автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод и алгоритм инвариантной обработки сигналов

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

<4^ ^

Ь '' Національна академія наук України

На правах рукопису

ОІЛШОНОВА Наталя Борисівна

МЕТОД ТА АЛГОРИТМ ІНВАРІАНТНОЇ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ

$5'

---математичне моделювання та обчислювальні

методи в наукових дослідженнях

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ 1997

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі фізіології людини та тварин, біологічного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка.

Наукові керівники: доктор фізико-математичних наук ВАЙНЕРМАН Леонід Йосипович,

доктор біологічних наук ГОРГО Юрій Павлович.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ОНОПЧУК Юрій Миколайович,

доктор фізико-математичних наук, професор БЄЛОВ Юрій Анатолійович.

Провідна організація: Національний технічний університет «Київський політехнічний інститут».

Захист відбудеться «. 199 ?-р. о —-------------------------------

год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.39.02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою:

252022 Київ 22, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві інституту.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В. Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ '

Актуальність теми. Однією о основних проблем, що виникають при обробці сигналів (в тому числі (зображень) в системах автоматичного poo-пізнавання обраїзів, автоматичної класифікації та діагностики, є проблема виділення повної системи інваріантних ознак сигналу, яка б дооволила достовірно проводити процедуру автоматичного розпізнавання. При цьому необхідно відокремлювати інформацію нро характерні особливості самого сигналу від інформації нро перетворення, яких цей сигнал оашіав. Ці перетворення (наприклад, осув, оберт (зображення, масштабне перетворення сигналу таін.) нами не контролюються, але вони не повинні впливати на результат роботи системи. Тому обрали, що переходять один в інший під дією деяких перетворень, треба класифікувати як еквівалентні (В.А.Якубович, 1965, 1966, 1967). Зазначимо, якщо в системах автоматичного розпізнавання образів із попереднім навчанням не оакладена вимога інваріантності, то може (знадобитися тренувальна послідовність дуже великого обсягу. Тому оадача інваріантного розпізнавання пов'язана о (задачею отиску інформації та скорочення інформаційної надмірності.

Існує декілька підходів до розв'язання оаоначеної оадачі: підхід, який балується на спектральному аналіоі функцій на групі (В.В.Хар.ісв і співавг., 1973; А.В .Тимофеев, 1971, 1988; Тимофеев і співавг., 1991), неперервно-груповий підхід (В.С.Файн і співавт., 1971), метод моментних інваріантів (М.К.Ху, 1961; Khotanzad Alireza, 1990; Rosenfeld Azriel, 1990), а також метод, який використовує потенціальні функції (В.A.Zyrianov, 1990)..

Взагалі, хоча оадача інваріантної обробки сигналу вже досить давно поставлена, та значна кількість робіт присвячена її розв’язанню, існує багато ріоних спеціальних методів для різних часткових випадків. Але ні один з них не дає загального вирішення оадачі. Тому актуальноює необхідність в деякому більш загальному підході, в рамках якого можна було б розглядати конкретні групи перетворень. .

Треба зазначити, що зоровий аналізатор ока людини та тварин в певній мірі вирішує цю задачу. Існують різні підходи до моделювання про цесів, що відбуваються у зоровій системі (наприклад, Б.К.П.Хорн, 1989; M.S.Landy, J.A.Movshon, 1991) з використанням методів теорії ймовірностей, спектральних, геометричних, векторних та інших методів. При цьому проводилось моделювання ріоних функцій зорової системи. Актуальним залишилось моделювання властивості інваріантності процесу розпізнавання сигналу зоровою системою. Виходячи о даних про структуру зорового аналізатора, розроблена теорія (В.Д.Глеоер, 1978, 1993), згідно з якою зорова система здійснює просторово-частотну фільтрацію зображення. Паш підхід

використовує цю теорію, тому розглянемо її більш детально.

У. оорових нейронних сітях виділяють мітко окреслені функціональні одиниці,-які дозволяють розглядати оорову систему як набір дискретних операторів. Такими функціональними одиницями є рецептивні ноля (РІІ). РІІ у першому наближенні можна ропбити на два типи. По-перше, це концентричні поля, у яких центральна оона, подраонення рецепторів якої дає відгук, оточена периферичним тормозним кільцем. Концентричні поля служать для поточкового опису (зображення. Крім того, існують спеціалізовані поля - детектори, що служать для розв'язання вуоького класу оадач. Прості оонаки оображення виділяються природженими механізмами РП та колонок РП оо-рового аналіоатора у вигляді відповідних спектральних коефіцієнтів. Далі ці оонаки черео оовнішнс колінчате тіло передаються у первинну кору головного мосзку, де і відбувається вирішення ооровою системою оадач розпізнавання (класифікації) оображень, та ознак просторових співвідношень. Важлива властивість процесів у первинній корі - це властивість інваріантності.

У роботах В.Д.Піезера (1978, 1993) функція ваги концентричних РП будується як різниця збуджувального та гальмівного гаусіанів при малому контрасті оображення; при обільшенні контрасту вона стає онакоомінною і її форма апроксимується деякою спеціальною функцією. Інша модель функції ваги концентричного РП (Б.МагсеЦа, 1980) надана у вигляді елемента Габора - синусоїди, або косинусоїди, промодульованої гаусіаном. Але неясно, як на основі виділених простих ознак зображення - відповідних спектральних коефіцієнтів, можна забезпечити інваріантність розпізнавання. Використовуючи експериментальні дані (БЛІ.НиЬеІ, Т.К.ХУієбєі, 1977, 1979, 1982) щодо обробки оображень в РП та колонках РП зорового аналізатора, як функції ваги концентричних РП було запропоновано функції Ерміта та алгоритм виділення повної системи ознак сигналу, інваріантних до всіх лінійних перетворень (Л.И.Вайнерман, 1992). Однак обчислення коефіцієнтів розкладу сигналу за цими функціями потребує виконання великої кількості трудомістких операцій чисельного інтегрування. Крім того, при комп’ютерній реалізації відповідних алгоритмів дискретизація базисних функцій призводить до порушення їх ортогональносгі та до оначних похибок при аналізі та відновленні сигналу оа його узагальненим спектром.

Мета роботи - розробити метод та алгоритм побудови та оптиміоації множини істотних оонак сигналу, інваріантних до всіх його лінійних та деяких нелінійних перетворень.

Основні завдання роботи:

- на основі відомих експериментальних даних побудувати математичну моделі, процесів обробки сигналів у зоровій системі, яка б оабсопечила вла-

стивість інваріантності розпізнавання;

- на основі цієї моделі розробити алгоритми побудови та оптиміоації множини істотних інваріантних оонак дискретного сигналу;

- розробити програмне забезпечення для комп’ютерної обробім сигналів;

- провести обчислювальні експерименти по отиску, відновленню та класифікації електрокардіосигналів, енцефалограм та інших електрофізіологічних сигналів.

Наукова новиона роботи.

Розроблено математичну модель процесів, що відбуваються у зоровій системі, яка забезпечує інваріантність процесів розпізнавання відносно всіх1 лінійних та деяких нелінійних перетворень сигналу. '

Розроблено алгоритми та програмне забезпечення для побудови повної системи інваріантних ознак дискретних сигналів.

Розроблено алгоритми та програмне забезпечення для виділення істотних оонак, за якими сигнал може бути відновлений о довільною оаданою наперед похибкою, та знайдено значення перетворень, яких цей сигнал оазнав.

Показано ефективність застосування розроблених алгоритмів та програм до оадач обробки електрофізіологічних сигналів.

Теоретичне і практичне оначення роботи. Реоульт? и дисертації є певним внеском в теорію шаріантної обробки сигнал'в. Роороблені алгоритми та програми дозволяють вирішувати задачі отиску та відновлення сигналів о довільною, заданою наперед похибкою. На основі розвинених методів можна будувати системи розпізнавання сигналів, їх класифікації та системи автоматичної діагностики. .

Основні положення, що виносяться до оахнету.

1. Математична модель обробки дискретних сигналів, інваріантної до

всіх лінійних та деяких нелінійних перетворень. .

2. Алгоритми та програми побудови та оптиміоації множини істотних інваріантних оонак дискретного сигналу.

3. Результати, що підтверджують ефективність застосування розробле-

них алгоритмів та програмного забезпечення для зтиску, відновлення та класифікації електрохардіоешналів, енцефалограм та інших електрофізіологічних сигналів. •

Апробація роботи та публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 7 наукових праць [1 - 7), список яких подано в кінці автореферату.

Основні положення дисертації доповідались та. обговорювались на міжнародній конференції ’’International Symposium MTNS-93” (Регенсбург, Німеччина, 1993); міжнародній конференції ’’llyperspectral image processing"’ (Орландо, СІНА, 1994); республіканській конференції ” Инженерные АРМы

в радиоэлектронике” (Київ, 1990); республіканській науково-технічній конференції ’’Новые вооыожности современного медицинского приборостроения” (Київ, 1991), на семінарах "Біологічна і медична кібернетика та інформатика” і "Проблеми біоматематики” Інституту кібернетики ім.В.М.Піушкова НАН України (Київ, 1995), на кафедрі фіоіології людини та тварин біологічного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка (Київ, 1996).

Обсяг і структура дисертації.

Дисертація викладена на 121 сторінках машинописного тексту і складається о 3 рооділів. У рооділі 1 наведені література та формулювання оадачі; у рооділі 2 рооглянуто поліноми та функції Кравчука, оагальну схему і алгоритми інваріантної обробки дискретних сигналів; рооділ 3 присвячено викладенню результатів (застосування рооробленого програмного оабеопе-чення до обробки конкретних електрофіоіологічних сигналів. Список літератури містить 109 найменувань.

Особистий внесок дисертанта полягає в узагальненні математичної моделі обробки дискретних сигналів, інваріантної до всіх лінійних та деяких нелінійних перетворень, розробці відповідних алгоритмів та програм, проведенні обчислювальних експериментів по отиску, відновленню та класифікації рійних електрофіоіологічних сигналів.

ОМІСТ РОБОТИ

У рооділі 1 рооглянуті реоультати в області інваріантної обробки сигналів та формулюється постановка оадачі. Перше математичне формулювання проблеми інваріантної обробки сигналів відносно груп його перетворень належить В.А.Якубовичу (1965, 1966, 1967). Цей підхід пов’яоаний о існуванням на локально компактних групах спеціальної системи ортогональних баоисних функцій - матричних елементів її неовідних представлень (1І.Л .Ніленкін, 1965). З іншого боку, на практиці для обробки сигналів оасто-совуюгь системи ортогональних функцій, не нов’яоані о жодною групою. Тому природно оаміннти в формулюванні проблеми інваріантної обробки сигналів групи перетворень на більш оагальну математичну структуру, яка б таким чином породжувала рійні множини ортогональних баоисних функцій. Як таку структуру Л.Й.Оайнерман (1992) оанрононував оператори уоагаль-неного осуву (о.у.и.). Дамо ооначення (С.М.Левітан, 1973).

Нехай - це множина, а М - лінійний простір функцій на £]. Нехай на функціях /(<), < € визначено множину лінійних операторів /і', які належать від л Є <2. Тобю кожній функції /(<) Є М ставиться у відповідність функція /*'(»; І) = Я*/(£) від двох точок простору <?. Оператори II’ напиваються правими о.у.з., якщо

1) існує елемент е в Q, для якого Д' = id - одиничний оператор;

2) для будь-якого фіксованого і в Q, / в М: R‘f(i) належить до М;

3) RrtR'f(t) = R\RT}{і) (для будь-якого / о Af, t,.s,r о Q),

де нижній індекс покаоує, по якій омішіій діє оператор.

Ряд фактів класичного гармонічного аналіоу допускає уоагальнення о оаміною експонент exXq (q, А Є R1) на деяку множину функцій хІЯі^) ~ характерів множини о.у.о. RT(p Є Q) (Б.М.Левітан, 1973; Ю.М.Береоанський, А.А.Калюжний, 1992). Крім того, вводиться узагальнена огортка *, та перетворення Фур’є / функції / Є L\ оа характерами о.у.о. Для спрощення висловів у подальшому функцію / будемо навивати перетворенням Фур’є функції /. Зауважимо, що о будь-якою множиною ортогональних функцій можна ов’япати такі о.у.о., що (зазначені функції будуть їх характерами (Л.Й.Вайнерман, 1986).

Існування розвиненої теорії о.у.о. дозволяє сформулювати проблему інваріантної обробки сигналів таким чином. Нехай сигнал оадається функцією f(t) на множині Q і належить до деякого лінійного простору М, на якому діс множина о.у.о. Функції f(t) та g(t) наливаються еквівалентними, якщо існує я із Q таке, що R‘f(i) = g(t). Тоді простір М розбивається на орбіти щодо дії о.у.о. Я*.

Таким чином, розв’язання задачі інваріантної обробки сигналу зводиться до отримання повної множини інваріантних ознак цього сигналу, але інваріантність розуміється відносно деякої множини о.у.о.

У пропонованій роботі як баоис для роокладу сигналу використовуються поліноми Кравчука (M.Krawtchouk, 1929), які не пов’язані о жоди-ою групою, але вони є характерами деяких о.у.о. (C.F.DunkI, D.E.Ramirez, 1974).

У розділі 2 описано метод та алгоритм інваріантної обробки сигналів.

В пи. 2.1 та 2.2 викладені означення поліномів та функцій Кравчука, досліджуються їх властивості та наводятся формули для їх обчислення.

Поліноми Кравчука - це поліноми, ортогональні на множині точок Q = = {0,1 — 1} відносно біноміального розподілу: р(і) = N\p'(\ — p)N~'/

/U(N — і)!, де натуральне N та дійсне 0 < р < 1 задані наперед. Таким чином, співвідношення ортогональності для поліномів Кравчука мають вигляд

А'«(і, N)p[i) = 8mnN\\p{ 1 - PT/n\(N - n)!.

t=0

Важливого є властивість симетричності цих поліномів: KiT^(i,N) =

= (-1)" A'i1_I’)(/V — і, N).

Функції Кравчука F^\it N) пов'язані о поліномами таким чи-

ном:

Fjf\i,N) = K<*Xi,N)y/p(d/\/NMl-p))'lnl{N -n)l,

овідки YliLo N)FiF\i, N) = 6mn. Маємо наступні рекурентні співвідно-

шсшія:

Л) = (.■-»- p(N - 2n))F<?\i,N)/x/(n + 1 )(N - п)р( 1 - р)~

- - П + 1 )n/(N - n)(n + 1)^(1, N),

де n = 2,3,..., N - 1; і = 0,1,..., N - 1; 0 < p < 1.

F0W(i, N) = y/NlpUl - p)"-7*!(N - »')!; ■

^(i, W) = (» - pW)v/pi-1( 1 - p)N-i-i(W - 1)!/»!(JV - «)!.

У и. 2.3 рооглядається оагальна схема виділення інваріантних оонах сигналу як модель процесів, що відбуваються у ооровій системі. В цій моделі функції ваги концентричних РП описуються функціями Кравчука. їх оасто-сування до автоматиоованого спектрального аналіиу сигналів вільне від недоліків функцій неперервного аргументу тому, що функції Кравчука о самого початку будуються на скінченній множині точок як повна ортонормована система. Далі, використовуючи теорію В.Д.Піеоера (1978, 1993) та метод, оа-проионований Л.И.Вайнерманом (1992), розроблено модель функціонування оорового анализатора, огідно о якою іо оображення виділяється повна система його інваріантних оонак, а також (знаходяться' оначення параметрів його перетворень. .

Сигнал, який залежить від часу, чи оображення, що буде оброблено, будемо описувати оа допомогою функції y(t), де аргумент t являє собою, гоагалі кажучи, багатовимірний вектор, який належить деякій множині Q. Наприклад, у випадку оображення І - двовимірний вектор, Q - поле оору, а y(t) описує функцію рооподілу яскравості оображення, що оброблюється.

Нехай функція y(t) оаонала деяких перетворень, які оадаються о. у .о. R* : У(3(1)) = й*у(<) (t Є [0,оо)) . 1Ъким чином, на вхід системи надходить не сигнал у{1), а перетворений сигнал о деякими фіксованими параметрами перетворення so(t) - у(зо{і)), які нам невідомі. Задача полягає в тому, щоб инайти оначення параметрів в0(<) перетворень та виділити характерні особливості самого сигналу. Ідея роов’яоання цісї оадачі пов'яоана о побудовою деякого функціоналу від y[s(t)), що набув ас максимального оначення саме тоді, коли оначення перетворень s(t) співпадуть о s0(t).

Теорема 1. Нехай у(з(і)) - сигнал, що и;шнав перетворень оа допомогою деяких о.у.о. Я': !/(л(і)) = Я'у(і), « Є Я, <2 - скінченна множина. 'Годі, для сигналу у(з0(і)), де л0(і) - деяке фіксоване оначення параметрів прихованих перетворень, існує система інваріантних ознак сигналу с/,(з0, з0), к Є М, оа якими сигнал відновлюється о довільною наданою наперед похибкою є. При цьому оначення параметрів дорівнюють оначенню з(і), иа якого певний функціонал енергії ІУ(л,ло) досягає свого максимуму.

Метод доведення полягає в побудові системи інваріантних ознак сигналу, яка складається о наступних кроків.

1.' Будується множина ортонормованих функцій Кравчука ії = {ч%}к=о на множині <3 = [0,ЛТ — 1], о параметром 0 < р < 1.

Як зазначалось, функції Кравчука моделюють відгуки концентричних РП.

2. Обчислюються уоагальнені спектральні коефіцієнти сигналу відносно множини лінійних перетворень обраного башісу:

Обчислення узагальненої згортки даного сигналу о множиною базисних функцій, до яких було оастосовано те ж саме перетворення, що і до самого сигналу, моделює процеси, які відбуваються як у ооровому аналізаторі, так і в (зовнішньому колінчатому тілі та первинній корі головного мозку. Так, мі-крорухи ока (мікросакади) при погляді на деякий образ фактично забезпечують зсув концентричних РП (а тому і системи базисних функцій) по усьому полю зору. Відносно перетворення оберту картина більш складна, але в зовнішньому колінчатому тілі та у IV шарі первинної кори знайдено клітини о концентричними полями (О.Н.ІІиЬеІ, Т.МЛУіезсІ, 1977, 1979, 1982), які реагують тільки на орієнтацію полоси. При цьому спостерігається послідовна зміна орієнтації у клітин невеликими кроками. Цей факт знаходить своє пояснення у рамках пропонованої моделі: існує система базисних функцій, кожна о яких представлена усіма своїми орієнтаціями по колу о деяким кроком.

За допомогою перетворення Фур’є функції за характерами о.у.з. (Ю.М.Верезанський, А.А.Калюжний, 1992) перепишемо останню формулу у ВИГЛЯДІ е/,(.Ч,Ли) -= Т'_1(/'(Я'0!/(і))/'(Я'уЗ^(І))], де перетворення Фур’с обчислюється за формулою /'(ІС0 у{і))( X) = { І{">у(і)х(1,Ь)<ііі[і). Оскільки як сшпал, так і функції Кравчука є функціями дискрепюго аріуміїпу, формула для обчислення с*(л,л0) прийме вигляд

Я

Значення міри /і в точках і (і Є [0,Л/ — 1]) - /і; отримаємо о формул (Я‘)*/і = ц : ((Я')*/і); = щ, і = 0,1, — 1. Аналогічно онаходимо

компоненти міри /2.

3. Побудова функціоналу енергії.

Функції Кравчука утворюють повний ортонормований баоис, тому має місце рівність Парсеваля: || у ||2= |со(з,Ло)|2 + |сі(з,з0)|2 + з0)|2;

для всіх оначень л(і) тар 6 (0,1) . Поміж просторів, утворених баоисами

о відповідними значеннями параметрів л(і) та р Є (0,1), онаходимо під-простір Ям розмірністю М,М < N, утворений тими функціями Кравчука, оа яких сума квадратів відповідних спектральних коефіцієнтів сигналу має найбільше оначення. Таким чином IIм концентрує істотну інформацію про сигнал. Виходячи о цих міркувань, будуємо функціонал енергії: ІУ(з,з0) = = 53*ємІс*(3>,8о)Іа> № М - підмножина номерів спектральних коефіцієнтів, оа якими проводиться підсумовування.

4. Пошук максимуму функціонала енергії.

Значення параметра л(і), які підлягають пошуку, - це оначення параметрів, які відповідають максимуму функціонала И^.Ло)- Оскільки 1^(3, з0) - невід’ємний та обмежений функціонал, то його глобальний максимум існує. Для ортонормованих послідовностей функцій Кравчука Іі‘<р%(і), Я*^(«), •••, о параметрами 0 < р < 1,

з(і) та довільної функції Я*°і/(і) виконується нерівність Бесселя: Еієа/Еііо'ІЯМСО • Д*°У(*)|2 < ’ д*°!/(»))• Знаї рівності можли-

вий тоді і тільки тоді, коли у{з0(і)) належить лінійному многовиду, натягнутому на Я'“^(і), ЯМ(»)> • • •, Я'о^.Д»), тобто максимум буде досягнуто саме тоді, коли омінні (значення параметра з(і) обігаються о прихованими оначешіями л0. Але онайти його не просто, бо цей функціонал може мати багато локальних максимумів.

5. Оптимюація множини спектральних коефіцієнтів.

ІІідмножина індексів М (знаходиться в інтерактивному режимі, виходячи ііз оаданої наперед похибки відновлення сигналу е. При цьому сигнал наближено відновлюється оа формулою у(і) = 52кємс*(зо,^о)Я*11^ (*)• Похибка відновлення сигналу с =|| у-у ||, де || . || — квадратична норма в IIм. Шукаємо мінімальну о усіх можливих множину індексів, оа яких похибка відновлення £ не перевищує оаданого наперед є.

• Довільне лінійне перетворення є суперпооиція перетворень осуву, масштабу та оберту. Для перетворення осуву у формулі обчислення уоагаль-нених спектральних коефіцієнтів Т - це класичне перетворення Фур’є. Для перетворення масштабу аналогом класичного перетворення Фур’є є перетворення Фур'є - Мелліна, а для перетворення оберту - перетворення Фур’є -

Бесселя, тому справедливі наступні наслідки.

Наслідок 1.

Нехай з(і) - це перетворення осуву на деякій скінченній дискретній множині Q, яка є підмножиною натуральних чисел N, тобто Q = {0,1,...,

N — 1}, 2/(з(*’)) = у((і + s)modN). Тоді упагальнені спектральні коефіцієнти сигналу у(і + з0) обчислюються оа такими формулами: с^\з,а0) =

= Г-'ЩуЩП'ч!?]], Де J7- пряме , а Т~х - оворотнє перетворення Фур’є, кеМ.

Перетворення осуву є групою, а тому і о.у.о. Таким чином, схема побудови системи оонак сигналу, інваріантних до осувів, яку викладено при доведенні теореми 1, може бути оастосована і в цьому випадку. Більш докладно цей випадок рооглянуто у н. 2.3. Зашіачимо, іцо рооробленню методів побудови інваріантів для перетворення осуву присвячені, покрема, роботи А.В.Тимофєєва (1971), Khotanzad Alireza, Hong Yaw Hua (1990), Lenz Reiner (1990). Ткк, в роботі А.В.Тимофєсва (1971) будуються інваріанти окремо для одновимірного та двовимірного випадків. В той же час метод, оапрононова-ний у теоремі 1, е оагальиим для функцій п пмінних.

Наслідок 2. ■

Нехай а(і) - це перетворення масштабу на деякій скінченій дискретній множині Q, яка е підмножиною натуральних чисел N, тобто у(з(і)) = у(зі). Тоді узагальнені спектральні коефіцієнти сигналу у{з0і) обчислюються оа наступними формулами: ск(з,з0) = у(зо0 * <Pk(3t) = [ff(i/(^o<))ff(v>*(-»())],

де 3 - пряме, а - оворотнє дискретне перетворення Фур’є - Мелліна (ІІ.Я.Віленкін, 1965).

Перетворення масштабу на деякій скінченній дискретній множині не . утворює групу, але є о.у.о., тому теорему 1 можна оастосувати в цьому випадку для побудови системи оонак сигналу, інваріантних до цього перетворення. Зокрема, розгляду тільки цього випадку присвячена робота Smith Grahame В. (1988), де роороблені деякі спеціальні методи для побудови інваріантів сигналів оі омінним масштабом.

Наслідок 3.

Нехай л(») - дискретне перетвореній оберту на площині: л0 =

і = at. Тобто на деякій сітці в полярних координатах рооглядається сигнал у(»со8а(,»8Іпа(), який обернено на кут л0 = a°: у(іcos of, івіпа°), та функції Кравчука <p*(tcosai,»sinai). Тоді уоагальнені спектральні коефіцієнти сигналу у(і cos a®,» sinа°) обчиаіюються оа такими формулам:

£*(•», з0) = у(і cos а°,і sin а°) * </>J(i cos at, і sin a() = ф(і) * ^ї(,')е,'"а| ~

= Еі1о,[(2»ІпФ,(0‘Ув")(2>гГФ^(і)<,“а)]Л(«і)і,

де і - уявна одиниця, Ф(Д) = /0°° ф(г)Уп(ІІг)г<іг, а Д,(Дг) — п-та функція Бесселя (» - ціле): ,7п(йг) = 1/2ж /02т е‘Кг,““9-‘пв<і0.

Перетворення оберту на площині є групою, а тому і о.у.о. У цьому випадку будуються функції Кравчука на деякій сітці в полярних координатах, а далі оа схемою, описаною в теоремі 1, використовуючи перетворення Фур’є

- Бесселя (ІІ.Я.Віленкін, 1965), виділяється множина інваріантних оонак сигналу. Побудові інваріантів сигналів для перетворення оберту на площині присвячені, оокрема, роботи А.В .Тимофеева (1971), Б.Рег-Епк, Б.ОИе (1990), П.ГогвуїЬ, Л.Ь.Мш^у (1991).

Теорема 2. Нехай,у(іо(ї)) ' сигнал, що оаонав деяких перетворень іо(ї); нехай еф - довільна функція о простору С^К-")- Крім того, будемо вважати, що якобіан перетворення л(ї), J > 0, тобто додатня відповідна квадратична форма: №у{?),у{ї)) > 0. Тоді існує система інваріантних оонак

с*(л0,.?0),к Є М, оа якими сигнал відновлюється о довільною оаданою наперед похибкою £, причому приховалі оначення параметрів іо дорівнюють оначенню л(ї), оа якого функціонал енергії \У(з0, з) досягає свого максимуму.

Нагальна схема побудови системи інваріантних оонак сигналу » цьому випадку істотно не відріонясться від схеми, описаної в теоремі 1.11а першому кроці будується система баоисних функцій. Оскільки у(з0(і)) - функція неперервного аргументу, як баиисні функції природно обрати функції Ерміта багатьох омінних: 7Ї*(Ї). Для обчислення на другому кроці узагальнених спектральних коефіцієнтів у{а0{?)) можна оапропонувати наступне узагальнення формули обчислення узагальнених спектральних коефіцієнтів:

с*(і"0,з) = у(з0(<)) * Пк{ї) = ^(І)у(з0(І)),Пі,(ї))(ІІ.

На жаль у нелінійному випадку не існує аналога перетворення Фур’є. Тому подальша схема хоч і забезпечує існування системи інваріантних оонак сигналу є,(, ,ГЦ), але її побудова для реального сигналу втикається о великими обчислювальними труднощами.

Якщо як баписні функції обрати множину базисів (по р € (0,1)) ортонор-иованих функцій Кравчука багатьох омінних Ф1(і)к, то необхідно будувати деяку дискретну сітку і )іа ній шпачати відповідне перетворення з(Г), базисні функції Кравчука та дискретну згортку.

У п. 2.-1, як наслідок теореми 1, розглядається алгоритм побудови та оніиміоації множини інваріантних ознак дискретного сигналу у випадку одмі(Т змінної іа пере і вороння нсуиу.

Гооылнемо < нііі.(л, «кий описується оа допомогою функції, означеної на смнчєіжій множині' к|і),і 6 <7 ~ {(І, І,-, /VI}, причому крок квантування

сигналу є достатньо малим, щоб оберегти усі особливості сигналу. Напри клад, при обробці електрокардіограм та енцефалограм крок квантування при аналого-цифровому перетворенні обирався свій для кожного типу сигналів відповідно до їх частотності. При одночасному о’йомі та обробці електро-фіпіологічних сигналів ріпних типів (електрокардіограм, енцефалограм, викликаних потенціалів мооку, міограм тощо) можна, наприклад, оа допомогою перетворення масштабу змінної послідовно переходити від обробки одного сигналу до іншого. Або ж можна вояти оа основу мінімальний крок квантування, апрохсиміоувати всі сигнали на мінімальній сітці і проводити одночасну обробку усіх сигналів на площині, де одна о координат - це довжина сигналів, а інша - номер сигналу, тобто перейти до обробки сигналу від двох омінних. Наведений нижче алгоритм можна оастосовувати і для обробки двовимірних сигналів.

Нехай аргумент і функції і/(і) оаонав деякого осуву а. Таким чином, на вхід системи надходить перетворений сигнал о деяким фіксованим невідомим оначенням осуву а0: у{і + а0). Задача пош;гае в тому, щоб онайти оначення а0 та виділити характерні особливості самого сигналу. Як наслідок теореми 1, алгоритм виділення системи інваріантних оонах сигналу складається і» таких кроків.

1. Вибір оначення N - вікна обробки сигналу.

Вибір N пов’яоаний як іо довжиною сигналу, так і о вибором методів, що будуть використані в подальшому. Ми використовували швидке перетворення Фур’є (ШІІФ), де N — 1 = 2П. Якщо сигнал е довшим, оа //, тобто N < N1, то він послідовно оброблюється вікном шириною N — 1. У тому випадку, коли довжина сигналу менша оа N,N1 < N> сигнал доповнюється нулями, або екстраполюється оа деяким алгоритмом.

2. Побудова множини ортонормованих систем функцій Кравчука

і, к = 0,1,- 1; р = 0.1,0.2, •••,0.9. ■

Дискретиоація параметра р Є (0,1) може бути іншою, що обумовлюється потребами поставленої оадачі.

Для прискорення обробки сигналів у реальному часі можна провести деяку підготовчу роботу. Так, для обраного N можна оаодалегідь побу- : дувати функції Кравчука і оберігати їх оначення в деякому файлі. Крім того, можна оптиміоувати об’єм цього файла, використавши властивості симетрії функцій Кравчука - можна відновити оначення функцій Кравчука при р = 0.6,0.7,0.8,0.9 оа їх оначеннями при р = 0.1,0.2,0.3,0.4. При р = 0.5 функції Кравчука є симетричними відносно середини інтервалу <?, тому досить обчислити оначення N) тільхи на половині інтервалу.

3. Обчислення уоагальнених спектральних коефіцієнтів сигналу.

Ці коефіцієнти онаходяться оа формулою

' N-1

с<к\а) = У * ІГ<Р<к'> = ^ УІЇ’рРа* + а)то<ІМ, ЛГ),

;=о

де а,і,к = 0,1, • • •, N - 1; р — 0.1,0.2, • • • ,0.9.

!3а теоремою про огортку с^\а) = у * <р^ = Р~1[де Т -пряме, а Т~х - оворотнє перетворення Фур’е. Зауважимо, якщо нам наперед відомо N, ми можемо (заздалегідь обчислити та оберігати у деякому файлі не тільки значення функцій Кравчука, але й їх перетворення Фур’є, що також оменшить оатрати часу при обробці сигналів.

4. Обчислення функціоналу енергії \У(а,р).

По-перше, виходячи о еврістичних міркувань, обмежуємо множину індексів М, оа якою будується функціонал енергії: ІУ(а,р) = |с^(а)|*.

Наприклад, якщо сигнал не є високочастотним, то можна 'чожину М просто обмежити оверху деяким (значенням М’ < N : {0,1, - • • ,М'}. Ця ж підмножина може бути використана при фільтрації низькочастотного сигналу від високочастотних шумів. Але іноді, наприклад, в деяких оада-чах медичної діагностики важливими є певні високочастотні складові. Тоді множину індексів шукають оа допомогою наступного ітераційного процесу: обирається деякий початковий рівень Л для значень узагальнених спектральних коефіцієнтів, о яким усі с^\а) (а, к = 0,1,..., N — 1; р = 0.1,0.2,... ,0.9) порівнюються. Тсіким чином формується множина М = {к : |с^(а)| > й}. Потім обчислюємо функціонал У/(а,р) і переходимо до наступного кроку алгоритму. У тому випадку, коли після відновлення сигналу з’ясується, що цієї множини недостатньо, рівень її треба зменшити о деяким кроком і побудувати нову множину М. 1 так до тих пір, доки не буде досягнуто потрібну точність відновленії сигналу.

5. Знаходження координат глобального максимуму функціоналу \У(а,р).

Па цьому етапі онаходяться значення (аа,ро), такі, що досягається

тахІУ(а,р) (а = 0,1, •••,// — 1; р = 0:1,0.2, • ■ • ,0.9).

Вид функціоналу енергії IV{а,р) істотно оалежнть від виду сигналу. Найбільш простим є випадок, коли сигнал описується фінітною функцією о 2-3 локальними екстремумами. Якщо ж сигнал рівномірно розподілений по інтервалу і мас багато локальних екстремумів, тоді і функціонал р) теж має багато локальних максимумів.

6. Відновлення сигналу оа формулою

№ = XI Ю.де <ріРо)(ао,Л0 =¥>(*и)((* + а0)т0<Ш,УУ).

к£,Ч

7. Оптиміоація множини спектральних коефіцієнті!!.

Підмпожина індехсів М знаходиться в інтерактивному режимі шляхом порівняння похибки відновлення сигналу £ =|| у—у || (|| . || квадратична норма в Ям) о оаданим наперед числом є. Якщо і > є, тоді обільшусмо множину М. Від М = {0,1, • • •, М'} перейдемо до М' = М' + і 1, де сії - деякий крок. Якщо М — {к : |с^(а)| > сі}, тоді сі = <1 — І, де / - деякий крок. Значення ііі та І (змінюються відповідно до конкретної задачі. Повертаємось до кроку 4. У випадку, коли е < є, можна оменшити число узагальнених спектральних коефіцієнтів, тобто онайтн мінімальну їх кількість, що (забезпечить £ < є. Для цього аналогічно попередньому (зменшуємо множину М, (знаходимо М' або й, оа яких Потім, зменшуючи кроки (II та /, (знову обільшусмо

множину, знаходячи М" або гі', оа яких і < є.

В п. 2.5 рооглядаються алгоритми, які реалізують огортку та швидке перетворення Фур’є.

У роаділі 3 рооглядаються застосування розробленого програмного оа-беппечення для обробки електрофізіологічних сигналів. II. 3.1 присвячено роов’яоанню задач отиску та відновлення електрокардіограм, енцефалограм та викликаних потенціалів мооку. Обробка електрофіоіолої ічних сигналів проводилась в рамках виконання д/б та х/т на кафедрі фізіології людини та тварин біологічного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка. В задачах кардіодіагностики діагностично цінними є невеликі ”оаоубринки”, "полочки” та інші структури на С^ІІЗ-комнлексі кардіограми. Порівняно о іншими методами автоматичної обробки кардіограм, запропонований нами метод дооволяє виявити ці структури і при необхідності оберегти їх (за рахунок погіршення коефіцієнту отиску). Оброблено 110 кардіоімпуль-сів. Коефіцієнт отиску коливався ьід 6 до 11 в залежності від задачі. Крім того, при обробці кардіограм не встановлювалась початкова точка, бо місцеположення кардіоімнульса знаходилось автоматично. Розроблене програмне забезпечення використовувалось також для аналізу стану людини та тварин на основі аналізу енцефалограм. Проведено 40 експериментів, за якими встановлено, що всі характерні особливості енцефалограм (зберігаються при коефіцієнті (зтиску 6-7. Проведено експерименти щодо можливості діагностувати стан кішки на основі інваріантних оонак її енцефалограми. Виявлено, що для достовірної діагностики наркотичного стану кішки, нри обробці частин енцефалограми довжиною в 64 точки, достатньо обчислити тільки три перші коефіцієнти. Також проведено 35 модельних експериментів по отиску т.і відновленню викликаних потенціалів мопку людини. При коефіцієнті (ітиску 6-8 обережено всі інформаційно цінні параметри.

В н. 3.2 розглядається виділення інваріантних оонак плеіт рофініо ю-

гічних сигналів для оадач їх роопіонавашш та класифікації. Роороблено комп’ютерну демонстраційну систему можливості застосування виділених інваріантних оонак сигналів для формування попереднього висновку. Для цього був сформований набір кардіогр м о відомими патологіями, були виділені їх інваріантні оонаки, які утворили деякі множини в М-мірному просторі. В демонстраційній моделі висновок про значення ймовірності наявності певної патології в конкретному кардіосигналі балувався на оцінці відстані від точки Л/-мірного простору, яка була утворена інваріантними ознаками кардіоси-гналу до множин, створених інваріантними ознаками патологій.

У п. 3.3 рооглядаються фільтруючі властивості розробленого алгоритму та програмного оабеопечення. До сих пір ми припускали, що електрофізіологічний сигнал не має дрейфу ізолінії. Існують чисто апаратні методи виключення дрейфу о сигналу. Ллє розроблений алгоритм також може бути використаний для вирішення цієїоадачі. Так, в експериментах по аналізу кардіограм в умовах роботи оператора треба було виключити ди-тын ритми. Для цього спочатку обробляють сигнал оа допомогою вікна, \ 'змір якого відповідає дихальному ритму, знаходять оонаки сигналу, відновлюють його оа цими оонаками о деякою похибкою та віднімають відновлений сигнал від основного. Потім обробляють основний сигнал оа допомогою вікна, яке відповідає кардіоритму. Запропоновано також алгоритм по виключенню о деякого основного електрофізіологічного сигналу присутніх в ньому інших сигналів. Для цього проводиться ортогоналізація повного набору сигналів, які одночасно онімаються о оператора. Крім того, сама властивість розробленого програмного оабеопечення щодо виявлення невеликих геометричних структур на сигналі може бути використана для фільтрації йото від цих утворень, якщо експерт визнає їх артефактом.

ВИСНОВКИ

Запропоновано метод обробки сигналів, який використовує функції Кравчука і базується на моделюванні властивості інваріантності процесу ро-оніонавання зображень зоровою системою. На основі цієї моделі роороблено алгоритми та програми, за допомогою-яких було проведено експерименти по отиску та відновлепю кардіограм, енцефалограм та викликаних потенціалів мозку людини. Отримані результати можуть бути основою для роорЬбки бгю даних великого обсягу, при передачі даних по каналах зв’язку та при рооробці різних діагностичних систем. В експерименті були також отримані дані стосовно фільтруючих можливостей розробленого програмного забезпечення.

Розроблена моделі, та метод були впроваджені в навчальний процес на кафедрі фізіології людини та тварин біологічного факультету Національного

університету ім.Тараса Шевченка. Розроблене програмне забезпечення було використане при розробці автоматизованої системи аналізу кардіограм.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ ПРАЦЯХ:

1. Филимонова II.Б. Общая схема выделения полной системи признаков сигнала, инвариантной ко всем его линейным нреобраоованиям // Компьютерные технологии и управление в биологии и медицине. - Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Віушкова НАН Украины, 199G. - С. 66-74.

2. Филимонова II.Б., Вайнерман Л.И. Сиситема анализа одно- и многомерных сигналов изображений) с помощью специальных полиномов дискретного аргумента // Инженерные АРМы в радиоэлектронике: Тез. докл. науч.-техн.хонф., 16-18 окт.1990 г. - Киев, 1990. - С.30-31.

3. Филимонова Н.Б., Вайнерман Л.И., Горго 10.11. Подход к устране-

нию избыточной информации из наборов биологических сигналов // Физиологическая и медицинская информатика. - Киев: Ин-т кибернетики

им.В.М.Гпушкова АН УССР, 1990. - С.9-13.

4. Забара С.С., Вайнерман JI.И..Филимонова 11.15. Обобщенный спектральный анализ медико-биологических сигналов с использованием полиномов Кравчука // Республ. науч.-техн. конф. ’’Новые возможности современного медицинского приборостроения”: Тео.докл. - Киев, 1991. - С.15-16.

5. Филимонова II.Б., Вайнерман Л.И., Горго 10.11. Алгоритм инвариантной обработки медико-биологических сигналов с использованием полиномов Кравчука // Физиологическая и медицинская кибернетика. - Киев: Ин-т кибернетики им.В.МЛЪушкова АН УССР, 1993. - С. 53-58.

6. Vainerman L.I. and Filimonova N.B. Signal processing and polynomials of discrete argument // Systems and Networks: Mathematical Theory and Appli-cations.-Berlin: Akademie Verlag, 1991. - Vol.II. - P. 889-890.

7. Vainerman L. and Filimonova N. Hyperspectral imagery with the application of Krawtchouk polynomials // Algorithms for Multispectral and Hyperspectral Imagery. A.Evan Iveison, Editor, Proc. Sl’IE. - 1991. - V.2231 - P.148-155.

Филимонова Н.Б. Метод н алгоритм нниарнантной обработки сигналов.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы в научных исследованиях. Институт кибернсгики имени В.М.Гїіушкоиа НАН Украины, Киев, 1997.

Раоработана математическая модель процессов, происходящих в (зрительной системе, с исполыэованием функций Кравчука, которая обеспечивает инвариантность процессов распознавания относительно всех линейных и некоторых нелинейных нреобраоований сигнала.

Разработаны метод, алгоритмы и программное обеспечение выделения и оптимиоации системы инвариантных признаков дискретного сигнала, что пооволяет сжимать и оатем восстанавливать сигнал с любой, (заданной наперед точностью. При отом находятся (значения скрытых параметров пре-обраоований сигнала. Установлена эффективность использования раорабо-танного программного обеспечения дм оадач сжатия И восстановления элек-трофиоиологических сигналов (кардиограм, онцефалограм, выовапых потенциалов моога) а также для решения оадач классификации и диагностики.

Filimonova N.B. The method and algorytlim of invariant signal processing. *

This dissertation is a manuscript being submitted for a Ph.D. degree in Physics and Mathematics sciences by speciality 01.05.02 - mathematical modelling and numerical methods in scientific research. Institute of cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1997.

The manuscript contains the mathematical model of processing in visual system using the Krawtchouk functions. This model ensures the invariance of recognition processes with respect to all linear and some nonlinear signal transformations.

The method, algorythm and software for the extraction and optimization of a system of invariant informative features of a discrete signal have been developed to enable the compression and subsequent restoration of a signal with any preset accuracy. In so doing, the values of hidden parameters of signal transformations are being found. The efficiency of the software developed for the solution of the problems of compression and restoration of elecjrophysiological signals (electrocardiograms, encephalograms, brain evoked potentials) and also for the classification and diagnostics problems has been determined.

Ключопі слова: <

математичне моделювання, оорова система, інваріантність розпізнавання, функції Кравчука, істотні ознаки сигналу.