автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Меры важноси элементов при исследовании надежности систем

Академия наук Украинской ССР Ордена Ленина Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

На правах рукописи

ЛИТВИНЕНКО Александр Евгеньевич

УДК 519.248

МЕРЫ ВАЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

05.13.10 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Киев 1990

V

/ л

У '/

Работа выполнена в ордена Ленина Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР.

Научный руководитель: академик АН УССР

КОВАЛЕНКО И. Н.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

МАРЬЯНОВИЧ Т. П.,

кандидат физико-математических наук КУЗНЕЦОВ В. Н.

Ведущая организация: Ленинградский государственный технический университет.

при Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР по адресу:

252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

г. в

Автореферат разослан

ЛИ* Н^яд^—

Ученый секретарь специализированного совета

ДОНЕЦ Г. А.

- 1 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача обеспечения надежности неизбежно возникает на всех этапах построения и функционирования систем производственно-технического назначения. Однако уже при создании проекта системы необходимо решить ряд вопросов относительно ее структуры, характеристик используемых элементов, частоты проведения контроля и технического обслуживания, а также других мероприятий, направленных на повышение надежности системы. Выбор обоснованных решений, связанных с обеспечением высокой надежности, является . одной из главных проблем, стоящих перед создателем системы Св дальнейшем ЛПР - лицо, принимающее решение). Поскольку достижение абсолютной надежности технически и экономически невыполнимая задача, обычно довольствуются определенным уровнем надежности, который задают исходя из предполагаемых условий использования системы. При этом задача обеспечения надежности может выступать в одной из следующих двух постановок: 1) осуществить построение системы с минимальной "стоимостью" при заданных требованиях к ее надежности; 2) построить систему, обладающую максимальной надехеноегъп при "стоимости" не виде заданной. Здесь под стоимость» в обобщенном смысла следует понимать вео, объем, стоимость или другие ресурсы, используемые при создании системы. Под надежностью з дальнейшем будем понимать вероятность безотказной работы система на фиксированном промежутке времени. Указанные задачи обеспечения надежности далеко не Есегда сводятся к решению строго поставленных задач математического программирования. Обычно выбор решений осуществляется непосредственно ЛПР. хотя ь процессе проектирования системы могут возникнуть вопросы, допускающие формализацию в виде определенных математических моделей

Существует ряд факторов, пренятствуюадх точной постановке задач оптимизации надежности. Во-первых, данные о надежности отдельных элементов, а особенно соотношения- "стоимость надежность", используемые при решении задач оптимизации, обладают недостаточно высокой точностью. Во-вторых, решения конкретных оптимизационных задач могут оказаться неприемлем;:..!'.! с . практической точки зрения, поскольку при построении

- г -

математических моделей далеко не всегда известен весь набор факторов, влияпщих на надежность систеш. В-третьих, даже если известен достаточно полный перечень факторов, влияющих на надежность, при построении моделей оптимизации рассматривается лишь ограниченное число факторов. Попытка же формализовать Есе •возможные воздействия на надежность систеш приводит к слишком счозкным математическим схемам. В-четвертых, требования к надежности систеш являются важными, но не единственными требованиями, которым должна удовлетворять система в процессе функционирования. Поэтому надежность можно рассматривать в качестве одного из критериев в многокритериальных задачах оптимизации характеристик систеш, причем вес данного критерия может меняться в процессе создания и эксплуатации систеш. В-пятых, при разработке и проектировании новых систем, как правило, не существует тесной связи между инженерами - проектировщиками и специалистами по надежности. Создатели систем обычно не знает, в решении каких вопросов и на каком этапе они могут обратиться за помощью к инженерам по надежности. Отчасти это обусловлено тем, что при исследовании надежности сложных систем применяется математические модели, ; топэнятные проектировщику. Вопросы выбора модели, ее адаптации к конкретной системе и проверки ' адекватности 1акке представляют сложную инженерную задачу.

Перечисленные факторы свидетельствуют о том, что выбор решений, обеспечивающих построение надежных систем, обычно производится непосредственно ЛПР, хотя некоторые решения могут быть найдены и в результате исследования формальных математических моделей. Поэтому необходимо, с одной стороны, обеспечить ЛПР информацией, об .ективно отражающей влияние различных конструк-. тивных, технических или технологических решений на надежность

системы, и, с другой стороны, использовать такой понятийный аппарат, который позволял бы переходить от строгих математических схем к неформальным моделям.

Во мно;лх случаях повышение надежности системы осуществляется путем усовершенствования отдельных элементов. Задача обеспечения надежности при этом сводится к выбору таких значений на:[е»нос:ти и стоимости элементов, при которых характеристики "¡ггг-'ны С щи бы оптимальными. Особенность рассматриваемой задачи -И ;:т в ток, что далеко не всегда удается определить

зависимость характеристик системы от характеристик се элементов. Вместе с тем для принятия решений ЛПР необходима объективная информация о влиянии надежности злементов на надежность системы. Для задания такой информации используются различные меры С или показатели) важности элементов. Основная функция показателей важности состоит в том, чтобы упорядочить элементы в соответствии с их влиянием на надежность системы, причем само упорядочение производится исходя из определенных количественных характеристик элементов. Для определенных классов систем, а именно для систем без восстановления и математически эквивалентных им восстанавливаемых систем с независимыми элементами Спри рассмотрении коэффициента готовности последних) меры важности элментов"систоми достаточно хорошо изучены. При изучении общих систем с восстановлением вопросы, связанные с использованием и расчетом показателей важности, в настоящее время е^е недостаточно разработаны. Больной интерес представляет применение показателей важности при исследовании высоконадежных зысокоответственних систем. Поскольку большинство высоконадежных систем состоит из восстанавливаемых элементов, использование показателей важности при их изучении связано с определении.™ трудностями. Последнее обусловливает всзрастгкцуо актуальность разработки алгоритмов расчета показателей важности для указанного класса систем, что и составляет основное содержание настоящей работы.

Мэры важности элементов полезны независимо от того, удается ли строго сформулировать задачу оптимизации надежности. При рассмотрении формальных оптимизационных задач меры важности полезны при использовании алгоритмов пошагового приближения к решению в различных человеко-машинных процедурах. Если же строгая оптимизационная постановка отсутствует, мери важности предоставляют ЛПР необходимую для принятия решения информацию. В связи с этим представляет интерес не только решение различных оптимизационных задач теории надежности, но и использование показателей важности в процессе решения данных .задач.

Целью работы является введение мер надежностной важности элементов восстанавливаемых систем (обпбша-ш,их соответствующие меры важности для систем без восстановлю -ния). разработка алгоритмов расчета мор рз*..опги для

высоконадежных восстанавливаемых систем, обоснование возможности и целесообразности использования показателей важности при решениц оптимизационных задач теории надежности, а также постановка и решение некоторых конкретных задач оптимизации надежности технических систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются методы и положения теории надежности, теории вероятностей, теории случайных процессов, методы решения систем линейных дифференциальных уравнений, нелинейного и дискретного программирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- введены определения ряда показателей важности элементов восстанавливаемых систем;

- разработаны алгоритмы расчета показателей важности элементов высоконадежных восстанавливаемых систем;

- показана возможность применения показателей важности при решении ряда задач оптимизации надежности;

- поставлена и решен-' задача оптимизации длительности приработочных испытаний о.,ементов технических систем;

- рассмотрено решение одной из возможных постановок задачи оптимизации поставок комплектующих элементов технических систем.

Практическая ценность результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в том, что введенные понятия и разработанные алгоритмы позволяют решать различные задачи оптимизации надежности систем, а также проводить неформальный надежностный анализ систем. Полученные результаты позволяют определять "слабые места" системы, тем самым производить направленный поиск оптимальных вар актов ее усовершенствования. Предложенные алгоритмы реализованы при достаточно общих предположениях относительно структуры и характеристик изучаемых систем, что обеспечивает возможность их использования при исследовании широкого класса технических объектов. Следует отметить, что разработанные алгоритмы обладает достаточно высоким быстродействием. Последнее обстоят« льет »-о делает возможным использование полученных результатов в рамках систем автоматизированного проектирования, поглорхивасиих разработку различных технических изделий.

Реализация результатов работы. Результаты диссертации использованы при подготовке аванпроекта по теме "Разработка и внедрение унифицированного комплекса технических и программных средств на базе сетевой архитектуры для • построения высоконадежных АСУ ТП" С Институт кибернетики им. В. М.Глушкова АН УССР, х/д 900-89). Результаты внедрены в следующих организациях:

- Институте проблем кибернетики АН СССР С г.Москва);

- Конструкторском бюро "Южное" С г.Днепропетровск).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Всесоюзном семинаре "Математические методы оптимизации процессов функционирования вычислительных сетей", Киев, 19-21 сентября 1989 г.; Республиканской школе - семинаре "Методы исследования информационно-вычислительных систем", Гродно, январь 1939г.; Республиканской школе - сеишаре "Математические методы исследования сетей связи й сетей ЭВМ", Витебск, январь - февраль 1990 г. ; Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических' методов в производстве и управлении", Пермь, сентябрь 1990 г., на научном семинаре "Алгоритмизация анализа высоконадежных систем" С Киев,1988 - 1990).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка основной использованной литературы из 71 наименования и 2 приложений. Основное содержание работы изложено на 137 страницах машинописного текста, содержит 8 рисунков и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ '

Во введении обоснована актуальность темы днсг:ертацион.,он работы, определяются ее цели, отмечены научная новизна, практическая ценность и реализация основных результатов, приведено краткое содержанке диссертации.

В первой' главе рассмотрены Еопроси, связанные с определением, применением и расчетом показателей важности ояомонтоз

технических систем. Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В §1.2 проанализированы известные в литературе меры надежностной важности. Поскольку большинство мер важности введено и исследовано для систем без восстановления, основное внимание уделено их обобщению на случай систем с восстановлением. Обычно для невосстанавливаемых систем существуют аналитические формулы для характеристик надежности, исходя из которых и даются определения показателей важности. При рассмотрении . восстанавливаемых систем такой подход неприменим, поскольку их расчет, чак правило, аналитически не осуществляется. В то же время показатели важности, введенные для систем без восстановления, допускают вероятностную интерпретацию, то есть они представляют собой вероятности различных событий, связанных с наступлением или ненаступлением отказов системы и отдельных ее элементов. Рассмотрим, например, вероятностную интерпретацию показателя "вклад элемента в отказ системы". При изучении невосстанавливаемых систем данный показатель определяется в виде ой

(1-1? ), 1=1.....ш.

1 (?К4 1

Здесь I? - надежность системы на интервале С 0, Т]; т - число элементов системы; - надежность 1-го элемента на [0,Т]. Согласно ' доказанной в §1.2 теореме 1.2, для показателя (1<1<т) можно записать соотношение

и^Р^СТ)}, 1=1,...,ш, С 1 )

где В^Т) - случайное событие, состоящее в том, что система отказала в некоторый момент из [ОД] и находится в состоянии таком, что состояние ее 1-го элемента является критическим: он неисправен, но в случае восстановления его работоспособного состояния система становится исправной.

Другой подход к определению показателей важности состоит в использовании частных производных от надежности системы по характеристикам надежности отдельных элементов. Например, используется показатель

1,(1) = —5-, _____ш, С 2 )

" ах

где X ■- интенсивность отказов 1-го элемента. Показатель обычно называют "значимостью" (иногда для показателей,

определяемых частными производными вида С2), в теории надежности, по аналогии с другими областями техники, используется термин "чувствительность" или "параметрическая чувствительность").

Таким образом, можно выделить два класса показателей

важности в соответствии с указанными способа>,ш их определения,

*

каждый из которых применяется для решения определенного круга задач и требует своих собственных методов исследования.

В § 1.3 . рассмотрении различные примеры применения мер надежностной важности элементов. Показано, что показатели вида (1) целесообразно использовать при качественном анализе системы, для определения ее "слабых мест", а также при решении задачи оптимального резервирования. Напротив, показатель "значимость" и аналогичные следует применять при решении конкретных задач оптимизации надежности с непрерывно меняющимися параметрами.

Параграф 1.4 содержит анализ методов расчета надежности восстанавливаемых систем с точки зрения их применимости для расчета показателей важности.

Во второй главе настоящей работы рассмотрены вопросы расчета таких показателей важности, как вклад элемента в отказ системы, важность по Барлоу - Прошану и важность по Фасселу - Веселы для систем с восстановлением. В § 2.1 приведен общий алгоритм расчета, который основан на предложенном Н. ¡0. Кузнецовым методе вычисления надежности восстанавливаемых систем. В работе приведена модификация алгоритма, позволяющая находить вклад элементов в отказ системы и показатели важности по Фасселу - Весселн и Барлоу - Прошану одновременно с расчетом надежности системы. Суть рассматриваемого алгоритма заключается в следующем. Пусть система состоит из и элементов. Обозначим через г - минимальное число элементов, одновременная неисправность которых приводит к отказу системы. Разобьем множество V состояний системы на непересекающиеся подмножества следующим образом:

Ео - множество состояний неисправности системы; Ек = { V. и. . . иЕ)._1 и существует элемент, при отказе

которого система переходит в одно из состояний множества Е ( >, « к=1,... , г; ,. . . , иО - вектор состояний элемёнтов~сйстЪмы.' Введем события

Ак.СТ)={существует момент tetO.T] такой, что í(t)€E >, k=l,... ,r. Здесь 5(1) - состояние системы в момент t. Используя условные вероятности, можно записать

w4 = PíBtCT)} = PíBjCDA^T). . .ArCT)> = PÍB1CT) |AoCT)>x x PCA CT)|A CT))...PCA CT) |A°CT)} PÍA CT)), i=l.....ra.

O ' l Г-1 1 Г r

Основная идея алгоритма расчета w, ,i=l ,m состоит в том , чтобы • i

аналитически вычислять вероятности q4=PCAr ¿ CT) |Ar СТ)>,

i=l.....г, qo=PÍArCT)>=l и моделировать условные траектории

системы при условии, что произошли соответствующие переходы, вероятности которых есть q ,...,q .

Опишем алгоритм ускоренного моделирования величин <wt >. Пусть i>(t)=í> и в момент t отказал j-й элемент. Состояние системы в момент t+0 обозначим frj С í). Каждому состоянию системы Cl<k<r) соответствует множество номеров "основных" элементов, которое определяется следующим образом: DkCÍ) = (j: >, k=l.....г.

Использ"я введенные величины, сформулируем аналитико-статисти-ческий метод вычисления wt в виде алгоритма построения оценки й( для Wj в одной реализации.

1. Методом статистического моделирования в промежутке [ОД] строят траекторию процесса fCi) = CvCDj^Ct)) с "запретом" перехода üCt) в множество Ег_(. "Запрет' означает, что при состоянии DCt)=DeEr могут отказывать лишь неосновные элементы. Отказы же элементов, принадлежащих D (й, не моделируются, они считаются абсолютно надежными и для них u Ct)=l, a f^Ct) линейно возрастает по 1. В процессе построения траектории определяются величины:

К4 - число интервалов времени из [ОД], на протяжении которых система своего состояния не изменяла;

t<к' и v(k\ k=l,...,K - соответственно момент начала и

1 I I / i ) (К.) { V ^ _

продолжительность k-го интервала, i =0, tt > + v, 1 =

(¿<к';Р<к,)=С5С1,к,);гС1<к,))=С1,ш...../V;»,...,^1),

i 'i i i it mili mi

к=1.....К,.

2. Строят оценку вероятности наступления события Ar i CT):

Величина Jl есть вероятность отказа в [О,Т] хотя бы одного из элементов, переводя'дих систему в множество состояний Ег (. Спри фиксированной траектории процесса

3. При условии, что в [0,Т] произошел отказ одного из основных элементов (вероятность чего есть J¡), с помощью специального алгоритма определяют номер ^ и момент ^ его отказа.

4. Находят состояние х4 процесса в момент * +0, если известно, что Нж -0)=Су С<5Э;у+ге -И."*') и в момент и отказал

1 I I ■ I 1 I 1

ц - й элемент. Здесь (5=тах<к: 1{1с>£* >.

5. Пусть известен момент перехода системы во множество Е „ и состояние х„ системы в этот момент (И € <1,2,... ,г-Ш.

г-Н и

По аналогии с п. 1 данного алгоритма методом статистического моделирования строят траекторию процесса ?С1) с запретом перехода в Е • В процессе такого моделирования определяют величины:

Кг)+1 - число интервалов времени из [*Н,Т1, в течениеч которых система находилась во множестве состояний Ег н и не меняла своего состояния внутри этих интервалов;

' и у,'* ', к=1,...,К,, - соответственно момент начала и Н + | N + 1 ' Н + 1

продолжительность к-го интервала, 47+1 =*м' 3 =

СЛ^');?^'))^'*' .....и.....Г**! 3, к=1,...

N + 1 ■ N + 1 1 N+1 шИ»! I N»1 ' тИм

6. Вычисляют вероятность перехода системы .во множество Ер н 1 при фиксированной траектории процесса ?СI) в С*Н,Т]:

7-8. Аналогично п.2,3 данного алгоритма находят номер ^ элемента, отказ которого переводит систему во множество

состояний Е „ , момент я., отказа данного элемента и г -N-1 N + 1

состояние хм+1 процесса ?(1) в момент «н + 1+0 .

- 10 -

9. Если N < г-1 то увеличивают N на единицу и переходят на п.S алгоритма. Если же N = г-1, то реализация окончена.

В качестве "оценки а в одной реализации для v^ выбирают

J■ J ... J , если и*=0 и (v*,...,v* ,1,1л* .....м*) <| Е ,

12 г i i l-i l+i 'т о

0 в противном случае,

где v*=Cv*,... - состояние системы в момент a.+0, в который

произошел ее отказ. Показатели важности элементов по Фасселу -

Веселы и Барлоу - Прошану могут быть найдены аналогично.

Параграф 2.2 содержит модификацию алгоритма для систем с экспоненциально распределенными, длительностями безотказной работы элементов. В данной модификации вместо моделирования перехода системы из множества Ef в множество Eq производится аналитическое вычисление вероятностей отказа элементов, если данные .отказы ведут к указанному переходу.

В § 2. 3 рассмотрен пример исследования системы электроэнергетики. Показано, что введенные меры важности позволяют достаточно точно находить "слабые места" системы и определять элементы, резервирование которых приводит к наибольшему росту надежности системы. Показано также, что использование показателей важности для определения очередности восстановления отказавших элементов приводит к неверным результатам. Именно, если приоритет при восстановлении отказавших элементов установить в соответствии с их вкладом, то надежность системы не увеличится и может даже уменьшиться по сравнению с обычным CFCFS -первым пришел первый обслужен) приоритетом. В то же время, если при построении очереди на восстановление используется дисциплина Ыраге Ст.е. первым ремонтируется элемент с наименьшей остаточной длительностью восстановления), то надежность системы возрастает.

Третья глава '..освящена расчету показателей вида С 2) и аналогичных им, а также решению некоторых конкретных оптимизационных задач теории надежности. В § 3.1 для расчета показателей I^Ci), 1=1,...,m, при изучении марковских систем используется метод разложения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений по степеням малого параметра. Для применения данного метода наряду с исходной системой рассматривается "возмущенная" система, отличающаяся от исходной тем, что интенсивность -отказов ее 1-го элемента увеличена на малую

величину е. Надежность исходной системы Rsq находится путем решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова р'Ct)=AopCL), где Aq - матрица интенсивностей переходов; p(L) -вектор вероятностей состояний. Для расчета надежности возмущенной системы (которую обозначим через R^11) можно использовать уравнение

p'Ct3=CAo+cAt(1 ')pCt),

где а;1' - некоторая матрица возмущения, соответствующая изменении интенсивности отказов i-ro элемента. Разлагая решение последнего уравнения по степеням с, получим для R(1> R(l> = R + £R(i) +■ oCc), i=l.....ш,

S SO S1 ' '

где находится в результате решения одной дополнительной

системы дифференциальных уравнений с матрицей А'1'. Поскольку

ÖR R'1 ' - R

1,(1) = —= lim -5-—£2., 1=1,...,ш,

к дК ело с

IvCiD = R'1', 1=1_____гл. ( 3)

получим

С. С1Э = г.

Л. &1

Применение выражения СЗ) позволяет исключить систематическую1* погрешность, которая неизбежно возникает при использовании конечно-разностной аппроксимации I^С1), 1=1,...,т.

ар.

В § 3.2 исследуются показатели вида -1=1,...,га, где

аа1

а. - произвольный параметр, характеризующий плотность р (х",а ) распределения длительности безотказной работы или восстановления

• (■ дК 1

1-го элемента системы. Для расчета набора показателей ^ -- |

используется метод поправок, разработанный И.Н.Коваленко. В данном методе наряду с исходной системой рассматривается "возмущенная" система, для которой плотность распределения длительности безотказной работы Сили восстановления) 1 - го элемента имеет вид р (хга где с, Сс>0) - некоторое малсе

возмущение. В случае, когда плотность р Сх,а1) непрерывна и имеет непрерывную первую производную по параметру а(, в Ж,

настоящей работе для -- получены выражения, позволяющие путем

5а,

л

статистического моделирования системы находить оценки 1аС1)

ай дГ такие, что III -1=1,...,га. Несмещенная оценка для

йа,

полученная методом поправок, имеет вид

I С13=£-

-1

да,

..........п

где V - число интервалов безотказной работы 1-го элемента на промежутке [ОД]' функционирования системы; т)^' - длительность ,]-го интервала безотказной работы 1-го элемента, ,

ГСО - индикатор отказа системы на промежутке [0,ТЗ. С учетом указанного свойства плотностэй р^х.а ) путем разложения р Сх,а +е) в ряд ' Тейлора приведенное выье выражение преобразуется к виду

I С13

а

С 4 )

1=1,...,т

Выражение С4) позволяет исключить систематическую погрешность, вносимую конечно-разностной аппроксимацией производной

ва4

В частном случае экспоненциальногр распределения длительностей безотказной работы элементов выражение для I^С13 имеет следующий простой ВИД:

■[ ¿[4г-С] 1 1=«

С1—ГС •))

1=1,... ,га.

Использование метода поправок позволяет находить набор показателей 13, 1=1,...,га, одновременно с расчетом надежности системы без осуществления дополнительных реализаций процесса моделирования.

Пример применения изложенных методов к исследованию блока питания ЭВМ' "Электроника СС БИС" приведен в § 3.3. Анализ результатов, полученных в настоящем параграфе, показывает, что применение показателей {и > для выявления "слабых мест" блока питания позволяет определить возможные пути повышения его

надежности. В то же время попытка использовать показатель для принятия неформальных проектных решений относительно путей повышения надежности приводит к неверным результатам.

В § 3.4 рассмотрена задача оптимизации длительности приработочных испытаний элементов технических систем. Суть задачи состоит в следующем. Надежность прог вольного элемента системы на интервале [^.Т+Ц] при условии, что он не отказал на интервале СОД ] равна

ГТ+Ч • 1

^СТ,^) = ехр / \jCu3duL 1=1.....т.

1 ч J

Здесь Х4(и) - интенсивность отказов 1-го элемента. Если Х^и)

имеет и-образную форму, то существует I* такое, что

Е>СТД*) = ш1п ^СТЛ.З, 1=1.....га. . С 5)

1 1 0<1 <м 1 1

Соотношение С5) показывает, что надежность элементов с II -образной интенсивностью отказов может быть увеличена путем проведения приработочных испытаний до начала их использования в системе.

Проведение испытаний элементов требует определенных стоимостных затрат. Естественно предположить, что стоимость испытаний растет линейно со временем, кроме того, определенная начальная стоимость расходуется на проведение процесса испытаний. Иными словами, стоимость с( ) испытаний 1-го элемента в течение времени Ц можно задать выражением

с1а15 = соА+с.Л> 1=1.....га-

где с , с - заданные положительные константы, О п: и 1, =0, при I >0.

Обозначим через ^(Т;^ ,... Д ) надежность системы на интервале длины Т в предположении, что ее элементы предварительно прошли испытания длительностью ^»...Д . При условии, что общая стоимость испытаний равна сумме величин с4 СI ), получим следующую задачу:

13 СТД .....1 ) шах С 6 )

81 т I е[0,Т ].....I еГО.Т 3

„ I 1 т т

т

У с и ) < С ( '< <

к 1 1

и:......

Здесь Т , 1=1,...,и - максимально возможная длительность испытаний 1-го элемента, С - положительная константа.

тах

Решение задачи С6) - С 7) проводится раздельно по переменным <(5^ и (Ц >. По б , 1=1,..., ш максимум ищется при помощи метода ьл/гора .спада. При фиксированных значениях {¿^ > (например, бi-l, 1=1,...,го) поиск максимума по I , 1=1,...,т производится методом множителей Лагр'анжа. При этом для невосстанавливаекой система с последовательной структурой исходная задача (6) - (7) путем логарифмирования целевой функции сводится к сепарабельной, что значительно упрощает поиск решения и обеспечивает нахождение глобального (по (Ц)) экстремума. Для систем с произвольной структурой необходимо при'поиске седловой точки функции Лагранжа

LCt.fl) = -R (T;t ,...,13+6 ) с, Ct, 5 - С

s 1 ' ' m | / . 1 1 ша»

f m

Zw

1=1

использовать метод последовательных приближений вида га

б, = шах

в =0 ( 8 )

Clli+,> = arg min L(ü,ö!k>), к=0,1..........( 3 )

CeD

Здесь D=[0,T lx... х[0,Т ]. При фиксированном' вк поиск t'kl,

доставляющего минимум (D), производится методом проекции

градиента. D процессе применения данного метода необходимо

производить операцию проектирования точки из Кт па множество D,

что достаточно легко осуществляется. Поскольку для систеы

произвольной структуры не удается доказать вогнуто., ть функции

Rt,(T;l ,... Лт),предлагаемая процедура позволяет получить лишь

точку локального (по (t.>) максимума.

При переходе от невосстанавливаемых систем к системам с

восстановлением схема поиска решения задачи (6) - (7) по

существу не изменяется. Единственная дополнительная трудность

f öR öR

состоит в том, что расчет вектора градиента yRs= ■ ■ ■ > ЖТ" >

s 1 mJ

необходимой? для применения указанных методов, для систем с

восстановлением требует разработки специальных алгоритмов.

В настоящей работе расчет вектора vRe осуществляется методом

поправок, описашшм в § 3. 2.

В параграфе 3.5 рассмотрено решение одной из возможных

постановок палачи оптимизации ебьена поставок комплектующих

элементов технических систем. Для поиска решения используется метод динамического программирования.

В приложении 1 приведен алгоритм одновременного моделирования номера элемента и момента его отказа при имитационном моделировании систем. Приложение 2 посвящено доказательству утверждений, приведенных в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Даны определения мер важности элементов восстанавливаемых систем.

2. Разработаны алгоритмы■расчета показателей важности для высоконадежных восстанавливаемых систем монотонной структуры с произвольными распределениями длительностей безотказной работы и восстановления элементов. Данные алгоритмы разработаны как для показателей, определенных в виде вероятностей различны^ случайных событий, происходящих в системе, так и для показателей, вычисление которых сводится к расчету параметрической чувствительности систем.

3. Поставлена и решена садача оптимизации приработочных испытаний элементов технических систем.

4. Приведено решение одной из возможных постановок задачи оптимизации объема поставок комплектующих элементов технических систем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Литвине! со А.Е. Оптимизация объема поставок комплектующих элементов технических систем// Математические методы анализа сложных стохастических систем. - Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1988. - С. 32-55.

2. Кузнецов Н. ¡0. , Литвиненко А. Е.' Вычисление "вклада" элементов в надежность сложных технических систем с восстановлением

• методом ускоренного моделирования// Докл. АН УССР. Сер. А. -1988. - N 10. - С. 33-36.

3. Кузнецов Н. Ю. , Литвиненко А. Е. Об одном подходе к определение и расчету мер важности элементов при исследовании надежности сетей массового обслуживания // Методы расчета информационно-вычислительных систем: Тез. докл. пятой Белорусской зимней школы-семинара по теории массового обслуживания (Гродно, янв. 1989). - Минск, 1989, - С.65-66.

4. Кузнецов Н. Ю., Литвиненко А. Е. Ускоренное моделирование надежности судовых энергетических систем// Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт. - 1389. - N 4. - С. 64-73.

5. Литвиненко А:Е. Об одном алгоритме оптимизации времени приработочных испытаний элементов электронных систем// Электронное моделирование. - 1989. - N 5. - С. 99-101.

6. • Литвиненко А. Е. Некоторые вопросы применения показателей

важности элементов при построении надежных сетей ЭВМ// Математические методы исследования сетей связи и сетей ЭРЧ: Тез. докл. шестой Белорусской зимней школы-с.еминара по теории массового обслуживания (Витебск, янв.-февр. 1990). -Минск, 1990. - С. 64-65.

7. Кузнецов Н.Ю. , Литвиненко А. Е. Применение метода ускоренного моделирования к оптимизации надежности сетей с восстановлением// Тез. докл. Всесоюз. конф. по применение статистических методов в производстве и управлении. - Пермь,1990. -4.2. - С. 231.