автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Метод оценки показателя безотказности технических средств автоматизированных систем

На правах рукописи

Лысов Руслан Николаевич

МЕТОД ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.06. Автоматизированные системы

управления

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА - 199с

Работа выполнена в отделе вычислительной техники Московского института пожарной безопасности МВД России.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор, академик РАЕН Топольский Н.Г.

доктор технических наук, профессор, академик МАИ Симаков В.В.;

кандидат технических наук, с. н. с. Гуськов М. В.

Военный университет МО РФ.

Защита состоится " 14 " апреля 1998 г. в 14_ часов на заседании диссертационного совета Д 052.03.02 в Московском институте пожарной безопасности МВД России по адресу: 129366, Москва, ул. Бориса Галушкина д.4, в зале Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИПБ МВД России.

Автореферат разослан " 12 " марта_ 1998 г.,

исх. № 7/7 .

Отзывы на автореферат с заверенной подписью и печатью просим направлять в МИПБ МВД России по указанному адресу.

Телефон для справок: 283-19-05.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Т.Г. Меркушкина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Одним из путей успешного решения многих важных народнохозяйственных задач и, в том числе, задач, стоящих перед органами Государственной противопожарной службы России, является разработка и широкое внедрение различных автоматических и автоматизированных систем (АС).

Стремление к существенному повышению уровня противопожарной защиты объектов обусловило необходимость создания автоматизированных систем пожарной безопасности (АСПБ). Новый мощный импульс развитию этого процесса придали последние достижения в области электронной цифровой вычислительной техники, которая занимает ключевые позиции в структуре технических средств современных автоматизированных систем. В связи с этим, большое научное и практическое значение приобретают задачи, связанные с разработкой теоретических основ и прикладных методов оценки показателей их надежности.

Практика показывает, что в результате предэксплуа-тационных испытаний технических средств АСПБ невозможно в полной мере выявить их реальные способности эффективно выполнять свои функции в течение всего срока службы. В процессе эксплуатации технические устройства подвергаются комплексному воздействию случайных факторов,' уменьшающих их ресурс. Неопределенность законов распре-делейия вероятности возникновения этих факторов, а также ограниченное количество статистических данных об отказах и восстановлениях заставляют, наряду с применением традиционных методов, искать новые способы оценки вероятностных показателей, характеризующих безотказность работы технических средств АСПБ.

Ошибки в оценках этих показателей для АСПБ влекут

необоснованные организационно-технические решения и, как следствие, большие материальные, моральные и экономические потери.

Кроме того, математические методы, предлагаемые для обработки небольшого количества статистических данных, часто делают невозможным построение адекватных математических моделей, позволяющих находить достоверные оценки интересующих нас показателей.

Этим и был обусловлен выбор направления исследований.

Целью работы является разрабока способов определения непараметрических оценок вероятностных показателей безотказности технических средств АСПБ в условиях ограниченного количества статистических данных.

Основные задачи исследования:

а) дать обоснование необходимости использования методов непараметрической статистики для решения задач нахождения оценок вероятностных показателей безотказности технических средств АСПБ в условиях ограниченного количества статистических данных;

б) разработать методики нахождения верхних и нижних оценок функций распределения, относящихся к классам "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений, заданных конечным числом моментов распределения;

в) разработать единую методическую схему, алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющие находить достоверные значения оценок вероятностных показателей, относящихся к указанным классам распределений.

Объектом исследования являются технические средства автоматизированных систем' пожарной безопасности.

Предметом исследования являются показатели безотказности технических средств автоматизированных систем пожарной безопасности.

Научная новизна работы.

1. Обоснована необходимость использования непараметрического подхода для решения задач оценивания показателей безотказности технических средств АСПБ в условиях ограниченного количества статистических данных.

2. Показано, что функции распределения показателей безотказности технических средств АСПБ, относятся к классам "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений и рассмотрены основные свойства этих функций, заданных произвольным конечным числом фиксированных моментов.

3. Показано, что экстремальные непараметрические оценки указанных функций распределения достигаются с помощью кусочно-линейных функций ресурса, при этом число точек нелинейного изменения функции ресурса однозначно определяется числом известных моментов распределения. Предложена процедура, позволяющая выполнить уточнение экстремальных оценок для функций распределения. относящихся к классу "стареющих в среднем" распределений.

4. Разработаны единая методическая схема, алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющие находить достоверные значения верхних и нижних непараметрических гарантированных оценок вероятностных показателей, относящихся к классам "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанное методическое, алгоритмическое и программное обеспечение позволяет по заданному конечному числу фиксированных моментов находить достоверные значения верхних и нижних непараметрических гарантированных оценок вероятностных показателей безотказности технических средств АСПБ в условиях ограниченного количества ста-

тистических данных, когда функции их распределения относятся к классам "стареющих", "молодеющих" или "стареющих в среднем" распределений.

Получаемые значения оценок имеют то преимущество, что величина их относительного отклонения от истинного значения, полученная на выборках объемом не более двадцати измерений, не превышает пяти процентов, что обеспечивает точность, приемлемую для практических целей. Кроме того, найденные значения оценок без дополнительной информации улучшены быть не могут и, в этом смысле, они являются гарантированными.

Практическая реализация результатов исследования.

С. помощью методики нахождения экстремальных непараметрических гарантированных оценок функций распределения вероятности, относящихся к классу "стареющих" распределений были получены численные значения нижних границ вероятности безотказной работы электронных контрольно-пусковых устройств систем автоматической противопожарной защиты и реализованы в "Рекомендациях по разработке базовой САУ пожаротушением на базе современной микропроцессорной техники для всех технологических объектов РАО "ГАЗПРОМ".

Результаты исследования внедрены в деятельность УНК АСИТ МЙПБ МВД РФ в виде "Методических указаний по определению непараметрических оценок показателей безотказности технических средств автоматизированных систем пожарной безопасности", используемых при выполнении ■дипломных, научно-исследовательских и диссертационных работ, а также учебный процесс кафедры информатики и управления Военного университета при разработке лекций, групповых и практических занятий по курсу "Управление социальными процессами на базе современных информационных технологий".

Апробация работы. Основные теоретические положения и выводы диссертации были доложены на шестой международной конференции "Системы безопасности" - СБ-97, на научно-практической конференции "Пожарная безопас-ность-97", а также на заседаниях учебно-научного комплекса автоматизированных систем пожарной безопасности МИПБ МВД России.

Публикации. Основные положения и результаты диссертации нашли отражение в четырех научных статьях.

• Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 173 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков и 14 таблиц. Список литературы содержит 94 наименования.

На защиту выносится:

1. Обоснование необходимости использования непараметрического гарантированного подхода для решения задач разработки методов оценки показателей безотказности технических средств АСПБ в условиях ограниченного количества статистических данных.

2. Методики определения экстремальных непараметрических гарантированных оценок функций распределения, относящихся к классам "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений, заданных конечным числом фиксированных моментов распределения.

3. Единая методическая схема, алгоритмическое и -программное обеспечение/ позволяющие находить непараметрические гарантированные оценки вероятностных показателей безотказности технических средств АСПБ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации дана общая характеристика задач оценки показателей эффективности технических средств автоматизированных систем пожарной безопасности; обоснована необходимость применения для их решения методов непараметрической статистики, сформулированы цель и задачи исследования.

Автоматизированные системы пожарной безопасности (АСПБ) создаются с целью существенного повышения противопожарной защиты объектов и предназначены для решения следующих основных задач:

1) управление основными и вспомогательными процессами и системами противопожарной защиты; 2) влияние на управление основным производственным циклом (через АСУ ТП) при возникновении предпожарных режимов и пожароопасных ситуаций; 3) оперативно-диспетчерское управление силами и средствами пожарной охраны в дежурном и экстремальном (при пожаре) режимах; 4) управление организационными и информационными процессами обеспечения пожарной безопасности объекта; 5) экспертиза проектных решений и пожаров; 6) выполнение профилактических работ на объекте защиты.

К основным вероятностным показателям безотказности,. входящим в состав показателей надежности, характеризующих эффективность функционирования технических систем-согласно ТОСТ 27/002-83 относятся: вероятность безотказной работы на заданном интервале времени; средняя наработка до отказа; время, в течение которого объект не откажет с вероятностью у.

Методы нахождения этих показателей в условиях достаточности статистических данных довольно полно разработаны и приведены в научно-технической и нормативной

литературе.

Для уверенной идентификации исходного параметрического распределения требуется свыше ста (как правило, несколько сот) измерений. Но такую информацию, необходимую для оценки показателей безотказности многих современных технических средств, входящих в состав АСПБ, невозможно получить дане к моменту завершения их эксплуатации. Наличие небольших по объему выборок статистической информации (несколько десятков, не более 100) позволяет оценить лишь наиболее простые характеристики процесса функционирования, такие как моменты распределения. Данные обстоятельства выдвигают и обуславливают теоретическую необходимость и практическую целесообразность разработки и применения наряду с параметрическими методами методов непараметрического гарантированного оценивания.

Для непараметрического оценивания самым характерным является то, что функциональный вид распределения вероятностей считается полностью неизвестным, поэтому применение методов классической статистики оказывается невозможным. При этом могут рассматриваться такие классы распределений как: класс всех непрерывных распределений; классы "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений, имеющих заданными первые к (к > 1) фиксированных моментов и т.д.

Значительно менее исследованы вопросы непаааметш-ческого гарантированного оценивания различных показателей (вероятностных функционалов). В данном случае, кроме требования непараметричности к процедуре оценивания предьявляется также требование гарантированности получаемой оценки в классе возможных непараметрических оценок при заданных исходных данных. Применение принципа гарантированного результата при оценивании показателей безотказности технических средств (ТС) АСПБ обусловлено

стремлением совместить в рамках единого подхода реально существующую ограниченность исходных данных с требованием исключения ошибочных выводов о величине этих показателей.

Пусть R есть показатель безотказности функционирования технической системы, который в общем случае является векторной величиной R = (Rx.....' Rk). Каждая компонента вектора R есть вероятностный функционал, определенный на некотором вероятностном пространстве (Q, Т, Р), являющийся математическим ожиданием случайной величины (дискретной или непрерывной), характеризующей тот или иной процесс функционирования системы. Здесь й - пространство элементарных событий, ? - б-алгебра событий, Р - вероятностная мера, определенная для каждого события А е f. Вероятности различных событий, характеризующих процесс функционирования технических средств АСПБ, в общем случае также могут рассматриваться как математические ожидания некоторых дискретных случайных величин.

Функционал Ri; i = 1, к (показатель безотказности работы технического средства) представим в виде

Ri = /i(t.u. v,x,F(t)) , (1)

Здесь функция f1(t,u,v,x,F(t)) предполагается заданной в аналитическом виде либо находимой алгоритмически; F(t) - функция распределения случайной величины, характеризующей данный процесс функционирования ТС АСПБ; t, u, v,х - параметры, характеризующие процесс функционирования ТС АСПБ и Являющиеся в данном рассмотрении детерминир05акнь:М-л величинами, например, период и продолжительность телеметрического контроля, его достоверность, затраты на проведение телеметрического контроля и т.д. Функция t,u,v,x,F(t)) в общем случае

может зависеть не от одной функции распределения F(t) а от нескольких, т.е.

Rj = /1 (t.u.v.x.F! (t), .... FL (t)) . (2)

Функции распределения F(t) могут принадлежать следующим непараметрическим классам функций распределения (индекс j=l, 1 здесь опущен):

- классу "стареющих" функций распределения F03 с заданными моментами ¿ц, ¡хг.....дк; 1 < к <

оэ

Fos= | F(t)EFa: I t1 dF(t) = i = 0, k; j; (3)

-co

здесь - класс "стареющих" распределений;

- классу "молодеющих" функций распределения Ром с заданными моментами щ, цг, ..дк; 1 < к < «>

со

Р011= | Р(г)ЕРм: | ^ с1Г<Ь) = 1 = Л; }; (4) —00

здесь - класс "молодеющих" распределений;

- классу "стареющих в среднем" функций распределения Р033 с заданными моментами цг.....дк; 1< к

+со

Г033= { = 1 = 0Гк;|; (5)

-со

здесь Fsa'- класс "стареющих в среднем" распределений.

Для случаев, когда F(t)£ Fos; F(t)£ F0M; F(t)£F0SS необходимо найти непараметрические гарантированные оценки показателя безотказности Rt; l=T7k; т.е. найти либо

R, = max /.(t.u.v.x.Ft (t)) , (6)

F(t) t F00

либо

R,.= min /,(t,u,v.x.F, (t)) .. (7)

F(t) è F00

В последних выражениях F00 один из непараметрических классов распределений Fos, F0M, Foss с заданными моментами; "max" или "min" определяются содержательным смыслом Rj.

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению основных свойств "стареющих" распределений, теоретическому анализу и разработке методов нахождения верхних и нижних оценок функционалов, -относящихся к классу "стареющих" распределений с конечным числом фиксированных моментов.

"Старение" системы можно понимать как увеличение вероятности наступления отказа в интервале времени (t, t+s) при любом s при росте t.

Класс функций распределения, для которых Ft(s) возрастает по t при любом s, называют классом "стареющих" распределений Fos.

В данной главе показано, что верхние и нижние оценки функции распределения F*(t), F.("О на множестве "стареющих" распределений F(t)EF03ck(l< к < фиксированными конечными моментами достигаются в классе функций распределения

G(w(t)) = 1 - ехр{ -w(t) }, (8)

где G(w(t)) £ Fos, a w(t) есть кусочно-линейная непрерывная выпуклая (вниз) функция, имеющая m точек нелинейного изменения ö < tt < ... < tm < <». На иктзрвалах

Сtj_J. t-j); j=l. ш+l; (tm + 1=co).

Функция w(t) определяется в виде w(t) = Хо3 + Xjt. Число m - число точек нелинейного изменения функции w(t) определяется следующим образом:

1) при нечетном количестве моментов k=2c+l; (с>0):

для > 0 и w(tm) < со; m=(k-l)/2;

ДЛЯ Xi > О И w(tm) = та ИЛИ Xi = О и w(tn) < И или Xj = О и W(tra) = га; т=(к+1)/2;

2) при четном количестве моментов к = 2с; (с>1): для Xi > О и w(tm) < « или Xt > О и w(tm) = » или Xi = О и w(tm) < «: ш=к/2;

для Xj = 0 и w(tra) = со; щ=(к+2)/2;

Величины Хо3. X] (Хо1=0); 3=1, ш+1; Ц..... tm

удовлетворяют системе уравнений

t, U

/ t1 -dtl-expi-Xi U] + f t1-(1[1-ехр{-Хо2-Х2^}] + О ц

СО _

+...+/ t1 •d[i-exp£-Xoa+i-XBi+it}J=/x1: 1=1.к: (10) tm

boj+\jt;i = + (J-l.ra-l).

V

Верхняя оценка функции распределения F*(t) определяется соотношением

F*(т) = max G(w(t)) . • (11)

G(w(t))EF0S

Данная оценка будет справедлива при тб[0, t,), где

t. = min t„ . (12)

G(w(t])£F0S

Нижняя оценка функции распределения F,(т) определяется соотношением

F,(t) = min G(w(t)) . (13)

G(w(t))EF03

Данная оценка будет верна при т £ [0, t*), где

t* = max tm . (14)

G(w(tT)£F0S

При одном известном моменте (3>1. k=l) верхние оценки функции распределения F.(т) определяются соотношениями

?*(х) = 1-ехр{ -с СП/Д^3). при 0 <х <(д(15)

При этом найденные оценки при одном известном моменте ^ (3>1, к=1) совпадают с известными оценками для функций распределения в классе "стареющих" распределений с фиксированными моментами, полученными Р. Барлоу и Ф. Прошаном.

При двух известных моментах щ и д2 оценки, полученные Р. Барлоу и Ф. Прошаном, были уточнены в части определения области значений т, где эти оценки справедливы.

Остальные значения верхних и нижних оценок при любом заданном числе моментов могут быть найдены по единой предложенной схеме, определяемой соотношениями (11) - (14), которая в конечном счете сводится либо к решению системы нелинейных уравнений вида (10), либо к решению задачи одномерного нелинейного программирования совместно с решением системы нелинейных уравнений (10).

Рассмотрена теоретически возможность решения задачи определения экстремальных оценок распределения Г„*(т), на множестве "стареющих" распределений

Р3„(т) с к (к>1) изменяющимися моментами из параллелепипеда 7Г = { Д!; ' < Д! < д1" ; 1 = 0, к } .

Показано, что в этом случае верхние и нижние оценки такл- постигаются г.г.ассе рассмотренных ранее функций распределения С (7;и)}=1-бл;:.~->'(£)}, .

В третьей главе рассмотрены ЕьПросы нахождения непараметрических экстремальных оценок и "стареющих в среднем" функций распределения с заданными моментами.

В противоположность старению системы омоложение

• (16)

можно понимать как уменьшение вероятности наступления определенного события (наступления отказа) в интервале (t, t+s) при любом s и росте t.

Класс функций распределений, для которых Ft(s) убывает по t при любом s, называется классом '''молодеющих" распределений F0M.

Пусть F(t) е F0M есть "молодеющая" функция распределения с k (1 < к < и) фиксированными моментами

i = 0," к. На интервале [0, т] для F(х) необходимо найти верхнюю F*(т) и нижнюю F,(т) оценки такие, что

F*(т) = шах F(т) , (17)

F(t)£F0M

F,(т) = min F(T) . (18)

F(t)EF0M

где множество функций распределения определяется в виде

со

Fom = ^F-j (t)£F0M: I t1 dFj(t)=|Xi; 1 = ÜTk:J. (19) О

В отношении поиска решения сформулированных выше задач доказано, что для F0M с k (1 < к < <») фиксированными моментами решение достигается в классе функций распределений

G(V(t)) = 1 - exp{-v(t)} е F0M, (20)

где v(t) есть непрерывная кусочно-линейная вогнутая Функций ресурса, имеющая ш точек нелинейного изменения: О < t, < . . . < tm < « .

На интервалах С t-, _ j, t j ) ; 3=1, ш+1 функция v(t) определяется в виде

v(t) = 1Q3 + Xj t. (21)

Число m - число точек нелинейного изменения функции v(t) определяется следующим образом:

1) при нечетном количестве моментов к=2с+1; (с)О):

а) для Хога < Хот + 1 и 1, ) Хт + 1: т=(к-1)/2;

б) для Хот = Х0П1 + 1 и Хт = Хт+1: т=(к+1)/2;

2) при четном количестве моментов к = 2с; (сИ):

а) для Хот < и Хга > Хт+1: т=к/2;

б) для Хот = Хот+1 и Хт = Хт+1: т=к/2.

Величины Хо3. Х3 (Хо1=0); 3 = 1, т+1; ..., гт удовлетворяют системе уравнений

• +...+/ I;1-сШ-ехр^Хот^-Хл-цШ^; 1=1,к; (22)

- ХоЛ + 1+Хл + 113: 3=Т7т; (3=1,т-1).

В частности, при одном фиксированном моменте получены следующие оценки:

Оценка будет верна при т < дх (т < jUj/e).

Экстремальные оценки для функций распределения в классе "молодеющих" распределений с произвольным числом фиксированных моментов находятся численно по той же методической схеме, что приведена для "стареющих" распределений. При этом основная сложность будет заключаться в решении системы нелинейных уравнений вида (22).

Класс "стареющих в среднем" функций распределения Fosa(t) является дальнейшим обобщением класса "стареющих" функций распределения Fos(t).

Функция распределения F(t) называется "стареющей в среднем", если соответствующая ей функция ресурса A(.t)

F* (т) = max[ l-/ii/(t-e), l-expí-t/Aj} ] . (23) Данная оценка верна при х > щ (х > Hj/e). F.(-t) = mint l-fij/(T-e), l-expí-т/^} ] . (24)

= -ln[ 1—FCt) ] такова, что отношение А(t)/t является неубывающей функцией t.

Аналогично определяется класс "молодеющих в среднем" функций распределения F0M3(t): если .отношение A(t)/t не возрастает по t, то F(t) является "молодеющей в среднем" функцией распределения.

Доказано, что для функций распределения, относящихся к классу "стареющих в среднем" распределений F03S(t) с k (1 < к < со) фиксированными моментами нахождение верхних и нижних оценок достигается в классе функций распределения

G (г( t) ) = 1 - exp{-r(t)}, (25)

где G(r(t)) е Foss, a r(t) есть кусочно-непрерывная линейная на интервалах непрерывности функция, имеющая ш точек разрыва 0 < tj < ... < tm < со .

На интервалах [t3_1(t3); 3=1,m+l; (tn+1=«) функция

r(t) определяется в виде

r(t) = X3t , (26)

т.е. совпадает с отрезком луча, выходящего из начала координат под углом, тангенс которого равен

Число m - число точек разрыва функции ресурса r(t) для верхней оценки определяется следующим образом:

1) при нечетном количестве моментов k=2c+l; (с>0):

а) если точка t не совпадает ни с одной из точек tj..... tra, то ш = (к-1)/2;

б) если точка т совпадает с одной из точек Ц, ..., tm, тогда m=(k+l)/2;

2) при четном количестве моментов к = 2с; (сМ): точка х может занимать любое положение на координатной оси. при этом ш = к/2.

Для нижней оценки функции ресурса r(t) число точек разрыва ш определяется следующим образом:

1) при нечетном количестве моментов к=2с+1; (с>0):

а) если точка t не совпадает с точками разрыва функции ресурса r(t), тогда m = (К+1)/2;

б) если точка т совпадает с одной из точек t1( ____ tm, тогда m = (k+3)/2;

2) при четном количестве моментов к = 2с; (с>1): точка т может занимать любое положение на координатной оси, при этом fn = (k+2)/2.

Величины Х3; 3=1, ю+1; t3; 3=1, ш удовлетворяют системе уравнений

t 4 U

/ t1 -dLl-expí-Xi t>] + / t1 -(Ш-ехрС-ХгШ + 0 t,

(27)

,.. + / t1 -d[l-exp{-Xm + 11}] = Mi,- l=I7k;

tm

Для класса "стареющих в среднем" распределений с произвольным числом фиксированных моментов все экстремальные оценки функций распределения находятся численно по единой методической схеме, так же как и оценки для "стареющих" и "молодеющих" распределений, которая в конечном счете сводится либо к решению системы нелинейных уравнений вида (27), либо к решению задачи одномерного нелинейного программирования совместно с решением системы нелинейных уравнений вида (27).

Показано, что имеется возможность для определения экстремальных оценок распределения на множестве "стареющих в среднем" распределений с изменяющимися моментами.

Рассмотрена процедура, позволяющая уточнить получаемые с помощью изложенных в данной главе методов значения экстремальных оценок функций распределения из класса "стареющих в среднем" распределений с фиксиро-

ванными моментами.

В четвертой главе рассматриваются методические основы практического использования полученных теоретических результатов. Разработаны методики, алгоритмы и программное обеспечение для нахождения непараметрических гарантированных оценок показателей безотказности ТС АСПБ в классах "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений с конечным числом фиксированных моментов распределения.

В качестве исходных данных для представленных методик могут служить реальные результаты измерений случайных величин и интервал времени [0, т], на котором оценивается граница функции распределения, характеризующая процесс функционирования ТС АСПБ. Такими функциями могут являться время безотказной работы системы связи или время безотказной работы системы пожарной сигнализации и т.п.

Если данные представлены некоторой выборкой (реализацией) случайной величины то размер Еыборки должен быть не менее 10 значений (п > 10). На основании этих исходных данных по соотношению (28) определяются

1 n 1 _

Ml = - • 2 1 = 1. к (28)

n j-i

точечнкз :.:.-:"•"! у., -энтов распределения а затем нижние v. верхние оценки показателей безотказности, таких как вероятность безотказной работы системы в течение заданного промежутка времени.

Алгоритмы ::?хождения экстремальных оценок реализованы програу.:::-:': для ПЗЕ" типа IBM PC/AT на языке Tur-iD-?ascai в среде операционной системы MS DOS. В основе вычислительных процедур применяется метод случайного поиска совместно с решением системы нелинейных уравнений. При этом, в случае трех моментов, сначала

решается задача при двух моментах, а затем полученное решение используется в качестве начального приближения для получения окончательного решения задачи. Время вычисления оценки для данного случая и указанного состава вычислительных средств не превышает 3-х минут.

В работе в табличной и графической формах приведены временные зависимости экстремальных оценок функции распределения и вероятности безотказной работы при различных значениях первого, второго, третьего и четвертого моментов "стареющего" распределения, полученные в результате машинного эксперимента.

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что интервал области определения, в котором верхняя граница функции распределения или нижняя граница вероятности (безотказной работы) нетривиальна (не равна единице для вероятности безотказной работы или не равна нулю для функции распределения) и увеличивается с ростом номера определенного момента. Такой же эффект наблюдается при двух и трех моментах. Отсюда, можно предполагать, что данный факт будет иметь место и при большем числе моментов. Следует отметить, что большинство подсистем АСПБ с длительным сроком активного существования по мнению их разработчиков, специалистов по "управлению" и специалистов по "анализу" технического состояния имеют "стареющее" распределение времени безотказной работы.

Проведено исследование с целью сравнения результатов использования разработанных методов непараметрического гарантированного оценивания функций распределения с параметрическими оценками.

Сравнение проводилось на конкретных примерах выборок времени безотказной работы ТС АСПБ, полученных с помощью методов имитационного моделирования.

В качестве исходного распределения было взято сле-

дующее "стареющее" распределение

F(t) = 1 - ехр { -a^t2- а2• t - а3 } , (29)

где a.lt а2, а3 - параметры распределения (а3=0). Выборки из данного распределения для заданных конкретных значений параметров aj и а2 были получены в соответствии с известным алгоритмом обратного преобразования из равномерного распределения на интервале [О, 1]. Объем каждой выборки не превышал 16 измерений.

■ Далее по выборке находились параметры гипотетического распределения, а затем определялась оценка вероятности безотказной работы на заданном интервале. В качестве гипотетических были взяты наиболее распространенные на практике законы распределения, такие как экспоненциальный, нормальный, логарифмически нормальный, Релея, Вейбулла.

Наиболее характерные результаты экспериментов по определению относительной величины отклонения оценки вероятности безотказной работы от истинного значения (в процентах) представлены в таблице 1. Из приведенных данных видно, что по абсолютной величине отклонения непараметрические гарантированные оценки не хуже, а в ряде случаев и значительно лучше параметрических. Кроме того, оказалось, что для практического применения разработанных средств целесообразно использовать не более трех моментов распределения. При этом расхождения между "истинными" экстремальными оценками и оценками, найден- -- ными непараметрическими ы;лодами, не превышают 5%.

Рассмотрен случай, когда истинное распределение совпадает с одним из параметрических распределений -экспоненциальным. При этом получено, что в среднем непараметрические гарантированные оценки вероятности безотказной работы системы отличаются от истинной оценки не более чем на два процента.

Таблица относительных отклонений оценки вероятности времени безотказной работы ТС от истинного значения.

Исходное Номер эксперимента

распределение

1 2 3 • 4 5 6

Экспоненциальное 0. 9 1.6 -19.6 9.2 0.7 -22.9

Нормальное -2. 1 2.1 -4.0 5. 1 24.3 -5.6

Логарифм, норм. 4. 7 -3.9 -11.2 20,0 24.1 -10.1

Релея 4. 3 2.7 2.8 28.8 49.8 2.4

Вейбулла 4. 0 2.7 -20.0 10.6 26.2 -19.8

Гарантированные

оценки:

при одном моменте 0. 9 1.6 -19.6 9.2 0.7 -22.9

при двух моментах 2. 0 2.7 -12.4 7.9 8.1 -11.7

при трех моментах -1. 74 -0.65 -1.0 1.3 3.4 -4.4

Истинное распредел. 0 0 0 0 0 0

Кроме того, по реальным данным о 307 значениях наработки до отказа были найдены параметрические и напа-раметрические оценки вероятности безотказной, работы спринклерных установок пенного пожаротушения. В результате непараметрические сценки оказались более точными по сравнению с параметрическими, что подтвердило эффективность и значимость разработанных методов.

Следует отметить, что найденные непараметрические гарантированные оценки являются точными и строгими и без дополнительной информации не могут быть улучшены.

выводы

В ходе выполненного диссертационного исследования поставлена и решена задача разработки методов определения непараметрических гарантированных оценок вероятностных показателей безотказности технических средств автоматизированных систем пожарной безопасности в условиях ограниченного количества статистических данных. При этом получены следующие основные теоретические и практические результаты:

1. Показано, что технические средства автоматизированных систем пожарной безопасности являются сложными техническими устройствами, важными особенностями функционирования которых являются ограниченность статистической информации и высокая "цена" потерь при допущении ошибок в оценках вероятностных показателей их надежности. Это обусловило целесообразность разработки и практического применения методов непараметрического гарантированного оценивания этих показателей.

2. Показано, что функции распределения показателей безотказности технических средств АСПБ относятся к классам "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений. Рассмотрены основные свойства этих функций, заданных произвольным конечным числом фиксированных моментов.

3. Показано, что экстремальные непараметрические оценки указанных функций распределения достигаются с помощью кусочно-линейных функций ресурса, при этом число точек нелинейного изменения функции ресурса однозначно определяется числом известных моментов распределения. Предложена процедура, позволяющая выполнить уточнение экстремальных оценок для функций распределе-

ния, относящихся к классу "стареющих в среднем" распределений.

4. Разработаны единая методическая схема, алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющие находить достоверные значения верхних и нижних непараметрических гарантированных оценок вероятностных показателей, относящихся к классам "стареющих", "молодеющих" и "стареющих в среднем" распределений.

5. Выполнена экспериментальная проверка достоверности и эффективности разработанных средств на выборках объемом не более двадцати измерений. Установлено, что величина относительного отклонения параметрических оценок от истинных может достигать 30%, а величина ошибки непараметрических гарантированных оценок в этих же случаях оказалась в пределах 5%.

Расчет оценок вероятности безотказной работы спринклерных установок пенного пожаротушения, выполненный на реальных статистических данных, показал аналогичные результаты, что позволяет рекомендовать разработанные методы определения непараметрических гарантированных оценок показателей безотказности технических средств автоматизированных систем для широкого практического использования.

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих работах:

1. Топольский Н.Г., Лысов Р.Н. Применение теории моментов для разработки методов непараметрического оценивания показателей эффективности функционирования ПТС АСПБ // Материалы научно-практической конференции "Пожарная безопасность 97". - М.: МИПБ МВД РФ, 1997. -С.104-107.

2. Топольский Н.Г., Лысов Р.Н. Методика непараметрического оценивания показателей эффективности функционирования ПТС АСПБ для класса "стареющих" функций расп-

ределения //' Материалы научно-практической конференции "Пожарная безопасность 97". - М.: МИПБ МВД РФ, 1997. -С. 25-30.

3. Лысов Р.Н. Непараметрические оценки показателей' эффективности функционирования ПТС АСПБ для класса "стареющих в среднем" функций распределения // Материалы шестой международной конференции "Системы безопасности" - СБ97. - М.: МИПБ МВД РФ, 1997. - С.105-107.

4. Лысов Р.Н. Экспериментальная проверка эффективности параметрических и непараметрических методов оценивания функций распределения // Материалы шестой международной конференции "Систем безопасности" - СБ97. -М.: МИПБ МВД РФ, 1997. - С.98-100.

МИПБ МВД России. 1998 г. Тираж 100 экз.