автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод оптимизации надежности структурно-сложных технических систем на стадии проектирования

На правах рукописи

СКВОРЦОВ Михаил Сергеевич

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ СТРУКТУРНО-СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (технические науки)»

1 з ОКТ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2011

4856935

Работа выполнена в ОАО «Специализированная инжиниринговая компания «Севзапмонтажавтоматика»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Мусаев Александр Азсрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Соложснцсв Евгений Дмитриевич

кандидат технических наук, доцент Павлов Александр Николаевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный Технологический институт (Технический университет)

Защита диссертации состоится «27» октября 2011 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д.002.199.01 при Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14-линия Васильевского острова, дом 39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации Российской академии наук (199178, Санкт-Петербург, 14 линия Васильевского острова, дом 39).

Автореферат разослан «23» сентября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.002.199.01

кандидат технических наук ~ Ф.Г. Нестерук

/ С ( с. I ' с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы наблюдается устойчивая тенденция усложнения проектируемых существующих технических систем. Сложность проектируемых технических систем, в основном, вызвана увеличением числа входящих в их состав подсистем и объектов, а также, ростом числа внутренних связей, что проявляется в виде структурной и функциональной сложности. Одно из главных требований, предъявляемых к современным сложным техническим системам, - это надежность их функционирования. В настоящее время проектные расчеты надежности разрабатываемых структурно-сложных технических систем (ССТС) ориентированы, в основном, только на выполнение соответствующих нормативных требований и не позволяют научно обоснованно оптимизировать экономические затраты на принимаемые технические решения.

Проблема оптимизации проектной надежности структурно-сложных технических систем (ССТС) последние годы существенно обострилась как в отечественной науке и промышленности, так и за рубежом. Это обусловлено несколькими причинами, среди которых можно выделить три основные:

1. Постоянно возрастающие требования практики в увеличении уровня надежности разрабатываемых ССТС при одновременном стремлении к более рациональному использованию имеющихся ресурсов.

2. Постоянно растущая номенклатура составных элементов и усложнение структур систем приводят к большой размерности и множественности возможных вариантов структурного построения ССТС, что дополнительно усложняет решение задач оптимизации надежности при наличии ограничении.

3. Постоянно возрастающая структурная сложность современных ССТС, что дополнительно усложняет построение математических моделей анализа и расчета показателей надежности.

Первая из указанных причин требует применения методов оптимизации структуры и элементного состава для обеспечения требуемой надежности проектируемых систем ССТС при наличии ресурсных ограничений. В качестве ресурсного ограничения может выступать стоимость, вес, объем и др. Вторая причина приводит к тому, что практическая оптимизации ССТС возможна только на основе автоматизированных методов моделирования и расчета надежности. Третья причина приводит к необходимости использования таких методов моделирования и расчета надежности, которые позволяют учесть структурную сложность ССТС.

Анализ современного состояния автоматизированных методов моделирования и расчета надежности показал, что на данный момент только логико-вероятностные методы позволяют строить математические модели, в полной мере учитывающие структурную сложность современных технических систем. Анализ современного состояния исследований задач оптимизации надежности ССТС при проектировании показал, что к настоящему времени разработано много методов, алгоритмов и методик их решения. Вместе с тем, большинство разработанных методов и алгоритмов нацелены на решение только отдельных задач оптимизации надежности, и кроме того, часто не могут в полной мере учитывать структурную сложность и размерность современных ССТС.

Таким образом, в настоящее время актуальность приобретает комплексное решение задачи оптимизации надежности на стадии проектирования, позволяющее в полной мере учесть структурную сложность и размерность современных ССТС, на базе дальнейшего совершенствования и развития существующего научно-методического аппарата, разработанного в логико-вероятностных методах математического моделирования, теории оптимизации и системном анализе.

Цель диссертационной работы заключается в повышении качества проектирования структурно-сложных технических систем за счет разработки и применения на практике нового метода, алгоритма и методик решения задач оптимизации проектной надежности.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Анализ методов моделирования и расчета показателей надежности структурно-сложных технических систем. Обоснован выбор логико-вероятностных методов и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования для анализа и моделирования надежности ССТС;

2. Разработка нового метода решения задачи оптимизации надежности на стадии проектирования, на основе жадного алгоритма (greedy algorithm) оптимизации, обеспечивающего учет структурной сложности и большой размерности ССТС;

3. Разработка методик моделирования и расчета показателей надежности сетевых структур и структур с дробной кратностью резервирования, функционирующих по принципу кизп\

4. Разработка алгоритма и методики решения задач оптимального резервирования, параметрической оптимизации надежности и комбинированной задачи оптимизации надежности, основанных на использовании разработанного алгоритма оптимизации;

5. Программная реализация разработанного алгоритма оптимизации надежности.

Методы исследования. При проведении исследований использовались следующие научные теории и методы: методы системного анализа, логико-вероятностные методы, методы оптимизации, методы математического программирования, теория вероятностей, теория надежности систем.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод решения задачи оптимизации надежности структурно-сложных систем на стадии проектирования;

2. Методики моделирования и расчета показателей надежности сетевых структур и структур с дробной кратностью резервирования, функционирующих по принципу к из п;

3. Алгоритм и методики решения задач оптимального резервирования, параметрической оптимизации надежности и комбинированной задачи оптимизации надежности, основанных па использовании предложенного алгоритма оптимизации;

4. Программная реализация логико-вероятностного алгоритма и методик решения задач оптимизации надежности ССТС.

Научная новизна предлагаемой диссертации состоит в следующем:

1. Разработан новый метод решения задачи оптимизации надежности ССТС на этапе проектирования, обеспечивающий учет структурной сложности и размерности решение основных задач оптимизации надежности при проектировании;

2. Разработана новая методика моделирования и расчета надежности систем с дробной кратностью резервирования, работающих по принципу к из и, отличающаяся тем, что в явном виде непосредственно по логической функции строится расчетная вероятностная функция, но, несмотря на это, вычислительная сложность алгоритма близка к существующим рекуррентным алгоритмам расчета. Построение многочлена для расчета надежности позволяет использовать данную методику, в отличие от других, для оценки вкладов отдельных элементов в надежность всей системы;

3. Разработана новая методика, позволившая проводить моделирование и расчет надежности полностью терминальных сетевых структур на основе логико-вероятностного метода, с применением аппарата схем функциональной целостности. Для решения этой

задачи логико-вероятностным методом выполняется доопределение системы логических уравнений дополнительным уравнением.

4. Разработан алгоритм и методики решения задач оптимального резервирования, параметрической оптимизации надежности и комбинированной задачи оптимизации надежности, основанных на использовании предложенного алгоритма оптимизации;

5. Выполнена программная реализация алгоритма и методик решения задач оптимизации надежности ССТС.

Практическая ценность работы. Программная реализация алгоритма логико-вероятностного метода оптимизации надежности и методики его применения позволяют использовать результаты диссертации в проектных и научных организациях для решения задач оптимизации надежности ССТС на этапе проектирования.

Обоснованность и достоверность научных положении, основных выводов и результатов диссертации обеспечивается анализом состояния исследований в данной области на сегодняшний день. Корректность предложенного метода и алгоритма подтверждается согласованностью результатов, полученных при практической реализации метода и алгоритма, а также апробацией основных теоретических положений диссертации в печатных трудах и докладах на научных конференциях.

Основные результаты данной работы реализованы:

1. В программном комплексе "АРБИТР", предназначенном для автоматизированного структурно-логического моделирования и расчета надежности и безопасности ССТС, разработанном в ОАО «СПИК СЗМА».

Апробация работы осуществлена на международных научно-практических конференциях «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (2002), «Моделирование. Теория, методы и средства» (2003), четырех заседаниях международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» (2003,2006, 2007,2011).

Публикации. Автором опубликовано по теме диссертации 10 печатных работ, среди них две работы в рецензируемых журналах из перечня ВАК («Надежность» (2009), «Труды СПИРАН» (2011)).

Структура н объем работы. Диссертационная раиом состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем работы составляет 116 страниц, в том числе 20 рисунков, 18 таблиц. Библиография содержит 117 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена научная новизна и практическая ценность работы, сформулированы основные научные результаты, выносимые автором на защиту. Приведены сведения о внедрении и апробации результатов, дана краткая характеристика работы по главам.

В первой главе рассматривается современное состояние подходов к решению задач оптимизации надежности ССТС на стадии проектирования, определены основные особенности ССТС как объекта оптимизации надежности. Проведен сравнительный анализ методов моделирования и расчета показателей надежности ССТС.

Надежность яш1яется комплексным свойством, которое в зависимости от назначения системы и условий ее применения может включать безотказность, долговечность, ре-

монтопригодность и сохраняемость или определенные сочетания этих свойств. На основе анализа существующих показателей надежности, в качестве критерия надежности функционирования технической системы в данной работе выбрано свойство безотказности. Обоснован выбор вероятности безотказной работы как количественной меры надежности функционирования технической системы.

Выполнен анализ показателей качества оптимизационных методов. В работе используется сравнение решений, полученных предложенным и существующими методами, а также вычислительные затраты на его получение, как основные показатели эффективности применения оптимизационных методов.

На основе выполненного в работе теоретического сравнительного анализа методов моделирования и расчета показателей надежности структурно-сложных технических систем обоснован выбор логико-вероятностного метода и графического аппарата схем функциональной целостности, позволяющих учесть структурную сложность технических систем как объектов оптимизации. Сделан выбор жадного алгоритма (greedy algorithm) как основы для создания метода оптимизации надежности ССТС на стадии проектирования.

Выполнен сравнительный анализ существующих методов оптимизации надежности:

1. Большинство существующих методов разработаны для класса последовательно-параллельных систем, что зачастую не позволяет их использовать для оптимизации надежности ССТС;

2. Существующие методы имеют большую вычислительную сложность, эвристический пли метаэвристический характер;

3. На данный момент, практически отсутствуют оптимизационные методы, не требующие многократного пересчета целевой функции.

Все это приводит к значительным трудностям при оптимизации структурно-сложных технических систем большой размерности па стадии проектирования, к которым относится большинство разрабатываемых современных технических систем.

В целях формализации задач оптимизации надежности, были введены следующие обозначения:

1. Структурная схема надежности проектируемой системы задается в виде схемы функциональной целостности (СФЦ). G(X,A) - структурная схема надежности ССТС; X = (Xt,X2,...,XH) - элементы системы (вершины СФЦ);

А = {v, И', е} - множество упорядоченных пар вершин, с заданным типом функционального обеспечения (логической связи); вершина v - начало ребра; вершина и' - конец ребра; е — тип логической связи.

В данной работе далее будем рассматривать задачи оптимизации при неизменной структуре системы.

2. Номенклатура элементной базы: Н - количество элементов, образующих систему; i - номера элементов, образующих систему: i = 1 ,...,Н ; /и,- количество вариантов технических средств, доступных для элемента i; {х],х2,...,хт } - варианты технических средств, доступных для элемента i;

X = (Х1,Х2,...,ХН);

Xj = ({x,, х,,..., хщ}, {(xl,xn),(x2,xi2),..., {хт_, xjm. = х,щ );

Xjjколичество технических средств типа j в элементе i;

Х„ б (0,1,2,...);

п- = 2—1 Ху - общее количество технических средств в элементе . 7=1

3. Параметры элементов системы:

Су-стоимость j — го технического средства из набора вариантов для элемента / ;

Ру-надежность j — г»технического средства из набора вариантов для элемента i ;

Cj — 2_J СуХу -стоимость элемента / ;

/ч

Pi =f[{Pij,4ij) J = =1 ру.

4. Аналитические модели расчета характеристик системы:

С(Х) = ¿—¡¿—¡CyXjj - стоимости системы;

M j'I

R(X)= f{{pj,qi},i = \,2,...,H,)qi =1 Pj - надежность (безотказность) системы.

5. Требования (ограничения) по надежности и стоимости: С0 - ограничение по стоимости ( С(Х) < С0 );

Л0 - Офаничение по надежности (R{X) >Л0).

Тогда задача оптимизации надежности в общем виде может быть сформулирована следующим образом: определить оптимальный вариант состава элементов X системы, который максимизирует надежность R(X ) проекта технической системы при заданном ограничении на ее стоимость С(Х ) (не более С0 ) на конечном дискретном множестве D вариантов состава элементов системы X* £ D, имеющих различные параметры надежности Pj и стоимости сг С учетом вышесказанного, строгая формулировка задачи оптимизации надежности с ресурсным ограничением:

X* = argmin7?(A')

XiD

D'={x £D\C(X)< C(l}

где:

X = argmin R(X) - искомый оптимальный по надежности вариант состава элементов

X€D

системы;

D - конечное дискретное множество вариантов состава элементов системы;

подмножество вариантов структуры и элементного состава системы D' £ D, удовлетворяющих ограничению по стоимости С(Х) < С„ ; R(X) - надежность системы для варианта X элементного состава системы; С(Х) - стоимость системы для варианта X элементного состава системы; С0 - ограничение по стоимости.

В настоящее время основными исследуемыми классами задач оптимизации надежности являются:

- задача оптимального резервирования (redundancy allocation problem);

- задача оптимального распределения надежности (reliability allocation problem);

- общая задача оптимизации надежности (redundancy-reliability allocation problem).

При постановке задачи оптимизации надежности ССТС о структуре системы не было сделано никаких предположений. Следует отметить, что часто в состав ССТС входят подсистемы, имеющие сетевую структуру, либо структуру с дробной кратностью резервирования. Существующие на данный момент методы и алгоритмы для моделирования и анализа надежности таких структур слабо пригодны для использования при решении задач оптимизации надежности ССТС на стадии проектирования. Поэтому в диссертационной работе сформулированы задачи создания новых методик и алгоритмов моделирования и расчета надежности сетевых структур и структур с дробной кратностью резервирования.

Во второй главе для решения задач оптимизации надежности структурно-сложных систем были разработаны новые методики анализа и расчета надежности сетевых структур и структур с дробной кратностью резервирования на основе логико-вероятностного метода.

Для структур с дробной кратностью резервирования, функционирующих по принципу не менее к из п, были разработаны новые методика и алгоритм расчета надежности. Отличие разработанной методики от известных на данный момент заключается в том, что в явном виде строится расчетная вероятностная функция, но, несмотря на это, вычислительная сложность алгоритма близка к существующим рекуррентным алгоритмам расчета. Построение многочлена для расчета надежности позволяет вычислять частные производные и использовать их для вычисления надежности системы при изменении параметров надежности только одного элемента, при неизменных параметрах остальных.

Логическая функция работоспособности структуры с дробной кратностью резервирования, функционирующей по принципу к из II, как и любой другой, может быть представлена совокупностью всех кратчайших путей успешного функционирования. В данном случае, количество путей определяется количеством бесповторных сочетаний к из п, вычисляемых по формуле

С" = к\{п-к)\ (1)

Пути формируются методом формирования комбинаций. Таким образом, логическая функция работоспособности комбинаторной подсистемы может быть записана в следующем виде:

с*

К/ = VD, (2)

где Ci у -бесповторная конъюнкция ранга меньшего или равного п.

Для перехода от логической функции к вероятностному многочлену используем известный метод квазиортогонализации по одной переменной. Основное правило квази-ортоганализации определяется следующим соотношением

A-ivA-B = A-ivA-B-J (3)

Применение правила квазиортогонализации позволяет во многих случаях получить полностью ортогональную булеву функцию практически без увеличения общего числа ее конъюнкций. Полностью ортогональная логическая функция является формой полного замещения, т.е. позволяет прямые логические переменные заменить вероятностями работоспособности, инверсные переменные - вероятностями неработоспособности, конъюнкции заменить умножением, а дизъюнкции заменить сложением, и, таким образом перейти от логической функции к вероятностному многочлену.

Рассмотрим алгоритм построения логической функции работоспособности и вероятностного многочлена для системы с дробной кратностью резервирования, функциони-

рующей по принципу к-из-П'.й, на примере системы, работающей по принципу 3 _ из - 5 ; (5 (т.е. для работоспособности системы должно быть исправно не мене 3 элементов из 5). Количество дизъюнкций в логической функции работоспособности вычисляется по формуле (1) и равно 10. В таблице 1 представлены кратчайшие пути успешного функционирования комбинаторной подсистемы. В таблице 2 записана логическая функция работоспособности, полученная из кратчайших путей успешного функционирования методом квазиортогонашзации по одной переменной. Для получения логической функции работоспособности для комбинаторных систем, работающих по принципу к — из — П'С, предлагается использовать простое мнемоническое правило. А именно: находится максимальный номер элемента, входящего в кратчайший путь успешного функционирования, все входящие в путь элементы заменяются прямыми логическими переменными, а все элементы, которые не содержатся в данном пути и чей номер меньше максимального номера элемента для данного пути, заменяются инверсной логической переменной. Таким образом, можно получить логическую функцию работоспособности, которая является формой прямого замещения. В столбце 4 записан вероятностный многочлен для вероятности безотказной работы комбинаторной системы, полученный из записанной в столбце 3 логической функции, представленной в форме прямого замещения, позволяющей сразу перейти от логической функции к вероятностному многочлену.

Таблица 1. Иллюстрация методики моделирования надежности комбинаторных структур

j

1 1.2.3 (xl л х2 л хЗ) v р\ ■ р2■рЗ +

2 1.2.4 v (xl л х2 л хЗ л х4) v + p\-p2-q3-р4 +

3 1.2.5 v (xl л х2 л хЗ л х4 л х5) v + р\-p2-q3-q4-р5 +

4 1.3.4 v (xl л х2 л хЗ л х4) v + p\-q2-рЗ-р4 +

5 1.3.5 v (xl л х2 л хЗ л х4 л х5) v + p[-q2-p3-q4-p5 +

6 1.4.5 v (xl л х2 л хЗ л х4 л х5) v + p\q2-q3p4■ р5 +

7 2.3.4 v (xl л х2 л хЗ л х4) v + q\ ■ р2 ■ рЗ ■ р4 +

8 2.3.5 v (xl л х2 л хЗ л х4 л х5) v + q\ ■ р2-рЗ-q4-р5 +

9 2.4.5 v (xl л л'2 л хЗ л л'4 л х5) v + q\- p2-q3- р4 ■ р5 +

10 3.4.5 v (xl л х2 л хЗ а х4 а х5) + q\ ■ ql ■ рЗ ■ р4 ■ р5 +

Отдельное внимание уделено проблемам моделирования и анализа надежности сетевых структур. В подавляющем большинстве работ, для оценки надежности сетевых структур, рассматриваются два показателя надежности. Двухтерминальная надежность (two-terminal network reliability) - равная вероятности передачи информации между двумя определенными узлами сети. Второй показатель - надежность полностью терминальной сети (all-terminal network reliability) - равен вероятности передачи информации между двумя любыми узлами сети. В диссертационной работе рассматривается полностью терминальные сети. Двухтерминальная надежность сети естественным образом больше надежности полностью терминальной сети той же структуры. В общем случае, отказам подвержены как узлы сети, так и связи между узлами. В данной работе, как и в большинстве работ, в которых рассматривается эта же задача, будем считать узлы сети абсолютно надежными. При анализе надежности систем с сетевой структурой, помимо трудностей, присущих всем структурно-сложным системам, появляется дополнительное затруднение. Оно связано с тем, что структура таких систем содержит кольцевые фрагменты, для корректного раскрытия которых в схему функциональной целостности этой структуры долж-

ны быть внесены специальные изменения. Исходная схема простейшей кольцевой сети и соответствующая ей схема функциональной целостности (СФЦ) изображена нарис.1.

О

рм

-0

-з>0< >э

v ф

ж

Nf -ЭЮэ

Рисунок 1. Простейшая кольцевая структура сети и соответствующая ей СФЦ

Здесь узлы сети считаются абсолютно надежными и представлены на исходной схеме сети вершинами 1, 2, 3 и 4 (слева на рис. 1). На СФЦ этой сети указанные узлы представлены фиктивными вершинами 1, 2, 3 и 4. Дуги сети характеризуются случайными событиями их безотказной работы и представлены на СФЦ (справа на рис.1) функциональными вершинами 12, 14,23 и 34.

Как было сказано выше, условием функционирования сети является наличие хотя бы одного работоспособного пути, связывающего между собой все узлы сети, тогда логический критерий ее успешного функционирования можно записать в ввде: Ys = yl v у2 v уЗ v у4. Система логических уравнений для СФЦ сети: ' >'1 = х\ л (у 12 v у] 4) = yl 2 v у\4 у2 = х2 л (>'12 v у23) = y\2v у23 уЗ = хЗ л (у34 v у23) = у34 v у23 у4 = х4 л (у14 v у34) = уЫ v у34

Данная система логических уравнений является неразрешимой из-за того, что СФЦ сети является полностью циклической. Введение дополнительной фиктивной вершины (дополнительного логического условия) в СФЦ позволяет получить систему уравнений, которая может быть разрешена, и получить логическую функцию работоспособности сети. Система логических уравнений после добавления фиктивной вершины (см. рис.2 первый слева вариант) запишется следующим образом: у\ = true

у2 = х\ 2 a (.rl 4 v х34 v х23) уЗ - (х\2 v х23) л (дг14 v х34) у4 = (х12 v ,г34 v х23)л х\4

1Е-=»0

'<=—ЦзГ)«г—X

Рисунок 2. Добавление дополнительного логического условия (4 варианта)

Объединяя результаты в7$= >'1 v у2 v уЗ v у4 и минимизируя полученную логическую функцию, запишем искомую логическую функцию работоспособности системы: Г5 = (х12vx23v х34) л(xl2vxl4v х34) л (х14 v х\2 v *23) л (х14 v лг34 v д:23)

На рпс.2 изображены все возможные варианты добавления в СФЦ дополнительного логического условия, позволяющего получить логическую функцию работоспособности системы. Все четыре варианта, отображенные на рис.2, являются эквивалентными и приводят к одинаковому результату. Описанный выше способ модификации СФЦ сетевых структур позволяет получать логическую функцию работоспособности, а затем н многочлен вероятностной функции. Предложенные методики имеют алгоритмический уровень разработки, что позволило осуществить их реализацию и использовать при апробации метода, предложенного в следующей главе.

В третьей главе предложен метод и алгоритмы для решения задач оптимизации надежности на стадии проектирования, общая постановка которой осуществлена в первой главе. Метод оптимизации надежности основан на следующих положениях логико-вероятностного исчисления:

1. Любая произвольная функция алгебры логики может быть представлена в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, особенностью которой является отсутствие одинаковых логических переменных в каждой конъюнкции, ортогональность конъюнкций в совокупности, одинаковый ранг всех конъюнкций равный количеству логических переменных в функции алгебры логики. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма произвольной логической функции может быть записана в виде:

К{ vK2 v...vKs, (4)

где Kj — л""' Ах"г А... Ал:"", к/ - элементарная конъюнкция ранга и, а,- - двоичная переменная,

_г„, = \х„еслиа,=\]

[xj, если а, = О

2. Каждой функции алгебры логики соответствует вероятностная функция К =f{Pu-Pm)

3. Частная производная вероятностной функции по любой переменной всегда является константой, при фиксированных значениях остальных переменных:

ЗЯс

-— = const, при Р : = const, 1ф /, j = 1,2,..., 1)1 (5)

8р;

4. Вычислительная сложность нахождения точной частной производной многочлена вероятностной функции, представленного в виде совершенной дизъюнктивной форме, аналогична вычислению значения самого многочлена вероятностной функции при произвольном наборе вероятностей безотказной работы {pi9...р,,...рп), / — 1,...,/?.

Зная вероятность безотказной работы системы Rs при некотором значении аргументов (plt..., р:,..., рп), можно легко вычислить значение Rs при изменении одного аргумента и неизменных остальных (р{,...,/)■ ,...,рп) по следующей формуле:

dRs

R; = RS+ARS = RS + —± (6)

OPi

dRс

где Api - приращение вероятности безотказной работы элемента i в результате его замены на более надежный элемент.

Целевая функция характеризуется тем, что:

1) функция вероятности безотказной работы системы Rs является нелинейной функцией вероятности безотказной работы элементов, ее образующих.

2) функция вероятности безотказной работы системы Rs ограничена (0 < Rs < 1).

3) функция вероятности безотказной работы системы Rs является строго монотонно возрастающей для монотонных систем (для технических систем увеличение надежности любого элемента приводит к увеличению надежности системы) и, кроме этого, частные

производные положительны на всей области определения функции U S —— S 1.

dpi

4) Частные производные являются константами относительно переменной, по кото-

ЗЯ, , х

рой они берутся —— = constyp¡), при фиксированных значениях остальных перемен-ф,

пых. Поэтому, изменение надежности системы ДRs при изменении надежности элемента Арi линейно зависит от величины этого изменения.

Таким образом, функция Rs для расчета вероятности безотказной работы для технических систем является строго монотонно возрастающей и ограниченной на всей области определения. Поэтому при решении такой задачи условной оптимизации для непрерывного случая оптимальное решение всегда будет достигаться на границе допустимого множества. Для дискретного случая решение задачи оптимизации также будет находиться на границе допустимого множества.

Исходными данными для разработанного метода оптимизации надежности являются:

- вероятностный многочлен, используемый для расчета системного показателя надежности (автоматически формируется в программных комплексах, реализующих общий логико-вероятностный метод моделирования и расчета надежности);

- если допускается использование резервирования элементов или система содержит элементы с дробным резервированием, функционирующие по принципу кизп, то для всех возможных вариантов состава элементов должны быть предварительно рассчитаны их надежность и стоимость;

- варианты для каждого элемента должны быть отсортированы по возрастанию стоимости или надежности (в предположении, что с ростом стоимости технического средства при прочих равных условиях его надежность возрастает).

Пошаговая процедура разработанного метода, для решения задачи оптимизации надежности системы, при ограничении сверху на ее стоимость. Основой разработанного метода является жадный алгоритм (greedy algorithm). Задача оптимизации:

X* = arg шах /?5

x£D

D'={X £D\C{X)<C0}

Шаг 1. Вычисляются границы возможного изменения стоимости системы. Для этого рассчитывается стоимость системы, состоящей из элементов, для которых выбраны самые дешевые варианты технических средств, и системы, состоящей из элементов, для которых выбраны самые дорогие варианты технических средств. Так как варианты элементов отсортированы по стоимости, то Cmil) = C(xj ,...,xj,), Cmax = C(x{'

где нижний индекс (1,я) обозначает помер элемента, верхний индекс обозначает номер варианта элемента,

z, - количество вариантов для элемента /, образованных из »/, вариантов технических средств, доступных для элемента i (зависит от максимально разрешенной кратности технических средств для элемента, возможности применения неоднородного резервирования разнотипными техническими средствами и т.п.).

Если Cmin < Су < Сшх , то решение существует, и в качестве текущего решения

выбираем самый надежный вариант = {xf1 ). Если Cmin > С0, то решения

нет, если Cmin=C0, то решением является самый дешевый вариант

Crain = С(х{,..., х],). Если Cnm С0, то решением является самый дорогой вариант, который одновременно является и самым надежным.

Шаг 2. Вычисляем частные производные по всем 11 переменным, входящим в вероятностную функцию.

Шаг 3. Для каждого элемента, для каждого менее надежного варианта, чем текущий (номер варианта элемента должен быть меньше, чем текущий номер элемента) вычисляется показатель aj . Для каждого элемента находим минимальное значение

a(mm =min—(8) • Ас?

Шаг 4. Находим элемент системы и вариант, для которого минимально следующее выражение:

/Л Ps\ fj£(Pi.-,Pn) min = min I-;-I = min——;--(9)

W l-i \ Д с/

где i - номер элемента, j - номер варианта элемента.

Таким образом, определяется элемент, для которого будет произведена замена, и вариант элемента, на который будет произведена замена. Проводится замена элемента и уточняется решение.

Шаг 5. Уменьшаем стоимость системы на величину стоимости замены элемента, найденного на предыдущем шаге (шаге 4 или 6). Если стоимость системы Сs меньше или равна количеству доступных средств С у< С0, то переходим на шаг 3, иначе переходим на шаг 6.

Шаг 6. Находится элемент системы и вариант элемента, для которого минимально следующее выражение:

дР

. ft-pfl^Ov^) (10)

min-—.--1 >

' д с/

Таким образом, определяется элемент системы, для которого будет произведена замена, и вариант элемента, на который будет произведена замена. Проводится замена элемента и уточняется решение, увеличивается стоимость системы на величину стоимости

замены элемента. Если решение, полученное на данном шаге, лучше ранее запомненного * *

решения х , то сохраняется текущее решение в качестве нового X , если хуже - не сохраняем и переходим на шаг 5. Если решение, полученное на данном шаге, совпало с ра-

*

нее запомненным решением х , то уменьшается стоимость доступных средств на величину стоимости замены на найденный элемент и осуществляется переход на шаг 7.

Шаг 7. Если существуют более надежные элементы, после замены на которые стоимость системы не превышает количество доступных средств Сх <С0, то среди них

выбирается элемент г, для которого ЩЭХД Р5 = гпах^Д Р)(Р1, -,Рп)^- Проводится замена элемента и уточняется решение, уменьшаем стоимость доступных средств на величину стоимости замены на найденный элемент, остаемся на шаге 7. Если не существуют более надежные элементы, после замены на которые стоимость системы не превышает С5 или равна количеству доступных средств С8 < С0, то текущее решение является искомым решением оптимизационной задачи.

После окончания работы алгоритма будет определен состав каждого элемента системы, максимизирующий количественную характеристику надежности системы, при заданных ресурсных ограничениях.

Использование в методе принципов жадного алгоритма позволяет резко снизить вычислительную сложность решения оптимизационной задачи по сравнению с методами ветвей и границ и динамического программирования.

Особенности метода:

1 Метод применим для решения задач оптимизации надежности полностью терминальных сетей и структур с дробной кратностью резервирования;

2 Метод позволяет исключать элементы из системы в процессе оптимизации;

3 В процессе поиска решения происходит выход за пределы допустимого множества.

Допущения и ограничения метода.

1. Отказы элементов системы являются независимыми в совокупности;

2. Метод оптимизации применим только для монотонных систем;

3. Случайные величины времени безотказной работы и времени восстановления всех элементов системы распределены по экспоненциальному закону.

В главе 4 разрабатываются практические методики решения задач оптимизации надежности с помощью предлагаемого метода оптимизации, проводится анализ прикладных возможностей предлагаемого метода. Одновременно с этим проводится апробация метода как на ранее решенных другими методами задачах, так и на новых задачах. Общая структура разработанного алгоритма приведена на рис.1. В этой структуре исходные данные формируются с помощью логико-вероятностных методов, реализованных в программном комплексе «АРБИТР», предназначенном для автоматизированного структурно-логического моделирования и расчета надежности и безопасности ССТС, разработанном в ОАО «Специализированная инжиниринговая компания «Севзапмонтажавтоматика» (ОАО «СПИК СЗМА»). В данной работе были разработаны модули 1, 2, 3 и внедрены в программный комплекс «АРБИТР».

Модуль 1 предназначен для ввода исходных данных по надежности и стоимости доступных технических средств для каждого элемента системы. Есть возможность указать максимальную кратность (в том числе дробную кратность к из п) для элемента, в этом случае будет произведен предварительный расчет всех возможных вариантов элемента с учетом заданной кратности.

Модуль 2 предназначен для выбора критерия оптимизации: минимизация стоимости или максимизация надежности при ограничении на надежность снизу или на стоимость сверху соответственно.

Модуль 3 предназначен для автоматизированного решения задачи оптимизации надежности ССТС, с использованием данных, подготовленных в модулях 1,2. Основными результатами решения являются: элементный состав системы, результирующее значение оптимизируемого параметра (надежности или стоимости), значение ресурсного ограничения.

Рисунок 3. Общая структура разработанных алгоритмов

Для апробации предложенного метода оптимизации надежности был решена задача, впервые предложенная и решенная Fyffe (1968), а затем модифицированная Coit (1996). Эта задача использовалась для апробации методов и алгоритмов в большом количестве работ. Система состоит из 14 последовательно соединенных элементов, для каждого элемента задано до четырех различных вариантов, для каждого элемента допускается смешанное дублирование (максимальная кратность 4). Модифицированная постановка содержит 33 подзадачи с двумя ресурсными ограничениями: Сд — 130, W{) = 159,... ^зз =191. В каждой подзадаче требуется найти такой состав элементов, надежность которого при заданных ограничениях была бы максимальна. В первых 24 задачах активным является только одно ресурсное ограничение. Количество

вариантов при смешанном резервировании более 7.6 • 1033.

Прогедено сравнение решений, полученных предложенным методом, с результатами, полученными с помощью генетического алгоритма (Coit et al., 1996), и с результатами, полученными методом табу (Kulturel-Konak, 2002). Для сравнения результатов использовался показатель MP! = 100 • (Р - Рс )/(1 - Рс ), где Р - вероятность безотказной работы решения, найденного предложенным методом, Рс - вероятность безотказной работы решения, полученного генетическим алгоритмом (Coit eta!., 1996); методом поиска табу (Kulturel-Konak, 2002).

По сравнению с генетическим алгоритмом, как видно из рисунка 4, решения, полученные предложенным алгоритмом оптимизации, в большинстве случаев лучше, чем найденные с помощью генетического алгоритма, и в большинстве случаев совпадают с решениями, полученными методом поиска табу.

Таблица 2. Исходные данные для задачи

CI W1 PI С2 »2 Р2 сз W3 РЗ С4 W4 Р4

1 1 3 0.9 1 4 0.93 2 2 0.91 2 5 0.95

2 2 3 0.95 1 10 0.94 1 9 0.93 - -

3 2 7 0.85 3 5 0.9 1 6 0.87 4 4 0.92

4 3 5 0.83 4 6 0.87 5 4 0.85 - -

5 2 4 0.94 2 3 0.93 3 5 0.95 - -

6 3 5 0.99 3 4 0.98 2 5 0.97 2 4 0.96

7 4 7 0.91 4 8 0.92 5 9 0.94 -

8 3 4 0.81 5 7 0.9 6 6 0.91 - -

9 г 8 0.97 3 9 0.99 4 7 0.96 3 0.91

К) 4 6 0.83 4 5 0.85 5 6 0.9 -

11 3 5 0.94 6 0.95 5 6 0.96 - -

|2 2 4 0.79 5 0.82 4 6 0.85 5 7 0.9

13 2 5 0.98 3 5 0.99 2 6 0.97 - -

14 4 6 0.9 4 7 0,92 5 6 0.95 6 0.99

номер мс *о.1ны\данньм

• Лучии ■ Рино

■V"

номер нсхолных данных

Рисунок 4. Сравнение результатов, полученных предложенным методом, с результатами, полученными генетическим алгоритмом (слева) и методом поиска табу (справа).

Для апробации предложенного метода оптимизации надежности и методики моделирования и расчета надежности структур с дробной кратностью резервирования была решена задача оптимизации надежности из статьи D.W. Coit и A. Smith (1996). Система состоит из шести (л = 6) последовательно соединенных подсистем, функционирующих по принципу к-из- п . Для каждой подсистемы задано минимальное количество исправных элементов к, которое обеспечивает функционирование данной подсистемы (к, = 4, кг = 2, к3 = 1, к . = 1, А5 = 2, кь - 3). Максимально возможное количество элементов в одной подсистеме ограничено восемью п^ =8. В такой постановке возможно более 6.9х10"7 вариантов построения системы.

———— подсистемы >i

1 2 6

1 1 1

2 - 2 2

■

Iii - Пг П. -1

к, к, к.

Рисунок 5. Система, состоящая из подсистем, с дробной кратностью резервирования.

_______________^ __-— элементы К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4 0.98 0.93 0.73 0.72 0.71 0.70 0.66 0.62 0.60 0.35

2 2 0.93 0.92 0.89 0.86 0.84 0.81 0.61 0.43 0.39 0.34

3 1 0.94 0.88 0.85 0.76 0.73 0.62 0.60 0.59 0.34 0.31

4 1 0.93 0.67 0.63 0.62 0.62 0.48 0.41 0.41 0.39 0.32

5 2 0.95 0.95 0.90 0.86 0.67 0.66 0.64 0.54 0.38 0.38

6 3 0.96 0.85 0.84 0.76 0.75 0.66 0.65 0.61 0.50 0.48

Стоимость вариантов элементов для каждой подсистемы

11 оде исш м а,— ____-—Ги'Мсн [ 1.: К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4 95 86 80 75 61 45 40 36 31 26

2 2 137 132 127 122 100 59 54 41 36 30

3 1 118 113 108 59 54 49 45 35 30 25

4 1 149 84 74 69 64 58 38 31 26 21

5 2 131 120 103 93 60 43 36 31 26 21

6 3 149 104 96 79 45 40 35 30 25 20

Результат решения задачи оптимизации надежности:

Rs=0.708426 (Ro=0.708409) Cs=1235

гППп

Ч в f-

Н 6 ь г6 h И 4 h

Ч в h - 6 (--- -1 8 t

Ч 6 1- 1 6 ь Н 6 и

Ч 9 h ь в И

Ч 9 h

Ч 9 Р

Н 9 h Н 7 h Н 8 h

Ч 9 h Ч 7 [ Н 8 h

-Г9"> Ч 7 b Ч a h

Ч 9 Н kjy-

Ч 9 h -Г' г> |Ч 8 h

Ч 9 (- Ч 7 н 4 8 h

Ч 10 vJ

к4-1 к5~2 к6=3

Целевое значение вероятности безотказной работы: Д0 = 0.708409

Достигнутое значение вероятности безотказной работы: II, = 0.708426 Стоимость системы С, =1235

аналитические результаты 0.895322 0.976474 0.959656 0.948479 0.940208 0.946942

Сравнивая результаты, полученные предлагаемым методом, с результатами, полученными D.Coit и A. Smith, видим, что при одинаковой надежности, стоимость варианта, найденная предлагаемым методом, на 5.58 % меньше.

Дальнейшая апробация предложенного метода оптимизации надежности и методики моделирования и расчета надежности систем с сетевой структурой проводилась на задаче оптимизации надежности для полностью терминальной сети. На рисунке 6 показана сеть, состоящая из пяти абсолютно надежных узлов и семи коммуникационных каналов (Misra, Sharma, 1991).

_ с

Рисунок 6. Полностью терминальная сеть и СФЦее работоспособности.

Требуется найти такую конфигурацию сети и ее элементный состав, чтобы надежность передачи информации из любого узла в любой другой узел была бы максимальной при ограничении на стоимость.

X* = arg шах Rs

XiD

D'={X €D|C(X) < 15} Критерием работоспособности данной сетевой структуры является возможность обмена информации между любыми двумя узлами (8, 9, 10, 11, 12) сети. Тогда логический критерий функционирования для данной системы запишется следующим образом Ys=yiAy<)Ay\oAyUAy\2.

Исходные данные

j 1 2 3 4 5 6 7

X; (Ю-4) [1/час] 2.1 1.2 7.1 2.1 2.1 1.2 7.1

Ц, (10'3) [1/час] 1.0 2.5 3.4 4.5 3.7 4.0 5.0

С j [ye] 5 3 2 4 6 4 2

Г 8760 час.

Полученная с помощью ПК «АРБИТР» логическая функция работоспособности системы содержит 21 кратчайший путь успешного функционирования.

y;s. = (XI А.тб Ах2 Лдг4) V(*6 Лх2 ЛхЗ Лх4) V(*l Лхб Лх2 Лх5) V(x6 Лх2 ЛхЗ Лх5) V

V(r6 Л.г2 Лх5 Лх4) V(xl Лхб Лх2 Лх7) V(x6 Лх2 ЛхЗ Лх7) V(x6 Лх2 Лх4 Лх7) V

VOri Ллгб Лл-З Лд-4) V{jrl A.v6 ЛхЗ Лх5) V(xl Лхб ЛхЗ Лх7) V(xl Лхб Лх5 Лх4) V () ])

V(xl Лх2 Лх4 Лх7) V(xl ЛхЗ Лд;4 Лх7) V(xl A.v5 A.v4 Лх7) V(xl Лхб Лх4 Лх7) V

V(x2 ЛхЗ Лх4 Лх7) V(xl Лх2 Лх5 ЛхТ) V(x2 ЛхЗ Лх5 Лх7) V(x2 Лх5 Лх4 Лх7) V

V(xl ЛхЗ Лл-5 Лх7)

Соответствующий вероятностный многочлен состоит из 21 одночлена: Р(У) = р 1 рб р2 р4 + q 1 рб р2 рЗ р4 + р 1 рб р2 р5 q4 + + q 1 рб р2 рЗ р5 q4 + q I рб р2 q3 р5 р4 + pl рб р2 q5 q4 р7 + + ql рб р2 рЗ q5 q4 р7 + ql рб р2 q3q5 р4 р7 + pl p6q2 рЗр4 + + plp6q2p3p5q4 +plp6q2p3q5q4p7 + plp6q2q3p5p4 + (12)

+ pl q6 р2 р4 р7 + pl q6q2 рЗ p4 p7 + pl q6 q2 q3 p5 p4 p7 + + pl рбq2 q3 q5 p4 p7 + ql q6 p2 p3 p4 p7 + pl q6 p2 p5 q4 p7 + + q 1 q6 p2 p3 p5q4 p7 + q1 qfi p2 q3 p5 p4 p7 + pl qG q2 p3 p5 q4 p7 В статье Misra/Sliarma приведены результаты оптимизации, полностью совпавшие с результатами, полученными предложенным методом: оптимальный состав элементов системы (0,1,1,1,0,1,1); стоимость системы - 15 у.е.; коэффициент готовности системы -0,93420.

В следующем примере (см. рис.5) рассматривается сеть, состоящая из 11 абсолютно надежных узлов (1-10,100) и 20 коммуникационных каналов (pj = 0.9,с',- указана на соответствующем ребре). Требуется найти конфигурацию сети и ее элементный состав, чтобы надежность передачи информации из любого узла в любой другой узел была бы не ниже Ps >0.9 при минимально возможной стоимости Су.

Q(z)->min; D с А\

XeD /[^ч

D = {X еА/Р(х)> 0.9}

Логический критерий функционирования сети:

Yx = у] Лу2 ЛуЗ Лу4 Лу5 Луб Ayl Лу8 Ау9 Л_>-10 Л_у100.

Логическая функция работоспособности системы содержит 30976 кратчайших путей успешного функционирования. Вероятность безотказной работы варианта построения сети, отображенного на рисунке4: Ps =0.993995, Cs =605.

Решение, полученное с помощью логико-вероятностиого алгоритма оптимизации надежности систем сетевой структу ры: оптимальный состав системы (11,12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,33,50,51); стоимость системы - 345; надежность - 0,901961.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совокупность сформулированных я обоснованных в диссертационной работе положений, а также ее практические результаты представляют собой решение актуальной научно-технической задачи оптимизации надежности структурно-сложных технических систем на стадии проектирования. Получены следующие научные и практические результаты:

1. Проведены исследования современного состояния проблемы анализа, моделирования и оптимизации надежности структурно-сложных систем на стадии проектирования. Определены основные особенности структурно-сложных технических систем как объектов моделирования, оценки и оптимизации надежности. Обоснован выбор технологии автоматизированного структурно-логического моделирования и общего логико-вероятностного метода для моделирования, расчета и оптимизации показателей надежности структурно-сложных систем на стадии проектирования.

2. Разработана новая методика моделирования и расчета надежности систем с дробной кратностью резервирования, работающих по принципу кизп, отличающаяся тем, что в явном виде непосредственно по логической функции строится расчетная вероятностная функция, но, несмотря на это, вычислительная сложность алгоритма близка к существующим рекуррентным алгоритмам расчета. Построение многочлена для расчета надежности позволяет использовать данную методику, в отличие от других, для оценки вкладов отдельных элементов в надежность всей системы.

3. Разработана новая методика, позволившая проводить моделирование и расчет надежности полностью терминальных сетевых структур на основе логико-вероятностного метода, с применением аппарата схем функциональной целостности. Для решения этой задачи логико-вероятностным методом выполняется доопределение системы логических уравнений дополнительным уравнением.

4. Разработан новый метод оптимизации надежности с ресурсным ограничением для структурно-сложных систем на стадии проектирования. Метод представляет собой модификацию жадного алгоритма, что позволяет для данного класса задач существенно повысить скорость получения решений. Обоснована возможность применения данного метода для данного класса задач оптимизации. Метод позволяет решать все основные типы задач оптимизации надежности

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Скворцов М.С. Проблемы обеспечения показателей надежности при проектировании автоматизированных систем управления технологическими процессами.// В сб.: Материалы II международной научно-практической конференции, ч.1.- Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2002,-бс.

2. Скворцов М.С. Применение ПК АСМ для обоснования надежности АСУТП на стадии проектирования. В сб.: Материалы 111 международной научно-практической конференции, Ч.1.- Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2003. С. 4-6.

3. Скворцов М.С. Метод технико-экономического обоснования проектных решений АСУТП с учетом надежности и стоимости.// Труды международной научной школы: "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (МА БР - 2003). СПб: «Бизнес-Пресса», 2003 г, С.337-344

4. Скворцов М.С. Метод техннко-экономического обоснования (выбора) проектных решений многофункциональных структурно-сложных технических систем на основе многокритериального расчета по стоимостному и надежностному критериям.// Труды международной научной школы: "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (МА БР - 2006). СПБ, ИПМ РАН, 2006 г. С.347-353

5. Скворцов М.С. Результаты разработки методов техннко-экономичсского обоснования обеспечения надежности структурно-сложных технических систем.// Труды международной научной школы: "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (МА БР - 2007). СПБ, ГУАП, 2007 г. CJ77-183

6. Скворцов М.С. Методы технико-экономического обоснования обеспечения надежности структурно-сложных технических систем.// Журнал «itech - интеллектуальные технологии» №7, октябрь 2007, С. 65-70

7. Мусаев A.A., Скворцов М.С. Методы параметрической оптимизации надежности структурно-сложных технических систем // Труды СПИИРАН. 2008. Вып. 6. СПб.: Наука, 2008. С.44-50

8. Скворцов М.С. Решение задачи оптимизации надежности с помощью метода логико-вероятностных вкладов.// Журнал: "Надежность" - 2009, № 2, С. 15-29

8. Можаев A.C., Струков A.B., Скворцов М.С. Применение автоматизированного структурно-логического моделирования для проектного расчета АСУ.//Журнал "Нефть. Газ. Инновации" - 2010, № 9

9. Скворцов М.С. Методика моделирования и расчета надежности технических систем с сетевой структурой для решения задач оптимизации надежности//Труды международной научной школы: "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (МАБР - 2011) / СПб.: ГУАП, 2011, С. 154-160

10. Скворцов М.С. Методика оптимизации надежности систем с сетевой структурой // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 16. С. 231-242

Подписано в печать 22 сентября 2011 года. Формат 60x84 1/16.

Усл. Печ. Л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1877 Отпечатано в цифровом копировальном центре «Средний-28» 199004, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., 28. Тел.: (812) 323-40-44

Сокращения и определения основных понятий.

Введение.

Положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Постановка задач разработки методических основ оптимизации надежности структурно-сложных систем на стадии проектирования.

1.1 Особенности проектируемых технических систем как объектов оптимизации надежности.

1.2 Формы.задач оптимизации надежности ССТС.

1.3 Выбор метода моделирования и расчета показателей надежности структурно сложных систем.

1.3.1 Метод параллельно-последовательного расчета.:. 1.3.2 Метод марковского моделирования.

1.3.3 Метод деревьев отказов.

1.3.4 Логико-вероятностные методы расчета надежности.

1.4 Анализ существующих методов и алгоритмов оптимизации надежности.

1.4.1 Критерии оценки качества оптимизационных методов.:.

1.4.2 Методы и алгоритмьтоптимизациинадежности.

1.4.3 Эвристические алгоритмы решения;задачи оптимального резервирования и распределения надежности.

1.4.4 Метаэвристические методы и алгоритмы решения задачи оптимального резервирования и распределенияшадежности.:.

1.4.5 Точные методы; и алгоритмы.

1.5 Постановка задач оптимизации надежности ССТС.

1.5.1 Общая часть постановки задач оптимизации надежности.

1.5.2 Постановка задачи оптимального кратного резервирования.

1.5.3 Постановка задачи оптимального распределения надежности.

1.5.4 Постановка задачи комплексной оптимизации надежности.

1.6 Выводы по главе 1.

Глава 2. Разработка методик анализа и расчета надежности систем с сетевой структурой и систем с дробной кратностью резервирования.

2.1 Постановка задачи моделирования и расчета показателей надежности для систем с дробной кратностью резервирования и систем с сетевой структурой.

2.2 Анализ методов и подходов к моделированию и расчету надежности комбинаторных систем.

2.3 Разработка методики расчета надежности систем с дробной кратностью резервирования.

2.4 Разработка методики расчета всетерминальной меры надежности структуры с сетевой структурой.

2.5 Выводы по главе 2.

Глава 3. Разработка теоретических основ метода решения задачи оптимизации надежности технических систем на стадии проектирования

3.1 Разработка общих положений метода решения задач оптимизации надежности технических систем на стадии проектирования.

3.2 Алгоритм решения задачи оптимизации надежности.

3 .3 Выводы по 'главе 3 .:.

Глава 4. Разработка практических методик решения задачи оптимизации надежности на стадии проектирования .:.

4:1 Задание нормативных значений показателей надежности систем.

4.2 Разработка методик применения метода для различных классов задач оптимизации надежности.:.

4.2.1 Разработка методики решения задач оптимального кратного резервирования.

4.2.2 Разработка методики решения задач оптимального распределения надежности;.

4.2.3 Разработка практической методики решения;комплексной задачи1 оптимизации надежности.

4.3 Разработка практической методики решения задач оптимизации надежности технических систем сетевой структуры.

4.4 Программная реализация методик решения задач оптимизации надежности технических систем.

4.5 Выводы по главе 4.

Оптимизация надежности разрабатываемых структурно-сложных технических систем (ССТС) является одним из ключевых методов повышения качества их проектирования. Решение целого ряда задач выбора, возникающих в процессе проектирования, ССТС, затруднено отсутствием научно обоснованных разработок методов, алгоритмов, методик и программных средств оптимизации надежности при наличии; ресурсного ограничения; Примерами; могут служить задачи оптимального выбора- элементов! из; множества возможных вариантов; для разрабатываемой ССТС, определения состава ее элементов и/или кратности их резервирования.

Выполненный в ходе диссертационного исследования- анализ существующих на данный; момент основных алгоритмов и методик оценки надежности и оптимизации сложных технических систем выявил ряд серьезных ограничений существующего уровня их теоретической разработки и практического использования:

- существующие методы и алгоритмы не удовлетворяют требованиям быстродействия и точности оптимизации надежности на стадии, проектирования для технических систем,средней и большой размерности; большинство разработанных в последние годы методов и алгоритмов являются эвристическими (или метаэвристическими) и не всегда гарантируют нахождение точного оптимального решения;

- существующие методы, алгоритмы, ^программные средства не позволяют учесть ряд^ важных особенностей современных системных объектов щ.прежде всего; их высокой: структурнойсложности и большой размерности;

Актуальность темы; В последние годы наблюдается устойчивая тенденция усложнения проектируемых существующих технических систем. Сложность проектируемых технических систем, в основном, вызвана увеличением числа входящих в их состав подсистем и объектов, а также ростом числа внутренних связей, что проявляется в виде структурной и , функциональной сложности. Одно из главных требований, предъявляемое к современным сложным техническим системам, - это надежность их функционирования. В настоящее время проектные расчеты надежности разрабатываемых структурно-сложных технических систем (ССТС) ориентированы, в основном, только на выполнение соответствующих нормативных требований и не позволяют научно обоснованно оптимизировать экономические затраты на принимаемые технические решения.

В настоящее время для расчета надежности и безопасности ССТС разработаны специальные логико-вероятностные методы [23, 34] и программные средства [2], которые находят все более широкое практическое применение. Поэтому актуальной является разработка такого метода, который позволит автоматизировать процессы решения задачи технико-экономической оптимизации надежности проектируемых систем большой размерности и высокой структурной сложности. Проблема оптимизации проектной надежности структурно-сложных технических систем (ССТС) последние годы существенно обострилась как в отечественной науке и промышленности, так и за рубежом. Это обусловлено несколькими причинами, среди которых можно выделить три основные:

1. Постоянно возрастающие требования практики в увеличении уровня надежности разрабатываемых ССТС при одновременном стремлении к более рациональному использованию имеющихся ресурсов.

2. Постоянно растущая номенклатура составных элементов и усложнение структур систем приводят к большой размерности и множественности возможных вариантов структурного построения ССТС, что дополнительно усложняет решение задач оптимизации надежности при наличии ограничений.

3. Постоянно возрастающая структурная сложность современных ССТС, что дополнительно усложняет построение математических моделей анализа и расчета показателей надежности.

Первая из указанных причин требует применения методов оптимизации структуры и элементного состава для обеспечения требуемой надежности проектируемых систем ССТС при наличии ресурсных ограничений. В качестве ресурсного ограничения может выступать стоимость, вес, объем и др. Вторая причина приводит к тому, что практическая оптимизация ССТС возможна только на основе автоматизированных методов моделирования и расчета надежности. Третья причина приводит к необходимости использования таких методов моделирования и расчета надежности, которые позволяют учесть структурную сложность ССТС.

Анализ современного состояния автоматизированных методов моделирования и расчета надежности показал, что на данный момент только логико-вероятностные методы позволяют строить математические модели, которые в полной мере позволяют учесть структурную сложность современных технических систем. Анализ современного состояния исследований задач оптимизации надежности ССТС при проектировании показал, что к настоящему времени разработано много методов, алгоритмов и методик их решения. Вместе с тем, большинство разработанных методов и алгоритмов часто не могут в полной мере учитывать структурную сложность и размерность современных ССТС.

Таким образом, в настоящее время актуальность приобретает комплексное решение задачи оптимизации надежности на стадии проектирования, позволяющее в полной мере учесть структурную сложность и размерность современных ССТС, на базе дальнейшего совершенствования и развития существующего научно-методического аппарата, разработанного в логико-вероятностных методах математического моделирования, теории оптимизации и системном анализе.

Решение указанных частных задач осуществлено в диссертации путем обоснования выбора общего логико-вероятностного метода (ОЛВМ) анализа надежности высокоразмерных структурно-сложных систем и разработки на его основе нового алгоритма и специальных методик решения задач оптимизации надежности ССТС.

Цель работы и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является повышение качества проектирования структурно-сложных технических систем за счет разработки и применения на практике нового метода, алгоритма и методик решения задач оптимизации проектной надежности.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Анализ методов моделирования и расчета показателей надежности структурно-сложных технических систем. Обоснован выбор' логико-вероятностных методов и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования для анализа и моделирования-надежности ССТС.

2. Разработка нового метода решения задачи оптимизации' надежности на стадии проектирования, обеспечивающего учет структурной сложности и большой размерности ССТС.

3. Разработка методик моделирования и расчета показателей надежности сетевых структур и структур, функционирующих по принципу "к из п".

4. Разработка алгоритма и методики решения задач оптимального резервирования, параметрической оптимизации- надежности и комплексной задачи оптимизации надежности, основанных на использовании разработанного метода решения задач оптимизации.

5. Программная реализация разработанного алгоритма решения задач оптимизации надежности.

Методы исследования. При проведении исследований использовались следующие научные теории и методы: методы системного анализа, логико-вероятностные методы, методы оптимизации, методы математического программирования, теория вероятностей, теория надежности систем.

Научная новизна предлагаемой диссертации состоит в следующем:

1. Разработан новый метод решения задачи оптимизации надежности ССТС на этапе проектирования, обеспечивающий учет их структурной сложности и большой размерности.

2. Разработана новая методика, позволившая проводить моделирование и расчет показателей надежности полностью терминальных сетевых структур на основе логико-вероятностного метода и графического аппарата схемфункциональнойцелостности.

3. Разработана новая методика, моделирования и расчета показателей надежности1 структур с дробной кратностью резервирования;, функционирующих по: принципу "к из п", отличающаяся тем, что позволяет в явном виде получать многочлен вероятностной функции.

4. Разработан алгоритма и; методики решения задач оптимального резервирования; параметрической оптимизации- надежности и общей задачи оптимизации надежности, основанных на использовании разработанного алгоритма оптимизации:

5. Выполнена программная реализация разработанных алгоритма5 и методик решения задач оптимизации надежностшССТС.

Обоснованность и < достоверность научных положений, основных выводов и результатов диссертации обеспечивается? анализом состояния исследований в данной области .на, сегодняшний день. Корректность разработанного метода и алгоритма подтверждается согласованностью результатов, полученных при практической реализации метода и алгоритма, а также апробацией основных теоретических положений диссертации* в печатных трудах, и докладах на научных конференциях.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные научные и практические результаты диссертационного исследования могут непосредственно использоваться и использовались в организациях промышленности для оптимизации надежности при проектировании структурно-сложных технических систем различных видов, классов и назначения.

Предложенный метод позволяет решать задачи оптимизации надежности в различных постановках, причем за счет предложенных методик анализа и моделирования надежности структур с дробной кратностью резервирования, работающих по принципу "к из п", и систем с сетевой структурой, снято значительное количество ограничений, связанных со структурой, оптимизируемой технической системы.

Разработанный метод оптимизации надежности, относящийся к классу жадных алгоритмов, позволяет решать задачи^ оптимизации надежности* с хорошей точностью, обеспечив при этом значительный рост скорости'получения решения.

Основные результаты данной работы реализованы:

1. В виде* отдельного, программного модуля^ в программном комплексе "АРБИТР", предназначенном- для автоматизированного структурно-логического моделирования > и расчета надежности и безопасности ССТС, разработанном в ОАО «Специализированная инжиниринговая компания Сев-запмонтажавтоматика» («СПИК.СЗМА»).

Апробация работы осуществлена на международных научно-практических конференциях «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных неэкономических процессах» (2002), «Моделирование. Теория, методы и средства» (2003), четырех заседаниях международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» (2003, 2006, 2007, 2011).

Публикации. Основные результаты по * материалам диссертационной работььопубликованы в 10 печатных трудах [25, 36-44], из которых две статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ («Надежность», «Труды СПИИРАН»).

Структура и объем работы. Диссертация объемом 124 машинописных страницы содержит введение, четыре главы и заключение, список литературы (103 наименования), 19 таблиц, 24 рисунка, одно приложение с копиями актов внедрения.

4.5 Выводы по главе 4

На основе предложенного метода решения задачи оптимизации надежности были разработаны практические методики решения основных видов задач оптимизации надежности структурно-сложных систем на стадии проектирования:

1. Методика решения задачи оптимального кратного резервирования;

2. Методика решения задачи оптимального распределения надежности;

3. Методика решения комплексной задачи оптимизации надежности;

4. Методика решения задачи оптимизации надежности технических систем с сетевой структурой.

Основные положения всех методик реализуются при помощи следующей последовательности действий.

1. На основе структурной; схемы строится СФЦ ее работоспособности (безотказности), на которой; задается логический критерий успешного функционирования;. 1

2: При помощишрограммногокомплекса5 АБРИТР'выполняется решение системы логических! уравнений- длягзаданного,критерия: успешного .функци они-рования, а затем строится расчетный вероятностный многочлен.

3. Для каждого« элемента системы задается набору вариантов технических; средств с различными показателями надежности и стоимости;

4. Для каждого -элемента-производится формирование, вычисление надежности и стоимости, а затем сортировка вариантов по возрастанию вероятности безотказной, работы или по стоимости, в зависимости от ограничения.

5. С помощью! разработанного метода, решения задачи оптимизации» надежности определяется состав элементов системы, оптимизирующий требуемый показатель (надежность или стоимость) при^заданномюграниченииг. Различия каждой из методик проявляется на этапах 3 и 4, так как для; разных типов задач оптимизации задание вариантов технических средств для элемента, и формирование самих вариантов элементов различно.

Работоспособность разработанных практических методик подтверждена решением примеров и сравнением результатов. В большинстве случаев результаты,, полученные предложенными; методиками^ не хуже или превосходят результаты^ полученные генетическими и другими метаэвристически-ми алгоритмами.

Заключение

Оптимизация надежности разрабатываемых структурно-сложных технических систем (ССТС) является одним из ключевых методов повышения качества их проектирования. Выполненный в ходе диссертационного исследования анализ существующих на данный момент основных алгоритмов и методик оценки надежности и оптимизации сложных технических систем выявил ряд серьезных ограничений существующего уровня их теоретической1, разработки и практического использования: существующие методы и алгоритмы не удовлетворяют требованиям быстродействия и точности оптимизации, надежности на стадии проектирования для технических систем средней и большой размерности; существующие методы, алгоритмы, и' программные средства- не позволяют учесть,ряд важных особенностей современных системных объектов и, прежде всего, их высокой структурной сложности и большой размерности.

В настоящей диссертации изложены научно обоснованные теоретические разработки метода решения задачи оптимизации надежности структурно-сложных технических систем на стадии проектирования, позволяющего-снять указанные выше ограничения. Настоящее исследование включает в себя следующие основные научные и практические разработки.

1. Выполнен анализ существующих методик расчета показателей надежности технических систем, который показал что логико-вероятностные методы в большей степени, чем другие, способны учесть особенности современных структурно-сложных технических систем.

2. Выполнена, постановка задач разработки метода и частных методик решения задач оптимизации надежности структурно сложных систем:

Задача разработки методик моделирования и расчета показателей надежности структур с дробной кратностью резервирования и систем с сетевой структурой;

Задача разработки методик решения задач оптимального кратного резервирования (redundancy allocation problem), оптимального распределения надежности (reliability allocation problem), комплексной оптимизации надежности (redundancy-reliability allocation problem).

3. Осуществлена разработка теоретических основ метода решения задачи оптимизации надежности технических систем на стадии, проектирования, включающая» в-себя:

- Общие теоретические положения метода решения задачи оптимизации надежности технических систем на стадии проектирования;

- Метод и ¡алгоритм решения.задачи оптимизациинадежности;

- Методику моделирования и» расчета надежности* систем с дробной кратностью резервирования; работающих по принципу "к из п";

- Методику моделирования и расчета надежности систем с сетевой структурой.

4. G помощью предложенного метода разработаны, практические методики решения для'различных классов! задач оптимизации надежности проектируемых систем:

- Методика решения задачи оптимального кратного резервирования;

- Методика решения задач оптимального распределения надежности;

- Методика решения комплексной задачи оптимизации надежности. Полученные в ходе исследования новые научные и практические результаты доведены до программной реализации и внедрены в программный комплекс автоматизированного структурно-логического моделирования- надежности и безопасности систем» «АРБИТР», предназначенного для автоматизированного расчета безопасности и технического риска. Практические результаты работы использовались компанией ОАО «СПИК СЗМА» в ходе проектирования АСУТП по заказам организаций промышленности РФ. Научные и практические результаты работы использованы на ООО «ПО Киришинефтеоргсинтез» при выполнении проектных расчетов надежности автоматизированных систем управления технологическими процессами (раздел «Проектная оценка надежности» в составе проектной документации)»:

- проект 08.055.6-Ю-АТХ.ОН «Автоматизированная система управления технологическими процессами объектов, управляемых из операторной товарной базы спецпродуктов и светлых нефтепродуктов, объект 872-22»;

- проект 09.042.6-10-АТХ.СШ «Автоматизированная система управления технологическими процессами объектов 862-45/1', 2, 3, 4»;

- проект 09.045.6-Ю-АТХ.ОН*«Автоматизированная<система управления технологическими процессами объектов 860-05/105.1, 860-05/116»;

- проект 09.045.6-10-АТХ.ОН «Комплекс установки тактового налива светлых нефтепродуктов. Подключение объектов 910-61, 910-62, 910-66, 91066/1, 910-33 и 930-01 к АСУТПоб. 872-22».

Программная реализация метода решения задачи оптимизации надежности использована специалистами исследовательского отдела ОАО «Специализированная инжиниринговая компания «Севзапмонтажавтоматика» и специалистами отдела консалтингового центра комплексной безопасности ЗАО «ТЕЛРОС» в ходе выполнения, НИР «Исследование возможности применения ОЛВМ, технологии автоматизированного структурно-логического моделирования и программного комплекса «АРБИТР» для анализа комплексной безопасности (надежности) систем водоснабжения» и водоотведения» (шифр «НКБР-Водоканал»).

Полученные в ходе исследования результаты, в совокупности, составляют решение главной научной задачи - «разработки метода и практических методик решения задачи оптимизации надежности структурно-сложных технических систем на стадии проектирования» и соответствуют теме диссертации «Метод оптимизации надежности структурно-сложных технических систем на стадии проектирования».

1. J1.H. Александровская, И.З. Аронов, А.И. Елизаров и др.; Под ред. В1П. Соколова. Статистические методы анализа безопасности сложных технических систем:. -М;: Логос, 2001. -232с. .

2. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. — М: Радио и связь, 1988. 128 с.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И., Математические методы моделирования экономических систем, М.: Финансы и статистика, 2006. — 432с.

4. Васильев Ф.П., Методы оптимизации. М:: Издательство «Факториал Пресс», 2002. - 824 с.

5. Викторова B.C., Кунтшер X., Петрухин Б.П., Степанянц A.C. Relex -программа анализа надежности, безопасности, рисков. // «Надежность», №4(7), 2003, С.42-64.

6. Гладкова И.А. Детерминированные разделы общего логико-вероятностного метода. //"Труды второй международной научной школы "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" .МА БР 2010. СПб.: Издательство "Бизнес-Пресса, 2010. С. 453-460.

7. ГОСТ 24.701-86 Надежность автоматизированных систем управления, 11с.

8. ГОСТ 27.001-95 Система стандартов «Надежность в технике», М.: ИПК Издательство стандартов, 2002. - 271с.

9. И. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. М.: ИПК Издательство стандартов, 2002. - 24с.

10. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации, М.:Наука, 1982, 432С.

11. Карманов В.Г. Математическое программирование, М.:Изд-во физ.-мат. литературы, 2004.

12. Ковалев1 М.М. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование). М.: Едиториал УРСС, 2003. - 192 с.

13. Код «РИСК» для выполнения стандартных вероятностных расчетов. М.:ОЦРК, http://www.insc.ru/PSA/risk.html

14. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Глава 16. Жадные алгоритмы// Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова — 2-е изд. — М.: Вильяме, 2005. — 1296 с

15. Литвак Е.И. Обобщенное преобразование треугольник-звезда при исследовании свойств сложных сетей. Изв. АН СССР. «Техн. кибернетика», 1981, №1.

16. Омега", 2001, с.56-61. (Свидетельство об официальной регистрации № 2003611099. М.: Роспатент РФ, 2003).

17. Можаев A.C., Громов В.Н. Теоретические основы общего» логико-вероятностного метода автоматизированного моделирования систем. СПб. ВИТУ, 2000. -145с.

18. Можаев A.C. Автоматизация моделирования» систем ВМФ. Учебник для слушателей* BMA. Часть 2. Автоматизированное структурно-логическое моделирование систем. BMA, СПб, 2006. — 577с.

19. Можаев A.C. Общий1 логико-вероятностный'метод анализа надежности сложных систем. Уч. пос. Л.: BMA, 1988. 68с.

20. Мусаев A.A., Скворцов М.С. Методы параметрической оптимизации надежности структурно-сложных технических систем. // Труды СПИИРАН, СПб.: НАУКА, 2008, С. 44-50.

21. Павлов А.Н: Исследование структурной надежности П-сетей с независимыми и зависимыми отказами» элементов // Труды СПИИРАН: 2009. Вып. 11. С. 81-91.

22. Павлов-А. Н. Исследование генома двухполюсной сетевой структу-ры//Труды IX Международной научной школы МА БР-2009 «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах», Санкт-Петербург, 7-11 июля 2009 г. СПб.: ГУАП, 2009. С. 429^134.

23. Половко A.M., Гуров C.B. Основы теории надежности, Спб.: «БХВ-Петербург», 2006. - 704 с.

24. РД 50-476-84. Надежность в технике. Интервальная оценка надежности технического объекта по результатам испытаний составных частей. Общие положения.

25. Руденко Ю.Н., И.А. Ушаков Надежность систем энергетики, Наука. Сиб. Отд-ние, 1989. -323с.

26. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. - 276 с.

27. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н., Логико-вероятностные методы исследования надежности'структурно-сложных систем. М.: Радио и связь, 1981, с.ЗЗ. 263с.

28. Скворцов М^С. Применение ПК АСМ для обоснования надежности АСУТП на стадии проектирования. В»сб:: Материалы III-международной,научно-практической^ конференции^ ч.1.- Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2003. С. 4-6:

29. Скворцов М.С. // Труды, междунар о дно й научной школы: "Моделирование и анализ безопасности и,риска в сложных системах" (МА БР 2003). СПб: «Бизнес-Пресса», 2003 г, С.337-344.

30. Скворцов М.С. Методы технико-экономического обоснования обеспечения надежности структурно-сложных технических систем.// Журнал «itech интеллектуальные технологии» №7, октябрь 2007, С. 65-70.

31. Скворцов М.С. Решение задачи оптимизации надежности с помощью метода логико-вероятностных вкладов.// Журнал: "Надежность" 2009, № 2, С. 15-29.

32. Скворцов М.С. Методы параметрической оптимизации надежности структурно-сложных технических систем // Труды СПИИРАН / С.Петербург. Ин-т информатики'и автоматизации РАН; Вып.6. СПб.: Наука, 2008, С. 44-50.

33. Скворцов М.С. Методика оптимизации надежности систем с сетевой структурой // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 16. С. 231-242.

34. Соложенцев Е.Д. Управление риском и эффективностью в экономике. Логико-вероятностный подход. — СПб., 2009. 259с.

35. Соложенцев Е.Д. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике. 2-е изд. СПб.: Бизнес-пресса, 2006. 560с.

36. Соложенцев Е.Д., Алексеев В.В., Логико-вероятностное моделирование риска портфеля ценных бумаг // Информационно-управляющие системы, 2007, №6(31), с. 49-56.

37. Соложенцев Е.Д., Карасев В.В. Логико-вероятностные модели риска в бизнесе с группами несовместных событий // Экономика и математические методы. 2003. - № 1. - С. 90-105.

38. Хенли Э. Дж., Кумамото X. Надежность технических систем и оценка риска. М. Машиностроение, 1984, 528С.

39. Хохлов Н.В. Управление риском. Учеб. Пособие для вузов. — М. ЮНИТА-ДАНА, 2001. 239с.

40. Черкесов Г.Н., Надежность аппаратно-программных комплексов. Учебное пособие. СПб: Питер, 2005. - 479с.

41. Arulmozhi, G. (2002), Exact equation and an algorithm for reliability evaluation of k-out-of-n: G system, Reliability Engineering and System Safety, 78, 8791

42. Balas E. Branch and bound/implicit enumeration 185-192 // Annals of Discrete mathematics 5. Ed.: P.L. Hammer, E.L. Johnson, B.H. Korte, North-Holland publishing company, 1979

43. Ball M.O., Colbourn C.J., and Provan J.S. Network reliability. Handbook of Operations Research: Network Models, pp. 673—762, Elsevier North-Holland, 1995.

44. Barlow R.E, Heidtmann K.D, Computing k-out-of-n system reliability. IEEE Transactions on reliability, Vol. 33, 1984

45. Coit D.W., Smith A.E. "Solving the redundancy allocation problem using a combined neural network/genetic algorithm approach", Computers Ops Res. Vol. 23, No. 6, pp. 515-526, 1996.

46. Coit D.W., Smith A., "Reliability optimization of series-parallel systems using a genetic algorithm", IEEE Trans. Reliability, vol. 45, no.2 pp. 254-260, June 1996.

47. Coit D.W, Smith A., "Penalty guided genetic search for reliability design optimization", Computers and Industrial engineering, vol. 30, no. 4, pp. 895-904, September 1996.

48. Dengiz В., Altiparmak F., Smith A.E. Efficient optimization of all-terminal reliable networks, using an evolutionary approach, IEEE Transactions on reliability, Vol. 46, No. 1, 1997

49. Dhillon B.S., Reliability in computer system design, Ablex Publishing Corporation, Norwood, N.J., p.90-99, 1987. -282p.

50. Dinghua S., "A new heuristic algorithm for constrained redundancy-optimization in complex systems", IEEE Trans. Reliability, vol. R-36, no.5, pp. 621-623, 1987.

51. Dorigo M., Stutzla T., The ant colony optimization metaheuristics: algorithms, applications and advances. //Handbook of metaheuristics, Kluwer Academic Publishers. 2003, pp. 251-286.

52. Dutuit, Y., Rauzy A. (2001), New insights: into the assessment o k-out-of-n and'related systems, Reliability Engineering and System Safety 72, 303-314.

53. Fyffe D.E., Hines W.W., Lee N.K., "System reliability allocation-and computational ! algorithm", IEEE Trans. Reliability, vol. R-17, no. 2, pp.64-69, June 1968.

54. Gen M., Cheng R., "Genetic algorithms and engineering design", John Wiley & Sons, 1997.

55. Gendreau M., An introduction to tabu search. //Handbook of metaheuristics, Kluwer Academic Publishers. 2003, pp. 35-54.

56. Glover F., Laguna M., "Tabu search": Kluwer Academic Publishers, 1997.

57. Heidtmann K.D., Improved method of inclusion-exclusion applied to k-out-of-n system: IEEE Transactions on reliability, Vol. 31, No. 1, 1982

58. Henderson D., Jacobson S., Johnson A., The theory and practice of simulated annealing. //Handbook of metaheuristics, Kluwer Academic Publishers.

59. Huang J.H., Zuo M.J., Wu Y., Generalized Multi-state k-out-of-n:G systems. IEEE Transactions on reliability, Vol. 49, No. 1, 2000

60. Jeroslow R. An introduction to the theory of cutting-planes 71-95 // Annals of Discrete mathematics, 5. Ed.: P.L. Hammer, E.L. Johnson, B.H. Korte, North-Holland publishing company, 1979

61. Jianping L., A bound heuristic algorithm for solving reliability redundancy optimization, Microelectronics and Reliability, vol. 3, no. 5, pp. 335-339, 1996.

62. Jin T., Coit D.W. Approximating network reliability estimates using linear and quadratic unreliability of minimal cuts. Reliability Engineering and System Safety vol. 82, pp. 41-48, 2003.

63. Kohda T., Inoue K. A reliability optimization method for complex systems with the criterion of local optimality, IEEE Trans. Reliability, vol. R-31, no. 1, pp. 109-111, 1982.

64. Koucky, M. (2003), Exact reliability formula and bounds for general k-out-of-n systems, Reliability Engineering and" System Safety, 82, 229-231.

65. Koza J.R., Genetic programming: automatic synthesis of topologies and numerical parameters . //Handbook of metaheuristics, Kluwer Academic Publishers. 2003, pp. 83-104.

66. Kuo W., Fellow, IEEE, and V. Rajendra Prasad, "An annotated overview of system-reliability optimization", IEEE Trans. Reliability, vol. 49, no. 2, pp.k 176187, 2000.

67. Kuo W., Zuo M.J. Optimal Reliability Modeling: Principles and Applications. Wiley, 2002

68. McGrady P.W., The availability of a k-out-of-n:G network. IEEE Transactions on reliability, Vol. 34, No. 5, 1985

69. Misra K.B., Handbook of perfomability engineering, Springer, 2008, pp.503-506, 1316p.

70. Misra K.B. "An algorithm to solve integer programming problems arising in system reliability design", IEEE Trans. Reliability, vol. 40, no. 1, pp. 81-91, 1991.

71. Misra K., Misra V. "A procedure for solving general integer programming problems", Microelectronic and reliability, vol. 34, no. 1, pp. 157-163, 1994.

72. Misra K.B., Sharma U., "An efficient algorithm to solve integer programming problems arising in system reliability design", ШЕЕ Trans. Reliability, vol. 40, no. 1, pp.81-91, 1991.

73. Nakagawa Y., Miyazaki S., "An experimental comparison of the heuristic methods for solving reliability optimization problems", IEEE Trans. Reliability, vol. R-30, pp. 156-161, 1977.

74. Nakagawa Y., Miyazaki S., "Surrogate constraints algorithm for reliability optimization problem with two constraints", IEEE Trans. Reliability, vol. R-30,' pp. 175-180; June 1981.

75. Ravi V., Murty В., Reddy P., "Nonequilibrium simulated-annealing algorithm applied reliability optimization of complex systems", IEEE Trans. Reliability, vol. 46, pp.* 233-239, June 1997.

76. Reeves G., Genetic algorithms. //Handbook of metaheuristics, Kluwer Academic Publishers. — 2003', pp. 55-82.

77. Risk Spectrum PSA Professional 1.20 / RELCON AB, 19981 57p.

78. Ryabinin I. A. Reliability of engineering systems. Principles and1 analysis. M.: Mir, 1976.

79. Sahinoglu, M. and Rice, B. Network reliability evaluation. Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics, Vol.2, 2010, pp. 189-211, March/April 2010.

80. Shapiro J.F. A survey of lagrangian techniques for discrete optimization — 113-138 // Annals of Discrete mathematics 5. Ed.: P.L. Hammer, E.L. Johnson, B.H. Korte, North-Holland publishing company, 1979

81. Sharif! M. et al. Real time study of a k-out-of-n systems: n identical elements with increasing failure rates, Iranian journal of operations research, Vol. 1, No. 2, 2009, pp. 56-67

82. Sun X.L., McKinnon K.I.M., Li D. A convexification method for a class of global optimization problems with applications to reliability optimization. Journal of Global Optimization Volume 21, Number 2, 185-199,

83. Systems analysis programs for hand-on integrated reliability evaluations (SAPHIRE) Version 7.0 (http://www.saphire.inel.gov). Reference manual.

84. Tillman F.A., Hwang C.L., and Kuo W., "Reliability optimization by generalized Lagrangian function and reduced gradient methods", IEEE Trans. Reliability, vol. R-28, no.4, pp. 316-320, 1979.

85. Wood R.K. Factoring Algorithms for computing K-terminal network reliability, IEEE Transactions on reliability, vol. 35, No.3, 1986

86. Wu, J. S., Chen, R. J Efficient Algorithms for k-out-of-n and consecu-tive-weighted-k-out-of-n:F system, IEEE Transactions on reliability, vol. 43, No. 4, 1994

87. Yeh F., Lu S., Kuo S. OBDD-based evaluation of k-terminal network reliability, IEEE Transactions on reliability, Vol.51, No.4, 2002