автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима

На правах рукописи

ПОПОВ Василий Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОШИРОТНОЙ ИОНОСФЕРЫ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2004

Работа выполнена в Физико-техническом институте Якутского государственного университета им. М.К.Аммосова Министерства образования Российской Федерации

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, Голиков И.А. доктор физико-математических наук, Григорьев Ю.М. доктор физико-математических наук, профессор Гинзбург Э.И. Сибирский физико-технический институт при Томском государственном университете, г.Томск

Защита состоится " 3 О п ¿рЛ 200 г. В часов на

заседании диссертационного совета Д 212.306.04 в Якутском государственном университете по адресу: 677000, Якутск, ул.Кулаковского, 48.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УЛК ЯГУ Автореферат разослан " }0 " 200 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Яковлев Б.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена созданию численной трехмерной модели высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима.

Актуальность темы

Ионосфера Земли активно изучается с 20-х годов прошлого столетия в связи с открытием дальнего распространения коротких радиоволн Впервые теоретическое объяснение аномального ^ было дано Чепменом, предложившего существование ионизированной оболочки вокруг Земли. Им было получено уравнение, которое объясняло существование ионизированного слоя в верхних слоях атмосферы. В дальнейшем оказалось, что структура этого слоя, получившего название ионосферы, достаточно сложна. Позднее с развитием средств радиосвязи, появлением космонавтики, началось всестороннее исследование физико-химических процессов, протекающих в ионосферной плазме. Пик данного научного направления пришелся на 70-80-е годы ХХ-го столетия, в 90-х годах роль технических систем ^ - диапазона несколько снизился в связи с переходом в область высоких частот вплоть до СВЧ. Однако в настоящее время вопреки первоначальным прогнозам, оказалось, что ионосфера оказывает воздействие на распространение радиоволн вплоть до гигагерцевого диапазона. В частности, временные флуктуации концентрации ионосферной плазмы приводят к фазовым изменениям в радиосигнале. К последним, например, очень чувствительны системы глобального позиционирования. Прогнозирование состояния ионосферы с помощью моделей важно так же и для прогноза магнитных бурь, навигации космических аппаратов.

Наибольшую роль в исследовании ионосферы играет эффективный метод математического моделирования. В настоящее время разработаны модели ионосферы, достаточно точно описывающие среднеширотную ионосферу. Но наибольший интерес для исследователей представляют процессы формирования и поведение ионосферы на высоких широтах. Именно в этой области формируются и существуют множество аномалий, не получившие еще полного теоретического объяснения. Если на средних широтах для параметров заряженной компоненты ионосферного газа одномерное приближение дает удовлетворительное описание, то при переходе к высоким широтам, где важную роль в формировании структуры ионосферы играет перенос плазмы в горизонтальном направлении это приближение неприменимо. Поэтому в данном случае необходимо решить систему трехмерных моделирующих уравнений, учитывающих как-вертикальный, так и горизонтальный перенос ионосферной плазмы.

Целью настоящей работы является: - Построение трехмерной численной модели области F2 высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима;

- Разработка эффективного алгоритма для численного решения системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера в сферической (географической) системе координат с учетом несовпадения магнитного и географического полюсов;

- Программная реализация полученного численного алгоритма в виде комплекса программ модели;

- Проведение численных экспериментов для различных гелиогеофизических условий с последующим сопоставлением с экспериментальными данными;

Основные результаты работы:

1. Разработана и численно реализована математическая модель высокоширотной ионосферы на основе системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера в сферической (географической) системе координат с учетом несовпадения геомагнитного и географического полюсов, и теплового режима высокоширотной ионосферы;

2. Разработан эффективный алгоритм для численного решения системы моделирующих уравнений на основе метода суммарной аппроксимации в сочетании с методом прогонки путем последовательного решения системы уравнений с итерациями.

3. Полученная численная модель позволяет описывать крупномасштабную структуру высокоширотной ионосферы при различных гелиогеофизических условиях с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы. Проведенные на модели численные эксперименты, показали хорошее совпадение результатов с экспериментальными данными со спутников и данными сети станций ВЗ.

Научная новизна:

Реализован комплекс программ трехмерной математической модели высокоширотной ионосферы; предложен эффективный метод численного решения системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера в сферической (географической) системе координат с учетом несовпадения магнитного и географического полюсов; проведены численные эксперименты для различных гелиогеофизических условий с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов обеспечивается физически обоснованной постановкой задачи, правомерностью принятых допущений при разработке математической модели, оценками применимости используемых методов численного интегрирования системы уравнений модели и степени адекватности

результатов, численных экспериментов на основе сравнения с экспериментальными данными и с результатами, полученными другими авторами.

Научная и практическая значимость работы заключается, прежде всего, в том, что предложенный алгоритм решения системы моделирующих уравнений позволяет эффективно производить численное решение системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики. Реализация эйлерова подхода, а также учет теплового режима в моделировании высокоширотной ионосферы открывает новые возможности построения моделей с высокой степенью адекватности реальной среде, с помощью которых могут быть осуществлены более полные и глубокие исследования физико-химических процессов, протекающих в ионосферной плазме высоких широт.

Разработанная модель используется для интерпретации результатов экспериментальных исследований, получаемых с помощью как наземных радиофизических методов, так и искусственных спутников Земли. Разработанный алгоритм численного решения системы моделирующих уравнений может быть использован и используется для решения подобных многомерных задач в задачах ионосферного моделирования.

Настоящая модель может быть использована также для целей оптимального планирования дорогостоящих экспериментальных исследований и для совершенствования прогноза состояния высокоширотной ионосферы.

На защиту выносятся:

1. Трехмерная модель высокоширотной ионосферы в интервале высот 120-500 км с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы, описывающая крупномасштабную структуру моделируемой среды.

2. Вычислительный алгоритм для численного решения системы многомерных уравнений для задач математического моделирования ионосферных процессов на основе метода суммарной аппроксимации в сочетании с методом прогонки путем последовательного решения системы уравнений с итерациями.

3. Результаты вычислительного эксперимента по исследованию закономерностей и явлений в ионосферной плазме.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2001 г), III Сибирской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Физика, радиофизика — новое

поколение в науке" (г. Барнаул, 2002), IV Лаврентьевских чтениях (Якутск, 2002). III международной школе молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды" (г.Томск, 2002г.), Всероссийской конференции "Космо- и геофизические явления и их математические модели", посвященной 80-летию профессора А.И.Кузьмина, (Якутск, 2002г.), Международной конференции посвященной 125-летию ТГУ, 75-летию СФТИ и 50-летию РФФ ТГУ "Современные проблемы физики и высокие технологии". (Томск, 2003 г.), Всероссийской школе - семинаре молодых ученых и специалистов "Фундаментальные и прикладные проблемы физики на Севере" (Якутск, 2003г.), II Республиканской научно-практической конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003г.), IV международной школе молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды" (г. Томск, 2004 г.), Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (Якутск, 2004г.). "

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования сформулированы цель работы, методы и задачи исследования, вкратце описана структура и содержание работы.

В разделе 1.1 первой главы рассмотрены основные особенности высокоширотной ионосферы. В разделе 1.2 приводится обзор существующих моделей ионосферы, дается определение основных крупномасштабных неоднородностей высокоширотной ионосферы, методы и способы их моделирования. Далее в разделе 1.3 первой главы описаны основные трудности в моделировании высокоширотной ионосферы, проводится постановка задачи.

Во второй главе рассматривается математическая трехмерная модель высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима в переменных Эйлера. В разделе 2.1 - 2.3 приведены уравнения модели в сферической системе координат.

Исходя из того, что ионосферная плазма в области высот 120-500 км характеризуется следующими основными параметрами: концентрацией ионов концентрацией электронов температурой ионного газа

температурой электронного газа Выберем сферическую

(географическую) систему координат с началом в центре Земли и полярной осью, совпадающей с осью вращения Земли: г - радиус, 0 - коширота, (р долгота (направление отсчета положительное с севера на юг и с запада на восток, соответственно).

Для определения концентрации ионов 0+ необходимо решить уравнение неразрывности. В сферической географической системе координат оно имеет следующий вид:

Ш/

— 9/— ч 81 41 '

д . 1 /Э

(1)

где п, - концентрация ионов 0+; и\г, и®, «¡ф - компоненты скорости ионов 0+; q¡, /,■ - скорости возникновения и исчезновения ионов 0+ соответственно; в- коширота; ^-долгота; К - радиус Земли.

Компоненты скорости ионов ит щд, щф определены из уравнения

движения, в котором согласно [3,4], опущены второстепенные члены, связанные с инерционным ускорением, ускорением Кориолиса и межионными соударениями. В интервале высот ионосферного слоя F2 они не эффективны и не оказывают существенной роли на скорости ионов 0+.

Компоненты электрического поля в уравнении неразрывности (1) определены в геомагнитной системе координат. Перерасчет компонент электрического поля магнитосферного происхождения из геомагнитной системы координат в географическую производится по [7].

Такой перерасчет также необходим при определении скорости ионизации нейтральных составляющих в виду того, что зоны высыпаний высокоэнергичных частиц обычно приводятся в геомагнитной системе координат.

Электрическое поле магнитосферного происхождения является внешним параметром и вводится с помощью аналитической аппроксимации экспериментальных данных по модели Хепнера.

Температуры частиц ионосферной плазмы можно определить из уравнения теплопроводности, которое может быть представлено в следующем виде [3]:

аг ы'

^ , 1 Л

пС.

п Л

(2)

где у = С/С„,

Су - теплоемкость при постоянном объеме; Ср -

число Лошмидта; /и-

теплоемкость п^и постоянном давлении; Ь теплообмен в см в секунду, который определяется в виде

/,=0-1.

где Q - нагрев; Ь - охлаждение ионосферного газа.

При записи уравнения теплопроводности для электронов считаем, что вертикальные масштабы изменения температуры Те и теплопроводности ?.е

электронов значительно меньше горизонтальных. В результате уравнение для определения электронной температуры можно записать как:

()е, -сумма скоростей нагрева электронов за счет джоулева нагрева, нагрева электрическим полем в присутствии нейтралов, нагрева за счет энергичных частиц и колебательно возбужденных молекул N2, Ье - сумма скоростей охлаждения за счет вращательного возбуждения N2, возбуждения тонкой структуры О(ЗР), электронного возбуждения О2 и охлаждения за счет упругих соударений с ионами.

В пункте 2.4 введены следующие краевые условия модели. Для замыкания системы уравнений воспользуемся условием квазиэлектронейтральности плазмы:

Полученную систему уравнений модели необходимо дополнить краевыми условиями.

На нижней границе (120 км)

Для величин краевые условия на нижней границе задаются в виде условия фотохимического равновесия. На верхней границе (500 км) условие по концентрации и, задается в виде потока.

По температуре электронов задается поток тепла за счет теплопроводности

где 1р(1,г,0,<р) определяется по экспериментальным данным.

Уравнения относительно пе, Те на полюсе имеют особенности, поэтому полюсные точки должны быть исключены из рассмотрения, а в них необходимо сформулировать краевые условия. Для этого воспользуемся стягиванием приполюсной области в точку, т.е. на полюсе определяются как

= \пе{г,в,<р,1)с!<р,

Кт ^ \Те{г,в,<р,1)(1(р, (9)

Для задания краевых условий по используется условие периодичности

пе{г,в,<р,() = пе(г,в,<р + 2к,г), Те{г,в,<Р,1) = Те{г,в,<р + 2я,1).

(10)

Начальные условия находятся методом стационирования. В третьей главе предложен алгоритм численного интегрирования системы уравнений моделирующих ионосферную плазму.

Уравнение (1) описывает одновременно два различных процесса, а именно, дрейфовое движение ионов 0+ и их диффузию. В результате чего его можно расщепить по физическим факторам.

При решении уравнения теплопроводности также применим метод расщепления по физическим факторам. При этом основными физическими факторами будем считать фотохимические процессы, локальный теплообмен в диффундирующей теплопроводной среде и перенос вещества, импульса и энергии в результате действия электрических полей и термосферного ветра.

В результате получим метод решения для системы уравнений неразрывности и теплопроводности.

На первом этапе будем решать следующую систему уравнений:

коэффициенты системы уравнений находятся из соответствующих уравнений в результате учета только процессов ионизации, рекомбинации, локального теплообмена, нагревания и возбуждения, диффузии и теплопроводности.

На втором этапе этого же временного интервала решается оставшаяся часть системы уравнений, описывающая только процессы переноса:

л. й-

ы

дв

д(р

(12)

где 7;} для ;=1,2.

В качестве начальных условий при решении системы уравнении (12) на временном слое ^ берется решение системы уравнений (11), полученное на временном слое

Далее систему уравнений (11), применяя метод расщепления по координатам представляем в виде системы одномерных уравнений:

где

аналогично для (12)

д^ д II в = Ат^гх + В, — + с,

дв2

1дв

(13)

ю

Отсюда мы можем для (12) написать систему одномерных уравнений:

где (¿=1,2)

Таким образом, используя метод расщепления по физическим факторам в сочетании с методом суммарной аппроксимации решение трехмерного нестационарного уравнения модели удалось свести к последовательному решению одномерных уравнений.

Решение каждой из систем уравнений (13) и (14) находится на одном и том же временном слое /,+;). При этом в качестве начального условия при решении последующей системы уравнений используется решение предыдущей системы.

При решении уравнений (13) используется конечноразностная аппроксимация с последующим сведением к трехточечным уравнениям в виде

которые достаточно эффективно решаются стандартным методом прогонки с применением метода характеристик (для (136)).

При решении системы уравнений (15) поступим следующим образом. Уравнение (15а) числено решается аналогично уравнению (136). Дискретный аналог уравнения (156), учитывающий дрейфовый меридиональный перенос плазмы 0=1) и перенос тепла за счет мередионального переноса плазмы (при 1=2) представим в виде

А^-С^+В'у'^^', (17)

где/=1,2,3; /=1,2,...(1-1).

Решение (17) ищется методом прогонки. Здесь в качестве начальных условий выступает решение системы уравнений (15а).

Далее для решения уравнения (15в), учитывающего дрейфовый зональный перенос плазмы, используя конечноразностную неявную симметричную схему, получим систему уравнений относительно

у1т~у'т , Вм т А <р

Дт+1-Я,™ пРи въ<з > О

/+1-Г

которая может быть представлена в виде трехточечного уравнения ,,г'+1 , \„ | , г, ч..г'+1 , I , .. \„«+1

(18)

(Ли + -+ Ы + Си)у'т +(Ы + Мт)У^-Х =-2Ут,

(19)

В3с1

где цт = ——т; т - индекс узлов по ср. Д <р

Поскольку граничные условия по ф заданы в виде условия периодичности, то для решения системы разностных трехточечных уравнений (19) используется метод циклической прогонки.

Решение полной системы уравнений (1) -(6), известными методами не привели к удовлетворительным результатам. Применение матричной прогонки показало свою нецелесообразность ввиду неравномерности коэффициентов матрицы. В данной работе был применен следующий метод решения: на первом шаге решается уравнение неразрывности, причем температура задается в виде следующего соотношения Те = Тп (1 + 8ш(й;Г / 2)), т.е. в полдень Те = 7} = 2Тп, а в полночь Те = 7] = Тп.

Далее, на втором шаге ищется решение уравнения теплопроводности с использованием полученных на первом этапе значений концентрации

частиц. После чего снова решается уравнение неразрывности с использованием полученных на втором шаге значений температуры (см. рис. 1).

Повторение первого и второго шагов происходит до тех пор, пока процесс не станет стационарным.

Данный алгоритм реализован на ЭВМ типа IBM PC на языке программирования Delphi 5.

Численные расчеты в рамках полученной модели показали хорошее согласие с экспериментальными данными. Для примера на рис. 2 показаны полученные на модели изолинии распределения концентрации ионов 0+ в максимуме области F2 (в ед. 10 см") линии построены с помощью программы входящей в комплекс модели [8]

12(0") 12 UT 12 (270) 18 ит

0(0 ) 0(270)

Рис. 2.

Для условий зимнего солнцестояния и минимума

солнечной активности. Для четырех моментов мирового времени иТ. В 18иТ проявляется типичная картина распределения ионосферной плазмы в высоких широтах. От дневной стороны на ночную в полярной шапке простирается язык повышенной ионизации. Он формируется в результате конвективного выноса полуденной ионизации на ночную сторону. Экваториальнее языка отчетливо просматривается авроральный пик. В полночь конвективный перенос дневной плазмы на ночную сторону прекращается и язык ионизации исчезает. Авроральный язык вытянут в

утреннем направлении. В полуночном секторе формируется полярная полость (изолиния "15"). Хорошо проявляются авроральный и полярный пики. Для ОбиТ авроральный язык ионизации полностью "отрывается" от дневной ионизации и принимает форму круга размером равным площади области конвекции. Авроральный и полярный пики сохраняются. "Отрыв" аврорального языка ионизации происходит в условиях, когда авроральный овал полностью оказывается на ночной стороне при суточном вращении Земли вследствие несовпадения географического и геомагнитного полюсов. В 12иТ "язык" вновь формируется в результате выноса утренней ионизации. При этом он сливается с полярным пиком. Уровень ионизации в районе полярной полости повышается.

На рис. 3 и 4 приведены в экваториальной плоскости пространственно -временное распределение электронной концентрации в максимуме области Б2 (птР2 в ед. 10 см ), построенное соответственно по модельным расчетам и экспериментальным данным для условий зимнего солнцестояния (декабрь). Сопоставление рис. 3 и 4 показывает хорошее качественное и определенное количественное согласие. Особенности проявления крупномасштабных образований высокоширотной ионосферы в разные моменты иТ по модельным расчетам и экспериментальным данным схожи.

12(0)

0 (180*)

Рис 3 Рис.4

На рис.5 показано широтное распределение температуры электронов на высоте максимума области Б2 (300км), видно что четко проявляется область повышенных значений Те в авроральном овале. В полярной шапке температура электронов имеет низкие значения, равные температуре электронов в субавроральной зоне. В области провала Те принимает минимальные значения. Температура электронов резко повышена в утреннем секторе. Увеличение Те наблюдается в области больших градиентов Пешах Р2 , связанных с восходом Солнца. Это следует не

М

только из анализа рис. 5, но и по результатам расчетов Те для других иТ (в зависимости от мирового времени иТ меняется положение магнитного полюса по отношению к географическому). Эта особенность в пространственном поведении Те отмечается и по экспериментальным данным.

12 (180")

о (<Г) Рис.5

В диссертации также приводятся результаты расчетов крупномасштабной структуры субавроральной ионосферы в зависимости от теплового режима.

Основные публикации по теме дисертации

1. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И. О численном моделировании высокоширотной ионосферы / Информационные Технологии в науке, Образовании и Экономике - Якутск. 2001., С.5.

2. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И О Механизмах формирования крупномасштабных образований высокоширотной ионосферы. / Труды III сибирской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Физика, радиофизика — новое поколение в науке" Вып. 3. - Барнаул, 2002. С.44.

3. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И Математическая модель для исследования влияния нестационарных процессов на высокоширотную ионосферу / IV Лаврентьевские чтения. - Якутск, 2002 - С.45.

4. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И Математическая модель для исследования полярной стенки главного ионосферного провала (The Mathematical model far the study of the polar wall of the main

ionosphere trough) / Третья международная школа молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды" - Томск 2002. -С. 160.

5. Ромащенко Ю.А., Голиков И.А., Муксунов, Попов В.И. О корпускулярном источнике формирования полярной стенки главного ионосферного провала / Всероссийская конференция "Космо- и геофизические явления и их математические модели", посвященная 80-летию профессора А.И.Кузьмина. - Якутск. 2002 -С.28.

6. Голиков И.А., Чернышев В.И., Попов В.И Влияние нестационарного состояния термосферы на крупномасштабную структуру полярной ионосферы / Материалы международной конференции посвященной 125-летию ТГУ, 75-летию СФТИ и 50-летию РФФ ТГУ - Томск, 2003. -С.381-382.

7. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И О преобразовании компонент вектора из геомагнитной системы координат в географическую / Всероссийская школа - семинар молодых ученых и специалистов "Фундаментальные и прикладные проблемы физики на Севере"-Якутск, 2003.2003-С.20.

8. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И Визуализация результатов расчета на модели высокоширотной ионосферы / II Республиканская научно-практическая конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" -Ч.1. - Якутск, 2003. -С.5-6

9. Голиков И.А., Попов В.И., Чернышев В.И О методе решения трехмерных модельных уравнений в моделировании высокоширотной ионосферы / IV международная школа молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды" 2004. - Томск, 2004.

Ю.Голиков И.А. Чернышев В.И.Муксунов И.Х. Попов В.И Математическая модель области F2 высокоширотной ионосферы / Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / "Математическое моделирование развитие северных территорий в условиях рынка". - Якутск, 2004. -С.23-25.

И.ИАГоликов, И.Х.Муксунов, В.И.Попов. Использование выражений сферической астрономии в моделировании высокоширотной ионосферы // Динамика сплошной среды. - Новосибирск. -2004. -Вып.122,-С. 50-52

Подписано в печать 30.11.2004. Формат 60х 84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,56. Тираж 100 экз. Заказ ш. Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

«2464t

Введение.

Глава 1. Основные особенности высокоширотной ионосферы и её математическое моделирование.

1.1. Основные особенности высокоширотной ионосферы.

1.2. Модели ионосферы высоких широт.

1.2.1. Модели, построенные на основе уравнений баланса.

1.2.2. Модели ионосферы, учитывающие магнитосферную конвекцию.

1.2.3. Эмпирические модели ионосферы.

1.3. Морфология высокоширотной ионосферы.

1.4. Основные трудности в моделировании высокоширотной ионосферы.

Глава 2. Трехмерная модель высокоширотной ионосферы в переменных Эйлера.

2.1. Уравнение неразрывности.

2.2. Уравнение теплопроводности.

2.3. Источники нагрева и охлаждения ионосферной плазмы.

2.3.1. Скорости локального теплообмена в ионосферной плазме.

2.3 2. Источники нагрева электронного газа.

2.4. Начальные и краевые условия.

2.5. Внешние параметры и основные фотохимические процессы.

Глава 3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений, моделирующих ионосферную плазму.

3.1. Общие требования к алгоритму решения.

Глава 4. Программная оболочка модели, обсуждение полученных результатов.

10) 4.1. Описание программы модели.

4.2. Оценка адекватности модели.

Актуальность темы

Ионосфера Земли активно изучается с 20-х годов прошлого столетия в связи с открытием дальнего распространения коротких радиоволн (КВ). Впервые теоретическое объяснение аномального КВ было дано Чепменом, предложившего существование ионизированной оболочки вокруг Земли. Им было получено уравнение, которое объясняло существование ионизированного слоя в верхних слоях атмосферы. В дальнейшем оказалось, что структура этого слоя, получившего название ионосферы, достаточно сложна. Позднее с развитием средств радиосвязи, появлением космонавтики, началось всестороннее исследование физико-химических процессов, протекающих в ионосферной плазме. Пик данного научного направления пришелся на 70-80-е годы ХХ-го столетия, в 90-х годах роль технических систем КВ - диапазона несколько снизился в связи с переходом в область высоких частот вплоть до СВЧ. Однако в настоящее время вопреки первоначальным прогнозам, оказалось, что ионосфера оказывает воздействие на распространение радиоволн вплоть до гигагерцевого диапазона. В частности, временные флуктуации концентрации ионосферной плазмы приводят к фазовым изменениям в радиосигнале. К последним, например, очень чувствительны системы глобального позиционирования. Прогнозирование состояния ионосферы с помощью моделей важно так же и для прогноза магнитных бурь, навигации космических аппаратов.

Наибольшую роль в исследовании ионосферы играет эффективный метод математического моделирования. В настоящее время разработаны модели ионосферы, достаточно точно описывающие среднеширотную ионосферу. Но наибольший интерес для исследователей представляют процессы формирования и поведение ионосферы на высоких широтах. Именно в этой области формируются и существуют множество аномалий, не получившие еще полного теоретического объяснения. Если на средних широтах для параметров заряженной компоненты ионосферного газа одномерное приближение дает удовлетворительное описание, то при переходе к высоким широтам, где важную роль в формировании структуры ионосферы играет перенос плазмы в горизонтальном направлении это приближение неприменимо. Поэтому в данном случае необходимо решить систему трехмерных моделирующих уравнений, учитывающих как вертикальный, так и горизонтальный перенос ионосферной плазмы.

Целью настоящей работы является:

- Построение трехмерной численной модели области ¥2 высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима;

- Разработка эффективного алгоритма для численного решения системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера в сферической (географической) системе координат с учетом несовпадения магнитного и географического полюсов;

- Программная реализация полученного численного алгоритма в виде комплекса программ модели;

- Проведение численных экспериментов для различных гелиогеофизических условий с последующим сопоставлением с экспериментальными данными;

Научная новизна:

Реализован комплекс программ трехмерной математической модели высокоширотной ионосферы; предложен эффективный метод численного решения системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера в сферической (географической) системе координат с учетом несовпадения магнитного и географического полюсов; проведены численные эксперименты для различных гелиогеофизических условий с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов обеспечивается физически обоснованной постановкой задачи, правомерностью принятых допущений при разработке математической модели, оценками применимости используемых методов численного интегрирования системы уравнений модели и степени адекватности результатов, численных экспериментов на основе сравнения с экспериментальными данными и с результатами, полученными другими авторами.

Научная и практическая значимость работы заключается, прежде всего, в том, что предложенный алгоритм решения системы моделирующих уравнений позволяет эффективно производить численное решение системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики. Реализация эйлерова подхода, а также учет теплового режима в моделировании высокоширотной ионосферы открывает новые возможности построения моделей с высокой степенью адекватности реальной среде, с помощью которых могут быть осуществлены более полные и глубокие исследования физико-химических процессов, протекающих в ионосферной плазме высоких широт.

Разработанная модель используется для интерпретации результатов экспериментальных исследований, получаемых с помощью как наземных радиофизических методов, так и искусственных спутников Земли. Разработанный алгоритм численного решения системы моделирующих уравнений может быть использован и используется для решения подобных многомерных задач в задачах ионосферного моделирования.

Настоящая модель может быть использована также для целей оптимального планирования дорогостоящих экспериментальных исследований и для совершенствования прогноза состояния высокоширотной ионосферы.

На защиту выносятся:

1. Трехмерная модель высокоширотной ионосферы в интервале высот 120-500 км с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы, описывающая крупномасштабную структуру моделируемой среды.

2. Вычислительный алгоритм для численного решения системы многомерных уравнений для задач . математического моделирования ионосферных процессов на основе метода суммарной аппроксимации в сочетании с методом прогонки путем последовательного решения системы уравнений с итерациями.

3. Результаты вычислительного эксперимента по исследованию закономерностей и явлений в ионосферной плазме.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2001 г), III Сибирской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Физика, радиофизика — новое поколение в науке" (г. Барнаул, 2002), IV Лаврентьевских чтениях (Якутск, 2002). III международной школе молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды" (г.Томск, 2002г.), Всероссийской конференции "Космо-и геофизические явления и их математические модели", посвященной 80-летию профессора А.И.Кузьмина, (Якутск, 2002г.), Международной конференции посвященной 125-летию ТГУ, 75-летию СФТИ и 50-летию РФФ ТГУ "Современные проблемы физики и высокие технологии". (Томск, 2003г.), Всероссийской школе - семинаре молодых ученых и специалистов "Фундаментальные и прикладные проблемы физики на Севере" (Якутск, 2003 г.), II Республиканской научно-практической конференции

Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003г.), IV международной школе молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды" (г. Томск, 2004 г.), Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (Якутск, 2004г.).

Структура работы Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

В разделе 1.1 первой главы рассмотрены основные особенности высокоширотной ионосферы. В разделе 1.2 приводится обзор существующих моделей ионосферы, дается определение основных крупномасштабных неоднородностей высокоширотной ионосферы, методы и способы их моделирования. Далее в разделе 1.3 первой главы описаны основные трудности в моделировании высокоширотной ионосферы, проводится постановка задачи.

Во второй главе рассматривается математическая трехмерная модель высокоширотной ионосферы с учетом теплового режима в переменных Эйлера. В разделе 2.1 - 2.3 приведены уравнения модели в сферической системе координат. В пункте 2.4 введены краевые условия модели. Далее в пункте 2.5. приведены внешние параметры и основные фотохимические процессы принятые в модели.

В разделе 3.1 третьей главы даны общие требования к алгоритму решения, в пункте 3.2 разработан алгоритм решения системы уравнений.

Раздел 4.1 четвертой главы посвящен описанию комплекса программ модели, далее в 4.2 произведена оценка адекватности модели.

результаты работы:

1. Разработана и численно реализована математическая модель высокоширотной ионосферы на основе системы трехмерных параболических уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера в сферической (географической) системе координат с учетом несовпадения геомагнитного и географического полюсов, и теплового режима высокоширотной ионосферы;

2. Разработан эффективный алгоритм для численного решения системы моделирующих уравнений на основе метода суммарной аппроксимации в сочетании с методом прогонки путем последовательного решения системы уравнений с итерациями.

3. Полученная численная модель позволяет описывать крупномасштабную структуру высокоширотной ионосферы при различных гелиогеофизических условиях с учетом теплового режима высокоширотной ионосферы. Проведенные на модели численные эксперименты, показали хорошее совпадение результатов с экспериментальными данными со спутников и данными сети станций ВЗ

Представленная работа выполнена на кафедре радиофизики и электроники Физико-технического института Якутского государственного университета под руководством д.ф.м.н. Голикова И.А.

Автор выражает особую благодарность к.ф.-м.н. В.И.Чернышеву и доценту Муксунову И.Х., за консультации, и полезные дискуссии. Автор благодарит кафедры радифизики и электроники ЯГУ и сотрудников лаборатории "космической геофизики и экологии" Сибирского физико-технического института при Томском государственном университете (где автор проходил стажировку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанной работы получены следующие основные

1. Чернышев В.И. Циклические вариации ультрафиолетового излучения Солнца // Геомагнетизм и аэрономия. - 1978. Т. 18, № 5. - С. 798 - 803.

2. АнтоноваЛ.А., Иванов-ХолодныйГ.С. Солнечная активность и ионосфера. М.: Наука, 1989. -167 с.

3. Smith MF.L., Smith С. Numerical evalution of Chapman's grazing incidence integral Ch(X,x) // J.Geophys. Res. 1972. - Vol.77. No. 19. - P.3592-3597.

4. Иванов-Холодный Г.С., Никольский Г.М. Солнце и ионосфера. М.: Наука, 1969-455 с.

5. Hall LA., Schweizor W., Hinteregger H.E. Long-Term variation of solar extreme ultraviolet fluxes // J.Geophys. Res. -1966. Vol.70. - P.2241-2252.

6. Чернышев В.И. Описание циклических вариаций ультрафиолетового излучения Солнца с помощью модели: Доклады юбилейной научно-технической конференции радиофизического факультета. Часть П. -Томск, 1973.-С. 192- 196.

7. Колесник А.Г., Голиков А.Г.,. Чернышев В.И. Математические модели ионосферы. -Томск: МГП Раско, 1993. -240с.

8. Berger M.I., Seltzer S.M., Maeda К. Energy deposition by auroral electrons in the atmosphere // Planet. Space Sei. -1970. -Vol.32. N 6. -P. 1015-1045.

9. Ижовкина А.И. Сравнение возможностей основных вычислительных методов, используемых для расчетов параметров потоков в ионосфере. // Геомагнетизм и аэрономия, -1975, т. 15, №4, С.659-663.

10. Месси Г., Бархон Е. Электронные и ионные столкновения. -М.: изд.иностр.лит-ры, 1958. -605с.13 .Rees М.Н. Auroral ionization and excitation by incindent energetic electrons //J.Geophys. Res. -1963. -Vol.11. N10. -P. 1209-1218.

11. Исаев H.B., Осипов H.K. Ионообразование в высокоширотной ионосфере за счёт авроральных электронов и коротковолнового излучения Солнца // Геомагнетизм и аэрономия. -1976. Т. 16. № 4. -С. 676 680.

12. Исаев Н.В.,Климов Н.Н, Кузнецова Г.М., Осипов Н.К. Ионообразование в высокоширотной ионосфере в магнитоспокойное время. Препринт -Изд.ИЗМИРАН, 1976. -24с.

13. Wulfl.B., Rurrows J.R., Budzinsky Е.Е. Average Characteristics of Magnitospheric Electrons (150 ev to 200kev) at 1400 km. // J.Geophys. Res. -1975. -Vol.80. No.10. -P.73-79.

14. Исаев H.B., Осипов Я. А" Ионообразование в ночной высокоширотной ионосфере. В кн.: Физика и моделирование ионосферы. -М.:Наука, 1975, -с.261-266.

15. Крымский Г.Ф., Гусев А.И., Ромащенко Ю.А. О связи поглощения с потоком высыпающихся частиц и параметры атмосферы // Связь физических процессов в ионосфере и магнитосфере Земли с параметрами солнечного ветра. -Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1977. -С.З

16. Акасофу С.И., Чепмен С. Солнечно-земная физика, ч.Н, -М:Мир, 1975. -518с.

17. Ляцкий В.Б. Токовые системы магнитосферно-ионосферных возмущений. -JL: Наука, 1978. -198 с.

18. Пудовкин М.И., Распонов О.М., Клейменова Н.Г. Возмущения электрического поля Земли. 4.1 -Л., изд.ЛГУ, 1975, -219с.21 .Пудовкин М.И. Модели токовых систем ДР1 и электрические поля в ионосфере. -Л.: Наука, 1975. -С.3-38.

19. Пудовкин М.И Распределение электрических полей в ионосфере. В кн. : Суббури и возмущения в магнитосфере. -Л.: Наука, 1975. -С.38-65.

20. Rich J. and Maynard N. C., Consequences of Using Simple Analytical Functions for the High- Latitude Convection Electric Field // J. Geophys. Res. -1989-Vol.94. -P.3687

21. Volland H., A Model of the Magnetospheric Electric Convection Field, J. Geophys. Res. -1978. -Vol.83, -P.2695-2699.

22. Faermark, D. S. A restoration of 3-dimensional current systems in high-latitudes by the use of ground-based geomagnetic observations, //Geomagn. Aeron., -Vol.17, Engl. Transl., -1977.-P.114.

23. Sojka J. J., Raitt W.J., SchunkR. W. Effect of displaced geomagnetic and geographic poles on high-latitude plasma convection and ionospheric depletions //J.Geophys. Res. -1979. -Vol.A84. N10. -P.5943-5951.

24. Sojka J. J., Raitt W.J., SchunkR. W. High-Latitude Plasma Convection Predictions for Eiscat and Sondre Stromfiord // J.Geophys. Res., -1979, -Vol.6. No. 11,-P.877-881.

25. Sojka J. J., Foster J.C., Raitt W.J., Schunk R.W., DoupnikJ.R. High-Latitude Convection:Comparison of a Simple Model with Incoherent Scatter Observations // J.Geophys. Res., -1980, -Vol.85. No.2, -P.703-709.

26. Knudsen W.C. at el. Numerical model of the convecting F1 ionosphere 'at high latitudes / W.C.Knudsen, P.M.Banks, J.D. Winningham, D.M.Klumpar II J.Geophys. Res. -1977. -Vol.82. N29. -P.4784-4792.

27. Суроткин B.A., Клименко В.В., Намгаладзе А.А. Численная модель экваториальной ионосферы // Исследования ионосферной динамики. -М.:ИЗМИРАН, -1979. -С.58-68.

28. Fuller-Row ell T.J., Ress D. A three-dimensional, time-dependent simulation of the global dynamical respons of the thermosphere to a geomagnetic substorm // Ibid. -1981. -Vol. 43,No.7.-P.701-721.

29. Ивановский А.И., Репнев А.И., Швидковский Е.Г. Кинетическая теория верхней атмосферы. -JL: Гидрометеоиздат, 1967. -258 с.

30. Колесник А.Г., Голиков И.А. Трёхмерная модель высокоширотной области F с учётом несовпадения географических и геомагнитных координат // Геомагнетизм и аэрономия. -1982. Т.22. № 5. -С. 725 -731.

31. Колесник А.Г., Королёв С.С. Трёхмерная модель термосферы // Геомагнетизм и аэрономия. -1983. Т.23. № 4. -С. 774 780.

32. Колесник А.Г., Королёв С.С., Чернышев В.И. О построении двумерной модели термосферы с учетом особенностей высокоширотной области //

33. Распределение электронов и физические процессы в полярной ионосфере. -Апатиты: ПГИ АН СССР, 1981. -С. 83 90.

34. Колесник А.Г., Чернышев В.И. Нестационарная самосогласованная модель средеширотной ионосферы в интервале высот 120-500 км // Геомагнетизм и аэрономия. -1981. Т.21, № 2. -С. 245 249.

35. Намгаладзе А.А., Коренъков Ю.Н., Клименко В.В., Карпов КВ., Бессараб Ф.С., Суроткин В.А., Глущенко Т.А., Наумова Н.М. Глобальная численная модель термосферы, ионосферы и протоносферы Земли // Геомагнетизм и аэрономия, -1990, т.30, N.4, -С.612-619.

36. Namgaladze А.А., A.N.Namgaladze, М.А. Volkov. Numerical modelling of the thermospheric and ionospheric effects of magnetospheric processes in the cusp region // Annales Geophysicae, -1996,Vol.l4.-No.l2.-P.1343-1355.

37. Курилов В.А., Ферберг Б.А. Расчет ионного состава полярной ионосферы в сияниях. -В кн.: Физическое и эмперическое моделирование ионосферы. -М.:Наука, 1976, -С.176-181.

38. Precipication. In: Atmos.Earth and Planets. Proc. Summer Adv.Study Inst.Univ.-Liege, 1974. -Dordrecht-Boston, 1975.

39. Knudsen W.C. Magnetospheric convection and the high-latitude F2 ionosphere //J.Geophys. Res. -1974. -Vol. 79. -P. 1046-1055.

40. Kavanagh L.D., Freeman J. W., Chen A.J. Plasma Flow in the Magnetosphere //J.Geophys. Res. -1968. -Vol. 73,No.l7 -P. 5511-5519.

41. Можаев A.M., Осипов H.К. Структура полярной ионосферы и конвекция магнитосферной плазмы за плазмопаузой// Геомагнетизм и аэрономия, -1977, т.17, №.4, -С.273-279.

42. Можаев A.M. О моделировании влияния магнитосферной конвекции на пространственную структуру ионосферы высоких широт. В кн.: Диагностика и моделирование ионосферных возмущений. -М.: Наука, 1978. С.97-102.

43. Z,. G. Jacchia, Revised Static Models of the Thermosphere and Exosphere with Empirical Temperature Profiles, -Smithson. Astrophys. Obs. Spec. Rept. No. 332, -1971. (B10091)

44. L. G. Jacchia, Thermospheric Temperature, Density, and Composition: New Models, -Smithson. Astrophys. Obs. Spec. Rept. No. 375, 1977.

45. Hedin A. E., Mayr H. G., Reber C.A.e.a. Empirical model of global thermospheric temperature and composition based on data from the OGO-6quadrupole mass spectrometer // J. Geophys. Res., -1974, 79, N 1, -P. 215-225.

46. A.Hedin A. E., Mayr H. G., Reber C.A. e. a. A global empirical model ofthermospheric composition based on OGO-6 mass spectrometermeasurements.//Space Res.,-Vol.XIII, -1973. No.l, P. 315—320.

47. Schuchardt K.G.H., Blum P. W. Correlation between the homopause heigtand density variations in the upper atmosphere // Spase Res. -Vol.1. XVII,-1977,-P.335-340

48. Hedin A.F. etal. A global thermospheric model based on mass spectrometerand incoherent scatter data MSIS. 2. Composition / A.E.Hedin, C.A.Reber,w

49. Hedin A. E. MSIS-86 Thermospheric Model // J. Geophys. Res. -1987. -Vol.92, -P.4649.

50. Geophys. Res.,-2002. 107(A12), 1468, doi:10.1029/2002JA009430.

51. Bilitza D., Rawer K., Bossy L., Gulyaeva Г., International Reference Ionosphere // Past, Present, Future, Adv. Space Res. -1993.-Vol. 13, No.3, -P.3-23,

52. Bilitza D, International Reference Ionosphere Status 1995/96, // Adv. Space Res. -1997-Vol.20, No.9, -P. 1751-1754.

53. Bilitza D, International Reference Ionosphere 2000 // Radio Science 2001.-Vol.36, No.2, -P.261-275.

54. Nishida A. Average Structure and Storm-Time Change of Polar Topside Ionosphere at Sunspot Minimum // J. Geophys. Res., -1967. -Vol. 72, No.23,-P.6051-6061.

55. Беспрозванная A.C. Морфология пространственного распределения ионизации слоя F2 высоких широт / Высокоширотные геофизические явления. -Л.: Наука, 1974. -С. 150 178.

56. Мизун Ю.Г. Полярная ионосфера. -Л.: Наука, 1980. -216 с.

57. SchunkR. W., Walker J. С. G. Theoretical Ion Densities in the lower Ionosphere//Planet. Space Sci.,-1973. -Vol.21,No. 11,-P. 1875-1896.

58. Jaggi R.K., Wolf R.A. Self-Consistent Calculation of the Motion of a Shit of Ions in the Magnitosphere // J.Geophys.Res., -1974. -Vol.78, P.2852-2866.

59. Zmuda A.J., Armstrong J. С. The Amplitude Distribution og Field -Aligned Currents at Northern High Latitudes Observed by Triad // J. Geophys.Res., -1974.-Vol.79, P.4611-4619.

60. Ляцкая A.M., Ляцкий В.Б., Мальцев Ю.П. Влияние продольных токов на профиль электронной концентрации // Геомагнетизм и аэрономия, -1978, -т.18, №2,-С. 229-234.

61. Деминов М.Г., Ким В.П., Хегай В.В, Влияние продольных токов на структуру ионосферы// Геомагнетизм и аэрономия, -1979, -Т. 19, №4, -С.743-745

62. Ляцкий В.Б., Мальцев Ю.П. О происхождении среднеширотного провала и полярной полости в распределении ионосфернойконцентрации, // Геомагнетизм и аэрономия, -1981, -Т.21, №4, —С.183-185.

63. Ришбет Г., Гарриот O.K. Введение в физику ионосферы.-Л.:Гидрометеоиздат, 1973. -502с.

64. Гершман Б.Н. Динамика ионосферной плазмы -М.: Наука, 1974.-256с.

65. Голиков И.А. Математическое моделирование крупномасштабной структуры высокоширотной области F ионосферы : Дис .канд. физ.-мат. наук. Якутск, 1981. -141с.

66. Докучаева А.В. Преобразования сферической системы координат, удобные при моделировании ионосферы: Тез. докл., V Всесоюзный семинар по моделированию ионосферы -Тбилиси, -1980. -С. 13.

67. И.А.Голиков, И.Х.Муксунов, В.И.Попов. Использование выражений сферической астрономии в моделировании высокоширотной ионосферы // Динамика сплошной среды. Новосибирск. -2004. -Вып. 122, -С. 5052.

68. Banks P.M., Kockarts G. Aeronomy. / Part A,B. -New York and London: Academic press, -1973. -785 p.

69. Бэнкс П.М. Тепловой режим ионосферы // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. -1969. -Т.57. № 67 -С. 6-30.

70. Фаткуллин М.Н. Физика ионосферы. // Итоги науки и техники. -Т.6. -М: ВИНИТИ, -1982. -224 с.

71. Roble Н., Moffett R.J., Bailey G.J. Continuity air motion in the mid-latitude thermosphere//J. Atmosph. Terr. Phys. -1969. -Vol.31. -P. 1035-1047.

72. Schunk R. W., Nagy A.F. Electron temperatures in the /-region of the ionosphere: theory and observations // Revs. Geophys. and Space Phys. -1978. -Vol.16. N3. -P.355-399.

73. Кринберг И.А. Кинетика электронов в ионосфере и плазмосфере Земли. -М: Наука, 1978ю-218с.

74. Stubbe P., Varnum W.S. Electron energy transfer rates in the ionosphere // Planet. And Spase Sci. -1972. -Vol.20, No8, -P. 1121-1126.

75. Кринберг И.А. Кинетика электронов в ионосфере и плазмосфере Земли. -М.: Наука, 1978. -214 с.

76. Кринберг И.А., Акатова Л.А. Функция рапределения электронов в нижней ионосфере и ее связь со скоростью образования и нагрева электронов // Геомагнетизм и аэрономия, -1978, -Т. 18, №4, -С.603-609.

77. Banks P.M. Joule heating in the high-latitude mesosphere // J.Geophys. Res. -1979. -Vol.A84. N11. -P.6709 6712.

78. Straus J.M. Dynamics of the thermosphere of high latitudes // Rev. Geophys. and Space Phys. -1978. -Vol.16. N2. -P. 183-194.

79. Evans J. V. Millstone Hill Thomson scatter results for 1965 // Planet. Space Sci. —1970. -Vol.18. N8. -P. 1225-1255.

80. Акатова JT.A., Кринберг И.А. Эффективные сечения поглощения и ионизации в аналитической формуле для скорости ионообразования // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца Вып.21 -М.:Наука -1972.-Сю277-282.

81. Мс. Farland М. et.al. Energy dependence and branching ratio of the N2+ О reaction / M. Me Farland, D.L.Albritton, F.C.Fehsenfeld, E.E.Ferguson, AL.Schmeltehopf// J.Geophys. Res. -1974. -Vol.79. N19. -P.2925-2926.

82. Torr D.G., Torr M.R. Chemistry of thermosphere and ionosphere // JAtmos. Terr. Phys. -1979. -Vol.41. N7/8. -P.797-839.

83. Kohl H., King J. Atmospheric Winds between 100 and 700 km and their Effects on the Ionosphere // J.Atmosph.Terr.Phys.,-1967. Vol.3,Nl, P.28-42.

84. Peaceman D. W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differencial equations // SIAM J. -1955. -Vol.3. N1. -P.28-42.

85. Яненко H.H. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. -1959. -Т. 125. № 6. -С. 1207- 1210.

86. Яненко Н.Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) //Докл. АН СССР. -1960. -Т. 134, № 5. -С. 1034 1036.

87. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. -Новосибирск: Наука, 1967. -195 с.

88. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. -Д.: Гидрометеоиздат, 1967. -353 с.

89. Марчук Г.И. Методы расщепления. -М.: Наука, 1988. -203с.

90. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // ЖВМ и МФ. -1962. -Т.2. № 5. -С. 786 811.

91. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1981.-352 с.

92. Самарский A.A. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977. -656 с.

93. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред С.К.Годунова. М.: Наука, 1976. 400 с.

94. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач ^ математической физики -М.:Наука, 2001.-320с.

95. Латышев К.С., Бобарыкин Н.Д., Медведев В.В. Разностные методы решения систем одномерных магнитогидродинамических уравнений в задачах моделирования ионосферы // Ионосферные исследования. -М.: Сов. радио, -1979. № 28. -С. 37-49.

96. Чушкин П.И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. -М.: ВЦ АН СССР, 1968. 122 с.

97. Голиков И.А., Муксунов И.Х., Попов В.И Визуализация результатов расчета на модели высокоширотной ионосферы / II Республиканскаянаучно-практическая конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" -4.1. -Якутск, 2003. -С.5-6

98. Roble R.G. The calculated and abserved diurnal variation of the ionosphere over Millstone Hill on 23-24 March 1970 // Planet. And Space Sci. -1975. -Vol.23, No.7. P.1017-1033.