, 1990; Васильев

О.В., Тятюшкнн, 1981,1983; Васильсн Ф.П., 1980, 1981; Любушип, Черноуоько, 1983; .Моисеев, 1975; Срочко, 1989; Федореико, 1978; Чериоусько, Колмаиовскнй, 1977]. Эти работы наиболее полное отражение нашли в монограмме В.А. Срочко |Срочко, 2000]. Простейший алгоритм предложен к работе |Крылов, Чериоусько, 19G2J, он предусматривает последовательное интегрирование исходной и сопряженной систем и выбор управления ни условия максимума функции Понтряпша. Метод далеко не всегда сходится, однако известны его модификации, обладающие релаксационностыо и сходимостью [Крылов, Чериоусько, 1972; Любушип, 1979, 1982; Цирлин, Балакирев, Дудников, 197G|.

Для линейных и выпуклых :задач оптимального управления принцип максимума JI.С. Поптрягина является не только необходимым, по и достаточным условием оптимальности. Шитому во всех случаях, когда управляемые процессы можно с достаточной степенью точности моделировать (аппроксимировать) линейными уравнениями, целесообразно применять методы, ориентированные на решение задач оптимального управления для линейных систем [Габасов, Кириллова, 1973, 1981, 1983; Еремин, Астафьев, 197G; Оптимальное управление ., 1993) и методы линеаризации [Федореико, 1978].

В работах [Аэродинамика, 1968; Jacobson, 19G8J предложены методы, основанные на разложении до второго порядка включительно функции Беллмапа и левой части уравнения Беллмана. Для обеспечения близости соседних приближений предлагается применять процедуру не на всем отрезке [fo, U], а на последней его части [г, ti] , при этом г выступает в алгоритме как регулятор.

Развитие методов, основанных на принципе расширения, началось с теоремы В.Ф. Кро-това, указывающей достаточные условия оптимальности. В этих условиях присутствует функция, получившая название функции Кротова (Кротова-Беллмана), которая определяется иеединствеиньш способом, что дает возможность создавать различные алгори тмы для решения задач оптимального управления. Первые такие алгоритмы описаны в работах |Кротов, 19G2-19G5, 1975; Кротов, Букреев, Гурман, 19G9; Кротов, Гурман, 1973]. В трудах В.II. Гурмана метод Кротова получил дальнейшее развитие и название "принципа расширения". В работах [Кротов, Фельдман, 1978, 1983] представлен алгоритм последовательных улучшений управления, основанный на достаточных условиях оптимальности. На каждой итерации этого алгоритма выполняется интегрирование сопряженной и линейной матричной систем н замыкание исходной системы синтезирующим управлением с липейно-квадратической аппроксимацией функции Кротова.

Следует отметить работы А.И. Москаленко по теоремам сравнения и динамических системах, которые дали толчок для разработки методов решения задач оптимального управления распределенным» системами |Москаленко, 1983].

В.И. Гурманом и его учениками были созданы алгоритмы последовательных улучшений первого и второго порядка [Батурин, Урбановпч, 1997; Гурман, 1997; Гурман, Батурин, Расина, 1983; Гурман, Расина, 1979; Новые методы ., 1987|, в которых используется тейлоровское представление с точностью до первого или второго порядка функции Кротона в окрестности текущего приближения. При этом может оказаться, что траектория следующего приближения удаляется от текущей в область, где липейно-квадратическое приближение функции Кротона "не работает", так что улучшение происходить не будет. Для преодоления этой трудности в алгоритмах применены специальные регуляторы близости: в |Гурмаи, Батурин, Расина, 1983] - а;1дитивный квадратичеекий функционал с регулируемым весом, в [Батурин, Урбановпч, 1997] строится вспомогательный функционал, состоящий из суммы исходного п квадратнческого функционалов, умноженных на весовые коэффициенты. Если требование близости накладывается на обе компоненты процесса - состояние и управление, то такой алгоритм называют алгоритмом слабого улучшения, если требование близости накладывается только на компоненту состояния, то это алгоритм сильного улучшения. Для алгоритмов сильного и слабого улучшения второго порядка доказаны свойства релаксацноппости и сходимости |Батурии, Урбановпч, 1997), они улучшают любую не оптимальную в локальном смысле программу управления, в том числе и экстремаль Поптрягина.

Среди методов, основанных па принципе расширения, можно выделить в отдельную группу методы, которые основаны на локальных аппроксимациях множества достижимости управляемой дифференциальной системы [Батурин, Гончарова, 1999; Гончарова, Гуркало, 2004; Гурман, Батурин, 1985; Гурман, Константинов, 1981; Константинов, 1983].

При практическом решении задач оптимального управления с помощью наиболее распространенных методов (принципа максимума Поп трягина, принципа оптимальности Белл-мана и модификаций классических методов) исследователи столкнулись с различными трудностями: отсутствие искомого оптимального режима в классе сравниваемых, множественность решений, отвечающих необходимым условиям, неприменимость известных достаточных условий. Задачи, в которых встречались подобные трудности, были выделены и отдельный класс задач оптимального управления, получивший название "вырожденные задачи". На основе принципа расширения создано немало эффективных методов для решения вырожденных задач оптимального управления (Гурман, 19G7, 1977; Гурман, Батурин, 1980, 1981; Гурман, Расина, 1979; Дыхта, 1991, 1991; Дыхта, Деренко, 199 i; Дыхта, Самсошок, 2000; Казаков, Кротов, 1987; Колоколышкова, 1992; Baturin, Vcrkliozina, 2003).

В алгоритмах сильного и слабого улучшения второго порядка, изложенных в работе |Батурин, Урбаиоиич, 1997], на каждой итерации необходимо интегрировать векторно-матричиую систему дифференциальных уравнений, зависящую от параметров, которые как раз и выполняют роль регуляторов близости (шага). Значения этих параметров задаются в самом начале работы алгоритма и определяют глубину улучшении функционала, а следовательно, и ход всего итерационного процесса. Изменение параметра влечет за собой переинтегрирование вспомогательной системы, а это самый трудоемкий процесс в этапах алгоритма. Удачный выбор значений параметров может существенно повысить эффективность работы всего алгоритма. Исследование проблемы поиска наилучших значений параметров алгоритма потребовало рассмотрения особого класса задач оптимального управления - задач оптимального управления с параметром. Схемы (алгоритмы) решения этих задач методами второго порядка предложены в [Батурин, Урбанович, 1997].

Многоэтапные процессы и более сложные описания объектов такие, как сети операторов, достаточно часто встречаются на практике. Например, химические технологии, управление качеством воды в бассейне реки, литейное производство, процессы роста растений. Управление такими процессами может быть как точечным, так и распределенным но независимой переменной (по времени пли расстоянию), поэтому задачи управления и, в частности, оптимального управления важны при исследовании такого рода объектов.

Первые исследования многоэтапных процессов проводились в работах [Гурман, Орлов, 1973; Орлов, Расина, 19G9; Габелко, 1974]. Для обслуживания перехода между этапами здесь дополнительно вводилась дискретная функция Кротона.

Задача построения управления для нелинейных гибридных систем рассматривается в работах |Toiiilin, Lygeros, Sastry, 1998, 2000).

В работе [Гайшун, 2005] рассматриваются многошаговый процесс, динамика которого на каждом шаге описывается системой линейных дифференциальных уравнений. Показано, что ряд свойств всего процесса полностью определяется аналогичными свойствами каждого звена.

Цель работы - создать алгоритмы сильного и слабого улучшения черного и второго порядков для решения задачи оптимального'управления па сети операторов, рассмотреть задачу управления многоэтапным процессом как частный случай задачи оптимального управления па сети операторов и исследовать полученные новые алгоритмы на предмет их релаксациопности и сходимости.

Объект исследования - задача оптимального управления и алгоритмы последовательных улучшений для ее решения.

Структура работы. Работа состоит из трех глав, введения, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена исследованию задач управления для объектов с многоэтапной структурой. Здесь сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности типа Кротона, построены методы сильного и слабого улучшения 1 и 2 порядке»!, для методов 2 порядка доказаны свойства релаксациопности и сходимости, здесь же рассматривается задача параметрической идентификации по серии экспериментов, которую можно интерпретировать как многоэтапный процесс и для нее, соответственно, адаптируются предлагаемые методы.

Во второй главе рассматривается более общая задача: задача оптимального управления на сети операторов. Для данной постановки также сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности, построены методы сильного и слабого улучшения ] и 2 порядков, исследованы их свойства.

В третьей главе приводится описание комплекса программ но идентификации. На серии тестовых задач проводятся вычислительные эксперименты. Также здесь приведены результаты решения практической задачи идентификации коэффициентов модели движения вертолета по серии экспериментов.

В заключении излагаются основные результаты диссертации.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе автором, являются новыми. К ним о тносятся новые алгоритмы, исследование их свойств, решение тестовых примеров.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы могут использоваться при решении различных прикладных задач (технических, экономических, природио-экопомичес-кнх и др.). Работоспособность и эффективность этих алгоритмов подтверждена рядом тестовых примеров.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на школе-семинаре молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: состояние и нерснектива"(Аршаи, 2001), па конференциях ПДСТУ СО РАН "Ляпуновские чтепия"(Пркутск, 2002, 2003), на Всероссийской конференции "Ппфоком-муиикациоиные и вычислительные технологии и системы"(г. Улан-Удэ - Байкал, 2003), па Всероссийской конференции "Математика, информатика, уиравление"(Пркутск, 2004), на Байкальской всероссийской конференции "Информационные и математические технологии" (Иркутск, 2001), на Международной конференции "ENTVIROMIS'2001"(Томск, 2001), на Меж;1ународной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004), на XIII Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения", (Иркутск, 2005), на Всероссийской с международным участием конференции "Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании"(Северобайкальск, 2005), па VI Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии (Кемерово, 2005), па Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании"(Павлодар, 200G).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [5-9,13,27,02-05].

Заключение

Б диссертационном работе получены следующие результаты:

1. Доказаны теоремы о достаточных условиях оптимальности для задач оптимального управления многоэтапными процессами и па сети операторов.

2. Дня многоэтапных процессов получены методы сильного и слабого улучшения второго иорядка.Исследовапы свойства релаксационности и сходимости.

3. Поставлена задача оптимального управления на сети операторов, выведены алгоритмы последовательных улучшений второго порядка. Исследованы свойства улучшаемое™ п сходимости.

1. Модифицирован комплекс программ но параметрической идентификации "ПСИ" в версии удаленного доступа.

5. Решена задача параметрической идентификации модели вертолета Ка-32 маневра типа "горка".

G. Для бассейна р. Селенга на математической модели качества воды решена задача нормирования сбросов загрязняющих веществ.

1. Батурин В.А. Приближенные методы оптимального управления, основанные па принципе расширения / В.А. Батурин, Д.Е. Урбапович. Новосибирск : Наука. Спб. Предприятие РАН. 1997. - 175 с.

2. Батурин В.А. Многоэтапные процессы и методы улучшения в задачах оптимального управления/ В.А.Батурин, А.А.Лемперт // Вычислительные технологии. 2003. - Т.8. - С. 103-108.

3. Батурин В.А. Метод сильного улучшения в задачах оптимального управления многоэтапными процессами / В.А. Батурин, А.А. Лемперт // Труды XIII Байкальскоймеждународной школы-семниара "Методы оптимизации и их приложения Иркутск, 2005.-т. 2, С. 105-110.

4. Васильев О.В. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление / О.В. Васильев, В.А. Срочко, В.А. Терлецкий ; отв. ред. докт. физ.-мат. паук А.II. Меренков. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-иис, 1990. - 151 с.

5. Васильев О.В. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном па принципе максимума / О.В. Васильев, А.И. Тятюшкип // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1981. - т. 21, G. - С. 137G-1384.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М. : Наука, 1980. 520 с.22j Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М. : Наука, 1981. - 400 с.

7. Гапшуи И.В. Исследование некоторых задач математической теории систем для многошаговых процесов / II.В. Гайшун // Теория систем и общая теория управления. -2005. .\"2. - С. 5-9.

8. Гачеико А.С. Разработка вычислительного сервера на основе комплекса программ по параметрической идентификации / А.С. Гачеико, А.А. Лемнерт, Д.Е. Урбапович //

9. Гурман В.II. Метод кратных максимумов и условия относительной оптимальности вырожденных режимов // Автоматика и телемеханика. 19G7. - Л'8 11. - С. 38-45.

10. Гурман В.II. Вырожденные задачи оптимального управления / В.II. Гурман. М. : Наука, 1977. - 304 с.32| Гурман В.II. Принцип расширения в задачах управления / В.И. Гурман. М. : Наука, 1997. - 288 с.

11. Гурман В.И. О практических приложениях достаточных условии сильного относительного минимума / В.И. Гурман, II.В. Расина // Автоматика и телемеханика. -1979. №10. - С. 12-18.

12. Гюрджиев В.Г. Метод возможных направлений для решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями / В.Г. Гюрджиев. М., 1980. - 13 с. - Дсп. в ВИНИТИ 18.09.1980, Л» 4099-80 Деп.

13. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов // Снб. матем. жури. 1991. - Т. 35, 1. - С. 70-82.

14. Еремин II.II. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования / II.II. Еремин, Н.Н. Астафьев. М.: Наука, 197G. - 191с.47| Зойтепденк Г. Методы возможных направлений / Г. Зойгендейк. М. : Пзд-во иностр. лит., 1903. - 170 с.

15. Колоколышкова Г.А. Исследование обобщенных решений задач оптимального управления с линейными неограниченными управлениями па основе кратных преобразований // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28, № 11. - С. 1919-1932.

16. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы / Г.Н. Константинов. Иркутск : Пзд-во Иркуг. ун-та, 1983. - 187 с.

17. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений : (I, II) // Техн. кибернетика. 1975. 5. - С.3-15; № G.- С. 3-13.

18. Кротов В.Ф. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета / В.Ф. Кротов, В.З. Букреев, В.И. Гурман. М. : Машиностроение, 19G9. - 288 с.

19. Кротов В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В.II. Гурман.- М. : Наука, 1973. 448 с.

20. Кротов В.Ф. Итерационный метод решения экстремальных задач / В.Ф. Кротов, И.II. Фельдман // Моделирование технико-экономических процессов. М. : МЭСИ, 1978.- С. 54-G5.

21. Лемперт А.А. Оптимизация сбросов загрязняющих веществ в бассейн реки при экологических ограничениях /А.А. Лемиерт, Д.Е. Урбапович // География и природные ресурсы. 2004. - специальный выпуск - с. 212-215.

22. G8| Любупшп А.А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А.А. Любупшп, Ф.Л. Черноусько ,// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - 2. - С. 147-159.

23. Пшеничный Б.М. Численные методы в экстремальных задачах / Б.М. Пшеничный, IO.M. Данилин. М. : Наука, 1975. - 320 с.

24. Чериоусько Ф.Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф.Л. Чериоусько. В.Б. Колмаповскнй // Математический анализ. Итоги науки и техники. 1977. - Т. 14. - С. 101-100.