автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Методы коррекции и аппроксимации несобственных задач оптимизации и управления с минимаксным критерием

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Интерполяция и аппроксимация таблично заданной функции полиномами с ограничениями на коэффициенты как проблема коррекции.

§1.1. Проблема минимальной коррекции моделей для несобственных задач.

§ 1.2. Задача нахождения интерполяционного полинома наименьшей степени с ограничениями на коэффициенты.

§ 1.3. Задачи аппроксимации таблично заданных функций с ограничениями на коэффициенты.

ГЛАВА 2. Задачи коррекции систем линейных уравнений и моделей линейного программирования с минимаксным критерием.

§2.1. Коррекция системы линейных уравнений с минимаксным критерием.

§ 2.2. Метод и алгоритм решения минимаксной задачи.

§ 2.3. Коррекция задачи линейного программирования

ГЛАВА 3. Применение методов коррекции для линейных управляемых систем и задач векторной оптимизации.

§3.1. Постановка задачи коррекции для линейной управляемой системы.

§ 3.2. Решение задач коррекции для линейных управляемых систем.

§ 3.3. Методы коррекции для выбора весовых коэффициентов в многокритериальных задачах.

Актуальность темы. В настоящее время информация становится жизненно важным ресурсом, а информационная деятельность определяет приоритеты в процессе развития цивилизации и во всем своем широчайшем спектре в значительной степени опирается на современные достижения компьютерной техники. Поэтому очевидна необходимость всестороннего фундаментального исследования основных понятий информатики, процессов представления, обработки, хранения и передачи информации. При этом на первый план выдвигаются задачи нахождения эффективных алгоритмов обработки и анализа данных и принятия на их основе наиболее рациональных решений [36].

Интерес к задачам наилучшего выбора был высоким всегда, но особенно он возрос в последние годы в связи с интенсивным развитием науки и техники и усложнением процессов выработки управленческих решений в экономике. Если до некоторых пор человечество нуждалось больше в знаниях о физической природе тех процессов, которые служили материальной основой целенаправленной деятельности, то теперь все большую роль начинают играть научные знания о процессах переработки информации и общих приципах принятия решений, поскольку чрезвычайное усложнение организационных форм привело к тому, что становится трудно определить на интуитивном уровне все последствия принимаемых решений.

При решении задач оптимизации и управления проблема построения математических моделей долгое время находилась на заднем плане. В то же время для сложных процессов управления данная проблема становится весьма трудной и при этом, возможно, определяющей. От того насколько удачно выбрана или построена модель зачастую зависит весь успех дела. При составлении математической модели операции действуют две противоречивые тенденции. С одной стороны, исследователь стремится дать наиболее полное описание, учитывающее все действующие факторы, с тем, чтобы обеспечить адекватность модели действительности. С другой стороны, модель не должна быть чересчур громоздкой, так как иначе, даже при современных технических средствах, ее невозможно будет обеспечить необходимой информацией, провести анализ с достаточной степенью точности и получить обозримые результаты. Можно сказать, что модель есть плод искусства умелого компромиса между возможностями и потребностями [17].

Практика моделирования и численного анализа задач оптимального планирования и управления показала, что возникновение противоречивых моделей, то есть приводящих к не имеющим решений (несобственным) математическим задачам, - явление обычное, связанное, в частности, с ресурсно-дефицитной природой экономики. В связи с этим возникла необходимость развития теории таких моделей, методов их коррекции, алгоритмического и программного обеспечения [22].

Применение экономико-математических методов и ЭВМ в решении практических задач несомненно принесло пользу, однако выявились и существенные трудности. Последние имеют разную природу. Отметим такие, как недостаточная адекватность математического аппарата, плохое информационное обеспечение (неполнота, недостоверность и неточность информации, невозможность ее оперативного использования), нерешенность в должной полноте проблемы формирования системы оценочных показателей, недостаточное алгоритмическое и программное обеспечение. Отметим также трудности, связанные с качеством моделирования. Обеспечить высокий уровень моделирования, ведущий к созданию адекватной рабочей модели экономического (производственного) объекта, хорошо описывающей его функционирование, позволяющей прослеживать и прогнозировать развитие объекта планирования, - задача нелегкая.

Моделирование сложных процессов и явлений - процедура многошаговая. Первоначальное описание (модель) объекта, имеющее вид системы уравнений, неравенств и других соотношений (в частности предикатных), связывающих параметры или характеристики объекта, может быть противоречивым, то есть соответствующая система соотношений может не иметь решений, быть несовместной. Эта противоречивость может быть вызвана неточностью данных, чрезмерным упрощением действительных связей, абсолютизацией некоторых требований и другими причинами. Более того, противоречивая модель может быть адекватным отражением действительных противоречий, а способы ее корректировки - отражением действительных процедур разрешения реальных противоречий. В этих случаях на последующих шагах " отладки" модели предпринимаются те или иные процедуры корректировки или уточнения соотношений модели и ее структуры [23].

Противоречивость можно считать одним из факторов плохой формализуемости задачи выбора решения в моделях оптимизации, среди которых можно назвать:

- плохую определенность ограничений и критериальных функций (их малую изученность, сложную структуру);

- противоречивость, несогласованность друг с другом ограничений и целей;

- неоднозначность решений;

- неустойчивость моделей (в частности, эволюция моделируемого объекта и наших знаний о нем);

- неточность информации;

- переопределенность требований.

Таким образом, модель с несовместной системой ограничений (как одним из проявлений свойств несобственности) содержательно может быть не менее важной (а в ряде случаев - и более), чем с совместной. Поэтому важен и целесообразен подход, основывающийся на применении процедур для коррекции такой модели, то есть для преобразования ее в разрешимую. На наш взгляд, проблема коррекции структуры или параметров моделей является весьма актуальной для теоретической информатики.

В математике изучение и использование противоречивых моделей имеет давнюю историю. Так, К. Гаусс при разработке метода наименьших квадратов имел дело с переопределенной несовместной системой линейных уравнений. Несовместные системы линейных неравенств в связи с задачами проектирования механических систем рассматривал П.Л. Чебышев [43]. Позднее системы линейных неравенств, не обязательно совместные, рассматривались и другими авторами [24, 25, 26, 44].

Таким образом, практика теоретических и прикладных математических исследований требует уточнения и развития классического положения о том, что всякая теоретическая модель должна быть непротиворечивой. Это положение слишком категорично, чтобы быть конструктивным. В последнее время получили развитие исследования в области несобственных задач оптимизации. Наиболее известны методы коррекции данных линейных несобственных задач. Большое внимание таким задачам уделено в работах И.И. Еремина и др., в которых дается экономическая их интерпретация и обобщение теории двойственности для несобственных задач линейного программирования (ЗЛП) [22, 23]. Развитию методов коррекции линейных моделей с квадратичным критерием посвящены работы [7, 8, 12, 16].

В настоящей работе рассмотрены вопросы коррекции несобственных задач с минимаксным критерием. Исследуется коррекция как левой части систем линейных уравнений и ограничений ЗЛП (равенств, неравенств), так и коррекция всех данных. Предлагаются эффективные методы построения корректирующих матриц.

Цели работы:

- формулировка и решение задач коррекции всех данных для несовместных систем линейных уравнений с минимаксным критерием;

- формулировка и исследование задач минимаксной аппроксимации несобственных моделей линейного программирования в канонической и стандартной форме;

- построение методов коррекции несобственных задач с несовместной системой ограничений и их применение к некоторым задачам оптимизации и управления.

Объектом исследования является теория несобственных задач.

Предметом исследования - задача линейного программирования с пустым множеством допустимых планов.

Проблема заключается в построении задачи аппроксимации, на основе решения которой могут быть сделаны разумные выводы о замене исходной противоречивой системы ограничений новой, при которой задача линейного программирования имела бы решение.

В основу исследования положена следующая гипотеза: для задачи линейной оптимизации с пустым множеством допустимых планов можно сформулировать и решить задачу коррекции (аппроксимации) - задачу минимизации функции максимального отклонения коэффициентов системы ограничений возмущенной задачи от коэффициентов системы ограничений исходной задачи; если задача коррекции имеет решение, заменить матрицу ограничений несобственной задачи новой "близкой" в смысле минимаксного критерия.

Для реализации поставленных целей и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось последовательно решить следующие задачи:

- исследовать вспомогательные задачи интерполяции и аппроксимации с ограничениями на параметры аппроксимирующих полиномов;

- исследовать задачу коррекции несовместной системы линейных уравнений и свести ее к минимаксной задаче специального вида;

- построить метод и алгоритм решения задачи коррекции системы линейных уравнений с минимаксным критерием;

- сформулировать задачи коррекции для канонической и стандартной форм линейного программирования и найти их решения в классе методов линейной оптимизации;

- рассмотреть задачи коррекции для линейных управляемых систем, с различными условиями на значения "входа" и "выхода" системы и решить их построенными методами;

- сформулировать и решить задачи минимаксной коррекции для выбора весовых коэффициентов в многокритериальных задачах.

Методологическую основу работы составляют современные методы математического программирования и теории исследования операций [4, 5, б, 27, 28, 32, 33, 35, 37, 11, 20, 19, 31, 45], параметрического программирования [3, 9, 10, 18, 29, 30, 34], линейной алгебры [2, 39, 42].

Научная новизна. Проблемы регуляризации и аппроксимации несобственных задач линейного и выпуклого программирования формулировалась Тихоновым А.Н. [40, 41], Ереминым И.И., Ватолиным А.А. и др. При этом основным критерием коррекции данных являлся квадратичный критерий. В данной работе предложены задачи коррекции данных с минимаксным критерием и построены методы коррекции, которые являеются для ЗЛП более эффективными в вычислительном плане.

Практическая значимость работы. Предложенные в настоящей работе способы коррекции несобственных задач могут быть применены для решения многих прикладных задач с сфере планирования и управления. Разработанные методы решения таких задач позволяют эффективно строить минимаксные аппроксимации для противоречивых моделей.

Основные положения выносимые на защиту:

- целесообразно рассматривать проблему коррекции противоречивых моделей оптимизации как задачу коррекции всех данных по критерию минимакса;

- минимаксная задача коррекции может быть эффективна решена предлагаемыми методами, в том числе, для ЗЛП в классе линейных методов оптимизации;

- методы минимаксной коррекции данных имеют важные применения в различных задачах оптимизации и управления.

Апробация работы. Результаты исследования были представлены на 1-й Московской конференции "Декомпозиционные методы в математическом моделировании", 3-й Московской международной конференции по исследованию операций, на научно-методических семинарах кафедры информатики и дискретной математики Московского педагогического государственного университета.

Основное содержание работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, выдвигается гипотеза, положенная в основу исследования, формулируются задачи, которые необходимо было решить для реализации поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы, указывается методологическая основа исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, выдвигаются основные положения, выносимые на защиту, представлено основное содержание работы.

В первой главе рассматриваются задачи интерполяции и аппроксимации как задачи минимальной коррекции данных.

§ 1.1 посвящен описанию проблемы минимальной коррекции моделей для несобственнных задач. Общая постановка задачи коррекции такова. Пусть имеется несобственная задача Р. Эта задача погружается в класс Р(а), являющийся параметризованным расширением исходной задачи. Область значений параметра а есть А, причем существует а$ £ А такое, что Р(ао) = Р. Рассматриваются множества А0 и А\ (AoUAi = A, AqDAi = 0) такие, что при a G Aq задача Р(а) - несобственная, а при a £ А\ задача P{ot) - собственная. На классе Р(а) вводится мера близости между его элементами (задачами) Р(ао) = Р и Р(а): ср(а) = р(Р,Р(а)). Тогда задачу минимальной коррекции можно сформулировать как нахождение значения параметра ai такого, что p(ai) = inf ср(а). aeAi

При этом Р(аi) будет коррекцией исходной задачи Р.

В § 1.2 рассматривается задача нахождения интерполяционного полинома для таблицы данных с ограничениями на коэффициенты полинома.

Решением классической задачи построения интерполяционного полинома, проходящего через (n + 1) заданную точку, является полином п степени Ln(x) = ао + aix + • • • + апхп. Однако, если имеются дополнительные требования в виде ограничений на коэффициенты этого полинома, например, Da = 6, то система

Ln(xi)=yi, г = 1,п; Da = b, где функция у{х) задана таблично (yi = у(хг), г — 1,п), может быть несовместной.

Таким образом, задача построения интерполяционного полинома с ограничениями в классе полиномов тг-й степени, является несобственной. Предлагается следующая постановка задачи: найти интерполяционный полином минимальной степени при наличии линейных ограничений ( 1 )Da = Ъ; 2)Da > Ъ) на его коэффициенты.

Для первого случая показано, что искомый полином будет степени s<N = n-\-m — 1, где га = rang D, и предложен метод нахождения полинома минимальной степени, состоящий в переборе специальных систем линейных уравнений. Для второго случая предлагается два метода нахождения полинома, состоящих, соответственно, в решении последовательности задач квадратичного программирования t fN-t = aN-t min (* = M, • ■ ■) г=0 при ограничениях

LN(xi)=yi, г = 1,п; Da > Ь, или последовательности задач с минимаксным критерием v = max \Ayi\ —> min, ге[1,п] аеп

О = {а € Ер | Da > Ь}, где Aj/i = Уг- Lp(xi), i = l,n.

В § 1.3 рассмотрены ряд задач аппроксимации таблично заданных функций многочленами f(x) = а$хр + a\xv~l +. + ар с определенными условиями на коэффициенты а*, г = 0, р. Эти задачи рассматриваются как задачи минимальной коррекции данных, при которой существует решение задачи интерполяции. Предложены следующие формулировки задач:

1) аппроксимация функции у(х), заданной таблично у{ = у(х{) i = 1,п, позиномом фиксированной степени f{x) = clqxp + + . + ар;

2) аппроксимация таблично заданной функции у{х) полиномом фиксированной степени при условии убывания искомого полинома в узловых точках;

3) аппроксимация функции у(х), заданной таблично у{ = y{xi), ъ — 1,п полиномам фиксированной степени, в смысле минимума отклонения в узлах г 6 /х, при условиях f(xi = yh ie /2, I = I\ U I2 = {1, 2,. , n}; Da — d, где D -t x (p + 1) матрица, t < (p + 1), rang D = t.

Все эти задачи рассмотрены для случаев квадратичного и минимаксного критериев аппроксимации и решены в классе линейных методов (системы линейных уравнений или задачи линейного программирования).

Вторая глава посвящена задачам коррекции систем линейных уравнений и моделей линейного программирования с минимаксным критерием.

В §2.1 рассматривается несовместная система линейных уравнений Ах = Ь. В качестве ее коррекции рассматривается совместная система линейных уравнений (А + Н)х = 6, где малость корректирующей матрицы Н оценивается минимаксным критерием: max | Нц | —У min, i,j x,H где h^ - элементы матрицы Н.

Сначала задача рассмотрена для произвольно фиксированного вектора х [х ф 0) и показано, что минимаксная матрица есть h — агх hij = —-sign Xj, i = 0, ?n, j = 1, n,

E Ы j=i где аг - строки матрицы А.

В § 2.2 рассмотрен метод и алгоритм решения минимаксной задачи min типа метода наискорейшего спуска. Для по

Ь;—агХ ф(х) = max ,, ,, строения вектора наискорейшего спуска решается вспомогательная задача поиска кратчайшего расстояния между множествами.

Показано, что данный метод применим и в случае коррекции всех данных системы, то есть для задачи: max \hij\ —У min, *>э х,н где h^ - элементы матрицы Н = [h,H] такой, что система {А + Н)х — Ь — h совместна.

В § 2.3 рассмотривается задача линейного программирования с несовместной системой ограничений в канонической форме: с, х >—max, zeft

П = {х : Ax = b, х > 0} = 0.

Коррекция матрицы ограничений с минимаксным критерием имеет вид: max |bi — агх\

I г I *e[i,m] max \ пц\ =----у mm. i,j " х>0

Е xj j=1

Аналогичная задача коррекции системы ограничений рассматривается и решается для задачи линейного программирования в стандартной форме: с, х >—)■ max, хеП tt = {х : Ах < Ь, х > 0} = 0. и для задачи коррекции всех параметров системы ограничений.

Также рассматривается двухкритерриальная задача коррекции модели линейного программирования в виде задачи минимакса матрицы Н при ограничении снизу на исходный критерий: minmax \hij\, х,Н i,j при условии {х : {А + Н)х = 6, < с, х >> со, х > 0} ф 0.

Все сформулированные в данном параграфе задачи сводятся к задачам линейного программирования.

Третья глава посвящена некоторым приложениям методов коррекции несобственных моделей.

В §§3.1 - 3.2 рассматривается задача управления линейной системой Ах + Ви = у, где х - значение входа, у - значение выхода, и - внешнее управление. В конкретных объектах на все значения ж, у: и могут быть наложены определенные ограничения, вытекающие из физического смысла. В связи с этим рассмотрены следующие случаи:

1) Управление отсутствует, то есть и = 0, х, у - фиксированы.

2) Управление отсутствует (и = 0), у - фиксирован, х - произвольный неотрицательный вектор.

3) Управление отсутствует (и = 0), ж, у G О.

4) Управление отсутствует (и = 0), х - фиксирован, у G О.

5) Управление и G f^i, ж, у - фиксированы.

6) и G Oi, х, у £ fl.

7) и G x e О, вектор у - фиксирован.

8) м 6 Oi, г/ G Г2, ж - фиксирован.

Здесь О, Пх - некоторые множества ограничений.

В предположении, что линейная управляемая система несовместна, решаются задачи коррекции для всех случаев 1)-8), где коррекции подвергаются матрицы А я В.

В § 3.3 рассматривается проблема построения единого (общего) критерия в задаче векторной оптимизации. Предполагается, что для некоторой выборки точек Х\,Х2. • •• , хт известны количественные оценки общего критерия bi, 62, • • • , Ьт. Весовые коэффициенты должны обеспечить значения общего критерия W{x\), W(x2), • • • , W(xm), близкие к значениям bi,b2,. , brn. Вводится единый критерий в виде свертки частных критеп п риев W(x) — Yl^iWi(x), = 1, \ > 0, г = 1, п. Если обозначить i=lг=1 wij = Wj(xi), i = 1, га, j = 1, n, W — H^ijll - матрица размерности m x n, b = (61,62,. , bm), A = (Ai, A2,. , An), то система линейных ограничений относительно А примет вид: п

WX = Ь, ]ГА* = 1, А > 0. г=1

Данная система, как правило, несовместна. Рассмотриваются следующие задачи минимаксной коррекции: тах|Д6г|—> min , г (\,АЬ)£П п

Q={w\ = b + Ab, Aj > 0, j = = l},

3=1 max —min ,

U (\,AW)€Q. n n = {(w + AW)\ = b, \j > 0, J = X>; = 1}> i=i max max max-! 1Д 6*1,—min , u {X,Ab,AW)en n n n =

W-f AW)X = b + A6, Л^>0, j = l,n, = n

Все три задачи сводятся к решению следующей задачи: max 16; — (W\)i\ min , i А>0,(А,е)=1 которая в свою очередь сводится к задаче линейного программирования.

Заключение содержит основные результаты и выводы, полученные в ходе исследования.

Основное содержание диссертации отражено в работах: [13], [14], [15].

Основные результаты работы:

1. Рассмотрены задачи интерполяции и аппроксимации таблично заданных функций при линейных ограничениях на коэффициенты искомых полиномов, как задачи минимальной коррекции данных, при которой существует решение задачи интерполяции. Полученные задачи сведены к решению систем линейных уравнений и задач линейного программирования.

2. Для несовместной системы линейных уравнений рассмотрены задачи коррекции матрицы ограничений (правая часть системы уравнений фиксирована) и коррекции расширенной матрицы ограничений с минимаксным критерием. Предложен численный метод решения сформулированных задач, аппробированный на тестовых примерах.

3. Для несобственных задач линейного программирования в стандартной и канонической форме рассмотрены вопросы коррекции системы ограничений. В данном классе задач рассмотрена двухкритерриальная проблема коррекции как задачи минимизации максимального элемента матрицы коррекции при ограничении снизу на исходный критерий. Все поставленные проблемы коррекции несобственных задач линейного программирования сведены к задачам линейной оптимизации.

4. Рассмотрены вопросы коррекции линейных управляемых систем при ограничениях на управляющие переменные, значения входа и выхода системы. Предложены методы минимаксной коррекции, сводящие их к решению задач линейного программирования.

5. Для задачи векторной оптимизации, предложен метод определения весовых коэффициентов для единого критерия в виде линейной свертки частных критериев, сводящийся к коррекции несовместной системы линейных уравнений.

Полученные результаты и методы могут быть использованы в процессе построения и анализа линейных моделей оптимизации и управления в различных прикладных областях.

Заключение

Работа посвящена вопросам коррекции несовместных систем линейных уравнений и несобственных задач линейного программирования в стандартной и канонической форме и применению полученных результатов к решению некоторых задач оптимизации и управления.

1. Андронникова Н.Г., Вакалов С.А., Бурков В.Н., Котенко A.M. Модели и методы оптимизации региональных программ развития. М.: 2001 (Препринг/ Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН)

2. Белман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

3. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977.

4. Васильев Н. С. Об одном классе динамических задач распределения ресурсов. // Неантогонистические дифференциальные игры и их приложения. М., 1986. С. 114-119.

5. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

7. Ватолин А. А. Аппроксимация несобственных задач линейного программирования по критерию евклидовой нормы. // ЖВМиМФ, 1984. Т. 24. № 12. С. 1907-1908.

8. Ватолин А. А. Об аппроксимации несовместных систем уравнений и неравенств. В кн.: Методы аппроксимации несобственной задачи линейного программирования. УНЦ АН СССР. Свердловск, 1984. С. 39-54.

9. Вильяме Н.Н. Параметрическое программирование в экономике. М.: Статистика, 1976.

10. Волошинов В.В. Нелокальное параметрическое оценивание функции оптимума экстремальных задач. М.: ВЦ АН СССР, 1989.

11. Гермейер Ю.Б. К задаче отыскания максимина с ограничениями. // Выч. матем. и матем. физики. № 1 (1970). С. 39-55.

12. Горелик В. А. Матричная коррекция задачи линейного программирования с несовместной системой ограничений. // ЖВМиМФ, 2001. Т. 41, №11. С. 1697-1705.

13. Горелик В.А., Ибатуллин P.P. Correcting the system of constaints of a linear program with the aid of minimax criterion. // Тезисы докладов 3-й Московской международной конференции по исследованию операций. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 42.

14. Горелик В.А., Ибатуллин P.P. Коррекция системы ограничений задачи линейного программирования с минимаксным критерием. // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. М.:ВЦ РАН, 2001. С. 89-107.

15. Горелик В.А., Кондратьева В.А. Параметрическое программирование и несобственные задачи линейной оптимизации. // Моделирование,декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1999. С. 57-82.

16. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986.

17. Гуддат Ю., Вендлер К., Вернсдорф Р. О решении задач векторной оптимизации с помощью параметрического программирования. // Humboldt Universital ru Berlin. Section mathematik Seminarberichte, 1981, №37. P. 11-24. Пер. с нем.

18. Демьянов В.Ф. К минимизации максимального уклонения. // Вестник ЛГУ, № (1966), С. 21-28.

19. Демьянов В. Ф. К разысканию минимакса на ограниченном множестве. ДАН СССР 191, №6 (1970), С.1216-1219.

20. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука. Физматлит, 1972.

21. Еремин И.И. Противоречивые модели экономики. Свердловск: Средне-Уральское книжное издательство, 1986.

22. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев Н.Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М.: Наука. Физматлит, 1983.

23. Еремин И. И. О некоторых свойствах узлов системы линейных неравенств. УМН, 1956, XI, №2, С. 169-172.

24. Еремин И. И. О несовместных системах линейных неравенств. ДАН СССР, 1961, 138, №6, С. 1280-1283.

25. Еремин И. И. О системах неравенств с выпуклыми функциями в левых частях. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1966, 30, №2, С. 256-278.

26. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

27. Карманов В.Г., Федоров В.В. Моделирование в исследовании операций. М.: Темза, 1996.

28. Левитин Е. С. Теория возмущений в математическом программировании и ее приложение. М.: Наука, 1992.

29. Ломатч К. Понятия и результаты параметрического программирования. // Способы решения и анализа задач линейной оптимизации векторов. Stuttgart, Basel: Birkhauser, 1979. Пер. с нем. Дробенок JI.A. Минск, 1985.

30. Малоземов В.Н. К нахождению алгебраического полинома наилучшего приближения. Кибернетика 5 (1969), С. 125-131.

31. Мину М. Математическое рограммирование: теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.

32. Миронов А.А., Цурков В.И. Минимакс в транспортных задачах. М.: Наука, 1997.

33. Параметрическая оптимизация и методы аппроксимации несобственных задач математического программирования: Сб. ст. / Под ред. И.И. Еремина. Свердловск УНЦ АН СССР, 1985.

34. Пшеничный В.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

35. Решетников В.П., Сотников А.Н. Информатика что это? М.: Радио и связь, 1989.

36. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

37. Современное состояние теории исследования операций. Под ред. Н.Н. Моисеева. М.: Наука. Физматлит, 1979.

38. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980.

39. Тихонов А.Н., Аресенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

40. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования. // ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 1, С. 81-89.

41. Хорн РДжонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1983.

42. Чебышев П.Л. О простейшей суставчатой системе, доставляющей движение, симметричные около данной оси. В кн.: Чебышев П.Л. Собр. соч. М.: Гостехиздат, 1948, т.4. С. 167-211.

43. Черников С.Н. Системы линейных неравенств и некоторые их приложения. В кн.: Математизация знаний и научно-технический прогресс. Киев: Наукова Думка, 1975, С. 149-175.

44. Юдин Д.В., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Физматгиз, 1963.