автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях

На правах рукописи

0050&ч°ч-т

МАХИНОВА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СОСТАВНЫХ ПРОМЫШЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

* МАР 2013

Воронеж - 2013

005050544

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Провоторов Вячеслав Васильевич (ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»)

Официальные оппоненты: Жуковский Евгений Семенович

доктор физико-математических наук, профессор,

(ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина», директор института математики и информатики) Сайко Дмитрий Сергеевич доктор физико-математических наук, профессор,

(ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий», профессор кафедры высшей математики)

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Защита состоится 14 марта 2013 года в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» по адресу: 394036, г.Воронеж, проспект Революции, 19 (конфереиц-зал).

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г.Воронеж, проспект Революции, 19, ФГБОУ ВПО ВГУИТ.

Текст автореферата и объявление о защите размещены в сети интернет на сайте Минобрнауки РФ http://vak.ed.gov.ru «14» февраля 2013 года.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО ВГУИТ.

Автореферат разослан «14» февраля 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Хаустов И.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Тепловые и волновые процессы, протекающие в составных промышленных конструкциях, в большинстве своем описываются математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах . Те же принципы математического моделирования положены в основу современного понимания процессов обмена продуктами жизнедеятельности в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток). Продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций. Цепи имеют точки ветвления - узлы реакций, продукты которых могут быть использованы в нескольких метаболических цепях, в совокупности представляющих собой сеть2.

Остановимся на двух важных примерах промышленной теплотехники и технического материаловедения. Задача оптимального нагрева (охлаждения) массивного металлического слитка относится к классу задач, математическая модель которых представляет собой граничную задачу с распределенными параметрами на классическом интервале (Ю.Р.Андреев, А.Г.Бутковский,А.И.Егоров, С.А.Малый). В случае, когда объект наблюдения (металлический слиток) содержит точечные неоднородности, т.е. оснащен системой контроля состояния температурного поля в виде набора датчиков, периферийные компоненты которых определяют точки неоднородности, необходима замена интервала па объединение интервалов. Математическая модель, рассматриваемая па объединении интервалов, требует развития классических методов анализа.

Рассмотрим задачу из области технического материаловедения - анализ процессов колебаний антенных конструкций разного типа. Такие конструкции работают в экстремальных режимах (перепады температур, внешние механические воздействия), и поэтому протекающие в них процессы могут сопровождаться нежелательными (и даже опасными) колебаниями или различного рода неустойчивостями. Возникают ситуации, когда необходимо генерировать колебания заданных частот, чтобы погасить нежелательные колебания, влияющие па работоспособность конструкций. В работе предлагается исследование нескольких типов математических моделей антенных систем. Следует отметить, что анализ колебательных процессов в сетеподобпых механических конструкциях ограничился поиском общих закономерностей теоретического характера (С.А.Авдоиин, С.А.Иванов, М.И.Велишев, А.В.Боровских, М.Г.Завгородиий, К.П.Лазарев, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Прядисв, В.А.Юрко, G. Lumer, S. Nicaisc, J. Below), численные же методы анализа применительно к

'Провоторов В.В. Исследование граничных задач с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов. - Докторская диссертация, Воронеж, 2010

2Ризпиченко ПО., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 300 с.

конкретным прикладным задачам оставались в тени, находясь в стадии формирования.

Тема диссертационной работы соответствует научной теме «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный номер № 0120.0853009, выполняемой математическим факультетом Воронежского государственного университета.

Цель работы. Развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— на основе современных представлений явлений тепломассопереноса и колебания упругого тела разработать математические модели тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных конструкциях, с помощью формализмов граничных задач для уравнений с распределенными параметрами па геометрических графах;

— на базе существующих численных методов для зада11! математической физики на компактных графах осуществить развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей, аппроксимации разностными схемами, устойчивость и сходимость решений разностных уравнений;

— разработать эффективный маршевый алгоритм, базирующийся на конечно-разностном аналоге математической модели;

— реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ для решения задач прикладной теплотехники, деформации и колебаний в составных промышленных конструкциях с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основывается на использовании законов явлений тепломассопереноса, деформации и колебаний упругих тел, на проведении вычислительных экспериментов и сравнительным анализом с классическими данными.

Объект исследований. Приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях.

Методы исследования. При выполнении исследования в качестве основного инструментария был применен метод математического моделирования совместно с фундаментальными методами современного анализа прямых задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с распределенными

параметрами на графах.

Научная новизна. Предлагается развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных конструкциях: получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами для уравнений с распределенными параметрами на основных типах графа (простейший граф, граф-звезда, граф с циклом); разработана маршевая по времени копсчпо-разиостиая схема второго порядка аппроксимации но пространственной переменной; представлен подробный анализ решений разностных уравнений (устойчивость по Нейману и норме, сходимость); представлены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих тепловые и волновые процессы в составных промышленных конструкциях, для решения таких задач разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Практическая значимость. Практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария в виде предметно-ориентированного программного комплекса для исследования различного рода процессов, протекающих в составных промышленных конструкциях либо иных схожих явлений. Представлены решения актуальных задач промышленной теплотехники, материаловедения и упругости, используемых при проектировании трубопроводов и аптешгых устройств.

Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.

1. Развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения коиечио-разиостных аналогов математических моделей на сеткс графа, аппроксимации разностными схемами, условия устойчивости и сходимости решений разностных уравнений.

2. Решение граничных задач, лежащих в основе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными пеоднородностями, моделей тепловых и волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных системах.

3. Числениые методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач на сетке графа, комплекс проблемно-ориентированных программ для решения задач технической теплотехники, материаловедения и упругости.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них

«Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XXI и XXII» (Воронеж, 2010, 2011), V Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011), Международная конференция «Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011), Международная конференция «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012). Семинары проф. Провоторова В.В. (2011, 2012), проф. Глушко A.B. (2012), проф. Ряжских В.И. (2012).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 опубликованных научных работах, 5 из них - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата, в том числе, свидетельство на программный продукт.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем составляет 170 страниц (в том числе приложение на 35 страницах) и содержит 9 таблиц и 17 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются цель и задачи исследования, приводятся основные результаты, практическая значимость и положения, выносимые на защиту. Дается краткая историческая справка и современное состояние исследований по теме диссертации, в том числе, приводятся краткие характеристики важных прикладных задач промышленной теплотехники, задач материаловедения и упругости. Представлены математические модели исследуемых процессов, а также обзор литературы по теме диссертации.

В главе I приведены основные понятия и наиболее употребительные обозначения для уравнений на графах. Через Г обозначен произвольный компактный связный граф (не исключающий наличия циклов и/или петель), ребра графа обозначаются через узлы - через {к, I - номера ребер или узлов); <ЭГ, J(T) - множества граничных и внутренних узлов, соответственно. Скалярная функция f(x) на графе Г -- отображение / : Г —> М, сужение функции f(x) на ребро 7 обозначается через f{x)1. Множество непрерывных на графе функций обозначается через С(Г), С[Г] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узлах по разным ребрам могут быть различными), С2[Г] - множество функций, два раза непрерывно дифференцируемых па каждом ребре вплоть до границы ребра. Дифференциальное уравнение на графе - это обычное дифференциальное уравнение на кривой и условия согласования в узлах. Интеграл на графе

Гт

Рис.2

Н

понимается как сумма интегралов но всем ребрам графа. Каждое ребро графа параметризовано отрезком [0,1].

Глава II посвящена описанию различного

типа графов, постановке краевых задач на графах, спектральному анализу

дифференциальных операторов, соответствующих таким задачам.

Основополагающие идеи для этого заложены в монографии В.В. Провоторова3. При изучении математических моделей различных процессов использован анализ Фурье, в связи с чем основополагающим математическим объектом является задача Штурма-Лиувилля (задача Ш-Л) - задача о собственных значениях.

Пусть Гп - простейший граф (рис. 1, ориентация на ребрах указана стрелками) с ребрами 7^, (к = 1, т) и внутренними узлами к — 1, т — 1. Задача Ш-Л на функциях у(х) е С(Гп) П С2[Гп] определяется набором уравнений

~{а(х)у')' + Ь (х) у = Л у, х е -ук (1)

(Л - спектральный параметр), соотношениями

Рис.1

у'( 1)7, = у'( 0)7,+1/

1, 771 — 1,

(2)

в узлах & (А; = 1,т — 1) и краевыми условиями в узлах множества <9Гп:

у'(0)71 - М0)71 = 0, у'(\)1т-\- Ну(1)1т = 0. ' (3)

Здесь и ниже а(х) > 0, Ь(х) > 0 - непрерывные и вещественнозначные функции на графе; /г > 0, II > 0.

Пусть Г3 - граф-зпезда (рис. 2) с ребрами 7;., (к = 1,ш) и внутренним узлом Задача Ш-Л для функций у(х) е С(Гз) П С2[Гз] - это набор уравнений (1) па ребрах 7^ (к = 1 ,ш), соотношение

т—1

Е у'( 1)7* = 2/(0)7,,. *:= 1

в узле £ и краевые условия в узлах множества 9Гз:

у'(0)1к - Нку{0)74 = 0 (к = 1,т - 1), у'( 1)7„, + Ну( 1)7т = 0,

(4)

(5)

^Провоторов В.В, Собственные функции краевых задач на графах и приложения. - Воронеж : Научная книга, 2008. - 247 е.

кк (к = 1,7п — 1), Н - положительные постоянные. _

На рис. 3 представлен граф с циклом Гц: ребра ук (к = 1,т) образуют цикл, ребра % (к = 1,тп) являются граничными.

Задача Ш-Л для функций у(х) 6 С(ГЦ) П С2 [Гц] - это набор уравнений (1) на ребрах 7к (к = 1,2ш), соотношения

у'(1)7, = у'(0)71 +г/(0)7,„,2/(%+1 = г/'(1)7, = г/а)-^ + 2/'(1)7„„

(fc=l,m-2)

(6)

в узлах £к £ -^(Гц) (к = 1,т) и краевые условия в узлах 5Гц:

у'(0)ъ - /вд((% = 0, (к = 1,т — 1), 2/'(l)im + Яу(1)7га = 0, (7)

кк (к = 1,т — 1), Н - положительные постоянные.

Представленные графы

являются конструктивными ячейками для описания краевых задач математических моделей различных процессов, проходящих в трубопроводах, антенных конструкциях, а также метаболических сетях (рис. 4, 5).

Пусть далее граф Г -один из Гц, Г3, Гц. Через £г обозначим одну из задач (1),(2),(3), либо (1),(4),(5), либо (1),(6),(7); {АТ1}

Рис.5

п> 1

множество

учетом кратностей, {tir,(a;)}„>i - система

собственных значений задачи £г, упорядоченных но возрастанию с собственных функций задачи £р.

Теорема 1. Собственные значения задачи £г положительные. Система собственных функций {un(x)}n>i полна и образует ортонормальный базис в пространстве L2(Г). Для любой абсолютно непрерывной функции / (х), х € Г имеет место разлооюение в ряд Фурье по собственным функциям ип(х),причем ряд сходится равномерно на Г.

Замечание. Угпверждение теоремы сохраняется для любого графа, составленного из конечного числа графов типа Г. Утверждение теоремы положено в обоснование метода Фурье при отыскании решений эволюционных и динамических задач с распределенными параметрами на графе.

Пусть 3?г - множество функций <р(х) = С(Г) р|С2[Г], удовлетворяющих некоторым соотношениям согласования в узлах множества ,/(Г), каковыми являются условия (2), либо (4), либо (6), либо (8) в зависимости от вида

графа. В пространстве ¿2(Г) краевой задаче £г соответствует оператор Аг, областью определения Одг которого является множество функций (р(х) Е удовлетворяющих определенным краевым условиям в узлах множества

дГ: АтЧ> = -£ (а(х)^М) + Ъ(х)ф), 4<р Е Д,г.

Теорема 2. Оператор Аг симметричен и полоэюителъно определен в Ь2(Г). Для него имеют место утвероюдения теоремы 1.

В перлом параграфе главы III строятся и изучаются конечно-разностные аналоги оператора Лр.

Обозначим через х^ точки, принадлежащие ребру 7^: х* = ^г, к = 1, гтг, г = О, N. где N - число точек разбиения внутри каждого ребра. Множество точек х* (г = О, N, к = 1 ,т) назовем равномерной сеткой графа Г и обозначим через Г'1 (7^ - сетка ребра 7^); величина К = ^ - шаг сетки. Каждой функции (/?, заданной на графе Г, сопоставим сеточную функцию 1рн: значение (<рп)![ функции в точке х* Е С Гн равно ¡р(х£).

Обозначим через Оаь множество сеточных функций </Д аппроксимирующих функции области определения Конечно-разностный аналог А£ оператора Лг на сеточных функциях Е Оль определяется равенством

(Л V) ■ = - - - ^-г) + гЕ1,кЕК (8)

(множества I, К изменения индексов определяются видом графа Г).

Теорема 3. Характерестические числа оператора А£ положительные. Система собствен7шх векторов оператора А^ полна и образует ортогональный базис в области определения оператора Оак.

Теорема 4. Оператор симметричен и положителен.

При доказательстве теоремы 4 существенным является необходимость учитывать тин графа, па котором рассматривается соответсвующий оператор А'{,. Доказательство строится па определениях симметричности и положительности конечно-разностпого оператора с использованием соотношений, задающих Оап, а также соотношений, аппроксимирующих краевые условия.

Порядок аппроксимации краевой задачи £г зависит от порядка аппроксимации области определения оператора Аг- Для получения

разностного аналога второго порядка точности аппроксимации решение краевой задачи £р, при достаточной его гладкости, удобно продолжить вне ребер графа еще на одии интервал длиною к, вводя «фиктивные» точки сетки Г. Поясним это на примере графа Гз. Дополним сетку точками х^, х%+1, (к = 1,т — 1) и а,"2%+1 и обозначим ее через Гд: Г§ С Гд.

Обозначим через 1)Ан множество сеточных функций </?'', удовлетворяющих

соотношениям

I |Л№+1 / (Л™-1 I /Лл'+1 / (Л"-1

(fc=l,m-l)

Конечно-разностный оператор Лрз на DÄh определяется равенствами (8) при

к = 1,ш — 1, г = О, ЛГ; если к = ттг, то г = N, 2N. Областью определения оператора является множество D^.

Теорема 5. Оператор симметричен и положителен.

Для операторов ЛГп, /1Гц аналогично строятся операторы /1рц,

сохраняющие свойства симметричности и положительности.

Второй параграф главы III посвящен исследованию разностных схем краевых задач для эволюционных и динамических уравнений с распределенными параметрами па графах. Изучены вопросы устойчивости разностных схем, аппроксимации решений граничных задач решениями конечно-разностных задач, получены условия сходимости разностного решения приближенной задачи к решению точной.

Рассматривается задача аппроксимации уравнений

= + §<p = AT<p + f, rr,ierr = (r\ar)x(0,T) (9)

и им соответствующие граничные задачи на Гт- Аппроксимация проводится в два этапа: вначале граничная задача аппроксимируется в области ГЛ х [О, Т] по пространственной переменной х, затем проводится аппроксимация по временной переменной t на сетке ГЛ х [0,Т]Г. Разностные схемы указанных задач исследованы на устойчивость (устойчивость по Нейману и по норме). Доказан аналог теоремы сходимости А.Ф. Филиппова на классических множествах:

Теорема 6. Пусть разностная схема аппроксимирует краевую задачу (9) с некоторым порядком на решении и является устойчивой по норме. Тогда решение разностной задачи <ph сходится к решению 'р в норме Dah.

Наряду с представленным исследованием разностных схем, в работе приводится алгоритм для вычисления неотрицательного спектра (характеристических чисел) матриц конечно-разностного аналога оператора Лг3 на графе Гз, где Гз - граф-звезда с тремя ребрами. Ребра 71,72 параметризуются отрезком [0, |], ребро 73 - отрезком [f,7r]. При этом используется аппроксимация оператора Дг3 как на сетке Г3, так и на сетке Fg. Результаты вычисления спектра оператора приведены в таблице 1.

сетка Г3 % сетка Гд %

1.02534 2.53 1.05049 5.00

3.99794 0.05 3.99804 0.05

3.99794 0.05 3.99804 0.05

9.21835 2.42 9.44469 4.94

15.9671 0.20 15.9687 0.19

15.9671 0.20 15.9687 0.19

25.5526 2.21 26.1813 4.72

сетка Г^ % сетка Г^ %

35.8338 0.46 35.8418 0.43

35.8338 0.46 35.8418 0.43

49.9247 1.88 51.1573 4.40

63.4753 0.81 63.5006 0.78

63.4753 0.81 63.5006 0.78

82.1807 1.45 84.2185 3.97

98.7218 1.27 98.7828 1.21

98.7218 1.27 98.7828 1.21

Таблица 1. Спектр оператора и погрешность вычислений (%).

Глава IV посвящена решению задач практической теплофизики, материаловедения, практической биофизики.

1. Нагрев металлического слитка в проходной нагревательной печи. Математическая модель процесса нагрева металлического слитка с четырьмя периферийными компонентами датчиков, измеряющими температуру слитка в местах их установки (узлах), реализуется на простейшем графе Гп с пятью ребрами (к = 1,5) и внутренними узлами $ (I = 1,4); ребра графа 1к параметризованы отрезком [0,1]:

№) / = 1,4),

V /7* \ 7*-н (10)

и(х,0)71 = -а;2 + 5х, и(х, 0)72 = -х-2 + За; + 4,

и(аг, 0)7:1 = -х2 + ж + 6, и(х, 0)74 = -х2 - х + 6,

и(х,0)75 = -а;2-За: + 4, и(0, ¿)71 = 0, гг(М)75 = 0;

коэффициенты ^ (г = М) характеризуют процесс тепловых потерь во внутренних узлах

Рис.б. Рис.7.

На рис.6 приведена графическая интерпретация процесса распределения температуры и(х,Ь) при условии к[ = 1 {I = 1,4). Шаг по х равен 0.05, шаг по 4 - 0.00125. Температурные кривые соответствуют следующим значениям ¿: [1] - 0.00, [2] - 0.02, [3] - 0.04, [4] - 0.06, [5] - 0.08.

2. Распространение тепла в антенных конструкциях типа «мачта-растяжки». Математическая модель процесса распространения тепла в одноуровневой антенной конструкции типа «мачта-растяжки» реализована на графе-звсзда Г3 с пятью ребрами -ук (к = 1,5) и внутренним узлом Граничная задача при параметризации всех ребер отрезком [0,1] имеет вид:

ди(хЛ) _ д2и(х,1) дЬ ~~ Ох2 '

• и(м)7к=и(0,*)75(^=м), Е4^ (Щ7к = , (11)

и(х,0)7к =х2(к ==1,4), и(х, 0)7, = ж3 — 6х2 + 4а; + 1, и(0,1)1к = 0 (к = 1,4), и(М)75 = 0.

Графическая интерпретация теплового поля и(х, £) приведена на рис.7, шаг по х равен 0.05, шаг по £ - 0.00125. Температурные кривые соответствуют следующим значениям Ь: [1] - 0.00, [2] - 0.02, [3] - 0.04, [4] - 0.06.

3. Распространение тепла в конструкциях сеточной антенны. Метаболизм клеток. Математическая модель процесса измепеиия температурного поля реализуется на графе Гц (рис. 8), представляющего одну ячейку антенной сети. Аналогичная модель используется и в описании метаболизма клеток: узлы графа - узлы химических реакций, ребра -

пути распространения метаболитов к Рис.8

другим узлам реакций.

ди(хл) __ й2ч(х,1) <к — Ох2 '

ы(М)71=ЧМ)712 = и((и)72, + (12)

и(М)74 =и(1,07,+1 =и(0,г)Ук+2, (к = 2,4,6,8),

{Щ .№ = 2,4,6,8),

«(1.0т.о = «(0.07.. =«(о.07.2. = + {Щ

и(х, 0)1к = X2, (к = 1,3,5,7,9), и(х, 0)7к = 1, (к = 2,4,6,8,10,12), и(х,0)711 = 1 -а;2, и(0,4)71к = 0, (к = 1,3,5,7,9), и(М)711=0.

В таблице 2 приводится выборка числовых значений теплового поля и(х, ¿):

t = 0.070 0.00000 0.122G0 0.2G788 0.44393 0.63897 0.82860

t ■= 0.045 0.00000 0.10309 0.24077 0.42G55 0.64268 0.85113

t = 0.020 0.00000 0.07500 0.20000 0.40000 0.65292 0.88667

t 0.000 0.00000 0.04000 0.16000 0.36000 0.64000 1.00000

t / X 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

t ^ 0.070 0.82860 0.91172 0.95473 0.95172 0.91167 0.82860

t = 0.045 0.85113 0.93913 0.97982 0.97982 0.939913 0.85113

t - 0.020 0.88667 0.97792 1.00000 1.00000 0.97792 0.88667

t ^ 0.000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

t / X 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

t = 0.070 0.828G0 0.G3902 0.44393 0.26791 0.12258 0.00000

t = 0.045 0.85113 0. G1372 0.42G49 0.24076 0.10311 0.00000

t = 0.020 0.88GG7 0.G5312 0.40007 0.20010 0.0.0743 0.00000

t = 0.000 1.00000 0.96000 0.84000 0.64000 0.36000 0.00000

t / X 0.00 0.20 0.40 0.G0 0.80 1.00

Таблица 2. а)Распределе1Шс температур u(x,t) на ребре 7ъ7з,75,77,79 б)распределенио температур u(x,t) на ребрах 72, 74,7о>78,710,712 в) распределение температур u(x,t) на ребре 7П.

4. Колебательные процессы в трубопроводах. Математическая модель изменения амплитуды колебаний в трубопроводе реализуется на простейшем графе Гп с тремя ребрами:

02u(x,t) _ 0ги(хЛ) üil ~~~ Ох2 >

«(1,^=11(0,^, = ,

,(М)72 =11(0,^, = \ (13)

и(х, 0)7, = 0.2х(1 - х) sin 7Г.Т, = о {к = М),

u(0,í)7i=0, w(l,í)7, = 0. 7\

Графическая интерпретация изменения амплитуд колебаний и{х, t) приведена на рис. 9, шаг по х равен 0.05, шаг по t - 0.05. Кривые изменения амплитуд колебаний соответствуют следующим значениям t: fil - 0.00, [21 - 0 50 Í3l -1.00, [4] - 1.50, [5] - 2.00. J M

5. Распространение колебаний и системе «мачта-растяжки». Математическая модель системы реализуется па звезде Г3 с тремя ребрами (к = 1,3) (одноуровневая антенна):

02u(x,t) _ d2v(x,t) pt2 ~ Ох'2 '

u(l,t)7l = u\0, t)j2 = u(0, t)r¡, (¿MM)\ , (Ou{0,t)\ _ fOu(0,t)\

\ л, + V а» )12 - \ГЯГ)Ъ ' (14)

и(х,0)1к = 0.2г(1 — a:)sin7rx, (^ff51) =0, "(0,í)7* =0, (k= 1,2), =0.

Рис.9.

Рис.10.

На рис. 10 представлена графическая интерпретация расчетов для функции и{х,1)\ шаг по х равен 0.05, шаг по Ь - 0.05. Кривые изменения амплитуд колебаний соответствуют следующим значениям [1] - 0.00, [2] -0.50, [3] - 1.00, [4] - 1.50, [5] - 2.00.

6. Распространение колебаний в ячейке сеточной антенны. Математическая модель процесса реализуется на графе с четырьмя ребрами 7к, (к = 1,4), двумя внутренними точками £1, £2 и имеет вид (15):

u(l,í)7l = и(0, t)l2 =u(0,¿)73,

(du(x,t)\ . (du(x,t) \

V ;*=oe72 v 0* )x.

d2u{x,t) _ d2u(x,t)

, dt2 Г дх2 /а^МЛ

V 0x ) x=l e-ji \ /х=ое72

u(l,í)72 = "(M)7;i = w(0,í)74,

/ du(x,t) ^ Ox

u(x, 0)lk = 0.2a;(l — rr)sin7r:r (k = 1,4),

1=0573

\ Y_ fdu.(x,t)\

J x=iej2 \ J х=1е7з V ^x )

x=0£74

u(x,0)lk = 0.05 (k = 2,3),

u(0,í)7l = u(l,t)l4 = 0.

Графическая интерпретация изменения амплитуд колебаний приведена на рис. 11. шаг по х равен 0.05, шаг по t - 0.05. Кривые изменения амплитуд колебаний соответствуют

следующим значениям t: [1] - 0.00, [2] - 0.50, [3] - 1.00, [4] - 1.50, [5] - 2.00.

fdu(xfl)\ _

Ох

1к

0 (к = 1,4),

Рис.11

(15)

В Заключении приведены результаты работы и основные выводы: 1. Для математических моделей, описывающих тепловые и волновые процессы в составных промышленных конструкциях, развиты приближенные аналитические методы построения конечно-разностных аналогов граничных

задач на графах: получены условия аппроксимации дифференциальных операторов, исследоваи порядок аппроксимации, представлены условия устойчивости построенных разностных схем, проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи. Получены условия разрешимости копсчпо-разпостиых систем уравнений, возникающих в методе сеток.

2. Разработана маршевая конечно-разностная схема, позволяющая определить динамику изменения тепловых нолей и амплитуд колебаний материалообразующей основы составных промышленных конструкций, а также алгоритм для вычисления границ спектра и множества собственных чисел положительного оператора, являющегося конечномерным аналогом эллиптической компоненты уравнений с распределенными параметрами на графе.

3. Разработаны математические методы, используемые при анализе моделей прикладных задач: нагрев металлического слитка со встроенными периферийными компонентами датчиков; перенос тепла по антенным конструкциям разного типа; колебательные процессы в сети трубопроводов и сложных антенных конструкций; распределение потоков в сети метаболических реакций биологической системы на клеточном уровне.

4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, выполненный в среде Microsoft Visual Studio 2010, С++, позволяющий автоматизировать процедуру построения тепловых нолей и амплитуд колебаний фрагментов составных конструкций в зависимости от структуры промышленного объекта. Представлены результаты вычислительных экспериментов тестовых задач.

Основное содержание диссертации отражено в следующих опубликованных работах.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Провоторов, В.В. Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе [Текст] / В.В. Провоторов, О.А. Махипова // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. Т. 6, № 7. - С. 74-80.

2. Махинова, О.А. Задача теплопереноса на графах с циклом [Текст] / О.А. Махипова // Системы управления и информационные технологии. -

2010. - № 1 (39). - С. 19-22.

3. Махипова, О.А. Аппроксимация одномерного оператора Лапласа на графе-звезде [Текст] / О. А. Махипова // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия естественных и технических наук. -

2011. - Т. 16, вып. 4. - С. 1124-1126.

4. Махинова, О.А. Конечная проблема моментов для краевых задач на графе [Текст] / О.А. Махинова // Вестник Тамбовского государственного

;

i

университета. Серия естественных и технических паук. - 2011. -- Т. 16, вып. 5.

- С. 1264-1269.

5. Махинова, O.A. Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе [Текст] / O.A. Махинова // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Сер. 10 - 2012. - Вып. 1. -С. 54- 60.

Статьи и материалы конференций

6. Махинова, O.A. Разностные схемы для граничных задач на графе [Текст] / O.A. Махинова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXI». - Воронеж: Изд-во Воронеж гос. ун-та, 2010. - С. 145-148.

7. Махинова, O.A. Устойчивость копечио-разпостпого аналога системы с распределенными параметрами на графе-звезде [Текст] / O.A. Махинова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: Изд-во Воронеж гос. ун-та, 2011. - С. 215-216.

8. Махинова, O.A. Полная проблема конечно-разностной системы на графе-звезде [Текст] / O.A. Махинова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: Изд-во Воронеж гос. ун-та, 2011.

- С. 109.

9. Махинова, O.A. Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе с циклом [Текст] / O.A. Махинова // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. ПМТУММ-2011. - Воронеж: Изд-во Воронеж гос. ун-та, 2011. - С. 16-19.

10. Махинова, O.A. Конечномерный аналог оператора Лапласа на графе [Текст] / O.A. Махинова // Известия института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - 2012. - №1(39). - С. 95-96.

11. Махинова, O.A. Численные методы на графах [Текст] / O.A. Махинова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010615388.

Подписано в печать 13.02.13. Формат 60x84 1/\Ь. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 153.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Воронежский государственный университет"

На правах рукописи 04201355696 /(А^^

Махинова Ольга Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СОСТАВНЫХ ПРОМЫШЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физи ко- м атем ати ч еск их н ау к

Научный руководитель д.ф.-м.н. Провоторов В.В.

Воронеж - '2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ............................................................... 4

Глава I. Современные математические модели тепловых и волновых процессов ................................................ 10

§ 1. Основные понятия .............................................. 10

§ 2. Математические модели тепловых и волновых процессов на

сетях ............................................................ 12

2.1. Моделирование теплофизических процессов в материалах

с контролируемым температурным режимом .................. 13

2.2. Моделирование колебаний мачты и поддерживающих

ее растяжек ..................................................... 17

Выводы ............................................................. 34

Глава II. Обоснование метода Фурье для математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях..................................... 36

§ 1. Собственные функции краевой задачи на простейшем графе . . 36

§ 2. Собственные функции краевой задачи на графе-звезде ........ 49

§ 3. Собственные функции краевой задачи на графе с циклом ..... 59

§ 4. Метод Фурье для отыскания решений краевых задач на

графе................................................................ 62

Выводы ............................................................. 62

Глава III. Синтез разностных схем для краевых задач математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях ....................... 64

§ 1. Разностные аналоги дифференциальных операторов

на графах и их свойства ............................................ 65

1.1. Основные понятия и определения .......................... 65

1.2. Разностный аналог оператора Лгп ..................................................66

1.3. Разностный аналог оператора Аг3 ..................................................70

1.4. Разностный аналог оператора ..................................................73

1.5. Разностный аналог оператора Лгцз ................................................80

1.6. Увеличение порядка аппроксимации краевых задач ..............84

§ 2. Разностные схемы для начально-краевых задач

на графах ......................................................................................................................88

2.1. Устойчивость разностной схемы ......................................................89

2.2. Сходимость решений разностных схем ..........................................94

Выводы ..........................................................................................................................96

Глава IV. Вычислительный эксперимент. Расчет температурных полей и амплитуд колебаний в составных промышленных

конструкциях ....................................................... 97

§ 1. Методика расчета изменений температурных полей для составных

промышленных конструкций ................................... 98

§ 2. Методика расчета изменений амплитуд колебаний для составных

промышленных конструкций .................................. 104

§ 3. Численный анализ задач определения температурных полей и амплитуд колебаний для составных промышленных конструкций ................................................... 110

Заключение ...................................................... 126

Литература ......................................................... 128

Приложение ...................................................... 136

Введение

Актуальность. Тепловые и волновые процессы, протекающие в составных промышленных конструкциях, в большинстве своем описываются математическими моделями. реализуемыми на геометрических графах1. Те же принципы математического моделирования положены в основу современного понимания процессов обмена продуктами жизнедеятельности в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток). Продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций. Цепи имеют точки ветвления -узлы реакций, продукты которых могут быть использованы в нескольких метаболических цепях, в совокупности представляющих собой сеть2.

Остановимся на двух важных примерах промышленной теплотехники и технического материаловедения Задача оптимального нагрева (охлаждения) массивного металлического слитка относится к классу задач, математическая модель которых представляет собой граничную задачу с распределенными параметрами на классическом интервале (Ю.Р.Андреев. А.Г Бутковский,А.И.Егоров, С.А.Малый). В случае, когда объект наблюдения (металлический слиток) содержит точечные неоднородности, т.е. оснащен системой контроля состояния температурного поля в виде набора датчиков, периферийные компоненты которых определяют точки неоднородности, необходима замена интервала на объединение интервалов Математическая модель, рассматриваемая на объединении интервалов, требует развития классических методов анализа.

Рассмотрим задачу из области технического материаловедения -анализ процессов колебаний антенных конструкций разного типа.

' Провоторов В В И<( ледоваине 1рлпичпы\ мдач < рл< предсменпыми параметрами на графах при моделировании тейповых и вонповых процессов - Док юрская диссертация Воронеж, 2010

2Рпзниченко Г Ю , Рубин А Б Математические модели биологических продукционных процессов - М Изд-во МГУ, 1993 - 300 с

Такие конструкции работают в экстремальных режимах (перепады температур, внешние механические воздействия), и поэтому протекающие в них процессы могут сопровождаться нежелательными (и даже опасными) колебаниями или различного рода неустойчивостями. Возникают ситуации, когда необходимо генерировать колебания заданных частот, чтобы погасить нежелательные колебания, влияющие на работоспособность конструкций. В работе предлагается исследование нескольких типов математических моделей антенных систем. Следует отметить, что анализ колебательных процессов в сстеподобных механических конструкциях ограничился поиском общих закономерностей теоретического характера (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, М.И.Белишев, А.В.Боровских, М.Г.Завгородний, К.П.Лазарев, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Прядиев, В.А.Юрко, G. Lumer, S. Nicaise, J. Below), численные же методы анализа применительно к конкретным прикладным задачам оставались в тени, находясь в стадии формирования.

Тема диссертационной работы соответствует научной теме «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный номер № 0120.0853009, выполняемой математическим факультетом Воронежского государственного университета.

Цель работы. Развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Для достижения цели поставлены следующие задачи:

— на основе современных представлений явлений тепломассопереноса и колебания упругого тела разработать математические модели тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных

конструкциях, с помощью формализмов граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах;

— на базе существующих численных методов для задач математической физики на компактных графах осуществить развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей, аппроксимации разностными схемами, устойчивость и сходимость решений разностных уравнений;

— разработать эффективный маршевый алгоритм, базирующийся на конечно-разностном аналоге математической модели;

— реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ для решения задач прикладной теплотехники, деформации и колебаний в составных промышленных конструкциях с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основывается на использовании законов явлений тепломассопереноса, деформации и колебаний упругих тел, на проведении вычислительных экспериментов и сравнительным анализом с классическими данными.

Объект исследований. Приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях.

Методы исследования. При выполнении исследования в качестве основного инструментария был применен метод математического моделирования совместно с фундаментальными методами современного анализа прямых задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с распределенными

параметрами на графах.

Научная новизна. Предлагается развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных конструкциях: получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами для уравнений с распределенными параметрами на основных типах графа (простейший граф, граф-звезда, граф с циклом); разработана маршевая по времени конечно-разностная схема второго порядка аппроксимации по пространственной переменной; представлен подробный анализ решений разностных уравнений (устойчивость по Нейману и норме, сходимость); представлены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих тепловые и волновые процессы в составных промышленных конструкциях, для решения таких задач разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Практическая значимость. Практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария в виде предметно-ориентированного программного комплекса для исследования различного рода процессов, протекающих в составных промышленных конструкциях либо иных схожих явлений. Представлены решения актуальных задач промышленной теплотехники, материаловедения и упругости, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств.

Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых

и волновых процессов в составных промышленных конструкциях, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.

1. Развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей на сетке графа, аппроксимации разностными схемами, условия устойчивости и сходимости решений разностных уравнений.

2. Решение граничных задач, лежащих в основе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными неоднородностями, моделей тепловых и волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных системах.

3. Численные методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач на сетке графа, комплекс проблемно-ориентированных программ для решения задач технической теплотехники, материаловедения и упругости.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XXI и XXII» (Воронеж, 2010, 2011), V Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011), Международная конференция «Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011), Международная конференция «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012). Семинары проф. Провоторова В.В. (2011, 2012), проф. Глушко A.B. (2012), проф. Рижских В.И. (2012).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 опубликованных научных работах, 5 из них - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата, в том числе, свидетельство на программный продукт.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем составляет 170 страниц (в том числе приложение на 35 страницах) и содержит 9 таблиц и 17 рисунков.

Глава I. Современные математические модели тепловых и

волновых процессов

§ 1. Основные понятия

На протяжении всего изложения мы будем пользоваться определениями и понятиями монографий [38. 53]. В различных главах работы определения могут модифицироваться в зависимости от нужд исследования.

Пусть Э — произвольный граф, ребра графа обозначаются через 7/с, узлы — через ^ (здесь к, (— номера, причем нумерация ребер предполагается независимой от нумерации узлов); через <9Г и «/(Г) обозначаются множество граничных и внутренних узлов, соответственно. Каждое ребро ориентировано и параметризовано некоторым отрезком. Для каждого графа выбираются удобная ориентация и отрезки параметризации, определяющиеся, прежде всего, видами графа (звезда, цепочка, дерево) [39, 41]. Покажем это на примере. Пусть многообразие Г— геометрический граф-звезда с ребрами 7^ (к = 1,т) и узлом каждое ребро 7^ (к = 1,т—1) параметризовано отрезком [0,7г/2], ребро 7т - отрезком [7г/2,7г], ориентация на ребрах 7^ (к = 1,т— 1) - «к узлу £», на 7т - «от узла £»; х Е 7/с означает, что каждой точке х ребра 7^ придается численное значение параметрам ж: 0 < х < тг/2 или тг/2 < х < ж (х = 7г/2 е 7/с, к - фиксированное (.к = 1 ,т), означает принадлежность точки х узлу £). Следует отметить, что мы заменили термин «вершина графа», употребляющийся в цитированных монографиях [38, 53], на «узел графа». Причиной тому является исследование в данной работе граничных (краевых) задач, описывающих математические модели тепловых и волновых процессов сложносочлененных промышленных конструкций, при описании и анализе которых используется термин «узлы сочленения» компонент конструкций.

Скалярная функция f(x) на графе Су — обычное отображение / : Су —> R, сужение функции f(x) на ребро 7 обозначается через /(х)7.

Множество непрерывных на графе Q функций обозначается через С(Су), С [С*] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле £ по разным ребрам могут быть различными, функции не приписывается никакого значения в узле), C2[S] - множество функций, на каждом ребре два раза непрерывно дифференцируемых вплоть до границы (т.е. все производные до второго порядка включительно принадлежат С[Су], в концевой точке ребра применяется одностороннее дифференцирование).

Линейное дифференциальное уравнение на ребре — это обычное дифференциальное уравнение на кривой, условие согласования в некотором внутреннем узле графа — любая комбинация значений функции и ее граничных производных в этом узле. Линейным дифференциальным уравнением на графе называют [38] совокупность дифференциальных уравнений на ребрах 7^ графа Су, например,

£ (а(х)1к±и(х)1к) + Ъ(х)и{х) = }\х)1к (1.1.1)

и условий согласования (трансмиссии)

YJa{a)1£u{a)1 = 0. (1.1.2)

7

во внутренних узлах графа в соответствии с принятой ориентацией и параметризацией на графе ^ (суммирование ведется по ребрам 7 графа, примыкающим к узлу о;). В граничных узлах, принадлежащих граничным ребрам 7 графа Су, задаются граничные условия типа

и\ж = 0 (1.1.3)

или

а(Р^£и(Р),( = 0. (1.1.4)

Граничная (краевая) задача на графе — это набор линейных дифференциальных уравнений на ребрах (1.1.1), условия согласования во

внутренних узлах (1.1.2) и граничные (краевые) условия (1.1.3) или (1.1.4) в граничных узлах. Для уравнений в частных производных начально-краевые задачи строятся аналогично задачам (1.1.1)-(1.1.4).

В главах III и IV для удобства анализа мы введем несколько иные параметризацию и ориентацию на графах, а также свою систему обозначений этих графов.

§ 2. Математические модели тепловых и волновых процессов

на сетях

На практике весьма часто встречаются объекты, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными, — объекты с распределенными параметрами. К числу объектов с распределенными параметрами относится широкий класс задач промышленной теплотехники: неразрушающий контроль теплофизических процессов в материалах, мониторинг нагревательного процесса печей в металлургической и машиностроительной промышленности (доменные печи, методические печи и нагревательные колодцы для нагрева металлов под прокатку, печи для термообработки металла, индукционные печи и т.д.). В х