автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке

На правахрукописи

ФЕДОРОВА Галина Ильясовна

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена на кафедре проектирования средств информатики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Житников Владимир Павлович доктор физико-математических наук, профессор Спивак Семен Израильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Водопьянов Владимир Васильевич Казанский государвенный университет, г. Казань

Защита состоится «_»_2004 г. в_час. на заседании

диссертационного совета КР 212.288.26 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета.

Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф.-м. н., проф.

Г.Т. Булгакова

Я9Ш 1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКАРАБОТЫ Актуальность темы

Электрохимическая обработка (ЭХО) металлов занимает важное место в современном машиностроении. Она основана на принципе локального анодного растворения металла при высокой плотности тока в проточном электролите. Широкое применение процесса обусловлено использованием в авиастроении, двигателестроении, приборостроении деталей из новых жаропрочных, высокопрочных и вязких конструкционных материалов, новых сплавов с повышенными физико-химическими свойствами, обработка которых обычными способами (механическим, температурным воздействием) затруднена.

Появившиеся и апробированные новые технологические схемы ЭХО позволяют значительно увеличить точность обработки. В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО. Чтобы иметь возможность рассчитать эту форму, необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля и плотности тока в межэлектродном пространстве (МЭП). В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но не требующих больших затрат машинного времени.

Обычно при исследовании ЭХО задача формообразования рассматривается как стационарная, то есть предполагается, что при движении электрода-инструмента (ЭИ) поверхность обрабатываемого материала сохраняет некоторую стационарную форму в системе координат, связанной с ЭИ. Как показывает опыт, такой подход действительно оправдывает себя при прямом копировании и прошивке отверстий в зоне, где происходит активное формообразование. Однако этот подход не позволяет рассчитать переходный процесс, который необходим для установления стационарной формы и требует снятия определенного припуска для получения заданной точности копирования.

Существующие методы решения нестационарных задач, заключающиеся в определении эпюры распределения токов на поверхности обрабатываемого материала и последующем пошаговом временном сдвиге, при достаточно высокой разнице кривизн поверхности недостаточно точны и требуют сложных вычислений. В случае, когда ЭХО применяется для удаления заусениц и скругле-ния острых кромок, эти методы не позволяют достоверно оценить скорость процесса вблизи острой кромки. Эти обстоятельства приводят к необходимости разработки новых моделей нестационарной ЭХО.

Благодаря разработанным в диссертации методам стало возможным систематическое исследование таких решений.

Среди решений нестационарных задач электрохимического формообразования особый интерес представляют решения, сохраняющие геометрическое подобие МЭП, называемые автомодельными.

В диссертационной работе разработан метод ДЛЯ

решения нестационарных задач общего вида

тутем^цвддодоешеаию задачи

г

Римана- Гильберта, а также метод решения задач об автомодельной электрохимической обработке при помощи гипергеометрической функции. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Это позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов.

Если применить для расчета течения электролита модель идеальной жидкости, то решение гидродинамической задачи можно найти аналогичными методами.

Целью исследований является:

• разработка численно-аналитических методов и алгоритмов для решения нестационарных задач ЭХО (определения полей плотности тока и скоростей течения электролита, изменения формы границ во времени);

• численное исследование ряда задач о нестационарной (в частности, автомодельной) ЭХО при помощи разработанных численно-аналитических методов.

На защиту выносятся:

• Численно-аналитический метод решения задач об автомодельной ЭХО при помощи гипергеометрической функции

• Постановка и численно-аналитический метод решения нестационарных задач ЭХО путем сведения к решению задачи Римана-Гильберта.

• Численные решения ряда задач автомодельной ЭХО при помощи разработанного метода. Аналитические решения для частных случаев задач.

• Результаты решения задач о нестационарной ЭХО электродами-инструментами различной формы.

Научная новизна

Новыми являются численно-аналитический метод и полученные с его помощью решения задач об автомодельной обработке клиновидным электродом-инструментом с изолированными и проводящими поверхностями, которые позволяют рассчитать нестационарные процессы, протекающие вблизи острых кромок и границ изолированных участков.

Впервые задача нестационарной ЭХО на каждом временном шаге сформулирована как краевая задача для аналитической функции комплексного переменного, которую составляют частные производные координат обрабатываемой поверхности по времени. Новым в работе является численно-аналитический методы, который, в отличие от имевшихся ранее, использует аналитическое решение задачи Римана-Гильберта, что позволяет сократить

объем вычислений и получить результаты с более высокой точностью, оценить их погрешность экстраполяционными методами.

Новыми являются результаты численного исследования задач о нестационарной обработке электродами-инструментами различной формы, описывающие переход к стационарному или автомодельному режимам обработки (позволяющие оценить время и величину припуска для получения заданной точности копировния).

Практическая ценность-

Автором разработаны алгоритмы и программы решения задач нестационарной ЭХО, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы для оценки скорости электрохимического растворения и формообразования обрабатываемой поверхности, для определения областей с малой скоростью течения и малым давлением электролита.

Работа проводилась по госбюджетной тематике согласно тематическому плану Уфимского государственного авиационного технического университета (№ гос. регистрации темы 01940008023). Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительные методы» и «Прикладное математическое моделирование».

Апробация работы

Основные результаты докладывались на международной молодежной научной школе- конференции «Лобачевские чтения-2001» (Казань, 2001); на международной молодежной научно- технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2001); на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» Ж^2002 (Чебоксары, 2002),- на конференции «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT2003, (Уфа, 2003); на международной молодежной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003); на международной научной конференции «Снежинск и Наука- 2003» (Снежинск, 2003); на 14-й международной научной конференции по электронным методам обработки ISEM XIV (Эдинбург, Шотландия, 2004); на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» Ж^2004 (Чебоксары, 2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 119 названий. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, на которых размещено 102 рисунка, 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы цель и актуальность работы, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.

В первой ыаве диссертации в дается постановка задач ЭХО, приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, дано общее описание предлагаемых алгоритмов решения задач.

В п. 1.1 , выводятся краевые условия для нестационарного процесса общего вида и различных частных случаев.

Идеальная модель процесса предполагает постоянство электропроводности электролита во времени и в пространстве. В этом случае векторное поле электрической напряженности Е является потенциальным и соленоидальным. Решение в каждый момент времени ищется в виде аналитической функции комплексного переменного W(Z), где Z=X+iY, X, Y - декартовы координаты точек МЭП (рис. 1,а), W(X,Y)=-<t>(X,Y)+W(X,Y) - комплексный потенциал, Ф|% У) -потенциал электрического поля, ^(XyY) - функция тока. На эквипотенциальной поверхности Ф = Re W = const, то есть образом такой границы на плоскости W являются комбинации отрезков вертикальных прямых (рис. 1,6). На линии тока Т = ImW - const, следовательно, образом этих линий на плоскости ИКявляются

отрезки горизонтальных прямых. Напряженность E = dWjdZ.

У © В' В ®

/ ^ В' с ф

А -- D ^ ' В А' А

а) Схема межэлектродного пространства

б) Плоскость комплекс- в) Плоскость ного потенциала параметрического

переменного ^

Рис. 1.

Процесс растворения в каждой точке поверхности анода определяется законом Фарадея

где h — толщина слоя металла, растворенного за малое время Д/, Vecm- скорость электрохимического растворения, М,п- молярная масса и валентность материала детали, NÄ - число Авогадро, е - заряд электрона, р - плотность обрабатываемого металла, Е„ - нормальная к поверхности анода составляющая вектора напряженности электрического поля, Т) - выход по току, принимаемый, в зависимости от постановки задачи постоянной величиной или функцией плотности тока у (согласно закону Ома j = KE, где к - электропроводность электролита, Е- напряженность электрического поля).

Перейдем к безразмерным величинам:

где и- постоянная, имеющая размерность потенциала, /- характерный размер.

Области, соответствующие МЭП на плоскостях Z и Jf (рис. 1, а,б) отображаются конформно на единичный круг £ (рис. 1 ,в). Задачу определения функции W{Z) можно решать в параметрическом виде. При этом форма образа МЭП на плоскости параметрического переменного С, остается неизменной.

Постановка задачи. Найти две аналитические внутри круга | £ | <1 функ-' ции Щ.0 И удовлетворяющие определенным краевым условиям.

В безразмерных переменных закон Фарадея сводится к уравнению

дгда дхда да'

где действительная переменная (Т определяет положение точки на границе на плоскости параметрического переменного (рис. 1,в).

Равенство (2), служит краевым условием для определения частной производной которая, как и функция (осуществляющая конформное отображение области параметрического переменного £ на МЭП), является аналитической функцией комплексного переменного в области, соответствующей МЭП. На участках границы, соответствующих поверхности ЭИ, растворения не происходит, поэтому в точках, расположенных на этих границах, правая часть (2) равна нулю (в системе координат, связанной с ЭИ).

В соответствии с (2) при каждом т вычисление частной производной йг/Эг(^,т) сводится к решению краевой задачи Римана-Гильберта, которая формулируется следующим образом.

Найти аналитическую в области Б и непрерывную в О функцию удовлетворяющую на границе области условию

где а, Ь, с- заданные на Г действительные функции. Предполагается, что функции а, Ь, с удовлетворяют условию Гёльдера и а2 / 0 всюду на Г.

В п. 1.2 приводится постановка задач расчета форм поверхности, не зависящих от времени, а также краткий обзор ранее решенных задач ЭХО.

В п. 1.3 - 1.5 описывается численно-аналитический метод решения задач автомодельной ЭХО при помощи гипергеометрической функции. Показано, что решение задач автомодельной ЭХО можно свести к решению вспомогательной гидродинамической задачи обтекания препятствия, ограниченного дугой окружности и отрезками прямых. В диссертации рассматривались задачи ЭХО, для которых область течения имела вид кругового треугольника.

Решение электрохимической задачи получается в следующем виде

где Z| - плоскость вспомогательного течения, №| - плоскость комплексного потенциала гидродинамической задачи, Я - радиус обтекаемой окружности, ао - некоторый характерный размер.

Безразмерной константой, определяющей скорость растворения, является

кцС! а0

(5)

где а - скорость изменения масштабного коэффициента.

Таким образом, решение задачи заключается в конформном отображении области вспомогательного течения, например, на верхнюю полуплоскость С,. При построении этого отображения использовались решения гипергеометрического дифференциального уравнения (Гаусса), которые представляются через гипергеометрический ряд (гипергеометрическую функцию)

аЬ„ а(а + \)...(а + п-ЩЬ + 1)...(Ь + п-\)г„

1!с

'<+..., (6)

п]с(с+ ])...(с+ п~\)

сходящийся при условии, что

Дифференциальное уравнение Гаусса имеет особенное!и в точках ^ = 0, £ = 1 И ^ = со. В окрестности каждой из особых точек находятся два линейно независимых решения, представляющихся через ряд (6). Так, в окрестности особых точек, то есть при И решениями гипергеометриче-

ского дифференциального уравнения будут, соответственно, функции:

(О)

со3 = F{a,b,\ + а + Ь - с,\ - С,), щ = (1 - Q' ~а'ь F(c-b,c-a,\+c-a-b,\-Q, ©5=(1 IQ" F(a,l + a - c,\ + a - b,\co6 = (1/Q6 F{b, 1 + b-c,\ + b-a,\lQ. Функции no(Q = ®2(Q/®l(C), П|(0 = ®4К)/®з(0 и Поо(0 = ЮбЮА°5(0

аналитичны в верхней полуплоскости Q и преобразуют отрезки (-<»,0), (0,1) и (1,оо) вещественной оси в отрезки прямой или дуги окружности. При этом в общем случае при вершинах, соответствующих точкам ¿¡ = 0, £¡ = 1 И ¿¡ = оо получаются углы, по величине равные a = 7t(l — с), fi = n(c — a — b) и у = it{b-a). Таким образом, параметры а^Ь, с равны

rt 4- R — V п

(7)

1 a+p+y , 1 a+B-y , а а ----, о =---, с = 1 —.

2 2л 2 2л п

Однако функции Г|о, П1> Л® производят отображение на различные круговые треугольники, поэтому необходимо найти дробно-линейные функции, устанавливающие связь между ними, для построения единого отображения, которое в любой точке полуплоскости представляется через сходящиеся ряды.

В диссертации рассматривались задачи, для которых область течения во вспомогательной гидродинамической задаче представлялась в виде кругового треугольника, один из углов которого равен гт, где п - целое. При этом функцию, осуществляющую отображение в окрестности особой точки, которой со-

ответствует этот угол, необходимо исключить (при п = 0 эта функция оказывается тождественно равной единице, при один из гипергеометрических рядов оказывается расходящимся) и согласовать две оставшиеся функции. Исключить можно лишь функцию Т)| (иначе области сходимости гипергеометрических рядов, необходимых для вычисления двух оставшихся компонент, не покрывают полностью верхнюю полуплоскость), поэтому если угол, равный соответствует особой точке то заменой переменных эту особую точку следует сместить в точку

В итоге функция принимает следующий вид

где - значение в особой точке - вычисляется геометрически. При любой постановке задачи на промежуточном этапе построения искомого отображения будет получен круговой треугольник, в котором вершина, соответствующая точке будет содержаться дугой окружности. Поэтому значение мож-

но вычислить из условия пересечения окружности с радиусом й и коопттиня-тами центра (хо^о) с действительной осью. Таким образом, 1^(1)=д:0 ± ^Л^ — уц .

В зависимости от формы области, получившейся при помощи полученной функции и того кругового треугольника, который необходимо получить для решения задачи, проводится дополнительное дробно-линейное преобразование. В результате получается функция, обозначаемая далее как . Искомое отображение получается в виде (£)=£()Величина ко выбирается из геометрических соображений при решении конкретных задач.

Для определения константы ф (5), определяющей скорость растворения, на обрабатываемой поверхности выбирается точка, от которой расстояние до центра подобия равно /. Пусть этой точке соответствует С,-С,о- Тогда, согласно

(4), должно выполняться равенство

В п. 1.6 описаны методы ускорения сходимости гипергеометрического ряда, использованные при численном решении задач. Представим конечную сумму типа (7) в виде

При |£|=1 для ускорения сходимости могут быть использованы методы Ромберга и Нэвилла. При используя несколько членов последовательно-

сти и обозначив можно получить экстраполяционную формулу

Во второй главе приведены решения задач об автомодельной ЭХО, полученные разработанным численно-аналитическим методом. В п. 2.1 приведено решение для точечного электрода-инструмента С, движущимся вниз относительно центра подобия Е внутри полости, заполненной электролитом (см. рис 2,а). Область, соответствующая МЭП на плоскости комплексного потенциала

имеет форму полуполосы (рис. 2, б), тогда

В диссертации показано, что область, соответствующая МЭП, представляет собой круговой треугольник (см. рис. 2, в) с углами: а = 2\*() - л/2,0<а < л/2, Р = 0 и у = п/2. Формы автомодельной поверхности показаны на рис 2, г. Значение константы ф = 2/5т2уд ,

б) Область вспомогательного течения

Рис. 3.

В п. 2.3 приведено решение для плоского и клиновидного ЭИ (рис.4, а, б). При были получены аналитически решения и выражения для оп-

ределения скорости электролита для некоторых значений углового коэффициента г| при 7 = 1. Некоторые формы поверхности, показаны на рис 4, в, г.

В п. 2.4 приведено решение для клиновидного ЭИ с изолированными боковыми поверхностями (или точечным ЭИ на вершине непроводящего клина). Физическая плоскость и плоскость течения вспомогательной гидродинамической задачи изображены на рис.5, а, б. Некоторые формы автомодельной поверхности, полученные при решении задачи, показаны на рис 5, в, г.

Формы автомодельной поверхности, Ду = 0.125 Рис.5.

В п. 2.5 приведено решение для бесконечно удаленного ЭИ при наличии изолированного клина. Физическая плоскость в данной задаче выглядит так, как показано на рис. 5,а, в предположении, что ЭИ находится не на вершине клина, а бесконечно удален. Плоскость комплексного потенциала и область течения вспомогательной гидродинамической задачи изображены на рис.6, а, б. При (5 = 0 были получены аналитические решения и аналитические выражения для определения константы ф и скорости электролита для некоторых значений углового коэффициента Т) при у = 1. При (3^0 в работе отображена зависимость Формы автомодельной поверхности, полученные при решении задачи, показаны на рис 6, в, г.

в) 11=0.499,2р-т|-у+1,1/8 < у < 1.5 г) у=0.9999, р=0,10"° < х\ < 0.95

Формы автомодельной поверхности, Ду = 0.125, Дт| = 0.125

Рис. 7.

В п. 2.6 приведено решение клиновидного ЭИ с одной изолированной боковой поверхностью. Физическая плоскость соответствует рис. 5,а, при этом грань В'С является изолированной. Плоскость комплексного потенциала и область течения вспомогательной гидродинамической задачи изображены на рис.7,а,б. Рассматривались случаи, когда (3 = 0 И Р^0. В первом случае были получены аналитические решения и выражения для определения константы ф и скорости электролита для некоторых значений углового коэффициента Г| при у = 1. Для Р Ф 0 зависимость значений константы ф(у) получена в работе численно. Формы автомодельной поверхности показаны на рис 7,в,г.

В третьей главе приведено решение нестационарных задач ЭХО общего вида при помощи сведения к задаче Римана- Гильберта.

В п. 3.1 дается постановка задачи. Рассматриваются задачи, в которых сечение межэлектродного пространства (МЭП) выглядит так, как показано на рис. 1, а, где ADB - граница растворяемого материала и А 'СВ'- поверхность ЭИ имеют i оризонтальные асимптоты. ЭИ движется вертикально вниз со скоростью

Области, соответствующие МЭП в плоскости комплексного потенциала и физической плоскости, конформно отображаются на круг < 1 (см. рис. 1, в).

Для приведения используемых величин к безразмерным, в качестве характерного размера / в (1) выбирается величина стационарного зазора, который устанавливается при обработке плоским ЭИ

l = h\U/V,. (9)

На плоскости комплексного потенциала МЭП соответствует вертикальная полоса (см. рис. 1,6).

t„\ i, C + i , . i, coso dw , dw 1

w(y = —ln——, vv(a) = -ln-, — = Im — =-

i: 1 + iC, n I-sino da da к cosa

(10)

Функция г[е'а,т) обращается в бесконечность при О—»±71/2., поэтому будем

искать ее в виде т)=т)+(чтобы при а-»±я/2 1тгд(е,с1,т]->0).

При этом на границе функция будет непрерывна и

может быть найдена с помощью формулы Шварца. В качестве была выбрана функция

В начальный момент времени ¿(0) = Уц'. Согласно (1) и (9) =--

С учетом (2) и (10), получим краевое условие в удобном для решения данной задачи виде

В п. 3.2 излагается метод решения поставленной задачи. Будем искать решение в узловых точках С„. Искомыми параметрами на каждом временном шаге Ту=уА, будут значения в узловых точках От. Значения ^д(ст,Ху)=1т2д(о,^) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна, имеющим две непрерывные производные.

Для восстановления 0:4(0,Т^) и &д/3ст0 используем формулу Шварца.

Задача определения на каждом временном шаге сводится к

задаче Римана- Гильберта, формулировка и решение которой подробно приводятся в п. 3.3. В рассматриваемом случае решение записывается следующим образом:

Затем производится шаг по времени с помощью усовершенствованного метода Эйлера второго порядка точности и снова определяется йгд/дг.

В п. 3.4 приведены результаты тестирования разработанного метода. Для этого рассматривалась нестационарная задача ЭХО, решение которой сходится к решению стационарной задачи, имеющей аналитическое решение.

Решение стационарной задачи ищется в виде суммы = + В

качестве была выбрана функция

Пусть = а2,. В качестве области на плоскости г, выберем круг единичного радиуса с разрезом по мнимой оси от -/ до некоторой точки (у, О < у < 1 (здесь <Х - половина максимальной высоты неровности на катоде, у характеризует изменение ординаты анода: Ду = а(1 + у)). Тогда

1; '

■¡а

у + -(у2 + 1)-2уС2

Некоторые из полученных форм поверхности представлены на рис. 8.

а) у=0.7,0.01<а<0.99, Да=0.1 б) а=0.9,0.5<у<0.99, Дг=0.1

Рис. 8. Формы поверхностей, полученные при решении стационарной задачи

Рассмотрим нестационарные процессы ЭХО, на начальном этапе которых обрабатываемая поверхность плоская, а ЭИ имеет форму, аналогичную тем, которые были получены в результате аналитического решения стационарной задачи. Начальный зазор примем равным значению стационарного зазора, который устанавливался бы в точке минимального зазора ЭИ и обрабатываемой поверхности, если бы ЭИ был плоским.

Результаты вычислений представлены на рис. 9. Видно установление нестационарной поверхности к стационарной, полученной аналитически.

а) у = 0.99, а = 1.25 б) у = 0.5, а = 0.9 в) у = 0.999, а = -1.25

Рис. 9. Результаты проведенных тестов

Численные результаты представлены в п. 3.5.

На рис. 10 рассмотрена обработка криволинейным ЭИ с выступом (с/- относительная высота выступа), движущимся вертикально вниз с безразмерной скоростью, равной единице. На рис. 10, а процесс показан в системе координат, связанной с ЭИ, на рис. 10, б - в системе координат, связанной с обрабатываемой деталью. На рис 10, в показана обработка ЭИ, имеющим аналогичную форму с размерами, в 2 раза, а на рис. 10, г - в 10 раз превосходящими размеры ЭИ, рассмотренного в предыдущем случае.

На рис 11, а показана обработка криволинейным ЭИ с выемкой (й- относительная глубина выемки), движущимся вертикально вниз с безразмерной скоростью, равной единице. На рис. 11, б показана обработка ЭИ, имеющим аналогичную форму с размерами, в 2 раза превосходящими размеры ЭИ, рассмотренного в предыдущем случае.

Во всех случаях видно установление стационарного процесса обработки.

Погрешность полученных решений оценивалась несколькими способами. Предложенный алгоритм позволяет варьировать параметры дискретизации задачи (число узлов сетки и шаг по безразмерному времени) в широких пределах, что позволило использовать правило Рунге. Имелась также дополнительная возможность, связанная с перераспределением точек сетки на поверхности ЭИ при изменении формы МЭП. Поскольку форма ЭИ неизменна во времени, то

отличие этой формы от исходной может служить оценкой погрешности. В данных результатах эта оценка не превосходила нескольких десятых процента при общем количестве точек сетки, равном 40.

На рис. 12 показана обработка плоским ЭИ поверхности, имевшей в начальный момент выпуклую неровность: движущимся вертикально вниз ЭИ с безразмерной скоростью, равной единице (на рис. 12, а) и неподвижным ЭИ (рис. 12, б). Система координат связана с движущейся во времени со скоростью электрохимического растворения поверхностью детали.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан численно-аналитический метод решения автомодельных задач электрохимической обработки, которые сводятся к решению вспомогательной гидродинамической задачи обтекания препятствия, ограниченного дугой окружности и двумя прямолинейными отрезками (то есть кругового треугольника). Разработана модификация метода, позволяющая решать задачи в вырожденных случаях (когда один из углов кругового треугольника равен tm, п - целое). Предложен метод ускорения сходимости гипергеометрического ряда, использованный при численной реализации метода.

2. Получены численные решения ряда задач автомодельной ЭХО: обработка движущимся точечным ЭИ, бесконечно удаленным ЭИ, плоским и клиновидным ЭИ, точечным ЭИ на вершине непроводящего клина, бесконечно удаленным ЭИ при наличии изолированного клина, и клиновидным ЭИ с одной изолированной боковой поверхностью. Получены точные аналитические решения для частных случаев рассмотренных задач, аналитические выражения для оценки скорости растворения материала анода и скоростей потока электролита. Результаты показали, что скорость растворения материала анода возрастает с уменьшением угла, в который вписана обрабатываемая поверхность и с увеличением угла между гранями клиновидного ЭИ.

3. Дана постановка задачи и разработан численно-аналитический мслод решения нестационарных задач электрохимической обработки на основе сведения к решению краевых задач. На каждом временном шаге решаются две краевые задачи для определения аналитических функций комплексного переменного: задача Дирихле для определения конформного отображения области изменения параметрического переменного на физическую плоскость и задача Рима-на- Гильберта для нахождения частных производных координат точек межэлектродного пространства по времени (при фиксации образов точек на плоскости параметрического комплексного переменного).

4. Получены результаты численного решения задач о нестационарной обработке электродами-инструментами различной формы в виде последовательности форм обрабатываемой поверхности, которые позволяют определить время и величину припуска, необходимые для установления стационарного или автомодельного процесса.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ

РАБОТЫ

1. Федорова Г.И. Решение задач об автомодельном электрохимическом формообразовании с помощью конформных отображений // Лобачевские чтения -2001: Материалы межд. науч. конф. -Казань, 2001. -С. 118-119.

2. Федорова Г.И. Аналитическое решение одной задачи об автомодельном электрохимическом формообразовании. // Интеллектуальные системы управления и обраб. информации: Материалы межд. науч. конф. - Уфа, 2001. - С. 77.

3. Федорова Г.И. Решение задач об автомодельном электрохимическом формообразовании с помощью гипергеометрических функций // Принятие решений в условиях неопред-ти: Межвуз. науч. сб. - Уфа: УГАТУ, 2002. - С. 89-96.

4. Федорова Г.И. Применение метода конформных отображений для решения задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Вопросы управления и проектирования в информационных и кибернетических системах: Межвузовский научный сборник-Уфа: УГАТУ, 2002.-С. 106-112.

5. Федорова Г.И., Камашев А.В. Численно-аналитический метод решения задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Энергетические установки и термодинамика. Н.Новгород: НГТУ. 2002. С. 104-115.

6. Розенман АА., Федорова Г.И., Ошмарин А.А. Исследование предельных режимов течений численно-аналитическими методами // Гидродинамика больших скоростей: Материалы Межд. науч. школы.- Чебоксары. 2002. С. 134-138.

7. Rozenman A.A., Fedorova G.I., Oshmarin A.A. Investigation of maximum conditions of flow by using numerical-analytical methods // Proc. of International scientific School "High speed hydrodynamics". - Cheboksary, 2002. pp. 365-368.

8. Житников В.П., Розенман А.А., Федорова Г.И. Решение задачи «Движение диполя параллельно дну в ограниченной струе весомой жидкости» с помощью программно-исследовательского комплекса // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Том 6, №4,2003. - С. 13-18.

9. Fedorova G. I., Zhitnikov V.P. The Solution of the Problem of Self-Similar Processing by Wedge Tool Electrode with the Help of the Methods of the Complex Variable Functions Theory // Proc. of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003, Vol. 2, Ufa, Russia, 2003. pp. 56-59.

10. Федорова Г.И. Гипергеометрическая функция в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Материалы всероссийской молодежной научно-технической конференции- Уфа, 3-4 декабря 2003г. - С. 75.

П. Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Конформные отображения в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Снежинск и наука'03: Сб. науч. тр. межд. науч. конф. - Снежинск: СГФТА, 2003. - С. 80.

12. Федорова Г.И. Решение задачи об автомодельной обработке клиновидным электродом-инструментом с помощью методов теории функций комплексного переменного // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский научный сборник - Уфа: УГАТУ. 2003. -С. 87-94.

13. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 149,2004. - pp 398-403.

14. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: Материалы второй международной летней научной школы.- Чебоксары. 2004. С. 158-160.

ФЕДОРОВА Галина Ильясовна

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 22 сентября 2004 г. Формат 60X84 /16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman Cyr. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр-отт. 0,9. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 510. Бесплатно. Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа- центр, ул. К.Маркса, 12.

»19792

РНБ Русский фонд

2005-4 17298

Введение

Глава 1. Методы решения задач электрохимического формообразования

1.1. Постановка задач и вывод краевых условий

1.2. Задачи расчета форм поверхности, не зависящих от времени

1.2.1. Задача начального формообразования

1.2.2. Стационарные задачи

1.2.3. Предельное формообразование

1.2.4. Автомодельные решения задач ЭХО

1.2.5. Расчет гидродинамики электролита МЭП 21 1.2.6 Обзор решенных ранее задач

1.3. Решение автомодельных задач при помощи конформных отображений

1.4. Построение отображения, преобразующего верхнюю полуплоскость в круговой треугольник с заданными углами

1.5. Построение отображения верхней полуплоскости на круговой треугольник, один из углов которого равен пп (п- целое)

1.6. Ускорение сходимости гипергеометрического ряда

1.7. Тестирование и сравнение с результатами решения, полученными при помощи математического пакета MAPLE

Глава 2. Решение задач об автомодельном электрохимическом формообразовании с помощью гипергеометрической функции

2.1. Задача об автомодельной обработке движущимся точечным электродом-инструментом.

2.2. Бесконечно удаленный электрод- инструмент

2.3. Плоский и клиновидный электрод-инструмент.

2.4. Клиновидный электрод инструмент с изолированными боковыми поверхностями.

2.5. Бесконечно удаленный электрод инструмент при наличии изолированного клина.

2.6. Клиновидный электрод инструмент с одной изолированной боковой поверхностью.

Глава 3. Решение задач нестационарной электрохимической обработки.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод решения задачи.

3.3. Решение задачи Римана- Гильберта.

3.4. Тестирование.

3.4.1. Аналитическое решение стационарной задачи.

3.4.2. Решение нестационарной задачи.

3.5. Численные результаты. 132 Заключение 138 Литература 140 Приложения

Развитие машиностроения приводит к появлению новых высокопрочных материалов, усложнению конструкций изделий, повышению технических требований к точности и качеству обработанной поверхности. Механическая обработка имеет определенные недостатки: приводит к быстрому износу рабочего инструмента, что затрудняет формирование сложнофасонных поверхностей, оказывает силовое и температурное воздействие на обрабатываемую деталь в зоне обработки. Технологические показатели при механической обработке значительно зависят от физико-механических свойств обрабатываемого материала.

Размерная электрохимическая обработка (ЭХО), основанная на анодном растворении металлов в проточном электролите с помощью специального катода-инструмента, позволяет устранить эти недостатки. Впервые ЭХО была предложена в 1928 году отечественными учеными В.Н. Гусевым и JI.A. Рожковым. Значительные успехи в развитии теории и совершенствования технологии были достигнуты благодаря работам Ф.В. Седыкина, И.И. Мороза, Ю.Н. Петрова, В.Д. Кащеева, Г.И. Корчагина, А.Х. Каримова, Ю.С. Волкова, А.И. Дикуссар и др. Первые задачи расчета границ электродов при размерной ЭХО были рассмотрены сразу же после начала внедрения метода в машиностроении. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли В.В. Клоков, JI.M. Котляр, Д.В. Маклаков, Г.А. Алексеев, JT.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J. Kozak.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Это позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах Н.Е. Жуковского [33], М.А. Лаврентьева [59], Л.И. Седова [72], М.И. Гуревича [10], П.Я. Полубариновой-Кочиной [68], Г.Ю. Степанова [74] и др.

Появившиеся и апробированные в последние десятилетия новые технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно увеличить точность ЭХО. В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО [11, 12, 37, 100]. Это связано с тем, что в отличие от механического процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. В связи с этим форма следа на заготовке при ЭХО не повторяет полностью профиль электрода-инструмента (ЭИ). Чтобы иметь возможность рассчитать эту форму, необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля в пространстве между электродами. Кроме того, поскольку форма заготовки изменяется при обработке, приходится решать нестационарные задачи, что осложняет расчет и практическое применение результатов.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но, с другой стороны, не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования [35, 39, 40, 61].

Обычно при исследовании ЭХО задача формообразования рассматривается как стационарная, то есть предполагается, что при движении электрода-инструмента (ЭИ) поверхность обрабатываемого материала сохраняет некоторую стационарную форму в системе координат, связанной с ЭИ. Как показывает опыт, такой подход действительно оправдывает себя при прямом копировании и прошивке отверстий в зоне, где происходит активное формообразование. Однако этот подход не позволяет рассчитать переходный процесс, который необходим для установления стационарной формы и требует снятия определенного припуска для получения заданной точности копирования.

Как частный случай в диссертационной работе рассматривается процесс автомодельной ЭХО, т.е. такой случай нестационарной обработки, в котором форма обрабатываемой поверхности остается геометрически подобной начальной. Обработка приводит только к изменению масштаба межэлектродного пространства (МЭП), при этом форма эпюры распределения плотностей тока на поверхности материала остается постоянной.

Решение задачи автомодельной ЭХО позволяет рассмотреть некоторые предельные случаи нестационарного формообразования, получить оценки изменения радиуса кривизны при скруглении острых кромок.

Целью исследований является:

• разработка численно-аналитических методов и алгоритмов для решения нестационарных задач электрохимической обработки (определения полей плотности тока и скоростей течения электролита, изменения формы границ во времени);

• численное исследование ряда задач о нестационарной (в частности, автомодельной) электрохимической обработке при помощи разработанных численно-аналитических методов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

1. Разработан численно-аналитический метод решения автомодельных задач электрохимической обработки, которые сводятся к решению вспомогательной гидродинамической задачи обтекания препятствия, ограниченного дугой окружности и двумя прямолинейными отрезками (то есть кругового треугольника). Разработана модификация метода, позволяющая решать задачи в вырожденных случаях (когда один из углов кругового треугольника равен пп, п - целое). Предложен метод ускорения сходимости гипергеометрического ряда, использованный в численной реализации метода.

2. Получены численные решения ряда задач автомодельной ЭХО: обработка движущимся точечным ЭИ, бесконечно удаленным ЭИ, плоским и клиновидным ЭИ, точечным ЭИ на вершине непроводящего клина, бесконечно удаленным ЭИ при наличии изолированного клина, и клиновидным ЭИ с одной изолированной боковой поверхностью. Получены аналитические решения для частных случаев рассмотренных задач, выражения для оценки скорости растворения материала анода и скоростей потока электролита. Результаты показали, что скорость растворения материала анода возрастает с уменьшением угла, в который вписана обрабатываемая поверхность и с увеличением угла между гранями клиновидного ЭИ. Оценка скорости потока электролита позволяет определить области с малой скоростью течения и малым давлением электролита.

3. Дана постановка задачи и разработан численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической обработки на основе сведения к решению краевых задач. На каждом временном шаге решаются две краевые задачи для определения аналитических функций комплексного переменного: задача Дирихле для определения конформного отображения области изменения параметрического переменного на физическую плоскость и задача Римана- Гильберта для нахождения частных производных координат точек меэ&электродного пространства по времени (при фиксации образов точек на плоскости параметрического комплексного переменного). 4. Получены результаты численного решения задач о нестационарной обработке электродами-инструментами различной формы в виде последовательности форм обрабатываемой поверхности, которые позволяют определить время и величину припуска, необходимые для установления стационарного или автомодельного процесса.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для исследования нестационарных процессов электрохимического растворения, позволяют существенно расширить класс исследуемых процессов электрохимической обработки.

Результаты исследований и численные методы решений задач использованы при выполнении научно-исследовательских работ по теме ИФ-ВК-05-93-03 (№ гос. регистрации 01940008023) и включены в спецкурсы УГАТУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны аналитические и численно-аналитические методы решения задач электрохимической обработки, решены задачи обработки поверхностей электродами-инструментами различной формы.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. Часть 1. М.: Наука, 1973, 631 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987, 598 с.

3. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца.-1965. - -5-6. - С. 59-65.

4. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1997. - 18 с.

5. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей.- Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993, с.70-74.

6. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении.- Казань: Изд-во КАИ, 1994. с.32-35.

7. Газизов Е.Р. Потенциальные течения жидкости в открытых каналах: задачи гидромеханики и электрохимии: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 2000. - 16 с.

8. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. -536 с.

9. Давыдов А.Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука. - 1990. - 272 с.

10. Де Барр А.Е., Оливер Д.А. Электрохимическая обработка. -М.: Машиностроение. 1973. - 184 с.

11. Длугач Д.Я., Слепушкин Е.И., Шитова В.М. Метод приближенного определения стационарных зазоров при электрохимическом формообразовании // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца. - 1968. - ~2. - С. 17-26.

12. Егоров М.А. Численный расчет построчной электрохимической обработки.// Труды семинара по краевым задачам. Выпуск 28. Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1993. С.14-20.

13. Евдокимов В.В., Евдокимова Е.Ю., Клоков В.В., Филатов Е.И. Численный расчет эволюции анодной поверхности и гидродинамического поля при ЭХО.// Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. Казань, 1994. С.44-48.

14. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. УГАТУ. Уфа, 1994, 106 с.

15. Житников В.П., Зайцев А.Н. Исследование формообразования при электрохимической обработке с помощью стержневого катода-инструмента// Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. Казань: КАИ. - 1990. - С. 31-36.

16. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. Уфа : изд. УГАТУ. 1996. 221 с.

17. Житников В.П., Зайцев А.Н., Краснобабцев Г.М. Исследование стационарного электрохимического формообразования проволочным катодом// Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. Уфа: УАИ. - 1986. - С. 49-55.

18. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельные решения нестационарных задач электрохимической обработки // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1998. Т.1.№ 4-6. С. 108-115.

19. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельное решение задачи электрохимической обработки материала электродом инструментом, удаленным на бесконечность// Уфимск. гос. техн. авиацион. ун-т - Уфа, 1995. -16 с. - Деп. в ВИНИТИ. № 2969 - В95. 09.11.95.

20. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельные решения нестационарных задач электрохимической обработки // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1998. Т.1.№ 4-6. С. 108-115.

21. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. №2 (196) С. 4-9.

22. Житников В.П., Файфер H.J1. Исследование электрохимической обработки криволинейных поверхностей с помощью линейной модели // Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. -Уфа: УАИ. 1989.-С. 171-177.

23. Житников В.П., Файфер H.JI. Решение плоской краевой задачи о стационарном электрохимическом формообразовании стержневым электрод-инструментом// Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Чувашский университет. - 1989. - С. 45-53.

24. Житников В.П., Файфер H.JI. Влияние кривизны поверхности детали на распределение напряженности электрического поля при построчной электрохимической обработке// Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1990. - ~ 9. С. 127-131.

25. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: Тез. докл. второй межд. летней научн. школы. Чебоксары. 2004. С. 158-160.

26. Житников. В.П., Шерыхалина Н. М. Методы экстраполяции результатов численного эксперимента./Уч. пособие. Уфа: УГАТУ. 2002. 28с.

27. Жуковский Н.Е. Определение движения жидкости при каком-нибудь условии, данном на линии тока// Журнал Русского физико-химического общества. 1989. - Т.22.

28. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. Кишинев: Штиинца. -1990.-205 с.

29. Зайцев А.Н., Житников В.П. Автоматическая подготовка управляющих программ для электрохимических станков с ЧПУ// Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. Уфа: УАИ.-1988. - С. 105-114.

30. Зайцев А.Н., Житников В.П. Моделирование процесса электрохимической размерной обработки непрофилированными трубчатыми ЭИУ/ Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов. Тула: ТПИ. -1989.-С. 12-19.

31. Зайцев А.Н., Житников В.П. Расчет параметров защиты от коротких замыканий на станках для электрохимической обработки вибрирующим электрод-инструментом// Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца. - 1990. - ~3. - С. 13-19.

32. Зайцев А.Н., Житников В.П., Файфер Н.Л. К вопросу о расчете параметров электрохимического формообразования сложнофасонных деталей непрофилированными электрод-инструментами// Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца. - 1989. - ~5. - С. 3-6.

33. Зайцев А.Н., Безруков С.В., Гимаев Н.Э., Житников В.П. и др. Технология и оборудование для прецизионной электрохимической размерной обработки. М.: ВНИИТЭМР. - 1990. - 64 с.

34. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, 512 с.

35. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования (монография). Казань: КГУ. -1990. -387 с.

36. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т. - 1984. - 80 с.

37. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования// Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. 1975. - Вып. 12. - С. 93-101.

38. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

39. Клоков В.В. Метод гидродинамического расчета течения в зазоре при электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1987. - Вып.23. - С. 130-137.

40. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод-инструментом. Казань: Казанск. ун-т. - 1989. - 28 с. Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89. - -188.

41. Клоков В.В., Каргин Г.В., Насибулин В.Г. К определению зазора при электрохимической обработке трубчато-контурным катодом// Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца. - 1983. - С. 5-10.

42. Клоков В.В., Костерин А.В., Нужин М.Т. О применении обратных краевых задач в теории электрохимической размерной обработки.: Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ, 1972, с. 132-140.

43. Клоков В.В., Рябчиков М.Е., Шкарбан А.Ю. Модели гидродинамического поля в межэлектродном зазоре. // Сборник трудов Всерос. н.-т. конф. Современная электротехнология в машиностроении. Тула, 1997, с.52-53.

44. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. Казань: Казанск. ун-т. - 1989. - 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. - -209.

45. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1985. -Вып.22. - С. 117-124.

46. Коппенфельс В. Штальман Ф. Практика конформных отображений -М.: Изд. иностр. лит. 1963. - 406 с.

47. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. - 1973. - 832 с.

48. Котляр JI.M. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1993, Вып. 28.с. 51-58.

49. Крылов A.JI. Задача Коши для уравнения Лапласа в теории ЭХО металлов// ДАН СССР. 1978. - ~2.

50. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. - 1973. - 736 с.

51. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Предельное электрохимическое формообразование тонким криволинейным симметричным катодом// Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами. Чебоксары: Чуваш, ун-т. -1987. - С. 73-77.

52. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Метод возмущений в задачах стационарной электрохимической обработки// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1987. - Вып.23. - С. 164-168.

53. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании.: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1994. - 15 с.

54. Мороз И.И., Алексеев Г.А., Водяницкий О.А. и др. Электрохимическая обработка металлов. М.: Машиностроение. -1969. -209с.

55. Насибулин В.Г. Расчет катод-инструмента для ЭХО// Комбинированные электроэрозионно-электрохимические методы размерной обработки металлов: Тез. докл. Всесоюзн. конф. Уфа: УАИ. - 1983. -С.34-36.

56. Насибулин В.Г. Краевые задачи гидромеханики, имеющие приложение в теории ЭХРО: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. -Казань. 1989. -14 с.

57. Пантюхин В.А. Расчет и проектирование ЭИ для ЭХРО объемных поверхностей глубиной до 30-40 мм// Метод, материалы. Научно-иссл. инст-т технолог, и организ. произв-ва (НИАТ). 1973. - 18 с.

58. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

59. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.: Наука. 1981. - 800 с.

60. Розенман А.А., Федорова Г.И., Ошмарин А.А. Исследование предельных режимов течений численно-аналитическими методами // Гидродинамика больших скоростей: Тез. докл. Межд. научн. школы. Чебоксары. 2002. С. 134-138.

61. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987,286 с.

62. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.- Л.: ГИТТЛ, 1966.

63. Смирнов В.И. Курс высшей математики- М.: Наука, 1969.T.3, ч. 2. -613 с.

64. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физматгиз, 1962.512 с.

65. Суворова Г.С., Энгельгарт Г.Р., Зайдман Н.Г. Одномерное приближение в задачах электрохимического формообразования деталей машин.//Ж. Электронная обработка материалов. №6,1982. С. 17-23.

66. Тихонов А.С. Развитие гидродинамических методов расчета размерного электрохимического формообразования: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1998. - 150 с.

67. Татаринов В.Н. Электрохимическое формообразование регулярных рельефов на деталях инструментальной оснастки: Автореф. дисс. . канд. технич. наук. Тула. - 2004. - 19 с.

68. Ураков А.Р. Автомодельное решение нестационарной задачи электрохимической обработки двугранным электродом инструментом// Математическое моделирование в решении научных и технических задач. Уфа: УГАТУ. 1994. С. 29-32.

69. Ураков А.Р. Применение гидродинамической аналогии для аналитического решения задач автомодельной электрохимической обработки //Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чебоксары : изд. Чуваш, ун-та. 1996. С. 185-189.

70. Ураков А.Р. Автомодельное решение нестационарных задач электрохимической обработки: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Уфа. -1996.- 17 с.

71. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом //

72. Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 8. Вып. 2. 2001. С. 700-701.

73. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000: Труды Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 2000. С. 251-254.

74. Ураков А.Р., Надольский И.М. Автомодельное решение задачи электрохимической обработки точечным ЭИ// Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа.: УГАТУ. 1996. С. 78-81.

75. Федорова Г.И. Решение задач об автомодельном электрохимическом формообразовании с помощью конформных отображений // Лобачевские чтения 2001: Матетериалы межд. молодежи, науч. школы-конф. - Казань, 28 ноября-1 декабря 2001. -С. 118-119.

76. Федорова Г.И. Аналитическое решение одной задачи об автомодельном электрохимическом формообразовании. // Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Мат. межд. молодежи, научно-технической конференции Уфа, 5- 6 декабря 2001. — С. 77.

77. Федорова Г.И. Решение задач об автомодельном электрохимическом формообразовании с помощью гипергеометрических функций // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2002. -С. 89-96.

78. Федорова Г.И. Применение метода конформных отображений для решения задач об автомодельном электрохимическом формообразовании //

79. Вопросы управления и проектирования в информационных и кибернетических системах: Межвуз. науч. сб. Уфа: УГАТУ, 2002. -С. 106-112.

80. Федорова Г.И. Гипергеометрическая функция в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Материалы Всерос. Молодежи, научно техн. конф. Уфа, 2003г. - С. 75.

81. Федорова Г.И. Решение задачи об автомодельной обработке клиновидным электродом-инструментом с помощью методов теории функций комплексного переменного // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский науч. сб. Уфа: УГАТУ. 2003. -С. 87-94.

82. Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Конформные отображения в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Снежинск и наука 2003: Сб. науч. трудов межд. науч. конф. - Снежинск: СГФТА, апрель 2003. -С. 80.

83. Федорова Г.И., Камашев А.В. Численно-аналитический метод решения задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Энергетические установки и термодинамика. Нижний Новгород: НГТУ. 2002. С. 104-115.

84. Филатов Е.И. Учет влияния неравномерности поляризации электродов на формообразование при ЭХО// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1987. - Вып.23. - С. 221-225.

85. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита// Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т. - 1990. - С. 64-68.

86. Филатов Е.И. Упрощенная модель течения электролита в трехмерном зазоре при ЭХО.// Труды семинара по краевым задачам Казань: Казанск. ун-т. - 1993.-Вып.28.-С. 87-94.

87. Шкарбан А.Ю. Гидродинамика в ячейке при электрохимической размерной обработке.// Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского, Казань, Унипресс, 1999, с. 190-191.

88. Шкарбан А.Ю. Разработка методов расчета электрохимического формообразования и гидродинамики течения электролита в зазоре: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 2000. - 24 с.

89. Шишкин С.Е. Анодное формообразование двугранным катодом в пассивирующем электролите// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1984. - Вып. 21. - С. 240-245.

90. Шишкин С.Е. Гидромеханические методы решения плоских задач стационарного и предельного электрохимического формообразования с нелинейными граничными условиями Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Казань. 1988. - 15 с.

91. Щербак М.В., Толстая М.А., Анисимов А.П., Постаногов В.Х. Основы теории и практики электрохимической обработки металлов и сплавов. М.: Машиностроение. - 1981. - 263 с.

92. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД. // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Вып. 1: Труды Казань, 1989. С.23-34.

93. Bortels L., Purcar М., Bart Van den Bossche, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3, 2004. pp 486-492.

94. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems. // J. Inst. Maths. Applies. 1976 №18, P. 295-307.

95. Gutsunaev A.V., Urakov A.R. Hydrodynamic models in investigation on nonstationary electrochemical forming // High speed hydrodynamics (HSH -ГБС 2002): Proceedings. June 16-23, 2002. Cheboksary, Russia, pp. 439-442.

96. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 149, 2004. pp 398-403.

97. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals. 1977. - V. 25. - N. 1. - P. 83-87.

98. Kozak J., Bodzinski A., Engelgart G.R., Davidov A.D. Mathematical Moddeling of Electrochemical Machining// Proceedings of International Symposium for Electromachining (ISEM-9).- Nagoya. 1989. P. 135-138.

99. Nilson R.N., Tsuei Y.G. Free Boundary Problem for the Laplace Equation with Application to ECM Tool Design// ASME. Journal of applied Mechanics. 1978. March. V. 98. -N 1. P.54-58.

100. Nilson R.N. Tsuei Y.G. Inverted Cauchy Problem for the Laplace Equation in Engineering Design//Jornal of Engineering Mathematics.-1974.- V.8.-№4. P.329-377.

101. Novak P., Rousaz I., Kimla A. ect. Mathematical simulation of electrochemical machining.// Материалы Межд. Шк. «ЭХОМ-88», Любневицы (ПНР), 1988. С. 100-115.

102. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analisis of ECM// Precis. Eng. 1980. - V. 2. - N 1. - P. 23-28.

103. Reddy M.S., Jain V.K., Lai G.K. Tool Design for ECM: Correction Factor Method//Trans. ASME: J. Eng. Ind. 1988. -V. 110.-P. 111-118.

104. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3, 2004. pp 472-478.

105. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003, Vol. 2, Ufa, Russia, 2003. p. 43.

106. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3, 2004. -pp 466-471.

107. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. P. 499-506