автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы комитетного синтеза в задачах классификации (таксономии)

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ НАТЕНАТИКИ

(1а правах рукописи

АИИРГШЕВ ЕДИЛХАН НЕШХАНОВНЧ

ЦЕТОДН ШИТЕТНОГО СИНТЕЗА В ЗАДАЧАХ КЛАССИФИКАЦИИ (ТАКСОНОМИИ)

05.13,01 - Управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Алма-Ата 1932

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики АН РК и в Институте космических исследований АН РК

Научный руководите;;!,:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

кандидат технических наук, ЫУХАМЕДГАЖЕВ А. Ф.

доктор технических наук, профессор АЙСАГАЛИЕВ С. А. ,

кандидат технических наук, МУНЫШН хн.

Институт кибернетики имени Е11 Глушкова АН Украины

Защита состоится 1992 г. в

15 часов на заседании специализированного совета К 008.11.03 в Институте теоретической и прикладной математики АН РК по адресу: 480021, г. Алма-Ата, улица Пушкина, 125.

С диссертациоей можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной математики АН РК.-

Автореферат разослан Q.*fi£*£si 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук С^тСХл^. С. П. Соколова

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Научно-технический прогресс в организации управления экономикой государства и связанное с яш существенное увеличение объемог. обрабатываемой информации обуславливает непрерывное возрастающее значение роли вычислительной техники н математических методов обработки информации. Математические методы распознавания образов и классификации (таксономии) возникли из возросшей потребности решать многие прикладные задачи, возникающие в экономике, экологии, геология.

- К задачам таксономии сводится большое число проблем, возника-юших при решении различных аспектов фундаментальных и практических задач. Такой популярностью методов таксономии ео многом определяется неослабевающий интерео .исследователей к этому классу задач.

Как научное направление распознавание образов и классификация заявило о себе в 60-годах и с тех пор бурно развивается, как в теоретическом плане, так и практическом применении. Весомый и существенный вклад в развитие, исследование и изучение проблем распознавания образов и классификации внесли зарубежные и советские математики: Л.Г.Трион, и.А.Хартиган, Да.Ту, Р.Гонсалес, Р.Дуда, П.Харт, Н.Дюран, П.Одел, Ю.Ц.БУравлев; Н.Г.Загоруйко, С.А.Айвазян, В.И.Васильев и другие.

К настоящему времени накоплен значительный опыт в области таксономии и создано большое количество как простых, так и достаточно сложных.параметрических моделей. Однако, в отличие от близких задач распознавания образов здесь еще не создано универсальных методов, а существующие алгоритмы носят в большей степени эвристический характер.

В связи с этим создание универсальных, точных методов и алгоритмов таксономии является весьма актуальным, к числу таких методов с высокой степенью уверенности следует отнести исследуемые в работе методы комитетного-синтеза алгоритмов таксономии. Исследования в этой области широкого развития но имеют. Здесь следует отметить работы В.В.Рязанова, А.Ф.Мухамедгалиева, В.Д.Мазурова, вместе о этим, анализ теории и практики методов комитетов в области распознавания образов позволяет считать, что применение методов комитетного синтеза даст более коррект-

ное решение задачи такоокоши для получения объективной информации о структуре исследуемого объектного множества.

Связь те;,11! исследования с плана:да научно-исследовательских сабот. Диссертационная работа выполнялась в соответствии с плановой теш Ш1Р лаборатории распознавания образов и обработки информации института математики и механики АН КазССР, в рамках Республиканской региональной программы Р.077.01 "Создания и развития автоматизированных систем и элективного использования вычислительных машин в отраслях КазССР на 19661930 гг. и па период до 2005 года".

Цель работы, основные цели, исследуемые в диссертации состоят в следующем:

1. Разработка и исследование методов решения задачи коми-тетного синтеза.

2. разработка и исследование методов и вычислительных алгоритмов для построения опт;а;алышх результирующих разбиений в задаче комитетного синтеза.

3. Создание модифицированных, комбинированных таксономических алгоритмов, удовлетворяющих экстремальному значению функщ:опала качества.

4. Разработка а реализация программного обеспечения для решения практических задач таксономии, используя методологию комитетного синтеза.

5. решение различных прикладных задач в области геологии, сельского хозяйства и т.д.

Общая методика исследования основывается на методах и алгоритмах прямой таксономии, структурной коррекции, построения компактных подмножеств в множестве разбиений алгоритмов комитета, построения оптимизационных процедур для получения оптимальных результирующих разбиений в множестве алгоритмов комитета. .

Используемый математический аппарат: теория графов, распознавания образов, теория множеств., теория-отношений.

Научная новизна, разработаны и исследованы:

1. Методы и алгоритмы прямой таксономии использутие здеа-логшо комитета.

2. Методы и алгоритмы структурной коррекции для решения задачи комитетного синтеза.

3. Методы и алгоритмы построения оптимальных резудьтирую-> ш разбиений в множестве разбиений базового набора алгоритмов комитета.

4. Методы расширения базового набора алгоритмов комитета.'

5. Методы последовательной я многоуровневой коррекции объектной структуры матрацы групповых решений.

Практическая ценность работы определяется широким применением алгоритмов таксономии в качестве математического аппарата при решении многих аспектов научных и прикладных задач. Разработанный комплекс программ решения задач комитетного синтеза использован в рамках хозяйственных договоров с центром "Казэко-логия" Госкомприроды КазССР по теме "Анализ современного состояния и обобщение материалов по изучению экологической обстановки Карачаганакского газоколденсатного месторождения", с ПО "Эмбанефтегеофизика" Г.Ш СССР по теме "Обработка материалов • космической съемки о целью распознавания идентификационных признаков геологических объектов", договоров о научно-техническом сотрудничестве с институтом гидрогеологии и гидрофизики АН КазССР по темам: "Применение кластерного анализа при гидрогеологических поисках рудных месторождений на примере ЧуЧЬчийско-го рудного пояса", "Применение методов распознавания и классификации для проектной гидрогеохимических оценки северной части. Балхашского сегмента земной коры", с институтом географии АН КазССР по теме "Оценка и прогноз использования в сельском.хозяйстве агроклиматичесюк ресурсов и природных ландшафтов Балхаш-Илпйского'региона. Раздел 1.4.0.1.1.2".

Апробация работы. Основные результаты, диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной школе по прикладным проблемам управления макросистемами (Москва, 1985), Всесоюзной школе по проблемам управления (Моста, 1986), II -Всесоюзной конференции по актуальным проблемам информатики и вычислительной техники "Пнфорыатнка-В7" (Ереван, 1987), Научной конференции АН КазССР (Алма-Ата, 1990), Научной конференции АН КазССР "НТП и молодежь" (Алма-Ата, ТП86), а такие на научных семинарах Ii.Fl АН КазССР.

Публикации, основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10 ] •

Структура и объем работы. Диссертация состоят из введения четырех глав, четырех приложений, заключения, списка литературы из 77-и наименований. Она включает 161 страниц, в том числе 20 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор по развитию теории распознавания образов и классификации. Обосновывается актуальность темы исследования, дается общая характеристика диссертационной работы и излагается ее содержание.

D первой главе формулируется основная задача комитетного синтеза, которая состоит в построении результирующего разбиения исходного объектного множества

на непересекающиеся классы в множестве разбиений базового набора алгоритмов таксономии комитета.

Пусть А= {Аг,..., Hi} - базовый набор таксономических алгоритмов. Применительно к множеству S , каждый алгоритм /lu (S) £ h строит разбиение:

/lu CS) = Rm , Ru » и Kj , К, n |<j = 0, L~фj>

Ставится задача построения результирующего разбиения объединяющего результаты каждого алгоритма из 4

2K(S/A)=R*, ip(R*)-> exit

где ip(R*") - функционал качества результирующего разбиения.

Б качестве результирующего предварительного объединения результатов работы алгоритмов комитета'используется, так называемая, матрица групповых решений || D ¡j II ^ * ^ ,■ которая представляет собой некоторое результирующее объединение матриц смежности (объект-объект), полученных в результате работы алгоритмов комитета.

Пусть Ц || ? К = - набор матрщ смежнос-

ти алгоритмов комитета , каждый элемент которой опре-

деляет принадлежность или непринадлежность каждой пары объектов исходного множества С, , одному классу:

при = I объекты S;. > Sj , принадлежат одному

классу, при ' Vij= 0 - разным.

Введем числовой порог Q • Тогда, решающее правило для

формирования матрицы групповых решений || Цохо запишется, как: ^

1, ¿1

Ъ;-Г ^ *

| 0, в остальных случаях.

Дальнейшие исследования проводятся в объектной структуре матрицы

Под объектной структурой матрицы | II ^ * ^ понимается граф сходства бО!^'= Б 5) ребрами Вит?' первого, второго рода соответственно:

Г ребро первого рода, если =

" | ребро второго рода, если - О.

Таким образом задача комитетного синтеза сводится к следующему:

1. Построение компактных подмножеств в объектной структуре матрицы групповых решений с последующим решением задачи распознавания.

2. Применение специальных методов и алгоритмов коррекции объектной структуры матрицы групповых решений для приведения ее к виду, удовлетворяюнзму отношению эквивалентности.

Для решения указанных проблем используются алгоритмы ' распознавания Т1ша вычисления оценок. Поэтому в § 3 приводятся основные характеристики, задающие класс алгоритмов распознавания типа вычисления оценок.

Во второй главе рассматриваются методы и алгоритмы прямой таксономии для решения задачи комитетного синтеза, основанные на построении компактных подмножеств в объектной структуре матрицы групповых решений с последующим применением алгоритмов распознавания, для построения компактных подмножеств в объектной структуре матрицы групповых решений вводится понятие "алгоритмической компактности", где в качестве алгоритмических компактных подмножеств рассматривается совокупность вершин максимально полных подграфов гра<Та сходства нятрицы групповых решений.

Предлагаемый подход к построению максимально полных подграфов основан на построении и анализе - результирующего графа Б = ( 8 , {5]]) , каждое ребро которого "насследует" свойства не менее чем Gl.lt) графов, , , [ь/г] 4

Поиск шксимально полных подграфов графа & состоит в нахождении полных поронщенных подграфов С(. /1=1,..., £ , удовлетворяющих условиям \ZfCi) П V С^) " & для любых ¿.у" 1,, таких, что если

, V (Ъ) , то £ ис&) ,

где УССК) - множество вершин, в и(Ск) —

множество ребер произвольного графа (г1

В дальнейшем, выделенные максимально полные подграфы принимаются в качестве ядер для локализации искомых таксонов в результирующем разбиении. -

Отметим, что выделение ядер позволяет получить информацию о наиболее представительных объектах в Б , т.е. априорную информацию о структуре классов, и тем самым свести задачу таксономии к задачам распознавания в стандартной подстановке. Здесь же приведен алгоритм выделения ядер. § 2.3 посвящен построению оптимальных разбиений в классе распознающих алгоритмов.

Пусть в результате применения некоторого алгоритма из А выделены ядра, относительно которых сфорглировано разбиение множества 3 на непересекающиеся классы:

е ■ о

йц * и К: , К^ Л К; =/, 14},

У-Ь _ .

Возникает вопрос об оптимальности полученного разбиения. В этом плане монет быть решена задача оптимизации, где в качестве критерия молсет быть принят любой из стандартных функционалов качества разбиения, а в качестве параметров оптими-' зацки любой из параметров £ , ^, Т^, Р1,--. Рр. , Х^, хг класса алгоритмов типа вычисления оценок. В работе рассматривается иной подход к получению оптимального разбиения, основанного на том, что инфоршция. о структуре разбиения содержится в информационной матрице ||

Рассмотрим алгоритм вычисления оценок и определим для него начальную информацию в виде

В множестве 5 выделим объект £\и . По паре ( 5ц/) вичяслщ,1 набор оценок объекта за

массы К^Ка,..., К С в разбиении :

Повторив указанный процесс для распознавания остальных объектов из Б , получим матрицу оценок I ^ Применение к этой матрице некоторого решавшего правила дает информационную матрицу первого итерационного шага уточнения:

С(II г (и !,„(?) - К ||?1£

которая в свою очередь, порождает новое, разбиение !?и . Полученное ла первом шаге разбиение , а такне

информационную матрицу || || р £ будем использовать

в качестве начальной информации для'последующего применения

■Ал .

В результате приведенного итерационного процесса будет построена совокупность разбиений множества й : ■ $ и К ' а такжв ,шс5оР ¡шфор'-'ацпошшх матрщ

* II II 2 ,, ,, к

II «чИу^ , II ^ Цл .

Описанную модификацию алгоритма вычисления оценок будем называть алгоритмом уточнения 4у

Такшл образом, на каждом шаге итерации просиходит перераспределение объектов из 5 относительно сформированных классов , [<"г,. - .. I что в свою очередь отражается на структуре информационной матрицы (| й;у Иух£, К.

- В -

Заметим, что получение оптимального разбиения предполагает полную стабилизацию процесса перераспределения всех неустойчивых объектов из В • » 1Ш1 другими словами выполнение уело-

£>ИЛ. •

II « II С ц?,е .

Алгоритм ^у заканчивает работу при выполнении указанного условия. Полученное разбиение Я; является устойчивым.

В третьей главе приводится обзор графовых алгоритмов таксономии и формируется задача структурной коррекции матрицы групповых решений комитета, состояшая в коррекции ее объектной структуры до вида, удовлетворяющего отношению транзитивности.

В начале главы приводится ряд известных определений, связанных с графовым подходом в задачах таксономии.

Определение. Граф С(2,£>) называется транзитивным, если из существования и (Si.SK} следует

существование дуги (^¿.^к)

Определение. Транзитивным замыканием графа & Ь) является граф &и&') , где Е>* -является

минимально' возможным множеством ребер, необходимых для того, чт^бы граф бил транзитивным.

Как известно, условие транзитивного замыкания на матрице групповых решений определяется наличием или отсутствием в ее объектной структуре так называемых "дефектных троек". Под "дефектной" тройкой понижается элементарный граф, составленный и^ вершин

такшС( что Зи^.Б^к. 5и~5г, Sm.S4.SK6 5

где обозначения Ьц ^ > ~ 5* соответствуют

принадлежности или непринадлежности объектов Яо, 5 к одному классу.

В данной главе рассмотрен подход к исследованию объектной структуры множества объектов Б » основанный на построении специальных методов поиска и коррекции разделяющих связей в объектной структуре матрицы групповых решений комитета с целью приведения ее к виду, удовлетворяющему отношению транзитивности

Сформулируем задачу структурной коррекции.

Пусть 5 - множество объектов, /1 - множество алгоритмов составляющие базовый набор комитета,

¡1 ¡1 - матрица групповых решений комитета,

аЧй II - транзитивный аналог матрицу V

Задача % к структурной коррекции состоит в построении алгоритма перехода от матрицы Т) к ее транзитивному аналогу Л , такого что

Ъ - ^¿з I- г««

4 3

другими словами, задача с к состоит в построении алгоритма, гяжкмально изменяющего объектную структуру матрицы групповых решении при приведении ее к виду , удовлетворяющему отношению транзитивности.

Алгоритм перехода от Й к 1) попользует операции разрыва ребер первого рода — Р0 и операции восстановления ребер второго рода- р1 .

Очевидно, на этапе построения такого алгоритма необходимо решить два следующих принципиальных вопросе:

1. В каком случае и какой вид преобразования необходимо применить для коррекции объектной структуры той или иной дефектной тройки?

2. В случае применения операции Р0 - для какого из двух ребер первого рода необходимо осуществить операцию разрыва?

Ответ на эти вопросы может быть получен пх.и анализе разделяющих структурных связей графа.

■ С С » ИУХ9 1 в

Для распознавания вида ребр» каждой дефектной тройки, воспользуемся известным свойством связывающих ребер.

Теорема."^- Если ребро В^ принадлежит более, чем одному нетранздтивному циклу, то она является связывающим.

Таким образом, задача 2 к сводится к поиску некоторого ____..„„„„„^ Q —„л-. Г {с а \

uw^ivmujuoo ijdq и иопоыисшцил i'ouap xjjau'a и С J

и последующему применению к каждому из этих ребер операции разрыва Р0 .

Для поиска подмножества связываюцих ребер в работе используются корректирующие согласуацие алгоритш, суть кото -рых состоит в следущем.

Пусть в результате работы корректора Ct построена матрица

\\т) - II М***,

где || T^ijllfxa -матрица смежности алгоритма /I и .

Определим понятие "согласованных" и "рассогласованных" •ребер С,4 по паре матриц (llDijH^ , || J>ij || ^ )

Ребро (Si.Sj) дефектной тро;шп называется согласованным, если 7)ij = В/у , рассогласованным при

Пусть (Bit, 6ii,,.. . I -подмножество

всех рассогласованных ребер множества S* . Тогда решашцеа правило алгоритма коррекции 4С будет иметь вид:

г fa \ ( Р« , если ребро Bie - первого рода,

• ( г1( если ребро Dip - второго рода.

Приведенное решающее правило основано на теореме из ^ о совпадении множества рассогласованных ребер первого рода с множеством свдзываыцих ребер, графа G (II blj 11 <р<))

Б § 3.4 рассматриваются методы последовательной и многоуровневой коррекции объектной структуры матрицы групповых решений, направленных на получения оптимальных (устойчивых) результирующих разбиений в комитете /4 . Здесь в качестве функционала качества получаемых ргзбг.ени" применяется число нетрпнзптивных троек в матрице групповых решений.

J ^амедгалиев А.'1>. Методы коррекции в задачах синтеза алгоритмов таксономии. -.'лма-Ата: Гылнм. I9ST. С.142.

В четвертой гладе разработаны методы расширения базового набора алгоритмов комитета, новыми комбинированными алгоритмами на основе анализа их совместимости.

Известно, что большинство алгоритмов таксономии моено пред-сташть в виде последовательного выполнения элементарных под-алгоритмов.

Пусть 4и , А & --алгоритмы таксономии, имешие разложения на подалгорптмы:

..... Ли^и,)—» Аир

Алгоритмы //и п /1совместимы, если существуют такие ¿(о) , , что алгоритм полученный

при замене подалгоритмов /1иЪ(и) и п°Р°лДа-

ет нови:: алгоритм таксономии.

Таким образом, не используя применения новых алгоритмов таксономии, предлагается новы;'; метод расширения базового набора комитета основанной на построении алгоритмов, являющихся комбинацией элементарных подалгорптмов.

Второй подход расширения базового набора связан с применением распознавших процедур уточнения разбиений, приведенных в главе 2. .

Применение в качестве уточнявших алгоритмов класса алгоритмов распознавания типа вычисления оценок позволяет, во первых, повысить качество результирующих разбиений за счет построения устойчивых классификаций в калсдом алгоритме базового набора, во-вторкх, существенно расширить базовый набор комитета.

3 диссертации приведены четыре приложения.

В первом приложении (§1) рассмотрены некоторые способы выбора информативных признаков в задачах классификации.

Приведенные три способа определения информативности признаков дали положительные результаты при решении прикладной задачи прогнозирования урожайности сельскохозяйственных культур на основе анализа значения агротехнических признаков.

3 § 2 приведены критерии качества разбиений, используемые в разработанной модели при решении прикладных задач методам!

комитетного синтеза.

Осноенши параметраш1 , определяющие функционал качества являются: компактность классов, удаленность классов, параметры определяющие число неустойчивых объектов', среднеквадратическое отклонение в классах.

В § 3 рассматривается решение прикладной задачи геологической классификации при исследовании рудных формаций Чу-Плийско-го региона.

Во втором приложении описано руководство пользователя диалоговой системы ДЖСАК. Система ДИССАК реализует методы и алгоритмы разработанные в настоящей работе и работает в системе виртуальных машин ЕС ЭВМ.

Руководство пользователя включает в себе такие вопросы как: Общие сведения о системе; Библиотека подпрограмм ДИССАК; Архитектура системы и функционирование; Рекомендации по использованию системы ДДССАК.

Программные продукты системы организованы на модульном принципа и реализованы на алгоритмическом языке пя-1.

Система ДИССАК реализует следующие основные задачи, рассмотренные в диссертационной работе:

KLASTR - методы прямой таксономии, включающие в себя десять таксономических алгоритмов. Все алгоритмы реализованы в виде внешних подпрограмм типа РR0C£2>UR Е ;

KOMI ТЕ Т ~ решение задачи комитетного синтеза с пог.эщью построения резульирушего разбиения в базовом наборе таксономических алгоритмов комитета. Наряду с методами прямой таксономии, здесь также реализованы методы структурной коррекции, направленные для коррекции объектной структуры матрицы групповых решений.

fKRJT - вычисление функционала качества для оценки результатов алгоритмов, а также корректоров.

I Л/FOR M -Вычисление информативности признаков. OPTIMA - уточнение результштов алгоритмов, используя параметр "неустойчивые объекты",

t)KLA$ ~ вычисление расстоянии в множестве классификации. .

В третьем приложении "приведены описания программ, входящих в систему, в стандартном виде.

В четвертом приложении рассматривается анализ результатов численного эксперимента. Применяются реальные исходные информации различной размерности. .

основные резштати

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработаны и исследованы модифицированные таксономические алгоритмы, удовлетворягоие экстремальному значении функционала качества.

2. Разработаны и исследованы методы прямой таксономии для решения задачи .

3. Разработаны и исследованы метода структурной коррекции для решения задачи 2 к

4. Разработаны методы последовательной и многоуровневой коррекции объектной структуры матрицы групповых решений.

5. Разработаны я исследованы вычислительные алгоритмы для построения оптимальных результирующих разбиений.

6. По результатам теоретического исследования создана и реализована на ЭВМ диалоговая системы программных средств

джсак.

7. По результатам решения прикладных задач получены четыре акта внедрения.

по д!£сзрглцш1 опушкозаш'слздупгпз работы

1. Амиргалпов E.H., Мухамедгалиев A.S. Оптимизационная модель алгоритмов классификации. // Пурнал вычисл.мат. и матем. фяз. 1985. т.25. II. С. 1733-1737.

2. 1,'ухамедгалиев А.Ф., Амиргалиев E.H. Оптимизационная модель алгоритмов классификации (таксономии). Тезисы докладов первой всесоюзной школы "Прикладные проблемы управления макрос истемами ". - ;.; осква. IS85. С. 56 -60 •

3. Мухамедгалиев А.О., АмиргалиевтЕ.Н. Стурктурная оптимизация в рамках одной модели классификации. Депонировано в В1ПМТЛ. 1985. J? 5722 - 85: Деп. 5 стр.

4. Амлргалиев E.H., Алтынбеков Е.Т. Об одном подходе к решению задачи классификации (таксономии), с б.научных трудов "Теоретические и прикладные вопросы математического модели-

рования" Алма-Ата. Наука, 1986. С.150-155.

5. Амиргалиев E.H. Об одном применении методов классификации и распознавания образов, тезисы докладов конференции АН , КазССР "Hill и молодежь" Алма-Ата. 1986. С.70.

6. Амиргалиев E.H. Об одном подходе обработки информации. Тезисы докладов II - Всесоюзной конференции "Информатика-87". Ереван. 1987.

7. Мухамедгалиев А.ф. , Айдарханов Ц.Б., Амиргалиев E.H. Об одном подходе к синтезу алгоритмов классификации. Тезисы докладов х - Всесоюзной совещании по проблемам управления, Москва, кн. II. С.556-557.

8. Айдарханов М.Б., Амиргалиев H.H., Ыухамедгалиев А.Ф.

О синтезе результатов алгоритмов классификации, //известия Ai: КазССР, сер.физА-мат. 1988. Jé I. С.3-6,

9. Даулетгалиев К.Н., Мухамедгал1/ев А.Ф., Амиргалиев E.H. и др. Применение кластерного анализа при гидрогеологических поисках рудных месторождений на примере ЧуЧШглского рудного пояса. // Известия АН КазССР, сер,геолог. 1987. Js 6. С.78-64,

10, Амиргалиев E.H. О синтезе алгоритмов таксономии. Тезисы докладов научной конференции АН КазССР. Алма-Ата. 1990.

Jjrr^i

Ш1 "Принт" ИФВЭ АН PK, 480082 г.Алма-Ата 82. Подписано в печать 12.03.1992г. Заказ 68-100 Бум. тип.№2 60x84/16 Усл. п. л. 1,0