автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование регулярной и стохастической динамики квазидвумерных вихретоковых систем с учетом электромагнитной памяти

На правах рукописи

005552455

Кирпиченкова Наталья Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ КВАЗИДВУМЕРНЫХ ВИХРЕТОКОВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ПАМЯТИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 'I СЕН 2014

Новочеркасск - 2014

005552455

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова» и в лаборатории «Физика магнитных явлений» ФГБУН «Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук»

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Шавров Владимир Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН «Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук», г. Москва, лаборатория «Физика магнитных явлений», заведующий лабораторией

Батаронов Игорь Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», г. Воронеж, кафедра высшей математики и физико-математического моделирования, заведующий кафедрой

Бугаев Лусеген Арменакович, доктор физико-математических наук, профессор. ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», г. Ростов-на-Дону, кафедра теоретической и вычислительной физики, заведующий кафедрой

Слепков Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор. ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», г. Москва, физический факультет, кафедра общей физики, профессор

ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет», г. Волгоград

Защита состоится « 20 » ноября 2014 г. в 14.20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, ГСП 17 - А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский. 44. ауд. Д - 406

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 21ж

Диссертация в электронном виде доступна по адресу: http://hub.sfedu.ru

Автореферат разослан «29» ¿7^у<"*/%2.2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22 доктор технических наук, профессор / / Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Отличие от нуля характерного времени т релаксации электромагнитных возмущений в конденсированных средах приводит к тому, что электромагнитные характеристики, ассоциированные с этими возмущениями, оказываются нелокальными во времени (временная дисперсия), то есть зависят от предыстории электромагнитных процессов, и в этом смысле конденсированные среды и соответствующие характеристики обладают электромагнитной памятью длительностью порядка т [1]. В настоящей диссертационной работе в качестве таких процессов рассматриваются вихревые токи, возбуждаемые источниками внешнего магнитного поля в квазидвумерных проводящих системах с существенно различными масштабами времен релаксации: 1) Л'-оболочки — макроскопически тонкие проводящие оболочки из нормального (А0 — несверхпроводящего и немагнитного металла: 2) 5-/-5-оболочки — сверхпроводящие наноструктуры в виде джозефсоновских Б-/—Б (5 - сверхпроводник, I — изолятор) контактов. Задачи исследования вихретоковых процессов в таких оболочках близки по своему физическому содержанию, поскольку их математические модели базируются на уравнениях электродинамики сплошных сред.

Многочисленные исследования вихревых токов в А'-оболочках и ассоциированных с ними электродинамических процессов были инициированы не только теоретическим интересом, но также и тем, что такие оболочки являются основными элементами многих практически важных технических устройств, например, таких как: системы электродинамического подвеса, системы электродинамического разгона и торможения, электромагнитные пушки и т.д. Корректный количественный анализ электромагнитных процессов в подобных устройствах диктуется высоким уровнем требований к качеству их проектирования [2 - 4].

Основной электромагнитной характеристикой, ассоциированной с вихревыми токами в А'-оболочках и определяющей динамику упомянутых выше систем, является электромагнитная сила (ЭС) взаимодействия вихревых токов с внешним источником магнитного поля, порождающим эти токи в движущейся Д-оболочке. При инженерных оценках этой силы используется стационарное приближение, в рамках которого предполагается, что при определенных условиях ЭС можно считать функцией текущих мгновенных значений электромагнитных процессов в системе. Вместе с тем ясно, что поскольку время релаксации вихревых токов в Д'-оболочке г ^ 0. то в общем случае ЭС является не функцией, а некоторым функционалом этих процессов, главный вклад в который к моменту времени ? накапливается в интервале [/-г. /]. При этом возникает естественный вопрос — могут ли эффекты электромагнитной памяти оказаться существенными количественно или даже приводить к качественно новым -отсутствующим в рамках стационарного приближения, эффектам в электродинамике подобных систем. Этот вопрос генерирует ряд новых задач по исследованию математических моделей вихретоковых систем, содержащих квазидвумерные Л'-оболочки. движущиеся в магнитном поле внешних источников.

Электродинамике джозефсоновских Е-1-5 контактов посвящено огромное число публикации, эта тематика отражена в многочисленных обзорах, монографиях и учебниках, что обусловлено как фундаментальностью самой этой проблемы, так и широким спектром применения устройств на основе джозефсоновских контактов в различных областях науки и техники.

Одним из направлений электродинамики джозефсоновских £-/-5' контактов является исследование вихревых токов и. в частности, джозефсоновских вихрей, появ-

ляющихся в контактах, находящихся в параллельном плоскости контакта сверхкритическом внешнем магнитном поле. Джозефсоновский вихрь (флуксон) несет квант магнитного потока и может перемещаться вдоль контакта при приложении к нему внешнего напряжения. Это направление исследований связано, в частности, с практически важной задачей изучения транспорта информации (один бит = один флуксон) вдоль длинных джозефсоновских контактов (джозефсоновских линий связи) в компьютерах будущих поколений, основанных на джозефсоновской технологии [5, 6]. В идеальном контакте при температуре Т = 0 и достаточно малых напряжениях движущийся джозефсоновский вихрь является солитоном описывающего его динамику нестационарного нелинейного уравнения sin-Gordon, то есть время его релаксации т —>со, и информация при транспорте сохраняется. Однако, проблема здесь состоит в том, что в реальных контактах имеются многочисленные отклонения от идеальности, приводящие к ограничению длительности электромагнитной памяти контакта. В этой связи, среди прочего, исследуются структурные искажения различной природы в I-слое контакта, приводящие к пространственным флуктуациям его туннельной проводимости, на которых происходит рассеяние движущегося флуксона, например: флуктуации толщины /-слоя, микрозакоротки в /-слое [7]. В настоящей диссертационной работе в контексте исследования новых возможных механизмов ограничения электромагнитной памяти S-I-S контакта и влияния этого ограничения на электродинамику джозефсоновских вихрей в реальных S-/-S контактах исследуется математическая модель длинного неупорядоченного S-I-S контакта со структурными возмущениями проводимости /-слоя в виде случайных «квантовых закороток» — квантовых резо-нансно-перколяционных траекторий (КРПТ) [8, 9], случайно образующихся в неупорядоченной системе примесей, хотя бы и в небольших концентрациях всегда присутствующих в /-слое.

Всё перечисленное выше делает несомненно актуальным исследование влияния электромагнитной памяти на электродинамику вихретоковых процессов в рамках рассматриваемых здесь математических моделей квазидвумерных проводящих и сверхпроводящих систем.

Цель и задачи. Целью работы является количественный анализ влияния электромагнитной памяти на регулярную и стохастическую динамику вихретоковых процессов в квазидвумерных проводящих (N) и сверхпроводящих (S-I-S) оболочках, направленный на углубление теоретических представлений об электродинамике систем, содержащих такие оболочки, и повышение уровня адекватности и эффективности их компьютерных моделей.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

В области математического моделирования:

• В рамках математической модели вихревых токов, возбуждаемых внешним магнитным полем в движущихся TV-оболочках, выделить и исследовать математическую структуру, корректно учитывающую электромагнитную память N-оболочки при вычислении функционала электромагнитной силы (ФЭС) взаимодействия вихревых токов с источником внешнего магнитного поля.

• В рамках математической модели малых вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося с постоянной переносной скоростью над N-оболочкой конечной ширины, получить представление возмущенного колеба-

ниями ФЭС в виде суммы его диссипативной (которая появляется лишь при учете электромагнитной памяти jV-оболочки) и консервативной частей с целью более адекватного, чем имеющееся, описания регулярной и стохастической динамики вертикальных колебаний электродинамического подвеса.

• Исследовать влияние электромагнитной памяти Д'-оболочки на «вертикальную» устойчивость электродинамического подвеса, движущегося над N-оболочкой конечной ширины.

• Исследовать влияние электромагнитной памяти /^-оболочки на регулярную и стохастическую динамику вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося с постоянной переносной скоростью над А'-оболочкой конечной ширины, возбуждаемых регулярными или стохастическими флуктуа-циями тока в катушке магнитной опоры, либо регулярными или стохастическими флуктуациями срединной поверхности jV-оболочки.

• В рамках математической модели вихревых токов в длинных неупорядоченных S-I-S контактах выделить и исследовать математическую структуру, «отвечающую» за ограничение длительности электромагнитной памяти контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое.

• Разработать дискретную математическую модель вихревых токов в длинных неупорядоченных S-I-S контактах, предназначенную для расчета электродинамических параметров уединенного джозефсоновского вихря в области сильного ограничения электромагнитной памяти контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое.

• В пространстве параметров длинного неупорядоченного S-I-S контакта найти область сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое.

• Исследовать электромагнитные параметры неподвижного джозефсоновского вихря в длинном неупорядоченном S-I-S контакте, в области сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое.

• Исследовать радиационные потери джозефсоновского вихря, движущегося в неупорядоченном S-I-S контакте, в области сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /слое.

В области численных методов:

• Разработать метод статистического усреднения конечно-разностных схем для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте — стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое) как стационарного, так и нестационарного уравнений sin-Gordon.

• Разработать статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте - стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое) как стационарного, так и нестационарного уравнений sin-Cordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решети уравнения.

• Провести исследование устойчивости и сходимости разработанных конечно-разностных схем на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач.

• Провести оценку дисперсии решения стохастического уравнения sin-Gordon.

В области разработки программных комплексов:

Разработать комплекс компьютерных программ, реализующих как известные, так и развитые в работе численные методы и алгоритмы, ориентированных на проведение численных экспериментов с целью исследования электродинамики вихретоковых процессов в Лг и S-I-S оболочках с учетом их электромагнитной памяти.

Объектами исследования в данной работе являются вихревые токи, возбуждаемые источниками внешнего магнитного поля в квазидвумерных N и S-I-S оболочках, а также электромагнитные взаимодействия и процессы, ассоциированные с этими токами.

Методы исследования. При анализе исследуемых в работе математических моделей вихретоковых систем используется комплексный подход, включающий в себя: приближенные аналитические методы для исследований, предваряющих численный анализ моделей, методы математической физики, методы теории случайных процессов, методы теории колебаний, методы математического моделирования, численные методы и вычислительные эксперименты на базе разработанного программного комплекса.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью исходных математических моделей, сформулированных в рамках надежно установленных научных парадигм, корректностью аналитических, численных и приближенных асимптотических методов исследования этих моделей и подтверждается согласованием полученных численных результатов с аналитическими оценками, как самого автора, так и других исследователей, и согласованием их физической интерпретации с известными теоретическими представлениями. Полученные результаты докладывались и обсуждались на всероссийских и международных научных конференциях и получили положительные оценки.

Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

В области математического моделирования:

1. В структуре математической модели вихревых токов в TV-оболочках выделен и исследован вихретоковый пропагатор, позволивший впервые установить, что в области малых переносных скоростей относительного движения Л'-оболочки и источника внешнего магнитного поля осуществляется преимущественно дис-сипативный, а в области больших — преимущественно интерференционный механизмы ограничения электромагнитной памяти jV-оболочек, корректный учет которых привел к обнаружению вертикальной неустойчивости электродинамического подвеса, движущегося над jV-оболочкой конечной ширины (п. 2.1 — п. 2.4, п. 3.1-п. 3.3).

2. Впервые в рамках математической модели малых вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над Л'-оболочкой конечной ширины, получено представление возмущенного колебаниями ФЭС в виде суммы его диссипативной (которая возникает лишь при учете электромагнитной памяти TV-оболочки) и консервативной частей, что приводит к повышению уровня адекватности описания динамики вертикальных колебаний электродинамического подвеса (п. 2.3).

3. Впервые получены приближенные аналитические формулы для коэффициентов электромагнитной вязкости, электромагнитной упругости и критической скорости Vc переносного движения электродинамического подвеса, движущегося над Л-оболочкой конечной ширины, позволяющие делать их априорные оценки, (п. 2.4).

4. Впервые доказана теорема сравнения для характеристических чисел интегрального К -оператора основного уравнения математической модели вихревых токов в цилиндрических Д'-оболочках с профилем в виде дуги окружности, обеспечивающая возможность априорных оценок этих чисел, предваряющих численные расчеты (п. 2.5).

5. Впервые с использованием оператора функционального сдвига развито приближение динамического среднего поля для вычисления возмущенного флук-туациями срединной поверхности Л-оболочки ФЭС с учетом её электромагнитной памяти (п. 3.3.1).

6. Впервые получена аналитическая формула для времени релаксации электромагнитных возбуждений на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном S-I-S контакте (п. 6.1).

В области численных методов:

7. Впервые развит метод статистического усреднения конечно-разностных схем для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте — стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое) как стационарного, так и нестационарного уравнений sin-Gordon (п. 5.1 - п. 5.5).

8. Впервые разработаны статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения стохастически возмущенного как стационарного, так и нестационарного уравнений sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения уравнения (п. 5.1 - п. 5.5).

9. Впервые проведено исследование погрешностей аппроксимаций, доказательство устойчивости и сходимости разработанных усредненных конечно-разностных схем для уравнения sin-Gordon на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач (п. 5.4).

10. Впервые получена мажорантная оценка для среднеквадратичного отклонения (дисперсии) стохастически возмущенного квантовыми закоротками решения от усредненного (п. 5.4).

В области разработки комплексов программ:

11. Изложенные в работе как уже известные, так и разработанные автором численные методы и алгоритмы реализованы в виде комплекса компьютерных про-

грамм, ориентированных на проведение численных экспериментов по исследованию электродинамики вихретоковых процессов в Л' и 5-/-5 оболочках с учетом их электромагнитной памяти, с помощью которого впервые:

■ для Л'-оболочск конечной ширины показано, что коэффициент электромагнитной вязкости обнаруживает нетривиальное поведение - смену знака при некотором - критическом значении V = Ус переносной скорости электродинамического подвеса, что приводит к его «вертикальной» неустойчивости при V > Ус (п. 2.3, п. 2.4);

■ в пространстве параметров электродинамического подвеса, движущегося над цилиндрической А'-оболочкой, построены «резонансные траектории», на которых обнаружены области «виртуальных» резонансов его вынужденных вертикальных колебаний (п. 3.1.3, п. 3.3.2);

■ обнаружены три (вместо одного без учета электромагнитной памяти /V-оболочки) качественно различных режима стохастической накачки энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса (п. 3.2.4);

■ обнаружен эффект стохастического торможения переносного движения электродинамического подвеса, движущегося над случайно возмущенной цилиндрической А'-оболочкой конечной ширины с критической скоростью V = УС (п. 3.4.2);

■ в пространстве параметров длинного неупорядоченного 8-1-Б контакта найдена область сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое (п. 6.1);

■ показано, что в области сильного ограничения электромагнитной памяти длинного неупорядоченного 5-1-5 контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое происходит радикальное изменение (по сравнению со случаем «пустого» контакта) электромагнитных параметров неподвижного джозефсоновского вихря как в случае низкоомно-го, так и в случае высокоомного контактов (п. 6.2);

■ показано, что в области сильного ограничения электромагнитной памяти длинного неупорядоченного 5-/-5 контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое происходит аномальное увеличение мощности радиационных потерь движущегося джозефсоновского вихря как в случае низкоомного. так и в случае высокоомного контактов (п. 6.3).

Теоретическая и практическая значимость. Развитые в диссертационной работе методы математического моделирования и полученные на их основе результаты вскрывают нетривиальную роль электромагнитной памяти в регулярной и стохастической динамике вихретоковых процессов в системах с квазидвумерными проводящими (IV) и сверхпроводящими (5-1-5) оболочками, дополняют и развивают фундаментальные теоретические представления об электродинамике таких систем, повышают уровень адекватности и эффективности их компьютерных моделей, предназначенных для проведения вычислительных экспериментов.

В практическом плане полученные в диссертационной работе результаты, развитые в ней методы математического моделирования, численные методы и разработанный комплекс компьютерных программ могут быть использованы для улучшения качества проектирования многочисленных электромагнитных устройств, устройств микро и наноэлектроники, конструктивными элементами которых являются рассмот-

ренные в работе квазидвумерные проводящие и сверхпроводящие оболочки, находящиеся в магнитном поле внешних источников.

Результаты диссертационной работы получили применение: в научной работе ЮРГПУ (НПИ), ИРЭ РАН; в учебном процессе кафедр: «Прикладная математика» физико-математического факультета ЮРГПУ (НПИ). «Техническая физика» физического факультета ЮФУ. а также были использованы при выполнении научно-исследовательских работ по гранту РФФИ №08-08-00667-а «Разработка основ теории и методов проектирования систем автоматического контроля параметров движения плазмы в магнитоплазменных электродинамических ускорителях с управляемым разгоном», что подтверждено документально.

Работа поддерживалась:

1. Стипендией Президиума РАН для молодых ученых сроком на три года (2000-2003 гг.) (постановление Президиума РАН №77 от 11 апреля 2000 г.).

2. Грантом фонда Потанина в 2006 г.

3. Именной стипендией для докторантов ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский Политехнический Институт)» им. проф. Зинина Н.Н. в 2012 г.

Основные научные положения и результаты работы, выносимые на защиту:

1. Выделенный и исследованный в работе вихретоковый пропагатор позволяет при численных расчетах ФЭС корректно учитывать два механизма ограничения электромагнитной памяти А'-оболочск - диссипативный и интерференционный, что повышает уровень адекватности математического моделирования регулярной и стохастической динамики вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над А'-оболочкой конечной ширины.

2. Показано, что лишь учет электромагнитной памяти //-оболочки приводит к появлению диссипативной части возмущенного вертикальными колебаниями ФЭС и к знакопеременное™ коэффициента электромагнитной вязкости, как функции переносной скорости электродинамического подвеса, что приводит к неустойчивости при V > Vc.

3. Получены приближенные аналитические формулы для коэффициентов электромагнитной вязкости, электромагнитной упругости и критической скорости Vc электродинамического подвеса, позволяющие делать их априорные оценки.

4. Для цилиндрических А'-оболочек с профилем в виде дуги окружности доказана теорема сравнения для характеристических чисел интегрального К -оператора основного уравнения математической модели вихревых токов, обеспечивающая возможность априорных оценок этих чисел, предваряющих численные расчеты.

5. С использованием оператора функционального сдвига развито приближение динамического среднего поля для вычисления возмущенного флуктуаииями срединной поверхности А'-оболочки ФЭС с учетом электромагнитной памяти.

6. Получена аналитическая формула для времени релаксации электромагнитных возбуждений на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном S-I-S контакте.

7. Развит метод статистического усреднения конечно-разностных схем для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте - стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /- слое) как стационарного, так и нестационарного уравнения sin-Gordon.

8. Разработаны статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте - стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое) как стационарного, так и нестационарного уравнения sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения уравнения.

9. Проведено исследование погрешностей аппроксимации, доказана устойчивость и сходимость разработанных статистически усредненных конечно-разностных схем для уравнения sin-Gordon на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач.

10. Получена мажорантная оценка для среднеквадратичного отклонения стохастически возмущенного квантовыми закоротками решения от усредненного.

11. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий как уже известные, так и развитые в работе численные методы и алгоритмы исследования математических моделей вихретоковых процессов, с помощью которого:

• показано, что при V > Vc в системе электродинамического подвеса развивается «вертикальная» неустойчивость, как следствие неустойчивости крупномасштабных вихретоковых мод в цилиндрической //-оболочке;

• найдены области «виртуальных» резонансов на резонансных траекториях в пространстве параметров электродинамического подвеса;

• обнаружены и исследованы качественно различные (в зависимости от величины переносной скорости V) режимы стохастической накачки энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса;

• рассчитана мощность стохастического торможения электродинамического подвеса, движущегося над случайно возмущенной цилиндрической N-оболочкой конечной ширины с V = Vc;

• в пространстве параметров неупорядоченного S-I-S контакта найдена область сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в /-слое;

• показано, что в области сильного ограничения электромагнитной памяти неупорядоченного S-I-S контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое происходит радикальное изменение электромагнитных параметров неподвижного джозефсоновского вихря;

• показано, что мощность радиационных потерь движущегося джозефсоновского вихря в длинном неупорядоченном S-I-S контакте аномально возрастает в области сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое.

Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования паспорта научной специальности:

1) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п. 2);

2) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента (п. 4);

3) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента (п. 5).

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XXII Гагаринские чтения, Москва, Россия, 1996; II Международная конференция «Состояние и перспективы развития электроподвижного состава». Новочеркасск, Россия. 1997; II Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск. Россия, 1998; Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Минск, Беларусь. 1999; VI Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, Россия, 2009; VI Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем». Воронеж, Россия, 2010; Международная научная конференция «Моделирование-2010», Киев, Украина, 2010; The 2-nd International Meeting «Low dimensional Systems» (LDS - 2), Rostov-on-Don - Loo, Russia, 2010; The 10-th. 11-th. 12-th. 13-th. 14-th, 15-th, 16-th International Meeting «Order, Disorder and Properties of Oxides» (ODPO - 2007. 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), Rostov-on-Don - Loo, Tuapse, Russia; The 11-th, 12—th. 13—th, 14—th, 16-th International Meeting «Ordering in Minerals and Alloys» (ОМА - 2008, 2009, 2010, 2011). Rostov-on-Don - Loo, Russia.

Личный вклад автора

Диссертация является самостоятельной работой, обобщающей результаты, полученные лично автором. Автору принадлежит выбор направления исследований, постановка задач, разработка численных и аналитических методов исследования математических моделей, реализация программного комплекса. Все результаты и научные положения диссертации, выносимые на защиту, получены и сформулированы лично автором.

Публикации

По теме диссертации соискатель имеет 48 опубликованных научных работ (24 - без соавторов), среди которых: 19 статей в научных журналах и изданиях, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ. 1 монография. 23 публикации в сборниках трудов всероссийских и международных конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, семи глав, пяти приложений, заключения, списка литературы из 99 наименований, изложена на 284 страницах, содержит 94 рисунка.

Основное содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы.

В первой главе «Математическая модель вихревых токов в квазидвумерных jV-оболочках. Состояние проблемы» приведена формулировка математической модели [4] для расчета вихревых токов, возбуждаемых нестационарным магнитным полем В0 (/",/) внешних источников в движущихся квазидвумерных немагнитных (// = l) геометрически и электромагнитно тонких протяженных цилиндрических N-

оболочках постоянной толщины (й = const) с однородной изотропной проводимостью (у = const). Предполагается, что скорости относительного движения N-оболочки и источника внешнего магнитного поля нерелятивистские (f « с = 3 • 108 м/с).

При вычислении силы электромагнитного взаимодействия движущегося проводника и источника внешнего магнитного поля одной из важных проблем является расчет вихревых токов в проводнике. Для тонких iV-оболочек эта проблема целенаправленно исследовалась в ряде работ, достаточно полная библиография которых приведена в [4]. Основываясь на системе уравнений Максвелла в квазистационарном приближении, записанной в движущейся в магнитном поле внешнего источника со скоростью V{t)=V(t)ex протяжённой вдоль оси Ох цилиндрической TV-оболочке при учёте соответствующих граничных и начальных условий, в [4] сформулирована нестационарная краевая задача для скалярной функции потока вихревых токов y/{x,u,t), определенной на срединной поверхности S = {х, г/} А'-оболочкл. Эта краевая задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению для фурье-компоненты (по переменной дг) функции потока y/{m,u,t) с соответствующим начальным условием:

jmVit)-1

Ку/ + у/°, у/{{ = 0) = у/(п1, и,0) (1)

2п

где у/° =у/°(т,и,{) - известный свободный член, выражающийся через К (г) и Вйп(т,и,^, т - параметр преобразования Фурье, j = , К — интегральный оператор, определённый на профиле (0<и<1) срединной поверхности с действительным симметричным ядром, конкретный вид которого определяется геометрией А-оболочки.

о

Решение уравнения (1) ищется в гильбертовом пространстве ^'[о, /] всевозможных комплекснозначных функций, определённых на отрезке 0<и<1, обращающихся в нуль на границах этого отрезка, интегрируемых с квадратом вместе с первыми производными. Оператор К в этом пространстве является линейным, непрерывным, самосопряжённым и положительным, т.е. его характеристические числа Лк > 0, спектр не вырожден, а собственные функции /к(т,и), удовлетворяющие интегральному уравнению

(2)

о

образуют вещественный ортонормированный базис в И7,1 [о, /].

Решение уравнения (1) найдено в [4] в виде разложения по собственным функциям оператора К:

ар

1//(т,и,1) = ^Ск(т,1)/к(т,и), (3)

к= 1

где коэффициенты разложения удовлетворяют уравнению:

,тУ{?) "

,с[Ck{m,t)

8t

J-dk

Ck{m.t)=C°k{m,t), (4)

dk=dk{m) = ^M, fk{m,u)\ (5)

Решение уравнення (4) в [4] найдено в форме интеграла Дюамеля.

В [4] получено общее выражение для электромагнитной силы взаимодействия источника внешнего магнитного поля с наведенными им вихревыми токами в движущейся А'-оболочкс. В частности, для силы левитации получено представление:

1 к ' г>й°

Faz = —-J i/mj Rc !//• du,

(7)

" 0 0 C-

B контексте задач, решаемых в диссертации, приведен «спроектированный» на эти задачи обзор результатов, ранее полученных в рамках этой модели другими авторами. Сформулировано направление диссертационных исследований.

Во второй главе «Влияние электромагнитной памяти TV-оболочки на «вертикальную» устойчивость электродинамического подвеса» проведено исследование влияния электромагнитной памяти вихретоковых процессов в А-оболочкс на устойчивость «в малом» состояния равновесия электродинамического подвеса по отношению к «вертикальным» возмущениям в рамках модели с фиксированным током в катушке магнитной опоры (/' = const), движущейся с постоянной переносной скоростью V =Vc\ — const над TV-оболочкой конечной ширины.

Для анализа эффектов электромагнитной памяти А'-оболочки в рамках модели (1) - (4) в диссертационной работе введен «вихретоковый проиагатор» Pk(m;t,r) (запаздывающая функция Грина оператора левой части уравнения (4)). удовлетворяющий уравнению:

,oPk(m;t.z)

dt

. т

V(t)

Pk(m;t,r)=S(t-r),

и имеющий вид

Pk(m-t, т) =

dke'dk{;-r)exр

jm\v(rj)dT)

T<t,

О, г > 1,

с помощью которого общее решение уравнения (4) представлено в виде:

Ск (пи) = Рк (ти, ОК"1 (™)Ск (т; Г,г)С;°(т,г>/г,

(8)

(9)

(10)

где

JmV(T)B°(m,u,T)~B°(m,u,T) дт

fk(m,u)du,

(П)

Ск (/;г,0) = (у/(п1, г/,0), /к (пи г/)) - известное начальное условие, вклад которого в Ск(гпл), как видно из (9), (10) экспоненциально затухает с характерным временем диссипативной релаксации тк (т) = ¿/к] (т) соответствующей пространственной (к,т)-моды вихревых токов в А-оболочке. так что при />тк(т) коэффициент Ск(рг,{) «забывает» это начальное условие.

В контексте задач, решаемых в диссертационной работе, отмечено, что каждая пространственная (к,т)-иода функции потока вихревых токов в //-оболочке (3)

¥к (т, и, г) = Ск{т,г)/к (ш.и) (12)

обладает электромагнитной памятью, длительность которой определяется входящим в формулу для Ск(т,{) (10) вихретоковым пропагатором Рк (ш; г) (9). в котором

представлены два механизма ограничения электромагнитной памяти вихретоковых процессов в /У-оболочке:

1) механизм диссипативной релаксации - представлен в Рк (т; 1, г) (при г < /) первой — затухающей «назад» во времени (начиная с текущего момента С) экспонен-той. При пропагатор становится экспоненциально малым и «обрезает» интеграл в (10) на характерном «диссипативном» времени (в прошлом)

? - г = тк (да) = (да) = (да))"1; (13)

2) интерференционный механизм - представлен в Рк (да; I, т) (при т < ?) второй

- осциллирующей во времени экспонентой. При г-г>(Кт)-1 пропагатор осциллирует и «обрезает» интеграл в (10) на характерном «интерференционном» времени (в прошлом)

/ — г = (Кда)-1. (14)

На рис. 1 , 2 приведены результаты расчета действительных и мнимых частей вихретокового пропагатора Рх (т; г), как функций аргумента Г - г, для т = к/(2х 4) при двух значениях переносной скорости: V = 10 м/с и К = 100 м/с. иллюстрирующие преимущественно диссипативный (рисунок 2.1) и преимущественно интерференционный (рисунок 2.2) механизмы ограничения электромагнитной памяти вихретоковых процессов в Л'-оболочке. Расчеты произведены для цилиндрической 7У-оболочки с профилем в виде полуокружности радиусом Я = 1 м. толщиной ЬМО"2* и проводимостью у^ХЛО1 Ом~1м~х. Эти данные везде ниже используются в качестве исходных при численных расчетах электродинамики Л'-оболочек.

02/-Г (С)

Рисунок 1 — Действительная и мнимая части вихретокового пропагатора (да; г, г) при т = я/2хл , У= 10 м/с. Преимущественно диссипативный механизм ограничения электромагнитной памяти Л'-оболочки

В ситуации общего положения «срабатывают» оба механизма ограничения электромагнитной памяти (к,да)-мод вихревого тока. Вместе с тем в области переносных

скоростей V « с1к (т)т~] доминирующим является диссипативный механизм ограничения памяти, а в области V » с.1к (да)/«-1 — интерференционный.

Re Я, (с-)

Imp, (с-')

г (с)

Г-г(с)

Рисунок 2 — Действительная и мнимая части вихретокового пропагатора Р, (иг; /, г) при ти = л/2ха , К = 100 м/с. Преимущественно интерференционный механизм ограничения электромагнитной памяти TV-оболочки

Проведено исследование влияния электромагнитной памяти Л'-оболочки на устойчивость «в малом» состояния равновесия электродинамического подвеса, движущегося с постоянной переносной скоростью У = Уёх = const над Л'-оболочкой конечной ширины, по отношению к «вертикальным» возмущениям в рамках модели с фиксированным током в катушке магнитной опоры.

На основе метода оператора функционального сдвига [10] с учетом электромагнитной памяти Л'-оболочки получено представление возмущенного ФЭС в виде суммы его диссипативной и консервативной частей и записано линейное по малым

возмущениям \бгА| « 1 (z® — равновесный электрический клиренс) дифференциальное уравнение свободных вертикальных колебаний электродинамического подвеса. движущегося над Л'-оболочкой:

MSiiA + a{v)SzA + i(v)6:A = 0,

где

cck(v) = — ]xkdk Va Ь

(v)=±h{v),

k=\

'Лу)=-h

Mob

k+»>2r2f

8z,

m2V2

о

'S^A

(«tr«fc)

dm,

dm.

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

а'^, а"ь - некоторые функционалы индукции магнитного поля катушки магнитной опоры и собственной функции /,. оператора К. вычисленные на срединной поверхности Л'-оболочки при равновесном клиренсе гА, М — масса подвеса, приходящаяся на одну магнитную опору (прирасчетах М = 30° кг).

Как видно из (16), (18) коэффициент электромагнитной вязкости а(У) и коэффициент электромагнитной упругости г(У) представлены в виде сумм «парциальных» слагаемых ак(У) и гк(У) (17), (19). каждое из которых обусловлено вихретоковым

взаимодействием /г-ой пространственной моды вихревых токов в //-оболочке с магнитным полем катушки магнитной опоры.

Отмечено, что диссипативный член a(v)SiA в этом уравнении возникает только лишь как следствие учета электромагнитной памяти Л'-оболочки пропагатором Рк(т. Г,г) в выражении для силы левитации (7). тогда как в «стационарном» приближении. игнорирующем электромагнитную память, коэффициент электромагнитной вязкости а(у) = 0 при всех значениях переносной скорости V . Коэффициент а(У), как и каждое его парциальное слагаемое ак(У). обнаруживают нетривиальную зависимость от параметра V (переносной скорости) - действительно, вычисляя в (16), (17) формальные пределы, находим, что lim a(v)> 0, lim а(У)< 0. а это означает.

Г-Х) Г-хо

что существует некоторое критическое значение переносной скорости V = V , при переходе через которое а(у) меняет знак: а(У)> 0 при V <VC; а(Ус) = 0; a(V)< 0 при V > Vc. Таким образом, при переходе параметра V через критическое значение Ус меняется характер устойчивости состояния равновесия (SzA = 0, SzA = О) на фазовой плоскости ißzA, SzA) - происходит бифуркация смены устойчивого фокуса при V <VC на неустойчивый фокус при V>Vc.to есть при V > Vc электродинамический подвес оказывается неустойчивым относительно спонтанного самовозбуждения его вертикальных колебаний.

На рис. 3, 4 приведены графики а(у)/а(о) и i(v)/i(оо), пол)'ченные численным расчетом (16), (18) с использованием первых пяти собственных функций с четной симметрией К -оператора (2). Рис. 3 иллюстрирует возникновение неустойчивости (а(У) < 0) при V >VC.

OlJ"!

¿fo)

д

»Ь ь 1 Ь

Л»...................... зН ■

/

'jL..........

Рисунок 3 — Коэффициент электромагнитной вязкости а(У). а(0) = 832,63 Я • с/м, Ус = 45,5м/с. Без учёта электромагнитной памяти ¿У-оболочки а(У)= 0 при всех значениях V

Рисунок 4 — Коэффициент электромагнитной упругости ¡(У). /(со) = 83157,55 Н/м

Отмечено, что поскольку парциальные слагаемые ак(У) в коэффициенте электромагнитной вязкости а(У) при увеличении параметра V (переносной скорости) последовательно, начиная с ¿ = 1, изменяют знак с положительного на отрицательный при Ус] < Ус2 < Усз < ■ -то обнаруженная неустойчивость электродинамического под-

веса является, по-видимому, макроскопическим проявлением последовательных не-устойчивостей наиболее крупномасштабных (малые значения к ) пространственных к -мод вихревого тока в Л'-оболочке. что ассоциируется со сценарием Ландау-Хопфа [12] начального этапа развития гидродинамической турбулентности - в данном случае турбулентности вихревого тока в движущейся в магнитном поле Л'-оболочке электродинамического подвеса.

Получены приближенные аналитические формулы для парциальных вкладов ак(У), 1к(У) и Уск . Доказана теорема сравнения для характеристических чисел интегрального ¿-оператора основного уравнения (1) математической модели вихревых токов в цилиндрических Л-оболочках с профилем в виде дуги окружности, на основе которой получена априорная аналитическая оценка снизу для критической скорости

Ус-

Отмечено, что полученная здесь численно зависимость а(У) для цилиндрической //-оболочки конечной ширины согласуется (в пределе Я —> со) с полученной ранее аналитическим методом для плоской А'-оболочки бесконечной ширины (см. обзор

[3]).

В третьей главе «Влияние электромагнитной памяти Д-оболочки на регулярную и стохастическую динамику вертикальных колебаний электродинамического подвеса» с учетом результатов исследования «вертикальной» устойчивости системы электродинамического подвеса, выполненной в главе 2. проведено исследование влияния электромагнитной памяти А-оболочки на флуктуационную динамику малых вынужденных вертикальных колебаний движущегося с постоянной переносной скоростью электродинамического подвеса. Исследование проведено для двух моделей с различными механизмами возникновения вынуждающей силы:

1) модель с флуктуирующим во времени (регулярно или стохастически) током в катушке магнитной опоры;

2) модель с флуктуирующей в пространстве (регулярно или стохастически) срединной поверхностью А'-оболочки.

Сначала исследована модель с флуктуирующим током в катушке магнитной опоры электродинамического подвеса с учетом электромагнитной памяти № оболочки. Эти флуктуации физически могут быть вызваны различными нестабильно-стями в цепи питания, приводящими к флуктуациям <5/(/) тока в катушке.

Рассмотрены малые периодические флуктуации тока

8^)=81т соф?). (20)

На основе метода оператора функционального сдвига получено линейное по малым возмущениям (^г^/г® «1, <5/'| /0 «1) уравнение вынужденных флуктуа-циями тока вертикальных колебаний электродинамического подвеса следующего вида:

82 л +2 0(у)8±А = И(05> (21)

где 2р(У) = а(У)/М, а>1 (У) = :{У)/М, «вынуждающая сила» в правой части (21) есть некоторый линейный функционал процесса ¿>/(г).

Проведено исследование амплитуды а(Я,У) вынужденных колебаний над плоскостью (/?. У), с целью нахождения условий резонанса. На рис. 5 в плоскости (К./?) приведён численный расчет резонансной траектории £Эр(У). представляющей

собой линию условных максимумов амплитуды вдоль которой проходит

«хребет» этой функции, а на рис.6 приведено поведение безразмерной резонансной амплитуды аге!(У) = а(рр(V))-[г® (<57т/;°)]"' вдоль резонансной траектории £2р(у),

г®,;0 - равновесные электрический клиренс и электрический ток. Пунктиром изображены те части графиков, на которых резонансы «разрушаются» вертикальной неустойчивостью (при V > Ус) за характерное время М ' и. таким образом, оказываются «виртуальными» резонансами.

Отмечено, что учет электромагнитной памяти 7У-оболочки приводит не только к количественным изменениям зависимостей Ор(у) и а(Ор(У)). но и к качественно новому эффект}' — появлению области виртуальных резонансов.

п,(к) «ьН

-„(у)

у/к

Рисунок 5 — Резонансная траектория

я(у)

Рисунок 6 — Поведение резонансной амплитуды вдоль резонансной траектории

Далее исследована стохастическая накачка средней энергии (£(()) вертикальных колебаний движущегося с постоянной переносной скоростью над Л'-оболочкой электродинамического подвеса статистически малыми случайными флуктуациями тока в катушке магнитной опоры при учете электромагнитной памяти Л'-оболочки. Предполагая, что флуктуации тока <5г(?):

1) представляют собой «цветной шум» — стохастический процесс Орнштейна-Уленбека [11]

>(г)) = о,

М (22)

где (...) - символ усреднения по ансамблю реализаций стохастического процесса

£>/(/), /(¿¡У) — среднеквадратичная флуктуация тока, тс - время автокорреляции;

1/2

1

2) являются статистически малыми:

(Л')2

1/2

и, принимая нулевые начальные условия для уравнения (27), получена формула:

(Е®) = Мте{4

¿(1 -е-г»)-рС>{!)

(23)

где - запаздывающая функция Грина оператора левой части уравнения (21), {ё2^ - среднее значение квадрата случайной вынуждающей силы в правой части (21).

Показано, что лишь учет электромагнитной памяти А'-оболочки позволяет обнаружить три качественно различных режима стохастической накачки энергии {£'(/)): 1) при V < Ус; 2) при V = Ус; 3) при V > Ус . На рис. 7 приведён численный расчет зависимостей («{/)) = (■£(/))/(^гс(^2)) для тРёх Режимов стохастической накачки энергии колебаний.

Ш И .____ . . .........

30

20

10

°0* 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ' {С)

Рисунок 7 — Зависимости {е(г)): 1 - при V = 0,5 • Кс; 2 - при V = Гс; 3 - при V = -Л ■ Ус.

Отмечено, что режимы 1 и 3 не могут быть обнаружены в приближении, игнорирующем электромагнитную память А'-оболочки.

Далее рассмотрена динамика вертикальных колебаний электродинамического подвеса в рамках модели с пространственными флуктуациями срединной поверхности А'-оболочки при фиксированном токе в катушке магнитной опоры с учетом электромагнитной памяти А'-оболочки. Для модели с периодическими вдоль оси Ох пространственными флуктуациями срединной поверхности А'-оболочки численно построены резонансные траектории, на которых найдены области виртуальных резонан-сов. Для модели со стохастическими («цветной шум») пространственными флуктуациями срединной поверхности А'-оболочки показано, что случайные пространственные вертикальные флуктуации срединной поверхности А'-оболочки. генерируя стохастическую накачку энергии вертикальных колебаний движущегося над этой оболочкой электродинамического подвеса, приводят тем самым к конверсии энергии поступательного переносного движения в энергию стохастических колебаний. Такой отбор мощности из канала переносного движения эквивалентен действию некоторой стохастической силы торможения электродинамического подвеса. Эта стохастическая электромагнитная сила торможения является дополнительной по отношению к «регулярной» электромагнитной силе торможения, существующей и в отсутствие флуктуа-ций срединной поверхности А'-оболочки. Численно исследована зависимость отбираемой мощности от параметров электродинамического подвеса и стохастического процесса при V = Ус.

I

I '

!

/

2

у

1

1

1

В четвертой главе «Математическая модель вихревых токов в S-I-S туннельном контакте со случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое. Состояние проблемы» приведена формулировка физической модели длинного неупорядоченного S-I-S туннельного контакта [6, 7, 9], которая состоит в следующем. Контакт находится при температуре Т = 0 во внешнем магнитном поле (О,Нг,О)Одинаковые S-берега контакта разделены плоским /-слоем с характерными

размерами: длина Lx » Л, (длинный контакт), который в рамках рассматриваемой модели теоретически может считаться бесконечным, ширина Ly «Л, (узкий контакт) Xj — джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в контакт, толщина Lz~ 10а, где а ~ 10"'%< - межатомное расстояние. Высота потенциального барьера, моделирующего /-слой: U0 = comt. Внутри /-слоя случайно распределены одинаковые притягивающие электроны примеси, на которых происходит рассеяние туннелирующих через /-слой электронов. N »1 - полное число примесей в /-слое, Г, = {/"i, г2,..., гк } - их случайная пространственная конфигурация в /-слое. Т[ - координаты примесей. Е0 - энергия локального электронного уровня на примеси,

a'1 =[2m(l/0 -£0)/й2]"' - характерный радиус локализации электронной волновой функции на уровне Е0, m - масса электрона, Ь - постоянная Планка. Примеси распределены макроскопически однородно по объему V = LxLyL. /-слоя с безразмерной

концентрацией с = па~ъ «1 ( п = N/V). Уровень Ферми контакта ¡л < U0 находится в ближайшей окрестности уровня Е0 - внутри энергетического спектра туннельных резонансов, ассоциированных с КРПТ - квантовыми закоротками [7, 8]. пронизывающими /-слой и соединяющими противоположные ¿'-берега контакта. При этом наибольший интерес для рассматриваемых в работе задач представляет область энергий \/и-Ей\<у, А<у«ц, где у - характерная энергетическая ширина существенных туннельных резонансов, А - энергетическая щель сверхпроводящего конденсата в ¿'-берегах контакта. Волновая функция сверхпроводящего конденсата в ¿-берегах имеет вид: i//12 = i//0 -е>р(/^>12). где (р] и <р2 фазы этой волновой функции в каждом из S-бсрегов. Модуль этой функции как обычно в таких задачах считается постоянным '/о = const, не возмущенным слабой туннельной связью через /-слой между S-берегами, а возмущается лишь разность фаз <р = (рх - <рг между ¿-берегами.

Затем приведена формулировка математической модели для исследования электродинамики джозефсоновского В1гхря в рассматриваемом неупорядоченном (с примесями в /-слое) S-I-S контакте, основное уравнение которой имеет вид стохастически возмущенного уравнения sin-Gordon [6, 7, 9]:

—f-—r—f- = *[l + v(x)]sin + — °о < х < со, ?>0. (24)

ах сд 81

(s) — средняя туннельная проводимость неупорядоченного I-слоя, v(x) - случайная функция - относительное отклонение случайной туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя от своего среднего значения — пространственный «шум» туннельной

проводимости /-слоя, с0 - скорость Свихарта, 5Г - нормированная плотность тока «смещения», компенсирующая радиационные потери флуксона, движущегося в неупорядоченном контакте, <1 = Ь. + 2Л;, Я£ - лондоновская глубина проникновения магнитного поля в ^-берега.

В контексте решаемых в диссертации задач приведен краткий обзор предшествующих результатов исследования джозефсоновских вихрей в неупорядоченных 5-/-5 контактах Сформулировано направление диссертационных исследований.

В пятой главе «Численные методы для исследования внхретоковых процессов в контакте со случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое» отмечено, что математическая сложность и большое количество параметров модели (24), (25) приводит и к необходимости разработки численных методов для её исследования в контексте решаемых в этой работе задач. Численное решение основного уравнения математической модели вихретоковых процессов в неупорядоченном 5-/-5 контакте (24) сильно осложняется случайным характером туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя, обусловленным наличием хаотически распределенных по этому слою примесей со случайной конфигурацией •^л' ={,~Ь,~2>--'Г\'}> где Г; - координаты примесей в /-слое. В таких задачах, в первую очередь необходимо искать усредненное по стохастическому ансамблю } решение этого уравнения и его дисперсию, с помощью которых затем исследуются представляющие физический интерес электродинамические параметры и процессы в таких контактах.

Для нахождения этого решения численными методами теоретически возможен путь, основанный на параллельных вычислениях, когда уравнение (24) численно решается для каждой конкретной реализации стохастического ансамбля {/"Л,}, т.е. для каждого случайного распределения координат примесей в /-слое. Затем на основе полученных таким образом решений (для каждой реализации) можно найти усредненное решение путем численного усреднения по всем реализациям ансамбля {Гк}. Однако, этот путь практически нереализуем, поскольку требует огромных вычислительных мощностей. Действительно, для джозефсоновского контакта с характерными размерами /-слоя Ьх х/.,. х/,_ =106ах103ах10а. где а ~ 10~'°,и - межатомное расстояние, при концентрации примеси с-10~2 (одна примесь на 100 атомов) число примесных атомов Л^т/) =108 и они могут равновероятно распределяться по Л7 = 1010

позициям (полное число атомов в /-слое). Таким образом, полное число различных конфигураций примесей в таком /-слое, т.е. полное число элементов стохастического ансамбля } по порядку величины оценивается как

Л^=С$>102!0\ (26)

Задача с таким огромным количеством вариантов оказывается невычислимой для современных классических (не квантовых) компьютеров даже при параллельных вычислениях на всех суперкомпьютерах Земли за любой разумный промежуток времени.

Второй путь получения усредненного численного решения основан на том, что в рассматриваемой здесь области энергий туннельных резонансов при рассматриваемых малых концентрациях примесей подавляющий вклад в туннельную проводимость неупорядоченного /-слоя дают специфические конфигурации примесей - слу-

чайные квантовые закоротки - КРПТ, которые и определяют статистику туннельной проводимости в рассматриваемой модели [8, 9]. Поэтому можно аналитически произвести статистическое усреднение на уровне конечно-разностных схем, применяемых для численного решения уравнения (24), используя развитую теорию КРПТ, и в дальнейшем численно решать только одно - усредненное уравнение. Именно этот путь и реализуется в настоящей работе, для чего в уравнении (24) используются выражения, полученные в рамках теории КРПТ для средней туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя и корреляционной функции её пространственного «шума»

/ \ т

^о X ]PJ«> гЧи) du-

Llm

So

(v(x)) = 0,

где:

Чш).

+ к

v5(x - х'),

m=lL/m

^ du,

(27)

(28)

(29)

1 2т

2 h 2 -i -

ууи) --а и е " - энергетическая ширина туннельного резонанса для КРПТ с без-

т

размерным шагом и = а ■ 2у. где 2у - расстояние между соседними примесями вдоль КРПТ, L] = aLv - безразмерная ширина /-слоя.

рт(и)= а2сте~с""ти [г/2#2(т,1/)]" — вероятность возникновения (в расчете на единицу площади неупорядоченного /-слоя) от-примесной КРПТ с безразмерным шагом и, e(m,ii) — угол, характеризующий извилистость КРПТ, g0 = 4^a0a2L'le~2L - туннельная прозрачность «пустого» (без примесей) /-слоя, L = aL. — безразмерная толщина /-слоя.

Соотношения (24), (25), (27) - (29) вместе с соответствующими начальными и граничными условиями, которые для решаемых в работе задач сформулированы в главе 5, представляют собой математическую модель неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в /-слое, в рамках которой исследуется электродинамика джозефсоновских вихрей.

Далее разработана статистически усредненная конечно-разностная схема второго порядка для нахождения усредненного по {Гх} численного решения стохастически возмущенного квантовыми закоротками стационарного {д2.../дг= 0, ог = ()) уравнения sin-Gordon (24) вблизи перенормированного (квантовыми закоротками) односолитонного решения.

Проведено доказательство устойчивости и сходимости усредненных конечно-разностных схем на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач. Получена мажорантная оценка дисперсии решения.

Затем, используя для разностной аппроксимации волнового оператора в левой части уравнения (24) пятиточечный шаблон - «крест» [13] (рис. 8). разработана усредненная конечно-разностная схема второго порядка для нестационарного уравнения (24) (шаг по оси х: Ах = 1г, шаг по оси /: АI = т,

XI =1% (к =кт, ¿ = 0,±1, ±2,..., Аг = 0,1, 2,...). Процедура усреднения этой конечно-разностной схемы «генетически» связана с теорией возмущений, развитой в [7] для нахождения плотности тока «смещения» в контакте с микрозакоротками.

(

/,к (ЛА- + 1)

1 \ г

Л .

(1-1. к) (<"•*) (/ +1, к) X

Г

> (/.*-!)

Рисунок 8 — Пятиточечный шаблон «крест», /¡к - матрица плотности тока рассеяния

Схема предназначена для нахождения статистически усредненного численного решения «вблизи» перенормированного (квантовыми закоротками) односолитонного решения невозмущенного (к(д:) = О, 5Г = 0) уравнения (24):

ет,М = 4аге4яр ^к^-р2)-{х-У1)[ (30)

где V — скорость вихретокового солитона (флуксона), /? = и/с 0, и имеет следующий вид:

А-1

/Г

-кът{<р)к.-/к+5Г

(<р)°. = Аагаё

(ср)\ = 4

ехр

е>дз

у[кх,--Тк{\г,- -уг)

4\-р2

(31)

В связи с конечно-разностным уравнением (31) отмечено, что возникшая в результате процедуры усреднения матрица /¡к в его правой части учитывает флуктуации туннельной проводимости неупорядоченного У-слоя, обусловленные случайными квантовыми закоротками. на которых происходит рассеяние джозефсоновских вихрей, и имеет смысл плотности тока (нормированной) рассеяния.

Далее приведены исходные данные для численных расчетов вихретоковых процессов в рассматриваемом здесь Б-1-5 контакте со случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое. Поскольку в этой работе рассматривается вопрос о принципиальном влиянии квантовых закороток на длительность электромагнитной

памяти и электродинамику вихретоковых процессов в таких контактах, а не расчет конкретного контакта, то выбраны типичные (по порядку величины) численные значения для подобных контактов: ио =7эВ, 4,9эВ<Е0 <5,1 эВ, /и = 5эВ, Ь. =10-9 м

¿,,=1(Г7 м,

(низкоомный контакт), Ь. =1,5-10 9 м О < с «1, Д = 10~3 эВ, Х1 =10_6 м, с0 = 1,22 -107 м/с (высокоомный контакт).

(высокоомный контакт), сц =107 м/с (низкоомный контакт),

В шестой главе «Численное исследование джозефсоновского вихря в неупорядоченных контактах» исследовано влияние ограничения электромагнитной памяти 5-1-В контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое на электродинамику уединенного джозефсоносвского вихря.

Путем решения нестационарного линеаризованного (<р«1) уравнения (24) с 6Г = 0 найдено время релаксации (длительность электромагнитной памяти неупорядоченного 8-1-3 контакта) длинноволновых электромагнитных возмущений за счет их рассеяния на пространственных флуктуациях туннельной проводимости I-слоя, обу-' словленных случайными квантовыми закоротками.

На рис. 9 а) для низкоомного контакта приведен численный расчет обратного времени релаксации т~'(р-Е0, с), а на рис. 9 б) на плоскости параметров (//-.Ео, с) показана область £2Г{/л — Е0,с). внутри которой осуществляется наиболее сильное ограничение электромагнитной памяти вихретоковых процессов в неупорядоченном ¿■-/-^ контакте. На рис. 9 в), г) аналогичные результаты приведены для случая высокоомного контакта. Отмечено, что выход за пределы области £2г(р - Е0,с) приводит к резкому увеличению длительности электромагнитной памяти неупорядоченного контакта, т.е. к приближению его электромагнитных свойств к свойствам идеального (без примесей в /-слое) контакта.

Далее проведено численное исследование поверхности нижнего критического поля неупорядоченного 5-/-5 контакта Нс(р-Е0,с). разделяющей в трехмерном пространстве параметров (Н,р-Е0,с) области безвихревых (без джозефсоновских вихрей) состояний контакта и вихревых (с одним или более джозефсоновскими вихрями) состояний, для случаев низкоомного и высокоомного контактов.

Нижнее крипгческое поле неупорядоченного 5'-/-5 контакта, усредненное по стохастическому ансамблю {/"у}, и его относительная среднеквадратичная флуктуация представлены в виде [6, 9]:

(Я.Н^Ь^сМ (32)

Ф,

где:

'(ш) 2

2 Ох2

(¿X —

(33)

(34)

- регулярная (неслучайная) часть функционала свободной энергии контакта во внешнем магнитном поле.

SF = C ])(l - со«,))] dx - (35)

—00

- первая флуктуационная (случайная) поправка к этому функционалу, Ф0 - квант магнитного потока. С - некоторая константа.

Функционалы и %[{<?>)] вычисляются на численных решениях (<р(х))

усредненного стационарного уравнения sin-Cordon (24) при [д2 .../дг2 = 0. S,. = о), полученных с помощью конечно-разностной схемы, развитой в четвертой главе.

Рисунок 9 - Обратная длительность электромагнитной памяти неупорядоченного контакта. Слева - случай низкоомного контакта, справа - случай высокоомного контакта. Внизу — области сильного ограничения электромагнитной памяти

На рис. 10, 11 приведены результаты численных расчетов (Нс) и £н . Как видно из рис. 10 поверхность (Яс(//-£0,<г)) над плоскостью параметров (/и-Ей,с) обнаруживает аномальное поведение - имеет куполообразное «выпячивание» над областью параметров £?,.(ы-£0,с). На «макушке» этого купола нижнее критическое поле

(Нс) значительно (примерно на порядок) превышает нижнее критическое поле «пустого» контакта Нс0, причем относительное превышение гораздо больше в случае высокоомного контакта. Выход за пределы области £2г(/и-Е0.с) приводит к резкому уменьшению {Нс) и к приближению его значений к значению Н^ в идеальном контакте.

Рисунок 10 - Нижнее критическое поле неупорядоченного 5-7-5 контакта в области &г(/и-Е0,с). Слева - случай низкоомного контакта. Нс0 = 55 А/м, справа - случай высокоомного контакта. Нс0 = 1,7 А/м

На рис. 11 для случаев низкоомного и высокоомного контактов приведены результаты численных расчетов поверхности ен(^ — Е0,с), показывающей величину статистических флуктуаций нижнего критического поля неупорядоченного 5-7-5 кон-

такта. Эти флуктуации несколько «размывают» поверхность (Я, (/;-£„,с)). внося неопределенность порядка процента.

Рисунок 11 - Статистические флуктуации нижнего критического поля неупорядоченного 5-/-5 контакта. Слева — случай низкоомного контакта, справа - случай высокоомного контакта

Затем исследованы электродинамические параметры неподвижного джозефсо-новского вихря в неупорядоченном контакте.

На рис. 12 приведены результаты численного расчета распределений: разности фаз (<2>(-т)), плотности тока (/,(*)) и магнитного поля {#(*)) в неподвижном джо-зефсоновском вихре в сравнении с соответствующими распределениями для «пустого» контакта. Из приведенных на этом рисунке графиков видно, что в области параметров - Е0.с) происходит резкое (примерно на порядок) уменьшение эффективной длины джозефсоновского вихря, увеличение плотности тока и магнитного поля.

Рисунок 12 - Распределения ((р{х)), {//(.т)), (js(x)) в джозефсоновском вихре:

1 - для неупорядоченного контакта в области с) при // = Е0. с = 10~3;

2 - в «пустом» контакте. Случай низкоомного контакта

Далее проведен численный анализ мощности радиационных потерь джозефсо-новского вихря, движущегося в неупорядоченном 5-/-5 контакте.

Если джозефсоновский вихрь движется в идеальном контакте при Т = 0 и достаточно малых напряжениях на контакте, то его движение бездиссипативно. Если же в /-слое имеются случайные неоднородности, например, изменения толщины /-слоя, микрозакоротки или рассматриваемые здесь квантовые закоротки - КРПТ. случайно образующиеся в неупорядоченном (с примесями) /-слое, то движущийся джозефсоновский вихрь рассеивается на случайных пространственных флуктуациях туннельной проводимости /-слоя, вызванных этими неоднородностями. и теряет энергию за счет электромагнитного излучения при рассеянии. В этом состоит механизм радиационного трения движущегося джозефсоновского вихря в контактах со случайно неоднородным /-слоем. Радиационное трение приводит к замедлению движения вихря, поэтому, чтобы обеспечить его равномерное движение, необходимо компенсировать радиационные потери за счет энергии внешнего источника тока, вводящего в переход постоянный во времени и однородно распределенный вдоль перехода компен-

сирующий ток — ток «смещения» [6, 7]. В рамках рассматриваемой здесь модели неупорядоченного S-I-S контакта получено выражение для мощности радиационных потерь Prad джозефсоновского вихря, обусловленных рассеянием джозефсоновского вихря на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном /-слое. Выражение для Prad представляет собой некоторый функционал, вычисляемый на решениях ((p{x.t)'¡ основного уравнения математической модели (24). Используя для нахождения (<p(x,t)) конечно-разностную схему (31), проведены численные расчеты этого функционала. На рисунках 13, 14 приведены некоторые результаты этих расчетов.

На рис. 13 изображены графики зависимостей Prad(fl) для случая низкоомного неупорядоченного контакта. Эти графики демонстрируют: 1) немонотонную зависимость Prad от нормированной скорости флуксона /?; 2) резкое уменьшение Prad при увеличении параметра \/л -£0|. т.е. при выходе из области ЯГ(р-Е0,с).

\Prad(j3}{Bm) то-» т-ю~14

9.6 10"" 8.4-10"" 12 -Ю-15

б-ю-"

4.8 10~15

з.6 ю-" 2.4

и.ю-"

0 П

0 0.1 QÜ 03 0 4 ÍJJS 0.6 0-7 0.8 OS 1 В

Рисунок 13 - Зависимость мощности радиационных потерь джозефсоновского вихря от нормированной скорости флуксона /3 в низкоомном неупорядоченном контакте при концентрации примеси с = 10~": 1 - при fJ-E^ = О, 2 - при \fj - £0| = Ю-'5 эВ, 3 - при |//-£0| = 1(Г2 эВ, 4-при |/í-£0| = 10-1 эВ

На рис. 14 слева изображены поверхность и линии уровня для мощности радиационных потерь движущегося флуксона в неупорядоченном низкоомном контакте, а справа - в неупорядоченном высокоомном контакте. Видно, что мощность радиационных потерь в неупорядоченном контакте аномально возрастает над областью йг(м~Е„.с) за счет процессов рассеяния флуксона на случайных квантовых закоротках, которые наиболее интенсивны в этой области параметров. Из сравнения рисунков для низкоомного и высокоомного контактов видно, что в высокоомном неупорядоченном контакте максимальная мощность радиационных потерь на порядок меньше, чем в низкоомном.

Отмечено, что полученные здесь численные результаты согласуются с известными теоретическими представлениями и аналитическими оценками [8. 9. А8. А9. А15].

Рисунок 14 - Поверхности над областью с) и линии уровня мощно-

сти радиационных потерь движущегося джозефсоновского вихря при /3 = 0,5. Слева - случай низкоомного контакта, справа - случай высокоомного контакта

В заключение главы отмечено, что учет ограничения электромагнитной памяти контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое приводит к радикальным количественным и качественным изменениям электродинамики джозефсоновских вихрей в области параметров Ц.(//-£0,с).

В седьмой главе «Комплекс компьютерных программ для исследования вихретоковых процессов в N п 5-/-5 оболочках с учетом их электромагнитной памяти» описана структура программного комплекса, основные этапы его работы, формат исходных данных, необходимых для проведения численных расчетов с использованием программного комплекса, разработанного на основе как известных, так и развитых в диссертационной работе численных методов и алгоритмов.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертации и выводы из проведенных исследований.

В приложениях в качестве справочного материала к четвертой главе, изложены основные представления и результаты теории КРПТ в неупорядоченных /-слоях.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

В области математического моделирования:

1. В рамках математической модели вихревых токов в Л'-оболочках выделен и исследован вихретоковый пропагатор. содержащий два механизма ограничения электромагнитной памяти А'-оболочек - диссипативный и интерференционный. корректный учет которых необходим при математическом моделировании регулярной и стохастической динамики вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над Д'-оболочкой конечной ширины.

2. В рамках математической модели малых вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над /^-оболочкой, получено представление ФЭС в виде суммы его диссипативной и консервативной частей, на основе чего показано, что коэффициент электромагнитной вязкости, входящий в диссипативную часть ФЭС, как функция переносной скорости подвеса обнаруживает нетривиальное поведение - смену знака при некотором -критическом значении переносной скорости.

3. Получены приближенные аналитические формулы для коэффициентов электромагнитной вязкости, электромагнитной упругости и критической скорости Ус переносного движения электродинамического подвеса, позволяющие делать их априорные оценки.

4. Доказана теорема сравнения для характеристических чисел интегрального К -оператора основного уравнения математической модели вихревых токов в цилиндрических Л'-оболочках с профилем в виде дуги окружности, обеспечивающая возможность их априорных оценок.

5. С использованием оператора функционального сдвига развито приближение динамического среднего поля для вычисления возмущенного флуктуациями срединной поверхности А-оболочки ФЭС с учетом электромагнитной памяти.

6. В рамках математической модели вихревых токов в длинных неупорядоченных 5-7-5 контактах получена аналитическая формула для времени релаксации (длительности электромагнитной памяти контакта) электромагнитных возмущений на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном /-слое.

7. Разработана дискретная математическая модель вихревых токов в длинных неупорядоченных 5-7-5 контактах, предназначенная для расчета электродн-

намических параметров уединенного джозефсоновского вихря в области сильного ограничения электромагнитной памяти контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое.

В области численных методов:

8. Развит метод статистического усреднения конечно-разностных схем для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте -стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /-слое) как стационарного, так и нестационарного уравнений sin-Gordon.

9. Разработаны статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения стохастически возмущенного как стационарного, так и нестационарного уравнений sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения уравнения.

10. Проведено исследование погрешностей аппроксимаций, доказательство устойчивости и сходимости разработанных усредненных конечно-разностных схем для уравнения sin-Gordon на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач.

11. Получена мажорантная оценка для среднеквадратичного отклонения стохастически возмущенного квантовыми закоротками решения от усредненного.

В области разработки программных комплексов:

12. Изложенные в работе как известные, так и разработанные автором численные методы и алгоритмы, реализованы в виде комплекса компьютерных программ, ориентированных на проведение численных экспериментов с целью исследования электродинамики вихретоковых процессов в N и S-I-S оболочках, с учетом их электромагнитной памяти, на основе которого:

• обнаружена «вертикальная» неустойчивость электродинамического подвеса, движущегося над Л-оболочкой конечной ширины, как следствие учета её электромагнитной памяти;

• показано, что лишь учет электромагнитной памяти А'-оболочек позволяет обнаружить области виртуальных резонансов на резонансных траекториях в пространстве параметров электродинамического подвеса, движущегося над Л-оболочкой;

• установлено, что лишь учет электромагнитной памяти /V-оболочек позволяет обнаружить три (вместо одного без её учета) качественно различных режима стохастической накачки энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над Л-оболочкой;

• рассчитана мощность стохастического торможения электродинамического подвеса, движущегося над случайно возмущенной Л'-оболочкой с V = VC;

• в пространстве параметров неупорядоченного S-I-S контакта для случаев низкоомного и высокоомного контактов численно найдены обла-

ста сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое;

• показано, что в области сильного ограничения электромагнитной памяти длинного неупорядоченного S-I-S контакта случайными квантовыми закоротками происходит радикальное изменение электромагнитных параметров неподвижного джозефсоновского вихря как в случае низкоомного, так и в случае высокоомного контактов;

• показано, что в области сильного ограничения электромагнитной памяти длинного неупорядоченного S-I-S контакта случайными квантовыми закоротками происходит аномальное увеличение мощности радиационных потерь движущегося джозефсоновского вихря как в случае низкоомного. так и в случае высокоомного контактов.

Цитированная литература

1. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1982. - 620 с.

2. Галанин. М.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование / М.П. Галанин, Ю.П. Попов. - М.: Наука, Физматлит, 1995. - 320 с.

3. Дзензерский, В.А. Высокоскоростной магнитный транспорт с электродинамической левитацией / В.А. Дзензерский, В.И. Омельяненко, С.В. Васильев,

B.И. Матин, С.А. Сергеев. - Киев: Наукова думка. 2001.-479 с.

4. Астахов. В.И. Квазистационарные электромагнитные поля в проводящих оболочках / В.И. Астахов. — М.: Физматлит, 2013. - 332 с.

5. Валиев, К.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Валиев, A.A. Кокин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. -352с.

6. Бароне, А. Эффект Джозефсона. Физика и применение / А. Бароне, Дж. Патер-но. -М.: Мир, 1984.-639 с.

7. Минеев, М.Е. Движение джозефсоновского вихря в поле случайного потенциала / М.Е. Минеев, М.В. Фейгельман, В.В. Шмидт // ЖЭТФ. - 1981. - Т. 81. -

C.290—298.

8. Лифшиц, И.М. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем / И.М. Лифшиц. В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 1979. - Т. 77. - С. 989-1016.

9. Кирпиченков, В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий на параметры джозефсоновского вихря / В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. -2007.-Т. 132.-С. 294-296.

10. Рьттов, С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть II. Случайные поля / С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский. - М.: Наука, 1978.

11. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. -733 с. '

12. Гардинер, К.В. Стохастические методы в естественных науках / К.В. Гардинер. - Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 526 с.

13. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

Список публикаций автора по теме диссертации I Статьи в научных журналах из списка ВАК

А1. Астахов, В.И. Влияние ускорения на электромагнитную силу в системах электрической тяги и магнитного подвеса / В.И. Астахов, Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998. -№2-3.-С. 3-12.

А2. Кирпиченкова, Н.В. О методической погрешности при вычислении электромагнитной силы в рамках гипотезы стационарности / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика.- 1998.-№4.-С. 13-15.

A3. Кирпиченкова, Н.В. Влияние переносного ускорения на динамические параметры вертикальных колебаний транспортного средства с магнитным подвесом / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. - 1999. - №1. - С. 3-7.

А4. Кирпиченкова, Н.В. Критическая скорость самовозбуждения вертикальных колебаний при стационарном переносном движении электродинамического подвеса /Н.В. Кирпиченкова//Изв. вузов. Электромеханика.-2004.-№3,-С. 17-20.

А5. Кирпиченкова, Н.В. Резонансы амплитуды вертикальных колебаний электродинамически подвешенного экипажа, вызванные малыми периодическими флуктуа-циями тока в катушке магнитной опоры / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2005.-№3.-С. 19-26.

А6. Кирпиченков, В.Я. Критерий самоусреднения резонансного туннельного кондак-танса N-I-N-контакта со слабым структурным беспорядком в /-слое / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. -2008,- Т. 72,- №10,- С. 1500-1501. Англ. перевод: Kirpichenkov V.Ya. Self-averaging Criterion of the Resonant Tunnel Conductance of an N-I-N Contact with Weak Structural Disorder in the /-Layer / V.Ya Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, O.I Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2008. - V. 72. -№ 10.-P. 1423-1425.

A7. Кирпиченкова, Н.В. Стохастическая накачка энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2008. - №4. - С. 9-14.

А8. Кирпиченков, В .Я. Влияние туннельных резонансов на радиационные потери флук-сона в длинном 5-/-5-туннельном контакте со слабым структурным беспорядком в /слое / В Л. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. - 2009. - Т. 73. - № 8. - С. 1135-1137. Англ. перевод: Kirpichenkov V.Ya. Effect of Tunnel Resonances on Fluxon Radiation Loss in a Long S-I-S Tunnel Junction with Weak Structural Disorder in the I-Layer/ V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, and O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2009. - V. 73. -№8. -P. 1073-1075.

A9. Кирпиченков, В Л. Нижнее критическое поле длинного джозефсоновского S-I-S-туннельного контакта с квантовыми закоротками в /-слое / В .Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая, - 2009.Т. 73. - №7. - С. 1018-1020. Англ. перевод: Kirpichenkov V.Ya. Lower Critical Field of a Long Josephson S-I-S Tunnel Junction with Quantum Jumpers in I-Layer/ V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, and O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2009. - V. 73. - №7. - P. 962-964.

АЮ.Кирпиченкова, Н.В. Стохастическая накачка энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса при произвольных значениях переносной скорости / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. -2009. -№5. -С.57-63.

АП.Кирпиченков, В.Я. Мезоскопические флуктуации резонансного туннельного кондактанса неупорядоченного 5-/-5-контакта в магнитном поле / В.Я. Кирпичен-ков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. -2010,- Т. 74,- Кг 5. - С. 682-684. Англ. перевод: Kirpichenkov V.Ya. Mesoscopic Fluctuations of the Resonant Tunneling Conductance in a Disordered S-I-S Junction in Magnetic Field / V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, and O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2010. - V. 74. -№ 5. - P. 631-633.

А12.Кирпиченков, В.Я. Особенности амплитуды упругого подбарьерного рассеяния на примеси / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирппченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая, - 2010,- Т. 74,- №8,- С. 1095-1097. Англ. перевод: Kirpichenkov V.Ya. Peculiarities of the Amplitude of Elastic Subbarrier Impurity Scattering/ V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, and O.I. Lozin// Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. -2010. -V. 74. -№ 8. - P. 1046-1048.

A13.Кирпиченкова, Н.В. Влияние периодических возмущений срединной поверхности проводящего рельса на динамику вертикальных колебаний электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2011. - №1. -С. 10-17.

А14.Кирпиченкова, Н.В. Стохастическое торможение электродинамически подвешенного экипажа при критическом значении скорости переносного движения / Н.В. Кирпиченкова // Изв. вузов. Электромеханика. — 2011. — №2. — С. 3—7.

А15.Кирпиченков, В Л. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий в неупорядоченном /-слое на критический ток джозефсоновского S-I-S- контакта/

B.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75. - № 5. - С. 767-769. Англ. перевод: Kirpichenkov V.Ya. Influence of Quantum Resonance-Percolation Trajectories in a Disordered I-Layer on the Critical Current of a Josephson S-I-S Junction / V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova and O.I. Lozin// Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2011,- V. 75.-№5.-P. 725-727.

А16.Кирпиченкова, Н.В. Джозефсоновские плазмоны в длинном S-I-S туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном 1-слое / Н.В. Кирпиченкова, В.Г. Шавров // Известия РАН. Серия физическая, - 2012,- Т. 76. - №7.-

C. 838-839. Англ. перевод: Kirpichenkova, N.V. Josephson Plasmons in a Long S-l-S Tunnel Junction with Quantum Jumpers in a Disordered I Layer / N.V. Kirpichenkova, V.G. Shavrov // Bulletin of the Russian Academy of Science: Physics. - 2012. - Vol. 76.-№7.-P. 749-750.

АП.Кирпиченков, В.Я. Локальная туннельная прозрачность I-слоя с квантовой зако-роткой / В Л. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова // Известия РАН. Серия физическая. - 2012. - Т. 76. - № 7. - С. 928-929. Англ. перевод: Kirpichenkov V. Ya. Local Tunnel Transparency of a I Layer with a Quantum Jumper / V. Ya.Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova // Bulletin of the Russian Academy of Science: Physics. - 2012. -Vol. 76. - №7. - P. 834-835.

А18.Кирпиченкова, Н.В. Сила радиационного трения флуксона в длинном S-I-S туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном 1-слое / Н.В. Кирпиченкова // Известия РАН. Серия физическая. - 2013,- Т. 77. - №9.-С. 1268-1270.

А19.Кирпиченкова, Н.В. Влияние двупримесных туннельных резонансов на нижнее критическое поле длинного S-I-S туннельного контакта со слабым структурным беспорядком в 1-слое / Н.В. Кирпиченкова. В.Я. Кирпиченков, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая,- 2014.- Т. 78.- №4,- С. 508-511. Англ. перевод:

Kirpichenkova N.V. Effect of Two-Impurity Tunnel Resonance on the Lower Critical Field of a Long S-I-S Tunneling Contact with Weak Structural Disorder in the I Layer / N.V. Kirpichenkova, V. Ya. Kirpichenkov, O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Science: Physics. -2014. - Vol. 78. - №4. - P. 333-336.

II Монография

А20.Кирпиченкова, H.B. Математическое моделирование электродинамики квазидвумерных N-оболочек с учетом электромагнитной памяти вихретоковых процессов: монография / Н.В. Кирпиченкова; Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. — Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2013. - 157 с.

III Программы для ЭВМ

А21.Расчет матрицы ядра интегрального оператора краевой задачи нахождения вихревых токов в проводящем рельсе системы электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010617103; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 25.10.2010г.

А22.Расчет методом Келлога собственных функций и характеристических чисел интегрального оператора уравнения краевой задачи нахождения вихревых токов в движущихся тонких проводящих оболочках / Н.В. Кирпиченкова - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010617107; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 25.10.2010г.

А23.Расчет фурье-образа магнитной индукции поля внешних источников системы электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010617102; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 25.10.2010г.

А24.Расчет фурье-образа скалярной функции тока на срединной поверхности проводящего рельса системы электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова -Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010617108; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 25.10.2010г.

А25.Расчет сил электромагнитного взаимодействия в системе электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010617104; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 25.10.2010г.

IV Доклады на конференциях

А26.Кирпиченкова, Н.В. Влияние больших ускорений на динамические характеристики системы электромагнитного подвеса / Н.В. Кирпиченкова // XXII Гагарин-ские чтения: сб. тез. докл. на\'ч. конф., г. Москва. 2-6 апреля 1996 г. - Москва, 1996,-4.5.-С. 125-126.

А27.Астахов, В.И. Электродинамическое взаимодействие источника магнитного поля с ускоренно движущимся рабочим телом / В.И. Астахов, С.С. Селюк, Н.В. Кирпиченкова // Состояние и перспективы развития электроподвижного состава: тез. докл. II межд. конф., г. Новочеркасск, 4-6 июня 1997г. - Новочеркасск. - 1997. - С. 201-203.

А28.Кирпиченкова, Н.В. Математическое моделирование силового взаимодействия ускоренно движущегося проводника с магнитным полем внешних источников /

H.B. Кирпиченкова // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных, гуманитарных и технических науках: тез. докл. на II Всерос. симпоз. «Математическое моделирование и компьютерные технологии», г. Кисловодск, 23-25 апреля, 1998 г. - Кисловодск, 1998. - Т.2. - С. 39-40.

А29.Кирпиченкова, Н.В. Теорема сравнения для характеристических чисел интегрального оператора уравнения вихревых токов в проводящих цилиндрических оболочках // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. межд. конф.. г. Минск. 14-18 сент. 1999 г. - Минск. Беларусь, 1999. -С. 110-111.

АЗО.Кирпиченков, В.Я. Пиннинг джозефсоновского вихря на «квантовых закоротках» в неупорядоченном I-слое длинного S-I-S туннельного контакта / В.Я.

Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова. О.И. Лозин // Порядок, беспорядок и свойства оксидов. ODPO-2007 = Order, Disorder and Properties of Oxides: сб. тр. X междунар. симпозиума. Ростов-на-Дону- JIoo. - 2007. 12-17 сент. - Ч. II-С. 44-47.

A31 .Кирпиченков, В.Я. Критерий самоусреднения резонансного туннельного кондак-танса N-I-N контакта со слабым структурным беспорядком в /-слое /

B.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова. О.И. Лозин // Порядок, беспорядок и свойства оксидов. ODPO-2007 = Order, Disorder and Properties of Oxides: сб. тр. X междунар. симпозиума. Ростов-на-Дону- Лоо. - 2007. 12-17 сент. - Ч. II —

C. 48-51.

А32.Кирпиченков, В.Я. Влияние туннельных резонансов на радиационные потери флуксона в длинном S-I-S туннельном контакте со слабым структурным беспорядком в /-слое / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Порядок. беспорядок и свойства оксидов. ODPO-2008 = Order, Disorder and Properties of Oxides: сб. тр. XI междунар. симпозиума. - Ростов-на-Дону - Лоо. - 2008. 1621 сент. - Ч. I.-C. 202-205.

АЗЗ.Кирпиченков, В.Я. Нижнее критическое поле длинного джозефсоновского S-I-S туннельного контакта с квантовыми закоротками в /-слое / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова. О.И. Лозин // Упорядочение в минералах и сплавах: ОМА-2008 = Ordering in Minerals and Alloys: тр. 11-го междунар. симпозиума - Ростов-на-Дону - Лоо. - 2008. 10-15 сент. - Ч. I,- С. 242-245.

А34.Кирпиченкова, Н.В. Критерий самовозбуждения вертикальных колебаний при стационарном переносном движении электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова // «Математическое моделирование и краевые задачи»: труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. — Самара: СамГТУ - 2009. — С. 66-69.

А35.Кирпиченкова, Н.В. Стохастическая накачка энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса флукгуациями тока в катушке магнитной опоры / Н.В. Кирпиченкова // «Математическое моделирование и краевые задачи»: труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ. -2009. - С.70-73.

А36. Кирпиченков, В.Я. Особенности амплитуды упругого подбарьерного рассеяния на примеси / В Л. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Порядок, беспорядок и свойства оксидов. ODPO-2009 = Order, Disorder and Properties of Oxides: тр. XII Междунар. симпозиума. — Ростов-на-Дону - Лоо, — 2009. 17-22 сент. — Т. 1.— С. 249-252.

А37. Кирпиченков, В Л. Мезоскопические флуктуации резонансного туннельного кондак-танса неупорядоченного S-I-S контакта в магнитном поле/ В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Упорядочение в минералах и сплавах: ОМА-2009 = Ordering in Minerals and Alloys: тр. 12-го междунар. симпозиума - Ростов-на-Дону - Лоо. - 2009.10-16 сеет. - Ч. I. - С. 230-233.

А38.Кирпиченкова, Н.В. Критическая скорость развития неустойчивости вертикальных колебаний электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинар. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет». -2010.-Ч.З.-С. 35-39.

А39.Кирпиченкова, Н.В. Резонансы вертикальных колебаний электродинамически подвешенного экипажа, вызванные периодическими флуктуациями тока в катушке магнитной опоры / Н.В. Кирпиченкова // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинар. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет». - 2010. -Ч. 3. - С. 39-43.

А40.Кирпиченкова, Н.В. Стохастическая накачка энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса при произвольных значениях переносной скорости / Н.В. Кирпиченкова // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинар. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет». -2010. -Ч. 3. - С. 43-47.

А41.Кирпиченкова, Н.В. Стохастическая неустойчивость электродинамического подвеса / Н.В. Кирпиченкова // Материалы Международной научной конференции «Моделирование -2010», г. Киев, 12-14 мая. 2010г. - Киев. Украина. -2010. -С. 119-126.

А42.Кирпиченков, В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий в неупорядоченном I-слое на критический ток джозефсоновского S-I-S контакта /

B.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова. О.И. Лозин // Физика низкоразмерных систем и поверхностей: LDS - 2010 = Low dimensional Systems: тр. 2-го междунар. междисциплинар. симпозиума. - Ростов-на-Дону - Лоо. - 2010. 3-8 сент. - С. 115117.

А43.Кирпиченков, В.Я. Функция распределения случайной силы пиннинга флуксона на квантовых закоротках в неупорядоченном I-слое джозефсоновского S-I-S контакта/ В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова. О.И. Лозин // Упорядочение в минералах и сплавах: ОМА-2010 = Ordering in Minerals and Alloys: тр. 13-го междунар. симпозиума.- Ростов-на-Дону- Лоо, - 2010. 9-15 сент,- Ч. I.-

C. 203-204.

А44.Кирпиченкова, Н.В. Джозефсоновские плазмоны в длинном S-I-S туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое / Н.В. Кирпиченкова. В.Г. Шавров // Порядок, беспорядок и свойства оксидов. OD-РО-2011 = Order, Disorder and Properties of Oxides: тр. 14-го междунар. симпозиума.-Ростов-на-Дону-Лоо.-2011. 14-19 сент. - Т. 1.-С. 169-170.

А45.Кирпиченков, В.Я. Локальная туннельная прозрачность I-слоя с квантовой зако-роткой / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова // Упорядочение в минералах и сплавах: ОМА-2011 = Ordering in Minerals and Alloys: тр. 14-го междунар. симпозиума. -Ростов-на-Дону-Лоо.-2011. 8-13 сент. -Ч. I. - С. 156-158.

А46.Кирпиченкова, Н.В. Сила радиационного трения флуксона в длинном S-I-S туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое / Н.В. Кирпиченкова. В.Г. Шавров // Упорядочение в минералах и сплавах: ОМА-

2011 = Ordering in Minerals and Alloys: тр. 14-го междунар. симпозиума. - Ростов-на-Дону-Лоо,-2011. 8-13 сент.-Ч. I.-C. 159-162. А47.Кирпичеиков, В.Я. Резонансное туннелирование через кластерные уровни в неупорядоченном барьере / В Л. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова // Порядок, беспорядок и свойства оксидов. ODPO-2012 = Order, Disorder and Properties of Oxides: тр. 15-го междунар. симпозиума. - Ростов-на-Дону - Лоо. - 2011. 7-12 сенг. -Т. 1,-С. 144-145.

А48. Кирпиченкова, Н.В. Влияние двупримесных туннельных резонансов на нижнее критическое поле длинного S-I-S туннельного контакта со слабым структурным беспорядком в I-слое / Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченков, О.И. Лозин // Порядок, беспорядок и свойства оксидов. ODPO-2013 = Order, Disorder and Properties of Oxides: тр. 16-го междунар. симпозиума. - Ростов-на-Дону - Туапсе. - 2013. 7-12 сенг. - Т. 1.-С. 162-166.

В работах, опубликованных в соавторстве, соискателю принадлежат следующие научные результаты (в квадратных скобках указаны номера работ, представленных выше): постановка задач исследований, выбор направления исследований, разработка методов исследования математических моделей, анализ результатов [А6, А8, А9, All, А12, А15, А16, А17, А19, АЗО - АЗЗ, А36, А37, А43 - А48], разработка программного комплекса, проведение численного эксперимента [Al, А27].

Кирпиченкова Наталья Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ КВАЗИДВУМЕРНЫХ ВИХРЕТОКОВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ПАМЯТИ

Автореферат

Подписано в печать 26.06.2014. Формат 60х 84 Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,00. Уч.-изд. л. 2,00. Тираж 150 экз. Заказ № 46-0720.

Отпечатано в ИД «Политехник» 346400, г. Новочеркасск, ул. Первомайская, 166 idp-npi@rriail.ru