автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы решения выпуклых задач оптимизации и управления системами с сосредоточенными параметрами

На правах рукописи

Карюкина Юлия Геннадьевна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына Российской Академии Наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Ишмухаметов А.З.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Егоров А.И. доктор физико-математических наук Абрамов А.П.

Ведущая организация: Центральный экономико-математический

институт РАН.

Защита диссертации состоится часов на заседании

диссертационного совета Д 002.017.03 в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН им. A.A. Дородницына.

Автореферат разослан QjlMh L4gQ06r.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук Мухин A.B.

Актуальность темы.

Характерной особенностью современной научно-технической революции является стремительный рост объема потоков различных видов информации: научной, технической, экономической, политической и др.; усложнение и расширение спектра общественных, коллективных и индивидуальных информационных потребностей, возрастание ценности информации, которая превращается в один из важнейших ресурсов социально-экономического и научно-технического прогресса. Развитие систем обработки информации привело к становлению целой индустрии информатизации, что позволяет обществу более совершенно использовать накопленные знания в науке, технике, экономике, социальной сфере. Итак, значение информации в жизни общества трудно переоценить. Доведение информации до конкретного потребителя в необходимом объеме, своевременно и в удобной для использования форме позволяет минимизировать затраты трудовых ресурсов.

Теория управления представляет собой довольно обширную область науки. Она находит применение в различных сферах человеческой деятельности, начиная с управления конкретными объектами и кончая управлением в области политики и общественных отношений. Во всех этих сферах работают свои законы, определяющие динамику соответствующих систем. Во многих случаях они выражаются четкими математическими соотношениями. Тогда основные понятия теории управления и свойства управляемых систем можно сформулировать в математических терминах и на этой основе получать новые закономерности в достаточно общем виде. Сложная ситуация в сфере экономики и общественных отношений. Математические зависимости в этой сфере человеческой деятельности удается получить лишь в отдельных случаях. Тем не менее, основные понятия теории управления (управляемость, наблюдаемость, оптимальность и т.д.) здесь используются достаточно широко.

Развитие рыночной экономики ставит вопрос о разработке методов управления микроэкономическими системами и, таким образом, представляет новую область применения теории систем управления. Вместе с тем экономические системы представляют, как правило, нелинейные объекты со специфическими велинейностями, требующими разработки специальных методов.

Традиционные модели экономики основаны на статистических соотношениях баланса и по существу не могут использоваться для анализа влияния фактора времени на эффективность экономических решений. В условиях динамически изменяющейся

экономической ситуации полезность статических моделей весьма ограничена. Многие явления реальной экономической ситуации могут быть объяснены только динамическими моделями экономических процессов. Построение динамических моделей экономических систем долгое время были связаны с описанием макроэкономических процессов. Модели микроэкономических процессов оказываются более сложными, так как требуют учета многих локальных факторов, влияние которых в макроэкономических явлениях осредняются. Вместе с тем потенциальная область использования микроэкономических моделей значительно шире чем макроэкономических. Например, они могут использоваться предпринимателями для анализа и последующего выбора принимаемых экономических решений. Такие модели могут составлять основу экспертных систем поддержки принятия решений в бизнесе.

Многие процессы важные для современной техники и экономики управляемы, то есть, эти процессы могут протекать различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос, как управлять процессом наилучшим образом (оптимально), как применять для этих целей математические методы. Математически сформулированные вопросы являются задачами оптимального управления.

При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления, как и в других областях вычислительной математики, возникает проблема построения эффективных и обоснованных численных методов. При этом важно априори знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям, и иметь оценки скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М.Будака, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, Р.Ф.Габасова,

A.Дончева, А.И.Егорова, Ю.М.Ермольева, Ю.Г.Евтушенко, В.Г.Карманова, Ф.М.Кирилловой, М.М.Потапова, А.З.Ишмухаметова, В.Б.Колмановского, П.С.Красноще-кова, А.Б.Куржанского, Ж.Л.Лионса, П.Ж.Лорана, Н.Н.Моисеева, Ю.С.Осипова,

B.И.Плотникова, А.Н.Тихонова, В.М.Тихомирова и многих других. По данной тематике опубликованы монографии и большое число научных статей отечественных и зарубежных авторов.

В теории оптимизации, в частности, в задачах математического программирования при разработке численных методов актуальными являются вопросы их практической реализуемости, эффективности и доведения их до алгоритмов.

К таким вопросам относятся разработка методов, алгоритмов без бесконечных внутренних вычислительных процедур, поиск и формулировка критериев, правил останова. Отметим, что данной проблеме посвящено большое количество работ. Отметим важность и актуальность исследования и построения численных методов решения выпуклых задач оптимизации и управления системами с сосредоточенными параметрами.

Цель работы.

Построение устойчивых и обоснованных конечношаговых численных методов для решения конечномерных выпуклых задач оптимизации с ограничениями типа неравенств. Качественное исследование множества достижимости для экономических моделей, а также описание способа реализации стратегии производства, обеспечивающей его максимальную доходность.

Методы исследования,

В данной работе для исследования указанного класса задач предлагается обобщение метода моментов, связанного с теорией двойственности и регуляризации, когда нижняя грань функционала больше нуля и имеются ограничения управления. На основе этой теории строятся конечношаговые численные методы проекции и условного градиента. Исследование экономической задачи проводится на основании принципа максимума Понтрягина.

Научная новизна.

Построены устойчивые конечношаговые методы для решения задач оптимизаии и оптимального управления на основе теорий регуляризации и двойственности, а также методов проекции и условного градиента. Для них получены критерии останова, доказаны оценки сходимости по функционалу, сходимость по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к О-нормалыюму оптимальному элементу. В конечномерных задачах они имеют свои особенности, в частности, это связано с эквивалентностью слабой и сильной топологий. Кроме того отметим, что обоснование методов проводится при условии непрерывности градиентов целевой и функций ограничений и рассматриваются случаи, когда параметр регуляризации можно положить равным нулю, т.е. при отсутствии регуляризации.

Также в данной работе рассматривается динамическая модель управления производством, хранением и сбытом товаров повседневного спроса. Модель потенциально позволяет учитывать особенности рыночной экономики при производстве потребительских товаров. Также показывается, что для адекватного описания процессов необходимо учитывать их динамический характер, поскольку только в этом случае можно дать правильную интерпретацию особенностей наблюдаемых явлений и выбрать правильную стратегию производства и развития. Описан способ реализации стратегии производства, обеспечивающей его максимальную доходность, исследовано свойство выпуклости множества достижимости и доказано наличие бесконечного числа моментов переключений на неособых участках при условии наличия особого режима.

Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность.

Результаты работ используются в научных исследованиях, а также учебном процессе (МАТИ, МЭИ) для качественного и численного анализа и построения численных методов оптимизации для различных конкретных задач. Кроме того, разработанная экономическая модель, в некотором смысле, является базовой: на ее основе могут строиться новые модели, учитывающие влияние других факторов.

Апробация работ.

Основные результаты, полученные в данной работе обсуждались на семинаре отдела методов нелинейного анализа ВЦ, на 13-ой Байкальской международной школе-семинаре в Иркутске и на "Понтрягинских чтениях - ХУН"Воронежской весенней математической школы.

Личный вклад.

Лично автором построены и обоснованы конечношаговые методы, основанные на теории двойственности и регуляризации, а также методах проекции и условного градиента для решения конечномерных выпуклых задач оптимизации с ограни-

чениями типа неравенств. Также экономическая модель рассмотрена при условии наличия особого режима при котором неособые участки имеют бесконечное число точек переключений. Кроме того, для этой экономической задачи исследовано свойство выпуклости множества достижимости. Основные результаты диссертации содержатся в работах (1-5|, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работ.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения и библиографического списка и содержит 18 рисунков. Общий объем работы составляет 107 страниц. Библиографический список включает 88 наименований.

Содержание работы.

Во введении приведена общая характеристика представленной диссертации, обоснована актуальность темы исследования и сформулированы результаты работы.

В главе 1 для решения конечномерных выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с условием Слейтера, и в которых сумма целевой функции и функций ограничений является строго равномерно выпуклой, предложен и обоснован численный метод, основанный на решении двойственной к исходной регуляризованной задачи. Для этого метода получены условия сходимости, оценки сходимости по функционалу, по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к £ - нормальному решению. В первом параграфе данной главы даются общие и вспомогательные утверждения, а именно: в евклидовом пространстве Еп со скалярным произведением

п п

и нормой соответственно (а, Ь) — 53сцЬ< и ||а||2 рассматривается выпуклая

»=1

задача минимизации

./(и) -»¡пГ, и 6 и С Еп, (1)

где и - выпуклое, ограниченное, замкнутое множество, J{u), и € Е" - выпуклая, непрерывно дифференцируемая функция.

Обозначим решения задачи (1) нижнюю грань функционала .7* = ¡пГ и множество оптимальных элементов I/* = {и е V ■ J{^^A = ./*}-

Будем рассматривать случай ограничений типа неравенств:

У = {ибР;№(«)<0,1€/},/ = {1.....т}, (2)

где <7;(и), и 6 Е", 1 6 / - выпуклые, непрерывно дифференцируемые функции и для

множества I/ выполняется условие Слейтера, т.е. существует элемент ис € и такой, что р,(ис) <0, г е /. Будем использовать также класс строго равномерно выпуклых функций. А именно: функция <р(и), и € V строго равномерно выпукла, если для У0 6 [0,1] иУи,и€ V

Ч>(Ри + (1 - 0)«) « м«) + (1 - 0МУ) - /9(1 - /ЗМИ" - "II),

где модуль строгой выпуклости ц(-) удовлетворяет условиям

/1(0) = 0, >0, 0 < « ^ <Иат V = аир ||и -

«.ибУ

Вводятся функции

т

5(и) = ./(и) + р(ч), = и £ V. (3)

•=1

Тогда справедливо утверждение о существовании решений в задаче (1), (2), а именно: если в задаче (1), (2) функция 5(и), « € V строго равномерно выпукла, то V ф 0 выпукло, замкнуто и ограничено в Е

Функция 5(и) рассматривается с учетом следующего предположения. Предположение 1. Функция 5(и), и е V строго равномерно выпукла с модулем выпуклости /«(•) и }' = ¡пГ <?(и) > —оо.

Для задачи (1), (2) вводится регулярная функция Лагранжа

т

Ци, А) = ./(«) + <?,(«), и 6 V, (4)

¡=1

А 6 Л = {А< > 0, ¿ = 1,2,..., тп}.

Пусть множество (2) удовлетворяет условию Слейтера, тогда, согласно известной теореме Куна-Таккера, для выполнения включения и* 6 V в задаче (1), (2) необходимо и достаточно существование множителя Лагранжа А* € Л такого, что

Ци',А*)<£(и,А*) V, иеК

КзЛи') = 0, (и*) < 0, « = 1,2,..., т. Определяется двойственная к (1), (2) задача:

х(А) = М £(и, А) —» вир, А € Л,

где х* = suPxM. Л* = {А £ Л : х(А) = X*} - ее решения, а/ = {1,2,,..,ш}, Л") = {«€/: ft(u) < 0}, I«(u) = {« 6 / : jk(u) = 0}, Л0 = {А : А, > 0, i = 1,2,..., то}, Ai = {А € Л : х(А) > -оо}, {А} = min(l,Aj,..., Am).

Приводятся некоторые свойства функции х(А) и определятся структура введенных множеств Ai и Л*.

Во втором параграфе данной главы вводятся следующие регуляризованные задачи

Tfj(u) = J(u) + aNg(u) inf, «6 1/, N = 1,2..........(5)

aN > 0, N = 1,2,..., адг —> 0, N —> oo. определяются задачи двойственные к (5)

х(А) = infi(u,A) = ¿(«(А), А) - sup, (6)

А € Лц = {Aj > адг, ¿=1,2.....т,}, ЛГ = 1,2,....

и их решения

Xn = supx(A) = x(ASr), А^ 6 Л^ = {А € Ад, : х(А) = x'Nh N = 1,2,... л*

при этом A^gi(uJ^) = afjgi(u'N), i = 1,2, ...,т и uj^ = u(X*N). Описывается поиск элементов Ajv € Л= 1,2,... - являющихся приближенным решением задач (6), в смысле:

тах | (\N - PN(XN + g(uN)))i |= (7)

1

= шах | max{ajv - АК eN —► 0,N —» oo, где Pn - оператор проектирования на Лц :

(Pf/tyi = тах{адг;А<}, i = 1,2, ...,m, а «дг = ujv(Ajv). Для поиска Ajv используется следующий вариант метода проекции градиента. Пусть произвольно Aj 6 Ло-Следующие Aj^, к = 0,1,..., K(N), N = 1,2,... ищем как:

— + ßkNP%, pkN = PN(\% + S(A*,)) - Aj, =

= {max[oN - i € /},

где шаг ^ € (0,1] вычисляется, например, конечным алгоритмом Армийо. При переходе к следующей (N + 1)-й итерации можно положить = Аn = Aj^'.

Показывается, что этот процесс будет сходящимся и через конечное число шагов приведет к выполнению условия (7).

При выполнении предположения 1 существует единственный g-oптимaльный элемент и** 6 и* :

$(«") = 5" = шгг(«) = шад - = $(и**) - Г.

Соответственно приходим к следующей теореме:

Теорема 1. Пусть в задачах (1), (2) функции J{u), д,(и),и е V, г = 1,2, ...,т дифференцируемы, выполняется условие Слейтера, предположение 1 и множество С/ ограничено. Тогда верно следующее.

1. Значения Адг —> Л*, N —» оо, элементы идг —» (/*, ЛГ —» оо и справедливы оценки

"N5* - Седг < ХлД^лг) - .Г ^ О,

- Седг < Глг(идг) - ./* <

олг9* + еы < JNЬ^N) — < —алгЗ* + Седг-

2. В случае глг/«лг —» О, N —> оо элементы и^ —> и**, N со.

Таким образом, рассматривается двойственный регуляризованный метод и исследуются вопросы сходимости, а именно: для задачи (1), (2) рассматривается метод, связанный с решением двойственных к исходным регуляризованным задачам, где в качестве регуляризирующей функции берется сумма функций, задающих ограничения (3). На каждой итерации метода регуляризации в двойственной задаче определяется критерий останова и доказывается сходимость метода.

Во второй главе для решения выпуклых конечномерных задач минимизации с ограничениями типа неравенств при выполнении условия Слейтера предлагаются два метода с конечношаговыми внутренними вычислительными процедурами. Эти методы построены на основе метода регуляризации, методов проекции и условного градиентов, а также двойственного метода. В предлагаемых методах использованы критерии останова, доказаны оценки сходимости по функционалу, сходимость по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к П • нормальному оптимальному элементу. В первом параграфе данной главы даются вспомогательные утверждения, а именно: рассматривается выпуклая задача минимизации

^и)-> Ш, и е I/с Е", (8)

где U - выпуклое, ограниченное, замкнутое множество, J(u), и е Е" - выпуклая, непрерывно дифференцируемая функция. Пусть tjv >0, ejv —» 0, N —► оо, a ujy е U - некоторая последовательность приближенных решений. Вводятся следующие два условия приближенности:

ll«W - «&II < ejv, wn = Pu("N - J'M), N = 1,2,..., (9)

0 < (J'(uN),uN - wlN) ^ (10)

w}f€U : {J'(uN),wlf - uN) = min {J'(uN),v - uN), N = 1,2,....

vGU

Здесь Рц - оператор проектирования на множество U. Эти условия являются приближениями для соответствующих критериев оптимальности

u* = .FWu* - « - «*) = 0.

vtU

Для последовательностей, удовлетворяющих (9) или (10), имеют место следующие утверждения о сходимости к решениям (8):

Теорема 2. Для последовательности идг 6 U, N = 1,2,..., удовлетворяющей в задаче (8) условию (9) или (10), справедливы следующие утверждения:

0 ig J{uN) II j'(uN) ||)ew, N = 1,2,...; p{uN; U') 0, N -* oo.

Здесь D - диаметр множества U : D = diam U = sup ||u — u||;

p(u; U') - расстояние от точки и до множества U* : р(и; U') = inf ||u — и||.

veu*

Для (8) вводятся регуляризирующие задачи:

TN(u) = J(u) + qnQ(u) -* inf, и € U, ЛГ = 1,2,..., (11)

где a/? > 0, N = 1,2,..., apt —» 0, N —> oo. Для этих задач определяется последовательность им 6 U, N = 1,2,..., удовлетворяющая аналогичным (9) и (10) соответственно условиям:

||"ЛГ - U&II < CN, = ^(ЙЛГ - Iw(Sw)); (12)

о (Tn(un),un - tuk) < е%, (13)

(Jn(un), wh - uN) = min (7^(ujv), v - ujy), N = 1,2,... «et/

Для этой последовательности имеют место следующие утверждения о сходимости к решениям задачи (8).

Теорема 3. Для последовательности ti/v £ U, N — 1,2,..., удовлетворяющей в задачах (11) условиям (12) или (13), при ejv/ajv N —» оо имеет место сходимость

||илг-«**|| — О, N-+ оо

и справедливы следующие оценки по функционалу

aNU. < алгП(и'), = inf Тл-(и);

а^П. < rN(uw) - Г < aNn(u') + C(<Wajv)1/2;

О < - Г sj Qjvfnf«*) - П.] + C(EN/aN)ll2,

где

= inf 7V(u),

иеи

и* - произвольный элемент из U', а константа С - С(и') не зависит от N. В данном случае для построения сходящейся к определенному элементу и* € U*, последовательности ujv € U, N = 1,2,... использован метод регуляризации Тихонова. Здесь П(и), и € Е" - сильно выпуклая, дифференцируемая функция, причем fi'(tt), и 6 U удовлетворяет условию Липшица, а П. = inf П(и), и" 6 U'—Sl - нормальное решение, т.е и" 6 U' — tl - нормальное решение, если fi(u") = П„ = inf П(и).

Во втором параграфе данной главы рассматриваются регуляризирующие аппроксимации и для задач на этих множествах доказываются утверждения аналогичные теоремам 2 и 3. Вводятся следующие аппроксимации для множества (2):

Uff = {и € Е" : дт(и) = 9<(и) + «№(«) < 0, i 6 /}, (14)

где a'ff > >0, N = 1,2,..., a'N —> 0, N оо, а iii(u), и 6 Е", i 6 /- неотрицательные, сильно выпуклые и дифференцируемые функции. Для аппроксимирующих задач

JN(u) inf, u 6 UN, N = 1,2,... , (15)

где g(u) = (si(«).....5m(")), = (SNi(«),—,5JVm(«)). pN - оператор проектир-

ования на Uff, а идг € Uff, N = 1,2,... - некоторая последовательность, удовлетворяющая условию

INjv - || eN, w% = PN(uN - J'N{uN)) (16)

или условию

О < (J'N{uN), Uff - Wff) < (17)

{•^(«лО.и'лг - = Ш1П V - и/Л-

показывается, что эти приближенные решения сходятся к решению задачи (1), (2).

Теорема 4. Для последовательности чдг € = 1,2,..., удовлетворяющей в

задачах (14), (15) условиям (16) или (17) имеет место сходимость

р(ик;1/') -»О, ТУ -»оо

и справедлива оценка по функционалу

0 « У(иту) - Г < (Г> + ||У'(и^)||)(елг + Сгшиа^).

Кроме того, рассматриваются регуляризованные задачи на множествах £/|у:

Г^(и) = 7(и)-I-о^П(и)и еин,ак > 0, N = 1,2,... , (18)

где а —► 0, N —» оо и идг 6 Удг, ТУ = 1,2,...- последовательность, удовлетворяющая условию

Н"лг -1^11 едг, = РкЫ - ТЬ(иы)), (19)

или условию

О ^ их - < (20)

(ТЬЫ), - = тт V - идг).

«еС/м

Эти приближенные решения также сходятся к решению задачи (1),(2).

Теорема 5. Для последовательности идг € 1/м, N = 1,2,..., удовлетворяющей в задачах (14) (18) условиям (19) или (20) при тах.а'к/ан —» О, гдг/адг —» О, N —> оо, имеет место сходимость

Над о, N —г оо

и справедливы следующие оценки

адгП. ^ 7% - .7* ^ амП(и') + Стаха^, ТЬ = тГГдг(и);

Чк

^ Ты(ик) - Г ^ адгП(и') + С ^гпало^ + ;

где и' - произвольный элемент из V, а С = С{и*) - константа, независящая от N.

В третьем параграфе второй главы конкретизируется построение последовательностей Uf/ € Un, N — 1,2,..., а именно: в задачах (14),(15), удовлетворяющих условиям (16) или (17) (случай отсутствия регуляризации, т.е. при одг = 0, N = 1,2,,..) и в задачах (14),(18), удовлетворяющих условиям (19) или (20) (случай наличия регуляризации: адг > 0, N — 1,2,...). Определяется следующий итерационный, релаксационный процесс

uN,k+l = + ßtfJcPN,k< к = 0> 1. —1 V Uyv,o 6 UN,

где PNtk € Еп, ||pjv,i|| = 1 - направление спуска, т.е. < 0, а шаг

ßj\rtk > 0 будем считать выбирается по условию минимума

Tn(uNk + ßNkpNk) = min TN(uNk + ßpN,k)

*H.k+ßPH.b£Un

или по конечношаговому алгоритму Армийо. Выбор направления спуска связан с приближениями по методу проекции градиента или по методу условного градиента. А именно:

PN.k = (viN.k — «Ar,A:)l|uW,lfc — «JV,lfc||_l, где tujvjfc 6 Е™ выбирается по условию близкому к методу проекции градиента

ll"W,Jfc - ig eN/2, w°Nk = PN(uNik - 2дт(«лг,*))

или по условию близкому к методу условного градиента

0 s: {rN(uN:k),wNik - w^k) < е%/2,

(Tf,(uN_k),whlk - uNk) = min {Tfi(uNk),v- uNk). vef»

Для последовательности ujjv,* вводится дополнительное условие: «JV,к + ßiwNJc ~ «Ar.jt) eUN, ß e (0,1).

Для предлагаемых методов справедливы теоремы 4 и 5. Т.о. показываются оценки скорости сходимости по функционалу, сходимость по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к П - нормальному оптимальному элементу.

В четвертом параграфе второй главы построен регуляризованный метод для двойственной задачи, а именно: рассматривается вопрос вычисления элементов ujjv,* при адг > 0, N = 1,2.....

Для вычисления приближенных элементов viffjc, связанных с приближениями к wNk> wNk 8 методах проекции и условного градиента, используется описанный в главе 1 двойственный, регуляризованный метод. Для этого определяются задачи

II™ - («wt - — inf, w б UN,

(Tjrfuiv,*), W - uN<k) -> inf, w e UN, а также двойственные задачи

XN,*(A) = Jni^ Ln_k(w. A) = Lff,k(wN,kW, A) -* sup, AeA. (21)

где Lprj,(w,).) - соответствующие функции Лагранжа:

т

А) = ||ш - - r^(tijv,*))HJ + Y1 Л<9лк(«и).

¡=1

m

LN,k(u>, A) = (Tfjiu^k),™ - uNk) + A'ijvi(to),

¡=1

w e E", A € Л = {A € Em : A* > 0, t 6 /}

Пусть решения двойственных задач (21) \s,k = = {А 6 Л :

XN,k(^) = X]vit}- Для этих задач используется метод проекции градиента, аналогичный описанному в главе 1, без регуляризации целевых функций, т.е. для задачи (21):

*N,k,s+l = Адг,к,а + uN,k,aQN,k,t, V Ayv.fc.O € Л, 41V,fc,a = Рл(^К,к,з + SN.ti^f,*,»)) — *N,k,s, S = 0, 1,...,

где Р\ - оператор проектирования на множество Л, который в данном случае имеет простой вид: P\b — (max{0;ft1},...,max{0;6"1}), V Ь S Ет1 а шаг он,к,а определяется конечношаговым алгоритмом Армийо. Показывается выполнение условий при которых обеспечена сходимость метода.

В третьей главе данной работы для экономической задачи, связанной с производством, хранением и сбытом товара доказывается теорема существования оптимальных управлений, рассматривается вид множества достижимости, а также возможность наличия особого режима, при котором неособые участки содержит бесконечное количество точек переключения.

В первом параграфе данной главы дается постановка задачи, составляется динамическая модель, которая потенциально позволяет учитывать особенности рыночной экономики при производстве потребительских товаров, исследуются параметры данной модели и доказывается ряд вспомогательных утверждений.

В рассматриваемой модели используются следующие обозначения переменных и параметров:

и - темп производства, количество товара выпускаемое в единицу времени; XI - количество товара на рынке;

XI - количество товара у потребителей (не потребленного);

хз • доход (разность между выручкой и затратами на единицу времени);

Y > 0 — const, потенциальный спрос (полное количество товара, способное мгновенно

удовлетворить спрос в условиях отсутствия ажиотажного спроса );

— const, темп потребления товара (относительный коэффициент потребления купленного товара в единицу времени); ¿2 — const, плата за хранение единицы товара; с > 1 - цена товара; п (с) - коэффициент скорости продаж.

За время dt прирост произведенного товара равен udt, продается п(с)(У—xi)x\dt единиц товара, скорость прироста товара на рынке равна

dxi/dt = и — п(с)(У — xj)x\

Прирост товара Лхг у потребителей за время dt равен количеству проданного товара минус количество kixjdt потребленного товара, так что

dx^/dt = 71(c) (К — xi)x\ — kiX2

Доход dx3 за время dt составляет:

dx^/dt = сп(с)(У — хг)х1 — и — k2Xi

Последнее уравнение показывает, что доход в единицу времени складывается из выручки от продаж п(с)(У—12)^1 единиц товара по цене с, расходов на производство и и затрат на хранение ¿2; все в единицу времени.

Все эти уравнения образуют динамическую модель, где параметры управления

есть u(f) и с

^ = u(t) - nc{Y - х2)хь ii (0) = ij > О, —£ = пС(У - хг)х! - kix2, х2(0) = х% > О,

i^l = спс(У - x2)xi - «(О - *s*i, (22)

at

*з(0) = х§ > О, /(и) = х3(Т) — max, О < их < и < и2, < € [0,Т].

Считаем, что цена с товара постоянна, поэтому n(c) = const. Пусть п(с) = пс, время Т фиксировано и х2 < Y.

Показывается, что траектория (xi(t),x2(t)) системы уравнений (22) за конечный промежуток времени может находиться только на ограниченном интервале. Кроме того, оптимальное управление u*(t) и отвечающая ему траектория (xJ(i),ij(i)) при t € [0; Г] - существуют, поскольку система (22) линейна по управлению, функционал не зависит от управления и множество управлений является выпуклым компактом.

Во втором параграфе третьей главы проводятся исследования множества достижимости. Рассматривается задача, связанная с изменением количества товара на рынке и у потребителей. Для этого рассматриваются первые два уравнения системы (22):

¿1 = u(t) - nc{Y - х2)ц, = I? > о ' ¿2 = "c(V - x2)xi - ktX2, x2(0) = I? > 0 (23)

0<U1<U<U2, t € [0,T]

Определение. Множество точек, в которые можно перейти к моменту времени т по траекториям системы (23), исходящим в начальный момент времени (о из точки Ю = (xj,x2), используя всевозможные допустимые управления, называется множеством достижимости.

Доказывается тот факт, что если точка принадлежит границе множества достижимости, то отвечающее ей управление кусочно-постоянно и имеет не более одного переключения. В итоге получаем, что множество достижимости при определенных значениях параметров может быть как выпуклым так и не выпуклым. Задача рассматривается при таких значениях параметров, при которых множество достижимости является выпуклым. Кроме того, в данном параграфе устанавливается существование решения задачи и приводится доказательство того, что xj(t) > 0, 0 < х2 (i) <

У, i 6 [О; Г]. Причем х£ < У

В третьем параграфе данной главы исследуется задача оптимального управления для выбранной экономической модели. Задача (22) рассматривается при условии, при котором особый режим является допустимым: ljfcj < пс(с — 1)У 2)щ ^

Поскольку уравнение для хз не содержит эту переменную в правой части, то задача (22) сводится к следующей задаче оптимального управления:

¿1 = u(i) - nc(Y - x2)xi, х^О) = x ® > О ¿2 = Пс(У — Z2)xi — ¿112, 12(0) = I® > О , 0<U1 4€[0;Г) (24)

/(u)=x3(T) = x,(T)+

T

+ / (—(с — 1)пс(У — zj)xt + k2Xi)dt —* min

. 0

Показывается что в задаче (24) может иметь место особый режим и получаем, что неособый участок, отвечающий управлению либо «2 должен содержать бесконечное число точек переключения.

В приложении данной работы доказывается выпуклость некоторых задач и для них даются результаты вычислительных экспериментов основанных на регуляризо-ванном конечношаговом методе проекции градиента. Кроме того, реализован поиск вида множества достижимости для экономической модели производства, хранения и сбыта товара.

Заключение.

1. Построен и обоснован конечношаговый двойственный регуляризованный метод для выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с условием Слейтера, и в которых сумма целевой функции и функций ограничений является строго равномерно

_ выпуклой. Для этого метода получены условия сходимости, оценки сходимости по функционалу, по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к g - нормальному решению.

2. Для решения выпуклых конечномерных задач минимизации с ограничениями типа неравенств при выполнении условия Слейтера разработаны два метода с ко-нечношаговыми внутренними вычислительными процедурами. Эти методы построе-

ны на основе метода регуляризации, методов проекции и условного градиентов, а также двойственного метода. В предлагаемых методах использованы критерии останова, получены оценки сходимости по функционалу, сходимость по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к О - нормальному оптимальному элементу.

3. Исследована одна экономическая задача, для нее построена динамическая модель, позволяющая учитывать особенности рыночной экономики при производстве потребительских товаров, доказано существование решений, установлен факт наличия особого режима, и возможность наличия бесконечного числа моментов переключения на неособых участках.

4. Для этой экономической модели проведено исследование множества достижимости для построения численных методов, описан способ реализации стратегии производства, обеспечивающей его максимальную доходность, исследованы траектории решений и установлено, что эти траектории за конечный промежуток времени могут находится только на ограниченном интервале.

Список публикаций автора.

1. Антипин И.П., Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г. Двойственный регуляри-зованный метод в выпуклых конечномерных задачах оптимизации. //М., ВЦ РАН, Вопр. модел. и анализа в задачах принятия решений, 2004, С.100-108.

2. Есенков A.C., Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г. Регуляризованные методы проекции и условного градиента в выпуклых конечномерных задачах оптимизации. //М., ВЦ РАН, Вопр. модел. и анализа в задачах принятия решений, 2004, С.127-142.

3. Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г. О некоторых конечношаговых методах оптимизации в выпуклых задачах.// Иркутск, Байкал, Мет. оптим. и их прил., Труды школы семинара: Мат. программирование. 2005, С. 163-167.

4. Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г., Хайлов E.H. Задача оптимального управления для модели производства, хранения и сбыта товара. //М., ВЦ РАН, Вопр. модел. и анализа в задачах принятия решений, 2006, С. 132-142.

5. Карюкина Ю.Г. Исследование одной задачи оптимального управления. //Центрально-Черноземное книжное изд-во, Воронеж. Совр. методы теор. краев, задач. 2006, С. 79.

Подписано в печать 25.08.2006. Заказ 139 тираж 60 Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная у., д. 13

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ДВОЙСТВЕННЫЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ КОНЕЧНОШАГОВЫЙ МЕТОД В ВЫПУКЛЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ.

§1.1 Общие и вспомогательные утверждения

§1.2 Описание метода и сходимость

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ КОНЕЧНОШАГОВЫЕ

МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ И УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА В ВЫПУКЛЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ.

§2.1 Вспомогательные утверждения

§2.2 Аппроксимация множеств для ограничений типа неравенств

§2.3 Конечношаговые методы проекции и условного градиента

§2.4 Регуляризованный метод для двойственной задачи

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

§3.1 Постановка задачи. Свойства параметров модели

§3.2 Определение вида множества достижимости

§3.3 Исследование задачи оптимального управления.

Характерной особенностью современной научно-технической революции является стремительный рост объема потоков различных видов информации: научной, технической, экономической, политической и др.; усложнение и расширение спектра общественных, коллективных и индивидуальных информационных потребностей, возрастание ценности информации, которая превращается в один из важнейших ресурсов социально-экономического и научно-технического прогресса.

Развитие систем обработки информации привело к становлению целой индустрии информатизации, что позволяет обществу более совершенно использовать накопленные знания в науке, технике, экономике, социальной сфере. Итак, значение информации в жизни общества трудно переоценить. Доведение информации до конкретного потребителя в необходимом объеме, своевременно и в удобной для использования форме позволяет минимизировать затраты трудовых ресурсов, исключая возможность изобретения уже изобретенного, открытия уже открытого и принятия неоптимальных управляющих решений.

Теория управления представляет собой довольно обширную область науки. Она находит применение в различных сферах человеческой деятельности, начиная с управления конкретными объектами и кончая управлением в области политики и общественных отношений. Во всех этих сферах работают свои законы, определяющие динамику соответствующих систем. Взаимодействие материальных точек и системы твердых тел описываются законами механики, которые достаточно хорошо изучены. Известны также законы молекулярного и атомного взаимодействия. Во многих случаях они выражаются четкими математическими соотношениями. Тогда основные понятия теории управления и свойства управляемых систем можно сформулировать в математических терминах и на этой основе получать новые закономерности в достаточно общем виде (см., например [37, 54, 31]). Гораздо сложнее ситуация в сфере экономики и общественных отношений. Математические зависимости в этой сфере человеческой деятельности удается получить лишь в отдельных случаях. Тем не менее, основные понятия теории управления (управляемость, наблюдаемость, оптимальность и т.д.) здесь используются достаточно широко.

Развитие рыночной экономики ставит вопрос о разработке методов управления микроэкономическими системами и, таким образом, представляет новую область применения теории систем управления. Вместе с тем экономические системы представляют, как правило, нелинейные объекты со специфическими нелинейностями, требующими разработки специальных методов.

Традиционные модели экономики основаны на статистических соотношениях баланса и по существу не могут использоваться для анализа влияния фактора времени на эффективность экономических решений. В условиях динамически изменяющейся экономической ситуации полезность статических моделей весьма ограничена. Многие явления реальной экономической ситуации могут быть объяснены только динамическими моделями экономических процессов. Построение динамических моделей экономических систем долгое время были связаны с описанием макроэкономических процессов. Модели микроэкономических процессов оказываются более сложными, так как требуют учета многих локальных факторов, влияние которых в макроэкономических явлениях осредняются. Вместе с тем потенциальная область использования микроэкономических моделей значительно шире чем макроэкономических. Например, они могут использоваться предпринимателями для анализа и последующего выбора принимаемых экономических решений. Такие модели могут составлять основу экспертных систем поддержки принятия решений в бизнесе.

Многие процессы важные для современной техники и экономики управляемы, то есть, эти процессы могут протекать различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос, как управлять процессом наилучшим образом (оптимально), как применять для этих целей математические методы. Математически сформулированные вопросы являются задачами оптимального управления. Поданной тематике опубликовано множество работ (см., например, [2, 5,10, 12, 38, 52, 72, 74, 76, 77, 79, 83, 84]).

При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления, как и в других областях вычислительной математики, возникает проблема построения эффективных и обоснованных численных методов. При этом важно априори знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям, и иметь оценки скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М.Будака, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, Р.Ф.Га-басова, А.Дончева, А.И.Егорова, Ю.М.Ермольева, Ю.Г.Евтушенко, В.Г.Карманова, М.М.Потапова, А.З.Ишмухаметова, Ф.М.Кирилловой, В.Б.Колмановского, П.С.Краснощекова, А.Б.Куржанского, Ж.Л.Лионса, П.Ж.Лорана, Н.Н.Моисеева, Ю.С.Осипова, В.И.Плотникова, А.Н.Тихонова, В.М.Тихомирова и многих других (см. [13-15, 19-25, 28, 33, 50, 60, 66, 69, 80, 81]). По данной тематике опубликованы монографии и большое число научных статей отечественных и зарубежных авторов, среди которых [1, 7, 42, 44, 47, 58, 59, 62, 67, 82].

В теории оптимизации, в частности, в задачах математического программирования при разработке численных методов актуальными являются вопросы их практической реализуемости, эффективности и доведения их до алгоритмов. К таким вопросам относятся разработка методов, алгоритмов без бесконечных внутренних вычислительных процедур, поиск и формулировка критериев, правил останова. Отметим, что данной проблеме посвящено большое количество работ. Библиографию по этим работам можно найти, например, в [6, 8, 18, 29, 50, 63, 75, 85, 87, 88].

Предлагаемые в данной работе методы направлены на решение этих вопросов. Они построены на основе метода регуляризации (см., например, [3, 21, 35, 36, 42, 68, 69]), методов проекции, условного градиентов и двойственного метода [18, 29, 43, 50]. Для них получены критерии останова, доказаны оценки скорости сходимости по функционалу, сходимость по аргументу ко множеству оптимальных элементов и к нормальному оптимальному элементу. Они в абстрактном, для бесконечномерных гильбертовых пространств предложены в [41, 46]. В конечномерных задачах они имеют свои особенности, в частности, это связано с эквивалентностью слабой и сильной топологий, отсутствием конечномерных аппроксимаций, присущей для бесконечномерных задач. Кроме того отметим, что обоснование методов проводится при условии непрерывности градиентов целевой и функций ограничений и рассматриваются случаи, когда параметр регуляризации можно положить равным нулю, т.е. при отсутствии регуляризации. Предлагаемые методы эффективны для решения задач с квадратичными целевыми функциями и с квадратичными функциями, задающих ограничения на допустимые элементы; выпуклыми целевыми функциями и с квадратичными функциями-ограничений [56]. В этом случае методы сводятся к последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений.

Также в данной работе рассматривается динамическая модель управления производством, хранением и сбытом товаров повседневного спроса. Модель потенциально позволяет учитывать особенности рыночной экономики при производстве потребительских товаров. Также показывается, что для адекватного описания процессов необходимо учитывать их динамический характер, поскольку только в этом случае можно дать правильную интерпретацию особенностей наблюдаемых явлений и выбрать правильную стратегию производства и развития. Описан способ реализации стратегии производства, обеспечивающей его максимальную доходность. Разработанная модель, в некотором смысле, является базовой: на ее основе могут строиться новые модели, учитывающие влияние других факторов. Отметим работы в этом направлении [26, 27, 70].

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения.

Основные результаты диссертации содержатся в работах [4, 33, 47, 48, 50].

Автор выражает д.ф.м.н. зав. отдела методов нелинейного анализа А.З.Ишмухаметову признательность за руководство данной работой и благодарит к.ф.м.н. Е.Н.Хайлова за постановку конкретной экономической задачи и обсуждение результатов исследований. Автор также выражает благодарность участникам семинара отдела методов нелинейного анализа галвному научному сотруднику, проффе-сору Е.А.Гребеникову, профессору В.В.Дикусару и другим.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аваков Е.Р. Условия регуляризации аппроксимирующего семейства экстремальных задач. //Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберн, 1982, №10. С. 1659-1665.

2. Алексеев В.М, Тихомиров В.М, Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Антипин А.С. Методы регуляризации в задачах выпуклого программирования. //Экономика и мат. методы. 1975. Т. И. № 2. С. 336-342.

4. Антипин И.П, Ишмухаметов А.З, Карюкина Ю.Г. Двойственный регуляризованный метод в выпуклых конечномерных задачах оптимизации. // ВЦ РАН, Вопр. модел. и анализа в зад. прин. реш., М., 2004, С.100-108.

5. Афанасьев А.П, Дикусар В.В, Милютин А.А, Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

6. Бакушинский А.Б, Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

7. Банк Б, Белоусов Е.Г, Мандель Р, Черемных Ю.Н, Широнин В.М. Математическая оптимизация: вопросы разрешимости и устойчивости. М.: Изд-во МГУ, 1986.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П, Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

9. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987.

10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. Москва Наука. 1968.

11. И. Борисов Б.Ф., Зеликин М.И. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Труды МИ АН СССР, 1991. Т. 197, С.85-167

12. Брайсон, Хо-Юши. Оптимальные управления

13. Будак Б.М., Берткович Е.М., Соловьева Е.Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления. //Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1969, 9, №3. С. 522-547.

14. Будак Б.М., Берткович Е.М., Соловьева Е.Н. Об аппроксимации экстремальных задач. 1,11. //Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1971, 2, №3. С. 580-596; №4. С. 870-884.

15. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные вс-пекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975. 16. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

16. Ваниер Г., Хайрэр Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.

17. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

18. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука,1981.

19. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1988.

20. Васильев Ф.П. Регуляризация некоторых методов минимизации высокого порядка при неточных исходных данных. //Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1985, 25, №4 С.492-499.

21. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М., Факториал, 1998.

22. Васин В.В. Устойчивая дискретизация экстремальных задач и ее приложения в математическом программировании. //Мат. заметки,1982, 31, №2. С.269-280.

23. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления.

24. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

25. Горский А.А., Колпакова И.А., Локшин Б.А. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса // Ж. Известия РАН. Серия Теория и системы управления. 1998, М. С. 144-148.

26. Горский А.А., Колпакова И.А., Локшин Б.А., С.А. Покровская. Об одной динамической модели процесса производства, хранения и сбыта //Ж. Известия РАН. Серия Техническая кибернетика. 1992, №3. С. 190-193.

27. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987.

28. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

29. Егоров А.И. Об устойчивости и оптимизации систем с распределенными параметрами. //Прикл. мат., 1984, 20, №4, С.95-100.

30. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.

31. Ермольев Ю.Н., Гуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления. //Кибернетика, 1966, №1. С.120-121.

32. Ермольев Ю.Н., Гуленко В.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. //Кибернетика, 1967, №3. С.1-20.

33. Есенков А.С., Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г. Регуляри-зованные методы проекции и условного градиента в выпуклых конечномерных задачах оптимизации. // ВЦ РАН, Вопр. модел. и анализа в зад. прин. реш., М., 2004, С.127-142.

34. Заболотская Е.Н., Ишмухаметов А.З. Двойственный регуляри-зованный метод в задаче оптимального управления параболической системой.//Вопросы моделирования и анализа в задачах принятиярешений, М: ВЦ РАН, 2002.

35. Заболотский Е.В., Ишмухаметов А.З. Двойственный регуляри-зованный метод в задаче оптимального управления гиперблической системой.//Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений, М: ВЦ РАН, 2002.j

36. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

37. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003.

38. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. Москва Наука. 1986., т.1, С. 156-157.

39. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

40. Ишмухаметов А.З. Двойственный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации.//ЖВМиМФ, 2000, т.40, N 7, С. 1045-1060.

41. Ишмухаметов А.З. Об условиях аппроксимации и регуляризации в экстремальных задачах. //Прикл. мат. и мат. обеспеч. ЭВМ. М.: Изд-во МГУ, 1981, С.25-27.

42. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998.

43. Ишмухаметов А.З. Моделирование процессов управления линейными системами: устойчивость и аппроксимация. //Итоги науки и техники. ВИНИТИ: Вычисл. Науки, 1991, т.7. С.3-38.

44. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные методы оптимизации с конечношаговыми внутренними алгоритмами.//ДАН, 2003, т. 390, N 3, с. 304-308.

45. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами. //ЖВМиМФ, 2003, т. 43, N 12, с. 1896-1909.

46. Ишмухаметов А.З. Условия аппроксимации и устойчивостизадач минимизации. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1993. Т. 33, №7, С.1012-1029.

47. Ишмухаметов А.З, Карюкина Ю.Г. О некоторых конечношаго-вых методах оптимизации в выпуклых задачах.// Иркутск, Байкал2005, Мет. оптим. и их прил., Труды школы семинара: Мат. программирование. С. 163-167.

48. Ишмухаметов А.З, Карюкина Ю.Г, Хайлов Е.Н. Задача оптимального управления для модели производства, хранения и сбыта товара. // ВЦ РАН, Вопр. модел. и анализа в зад. прин. реш, М, 2006.

49. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физмат-лит, 2000.

50. Карюкина Ю.Г. Исследование одной задачи оптимального управления. //Центрально-Черноземное книжное изд-во, Воронеж2006. Совр. методы теор. краев, задач. С. 79.

51. Киселев Ю.Н. Оптимальное управление.

52. Колмогоров А.Н, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

53. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

54. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит. 2000.

55. Левиков А.А. О предельных свойствах динамических систем с выпуклыми ограничениями. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ, 1979,19, т, с.30-39.

56. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ + • • • + Pn{t)x — 0. Успехи математических наук. 1969, т.24, №2. С. 43-96.

57. Лепп Р.Э. Дискретная аппроксимация экстремальных задач соператорными ограничениями типа неравенств. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1990, 30, №6, С.817-825.

58. Лигун А.А., Капустян В.Е., Волков Ю.И. Специальные вопросы теории приближений и оптимального управления распределенными параметрами. Киев: Выща школа, 1990, 208 с.

59. Лионе Ж.Л, Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

60. Ли Маркус. Исследование множества достижимости.

61. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.

62. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

63. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.

64. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

65. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

66. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимального управления. М.: Наука, 1988.

67. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

68. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

69. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара //Ж. Известия РАН. Серия Теория и системы управления. 2000, №2. С. 103-107.

70. Питтель Б.Г. Об одной задаче оптимального управления, связанной с минимизацией функционала типа максимум отклонения. Дифференциальные уравнения. 1965, Т. 1., №11. С. 1493-1508.

71. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

72. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

73. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкридзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука. 1983. С. 23-27.

74. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

75. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.

76. Стрекаловский А.С. Оптимизация линейных распределенных систем. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1982.

77. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1975.

78. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

80. Тихонов А.Н., Васильев Ф.П. Методы решения некорректных экстремальных задач.//Math. Models and Numer. Methods. Warszawa: Bahach Center Pubis, 1978. С 297-342.

81. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, ГРФМЛ, 1967.

82. Федоренко Р.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

83. Флеминг И., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

84. Черноусько Ф.Л. Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. //Итоги науки и техн.

85. Мат. анализ. ВНИИТИ. 1977, 14, С.12-31.

86. Чеботарев Н.Г. Алгебраические функции. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

87. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач. Экономика и мат. методы, XII, N.2, 1976.

88. Kaplan A., Tichatschke R. Stable methods for ill-posed problems. V. 3. Mathematical topics. Berlin: Akad. Verl., 1994.