автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимодействия криолитозоны и атмосферы

Судаков Иван Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРИОЛИТОЗОНЫ

ИАТМОСФЕРЫ

Специальность 05Л 3.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 (Я Н В 2012

005007068

На правах рукописи

Судаков Ивап Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРИОЛИТОЗОНЫ

И АТМОСФЕРЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новгородской государственный университет имени Ярослава Мудрого» на кафедре прикладной математики и информатики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент

Сукачева Тамара Геннадьевна

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

доцент

Вакуленко Сергей Августович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Захаров Анатолий Юльевич

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент

Фролькис Виктор Абрамович

ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет)

Защита диссертации состоится «26» января 2012 года в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого по адресу. 173003, г. Великий Новгород, ул. Б. С-Петербургская, д. 41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Автореферат разослан «Д_5» декабря 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.168.04,

кандидат физико-математических наук,

доцент . Токмачев М. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Современный подход к моделированию климатической системы основан на теории динамических систем и теории бифуркаций [В.П. Дымников, 2005]. Важнейшей является концепция критического элемента (это какой-либо элемент климатической системы, который под воздействием малых возмущений может перейти в качественное иное состояние), введенная недавно Т. Лентоном [Т. ЬепШп, 2008].

Одним из наиболее актуальных для изучения критических элементов является криолитозона (или вечная мерзлота, многолетнемерзлые грунты), которая входит в подсистему «криосфера» климатической системы и достаточно тесно связана положительной обратной связью (за счет эмиссии парниковых газов) с подсистемой «атмосфера». Частичное или полное исчезновение вечной мерзлоты под воздействием глобальных климатических изменений может привести к серьезным экономическим и политическим проблемам в северных регионах планеты. Таяние вечной мерзлоты в условиях глобального потепления обуславливает дополнительную эмиссию парниковых газов (в особенности метана), которые до этого времени были законсервированы в мерзлотной толще. Н. Шахова и др. [М БЬаЫюуа, е1.а1., 2010] предположили, что срабатывание подобного «метангидратного ружья» может привести к климатической катастрофе.

В связи с этим, в последнее время исследованиям эволюции и устойчивости криолитозоны (включая проблему эмиссии метана) в условиях изменяющегося климата посвящены многочисленные работы. В основном в них рассматриваются различные модели термического режима криолитозоны, в основе которых лежит задача Стефана, которая в рамках достаточно сложных краевых условий требует эффективных численных методов решения и реализации их на базе современных комплексов программ для ЭМВ. Моделирование эмиссии метана при изменении термического режима криолитозоны происходит на основе комплексов программ для конкретных типов криолитозоны (например, мерзлотных торфяников или озер). Модели, положенные в основу таких программ, являются эмпирическими и применимы только для исследования конкретных географических районов. Однако до сих пор не было никакой достаточно общей и математически обоснованной теории, описывающей эволюцию криолитозоны (в процессе взаимодействия с атмосферой) как критического элемента климатической системы и подтверждающей гипотезу «метангидратного ружья». Актуальность данной проблемы, необходимость дальнейшего развития моделей термического режима криолитозоны, исследования взаимодействия

криолитозоны и атмосферы в контексте теории динамических систем позволяет сформулировать

Цель настоящей работы: исследование взаимодействия криолитозоны и атмосферы как критического элемента климатической системы методами математической физики, теории бифуркаций и динамических систем, а также численными методами. Основные задачи исследования:

1. Разработать модель для исследования термического режима криолитозоны на основе эффективной численной схемы и выполнить ее программную реализацию.

2. На основе вычислительного эксперимента с использованием современных комплексов программ, исследовать взаимодействие криолитозоны (в случае мерзлотных торфяников) с атмосферой.

3. Разработать модель динамики протаивания криолитозоны (в случае мерзлотного озера) на основе современной теории фазовых переходов и асимптотических методов.

4. Обобщить радиационно-конвективную модель атмосферы на случай эмиссии метана из криолитозоны. Изучить бифуркации в этой модели, определить параметры точки бифуркации (критической точки), то есть найти критический для моделируемой системы уровень эмиссии метана.

Методы исследования

В работе применялись методы теории динамических систем, включая теорию бифуркаций и аттракторов, асимптотические и стохастические методы, вариационные методы, методы теории фазовых переходов, методы математической теории климата, компьютерные методы моделирования климата, методы теории переноса теплового излучения и радиационного теплообмена в газовых средах. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Модель, описывающая термический режим криолитозоны, реализованная на основе новой для данной области исследований эффективной численной схемы Патанкара и представленная в виде комплекса программ для ЭВМ (который находится на регистрации в Роспатенте). Кроме того, продемонстрированы результаты вычислительного эксперимента с этой моделью - прогнозы протаивания вечной мерзлоты Ямала в XXI веке. Доказана абсолютная устойчивость схемы Патанкара.

2. Результаты вычислительного эксперимента с использованием современного комплекса программ «ЬР.Г-\ШуМе», моделирующего эмиссию метана из криолитозоны в атмосферу (в случае мерзлотных торфяников). Указаны границы использования комплекса программ «ЬР1-Ш1уМе» на основе сравнения с другими комплексами программ и наблюдательными данными.

3. Асимптотическая модель динамики протаивания криолитозоны (в случае мерзлотных озер), основанная на применении нелинейных методов теории фазовых переходов. Представлены оценочные прогнозы эмиссии метана из криолитозоны в атмосферу.

4. Обобщенная радиационно-конвективная модель атмосферы с учетом эмиссии метана из криолитозоны. Развиты математические методы, позволяющие изучать критические точки (точки бифуркации) этой модели, связанные с эмиссией парниковых газов. Доказана возможность катастрофических бифуркаций в климатической системе, порожденных эмиссией метана из криолитозоны и получена явная формула для 1фитического значения интенсивности такой эмиссии. Тем самым обоснована гипотеза «метангидратного ружья». Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Впервые создана модель для расчета термического режима криолитозоны на основе достаточно эффективной численной схемы Патанкара, реализованная в виде комплекса программ для ЭВМ и апробированная в ходе вычислительного эксперимента.

2. Впервые нелинейные методы теории фазовых переходов в совокупности с асимптотическими методами исследования математических моделей применены к изучению динамики протаивания мерзлотных озер и прогнозированию будущей эмиссии метана из криолитозоны в атмосферу.

3. Впервые предложена модель, с использованием классических уравнений математической физики, которая позволяет описывать бифуркации атмосферы под влиянием эмиссии парниковых газов. Математически обоснована теория «метангидратного ружья». Рассчитан критический уровень эмиссии метана в атмосферу, получена явная аналитическая формула с конкретной зависимостью от фундаментальных физических параметров атмосферы.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней доказано существование катастрофических бифуркаций атмосферы под влиянием эмиссии метана из криолитозоны и вычислен 1фитический уровень такой эмиссии. Предложенные модели изучения термического режима криолитозоны и динамики протаивания мерзлотного озера могут быть использованы для прогнозирования опасных климатических явлений в зоне вечной мерзлоты. Программа расчета термического режима криолитозоны может быть полезна нефтегазодобывающим предприятиям, расположенным в зоне вечпой мерзлоты, для изучения вопросов, связанных со стабильностью инфраструктуры. Учет обнаруженных проблем при использовании комплекса программ дня вычисления эмиссии метана из торфяников, несомненно, будет полезен при построении прогнозов изменения климата.

Апробация

Результаты исследования докладывались и обсуждались на 14 научных конференциях различного уровня и специализации, например, таких как.-

• Atmospheric Sciences Workshop, Кембридж, Великобритания, 2009 г.

• Workshops on Inverse Problems, Data, Mathematical Statistics and Ecology, Линчёнпинг, Швеция, 2010 г.

• IPY Oslo Science Conference, Осло, Норвегия, 2010 г.

• XXVIUGG General Assembly, Мельбурн, Австралия, 2011 г.

• IMA Conference on the Mathematics of the Climate System, Рэдинг, Великобритания, 2011 г.

• 3rf Integrated Land Ecosystem-Atmosphere Processes Study Science Conference, Гармиш-Партенкирхен, Германия, 2011 г.

Кроме того, результаты работы заслушивались на семинарах в следующих организациях:

• Научный семинар Международного центра по окружающей среде и дистанционному зондированию им. Нансена, г. Санкт-Петербург, 2008-2011 годы.

• На заседаниях кафедры высшей математики и информатики Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна (2010-2011 годы), кафедры климатологии и мониторинга окружающей среды Санкт-Петербургского государственного университета (2009-2011), кафедры прикладной математики и информатики Новгородского государственного университета (2011).

Результаты исследования были использованы автором в учебном процессе при проведении учебных курсов по специальности 020600 Гидрометеорология: «Методы математической физики», '«Климатология» в Российском государственном гидрометеорологическом университете (г. Санкт-Петербург).

Работа выполнялась в рамках: персональных грантов для молодых ученых Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна (2010, 2011 гг.); гранта Исследовательского Совета Норвегии (Research Council of Norway) по проекту YGGDRASIL (грант № 195740/V11), гранта Министерства образования и науки Германии по программе «Изменения окружающей среды» лаборатории полярных и морских исследований им. О.Ю. Шмидта (грант № OSL-11-21), а также Декартовской программы исследований климата и окружающей среды Арктики и Суб-Арктики, выполняемой в Нансен-центрах в Санкт-Петербурге и Бергене (Норвегия). Автор был удостоен премии Правительства Санкт-Петербурга в области научно-педагогической деятельности (Направление: «Естественные и математические науки») 2010 года, в том числе, и за результаты, полученные при выполнении кандидатской диссертации.

Публикации

Результаты работы представлены в 3 публикациях из перечня ВАК, 15 тезисах и материалах конференций, 2 публикации переданы на рецензирование в международные научные периодические издания. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и иллюстративного приложения с пояснениями. Общий объём работы составляет 143 страницы; в той числе приложение - 10 страниц. Список литературы включает 132 наименования, из них 86 на английском языке.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается краткий исторический обзор по исследуемой проблематике, определяются цели и задачи работы, ее теоретическая и практическая значимость.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена вопросам моделирования эволюции термического режима криолитозоны. В первом параграфе рассматриваются различные подходы к моделированию термического режима криолитозоны, и отмечается, что, фактически, такие модели термического режима основаны на задаче Стефана.

Пусть влажный грунт находится в талом состоянии и имеет в начальный момент времени некоторое заданное распределение температуры по глубине к(х). На поверхности грунта реализуется температура Г(0,/) = ?>(/), которая при всех последующих изменениях всегда ниже температуры замерзания Г,. В результате образуется промерзший слой переменной толщины 4" = /С) • Его нижняя подвижная граница всегда имеет температуру замерзания. На этой границе происходит переход влаги грунта из одного агрегатного состояния в другое, на что затрачивается теплота перехода Qф. Различающиеся коэффициенты переноса промерзшей и талой зон кусочно-постоянны и скачком меняются на границе раздела зон. Тогда математическая формулировка задачи выглядит следующим образом: уравнение теплопроводности для мерзлой и талой зоны

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ЭТ(де,т) д\(х,т)

г > 0;

8т &2

граничное условие Тш (0, г) = <р(т), начальное условие Тп (х,0) = /(х), (2)

условия на границе замерзания:

^ (3)

дх дх ф<1т

= 0.

Отсутствие потока тепла на бесконечности:

«•-(«». о

дх

Здесь а„,ая - температуропроводность; 1п,Хм - теплопроводность талых и мерзлых грунтов; Q^ - теплота фазового перехода, пропорциональная объемной влажности грунта.

Ввиду сложности получения аналитических решений, подобные задачи наиболее часто решаются численными методами. Во втором параграфе предлагается одномерная модель, описывающая термический режим криолитозоны для достаточно длительных временных промежутков (от года до столетия) в основу, которой положена задача Стефана (1)43). В этой модели на поверхности мерзлого грунта по определенному закону происходит изменение температуры воздуха 7V,. Нижняя граница грунта, расположенная на существенном удалении от поверхности, имеет известную температуру Tt.

Решение уравнения теплопроводности для каждой из зон находится численным методом Патанкара [C.B. Патанкар, 2003], а изменение координаты фронта на межфазной границе записывается как:

С, =*Vt , (4)

где к -параметр, определяемый безразмерной координатой границы раздела фаз, г -время. Метод Патанкара состоит из следующих этапов: 1. получение дискретного аналога задачи ОНЗ) равномерным разбиением области решения на элементарные контрольные объемы; 2. получение системы линейных уравнений относительно температур в узловых точках, которая решается с помощью неявной разностной схемы:

а,иГ> +bi, (5)

где/ = 1,2,...,в, ujM> = и(х,/м) - температура в узловых точках, anbnci,dl,ei -коэффициенты теплопроводности и объемной теплоемкости, соответствующих зон.

Теорема 1. (Об устойчивости схемы Патанкара) При условии, что al-(ct+dl)> 0,

Q

и при выполнении неравенства тах---<1 разностная схема (5) является

абсолютно устойчивой, причем решение удовлетворяет неравенству и* < С | Q |.

(Здесь IQI обозначает норму источникового члена Qvm). Дня реализации метода Патанкара был создан комплекс программ дм ЭВМ, принятый на регистрацию Роспатентом.

В третьем параграфе излагается, что описанная выше модель использовалась дая вычислительного эксперимента по расчету состояний термического режима и прогноза изменения температуры вечной мерзлоты п. Ямал. Результаты расчета температуры вечной мерзлоты в конце XX века удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, полученными на стационаре Марре-Сале, и попадают в общепринятый для этого периода интервал температур 264-268 К. Изучение эволюции термического состояния вечной мерзлоты в XXI веке проводилось с использованием сценария выбросов парниковых газов А2 Межправительственной группы экспертов по изменению климата. Установлено, что к концу XXI века ожидается значительный рост температуры многолетнемерзлых грунтов (от 270 до 275 К), который может привести к их частичному оттаиванию (рис.1). Слой вечной мерзлоты выше 2 м полностью исчезнет, а процессы протаивания распространятся на глубину 3-4м.

В реальной ситуации многолетнемерзлый грунт может находиться в структурах различных ландшафтных образований (болот, озер и т.д.). Для моделирования термического режима (а также эмиссии метана) криолитозоны, расположенной в таких ландшафтах, обычно используют комплексы программ, которые базируются в основном на различного рода эмпирических моделях. Однако, вызывает сомнения использование эмпирических моделей, так как при изучении взаимодействия криолитозоны и атмосферы возникает сложная задача моделирования связи микроскопических процессов, приводящих к таянию вечной мерзлоты (например, фазовые переходы) с макроскопическими процессами, происходящими в атмосфере (например, явление положительной обратной связи, приводящее к «парниковому эффекту» в климатической системе). Для демонстрации этой проблемы в первом и втором параграфах второй главы приводится описание и вычислительный эксперимент с комплексом программ «LPJ-WhyMe», в основе которого лежит эмпирическая модель эмиссии метана в атмосферу из мерзлотных торфяников, а в третьем параграфе строится аналитическая модель динамики радиуса мерзлотного озера, в основу которой положены фундаментальные законы теории фазовых переходов и применение асимптотических методов.

В первом параграфе отмечается, что модель «LPJ-WhyMe» (Lund-Potsdam-Jena Weatland Hydrology and Methane Emissions) и реализованный на её основе комплекс программ, первоначально описанные в [R. Wania, 2010], представляют собой дальнейшее развитие модели и комплекса программ «LPJ» посредством включения в них дополнительного модуля для моделирования эмиссии метана из северных торфяников.

Комплекс программ «ЬР1» - это семейство моделей, описывающих крупномасштабные процессы динамики наземной растительности в сочетании с углеродным циклом в системе «земная поверхность - атмосфера» и сопутствующими гидрологическими процессами на основе входных климатических, гидрометеорологических и почвенных данных. Далее приводится краткое описание структуры «ЬИ-^уМе», а во втором параграфе рассматриваются её алгоритмические и физические особенности, для демонстрации которых был проведен вычислительный эксперимент - моделирование эмиссии метана из мерзлотных торфяников экспериментального полигона Стордален. Результаты вычислительного эксперимента представлены в виде полиномиальной аппроксимации общих потоков метана при моделировании с помощью комплексов программ «РЕАТЬАЖ>-Уи» и «ЬР.Г-\УНуМе», а также наблюдаемых на экспериментальном полигоне (рис. 2).

Таким образом, к преимуществу «ЬР,1-\¥НуМе» относится то, что здесь описываются все три типа метанового переноса в торфяной среде. Из проведенного вычислительного эксперимента следует, что требуется дополнительная работа по улучшению концепции схемы моделирования пузырькового переноса метана, а также необходимы дополнительные исследования достоверности результатов в зависимости от вида моделирования: мелкомасштабного, крупномасштабного, глобального.

- . ] 1 -- -

..,..,.. ...

до «за гт зот зм а« 1*0»

1 ..... ■ г ■ —

( ' ; ; ;

(2«1ряц тпск^^к^ н.'^аши м 'Ок .

-'л' к» зо» 1т »»

ми зек» »м

Рис. 1. Прогнозируемое изменение среднегодовой

поверхностной температуры воздуха (1) и температуры вечной мерзлоты на глубине 10 м (2)

для исследуемого района в 2001-2100 гг. На врезке: то же самое, но для перепада температур (в градусах) по [В.П. Мельников, 2006].

Рис. 2. Полиномиальные аппроксимации общих потоков метана за год: I* - вычисленных с помощью «1,РМУНуМе», Р - вычисленных с помощью «РЕАПАкЛ-УШ, М- измеренных (по оси ординат - потоки метана в мгм"2'д"', по оси абсцисс - время в сутках).

Основываясь на том, что мерзлотные озд>а представляют собой значительный источник метана, который при их таянии выделяется в атмосферу и что, к настоящему времени, модели мерзлотных озер достаточно плохо развиты, в третьем параграфе предлагается модель динамики протаивания мерзлотного озера. В основу модели положена

задача Стефана (1)-(3) (в трехмерном случае) для описания фазового перехода при таянии мерзлотного озера. Известно, что при численном моделировании в трехмерном случае задачи Стефана возникают численные неустойчивости, поэтому возможно обратиться к неклассической схеме моделирования движения границы раздела фаз «твердое тело -жидкость», впервые предложенной в Cagшalp, 1989], при этом граница раздела фаз рассматривается как область конечной толщины. Далее, записывается единая для всех точек рассматриваемой физической системы «твердое тело - граница раздела фаз (конечной толщины) - жидкость» система двух дифференциальных уравнений в частных производных для двух неизвестных полей:

и, = ГЛи-|р,; (6)

а£>,=£2Д¥> + а-'£(?>) + 2(и-0), (7)

где £ = 0,5(р-<р3) - производная симметричного двухьямного потенциала с минимумами при <р, равном ±1, а,£,а,Ь,К - безразмерные постоянные, которые должны быть физически интерпретированы в ходе экспериментов, в - температура фазового перехода. Неизвестные поля в указанной системе уравнений - это поле температуры и = и(х,у,г,1) и (гладкое) поле параметра порядка <р = <р{х,у,г,1), интерпретируемое как «локальная средняя фаза».

Следуя логике асимптотических подходов и теории возмущений, уравнение (7) записывается в одномерном виде с учетом того, что фронт движется вдоль оси г.

Теорема 2. Определим функцию потенциала Ф равенством Ф ' = -г(р). Предположим, что ФеС3 и имеет ровно два локальных минимума при р = 1, <р = -1, таких, что Ф(1) * -Ф(-1). Тогда при достаточно малых £ и любых Ка е (О,А) начально-краевая задача

а^ср, =<?>„+а'1 ?(?>),

р = 1, 2 = 0, (8) $» = -1, г = Л

имеет на интервале I е (О,решение вида (3 = (У^- -^+$, где т]=\1а^,

е = , а функция РГ удовлетворяет оценке р(,)1„ <е> , причем параметр

Уи функция IVудовлетворяют уравнению

-т;=г=+а-1г(г) (9)

и условиям

Цт^М-*1- (10)

Здесь параметр К определяется из условия существования решений краевой задачи (9), (10).

Теперь указанная модель фазового перехода дополняется уравнением динамики радиуса озера (Я), полученного методом средней кривизны:

~ = S~pR'\ (11)

Здесь ц - положительная феноменологическая константа, а д = const (при большой кривизне фронта). Физический смысл параметра 8 состоит в том, что он описывает плоский фронт протаивания при ненулевой разности энтропий в жидкой и твердой фазах и определяется через микроскопические параметры а,Ь, которые могут быть найдены в ходе экспериментальных исследований динамики протаивания озер в тундре. Тем самым найдена связь между микроскопическими процессами, происходящими при фазовом переходе в озере, и макроскопическими процессами роста озер.

Для более реалистичного описания процесса роста озера учитываются стохастические эффекты при помощи уравнения Фоккера-Планка:

8R еяг у '

где p = p{R,t), R> 0 - функция, определяющая изменение радиуса озера с течением времени; d - параметр; / = -m/R (где m - постоянная). Модифицированное уравнение Фоккера-Планка в случае при d = О сводится к детерминистическому уравнению динамики радиуса озера типа с S = О (11). Из (12) находится вид функции p(R) = rjR"'\ где ц -константа.

Такое описание функции p(R) близко к наблюдаемому распределению озер в тундре, которое можно определить на основании распределения Парето:

р(А) = тАГлА~("*\ о). (13)

Здесь - минимальный радиус озера. Численные расчеты по стандартным алгоритмам для распределения Парето соответствуют результатам наблюдений динамики озер.

На основе результатов, представленных выше, можно получить полуэмпирическое соотношение, описывающие эмиссию метана из системы озер. Действительно, из известных данных наблюдений система озер в тундре претерпевает изменение - за счет различных процессов - прежде всего из-за протаивания вечной мерзлоты, следовательно, радиус таких озер изменяется, как и количество метана, поступающего из озера в атмосферу в зависимости от его площади. Тогда, скорость эмиссии метана определяется соотношением:

^,=Ж8Л-1)ехр(-60/«(0), (14)

где /3 - некоторая постоянная, определяемая из экспериментальных данных, ¿о. В -положительные константы, R, и - средний радиус системы озер и их средняя температура. При разложении подэкспоненциального выражения (14) в ряд Тейлора по отклонениям температуры от некоторого усредненного ее значения, полученное выражение имеет ту же структуру, что и ряд экспериментальных соотношений для скорости эмиссии метана. В заключение второй главы приводится пример применения развитого здесь подхода для описания динамики радиуса озера к поиску решения задачи об увеличении количества метана в атмосфере.

В третьей главе рассматривается эволюция динамики системы «криолитозона -атмосфера» под воздействием эмиссии метана из вечной мерзлоты. В первом параграфе обсуждается современная теория критических точек и критических элементов, типы возможных бифуркаций в климатической системе. Кроме того, приводится обзор литературы по рассматриваемому вопросу. Во втором параграфе, основываясь на новом подходе к моделированию климата (использование методов теории динамических систем) строится модель атмосферы с учетом её взаимодействия с мерзлотными озерами криолитозоны. Это возможно сделать, если обобщить классическую радиационно-конвективную модель атмосферы Гуди [R.M. Goody, 1956], которая моделирует конвекцию Рэлея-Бенара в пограничном слое атмосферы с учетом теплового переноса излучения, при этом учитывается основной температурный профиль в вертикальном направлении, а также радиационное затухание.

Далее записывается краевая задача для обобщенной модели Гуди в безразмерной стандартной форме в приближении Обербека-Буссинеска с учетом действия внешней периодической силы и эмиссии метана из криолитозоны:

Здесь V = (и(х,у,г,(),у(х,у,г,(),>у(х,у,2,г)) скорость потока газа с вертикальной компонентой со, в(х,у,г,1) - температура потока, Р - давление, Г - безразмерный адиабатический градиент, а - число Прандтля, а1 - параметр плавучести, г - единичный вектор в вертикальном направлении, 0„ - основное температурное состояние в , вычисленное в средних точках слоя, / - внешняя сила, £3 - тепловой источник, а - определяется коэффициентом поглощения излучения в единицу объема, С(х,у,г,1) - концентрация

v, + (v • V)v = o-Av - f7P + f(x, у, z,t) + at (0-0о )z; e,+(v-V)9 + eor = A9-3ae+Q; V • v = 0; С, +(\-V)C = dhC-blC.

(15)

(16)

(17)

(18)

метана, Ъ] - положительная постоянная (член -602С описывает деградацию молекул метана в атмосфере в результате химических реакций), d -коэффициент диффузии метана. Для простоты предполагается, что движение происходит в тонком слое П, определенным как О <z<h, (х, у) е П, здесь П-плоский прямоугольник с размерами /,,/2.

Для описания влияния метана на циркуляцию атмосферы, предполагается, что а ~а(С). Так как концентрация метана С очень мала, естественно предположить, что эта зависимость линейная, тогда используя ряд Тейлора для а получим:

а яа0+а,С, (19)

где ог0,а, - постоянные; а,- феноменологический коэффициент, который может быть определен путем анализа экспериментальных данных по массе метана в атмосфере.

Рассматриваются граничные условия. Условия для v - это стандартные условия отсутствия скольжения

у(х,у,г,0|^=у(х,у,г,0|„Л=0. (20)

Граничные условия для температуры в имеют вид:

(21)

и означают отсутствие потока на границе.

Граничные условия для С описывают отсутствие потока метана при z = h и задает поток метана с поверхности z = 0:

Cz{x,y,z,t)\^=Q; (22)

C,(x,y,z,t)\^ =-11(х,у,в(х,уА0), (23)

где (i - функция, которая описывает интенсивность потока метана с поверхности.

Лемма 1. Пусть функция ¡х £ 0, /16 С' ограничена в в: sup у, в) < с„ < 00

je^eCijffctO,«!)

и внешние источники и силы Q,f е С" определены как

sup Q(.x,y,z,t) = qa <оо, g>0;

XJ€fty>0

sup \f{x,y,Z,t)\ = f0 <OD.

x.ytQ.OO

Тогда поля концентрации метана С и температуры в, равномерно ограничены.

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда решение начально-краевой задачи (15)-(23) существует и единственно при всех I е (0,оо) и лежит в пространстве

В^хВ^хВ^ (т.е. У(>0, веВар, Се*„, У?*Ва,р, У = 1,2,ЗА а>Мр.

В третьем параграфе проводится бифуркационный анализ обобщенной модели Гуди. В этой модели возникают бифуркации нового типа в результате разогрева атмосферы метаном (в отличии от классической модели Гуди, где проявляется конвекция Рэлея-Бенара). Рассматривая только уравнения для теплопередачи и концентрации газа, линеаризуем их вблизи поля температуры Г0 (г), зависящей только от г и С = 0. Тогда основные уравнения

записываются следующим образом:

Т, = КАТ - За0Г - 3 а,СГ0; (24)

С, = ЛАС-ЬаС, (25)

где а0,Ь0 > 0.

Эти уравнения рассматриваются для слоя П= {о< г < Ь, хе (-¡¡,1,),у е (~/2,/,)}, и

предполагается, что й«/,,/2. Тогда, простейшие краевые условия, описывающие стандартную газовую эмиссию:

ТЛх,у.г)^=г1Цх,у, 0); (26)

=0; (2?)

С,(х,у,г)^=0; (28)

СЛх,у^1_а = ~тх,у,г). (29)

Последнее условие означает, что здесь рассматривается простая линейная аппроксимация: эмиссия метана пропорциональна температуре отклонения. Решения для Т = в, С = ф пропорциональны схр(А/), где, в общем, А является комплексным параметром. Таким образом, получается спектральная задача:

Хв = КАв- За,0 + 3 а,фТ0; (30)

Хф = <1Аф-Ъ^ф. (31)

Решение этой спектральной задачи можно записать как

- гйсй(*тй) + к^И(ктк) = З/З^ЛГ1 (гЛ)сМК(г - *))<&> (32)

где ]■„ =Т0(2)сКкс(2-К)){кс1Кк№1-

Это нелинейное уравнение следует решить дм каждого £ и получить корни вида Я = К(к) . Все выражения, входящие в это уравнение, зависят только от модуля волнового

числа . При этом возможен случай к = 0 (в отличие от случая конвекции Рэлея-Бенара). Бифуркации возможны для параметров /3 = Д. таких, что при некоторых к, соответствующих Х(к) имеется несколько значений с нулевой действительной частью ЯеЦк) = 0, а все остальные собственные значения для всех к лежат в отрицательной полуплоскости ЯеА < 0. Это уравнение достаточно сложно для аналитического рассмотрения, поэтому оно решалось численно для некоторых профилей Г0. При некоторых упрощениях и использованию параметров реальной атмосферы была получена формула критического уровня эмиссии метана в атмосферу, при условии линейной зависимости от температуры:

а, Ть V а

При этом формула оценки нового параметра в модели Гуди, определяющего зависимость коэффициента радиационного поглощения от концентрации метана имеет вид:

Д Г

ТС

(34)

Рис. 3 показывает, что в настоящее время поток метана слишком слаб для того, чтобы создать катастрофическую бифуркацию. Однако необходимо отметить, что если /л(0) меняется резко, в скачкообразной манере, тогда описанная бифуркация становится возможной. Численные расчеты по предложенной модели показывают, что необходимо увеличить современный уровень выбросов метана в 1000-1500 раз для срабатывания «меташидратного ружья», существование которого и подтверждается данной моделью.

А) Б)

Рис. 3. Зависимость критического параметра Рс!р. А) от изменения температуры атмосферы; Б) от коэффициента диффузии метана в атмосфере.

В завершение третьего параграфа приводится

Теорема 4. Предположим, что выполнены условия теоремы 3, и р достаточно близко к Д., то есть \/3-Рс\<5, где 8>0. Далее предположим, что начальные данные у", С°,и"удовлетворяют неравенствам:

(3 <3„, е<е0(5);, в малой окрестности решения (4 = 0, в = Та, С --0) разрешающая полугруппа начально-краевой задачи (15)-(23) имеет нормальную форму, определенную эволюционным уравнением

Здесь Х(г) - реальная амплитуда; А(Д) = 0, а изменение знака означает, что /3 проходит через Д..

В заключении диссертации формулируются основные выводы и результаты исследования, в конце приводится список печатных работ автора, список использованной литературы и приложение.

Публикации в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих периодических изданий

1. Судаков, И.А. Моделирование термического режима вечной мерзлоты при современных изменениях климата / И.А. Судаков, Л.П. Бобылев, С.А. Береснев // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 7. - 2011. - №1. - С. 81-88.

2. Судаков, НА. Динамика протаивания мерзлотных озер и изменения климата У И.А. Судаков // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2011. - №2. - С. 74-79.

3. Судаков, И.А. Анализ физических основ и алгоритмических особенностей нового метанового модуля динамической глобально-вегетационной модели 1Р] / И.А. Судаков // Ученые записки Российского государственного гидрометеорологического университета. -2011.-№19.-С. 140-151.

, где е>0. Тогда, при достаточно малых 3,е

— = Л {р)Х + с,Хг.

Л

(35)

Список основных публикаций по теме диссертации

Публикации в сборниках материалов конференций

1. Судаков, И.А. Моделирование эволюции термического состояния криолитозоны субарктических регионов при глобальном потеплении климата / И.А. Судаков, Л.П. Бобылев,

IS

C.A. Береснев // Материалы межд. коиф. «Криогенные ресурсы полярных и горных регионов». - Москва, Научный совет по криологии Земли РАН, 2008. - С. 281-283.

2. Судаков, И.А. Физические модели оценки влияния изменений климата на вечную мерзлоту / И.А. Судаков // Материалы II Всероссийской научно-практич. конф. «Проблемы недропользования». - Екатеринбург, УрО РАН, 2008. - С. 250-252.

3. Судаков, И.А. Эволюция термического состояния вечной мерзлоты при глобальном потеплении климата / И.А. Судаков // Инф. бюллетень Всероссийской научной конференции студентов-физиков-14. - Уфа, АСФ России, 2008. - С. 474-475.

4. Судаков, И. Моделирование транспорта почвенного метана в моделях эмиссии метана из вечной мерзлоты / И. Судаков, О. Йоханнессен, Л. Бобылев // Сборник статей по материалам молодежной научно-практич. конф. «Актуальные проблемы эволюции географического пространства». - СПб., СПбГУ, 2009. - С. 13-14.

5. Судаков, И.А. Алгоритмические особенности новой метановой модификации глобально-вегетативной модели LPJ / И.А Судаков, Л.П. Бобылев // Сборник научных трудов по итогам Второго молодежного экологического конгресса «Северная Пальмира». - СПб., НИЦЭБ РАН, 2010.-С. 23-25.

Публикации в различных изданиях на английском языке

1. Sudakov, 1. Permafrost thermal regime simulation in response to global warming /1. Sudakov, L. Bobylev, S. Beresnev II Abstracts of Conference: "Polar Research - Arctic and Antarctic Perspectives in the International Polar Year". - St Petersburg, Russia, 2008. - P. 299.

2. Sudakov, 1. Storage of greenhouse gases in permafrost: the problem of the carbon bomb / I. Sudakov // Communities of Change - Building and IPY Legacy: Book of abstracts. - Whitehorse, Canada, 2009. - P. 119-120.

3. Sudakov, I. Simulation of soil gases transport in the models of greenhouse gases emission from permafrost / I. Sudakov // Proceedings of the Arcticnet Annual Scientific Meeting. - Victoria, Canada, 2009. - P. 135-136.

4. Sudakov, I.A. Modelling methane emissions from Siberian permafrost peatlands [Электронный ресурс] / I.A. Sudakov, R. Wania, L.P. Bobylev, O.M. Johannessen // International Polar Year Science Conference Abstracts. - Oslo, Norway, 2010. - Oxford Abstracts. - 1 электрон, опт. диск. - Загл. с экрана.

5. Sudakov, I. Methane Armageddon: Is it possible? /1. Sudakov, S. Vakulenko // Proceedings of Workshops on Inverse Problems, Data, Mathematical Statistics and Ecology. - Linkoping, Sweden, 2010.-P. 115-119.

6. Sudakov, I. Asymptotic approach to permafrost methane emission problem / I. Sudakov, S. Vakulenko // Berichte zur Polar- und Meeresforschung, Special Issue - 2010. - №623. - P. 10-11. 1. Sudakov, I. Permafrost methane emission as a detector of the future regional Arctic climate change /1. Sudakov, S. Vakulenko // Abstract Volume. The Arctic as a Messenger for Global Processes - Climate Change and Pollution. - Copenhagen, Denmark, 2011. - P.174.

8. Sudakov, I. Detection of climate system bifurcations: Arctic permafrost methane emission contribution. / I. Sudakov, S. Vakulenko // Abstract Proceedings of International Conference: Climate Changes in Polar and Subpolar Region. - Moscow, Russia, 2011. - P. 64-65.

9. Sudakov, I. New mathematical approach to permafrost methane emission modeling [Электронный ресурс] /1. Sudakov, S. Vakulenko // XXVIUGG General Assembly Abstracts. -Melbourne, Australia, 2011. - 1 электрон, опт. диск. - Загл. с экрана.

10. Sudakov, I. Study of the climate system bifurcations: permafrost methane emission case. /1. Sudakov, S. Vakulenko // Abstract Proceedings of IMA Conference on the Mathematics of the Climate System. - Reading, UK. -P. 4.

Подписано к печати 21.12.2011. Формат 60.84/16 Гарнитура Times New Roman. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,04. Заказ № 635

Отпечатано в ЗАО «Новгородский технопарк». 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41. Тел. (8162) 73-76-76

Введение.

Глава 1. Моделирование эволюции термического режима криолитозоны.

1.1. Основные подходы к моделированию эволюции термического режима криолитозоны.

1.2. Модель для описания термического режима криолитозоны.

1.3. Вычислительный эксперимент: определение термического режима криолитозоны.

Глава 2. Моделирование эмиссии метана из различных образований криолитозоны.

2.1. Современные комплексы программ для моделирования эмиссии метана из криолитозоны.

2.2. Особенности реализации вычислений с помощью комплекса программ «LPJ-WhyMe».

2.3. Моделирование динамики протаивания мерзлотных озер и их влияния на изменения климата.

Глава 3. Эволюция динамики системы «криолитозона-атмосфера» под воздействием эмиссии метана из криолитозоны.

3.1. Критические точки и критические элементы климатической системы.

3.2. Модель Гуди и ее обобщение на случай эмиссии метана из криолитозоны.

3.3. Бифуркационный анализ обобщенной модели Гуди.

Актуальность темы диссертации

Математические методы изучения климатической системы играют важную роль в решении проблемы изменения климата [59]. Современная точка зрения на климатическую систему как на динамическую систему [122124,130], а на климат - как на статистический ансамбль состояний, проходимых климатической системой за промежутки времени в несколько десятилетий [22], способствует применению различных методов математического анализа и математического моделирования для описания эволюции климатической системы. Это является важной прикладной задачей для прогнозирования будущего изменения климата. Например, в [100] для этого были введены понятия критических точек и критических элементов климатической системы. Если какая-либо достаточно большая часть любой подсистемы климатической системы Земли под воздействием малых возмущений переходит в качественно' иное состояние, то она называется критическим элементом климатической системы, а некий предельный порог, при котором становится возможным проявление критических элементов, называется критической точкой. Применение такого подхода к изучению климатической системы может быть успешно в случае использования методов теории динамических систем для описания эволюции климатической системы.

Теория критических элементов только начинает развиваться и требует введения достаточно фундаментального математического аппарата [124,130]. В настоящее время имеются два основных подхода к изучению бифуркаций в климатической системе: а) применение численного анализа и методов теории динамических систем к современным глобальным климатическим моделям; б) анализ критических точек (точек бифуркации) в относительно простых аналитических моделях климата. Второй метод является наиболее предпочтительным для обширного применения фундаментального аппарата теории динамических систем и позволяет также описать физику климатической системы в критической точке [94,130].

Одним из наиболее актуальных для изучения критических элементов (наряду с Арктическим льдом) является криолитозона (или вечная мерзлота, многолетнемерзлые грунты) которая входит в подсистему «криосфера» климатической системы и достаточно тесно связана положительной обратной связью (за счет эмиссии парниковых газов) с подсистемой «атмосфера». Частичное или полное исчезновение вечной мерзлоты под воздействием глобальных климатических изменений может привести к серьезным экономическим и политическим проблемам в северных регионах планеты [111]. Таяние вечной мерзлоты в условиях глобального потепления обуславливает дополнительную эмиссию парниковых газов (в особенности метана), которые до этого времени были законсервированы в мерзлотной толще [15,32,86,104]. Изменение состояния вечной мерзлоты должно повлиять на функционирование экосистем, которые расположены на ее территории.

Исследованиям эволюции и устойчивости криолитозоны (включая проблему эмиссии метана) в условиях изменяющегося климата посвящены многочисленные публикации (например, [1,2,14,15,27,30,37,106]). Однако до сих пор нет никакой достаточно общей и математически обоснованной теории; описывающей эволюцию криолитозоны (в процессе взаимодействия с атмосферой) как критического элемента климатической системы [130]. Таким образом, предложенная тема диссертационной работы является достаточно актуальной для изучения проблем изменения климата и носит междисциплинарный характер.

С другой стороны, сейчас предложено достаточно большое количество моделей, которые описывают термический режим криолитозоны (в основном, здесь имеется в виду расчет изменения температуры вечной мерзлоты при её протаивании под воздействием изменений климата) на основе решения уравнения теплопроводности или задачи Стефана о межфазном переходе [20]. Как показано в работах [2,24,26], применяемые для таких расчетов численные методы нуждаются в совершенствовании. Модели эмиссии метана из вечной мерзлоты сугубо индивидуальны для каждого типа криолитозоны (торфяники, озера, подводная шельфовая мерзлота и т.п.), так как рассматривают различные процессы метаногенеза и его транспорта в атмосферу [41,69,91,129]. Например, эмиссия метана из мерзлотных торфяников моделируется с помощью комплексов программ, в основу которых заложены глобально-вегетационные модели растительности, что не позволяет правильно описывать физику метаногенеза и приводит к неадекватным (по сравнению с данными наблюдений) результатам. Однако в настоящий момент создать наиболее общую модель эмиссии метана из торфяников не представляется возможным, по причине большой сложности биогеохимических процессов, происходящих в болотно-торфяных системах. Достаточно мало работ посвящено моделированию динамики мерзлотных (термокарстовых) озер (в основном, авторы фокусируются на создание частных моделей для конкретных озер), хотя явным следствием такой динамики является достаточно большая эмиссия метана в атмосферу, достигающая, по последним данным, 1500 Тг/год [41,117]. Кроме того, Н. Шаховой и др. [90,117] была выдвинута гипотеза «метангидратного ружья». Предполагается, что растущий уровень средней глобальной температуры на планете может запустить механизм внезапного высвобождения метана из отложений газогидратов в толщах Земли и, ввиду того, что метан сам по себе является сильным парниковым газом, в свою очередь приведёт к дальнейшему росту температур и дальнейшей дестабилизации газогидратов (так называемый «Арктический Армагеддон» [90]), то есть запускается самоусиливающийся процесс, в той же мере неостановимый, как уже начавшийся выстрел из ружья. Ряд исследований [90, 117] показывают, что самоусиливающееся разложение метангидратов могло приводить к резким изменениям климата несколько раз в прошлом (наиболее заметно среди этих событий «массовое пермское вымирание»). До сих пор, математически подтвердить гипотезу «метангидратного ружья» для криолитозоны не удавалось.

Изучение вопросов, связанных с изменением термического режима криолитозоны, приобрело актуальность только в XX веке на основе инженерной практики, хотя и до этого были сделаны успешные попытки построить строгую и адекватную математическую модель промерзания грунта. В 1889 году И. Стефан в своих работах, имеющих прикладной аспект (в частности рассматривались задачи о промерзании грунта) сформулировал ряд постановок задач о фазовом переходе в системе «жидкость-твердое тело» [23]. Отличительной особенностью этих работ являлось то, что в этих постановках для поверхности раздела фаз, кроме условия изотермичности, было введено также соотношение, выражающее закон сохранения энергии с учетом скрытой теплоты. Все эти задачи допускают приближенные автомодельные решения и были решены с помощью'интеграла вероятностей [17]. Первую попытку получить точное, а не приближенное решение задачи Стефана, сделал М-. Бриллюэн (1931). Он предложил метод сведения исходной задачи Стефана к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений,- однако решить которые он не смог. Доказательство существования и единственности решения одномерной задачи Стефана при относительно общих краевых и начальных условиях было найдено впервые в ЛИ. Рубинштейном (1947). Он предложил прямое использование тепловых потенциалов (в некоторой малой окрестности) для сведения задачи Стефана к системе интегральных уравнений типа Вольтерра [25]. О. А. Олейник (195060-е) развила новые методы изучения разрывных задач эллиптического и параболического типа в применении к многомерной квазилинейной нестационарной задаче Стефана [25]. Принципиально новую точку зрения на сущность задачи Стефана высказали А.Н. Тихонов и A.A. Самарский (1951). Основная идея этого подхода состоит во введении понятия «эффективной» теплоемкости, включающей в себя также скрытую теплоту фазового перехода, сосредоточенно выделяющуюся на поверхности раздела фаз. Это дает возможность с использованием 5-функции Дирака записать единое квазилинейное уравнение энергии сразу во всей области, занятой теплоносящей средой [42]. С помощью процесса сглаживания коэффициентов в полученной ими математической модели был разработан эффективный метод численного анализа нестационарной многомерной задачи Стефана [38]. С другой стороны, формулировка начально-краевой задачи Стефана применительно к изучению термического режима криолитозоны должна включать в себя граничные условия, связанные с внешними природными факторами (осадконакопление, солнечная радиация и т.д.).

Сложность граничных условий позволяет эффективно решать задачу Стефана в такой формулировке только численными методами. В 1974 году Л.Е. Гудрич предложил эффективный численный метод для решения задачи с фазовыми переходами о промерзании грунтов: Он заключается в аппроксимации фронта «промерзания—оттаивания» одной из фаз [75]. Комплекс программ, разработанный Л.Е. Гудричем [76], получил широкое распространение в моделировании климата и инженерной практике. Помимо этого, успешно развивалась теория фазовых переходов в целом. Например, В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау (1950-е) [16] разработали теорию сверхпроводимости, рассматривая сверхпроводимость, как фазовый переход второго рода. Г. Кагиналп (1980-е) [55] развил идеи теории Гинзбурга-Ландау применительно к задаче Стефана, что позволило получить* ее простую формулировку с использованием только двух основных параметров - поля температур и поля параметра порядка. В такой формулировке задача Стефана может быть достаточно эффективно решена численно [55].

Применение идей теории динамических систем применительно к климату началось после работ Э. Лоренца (1963) [123]. Исследуя конвективное движение газа в атмосфере, и применив метод Галеркина к системе типа Буссинеска, он ввел систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, известную теперь как система Лоренца.

Далее, им был изучен, так называемый, странный аттрактор Лоренца — компактное инвариантное множество Z, в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым [46]. Система Лоренца привлекла внимание крупных специалистов по теории динамических систем и способствовала её развитию (например, Дж. Гукенхеймер (1976) [46]). Однако строгое доказательство' существования хаоса в этой модели было получено в 1999 году В; Таккером [94].

С 50-х годов XX века интерес к изучению климата методами теории динамических систем был достаточно низок, по причине перехода от аналитических моделей климата к достаточно сложным комплексным численным моделям всей земной системы. Из работ этого периода можно выделить работу Р: Гуди (1956), предложившего радиационно-конвективную модель атмосферы [81], устойчивость которой в последующем изучал В. Ларсон (1999) и подтвердил существование вшей ячеек Рэлея-Бенара [97]. В конце 2000-х изучение климата методами теории динамических'систем вновь приобретает популярность благодаря работе Т. Лентона (2008) в которой он вводит понятие критической точки и отождествляет ее математически с точкой бифуркации [100]. Дж. Томпсон (2010) разрабатывает детальную теорию критических точек и дает их математическую классификацию [124]. В некоторых работах, например' А. Коробейникова [94], методами теории динамических систем изучаются вопросы: возможности перехода климатической системы от ледникового: периода к межледниковью и появлению в такой системе1 бифуркации Андронова-Хопфа [94]. В.П. Дымников и А:С. Грицун (2010) исследовали аттракторы в численных моделях общей циркуляции атмосферы и океана [10]. Вейчорек (2011) попытался определить параметры точки бифуркации в:моделях климата, где введен эффект «компостной бомбы» [130]. Кроме того, он математически показал неоднозначность, отождествления критических точек только с понятием точка бифуркации [130].

Необходимость дальнейшего развития моделей термического режима криолитозоны, исследования взаимодействия криолитозоны и атмосферы в контексте теории динамических систем позволяет сформулировать цель настоящей работы: исследование взаимодействия криолитозоны и атмосферы как критического элемента климатической системы методами математической физики, теории бифуркаций и динамических систем, а также численными методами.

Сформулируем основные задачи исследования:

1. Разработать модель для исследования термического режима криолитозоны на основе эффективной численной схемы и выполнить ее программную реализацию.

2. На основе вычислительного эксперимента с использованием современных комплексов программ, исследовать взаимодействие криолитозоны (в случае мерзлотных торфяников) с атмосферой.

3. Разработать модель динамики протаивания криолитозоны (в случае мерзлотного озера) на основе современной теории фазовых переходов и асимптотических методов.

4. Обобщить радиационно-конвективную модель атмосферы на случай эмиссии метана из криолитозоны. Изучить бифуркации в этой модели, определить параметры точки бифуркации (критической точки), то есть найти критический для моделируемой системы уровень эмиссии метана. Методы исследования

В работе применялись методы теории динамических систем, включая теорию бифуркаций и аттракторов, асимптотические и стохастические методы, вариационные методы, методы теории фазовых переходов, методы математической теории климата, компьютерные методы моделирования климата, методы теории переноса теплового излучения и радиационного теплообмена в газовых средах. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Модель, описывающая термический режим криолитозоны, реализованная на основе новой для данной области исследований эффективной численной схемы Патанкара и представленная в виде комплекса программ для ЭВМ (который находится на регистрации в Роспатенте). Кроме того, продемонстрированы результаты вычислительного эксперимента с этой моделью - прогнозы протаивания вечной мерзлоты Ямала в XXI веке.

2. Результаты вычислительного эксперимента с использованием современного комплекса программ «ЬР.1-\¥НуМе», моделирующего эмиссию метана из криолитозоны в атмосферу (в случае мерзлотных торфяников). Указаны границы использования комплекса программ \VHyMe» на основе сравнения с другими комплексами программ и наблюдательными данными.

3. Асимптотическая модель динамики протаивания криолитозоны (в случае мерзлотных озер), основанная на применении методов теории фазовых переходов Гинзбурга-Ландау. Представлены оценочные прогнозы эмиссии метана из криолитозоны в атмосферу.

4. Обобщенная радиационно-конвективная модель атмосферы с учетом эмиссии метана из криолитозоны. Развиты новые математические методы, позволяющие изучать критические точки (точки бифуркации) этой модели, связанные с эмиссией парниковых газов. Доказана возможность катастрофических бифуркаций в климатической системе, порожденных эмиссией метана из мерзлотных озер и получена явная формула для критического значения интенсивности такой эмиссии. Обоснована теория «метангидратного ружья».

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Впервые создана модель для расчета термического режима криолитозоны на основе достаточно эффективной численной схемы Патанкара, реализованная в виде программы для ЭВМ и апробированная в ходе вычислительного эксперимента.

2. Впервые методы теории фазовых переходов Гинзубрга-Ландау в совокупности с асимптотическими методами исследования математических моделей применены к изучению динамики мерзлотных озер и прогнозированию будущей эмиссии метана из криолитозоны в атмосферу.

3. Впервые предложена модель, с использованием классических уравнений математической физики, которая позволяет описывать бифуркации атмосферы под влиянием эмиссии парниковых газов. Математически обоснована теория «метангидратного ружья». Рассчитан критический уровень эмиссии метана в атмосферу, получена явная аналитическая формула с конкретной зависимостью от фундаментальных физических параметров атмосферы.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней доказано существование катастрофических бифуркаций атмосферы под влиянием эмиссии метана из криолитозоны и вычислен критический уровень такой эмиссии. Предложенные модели изучения термического режима криолитозоны и динамики протаивания мерзлотного озера могут быть использованы для прогнозирования опасных климатических явлений в зоне вечной мерзлоты. Программа расчета термического режима криолитозоны может быть полезна нефтегазодобывающим предприятиям, расположенным в зоне вечной мерзлоты, для изучения вопросов, связанных со стабильностью инфраструктуры. Учет обнаруженных проблем при использовании комплекса программ для вычисления эмиссии метана из торфяников, несомненно, будет полезен при построении прогнозов изменения климата. Апробация

Результаты исследования докладывались и обсуждались на научных конференциях различного уровня и специализации, включая: — междисциплинарные конференции международного значения, посвященные проблеме изменения климата:

• Polar Research — Arctic and Antarctic Perspectives in the International Polar Year, Санкт-Петербург, 2008 г.

• 9th ACUNS International Student Conference on Northern Studies and Polar Regions, Уайтхорс, Юкон, Канада, 2009 г.

• Arcticnet Annual Scientific Meeting, Виктория, Канада, 2009 г.

• IPY Oslo Science Conference, Осло, Норвегия, 2010 г.

• AMAP Conference — the Arctic as a Messenger for Global Processes - Climate Change and Pollution, Копенгаген, Дания, 2011 г.

• International Conference: Climate Changes in Polar and Subpolar Region, Москва, 2011 г.

• XXVIUGG General Assembly, Мельбурн, Австралия, 2011 г.

- международные специализированные конференции и семинары, посвященные математическому моделированию климатической системы:

• Atmospheric Sciences Workshop, Кембридж, Великобритания, 2009 г.

• Workshops on Inverse Problems, Data, Mathematical Statistics and Ecology, Линчёнпинг, Швеция, 2010 г.

• IMA Conference on the Mathematics of the Climate System, Рэдинг, Великобритания, 2011 г.

• 3rd Integrated Land Ecosystem-Atmosphere Processes Study Science Conference, Гармиш-Партенкирхен, Германия, 2011 г.

- междисциплинарные специализированные конференции и семинары российского масштаба:

• Международный молодежный научный форум «Омега», Санкт-Петербург, 2008 г.

• Всероссийская молодежная конференция «Современные методы исследований в криолитозоне», Пущино, 2009 г.

• Второй молодежный экологический конгресс «Северная пальмира», Санкт-Петербург, 2010 г.

- семинары в организациях:

• Научный семинар Международного центра по окружающей среде и дистанционному зондированию им. Нансена, г. Санкт-Петербург, 20082011 годы.

• На заседаниях кафедры высшей математики и информатики Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна (2010-2011 годы), кафедры климатологии и мониторинга окружающей среды Санкт-Петербургского государственного университета (2009-2011), кафедры прикладной математики и информатики Новгородского государственного университета (2011).

Результаты исследования были использованы автором в учебном процессе при проведении учебных курсов по специальности 020600 Гидрометеорология: «Методы математической физики», «Климатология» в Российском государственном гидрометеорологическом университете (г. Санкт-Петербург).

Работа выполнялась в рамках: персональных грантов для молодых ученых Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна (2010, 2011 гг.); гранта Исследовательского Совета Норвегии (Research Council of Norway) по проекту YGGDRASIL (грант № 195740/V11), гранта Министерства образования и науки Германии по программе «Изменения окружающей среды» лаборатории полярных и морских исследований им. О.Ю. Шмидта (грант № OSL-11-21), а также Декартовской программы исследований климата и окружающей среды Арктики и СубАрктики, выполняемой в Нансен-центрах в Санкт-Петербурге и Бергене (Норвегия). Автор был удостоен премии Правительства Санкт-Петербурга в области научно-педагогической деятельности (Направление: «Естественные и математические науки») 2010 года, в том числе, и за результаты, полученные при выполнении кандидатской диссертации. Публикации

Результаты работы представлены в 3 публикациях из перечня ВАК, 15 тезисах и материалах конференций, 2 публикации переданы на рецензирование в международные научные периодические издания. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и иллюстративного приложения с пояснениями. Общий объём работы составляет 143 страницы; в том числе приложение — 10 страниц. Список литературы включает 132 наименования, из них 86 на английском языке.

Выводы к главе 3 В данной главе изучено поведение климатической системы, моделируемой конвективно-радиационной моделью Гуди, вблизи точки бифуркации (критической точки). Эта модель обладает рядом достоинств соответствующих цели настоящего исследования: во-первых, ячейки Рэлея— Бенара являются одним из основополагающих примеров самоорганизации; во-вторых, модель достаточно хорошо применима для описания, реальных атмосферных процессов. Для описания возможных точек бифуркации модель Гуди была расширена- с учетом того, что в- качестве нижнего граничного условия был записан поток метана с поверхности, где предполагается, что мерзлотные озера продуцируют метан, а так же здесь происходит дальнейшая конвекция, диффузия и распад метана в. моделируемой атмосфере. Сформулирована начально-краевая задача для модели Гуди с учетом новых условий, доказано существование и единственность решений* этой начально-краевой задачи, т.е. математическая корректность обобщенной модели Гуди. Кроме того, была получена интегральная оценка эмиссии метана. Введен безразмерный параметр' к, который определяет типичные скорости эм иссии метана из мерзлотных озер, для которого было зучено его ' поведение относительно • точки бифуркации. Показано, что в обобщенной модели Гуди имеется два типа бифуркаций: а);первый.тип — это бифуркации аналогичные обычным бифуркациям- Рэлея-Бенара (конвективная* неустойчивость); б), второй тип - это новые бифуркации, возникающие за счет эмиссии метана из мерзлотных озер.

Для классических бифуркаций первого типа показано, что эмиссия метана может сдвинуть точки бифуркации в любую сторону, в зависимости от полей температуры и скорости- потока в атмосфере. Бифуркации этого типа могут привести к образованию сложных диссипативных структур.

Бифуркации второго типа ведут к резкому изменению динамики системы. Выяснен тип этих бифуркаций- по классификации Томпсона. Здесь был дан пример расчета влияния, управляющего параметра, где получена явная, аналитическая формула с конкретной простой зависимостью от физических параметров модели.

117

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований:

1. Предложена новая модель динамики атмосферы, учитывающая влияние потока метана (парникового газа) с поверхности криолитозоны. Доказано существование и единственность решений соответствующей начально-краевой задачи, то есть данная модель корректно поставлена и описывает полугруппу в соответствующем пространстве Соболева.

2. Показано,1 что данная модель описывает как классические бифуркации типа Рэлея-Бенара, так и бифуркации нового типа. Доказана теорема о сведении полугруппы, при некоторых условиях, к одному обыкновенному дифференциальному уравнению.

3. Предложен метод расчета критического управляющего параметра. Впервые получена явная формула для критического значения интенсивности эмиссии как функции фундаментальных параметров,-описывающих динамику атмосферы и поглощения радиации. Основываясь на реальных экспериментальных данных об атмосфере Земли, оценено критическое значение эмиссии, ведущее к бифуркации.

4. Исследованы различные типы криолитозоны и для них получены новые модели: модель термического режима многолетнемерзлых грунтов на основеабсолютно устойчивой численной схемы Патанкара; модель протаивания мерзлотного озера на основе асимптотических1 методов, базирующихся на нелинейной теории фазовых переходов Гинзбурга-Ландау.

5. Создан (и передан на регистрацию в Роспатент) комплекс программ для расчета термического режима криолитозоны, который может быть использован в инженерной практике для прогнозирования устойчивости многолетнемерзлых грунтов.

6. Получены некоторые количественные результаты о скорости эмиссии метана из криолитозоны и о термическом режиме вечной мерзлоты.

7. В работе рассмотрен комплекс программ «LPJWHyMe» для моделирования метана из мерзлотных торфяников, проанализированы недостатки в его в физическом обосновании, и в алгоритмической реализации.

1. Судаков, И.А. Моделирование термического режима вечной мерзлоты при современных изменениях климата / И.А. Судаков, Л.П. Бобылев, С.А. Береснев // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 7. — 2011. — №1. С. 81-88.

2. Судаков, И.А. Динамика протаивания мерзлотных озер и изменения климата / И.А. Судаков // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. — 2011. — №2. — С. 74-79:

3. Публикации в сборниках материалов конференций

4. Судаков, И.А. Физические модели оценки влияния изменений климата на вечную мерзлоту / И.А. Судаков // Материалы II Всероссийской научнопрактич. конф. «Проблемы недропользования». — Екатеринбург, УрО РАН, 2008. С. 250-252.

5. Судаков, И.А. Эволюция термического состояния- вечной мерзлоты при глобальном потеплении климата / И.А. Судаков // Инф. бюллетень Всероссийской научной конференции студентов-физиков-14. — Уфа, АСФ России, 2008. С. 474-475.

6. Публикации в различных изданиях на английском языке

7. Sudakov, I. Storage of greenhouse gases in permafrost: the problem of the carbon bomb / I. Sudakov // Communities of Change Building and IPY Legacy: Book of abstracts. - Whitehorse, Canada, 2009. - P. 119-120.

8. Sudakov, I. Simulation of soil gases transport in' the models of greenhouse gases emission from permafrost / I. Sudakov // Proceedings of the Arcticnet Annual Scientific Meeting. Victoria, Canada, 2009. - P. 135-136.

9. Sudakov, LA. Modelling methane emissions from Siberian permafrost peatlands Электронный ресурс] / I.A. Sudakov, R. Wania, L.P. Bobylev, O.M.

10. Johannessen // International Polar Year Science Conference Abstracts. Oslo, Norway, 2010. - Oxford Abstracts. - 1 электрон, опт. диск. - Загл. с экрана.

11. Sudakov, I. Methane Armageddon: Is it possible? /1. Sudakov, S. Vakulenko // Proceedings of Workshops on Inverse Problems, Data, Mathematical Statistics and Ecology. Linkoping, Sweden, 2010. - P. 115-119.

12. Sudakov, I. Asymptotic approach to permafrost methane emission problem / I. Sudakov, S. Vakulenko // Berichte zur Polar- und Meeresforschung, Special Issue-2010.-№623.-P. 10-11.

13. Sudakov, I. New mathematical approach to permafrost methane emission modeling Электронный ресурс] / I. Sudakov, S. Vakulenko // XXV IUGG General Assembly Abstracts. Melbourne, Australia, 2011. - 1 электрон, опт. диск. - Загл. с экрана.

14. Sudakov, I. Study of the climate system bifurcations: permafrost methane emission case. / I. Sudakov, S. Vakulenko // Abstract Proceedings of IMA Conference on the Mathematics of the Climate System. Reading, UK. -P. 4.1211. Список литературы

15. Анисгшов, O.A. Прогнозные сценарии эволюции криолитозоны при глобальных изменениях климата в XXI веке / O.A. Анисимов, Ф.Э. Нельсон, A.B. Павлов // Криосфера Земли. 1999. - № 4. - С. 15-25.

16. Аржанов, М.М. Моделирование изменений температурного и гидрологического режимов приповерхностной мерзлоты с использованием климатических данных (реанализа) / М.М. Аржанов, A.B. Елисеев, П.Ф. Демченко // Криосфера Земли. -2007. № 4. - С. 65-70.

17. Бартенъе, О.В. Современный Фортран / О.В: Бартеньев. — М.: Диалог -Мифи, 2005. 397 с.

18. Берковский, Б.М. Вычислительный- эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. — Мн., Университетское, 1988. 167 с.

19. Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. М.: Наука, 1975. - 482 с.

20. Генри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Генри. М.: Мир, 1984.-376 с.

21. Геоэкология Севера (введение в геокриоэкологию) / Под ред. В.И. Соломатина. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 270 с.

22. Гершуни, Г.З. Конвективная» устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З: Гершуни, Е.М. Жуховицкий. -М.: Наука, 1972. 392 с:

23. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость / Г.З. Гершуни, Е.М., Жуховицкий // Итоги науки и техники. Серия «Механика жидкости и газа». — 1978.-Т. 11.-С. 66-154.

24. Грицун, A.C. Построение операторов отклика на, малые внешние воздействия для< моделей общей циркуляции атмосферы с периодическими по времени правыми частями / A.C. Грицун // Изв. РАН. ФАиО. — 2010. — Т. 46, №6.-С. 808-817.

25. Дучков, А.Д. Тепловой поток и геотемпературное поле Сибири / А.Д. Дучков, JI.C. Соколова, В.Т. Балобаев и др.] // Геол. и геоф. 1997. - №11. -С. 1716-1729.

26. Дымников, В.П. Ляпуновские показатели и размерность аттрактора двухслойной бароклинной модели атмосферной циркуляции / В.П. Дымников, A.C. Грицун // Доклады РАН. -1996. -Т. 347, №4. С. 535-538.

27. Дымников, В.П. Современные проблемы математической теории климата / В.П. Дымников, A.C. Грицун // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. -2005. Т. 41, № 3. - С. 294-314.

28. Ершов, Э.Д. Деградация мерзлоты при возможном глобальном потеплении климата / Э.Д. Ершов // Соросовский образовательный журнал. -1997.-№ 2.-С. 70-74.

29. Изменение климата: Обзор состояния научных знаний об антропогенном изменении климата / Составитель А.О. Кокорин. — М.: РРЭЦ, GOF, WWF России, 2005. 20 с.

30. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер.- М.: Наука, 19641-488 с.

31. Карташов, Э:М. Аналитические методьь в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. М.: Высшая школа, 2001. — 550 с.

32. Клименко, В.В. Изменения климата и динамика толщ многолетнемерзлых пород на Северо-западе России в ближайшие 300 лет / В.В. Клименко, Э.Д. Ершов // Криосфера Земли. 2007. —№ 3. - С. 3-13.

33. Комаров, И. А. Термодинамика и тепломассообмен в г дисперсных мерзлых породах / И.А. Комаров. М.: Научный мир, 2003. - 608 с.

34. Кравцова, В.И. Изменение размеров термокарстовых озер в различных районах России за- последние 30 лет. / В.И. Кравцова, А.Г. Быстрова // Криосфера Земли. 2009. - Т. XIII, № 2. - С. 16-26.

35. Ладыженская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / O.A. Ладыженская. М.: Наука, 1970. - 288 с.

36. Лыков, A.B. Теория теплопроводности / A.B. Лыков. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

37. Малевский-Малевич, С. П. Моделирование и анализ возможностей экспериментальной проверки эволюции термического состояния многолетнемерзлых грунтов / С.П. Малевский-Малевич, Е.К. Молькентин, Е.Д. Надежина // Криосфера Земли. 2007. - № 1. - С. 29-36.

38. Математическая физика. Энциклопедия / под ред. Л.Д. Фадеева. М.: Большая российская энциклопедия, 1998. - 691 с.

39. Мачулъская, Е.Е. Моделирование термодинамической реакции вечной мерзлоты на сезонные и межгодовые вариации атмосферных параметров / Е.Е. Мачульская, В.Н. Лыкосов // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2002. - № 1.- С. 20-33.

40. Молотков, И.А. Сосредоточенные нелинейные волны / И.А. Молотков, С.А. Вакуленко. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1988. — 240 с.

41. Монин, A.C. Климат как проблема*физики / A.C. Монин, Ю.А. Шишков // Успехи физических наук. 2000. -№4. - С. 419-444.

42. Павлов, A.B. Вечная мерзлота и современный климат / А.В.Павлов, Г.Ф. Гравис // Природа. -2000. -№ 4. с. 9-18.

43. Павлова, Т.В. Расчет эволюции криосферы в XX и XXI веках с использованием глобальных климатических моделей нового поколения / Т.В. Павлова, В.М. Катцов, Е.Д. Надежина // Криосфера Земли. 2007. - № 2. - С. 3-14.

44. Парниковые газы — глобальный экологический ресурс / Составитель В.Х. Бердин. М.: WWF России, 2004. - 136 с.

45. Патанкар, C.B. Численные методы решение задач теплообмена и динамики жидкости / C.B. Патанкар. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 152 с.

46. Патанкар, C.B. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах / C.B. Патанкар. М.: Изд-во МЭИ, 2003. - 312 с.

47. Полежаев, В.И. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальной слое конечной длины, подогреваемом снизу /

48. B.И. Полежаев, В.П. Яремчук // Механика жидкости и газа. 2001. — № 4. —1. C. 34-45.

49. Природные условия Байдарацкой губы / Под ред. В.А. Совершаева. — M.: FEOC, 1997. 432 с.

50. Ривкина, Е.М. Метан в вечномерзлых отложениях северо-восточного сектора Арктики / Е.М. Ривкина, Г.Н. Краев, A.JI. Холодов // Криосфера Земли. 2006. -№ 3. - С.23-41.

51. Самарский, A.A. Вычислительная теплопередача / A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

52. Сорокин, B.C. О'стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу / B.C. Сорокин // ПММ. 1954. - №18, Вып. 2. - С. 197.

53. Стейн, И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн. М.:Мир, 1973. - 344 с.

54. Степаненко, В.М. Моделирование эмиссии метана из озёр зоны вечной мерзлоты / В.М. Степаненко, Е.Е. Мачульская, М.В. Глаголев, В.Н. Лыкосов // Известия РАН. Физика атмосферы и>океана. 2011. - Т. 47, № 2. - С. 275288.

55. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. Ml: Наука, 1977.-735 с.

56. Ткаченко, Е.И. Исследование тепловых задач для сред с изменением агрегатного состояния на основе новой формулировки нижнего граничного условия: автореф. дис. . канд. тех. наук / Е.И. Ткаченко; Тюм. ун-т. -Тюмень, 2006. 18 с.

57. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. М.: Мир, 1968. - 427 с.

58. Фролов, А.Д. Электрические и упругие свойства мерзлых пород и льдов / А.Д. Фролов. Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1998. - 515 с.

59. Чуличков, А.И. Математические модели нелинейной динамики / А.И. Чуличков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 296 с.

60. Angenent, S. A computed'example of non-uniqueness of mean curvature / S. Angenent, D.L. Chopp, T. Ilmanen // Comm. Partial Differential Equations. -1995. -V. 20(11-12).-P. 1937-1958.

61. Angenent, S. Some recent results on mean curvature flow / S. Angenent // RAM-Res. Appl. Math» 1994: - V. 30. - P. 1-18.

62. Anisimov, O.A. Variability of seasonal thaw depth, in permafrost regions: a stochastic modeling approach / O.A. Anisimov, N.I. Shilclomanov, F.E. Nelson // Ecological Modelling. 2002. - V. 153. - P. 217-227.

63. Bartlett, K.B. Review and assessment-of methane emissions from'wetlands / K.B. Bartlett and R.C. Harriss // Chemosphere. 1993. - V. 26. - P. 261-320:

64. Bekryaev, R.V. Intermittent chaos and large scale circulation regimes in the atmosphere / R.V. Bekryaev 11 Atmospheric and Oceanic Physics. — 1996. V. 31, №4. - P. 347-358.

65. Bledoui, F. The onset of Rayleigh-Benard instability in molecular radiating gases / F.Bledoui, A. Soufani // Phys. Fluids A. 1997. - V. 9. - P. 3858-3872.

66. Caginalp, G. Stefan and Hele-Shaw type problems as asymptotic limits of the phase field equations / G. Caginalp // Phys. Rev. A. 1989. - V. 39. - P. 128146.

67. Cao, M.K. Global* carbon exchange and methane emissions from natural wetlands: Application of a process-based model / M.K. Cao, S. Marshall, K. Gregson//J. Geophys. Res. 1996. -V. 101. - P. 14399-14414.

68. Carter, A. J. SoilData v2.0: Generating a Global Database of Soil Properties Electronic resource] / Carter A.J., Scholes R.J. — CSIR Environmentek, Pretoria, South Africa, 2000. -1 электрон, опт. диск (CD-ROM). Загл. с экрана.

69. De Mottoni, P. Geometrical evolution of developed interfaces / P. De Mottoni, M. Schatzman // Trans. Amer. Math. Soc. 1995. - V. 347(5). - P. 15331589.

70. Dijkstra, H.A. Dynamical Oceanography / H.A. Dijkstra. Springer, NY, 2008:-407 pp.

71. Drazin, P.G. Hydrodynamic Stability / P.G. Drazin, W.H. Reid. -Cambridge University Press, New York, 1981. 619 pp.

72. Dymnikov, V.P. Chaotic attractors of atmospheric models / V.P. Dymnikov, A.S. Gritsun // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. - V.17, №3. - P. 249-281.

73. Ecker, K. Mean curvature evolution of entire graphs / K. Ecker, G. Huisken // Ann. of Math. -1989. V. 130(3). - P. 453-71.

74. Ecker, K. Interior estimates for hyper surfaces moving by mean curvature / K. Ecker, G. Huisken // Invent. Math. 1991. - V. 105(3). - P. 547-569.

75. Frollang, G. Climate controls on temporal variability of methane flux from a poor fen in southeastern New Hampshire: Measurement and modeling / G. Frolking, P. Grill //Global Biogeochem. Cycles. -1994. V. 8. - P. 385-387.

76. Gage, M. The heat equation shrinking convex plane curves / M. Gage, R.S. Hamilton// J. Differential Geom. 1986. -V. 23(1). - P. 69-96.

77. Getling, A. V. On the scales of convection flows in a horizontal layer with radiative energy transfer. A.V. Getling // Atmos. Oceanic Phys. 1980. - V.16. -P. 63-365.

78. Gille, J. Convection in a radiating gas / J. Gille, R.M. Goody // J. Fluid Mech. 1964. -V. 20. - P. 47-79.

79. Goodrich, L.E. An introductory review of numerical methods for ground thermal regime calculations / L.E. Goodrich. Nat. Res. Council of Canada, Div. Bldg. Res., 1982. - V.1061. - 124 pp.

80. Goodrich, L.E. Efficient numerical technique for one-dimensional thermal problems with phase change/ L.E. Goodrich // Int. J. Heat Mass. Transfer. — 1978. -V. 21.-P. 615-621.

81. Goodrich, L.E. FORTRAN IV program for general one dimensional geothermal problems / L.E. Goodrich. Nat. Res. Council of Canada, Div. Bldg. Res., 1974.-V. 39.- 100 pp.

82. Goody, R.M. Atmospheric Radiation. I. Theoretical Basis / R.M. Goody. — Oxford University Press, NewYork, 1964. 487 pp.

83. Goody, R.M. Atmospheric Radiation: Theoretical Basis, 2nd Edition / R.M. Goody, Y.L. Yung. Oxford University Press, New York, 1989 - 536 pp.

84. Goody, R.M. Corrigendum / R.M. Goody // J. Fluid Mech. 1956b - V.l -P. 670.

85. Goody, R.M. Principles of Atmospheric Physics and Chemistry / R.M. Goody. Oxford University Press, New York, 1995 - 324 pp.

86. Goody, R.M. The influence of radiative transfer on cellular convection / R.M. Goody // J. Fluid Mech. 1956a - V.l - P. 424-435.

87. Gritsun, A. Climate response of linear and quadratic functional using the fluctuation-dissipation theorem / A. Gritsun, G. Branstator, A. Majda // Journal of Atmos.Sci. 2008. - V.65. - P. 2824-2841.

88. Hansen, J. "Tipping point: Perspective of a climatologist". In Ward Woods. State of the Wild 2008-2009: A Global Portrait of Wildlife, Wildlands, and Oceans (State of the Wild) / J. Hansen. Washington, DC: Island Press, 2008. - P. 6-15.

89. Held, H. Detection of climate system bifurcations by degenerate fingerprinting / H. Held, T. Kleinen // Geophys. Res. Lett. 2004. - V.31. L23207. doi: 10.1029/2004GL020972.

90. Held, LM. Water Wapor Feedback and Global Warming / I.M. Held, B.J. Soden // Annu. Rev. Energy Environ. 2000. - V. 25. - P. 441-475.

91. Huissteden, J. Sensitivity analysis of a wetland methane emission model based on temperate and arctic wetland sites / J. Huissteden, A.M.R. Petrescu, D.M.D Hendriks, K.T. Rebel // Biogeosciences. 2009. - V. 6. - P. 3035-3051.

92. Joseph, D.D. Nonlinear stability of the Boussinesq equations by the method of energy / D.D. Joseph. // Arch. Ration. Mech. Anal: 1965. - V.22. - P. 163-184.

93. Kerr, R. Arctic Armageddon' Needs More Science Less Hype / R. Kerr // Science. 2010. -V.8. - P: 620-621.

94. Khvorostyanov, D.V. Vulnerability of permafrost carbon to global warming. Part I. Model description and role of heat generated by organic matter decomposition / D.V. Khvorostyanov, G. Krinner, P. Ciais // Tellus. 2008. - V. 60B.-P: 343-358.

95. Khvorostyanov, D: V. Vulnerability of permafrost carbon to global warming. Part II: Sensitivity of' permafrost carbon stock to global warming / D.V. Khvorostyanov, G. Krinner, P. Ciais // Tellus. 2008. - V. 61B. - P. 245-288.

96. Kiehl, J.T. Earth's Annual Global Mean Energy Budget / J.T. Kiehl, K.E. Trenberth //Bulletin of the Am. Meteorol. Soc. 1997. - V. 78 (2). - P. 197-208.

97. Korobeinikov, A. Long-term global climate dynamics: A Hopf bifurcation causing recurrent Ice Ages- / A. Korobeinikov and A. McNabb // J. Appl. Math. Decision Sciences. 2001. -V. 5 (4). - P. 201-214.

98. Krylova, A.I. Modelling of methane emission from bog ecosystems / A.I. Krylova, V.N. Krupchatniko, I.V. Zinovieva // Bull. NCC. Ser. Num. Mod. Atmosphere, Ocean and Environment Studies. — 2001. — V. 7. P. 17-26.

99. Larson, V.E. The effects of thermal radiation on dry convective instability / V.E. Larson // Dynamics of Atmospheres and Oceans, Dynamics of Atmospheres and Oceans. -2001. -V.34. P. 45-71.

100. Larson, V.E. Stability properties of and scaling laws for a dry radiative-convective atmosphere / V.E. Larson // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2000. - V.126. -P. 145-171.

101. Lehner, B. Development and validation of a global database of lakes, reservoirs and wetlands / B. Lehner, P. Doll // Journal of Hydrology. 2004. - V. 296/1-4.-P. 1-22.

102. Lenton, T.M. Tipping elements in the Earth's climate system / T.M. Lenton, H. Held, E. Kriegler, J.W. Hall, W. Lucht, S. Rahmstorf, H.J. Schellnhuber // Proceedings of the National Academy of Science of USA. 2008. - V.105 (6). -P. 1786-1793.

103. Lerman, A. Geochemical Processes. Water and Sediment Environments / A. Lerman. New York: Wiley, 1979. - 481 pp.

104. Matthews, E. Methane emissions from natural wetlands: global distribution, area, and environmental characteristics of sources / E. Matthews, I.Y. Fung // Global Biogeochemical Cycles. 1987. -V. 1. - P. 61-86.

105. Mitchell, T.D: An improved method of constructing a database of monthly climate observations and associated high-resolution grids / T.D. Mitchell, P.D. Jones // Int. J. Climatol. 2005. - V. 25. - P. 693-712.

106. Moller, F. On the influence of changes in CO2 concentration in air on the radiation balance of Earth's surface and on climate / F. Moller // J. Geophys. Res. 1963. - V. 68. - P. 3877-3886.

107. Moore, T.R. Methane emissions from wetlands, southern Hudson Bay lowland / T.R. Moore, A. Heyes, N.T. Roulet // J. Geophys. Res. 1994. - V. 99(D1). - P. 1455-1467.

108. Moritz, R.E. Dynamics of recent climate change in the Arctic / R.E. Moritz, C.M. Bitz, EJ. Steig // Science. 2002. -V. 297. - P. 1497-1502.

109. Murgai, M.P. A study of the combined effect of thermal radiative transfer and a magnetic field on the gravitational convection of an ionized fluid / M.P. Murgai, P.K. Khosla // J. Fluid Mech. 1962. - V. 14. - P. 433-451.

110. Narasimha, R. The energy balance in the Ramdas layer / R. Narasimha, A.S. Vasudeva Murthy // Bound. Layer Meteorol. 1995. - V. 76. - P. 307-321.

111. Nicolsky, D.J. Using in-situ temperature measurements to estimate saturated soil thermal properties by solving a sequence of optimization problems / D.J. Nicolsky, V.E. Romanovsky, G.S. Tipenko // The Cryosphere. — 2007. V. 1. — P! 41-58.

112. Official Website of Max Planck Institute for Meteorology. ECHAM -Global Climatic Model. Electronic resource] / [Germany, Hamburg], [2008]. Mode of access: http://www.mpimet.mpz.de/en/xvissenschafl/modelle/echam.html (Data of request: 01.05.2008).

113. Paepe, R. Permafrost Response on Economic Development, Environmental' Security and Natural Resources^ / R. Paepe, V.P1 Melnikov. — Kluwer Academic Publishers, 2001. 664 pp.

114. Peatland Ecosystem Analysis and Training NETwork (PEATNET) -Official Website Electronic resource] / [U.S.A, Illinois], [2008]. Mode of access: http://www.peatnet.siu. edu (Data of request: 01.12.2010).

115. Press, W.H. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd Edition / W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T Vetterling, B.P Flannery. Cambridge University Press, New York, 1992. - 735 pp.

116. Ramdas, L.A. The vertical distribution of air temperature near the ground at night / L.A. Ramdas, S. Atmanathan //Beit. Geophys. 1932. - V.37. - P. 116-117.

117. Reid, R.C. Properties of gases and liquids. 4th Edition / R.C. Reid, J.M. Prausnitz, B.E. Poling. McGraw-Hill, New York, 1987 - 435 pp.

118. Shakhova, N. Extensive Methane Venting to the Atmosphere from Sediments of the East Siberian Arctic Shelf / N. Shakhova, I. Semiletov, A. Salyuk, V. Yusupov, D. Kosmach, O. Gustafsson // Science. 2010. - V. 327. - P. 1246-1250.

119. Spiegel, E.A. The convective instability of a radiating fluid layer / E.A. Spiegel//Astrophys. J. 1960. -V. 132. - P. 716-728.

120. Spiegel, E.A. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid / E.A. Spiegel, G. Veronis // Astrophys. J. 1960. - V. 131. - P. 442-447.

121. Straughan, B. The Energy Method, Stability, and Nonlinear Convection / B. Straughan. Springer, New York, 1992. — 247 pp.

122. Thompson, J.M.T. Climate tipping as a noisy bifurcation: a predictive technique / J.M.T. Thompson, J. Sieber // IMA Journal of Applied Mathematics. — 2011.-V. 76(1). -P.27-46.

123. Thompson, J.M.T. Predicting climate tipping as a noisy bifurcation: a review / J.M.T. Thompson, J. Sieber // Int J. Bif. Chaos. 2011. - V. 21(2). - P: 399-423.

124. Thompson, J.M.T. Predicting climate tipping points. In Geo-Engineering climate Change: Environmental Necessity or Pandora's Box? / B. Launder and J.M.T. Thompson. Cambridge University Press, 2010. - 314 pp.

125. Tokida, T. Falling atmospheric pressure as a trigger for methane ebullition from peatland / T. Tokida, T. Miyazaka, M. Mizoguchi, O. Nagata, F. Takakai, A. Kagemoto, R. Natano // Global Biogeochem. Cycles. 2007. - V. 21. - P. 1-8.

126. Vasudeva Murthy, A.S. A theory of the lifted temperature minimum on calm clear nights / A.S. Vasudeva Murthy, J. Srinivasan, R. Narasimha // Phil. Trans. R. Soc. London A. 1993. - V. 344. - P. 183-206.

127. Veronis, G. Penetrative convection / G. Veronis // Astrophys. J. 1963. - V. 137.-P. 641-663.

128. Vincenti, W.G. The coupling of radiative transfer and gas motion. / W.G. Vincenti, S.C. Traugott //Annu. Rev. Fluid Mech. 1971. - V. 3. - P. 89-116.

129. Wania, R. Implementation and evaluation of a new methane model within a dynamic global vegetation model: LPJ-WHyMe vl.3.1 / R. Wania, I. Ross, I.C. Prentice // Geoscientific Model Development. 2010. - V. 3. - P. 565-584.

130. Wieczorek, S. Excitability in ramped systems: the compost-bomb instability / S. Wieczorek, P. Ashwin, C.M. Luke, P.M. Cox // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2010. - V. 467. -P. 1243-1269.

131. Worthy, D.E.J. Evidence for a link between climate and northern wetland methane emissions / D.E.J. Worthy, I. Levin, F. Hopper, M.K. Ernst, N.B. Trivett // J. Geophys. Res. 2000. -V. 105(D3). - P. 4031-4038.