автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методические основы оптимизации быстрых реакторов на базе обобщенной теории возмущений



МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ШШШРНО^ИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ . ■

■>: На правах рукописи

КУ31МИН Анатолий Михайлович

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ БЫСТРЫХ РЕАКТОРОВ /А НА ЕАЗБ ОБОБЩЁННОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ'

05.13.16 - применение,вычислительной техники,, ■■„ " ".математического.моделирования и.

■...■■/;:.'■• математических методов в научных ' ' исследованиях >"..' у. .

Авто реферат

диссертации на соискание учёной степени доктора фязяко-математстёсккх наук

Автор:.

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-физическом институте л • ! ' ■ '.л

Официальные оппоненты: 'А* ■ ' ■ 'А : • • :

доктор физико-математических наук .В.И.Агошков • доктор физико-математических наук Б.П.Кочуров •доктор физико-математических наук Р.П.Федоронко А

Ведущая организация: $изико-энергетический институт / ФЭИ /

Защита диссертации'состоится' " /3 ", - 1993 г. в час, &0 мин, на заседании специализированного совета Д-053.03.08 • при Московском инженерно-физическом институте по адресу/.115409 Москва, Каширское шоссе, 31, тёл. 324-84-98

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ А ■. •

Автореферат разослан " " ' сй-у/Ч^-С ' 1993 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отз1л в одном экземпляре,: заверенный печатью организации. >

Учёный секретарь ; А--'

специализированного' совета, ...■• \ : А.С.Леонов

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы, При разработке.ядерно-энергетических установок большое внимание уделяется поиску, наилучших в каком-то садсле; параметров и характеристик* удовлетворяющих, необходимым требованиям по безопасности и обеспечивающих конкурентоспособность создаваемых реакторов. Такая задача, называемая в дальнейшем задачей комплексной оптимизации или оптимального проектирования, рассматривается с учётом взаимосвязи нейтрон-но-физических, теплогидравличеоких и других процессов, протекающих в проектируемых установках. Это серьёзно ослажняет её решение, заставляет обращаться к использованию современных методов исследования и быстродействующих ЭВМ.

.' Необходшость проведения расчётных оптимизационных исследований реактороа в условиях, когда имеется много искомых параметров и существует тесная связь между ними, делает актуаль- . ним создание йрограмногвйчислительных комплексов или систем для автоматизации процесса'выбора наилучшего решения. Успех в разработке' и функционировании таких систем-определяют как технические возможности ЗШ, так наличие эффективных методов расчёта и оптимизации реакторов, учитывающих особенности зада^ оптимального проектирования. /,' . ;

Впервые задача комплексной-оптимизации бистрнх реакторов была поставлена Орловым В.В. и решена с участием автора путём : создания комплекса программ РОКБАР. В этом комплексе была использована упрощенная математическая модель реактора:, а для ,' автоматизации поиска оптимального реаения применён развитый в работах Федорекко Р.П. метод последовательной линеаризации. '. В дальнейшем появились аналогичные разработки как в нашей стране / например, РБР-80 - в Физико-энергетическом институте/, так к за рубежом-/ система оптимизации быстрых реакторов— в • 4ERL., Япония/, различающиеся степенью детализации протекающих -в реакторе процессов, размерностям;! задач и методами решения.

В последнее время в связи с разработкой ядерных реакторов нового поколения, тдекйдах высокий уровень естественной безопасности, возрастает доля поисковых расчётных исследований и, как следствие, потребность в эффективных инструментах для комплексной оптимизации. Одновременно повышаются требования к точности расчётной модели, корректному учёту-нелинейных связей

при определении характеристик реактора, возникает необходимость в рассмотрении реакторов;с гетерогенной структурой.ак-тивной зоны, изучении-влияния аварийных процессов на выбор проектных решений, сравнении компановок реакторов с учётом не-г определённостей исходных параметров. Перечисленные факторы заставляют постоянно совершенствовать и развивать програмно-ме-тодичесхое обеспечение работ по выбору оптимальных компоновок,, что позволяет рассматривать методологию комплексной оптимизации ядерных .реакторов .как важное направление в области автома- . тизации научных исследований с помощью ЭЕМ. . '

Цель работа "состоит в развитии.комплексного подхода к на-■хождению оптимальных характеристик быстрых .реакторов,'.исполь-зуя соотношения .обобщённой теории"возмущений и современные ме- . тоды математического программирования. В диссертации эта цель достигнута в результате реиения следующих задач:

- разработка эффективных алгоритмов .и стратегии поиска наилучшего решения с учётом особенностей.задач -оптимального проектирования реакторов, ' . - Г-"---С

- развитие методов обобщённой теории возмущешй на случай.нелинейных условно-критических задач переноса нейтронов,

- разработка быстродействующих методов расчёта.физических характеристик и коэффициентов чувствительности в реакторах.со . слокной структурой активной зоны,

- исследование устойчивости решения задач оптимального проектирования реакторов, к изменению исходных данных,

- создание и програмная реализация расчётных моделей для комплексной оптишзадага перспективных быстрых реакторов, .

- развитие методов получения и анализа оптимальных компоновок реакторов в условиях неоднозначности исходной информации.

Научная новизна.результатов состоит в следующем:

- сформулировал« главные особенности задач оптимального проектирования быстрых реакторов как неклассических вариационных

задач на условный, экстремум с функционалами, определёнными ■ на решениях нелинейных уравнений, ' •

- разработан комплекс эффективных методов и алгоритмов для рас--чёта физических характеристик и коэффициентов чувствительности в двумерных реакторах со сложной структурой.активной зо- . ны, работающих"в режиме равномерно-частичных перегрузок, V

- сформулированы сопряжённые уравнения, предложены и обоснова- ~

ны итерационные схемы их решения для важного класса нелинейных условно-критических.задач, в которых физические характеристики реактора" рассчитываются на.среднем изотопном составе зон, с учётом температурной-зависимости' сечений или находятся в приближении методов итерационного синтеза,

- составлена, математическая модель■оптимизация быстрых реакторов',: включающая ограничения на нейтронно-физические, тепло-гвдравлические, прочностные характеристики и позволяющая на..-' ходить оптимальные- компоновки с высоким уровнем, естественной

безопасности, .'•

- предложена' методика расчёта-коэффициентов чувствительности оптимального значения целевого функционала к исходным данным в неклассических вариационных задачах с ограничениями, включая случай, когда яти коэффициенты терпят разрыв-в точке оп-

■. тймума, * '.- ;• ". ':' -'

- разработано математическое обеспечение для нахождения и ана-- лиза оптимальных компоновок реакторов с учётом неопределённостей исходных данных, оценки области возможных изменений оптимального решения.

Практическая значит,гость работы заключается в том, что:

- сформулированные в, работе методические основы, и принципы оп-.. ттшзации, методы расчёта физических характеристик и коэффи-

циенгов чувствительности функционалов реализованы в создан; ных с участием автора прсграмно-внчислителвных комплексах . БАРРЕЙ , ДОКАР и ДРАКОН, используемых в ФЗИ, МИФИ и" других организациях.при рещейий задач оптимального проектирования быстрых реакторов в детерминированной .постановке и с учётом неопределённостей исходных данных, , .- эффективные методики и программы неятронно-фйзического расчёта двумерных многозоннкх реакторов' переданы в ФЭИ и исполь-•■, зугатся при проведении расчётных исследований реакторов, . . -

- на базе диалогового комплекса ДОКАР создан лабораторный прак-. тикумдля подготовки специалистов в области автоматизации ■

проектирования и научных исследований ядерных,реакторов,.

- на единой методической основе с помощью комплексов ЗАРГЕ!? • и ДРАКОН выполнены сравнительные оптимизационные исследования быстрых реакторов с гетерогенной структурой активной зоны, различными топливными материалами и повышенным уровнем . естественной безопасности,

- коэффициенты чувствительности минимального значения критерия оптимальности,к исходным данным внедрены в практику расчётных исследований быстрых реакторов и впервые использованы для сравнения оптимальных вариантов, выработки требований к точности знания исходных параметров в задачах комплексной оптимизации,-.оценки границ областей равноценных решений.

Представленные в диссертационной работе исследования служат обоснованием методов и алгоритмов, положенных в основу про-грамно-вычислителышх комплексов SAРFER и ДРАКОН, внедрение которых в практику расчётов способствует ускорения поиска оп-tj-шэльных характеристик энергетических быстрых реакторов. Эти■ методики разработаны автором в соответствии с планом научных ' работ МИФИ,.координационными, планами и постановлениями правительства, межвузовской прогршлуюй "Ядерная энергетика повышенной безопасности".; ..■.'.'-

. Автор защищает итерационные методы решения сопряжённых.:': уравнений в линейных и нелинейных условно-критических задачах переноса нейтронов;"алгоритмы расчёта нейтронно-физических характеристик и их коэффициентов чувствительности $ шогослойных двумерных реакторах; методики для получения коэффициентов чувствительности минимального значения критерия оптимальности в вариационных задачах с ограничениями; принципы построения' математических моделей и програмно-вычислктельшх комплексов для выбора оптимальных компоновок быстрых.реакторов,: решения задач в детерминированной.постановке и с учётом неопределённостей Л исходных данных; способы использовашя коэффициентов чувствительности функционалов к исходным параметрам при нахождении и анализе оптимальных компоновок в условиях неоднозначности исходной информации, а такке полученные на их-основе результаты.

Апробация работы и публикация.. Материала диссертационной. работы докладывались на:сешнарах по:проблемам физики реакто- -ров / Москва, СОЛ "Волга", 1979, 198?, 1989'н 1991 г.г./и кошхлексной оптимизации установок по преобразованию тепловой и атомной энергии в электрическую.' /Иркутск, 1978, 1979, I9S5r.î Обнинск, 1986 г,; Москва, 138?. г./. на Первом * отраслевом совещании по автоматизации проектирования - САПР-83 / Ленинград, 1983 г./, Меадэ'народных семинарах по физике и методам расчёта быстрых ректоров / г.Куртя де Арднеш. Гушния, 1985; г.Варна, Болгария, 1983 г./, Международной конференции по физике реак-

торов -\PHYSPff-r90[•/:г.Марсель,: Франция,1990 г./, а таете обсуждались на отраслевых совещаниях и" семинарах в ИАЭ им. И.В. Курчатова, Фкзпко-энергетическом институте;и научных конференциях МИФИ. Основное содержание диссертации изложено в'30 печатных работах, которые опубликованы в. отечественных и зару-бежйых изданиях. ■

" ' Структура и' объём диссертации.-' Диссертация состоит из введения, семи разделов, заключения, списка литературы и приложения. Содержит 333 стр., в том числе 293 стр. основного.текста, 38' рисунков/, 49 таблиц.■ Список литературы'включает 144 наименования. ■

: ' ' • ' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ : .":: ^ " -

Во введении обоснована, актуальность 'диссертационной работы. посвящённой развитию'нового, подхода к проведению расчётных оптимизационных исследований ядерных.реакторов, позволяющего автоматизировать .выбор.наилучших-характеристик'реакторов на базе современных ЭВМ. нематематических методов анализа. Отмечен приоритетный характер работы, выполненной в области оптишза-щщ компоновок-быстрых реакторов..О^юрмулированн цель и основные задачи:исследований, перечислены, научная новизна выносимых на защиту результатов и практическая значимость работы. : ,'.'- Особенности задач опгтшагщи компоновок и , общая схема' решения. Задачи о нахоадёшш оптимальных компоновок ядерных ' реакторов относятся к числу неклассических вариационных задач на условный экстрему?.!, в" которых неизвестными являются параметры Ц| ,- <.2,...,0 / обогащение топлива, размеры зон реактора,-шаг решётки тволов и др./,•называемые,управляющими параметрами. Для обеспечения безопасной работы реактора в задан- • ном режиме, а.также из технологических соображений их выбор ограничен, в том числе условиями вида Вгсл на ряд ней-тронно-физичёскюс,. теплогвдравлических и др; .характеристик . являщихся функционалами переменных состояния , , : , Ч'Дк). В число этих переменных входят плотности штоков нейтронов, распределения кощентраций:изотопов, температур и напряжений в различных элементах реактора и т.п.. Решения.задач часто ищутся в условиях неоднозначности исходных данных ., = ,

ж критериев оптимальности F0_s , что позволяет, наряду с вше . перечисленным, называть их задачами комплексной'оптимизации .':; или оптимального проектирования.

Если принять, что среди возможных критериев Рйs .'выбран один определяющий F0 , а значения остальных ограничены <Р01М/, то выбор наилучших характеристик реактора сводится к поиску такого вектора управления U - (иии2,.,, ия)7, при кото-, ром достигается min » выполнены условия:

№*.$)* , C~i,2,.. ,1 (I)

U

* иГАКХЮ j-1.2 /з {2)

J 4 ' <i i

а вектор-функция =. I,Ъ>• • >Тр)Т находится из уравнений:

, . (3)

Различают задачи (I) - (з) в детерминированной постановке' / когда ^ полностью определены и $ ъ Э' 0 /, с вероятностно-определёнными данными / когда разброс значений подчиняется вероятностным законам/ и с неопределённы?® данными / когда законы распределения /Эк не известны, а значения находятся на интервалах Э™КС /. ; . ; . ; \ V; , /

В задачах (I) - (3) уравнения (3) описывают протекающие в реакторе процессы и составляют содержание математической модели. Успех в разработке такой модели зависит от умения выделить основные для рассматриваемой задачи процессы и найти разумный компромисс между временем и точностью расчёта, количеством и степенью детализации протекающих процессов. Что' касается задач оптимизации компоновок быстрых реакторов, то в них важное место занимает описание нейтронно-физических процессов и решение уравнения, переноса для плотности потока нейтронов Ц>(к) : .

' —1уМ+ХЙ1рОсНО, (4)

где: оператор описывает перенос, поглощение и замедление нейтронов, ф - возникновение нейтронов за счёт деления ^це^ среды, а = К;><р - ведущее собственное число оператора И10 , имеющее смысл коэффициента размножения нейтронов.

В диссертационной работе рассматриваются быстрые реакторы, работающие на заданной мощности V/ в режиме равномерно-частичных перегрузок. На основе анализа физических особенностей

таких реакторов и представляющих практический интерес задач проектирования предложено.при'нахождении распределения нейтронов ограничиться многогрупповым"диффузионным приближением в двумерной геометрии и считать, что:

- концентрации ¿-их нуклидов в любой момент времени : {: в зонах ь с объёмами близки к средним значениям

, которые определяются из решения уравнений выгорания топлива при средних по зонам потоках,

- доля кассет, выгружаемых из зоны I при каждой перегрузке, равна отношению времени между перегрузками к кампании Тс. зоны,

- при многогрупповые потоки ^ близки к средним по времени распределениям у^^х) , которые находятся из решения уравнения переноса на средних изотопных концентрациях

В результате приходим к системе нелинейных уравнений:

Г:',!:::,: (в,

в которых операторы С. и соответствуют групповому пред-

ставлении в диффузионном приближении операторов I. и О. уравнения (4) и зависят от вектора концентраций^ с компонентами средни^ температур , (о) - вектор начальных концентраций фс (о^ , ¿¿'- матрща выгорания с элементами, зависящими от микроскопических сечений / р-тип процесса взаимодействия / и произведений:

где: - макроскопическое сечение деления в группе К . По-

лученные значения и используются для нахождения

максимальных и средних Тс температур, расчёта напряжений и относительных деформаций, оценки натуральных показателей и других характеристик реактора. При необходимости решения уравнений (5) , (6) уточняются при вновь полученных температурах!-..

Отмеченные особенности расчётной модели приводят к тому, что автоматизация поиска наилучшего решения за:^ли (I) - (3) может быть осуществлена лишь с помощью численных методов, таких как: методы линеаризации или штрафных Функций. Используя их, удаётся избежать больших загрузок памяти ЭВ1, переходя от

управления ТГ'^в 5-ой итерации к управлению и ="и(54

в (б И) -ой итерации с помощью однотипных операций. Различаются они способом определения ,

В методах линеаризации с помощью соотношений теории возмущений рассчитываются коэффициенты чувствительности

функционалов к параметрам , так что в небольшой окрестности точки Ъ?*-^ = имеем:

Для этого наряду с уравнениям (3) при и = и ^ решаются сопряжённые уравнения для функций ',2,. . Р . Значе-

о-, , С5; • 1С

кия 01^ затем находятся:

- либо решая / как в алгоритме ЫЛ-Г / при £51. : 15£ <. у- » ^ = <,2,,.., Л , задачу линейного программирова-

ния на машшум линйной форма $ ■ при дополнительных условиях: з ¿'* * * ■

Г

иг*-Лб^чГ-чГ ' г1'2--3

ё А * о <1. и

- либо решая / как это делается в Ш1-2 / задачу квадратичного программирования на минимум (2 при условиях (9^

В' методах штрафных функций ^а каждой итерации минимизируется суша = и)4- С (?Лр)> в которой второе слагаемое & учитывает штраф за нарушение условий (2) , (з) , а вклад его в регулируется с помощью параметра ^ . Обсуждаются различные способы построения штрафа С / такие,как в методах параметризации, внешнего итрафа и с модаЪицйровашой функцией Лагранжа / и решения задач на безусловный кшшмун / методы сопряжённых; градиентов, деформируемого многогранника/.

С целью выбора наиболее подходящего / для оптимизации компоновок реакторов / метода проведено сравнение их эффективности на примере простой, но отражающей основные особенности за-, дач проектирования, модели реактора / одна активная зона, 3 = =5, I = 3 а все ограничения ~ активные /. Оказалось, что с точки зрения вичЕсдательннх затрат методы линеаризацаи Ш1 прдпоч-тительиее методов вгтрафных функций ШФ при нахозденвд решений с одинаковой высокой точностью. При этом МШФ уступают МЛ из-за

большого числа итераций, проводимых при минимизации Э- . Для более сложных задач* рассмотренных в разделе 6 диссертации, с помощью МШФ не удалось получить решение с такой же хорошей точностью, как при использовании МЛ. Это послужило основанием для.выбора МЛ при разработке програмных комплексов.

.." Для' автоматизации решения задач ( I) -г (3) с вероятностно-определёнными данными можно применять.стохастический метод сокращения невязок / СМСН / . При рассмотрении задач с неопределёнными данными приходится строить матрицу "'условия-варианты" и использовать различные критерии отбора рациональных решений.. В обоих случаях ожидаются большие затраты машинного времени, из-за необходимости получения хорошей статистики для оценки квазиградиёнтов /в СМСН/ и достаточно полного представления о значениях критерия оптимальности Р0 , если велико количество неопределённых данных.

Выполненный в работе анализ особенностей методов и задач проектирования позволил сформулировать основные методические вопросы, от решения которых зависит эффективность инструментов для нахождения оптимальных компоновок реакторов. К их числу ■ относятся: решение сопряжённых уравнений в нелинейных задачах, разработка быстродействующих алгоритмов расчёта коэффициентов ■ чувствительности в двумерных реакторах,'создание взаимосогласованных моделей процессов для комплексной оптимизации, получение и анализ оптимальных компоновок в условиях неоднозначности исходной информации.

Методы теории возмущений в нелинейных условно-критических задачах. Применение методов теории возмушений.к расчёту коэф- • Ьициентов чувствительности. Ж^1 связано с нахождением потока % {<1^ и ценностей нейтронов при известном управле-

нии ио . Для этого в линейных задачах при и" = .1Г0 помимо (4) решаются сопряжённые уравнения вида: -

(ю)

вде: и У0 - сопряжённые по отношению к {^-(Ди«/ и

операторы, X I Функциональная про-

13водная , равная нулю, когда Р = , и

ортогональная к ~ в остальных случаях.

Используемый обычно для нахождения при 0

метод итерационного накопления /МИН / не позволяет воспользоваться хорошим начальным приближением у+(х), которое можно взять из предыдущей^итерации метода линеаризации МЛ /и которое получено при и = и„+5и /. в связи с этим предложен мзтод последовательного уточнения / МПУ /, в котором:

. (^оо

где: ^ - решение соответствуищего однородного уравнения, а коэффициент ¡Л находится из условия: =- 0.

Исследование сходимости этих методов показало, что МПУ позволяет заметно сократить число итераций по сравнению с МИН, когда Ц5£ТЦ мала и ~ 1К>иЦ , где Ц, - значение

источника в (ю) при и = и . Последнее требование может не выполняться для функционалов типа коэффициентов неравномерности тепловыделения КН, Это продемонстрировано при сравнении распределений ценностей Ч^ /к коэффициенту воспроизводства КВ/ и /к КН в 1-ой зоне/, полученных на разных итерациях МЛ для реактора с 2-мя зонами разного обогащения /рис Л/. Здесь существенные различия мезду ^ на 2-х

итерациях связаны с пере- -* ---«

мещением максшуш чет- Рис.1. Распределения ^й(ч)и

ловвделения из центра ре- ц>+м(ч)на 2-х итерациях МЛ

актора на границу 1-ой

зоны, что влечёт сильное изменение источника^(х) .

В нелинейных задачах операторы I. и <3 в уравнении (4) зависят от искомого распределения Ц>(>с) , а ценность нейтронов при и =ив определяется из уравнения:

, (12) в котором слагаемое (гь <р учитывает вклад в баланс ценностей

} (и)

, • ••■.'■'• "... л ......

.'от; изменения операторов ь и О из-за ^>(Х) . Предполагается, что решение ^-Цх) существует и нормировано,/например, на заданную мощность V/ /.. Вследствие такой нормировки: = что.позволило решение уравнения (12) при (£ц= О искать в виде: • . (13)

где: (х) - решение однородного' уравнения: .

а Н^Д^- решение неоднородного уравнения:

/ -1+Х (и)

удовлетворяющее■ условию ортогональности: ,ОГн^] = 0. ,

Для нахождения из (14) /а также ср+- из (12) при

и = 0/ предложен.2-х слойшй итерационный про-

цесс:'^. ." ' . • ;

в котором: , а Ч7*^ при И = 1,2,.. находятся с

помощью итераций вида (II) ..Сходимость процесса (15) обоснована для случая, когда: | ( Е-ХХ^'^/Т^Г ^ ^1 ' ЧТ° имеет место при достаточно^малом значении норлы Ц р^Ц возмущающего оператора р* = (Ц^)

В работе сделаны оценки норм возмущающих операторов для случаев, когда характеристики быстрых реакторов.определяются на среднем, изотопном.составе зон /т.е. в результате решения уравнений (б) , (6). / и для задач с температуркой зависимостью сечений. Оказалось, что.для реактора с.одной активной зоной, в котором со временем.меняются лишь концентрация и-235,ри-239 • и.осколков деления, а потоки находятся в 4-х групповом приближении 1|Р+1и0,218. При расчёте физических характеристик и ценностей нейтронов в реакторе типа ВН-800 с учётом зависимости микросечений захвата и деления тяжёлых изотопов.топлива в резо-' нансной области энергий от. температуры: ЦрЦ^ 0,077 , где - условное число. ^

Достаточно малые .значения | Р+Ц определяют быструю .сходимость внешних итераций в процессах типа (15) .Это подтверждает изменение от одной итерации к другой значений коэффициентов чувствительности /функционала X - / я Щ(Кн) /коэффициента неравномерности КН/ к различным управлениям , рассчитанных для реактора типа БН-1600 в 3-х групповом диффу-

зионком приближении с учётом изменения концентраций и -238, Рц -239,240,241 и осколков деления.'Отклоненияби&М^3£[п] -— этих коэффициентов в п -ой итерацииЗН^М /т.е. рассчитанных с подстановкой в выражения (?) значений , 'найденных после п-ой внешней итерации/ от соответствующих точных значений представлены на рис.2. Аналогичный характер сходности наблюдался в задачах с температурной зависимостью се-

РазвитыЙ для нелинейных задач подход применён к решении сопряжённых уравнений, сформулированных в рамках методов итерационного синтеза. В этих методах при получении распределения нейтронов Ф(х,1р рассматривают систему уравнений:

для неизвестных функций Ц>(х) и . зависящих лишь от од-

ной переменной /X или ^ /. В процессе решения системы (16) осуществляются нелинейные преобразования:

, 7(х;=й(и>) (г?)

к иовым^функцящл и '{(х) . на основе которых строятся операторы Ц^. Ц^) и §Ы • "родственные" операторам Ь и 0. уравнения - (4) . Сопряженные функции и У 4%) предложено находить, решая последовательно уравнения:

И

... - ' .(0» и принимай'в качестве начального приближения Ч решения соответствующего однородного /при определении 5 Кэр/ или неоднородного /для; получения вариации 5 Р функционала Р(ер) / уравнения. В системе (18) : индексом "О" помечены функции, найденные из уравнений (16) , (17) при' Ц = и „ , правые части £ и о, известным образом зависят от То , , и ^ , ,

1ГШ . СУЧГ.) " сопряжённые операторы.

Приведённой в-работе численный пример подтвердил сходимость итераций (18) . Одновременно показал,, что затраты времени на.получение коэффициентов чувствительности 'могут быть значительными. Так," для расчёта с.погрешностью, не превышающей 1%, коэффициентов Щ^'для функционала. КЭ,Р достаточно решить" I однородное уравнение для ^(о/ , для функционала типа КВ - 3 неоднородных уравнения, а для,функционала типа КН - 15 неоднородных уравнений. Из-за этого пришлось отказаться от использования методов итерационного синтеза при автоматизированном поиске оптимальных компоновок на базе алгоритмов теории возмущений. : .

В заключение рассмотрена сходимость тех итерационных процессов, которые обычно используются при решении нелинейных уравнений вида (5) , (6) . Установлена сходимость "в малом", т.е. для случая, когда искомые функции мало отличаются от своих точных значений. Определявшую роль при этом играет величина || Р| , которая мала в силу тех же причин, что К Р+1\ .

Синтез распределений нейтронов и ценностей нейтронов. ЭДь фективность методик,' используемых при описании физических процессов в задачах (I) - (з) , определяется возможностью быстро •и с хорошей точностью получить как основные характеристики реактора, так и коэффициенты чувствительности их к управлениюЦ. Выполненный в работе анализ существующих алгоритмов и программ нейтронно-физического расчёта быстрых реакторов показал, что. они по разным причинам не удовлетворяют таким требованиям. В связи с этим предложен полупрямой метод, основные уравнения которого сформулированы на примере расчёта пространственных распределений групповых потоков к=1,?,...,/», в много-

слойном реакторе с нулевыми граничным условиями /рис.3/.

В этом методе

Ф(КЫ

А«),

ищутся в виде:

(к)

(^1=0)

где: , Ы - число аксиальных слоёв реактора. .Смешивающие функции ^К?) находятся, приравнивая нулю.взвешенные по ^ (х) и проинтегрированные по остатки в уравнении (4) ."В качестве пробных выбираются функции ^ полу- , ченные после ортоганализа-ции и нормировки распре- . делений. С^ (л?, найденных в приближении метода уело- . ' л

вного разделения пространственных переменных. При этом считается, что параметры перетечек.и Х^ , описывающие обмен нейтронаш! между, соседдада. с ; ¿-ым слоят • •

г

± -ьш аксиальный слои-

о

Д (?£ (

'*'= 0

Рис.3 Расчётная модель многослойного реактора

известны, а их зависимостью.от свойств реактора можно прене-

Обсуждается 2-а способа расчёта этих параметров: на основе проекций полных или односторонних токов нейтронов.

В результате вместо уравнений (4) д, частных производных решается система уравнений для (функций -Г (?) = (•{,"'' С-2> -Г1."1').

| . ¡'1.2...,п (22)

включающая:обыкновенные дифференциальные уравнения (23) с операторами Ц = и = ; уравнения (21)

метода условного разделения переменных с оператора»® ^ ,

* ^ИЛ ' ' завиоящимгот параметров , и опи-

сывающими поглощеяие; замедление и обмен нейтронами мевду аксиальными слоями,, и оператором . описывающим возникновение нейтронов за счёт деления ядер среды в ом слое; нелинейные алгебраические преобразования (22) - ортоганализация и норми- ,.

ровка, ctj,c = { Gj,У Здесь:' £ ^ обозначает интегрирова-; ние €€Уг , и Q£ - диагональные матрицы с элементами

■■■;■ -- у. -vv- ■

Для функционалов F , определённых на решениях системы (21) - (23) .'получены соотношения теории малых возмущений и ' сформулированы сопряжённые уравнения / =

Футшшональные производные, L^ , Qj,e , '»' • ,'. fy* ~ сопряжённые к введённым в

системе (21^ - (23) оператор^. Операторы f** строятся на базе решений ^(г/ уравнений (24) , а функции Ч^СУформируются на основе получаемых из алгебраических уравнений (25)' функциях

..'. Таким образом, при решении системы (24) - (26) не требуются дополнительные итерации, связанные с уточнением правых "ча- --,стей уравнений. Значения же сопряжённых функций позволяют рас-считать^коэфТжхиент!!^чувствительности функционалов i\ в виде: 3£|(U = +??<!' +Ж{а) , где: aiyau - частные производ-

ные/равные нулю, когда Fc = К^, /, а и Jt!^' учитывают •вклады от изменения, соответственно, пробных, и смешивающих функций. - ' ' . "'*""_.;-

Возможности и,особенности полупрямого метода рассмотрены • -на примерах расчёта различных характеристик и-коэффициентов чувствительности в-быстрых реакторах?с традиционной /тестовая" модель БН с 2-мя зонами разного обогащения,'окружёнными экранами/ и гетерогенной /БРГ с 5-ю аксиальными слоями и зонами. , разного состава в каждом слое/ 'компоновками,'."а.также для тестовой модели теплового реактора /ТР с водяным отражателем и поглотителем в активной зоне/. Сравнение проводилось с результатами, опубликованными в литературе по соответствующим тестовым моделям или полученными по программе SIMVAR , в которой реализован развитый с участием автора метод деления пространственных и энергетических переменных.

Установлено, что в этих вариантах синтезированное решение . положительно, а погрешности расчёта основных физических харак-

теристик /К2ср ,. КВ, КН и др./ не превышают 2-3$. Однако, погрешности составляющих КБ для экранных зон быстрых реакторов ./. /КВ и КВТЗ / могут достигать 9$. Для перечисленных характеристик удаётся в ряде моделей не .пересчитывать", пробные 'функции при заметных изменениях состава зон и выбирать п < N . Приемлемая же для оптимизационных исследований погрешность расчёта', коэффициентов чувствительности получается лишь в том случае, когда проводится корректировка пробных.функций, а Их число п близко к N . , : , ' ; >, ..

С помощью численных экспериментов показано, что. предположение (20) хорошо выполняется при расчёте как'физических характеристик, так и коэффициентов чувствительности. Например, в .'. БЕГ из-за неправильного задания направлений токов нейтронов на границах слоёв возникают сравнительно небольшие погрешности в значениях КВБЭ и г^^порядка 2-2,5$. Вместе с тем способ определения параметров Ж^р /на полных ила односторонних токах/ сильно влияет на погрешности расчёта, и устойчивость счёта, особенно в реакторах со слабо размножающими нейтроны аксиальными слоями. Предпочтение отдаётся расчёту ЗР^? с использованием односторонних токов.

С целью сокращения времени расчёта многогрупповых потоков

,г), , полупрямой метод синтеза пространственных

распределений предложено использовать совместно с методом условного разделения энергетических и пространственных переменных. В этом.случае в пределах зоны I с объёмом V; нескольким энергетическим группам нейтронов КеД^» рбъединённым в диапазон Д^, приписывается одно пространственное распределение

ф^г) = вГУ , кс^ . (2?)

Предположение (27) позволяет ограничиться решением алгебраических уравнений /с зависящими от параметров перетечек коэффициентами/для спектров нейтронов О^ч^с/у , ки,2,..м, и малогрупповых уравнений вида (5) для функций ,

сЫ,...>т, с микросечениями элементов, усреднёнными по^спек-трам Такой способ, называемый далее как МПО, был развит автором и применён в ряде программ расчёта и оптимизации реакторов /18-4(?2 -15, РОКБАР и др./. Опыт их эксплуатации показал, что при оптимизации быстрых реакторов можно задавать т = 3^4 и считать слабо зависящими от состава зон, ограничиваясь на

каждой итерации метода линеаризации МЛ решением малогрупповых уравнений, для распределений, и сопряжённых функций

-В, работе изложенный, выше/подход МПО получил дальнейшее развитие ,и распространён на случай расчёта коэффициентов реактивности, являющихся ' функционалами потоков - Ф-К'(г,г)и ценностей ^нейтронов. Для оценки значений коэффициентов реактив' ности КР наряду с допущением (27) принято: - ^

" кел^. (28)

. Рассматривается 2-а способа нахождения неизвестных функций: приближение МПЦ, - в котором-решаются малогрупповые уравнения для с константами {6}^', усреднёнными по

спектрам ценностей''1^ 0|!"<:'<,Ху^с!1'':, и приближение М!Б, в котором решаются уравнения, для йункцийлр'%,7) = и Ч>'(''Ьь ©Г'С с: константами , билинейно усред-; нёнными по спёктрам Г^ = "Ц^в^Ч^^У • .Предлагается /как и в задачах V функционалам: потока/. считать, что микроконстанты (6%« (Ф^ и параметры перетечек нейтронов Щу постоянны на нескольких итер!ациях МЛ.

'. Применимость рассштреншх приближений, продемонстрирована на примерах, расчёта коэффициентов реактивности КР, и натриевых пустотных эффектов, реактивности ПЭР в реакторах типа ВН-1600. Показано," что при небольшом.числе, энергетических диапазонов /т = 3/,приближения. МПБ и МПЦ дают близкие значения доплеров-ского л плотно стногоКРНа- /по натрию/ коэффициентов реактивности, которые,.однако,, сильно отличаются от полученных в приближении МПО /где погрешность в- КРНа максимальна/. Отмечается преимущество МПБ перед МПЦ.с точки зрения затрат памяти ЭВМ на , хранение малогрупповых микроконстант. При изменении состава зон в пределах 10-20$ по разнтд,управлениям значения- ПЭР и КР^ сильно меняются, , а погрешности их расчёта и ., возникающие из-за постоянства усреднённых микросёчений, но превышают '2% и 18%, соответственно. Указывается на.возможность снижения : , если учесть изменение блокировки сечений.,: Исследование устойчивости решения оптимизационных задач. При сравнении оптимальных компоновок реакторов в условиях неоднозначности исходных данных -3* = важною роль играют коэффициенты чувствительности

(31)

с Г» мин ' 1 ' * ■'

где: ог0 - изменение минимального .значения критерия оптимальности F0KMH=mtnF0 , вызванное отклонением параметра fy от но-ганалького значения на . Они отражают степень влиящя <^-ого параметра на |^Мии, определяются в точке оптимума 1iS*-- и'З") и могут, вообще говоря, принимать различные значения при КДр-О справа / и при S^-O слева /.

В работе формулы для расчёта получены, с помощью соотношений (7) , (8) и необходимых условий оптимальности, сформулированных в виде: ■.■':.■'•; ; " *.' ■' '-.■/■'',■/••''

а. утверждения о существовании в точке IxJ* таких множителей . Лагранжа , при которых: ■ ."':

xL(Ff;-FiiMo-° > А.^о, 1 ; N

, ¿и,2.....j j (3Q)

t <■■! <f 0 , -X

б. существования таких переменных = yj , при кото-; рых в двойственной /по отношению к (9/ / задаче линейного программирования: - х г ' '

оптимальное значение О

Здесь принято, что условия (2) включены в число ограничений (I) , общее количество которых равно I .

Показано, что обе формулировки эквивалентны и = Kl ,

Тем не менее предпочтение отдано соотношениям.(31), поскольку их легко проверить, используя-те же алгоритмы /например, симплекс-метод/, которые необходимы для метода линеаризации Ш1-1. Учитывая особенности симплекс-метода, предложен простой алгоритм нахождения оптимальных опорных планов в задаче (31) , когда она имеет.несколько решений, образующих множество G* .

При выводе формул для расчёта принято, что при малых изменениях задача (9) аппроксимирует, решение исходной задачи (I) - (3) в небольшой окрестности заданного /в том числе оптимального/ управления. Тогда: '

а oj^ =лпло}^ и находится из решения задачи:

в которой коэффициенты чувствительности к управлениям Uj /Щ7 ■ и исходным данным S^; / h^ / определены в точке U* .

Оценка значений по формулам (29) с использованием решений задачи (33) требует значительного объёма вычислений, ко-• гда велико общее число данных. Поэтому в работе предложен другой способ,, базирующийся на свойствах двойственных задач и теоремах о чувствительности решений задач линейного программирования к вариации условий. С помощью этих теорем получено, что в случае ограниченного множества G

Щ) , ^h^ + min, Щ), (34) 1 (¿)

где: , а nie* min Г^ берутся по всем оптималь-

' ным опорным 'планам двойственной задачи (31) . Если вернуться к формулировке задачи оптимального проектирования в виде (1)-(3),

-. то: - - •

* an'"", А JL

•Г,-ИЧ&Г ■ ™

Из равенств (34) , (35) легко получить, что: а. когда множество &" состоит из одного элемента,

: б. = fj? » когда либо функционалы и допустимые значения , Uj1"" не зависят от , либо условия (2) или (3) зависят от , но не входят в число активных /т.е. принимающих в точке Ы* вид строгих равенств/ ограничений.

Отмеченные особенности формул (34) и способов нахождения переменных ^ проиллюстрированы на примере решения задачи нелинейного программирования:

mtnF.V

uVu*-^0 , (in) u, ¿ , (3n)

-3u,+2u2-H*0 , (2n) u^i , (4n)

а номинальное.значение параметра 3 = \[Т . В этой задаче: u* =Ut = I. множество G в пространстве переменных у,, , /соответствующих ограничениям In, Зп, 4л/ представляет_от-резок прямой, заключённой между точками = (0, 2, 2)т и = =(1, О, 0)т, £*= зГ? , Х~ = 2{г". Существование различных значений 2С+и связано с тем, что при варьировании меняется набор активных ограничений. В результате на графиках зависимостей приращений <з{о"и= Р0"ин(й)-Ро"ии вариаций ¿TF0 "=

/при д>0 /, бТ<Гин=£~а /при Л-г.о / от относительных измене-,; ний й = появляется излом при Д = 0. ' , _ :

Для оптимальных /с точки зрения минимального значения : времени удвоения Т2 / компоновок быстрых.реакторов различной мощности, найденных путём решения.задач (I) - (3) с.учётом ограничений на тешогидравлические и прочностные ^характеристики, впервые получены значения коэффициентов Х^и ^ к различным исходным данным. В их число входили: малогрупповые микросечения элементов (б)"! допустимые значения.температур в твэле / Т^0", Чов" / и относительной деформации оболочки зРб, теплопроводность \х и плотность топлива и другие технологические параметры. Анализ этих коэффициентов показал, что наибольший вклад в величину разности "З^-Ь^ вносит учёт ограничения на эффективный коэффициент размножения К^ , а значения ко-' эффициентов'ЗС^

X

р

могут сильно различаться. Отмечена слабая чувстви-

1Т» и«»

тельность Г2 к изменению

Рис.4

активные ограничения:

Д>0.: Зп,4п д<0: 1п

„ -.чин

Зависимости лк и

5Р"ПН0Т й

допустимой деформации обо-• ЛОЧКИ Это ПОЗВОЛИЛО

при разработке оптимизационных комплексов отказаться от рассмотрения ограничения на Та, заменив его проста® "технологическими" ограничениями на размеры твэлов. / . . \ ;

■Програмно-вычислителькые комплексы для оптимизации компоновок быстрых реакторов. Развитые в диссертационной работе методы и алгоритмы расчёта реализованы в програмно-вычислитель-ннх комплексах БАРРЕЙ , ДРАКОН и ДОКАР, созданных для проведения оптимизационных исследований быстрых реакторов с учётом ограничений на физические и теплотехнические характеристики.

Они позволяют путём решения задач вида (I) - (3) найти оптимальный вариант реактора, работающего в режиме равномерно-частичных, перегрузок, или определить взаимосогласованные значения перечисленных характеристик.

Програмно-методическое обеспечение комплексов разработано с учётом особенностей реакторов 'типа БН с гомогенным и гетерогенным размещением топлива в активной зоне. В частности допускается рассматривать многозонные реакторы /рис.3/ с постоянными в пределах каждой зоны свойствами топлива, теплоносителя и конструкционных материалов. При определении долей этих материалов принимается, что твэлы размещены в шестигранных кассетах, имеют цилиндрическую форму и расположены в узлах треугольной решётки. ,

В качестве компонент вектора управления и могут приниматься: толщины аксиальных йН^ и радиальных слоев, диаметр dT.í топливного брикета и толщина оболочки твэла, относительный шаг t¿ решётки твэлов, обогащение Х^ загружаемого топлива,' удельный расход yV¿ теплоносителя в наиболее напряжённом канале, пористость или максимальная глубина выгорания P0(¿ топлива в i-ом радиальном 'слое, высота Не,,, газовой полости в твэле, объёмные доли стенок кассет £чки зазоров между кассетами Емк. В комплексе ДРАКОН наряду с перечисленными выше параметрами могут рассматриваться любые из исходных-параметров, например, плотности материалов, характеристики топливного цикла,'теплофизические и другие константы.

В число ограничений (I) входят:

- условие. критичности реактора КЭ(р = I , (36)

- ограничения на теплогидравлические характеристики /средний подогрев дТтн. теплоносителя, максимальные температуры в центре и на оболочке Т»®'^ твэлов, напор-расходную характеристику fHac насоса/:

Т^Т^, Т^ТТ, i^i, (37)

- ограничения на прочностные характеристики, обеспечивающие работоспособность- оболочек твэлбв:

ios ^jfrf , fr.„. ^ í | /38Í

и стенок кассет: * Q*? , F^'íí J

где функции fe и Jrn_ связаны с относительными размерами

оболочки йсУс/г и газовой полости HrnfH

мак

"—Г"-----? -„с. -------щг

напряжения в стенках тепловвделянцей сборки /ТВС/, а относительная деформация стенок TBC за счёт эффектов распухания и ползучести конструкционного материала, ;;

- технико-экономические ограничения-на значения топливной сос-. тавляющей ТС, избыточной наработки ядерного, горючего Rw при : заданном темпе СО развития энергетики, коэффициента- воспроизводства активной зоны КВА и др. -, Возможно включение в число условий (I) дополнительных ограничений на уровень естественной циркуляции, теплоносителя , пустотный эффект реактивности ПЭР и различные температурные. ;' :-коэффициенты реактивности KP. • ';''..; . .' •.; ■

В качестве критерия оптимальности iv может рассматривать-, ся одна из перечисленных выше технико-экономических характеристик /ГС, Т2 , Ru и др./ или показателей безопасности реактора /ПЭР, KP, КВА и др./.

При разработке комплексов применён 2-х уровневый принцип построения математической модели, в соответствии с которым вначале /на I уровне/ строится приближённая модель, а затем на. базе моделей .1 уровня происходит поиск оптимальных характеристик реактора./рис.5/. Модели Гуровня включают алгоритмы рас- : чёта пространственно-энергетических распределений нейтронов /а в комплексе ДРАКОН - и цен-' ностей к K3ip / в двумерной геометрии реактора. Расчёт проводится с ис-дользованием блокированных 26-и групповых микросечений элементов, получаемых с помощью системы АРАМАКО. В результате находятся усреднённые. по спектрам нейтронов и ценностей нейтронов малогрупповце микросечения (S) в каждой зоне и параметры перетечек нейтронов "X между слоями. Модели J

Рис.5

2-х уровневый принцип построения комплексов

уровня позволяют оценить нейтронно-физические, теплогидравли-ческие и прочностные характеристики (36) - (38) , рассчитать технико-экономические показатели, определить соответствующие коэффициенты чувствительности и с помощью метода линеаризации найти оптимальное управление и* . Возможно возвращение на I уровень для уточнения параметров <б) и 92

Помимо перечисленного выше в состав математического обес-," печения входят алгоритмы для описания наиболее тяжёлых аварий, сопровождающихся одновременным'отказом аварийной защиты: потеря потока теплоносителя, ввод положительной реактивности и др. Рассмотрение этих'процессов проводится в приближении одноточечной динамической модели и ограничивается анализом изменений со временем средних температур в зонах реактора, относительной .. мощности и расхода теплоносителя..

'Отличительной особенностью комплекса ЯДРё ЕЙ является возможность решения задач (I) - (3) как в детерминированной постановке, так с учётом неоднозначности исходной информации. Комплекс позволяет рассматривать реакторы, состоящие из 2-х аксиальных слоев. Нейтронно-физический расчёт проводится в приближении метода условного разделения переменных, ■ а максимальные температуры оцениваются при косинусоидальном распределении тепловыделения вдоль оси твэла.

Комплекс ДРАКОН разработан для поиска оптимальных характеристик быстрых реакторов повышенной безопасности, состоящих из произвольного числа радиальных и аксиальных слоёв. Он позволяет решать задачи (I) - (3) в детерминированной постановке при дополнительных ограничениях на пустотный эффект реактивнос-•ти, доплеровский и плотностной коэффициенты реактивности. Распределения нейтронов и ценностей нейтронов ищутся в приближениях (19) ,(20) полупрямого метода, а тешгогвдравлический расчёт проводится на базе двумерного распределения тепловыделения с учётом зависимости свойств от температуры. Прочностные и технико-экономические характеристики рассчитываются по методикам /как и в комплексе БАРГЕЯ /, разработанным в ФЭИ.

Комплекс ДОКАР позволяет находить оптимальные компоновки реакторов в диалоговом режиме работы с ЭВМ. Диалог построен на базе системы ДИАЛ и разрешает пользователю оперативно вмешиваться в процесс решения, .подготовку данных и формулировку задачи. Для обеспечения быстрой реакции ЭВ5 на запросы пользователя вы-

орана упрощенная математическая модель реактора, близкая к принятой в комплексе РОКБАР. На базе комплекса ДОКАР создан лабораторный практикум для изучения особенностей метода линеаризации и способов улучшения' характеристик быстрых реакторов.

Оптимизационные задачи в детерминированной постановке. Возможности комплексов SAPFER и ДРАКОН проиллюстрированы в работе на примерах решения задач о выравнивании поля тепловыделения в двумерных реакторах, оптимизации реакторов с гетерогенными активными зонами кольцевого типа, выборе параметров -быстрых реакторов с металлическим топливом и-минимизации на-. ' триевого пустотного эффекта реактивности. Часть этих исследований выполнена совместно с сотрудниками ФЭИ, проведена /из-за отсутствия надёжных данных по стоимостным показателям/ с использованием различных частных критериев оптимальности Г0 и отражает меняющееся на протяжении последних лет отношение , к быстрым реакторам.

В задачах о выравнивании.поля тепловыделения^(^минимизировался коэффициент неравномерности КН = — maxist/г)/где: ф -среднее по активной зоне тепловыделение/ за*счёт изменения обогащений топлива X itj и размеров öHj зон. Для повышения устойчивости процесса поиска min КИ вводились дополнительные ограничения: f^j б { ., где Гц = К^Ц/кН , а КНц- коэффициент неравномерности тепловыделения в зоне (i.J) .

Установлено, что эти'ограничения наряду с соответствующей корректировкой относительного изменения Ди управлений позволяют добиться устойчивого снижения КН в процессе итераций. При значениях Ди> 0,02 возможно появление неустойчивости, связанной с изменением координат точки с максимальным тегиоввде- . лением. В реакторе с минимальным значением КНмин = 1,27 обогащения топлива в переферийных зонах выие, чем в центральной зоне, что согласуется с известным физическим представлением о . необходимости увеличивать обогащение топлива там, где мала плотность потока нейтронов. •

Оптимизационные исследования реакторов с гетерогенными активными зонами проведены для оценки изменений натуральных показателей, вызванных размещением металлического U-238 в отдельных вставках /внутренних зонах воспроизводства ВЗВ/ мезду зонами, содержащими топливо в форме U02+Pu02 . С этой целью для . реакторов типа БН-1600 с различным числом вставок N с помощью

комплекса ЭАРРСЙ решались задачи (I) - (3) , в которых в качестве критерия оптимальности рассматривалось время удвоения

, .учитывались условия (36) - (38) /за исключением ограничения на/, а в число управляющих параметров входили:

Но.».' ^Г.П. • Еспс » ^И.К.> У^ » Д^С • I Ри,1 • с/г • &с£ • •

. Анализ'зависимостей оптимальных характеристик реакторов от числа вставок показал, что за счёт введения дополнительных зон с металлическим ураном удаётся зачетно повысить коэффициент воспроизводства КБ' и ~ на 40$ понизить Тгмич. Отмечена тецценция к снижению падения Т2ми"с ростом доли металлического урана при £ие>= 0,35-0,4 . С помощью программ комплекса ДРАКОН установлено, что в рассмотренных вариантах доплеровский коэффициент реактивности КРр остаётся отрицательным, а запасы реактивности на выгорание и положительный пустотный эффект реактивности заметно превышают эффективную долю запаздывающих нейтронов.. Последнее требует введения специальных -средств защиты, чтобы избежать возможного "разгона на мгновенных нейтронах".

Исследования быстрых реакторов с металлическими+Ри+12%7г топливом были' направлены на повышение уровня их естественной безопасности, используя высокий потенциал.воспроизводства ядерного горючего в таких реакторах. Для этого с помощью комплекса бДРРЕЯ решена серия задач вида (I) - (3) , в которых наряду с ограничениями (36)-(38) вводились дополнительные требования на коэффициент воспроизводства активной зоны КВА и уровень естественной циркуляции теплоносителя ^: КВА^ I, ^ец.'^гц" , обеспечивающие небольшой запас реактивности на выгорайте топлива и охлаздение реактора в режиме естественной циркуляции при потере потока теплоносителя. При этом в качестве критериев оптимальности Г„ рассматривались топливная составляющая стоимости электроэнергии ТС /в задачах на минимум ТС/ или избыточная наработка вторичного горючего /в задачах на максимум

/, а в число управлений входили те же параметры, что при изучении гетерогенных компоновок.

Результаты решения этих задач для реакторов, состоящих из' 2-х активных зон разного обогащения топлива, окружённых экранами, подробно изложены в работе,. Показано, что компоновка реактора, полученная при минимизации ТС, отличается от компоновок реакторов той же мощности, найденных при максимизации

гораздо'большим значением диаметра твела сГгй .Введение допол- ■ нительных ограничений на КВА'и (^заметно снижает среднюю те- ..•■■ плонапрялсённость активнойзони, увеличивает загрузку Р^ по : . Ри -239 и приводит к резкому уменьшению Р?£лкс, вплоть до отрицательных значений в реакторах малой мощности..При завгаен-ном значении допустимой температуры топлива Тчг°пи принятых ограничениях на КВА и повышение /и снижение ^ / проис- . ходило за счёт перемещения топлива.с переферии в центр актив-": ной зоны. • .': .

Рассмотренные выие компоновки имеют положительный пустот-, :; ный эффект реактивности ПЭР и не удовлетворяют возросшим тре- : бованиям по безопасности. Разработчиками быстрых реакторов-предложены различные проектные решения для снижения ПЭР, в том числе путём введения натриевой прослойки над активной зоной.; Подобное решение может быть обнаружено с помощью комплекса ДРАКОН при соответствующей постановке оптимизационной' задачи. -Это продемонстрировано в работе на примере решения задачи на '-' тСп ПЭР при ограничениях на внешние размеры активной зоны и, '. дополнительных условиях: КВА = 1,0 , КН

В качестве исходной была выбрана одна из традиционных компоновок БН-1600 с' 2-мя активными зонами, окружёнными экра-, . натяг. Выравнивание тепловыделения допускалось лишь 'за счёт из' менения относительного шага' ^ решётки твэлов. В число управлений помимо и , обогащения Х-= )(,_, = топлива и толщин зон дК2 , йНд была включена плотность топлива в части торцевого экрана, расположенной над центральной-активной ' зоной /рис.3, С,} = 1,2,3/. " '

В результате итерационного поиска значение ПЭР снизилось • почти в 2-а раза, плотность изменилась с 8,5 до 0,66 Г/см5 'шаги и уменьшились, а шаг существенно возрос /с 1,08 до 1,45/. Это говорит о росте доли натрия в зонах, окружающих активную зону, т.е. о переходе к одной из перспективных компо-' новок БН с натриевой прослойкой. . . /

Задачи с" вероятностно-определёнными и неопределёнными данным. В.задачах оптимального.проектирования реакторов большую часть исходной информации составляют вероятностно-определённые данные: микроскопические сечения взаимодействия нейтронов с ядрами среды, плотности материалов, допустимые температуры и др. Относительно этих данных обычно известны их номинальные значе-

ния Э^ и корреляционные матрицы погрешностей /средние квадра-тические погрешности и коэффициенты корреляции Х^ , у,*} /. Меньшую часть информации составляют неопределённые данные: параметры внешнего топливного цикла, стоимостные показатели и др. В работе показано, что в условиях неоднозначности исходной информации, анализ и получение оптимальных компоновок упрощается, если известны коэффициенты чувствительности Ц1' и ^ С34,35) к параметрам , а отклонения = ^ малы.

Решение задач с вероятностно-определёнными данными предложено находить, используя приближённый алгоритм, в котором на ка^яой итерации метода линеаризации МЛ-1 делается переход к детерминированному аналогу. В этом случае условия Гс^50". записанные в линеаризованной относительно 5(Г и &3 /с компонентами бц,- и ВЭо, , соответственно/ форте, заменим вероятностными ограничениями: Р^итЧЯ^иМТ!™ 5Э> заданная вероятность. Неизвестные 50" получим, решая вместо (9) задачу: ($(,с/£и) "I

где: ^ = Е?9" граница области Я описывается так же, как в задаче (9), а через |3 обозначено наибольшее среди всех р , удовлетворяющих неравенству: Э;. (.р) ^ 1-Р£Ьв", ^(р)-р(-(Ь^ Здесь принято, что имеются лишь ограничения типа неравенств, а условия (2) включены в ограничения (I). Если присутствуют равенства Гс = 1=1,2,..^?, то предлагается ввести в рассмотрение компенсирующие параметры V выражая их вариации 5V через 5и я из соответствующих линеаризованных условий: 6ГРс , . ^ .

Величины в задаче (39) зависят от и определяют те запасы, которые следует предусмотреть при выполнении ограничений на Гс .В этом смысле они эквивалентны перепадам температур йТц**'» лТ*^ за счёт факторов перегрева /в случае ограничений наТч и Т„5 /. Однако, в отличие от последних выбираются с учётом условий работы твэлов и могут не совпадать в разных зонах. В диссертации это показано при сравнении результатов решения задач на пйпТа при ограничениях (36)-(38) для реактора /ГО-2/ с оксидным топливом, имеющим 2-е зоны разного обогащения.

В одной из них /Р0-2Ф/ учёт запасов на Тч и проводился по методу факторов перегрева, а в другой /Р0-2В/ с помощью Рч* и ^<>5 /здесь I - номер зоны, принимались постоян-

ниш в процессе итераций в МЛ-I и уточнялись после нахождения

оптимума/. Вероятности Р^°пи задавались так, что|^|=дТ^,

|posI зоне малого обогащения, где большая часть твэлов :

работает при максимальной тепловой нагрузке. Оказалось, что при"

тех же Рц^о5> в зоне высокого обогащенияIр^ дТ«?0. 1{30(5на

160°С и 20"С, соответственно, что позволило в задаче F0-2B ПОЛНИМ

лучить более напряжённую компоновку с меньшим значением 12 . .

Для сравнения оптимальных компоновок в условиях, когда претерпевают случайные изменения, предложен другой подход, базирующийся на знании коэффициентов чувствительности . Такие коэффициенты позволяют при небольших отклонениях 5"-% зависимость Fj^i^J представить в^виде /при 2Г+=;£~= /:

(40) .

Используя (40) и известные соотношения теории вероятности, можно оценить среднее квадратическое оклонение §"0 , дающее представление о возможных изменениях минимального значения критерия оптимальности:

(41)

ТО

Такие оценки приведены в работе для быстрых реакторов с оксидным /РО-2, РО-3/, карбидным /РК-2/ и металлическим /Ш-2/ топливом, содержащих 2 или 3 зоны разного обогащения, а также для реактора с гетерогенной активной зоной /РГ-4/, имеющей 2-е кольцевые зоны с оксидным-топливом и 2-е вставки с металлическим и-238. Оптимальные компоновки реакторов получены в результате решения задач на пипТ2 при ограничениях (3б)-(38) . Соответствующие минимальные значения Т2* /пунктирные ли-

нии/ и пределы из-менения[Т/-6'6)Т*+5'0] представлены на рис.6. Выполненный в работе анализ по- Рис.6

казал, что наибольший вклад /от 80 до 94$ / в величину 6о вносят погрешности калогрупповых микросечений элементов. Причём, этот вклад умень-

Пределы изменения- Т2МИН.

шается по мере ужесточения спектра нейтронов в активной зоне.

Если разностьд = оптимальных значений

для 2-х вариантов мала, а отклонения 5"0_,, 8"02 велики /например, для РО-2, РО-3 или РК-2, ГТ-4 на рис.6/, то трудно отдать пред-почтеше одному из них. В таком случае полезно оценить желаемые значения погрешностей бр исходных данных. Это сделано в работе, опираясь на два основных допущения:

- один вариант лучше другого, если вероятность Р^Л^ХзС} того,

. что ДР. превышает заданное значение сИ , удовлетворяет неравенству: р^&Х*}^ ^ (42)

Р. - заданная вероятность, л£=др +2 --3^) ,

чл<1) у»(2) -/»и/ ° ° Ч- * * г1*

= ¿Ц -Д.^, , а - коэффициенты чувствительности г0,с для ¿--ого варианта,

- с большей точностью надо знать те параметры, которые сильнее влияют на ЛР;-, т.е. -

Используя эти допущения, получено:

при х**0' ^

где: константа С однозначно связана с коэффициентами корреляции , а среднее квадратическое отклонение 5"0 разности определяется из условий (41) , (42).

Формулы (42),(43) использованы для оценки желаемых погрешностей при сравнении различных компоновок и при разных допущениях о значениях Р^ и О 5<£.£&^ /принималось сИ >0 , поскольку существуют другие типы неопределённостей, например, связанные с методами расчёта или присутствием параметров, отклонения которых не подчиняются вероятностным распределениям/. Установлено, .что при достаточно мягких условиях сравнения вариантов РО-2 и Ш-2 = 0,9 , сИ = 2 года при 3,1 года/ желаемые погрешности некоторых данных гораздо меньше достигнутых в настоящее время значений. К их числу относятся микросечения захвата 17-233 и рц-239 в области энергий Е < 1,4 мэв, плотность топлива, термическое сопротивление подслоя и др.

При решении задач с неопределёнными данными выбран известный способ, связанный с построением матрицы "условия-варианты" и использованием различных критериев отбора /Вальда, Сэвздаа з др./. ^ля снижения вычислительных затрат прз получении элементов матрицы предложено воспользоваться формулой (40).

Расчёты выполнены для оптимальных по Т2 компоновок Ю-2 с неопределёнными параметрами время нахождения топлива во внешнем топливном цикле, £п - доля потерь топлива при переработке к Т - коэффициент нагрузки АЗС, которые менялись в пределах: 0,5гое, ¿твн^4гсга , 0,01 * 0,05 0,8 * «К* 0,9. Показано, что в этих пределах погрешности расчета к0>к' невелики, если использовать рДе' и 3£в , полученные для оптимальных компоновок с В , и . В результате получен рациональный вариант компоновки Р0-2Р, отличающийся от РО-2 /с номинальными значениями 4^°= 0,8- Т6ан= I год-, £°= 0,02/ пониженным значением средней энергонапряжённости Оу активной зоны.

Другой способ использования коэффициентов связан с построением области равноценных решений в пространстве значимых управлений , внутри которой:

Р0 (44)

Здесь: £ >0 - заданное отклонение, выражающее меру "безразличия" к величине Р0 При небольшом £ граничные точки этой области вдоль допустимых направлений С?(5>предлагается найти, решив задачу (1)-(3) при фиксированных значениях Ц™. = -и^+Ь^е^М^- заданное приращение, £ = Г0* при "О в и* и рассчитав соответствующие, коэффициенты чувствительности Тогда координаты граничной 5-ой точки + где: — и определяется из условий (40),(44).

Таким образом удалось оценить пределы изменения диаметра твэлов с(т в реакторе Р0-2, а также крайние значения, диаметров твэлов в активных зонах С^'^и внутренних зонах воспроизводства с!т в реакторе №-4. Расчёты выполнены для задач на т1п% с ограничениями (36)-(38) при небольшом числе направлений . •Установлено, что.зависимости Т2миот перечисленных параметров имеют^ассиметркчньш ^характер, Т/1*" слабо меняется при возрастании с(т' /в Р0-2/ и с!т "/в РГ-4/. При большом числе направлений б'ь)или значимых управлений вычислительные затраты окажутся значительными. В связи с этим предложен один из возможных путей совершенствования методики построения УЕ , связанный с решением системы линейных неравенств.

В заключение даётся краткий обзор полученных в диссертации результатов. Отмечается, что основные практические результаты сформулированы для реакторов на быстрых нейтронах. Однако,

большая часть из предложенных в работе методик и алгоритмов может быть использована при создании оптимизационных комплексов и решении задач оптимального проектирования других типов ядерных энергетических установок. Это касается, в первую очередь, итерационных схем решения сопряжённых уравнений в линейных и нелинейных, задачах, приближённых методов расчёта распределений нейтронов, функций ценности и коэффициентов чувствительности функционалов в двумерных реакторах, исследования устойчивости оптимального решения к изменению исходных данных, способов использования коэффициентов чувствительности минимального значения критерия оптимальности.

. . ; • ' ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТ!! И ВЫВОДЫ

1. Задачи о выборе оптимальных характеристик быстрых реакторов сформулированы в виде неклассических вариационных задач на условный экстремум с неизвестными параметрами /управлениями/. Исходя из анализа особенностей быстрых реакторов установлено, что в таких задачах математическая модель реактора является нелинейной и включает комплексное рассмотрение ней-тронно-физических, тешгогидравлических и других процессов. Решение их приходится искать в условиях неоднозначности исходной информации. Автоматизацию поиска оптимума предлагается проводить на базе метода последовательной линеаризации, а для расчёта коэффициентов чувствительности функционалов использовать соотношения теории малых возмущений.

2. Разработаны новые итерационные схемы решения сопряжённых уравнений для ценностей нейтронов в линейных и нелинейных условно-критических задачах. В линейных задачах итерации организованы так, что удаётся воспользоваться распределением ценностей в близком по свойствам реакторе и заметно сократить время наховдения искомых Функций, когда функциональные производные не претерпевают резких изменений. Для решения сопряжённых

, уравнений в нелинейных задачах предложен 2-х слойпый итерационный процесс, исследована его сходимость и получены оценки норм-возмущающих операторов для. случаев, когда нелинейные эффекты-обусловлены зависимостью средних концентраций и микросечений элементов от потока нейтронов. Высокая скорость сходимости продемонстрирована на ряде примеров, включая решение сопря-

жённых уравнений, сформулированных в приближениях методов итерационного синтеза. На основе сравнения норм возь^щшощих операторов сделан вывод о сходимости "в малом" итераций при решении исходных нелинейных уравнений. ' .

3. Разработаны эффективные алгоритмы расчёта физических характеристик и коэффициентов чувствительности в двумерных реакторах, позволяющие на стадии оптимизации ограничиться полу- " - : чеш!ем малогрупповых пространственных распределений и многогрупповых спектров нейтронов и ценностей нейтронов. Для нахож-' ' дения пространственных распределений развит полупрямой метод, > обладающий.достоинствами методов простого синтеза и позволяющий корректировать пробные функции по коре изменения свойств реактора. Пробные функции предложено находить в приближении v". метода условного разделения переменных при известных значениях параметров перетечек нейтронов. В результате численных экспериментов установлено, что такие параметры следует оценивать на основе односторонних токов, а корректировка пробных функций оказывает существенное влияние на точность расчёта коэффициентов чувствительности.

4. Получены форглулы для расчёта коэффициентов чувствительности ^ мийкмального значения критерия оптимальности Jv""в вариационных задачах с ограниченияш.позволяющие исследовать устойчивость решения; и оценить вариацию 5Т^МИН, вызванную' из- •: ,-менением исходных данных,-в том числе таких, которые одновременно влияют на несколько ограничений. Дано обобщение этих формул на случаи, когда множество множителей.Дагранжа бесконечно " /но ограничено/и коэффициенты. ^ могут :терпеть разрыв в точке оптимума. Предложена, схема получения множителей Лагранжа, использующая идеи, решения, задач линейного программирования. >.:/■

Впервые определены коэффициенты чувствительности мпнималь- . ного значения времени удвоения Т2МИН быстрых реакторов к ядерным константам и различным технологическим параметрам. Установлена важная роль ограничения на 'эффективный коэффициент, размножения нейтронов и слабая чувствительность Т"ин.к изменению допустимого. значения относительной деформации оболочки твэла.

5. Разработана математическая модель оптимизации козгпоно- . вок быстрых реакторов с учётом ограничений на нейтронно-флзи-, ческие, теплогвдравлические. и прочностные характеристики, обеспечивающих безаварийную работу реактора на заданной мощности

; ,в режиме равномерно-частичных перегрузок. Предложен поэтапный процесс принятия решения, в котором вначале строится прибли-■ жённая,модель реактора, а затем осуществляется поиск оптимальных характеристик с последующим уточнением параметров модели. Сформулированы алгоритмы и схемы решения задач оптимального проектирования быстрых реакторов, позволяющие вести поиск параметров компоновки в режиме диалога с ЭВМ, в условиях неоднозначности исходной информации, а также учитывать изменения .свойств реактора в ряде авариййнх процессов.

6. На единой методической основе с помощью комплексов 5АРРЕЙ я ДРАКОН решены задачи о.выравнивании поля тепловыде-, ления в двумерных реакторах, о выборе оптимальных компоновок , реакторов с гетерогенными активными зонами кольцевого типа и , различные® видают топлива. Продемонстрирована устойчивость автоматизированного процесса поиска оптимума и проведён анализ полученных результатов, исходя из физических особенностей быстрых реакторов. Получены количественные оценки потерь в наработке вторичного горючего в реакторах с металлическим топли-: вом, связанных с введением дополнительных ограничений, повышающих уровень их естественной безопасности. Показано, что с помощью оптимизационных комплексов могут быть обнаружены те пути модернизации быстрых реакторов, которые предложены разработчиками этих установок для повышения эффективности использования топлива, снижения натриевого пустотного эффекта.реактивности.

?. Коэффициенты чувствительности минимального значения критерия оптимальности применены к анализу компоновок быстрых •реакторов. Развиты новые подходы, позволившие с помощью таких коэффициентов оценить возможные изменения критерия оптимальности в задачах с вероятностно-определёнными данными, сформулировать требования к точности знания микросечений элементов - и технологических параметров, сократить время нахождения рационального варианта в задачах.с неопределёнными данными и получить представление о размерах областей равноценных решений. Определены вклады, от погрешностей различных групп данных в неопределённость натурального показателя эффективности быстрых реакторов с различными топливными материалами. Разработан приближённый способ нахождения оптимальных компоновок реактора, ва каждой Итерации которого рассматривается детерминированный

аналог линеаризованной задачи. .. - • .

Основные результаты диссертации опубликованы в. следующих . работах: : ' '.'■--'■:"■

1. Кузьмин A.M. Коэффициенты чувствительности огЛмизиру-. ; . емых характеристик АЭС к технологическим параметрам в задачах

с ограничениями,- Атомная, энергия, т.39,вып.4,\1975, с.269-271..

2. Шигкп V. G., Kui'mLn A.M., Мигелей V. И, et at Шкакшпу ,

de-t. StaSutscexuflj бег Letstun^sdichievetteLfuiiy, in szhnti&n _ ReaKtotcn (poSet Leisiung,- Knnenerjrie М.ЗакхрлуЩЬз/т^СНА

3. Кузьмин A.M..Хромов В.В. Ускорение счёта при решении сопряжённых уравнений в комплексе РОКБАР. - Вопросы атомной >. науки и техники, сер.:Яцерная физика низких и средних,энергий, реакторная физика, 1973, вып.2, с.39-44. •

4. Качалов В.А., Кузьмин A.M. Допустимые погрешности исходных данных в оптимизационных задачах. - В кн.: Физика ядерных реакторов, вып.6, М.: Атомиздат, 1978, с.48-56.

5. Хромов В.В., Кузьмин A.M., Орлов В.В. Метод последовательной линеаризации в задачах оптимизации реакторов на быст-: рых нейтронах. - Ц.: Атомиздат, 1978, 88 с.

6. Кузьмин A.M. Исследование устойчивости решения оптимизационных задач с ограничениями. - В кн.: Физика ядерных реакторов, вып.7, М.: Атомиздат, 1978, с.28-40.

7. Хромов В.В., Кузьмин A.M., Потёмкин В.Г. и др. Автома-г. тизиров'анное .проектирование и оптимизация ядерно-энергетических установок в режиме диалога с ЭВМ. - В кн. '. Автоматизация • проектирования энергетических установок, Иркутск: СЭИ, 1979,

с.48-59. ^ ■ ' " /

8. Кузьмин A.M. Сопряжённые уравнения в нелинейных задачах. - В кн.: Физика ядерных реакторов, вып.8, М.: Атомиздат, 1979, с.22-36. — ' ; "Л .

9. Кузьмин A.M., Рафаев К.С., Хромов В.В. Ценности нейтронов и коэффициенты чувствительности в методах итерационного синтеза. - Атомная энергия, т.48,.вып.3,1980, с.154-157.

10. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Морин Д.В. и др. Автоматизация поиска оптимальных параметров реакторов на быстрых ней-, тронах. - В кн.: Физика ядерных реакторов, вып.ТО, М.г.Энерго-атомиздат, 1981, с.84-92.

11. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Морин Д.В. и др. Алгорит-

мы и программа оптимизации состава зон реакторов на быстрых нейтронах. - В. кн.: Вопросы атомной науки и техники, сер.: Физика Техника ядерных реакторов, внп.4(33), М.: НЙКИЭТ, 1983, с.50-53.

12. Кузьмин A.M., Автоматизация проектирования ядерных реакторов на быстрых нейтронах, М.: МИФИ, 1983, 40с.

. 13. Егоркина H.H., Кузьмин A.M., Москалёв O.A. и др. Комплекс программ ДОКАР для оптимизации быстрых реакторов в диалоговом режиме. - В кн.: Математические модели ядерно-энергетических установок, "М.: Энергоатомиздат, 1983, с.5-15.

14. Кузьмин A.M. Методы оптимизации ядерно-энергетических установок, М,: МИФИ, 1985,80с.

15. Кузьмин A.M. Соотношения теории возмущений для коэффициентов реактивности в нелинейных.задачах. - В кн.: Физика

и методы расчётов ядерных реакторов, М.: Энергоатомиздат, . 1986, с.80-85.

16. Кузьмин A.M./ Морин Д.В., Фомиченко П.А. Сравнение методов оптимизации ядерных реакторов. - В кн.: Методы и алгоритмы в исследованиях физики ядерных реакторов, М.: Энергоатомиздат, 1987, с.12-18.

17. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Хромов В.В. Влияние отклонений исходных данных на результаты оптимизации ядерных реакторов. - Атомная энергия, т.63, вып.1, 1987, с.3-6.

18. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Хромов В.В. Использование коэффициентов чувствительности при оптимизации компоновок быстрых реакторов в условиях неопределённостей исходных данных. - В кн.J Методы технико-экономических исследований энергетичес-

• ких установок в условиях неполноты информации, ЭНИН им.Г.К.Кржижановского, М.: Информэнерго, 1987, с.39-48.

19. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Морин Д.В. и др. Оптимизационные исследования перспективных быстрых реакторов с помощью комплекса SAPFER . - В кн.: Методы и алгоритмы в исследованиях физики ядерных реакторов, М.: Энергоатомиздат, 1987, с.3-12.

20. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Мурогов В.М. и др. Оптимизация быстрых реакторов с учётом безопасности /Тезисы докладов V} Всесоюзного семинара по проблемам физики реакторов. -Нейтронно-физические проблемы безопасности, М.: ЦНИИатоминформ, 1989, с.179-181.

21. Гераскин Н.И., Елисеев В.А., Кузьмин A.M. и др.; Физи- : ческие характеристики оптимизированных активных зон быстрых реакторов с различными видаю топлива. - см. 120] с.182-184.

22. Кузьшн A.M., Морин Д.В. , Новиков А.Е., Хромов В.В. Полупрятй метод расчёта потока нейтронов" и коэффициентов чувствительности в оптимизационных задачах. - В.кн.: Вопросы атом-Л/; ной науки и техники, сер.: Физика ядерных реакторов, вып. 2, ' 1989, с.6-12. , .'-.."•■,

23. Гераскин Н.И., Елисеев В.А.; Кузьмин A.M., Матвеев Щ. Исследование области оптимальности параметров быстрых реакторов. - Атомная энергия, т.66, вып.З, 1989, с.158-161.

24. GetasKin N.'i., Kuzmin A.M., HffcuiD.V. et at SensLityUy Faclots Cn (Von-Unectt and Opiimiiaicon PxoS£em&.-Inpxoc^dinp:

Intexnciiicnal! Confetence on th<? Physics of fteociots. PHYSOR-SO, : V.3, pj.7t-i.80, flpxiP, WO, Matsei№?-Picw)ce, —

25. .Getosfcin HI., Kuimin AM., Kashukn fi.A, elat. Complex Optimisation of Fast Reacbxs flrta/iyement. - In pzov&dcngs: InietnaiionaP Ccrifetevce on the Physics of Rmiots. PHYS04-90, V-i?, p.V.Ss~v.34, fiptii, Wof Mttxserfie-Fiance.

26. Кузьмин A.M., Морин Д.В., Новиков A.E. Применение ме- , тодов синтеза для решения оптимизационных задач.- В кн.: Модели нейтронно-физических'процессов и физика реакторов, М.: : Энергоатомиздат, 1990, с.45-50. '•";- , "

27. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M. Вероятностный подход к учёту погрешностей функционалов-ограничений при оптимизации быстрых реакторов, - см.[26], с.50-53. * ;

28. Кузьмин A.M., Новиков А.Е. Нелинейные услбвно-крити-ческие задачи-с температурной зависимостью сечений /Тезисы до- ' кладов У» Всесоюзного семинара по проблемам физики' реакторов. - . Внутренняя безопасность ядерно-энергетических установок, М.:"'.■ ЦНИИатоминформ, 1991, с.119-121. . .. , . -'.'/ ;"".• •

29. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Окунев B.C.,Приближённые модели аварийных режимов работы быстрых реакторов для учёта их при оптимизации, - см. [28], с.177-179.

. 30. Гераскин Н.И., Кузьмин A.M., Морин Д.В., Новиков А.Е. Коэффициенты реактивности в задачах оптимизации быстрых реак- •

торов с помощью комплекса ДРАКОН, - см, [28], с.223-225.